PROBLEMAS SOBRE ECUACIONES E INECUACIONES …math.cubava.cu/files/2015/05/...i-Milagros-Riquenes-Rodriguez-_213.pdf · Universidad “Vladimir Ilich Lenin” Las Tunas PROBLEMAS SOBRE

Universidad “Vladimir Ilich Lenin” Las TunasUniversidad “Vladimir Ilich Lenin” Las Tunas

PROBLEMAS SOBREECUACIONES E INECUACIONES

LINEALES

Milagros Riquenes Rodríguez; Raúl Hernández Fidalgo; ArsenioCelorrio Sánchez; Salvador Ochoa Rodríguez

PÁGINA LEGAL

374.852-Riq-P

Riquenes Rodríguez, Milagros

Problemas sobre ecuaciones e inecuaciones lineales en: problemas de matemáticas para el ingreso a la Educación Superior / Milagros Riquenes Rodríguez; Raul Hernández Fidalgo; Salvador Ochoa Rodríguez. -- La Habana (Cuba) : Editorial Universitaria, 2011. -- ISBN978-959-16-1956-3 . -- 77 pág.

1. Universidad “Vladimir Ilich Lenin” Las Tunas.

2. Matemáticas en la enseñanza media: libros de texto

ISBN (obra completa) 978-959-16-1959-4Digitalización: Dr. C. Raúl G. Torricella Morales, ([email protected])Depósito Legal: 9789591619563

Milagros Riquenes Rodríguez; Raúl Hernández Fidalgo; Arsenio CelorrioSánchez; Salvador Ochoa Rodríguez, 2012Universidad de Las Tunas - Editorial Universitaria del Ministerio de Educación Superior, 2012

La Editorial Universitaria (Cuba) publica bajo licencia Creative Commons de tipo Reconocimiento, Sin Obra Derivada, se permite su copia y distribución por cualquier medio siempre que mantenga el reconocimiento de sus autores y no se realice ninguna modificación de ellas.

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TABLA DE CONTENIDO

1. Problemas sobre ecuaciones e inecuaciones lineales (este capítulo).Ecuaciones Lineales.Ecuaciones Cuadráticas.Ecuaciones con radicales, exponenciales y logarítmicas reducibles a ecuaciones lineales y cuadráticas.Inecuaciones Lineales.Inecuaciones Cuadráticas

2. Sistema de ecuaciones linealesSistemas de ecuaciones lineales de dos ecuaciones y dos incógnitas.Método de adición algebraica.Método de Sustitución.Sistemas de tres ecuaciones lineales con tres incógnitas.Sistemas de Ecuaciones Cuadráticas.Ejercicios.Problemas que conducen a sistemas de ecuaciones lineales

3. TrigonometríaÁngulos y medición de ángulosFórmulas de reducciónFunción PeriódicaGráfico de la Función y = senx en [0, 2π] y sus propiedadesFunciones de la forma y = a sen bx con a R y b R y sus propiedades∈ ∈Gráficas de las funciones: Coseno, Tangente y Cotangente y sus propiedadesAlgunas identidades trigonométricasDemostración de identidades trigonométricasEcuaciones trigonométricasEjercicios

PRÓLOGO DE LOS AUTORES

El libro: “Problemas de matemáticas para el ingreso a la Educación Superior” tiene el objetivo de ayudar a los estudiantes a prepararse para las pruebas de ingreso a la Educación Superior. Se compone de tres capítulos:

• Problemas sobre ecuaciones e inecuaciones lineales (este capítulo).

• Sistema de ecuaciones lineales y

• Trigonometría.El libro presenta un sistema de conceptos, ejemplos resueltos, una metodología de trabajo y ejercicios propuestos con problemas de aplicaciones; todo esto en un lenguaje claro y sencillo. Contiene un gran número de ejemplos resueltos, en los que se ejemplifica la metodología de trabajo empleada, lo cual constituye un aporte metodológico al estudio de las matemáticas.

Los autores, junio 2012

1. Problemas sobre ecuaciones e inecuaciones lineales

Milagros Riquenes Rodríguez, Raúl Hernández Fidalgo y Salvador Ochoa Rodríguez

Ecuaciones e Inecuaciones lineales y cuadráticas.

3

Ecuaciones Lineales. Se denominan ecuaciones, las igualdades que contienen una o varias variables (o incógnitas) y solo se satisfacen para algunos valores de las variables. En este trabajo el dominio de las variables que se utilizan, es el de los números reales. Resolver una ecuación es determinar los valores de las variables que hacen cierta la igualdad o asegurarse de que no existen tales valores. Los valores que hacen cierta la igualdad se llaman soluciones o raíces de la ecuación. Las ecuaciones de la forma 0=+ bax (con a y b números reales 0 ≠a ) se denominan lineales

en una variable real y se resuelven despejando la variable x o sea abx −

=

Ejemplos. Resolver las ecuaciones:

3212

1313 )

)2(5)24(32 )85

43

21

31 )

234 )

−+

=−+

+−=−+−−

+=−

=−

xx

xxd

xxxxc

xxb

xa

Soluciones:

45

432

234 )

=

+=

=−

x

x

xa

=→=

=

=−=−

=

45

2

2353454

:Prueba

SMDMI

MD

MI

65

43

21

31 ) +=− xxb

En este caso, la ecuación no está expresada en la forma 0bax =+ ( con 0 a ≠ ) , debe reducirse la misma a ésta mediante las siguientes transformaciones algebraicas:

• Agrupar todos los términos que contienen la variable x en el miembro izquierdo (MI) de la ecuación y los valores numéricos en el miembro derecho (MD):

21

65

43

31

+=− xx

• Hallar el común denominador de la ecuación que es el mínimo común múltiplo de los números: 3, 4, 6 y 2. 123.2)2,6,4,3( 2 ==MCM


4

• Multiplicar toda la ecuación por MCM

( )12 /.21

65

43

31

+=− xx

61094 +=− xx

• Reducir en cada miembro, los términos semejantes 165 =− x Despejar la variable x

5

16−=x

Comprobación o prueba:

3047

301532

21

1516

21

516

31: −=

−−=−−=−

−MI

3047

302572

512

65

516

43: 6

5 −=+−

=+−

=+

−MD

Como ambos miembros son iguales, la ecuación se satisface para el valor 5

16−=x y el conjunto

solución es

−=

516S .

Análogamente se resuelven los demás ejemplos. )2(5)24(32 c) +−=−+−+ xxxx

144

342522252432

==

+=++−−=+−−+

x x

--xxx-x xxxx

{ }1=S

Nota: La prueba queda para el estudiante.

3212

1313 )

−+

=−+

xx

xxd

Esta ecuación es fraccionaria, pero mediante transformaciones algebraicas sencillas como son: multiplicar por el común denominador ambos miembros, efectuar los productos indicados y reducir términos semejantes en cada miembro es posible convertirla en una ecuación de la forma 0=+ bax (con 0≠a ) . El común denominador de la ecuación es: ( )( )3213 −− xx


5

41-

8)(: / 2831326296

1326329613)(12()32)(13(

)32)(13(3212

1313

3212

1313

22

22

=

−=−+−=−+−+−

−+−=−+−−+=−+

−−⋅−+

=−+

−+

=−+

x

xxxxxxx

xxxxxx ) xxxx

xx /xx

xx

xx

xx

Nota: Comprobar la solución obtenida. Ecuaciones Cuadráticas. Las ecuaciones del tipo 02 =++ cbxax con a, b y c números reales y 0 ≠a se denominan cuadráticas y se resuelven mediante la fórmula:

,2

42

2,1 aacbbx −±−

= donde acbD 42 −= es el discriminante.

reales. soluciones tienenoecuación La 0 Sí iguales. reales soluciones dos ieneecuación t La 0 Sí

.diferentes reales soluciones dos ieneecuación t La 0 Sí

→<→=→>

DDD

Cuando el trinomio cbxax ++2 tiene descomposición factorial racional se puede utilizar este procedimiento para reducir la ecuación de segundo grado a dos ecuaciones lineales. Ejemplos. Resolver las siguientes ecuaciones:

065 ) 2 =+− xxa

15)3( ) −=− yyyb

xxx

xx

xxc)

22

212

2

2

−

−=

−−

++

0106 ) 2 =+− zzd

043 ) 24 =−− xxe


6

Solución:

)6 ,5 ,1( ;065 ) 2 =−===+− cbaxxa ;

0

06)3(5)3( 3 para Prueba

2 ó ,32

15)1(2

)6)(1(4)5()5(

21

21

2

2,1

MDMIMDMIx

xx

x

==

=+−==

==

±=

−−±−−=

{ }2;3 MI 0MD

06)2(5)2(MI 2 para Prueba 22

=→==

=+−==

SMD

x

Observe que el trinomio 65 ) 2 +− xxa se descompone en )3)(2( x - x - por lo que 0)3)(2( = x - x - , 02 = x - ó 03 =−x : 2=x ó 3=x

De esta forma el procedimiento para obtener las soluciones de la ecuación de segundo grado es más cómodo, por lo que se recomienda que se analice primeramente sí el trinomio tiene descomposición factorial racional por los métodos estudiados. En caso de no existir la descomposición factorial racional, se utiliza la fórmula.

15)3( ) −=− yyyb

En este caso se deben realizar transformaciones algebraicas hasta obtener la ecuación dada en la forma 02 =++ cbxax

yyyyy

0180153

2

2

=+−

=+−−

Como el trinomio del miembro izquierdo no tiene descomposición factorial, se debe utilizar la fórmula para resolver la ecuación de segundo grado. Para sustituir en la fórmula es necesario identificar el valor de a, de b y de c: 1=a , 8−=b y 1=c

154 ó ,154

21528

2608

)1(2)1)(1(4)8()8(

21

2

2,1

−=+=

±=

±=

−−±−−=

xx

x

Compruebe los resultados obtenidos.

{ }154 ; 154 −+=S

xxx

xx

xxc

22

212) 2

2

−−

=−−

++

Esta ecuación es fraccionaria, pero mediante transformaciones algebraicas sencillas como son:


7

multiplicar por el común denominador ambos miembros, efectuar los productos indicados y reducir términos semejantes en cada miembro es posible convertirla en una ecuación de la forma 02 =++ cbxax con a, b y c números reales y 0 ≠a

( )

( )

02 024

2)1( 2)-2)((

MCM.2)-( /.22

212

22

212

2

222

2

2

2

=−−

=+−−+−

−=−++

→−−

=−−

++

−−

=−−

++

xxxxxx

xxxxx

xxxx

xxx

xx

xxx

xx

xx

2 ó 10)2)(1(=−=

=−+xx

xx

Nota: El valor 2=x no pertenece al dominio de la ecuación porque anula dos de los denominadores de la misma, por tanto, no es solución de la ecuación.

{ } 1-S

31

31

321

2111

121:1 para Prueba

==

−=

−=+−=−−−−

+−+−

=−=

MDMI

MD

MIx

Nota: Los valores de la variable de una ecuación que no pertenecen al conjunto solución por ser valores que indefinen la ecuación o por no satisfacer la misma se denominan raíces extrañas.

{ } φ==<−=−−=−=

=−===+−

S ó Sy reales soluciones tienenoecuación la 0410142642 ntediscrimina el Como

10 6 1( 01062 )

))(()(acbD

)c,b,azzd

4 10)4)(1(

043204)2(32)2(

2 sea o ,por 2 dosustituyen

02 forma la a dadaecuación la reduzcamos 04234 )

=−==−+

=−−

=−−

=

=++=−−

yóyyyyy

xx

yx,yx

cbxaxxxe

genera no que lopor , Ren imposible es 1 igualdad La 4y 1:obtiene se ecuación laen doSustituyen

222

2

−==−=

=

xxxyx


8

{ }.2;2raíces. estas para prueba la Realice

2 :cumple se 4 igualdad laEn dada.ecuación la parasolución 2

−=

±==

S

xx

Ecuaciones con radicales, exponenciales y logarítmicas reducibles a ecuaciones lineales y cuadráticas. Ecuaciones con radicales. Las ecuaciones que contienen la incógnita bajo el signo radical al menos una vez, se denominan irracionales o ecuaciones con radicales. Para resolver una ecuación con radicales es necesario realizar transformaciones para reducirlas a una ecuación lineal o cuadrática. En estas transformaciones se pueden introducir raíces extrañas por lo que se requiere comprobar los valores hallados en la ecuación original. Ejemplos. Resolver las siguientes ecuaciones:

a) 34 =+x b) 1353 =+ x

c) xxx 21152 =+++ d) 11 =++ xx

e) 5416 =++ x f) 14244 =++− xx

g) x

xx+

=++242 h) ( ) 3 14353 2/1 =−+− xx

i) 1423 +=−−+ xxx j) 27411 xxx −−=−

k) 22 8

22

2

−= xx

x

l) )xlog()xlog(xlog 272 422 ++ =⋅

Solución:

a) 34 =+x

Racionalicemos la ecuación elevando al cuadrado ambos miembros.

( ) ( )2234 =+x

94 =+x 49 −=x 5=x

Comprobación:

MDMIMDMI

==

==+=3

3945

S = { 5 }

b) 1353 =+ x

En este caso para racionalizar la ecuación aislemos

Comprobación:


9

primeramente el radical.

( )4)2(

cuadradoalElevando25

313

22

==

=

−=

xx

x

x

( )

{ }4

1313253453

===

=+=+=

SMDMI

MDMI

c)

[ ] [ ]

( )

30033093015144

144151215

1215

2115

2

22

22

222

2

2

===−=−

=−−−+−

+−=++

−=++

−=++

=+++

xx

xxxx

xxxxxxxx

xxx

xxx

xxx

( ) ( )( )

( ) ( )( )

{ }33632

61512511353

30002

21111050

0

2

2

=∈⇒=∴==

=+=+=+++=

=∉⇒≠

==

=+=+++=

=

SSMDMIMD

MI

xParaSMDMI

MDMI

xParaónComprobaci

d) 11 =++ xx

[ ] [ ]

( ) ( )

0cuadradoal

nuevamenteElevando0

0

radicalel Aislando211

211

cuadradoalElevando11

radicalun Aislando 11

22

22

=

=

=

=−

−−++−=+

−=+

−=+

x

x

x

xxxxxx

xx

xx

{ }0

1;1010

onComprobaci

==

==++=

SMDMI

MDMI

e) 5416 =++ x

544 =++ x

1454 =−=+x

( ) ( )2214 =+x

14 =+x 341 −=−=x

{ }3

55144316

:ónComprobaci

−===

=+=+−+=

SMDMI

MDMI


10

f) 14244 =++− xx

[ ] [ ]2424281964

24144

2414422

+++−=−

+−=−

+−=−

xxx

xx

xx

{ }40 ; 14

148664362440440

:ónComprobaci

===

=+=+=++−=

SMDMIMDMI

( )

[ ]

402464

2464 248

248

28:/2428224

2428241964

22

==−

+=+=

+=

−+−=−

+−=−−−−

xxx

x

x

x

xxx

g) xx

xx +⋅+

=++ 2/242

[ ] ( )[ ]( )( )

[ ] ( )

3/2 6/4

046 0442

442 22

242

422

422

22

22

222

2

2

2

===−=−+−+

+−=+

−=+

−−=+

=+++

=+++

xx

xxxxx

xxxxxxx

xxx

xxx

xxx

h) ( ) 32

1

14353 =−+− xx

[ ] ( )

539143

914353

314353 222/1

−−=−

=−+−

=

−+−

xx

x

xx

( )

( )

{ }32

62

6222232

322

3224

384

3224

63

6333323

32332332322

323832322

:ónComprobaci

/SMDMI

:

///MD

///

////MI

==

==

==

==+

=

==

====+

+=++=

( ) ( )( )( )( )

{ }10

339 45

1625

141035103

:ónComprobaci

2/1

2/1

2/1

===

==+=

+=

−+−=

SMDMI

MD

MI


11

[ ] [ ]

( )18:/531890

53185381143

53531881143

539 143 22

−−−=−

−−=+−−−

−+−−=−

−−=−

x

xxx

xxx

xx

[ ] [ ] 22 53 5

535

−=

−=

x

x

103/30

3305325

===

−=

xx

xx

i) ( ) ( )221423

1423

+=−−+

+=−−+

xxx

xxx

142623 2 +=−+−+−+ xxxxx

[ ]606

66

6

2:/262

121462

22

22

2

2

2

2

=⇒=−=−+

=−+−

=−+−

=−+−

−−+=−+−

xxxxxxxx

xxx

xxx

xxxx

( ) ( )( )

{ }

ecuaciónladeextraña raízunaes6quedecimoscasoesteEn

ó 525164:

1232636:

:ónComprobaci

===→≠

==+

=−=−−+

xSSMDMI

MD

MI

φ

j) 27411 xxx −−=−

[ ]2

22 7411

−−=− xxx

22

22

74121

74121

xxxx

xxxx

−−=−+−

−−=+−

( ) ( )2742 xxxx −−=−

2742 xx −−=−

( )

SMDMI

MD

MIx

∈⇒==

=−−

=−=

01

107401:

101:0paraPrueba

ónComprobaci


12

[ ] [ ]

( )

2/1012004

012404807444

7444742

2

22

22

222

=⇒=−=⇒=

=−=−

=+−+−

−=+−

−−=−

xxxx

xxxx

xxxxxx

xx

( )

( )( )

{ }2/1;02/1

2/14/1

4/312/32/11

4/742/11

2/1742/11:

2/12/11:2/1paraPrueba

2

=∈=⇒=

==

−=−=

−−=

−−

=−=

SSxMDMI

MD

MIx

k) 22 8

22

2

−= xx

x. En este caso se trata de una ecuación exponencial, la cual debe estar expresada

mediante potencias de igual base a través de las propiedades de las operaciones con potencias.

( ) ( )

( )( ) { }3 ;2S 32

032

065 ;0632 ;23222 ;822 2222322

2

22

=→

==

=−−

=+−=+−−−=−⇒== −−−

xx

xx

xxxxxxxxxxxxx

x

( ) ( ) ( )

( )[ ] ( ) ( ) ( )

( )( )

( ) ( ) ( )( )

{ }1S 2244

22222

1 Para

definidas no sexpresioneson 2-log ,1-log ,4-log porque S4 :ón Comprobaci

1 4

014043

4472 ;2722log72log

base. misma laen expresados ,logaritmos loscon soperacione las de spropiedade lasaplican se

soluciónsu paray alogarítmicEcuación 2log272loglog22

:obtenemos potencias con soperacione las de spropiedade las Aplicando 422 l)

9log3log23log)21log(

9log9log0)712log(1log

2

2222

)2log(2)72log(log

)2log()72log(log

=∴

=====

=⋅=⋅=

→=

∉−=

=−=

=−+→=−+

++=++=+→+=+

→+=++=

=⋅

+

+

+++

++

MDMIMD

MI

x

x

xx

xxxx

xxxxxxxxxx

xxx

xxx

xxx


13

Ejercicios. 1. Resuelve las siguientes ecuaciones: a) )3(4)1(8)94(44 −+−=−+ xxx b) 22

=+x

x

c) [ ] 66)94(7352 =−−− yyy d) ( ) ( )zzz −+=−− 136312

e) 105.03.07.0 +=− xx f) ( ) ( ) 437315 +=+−+ xxx

g) )122(311)23(7)5(3 −+=−−− xxx h) 4)32)(3()12)(1( −++=++ xxxx

i) 5.1)6()1)(1( 2 =+−−+ xxx j) )21)(21()4()5(1 22 xxxx −+=+−−−

k) 222 )2()1()5.2(2 −++=− xxx l) ( ) ( )

21

222

22 −=

−−− xxx

m) yy214

523

−=− n)

25

53

78

−=−

+− xx

o) 6

4214

4 −−=

+ xx p) 5144

52470

3750

,,x,x,

=+

−−

q) 18

19

456

53 xxx−=

+−

+ r) 121

314

611

432)1(3 ++

−=+

−−− xxxx

2. Halla el conjunto solución: a) 122)9( −=+ xxx b) 1)5(39)3)(2( 2 −−=+−+ xxxx

c) 0)23

)(21( =++

xx d) 2)25(2 2 −=+ xx

e) 2)4(125)2(4 −−=−+ xxx f) 12)2(2)2( 2 ++=+ xxx

g) )32(315 2xx −= h) 203553 2 −=−−− )x()x(

i) 2)52()53(2 +−=+ xxx j) )1(6)1()1(9 222 −=++− aaa

k) 27)2(20)12)(53()45( 2 +−=−+−− xxxxx l) 595932 2 −=+−− )t()t(

m) 04)12(5)12( 2 =++−+ xx n) )2)(3()5(319 2 +−−−=+ tttt

o) 21

222

22 −=

−−− x)x()x( p) ( )( ) 12

11)1(5

+=−+

− xxx

x

3. Para qué valores de x ∈ R se satisfacen las siguientes igualdades. a) 332 =−x b) 465 =+x

c) 32 −=−x d) 065 =−−x


14

e) 51232 =++ x f) 010275 =+−− xx

g) 02713 =−−+ xx h) 08522 =−−− xx

i) 42 =−+ xx j) 11 −=−− xx

k) 4164 −+= xx l) xxx 21152 =+++

m) 012 =+− xx n) 6=+ xx

ñ) 04284 =−−+ xx o) ( ) 102:3212 −−=− xxx

p)

7217−

=+−x

xx q) 6

121 +=+

++ xx

x

r) 13 =−+ xx s) 3129 2 =−−− xxx

t) 27411 xxx −−=− u) ( ) ( ) 2/12/1 721 −+=+ xx

4. Resuelva las siguientes ecuaciones y compruebe sus resultados:

a) xx 21)7( =++ d) 15 =++ xx b) 1)4(2 +=+ xx c) 13)7(2 +=−+ xx

e) 337 2 =++ x

f) 472

2−=

−

− xx

x

5. Calcula los ceros de la función 115)( −−−= xxxh 6. Resuelve la ecuación: 32252 −=−+ xxx

7. Halla el conjunto solución de la ecuación 1162 2 +=++ xxx 8. Sean las funciones: ( ) 4133 2 +−= xxxf y ( ) 4−= xxh Calcula las coordenadas de los puntos de intersección de los lados gráficos de las funciones f y h.

9. Resuelve la ecuación: 1312

52

2=

−+

−+

+x

x

xx

xx

10. Dadas las funciones definidas por las siguientes ecuaciones: 2x13)x(f −−= y 33x 3)x(g −+= . Determina los puntos de intersección de los gráficos de f y g cuyas abscisas

son menores que las soluciones de la ecuación )x75,0(xx3 52713 −+=+


15

11. Halla los valores de x que satisfacen la ecuación: ( ) 539 14

21

39

=− +

++

xlogxlog

12. Resuelve la ecuación: ( ) 04921316 7

23 =−−+ logxxlog x

13. Sea: 1+x = f(x) . Halla todos los valores de t para los que se cumple: ( ) ( ) ( )412 −=−− tftftf .

14. Resuelve la ecuación: 3 4311 x-log ) = x++ ( log

15. Sean las funciones: ( ) xcossenxxf232 −= y ( ) 43 −= xxg . Determina los valores de x para

los cuales se cumple que ( ) ( )4gxf = . 16. Resuelve la ecuación: ( ) ( )13log1113log 1k

21k

2 −+=− −−

17. Sean las funciones: ( ) xlogxxlogxf −+= 72 24 y ( ) 216 += xlogxg . Determina los valores de x

para los cuales ambas funciones alcanzan el mismo valor. 18. Resuelve la ecuación: 1 = x-16+4x

19. Halle los valores de a para los cuales x = 18 es solución de la ecuación: 2=− aax

20. Resuelve: 61

131 =+

++x

x

21. Sea la función definida por ( )103.3log)( 2 +−= xx Axf .

a) Halla el valor de A para el cual se cumple f(1) = 0. b) Considerando que A = 10, halla todos los valores de x que satisfacen la ecuación f(x) = 0.

22. Determina los valores reales de x que satisfacen la ecuación: 26

)3²2(²)2(

2719.3

−−−−

=

xxx

23. Sean las funciones 2x

1x23x)1x()x(f+

+++−= y g(x)=x . Encuentra los valores reales de

x para los cuales se cumple la ecuación f(x )= g(x).

24. Dadas las funciones f y g definidas por x46)x(f −= y 3x²x3³x)x(g ++−= . Determina los valores reales de x tales que f(x) – g(x) = 0

25. Sean f y g dos funciones reales dadas por las ecuaciones )3tlog(102t)t(f ++−= y 3t21)²1t()t(g ++−−= . Determina para qué valores de t se cumple que f(t) = g(t)

26. Dada la función f de ecuación )12(log)( += xxf a . a) Si el punto de coordenadas )3 ; 62( pertenece al gráfico de f , determinar el valor de a y escribe la ecuación de f .


16

b) Si

−+=

351log)(

251 xx

xg , halle todos los valores reales de x para los cuales se cumple

que )()( xgxf = . Inecuaciones Lineales. En grados inferiores, a las desigualdades con variables se les denomina inecuaciones. Las inecuaciones de la forma 0<+ bax ó 0≤+ bax ó 0>+ bax ó 0 ≥+ bax con )a( 0≠ se denominan inecuaciones lineales en una variable y se resuelven despejando la variable, teniendo en cuenta que cuando se multiplica o divide en ambos miembros por un número negativo el sentido de la desigualdad se invierte. La inecuación lineal está expresada en sentido estrito si es de la forma 0<+ bax ó 0>+ bax y en sentido amplio si es de la forma 0≤+ bax ó 0 ≥+ bax . Ejemplos. Resolver las siguientes inecuaciones y representar gráficamente el conjunto solución.

6245 ) +>+ xxa

4321) >−− xb

10)6(2)1)(52)( +−≤−+ xxxxc Solución: En cada una de las inecuaciones dadas, se debe trasformar algebraicamente, es decir, agrupar y reducir todos los términos que contienen la variable x en el miembro izquierdo y los términos numéricos en el miembro derecho hasta obtener una inecuación de la forma 0<+ bax ó

0≤+ bax ó 0>+ bax ó 0 ≥+ bax con )a( 0≠ y posteriormente despejar la variable x.

>∈=→>

>−>−+>+

32

32

3:23 4625

6245 a)

x:RxSx

/xxx

xx

2143

4321

+>−

>−−

x

x)b

23

31

29

3293

−<

−⋅<

−>−

x

)(x

)(:/x

-∝ 32 +∝

-∝ -23 +∝


17

-∝ (+) x1 (-) x2 (+)

1062152 +−≤−+ )x(x)x)(x)(c

{ }11 1515

01515 051012232

1012253222

22

≤∈=≤

≤

≤−≤−−+−+

+−≤−+

x:RxSx

x

xxxxx

xxxx

Inecuaciones Cuadráticas. Toda inecuación de la forma:

)acbxaxcbxaxcbxaxcbxax 0(con 0 ó 0 ó 0 ó 0 2222 ≠≥++>++≤++<++

se denomina inecuación cuadrática. El trinomio cbxax ++2 es el miembro izquierdo de la inecuación (MI) y 0 es el miembro derecho (MD). Resolver una de estas inecuaciones es determinar para qué valores de x ( )Rx∈ cbxaxy ++= 2 con cb,a y números reales y 0≠a (función cuadrática) es positiva ( )0>y , no negativa ( )0≥y , negativa ( )0<y o no positiva ( )0≤y . Para resolver una inecuación cuadrática se debe tener en cuenta lo siguiente: Los ceros de la función cuadrática determinan (si los tiene) varios intervalos en R (rayo numérico) y en cada uno el signo de la mismas es constante. A continuación se presenta la discusión de cada uno de los casos posibles en la determinación del signo constante de la función cuadrática en cada uno de los intervalos determinados. a) Sí 0 >a y 21 xx < . En este caso la gráfica de la

función cbxaxy ++= 2 con cyb,a números reales y 0≠a es una parábola (Fig.1) que abre hacia arriba siendo

x1 y x2 las raíces o soluciones de la ecuación cuadrática 02 =++ cbxax , que son los ceros de la función

cbxaxy ++= 2 (abscisas de los interceptos de la parábola con el eje de las x) , los intervalos determinados son ( ) ( ) ( )+∞∞− ;y ;,; 2211 xxxx y los signos constante de la función cuadrática son los mostrados en la siguiente figura , tomados de la Fig.1

-∝ 1 +∝

1x 2x ∞++ +

- x

y

O

Fig.1


18

-∝ (+) x1 (+) +∝

b) Sí en a) cambiamos solamente el signo del factor a (Fig. 2), entonces cada signo se cambia por su

opuesto, es decir, los signos de la función cuadrática en cada uno de los intervalos determinados son −+− , , , dispuestos de derecha a izquierda en el rayo numérico.

c) Si 0 >a (Fig.3) y 21 xx = . En este caso los ceros de la función cuadrática son iguales, por tanto. los intervalos determinados son ( )1x;∞− y ( )+∞;x1 y los signos constante de la función son (+) y (+) como se muestra en la figura siguiente:

e) Sí 0 >a (Fig.4), el trinomio no tiene ceros y la desigualdad es menor que cero, entonces no tiene solución la inecuación porque en la función 2 cbxaxy ++= con 0≠a ,

.Rx,y ∈∀> 0 f) Sí 0 >a (Fig.4), el trinomio no tiene ceros y la desigualdad es mayor que cero, entonces el intervalo de signo constante ( )+ es todo R porque en la función

2 cbxaxy ++= con 0≠a , .Rx,y ∈∀> 0 g) Sí 0 <a (Fig.5), el trinomio no tiene ceros y la desigualdad es mayor que cero, entonces no hay solución para la inecuación porque en la función

2 cbxaxy ++= con 0≠a , .Rx,y ∈∀< 0 h) Sí 0 <a (Fig.5), el trinomio no tiene ceros y la desigualdad es menor que cero, entonces el intervalo de signo constante ( )− es todo R porque en la función

02 =++= cbxaxy con 0≠a , .Rx,y ∈∀< 0 Como conjunto solución, se toman los intervalos de signo constante que coincidan con el sentido de la desigualdad. Nota: Por lo expuesto en la discusión de cada uno de los casos posibles en la determinación del signo constante de la función cuadrática en cada uno de los intervalos determinados, cuando la misma no tiene ceros, se puede concluir (*):

Fig.2

1x 2x ∞+

- - +

∞−

y

x

-∝ (-) x1 (+) x2 (-)

1x ∞−

+ x

y

O

Fig.3

+

∞+

∞−

x

y

O

Fig.5

∞+

Fig.4


19

• Si el signo del coeficiente a coincide con el sentido de la desigualdad de la inecuación ( 0>a y 0>MI ó 0<a y 0<MI ) la solución de la inecuación es todo el conjunto de los números reales (R).

• Si el signo del coeficiente a es opuesto al sentido de la desigualdad de la inecuación ( 0>a y 0<MI ó 0<a y 0>MI ) la solución de la inecuación es el conjunto nulo o vacío, es decir, la inecuación no tiene solución lo que se denota como { }=S ó φ=S

Ejemplos. Resuelve las siguientes inecuaciones y represente gráficamente el conjunto solución.

35)3() +≥+ xxxa

xxxb 10 8)3(4 ) 2 <−+ )3(23 )6()2(3 ) −<−−− xxxxc

)7 )2( ) xxxd +−>+ Solución: En cada uno de los casos se debe seguir el siguiente procedimiento: Transformar algebraicamente en ambos miembros hasta reducir la inecuación a la forma:

)acbxaxcbxaxcbxaxcbxax 0(con 0 ó 0 ó 0 ó 0 2222 >≥++>++≤++<++ .Igualar a cero el miembro derecho y resolver la ecuación cuadrática resultante. Los valores obtenidos los denotaremos como 1x y 2x Situar a 1x y a 2x en el rayo numérico Como 0>a el signo constante de la función en cada intervalo es de la forma: +−+ ,, (Fig.1) si 1x y 2x son soluciones reales diferentes ó ++ , (Fig.3) si 1x y 2x son soluciones reales iguales. Para el caso de que no existan los valores reales 1x y 2x no es necesario determinar los intervalos de signo constante y se debe concluir según (*). Dar el conjunto solución, tomando los intervalos que su signo coincida con el sentido de la desigualdad. Los límites de los intervalos (al menos uno) solo se incluyen en la solución si la desigualdad es en sentido amplio (≥ ó ≤ )

{ }3 ó 1: ≥−≤∈= xxRxS ó ( ] [ )∞+∪−∞−∈∈= ;31 ;x:RxS

6 ,9 ,2 0692 0 692

(2) : / 0 12184 0 108124

10 8)3(4 )

2

2

2

2

2

=−===+−

<+−

<+−

<−−+

<−+

cbaxxxx

xxxxx

xxxb

Como en este caso el trinomio no se descompone en factores racionales, utilizamos la fórmula para resolver ecuaciones cuadráticas.

3 ó 1 son trinomio del ceros los ,031

032

0353

353

2 1

2

2

=−=≥−+≥+−

≥+−+

+≥+

xx)x)(x(

xx

xxx

x)x(x)a

-∝ (+) -1 (-) 3 (+)


20

+−∈

+

<<−

∈=

−=

+=

±≈

±=

−±=

−±=

4

339, 4

339 xó 4

339 4

339

4

339 ó4

339

47459

4339

448819

22624819

21

21

x:RxS

xx

.)(

))((x ,

φ=<−

<−−<+−

<+−

<+−+−−

−<+−−

−<−−−

Sxxx

xxxx

xxxxxxxxxxxxc

0 )5(

0 )5)(5( 0 2510

(3) : / 0 75303 0 69236636923 663

)3(23 )6()2(3 )

2

2

2

2

2

La función ( )25−= xy es no negativa para toda Rx∈ , luego la inecuación no tiene solución.

0 73 0 72

7 2 )7( )2( )d

2

2

2

>++

>+++

−−>+

+−>+

xxxxx

xxxxxx

Este trinomio no tiene descomposición factorial racional por lo que aplicamos la fórmula:

0 1928971434

7 3 ,1 07322

2

<−=−=−=−=

====++

))(()(acbD

c,baxx

El trinomio no tiene descomposición factorial en R pero coincide el signo de a, (coeficiente de 2x ) con el signo de la inecuación dada (>), la solución es todos los números reales

S = R. Ejercicios. 1. Resuelve las inecuaciones siguientes:

a) 2125 ≥−x

b) x.x. 802623 −>−

c) 3553 +−<+− )x(x)x(x d) )x()x(x 3233242 ++>++− e) x)x( 392721 >−− f) x)x()x( 164335 <−−−

-∝ +∝ 4

339− 4

339++ - +


21

g) 10552

+−≤−+ x)x(x h) 4123223 2 +

−<+ xxxx

i) 274

651

312

+<−+− xxx j) 1

103

23

43

>

+−−

xxx

k) ).x(x).x()x)(x( 10105074 2 −+≥−−+−

l) 1645154

6123

31

−+>

−−− )x(x(x

2. Hallar los valores de x ∈ R que satisfacen las siguientes inecuaciones: a) 02142 >−− xx b) 06113 2 ≤+− xx c) 0212 ≥−+ )x)(x( d) 042 ≤−x

e) 041 2 ≤− x f) 17134 2 >− xx

g) 0144 2 ≤+− xx h) 2591355 22 −−+≥−+ x)x()x)(x(

i) 321

21 22

>

−−

+ xx

j) 22 222 )x()x)(x(x −≥−++

k) 2417354 222 +>−+−−+ x)x()x()x(l) 2

23 44

22 >

−− xx

m) 2

241

41

+<

−+ xxx

n) 222 1010 x)x.()x.( −≥−−+

ñ) 21

8522

6123

>−+

−− )x)(x(x

o)

51212214 ≤+−−−− )x)(x()x)(x( p) 0)(x 561 >−>−− )x(x)x(x

q) )x(x 5321 2 +<

r) 051<

+−

xx s) 142

<−+

xxx

3. Sean x

y Cxxxx , B

xxxxA 1

3522

9652

2

23

2

23=

−+

−=

−

+−−=

a) Para qué valores de x, el numerador de A y B es no negativo b) Para qué valores de x, el denominador de A es negativo c) Si B es positivo, ¿qué valores toma x? d) Para qué valores de x, C es positivo.


22

4. Dada la función definida por: 9449

2

2

−

+=

x

x)x(p . Determina para qué valores de x los puntos

correspondientes al gráfico de “p” están por debajo del eje “X”.

5. Sea 4

432

23

−

+−=

x

xx)x(A . Determina el conjunto de números reales no negativos para los

cuales .)x(A 0≤

6. Sean: x+

+x-x-xA = 8

123 y

114-x

B = . Halla el mayor número entero negativo x para el cual

se cumple 0≤⋅BA .

7. Dada la función 4

4852

23

−

+++=

x

xxx)x(f . determina los valores reales de x para los cuales

se cumple que 0≥)x(f .

8. Resuelve la siguiente inecuación: 23

723

33 555

2 +−− +≥

xx)x( logloglog

9. Dadas 33 2 +−= kxx)x(f , 42 −= x)x(g y x)x(h −=1 a) Calcula los valores de k para los cuales la función f tiene dos ceros diferentes. b) Calcula los ceros de f para k = 7. ( 6313 ,≈ ) c) Determina los valores de x que satisfacen la inecuación g(x) < h(x). 10. Dadas las expresiones: 28336 22 −−=−= xxByxA .Determina para qué valores de x están definidas simultáneamente ambas expresiones.

11. Resuelve la inecuación 2094

15 2 +−

≤−

−− xx

xxx

x .

12. Dadas la funciones )3x(log)x(f 2 −= y 4xlog)x(g 5,0= . Halla los valores de x para los

cuales las imágenes de la función f son menores o iguales que las imágenes de la función g.

13. Sean las expresiones 125

543

23

+

−+=

m

mmmA y

2520433

23

2

++−

−=

mmm

mB .

a) Prueba que para todos los valores admisibles de la variable se cumple que 3m

BA

−= .

b) Halla todos los valores reales de la variable m para los cuales se cumple que:

32

342 −+≥ mm

BA

14. Sean las funciones reales f, g y h, definidas por las ecuaciones: ( ) 523 ++= xxf ,

( ) xxg 34= y ( )52

21 +

=

x

xh . Calcula los valores reales para los cuales se cumple que

( ) ( )xhxg ≥ .


23

15. Se tiene la expresión ( )54

+−

=x

xxA .

a) Resuelve la ecuación ( ) xxA 164 = (x ∈ R) . b) Determina para quévalores reales de la variable x se cumple que ( ) xxA ≥ .

16. Sean ( )552

+−

=xx

xf y ( )3

1−

=x

xg . Determina para qué valores de x se cumple:

( ) ( )xgxf 33 ≥ .


24

BIBLIOGRAFÍA

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Camagüey: /s.c/,/s.a/.—191p.

2. Ballester, Sergio: Cómo Sistematizar los conocimientos matemáticos. Editorial Academia.

Ciudad de la Habana. 1995.

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4. Campistrus, Pérez L. Y otros: Matemática. Orientaciones Metodológicas 10 grado. Editorial

Pueblo y Educación 1989.

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Richard Nerido Castellanos y Celia Rizo Cabrera. —La Habana: Editorial Pueblo y Edición,

6. 1991. —152p.

7. Exámenes de Ingreso a la Educación Superior

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