PROBLEMAS SOBRE ECUACIONES E INECUACIONES math. · PDF fileUniversidad “Vladimir Ilich Lenin” Las Tunas PROBLEMAS SOBRE ECUACIONES E INECUACIONES LINEALES Milagros Riquenes Rodríguez;

Universidad Vladimir Ilich Lenin Las TunasUniversidad Vladimir Ilich Lenin Las Tunas

PROBLEMAS SOBREECUACIONES E INECUACIONES

LINEALES

Milagros Riquenes Rodrguez; Ral Hernndez Fidalgo; ArsenioCelorrio Snchez; Salvador Ochoa Rodrguez

PGINA LEGAL

374.852-Riq-P

Riquenes Rodrguez, Milagros

Problemas sobre ecuaciones e inecuaciones lineales en: problemas de matemticas para el ingreso a la Educacin Superior / Milagros Riquenes Rodrguez; Raul Hernndez Fidalgo; Salvador Ochoa Rodrguez. -- La Habana (Cuba) : Editorial Universitaria, 2011. -- ISBN978-959-16-1956-3 . -- 77 pg.

1. Universidad Vladimir Ilich Lenin Las Tunas.2. Matemticas en la enseanza media: libros de texto

ISBN (obra completa) 978-959-16-1959-4Digitalizacin: Dr. C. Ral G. Torricella Morales, ([email protected])Depsito Legal: 9789591619563

Milagros Riquenes Rodrguez; Ral Hernndez Fidalgo; Arsenio CelorrioSnchez; Salvador Ochoa Rodrguez, 2012Universidad de Las Tunas - Editorial Universitaria del Ministerio de Educacin Superior, 2012

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TABLA DE CONTENIDO

1. Problemas sobre ecuaciones e inecuaciones lineales (este captulo).Ecuaciones Lineales.Ecuaciones Cuadrticas.Ecuaciones con radicales, exponenciales y logartmicas reducibles a ecuaciones lineales y cuadrticas.Inecuaciones Lineales.Inecuaciones Cuadrticas

2. Sistema de ecuaciones linealesSistemas de ecuaciones lineales de dos ecuaciones y dos incgnitas.Mtodo de adicin algebraica.Mtodo de Sustitucin.Sistemas de tres ecuaciones lineales con tres incgnitas.Sistemas de Ecuaciones Cuadrticas.Ejercicios.Problemas que conducen a sistemas de ecuaciones lineales

3. Trigonometrangulos y medicin de ngulosFrmulas de reduccinFuncin PeridicaGrfico de la Funcin y = senx en [0, 2] y sus propiedadesFunciones de la forma y = a sen bx con a R y b R y sus propiedades Grficas de las funciones: Coseno, Tangente y Cotangente y sus propiedadesAlgunas identidades trigonomtricasDemostracin de identidades trigonomtricasEcuaciones trigonomtricasEjercicios

PRLOGO DE LOS AUTORES

El libro: Problemas de matemticas para el ingreso a la Educacin Superior tiene el objetivo de ayudar a los estudiantes a prepararse para las pruebas de ingreso a la Educacin Superior. Se compone de tres captulos:

Problemas sobre ecuaciones e inecuaciones lineales (este captulo).

Sistema de ecuaciones lineales y

Trigonometra.El libro presenta un sistema de conceptos, ejemplos resueltos, una metodologa de trabajo y ejercicios propuestos con problemas de aplicaciones; todo esto en un lenguaje claro y sencillo. Contiene un gran nmero de ejemplos resueltos, en los que se ejemplifica la metodologa de trabajo empleada, lo cual constituye un aporte metodolgico al estudio de las matemticas.

Los autores, junio 2012

1. Problemas sobre ecuaciones e inecuaciones lineales

Milagros Riquenes Rodrguez, Ral Hernndez Fidalgo y Salvador Ochoa Rodrguez

Ecuaciones e Inecuaciones lineales y cuadrticas.

3

Ecuaciones Lineales. Se denominan ecuaciones, las igualdades que contienen una o varias variables (o incgnitas) y solo se satisfacen para algunos valores de las variables. En este trabajo el dominio de las variables que se utilizan, es el de los nmeros reales. Resolver una ecuacin es determinar los valores de las variables que hacen cierta la igualdad o asegurarse de que no existen tales valores. Los valores que hacen cierta la igualdad se llaman soluciones o races de la ecuacin. Las ecuaciones de la forma 0=+ bax (con a y b nmeros reales 0 a ) se denominan lineales

en una variable real y se resuelven despejando la variable x o sea abx =

Ejemplos. Resolver las ecuaciones:

3212

1313 )

)2(5)24(32 )85

43

21

31 )

234 )

+

=+

+=+

+=

=

xx

xxd

xxxxc

xxb

xa

Soluciones:

45

432

234 )

=

+=

=

x

x

xa

==

=

==

=

45

2

2353454

:Prueba

SMDMI

MD

MI

65

43

21

31 ) += xxb

En este caso, la ecuacin no est expresada en la forma 0bax =+ ( con 0 a ) , debe reducirse la misma a sta mediante las siguientes transformaciones algebraicas:

Agrupar todos los trminos que contienen la variable x en el miembro izquierdo (MI) de la ecuacin y los valores numricos en el miembro derecho (MD):

21

65

43

31

+= xx

Hallar el comn denominador de la ecuacin que es el mnimo comn mltiplo de los nmeros: 3, 4, 6 y 2. 123.2)2,6,4,3( 2 ==MCM

Ecuaciones e Inecuaciones lineales y cuadrticas.

4

Multiplicar toda la ecuacin por MCM

( )12 /.21

65

43

31

+= xx

61094 += xx

Reducir en cada miembro, los trminos semejantes 165 = x Despejar la variable x

5

16=x

Comprobacin o prueba:

3047

301532

21

1516

21

516

31: ===

MI

3047

302572

512

65

516

43: 6

5 =+

=+

=+

MD

Como ambos miembros son iguales, la ecuacin se satisface para el valor 5

16=x y el conjunto

solucin es

=

516S .

Anlogamente se resuelven los dems ejemplos. )2(5)24(32 c) +=++ xxxx

144

342522252432

==

+=++=++

x x

--xxx-x xxxx

{ }1=S Nota: La prueba queda para el estudiante.

3212

1313 )

+

=+

xx

xxd

Esta ecuacin es fraccionaria, pero mediante transformaciones algebraicas sencillas como son: multiplicar por el comn denominador ambos miembros, efectuar los productos indicados y reducir trminos semejantes en cada miembro es posible convertirla en una ecuacin de la forma 0=+ bax (con 0a ) . El comn denominador de la ecuacin es: ( )( )3213 xx

Ecuaciones e Inecuaciones lineales y cuadrticas.

5

41-

8)(: / 2831326296

1326329613)(12()32)(13(

)32)(13(3212

1313

3212

1313

22

22

=

=+=++

+=++=+

+

=+

+

=+

x

xxxxxxx

xxxxxx ) xxxx

xx /xx

xx

xx

xx

Nota: Comprobar la solucin obtenida. Ecuaciones Cuadrticas. Las ecuaciones del tipo 02 =++ cbxax con a, b y c nmeros reales y 0 a se denominan cuadrticas y se resuelven mediante la frmula:

,2

422,1 a

acbbx = donde acbD 42 = es el discriminante.

reales. soluciones tienenoecuacin La 0 S iguales. reales soluciones dos ieneecuacin t La 0 S

.diferentes reales soluciones dos ieneecuacin t La 0 S

DDD

Cuando el trinomio cbxax ++2 tiene descomposicin factorial racional se puede utilizar este procedimiento para reducir la ecuacin de segundo grado a dos ecuaciones lineales. Ejemplos. Resolver las siguientes ecuaciones:

065 ) 2 =+ xxa

15)3( ) = yyyb

xxx

xx

xxc)

22

212

2

2

=

++

0106 ) 2 =+ zzd

043 ) 24 = xxe

Ecuaciones e Inecuaciones lineales y cuadrticas.

6

Solucin:

)6 ,5 ,1( ;065 ) 2 ====+ cbaxxa ;

0

06)3(5)3( 3 para Prueba

2 ,32

15)1(2

)6)(1(4)5()5(

21

21

2

2,1

MDMIMDMIx

xx

x

==

=+==

==

=

=

{ }2;3 MI 0MD

06)2(5)2(MI 2 para Prueba 22

===

=+==

SMD

x

Observe que el trinomio 65 ) 2 + xxa se descompone en )3)(2( x - x - por lo que 0)3)(2( = x - x - , 02 = x - 03 =x : 2=x 3=x

De esta forma el procedimiento para obtener las soluciones de la ecuacin de segundo grado es ms cmodo, por lo que se recomienda que se analice primeramente s el trinomio tiene descomposicin factorial racional por los mtodos estudiados. En caso de no existir la descomposicin factorial racional, se utiliza la frmula.

15)3( ) = yyyb

En este caso se deben realizar transformaciones algebraicas hasta obtener la ecuacin dada en la forma 02 =++ cbxax

yyyyy

0180153

2

2

=+

=+

Como el trinomio del miembro izquierdo no tiene descomposicin factorial, se debe utilizar la frmula para resolver la ecuacin de segundo grado. Para sustituir en la frmula es necesario identificar el valor de a, de b y de c: 1=a , 8=b y 1=c

154 ,154

21528

2608

)1(2)1)(1(4)8()8(

21

2

2,1

=+=

=

=

=

xx

x

Compruebe los resultados obtenidos.

{ }154 ; 154 +=S

xxx

xx

xxc

22

212) 2

2

=

++

Esta ecuacin es fraccionaria, pero mediante transformaciones algebraicas sencillas como son:

Ecuaciones e Inecuaciones lineales y cuadrticas.

7

multiplicar por el comn den