Probleme Circuite

Cap. 2 Analiza circuitelor de c.c. Problema fundamentală a analizei circuitelor de c.c. are următorul enunţ:

Fiind date - tensiunile surselor ideale de tensiune,

- curenţii surselor ideale de curent, - rezistenţele din circuit

să se determine - curenţii din rezistoare, - curenţii sursele de tensiune, - tensiunile surselor de curent.

Rezolvarea sistematică a acestei probleme presupune scrierea teoremei I-a a lui Kirchhoff pentru n-1 din cele n noduri ale circuitului, respectiv a celei de-a doua teoreme pentru l-n+1 bucle independente (l fiind numărul de laturi ale circuitului). Rezultă astfel un sistem de l ecuaţii liniar independente. Ţinând cont de legea lui Ohm, numărul necunoscutelor este de asemenea l, sistemul având astfel soluţie unică.

Dacă circuitele au un număr relativ mic de noduri, dar multe laturi, este convenabilă folosirea unei variante, numită metoda potenţialelor nodurilor.

Spre deosebire de această abordare sistematică, în care se obţin necunoscutele "dintr-o dată", prin rezolvarea sistemului complet de ecuaţii, în unele situaţii este posibilă o rezolvare mai simplă dacă se determină succesiv câte una din necunoscute – metoda rezolvării din aproape în aproape (sau a inspecţiei circuitului).

De multe ori este convenabilă simplificarea circuitului folosind diferite teoreme de echivalenţă: teorema transfigurării surselor reale de tensiune şi de curent, teorema superpoziţiei, teoremele lui Thevenin şi Norton, ş.a.

Circuite simple de c.c.

1. Să se calculeze tensiunea Ux .

2. În circuitul cu schema din figură U4= 4V şi U24= 6V. Să se calculeze U12 şi U34.

3. În circuitul cu schema din figură UAB= 21V, UR2= -6V. Să se calculeze UCA, UR1 şi UR3.

4. În circuitul din figura "a" ampermetrul indică 1A. Ce valoare indică ampermetrul dacă se scurtcircuitează punctele A şi B, ca în figura "b" ? Se cunosc R1=1Ω, R2=2Ω, R3=3Ω.

Aplicaţii la formulele divizoarelor de tensiune şi de curent

5. Aplicând în mod convenabil formulele divizoarelor de tensiune şi de curent să se calculeze Ux şi Ix pentru fiecare din circuitele de mai jos.

"a" "b"

"c" "d" Aplicaţii la teorema transfigurării surselor reale de tensiune şi de curent

6. (R) Aplicând convenabil transfigurarea sursele reale de tensiune şi de curent să se simplifice circuitul cu schema de mai jos, iar apoi să se calculeze curentul I.

Rezolvare

Transfigurăm cele două surse reale de curent

în surse reale de tensiune echivalente:

Aplicând TK2 pe ochiul astfel format, obţinem:

0I2126I436I12 111 =++−+− ,

mA3

5I1 = .

Revenind la schema originală şi aplicând TK1 în nodul a, obţinem:

mA3

4

3

53I =−= .

7. (R) Aplicând convenabil transfigurarea sursele reale de tensiune şi de curent să se

simplifice circuitul cu schema de mai jos, iar apoi să se calculeze curentul I.

Rezolvare

Transfigurăm cele două surse reale de tensiune

în surse reale de curent echivalente:

Ȋnlocuim fiecare din cele două grupări paralel de rezistoare cu echivalentele lor:

Reconvertim cele două surse reale de curent în surse reale de tensiune echivalente:

Aplicând TK2 ochiului astfel format, obţinem A36I µ−= .

8. (R) Aplicând convenabil transfigurarea sursele reale de tensiune şi de curent să se simplifice circuitul cu schema de mai jos, iar apoi să se calculeze curentul I.

Rezolvare Echivalând cele două rezistenţe conectate în paralel obţinem circuitul

Transfigurând apoi sursa reală de tensiune într-o sursă reală de curent, iar sursa reală de curent într-o sursă reală de tensiune obţinem

Ȋnlocuim cele două rezistenţe înseriate printr-o rezistenţă echivalentă rezultă

Transfigurând sursa reală de tensiune într-o sursă reală de curent, obţinem

Ȋnlocuind cele două surse ideale de curent conectate în paralel printr-o sursă echivalentă, iar rezistenţele de 9 Ω şi 3 Ω conectate în paralel printr-o rezistenţă echivalentă, rezultă

Aplicând formula divizorului de curent, obţinem

A27,312625,2

25,2I −=

+−= .

9. (I) Aplicând convenabil transfigurarea sursele reale de tensiune şi de curent să se


Indicaţie: Se redesenează în prealabil circuitul:

după care se procedează ca în exemplele precedente. R: 54/11 A.

10. Aplicând convenabil transfigurarea sursele reale de tensiune şi de curent să se


11. Aplicând convenabil transfigurarea sursele reale de tensiune şi de curent să se simplifice circuitul cu schema de mai jos, iar apoi să se calculeze R şi U.

Analiza circuitelor electrice folosind scrierea sistematică a TK

12. (R) Să se analizeze circuitul cu schema din figură prin scrierea sistematică a teoremelor lui Kirchhoff.

Rezolvare

Analiza sistematică a unui circuit de c.c. prin scrierea directă a teoremelor lui Kirchhoff parcurge următorii paşi:

- se selectează nodurile şi buclele independente. Circuitul dat are n = 2 noduri şi l = 3 laturi, deci n – 1 = 1 noduri independente şi l – n + 1 = 2 bucle independente. Se alege nodul a, iar drept bucle independente, ochiurile o1 şi o2.

- se aleg în mod arbitrar sensuri de referinţă pentru curenţii din laturi şi pentru sensul

de parcurgere al ochiurilor; - se scrie TK1 pentru nodul a şi TK2 pentru cele două ochiuri:

0III 321 =−− ,

0UIRIRU 2s22111s =+++− ,

( ) 0IRRIRU 343222s =++−− . - se înlocuiesc valorile numerice ale parametrilor elementelor de circuit:

0III 321 =−− ,

12I2I2 21 =+ ,

12I3I2 32 =+− . - se rezolvă sistemul, de unde rezultă .A5,4I;A75,0I;A25,5I 321 === Putem verifica rezultatele efectuând bilanţul puterilor: - puterea debitată de surse: ( ) W11775,0*1225,5*24IUIUP 22s11sdeb =−=−+= , - puterea disipată în rezistoare:

( ) deb2222

343222

211cons PW1175,4*375,0*225,5*2IRRIRIRP ==++=+++=

13. (R) Folosind scrierea sistematică a teoremelor lui Kirchhoff să se analizeze circuitul

cu schema din figura de mai jos.

Rezolvare - circuitul are n = 4 noduri şi l = 6 laturi, deci 3 noduri şi 3 bucle independente. Prin scrierea TK pentru nodurile şi buclele independente obţinem un sistem de 6 ecuaţii independente în care necunoscutele sunt curenţii din laturi, mai puţin cel din latura cu sursă de curent, şi tensiunea de la bornele sursei de curent; - alegem nodurile a, b, c şi ochiurile o1, o2, o3 pentru scrierea teoremelor lui Kirchhoff;

- alegem arbitrar sensuri de referinţă pentru necunoscute şi pentru sensul de parcurgere al ochiurilor; - scriem TK: a: 0III 146s =−+ ,

b: 0III 6s53 =−+ ,

c: 0III 321 =−− ,

o1: 0IRIRU 55446s =+−− ,

o2: 0IRIRU 44221s =++− ,

o3: 0IRIRIR 332255 =+−− , - înlocuim valorile numerice şi ordonăm ecuaţiile:

2II 41 −=+− ,

2II 53 =+ ,

0III 321 =−− ,

0UI2I4 6s54 =−+− ,

12I4I4 42 =+ ,

0I2I4I4 532 =−+− , - rezolvând sistemul, fie manual, fie folosind un program de matematică – de exemplu Matlab în cazul de faţă, obţinem I1 = 3.3750 A; I2 = 1.6250 A; I3 = 1.7500 A; I4 = 1.3750; I5 = 0.2500 A; Us6 = -5.0000 V. Pentru verificarea rezultatelor efectuăm bilanţul puterilor: - puterea debitată de surse ( ) W5,302*5375,3*12IUIUP 6s6s11sdeb =−+=+= ; - puterea consumată de rezistoare:

W5,3025,0*2375,1*475,1*4625,1*4IRIRIRIRP22222

55244

233

222cons =+++=+++=

O altă posibilitate de control al rezultatelor constă în verificarea TK1 în nodul nefolosit în rezolvare: 025,0375,1625,1III 542 =−−=−− .

14. (R) Să se calculeze curenţii din laturi folosind scrierea sistematică a teoremelor lui Kirchhoff pentru circuitul cu schema din figura de mai jos:

Rezolvare Circuitul are n = 2 noduri şi l = 4 laturi. Vom scrie TK1 pentru n – 1 = 1 nod şi TK2

pentru o = l – n + 1 = 3 bucle independente. Vom obţine astfel un sistem de 4 ecuaţii în care necunoscutele sunt trei curenţi şi tensiunea la bornele sursei ideale de curent. Dacă nu ne interesează această tensiune (pe care, de altfel, putem să o determinăm ulterior), avem nevoie doar de 3 – 1 = 2 bucle independente, dar care nu trebuie să includă sursa ideală de curent. Cu aceste precizări alegem nodul independent şi cele două bucle independente ca în figura de mai jos:

Scriem TK: a: 0IIII 3s21 =−++ ,

o1: 0IRIRU 2211s =−+− ,

o2: 0IRIRIR 343322 =++ . Inlocuim valorile numerice: 2III 321 −=−+ ,

24I2I2 21 =− ,

0I8I2 32 =+ . Rezolvând sistemul, obţinem

7778,59

52I1 ≈= A; 2222,6

9

56I2 ≈−=−= A; 5556,1

9

14I3 ≈= A.

Dacă ne intereseză şi tensiunea la bornele sursei de curent, aceasta se poate calcula observând că este egală cu tensiunea de la bornele lui R2:

4444,129

112

9

56*2IRU 224s ≈=

−−=−= V.

Bilanţul puterilor: 556,1632*4444,127778,5*24IUIUP s4s1sdeb =+=+= W,

( ) 5566,163IRRIRIRP 2343

222

211cons =+++= W.

Mica diferenţă în cele două valori este datorată, din nou, trunchierilor şi rotunjirilor valorilor curenţilor.

15. Folosind scrierea sistematică a TK să se calculeze curenţii din laturile circuitului cu schema din figura de mai jos:

16. Folosind scrierea sistematică a TK să se calculeze curenţii din laturi şi tensiunea de la bornele sursei ideale de tensiune pentru circuitul cu schema din figura de mai jos:


18. Folosind scrierea sistematică a TK să se calculeze curenţii din laturi şi tensiunea de la

bornele sursei ideale de tensiune pentru circuitul cu schema din figura de mai jos:


Analiza circuitelor de c.c. cu ajutorul metodei potenţialelor nodurilor

Aplicarea metodei potenţialelor nodurilor are loc în două etape. Ȋn prima etapă se generează un sistem de ecuaţii în care necunoscutele sunt potenţialele nodurilor. Ȋn a doua fază, cunoscând valorile potenţialelor nodurilor, se calculează curenţii din rezistoare şi celelalte necunoscute.

Paşii metodei sunt următorii: 1 - se alege potenţialul unui nod arbitrar drept referinţă, atribuindu-i-se valoarea zero

(nodul de "masă"); 2 - se notează potenţialele nodurilor rămase; 3 - se scrie TK1 pentru fiecare din cele n-1 noduri rămase; 4 - se exprimă curenţii prin rezistoare în funcţie de potenţialele nodurilor terminalelor; 5 - se înlocuiesc aceste relaţii în sistemul de ecuaţii generat de TK1 la pasul 3; 6 - se rezolvă sistem de ecuaţii în care necunoscutele sunt potenţialele celor n-1 noduri; 7 - se calculează curenţii din rezistoare folosind relaţiile de la pasul 4; 8 - se calculează curenţii surselor ideale de tensiune aplicând TK1 nodurile adiacente; 9 - se calculează tensiunile surselor de curent ca diferenţă a potenţialelor respective.

Alegerea convenabilă a nodului de referinţă poate simplifica mult analiza circuitului. De regulă nodul de referinţă se alege - nodul în care concură cele mai multe laturi, - nodul adiacent unei sursei ideale de tensiune;

20. (R) Folosind metoda potenţialelor nodurilor să se analizeze circuitul cu schema din figura de mai jos:

Rezolvare

Pasul 1. Este convenabil să alegem drept potenţial de referinţă potenţialul nodului în care converg cele patru laturi "verticale": 0V0 = .

Pasul 2. Potenţialele celorlalte noduri le notăm cu V1, V2 şi V3. Obs. Deşi nodul 1 nu este un nod în sensul că în el nu apare o ramificaţie de curenţi, deci TK1 este automat îndeplinită, este totuşi convenabil să numerotăm şi potenţialul lui.

Pasul 3. Scriem TK1 pentru nodurile 2 şi 3: 0III 21 =−− ;

0III 3s =−+

Pasul 4. Exprimăm curenţii din rezistoare în funcţie de diferenţa potenţialelor de la borne:

3

VV

R

VVI 21

1

211

−=

−= ,

1

V

R

0VI 2

2

22 =

−= ,

2

V

R

0VI 3

3

33 =

−= ,

2

VV

R

VVI 3232 −

=−

= .

Pasul 5. Ȋnlocuim aceste relaţii în cele de la pasul 3:

02

VV

1

V

3

VV 32221 =−

−−−

,

02

V4

2

VV 332 =−+−

.

La prima vedere sunt trei necunoscute – V1, V2 şi V3 şi numai două ecuaţii. Nu am folosit faptul că se cunoaşte tensiunea sursei de tensiune. Examinând circuitul observăm că s01 UVV =− , de unde v

[ ]V12UV s1 ==

Pasul 6. Ȋnlocuind această valoare în relaţiile de la pasul 5, obţinem 24V3V11 32 =− ,

8V2V 32 −=− .

Rezolvând sistemul, obţinem

[ ]V789,319

72V2 == , [ ]V894,5

19

112V3 == .

Pasul 7. Cu ajutorul relaţiilor de la pasul 4 rezultă

A737,23

789,312I1 =

−= ,

A789,31

789,3I 2 == ,

A947,22

894,5I3 == ,

A052,12

894,5789,3I −=

−= .

Pasul 8. Sursa de tensiune fiind în serie cu R1, curentul sursei este I1 = 2,737 A. Pasul 9. Tensiunea sursei de curent este [ ]V894,5VV 03 =− .

Cu aceasta analiza este completă, toţi curenţii şi toate tensiunile necunoscute din circuit au fost determinate. De regulă, pentru verificarea corectitudinii rezultatelor se scrie TK1 pentru nodul de masă: 0IIII s321 =−++− ,

0001,04947,2789,3737,2 ≈−=−++−

Rezultatul nu este exact zero datorită trunchierii fracţiilor zecimale la trei cifre după virgula zecimală. Dacă lucrăm cu fracţii ordinare, atunci

A19

52

3

19

7212

I1 =

−

= , A19

72I 2 = , A

19

56

2

19

112

I3 == ,

!044419

56

19

72

19

52=−=−++−

Obs. Aceleaşi valori pentru curenţi şi tensiuni s-ar fi obţinut şi dacă s-ar fi ales alt nod drept referinţă. Desigur, potenţialele nodurilor ar fi avut alte valori.

21. (R) Folosind metoda potenţialelor nodurilor să se analizeze circuitul cu schema din figura de mai jos:

Rezolvare

Procedăm după modelul precedent. Ȋn prealabil putem simplifica puţin circuitul observând că rezistoarele de 1 Ω şi 2 Ω sunt legate în serie. - alegem nodul de referinţă ca în figură de mai jos:

Atunci potenţialele V1 şi V3 sunt cunoscute:

.V12VUVV

,V24VUVV

32s03

11s01

=⇒=−

=⇒=−

- scriem TK1 în singurul nod cu ramificaţii: 0III 321 =−+

- exprimăm curenţii din rezistoare în funcţie de diferenţa potenţialelor bornelor respective:

3

V

R

VVI,

2

V12

R

VVI,

2

V24

R

VVI 2

3

023

2

2

232

2

1

211 =

−=

−=

−=

−=

−= .

- înlocuim aceste relaţii în TK1:

03

V

2

V12

2

V24 222 =−−

+−

,

- de unde rezultă:

[ ]V5,132

27V2 == .

- putem calcula acuma cei trei curenţi:

A5,43

VI,A75,0

2

5,1312I,A25,5

2

5,1324I 2

321 ==−=−

==−

= .

O altă metodă de verificare a rezultatelor constă în efectuarea bilanţului puterilor. Pentru ambele surse sensul tensiunii la borne şi sensul curentului sunt asociate după regula de la surse, deci s-a presupus că sursele din circuit debitează putere: W117)75,0(*1225,5*24IUIUP 22s11sdeb =−+=+=

Obs. Semnul – ne arată că sursa de 12 V în realitate consumă putere. Puterea absorbită de rezistoare este

W1175,4*3)75,0(*225,5*2IRIRIRP2222

33222

211abs =+−+=++=

Deci absdeb PP = .

22. (R) Folosind metoda potenţialelor nodurilor să se calculeze curenţii din circuitul cu schema din figură.

Rezolvare

Examinând circuitul obesrvăm că nicio alegere a nodului de masă nu oferă un avantaj deosebit. Se alege astfel, în mod arbitrar, nodul reprezentat în figura de mai jos:

Atunci [ ]V12V,UVV 11s01 =⇒=− .

- Scriem TK1 pentru cele două noduri ale căror potenţiale sunt necunoscute: 0III 2s21 =−−

0III 32s =−+

- Exprimăm curenţii rezistoarelor în functie de diferenţele de potenţial:

2

V12

R

VVI 2

1

211

−=

−= ,

2

2V

2R

0V

2V

2I =

−= ,

2

V

R

VVI 3

3

033 =

−= ,

2

V12

R

VVI 301 −

=−

=

- Ȋnlocuim în TK1:

0I2

V

2

V122s

22 =−−−

02

V

2

V12I 33

2s =−−

+

Avem trei necunoscute – V2, V3, Is2 – şi doar două ecuaţii. Dacă examinăm circuitul observăm că [ ]V12UVV 2s32 ==− , care reprezintă a treia ecuaţie. Ȋntrucât nu ne interesează Is2, îl eliminăm din ecuaţii. Obţinem în final

12VV 32 =+ , 12VV 32 =− , de unde [ ] 0V,V12V 32 == . Ȋn final.

0I1 = , A62

I = , 0I3 = , A62

12

R

VVI

1

31 ==−

= .

Scriind TK1 în nodul 1 obţinem A6III 11s =+= . Scriind TK1 în nodul 2 obţinem A6III 212s −=−= . Pentru verificarea rezultatelor scriem TK1 în nodul de referinţă: 0III 321s =−− ,

0066 =−− . O altă verificare se poate face efectuând bilanţului puterilor: - folosind regula de la surse, puterea debitată de surse este W1446*126*12)I(UIUP 2s2s1s1sdeb =+=−+= - puterea disipată în rezistoare este

W14436*20*236*20*2IRIRIRIRP22

33222

211abs =+++=+++=

- rezultă absdeb PP =

23. (R) Folosind metoda potenţialelor nodurilor să se determine curentul I3 din circuitul cu schema de mai jos:

Rezolvare

Cu notaţiile din figură, avem: [ ] [ ].V36UV,V24UV 2s21s1 ====

0IIIII 243s1 =+−−− ,

012

V36

4

V

4

V4

12

V24 3333 =−

+−−−−

,

de unde [ ]V5,12

3V3 == .

Ȋn final, A375,08

3

R

VI

3

33 === .

24. Folosind metoda potenţialelor nodurilor să se determine curentul I din circuitul cu schema de mai jos

25. Folosind metoda potenţialelor nodurilor să se determine curentul I din circuitul cu schema de mai jos:





30. Folosind metoda potenţialelor nodurilor să se calculeze tensiunea Uab pentru circuitul cu schema din figura de mai jos:

31. Folosind metoda potenţialelor nodurilor să se calculeze tensiunea Uab pentru circuitul cu schema din figura de mai jos:

Aplicaţii la teorema superpoziţiei Teorema superpoziţiei, sau a suprapunerii efectelor, are următorul enunţ: - curentul dintr-o latură arbitrară a circuitului este egal cu suma algebrică a curenţilor determinaţi în latura respectivă de fiecare sursă din circuit, dacă ar fi singură; - acelaşi lucru este valabil şi pentru tensiunea dintre două noduri arbitrare. Ȋn acest fel analiza unui circuit liniar cu N surse se "reduce" la analiza a N circuite parţiale, cu câte o singură sursă fiecare. Metoda este eficientă dacă N nu este mare sau dacă circuitele parţiale au aceiaşi structură, diferind doar prin valorile elementelor de circuit.

Aplicarea teoremei parcurge următorii paşi: 1. Se păstrează una din surse şi se pasivizează celelalte N-1 rămase. Se calculează

curenţii din laturi determinaţi de această sursă; pentru sensurile acestor curenţi se păstrează aceleaşi sensuri ca în circuitul original;

2. Se păstrează următoarea sursă şi se pasivizează celelalte N-1 rămase. Se calculează curenţii din laturi determinaţi de această sursă; pentru sensurile acestor curenţi se păstrează aceleaşi sensuri ca în circuitul original;

..................................................................................... N. Se păstrează una din surse şi se pasivizează celelalte N-1. Se calculează curenţii din

laturi determinaţi de această sursă; pentru sensurile acestor curenţi se păstrează aceleaşi sensuri ca în circuitul original;

N+1. Curentul din latura k a circuitului original se obţine însumând curenţii din acea latură determinaţi în cei N paşi precedenţi:

( )∑=

=N

1j

jkk II .

Pasivizarea ("anihilarea") unei surse ideale are loc astfel: - sursa ideală de tensiune se înlocuieşte printr-un scurtcircuit; - sursa ideală de curent se înlocuieşte printr-o întrerupere.

32. (R) Folosind teorema superpoziţiei să se calculeze curentul I din circuitul cu schema din figură.

Rezolvare

Pasul 1. Păstrăm doar sursa de tensiune, sursa ideală de curent fiind pasivizată:

Calculăm curentul I' cu care această sursă contribuie la curentul I. Putem folosi orice metodă cunoscută. De exemplu, simplificăm circuitul:

Aplicăm formula divizorului de tensiune:

5

1212

15

312

4

33

4

3

U ab =⋅=⋅

+

= V,

Revenind la schema precedentă:

8,05

4

21

5

12

'I ==+

= A.

Pasul 2. Păstrăm doar sursa de curent, sursa ideală de tensiune fiind pasivizată:

Calculăm curentul I" cu care această sursă contribuie la curentul I. Putem folosi orice metodă cunoscută. De exemplu, simplificăm circuitul:

Aplicăm formula divizorului de curent:

15

324

14

32

2"I −=⋅

++

−= A.

Pasul 3. Curentul I este suma algebrică a celor doi curenţi produşi de sursele individuale:

3

4

15

32

15

12"I'II −=−=+= A.

33. (R) Să se determine tensiunea Uab .

Rezolvare Pasul 1.Menţinem în circuit doar sursa de 6 V:

Calculăm contribuţia U'ab a acestei surse la tensiunea Uab. Putem folosi orice metodă cunoscută. De exemplu, dacă redesenăm schema, ţinând cont că nodurile c şi b pot fi suprapuse (datorită scurtcircuitului), obţinem:

respectiv Aplicăm formula divizorului de tensiune:

5

96

6

8

4

3

4

3

U'ab =⋅

+

= V.

Pasul 2. Reţinem în circuit sursa de 12 V:

Calculăm contribuţia U"ab a acestei surse la tensiunea Uab. Putem folosi orice metodă cunoscută. De exemplu, redesenăm schema, ţinând cont că nodurile a şi d pot fi suprapuse (datorită scurtcircuitului):

respectiv Aplicăm formula divizorului de tensiune:

25

21612

3

2

7

12

7

12

U"ab =⋅

+

= V.

Pasul 3:

44,1025

261

25

216

5

9"UUU ab

'abab ==+=+= V.

34. (R)Să se calculeze curentul I.

Rezolvare

Pasul 1. Contibuţia sursei de 24 V:

Contribuţia sursei la curentul I se obţine folosind metodele cunoscute. De exemplu, simplificăm circuitul,

calculăm U'ab cu formula divizorului de tensiune, apoi revenim la schema precedentă şi calculăm I' cu legea lui Ohm:

324

7

1212

7

12

U'ab =⋅

+

= V, 4

3'I = A.

Pasul 2. Contribuţia sursei de 4 A:

Simplificăm circuitul,

şi îl calculăm pe I" cu formula divizorului de curent:

2

34

5

124

5

12

"I −=⋅

+

−= A.

Pasul 3. Contribuţia sursei de 36 V:

Simplificăm circuitul:

De unde

2

936

7

1212

7

12

U'''ab =⋅

+

= V, 8

9

4

2

9

I''' == A.

Pasul 4. Ȋnsumăm contribuţiile surselor:

8

3

8

9

2

3

4

3IIII

'''''' =+−=++= A.

Observaţie. Această problemă se regăseşte printre problemele rezolvate anterior prin metoda potenţialelor nodurilor este convenabilă.

35. (R) Să se determine Uab pentru circuitul cu schema de mai jos:

Rezolvare

Pasul 1. Contribuţia sursei de 6 V:

4621

2'U ac =⋅

+= V,

7

246

43

4'U bc =⋅

+= ,

7

4'U'U'U bcacab =−= V.

Pasul 2. Contribuţia sursei de 2 mA:

Suprapunând nodurile c şi d şi echivalând gruparea de rezistenţe dintre nodurile a şi b, obţinem circuitul cu schema de mai jos

de unde

21

100

21

502"U ab =⋅= V.

Pasul 3. Ȋn final

21

112

21

100

7

4"U'UU ababab =+=+= V.

36. Folosind teorema superpoziţiei să se determine curentul I pentru circuitul cu schema

din figura de mai jos:

37. Folosind teorema superpoziţiei să se determine curentul I pentru circuitul cu schema din figura de mai jos:


39. Folosind teorema superpoziţiei să se determine tensiunea U pentru circuitul cu schema din figura de mai jos:

40. Folosind teorema superpoziţiei să se determine tensiunea U pentru circuitul cu schema din figura de mai jos:




44. Folosind teorema superpoziţiei să se determine curentul I pentru circuitul cu schema

din figura de mai jos:

45. Circuitul cu schema din figură este cunoscut sub denumirea de divizor dublu alimentat. Exprimaţi tensiunea U în funcţie de U1, U2, R1 şi R2.

Aplicaţii la teorema lui Thevenin

46. (R) Pentru circuitul cu schema din figura de mai jos să se determine parametrii generatorului Thevenin echivalent circuitului văzut de la bornele rezistorului R. Să se calculeze apoi curentul prin R, ştiind că R=4 Ω.

Rezolvare a). Calculul tensiunii UTh: Se deconectează R, circuitul rămânând cu bornele a şi b în gol:

Circuitul în gol

Atunci

210 26 IIUab += , întrucât cele două rezistoare conectate la bornele a, respectiv b, nu sunt parcurse de curent. Pentru calculul celor doi curenţi aplicăm TK1 în nodul n1, respectiv TK2 în ochiul o1:

0321 =++− III ,

086420 311 =+++− III . Datorită sursei de curent, I2=2 A. Rezolvând sistemul de mai sus obţinem I1=2 A, I3= 2A, iar în final obţinem Uab0 =16 V. Deci UTh=16 V b). Calculul rezistenţei RTh: Se pasivizează circuitul:

Circuitul pasivizat

Rezistenţa echivalentă faţă de bornele a şi b a circuitului pasivizat este

( ) Ω=+

+=++++= 12126

12.68428462Rab .

Prin urmare, Ω= 12RTh

c). Generatorul Thevenin echivalent circuitului dat, faţă de bornele considerate, este reprezentat în figura de mai jos:

Curentul prin R rezultă imediat:

ARR

UI

Th

Th 1=+

= .

47. (R) Pentru circuitul cu schema din figura de mai jos să se determine generatorul

Thevenin echivalent circuitului văzut de la bornele rezistorului R.

Rezolvare

a). Calculul tensiunii Thevenin UTh:

Circuitul în gol

Atunci

210ab I2I3U −= .

Cei doi curenţi se determină aplicând TK2 pe ochiurile o1 şi o2: 021124,031224 222111 =+++−=+++− IIIIII ,

de unde I1=4 A, I2=6 A, iar în final, Uab0=0. Prin urmare UTh = 0.

b). Calculul rezistenţei Thevenin RTh:

Circuitul pasivizat

Ω=+++=++ΙΙ++ΙΙ+= 5,6212/322)11(2)21(32Rech ,

de unde RTh = 6,5 Ω. c). Generatorul Thevenin are schema şi parametrii din figura de mai jos. În acest caz particular, tensiunea lui este nulă.

48. (R) Pentru circuitul cu schema din figura de mai jos să se determine generatorul Thevenin echivalent circuitului văzut de la bornele rezistorului R. Să se determine apoi valoarea rezistenţei R astfel încât puterea dezvoltată în aceasta să fie maximă.

Rezolvare.

a). Calculul tensiunii UTh :

Circuitul în gol

210 42 IIUab −−= . Datorită sursei de curent I1=2 A. Pentru calculul curentului I2 aplicăm TK1 în nodul n1, rspectiv TK2 în ochiul o1:

04412,0 32321 =++−=+− IIIII , de unde rezultă I2=5/2 A. În final,

V14UU 0abTh −== . b). Calculul rezistenţei Thevenin:

Circuitul pasivizat

Ω=ΙΙ+== 4442echTh RR .

c). Generatorul Thevenin echivalent circuitului dat faţă de bornele considerate este

Conform teoremei transferului maxim de putere, puterea dezvoltată într-o rezistenţă R,

conectată la o sursă de tensiune, este maximă dacă R=Ri, unde Ri reprezintă rezistenţa internă a sursei. În cazul considerat, rolul sursei de tensiune este jucat de generatorul Thevenin; în consecinţă R= Ri=RTh=4 Ω.

49. Să se determine parametrii generatorului Thevenin echivalent "văzut" de rezistorul R,

iar apoi să se calculeze curentul I dacă R = 1 kΩ.

50. Să se determine parametrii generatorului Thevenin echivalent “văzut” de rezistorul R, iar apoi să se calculeze Uab ştiind că R = 3 Ω.

51. Să se determine parametrii generatorului Thevenin echivalent circuitului “văzut” de rezistorul R din figura de mai jos:

52. Pentru circuitul cu schema din figură să se determine parametrii generatorului Thevenin echivalent circuitului văzut de la bornele rezistorului R, iar apoi să se calculeze puterea disipată în R ştiind că R=11 Ω.

53. Pentru circuitul cu schema din figura de mai jos să se determine: a). Parametrii generatorului Thevenin echivalent circuitului văzut de la bornele

rezistorului R; b). Tensiunea Uab, dacă R=2 Ω; c). Puterea disipată în R.

54. Circuitul cu schema din figură este cunoscut sub denumirea de punte Wheatston şi are

multe aplicaţii practice.

Să se determine:

a). Generatorul Thevenin echivalent circuitului văzut de bornele rezistorului R5; b). Relaţia dintre rezistenţele punţii, R1, R2, R3 şi R4 astfel încât I5 = 0;

Presupunând că Ri = 0 să se traseze calitativ graficul funcţiei Uab =f(Us), -a < Us < a, a > 0.

Aplicaţii la teorema lui Norton 55. (R) Să se determine parametrii generatorului Norton echivalent circuitului văzut de la

bornele rezistorului R. Să se calculeze apoi R astfel încât puterea dezvoltată în aceasta să fie maximă.

Rezolvare. a). Calculul curentului Norton IN: Se scurtcircuitează bornele a şi b, adică se înlocuieşte R printr-un conductor de rezistenţă nulă. Conform teoremei lui Norton IN reprezintă curentul care circulă prin conductorul care scurtcircuitează bornele a şi b, IN=Iabsc .

Circuitul cu bornele a şi b scurtcircuitate

Aplicând TK2 pe ochiul o1 obţinem I1=- 6 A. Scriind TK2 pe ochiul o2 şi ţinând cont de rezultatul precedent, obţinem I2= 12 A. Aplicând TK1 în nodul n1, obţinem I4=18 A. TK2 aplicată ochiului o3 ne dă I3=-6 A. În fine, aplicând TK1 nodului n2, obţinem Iabsc=24 A, respectiv IN = 24 A. b). Calculul rezistenţei RN. Ȋntrucât RN reprezintă rezistenţa echivalentă a circuitului pasivizat, faţă de bornele considerate, ea corespunde rezistenţei Thevenin, şi se calculează în acelaşi mod. După pasivizarea circuitului şi redesenarea schemei obţinute, rezultă schema de mai jos, de unde RN=Rech=(2II2)II2=1II2=2/3 Ω.

⇒

Circuitul pasivizat Redesenat

Generatorul Norton echivalent circuitului considerat, în raport cu bornele a şi b, este reprezentat în figura de mai jos:

Teorema transferului maxim de putere este valabilă şi dacă sursa este o sursă de curent; în consecinţă, condiţia cerută în enunţ este îndeplinită dacă R=RN=2/3 Ω.

56. (R) Să se determine generatorul Norton echivalent circuitului văzut de la bornele rezistorului de 2 Ω din circuitul cu schema de mai jos

Rezolvare. a). Calculul curentului IN Ȋnlocuim rezistorul de 2 Ω printr-un scurtcircuit:

Circuitul cu bornele a şi b scurtcircuitate

Aplicând TK2 în ochiul o1, obţinem I1=28/6 A. Aplicând TK1 în nodul b rezultă Iabsc=-16/6 A. b). Calculul rezistenţei RN Pasivizăm circuitul:

Circuitul pasivizat

Obţinem Rech= RN= 6 Ω. c). Generatorul Norton este reprezentat mai jos.

57. Pentru circuitul cu schema din figura de mai jos să se determine parametrii

generatorului Norton echivalent circuitului văzut de la bornele rezistorului R, iar apoi să se calculeze tensiunea Uab, ştiind că R=6Ω .

58. Pentru circuitul cu schema din figura de mai jos să se determine parametrii generatorului Norton echivalent circuitului văzut de la bornele rezistorului R, iar apoi să se calculeze tensiunea Uab, ştiind că R=6Ω .




Subiect opţional: Identificarea unor defecte nete în circuitele de c.c.

62. Ce tensiune va indica un voltmetru electronic (având rezistenţa internă practic

infinită) conectat ca în figura de mai jos, dacă: a) toate rezistenţele au valorile indicate pe schemă; b) R1 este întreruptă; c) R5 este scurtcircuitată; d) R3 şi R4 sunt întrerupte; e) R2 este întreruptă.

63. Un student realizează în laborator circuitul cu schma de mai jos. Nu a verificat în prealabil dacă valorile rezistenţelor corespund valorilor marcate pe rezistoare (în limitele determinate de toleranţele respective), luându-le drept bune. Conectând un voltmetru electronic la bornele rezistorului de 10 kΩ, acesta indică o tensiune de 9,6 V. La sugestia cadrului didactic coordonator, studentul, folosind cunoştinţele teoretice, calculează tensiunea respectivă obţinând o valoare mult diferită de cea măsurată. Diferenţa nu poate fi atribuită unor erori de măsură, acestea nedepăşind de regulă 5 – 10 %. După ce verifică dacă tensiunea sursei este corectă, şi fiindu-i confirmat faptul că voltmetrul este bun, studentul ajunge la concluzia că unul sau mai multe rezistoare sunt de fapt defecte, adică sunt fie întrerupte fie având un scurtcircuit intern între borne. Care rezistor (rezistoare) este defect şi care este tipul defectului?

64. Acelaşi enunţ ca în problema precedentă, pentru circuitul cu schema din figura de mai

jos:

65. Acelaşi enunţ ca în problema precedentă, pentru circuitul cu schema din figura de mai

jos. Se presupune că indicaţiile ambelor voltmetre sunt corecte.

66. Acelaşi enunţ ca în problema precedentă, pentru circuitul cu schema din figura de mai jos. Se presupune că indicaţiile ambelor voltmetre sunt corecte.

67. Acelaşi enunţ ca în problema precedentă, pentru circuitul cu schema din figura de mai jos. Se presupune că indicaţiile ambelor voltmetre sunt corecte.

Documents

Probleme Circuite