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Problemas Resueltos Electrotecnia Fouille

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Problemas Resueltos Electrotecnia

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  • ,

    FOUILLE

  • A. FOUILL Ingeniero por ellnstltut Electrotechnlque de Grenoble (francia). IJcenclado en Ciencias. Profesor de Electrotecnia de la Ecole Natlonale d 'Arts et Mtiers de Angers (!'rancla)

    PROBLEMAS RESUELTOS DE

    ELECTROTECNIA VERSIN ESPA~OLA DE LA CUARTA EDICIN ORIGINAL

    por

    CARLOS FERRER KUTTER Ingeniero Industrial del grupo de Empresas. !'uerzas Elctricas de Catalua, S. A.

    Energia Elctrica de Catalua. S. A. y Compaia General de Electricidad, S. A.

    TERCERA EDICIN

    JOS MONTESO BARCELONA Va Augusta, 251 y 253

    EDITOR

    19 6 7

    BUENOS AIRES ParanA, 480

  • Titulo de la edicin original,

    PROBLEMES D' ELECTROTECHNIQUE AL' USAGE DES INGBNlBURS

    Versin espaola autorizada por DUNOD, diteur. Parlo

    JOS MONTES - B .. rC'lona, J967

    Depsito Legal. B. 22009- 1967

    Impreso Y editado en Espaa

    EGS . ROSARIO, 2 . BARCELONA

    Caps.

    NDICE DE MATERIAS

    PRLQGO DE LA EDICIN FRANCESA . UNIDADES ELCTRICAi y MAGNTICAS .

    Pgs.

    7 9

    1. ELECTROSTTICA 13 13 24

    1. Campo elctrico 2. Capacidad. Condensadores

    ~ n. ELECTROCINTICA (Leyes de Faraday, Joule, Ohm y Kirchhoff) . 1. Corriente elctrica. Ley de Faraday . 2. Ley de Joule. Resistencia. Resistividad 3. Leyes de Ohm y de Kirchhoff

    45

    45 '*9 55'

    III. MAGNETISMO . 83

    IV. EFECTOS MAGNTICOS DE LAS CORRIENTES ELCTRICAS 95 1. Ausencia de toda substancia magntica . 95 2. Propiedades de las substancias magnticas 100 3. Teora del circuito magntico . 103

    V. ACCIN DE UN CAMPO MAGNTICO SOBRE\ UNA CORRIENTE ELCTRICA. 121 VI. INDUCCIN ELECTROMAGNTICA. AUTOINDUCCIN. INDUCCIN MUTUA. 133

    1. Induccin electromagntica 133 2. Autoinduccin 139 3. Induccin mutua. 143 4. Carga y descarga de un condensador 147

    ~ VII. PILAS y ACUMULADORES

    1. Pilas elctricas . 2. Acumuladores elctricos .

    161

    161 164

  • 6 NDICE DE MATERIAS ( 'III'H.

    V 111. CORRIENTES ALTERNAS SINUSOIDALES 1 X. CORRIENTES POLIFSICAS . X. INDUCTANCIAS. TRANSFORMADORES ESTTICOS.

    X 1. MQUINAS SINCRNICAS XII. MQUINAS ASINCRONAS

    XIII.. DNAMOS DE CORRIENTE CONTINUA XIV. MOTORES DE CORRIENTE CONTINUA. CONMUTATRICES. VL. INICAS

    XV. TRANSPORTE y DISTRIBUCIN DE LA ENERGA ELCTRICA

    SOLUCIN DE LOS PROBLEMAS .

    175 205 237 269 305 333 359 397 419

    PRLOGO DE LA EDICIN FRANCESA

    Ha tenido M. A. Fouill, profesor de la cole des Arts et M-tiers, de Angers, la feliz idea de reunir ' en este volumen una gran' va-riedad de problemas de Electrotecnia que, juntamente con el repaso de leyes fundamentales, numerosas frmulas y tablas, constituye una va-liossima coleccin.

    Por cierto que existen ya libros anlogos, adaptados al nivel de in-genieros o estudiantes de ingeniera, que responden a las exigencias de dichos sectores. Pero M. Fouill quiso llegar ms lejos y complacer tambin a infinidad de tcnicos quienes, no demasiado espedalizados en Electrotecnia,deben, sin embargo, afrontar problemas relativos a la produccin y principalmente a la utilizacin de la energa elctrica; en una palabra, facilitarles el poder resolver problemas habituales de ins-talaciones o aplicaciones elctricas, sin necesidad de requerir la ayuda de un especialista en la materia.

    Actualmente, las coles d'Arts et Mtiers (Escuelas Profesionales), forman tcnicos provistos ante todo de slidos conocimientos en me-cnica industrial, en tecnologa mecnica, y reputados tambin con jus-ticia por. su habilidad manual y grfica. Por ello el autor ha tenido en cuenta, en la eleccin ae los problemas, las caractersticas bsicas de la formacin de dichos tcnicos, preocupndose ante todo por las apli-caciones prcticas de las frmulas que constituyen las bases rle la Elec-trotecnia.

    Me ha honrado M. Fouill con su confianza al consultarme en nu-merosos captulos de la obra. Creo que tom esa actitud porque C01'/,oce mis convicciones con respecto al criterio que debe prevalecer en la formacin de tcnicos no especializados. Pues bien, debo testimoniar que mi impresin de esta obra es excelente. Soy de los que creen que siempre los ejemplos de aplicacin deben estar ligados a las exposicio-nes tericas, por ms ridas que stas sean, y considero absurda la mentalidad de algunos autores que creen rebajarse al dar ejemPlo de aplicaciones prcticas en apoyo de teoras que exponen con un des-pliegue de' frmulas, a veces exagerado.

  • 8 PRLOGO DE LA EDICIN FRANCESA A mi entender, es cien veces ms valioso un compendio de proble-

    mas bien escogidos, sin ninguna teora, que un libro con un frrago de disquisiciones tericas sin indicar una sola aplicacin.

    Considero tambin un deber aplaudir al autor por haberse sometido a la disciplina de los smbolos y notaciones propugnados por la Co-misin Electrotcnica Internacional (C.E.!.), en momentos en que tan-tos autores rehusan aceptar regla alguna; seguramente no advierten tales autores hasta qu punto invalidan los esfuerzos realizados durante veinticinco aos por dicho organismo internacional, esfuerzos tenden-tes a facilitar la comprensin de los textos por parte de tantos estudio-sos de la Electrotecnia, al evitar superposiciones de smbolos y nota-ciones. Lo primordial en un sistema de smbolos es, no que sea el ms perfecto, sino que todo el mundo lo utilice. En una ocasin ya habl ae ello al hacer referencia al Congreso de 1881, en cuya oportunidad se edific nuestro sistema de unidades prcticas a partir del sistema C.C .S . electronwgntico. Posiblemente, si se hubiese basado todo el sistema prctico sobre las acciones electrodinmicas de Ampere, ha-bra sido ms conveniente. Sin embargo, esto es secundario. Lo primor-dial es que todo el mundo ha seguido el sistema que se propuso. Y no es difcil imaginar lo que se ha ahorrado en tiempo y esfuerzos, en dificultades de interpretacin y de estudio, durante estos tres cuartos de siglo, al haberse abandonado los numerosos sistemas de unidades que existan antes de dicho Congreso.

    P. BOUCHEROT Ex Presidente de la Sociedad Francesa de Electrotcnicos

    UNIDADES ELCTRICAS Y MAGNTICAS Los sistemas de unidades elctricas y magnticas actualmente en vi-

    gor son: el sistema E.S.C.G.S., el sistema E.M.C.G.S. y el sistema prctico corriente, siendo utilizado este. ltimo todava en electrotec-nia incluso con carcter oficial. Sin embargo, para la definicin legal del ampere, ha sido dado un paso hacia el sistema M.K.S.A. GIORGI (no racionalizado).

    Como la adopcin oficial de este ltimo sistema es probable (1), utilizaremos en esta obra Jos sistemas E.S.C.G.S., E.M.C.G.S. y GIOR-GI (no racionalizado). Hacemos observar que las unidades elctricas (volt, ampere, farad, coulomb), la unidad de trabajo (joule) y de po-tencia (watt) son las mismas en el SISTEMA GIORGI Y en el ' hoy en uso.

    A continuacin se dan: a) La tabla de los smbolos de las princi-pales magnitudes elctricas y magnticas.

    Designacin de la magnitud Smbolo Designacin de la magnitud Smbolo

    Tensin, diferencia de po- Resistividad . p tencial; U Inductancia propia. L

    Fuerza electromotriz E Inductancia mutua. M Campo elctrico Coeficiente de dispersin. el Cantidad de electricidad Q Fuerza magnetomotriz 1 Densidad de volu'men de Campo magntico. H

    carga p Flujo de induccin magn-Flujo de induccin elctrica. IV tico. ~ Induccin elctrica (desplaza-

    miento) D Induccin magntica. -'-- B Intensidad de imantaci6n. 1

    Capacidad e Momento magntico. . m Constante dielctrica Permeabilidad magntica. p. Corriente. 1 Susceptibilidad . X Densidad de corriente. Il Reluctancia . R Resistencia _ R Permeancia . P Reactancia X Nmero de polos 2p Impedancia . Z

    (1) La adopcin del SISTEMA GIORGI sera deseable por las razones que se ex-ponen en la tabla de la pgina siguiente, columna de ventajas .

    . ' Nota. de! Tr.ad"ctor. - El sistema absoluto prctico GIORGI fu propuesto por el Profesor GlOv~J?-nl GlOrgt e!i 1,901 y adop~ado para su utilizacin universal por el voto unnime de la Comlsl~ Electrotecmca InternaclOnal (C.E.I.) el ao 1935, siendo confirmado en el ao 1938 (Sc.hwenmgen), La Haya, con la denominacin SISTEMA GIORGI. En este sistema, las unidades estan basadas en el metro, kg-masa y segundo, y son unidades prcticas de electricidad actual-mente en uso. Para -:1 fiujo magntic? se adopt el weber como unidad prctica equivalente al voJtsegundo por esplr.a; para la umdad de frecuencia el hertz, equivalente al perodo por segundo y para la umdad de conductancia el sieme"s, equivalente al ohm-l.

  • Unidades elctricas y magnticas Los principales sistemas de unidades elctricas y magnticas vienen dados por la tabla siguiente:

    Sistema Unidades fundamentales Caracteristlcas esenciales Ventajas Inconvenientes E. S. C. G. S. Centimetro. Campo elctrico e induc- Simplifica las frmulas de Las unidades no son a escala

    Gramo. cin elctrica en el va- la electrosttica. de las magnitudes corrien-Segundo. co expresados por el temente medidas (electro-EO = 1 (constante di- mismo nmero. cintica y electromagne-

    elctrica del vaco .) tismo). E. M. C. G. S. Centmetro. Campo magntico e induc- Simplifica las frmulas del Los mismos inconvenientes

    Gramo. cin magntica en el va- electromagnetismo. que el precedente. Segundo. co expresados por el p.o = 1 (permeabilidad mismo nmero .

    magntica del vaco .) Prctico corriente. Adaptado y relaciona- Unidades a escala de mag- Sistema incoherente (las fr-

    do con el preceden- nitudes . corrientemente mulas electromagnticas te por 1 A (Ampere) = fciles de medir. contienen coeficientes de 1 Q (Ohm) = 109 1 . potencias del orden de 10.

    E. M. C. G. S. = 10 E. M. C. G. S. Unidades de longitud dema-1J = 107 ergo siado grande (109 cm) y de

    masa demasiado pequea (10--" g).

    M. K. S. A. Metro. Permeabilidad magntica Como el precedente; ade- Ningn inconveniente con re-(Giorgi.) Kilogramo-masa. del vaclo !J.o = 10-7 ms sistema coherente lacin al sistema prctico

    Segundo . H y B (en el aire) no ex- y las frmulas electro- corriente. Ampere. presadas por el mismo magnticas no contie-

    nmero. nen coeficientes con po-tencias del orden de 10.

    M. K. S. A. Metro. Permeabilidad magntic,a Como el precedente; ade- Unidades magnticas no afec-(Giorgi racionalizado.) Kilogramo-masa. del vaco p.o=41t1O-7 ms simplificacin de tadas por potencias de 10 a

    Segundo. H y B (en el aire) no las frmulas ms co- las unidades magnticas de Ampere. expresadas por el mis- rrientes; s II utilizacin los sistemas E. M. C. G. S.

    mo nmero. se extiende por el ex- y el prctico. traniero.

    b) Tabla comparativa entre las principales unidades Giorgi y las unidades correspondientes de los sistemas E.S.c.G.S. y E.M.C.G.S.

    NOMBRE DE LA UNIDAD VALORES DE LAS UNIDADES SIMBOLO DE LAS UNIDADES GIORGI EN MAGNITUD S1>I-BOLO Unidades Unidades E. S. C. G. S. E. M. C. G. S. GIORGI E.S. C.G.S. E .M.C.G. S. C.G. S. GIORGI

    Longitud L Centfmetro Centhnetro Metro 102 102 cm m Masa m,M Gramo Gramo Kilogramo 103 103 g kg Fuerza F Dina Dina Newton 105 105 N Trabajo y energa W Erg Erg Joule 107 107 J Potencia activa" P Erg-segundo Erg-segundo Watt 107 107 erg/s W Potencia reactiva . Q VAr VAr Potencia aparente. S Voltampere VA Presin. . . . P Baria Baria Pascal 10 10 Pa Par e Dina-centmetro Dina-centmetro Newton-metro 107 107 dina-cm Nm. Cantidad de electrici-

    dad Q Franklin Sin nombre Coulomb 3 X 109 10--' . C Corriente 1 Sin nombre Sin nombre Ampere 3x1()l1 10--' A d. d. p. o f. e. m. E,U, V - Sin nombre Volt 1/300 108 V Capacidad . . e Centimetro Sin nombre Farad 9x10" 10-9 F Resistencia elctrica . R Sin nombre Sin nombre Ohm 1f9x lO" 109 Q Conductancia . G Sin nombre Sin nombre Siemens 9xlO" 10-9 Q-' Campo magntico . H Sin nombre Oersted Sin nombre 1()--,'l Induccin magntica. B Sin nombre Gauss Weber/m? 104 Gs Wb/m2 Flujo de induccin

  • 8'g0 elc rico

    CAPTULO PRIMERO

    ELECTROSTTICA

    l. CAMPO ELCTRICO

    Tabla de las relaciones fundamentales aplicables al campo elctrico

    Afasa elctrica t 6 ~.,

    " 1 qq' ('..t> F= -- ,P & r2 ...

    t F(/erza Potencial

    " elctrico

    t Jt. &=! ~~ ~ q %> /

    C'o,p t ~/ q. Intensidad de camjJo elctrico

    siendo q = masa elctrica en franklin (E.S.c.G.S.); F = la fuerza en dinas ejercida entre masas; r = la distancia en cm entre las masas; = intensidad de campo elctrico en unidades E.S.C.G.S.; '\j1 = el flujo de fuerza elctrica en unidades E.S.C.G.S.; S = la superficie 'en cm2 atravesada por el flujo '\j1; U = el potencial elctrico en unida-des E.M.C.G.S. ; E = la constante dielctrica del medio: a = el h-gulo entre el vector campo y la direccin positiva de la normal a la superficie S.

  • 14 PROBLEMAS DE ELECTROTECNIA Cap. 1

    Trabajo de una carga q que se desplaza desde un punto M hasta otro punto N

    A=Q erg franklin ( U,,-VN ) E.S.C.G.S.

    siendo VA, Va = los potenciales en M y N

    PROBLEMAS RESUELTOS

    Fuerzas elctricas. Balanza de Coulomb

    l. Tenemos dos pequefas esferas de aluminio perfectamente au-ladas y cuyo dimetro es de 3 mm. Se comunica a una de ellas una

    A+ O

    O B-Fig. 1

    carga positiva de 500 franklin, y a la otra una carga negati-va desconocida.

    1.0 Cul es el valor de esta carga negativa, sabiendo que cuando estas dos esferas estn colocadas sobre la mis-ma vertical y separadas una de la otra 0,5 m, su atraccin recproca es suficiente para 'ffIltntener la esfera inferior en equilibrio t

    2.0 Se ponen en contacto las dos esferas, alejndolas despus 0,5 m. Cul es la naturaleza de la fuerza que se ejerce entre ellas y cul es el valor de dicha fuerza?'

    3. Suponiendo una de las esferas parcialmente descar-gada, se descarga la otra al colocarla en el extremo de una balanza d' Coulomb; despus de haber puesto en contacto las dos esferas en la bar lanza han sido realizadas las mediciones:

    A = ngulo de torsin del botn de tope del hilo vertical: 60. a = ngulo formado por la varilla de la balanza con su posi-

    cin inicial: 300.

    La longitud de la varilla es 2 1 = 20 cm y la constante de torsin del hilo es Cl = 12 C.C.S. (dinas cm por radian).

    Determtnar, con la ayuda de los datos expuestos, la carga que ha conservado la esfera considerada, siendo la densidad del aluminio igual a 2,8.

    1.0 Sean A y B las esferas consideradas (Fig. 1). Su volumen ser: 1 . '7t (; 1t X 33 = 27 x (; = 14,2 mm3

    y su masa: 0,0142 x 2,8 = 0,04 g.

    Cap. 1 ELECTROSTTICA 15

    La fuerza que s.e ejerce entre las esferitas es igual al peso de una de ellas:

    0,04 x 981 = 39,24 dinas.

    De la frmula de Coulomb se deduce el valor de esta atraccin: 500xx . . ~ 39,24 = 502 (x = carga negatIva de la esfera B)

    de donde: _ 39,24 X 502 19& f kit

    x - - 500 = - ran n.

    2. Cuando las dos esferas se ponen en contacto, se reparten por igual la suma algbrica de las cargas. As, pues, cada una conservar una carga

    500 -196 . Q = 2 = + 152 frankhn.

    Separando las esferas una de otra SO cm se manifiesta entre ellas una fuerza repulsiva igual a

    152" : 50" = 9,2 dinu,

    3.0 En la balanza de Coulomb, las dos esferas ( descargada) se reparten por igual la carga Q. Cada una de ellas tendr pues la carga Q/2.

    A (carga Q) y B , ....... -_ ....... ,.

    /" ...... El ngulo de torsin del hilo despus de la repulsin de las cargas Q es:

    1t 1t 1t A+a=3+(;=2'

    El par de torsin tiene por valor:

    c= c1 x ; = 12 x ; dinas-cm.

    Si designamos por T la componente tangen-cial de la fuerza de repulsin:

    T = ; = 1~ 12 x ; dinas = 1,884 dinas

    , '. , . I '. ! \8 . .

    I \ \ ...

    ' . ............ . .

    Fig.2

    ,.

    . "

    ".>' .: I/.~'

    :A

    a pero como: T= F cos 2' tendremos: F = _T_ = 1,884 = 1,95 dinas. fX 1t

    cos 2 cos 12

    Aplicando la frmula de Coulomb tendremos: 2

    195 = q , 4 X AB2

    4 x (21 sen ; r De donde Q = = 14,4 fnttklia.

    Q2 4 x 4 x 100 x 0,067

  • 16 PROBLEMAS DE ELECTROTECNIA Cap. 1

    Intensidad de un campo elctrico

    2. U na esferita cuya masa es de 1 9 y tiene una carga positiva de 100 franklin, se la suspende de un hilo aislante de masa desprecia-ble y de 1 m de longitud, constituyendo el conjunto un pndulo. A con-tmuacin se hace oscilar este pndulo en un campo elctrico uniforme vertical actuando primero de arriba hacia abajo, despus de abajo ha-cia arriba.

    Sabiendo que en el primer caso, el perodo de oscilacin del Pn-dulo es de 1,69 s y en el segundo de 2j8, calcular en volt par metro la intensidad del campo elctrico.

    Designemos con: m la masa en g de la esfera del pndulo; 1 la longitud del pndulo en cm; g la aceleracin de la gravedad en cm/s2; e la intensidad del campo elctrico.

    El perodo de oscilacin de un pndulo simple es:

    T = -21t V 1 = 21t V mI == 21t Y mI g mg fuerza que acta sobre la masa m

    Cuando el campo est dirigido de arriba hacia abajo el campo elctr~co ej:rce una fuerza qe que se suma a la gravedad (q = carga, e = mtensldad de campo) y el valor del perodo ser :

    T1 = 21t'y mI = 21t V 1 x 100 = 1,69 s. mg + qe 1 x g + 100e

    Pero la fuerza elctrica acta a continuacin en sentido opuesto al de la gravedad y el perodo toma el valor: .

    V mI V 1 x 100 T2 = 21t = 21t = 2,58 s. mg - qe 1 X g - 1ooe'

    De ellas se deducen las dos ecuaciones:

    + 100 e= 41t2 x 100 g 1692 ,

    _ 100 e= 41t2 x 100 g 2582 ,

    cuya resolucin nos da: cm g = 980 52 ; e = 4 E.S.C.G.S.

    Cap. 1 ELECTROSTTICA

    Pero, por otra parte: 1 300 E.S.C.G.S. 1 volt

    1 metro

    de donde:

    - -,...,--- = 0,33 X 10-4 E.S.C.G.S. 100 cm

    e = 4 = 12 X 18' yolt/metro. 0,33 x 10-4

    Potencial elctrico

    17

    3. Dos masas elctricas, una q - + 5.000 franklin y la otra q' = _ 200 franklin, estn situadas en los puntos A y B, distanciados el uno del otro 0,80 m. Se desplaza la masa m' hasta un punto C tal que AC sea igwd a 1,10... ~

    1.0 Cules son en B y C los valores de la intensidad del campo elctrico y del ~ potencial debidos a q ? . e

    2.0 Cul es el trabajo desarrollado de- A(m) r2 bido al desplazamiento indicado y cul el Fig.3 signo del mismo?

    3. Expresar el trabajo en funcin de la fuerza que se ejerce sobre la masa q' en B y las distancias rl, r2 de la masa q' a la masa q en las posiciones inicial y final.

    1. La intensidad pe campo en B ser: ./ e - q x 1 _ 5.000 o 181 E" e G s s - ----;:r- -~ = , .J. . . ..

    yen C: f e - 5.000 - 5.000 o 413 e G s

    e - ~ - 1102 =, E.S ....

    El potencial en B ser: q 5.000 UB = -;;- = -----so = 62,5 E.S.C.G.S. o sea 62,5 X 300 = 18.150 Yolt.

    y el potencial en C ser: q 5.000 . Ue = --:;; = ~ = 45,4 E.S.C.G.S. o sea 45,4 x 300 = 13.620 Yolt.

    2.0 El trabajo desarrollado tiene por expresin: A = q' ( Us - Ue )

    pero siendo q' negativo y UB superior a Ue, el trabajo ser pues ne-gativo.

    2

  • 18 PROBLEMAS DE ELECTROTECNIA Cap. 1

    3. La fuerza de atraccin en el punto B, ejercindose entre q y q' tiene por expresin:

    F1 = - Ji.. de donde rr y el trabajo desarrollado de B a C ser pues:

    A = q'(U8 - Uc) = - F1r r (.!L _.!L) = - F1rj (~_~) q r1 r2 r 1 r2 Para valorar A, nos serviremos de los valores del potencial ya ob-

    tenidos anteriormente: A = q'(U8 - Uc) = -200 (62,5 - 45,4) = - 3.420 erg = - 34 X 10-< joule

    El trabajo desarrollado es independiente del camino seguido de B a C por la masa q'.

    Relacin entre campo y flujo, campo y potencial 4. Una varilla rectlinea indefinidamente delgada e indefinidamente

    larga est uniformemente electrizada. Si designamos por !l la carga por unidad de longitud, se desea :

    1.0 E%presar directamen-te la intensidad de campo en un punto M situado a la dis-tancia r de la varilla.

    2. Obtener la misma e%-presin del campo aplicando el teorema de GAUSS.

    3. Calcular el potencial elctrico en el punto M .

    Aplicacin numrica: !l = = 5 E.S.C.C.s., y r = 10 cm.

    1.0 Sea x' % la varilla in-definida, d% un elemento AB tomado sobre esta recta, Q la

    distancia del punto M al elemento d%; 6 el ngulo formado por M A wn la normal MD = r; dO el ngulo bajo el cual desde M se ve al elemento d%.

    x'

    Fig. 4

    El campo d e creado en M por el elemento d% ser: de = masa sobre dx X 1 p. dx

    p2 =7

    Cap. 1 ELECTROST TI CA 19

    Por razn de simetra, el campo E es perpendicular en M a la rec-ta xx', y por consiguiente es igual a la suma de los componentes de los campos dE segn DM, o sea a la suma de los trminos:

    de cos o = L~ cos o p2 Consideramos a M como el centro de un arco de crculo que tiene

    por radio Q, y el tringulo BAC cuyo lado curvilneo AC puede ser asimilado a una recta perpendicular aMA.

    --------- . Tenems que BAC= fj (por ser ngulos que tienen sus lados per-pendiculares), de donde :

    --------- A e p dO cos o = cos B A e = AB = ----;;;- y

    Pero en e~ tringulo rectngulo AD M: r

    p = cos. O .

    dx=pdO. cos O

    Sustituyendo d% y Q por sus valores en la expresin dE cos O tendremos:

    cos2 fl P dO cos2 6 de cos O = P. X --2 - x --6 x cos o = P. - -2'- X P dO

    r. cos r

    o sea: p. cos 6 cos O r p. de cos O = -- x -- x - -O dO = - cos O d O

    r r cos r ./

    7r 'lt + 2 + 2

    e = J~e cos o = Jr cos O dO = 2: . -2 2

    2.0 Consideremos un cilindro que tenga por eje la recta %y, y cuya base tenga por radio r, siendo la altura la unidad de lon-gitud; ningn flujo atraviesa las superficies de las bases de este cilindro, pues las lneas de fuerza son todas perpen-diculares (razn de simetra) a %y.

    Aplicando el teorema de GAUSS tendremos: Flujo total a travs de la superficie considerada = flu-

    jo total a travs de la superficie lateral 4rc p' . 1. Este flujo es equivalente tambin a:

    e x superficie lateral = e x 21tr X 1 de donde:

    41tp. = 21tre y

    ~ .... J ... ~r X , Fig. 5

  • 20 PROBLEMAS DE ELECTROTECNIA Cap. 1

    3.0 La intensidad de campo en el punto M viene por la expresin:

    dada tambin

    e =_ dU dr ~ dU

    r dr

    Siendo dU = variacin del potencial correspondiente a un des-plazamiento dr perpendicular a xy, o sea siguiendo a una lnea de fuerza.

    U=U", J 2fL Ur = - -:;:- dr = 2 fLLr. U=Ur

    Aplicaciones numricas:

    e = 2 1~ 5 = 1 E.S.C.G.S. U = 2 x 5 x 2,302 log 10 = 23,02 E.S .C.G.S., o sea 23,02 X 300 = 6.906 volt.

    Mtodos de determinacin de la intensidad de un campo elc-trico en un punto.

    1.0 Mtodo directo. - Consiste en la integracin de las fuerzas ejercidas por las cargas elementales que ac~an sobre la carga unidad colocada en el punto considerado.

    Este mtodo es slo aplicable cuando las fuerzas elementales actan todas en la misma direccin.

    2. Mtodo por mediacin del flujo. - Definida una superficie de Gauss como superficie cerrada conteniendo las cargas que actan, se expresa por el teorema de Gauss el valor del flujo que atraviesa esta superficie y a continuacin se pasa de este flujo al campo utilizando para ello la grfica de relaciones de la pgina 4 del texto.

    3. Mtodo por mediacin del potencial. - Se halla el potencial creado por una carga elemental en el punto considerado, despus se obtiene por integracin el potencial creado en este mismo punto por el conjunto de las cargas que actan, finalmente se halla la derivada, en la direccin del potencial (supuesto conocido el campo) (ver el gr-fico de la pg. 13).

    De una manera general, cuando se ha determinado el valor del po-tencial, se obtiene la componente del campo en una direccin 11 deri-vando el potencial en esta direccin 11 (o sea, con relacin a la varia-ble tomada siguiendo esta direccin).

    PROBLEMAS

    5. (Resuelto). - Dos conductores cilndri;os idnticos, paralelos e infinitos (lnea area de dos conductores) que tienen por dimetro 2a

    Cap. 1 EDECTROST TI CA 21

    y cuyos ejes estn separados entre s por una distancia D llevan las cargas + fl Y - fl por unidad de longitud. Hallar:

    1.0 El valor del potencial en un punto P situado entre los dos cm. ductores y a una distancia r1 del eje del primero y a la distanciar2 del eje del segundo, siendo D = 10 m; a = 1 cm; fl = 25 franklin; r1 = 4 m; y r2 = 6 m.

    2.0 La diferencia de potencial entre los dos conductores, as como su valor cuando s-simplifica la fr-mula, por ser el dimetro de los conductores pequeo co~ relacin a la distancia que los separa.

    3. E n la hiptesis anterior, de-terminar la intensidad del campo en la proximidad de uno de los hilos y la densidad superficial en cada uno de ellos.

    Fig.6

    4.0 Sabiendo que la rigidez dielctrica del aire seco es de 30 kV I / cm, calcular el lmite de tensin que no debe ser sobrepasado entre dos cables de 2 cm de dimetro y separado entre s 10 m.

    1.0 Potencial en un punto P situado entre los dos conductores.-Designemos por U 1 Y U 2 los potenciales en el punto P debidos a los dos cilindros (Fig. 6), segn el problema-(4) tenemos:

    de donde:

    esto es:

    o sea:

    e=- !!!!, =-~ . dr r

    rl r2 J 2fL J - fL U = U1 + U2 = - -:;:- dI' + - 2 -r- dI' o o

    - - - 1 U = 21-1- (log 1'2 - log 1'1) = ; 2J. log !2. !

    l ' I 1 ,

    . 6 U = 2 x 250 x 2,3 lag '4 = 20,24 E.S.C.G.S.

    U = .20,24 x 300 = i 6.072 v! (potencial respecto a tierra). 2. Diferencia de potencial entre los dos hilos. - Sea U1 el poten-

    cial del primer conductor. Se obtendr su valor sustituyendo en la frmula del potencial en P, los valores de r2 y r1 por los correspon-dientes 1'2 = D - a y r1 = a y tendremos:

    D-a e1 = 2J. log --,- -.'

  • 22 PROBLEMAS DE ELECTROTECNIA Cap. I

    De la mIsma manera el potencial U 3 del segundo conductor ten-dr por valor:

    a U2 = 2p. log -D-- . -a

    y la diferencia de potencial entre los dos conductores ser: D-a a D-a ~ U = U, - U2 = 2fJ- log - - - 2fJ. log -- = 4p. log - -

    a D-a a

    Si a es despreciable en comparacin con el valor de D, esta frmula se convierte en :

    o sea:

    D ~U= 4fJ.log -a

    ~ U = 4 x 25 x 2,3 log l.000 = 690 E.S.C.GS., y tambin :

    ~U = 690 x 300 = 1207.000 V 1 3.0 Campo prximo a uno de los conductores. - En un punto muy

    prximo de uno de los conductores, el valor del campo se reduce a:

    E = 2p.. = 2fJ-r, a

    ( pues el campo !~ "'" ~} debido al otro conductor es despreciable) As tenemos:

    E=~= ~. ~U ~U a a 4 log D \ 2a log !? a a

    La densidad superficial en un punto prximo de la superficie est ligada al campo por la frmula:

    de donde: E = 41ta

    a - ~ - ~ [; - 41t - D

    Sr.:a log _ .. a

    Aplicando los datos numricos del problema. tendremos:

    y: E = 2fJ. = ~_x 25 I O . a 1 = !:) E.S.C. G.S. :

    50 12,56

    --- --

    . 3,98 E.S.C .G.S.

    Cap. I ELECTROSTTICA 23

    4. El campo en un punto situado entre los dos conductores tiene por valor:

    y siendo (1'1 + 1'2 = D = constante) este valor es mnimo cuando r1 = r2, o sea, cuando el punto equidista de los dos conductores, sien-do mximo cuando el punto considerado est sobre uno de los con-ductores. Sea E el valor mximo del campo (valor que no es pru-dente sobrepasar):

    E = 30.000 V/cm = 100 E.S.C.G.S., D ~U = 2aE log - = 2 X 1 X 100 X 2,310g l.ooo = l.380 E.S.C.G.S. a

    osea l.380 X 300 = 1414.000 V 1 (tensin que no debe ser sobrepasada).

    Hacemos observar aqu la importancia del dimetro 2a. Esto ex-plica por qu es necesario (efecto corona) emplear cables de dimetro adecuado y convenientemente separados en el transporte de energa a alta tensin.

    6 . Una carga + Q de 50 franklin est acumulada en 'Un punto A distante 40 cm del centro O de una esfera conductora, cuyo radio es de 10 cm y que est conectda a tierra. Expresar y determinar:

    1. La carga - Q' tomada por la esfera; 2.0 La fuerza de atraccin ejercida por la carga + Q sobre la

    carga propia de la esfera. 1. Demostrar que una carga en forma de punta situada: 1.0 En un punto en el interior de una superficie cilndrica unifor-

    memente cargada y lejos de las extremidades de la misma est some- tida a una fuerza nula;

    2. En un punto exterior a esta superficie cilndrica est sometida a la misma fuerza que si toda la carga estuviera concentrada sobre ol eje del cilindro.

    8. En dos puntos A y B situados sobre Utla recta x'x se encuen-tran respectivamente las cargas + 4 q Y - q. Siendo la distancia AB igual a a, hallar:

    1.0 El punto e sobre x'x en el que el campo es nulo; 2. Trazar la curva de potenciales a lo largo de x'x; 3. Determinar los puntos e' y e" en los que el potencial es el

    mismo que en e; 4.0 La equipotencial de potencial nulo, precisando sus puntos de in-

    terseccin can x'x.

  • 24 PROBLEMAS DE ELECTROTECNIA Cap. 1

    I, 1.0 Expresar el valor del campo en un punto M situado a la distancia y del eje Z Z' comn a dos conductores cilndricos de la mis-ma longitud y cuyos radios respectivos son a y b, sabiendo que se ha establecido entre estos conductores una diferencia de potencial U (ad-

    y P t la 1: y .L.~.-*._._._.~.~

    Fig.7

    mitiendo que todas las lneas de fuerza sOn radiales, o sea, normales al eje Z Z') ;

    2. Establecer la ecuacin del movi-miento de un ion que lanzado entre los dos conductores por una corriente de aire paralela al eje de los mismos a la velocidad constante \1, penetra en el cam-po elctrico por el punto P situado a la distancia e del eje Z Z'.

    3.0 Determinar la trayectoria seguida por este ion, teniendO' en cuenta que la carga del ion es de tal signo que es arrastrado hacia el eje Z Z'.

    Aplicacin numrica: U = 10.000 volt; a = 12 cm; b = 8 cm; y = 10 cm; e = 11 cm; v = 50 cm/s; se supone que bajo la accin de un campo elctrico unidad, el ion toma una velocitkd u = 3 cm/s.

    10, Una esfera maciza de radio Rl est conectada a tierra y ro-deada por otra esfera hueca de radio interior R 2 y R3 exterior C(JIY-gada con un potencial U.

    1.0 Expresar y calcular las cargas tomadas por las tres superfi-cies esfricas.

    2. Representar la curva de los potenciales en funcin de la dis-tancia r al centro de las esferas.

    Apliauin numrica: Rl = 20 cm; R 2 = 22 cm; R = 23 cm; U =15.000 V.

    2. CAPACIDAD. CONDENSADORES Expresin de la definicin de la capacidad de un cOndensador Franklin

    Q coulomb

    E.S.C.G.S. E S.C.G.S. C U

    tarad volt

    C = capacidad. Q=carga elctrica. U = diferencia de potencial entre las armaduras.

    Mtodo para establecer las frmulas de capacidad

    ste viene indicado por el esquema siguiente: 41t IV

    C:lrga /-1Jl'=-E- Q y e =5--\ c= . '- dU campo potencIal '- e = _ ,;r

    dn

    Cap. 1 ELECTROSTTICA 25

    que expresa el campo en funcin de la carga y en funcin del poten-cial y relaciona estas dos expresiones.

    Capacidades de los condensadores corrientes

    1.0 Condensador plano:

    siendo

    cm' sS

    CE. S. C. G. S. = 41te cm

    E = constante dielctrica S = superficie de cada armadura e = espesor del ;iielctrico Fig.8

    2. Condensador cilndrico: cm cm

    C = ~ (Fig. 8) siendo 1 la longitud del cilindro. 2L R'

    cm

    3.0 Capacidad de un hilo horizontal respecto a tierra (Fig. 9). cm cm

    El C = ---- (d despreciable respecto a a). 2L (~a)

    Icm .. _ .... __ ... _ . .. __ .... _______ ........ ___ - _Oo ..

    ==========Tf=======~cm I :dcm !"

    rJ/777/77?7777777,

    Fig.9

    ..... o' ____ __ .I~o'!! 0. __ _.~

    f i :4 !

    ================== tdcm Fig.lO

    4. Capacidad de dos hilos paralelos (Fig. 10).

    Siendo:

    cm El C = ---- d sensiblemente inferior a a.

    4 L ( 2da) Influencia del suelo despreciable Farad cm

    C= -=--_C~ 9 X 1011

  • 26 PROBLEMAS DE ELECTROTECNIA

    Energa de un condensador cargado:

    Erg

    W Joule

    =

    1 2

    E.S.C.G.S. E.S.C.G.S.

    C U2 Farad Vol!

    Frmulas de acoplamiento de condensadores

    1.0 En serie:

    ~ = ~! e = capacidad de los elementos componentes. 2. En paralelo:

    C = l:c C = capacidad equivalente al conjunto.

    PROBLEMAS RESUELTOS

    Cap. 1

    Condensacin de la electricidad. Definicin de la capacidad

    . t t. Una esfera inductora A de r.adio !gual a 3 cm (Fig. 11) est s~tuada en el centro de una esfera mducida B cuyos radios son res-

    pectivamente iguales a 5 cm y 7 cm. La cantidad de electricidad de la esfera A es de 10 E.S.G..C.S.

    1.0 Determinar la variacin del potencial de A durante la induccin y la relacin del potencial fi-nal respecto al potenciaJ primitivo;

    2. Resolver las mismas preguntas en el caso de conectar la esfera inducida a tierra.

    Calcular la variacin de la capacidad elctrica Fig. 11 en ambos casos.

    1.0 La capacidad de la esfera A, antes de la induccin, viene ex-presada en unidades E .S.C.C.S. por una cantidad equivalente a su radio.

    C = 3 cm. Su potencial era:

    Q 10 U = e = 3" = 3,33 E.S.C.G.S. 1.000 Yolt. osea

    En presencia de la esfera B, la carga + Q = 10 E.S.C.G.S. de la esfera A desarrolla sobre la superficie interna de B una carga - Q,

    Cap. 1 ELECTROSTTICA 27

    cuyo potencial es - ; y sobre la superficie externa de B, una carga + Q que tiene por potencial + ~ . El potencial de A ser pues:

    Q Q Q 29Q U1 = + 3 - 5 + '7 = 105 .

    y la .relacin de los potenciales ser:

    de donde:

    u1 29 Q Q 87 U = 105 : 3 = 105

    87 U1 = 1.000 x 105 = 830 volt

    Como que la carga de la esfera A no ha cambiado, su capacidad ha variado en razn inversa a los potenciales:

    ii = !:!...- = 1.000 = I 2 C [~ 830 ' C1 = nueva capacidad de A.

    2. Si la esfera B est conectada a tierra, la carga +Q exterior de B se dirige a tierra. El potencial A se convierte entonces en:

    Q Q 2Q u2 =+3-5=15 De donde: U2 2Q Q 6 U=15:3=15

    6 U. = 1.000 x 15 = 400 volt

    C2 15 e 6

    15 C2 = 3 X 6 = 7,5 E.S.C.G.S.

    Clculo de la capacidad de diferentes conductores

    12. Calcular ia capacidad: 1. De la Tierra asimilada a una esfera de 6,37 X 106 m de radio; 2. De un condensador con aislantes de mica constitudo por

    151 hojas de estao de 125 cm2, siendo el espesor de la mica de 0,25 mm (E = 8).

    3. De un cable submarino de 100 km de longitud, constitudo por un alma de cobre de 10 cm de dimetro recubierto por una capa ais-lante de 60 cm de dimetro. (Constante dielctrica de la capa aislan-te = 3,5.)

    4. De una antena (respecto a tierra) de una longitud de 25 m, dimetro de 1 mm, situada a 20 m del suelo.

    5. De una lnea de dos conductores paralelos de 20 km de longi-tud con un dimetro de 5 mm y separados entre s 1 m .

  • 28 PROBLEMAS DE ELECTROTECNIA Cap. 1

    1.0 La capacidad de una esfera se expl'esa en unidades E .S.C.G.S. y por el mismo nmero que la longitud de su radio, luego:

    e = 6,37 X 108 cm e = 108 .. rerofarad.

    637 X 108 " 9 X 1011 = 708 X 10-6 farad osea

    2. Este condensador est formado por tantos condensadores ele-mentales en paralelo como hojas de mica tiene. Las hojas impares de estao estn unidas entre s; las pares tambin, de manera que con n

    Sn

    Fig.12 Fig.13

    hojas de estao se formar una batera de n-l condensadores (cada hoja de estao acta por ambas caras). Las capacidades de estos n-l condensadores se anan y tendremos:

    e = 150 X ~ = 150 X 8 X 125 = 478.000 cm 41te 41t X 0,025

    478.000 C = 9 X 1011 = 5,31 X 10-7 farad o sea: 0,&3 IIlcrofarad.

    3. Aplicaremos la frmula: c = -.!:..!._-

    2 L Ji R' E = 3,5 1 = 107 cm

    2R = 60 cm 2 R' = 10 cm

    La armadura exterior del cable est constituda por el agua del mar que es buena conductora.

    C - 3,5 X 107 - 107 11 - 2 x 2,303 log 6 - cm, o sea " microfarad. le - el - el 0,217 x 25 x 102 4.0 2L (~a) 4,6 log ( ~a) log 4 x ~~lX 102

    C = 111 cm o sea 123 X 111-" JLF'

    Cap. 1 ELECTROSTTICA 29 e = _E_l_ = 0,1081 = 0,108 x 20 x 106 2a 2a 200 4L - log - log--d d 0,5 e = 83.070 cm o sea 8,0923 jAoF.

    Modificacin de la capacidad por el dielctrico. Fuerza atractiva entre las armaduras

    13. Un condensador est constitudopor dos placas metlicas de 100 cm2 de superficie separadas por una capa de aire de 1 mm de es-pesor. "

    LO Buscar su capacidad en microfarad. 2. Colocando entre las armaduras una hoja de ebonita (constante

    dielctrica = 3) de 0,4 mm de espesor y la misma super-ficie que las armaduras, hallar el nuevo valor de su capa-cidad.

    3.0 Sustit'uyendo la hoja de ebonita por otra metlica del mismo espesor, hallar la capacidad del condensador formado.

    4. Considerando el caso en que el dielctrico es ni-camente el aire y puesta una arntadura en contacto con un conductor cuyo potencial es de 3.000 volt y la otra

    e' ~l~ : e ~ " .. ,

    Fig.14

    armadura en contacto con la tierra, averiguar la carga tomada por el condensador.

    5.0 Cul es la intensidad de la fuerza de atraccin que se crea entre las armaduras en las condiciones del caso precedente'!

    1.0 La capacidad del condensador ser: C 1 1 X 102 - 88 10-12 f d 88 1"0-6 f d = 9 X 1011 X 41t x 0,1 - x ara o sea X micro ara.

    2.0 La frmula de la capacidad de un condensador plano es la si-guiente:

    e = ;e que puede tambin expresarse as: s " c=--. 41t ~

    E

    Como el espesor e del dielctrioo equivale a un espesor de aire igual a ~ , la frmula de la capacidad se convierte en:

    E

    S 1 1 102 e' = x = --- x ---- - - -41t [e _ e' + e~'l 9 X 1011 9 X 1011 41t [0,06 + O,~4 )

    = 12 X 10-11 farad o sea 12 X 111-" mlcrofarad.

  • 30 PROBLEMAS DE ELECTROTECNIA Cap. 1

    3. En este caso tenemos en serie dos condensadores idnticos cuyo dielctrico es el aire y de un espesor e -; e' .

    La capacidad total ser C": 1 1 1

    C'"=C+C en la que e es la capacidad de cada uno de los condensadores en serie.

    C" = ~ = ~ . 1 102 2 2 9 X 1011 ( O 1 - O 04 )

    . 41t" 2

    C" = 9 X \0 11 X 41t ~0~,06 = 14,6 x 10-11 farad o sea:

    14,6 X lQ-J microfarad. 4. La carga tomada por el condensador ser:

    Q = CU = 88 X 10-12 X 3.000 = 264 X lo-" coulomb o sea:

    0,264 microcoulomb.

    5. Un plano indefinido uniformemente cargado y de densidad elc-trica a, crea un campo: = 2Jta, o sea, ejerce una fuerza f = 2Jta sobre la unidad de carga elctrica; luego sobre toda la carga de la otra superficie Q = aS, el valor de esta fuerza ser:

    F = 21to X oS = 21t02 S. o sea: .

    Q CU ES U EU o = S = S = 471:e X '5'- = 1 71:-;;

    F = 271:5 x - = - - = - - x _ . . -." =40.000 dlnll ( tU)2 e2S ( U)2 102 (10 )2 47te 871: e 871: 0,1 (3.000 volt = 10 E.S.C.G.S.)

    REPARTICIN DE LAS CARGAS

    Energa de un conjunto de condensadores 14. Dos esferas A y B conductoras cuyos radios son, res pectiva-

    mente, 50 y 240 cm se ponen en comunicacin con los polos de una mquina electrosttica, uno de los cuales tiene un potencial de + 30.000 volt y el otro -30.000 volt. Las dos esferas son conectadas despus entre s mediante un conductor fino y largo. Se desea saber:

    Cap. 1 ELECTROSTTICA 31

    1.0 El potencial final del conjunto de estas dos esferas. 2.0 La cantidad de electricidad que ha pasado de una a otra. 3. La energa inicial y final del sistema. 4.0 Demostrar que la diferencia de las dos energas calculadas re-

    presenta el exceso de la energa perdida por la carga de B sobre la energa ganada por la carga de A al pasar sus potenciales primitivos al potencial comn.

    1.0 Las cargas adquiridas por las dos esferas son respectivamente:

    + ~oOOOO = + 5.000 franklin. Q, = C2U = 240 x - 30.000 = _ 24.000 franklin. 300

    Cuando las dos esferas estn conectadas entre s, constituyen un solo conductor cuya carga es Ql + Q2 y cuya capacidad es el + e2 El potencial nnal U 1 ser:

    Q1 + Q2 5.000 - 24.000 _ -19.000 U1 = - _ _____ = - 65,51 E.S.C .G.S. C1 +C2 - 50+240 - 290 o sea

    - 65,51 x 300 = - 19.650 volt.

    2.0 La cantidad de electricidad que pasa de una esfera a la otra ser la diferencia entre la carga de B (por ejemplo) antes de establecer contacto y despus, o sea entre:

    Q, = - 24.000 franklin. y

    Q'2 = C,U1 = 240 x (- 65,51) = - 15.720 franklin. o sea:

    Q2 - Q'. = - 24.000 + 15.720 =-8,280 franklin.

    3. La energa inicial del sistema era:

    W1 = ; Q1 U + ; Q2U = ; (+ 5.000) x (+ 100) + ~ (- 24.000) (-100). W1 = 14,5 X 105 erg o sea 0,145 jOllle.

    y la final: 1 1 W. = 2 (Q1 + Q.)U1 = 2 [-24.000 + 5.000] (- 65,51) = 6,222 X 10" erg o sea 0,06222 joule.

  • 32 PROBLEMAS DE ELECTROTECNIA Cap. 1

    4. La diferencia W 1 - W 2 entre las dos energas ser: 111 1 1 11

    W'-W2=2"Q,U+2"Q2U-2"(Q, + Q2)V'=2"Q,U- 2' Q,u, + 2"Q2U-2"QP, . 1 1 W'-W2=2"Q,(U- U')-2"QiU,- U).

    representando el primer trmino la energa perdida por la carga Q1 al pasar del potencial U inicial al potencial final U 1; el segundo trmino la energa ganada por la carga Q2 al pasar del potencial inicial U al potencial final U 1.

    Clculo del flujo de induccin ~ en funcin de la resistencia dielctrica.

    U U

  • 34 PROBLEMAS DE ELECTROTECNIA Cap. 1

    2!,- 2!,-E = E1 + E! = - + -D (Ver Probo 5), l' -1'

    E= 2p. (~+ _1_). l' D-r

    De donde la carga en funcin del campo ser: E

    !'-= . . 2(~+_1_)

    r D-r

    Expresemos la diferencia de potencial U entre los hilos en fun-cin del campo E; teniendo ste la direccin del segmento de recta ,. su valor en el punto M ser:

    de donde: E = - ~ (u = potencial en el punto M) dr

    D-a D-a U = J - du = f Edr

    a a

    y la capacidad por unidad de longitud tiene por expresin: e-~- E 1 1

    - U - 2(~ + -D-~-r) DJ-a 2 DJ-dr +2 JD-~ Ed1' l' D -1"

    a a a

    El denominador puede escribirse: V-a V-a

    2 [log 1'1- 2 [log (D -1')] = 2 [log (D -a)-loga-log (D-D+a)+log (D-a)], a a

    o sea: D-a 2 [2 log (D - a) - 2 log al = 4 log - a- "

    De donde: 1 ;e=-----D-a 4log --

    a

    (e en E.S.C.G.S. por centmetro de longitud)

    osea: 1

    C!'-F/cm = . 9 X 1()5 1 D-a 4x 2,310g--a

    y 1 1 efLF/km = - . -----9 D-a

    de donde, siendo a despreciable respecto D:

    efLF/km = 0,0242 D

    2 log -;

    9,21og --a

    Cap. 1 ELECTROSTTICA 35

    2. La tierra constituye una superficie equipotencial de potencial nulo. Lo mismo ocurrira si un conductor cuya traza es A 2 (Fig. 16) estuviera colocado paralelamente a Al y simtricamente con relaci, al plano horizontal de tierra y tuviese la carga - fl por unidad de lon-gitud. Por razn de simetra, la diferencia de potencial entre Al y tierra sera U /2 (U = diferencia de potencial entre Al y A 2). La' capacidad kilomtrica entre el hilo Al y tierra es pues:

    e' = 1:. = 2 1:. = 2 e. U U "2

    y por consiguiente doble de la capacidad entre dos conductores.

    16. (Resuelto.) Expresin de una capacidad para la conservacin del flujo de induccin.

    Fig.16

    uwyo 1I

    Fig. 17

    Un condensador plano est formado ptJr dos armaduras metlicas planas y rgidas, dispuestas paralelamente y separadas entre ol una distancia de 10 mm. Cada armadura consiste en un disco de poco espesor cuyo dimetro es de 40 cm, y el dielctrico de este condensador est constitudo por tres Planchas ais-lantes de espesores regulares designados por 1, 2y 3 (Fig. 17). Las resistividades de los materiales de estas planchas son extremadamente elevadas. Siendo los espesores y constantes dielctricas los siguientes:

    e1 = 2 mm; e2 = 3 mm; e3 = 5 mm y

    1.0 Expresar la capacidad de este condensador en microfarad. 2. Calcular la diferencia de potencial en volt a que est sometida

    la segunda placa, sabiendo que la tensin aplicada entre armaduras es de 16.900 V. .

    1.0 Las resistencias dielctricas de las tres placas estn en serie y se suman:

    (s = superficie de las armaduras; en el sistema E.S.C.G.S., tenemos PA = 1)

    siendo: d2 11:

    s = 11: - = - X 402 = 40011:. 4 4

  • 1'1l0BLEMAS DE ELECTROTECNIA Cap. 1

    T(,II~lr(,lI1os : R ._~ _,!_ (0,2 + ~~ + ~~) = _ 1_ x ~~ .

    4007t 5 4 3 4007t 60

    l)c donde la capacidad: 1 1

    e = -- = = 355 cm, 47tR 47t 169

    4007t X sir-o sea en microfarad:

    355 I I e = 9 x 105 = 3,94 X 10-6 fLF (o 3,94 pF). 2.0 El flujo de induccin 1jJ entre las armaduras viene dado por

    U

  • 38 PROBLEMAS DE ELECTROTECNIA Cap. 1

    2. Dar la relacin prctica entre U en kilovolt y m en gramos (discos de masas diferentes) para R = 500. mm y r = 10 mtn.

    23. Un dispositivo experimental (basado en el principio de los electrmetros esfricos) constitudo por dos hemisferios de radio R envuelve a una esfera de radio r.

    El potencial de la esfera es igual a U y el de los dos hemisferios es igual a cero. El hemisferio superior es mvil y est fijado al pla-tillo de una balanza que se halla en equilibrio estable antes de la elec-trizacin de la esfera interior. Sabiendo que despus de la electriza-cin de esta ltima es necesario quitar una masa m del otro platillo de la balanza, calcular el potencial D de la esfera y las densidades super-ficiales de la esfera y de los dps hemisferios, para R = 10 cm; r = 9 cm y m = 0,5 g.

    24. Una esfera metlica hueca A envuelve a otra esfera maciza con-cntrica B, siendo los radios respectivos rI y rz para la esfera A (rl el exterior); y rs para la esfera B.

    a) Se conecta la esfera B a tierra y la A a un manantial elctrico cuyo potencial es U; calcular las cargs elctricas de las dos esferas.

    b) Determinar la variacin del valor de la energa total del sistema si a partir del estado inicial definido anteriormente se separa la esfe-ra A del manantial y al mismo tiempo:

    1.0 La esfera B se desconecta de tierra y se une a la esfera A. 2. La esfera B es aislada de tierra y la Aes conectada a tierra. Valores numricos: rl = 20 cm; rz = 18 cm; r~ = 17 cm; U =

    = 3.000 volt. 25. Un condensador est constitudo por dos armaduras planas rec-

    tangulares situadas a una distancia e entre las mismas. S e dispone en-tre las armaduras y paralelamente a las mismas una lmina rectangu-lar de un dielctrico cuya superficie es mayor que la de las armaduras, cuyo espesor es e' y su constante dielctrica es E.

    Creando y manteniendo entre las armaduras una diferencia de po-tencial U, calcular:

    a) La densidad elctrica superficial de las armaduras; b) La fuerza atractiva que tiende a acercarlas; e) La fuerza que es necesario ejercer por unidad de longitud del

    permetro para mantener en equilibrio la lmina del dielctrico supues-to un desplazamiento de esta lmina paralelamente a las armaduras de manera que uno de sus extremos quede entre las armaduras mientras que el otro est completamente separado.

    Para e = 1 cm; e' = 0,5 cm; U = 6.000 volt y E = 3. 26. Establecer ' la expresin o frmula de la capacidad de un con-

    densador cilndrico. Demostrar que el gradiente de potencial es mxi-

    Cap. 1 ELECTROSTTICA 39

    mo en la superficie de la armadura interior y aplicar este resultado al clculo del espesor mnimo del aislante correspondiente a una ten-sin U entre las armaduras y bajo la condicin de que el gradiente de potencial no sobrepase un valor mximo G.

    MTODO. - Se determina el valor del campo aplicando el teorema de Gauss, expresando despus que el trabajo del campo de un cilindro respecto al otro es igual a la diferencia de potencial entre las armaduras.

    21. U na mquina electrosttica mantiene entre sus polos una dife-rencia de potencial de 1.000 volt y crea por medio de una lengeta que da 200 vibraciones completas por segundo, una corriente en un circuito que dispone de un con-densador de 1 f.tF. Admitiendo que el conden-sador tiene tiempo de adquirir su carga com-pleta mientras la lengeta est en contacto con el borne conectado a la mquina.

    1.0 Calcular cul es la potencia de la mqui-na y la intensidad media de la corriente en el circuito del condensador.

    2. Conectando el polo positivo de la m-quina (potencial = 1.000 volt) a un conjunto Fig.19 de cuatro condensadores CH C2 , Ca, C4 de iguales dimensiones y dis-puestos como viene indicado en la figura 19, y teniendo como dielctri-cos respectivamente el aire, la parafina (E = 2,32) el azufre (E = 3,84) y el vidrio (E = 6), calcular, en volt, la diferencia de potencial entre las armaduras de los diferentes condensadores.

    3. Teniendo el condensador el una capacidad de 0,001 f.tF, calcu-lar su carga y la intensidad del campo entre sus armaduras distancia-das 1 mm entre s.

    4. Averiguar qu sucede si se conecta A con B y qUB nueva re-articin de potenciales se produce.

    28. Se dispone de tres condensadores planos el, C2, es, idnticos, formado cada uno por dos armaduras metlicas cuadradas de 0,75 m de lado, separadas por un dielctrico de 1 mm de espesor y cuyas cons-!:antes son respectivamente:

    para C1 E = 1 C2 e = 2,5 C3 e = 5.

    1.0 Calcular la carga tomada por el condensador el, cuyas arma-duras estn conectadas a los polos de una mquina electrosttica que tiene una diferencia de potencial de 10.000 volt entre sus polos.

    2. Calcular la intensidad iel campo elctrico entre las armadu-. de Cl .

  • 40 PROBLEMAS DE ELECTROTECNIA Cap. 1

    3. 5lllpuesto descargado Cl y recargado despus a 10.000 volt con una plancha metlica maciza paralela a las armaduras y de un espesor de 0,2 mm, calcular el nuevo valor de la carga de C l y el potencial de la Plancha metlica.

    4. S e carga el condensador C2 a 10.000 volt y despus de aislado, se conecta mediante dos hilos finos y largos a las armaduras del con-

    D densador C3 neutro; calcular, despus de esta co-C~E e nexin, la diferencia de potencial entre las arma-

    duras de C2 y C3 A 8 5. Determinar la energa del sistema C"C" an-

    tes y despus de la conexin indicada anteriormente e e y cul es la diferencia.

    .. 1111111-: ----1 i.-JL-:

    6. Estando los condensadores Cl> Ce, C" pre-viamente descargados, ,se instalan en serie, (casca-da) a 10.000 volt,' determinar las diferencias de potencial entre las armaduras de Cl' C" y C3

    Fig.20 29. Un condensador Plano cargado tiene una

    de sus armaduI"Gs mvil y fijada al platillo de una balrm:::a en equilibrio estable. Introduciendo entre las armaduras una placa de goma laca de 3 mm de espesor, se comprueba que para mantener el equilibrio de la balanza es preciso aumentar en 2 mm la separacin entre las armadu-ras; calcular la constante dielctrica de la goma laca.

    30. Se dispone de un bloque de vidrio de 200 cm:! y se pretende utilizarlo para la fabricacin de un condensador susceptible de almace-nar el mximo de energa. Admitiendo que el poder diclhtrico del vidrio es proporcional a su eS/Jesor e igual a 200 killl1/olt f'or cm, se desea:

    1.0 Demostrar que esta energa mxima slo depende dd 1Jolumen del vidrio.

    2. Hallar esta energa mxi11lo (cOlls/aHt{' dil'1h/rira del vi-drio = 6).

    31. Se dispone de tres condensador('s id,~II/iclIs (' y d,' un cuar-to C' los cuales estn montados como indico lo (ir/II/'{/ :JO, Y ('onectados al manantial U. Un electrmetro E 111id(' la dij,.n'l/lio di' potencial UD -UF entre los puntos D y F. Hallar la (II!'{I/ 'idlld (" ("1 funcin de C y de las tensiones U, UD -UF.

    siendo U = 500 volt UD - UF = 100 1,,,11 e = 10 micro fll J'{/d.

    32. Una mquina electrosttica que gira. 11 ra;:,l/ dI' lOO "evolu-ciones por 1ninuto carga un condensador cuya ((/ /,o cidlld ,'s dI' 0,1 mi-

    Cap. 1 ELECTROSTTICA 41

    crofarad al potencial de 3.000 volt. Si girase a la velocidad de 300 re-voluciones por minuto, se desea saber:

    1.0 La corriente, en ampere, que puede suministrar. 2. La potencia del motor necesario para su accionamiento.

    33. 1. Hallar la frmula de la capacidad kilomtrica de una lnea bifilar, supuesto que el radio a de cada uno de los cOMuctores idnti-cos es despreciable con respecto a la distancia D que los separa, te-niendo en cuenta adems que los dos cOMuctores estn muy alejados del suelo.

    2. Hallar la ' capacidad de una lnea unifilar de dimetro 2 a con relacin al suelo del que le separa la distancia D, siendo el dime-tro 2 a muy peque10 respecto a esta distancia.

    34. Para extraer una carga negativa q de un metal, es necesario realizar un trabajo A = qU (U = trabajo para sacar la carga unidad, siendo del orden de algunos volt). Supuesto U = 1 volt y que las fuerzas de atraccin y unin entre metal y cargas slo se manifies>-tan a distancias inferiores a las dimensiones de los tomos (lfr8 cm), hallar la intensidad del campo capaz de arrancar en fro los electrones a un ""teta!.

    3&. Establecer las frmulas de la capacidad: 1.0 De un condensador esfrico (designando por Rl el radio de la

    esfera interior y por R2 el radio interior de la esfera hueca) . Demos-trar que la frmula de la capacidad de un condensador plano puede ser deducida de la anterior.

    2. D~ un conjunto de dos cables, por kilmetro de longitud, desig-nando por 2 a su dimetro y D la distancia entre ejes. Basarse en el problema 5.

    3. De una lnea unifilar respecto a tierra (capacidad kilomtri- ca), designando por 2 a el dimetro del hilo y por D la distancia de su

    eje a! suelo. 4. De un condensador cilndrico cuyo dielctrico est formado

    por tres cilindros aislantes coaxiales, de~ignando. por ro el radio d~ .la armadura interna, por rl, r2, rg los radws extenores de los tres ol1n-dros aislantes y por El, E2, Eg las constantes dielctricas de estos tres aislantes.

    N ata. - Es aconsejable para la resolucin de las preguntas La y 4.a, que el lector aplique los dos mtodos (ver Formulario) en que se establecen las frmulas de las capacidades.

    36. Dos esferas metlicas de espesor despreciable y de radios Rl y.R2 (R2 > Rl) estn dispuestas concntricamente. Se desea deter-1ntnar:

  • 42 PROBLEMAS DE ELECTROTECNIA Cap. 1

    1.0 Las cargas totales ql y q2 de las dos esferas llevadas respecti-vamente a los potenciales V l y V 2

    2. La capacidad del condensador as formado. 3. Las densidades superficiales de las dos esferas. 4. El potencial en un punto que dista del centro una cantidad r. 5. La fuerza resultante que solicita la masa unidad en este punto

    y cmo se modifican los resultados si la eSfera exterior no tiene es-pesor despreciable (radio ex terior R2, radio interior R').

    31. Los dos polos de una pila de fuerza electromotriz E se conec-tan a dos lminas paralelas de un condensador las cuales son cuadradas y de lado 1. Una de estas lminas P l es fi ja, la otra P 2 mvil. Bajo el efecto de atraccin entre P l y P 2, la. lmina P 2, que estaba amterior-mente a la distancia e l de la P l , se afroxima a ste hasta una dis-tancia e2. Calcular: .

    1.0 El trabajo realizado por las fuerzas elctricas. 2. Demostrar que dicho trabajo es motivado por un aumento de

    energa potencial del condensador, e indt~car de dnde procede esta energa y su destino.

    3. Tratar el mismo problema suponiendo constante la carga Q de las armaduras y demostrar que, en este caso, el trabajo de las fuerzas elctricas corresponde a una disminucin de la energa potencial del condensador.

    Equivalencias numricas: E = 200 V; el = 1 mm; e2 = 0,5 mm; 1= 10 cm,' Q = 2.000 E.S.C.C.S.

    38. A los bornes de una pila de fuerza electromotriz E han sido conectados en serie dos condensadores Cl y C2 . El circuito tiene por resistencia R.

    R'

    Ci:11111~' + E

    Fig.21

    Entre las armaduras de Cl se deriva un conductor de resistencia R'. Expresar la energa que en el curso de esta operacin ha sido consu-mida en las resistencias R y R'.

    Aplicacin numrica: E = 300 V; el = 10-a flF; e2 = 10-2 flF.

    Cap. 1 ELECTROSTTICA 43

    39. Tres condensadores tienen por capacidades Cl = 2 flF, C2 = = 3 flF, Ca = 5 flF Y son cargados a las tensiones V l = 120 V; V 2 = 200 V; V a = 80 V, Y despus se les asla de los manantiales elctricos.

    Se ha unido la armadura positiva de el a la negativa de ~, la po-sitiva de C2 a la negativa de Ca, la positiva de Ca a la negativa de Cl , no habiendo sido ninguna de ellas conectada a tierra. Habiendo sido establecido el equilibrio, determinar las cargas de cada una de las ar-maduras (en micro coulomb ) y las diferencias de potencial entre las armaduras.

    Calcular la energa perdida en la transformacin por efecto Joule.

  • CAPTULO II

    ELECTRO CINTICA Leyes de Faraday, Joule, Ohm y Kirchhoff

    1. CORRIENTE ELCTRICA. LEY DE FARADAY

    Intensidad de una corriente elctrica ampere coulomb

    1 = f Q = cantidad de electricidad que circula durante el tiempo t s

    Potencia de una corriente elctrica entre dos puntos watt volt amp

    p = U x 1 U = diferencia de potencial entre estos puntos 1 = intensidad de la corriente.

    Masa de metal depositado por el paso de 96.490 coulomb A M=-[ n

    A = masa atmica del metal en gramos n = valencia

    .!!.. = equivalente qumico del metal. n

    PROBLEMAS RESUELTOS

    Ley de Faraday

    l. Dos cubas electrolticas estn conectadas en serie, siendo los c-todos de platino. La primera contiene una solucin de nitrato de pla-ta, NOaAg, con el nodo de plata pura, la segunda una solucin de nitrato de Plomo (N03)2Pb, con el nodo de plomo puro.

    Durante dos horas se hace pasar una corriente de intensidad 1 cons-tante lograda mediante un restato de regulacin ,. la densidad de co-rriente, es en ampere por cm.! de superficie de electrodo, de 0,02, siendo la Prdida de masa del nodo de plata de 1,04 g. Calcular:

  • 46 PROBLEMAS DE ELECTROTECNIA Cap. II

    1.0 Cul es la masa de Plomo depositada sobre el ctodo? 2. Cul es el valor de la corriente con una aproximacin de un

    miliampere? 3. Cul es la superficie de cada uno de los electrodos! 4. Repitiendo el experimento con una solucin saturada de sul-

    fato de cobre S04CU, con nodo de cobre puro y ctodo de platino, considerando que si para una prdida de masa de 1,02 g del nodo de plata se obtiene un depsito de cobre de masa de 0,304 g, calcular con una aproximacin de O). g la masa a.tmica del Cu, siendo los pesos atmicos de la plata y del Plomo 108 y 207 respectivamente:

    1.0 Cuando se depositen 108 g de plata tendremos un depsito de 2~7 g de plomo, pues la misma cantidad de electricidad atraviesa las dos cubas.

    La masa de plomo depositada sobre el ctodo de la cuba de nitrato de plomo ser:

    103,5 1,04 x ----.ws = 0,9966 g.

    2. Puesto que los 108 g de plata han sido depositados por el paso de 96.490 coulomb, la masa de 1,04 g de plata ser depositada por:

    96490 1,04 x 1m coulomb

    los cuales han pasado por el bao en 2 X 3.600 = 7.200 segundos. Por consiguiente la corriente ha sido de:

    Q 96.490 1 1 = -t- = 1,04 x 108 x 7.20(f = 0,129 ampA/'8.

    3. Si la densidad l/S de la corriente (en la que S es la superficie de un electrodo) es de 0,02 ampere/cm2, se deduce en seguida:

    1 0,129 S = 1 : S = 0,02 = 6,45 cm".

    4.0 Las masas de metales diferentes depositadas por la misma can-tidad de electricidad son proporcionales a los equivalentes qumicos de estos metales. Por consiguiente podemos escribir:

    1,02 ----.ws

    0,3040

    ~XA 2 A = masa atmica del Cu

    A = 108 x 0,3040 x 2 1,02 =64,3.

    Cap. II ELECTROCINTICA 47

    Tensin mnima necesaria para la electrlisis

    ~. Siendo las tensiones de polarizacin o sea as diferencias de po-tencUJ,l existentes entre un metal cualquiera y la solucin normal de sa-les del mismo metal las que se indican en la tabla siguiente, calcular:

    1.0 La fuerza electromotriz mnima necesaria para la electrlisis del cloruro de zinc.

    2. La diferencia de potencial que es necesario aplicar a los bornes de una cuba electroltica conteniendo una solucin de cloruros de n-quel y de cobre con electrodos de carbn, a fin de separar completa-mente el nquel del cobre.

    ,

    3. Cul es la duracin de esta ultima operacin?

    TABLA DE TENSIONES DE POLARIZACIN

    Cuerpos simples Tensin Cuerpos simples Tensin

    Cationes Hidrgeno Arsnico. - 0,29

    Potasio + 3,2 Cobre - 0,33 Sodio. + 2,82 Bismuto. - 0,35 Bario. + 2,75 Antimonio - 0,47 Calcio + 2,31 Mercurio - 0,75 Magnesio + 1,50 Plata. - 0,16 Aluminio + 1,27 Platino - 0,86 Manganeso. + 1,09 Oro - 1,08 Cinc + 0,80 Hierro + 0,66

    Aniones

    Nquel + 0,60 Flor. + 1,96 Cobalto + 0,42 Cloro. + 1,41 Cadmio + 0,44 Oxgeno. + 1,12 Estao + 0,19 Bromo + 0,99 Plomo . + 0,16 Yodo. + 0,52

    Datos: Distancia entre electrodos: 20 cm. Resistividad del bao CuCI2, NiCI2 : 22 X lOS microhm-cmt por cm. Intensidad de la corriente: 400 ampere. . Densidad de corriente: 0,02 ampere por cmt . Masa de cobre en la solucin: 400 g. Masa de nquel en la solucin: 100 g. Resistividad del bao NiCI2 : 44 X 106 microhm-cmz por cm. Cu = 63. Ni = 59.

  • 48 PROBLEMA~ DE ELECTROTECNIA Cap. II

    1.0 Cuando se somete a electrlisis una mezcla de aniones y ca-tiones, la accin empieza efectivamente cuando la tensin aplicada a los electrodos es superior a la tensin de descomposicin de la solucin o bao del electroltico, siendo igual a:

    ee + ea ea = diferencia de : otencial entre nodo y solucin. ee = diferencia de potencial entre solucin y ctodo.

    La tabla de tensiones de polarizacin nos indica que: ee = d. d. p. entre Zn ea = d. d. p. entre CI

    y y

    ZnCl2 = + 0,80 volt ZnCI. = + 1,41 volt.

    La fuerza electromotriz necesaria para la electrlisis del C12Zn ser: 1,41 + 0,80 = 2,21 volt.

    2. Calculemos las tensiones de descomposicin de los dos elec-trlitos:

    CuCI2 : - 0,33 + 1,41. = 1,08 volt NiCI. : + 0,60 + 1,41 = 2,01 volt.

    As pues, si se aplica a los electrodos una tensin tal que la fuerza electromotriz disponible tenga un valor de 1,08 volt, slo el cobre se depositar sobre el ctodo.

    La tensin que se ha de aplicar a los electrodos ser: U=E+rl E = 108 volt.'

    " r = resistencia del bao electrolltico de donde:

    1 J J = corriente rl = p s x 1 = pi x s rl = 22 x 20 X 0,02 = 8,8 volt.

    As pues: u = 1,08 + 8,8 = 9,88 Yolt.

    En consecuencia, ser preciso mantener esta tensin U hasta que el cobre se deposite.

    Por tanto para lograr el depsito de nquel ser necesario una tensin:

    3.0 Duracin.

    Uf = 2,01 + r'J, r'J = 44 X 20 x 0,02 = 17,6 volt . U' = 2,01 + 17,6 = 19,61 Yolt.

    Si 96.490 coulomb (o sea, un farad, que es la cantidad de electri-cidad que deja en libertad un equivalente-gramo de un electrlito) de-positan 63/2 gramos de cobre, el tiempo necesario para depositar los 400 g de este metal ser:

    Cap. TI ELECTROCINTICA 49

    400 96.490 x 400 lt = 96.490 x 3l,5 de donde 1= 400 X 31,5 = 3.063 seg = 51 mino

    El tiempo necesario para el depsito de nquel ser: , 96.490 x 100

    t = 400 x 29,5 = 818 segundos = 13 minutos 38 segundos A 59

    -;;- = 2 = 29,5 (nlquel).

    La duracin total de la operacin ser: 51 + 13 = 64 minutos, aproximadamente: 1 hora & minutos.

    2. LEY DE JOULE. RESISTENCIA. RESISTIVIDAD

    Expresin de la ley de Joule

    Joule ohm ampere s W = energla perdida bajo forma calorffica R = resistencia del circuito considerado w= R J2

    4

    J = intensidad de la corriente que lo atraviesa

    Resistencia de un conductor

    ohm mlcrohm-cm' m por cm

    R = P x 1 SX 10-2 p = resistividad 1 = longitud s = seccin

    mm'

    Influencia de la temperatura sobre la resistividad

    Pt = po (1 + a.1) po = resistividad a oC pt = resistividad a t oC .

    a. = coeficiente de temperatura 2~ para el cObre). Calor desprendido o transmitido por un conductor

    (frmula de Newton)

    caloras-g cm' grados Q = KS (l. - 11)

    s = superficie de radiacin K = coeficiente de Newton 11 = temperatura ambiente l. = temperatura del conductor

  • 50 PROBLEMAS DE ELECTROTECNIA Cap. II

    PROBLEMAS RESUELTOS

    Ley de Joule

    3. Ha sido comprobada en una estufa una prdida de calor de 5 ca-loras-g por segundo y por grado centesimal de exceso de su tempe-ratura sobre la del ambiente. Se desea compensar esta Prdida de ca-lor instalando una resistencia elctrica filiforme recorrida por una co-rriente adecuada de manera que asegure a la estufa una temperatura fija que exceda de 100 a la del ambiente. .

    A este efecto se escoge un hilo de resistividad p = SO microhm-cm2 por cm independiente de la temperatura y se conecta a los bornes de un manantial elctrico de 100 volt de tensin. Calcular:

    1.0 La potencia elctrica necesaria en el hilo resistente. 2.0 El valor de la corriente. 3. La resistencia elctrica del hilo. 4. La longitud del hilo condicionada a una densidad mxima de

    2 ampere por mm!!.

    1.0 La cantidad de calor suministrada por segundo por el hilo re-sistente ser:

    Q=5 X 10=50 cal-g que corresponde a:

    50 x 4,18 = 209 J:s o sea 209 watt.

    2. La intensidad de la corriente ser:

    P 209 1 = U = 100 = 2,09 ampere.

    3. La resistencia R del hilo vendr dada por:

    RI2 = P = 209 watt 209

    R = 2,092 = 41,82 Q

    4. Para que la densidad de corriente sea 2 A/mm2 ser necesario que el conductor tenga una seccin:

    2,09 = 1 045 mm2 2 '

    Cap. II ELECTRO CINTICA

    y su longitud 1 vendr dada por la frmula: 1

    R=ps 1

    47,82 = 50 x 10-2 x 1,045 47,82 x 1,045 x 102 100 t

    50 = me ros. 1=

    Resistencia de aislam'iento de un cable

    51

    4. Un hilo de cobre de 5 mm de dimetro est aislado por una cu-bierta de goma de 4;27 mm de espesor alrededor de la cual est dis-puesto un revestimiento o cubierta de plomo.

    Sabiendo que la resistividad del caucho es de 628 106 megohm-cm!! por cm, se desea saber el valor de la resistencia de aislamiento por kilmetro del cable.

    Consideremos (Fig. 1) un volumen elementalli-mitado por los cilindros r y r + dr. Su resistencia ser:

    1 dr dR = P . - = p . - -s 2-r.rl Fig.l

    siendo 1 = longitud del cable y s = beYl, la superficie atravesada por la corriente.

    La resistencia de aislamiento del cable ser pues:

    _iR2 _ P {R2 dr p R2 R - R dR - 2nl R -:- = 2nl L Y,'

    1 ,. . 1

    Cuyo valor, aplicando los datos numricos, ser:

    R = 628 X 1012 2 3 1 2,5 + 4,27 6,28 x 105 X , og 2,5 = 10g ohm

    R = 1.000 megollm.

    Nota importante: La frmula que da el aislamiento kilomtrico de un. cabl.e contiene el logaritmo de R2/Rl (relacin del radio exterior al mtenor). Resulta, pues, que el aislamiento kilomtrico del cable cre-ce mu.cho m~nos rpidamente que el espesor del aislamiento, el cual, a partIr de CIerto espesor, no hay inters en aumentar.

  • 52 PROBLEMAS DE ELECTROTECNIA Cap. II

    Clculo de un restato metlico

    5. Calcular un restato capaz de ser recorrido por una corriente elctrica de 30 ampere de intensidad bajo una diferencia de potencial de 45 volt, restato constitudo por hilo de plata alemana desnudo al aire libre, no debiendo exceder la temperatura los 1000 C.

    Como datos numricos tenemos: resistividad de la plata alemana: 22 microhm-cmll por cm; coeficiente de N ewton (calor desprendido por cmll , por grado y por segundo: k = 0,00039). Calcular el dimetro y la longitud que de~e tener el hilo.

    1.0 Dimetro del hilo. Designemos por: -3 la temperatura lmite alcanzada por el hilo. R resistencia del hilo; S su superficie lateral. 1 la intensidad de la corriente. La temperatura lmite es alcanzada cuando se obtiene la siguiente

    igualdad: calor desarrollado (efecto Joule) = calor perdido por irra-diacin

    0,24R12 = kS& k = coeficiente de Newton.

    Haciendo: ~4 = K resulta: Rl2 = KS&. , l

    Sustituyendo: R por p - y S por 7tdl; s

    1 l Tendremos: p - l2 = K"dl& o P -d~ 12 = K7tdl&. s 7t 2

    De donde se deduce:

    ,3/ p12 d = 0,74 V K& (.)

    y tendremos:

    4

    d = dimetro del conductor s = seccin del conductor l = longitud del conductor

    K = 0,00039 = 001625 0,24 '

    V--;::2::::2~X--=-10::-~~6=--X--;30::=-2~ . V---;;2::::2~X----;:3:-:-0=-2-d = 0,74 1.625 x 10~6 X 100 = 0,74 1.625 x 100 = 0,367 cm osea 3,7 mm.

    (*) Esta frmula muestra que la seccin del hilo deber ser tanto ms pequefia cuanto ms elevada sea la temperatura admitida y que el calor irradiado (accin sobre K) awnente. O sea que es necesario ventilar la resistencia o bien sumergirla en bao de aceite para su enfriamiento. .

    Cap. II ELECTROCINTICA

    2. Longitud del hilo: l De la frmula: R = p-s

    y

    en la que: U 45

    R = T = 30 = 1,5 Q

    53

    de donde: R7td2 1,5 x 3,14 x 0.372 7350' 13 50 1 = --;-- = 4 x 22 x 10"-6 = . cm o sea , m. Observacin Importante. - El clculo del coeficiente K, cuyo valor

    depende de la naturaleza del metal, de la superficie de radiacin y del sistema de enfriamiento es poco menos que impracticable; por esta razn los fabricantes de nuevas aleaciones (constantan, cromo-nquel R.N.C,. uranus, sirius, etc.), utilizados para constituir los restatos, suministran en unas tablas los elementos de clculo de los restatos con dichas aleaciones. A continuacin damos las citadas tablas (*).

    DIAmetro 1111'0 2000 3800 4000 5000 8000 7000 BOOO 8000 1.0000

    mm

    - ------ - - - - --------

    - - --

    l. Resistencia a diferentes temperaturas en ohm por metro. 2,6 . 0,214 0,220 0,229 0,230 0,229 0,230 0,230 0,237 0,241 0,248 2. 0,357 0,366 0,368 0,384 0,382 0,383 0,384 0,395 0,402 0,414 1,3 . 0,821 0,841 0,868 0,882 0,878 0,879 0,882 0,908 0,925 0,950 0/>1 5,615 5,753 5,940 6,036 6,005 6,017 6,036 6,215 6,325 6,501

    JI. Corrientes, en ampere, correspondientes a diversas temperaturas (para un hilo tendido / horiz.ontalmente al aire libre y a 15 C).

    2,6. 10,8 15 19,20 24 28;75 34,50 40,20 47 53,90 64,60 2 8,20 11,15 13,85 17,30 21,20 25 29,80 34,70 40,40 46,10 1.3 . 4,32 5,95 7,60 9,30 11,20 13,40 15,80 18,20 21,15 23,90 0,51 1,23 1,71 2,15 2,68 3,28 3,85 4,50 5,28 6,05 6,90

    Si el hilo no est tendido horizontalmente al aire libre a 15 C, se sustituye la temperatura deseada T por otra ficticia T :

    T' = 0,8 T si se trata de una resistencia arrollada en espiral o hlice montada al aire;

    T' = 0,63 T si la resistencia est enrollada sobre un tubo refrac-tario.

    Por ejemplo, si un restato debe ser recorrido por una corriente de 9,3 ampere, est constitu do por el hilo anteriormente considerado

    (*) Estos datos se refieren a la aleacin Sirius 2 fabricada por .. tablisse-ments Jacob Holtzer" de Unieux (Loire).

  • 54 PROBLEMAS DE ELECTROTECNIA Cap. II

    y arrollado en espiral y si admite una temperatura lmite de 500, se tomar como base una temperatura ficticia de 0,8 ' 500 = 400 C.

    La tabla II da el dimetro correspondiente a 9,3 ampere y 400 C, cuyo valor es d .= 1,3 mm.

    La tabla 1 da la resistencia correspondiente a d = 1,3 mm y 5000, que es de 0,878 ohm por metro lineal.

    Clculo de un restato lquido 6. En ensayos efectuados con restatos lquidos conslitudos por

    placas metlicas paralelas sumergidas en agua se ha podido demostrar que con tensiones prximas a 110 volt:

    a) La corriente especfica (esto es, por unidad de superficie de las placas) es proporcional a la superficie sumergida.

    b) La corriente consumida es sensiblemente proporcional a la se-paracin entre placas.

    Adems, utilizando 10 placas de 0,79 mJ. separadas en/re s 45 mm y completamente sumergidas, la corriente absorbida es dr :!O ampe-re y la temperatura del agua poco superior a la del medio ambiente. Calcular:

    1.0 Cuntas placas de 0,5 m2 separadas entre s 15 11/1/1, sern ne-cesarias para cargar a 30 ampere una dnamo a 120 vllll , I'mpleando para su enfriamiento agua corriente continuamente ren07m{lI.

    2. Cul ser la influencia de una elevacin de la II'II/I'/:ratura del agua sobre la corriente consumida.

    1.0 Si la corriente especfica es proporcional a la sl1lH"rlicit sumer-gida tendremos:

    1 S =K1S

    de donde 1 = K 1S2 (*) siendo K 1 = coeficiente de proporcionalidad. Para expresar la proporcionalidad directa entre la illlc'lIsidad de la

    1 corriente, la tensin e inversa con la supnlici(' slIlIlcrgida, J escribiremos: K-""'Mf'--..

    Fig.2

    Busquemos el valor del coeficiente d(' proporcionali-dad K 2 segn los resultados de la expni(Il!'ia. I 'ara ello, tengamos presente que la superficie de traf,;ljo dt las pla-

    (*) Si la corriente pasase nicamente por el prisma Il]lIid .. f'lI ..t I'lIal dos placas de reserva constituyen las bases, sera proporcional a la SlIprl fijl' S, pero en realidad la masa de agua prxima, hasta cierta distancia del bord .. .1 .. la~ placas sirve igualmente de conductor.

    Cap. II ELECTROCINTICA 55

    cas es: S = 2(n -l)s, siendo s la superficie sumergida de cada placa. ya que todas, salvo las de los extremos (Fig. 2) trabajan por las dos caras; tendremos pues:

    [2 (10 - 1) 0,79]2 X 110 20=K2 x 45

    45 x 20 K2 = 10 (2 x 9 x 0,79)2 X 110 = 0,04.

    As pues la frmula emprica que buscamos ser:

    1 = 004 S2U , e

    s = superficie de trabajo' en m2 , e = separacin entre placas en mm.

    U = tensin en volt.

    que aplicada al problema propuesto nos da:

    30 - O 04 52 x 120 -, 15 de donde V 15x30 S = 0,04 x 120 = 9,63 m2.

    El nmero n de placas vendr dado por la frmula:

    2(n-1) X 0,5= 9,63, de donde:

    n=1O,63 osea 11 placas.

    2, La elevacin de la temperatura disminuye la resistencia de un cotductor; por consiguiente, si el agua no es renovada, la corriente consumida aumentar (ensayos realizados han demostrado que su valor alcanza el doble cuando la temperatura del agua se eleva a 130). Ser, pues, necesario reducir poco a poco la superficie metlica sumergida a medida que la temperatura se eleva, si se quiere mantener constante la corriente de 30 ampere.

    NOTA, - La composicin del agua influye sensiblemente sobre el valor del coeficiente K 2 ,

    3. LEYES DE OHM Y DE Km.CIDIOFF

    Ley de Ohm aplicable a las resistencias

    ohm ampere volt R X 1 = . U.

  • 56 PROBLEMAS DE ELECTROTECNIA Cap. II

    Ley de Ohm aplicable a todo tramo de circuito

    RI= UA - UBE

    u .. ------------ ------.

    -i . ~ Fig.3

    E = fuerza electromotriz o contraelectromotriz A = punto de entrada de la corriente B = punto de salida de la corriente + E si el aparato es generador --:- E si el aparato es receptor.

    Relacin entre la fuerza electromotriz E de un generador y su diferencia de potencial U entre bornes

    E = U + rI r = resistencia interior I = corriente suministrada

    Relacin entre la fuerza contraelectromotriz E' de un receptor y su diferencia de potencial entre bornes.

    E' = U - rI. I = corriente absorbida

    Leyes de K irchhoff

    Primera ley: ~i = O

    Segunda ley: ~e = ~ri

    en un nudo de conductores .

    en un circuito cerrado.

    ~e = suma algebraica de la

  • 58 PROBLEMAS DE ELECTROTECNIA Cap. II Para hacer circular una corriente de 10 A en un circuito de resis-

    tencia 2,357 Q es necesaria una fuerza electromotriz de: 10 x 2,357 = 23,57 volt.

    2. La tensin entre los extremos del circuito R3 debe ser igual a 1 X 10= 10 vo1t.

    Las corrientes en F2 y F4 sern 10: 5 = 2 A. Los circuitos R5 y R6 son recorridos por una corriente de intensidad igual a 10 + 2 + + 2= 14 A. La diferencia de potencial entre los extremos de F I ser la aplicada a Ra aumentada en los valores de las cadas de tensin en R5 y R 6, o sea:

    10 + 2 x 14 = 38 volt.

    De donde la intensidad en el circuito F I ser: 38 5 = 7,6 ampere.

    El generador debe pues suministrar en el circuito R 1 : 14 + 7,6 = 21,6 ampere.

    y su fuerza electromotriz deber ser igual a: U + R,1 = 38 + 1,2 x 21,6 = 64 vott.

    Se puede observar que para obtener la misma corriente en el cir-cuito Ra es necesaria una fuerza electromotriz mucho ms pequea cuando el generador est dispuesto en este circuito que cuando est en otro ms alejado. Este resultado se tendr en cuenta a propsito de las fugas magnticas.

    Shuntaje de ampermetros 8. Un circuito que comprende un galvanmetro de resistencia g

    shuntado con una resistencia s (siendo s invariable a la temperatura y

    r si'

    de valor igual a 0,042 Q); g vara COn la tempe-ratura, siendo su valor a 15 C de 0,75 Q Y su coeficiente de variacin de 0,0038.

    1.0 Determinar el error relativo cometido al efectuar la medicin si la temperatura del hilo del aparato se eleva de 15 a 27 C.

    Fig.5 2. Cul es la corriente principal si a la temperatura de 27 C el galvanmetro marca

    53 divisiones, teniendo en cuenta que el aparato marca 100 divisiones para 0,04 volt entre bornes a la temperatura de 15 C?

    Cap. II ELECTROCINTICA 59

    1.0 Si designamos por 1 la corriente a medir, i la corriente que pasa por el galvanmetro a 15 e e i' la corriente que pasa por el galvanmetro (igual valor de 1), cuando la temperatura alCanza {t0, ten-dremos:

    i'

    s i' -=-- y

    1 gel + Kit) + s 1 g + s _~~~ ___ X _g_+_s = ____ ~g_+~s __ __

    gel + KIt) + s s g(l + Kit) + s El error relativo de la medicin ser: 0= i ~ i' = 1-~ = gel + Kit) + s - (g + s)

    j i gel+KIt)+s

    eK = coeficiente de temperatura).

    Kltg K&g + g + s

    y aplicando los datos numricos del problema tendremos:

    0,0038 (27 - 15) x 0,75 = 0,041 osea 4,1 por 100. 0= 0,0038 (27 - 15) x 0,75 + 0,75 + 0,042

    Este error es importante, por 10 cual los constructores dan la resis-tencia ms pequea posible al hilo de cobre del cuadro mvil de los ampermetros e instalan en serie con el cuadro (en el estuche del apa-rato) una resistencia denominada de calibrado cuyo coeficiente de tem-peratura es nulo.

    2. Calcularemos el nmero de ampere por divisin: Con una diferencia de potencial de 0,04 volt entre sus bornes, el

    galvanmetro es atravesado por una corriente de ~:~~ ampere. As pues, el nmero de ampere por divisin ser: /

    O, 7~'~100 (nmero independiente de la temperatura). La corriente que circula por el galvanmetro a 27 ser:

    . 0,04 x 53 t = 0,75 x 100 = 0,02827 ampere.

    La resistencia del galvanmetro a 27 C tendr C01TIO valor: g = 0,75[1 + 0,0038 (27 - 15)] = 0,7842 Q.

    Para la corriente i' que circula por el shunt a 27 e tendremos: si' = gi =0,7842 x 0,2827.

    De donde: j' = 0,7842 x 0,02827 = O 52776 r O 042 ,ampe e.

    ,

    y la corriente 1 en el circuito principal ser: 1 = j + ji = 0,02827 + 0,52776 = 0,556 ampere.

  • 00 PROBLEMAS DE ELECTROTECNIA Cap. II

    Voltmetros. Necesidad de su gran resistencia

    9. 1.0 Se trata de medir la fuerza electromotriz de una batera de pilas secas de capacidad dbil y ya usada, utilizando un voltmetro A de tipo industrial, hallando 60 volt. La misma medicin realizada con

    t,

    p--'---

    (a) Fig. G

    un aparato B del mismo tipo da 55 volt. Contrastando los dos aparatos dan re-

    sultados justos; utilizndolos para medir la diferencia de potencial en los bornes de un circuito de corriente continua (Fig. 8), las indicaciones son concordanfes y dan 120 volt para los dos casos. Durante estas dos ltimas mediciones se ha' tomado la precaucin de conectar en seri.e con cada uno de los voltmetros un miliampermetro cuya resistencia es del orden de 5 ohm,

    siendo observados pere para B.

    el paso de 40 miliampere para A y de 53 miliam-

    Explicar por qu ha podido producirse una discordancia en el curso de las priltteras mediciones, determinando el valor exacto de la fuerza electromotriz de la batera.

    2.0 Conectando el voltmetro A a los extremos de una resistencia R de un circuito (Fig. 6) que adems dispone de una )ila de fuerza

    p

    (b) Fig.7

    fTn~ "ov r ~t

    : if,04 0:-053 y I

    (e) Fig.8

    electromotriz E (teniendo una resistencia interior p') y otra resisten-cia R'. Determinar:

    a) Cul es la tensin exacta entre los extremos de la resistencia R? b) Cul ser la indicacin del voltmetro A conectado entre los

    e),,trel1iOS de R? c) Cul debera ser su resistencia mnima para que el error siste-

    mtico cometido CI1 la medicin sea inferior a l/l.OOO? /' Los datos numricos son: R = 30 Q; R' = 50 Q; E = 80 v y ~) = 5 Q.

    I

    Cap. II ELECTROCINTICA 61

    1.0 Las tres mediciones realizadas con los aparatos A y B vienen indicadas en las figuras 6, 7 y 8.

    La causa de la discordancia de las medidas es la siguiente: los vol-tmetros A y B miden sucesivamente las tensiones en los bornes de la batera P:

    U1 = E - pi1 U2 = E - pi,

    (p = resistencia interior de la batera P) (E = fuerza electromotriz de la batera P)

    Como los dos voltmetros no tienen la misma resistencia, las inten-sidades de las corrientes i1 i2 que pasan sucesivamente por los dos apa-ratos son diferentes, 10 mismo ocurre con las indicaciones U1 y U2 .

    Despreciando en la tercera medicin (Fig. 8) la cada de tensin del mi1iampermetro (S X 0,04 = 0,2 volt) y expresando la proporcio-nalidad de la corriente a la tensin entre sus bornes en cada uno de los instrumentos, tendremos:

    60 . i 1 = 0,04 x 120 Comparar las figuras 6 y 8

    . 55 %, = 0,053 X 120 Comparar las figuras 7 y 8

    Las ecuaciones precedentes nos dan: 60

    60 = E - P 0,04 '120 . 55

    55 = E = P . 0,053 . 120

    Y por sustraccin tendremos: -1 = 1.163 Q, de donde E = 60 + 0,02 p = 60 + 23 = 83 Yolt. 2. a) Antes de conectar el voltmetro, la diferencia de potencial

    entre los extremos de R tiene . por valor: E 80

    Ri = R . ~ = 30 50 + 30 + 5 = 28,24 volt.

    b) Cuando el voltmetro A est conectado, el valor de la resisten-Rr

    ca R es sustitudo por la equivalente a R y r en paralelo o sea R+ r y el voltmetro indicar (i' = nuevo valor de la corriente) ;

    Rr " Rr E -R-+- r % = -R-+-r x -------;;R:-r-

    R' + p'+--R+r o sea:

    Ex Rr =8Ox (R' + p'XR + r) + Rr 30 x 3.000

    55 x 3.030 + 30x 3.000 = 28 volt.

  • 62 PROBLEMAS DE ELECTROTECNIA Cap. II

    c) Haciendo R' + p' = R", cuando el voltmetro se conecta ten-dremos:

    Rr U2 = E x R"(R + r) + Rr

    mientras que en realidad la tensin es: E

    U1 = R x R" + R'

    El error relativo cometido ser:

    = U1 - U2 =1-~ = ~ __ R--,-R--,-'_' __ U1 U1 (R + r)R" + Rr

    Imponiendo la condicin E < 0,001. o sea:

    30 x 55 . (30 + r)55 + 30r < 0,001.

    Obtendremos: r> 19.400 Q.

    Estos resultados nos muestran por qu es necesario que un volt metro tenga una resistencia elevada para dar indicaciones exactas. El nmero de ohm por volt ele un voltmetro es una de las condiciones de su precisin. Esta condicin es particularmente exigida en los aparatos destinados a ser utilizados en los circuitos de gran resistencia y dbil corriente, como, por ejemplo, los voltmetros destinados a la medida de circuitos de T.S.H. que alcanzan m;ls de 10.000 ohm por volt.

    Fuerza electromotriz de un generador. Fuerza contraelcctromo-triz de un receptor

    10. Un generador cuya fuerza electrmnolriz es de .7 zo 7Jlll1 y cuya resistencia interna es de 0,048 Q, suministra una corriente de 20 am-pere a un electromotor situado a 300 metros de distancia. La lnea para el suministro es un hilo de cobre (p = 1,8 microhll!-C'm~ por cm) de 4 mm de dimetro y la resistencia interior del motor es de 0,5 ohm. Calcular:

    1.0 La resistencia del conductor; 2. La tensin en los bornes del generador; 3. La cada de tensin en la lnea; 4. La tensin en los borne'S del motor; 5. La fuerza contraelecfremotriz del motur; 6. La seccin que debera tener el hilo de la lIIe(! si la cada de

    tensin admitida es slo de 5 volt;

    I

    Cap. JI ELECTROCINTICA 63

    7. La resistencia que sera necesario intercalar en el circuito para que al arranque del motor la corriente no sobrepase los 30 ampere.

    1.0 La resistencia de la lnea, sabiendo que p = 1,8 microhm-cm2 por cm, ser:

    R = P ~ X 10-2 = 1,8 x 6()() x 4 x 10--2 = 0,86 Q. s TI X 42

    2. La tensin en los bornes del generador ser: U g = E - rl = 120 - 0,048 x 20 = 119 voH.

    3. La cada de tensin en la lnea valdr: 20 x 0,86 = 11 volt.

    4. La tensin en los bornes del motor ser: Um = 119 - 17 = 102 volt .

    5. La fuerza contraelectromotriz del motor valdr: E' = Um - r'I = 102 - 0,5 x 20 = 102 - 10 = 92 volt,

    6. Para que la cada de tensin sea de S volt, es necesaria una sec-cin s' del conductor de cobre tal que:

    o sea:

    1 5 = P - X 10-2 X 1 s'

    5 = 1,8 x 6~ x 10-2 X 20 s

    de donde s' = 43,2 mm",

    7.0 En el momento del arranque el motor no trabaja por 10 que la fuerza contraelectromotriz es nula. Entonces tenemos E' = 0, apli-cando la segunda ley de Kirchhoff al circuito cerrado tendremos:

    E I}:.R = E 1= }:.R

    30 = ~=-=----o----ol--c2~0--c~ _ _ 0,86 + 0,048 + 0,5 + x

    x = resistencia a intercalar.

    De donde: x = 2,6 Q.

    . Leyes de Kirchhoff

    11. Dos bateras de acumuladores G1 y G2 tienen por fuerza elec-tromotriz 100 Y 90 volt respectivamente y sus resistencias interiores

  • 64 PROBLEMAS DE ELECTROTEC NIA Cap. II

    0,5 y 0,2 ohm. Se conectan sus polos (Fig. 9) a los bornes de un elec-tromotor cuya resistencia interior es de 1 ohm y que desarrolla una fuerza contraelectromotriz de 80 volt. Siendo las resistencias de los hilos de las conexiones despreciables, calcular:

    E

    +

    1.0 Las intensidades de las corrientes 1, i , i2 , en los dife-rentes circuitos;

    = E,,100 V +

    Ez,90v -=-2. Las intensidades de las

    mismas en el supuesto de que el motor est parado ; .. =-r,.o,SO rz a 0,2 O-=-

    A

    Fig.9

    3. Considerar el caso en que la mquina funcione (pro-porcionando la fuer.::a electro-motriz de 80 volt) cuando as bateras de acumuladores han

    sido sustitudas por restatos bateras respectivas.

    teniendo las mismas resistencias que las

    . 1.,0 Fijando ~rbitrariamente un sentido de la corriente \ para cada clrcUIto, se conVlene en que en cada circuito el sentido positivo de re-corrido ser el de las agujas del reloj.

    Aplicando la primera ley de Kirchhoff en el vrtice C, tendremos:

    (1) Aplicando la segunda ley de Kirchhoff al circuito ABCnA, ten-

    dremos: E1 - E' = r1i1 + r'! 20 = 0,5 j1 + l. (2)

    Aplicando la segunda ley de Kirchhoff al circuito ABEFA, ten-dremos:

    10 = 0,5 i1 - 0,2 i2 (3)

    A continuacin se resolver el sistema de ecuaciones (1), (2) y (3), La ecuacin (2) puede escribirse:

    (2')

    La ecuacin (3) multiplicada por 3 dar: 30 =1,5 i1 - 0,6 i 2 (3')

    Restando miembro a miembro la ecuacin (2') de la (3') tendremos: 10 = - 0,6 i 2 - j2 = - 1,6 i 2

    i 2 = - 6,25 ampere.

    /

    Cap. II ELECTROCINTICA 65

    Reemplazando i 2 por su valor de la ecuacin (3), tendremos: 10 = 0,5 i1 + 1,25 de donde i1 = 11,11 ampere.

    De donde: I = i1 + i 2 = 17,5 - 6,25 = 11,25 ampere.

    OBSERVACIN. - El signo - de i2 indica que el sentido de la co-rriente en la rama EF es el contrario del que nosotros hemos adoptado arbitrariamente .

    2. Cuando el electromotor no funciona, tenemos E' = O y las ecua-ciones (1), (2), (3) se convierten en:

    1 = i1 + i 2 E=r1i1+r'1 100=0,5i1 +1 (2) E1 - E2 = r1i1 - r2i2 10 = 0,5 i1 - 0,2 i2 (3)

    Y la ecuacin (2) se escribe: 100 = 0,5 i, + i 1 + i2 = 1,5 j1 + i 2

    Restando de esta ecuacin la (3) multiplicada por 3, tendremos: 70 = i 2 + 0,6 i? = 1,6 j2

    1.=43,15 ampere.

    D donde se deduce inmediatamente: t. = 31,& ampere 1 = 81,2& ampere.

    3. En esta ltima hiptesis, una sola fuerza electromotriz viene aplicada al circuito, en el que est intercalado en serie: la resistencia de la mquina cuando funciona como generatriz, r' = 1 Q; equivalien-do X a las dos resistencias Y y r2 acopladas en paralelo:

    1 1 1 -= - -+ --X 0,2 0,5 X = 0,1428 O.

    La intensidad 1 de la corriente suministrada por el generador es:

    I= E 80 1 + 0,1428 = 10 ampere. r'+ X

    De donde se deduce fcilmente la tensin entre D y C: UDC = E - r'I = 80 - 70 = 10,"0It.

    y de esta manera: . 10 20 11 = 0,5 = ampere.

    10 i 2 = 2 = &0 Impere.

    ,

    6

  • 66 PROBLEMAS DE ELECTROTECNIA

    ()IISEIWACIN IMPORTANTE:

    En la primera hiptesis tenamos: 1 = 11,25 A (sentido BE) En la segunda hiptesis tenamos: 1 = 81,25 A (sentido BE) En la tercera hiptesis tenamos: 1 = 70 A (sentido EB).

    De las que se observa la igualdad: + 81,25 - 70 = 11,25

    Cap. Ir

    es decir que la corriente en la rama CD que lleva el motor es igual a la suma algbrica:

    a)