PROF. 2o ANO MATEMÁTICA PADRÃO VOL. IV · EM2MAT06: Geometria Espacial: como estudar poliedros, prismas e pirâmides? • Compreender a definição de poliedro ... EM2MAT08: Geometria

PROF. 2o ANOMATEMÁTICA PADRÃO VOL. IV

É proibida a reprodução total ou parcial, por qual-quer meio ou processo, inclusive quanto às caracte-rísticas gráficas e/ou editoriais. A violação de direitos autorais constitui crime (Código Penal, art. 184 e §§, e Lei nº 6.895, de 17/12/1980), sujeitando-se a busca e apreensão e indenizações diversas (Lei nº 9.610/98).

Direção Executiva:Fabio Benites

Gestão Editorial:Maria Izadora Zarro

Diagramação, Ilustração de capa e Projeto Gráfico:Alan Gilles MendesAlex FrançaDominique CoutinhoErlon Pedro PereiraEstevão CavalcantePaulo Henrique de Leão

Estagiários:Amanda SilvaFabio Rodrigues Gabriel SousaGustavo MacedoLucas Araújo

Irium Editora LtdaRua Desembargador Izidro, no114 - Tijuca - RJCEP: 20521-160Fone: (21) 2560-1349www.irium.com.br

Biologia: Filosofia:Física:Geografia: História: Leitura e Produção:Língua Espanhola: Língua Inglesa: Língua Portuguesa: Literatura:Matemática: Química:Sociologia:

Língua Espanhola: Língua Inglesa: Matemática:Química:

Autores:

Atualizações:

Alexandre BandeiraGustavo BertocheWilmington CollyerGonzalo Lopez Roberto José AlvesVinícius CarvalhoMizael Souza Caroline CarvalhoVinícius CarvalhoVinícius CarvalhoRicardo Viz André VenturaAnne Nunes

Karina PaimMaria Izadora ZarroGabriella MoreiraBeattriz Guedes

Apresentação:Olá, querido aluno.O material da Irium Educação foi elaborado por professores competentes e comprometidos com

uma proposta de educação exigente e plural.Neste livro, você encontrará uma teoria na medida certa, focada nas informações mais importantes

hoje em dia, e muitos exercícios para fortalecer sua aprendizagem e preparação para os desafios futuros.Vamos conhecer um pouco mais sobre este livro?Todo capítulo inicia com uma capa, onde você encontrará uma imagem ilustrativa e os objetivos

de aprendizagem. Estes resumem o que queremos que você aprenda. Quando chegar no final do capítulo, se você quiser saber se aprendeu o que é realmente importante, volte na capa e verifique se alcançou cada um dos objetivos propostos.

Antes de entrarmos na teoria, em cada capítulo, você encontrará uma contextualização. Ela funcio-na para mostrar para você porque o assunto é importante e como você poderá usar esse conhecimento no seu dia a dia.

No meio do caderno, quando estiver estudando, você encontrará inserções com informações rele-vantes e que “conversam” com portais da Irium Educação. É o caso do box Como pode cair no ENEM?, que trazem temas conectados ao assunto do capítulo e propõem questões do ENEM ou com o estilo da prova. Você poderá resolver os exercícios no seu caderno ou acessar o portal comopodecairnoenem.com.br. Lá você também encontrará todas essas questões resolvidas em vídeo.

Outra inserção interessante, que visa oferecer mais conhecimento relevante, é o 4News. Nessa se-ção, será possível acessar notícias recentes que conectam o tema do capítulo com uma informação importante para a sua formação e para os diversos vestibulares. Na apostila, essas informações estão resumidas, mas poderá acessar esse conteúdo, produzido pela nossa equipe de professores, na ínte-gra, através do portal 4newsmagazine.com.br ou utilizando o QR code inserido no box.

Uma das principais marcas dos livros da Irium Educação são os exercícios, que primam pela quan-tidade e qualidade. Para ajudar os alunos a tirarem suas dúvidas, existem inúmeras questões com soluções gravadas em vídeo. Elas aparecem com uma câmera e um código. Para acessar a solução, utilize o código no campo de busca no espaço destinado (videoteca) no nosso site irium.com.br/videoteca ou até mesmo no Youtube.

Além dos exercícios tradicionais, de concursos, propomos uma atividade mais experimental no final de cada capítulo. Na seção Pesquisando, você encontrará uma proposta de reflexão e/ou pesquisa com o intuito de tornar o aprendizado teórico mais prático e concreto. Essa atividade poderá ser usada para seminários e apresentações, de acordo com a agenda pedagógica da escola.

Para finalizar, que tal encontrar um conteúdo ideal para aquelas revisões na véspera de provas e concursos? Essa é a proposta da seção Resumindo, na última página de cada capítulo. Aqui, você en-contrará uma síntese com as principais informações do capítulo, como as fórmulas mais importantes, que você não pode esquecer.

A equipe da Irium Educação acredita em uma formação exigente, completa e divertida. Esperamos que este livro possa proporcionar isso a você.

#vamboraaprender“A Educação é a arma mais poderosa

que você pode usar para mudar o mundo.”(Nelson Mandela)

Fabio BenitesDiretor-geral

CONTEÚDO PROGRAMÁTICO 2017

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CONTEÚDO PROGRAMÁTICO

2º ANO – 2016 / 2017

MATEMÁTICA I1o BIMESTRE

EM2MAT01: Estatística: como organizar e interpretar dados matemáticos?• Reconhecerostiposdegráficos(barras,setoreselinhas);• Compreenderatabeladefrequênciaeohistograma;• Diferenciarasmedidasde tendênciacentralededispersãoassimcomo identificarasmedidasde

tendênciacentraloudedispersãoemumconjuntodedadosexpressosemumatabeladefrequênciascomdadosagrupadosouemgráficos;

• Resolverproblemasenvolvendoasmedidasdetendênciacentralededispersãoedeexercícioscomanálisedegráficos.

2o BIMESTRE

EM2MAT02: Análise Combinatória: aprendendo a fazer diversos tipos de contagem• Assimilaraimportânciadoprocessodetomadadedecisõeseprincípiosmultiplicativos;• Apresentaraoperaçãofatorialeoseufuncionamento;• IntroduziroPrincípioFundamentaldaContagemcomobaseparaaAnáliseCombinatória;• Estabelecerosconceitosdepermutação,arranjoecombinação,bemcomosuasrestrições;• Aplicarasferramentasdesenvolvidasemproblemascontextualizadoseatuais.

3o BIMESTRE

EM2MAT03: Probabilidade: como calcular a probabilidade de eventos?• EstruturarasnoçõesdeEspaçoAmostral,EventoeProbabilidade;• Resolverproblemasiniciaisdeprobabilidade;• Reconheceradependênciaouindependênciadeeventos;• Percebercomoelasafetamocálculodeprobabilidadescondicionais;• Utilizarconectivos“e”e“ou”paratratardeprobabilidadescommaisdeumevento.

4o BIMESTRE

EM2MAT04: Sequências: estudando progressões aritméticas e geométricas• Reconhecerpadrõesnaformaçãodesequênciasnuméricas;• Definirconceitos,propriedadeserelaçõesdeumaProgressãoAritmética;• Definirconceitos,propriedadeserelaçõesdeumaProgressãoGeométrica;• AssimilarasrecorrentesformasdediferenciarumaPAdeumaPG;• Resolverproblemasdesequênciasnuméricasaplicandotaisconceitos.

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MATEMÁTICA II

1o BIMESTRE

EM2MAT05: Matrizes: como estudar matrizes, determinantes e sistemas lineares?• Compreenderosignificadodeumamatriz;• Realizaroperaçõesenvolvendomatrizes;• Calculardeterminantesdematrizesquadradaseassimilarasdiversaspropriedadesassociadasàs

matrizes;• Utilizarconceitosdematrizesparadeterminarconjuntos-soluçãodesistemaslineares.

2o BIMESTRE

EM2MAT06: Geometria Espacial: como estudar poliedros, prismas e pirâmides?• Compreenderadefiniçãodepoliedro,suaclassificaçãoeaaplicaçãodarelaçãodeEuler;• Reconhecerprismasecalcularsuasáreasdabase,lateraletotalevolume,inclusivedeparalelepípedo

ecubo.• Reconhecerpirâmidesecalcularsuasáreasdabase,lateraletotalevolume,inclusivedotetraedro

regular.• Resolverproblemasenvolvendopoliedros,prismasepirâmides.

3o BIMESTRE

EM2MAT07: Geometria Espacial: estudando cilindros, cones e sólidos de revolução• Definiroqueéumcone,mostrandoseusprincipaiselementos,planificações,ededuzindooscálculos

deáreasevolume;• Resolverproblemasenvolvendosólidosderevolução,emespecialcilindrosecones;• Definiroqueéumcilindro,apresentandoseusprincipaiselementos,planificações,eoscálculosde

áreasevolume;• Construircilindrosapartirdarevoluçãodefigurasplanas.

4o BIMESTRE

EM2MAT08: Geometria Espacial: quais as principais características de esferas e troncos?

• Compreenderaseçãonaesferaearelaçãoentreadistânciadocentroaoplanodeinterseção,oraiodeinterseçãoeraiodeesfera;

• Diferenciaraspartesdaesfera(calota,fusoecunha);• Identificaráreasevolumesdaesferaedetroncosdesólidos,comopirâmidesecones;• Trabalharcomainscriçãoecircunscriçãodesólidos;• Resolverproblemasenvolvendoesferas,troncos,inscriçãoecircunscriçãodesólidos.


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ORIENTADOR METODOLÓGICO PADRÃO

ENSINO MÉDIO 2017/2018

O material didático da Irium Educação foi reformulado para o biênio 2017/2018 com o intuito de estar atualizado com as demandas educacionais dos principais concursos do país e alinhado com os pilares educacionais elementares defendidos pela editora.

Além de conter um projeto pedagógico de vanguarda, o projeto gráfico é totalmente inovador. O design de cada página foi projetado para ser agradável para a leitura e atrativo visualmente, favorecendo a aprendizagem. Há uma identidade visual para cada disciplina e as seções são marcadas com foco artístico e acadêmico.

Veja algumas páginas:

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Didaticamente, há um projeto traçado que envolve fundamentos pedagógicos de vanguarda. Além disso, o material impresso dialoga com sites e aplicativos, e vídeos dispostos na videoteca do irium.com.br.

Confira os fundamentos pedagógicos do material e suas justificativas:

Fundamento 01:Apresentar um conteúdo com ementa e nível de acordo com os Parâmetros Curriculares Nacionais (PCNs), refletidos pelos principais concursos do país do referido segmento.

Descrição: O conteúdo de cada série segue as orientações dos PCNs e conteúdo programático do exame nacional do Ensino Médio (ENEM). Existem duas linhas de material. O pacote Otimizado aborda todo o conteúdo dividido em três anos, enquanto o Padrão encerra todo o conteúdo nos dois primeiros anos, e o terceiro ano funciona como um pré-vestibular abordando toda a ementa do ENEM e dos principais vestibulares do Brasil.

Fundamento 02:Alinhar desde o princípio os objetivos pedagógicos de cada caderno (capítulo).

Descrição: Ainda na capa de cada caderno (capítulo), professores e alunos encontrarão os objetivos a serem alcançados naquela unidade. Dessa forma, pretende-se que docentes e discentes comecem “com o objetivo em mente”, ou seja, que tenham clareza desde o início dos objetivos.

Como funciona na prática? Logo na capa do caderno, sugerimos que o professor apresente os objetivos pedagógicos do caderno, ou seja, o que o aluno deve assimilar e quais competências ele deve desenvolver, quando o caderno estiver com a teoria lecionada e os exercícios realizados.

Na capa do caderno de Hidrostática, ao lado, ao ler os objetivos da unidade, junto com os alunos, o professor deixa claro que visa ensinar, para compreensão dos alunos, compreender os conceitos de pressão, massa específica e densidade de um corpo, assim como o teorema de Stevin, de Arquimedes e o princípio de Pascal.


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Fundamento 03:Transcender o conteúdo tradicional, a partir do diálogo entre este e outros saberes, não previstos na Base Nacional Comum, mas considerados relevantes para a formação do jovem, segundo a visão da Irium Educação.

Descrição: Além do conteúdo tradicional, o material do Ensino Médio é focado em novos saberes essenciais para a formação dos jovens hoje em dia. Saberes como Economia, Noções de Nutrição, Geopolítica e Meio Ambiente são apresentados de forma dialógica com os conteúdos tradicionais. De forma prática, em cada caderno há pelo menos uma inserção transdisciplinar em formato de observação. Essas inserções surgem no material impresso em uma versão reduzida e o artigo na íntegra pode ser acessado no site do projeto 4newsmagazine.com.br.

Como funciona na prática? As inserções são apresentadas em um quadro específico e o conteúdo é exposto pela bandeira interdisciplinar 4NEWS MAGAZINE. Esta é uma revista de atualidades que possui uma linguagem própria da adolescência, o que gera identificação com os alunos. Com isso, terão a oportunidade de ler, entender e debater temas importantes do Brasil e do mundo de uma forma mais interessante para a faixa etária que se encontram. Para os professores, fica a sugestão de utilizar esses artigos transdisciplinares para apresentar como o conteúdo presente “dialoga” com outros, estendendo a aprendizagem e mostrando outras áreas do conhecimento com as quais alguns alunos, com certeza, irão se identificar. Esse fundamento do material didático é uma grande oportunidade para fazer conexões entre os saberes, valorizando cada um e ainda mais a sinergia entre eles. Além do artigo presente na apostila, os educadores podem incentivar os discentes a acessar o conteúdo completo, no site, possibilitando a navegação por outros artigos e, consequentemente, o acesso a mais informações de qualidade. Veja no recorte abaixo, como a notícia sobre a influência da igreja católica na geopolítica mundial foi utilizada para dialogar com o caderno de História do 3º ano “Formação do Brasil colonial”, enriquecendo ainda mais o conhecimento cultural do aluno.

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Fundamento 04:Sugerir contextos para apresentação dos conteúdos a fim de tornar o aprendizado mais prático e concreto para o aluno.

Descrição: Um desafio para os educadores é não cair no “conteudismo” puro, distante da aplicabilidade desses e da realidade dos alunos. Para isso não acontecer, o material traz sugestões de contextualizações para o início do conteúdo, além de outras exemplificações práticas ao longo da apresentação da teoria.

Como funciona na prática? Na segunda página de cada caderno, há uma charge, uma tirinha, uma citação, um meme ou outra representação que o professor pode usar como “gancho” para iniciar a sua aula de forma contextualizada, trazendo mais significado para o aprendizado desde o início da aula. Repare que o texto abaixo (à esquerda) propõe uma reflexão sobre o porquê alguns corpos flutuam e outros não. Essa provocação cabe perfeitamente para o início da exposição, considerando que se pretende explicar o conceito de hidrostática, ou seja, ciência que estuda os líquidos em equilíbrio estático. No outro exemplo (à direita), o autor inseriu uma imagem para criticar a concentração fundiária no Brasil.


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Fundamento 05:Promover uma linguagem mais dialógica e sedutora para o aluno, a fim de sensibilizá-lo para a importância do conteúdo, facilitando o processo de aprendizagem.

Descrição: A forma como as informações são apresentadas é essencial para criar simpatia ou rejeição por parte dos alunos. Pensando nisso, reformulamos a linguagem do material, especialmente no início de cada caderno, na primeira impressão, para que ela fosse mais atrativa para os jovens. Assim, o texto “conversa” com o leitor, favorecendo a apresentação do conteúdo e evitando rejeições devido a forma como ele é apresentado.

Como funciona na prática? Os textos do material não possuem linguagem coloquial, eles são técnicos. Porém, não são puramente técnicos no sentido tradicional. Eles buscam uma aproximação do educando, como se o autor estivesse “conversando” com o leitor. Esse tipo de construção favorece a compreensão, e os professores podem usar isso em exercícios como: reescreva determinado texto com suas palavras, deixando claro o que você entendeu. Nos textos tradicionais, normalmente, os alunos têm dificuldade de entenderem sozinhos. Veja os textos abaixo como são convidativos.

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Fundamento 06:Articular conteúdo e exercícios de forma planejada, a fim de tirar o melhor proveito desses últimos, funcionando como validação dos conceitos básicos trabalhados ou espelhando a realidade dos mais diversos concursos.

Descrição: Há três seções de exercícios “tradicionais”. Os Praticando possuem o aspecto de validação da aprendizagem, os Aprofundando refletem a clássica abordagem dos concursos e os Desafiando (somente na versão Padrão) são os mais difíceis, até mesmo para os principais concursos do país. Existem também, em todas as seções, questões resolvidas em vídeo. Elas estão sinalizadas com um ícone de uma câmera, que indica que há solução gravada, e podem ser localizadas pelo código justaposto. Através desse código, o aluno-usuário deverá acessar a área da Videoteca, localizada em irium.com.br.

Como funciona na prática? Os exercícios Praticando, por serem validações da aprendizagem, permeiam a teoria, ou seja, teoria 1 → praticando 1 → teoria 2 → praticando 2 → ... Os Aprofundando servem como mini simulados de concursos e são recomendados “para casa” para serem corrigidos na aula seguinte. Os Desafiando, por serem os mais difíceis, podem valer pontos extras em atividades a parte.

Fundamento 07:Incentivar o aluno a estender sua aprendizagem além da sala de aula, seja com links para sites e aplicativos ou através de atividades complementares de pesquisa e reflexão.

Descrição: O material possui também atividades não ortodoxas. As questões “tradicionais” são testes para verificar se o aluno consegue reproduzir aquilo que deveria ser aprendido. Na seção Pesquisando, o material propõe exercícios novos, que incentivam a pesquisa on-line e off-line, reflexões sobre escolhas e comportamentos e servem também, para possibilitar a atuação dos responsáveis na educação formal do filho, pois podem ajudá-los nas pesquisas e reflexões sugeridas pela atividade. Para o terceiro ano, não há a sugestão da atividade Pesquisando, mas uma seção denominada Competências e Habilidades onde são informadas e trabalhadas as cento e vinte habilidades da matriz de referência do ENEM.


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Como funciona na prática? A seção Pesquisando é constituída de exercícios “fora da caixinha”, isto é, aqueles que exigem pesquisas e/ou reflexões. Há algumas utilizações pedagógicas interessantes para essa seção. Exemplos: 1) O professor poderia pedir um caderno separado para registro desses exercícios. Ao final ele teria um verdadeiro portfólio da produção dos alunos ao longo de determinado tempo; 2) Os pais poderiam ser convidados a participar da educação formal do filho, ajudando-o ou simplesmente perguntando sobre os temas abordados nesses exercícios, pois são mais fáceis para esse intuito do que os exercícios tradicionais; 3) O aluno poderia exercitar sua oratória apresentando atividades propostas nessa seção; 4) Alguns Pesquisando podem ser usados como temas para debates em sala, desenvolvendo as habilidades de ouvir e compreender o outro, além, obviamente, da capacidade de argumentação.

A seção Competências e Habilidades, presente no material do terceiro ano, informa qual(is) habilidade(s) está(ão) relacionada(s) àquele conteúdo, qualificando o educando nesse conteúdo.

Fundamento 08:Oferecer informações sintetizadas, a fim de atender momentos de revisão do conteúdo.

Descrição: No final de todo caderno, apresentamos uma seção denominada Resumindo, onde é apresentada uma síntese do conteúdo do caderno. O intuito é possibilitar que o aluno tenha um resumo bem construído para uma revisão rápida, quando necessária.

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CONTEÚDO PROGRAMÁTICOENSINO MÉDIO 2017

2 anoo

MATEMÁTICA I

4o bimestre:

Aula: 29Tópico: Sequências: estudando progressões aritméticas e geométricasObjetivos: Reconhecer padrões na formação de sequências numéricas; Definir conceitos, propriedades e relações de uma Progressão Aritmética; Definir conceitos, propriedades e relações de uma Progressão Geométrica; Assimilar as recorrentes formas de diferenciar uma PA de uma PG; Resolver problemas de sequências numéricas aplicando tais conceitosSubtópicos: SequênciasExercícios: xPara casa: Praticando 1 ao 5

Aula: 30Tópico: Sequências: estudando progressões aritméticas e geométricasObjetivos: Reconhecer padrões na formação de sequências numéricas; Definir conceitos, propriedades e relações de uma Progressão Aritmética; Definir conceitos, propriedades e relações de uma Progressão Geométrica; Assimilar as recorrentes formas de diferenciar uma PA de uma PG; Resolver problemas de sequências numéricas aplicando tais conceitosSubtópicos: PAExercícios: xPara casa: Praticando 6 ao 12

Aula: 31Tópico: Sequências: estudando progressões aritméticas e geométricasObjetivos: Reconhecer padrões na formação de sequências numéricas; Definir conceitos, propriedades e relações de uma Progressão Aritmética; Definir conceitos, propriedades e relações de uma Progressão Geométrica; Assimilar as recorrentes formas de diferenciar uma PA de uma PG; Resolver problemas de sequências numéricas aplicando tais conceitosSubtópicos: PAExercícios: xPara casa: Praticando 13 ao 20

Aula: 32Tópico: Sequências: estudando progressões aritméticas e geométricasObjetivos: Reconhecer padrões na formação de sequências numéricas; Definir conceitos, propriedades

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e relações de uma Progressão Aritmética; Definir conceitos, propriedades e relações de uma Progressão Geométrica; Assimilar as recorrentes formas de diferenciar uma PA de uma PG; Resolver problemas de sequências numéricas aplicando tais conceitosSubtópicos: PGExercícios: xPara casa: Praticando 13 ao 30

Aula: 33Tópico: Sequências: estudando progressões aritméticas e geométricasObjetivos: Reconhecer padrões na formação de sequências numéricas; Definir conceitos, propriedades e relações de uma Progressão Aritmética; Definir conceitos, propriedades e relações de uma Progressão Geométrica; Assimilar as recorrentes formas de diferenciar uma PA de uma PG; Resolver problemas de sequências numéricas aplicando tais conceitosSubtópicos: PGExercícios: xPara casa: Praticando 31 ao 38

Aula: 34Tópico: Sequências: estudando progressões aritméticas e geométricasObjetivos: Reconhecer padrões na formação de sequências numéricas; Definir conceitos, propriedades e relações de uma Progressão Aritmética; Definir conceitos, propriedades e relações de uma Progressão Geométrica; Assimilar as recorrentes formas de diferenciar uma PA de uma PG; Resolver problemas de sequências numéricas aplicando tais conceitosSubtópicos: xExercícios: AprofundandoPara casa: Aprofundando

Aula: 35Tópico: Sequências: estudando progressões aritméticas e geométricasObjetivos: Reconhecer padrões na formação de sequências numéricas; Definir conceitos, propriedades e relações de uma Progressão Aritmética; Definir conceitos, propriedades e relações de uma Progressão Geométrica; Assimilar as recorrentes formas de diferenciar uma PA de uma PG; Resolver problemas de sequências numéricas aplicando tais conceitosSubtópicos: xExercícios: AprofundandoPara casa: Desafiando e Pesquisando

Aula: 36Tópico: RevisãoObjetivos:Subtópicos: RevisãoExercícios: Revisão bimestralPara casa: Revisão bimestral


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MATEMÁTICA II4o bimestre:

Aula: 29Tópico: Geometria Espacial: quais as principais características de esferas e troncos?Objetivos: Compreender a seção na esfera e a relação entre a distância do centro ao plano de interseção, o raio de interseção e raio de esfera; Diferenciar as partes da esfera (calota, fuso e cunha); Identificar áreas e volumes da esfera e de troncos de sólidos, como pirâmides e cones; Trabalhar com a inscrição e circunscrição de sólidos; Resolver problemas envolvendo esferas, troncos, inscrição e circunscrição de sólidosSubtópicos: EsferaExercícios: xPara casa: Praticando 1 ao 8

Aula: 30Tópico: Geometria Espacial: quais as principais características de esferas e troncos?Objetivos: Compreender a seção na esfera e a relação entre a distância do centro ao plano de interseção, o raio de interseção e raio de esfera; Diferenciar as partes da esfera (calota, fuso e cunha); Identificar áreas e volumes da esfera e de troncos de sólidos, como pirâmides e cones; Trabalhar com a inscrição e circunscrição de sólidos; Resolver problemas envolvendo esferas, troncos, inscrição e circunscrição de sólidosSubtópicos: Solidos semelhantes e troncosExercícios: xPara casa: Praticando 9 ao 15

Aula: 31Tópico: Geometria Espacial: quais as principais características de esferas e troncos?Objetivos: Compreender a seção na esfera e a relação entre a distância do centro ao plano de interseção, o raio de interseção e raio de esfera; Diferenciar as partes da esfera (calota, fuso e cunha); Identificar áreas e volumes da esfera e de troncos de sólidos, como pirâmides e cones; Trabalhar com a inscrição e circunscrição de sólidos; Resolver problemas envolvendo esferas, troncos, inscrição e circunscrição de sólidosSubtópicos: Solidos de revoluçãoExercícios: xPara casa: Praticando 16 ao 18

Aula: 32Tópico: Geometria Espacial: quais as principais características de esferas e troncos?Objetivos: Compreender a seção na esfera e a relação entre a distância do centro ao plano de interseção, o raio de interseção e raio de esfera; Diferenciar as partes da esfera (calota, fuso e cunha); Identificar áreas e volumes da esfera e de troncos de sólidos, como pirâmides e cones; Trabalhar com a inscrição e circunscrição de sólidos; Resolver problemas envolvendo esferas, troncos, inscrição e circunscrição de sólidos

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Subtópicos: Inscrição e circunscrição de solidosExercícios: xPara casa: Praticando 19 ao 25

Aula: 33Tópico: Geometria Espacial: quais as principais características de esferas e troncos?Objetivos: Compreender a seção na esfera e a relação entre a distância do centro ao plano de interseção, o raio de interseção e raio de esfera; Diferenciar as partes da esfera (calota, fuso e cunha); Identificar áreas e volumes da esfera e de troncos de sólidos, como pirâmides e cones; Trabalhar com a inscrição e circunscrição de sólidos; Resolver problemas envolvendo esferas, troncos, inscrição e circunscrição de sólidosSubtópicos: xExercícios: AprofundandoPara casa: Aprofundando

Aula: 34Tópico: Geometria Espacial: quais as principais características de esferas e troncos?Objetivos: Compreender a seção na esfera e a relação entre a distância do centro ao plano de interseção, o raio de interseção e raio de esfera; Diferenciar as partes da esfera (calota, fuso e cunha); Identificar áreas e volumes da esfera e de troncos de sólidos, como pirâmides e cones; Trabalhar com a inscrição e circunscrição de sólidos; Resolver problemas envolvendo esferas, troncos, inscrição e circunscrição de sólidosSubtópicos: xExercícios: AprofundandoPara casa: Aprofundando

Aula: 35Tópico: Geometria Espacial: quais as principais características de esferas e troncos?Objetivos: Compreender a seção na esfera e a relação entre a distância do centro ao plano de interseção, o raio de interseção e raio de esfera; Diferenciar as partes da esfera (calota, fuso e cunha); Identificar áreas e volumes da esfera e de troncos de sólidos, como pirâmides e cones; Trabalhar com a inscrição e circunscrição de sólidos; Resolver problemas envolvendo esferas, troncos, inscrição e circunscrição de sólidosSubtópicos: xExercícios: AprofundandoPara casa: Desafiando e Pesquisando

Aula: 36Tópico: RevisãoObjetivos:Subtópicos: RevisãoExercícios: Revisão bimestralPara casa: Revisão bimestral

EM2M

AT04

SEQUÊNCIAS: ESTUDANDO PROGRESSÕES ARITMÉTICAS E GEOMÉTRICAS

1

ORIENTADOR METODOLÓGICO

Sequências: estudando pro-gressões aritméticas e geo-métricas

Objetivos:• Compreender a definição de poliedro, sua

classificação e a aplicação da relação de Euler;

• Reconhecer prismas e calcular suas áreas da base, lateral e total e volume, inclusive de parale-lepípedo e cubo;

• Reconhecer pirâmides e calcular suas áreas da base, lateral e total e volume, inclusive do te-traedro regular;

• Resolver problemas envolvendo poliedros, prismas e pirâmides.

Praticando1) Como a_1=16 e 2an+1 = an temos que

2a2 =a1 = 16 → a2 = 82a3 =a2 = 8 → a3 = 4 2a4 = a3 = 4 → a4 = 22a5 =a 4 =2 → a5 = 1

2) Sabendo que f(0) = 1 e f(n+1)=(4f(n)+1 )/4 pode--se observar que:

f(1)=f(0+1)=5/4f(2)=f(1+1)=((4.5/4)+1)/4=6/4f(3)=f(2+1)=((4.6/4)+1)/4=7/4Pode-se perceber que um termo é igual a seu

antecessor somado a 1/4. Logo, como entre 1 e 44 há 44 números temos que f(44)=f(0)+44.1/4=12

Gabarito: D

3) Nessa sequência podemos observar que um termo é igual a seu antecessor somado a 2/6. Logo como entre 2 e 30 há 29 números temos que a30 =3/6+29.2/6=61/6

Gabarito: B

4) Como f(n+1)=(5f(n)+2)/5 e f(1)=5 podemos ob-servar que:

f(2)=f(1+1)=(5f(1)+2)/5=(5.5+2)/5=27/5f(3)=f(2+1)=(5f(2)+2)/5=(5.27/5+2)/5=29/5f(4)=f(3+1)=(5f(3)+2)/5=(5.29/5+2)/5=31/5Logo, podemos perceber que nessa sequen-

cia um termo é igual a seu antecessor somado a 2/5. Como entre 2 e 101 há 100 números, temos que a100 = 5 + 100.2/5 = 225/5 = 45

Gabarito: A

5) Nessa sequência, podemos observar que o pri-meiro termo é a1 = 4, logo os subsequentes serão:

a2=4+3a3=(4+3)+3.2a4=(4+3+3.2)+3.3Então, podemos afirmar quea51 = 4+3+3.2+....+3.50=4+3(1+2+3+....+50)=4+3

.1275=3829Gabarito: A

6) Sabendo que a17 = 47 e r = 2,75 temos que: a17 =a1+16.r → 47= a1+16.2,75 → a1=3Gabarito: E

7) Para essa sequência ser uma PA temos que: r=(x-2)-(1-3x)=(2x+1)-(x-2)4x-2x+x=1+2+2+13x=6x=2

8) Sejam x-2, x e x+2 os lados desse triângulo te-mos por Pitágoras que:

(x+2)^2=x2+(x-2)2

x2+4x+4=x2+x 2-4x+4 x2-8x=0x(x-8)=0x=0 ou x=8Como x é uma medida x deve ser diferente de

0. Portanto, x =8. Com isso os lados do triângulo serão 6, 8 e 10. Logo seu perímetro será 6+8+10 = 25.

9) Sabendo que a2=a1+r; a7= a1+6r; a4= a1+3r e a9=a1+8r

EM2M

AT04


2

Então os 4 primeiros termos dessa sequencia são:

a1 = –11a2 = –3a3 = 5a4 = 13

10)

11) O primeiro múltiplo de 15 entre 1 e 10.000 é o próprio 15 e o maior múltiplo de 15 menor que 10.000 é 9990. Como de 15 em 15 elemen-tos teremos um múltiplo de 15, pode-se afirmar que temos uma PA de razão 15, então a_1=15 e a_n=9.990. Portanto,

an =9990=15+(n-1).15 → n=666Logo, como entre 1 e 10.000 há 10.000 núme-

ros 10.000 -666= 9334 fichas não foram analisa-das.

Gabarito: E

12) Pode-se observar que entre 50 e 400 o pri-meiro múltiplo de 6 é 54 e o último múltiplo de 6 é 396. Então temos uma PA de razão 6 onde a1= 54 e an =396, logo pela fórmula do termo geral temos que:

an = 396=54+(n-1).6 → n = 58Logo, há 58 números múltiplos de 6 entre 50

e 400.

13) Nessa PA, r = +4 e a1 = -8, então a40 = -8+(40-1).4 → a40 =148. Portanto,

Sn =(-8+148).40/2=2800

14) Sabendo que 2a1 + a3 = –11 e a2 – 3a5 = -12 temos que:

Logo, a60 = -5+(60-1).2 = 113, portanto, Sn = (-5+113).60/2 = 3240.

15) Pode-se notar que entre 40 e 400 o primeiro múltiplo de 6 é 42 e o último múltiplo de 6 é o número 396. Então temos uma PA onde r = 6 , a1 = 42 e an = 396. Portanto,

an = 396=42+(n-1).6 → n=60Logo, Sn = (42+396).60/2 = 13140.

16) Nesse caso temos uma PA de razão r = 1 onde a1=1e Sn = 171, portanto como an =1+(n-1).1→ an = n , temos que:

Sn =171=(1+ an).n/2 = (1+n)n/2 → n2+n-342=0 → n = -25 ou n=24

Como n é um número inteiro positivo temos que n = 24. Então foram feitas 24 linhas.

17) Temos uma PA, onde n= 30, a1 = 1 e r = 2 en-tão temos que a30 =1+(30-1).2 = 59. Portanto,

Sn = (1+59).30/2 = 900Logo, serão usadas 900 latas.

18) Considerando que todos os frascos tenham comprimidos massa igual a 20 mg, a massa total T dos comprimidos corresponderia a:

T = 20 + 2(20) + 3(20) + ... + 15(20)T = 20(1 + 2 + 3 + ... + 15)Logo, a soma entre parênteses é a de uma PA

de razão 1, portanto: S=(1+15).15/2= 120 → T=20.120 → T=2400mg Como a balança verificou que a massa total

de comprimidos corresponde a 2540 mg, temos que a massa excedente corresponde a massa ex-cedente dos n comprimidos de 30mg em relação aos de 20mg, ou seja as 10mg a mais. Portanto:

10 × n = 2540 – 240010 × n = 140n = 14A numeração do frasco que contém os com-

primidos mais pesados é 14.Gabarito: C

19) Temos que a1 = 20 e r=5, como o livro tem 17 páginas com 25 linhas cada, o escritor escreveu no total 17.25= 425 linhas, logo S(n) =425. Como an= 20+(n-1).5=15+5n temos que:

Sn = 425 = (20 + 15 + 5n) n/2 → n2 + 7n –170 = 0 → n = –17 ou n = 10

Como n é um número inteiro positivo temos que n = 10. Portanto, o escritor terminou de es-crever o livro em 10 dias.

20) Temos uma PA de razão r = 12 Então chamemos a primeira linha de a_1= 12 a20 = a1 + (n-1)r a20 = 12 + 19.12 = 240 Portanto, S20 = (12 + 240)20/2 = 2520

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21) Temos que q = (x+9)/x = (x+45)/(x+9) → (x+9)2

= x(x+45) → 27x = 81 → x = 3

22) Nessa PG q = 6/3=2 e a1 = 3. Portanto, a5 = → 3.2 → (5-1) = → 3.24 = 48

23) Temos que a1 = 3,an =384 e q = 6/3 = 2 , por-tanto, an = 384 =3.2(n-1)2 (n-1) =128 = 27 → n-1=7 → n=8.

24) Sabe-se que a_1+ a_3=130 e a_2+a_4=650, então temos que:

Então essa PG é (5, 25, 125, 625)

25)

26) Para interpolar 4 meios geométricos entre 2 e 486 teremos a PG = 2,2q,2q2,2q3,2q4,486) então q=486/(2q4 ) → q5=243 → q=3

Então, os termos serão 6, 18, 54, 162.

27) Na PA (x, y, 10) temos que r = y-x = 10-y → x = 2y-10

Já na PG (x, y, 18) temos que q=y/x=18/y→y2

= 18x Substituindo a primeira relação encontrada

na segunda, temos que:y2 = 18(2y-10)→y2-36y+180=0→y=6 ou y=30Se y=6 →x=2,se y=30 →x=50 , mas nesse se-

gundo caso x > y logo não estão em PA ou PG crescente. Portanto, vale y=6 e x=2.

28) O terceiro termo da PA será 3x pois r =x. Já na PG o terceiro termo será 4x pois q = 2. Logo, 3x + 4x = 7x.

Gabarito: D

29) Seja a PA ( 1, 1+r, 1+2r, 1 + 3r ) e a PG (1, 2, 4, 8) temos que SPA = 4+6r e SPG=15 logo, 4+6r=15 → 6r=11 → r= 11/6

Gabarito: E

30) Como os retângulos são semelhantes para calcular a área vamos calcular o número de par-tes do retângulo. Vamos contar quantos triân-gulos pequenos há em cada retângulo. Fazendo isso chegaremos em 32 → 4 = 12832 → 4 = 128 .

Agora ao contar quantos triângulos pequenos foram pintados em cada retângulo temos que: R1→16R1→16; R2→8R2→8; R3→4R3→4 Logo, te-mos a PG(16/128;8/128;4/128)

Que equivale a PG (1/8,1/16,1/32)Logo a razão da PG é 1/2.Gabarito: C

31) Na PG (2, 4, 8, ...) temos que q=4/2=2. Logo, temos que:

Sn = 2(28-1)/(2-1)=2.255=510

32) Na PG (2, 6,...) temos que a_1=2 e q=6/2=3. Para S_n=242 então

Sn =(a1 (qn –1))/(q-1)=242 → 2(3n –1)/2=242 → 3n –1

=242 → 3n =243 → 3n = 35 → n=5 Como nessa PG há dois termos é necessário

somar mais 3 termos.

33) Temos que 10x+20x+40x+ ... + 1280 x = x.( 10+ 20+40 +...+ 1280) = 7650

Observe que há uma soma da PG= (10, 20, 40, ..., 1280) de razão q=2. Logo,

a_1=10 e a_n=1280,logo 1280= → 10.2 → (n-1) → 2(n-1)=128 → 2(n-1)=2^7 → n=8

Portanto, Sn = (a1 (qn-1))/(q-1) = 10(28 – 1)/ 1= 10.255 = 2550. Com isso 2550x = 7650 → x = 3.

34) a) Temos a PG infinita (40, 20, 10, ....) de razão q = 1/2, logoS = a1/(q-1) = 40/(1-1/2) = 80

Portanto, 40x + 20x+10x+...= (40+20+10+...)x= 80x=160 → x = 2b) Temos que x2 – x2/2+x2/4-x2/8+→ =x2/2+x2/4+→ = 24 então temos a PG infinita (1/2,1/4,…) de razão q = 1/2. Logo, S = a1/(q-1)=(1/2)/(1-1/2) = 1. Portan-to, x2/2+x2/4+→ = x2 (1/2+1/4+→)=x2=24→x=2√6

35) Na PG infinita (9,3,1,...) temos que q = 1/3. Logo a4 = 1/3,a5 = 1/9 e a6 = 1/27. Portanto, ao multiplicar os 6 primeiros termos dessa PG te-mos 9.3.1.(1/3).(1/9).(1/27)=1/27

36) a) 1/9b) 25/99 c) 507/99

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37) a) Temos a seguinte figura

O perímetro do primeiro triângulo será 3+3+3= 9. Já o segundo triângulo será 3/2+3/2+3/2=9/2. Logo, temos a PG infinita (9,9/2,…) de razão q=1/2 . Portanto a soma dos perímetros será S=9/(1-1/2)=18cmb) A área do primeiro triângulo será A1 =(9√3)/4, já a área do segundo triângulo será A2 =(9√3)/16. Logo, temos a PG infinita ((9√3)/4, (9√3)/16,...) de razão q = 1/4. Portanto a soma das áreas será S=((9√3)/4)/(1-1/4)=((9√3)/4)/(3/4)=3√3 cm2

38) Ao soltar a bola ela encontra o solo e sobe até a metade da altura inicial, então chamando de d a distância percorrida pela bola a cada vez que bate no solo e sobe, temos que d1 = h+h/2 = 3h/2,d2 = h/2 + h/4 = 3h/4, d3 = h/4+h/8 = 3h/8, logo temos a PG infinita (3/2,3/4,3/8,…) de razão q = 1/2 logo sua soma será S = (3h/2)/(1-1/2) = (3h/2)/(1/2) = 3h

Aprofundando:39) Sabendo que a(n+1 )– an = 2,logo r=2 como a2 = 5, pode-se perceber que a(1+1)– a1 = 3. Portan-to, a100 =a1 + 99r = 3+99.2 = 201

40) Sabendo que f(0)=1 e f(n+1) = f(n) +3 é possí-vel observar que:

f(0+1) = f(0) + 3 → f(1)= 4f(1+1) = f(1) + 3 → f(2) = 7f(2+1) = f(2) +3 → f(3) = 10Logo, temos uma PA de razão r=3. Então

f(200) = f(1) + 199.3 = 4+597=601Gabarito: C

41) Sabendo que f(0)=1 e f(n+1) = f(n) +1 é possível observar que:

f(0+1) = f(0) + 1 → f(1)= 2

f(1+1) = f(1) + 1 → f(2) = 3f(2+1) = f(2) +1 → f(3) = 4Logo, temos uma PA de razão r = 1. Então

f(200) = f(1) + 199.1 = 2 + 199 = 201Gabarito: B

42) Temos que a primeira sequência é uma PA de razão r = 2, logo an = 3+(n-1).2 = 2n + 1 . Já a segunda sequência é uma PA de razão r = 3, logo bn = 3 + (n-1) . 3 = 3n

Como cn = an + bn = 2n + 1 + 3n = 5n + 1 Logo, c20 = 5.20+1 = 101Gabarito: C

43) Considerando x a distância entre as cidades C e D e dado que a distância entre B e C mede 10 km a mais que a distância entre C e D, e ainda, que a distância entre A e B mede 10 km a mais que a distância B e C. Como a distância entre as cidades A e D é de 390 km, podemos calcular o valor de x usando a equação abaixo:

(10+10+x)+(10+x)+x=3903x =360x=120Se considerarmos que d(A,B), d(B,C) e

d(C,D) formam, nesta ordem, uma progressão aritmética decrescente, podemos escrever: (140,130,120,…) onde a razão é r= -10.

Portanto, para calcularmos o vigésimo termo desta progressão:

a20 = 140+(20-1).(-10)a20 = –50Gabarito: A

44) A sequência formada pelos números das se-nhas das pessoas que estavam na fila, incluindo a do último cliente que chegou ao banco, corres-pondia à seguinte progressão aritmética: (37, 38, 39......, 49). Após a desistência de algumas pesso-as, formou-se a seguinte P.A., de razão R e núme-ro de termos n: (37, a2, a3, a4, ... , 49). Portanto,

an =49=37+(n-1).r12=(n-1)rn=12/r+1 A P.A. tem menos de 13 elementos. Assim,

para o valor de n ser máximo, R deve ser igual a 2.

Logo, n=12/2+1 → n = 7.Gabarito: B

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45) Como é pretendido instalar 10 telefones en-tre os km 31 e 229 teremos no total 12 telefones. Nesse caso temos uma PA onde a1=31 e a12 = 229 logo,

a12 = 229=31+(12-1).r198 = 11rr = 18Portanto, a distância entre cada telefone será

18km.

46) Temos uma PA onde a1 = 40,r=6 e an = 136,en-tão:

an = 136 = 40+(n-1).696 = (n-1).6n = 17Como deve-se excluir o primeiro sábado, te-

mos que houveram 17-1 = 16 sábados.Gabarito: B

47) Sabe-se que os preços dos livros estão em uma PA e que

a3 + a4 + a5 = 5(a1 + a2), portanto, temos que:3a1+9r=5(2a1+r)3a1+9r=10a1+5r7a1=4ra1=4r/7Sabendo que a1 é um número inteiro positivo,

temos que o menor valor de r que satisfaz essa condição é r = 7. Logo, a1 =4,a2 = 11,a3 = 18,a4 = 25 e a5 = 32

Logo, o valor a ser desembolsado pelo profes-sor será

S = 4 + 11 + 18 + 25 + 32 = 90Gabarito: A

48) a) Sabendo que a soma dos ângulos inter-nos de um pentágono é S=180(5-1)=720. Sejam os ângulos em PA (x-2r, x-r, x, x+r, x+2r) pode-se afirmar que:

x+2r+x+r+x+x-r+x-2r=7205x=720x=144Então um dos ângulos desse pentágono mede

144°b) Como a3 = x = 144, temos que a3 = a1+2r = 144 → a1 = 144-2r.

Supondo a1<36 → 144-2r<36 → r> 54. Note que ao escolher valores de r maiores que 144 te-

remos valores negativos para o primeiro termo da PA. Como ângulos são sempre maiores que zero, pode-se afirmar que afirmação a1<36 é falsa.

49) Pode-se notar que entre 100 e 250, o primeiro múltiplo de 7 é 105 e o último é 245. Então temos uma PA r=7,a1=105 e an=245. Portanto,

an = 245=105 + (n-1).7140=(n-1).7n=21Logo, a soma dos termos dessa PA será:S21=(105+245).21/2=3675Gabarito: E

50) O primeiro número par de dois algarismo é o número 10, já o último número será 98. Com isso temos uma PA onde r = 2,a1= 10 e an =98. Portan-to, an= 98 = 10+(n-1).2

88=(n-1).2n=45Então, S95 =(10+98).45/2=2430. Com isso te-

mos que a média aritmética seráM = 2430/45=54Gabarito: E

51) Na PA (-7, -3, ...) temos r= 4 e a1 = -7 e Sn =3150. Como:

an = -7+(n-1).4 = 4n-11 temos que:Sn = 3150=(-7+4n-11).n/2 → 2n^2-9n-3150 = 0

→ n=-75/2 ou n=42Como n é um número inteiro positivo, temos

que n = 42. Como já é conhecido dois termos, te-mos que resta somar a eles 42-2=40 termos.

Gabarito: A

52) Sabe-se que a4 = 7,a_30=111, portanto, temos que:

{→ (a1 + 3r = 7a1+29r = 111) → 26r = 104 → r=4 → a1 =-5 →

Logo, a20 = -5+(20-1).4 = 71, com isso S20 = (-5+71).20/2 = 660Gabarito: C

53) Sabe-se que n = 51,a26 = 2, então, a26 = a1+ 25r = 2. Por outro lado,

S51= (a1 + a51) . 51/2 = (2a1 + 50n)51/2 = (a1 + 25n) 51 = 2.51 = 102

Gabarito: C

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54) Sabe-se que S_n=3n+2n2, podemos afirmar que: S1 = a1=3.1+→ 2.1→ 2 = 5 e S2=a_1+a2= 3.2+→

2.2 → 2=14 →a2=9, portanto, como temos uma PA a2-a1 = r→ r=4. Logo, a12 = 5+(12-1).4 = 49

Gabarito: C

55) Em relação ao 1º corredor sabe-se que: a1 = 8 e r1 = 2 então:

an1 = 8 + 2(n-1) = 8 + 2n – 2 = 2n + 6) Já em relação ao 2º corredor, sabe-se que: a1

= 17 e r2 = 1 então:an2 = 17 + (n-1).1= 17 + n - 1 = n + 16 Como a última distância percorrida foi a mes-

ma, entãoan1 = an2 → 2n + 6 = n + 16 → n=10Portanto, S1= n(8 + 2n + 6)/2 = n(2n + 14)/2 =

n(n+7) = 10(17) = 170 eS2 = n((17 + n + 16)/2 )= n((n + 33)/2)=10.43/2=215Logo, S1 + S2 = (170 + 215) km = 385 km.

56) Se de baixo para cima o número de placas por fileira vai sendo sucessivamente dividido por 2, então, de cima para baixo irá sendo sucessiva-mente multiplicado por 2, donde se depreende que cada fileira deverá conter uma quantidade de placas que será igual a uma potência de 2.

Se a última deverá conter apenas uma placa, sua quantidade, obviamente, deverá ser repre-sentada por 2⁰ =1. Por outro lado, temos que o número de fileiras de placas será n=3,50/0,50 = 7. Com isso, temos uma PG onde a_7=1 ,q=1/2, logo:

a7 = a1.(1/2)(7-1) = 1 → a1 = 64Portanto, S7 = 64((1/2)n-1)/((1/2-1) )=64(1/128-1)/

(-1/2)=-128(1/128-1)=-1+128=127Gabarito: E

57) Temos uma PG onde q = 2 e a1 = 1000a) às 11h terão se passado 3 horas, então n=3 → a3 = 1000.2(3-1)=4000b) Nesse caso, a_n=512000, então

an = → 1000.2 → (n-1)=512000 → 2(n-1)=512=29 → n-1=9 → n=10

Como as bactérias começaram a crescer às 8h temos que esse número é atingido às 8+10= 18h.

58) Temos que a1 = 5000 e a3=6050 logo, como temos uma PG, vale que

a2/a1 =a3/a2 → a2=a1.a3 → a2=5000.6050 → a2

=5500 a4/a3 =a3/a2 → a4=(a32)/a2 → a4= → 6050 →

2/5500 → a4 = 6655Portanto o aumento foi de a4-a2 = 6655-5500

= 1155Gabarito: C

59) Seja x um número para existir a PG (1-x,11/8--x,31/16-x) temos que:

Gabarito: C

60) Temos a PA (4,4+r,4+2r)e a PG(4,4q,4q2) e sa-be-se que:

(4+r)=4q+2 → r=4q-2 Como o terceiro termo de ambas são iguais,

temos que: 4+2r=4q2 → 4+2(4q-2)=4q2 → 4+8q--4=4q2 → q2-2q=0

q(q-2)=0 → q=0 ou q=2 Como, q≠0,temos que q=2. Logo, o terceiro

termo é → 4.2 → 2=16Gabarito: D

61) Da PA (1, a, b) temos que a-1=b-a → b=2a-1Da PG (1, b, a) temos que b/1=a/b → b2=a Portanto, (2a-1)2 =a → 4a2-4a+1=a → 4a2-

-5a+1=0 → a=1 ou a=1/4Como temos uma PG não constante, a não

pode ser 1. Logo a=1/4Gabarito: B

62) Temos que x+x/3+x/9+ → =(1+1/3+1/9+ →)x=60

Logo, temos uma soma infinita de uma PG onde q=1/3 e a_1=1. Portanto

S=1/((1-1/3) )=1/(2/3)=3/2Com isso, temos que (1+1/3+1/9+→)x=3/2

x=60 →x=40Gabarito: B

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63) Temos uma PG onde a1 = 1,q = 3 e n = 7 Como é desejado saber o número de frutos

atacados pela moléstia devemos calcular a soma de todos os frutos atacados durante os 7 dias, logo tem-se

S7 = 1.(1-37)/(1-3)=(1-2187)/(-2)=-2186/(-2)=1093Gabarito: E

64) Temos a PG (6, 6/4, 6/16...) onde q=1/4. De-vemos calcular a soma infinita dos termos, logo temos que

S = a1/(1 - q)→S=6/(1-1/4)→S=6/(3/4) → S=8Gabarito: 8

65) Temos uma PG de razão q=2 onde a1=1Entre o dia 1 e o dia 24 temos 24 dias, logo n =

24. Com isso, o valor recebido no dia 24 será a24 = → 1.2→(24-1) = 223

Como o valor do presente deve ser o dobro do valor recebido no dia temos que o valor do presente deve ser → 2.2→23 = 224.

Por outro lado, sabemos que a quantia rece-bida pelo filho nesse período será

S24 = 1(1-224 )/(1-2)=224-1Logo, o presente do pai será equivalente a

toda quantia recebida mais 1 real.Gabarito: D

66) Na PG (a1,a2,a3) temos que a3 = ((a1+a2))/6=(a1+a1 q)/6 , por outro lado, a3 = a1 q

2, logoa1.q2 = (a1 + a1 q)/6 → q2=(1+q)/6→6q2-q-1 = 0 →

q = 1/2 ou q = –1/3Como temos uma PG decrescente, temos que

q = 1/2

Desafiando:67) Como r = 20 temos uma PA (x, x+20, x+40, x+60). Logo sabendo que a soma dos ângulos in-ternos de um quadrilátero é 360, temos que

4x+120=360 → 4x = 240 → x=60 Logo, o maior ângulo será 60+60=120.

68) Sabe-se que há 40 níveis. Observando a figura temos que primeiro nível é constituído de 2 car-tas, a razão é 3 logo temos a PA (2, 5, 8). Logo,

a40 = a1 + 39.r → a40 = 2 + 39.3 → a40 = 119Sendo assim, Sn = (a1 + an).n/2 → S40 = (2 + 119).40/2 → S40

= 121 .20→S40 = 2420.

69) Sabe-se que a1 = 10, logo temos que:→ log→ (a→ 1 a2 a3 a4 a5 a6) = log → (a1

6 q15 ) = log → (→ 10 → 6.q15 )= 6 +15log → q = 36

→ 15log → q = 30 → log → q = 2 → q = → 10→ 2 →q = 100

70) Temos duas PGs infinitas, primeiro vamos fa-zer a soma das alturas atingidas após a primeira colisão com o chão, que nos dá a seguinte sequ-ência: (2/3 a,4/9 a,…) de razão q = 2/3. Logo

S1 = (2a/3)/(1-2/3) = (2a/3)/(1/3) = 2aAgora é preciso calcular a somas das "quedas"

da bola desde a, que nos dá a seguinte sequên-cia: (a,2/3 a,4/9 a, ...). Logo,

S2 = a/(1-2/3)=3aSomando os espaços de subida S1 e de decida

S2 vamos te 5h.

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GEOMETRIA ESPACIAL: QUAIS AS PRINCIPAIS CARACTERÍSTICAS DE ESFERAS E TRONCOS?

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ORIENTADOR METODOLÓGICO

Geometria Espacial: quais as principais característi-cas de esferas e troncos?

Objetivos:• Compreender a seção na esfera e a relação

entre a distância do centro ao plano de interse-ção, o raio de interseção e raio de esfera;

• Diferenciar as partes da esfera (calota, fuso e cunha);

• Identificar áreas e volumes da esfera e de troncos de sólidos, como pirâmides e cones;

• Trabalhar com a inscrição e circunscrição de sólidos;

• Resolver problemas envolvendo esferas, troncos, inscrição e circunscrição de sólidos.

Praticando1) Área = 4πr2 = 4.π.62 = 144π cm²

4/3 πr3 = 4/3.π.63 = 288π cm³

2) 36π = 4/3 πr3 => 27 = r3 => r = 3. Assim, a área será S = 4π32 = 36π cm2

3) 360/20 = 18. Assim, teremos (360 ----- 4/3 π43)¦(18 ------ x) => x = (4 . 18.π. 43)/(3 . 360) ≅ 4,2π cm3

4) 4/3 π.93 = π.92.h => h = 4/3 .9 => h = 12 mm

5) V1 = πr2 h ; V2 = 4/6 πr3 e V3 = 4r2.hRepare que h = r, já que a altura da semi-esfe-

ra é o próprio raio, assim, temos:V1 = πr3 ; V2 = 4/6 πr4 e V3 = 4r³, supondo

r = 1, teremos que V1=π ; V2 = 4/6 π e V3 = 4, assim, V2 < V1 < V3, letra E.

6) Volume: V = (4πr3)/3.V (maior)=(4π13)/3 = 4π/3 .V (menor)=(4π0,53)/3 = 0,5π/3.(4π/3)/(0,5π/3)=8, logo, com 1 brigadeiro, fa-

zemos 8 dos menores.

7) 2 cm = 2 dm, assim, temos: 60 .4/3 .π .(0,1)3 = 0,2512 dm3 =0,2512 l = 251,2 ml, logo, o que falta

para completar 300 ml é o volume de água na lata, assim, temos 300 – 251,2 = 48,8 ml

8) Vejamos quanto de volume a esfera ocupa nesse cilindro:4/3 π.33 = π.62.h => h=1 m. Logo. A altura mínima será de 8 + 1 = 9 m.

9) 3/3.(42 + 4.Sb + Sb) = 21 => 16 + 5.Sb = 21 => Sb = 1 => l = 1 cm

10) 105 = (ht/3).(62 + (√(62) .32 )+32 => 105 = (ht/3).(45+√324) => (ht/3) = 105/63 => ht = 5 cm.

.(Al)2=52+ ((6-3)/2)2=>Al=√((100 + 9)/4)=>Al=1/2 √109 cm²

11) AB = 42 =16 cm².Ab = 32 =9 cm².h = 6 cm.V = 6/3 .(9+16+√(9 .16))=74cm²

12) V = πd/3 ( r2+ r .R + R2 )Por semelhança de triângulos podemos encon-

trar o raio menor, assim, temos:4/10=r/2=>r=0,8.V = π .2(0,82+0,8 .2+22) = 12,48π.Al = πg (r + R)Por Pitágoras, podemos encontrar a geratriz

desse tronco, assim, teremos:62 + 1,22 = g2 => g2 = 37,44 => g = √37,44

.Al = π.√37,44 (2,8) = 2,8π√37,44

.At= 2,8π √37,44 + π.22 + π.0,82 = 7,44π √37,44

13) Volume do Cilindro: π.L2.2L=2πL3

.Volume do tronco: π.L(L2+L.2L+4L2 )=π(L3+6L2)

.Volume do paralelepípedo:L2.2L=2L³Logo, V2 > V1 > V3, letra C

14) Sendo V, A e a os valores do volume, área e aresta, respectivamente do pacote maior e V’, A’ e a’ as mesmas grandezas do pacote menor, assim, temos:

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15) V = 400 ml => V/v = (H/h)3 => V/v = (H/(H/2))3 => V/v = 8 => v = V/8 = 400/8 = 50 ml

16) Formamos dois cilindros com essa revolução, cujos volumes são:

.Vg=π,42.8=128π e Vp=π.22.8=32πLogo, o volume que queremos é dado por: V =

128π - 32π = 96π

17) A área indicada é dada pela subtração do tronco de cone formado menos do cilindro, as-sim, temos:

.Vt = πd/3 (r2+ r .R + R2)=π.2(52+30+62)=182π

.Vc = π.32 . 6 = 54π

.182π – 54π = 128π

18) O volume gerado será dado pelo volume de um cone subtraído do volume de um cilindro, as-sim, teremos:

.Vcil=π.4L2.L=4πL3 e Vcone=1/3 πL2.L=(πL3)/3Logo, o volume é dado por: 4πL3 – (πL3)/3 =

(11πL3)/3

19) O sólido formado é dado abaixo:

Percebemos que a pirâmide com base sendo

o quadrado XYCB toma 1/4 do cubo, assim, o só-lido desejado equivale a 3/4 do cubo.

20) O raio da base desse cilindro é a metade da diagonal do cubo, assim, teremos: 2.π.((h√2)/2)h = πh2 √2

21) Observe a situação descrita:

Aplicando Pitágoras, vem:

(AB)² = (AH)² + (BH)²(AB)² = 12² + 5² = 144 + 25 = 169AB = √169 AB = 13 cmNo retângulo formado dentro desse cone, te-

mos:OP = rAP = 13-5 = 8 cmAO = 12-rNovamente aplicando-se Pitágoras, fica:(AO)² = (AP)² + (OP)²(12-r)² = 8² + r²144 - 24r + r² = 64 + r² 144 - 24r = 6424r = 144 - 64 = 80r = 80/24=10/3

22) 1/3 πr2 H = πr2 h => h = H/3Como a distância pedida no enunciado é me-

tade da altura do cilindro, temos que essa distân-cia é de (H/3)/2=H/6

23)

24)

25) As esferas possuem o mesmo raio do cilindro, assim, temos:

.Vc = π.22.20 = 80π e,como cabem 5 esferas dentro desse cilindro, temos,Ve = 5 .4/3 .23.π = 160/3 π => Vext = 80π –1 60/3 π = 80π/3

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Aprofundando:26)

27) a3 = 13824 => a = √13824 = 24, assim, cabem 8 esferas

28) Há no total (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) = 21 semies-feras. Considere R o raio da esfera e a, a aresta do cubo. Assim, teremos:

29) O volume do cone é dado por: 1/3 .π .12.7=7π/3

Já o volume da esfera é dado por: 4/3.π .23 = 32π/3

Logo, é mais vantajoso comprar a bola de fute-bol pois vem mais chocolate pelo mesmo preço.

30) V = π.r2.h/3+(2πr^3)/3 V = (π.1,52.6 + 2π1,53)/3 V = 6,75π cm³ Agora dividimos o volume total do pote pelo

volume de cada casquinha. Vt = π.r².h Vt = π.9².5 Vt = 405π Agora o número n de casquinha n = Vt/V n = 405π/6,75π n = 60 casquinhas

31) I) O cone entra, pois a base terá diâmetro de 3cm e a altura será de 1cmII) O cubo entra, pois a aresta é de 2cm.III) A esfera não entra, pois seu diâmetro será de 3cm e na abertura de 2cm da caixa não passa.

IV) O paralelepípedo entra colocando a aresta de 4cm na vertical. A profundidade da caixa é de 5cm. V) O cilindro entra, pois seu diâmetro de base será de 2cm. A altura é compatível com a profun-didade.

Logo, letra C

32) Sabendo que a razão entre os volumes seme-lhantes é o cubo da razão de semelhança, temos:

33) Considerando que, inicialmente, a quantida-de de hipoclorito seja V e a diluição com água foi de 27% em relação a um volume inicial (Vi). Com o acréscimo da água, o percentual em relação ao volume final (Vf) foi de 8%, mas a quantidade de hipoclorito ainda é V. A razão entre os volumes é proporcional ao cubo da razão de suas dimen-sões, assim, teremos:

34) OS volumes são dados por:

35) Sendo x o preço da manteiga, temos:5,20 -------- 1Kgx -------- 0,125 Kg .x=5,2 .0,125=0,65

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0,40 ------- 1 Kg y ----------- 0,125 Kg.y=0,05Logo, o preço será de 0,65+0,05=0,70

36) Sendo h a altura do cone menor formado após a secção, assim, teremos:

.v = V - (7/8).V => v = (1/8).V

.(h/H)3 = v/V => (h/30)3 = (1/8).V/V => (h/30)3 = 1/8 => (h/30)3 = (1/2)3 => h/30 = 1/2=>

h = 15 cm

37) Esse rebite é formado por duas semiesferas e um cilindro, assim, teremos que seu volume é dado por:

.1a semiesfera:4/6 .π . 203 =16000π/3 mm3

.2a semiesfera: 4/6 . π . 103 = 2000π/3 mm³

.Cilindro: π .102.60 = 6000π mm3

Logo, o volume é de: 16000π/3 + 2000π/3 + 6000π = 12000π mm³

38) Teremos que:- L é aresta da base do prisma- H é altura do prisma- L’ é aresta do sólido dentro do prisma- H/2 é altura da pirâmide formada ao cortar

o sólido ao meioUsando a lei dos cossenos, temos:

O volume do sólido dentro do prisma é dado

pelo dobro do volume da pirâmide formada pelo corte na metade dele, assim, teremos:

39) b/a = 3/2 => b = 3x e a = 2xAssim, temos:.g2 = 9x2 + x2 => g = x√10Como o volume do cone vale π, teremos:.(πx2 . 3x)/3 = π => π.x3 = π => x = 1Logo, g= √10.

40) Um octaedro é formado por pirâmides de base quadrada, assim, seu lado é dado por:

.√((a/2)2+(a/2)2)= √(a2/2) = a .√2/2O volume dessas pirâmides é dado por:.Vp = 1/3.a2/2 .a/2 = a3/12 Como o octaedro possui duas dessas pirâmi-

des, teremos que seu volume será:.2 . a3/12 = a3/6

41) Podemos encontrar a altura da face a partir de:.h=(L√3)/2=(2√3)/2=√3 cmAgora, para encontrar a altura da pirâmide

formada pelo corte do octaedro ao meio, temos:.√32=12+H2=>H2=2=>H=√2Para descobrir o raio da esfera, teremos:.√2 .1=√3 .r=>r=√2/√3=√6/3 cm.Portanto, seu volume será calculado por:.4/3 .π .(√6/3)3=(8π√6)/27 cm³

Desafiando:42)

43)

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44)

45)

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PROF. 2o ANO MATEMÁTICA PADRÃO VOL. IV · EM2MAT06: Geometria Espacial: como estudar poliedros, prismas e pirâmides? • Compreender a definição de poliedro ... EM2MAT08: Geometria