TEMA: PROBLEMA ENTERO CERO-UNO

PROFESORA : Mg. JUANA SANDIVAR ROSAS

INTEGRANTES : APONTE CUCHO ANDRES PAEZ MAURICIO FLIDER

INVESTIGACIÓN OPERATIVA

UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS

DEPARTAMENTO ACADEMICO DE ANÁLISIS Y DISEÑO DE PROCESOS

FACULTAD DE QUÍMICA E INGENIERÍA QUÍMICA

INTRODUCCIÓN

En este trabajo presentaremos una aplicación a un problema en el cual utilizaremos todos los conceptos aprendidos en esta primera parte del curso y son los siguientes:

Planteamiento del problema

Solución del problema mediante diferentes métodos (met. Penalización)

Modelos primal-dual

Análisis de sensibilidad

Con esta aplicación nos damos cuenta la variedad de usos que tiene la investigación operativa en las actividades que realizamos en nuestra vida cotidiana.

2.Problema :

Una lata de 16 onzas de alimentos para perro debe contener cuando menos las siguiente cantidades de proteínas, carbohidratos y grasas: proteínas , 3 onzas, carbohidratos, 5 onzas, grasas, 4 onzas; es necesario mezclar distintas proporciones de 4 tipos de alimentos a fin de producir una lata de comida para perro, con el mínimo costo que satisfaga este requerimiento.

La tabla 3.8 muestra el contenido y precio de 16 onzas de cada una de las diferentes mezclas de alimentos

Alimento

contenido y precio por cada 16 onzas de alimentosProteínas (onza)

Carbohidratos (onzas)

Grasas (onzas)

Precio($)

1 3 7 5 42 5 4 6 63 2 2 6 34 3 8 2 2

Planteamiento del problema

Definición de variable:

X1 : cantidad de lata de 16 onzas del alimento 1

X2: cantidad de lata de 16 onzas del alimento 2

X3: cantidad de lata de 16 onzas del alimento 3

X4: cantidad de lata de 16 onzas del alimento 4

𝑀𝑖𝑛 𝑍=4ቀ $𝑐𝑎𝑛𝑡 .𝑎𝑙𝑖𝑚1ቁ𝑋1ሺ𝑐𝑎𝑛𝑡.𝑎𝑙𝑖𝑚1ሻ+ 6ቀ $𝑐𝑎𝑛𝑡 .𝑎𝑙𝑖𝑚2ቁ𝑋2ሺ𝑐𝑎𝑛𝑡.𝑎𝑙𝑖𝑚2ሻ+ 3ቀ $𝑐𝑎𝑛𝑡 .𝑎𝑙𝑖𝑚3ቁ𝑋3ሺ𝑐𝑎𝑛𝑡.𝑎𝑙𝑖𝑚3ሻ +2ቆ $𝑐𝑎𝑛𝑡.𝑎𝑙𝑖𝑚4ቇ𝑋4ሺ𝑐𝑎𝑛𝑡.𝑎𝑙𝑖𝑚4ሻ

s.a: Cantidad mínima en onzas de proteínas 3ቀ 𝑜𝑛𝑧𝑎𝑠𝑐𝑎𝑛𝑡 𝑑𝑒 𝑎𝑙𝑖𝑚1ቁ𝑋1ሺ𝑐𝑎𝑛𝑡 𝑑𝑒 𝑎𝑙𝑖𝑚1ሻ+ 5ቀ 𝑜𝑛𝑧𝑎𝑠𝑐𝑎𝑛𝑡 𝑑𝑒 𝑎𝑙𝑖𝑚2ቁ𝑋2ሺ𝑐𝑎𝑛𝑡 𝑑𝑒 𝑎𝑙𝑖𝑚2ሻ+2ቀ 𝑜𝑛𝑧𝑎𝑠𝑐𝑎𝑛𝑡 𝑑𝑒 𝑎𝑙𝑖𝑚3ቁ𝑋3ሺ𝑐𝑎𝑛𝑡 𝑑𝑒 𝑎𝑙𝑖𝑚3ሻ+ 8ቀ 𝑜𝑛𝑧𝑎𝑠𝑐𝑎𝑛𝑡 𝑑𝑒 𝑎𝑙𝑖𝑚4ቁ𝑌4ሺ𝑐𝑎𝑛𝑡 𝑑𝑒 𝑎𝑙𝑖𝑚4ሻ≥ 3ሺ𝑜𝑛𝑧𝑎𝑠ሻ

Cantidad mínima en onzas de carbohidrato.

7ቀ 𝑜𝑛𝑧𝑎𝑠𝑐𝑎𝑛𝑡 𝑑𝑒 𝑎𝑙𝑖𝑚1ቁ𝑋1ሺ𝑐𝑎𝑛𝑡 𝑑𝑒 𝑎𝑙𝑖𝑚1ሻ+ 4ቀ 𝑜𝑛𝑧𝑎𝑠𝑐𝑎𝑛𝑡 𝑑𝑒 𝑎𝑙𝑖𝑚2ቁ𝑋2ሺ𝑐𝑎𝑛𝑡 𝑑𝑒 𝑎𝑙𝑖𝑚2ሻ+2ቀ 𝑜𝑛𝑧𝑎𝑠𝑐𝑎𝑛𝑡 𝑑𝑒 𝑎𝑙𝑖𝑚3ቁ𝑋3ሺ𝑐𝑎𝑛𝑡 𝑑𝑒 𝑎𝑙𝑖𝑚3ሻ+ 8ቀ 𝑜𝑛𝑧𝑎𝑠𝑐𝑎𝑛𝑡 𝑑𝑒 𝑎𝑙𝑖𝑚4ቁ𝑋4ሺ𝑐𝑎𝑛𝑡 𝑑𝑒 𝑎𝑙𝑖𝑚4ሻ≥ 5ሺ𝑜𝑛𝑧𝑎𝑠ሻ Cantidad mínima de onzas de grasa.

5ቀ 𝑜𝑛𝑧𝑎𝑠𝑐𝑎𝑛𝑡 𝑑𝑒 𝑎𝑙𝑖𝑚1ቁ𝑋1ሺ𝑐𝑎𝑛𝑡 𝑑𝑒 𝑎𝑙𝑖𝑚1ሻ+ 6ቀ 𝑜𝑛𝑧𝑎𝑠𝑐𝑎𝑛𝑡 𝑑𝑒 𝑎𝑙𝑖𝑚2ቁ𝑋2ሺ𝑐𝑎𝑛𝑡 𝑑𝑒 𝑎𝑙𝑖𝑚2ሻ+ 6ቀ 𝑜𝑛𝑧𝑎𝑠𝑐𝑎𝑛𝑡 𝑑𝑒 𝑎𝑙𝑖𝑚3ቁ𝑋3ሺ𝑐𝑎𝑛𝑡 𝑑𝑒 𝑎𝑙𝑖𝑚3ሻ+ 2ቀ 𝑜𝑛𝑧𝑎𝑠𝑐𝑎𝑛𝑡 𝑑𝑒 𝑎𝑙𝑖𝑚4ቁ𝑋4ሺ𝑐𝑎𝑛𝑡 𝑑𝑒 𝑎𝑙𝑖𝑚4ሻ≥ 4ሺ𝑜𝑛𝑧𝑎𝑠ሻ

1ቀ 𝑓. 𝑜𝑛𝑧𝑎𝑠𝑐𝑎𝑛𝑡 𝑑𝑒 𝑎𝑙𝑖𝑚1ቁ𝑋1ሺ𝑐𝑎𝑛𝑡 𝑑𝑒 𝑎𝑙𝑖𝑚1ሻ+ 1ቀ 𝑓.𝑜𝑛𝑧𝑎𝑠𝑐𝑎𝑛𝑡 𝑑𝑒 𝑎𝑙𝑖𝑚2ቁ𝑋2ሺ𝑐𝑎𝑛𝑡 𝑑𝑒 𝑎𝑙𝑖𝑚2ሻ+1ቀ 𝑓. 𝑜𝑛𝑧𝑎𝑠𝑐𝑎𝑛𝑡 𝑑𝑒 𝑎𝑙𝑖𝑚3ቁ𝑋3ሺ𝑐𝑎𝑛𝑡 𝑑𝑒 𝑎𝑙𝑖𝑚3ሻ+ 1ቀ 𝑓. 𝑜𝑛𝑧𝑎𝑠𝑐𝑎𝑛𝑡 𝑑𝑒 𝑎𝑙𝑖𝑚4ቁ𝑋4ሺ𝑐𝑎𝑛𝑡 𝑑𝑒 𝑎𝑙𝑖𝑚4ሻ≥ 1ሺ𝑜𝑛𝑧𝑎𝑠ሻ

𝑋1,𝑋2,𝑋3,𝑋4 ≥ 0

Método de penalización

F.o. MinZ =

S.a.

Forma estandarizada

F.o.MinZ =

S.a.

X1,X2,X3,X4,X5,X6,X7,A1,A2,A3,A4 0

Tablero final

Solución optima: Costos reducidos X4= 0,5 latas de 16 onzas del alimento 4 X1= 1,25 u.m./u.p. X5= 2 latas de 16 onzas del alimento 5 X2= 3 u.m./u.p. X3= 0,5 latas de 16 onzas del alimento 3 X3= 0 u.m./u.p. X6= 0 latas de 16 onzas del alimento 6 X4= 0 u.m./u.pZ optimo= $2,5 X5= 0 u.m./u.p. X6= 0 u.m./u.p. X7= 0,25u.m./u.p

3.-TEORIA DE DUALIDAD EN PROGRAMACION LINEAL

3.1.-CONSTRUCCION DEL DUAL :

 

A) FORMA PRIMAL:

f.o:

s.a:

B) FORMA DUAL.-

f.o:

s.a:

3.2.-PLANTEAMIENTO DE SU FORMA DUAL:

 

DEFINICION DE VARIABLES:

 

Y1: cantidad de $ por 1 onza del recurso 1.

Y2: cantidad de $ por 1 onza del recurso 2.

Y3: cantidad de $ por 1 onza del recurso 3.

Y4: cantidad de $ por 1 onza del recurso 4.

Y5: cantidad de $ por 1 onza del recurso 5.

f.o:

s.a:

TABLERO DE LA FORMA DUAL

bi 3 5 4 1 -1 0 0 0 0

bB YB Y1 Y2 Y3 Y4 Y5 S1 S2 S3 S4 Cj ɵj

0 S1 3 7 5 1 -1 1 0 0 0 4 0.571

0 S2 5 4 6 1 -1 0 1 0 0 6 1.5

0 S3 2 2 6 1 -1 0 0 1 0 3 1.5

0 S4 8 8 2 1 -1 0 0 0 1 2 0.25

W -3 -5 -4 -1 1 0 0 0 0 0

0 S1 -4 0 13/4 1/8 -1/8 1 0 0 0 9/4 0.692

0 S2 1 0 5 1/2 -1/2 0 1 0 0 5 1

0 S3 0 0 11/2 3/4 -3/4 0 0 1 0 5/2 0.454

5 Y2 1 1 1/4 1/8 -1/8 0 0 0 1/8 1/4 1

W 2 0 -1/4 -3/8 -13/8 0 0 0 5/8 1.25

0 S1 -4 0 0 -7/22 7/22 1 0 -13/22 0 17/22

0 S2 1 0 0 -2/11 2/11 0 1 -10/11 0 30/11

4 Y3 0 0 1 3/22 -3/22 0 0 2/11 0 5/11

5 Y2 1 1 0 1/11 -1/11 0 0 -1/22 1/8 3/22

W 2 0 0 0 0 0 0 3/11 0 2.5

SOLUCION OPTIMA :

S1=0.773 onzas del recurso 1 no utilizados.

S2=2.727 onzas del recurso 2 no utilizados.

Y3=0.455 $/ 1 onza del recurso3.

Y2=0.136 $/ 1 onza del recurso 2.

Valor optimo Woptimo = 2.5dolares.

B-1=

ANALISIS DE SENSIBILIDAD: TABLERO OPTIMO

Cj 4 6 3 2 0 0 0 M M M M

CB XB X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 A1 A2 A3 A4 bi

2 X4 1/4 0 0 1 0 0 1/4 0 0 -1/4 3/2 1/2

0 X5 1/2 -3 0 0 1 0 3/2 -1 0 -3/2 -11 2

3 X3 3/4 1 1 0 0 0 -1/4 0 0 1/4 -1/2 1/2

0 X6 -7/2 -2 0 0 0 1 3/2 0 -1 -3/2 11 0

Z -5/4 -3 0 0 0 0 -1/4 0 -M 1/4-M

3/2-M

2.5

Cambio del costo de X1 de la F.O de 4 a 6: Frente al cambio se va analizar los cambios que se da:

Costo reducido X1:

Costo reducido X2:

Costo reducido X3:

Costo reducido X4:

Costo reducido X5:

Costo reducido X6:

Costo reducido X7:

Se observa que frente al cambio los resultados son negativos lo que indica que no se ve afectado por lo tanto la solución optima no se ve afectado.

DETERMINACION DEL RANGO:

Determinacion del rango de la variable X1

Costo actual : 4

Variacion : 4 + Δ1

Calculando los nuevos costos reducidos:

Costo reducido X1:

Costo reducido X2:

Costo reducido X3:

Costo reducido X4:

Costo reducido X5:

Costo reducido X6:

Costo reducido X7:

RANGOS DE SENSIBILIDAD:

VARIABLE X2:

VARIABLE X3:

VARIABLE X4:

VARIABLE X5:

VARIABLE X6:

VARIABLE X7:

PREGUNTAS:

1.- SI SE CAMBIA EL COEFICIENTE EN LA FUNCIÓN OBJETIVO DE UNA VARIABLE NO BÁSICA ASÍ COMO X1.

Debido a que solo se cambia el coeficiente de una variable no básica la región factible del problema se ve inalterada.

Puede ocurrir que la solución óptima deje de ser optima si C1 decrece y pase los límites de hallado en los rangos determinado, para que la región factible no se altere no debe disminuir menor a 11/4 en todo caso efectuar nuevas interacciones adicionales para obtener la nueva solución óptima.

2.-CAMBIO DEL COEFICIENTE DE bi DEL TABLERO OPTIMO ASI COMO DE b1.

La variación del coeficiente del lado derecho de una restricción modifica la región factible del problema, por lo tanto puede afectar la optimalidad de la solución óptima.

Si el cambio se da en la variable de exceso así como X5 y X6 la solución óptima no se ve afectada debido tiene un valor nulo en la base.

Si el cambio se da en la variables X4 Y X3 la solución óptima se ve afectada.

Ejemplo: Si b1 cambia de 0.5 a 2

GRACIAS