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Problemas de ecuaciones diferenciales ordinarias. (Cap. 7, Kuo) En los siguientes problemas, comparar la solución de Runge-Kutta con la solución en forma cerrada, o bien, comparar la solución de Runge-Kutta con la solución de Euler cuando no se cuente con la solución analítica. En muchos de estos problemas, se deja al lector la elección del tamaño del incremento y de la longitud del intervalo en los procedimientos de Runge-Kutta y de Euler. 1. Un tanque hemisférico de radio R está inicialmente lleno de agua.En el fondo del tanque hay un agujero de radio r por el cual escapa el agua bajo la influencia de la gravedad. La ecuación diferencial que expresa la profundidad del agua como función del tiempo que se ha obtenido es dy dt r 2 2g 2Ry 1/2 y 3/2 0 donde g 32.2ft/s 2 , R 10 ft, r 1/12 ft. La condición inicial es que en t 0, y 0. Encontrar la relación entre y y t usando los procedimientos de Runge-Kutta y de Euler. 2. Un tanque cilíndrico con un agujero pequeño en su fondo está lleno de agua. Por el agujero fluye el agua bajo la influencia de la gravedad. La ecuación diferencial que expresa la profundidad como función del tiempo es dh dt d 2 D 2 2gh Encontrar la relación por los procedimientos de Runge-Kutta y de Euler. Datos: D 5 ft, d 2 in, h 0 10 ft. Comparar sus resultados con la solución analítica t 2 c 1 h 0 h , donde h 0 10 ft, c 1 d 2 /D 2 2g.

Problem as Kuo 7

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Page 1: Problem as Kuo 7

Problemas de ecuaciones diferenciales ordinarias. (Cap. 7, Kuo)

En los siguientes problemas, comparar la solución de Runge-Kutta con la solución enforma cerrada, o bien, comparar la solución de Runge-Kutta con la solución de Eulercuando no se cuente con la solución analítica. En muchos de estos problemas, se deja allector la elección del tamaño del incremento y de la longitud del intervalo en losprocedimientos de Runge-Kutta y de Euler.

1. Un tanque hemisférico de radio R está inicialmente lleno de agua.En elfondo del tanque hay un agujero de radio r por el cual escapa el agua bajo lainfluencia de la gravedad. La ecuación diferencial que expresa la profundidad delagua como función del tiempo que se ha obtenido es

dydt

r2 2g2Ry1/2 y3/2 0

donde g 32.2 ft / s2, R 10ft, r 1/12 ft. La condición inicial es que en t 0,y 0. Encontrar la relación entre y y t usando los procedimientos de Runge-Kuttay de Euler.

2. Un tanque cilíndrico con un agujero pequeño en su fondo está lleno deagua. Por el agujero fluye el agua bajo la influencia de la gravedad.

La ecuación diferencial que expresa la profundidad como función del tiempo es

dhdt d2

D2 2gh

Encontrar la relación por los procedimientos de Runge-Kutta y de Euler. Datos:D 5ft, d 2 in, h0 10ft. Comparar sus resultados con la solución analítica

t 2c1

h0 h ,

donde h0 10ft, c1 d2/D2 2g.

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3. Debajo del tanque descrito en el problema 2, está colocado un segundotanque de diámetro Db (Db D). En el fondo del segundo tanque hay un agujerode diámetro db. Es posible que al vaciarse el primer tanque en el segundo sereboce. Datos: Db 4ft, db 1.5 in, Hb 10ft. Determinar la altura a la que sepuede llenar el segundo tanque sin causar que reboce el de abajo.

4. Sea x la temperatura al tiempo t de un cuerpo inmerso en un medio cuyatemperatura está descrita por la expresión

Gt 100t 4La temperatura satisface la ecuación diferencial

dxdt kx kGt,

donde k es una constante de proporcionalidad y la condición inicial es que ent 0, x 1000. Obtener la relación x t con el procedimiento de Runge-Kutta ycomparar el resultado con la solución analítica

x 400 100k kt 1 600 100

k expkt.

5. Encontrar la relación entre velocidad v y altura r para un proyectil que sedisparó con una velocidad inicial v0 desde la superficie de la tierra. La ecuaciónes

v dvdr g R2

r2 ,

donde R 20,908,800 ft, g 32.2 ft / s2, y la condición inicial es v0 10,000 ft / s enr R. Usar el procedimiento de Runge-Kutta y comparar la respuesta con lasolución analítica

v 2gR2/r v02 2gR .

6. La corriente i en el circuito RL forzado a cualquier tiempo t después decerrar un interruptor a t 0 se puede expresar por la ecuación

didt E sint Ri/L

donde E 100V, L 1H, 600, R 100Ω y la condición inicial es que ent 0, i 0. Resolver numéricamente la ecuación diferencial usando el método deRunge-Kutta y comparar la respuesta con la solución analítica

i EZ2 R sint L cost LeRt/L ,

donde Z R2 2L2 .

7. En un recipiente que contiene 120lb de agua se vacían 20lb de azúcar. Laconcentración porcentual c de la solución a cualquier tiempo t está expresadacomo

120 1.212c dcdt k

3 200 14c100 4c,

en donde k, el coeficiente de transferencia de masa, es igual 0.05889. Lacondición inicial es que en t 0, c 0. Encontrar la relación ct por los métodosde Runge-Kutta y de Euler y comparar el resultado con la solución analítica

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c 1 e0.0098t

7 4e0.0098t 100.

8. La curva de disolución del oxígeno representa el cambio en la cantidad deoxígeno disuelto en una corriente a causa de la introducción de una cargapolutante. Este cambio es producido por dos efectos principales, disminución deoxígeno debido a la presencia de desperdicios orgánicos y recarga de oxígenopor reaereación atmosférica. Por consiguiente

dDdt K1L K2D

en donde D es el déficit de oxígeno en mg/ l, L es la cantidad de materia orgánicaque permanece en la corriente medida en términos de la demanda biológica deoxígeno (BOD), y K1 y K2 son las tasas de deoxigenación y reaireación,respectivamente. Además,

dLdt K1L.

La curva de arrastre de oxígeno se usa principalmente para determinar el déficitmáximo de oxígeno en la corriente y el tiempo necesario para alcanzar esedéficit. El máximo déficit permisible se usa como base para determinar la máximacarga polutante que puede introducirse a la corriente. Con K1 0.2 y K2 0.3, elmáximo déficit permisible de oxígeno en la corriente DM 8.14, y el déficit deoxígeno al tiempo cero D0 2.43, disminuir progresivamente el valor inicial de L,L0, a partir de L0 24, hasta que el máximo déficit corresponda al valor de DM.Identificar el valor de L y el del tiempo t al cual esto ocurre.

9. La reacción de NO con H2 se conoce como una reacción de 3er orden y surapidez está dada por

dxdt kPNO 2x2PH2 x,

donde x es la presión parcial del producto, k es la constante de la velocidad, PNOy PH2 representan las presiones parciales del NO y del H2 respectivamente, en lamezcla de reacción antes de que ocurra la reacción; PNO 2x es la presión parcialdel NO en el reactor y PH2 x es la presión parcial del H2 en el reactor a cualquiertiempo después que la reacción inició. En este problema PNO 359mmHg,PH2 400mmHg, k 1.12 107 mm2 s1 y la condición inicial es que x 0,0 t 3min. Encontrar la relación xt por el procedimiento de Runge-Kutta ycomparar el resultado con la solución analítica.

10. Una barra sobresale de un satélite en un campo de radiación solar. Laecuación diferencial basada en un modelo unidimensional de conducción decalor es

dTdx 2CT4

5kA 2SDT sinkA K ,

en donde

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absortividad 0.4, emisividad 0.4, constante de Stefan-Boltzmann 0.173 108 Btu /h ft2 °R4,A área transversal de la barra,C circunferencia de la barra,D diámetro de la barra 1 in ,K constante de intergración,L longitud de la barra 3ft ,S constante de la radiación solar 425Btu /h ft2,T temperatura de la barra en °R,k conductividad térmica de la barra 100Btu /h ft °R, 30°

La condición inicial es que en x 3.0 ft, T 637.6285°R, y dT/dx 0. Usando losprocedimientos de Runge-Kutta y de Euler, encontrar la relación Tx.

11. Se usa un separador estándar de aceite para separar una mezcla de agua yaceite.

El nivel de derrame de aceite está 5ft arriba del extremo inferior de la pared deretención. Obtener la relación vt usando la ecuación

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dvdt w o

og 3fw

4Dov2,

en dondeD diámetro promedio del glóbulo de aceite 1

16 in ,

v velocidad vertical del glóbulo de aceite,o densidad del aceite 0.6w,w densidad del agua,

g aceleración debida a la gravedad 32.2 ft / s2,f coeficiente de fricción 0.06.

La condición inicial es que en t 0, v 0 0 t 0.03s.

12. Usar los procedimientos de Euler y de Runge-Kutta para resolvernuméricamente las siguientes ecuaciones diferenciales del primer orden.Comparar los resultados con la solución analítica.

dy/dx x sinx y. Condición inicial: x 0, y 0.5. Solución analítica:y 2ex x 1 cos x sinx/2.

13. dy/dx yx/y2 x2. Condición inicial: x 0.1223, y 0.05. Solución analítica:y ex2/2y2 .

14. dy/dx x2 sinx/y. Condición inicial: x 0, y 1. Solución analítica:y 2

3 x2 2cos x 3 .

15. dv/dx 3x2 2x/8v. Condición inicial: x 3, v 3. Solución analítica:v x/2 x 1 .

16. La ecuación diferencial que describe una esfera en la que hay una fuente decalor en su centro se expresa como

d2Tdr2 2

rdTdr w

k 0,

en donde Tr es la temperatura dentro de la esfera y k es la conductividadtérmica de la esfera en Btu /h ft . La fuente de calor se mantiene a unatemperatura constante Tc, mientras que el gradiente de temperatura dT/dr en elcentro es cero. El diámetro de la esfera es igual a 2ft. Los demás valores son:

w 100Btu /h ft3,k 212Btu /h ft ,

Tc 900¿Cuál es la distribución radial de temperatura de la esfera? Usar el procedimientode Runge-Kutta y r 0.1 ft.

17. Una tira horizontal larga de madera arde en un extremo como muestra lafigura.

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La ecuación diferencial del perfil de temperatura delante del frente de la flama es

d2Tdx2 Vs

kdTdx

2UkL T Ta 2

kL T4 Ta4 1

2 f

kL T f4 Ta

4 1 xx2 H2

0

en dondeV velocidad de propagación a lo largo del eje x de la flama 11.010 ft /h ,s calor específico de la madera 0.55Btu / lb °R, densidad de la madera 20.362 lb / ft3,k conductividad térmica de la madera 0.2Btu /h ft °R,

U coeficiente de transferencia de calor media entre la madera y el aire 2.0Btu /h ft2 °R,L espesor de la tira de madera 0.00526ft ,

Ta temperatura del aire ambiente 530°R,T f temperatura de la flama 2160°R, constante de Stefan-Bolotzmann 0.173 108 Btu /h ft2 °R4, emisividad radiante de la madera 0.9, f emisividad radiante de la flama 0.85,H altura de la flama 0.87 in 0.0725ft .

Los datos experimentales demuestran que T 1200°R en x 0.5 in ydT/dx 280761.72 en x 0.5 in. Integrar la ecuación desde x 0.5 in hastax 2.5 in usando el procedimiento de Runge-Kutta.

18. Usar el procedimiento de Runge-Kutta para integrar la ecuación

0.3 d2Qdt2 5000 dQ

dt Q0.08 106 1,

que describe el circuito eléctrico de la figura.

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Inicialmente t 0 la carga Q 0 y la corriente i Q dQ/dt 0. Obtener lacarga y la corriente a cualquier tiempo t, 0 t 1.5 103 s.

19. Una puerta cuelga de un soporte sin fricción inclinado como muestra lafigura.

La ecuación diferencial que expresa la oscilación de la puerta esd2dt2 3g

2b sin sin 0,

en la que g 32.2 ft / s2. Sean los valores iniciales 0 90°, d/dt t0 4 rad / s.Integrar la ecuación en el intervalo 0 t 3s.

20. La ecuación diferencial de un péndulo simple esd2dt2 k d

dt2 g

L sin 0,

en donde la fuerza de amortiguamiento es proporcional al cuadrado de lavelocidad angular. Sean los valores

k radio de giro 3.0 ft ,L 3.0 ft ,g 32.2 ft / s2

y las condiciones iniciales 0 80°, 0 ddt t0

2 rad / s. Calcularnuméricamente las cantidades y en el intervalo 0 t 3s.