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UNIVERSIDAD NACIONAL SAN AGUSTN
FACULTAD DE GEOLOGA GEOFSICA Y MINAS
MTODOS DE MODELIZACIN GEOFSICA
TEMA:
PROBLEMA INVERSO DIRECTO
ALUMNOS: ALVAREZ PILLCO MIGUEL
MAMANI HUAMAN MARLENY
ALARCON CERVANTES VICTOR
2014
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El problema inverso aparece en muchas ramas de la ciencia y de
las matemticas.
UN PROBLEMA INVERSO
Es aquel en donde los valores de algunos parmetros del modelo
deben ser obtenidos de los datos observados.
Aparece en muchas ramas de la ciencia y de las matemticas.
El problema inverso puede ser formulado como sigue:
Datos Parmetros del modelo
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La transformacin de los datos en los
parmetros del modelo es el resultado de la
interaccin de un sistema fsico
la Tierra
la atmsfera la gravedad, etc
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El problema inverso de la geofsica
Los mtodos geofsicos se basan en el estudio de los diferentes
campos fsicos
que se generan o propagan en el interior de la Tierra.
Los ms importantes son el gravitatorio,el magntico, el
electromagntico y el
ssmico.
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Los problemas
inversos surgen en disciplinas
GEOFSICA
IMAGEN MDICA
sensores remotos
TOMOGRAFA ACSTICA ,ETC
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Formulacin general de los problemas directo e inverso
Podemos esquematizar, de forma general, los problemas directo e
inverso de
la geofsica de la siguiente manera:
Problema directo: modelo{parmetros modelo m} datos (d).
Problema inverso: datos (d ) modelo {parmetros modelo m}.
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PROBLEMAS INVERSOS LINEALES
Un problema inverso lineal puede ser descrito por:
D = G(m)
donde G es un operador lineal que describe la relacin explcita
entre los datos D, y los parmetros del modelo M y es una
representacin del sistema fsico. En el caso de un problema inverso
lineal discreto que describa a un sistema lineal, D Y M son
vectores, y el problema puede ser escrito como:
D = G(m)
donde G es una matriz.
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PROBLEMAS INVERSOS NO LINEALES
Una familia de problemas inversos inherentemente ms difciles son
los referidos conjuntamente como problemas inversos no
lineales.
Los problemas inversos no lineales tienen una relacin ms
compleja entre los datos y el modelo, representados por la
ecuacin:
D= G(m).
Aqu G es un operador no lineal y no puede ser separado para
representar una correspondencia lineal de los parametros del modelo
que forman m
en los datos.
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En este tipo de problemas, lo primero que se debe hacer es
comprender la estructura del problema y dar una respuesta terica a
las cuestiones de
Hadamard (de tal manera que el problema est solucionado desde
el
punto de vista terico). Una vez hecho esto se sigue con el
estudio de la
regularizacin y de las interpretaciones de la evolucin de las
soluciones
con nuevas medidas (probabilsticas o de otro tipo). De ah que
las
secciones siguientes correspondientes realmente no se refieren a
estos
problemas.
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DIFERENCIAS ENTRE P.I.L Y P.I.N.L
Mientras que los problemas inversos lineales estaban
completamente resueltos desde el punto de vista terico a finales
del siglo XIX, slo una clase de problemas no lineales lo estaba
antes de 1970: el problema espectral inverso y el de la dispersin
inversa (en un espacio de una dimensin), tras el trabajo
fundamental de la escuela matemtica rusa (Krein, Gelfand, Levitan,
Marchenko).
Los problemas inversos no lineales se estudian tambin en muchos
campos de las ciencias aplicadas (acstica, mecnica, mecnica
cuntica, dispersin electromagntica, en ondas radar, ssmicas, en
toda clase de procesado de imgenes, etc).
Los P.I.N.L. son mas difciles de tratar y hasta muchos otros son
ambiguos (se pueden entender de varios modos), las computadoras nos
ayudan en este campo pero con el criterio cientfico de un
profesional.
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Cuando un problema es inverso
El problema directo es hacer el producto de dos nmeros.
El problema inverso es la factorizacin de un numero
ejemplo elemental
las leyes de Kepler permitan calcular
la orbita de los planetas: solucin de un problema directo
Newton resuelve el problema inverso:
a partir de las leyes de Kepler interpretadas como resultado de
un proceso.
Es decir la Ley de la Gravitacin Universal.
Ejemplo histrico
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Se utiliza en exploracin
petrolera y, como mtodo secundario,
en exploracin minera.
Mide las variaciones en el
campo gravimtrico de la
Tierra
Localizar masas de mayor o menor densidad que el
medio que las rodea
METODO GRAVIMETRICO
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CLASICACIN DE LOS
MTODOS DE INVERSIN
mtodos discretos
mtodos funcionales
Adoptan un nmero
Finito de parmetros
modelo.
Implican algn tipo de
funcin, de forma que
los datos y/o las
incgnitas se expresan
mediante una relacin
espacial o temporal.
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MTODO DIRECTO
Mediante el algoritmo de Talwani se puede calcular el campo
gravitacional de un
cuerpo irregular a lo largo de un perfil que corta la estructura
perpendicularmente. La
seccin transversal se aproxima a un polgono con un nmero finito
de vrtices y una
densidad de masa (Talwani, 1959).
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ALGORITMO DE LEVENBERG-MARQUARDT (ALM)
En este algoritmo se
determina el error de
retropropagacin con
base en el error
cuadrtico.
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El ALM se puede aplicar utilizando
diferentes desarrollos
Ajuste por mnimos cuadrados con informacin a priori para el
problema
inverso no lineal.
Expansin de orden uno de la serie de Taylor para el problema
inverso
no lineal, donde el gradiente se
aplica a la funcin terica (Mirko,2000)
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FACTOR DE ENTRENAMIENTO
El mtodo de regularizacin bayesiana, es una generalizacin
del
Algoritmo de Levenberg Marquardt (Tarantola, 1987) usa la matriz
de covarianza para los datos y la matriz de covarianza para los
parmetros del modelo; se caracteriza por producir una buena
pero
lenta convergencia
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CURVA DE APRENDIZAJE
La curva de aprendizaje se obtiene
al graficar el nmero de iteraciones
contra la funcin estado. Utilizando
el factor de entrenamiento
Cm, se garantiza una rpida
convergencia a una solucin
ptima y no presenta mnimos ni
mximos locales.
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VENTAJAS DE ALM
Este algoritmo se ajusta con informacin a priori, que regulariza
el clculo de los pesos a travs de la penalizacin de pendientes,
rugosidad o derivadas de alto orden en el modelo (trminos
omitidos).
Es til para la obtencin de una solucin suavizada
(Scales,2001).
Ajusta los valores absolutos de las perturbaciones de los
parmetros durante sucesivas aproximaciones de Taylor
(Meju,1994)
Combina la velocidad del algoritmo de Newton con la estabilidad
del mtodo de gradiente descendente (Meju, 1994).
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ESTADO DE LA INFORMACIN Y DENSIDAD DE PROBABILIDAD
La aproximacin bayesiana combina los estados de la
informacin
terica con la informacin obtenida de medidas (datos) a travs
de
funciones de probabilidad gaussiana. Diferentes
configuraciones
de los parmetros generan diferentes funciones de
probabilidad
gaussiana que, agrupadas, definen la densidad de
probabilidad
asociada a la solucin del problema de inversin.
En la distribucin de densidad de probabilidad se puede
definir
una frontera razonable lmite del conjunto de soluciones que
mejor
ajusta los datos, permitiendo el reconocimiento de patrones
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APLICACIN
El ALM fue desarrollado en plataforma Visual Basic y C++, en
el
cual se puede ver el proceso de entrenamiento, as como la
respectiva
convergencia a travs de cada una de las iteraciones.
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PROBLEMA INVERSO: GEOFISICA
Menke (1989) dice que el problema inverso es simplemente el
conjunto de MTODOS usados para extraer informacin til de nuestro
entorno a partir
de medidas fsicas o datos. La informacin til vendr especificada
como
valores numricos de alguna propiedad de este entorno. Estas
propiedades tambin se referirn como mtodo especfico
(normalmente
una teora matemtica o modelo) que relaciona los parmetros con
los
datos. El problema inverso contrasta con el problema directo,
donde se
predicen los datos a partir de los parmetros y de un modelo.
Normalmente el problema inverso es ms difcil de resolver que
su
correspondiente problema directo.
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PROBLEMA INVERSO: GEOFISICA
La teora del problema inverso en su sentido ms amplio ha sido
desarrollada por los investigadores que trabajan con mtodos
geofsicos.
La razn es que dichos investigadores tratan de entender el
interior de la
Tierra slo a partir de datos obtenidos desde la superficie. Sin
embargo, el
problema inverso aparece en muchas otras ramas de las ciencias
fsicas,
como pueden ser la tomografa mdica, el procesado de imagen o
el
ajuste de curvas. En nuestro caso los sern las resistividades
o
conductividades del suelo, los datos sern las tensiones medidas
en la
superficie y el modelo queda an por determinar.
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PROBLEMA INVERSO: PROSPECCION
ELECTRICA (EJM)
La interpretacin de los sondeos elctricos a fin de determinar
las resistividades y espesores de las capas en un medio
estratificado ha sido
un tema de investigacin desde principios de siglo. Hasta la
disponibilidad
de ordenadores, el intrprete se basaba en los procedimientos de
ajuste
de curvas. Desde que el problema directo para medios
estratificados fue
resuelto por medio de la teora lineal de filtros (Gosh, 1971a,
1971b), han
aparecido muchos trabajos que tratan sobre la interpretacin
automtica
y numrica (Inman, 1975; Koefoed, 1979; Pous, Marcuello y
Queralt, 1987;
Zohdy, 1989).
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PROBLEMA INVERSO: GEOFISICA
APLICADA
1.- Determinacin de la Propiedad Fisica
2.- Obtencin de Datos (de la propiedad fisica en un medio).
3.- Determinacion del parmetro.
4.- Interpretacion del parmetro (Cualitativa y
Cuantitativa).
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El Algoritmo de Levenberg Marquard permite determinar en forma
eficiente los parmetros considerados en el problema de
inversin.
CONCLUSION
Esta metodologa no solamente se puede enfocar a problemas de
estimacin y optimizacin, sino que tambin podra aplicarse en el
anlisis de las
deformaciones corticales a partir de las variaciones del campo
gravitacional
El mtodo inverso como aplicacin en una rama de la ciencia puede
ser a su vez parte de un mtodo directo y viceversa.
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BIBLIOGRAFIA
ANLISIS Y RESOLUCIN NUMRICA DE UN PROBLEMA INVERSO EN GEOFSICA
MEDIOAMBIENTAL. APLICACIN AL CASO DE LOS SONDEOS ELCTRICOS
VERTICALES
http://petrus.upc.es/wwwdib/tesis/mgasulla/Cap5.pdf
http://www.inin.gob.mx/documentos/publicaciones/contridelinin/Cap%C3%ADtul
o%2033.pdf
