Click here to load reader

PROBLEMAS SOBRE ECUACIONES E INECUACIONES math. · PDF fileUniversidad “Vladimir Ilich Lenin” Las Tunas PROBLEMAS SOBRE ECUACIONES E INECUACIONES LINEALES Milagros Riquenes Rodríguez;

  • View
    234

  • Download
    5

Embed Size (px)

Text of PROBLEMAS SOBRE ECUACIONES E INECUACIONES math. · PDF fileUniversidad “Vladimir Ilich...

  • Universidad Vladimir Ilich Lenin Las TunasUniversidad Vladimir Ilich Lenin Las Tunas

    PROBLEMAS SOBREECUACIONES E INECUACIONES

    LINEALES

    Milagros Riquenes Rodrguez; Ral Hernndez Fidalgo; ArsenioCelorrio Snchez; Salvador Ochoa Rodrguez

  • PGINA LEGAL

    374.852-Riq-P

    Riquenes Rodrguez, Milagros

    Problemas sobre ecuaciones e inecuaciones lineales en: problemas de matemticas para el ingreso a la Educacin Superior / Milagros Riquenes Rodrguez; Raul Hernndez Fidalgo; Salvador Ochoa Rodrguez. -- La Habana (Cuba) : Editorial Universitaria, 2011. -- ISBN978-959-16-1956-3 . -- 77 pg.

    1. Universidad Vladimir Ilich Lenin Las Tunas.2. Matemticas en la enseanza media: libros de texto

    ISBN (obra completa) 978-959-16-1959-4Digitalizacin: Dr. C. Ral G. Torricella Morales, ([email protected])Depsito Legal: 9789591619563

    Milagros Riquenes Rodrguez; Ral Hernndez Fidalgo; Arsenio CelorrioSnchez; Salvador Ochoa Rodrguez, 2012Universidad de Las Tunas - Editorial Universitaria del Ministerio de Educacin Superior, 2012

    La Editorial Universitaria (Cuba) publica bajo licencia Creative Commons de tipo Reconocimiento, Sin Obra Derivada, se permite su copia y distribucin por cualquier medio siempre que mantenga el reconocimiento de sus autores y no se realice ninguna modificacin de ellas.

    Calle 23 entre F y G, No. 564. El Vedado, Ciudad de La Habana, CP 10400, Cubae-mail: [email protected] En acceso perpetuo: http://www.e-libro.com/titulos

    mailto:[email protected]://www.e-libro.com/titulosmailto:[email protected]://creativecommons.org/licenses/by-nd/3.0/deed.eshttp://revistas.mes.edu.cu/

  • TABLA DE CONTENIDO

    1. Problemas sobre ecuaciones e inecuaciones lineales (este captulo).Ecuaciones Lineales.Ecuaciones Cuadrticas.Ecuaciones con radicales, exponenciales y logartmicas reducibles a ecuaciones lineales y cuadrticas.Inecuaciones Lineales.Inecuaciones Cuadrticas

    2. Sistema de ecuaciones linealesSistemas de ecuaciones lineales de dos ecuaciones y dos incgnitas.Mtodo de adicin algebraica.Mtodo de Sustitucin.Sistemas de tres ecuaciones lineales con tres incgnitas.Sistemas de Ecuaciones Cuadrticas.Ejercicios.Problemas que conducen a sistemas de ecuaciones lineales

    3. Trigonometrangulos y medicin de ngulosFrmulas de reduccinFuncin PeridicaGrfico de la Funcin y = senx en [0, 2] y sus propiedadesFunciones de la forma y = a sen bx con a R y b R y sus propiedades Grficas de las funciones: Coseno, Tangente y Cotangente y sus propiedadesAlgunas identidades trigonomtricasDemostracin de identidades trigonomtricasEcuaciones trigonomtricasEjercicios

  • PRLOGO DE LOS AUTORES

    El libro: Problemas de matemticas para el ingreso a la Educacin Superior tiene el objetivo de ayudar a los estudiantes a prepararse para las pruebas de ingreso a la Educacin Superior. Se compone de tres captulos:

    Problemas sobre ecuaciones e inecuaciones lineales (este captulo).

    Sistema de ecuaciones lineales y

    Trigonometra.El libro presenta un sistema de conceptos, ejemplos resueltos, una metodologa de trabajo y ejercicios propuestos con problemas de aplicaciones; todo esto en un lenguaje claro y sencillo. Contiene un gran nmero de ejemplos resueltos, en los que se ejemplifica la metodologa de trabajo empleada, lo cual constituye un aporte metodolgico al estudio de las matemticas.

    Los autores, junio 2012

  • 1. Problemas sobre ecuaciones e inecuaciones lineales

    Milagros Riquenes Rodrguez, Ral Hernndez Fidalgo y Salvador Ochoa Rodrguez

  • Ecuaciones e Inecuaciones lineales y cuadrticas.

    3

    Ecuaciones Lineales. Se denominan ecuaciones, las igualdades que contienen una o varias variables (o incgnitas) y solo se satisfacen para algunos valores de las variables. En este trabajo el dominio de las variables que se utilizan, es el de los nmeros reales. Resolver una ecuacin es determinar los valores de las variables que hacen cierta la igualdad o asegurarse de que no existen tales valores. Los valores que hacen cierta la igualdad se llaman soluciones o races de la ecuacin. Las ecuaciones de la forma 0=+ bax (con a y b nmeros reales 0 a ) se denominan lineales

    en una variable real y se resuelven despejando la variable x o sea abx =

    Ejemplos. Resolver las ecuaciones:

    3212

    1313 )

    )2(5)24(32 )85

    43

    21

    31 )

    234 )

    +

    =+

    +=+

    +=

    =

    xx

    xxd

    xxxxc

    xxb

    xa

    Soluciones:

    45

    432

    234 )

    =

    +=

    =

    x

    x

    xa

    ==

    =

    ==

    =

    45

    2

    2353454

    :Prueba

    SMDMI

    MD

    MI

    65

    43

    21

    31 ) += xxb

    En este caso, la ecuacin no est expresada en la forma 0bax =+ ( con 0 a ) , debe reducirse la misma a sta mediante las siguientes transformaciones algebraicas:

    Agrupar todos los trminos que contienen la variable x en el miembro izquierdo (MI) de la ecuacin y los valores numricos en el miembro derecho (MD):

    21

    65

    43

    31

    += xx

    Hallar el comn denominador de la ecuacin que es el mnimo comn mltiplo de los nmeros: 3, 4, 6 y 2. 123.2)2,6,4,3( 2 ==MCM

  • Ecuaciones e Inecuaciones lineales y cuadrticas.

    4

    Multiplicar toda la ecuacin por MCM

    ( )12 /.21

    65

    43

    31

    += xx

    61094 += xx

    Reducir en cada miembro, los trminos semejantes 165 = x Despejar la variable x

    5

    16=x

    Comprobacin o prueba:

    3047

    301532

    21

    1516

    21

    516

    31: ===

    MI

    3047

    302572

    512

    65

    516

    43: 6

    5 =+

    =+

    =+

    MD

    Como ambos miembros son iguales, la ecuacin se satisface para el valor 5

    16=x y el conjunto

    solucin es

    =

    516S .

    Anlogamente se resuelven los dems ejemplos. )2(5)24(32 c) +=++ xxxx

    144

    342522252432

    ==

    +=++=++

    x x

    --xxx-x xxxx

    { }1=S Nota: La prueba queda para el estudiante.

    3212

    1313 )

    +

    =+

    xx

    xxd

    Esta ecuacin es fraccionaria, pero mediante transformaciones algebraicas sencillas como son: multiplicar por el comn denominador ambos miembros, efectuar los productos indicados y reducir trminos semejantes en cada miembro es posible convertirla en una ecuacin de la forma 0=+ bax (con 0a ) . El comn denominador de la ecuacin es: ( )( )3213 xx

  • Ecuaciones e Inecuaciones lineales y cuadrticas.

    5

    41-

    8)(: / 2831326296

    1326329613)(12()32)(13(

    )32)(13(3212

    1313

    3212

    1313

    22

    22

    =

    =+=++

    +=++=+

    +

    =+

    +

    =+

    x

    xxxxxxx

    xxxxxx ) xxxx

    xx /xx

    xx

    xx

    xx

    Nota: Comprobar la solucin obtenida. Ecuaciones Cuadrticas. Las ecuaciones del tipo 02 =++ cbxax con a, b y c nmeros reales y 0 a se denominan cuadrticas y se resuelven mediante la frmula:

    ,2

    422,1 a

    acbbx = donde acbD 42 = es el discriminante.

    reales. soluciones tienenoecuacin La 0 S iguales. reales soluciones dos ieneecuacin t La 0 S

    .diferentes reales soluciones dos ieneecuacin t La 0 S

    DDD

    Cuando el trinomio cbxax ++2 tiene descomposicin factorial racional se puede utilizar este procedimiento para reducir la ecuacin de segundo grado a dos ecuaciones lineales. Ejemplos. Resolver las siguientes ecuaciones:

    065 ) 2 =+ xxa

    15)3( ) = yyyb

    xxx

    xx

    xxc)

    22

    212

    2

    2

    =

    ++

    0106 ) 2 =+ zzd

    043 ) 24 = xxe

  • Ecuaciones e Inecuaciones lineales y cuadrticas.

    6

    Solucin:

    )6 ,5 ,1( ;065 ) 2 ====+ cbaxxa ;

    0

    06)3(5)3( 3 para Prueba

    2 ,32

    15)1(2

    )6)(1(4)5()5(

    21

    21

    2

    2,1

    MDMIMDMIx

    xx

    x

    ==

    =+==

    ==

    =

    =

    { }2;3 MI 0MD

    06)2(5)2(MI 2 para Prueba 22

    ===

    =+==

    SMD

    x

    Observe que el trinomio 65 ) 2 + xxa se descompone en )3)(2( x - x - por lo que 0)3)(2( = x - x - , 02 = x - 03 =x : 2=x 3=x

    De esta forma el procedimiento para obtener las soluciones de la ecuacin de segundo grado es ms cmodo, por lo que se recomienda que se analice primeramente s el trinomio tiene descomposicin factorial racional por los mtodos estudiados. En caso de no existir la descomposicin factorial racional, se utiliza la frmula.

    15)3( ) = yyyb

    En este caso se deben realizar transformaciones algebraicas hasta obtener la ecuacin dada en la forma 02 =++ cbxax

    yyyyy

    0180153

    2

    2

    =+

    =+

    Como el trinomio del miembro izquierdo no tiene descomposicin factorial, se debe utilizar la frmula para resolver la ecuacin de segundo grado. Para sustituir en la frmula es necesario identificar el valor de a, de b y de c: 1=a , 8=b y 1=c

    154 ,154

    21528

    2608

    )1(2)1)(1(4)8()8(

    21

    2

    2,1

    =+=

    =

    =

    =

    xx

    x

    Compruebe los resultados obtenidos.

    { }154 ; 154 +=S

    xxx

    xx

    xxc

    22

    212) 2

    2

    =

    ++

    Esta ecuacin es fraccionaria, pero mediante transformaciones algebraicas sencillas como son:

  • Ecuaciones e Inecuaciones lineales y cuadrticas.

    7

    multiplicar por el comn den

Search related