problemario dinamica

INSTITUTO POLITECNICO NACIONALESCUELA SUPERIOR DE INGENIERIA MECANICA Y ELECTRICA

UNIDAD AZCAPOTZALCO

DINAMICA DE MAQUINARIA

INGENIERO:

CARLOS MIRANDA HERNANDEZ

PROBLEMARIO

EQUIPO:

5

INTEGRANTES:

BARRIOS MENDEZ OLIVER JESUS

MARTINEZ NAVARRETE RODRIGO

QUESADA MORENO PABLO


UNIDAD AZCAPOTZALCO

1.- Determinar las frecuencias naturales del sistema que se muestra en la figura.

k ¿1

k ¿2

k ¿3

W n=√ k ¿

m ; k ¿4=k¿2+k¿3

k ¿1=k1+k2; k ¿5= 1

1k¿4

+1k¿2

k ¿2=1

1k¿3

+1

k ¿4

; W n=√ k¿5

m 1

M1

M2


UNIDAD AZCAPOTZALCO

k ¿3=k 5+k6+k7; ; W n=√ k¿5

m 2

2.-Determine las frecuencias naturales y los modos de vibración del sistema torsional que se muestra en la figura

G=8x105 kg

cm2

Datos:

G=8x105 kg

cm2

l1=0.3618m

l2=0.1624m

D1=0.01575m

D2=0.01905m

mequi1=5 slugs=72.68kg

mequi2=3 slugs=43.68kg

Solución:

1 slug = lb∈ ¿s2

¿ = 11.56 kg

k ¿=π G32.2

D= π (8 x105

kg

cm2)

32.2 (0.3618)(0.0254 ) = 65.84 x106

k ¿1= π (8 x10

5 kg

cm2 )32.2 (0.1621 )

(0.01905 )=98.17 x106


UNIDAD AZCAPOTZALCO

wn1=√ k¿

mequi 1=¿√ 65.84 x106

72.8kg=948.10Hz

wn2=√ k¿

mequi2=¿√ 98.17 x106

43.68kg=1499.16Hz

3.-Dos cilindros circulares idénticos están unidos como se muestra en la figura, determine las frecuencias naturales del sistema.

JG=12

mr2

JO=JG+mr2

meq=JO

r2=

12

mr2+mr2

r2=3m2

=meq 1=meq2

Ecuaciones de movimiento

meq1 x1+k¿

meq2 x2−k ¿

Ecuaciones de frecuencia


UNIDAD AZCAPOTZALCO

|−meq 1ω2+k −k

−k −meq2ω2+k|=0

meq1meq2ω4−ω2 [meq1 k+meq 2k ]=0

ωn1=0

ωn2=√meq1 k+meq 2kmeq1meq2

=√ 3m2

k+ 3m2

k

( 3m2 )

2 =√ 3mk9m2

4

=√ 4 k3m

4.-La masa m de la figura está suspendida dentro de un marco rígido por medio de cuatro resortes. Determine las frecuencias naturales de vibración.

Como k1 y k2 se encuentran en paralelo al igual que k3 y k4 se obtiene:


UNIDAD AZCAPOTZALCO

k eq1=k 1+k2

k eq2=k 3+k4

ωn1=√ k eq1

m

ωn2=√ k eq2

m

5.- Un malacate teniendo un peso de w1esta montado en el extremo de una viga en cantiléver de espesor “t”, ancho “a” y largo “b”. El cable esta hecho de acero y tiene un diámetro “d” y una longitud “l”. Si la carga suspendida en el extremo del cable es de w2 , derivar la expresión para las frecuencias naturales del sistema.

Viga Cable

P= k x; P= k x;

xvoladizo= PL3

3EI x=

PlAE

; K e= AEl


UNIDAD AZCAPOTZALCO

Por lo tanto:

donde: A= π d2

4

P= k PL3

3EI

K e=π d2 E4 l

KV= 3PEI

P L3= 3EI

L3

q¿= 1KV

+ 1K e

I= 112 b h3

En nuestro caso

q¿= 1

Ea t3

4 b3 +

1

π d2E4 l

a= ancho

b= largo

wn1= √ q¿

w1

; wn2= √ q¿

w2

t= espesor

Por lo tanto:

I= 112 a t 3 ; K=

3EI

b3 ; KV=

Ea t 3

4 b3

6.-Un edificio de dos pisos se modela como se muestra en la figura se supone que las losas son rígidas y las columnas tienen una rigidez a la


UNIDAD AZCAPOTZALCO

flexión E I 1, E I2 y se desprecia el peso. La rigidez de

casa columna puede determinarse por la relación 24 E I2

h43 = 1,2.

Para m1=2m ,m2=m ,h1=h2=h , E I 1=E I2=EI ; determinar las frecuencias naturales y los modos de vibración del marco.

m1

m2

F2

F1

h2

h1EI 1

EI 2EI 2

EI 1

X1

X2


UNIDAD AZCAPOTZALCO

Sistema equivalente de la figura:

k i=2( 24 E I 2h43 ); i=1,2

k 1=k2=k=48 EI

hi3

;m1=2m,m2=m

Ecuaciones de movimiento

m1 x1+(k 1+k2 )x1−k2 x2=0

m2 x2−k2 x1−k2 x2=0

X1(t ) X2(t )

k 1Z1 k 1(X2−X1)


UNIDAD AZCAPOTZALCO

Para movimiento armonico

x i ( t )=x i cos (wt+∅ ) ; i=1,2 tenemos

|(−w2m1+k1+k 2) −k 2−k 2 (−w2m1+k1+k2)|{x1x2={00 ……. (E1)

Ecuaciones de frecuencia

|(−w2m1+k1+k 2) −k 2−k 2 (−w2m1+k1+k2)|=0

Ó

w4m1m2−w2 (m2k1+m2 k2+m1 k2 )+k1 k2=0

w2=(m2k1+m2 k2+m1 k2)±√¿¿¿

Para los datos tenidos

w2=(mk+mk+2mk )±√¿¿¿

w1=0.5412√ km

=3.7495√ EImh3

; w1=1.3066√ km

=9.0524 √ EImh3

;

De ecuacion (E1), tenemos

r1=x2(1)

x1(1)

=−w1

2m1+k1+k 2k2

=−2mw1

2+2kk

=−2 (0.2429k )+2k

k=1.4142

r2=x2(2)

x1(2)

=−w2

2m1+k1+k 2k2

=−2mw2

2+2kk

=−2 (1.7071k )+2k

k=1.4142

1

1.4142

Primer modo

(Sin nodo)

-1.4142

1

Segundo modo

(Un nodo)

Nodo


UNIDAD AZCAPOTZALCO

Modos

x(1 )={ 1.01.4142=x1

(1)

Z=0.5338

x(2 )={ 1.0−1.4142

=x1(2)

Ecuacion del modo

Z1.4142

=1−Z1

; Z=0.5838


UNIDAD AZCAPOTZALCO

7.- Suponiendo que las vigas en voladizo no tienen peso determine las frecuencias naturales del sistema que se muestra en la figura.

k e1=1k 1

k e2=k2+k3

Fn=√ k T

mT

=√ 1k 1+k2+k3

2m

Pero como k e1 y k e2 están en serie

Fn=√ 11k 1

+k2+k3

2m


UNIDAD AZCAPOTZALCO

8- suponiendo que la varilla de conexión no tiene peso, determine las frecuencias de oscilación del sistema que se muestra en la figura.

m1 y1= −K3 y3+K1 y1……………………….. (1)

m2 y2= K2 y2−K4 y4……………………….. (2)

Despejando:

0= m1 y1 + K3 y3−K1 y1…………………… (1 a)

0=m2 y2 - K2 y2+K 4 y4…………………….. (2 a)

y2 , y1=a1 sen wt

0= m1−ay + K3 y3−K1 y1 …………………… (1 b)

0= m2ay - K2 y2+K 4 y4 …………………… (2 b)


UNIDAD AZCAPOTZALCO

y3 , y4=−a1 senwt

0= m1(−a y) + K3 (−a senwt )+K1(asen wt )……………… (1 c)

0= m2(a y) + K2 (asen wt )+K 4 (−asen wt )…………………. (2 c)

f m1=12

π (K 1+K 3

m1

)0.5

…………………………… (1 d) f m2=12

π (K 2+K4

m2

)0.5

…………………………… (2 d)

9.- Para el sistema que se muestra en la figura si se usan las coordenadas x en m y θ. ¿Qué tipo de acoplamiento tiene?

Se necesitan dos coordenadas independientes x (t) y θ (t) para determinar la configuración del sistema. Usando ∑ F=mase tiene para 2m:

2m x= k 1¿

J θ2 = k 1 (X 2−2l θ2 ¿2l−k2 ( X2+2l θ2 ¿l

2m X2+k1 ( X2−2 lθ2 ¿+k 2 ( X2+l θ❑¿=0

2m X2+k1 X2−k12 lθ2+k 2X 2+k2l θ2=0

2m X2+(k1+k2 ) X2−(2 l k1−k 2l) θ2=0

J θ2+¿ k 2l2) θ2− (k12l−k2l ) X 2=0

Para m:

m X1=k 1¿ −k 2 (X 1+2 l¿θ1

Línea de Referencia

x1x2


UNIDAD AZCAPOTZALCO

J θ1 = k 1(X1 - l θ1)l−k2 ( X1+2 l θ1¿2 l

m X1+(k1+k 2 ) X1−(k 1l−k 22 l )θ1=0

J θ1+ (k 1l2+k24 l2 ¿θ1−(k 1l−k22 l ) X1=0

De las anteriores ecuaciones, serán independientes una de la otra si el termino de acoplamiento 2m=(k 1l2−k 2l ) y para m=(k1l−k22l ) son iguales a cero, es decir si k 12 l=¿ k 2l y k 1l ¿k22 l . Si esto no sucede el movimiento resultante de la masa, constara de dos movimientos, uno de rotación y otro de traslación. Por lo anterior podemos definir que tenemos un acoplamiento estático o elástico.

10.- Un bloque rígido de masa m y momento torsional de inercia I esta soportado por ocho resortes cuatro verticales y cuatro horizontales. Determine las frecuencias naturales acopladas y las fracciones modales para la traslación en la dirección X y la rotación en el plano Z.

En la ecuación horizontal

∑ fX=m x

−4k (x+ a2

θ)=m x

La ecuación –θ

∑MG=IG θ

−4(x+ a2

θ) a2−[w2 +2k ( a

2θ)] a2+[ w2 −2k ( a2 θ)] a2=I θ

Existen dos ecuaciones de movimiento descrito por las coordenadas X y θ estas son ecuaciones de movimiento acopladas ya que θ y X aparecen en cada ecuación para movimiento armónico x=X sin wt y θ=Θsin wt

Sustituyendo


UNIDAD AZCAPOTZALCO

[−mw2+4 k +2ka+2ka (−I w2+2ka2)]

Haciendo el

determinante igual a cero la ecuación de frecuencia es:

(−mw2+4k ) (−I w2+2ka2 )−4k2a2=0

w4−w2( 4 km

+2kI

a2)+ 4k2a2

ℑ =0

Los valores característicos son:

w12=2k

m+ k2

I−√ 4k 2

m2+ k2a2

I 2

w22=2k

m+ k2

I−√ 4k 2

m2+ k2a2

I 2

11. Para el sistema mostrado:


UNIDAD AZCAPOTZALCO

Determinar: meq

Considerando que xeq= x1

Las velocidades de las masas m2 ( x2 ) y m3 ( x3 ) puede ser expresado en términos de velocidad de la masa m1 ( x1 ) , asumiendo el desplazamiento angular de la barra.

x2=( l2l1 ) x1 , x3=( l3l1 ) x1 …………. (ec. 1)

xeq= x1 ……………(ec. 2)

Por la ecuación de energía cinética de un sistema de 3 masas de un sistema de masas equivalentes obtenemos:

12

m1 x12+12

m2 x22+ 12

m3 x32=12

meq xeq2

Esta ecuación da por resultado considerando las ecuaciones 1 y 2

meq=m1+( l2l1 )2

m2+( l3l1 )2

m3


UNIDAD AZCAPOTZALCO

Documents

problemario dinamica