Probabilités Pr. François Kohler kohler@medecine.uhp-nancy.fr kohler@medecine.uhp-nancy.fr

Embed Size (px)

Text of Probabilités Pr. François Kohler kohler@medecine.uhp-nancy.fr kohler@medecine.uhp-nancy.fr

  • Page 1
  • Probabilits Pr. Franois Kohler kohler@medecine.uhp-nancy.fr kohler@medecine.uhp-nancy.fr
  • Page 2
  • Exprience alatoire, vnement alatoire Une exprience est dite alatoire (random experiment-random trial) lorsqu'on ne peut pas en prvoir exactement les rsultats du fait que tous les facteurs qui dterminent ce rsultat ne sont pas matriss ou contrls. Un vnement alatoire est un vnement qui peut ou ne pas se raliser au cours d'une exprience alatoire. Exemple : exprience alatoire "traverser la route" - vnement alatoire "se faire craser".
  • Page 3
  • Dfinition classique Si m rsultats peuvent se produire avec des chances gales et si k rsultats correspondent la ralisation de l'vnement, la probabilit de l'vnement est le rapport k/m : nombre de cas favorables sur nombre de cas possibles. Par exemple, dans un jeu de 52 cartes, on a 13 coeurs, si toutes les cartes ont des chances gales d'tre tires, la probabilit d'extraire un cur est 13/52 = 0,25
  • Page 4
  • Dfinition frquentielle Si une exprience a t rpte un grand nombre de fois dans des conditions uniformes, on constate gnralement que la frquence relative (% de ralisation) d'un vnement (fi) se stabilise. Ce phnomne est connu sous le nom de rgularit statistique. Ce nombre fixe est par dfinition la probabilit mathmatique de l'vnement considr.
  • Page 5
  • Dfinition frquentielle La probabilit ainsi dfinie est une forme idalise de la frquence relative. Une estimation pragmatique de la probabilit dun vnement est fournie par la frquence relative, la prcision de cette estimation peut tre fournie par son intervalle de confiance pour un risque donn. Dans de nombreux cas, la probabilit peut tre modlise par une loi.
  • Page 6
  • Exprience, vnement, propositions, logique Evnement : toute proposition logique associe aux rsultats de lexprience. Reprsentation ensembliste : Diagramme de Venn S ensemble des vnements possibles A sous-ensemble de S B sous-ensemble de S .
  • Page 7
  • Evnements exclusifs Les vnements A et B ne peuvent se produire simultanment. Pour tous couples (A,B) l'ensemble A* B est vide. Exemple : extraire un cur ou un carreau. Si 2 vnements sont exhaustifs et mutuellement exclusifs (mort-vivant) La non-ralisation de lun implique la ralisation de lautre.
  • Page 8
  • Evnements non exclusifs Les vnements peuvent se produire simultanment. Lintersection nest pas vide. Exemple : Extraire une dame et un carreau Avoir un diabte et rouler avec des pneus lisses. Avoir un diabte et une angine. Ne pas confondre vnements exclusifs et vnements indpendants.
  • Page 9
  • Oprateurs logiques On note Vrai 1, Faux 0. AB A ou B; A U B; A+B A et B; A B; A*B Non(A)Non(B)Non(AouB)Non(AetB) Non(A) et Non(B) Non(A) ou Non(B) 1111000000 1010010101 0110100101 0000111111
  • Page 10
  • Rappel de logique AB A et BA ou B Non(A) Non(B) Non(A ou B)Non(A et B)
  • Page 11
  • Rappels de logique Thormes de De Morgan Non(A et B) = Non(A) ou Non(B) Non(A ou B) = Non(A) et Non(B) La plupart des problmes de probabilits nont comme difficult que linterprtation logique de lnonc.
  • Page 12
  • Axiomes lmentaires 0 < P(A) < 1 : Une probabilit est toujours comprise entre 0 et 1. P(A) = 1 : Lvnement est toujours ralis. P(A) = 0 : Lvnement est impossible. Si 2 vnements sont exclusifs : P(A ou B) = P(A + B) = P(A U B) = P(A) + P(B) Exemple : Probabilit d'extraire un cur ou un carreau = P(Cur ou Carreau) = 0,25 + 0,25 = 0,5. Gnralisation P(A+B+C) = P(A)+P(B)+P(C). Si 2 vnements sont mutuellement exclusifs (mort-vivant) et constituent lensemble des possibles : on a P(A)+P(B) = 1 => P(A) = 1-P(B). La probabilit de survie un moment donn est gale 1 moins la probabilit de dcder ce moment.
  • Page 13
  • Evnements non exclusifs Les vnements peuvent se produire simultanment. Exemples : avoir un infarctus du myocarde , tre diabtique . P(A ou B) = P(B ou A) = P(A) + P(B) - P(A et B) Ceci se dduit des relations : P(A ou B) = P(A sans B) + P(B sans A) + P(A et B) P(A sans B) = P(A) - P(A et B) P(B sans A) = P(B) - P(A et B) En conclusion : P(A ou B) < P(A) + P(B) P(A ou B ou C) = P(A) + P(B) + P(C) - P(A et B) - P(B et C) - P(A et C) + P(A et B et C)
  • Page 14
  • Probabilits conditionnelles et indpendance En mdecine, lutilisation des probabilits conditionnelles est frquente et apparat naturelle. On dira que un individu a 5 fois plus de chances de dvelopper une maladie coronarienne sil fume un paquet de tabac par jour que si il ne fume pas La connaissance nest pas fige : avant la ralisation dun test, la probabilit dune maladie est p. Que devient-elle si on sait que le test est positif ?
  • Page 15
  • Probabilit conditionnelle Soit deux vnements non exclusifs A et B : On regarde la probabilit que lun se ralise alors que lautre est dj ralis. On note P(A/B) la probabilit de A si B est ralis, linversement du conditionnement P(B/A) est la probabilit de B si A est ralis. Quelle est la probabilit davoir une douleur de la fosse illiaque droite alors que lon a une appendicite ? Quelle est la probabilit davoir une appendicite alors que jobserve une douleur dans la fosse iliaque droite ?
  • Page 16
  • Probabilit conditionnelle Elments de base : Indpendance : Deux vnements sont indpendants si la ralisation de lun ninfluence pas la ralisation de lautre. Exemple : Pluie, rouler avec des pneus lisses : a priori indpendant; pluie, avoir un accident a priori non indpendant.
  • Page 17
  • Indpendance P(A/B) = P(A B)/P(B) = P(A) => P(A B) = P(A)*P(B) Si et seulement si deux vnements sont indpendants alors P(A et B) = P(A) * P(B)
  • Page 18
  • Inversion du conditionnement Intrt : valuation des examens complmentaires. Thorme de Bayes : B Non B A Non A A Non A P(A/B) P(B) P(A)/nonB)
  • Page 19
  • Le tableau 4 cases En mdecine, 2 tableaux 4 cases sont trs utiliss et renvoient au conditionnement. Evaluation des signes et examens complmentaires. Recherche de facteurs de risque. Maladie +Maladie -Total Test +A (VP)B (FP)T+=A+B=VP+FP Test -C (FN)D (VN)T-=C+D=FN+VN TotalM+ = A+C = VP+FNM-=B+D=FP+VNn Maladie +Maladie -Total ExpossABE+=A+B Non expossCDE-=C+D M+ = A+CM- = B+DA+B+C+D P(T+/M+); P(T-/M-); P(M+/T+); P(M-/T-) P(M+/E+); P(M+/E-); P(E+/M+);P(E-/M-)
  • Page 20
  • Les arbres de dcision Un homme se prsente aux urgences. Quelle est la probabilit quil ait une stnose coronarienne ? ( Coro+) = P (EE+ Coro+) + P (EE- Coro+) = 0,8*0,6 + 0,4*0,3 = 0,48 + 0,12 = 0,60
  • Page 21
  • Evaluation des examens complmentaires Il nexiste pas de signe ou dexamen parfait qui serait toujours prsent en cas de prsence de la maladie et absent en cas dabsence de la maladie. Maladie +Maladie -Total Test +A (VP)B (FP)T+=A+B=VP+FP Test -C (FN)D (VN)T-=C+D=FN+VN Total M+ = A+C = VP+FN M- =B+D=FP+VNN=A+B+C+D Frquence de la maladie = Prvalence=P(M+) = (VP+FN)/N Sensibilit = P(T+/M+) = VP/(VP+FN) Spcificit = P(T-/M-)= VN/(VN+FP) VPP = P(M+/T+) = VP/(VP+FP) VPN = P(M-/T-) = VN/(VN+FN)
  • Page 22
  • Evaluation des examens complmentaires La prvalence de la maladie dpend de diffrents facteurs notamment : Zone gographique : le paludisme est beaucoup plus frquent en Afrique quen France. De la slection ralise par le premier niveau de soins (la prvalence dans le groupe slectionn est gale la VPP du test qui a servi la slection). . La prvalence est la probabilit davoir la maladie avant davoir fait le test : probabilit pr-test.
  • Page 23
  • Evaluation des examens complmentaires Sensibilit (probabilits des tests positifs chez les malades) et spcificit (probabilits des tests ngatifs chez les non malades) sont des caractristiques intrinsques du test. Elles supposent le problme rsolu puisqu un test de rfrence (gold standard) a permis de dterminer si la personne tait malade ou non. Elles sont influences notamment par le stade volutif de la maladie.
  • Page 24
  • Evaluation des examens complmentaires La valeur prdictive positive (VPP = probabilit davoir la maladie si le test est positif) et la valeur prdictive ngative (VPN = probabilit de ne pas avoir la maladie si le test est ngatif) sont les lments qui servent la dcision mdicale. La VPP est la probabilit post-test. Dans le groupe des sujets ayant un test positif, elle reprsente la probabilit davoir la maladie. Si le gnraliste utilise la positivit du test pour adresser les sujets au spcialiste, la frquence de la maladie (prvalence) dans le groupe adress au spcialiste sera la VPP.
  • Page 25
  • Valeurs prdictives Les valeurs prdictives dpendent de : La sensibilit du test, La spcificit du test, La prvalence du test. En consquence, le mme test (mme sensibilit et spcificit) aura des VPP et VPN trs diffrentes en fonction de la prvalence de la maladie.
  • Page 26
  • Valeurs prdictives VPP et VPN correspondent linversion du conditionnement de la sensibilit et de la spcificit. Larbre des probabilits permet facilement cette opration. Malade Non Malade Prvalence 1 - Prvalence Test Positif Test Ngatif Sensibilit 1 - Sensibilit 1 - Spcificit Spcificit
  • Page 27
  • VPP et VPN en fonction de la prvalence Pour une sensibilit et une spcificit donne : Une augmentation de la prvalence entrane une augmentation de la VPP. Une augmentation de la prvalence entrane une diminution de la VPN.
  • Page 28
  • Exemp

Recommended

View more >