23
Dominio de (0,2) µ (2, ∞) a) f ( x )=e 0.5 x +1 Su dominio esta de (-∞, ∞) b) f ( x )=4 sen( xπ)

Problemario III

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Calculo

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Page 1: Problemario III

Dominio de (0,2) µ (2, ∞)

a) f ( x )=e0.5 x+1

Su dominio esta de (-∞, ∞)

b) f ( x )=4 sen(x−π )

Page 2: Problemario III

Por lo tanto el dominio va de (-∞, ∞)

c) f ( x )=5 tan 2x

d) f ( x )=2x−1

Page 3: Problemario III

Como la función es un polinomio por lo tanto Dominio= (-∞, ∞)

e) f ( x )=√ x−1x+1

Como x−1x+1

≥0 por lo tanto el Dominio (0, ∞)

9.-Funciones par e impar

Determina si la función es par impar o ninguna de las dos.

a) f ( x )=7 x5+4 x3

x Y-5 -21375-4 -6912-3 -1593-2 -192-1 -30 01 32 1923 15934 69125 21375

Page 4: Problemario III

Como f(x)=-f(-x) por lo tanto la función es impar

b) f ( x )=8x3−3x2

Ninguna de las dos

c) f (x)=√x4+4

Como f(x)=f(-x) por lo tanto la función es par

d) f ( x )=12

x Y-5 -1075-4 -560-3 -243-2 -76-1 -110 01 52 523 1894 4645 925

X y-5 5.38516480

7-4 4.47213595

5-3 3.60555127

5-2 2.82842712

5-1 2.23606797

70 21 2.23606797

72 2.82842712

53 3.60555127

54 4.47213595

55 5.38516480

7

Page 5: Problemario III

Ninguna de las 2

e) f ( x )= x

x2−1

Como f(x)=-f(-x) por lo tanto la función es impar

f) f ( x )= x2+1x2−1

X y-5 12-4 12-3 12-2 12-1 120 121 122 123 124 125 12

x y-5 -0.208333333-4 -0.266666667-3 -0.375-2 -0.666666667-1 -0 01 -2 0.6666666673 0.3754 0.2666666675 0.208333333

x y-5 1.08333333

3-4 1.13333333

3-3 1.25-2 1.66666666

7-1 -0 -11 -2 1.66666666

73 1.254 1.13333333

35 1.08333333

3

Page 6: Problemario III

Como f(x)=f(-x) por lo tanto la función es par

g) f ( x )=5 x2−5 x+1

Ninguna de las dos

h) f ( x )=e−x+ex

Como f(x)=f(-x) por lo tanto la función es par

i) f ( x )=sen2 x+cos2 x

X y-5 151-4 101-3 61-2 31-1 110 11 12 113 314 615 101

X y-5 148.419897-4 54.6164656

7-3 20.1353239

9-2 7.52439138

2-1 3.086161270 21 3.086161272 7.52439138

23 20.1353239

94 54.6164656

75 148.419897

Page 7: Problemario III

Ninguna de las 2

j) f ( x )=ln (x2+1)

Como f(x)=f(-x) por lo tanto la función es par

X y-5 1-4 1-3 1-2 1-1 10 11 12 13 14 15 1

-5 3.258096538

-4 2.833213344

-3 2.302585093

-2 1.609437912

-1 0.693147181

0 01 0.69314718

12 1.60943791

23 2.30258509

34 2.83321334

45 3.25809653

8

Page 8: Problemario III

10.- operaciones básicas de funciones.

Realiza (f+g ),( f*g) ,( f/g) si:

f ( x )=√xg ( x )=x2−4( f +g )√x+x2−4D=( 0 ,+∞)( f∗g )√x∗x2−4=√x ( x2−4 )2

D=(−∞ ,+∞)

( fg

)

√xx2−4D=R→(2 ,−2)

Determina (fxg).

f ( x )=2

x2−4g( x )=√x2−10 x+21f∗g2x2−4

∗√x2−10x+21=√4 x2−40 x+84x2−4

D=R→(2 ,−2 )

Determina (f+g)(2), (g/f)(3), (f*g)(0) si:

Page 9: Problemario III

f ( x )=xx−1

g ( x )=√1+x2

( f +g )(2 )

( xx−1

+√1+x2 )(2 )=√4 x2+4 x 4

x−1D=R→(1 )

(gf

)(3)=√1+x2

xx−1

(3)=3√(1+x2 )( x−1)x

D=R→( 0)

Page 10: Problemario III

11. COMPOSICION DE FUNCIONES. Obtén la composición indicada.

a.) **𝑔∘𝑓 si (𝑥)=√𝑥,(𝑥)=𝑥2−3𝑥+2

𝑓∘𝑔¿√ x2−3 x+2𝑓∘𝑔¿ x−√3 x+2

b.) 𝑓∘𝑔 si (𝑥)=√5𝑥+9,(𝑥)=3𝑥−7 𝑓∘𝑔¿√5 (3x−7 )+9𝑓∘𝑔¿√15x−26

c) 𝑓∘𝑔 si (𝑥)=√𝑥2−1,(𝑥)=2𝑥 𝑓∘𝑔¿√ (2x )2−1𝑓∘𝑔¿4 x−√1

d) 𝑓∘𝑔∘ℎ si (𝑥)=𝑥2+6,(𝑥)=2𝑥+1,ℎ(𝑥)=3𝑥−2

𝑓∘𝑔∘ℎ ¿ (2 [ 3x−2 ]+1 )2+6

𝑓∘𝑔∘ℎ ¿36 x2−36 · x+9+6𝑓∘𝑔∘ℎ ¿36 x2−36 x+15

e) 𝑓∘𝑔 y 𝑔∘𝑓 si (𝑥)=√𝑥−4,(𝑥)=|𝑥−1|𝑓∘𝑔¿√|x−1|−4𝑔∘𝑓=¿√ x−4−1∨¿

f) (𝑓∘𝑔)(1),(𝑔∘𝑓)(1),(𝑔∘𝑔)(1) si 𝑓(𝑥)=x2+𝑥,𝑔(𝑥)=2𝑥+3

(𝑓∘𝑔)(1)=(2 x+3 )2+x(𝑓∘𝑔)(1)¿4 x2+13 x+9(𝑓∘𝑔)(1)= 26

g) 𝑓∘(2𝑓),𝑓∘( 1f )si 𝑓(𝑥)=

1x−1

𝑓∘(2𝑓)=2( 1x−1 )

𝑓∘(2𝑓)=2x−1

𝑓∘(1/f) =11x−1

Page 11: Problemario III

𝑓∘(1/f)= x-1

12.-funcion inversa. Encuentre la inversa de las siguientes funciones.

a)

y=4 x+3 ,F : ℜ→ℜ−4 x=− y+3(−1)(−4 x )=(−1 )(− y+3)4 x= y−3

x= y−34

y=x−34

f−1( x )=x−34

b)

y=3 x+2x−4

,F : ℜ−( 4 )→ℜ−(3 )

y ( x−4 )=3x+2xy−4 y=3 x+2xy−3 x=4 y+2( y−3 )x=4 y+2

x=4 y+2y−3

y=4 x+2x−3

f −1 ( x )=4 x+2x−3

c)

Page 12: Problemario III

y=x2−4 x+5 ,F :[ 2 ,∞)→[ 1 ,∞)x2−4 x+5= yx2−4 x+2=( y−5)+2( x−2 )2=( y−5 )+2

√( x−2)2=√ y−3x=√ y−3+2f −1=√ x−3+2

d)

f ( x )=6x−2

y=6x−2

yx−2 y=6y ( x−2 )=6x−2=6 yx=6 y+2y=6x+2f−1( x )=6 x+2

e)

Page 13: Problemario III

f ( x )=3 x−2x+4

y=3 x−2x+4

y ( x+4 )=3x−2y ( x+4 )−2=3 xxy+4 y−2=3x4 y−2=3x−xy4 y−2= x(3− y )

x=4 y−23− y

y=4 x−23−x

f−1( x )=4 x−23−x

f)

f ( x )=18 x−x2

y=18 x−x2

y+81=81+18x−x2

y+81=( x−9 )2

√ y+81=√(x−9)2

√ y+81=x−9x=√ y+81−9f−1( x )=√ y+81−9

g)

Page 14: Problemario III

f ( x )=1+1x

y=1+1x

y−1=1x

( y−1 )x=1

x=1y−1

y=1x−1

f −1 ( x )=1x−1

h)

f ( x )=4 x2+1y=4 x2+1y−1=4 x2

y−14

=x2

x=√ y−14

f−1( x )=√ y−14

i)

f ( x )=√4−x2

y=√4−x2

y2=4−x2

y2+x2=4x2=4− y2

x=√4− y2

f−1( x )=√4− y2

Page 15: Problemario III

13. MODELO MATEMÁTICOS

a) Se hace circular agua salada de concentración igual a 0.1 libras de sal por galón, a un tanque que contiene 50 galones de agua inicialmente, si el agua entra a un

gasto de 5

galonesminutos muestra que el volumen de agua V y la cantidad de sal A en el

tanque después de t minutos son: V ( t )=50+5t y A( t )=0 .5 t respectivamente.

b) El costo C de limpiar x% de un derrame de petróleo en una costa aumenta

considerablemente conforme x se aproxima a 100, supón que:C ( x )=20 x

101−xDonde C está en miles de dólares, traza la gráfica de C en x ϵ (0,100). ¿qué concluyes?

Page 16: Problemario III

Conclusión: efectivamente cuando x se acerca a los 100 los costos se alza exponencialmente.

c) Se va fabricar una caja de sin tapa a partir de un pedazo de cartón de 20 por 30 centímetros, cortando cuadrados idénticos de área x2 en cada esquina y doblado hacia arriba los lados, demuestra que el volumen de la caja está dada por la función: V ( x )=x(20−2 x )(30−2 x )

d) Un meteorólogo en encuentra que la temperatura T en ºF para cierto periodo de 24 horas en invierno, está

Page 17: Problemario III

dado por: T= 1

20t (t−12 ) ( t−24 )

Para 0≤t≤24 donde t es el tiempo en horas y

t=0 corresponde a las 6:00 a. m. ¿Qué hora la temperatura será de 32ºF? la temperatura llegara a 32 ºF a las 10:00 am y 12:15 pm.

e) La cantidad de bacterias en cierto cultivo aumenta de 600 a 1800 en dos horas, suponiendo un crecimiento exponencial, la cantidad de bacterias f (t) está dada

por: f ( t )=600(3 )t2

Calcula la cantidad de bacterias en el cultivo a las 8:00, 10:00 y 11:00 horas, si su primera medición se hizo a las 7:00 horas, traza la gráfica.

8:00 am hay 1039.23 bacterias.10:00 hay 3112.69 bacterias.11.00 haya 5400 bacterias.

Page 18: Problemario III

f) El isotopo radiactivo del bismuto 210Bi tiene una vida media de cinco días. Si hay 100 mg de 210Bi presente en el tiempo t=0, la cantidad restante f(t) en t días está

dada por: f ( t )=100(2 )− t

5¿Cuánto queda de 210Bi después de 5, 10, 12.5 días?

En 5 días queda 50 mg, en 10, 25 mg y en 12.5 queda solamente 17.68 mg.Traza la gráfica.

g) Si se agregan 10 gramos de sal a una cantidad de agua, la cantidad q(t)insoluta luego de t minutos está dada por:

q ( t )=10( 45 )t

Traza la gráfica que muestre el valor q(t) en el intervalo de t = 0 hasta t = 10 min.

Page 19: Problemario III

h) En ciertas condiciones la presión atmosférica P en in, a una altitud de H pies está

dada por: P=29 e−0 .000034H

¿Cuál es la presión a una altitud de 40 mil pies? la presión es de 7.4 in.

i) Con la técnica del carbono 14, 14C, para calcular la edad de especímenes arqueológico y geológicos, se una la formula T=−81310 Lnx

Donde T mayúscula es la edad en años de un hueso fósil, x es el porcentaje expresado en decimales de 14C presentate todavía en el espécimen.i. calcula la edad de un hueso fósil que contiene 4% de 14C.

T=−81310 Ln(0 . 04 )T=261726 . 7933Por lo tanto la edad es de 261726.7933 años.

ii. calcula el porcentaje 14C presente en un fósil de 10 mil años de edad.

10000=−81310 Lnx⇒ e(10000−8310 )

=e( ln x )

∴0 . 3001810656 x100⇒30 .01%

Por lo tanto el porcentaje 30.01%.

Page 20: Problemario III

j) Una población de bacterias crese de acuerdo a la expresión: P=40000 ekt

Donde P es la población después de t horas. Y k es una constante.Si en 40 horas hay una población de 60000 bacterias ¿Cuándo habrá 80000 bacterias? R= Dentro de 68.38 horas.

Calcular la constante k:

60000=40000ek (40 )⇒6000040000

=ek (40 )⇒ ln(32 )=ln (ek (40 ))⇒ ln(32 )=k (40 )

ln (32 )40

=k⇒∴k=0 .0101366277

Calcular la hora que habrá 80000 bacterias:

80000=40000e(0 . 0101366277) t⇒8000040000

=e(0. 0101366277 )t⇒ ln (2 )=ln (e(0 .0101366277 )t )

⇒ ln (2 )=0 .0101366277 t⇒ln (2 )0. 0101366277

=t

t=68 . 38hrs

Limites de funciones trigonométricas.

l) limx→0

8 x−sin 2 x5 x+sin 7 x

=¿ limx→0

8x−sin 2xx

5x+sin 7 xx

=limx→0

8 xx

− sin 2xx

5 xx

+sin 7 xx

=limx→0

8− (2 ) sin 2xx

5+(7 ) sin7 xx

¿

¿85

limx→0

− (2 ) sin 2xx

+(7 ) sin 7 xx

=¿8−25+7

=12¿

∴ limx→0

8x−sin 2x5x+sin 7 x

=12

Leyes de los límites.

a)

Page 21: Problemario III