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PARANÁ
GOVERNO DO ESTADO
FICHA CATALOGRÁFICA PRODUÇÃO DIDÁTICO-PEDAGÓGICA
PROFESSOR PDE 2010
Título A GEOMETRIA ESPACIAL NO COTIDIANO
ESCOLAR
Autor Leonilda do Nascimento
Escola de Atuação Colégio Estadual Miguel Dias - E.F.M.
Município da escola Joaquim Távora
Núcleo Regional de Educação Jacarezinho
Orientador Anália Maria Dias de Gois
Instituição de Ensino Superior UENP
Disciplina/Área Matemática
Produção Didático-pedagógica Unidade Didática
Relação Interdisciplinar
____________________________________________
Público Alvo Alunos do 3º Ano Matutino
Localização
Colégio Estadual Miguel Dias - E.F.M.
Rua: Dr. Lincoln Graça - 746
Apresentação:
O objetivo desse trabalho é mostrar aos alunos que a
Geometria está presente em nosso cotidiano e a
necessidade de criar aulas mais inovadoras, com as
quais o aluno possa visualizar e compreender os
conteúdos geométricos. Esse projeto busca através da
construção dos sólidos geométricos uma forma que
possibilite aos alunos ações metodológicas
diferenciadas. E diante das dificuldades de se ensinar
o conteúdo de Geometria, é o que se pretende no
projeto de intervenção, com a finalidade de que o
material venha contribuir para uma metodologia eficaz
e que leve os mesmos, se apropriar de tal
conhecimento, construindo-se uma aprendizagem para
melhorar a qualidade de ensino nas escolas públicas.
Palavras-chave História ; Geometria ; Matemática ; Sólidos de Platão
SECRETARIA DE ESTADO DA EDUCAÇÃO - SEED SUPERINTENDÊNCIA DA EDUCAÇÃO
PROGRAMA DE DESENVOLVIMENTO EDUCACIONAL - PDE
Campus de Jacarezinho
LEONILDA DO NASCIMENTO
A GEOMETRIA ESPACIAL NO COTIDIANO ESCOLAR
JACAREZINHO - PR
2010
LEONILDA DO NASCIMENTO
A GEOMETRIA ESPACIAL NO COTIDIANO ESCOLAR
Produção Didática (Unidade Didática)
apresentada ao Programa de Desenvolvimento
Educacional da Secretaria do Estado da
Educação, do Paraná, sob orientação do
professor: Anália Maria Dias de Gois.
JACAREZINHO - PR
2010
Geometria Espacial
No Egito Antigo os
conhecimentos de Geometria
eram muito utilizados, seja pelos
agrimensores, ao medir terrenos,
seja pelos construtores, ao fazer
edificações.
www.dominiopublico.gov.br
Um ótimo exemplo de como a
Geometria era elaborada são as
pirâmides, famosas pela beleza e
pelo engenho na construção. Por
isso, os egípcios ficaram famosos, e
tanta era a fama que os gregos iam
constantemente ao Egito para
adquirir mais conhecimentos no
campo da Geometria.
Fonte:http://tilesexperts.com/wordpress/wp-content/Piramides2-300x200.jpg
Fonte:http://4.bp.blogspot.com/_7_liFbdB7VQ/THHCIQ8TCBI/AAAAAAAAAKk/2kF9T3FCjGY/s1600/hellada_grec
ja_akropol_partenon%5B1%5D.jpg
Por volta de 600 a.C., os filósofos gregos começaram a sistematizar os
conhecimentos matemáticos adquiridos.
Introdução
O método de pesquisa a ser estudado nas figuras geométricas está vinculado
ao Programa de Desenvolvimento Educacional que visa em apresentar o mundo da
matemática por meio de projeto de intervenção pedagógica, mostrando que é
possível ensinar Geometria utilizando as obras existentes na natureza e as
diferentes formas criadas pelo homem, enfatizando meios para que o aluno da
escola da rede pública assimile os conteúdos trabalhados de forma sistematizada,
gerando um aprendizado significativo.
Considerando as dificuldades próprias do ensino da Geometria é preciso
buscar estratégias que seriam as comparações das formas geométricas (retângulos,
quadrados e círculos), com produtos existentes no cotidiano dos alunos ou ainda
sua visualização, observação, manuseio e conclusões, determinando tamanho e
grandeza, despertando o interesse dos alunos para a importância desse conteúdo,
possibilitando a descoberta de inúmeros problemas que ela pode ajudar a resolver,
desde uma simples embalagem até as descobertas astronômicas.
Neste contexto, faz-se necessário uma nova visão a respeito do ensino da
geometria e a busca de novas metodologias deve ser o caminho para alcançar uma
aprendizagem efetiva.
Justificativa
O objetivo principal dessa proposta é enfatizar que a Geometria está presente
em nosso cotidiano, portanto deve-se procurar conhecê-la mais de perto, para
melhor entendermos como funciona o mundo que nos rodeia e a necessidade de
criar aulas mais inovadoras, com as quais o aluno possa visualizar, representar e
compreender os conteúdos geométricos, adquirindo assim habilidades para orientar-
se no espaço de forma sistematizada.
Fundamentação Teórica
A Geometria é um dos mais belos conteúdos da matemática, porque está
presente em todo universo, deixando a todos fascinados, pois tudo nela é tão bonito
e real, todas as formas geométricas fazem parte de nosso cotidiano, assim como: na
natureza, nas brincadeiras infantis, nas construções e nas artes, além de auxiliar na
compreensão dos objetos do mundo concreto e possibilitando construir conceitos
matemáticos relacionados a esta área do conhecimento.
O ser humano, desde criança, já vivencia a geometria em sua vida a partir do
momento que começa a reconhecer suas características, nos objetos a sua volta,
como tamanho, forma, posição, entre outros. Sendo assim, a geometria se faz muito
importante na disciplina da matemática, pois permite que o educando desenvolva as
suas capacidades de abstração, compreensão e a formação do conhecimento para
ter uma visão mais ampla, resgatando deste ramo do saber o abstrato para o mundo
concreto.
A geometria surgiu da necessidade dos seres humanos de medir terras e
demarcar propriedades, mas atualmente, está voltada para o estudo das formas
geométricas, construção de conhecimentos científicos e tecnológicos, dos quais os
alunos devem-se apropriar.
Assim, as atividades realizadas durante a implementação foram baseadas em
alguns exemplos já existentes em livros didáticos como o de José Ruy Geovanni. O
objetivo principal dessa proposta é levar os alunos a construírem conhecimento
sobre os conteúdos geométricos através da construção e manuseio de materiais
concretos, possibilitando ações metodológicas diferenciadas em sala de aula
aguçando reflexões sobre diferentes situações, fazendo com que os alunos
assimilem o conteúdo e os tornem mais agradável durante a aprendizagem, uma vez
que só se aprende o que se pratica.
Conteúdos a serem trabalhados
●Polígonos
●Elementos de um Polígono
●Sólidos Geométricos
●Classificação dos Sólidos
●Poliedros e Corpos Redondos
●Elementos de um Poliedro
●Nomenclatura do Poliedro
●Poliedro Convexo
●Poliedros Regulares
●Ângulos Poliédricos
●Soma dos Ângulos do Poliedro
●Relação de Euler
Objetivo Geral
Ampliar e organizar conhecimentos sobre sólidos geométricos com intuito de
melhorar a compreensão e representação do espaço físico.
Objetivos das Atividades
●Caracterizar Polígono
●Identificar e diferenciar formas planas e formas não-planas
●Perceber a existência das formas e sólidos geométricos entre os objetos que
envolvam o cotidiano do aluno
●Distinguir corpos redondos e Poliedros
●Reconhecer, caracterizar e nomear Poliedros
●Identificar e quantificar faces, arestas e vértice de um Poliedro
●Nomear Poliedro de acordo com número de faces
●Desenvolver os hábitos da apreciação de obras de arte e observação de elementos
da natureza como formas de comparação e estimulo para o estudo da geometria
●Identificar Poliedros convexos e Poliedros regulares
●Aplicar a relação de Euler e a fórmula da soma das medidas dos ângulos das faces.
Estratégias
Ao iniciar o desenvolvimento do trabalho, será realizada uma revisão de
conceitos sobre polígonos e não-polígonos dando ênfase nas formas planas e não-
planas. Sendo assim, os alunos estarão aptos em construir por meio de manipulação
o conceito de polígono. E a seguir o professor utilizará os sólidos geométricos em
acrílico, enviado pela SEED como recursos didáticos para classificar em dois
grandes grupos: poliedros e corpos redondos.
Após essa demonstração, os alunos construirão os poliedros solicitados pelo
professor com diversos materiais manipuláveis, reconhecendo os elementos desses
poliedros (vértices, faces e arestas) e a nomenclatura dos mesmos por meio de
manuseio dos sólidos.
Os poliedros regulares, convexos e poliedros de Platão, também terão
enfoques, pois estarão destacando as relação de Euler e a fórmula da soma das
medidas dos ângulos das faces de um poliedro através da sua construção.
Geometria
É a parte da matemática que estuda as formas.
Observando Formas
Formas planas Formas não-planas
Fonte: Fonte:Praticando Matemática.Álvaro Andrini e Maria José Vasconcellos.São Paulo,EB,Primeira Edição
2002,p.117
O que diferencia as figuras planas das não-planas?
As Formas Planas
Classificamos as formas planas em: polígonos e não-polígonos.
Polígonos Não-polígonos
Fonte: Fonte:Praticando Matemática.Álvaro Andrini e Maria José Vasconcellos.São Paulo,EB,Primeira Edição
2002,p.118.
Que características uma figura deve ter para ser um polígono?
As Formas Não-planas
Classificamos as formas não-planas em dois grandes grupos: poliedros e não-
poliedros.
Poliedros Não-poliedros
Fonte: Fonte:Praticando Matemática.Álvaro Andrini e Maria José Vasconcellos.São Paulo,EB,Primeira Edição 2002,p.119.
O que caracteriza os poliedros e os não-poliedros?
Poliedros
O nome poliedro vem do Grego:
Poli=muitas + Edro = faces
Eles possuem contornos retos, suas faces são polígonos como: triângulos,
quadriláteros, pentágonos, hexágonos, etc.
Elementos de um Poliedro
Em um poliedro, podemos destacar os seguintes elementos:
Fonte:http://portaldoprofessor.mec.gov.br/storage/discovirtual/galerias/imagem/0000002271/0000027013.jpg
Faces: São os polígonos que limitam o poliedro.
Arestas: São os lados dos polígonos.
Vértices: São as partes correspondentes aos encontros de duas ou mais arestas.
Os poliedros recebem nomes de acordo com o número de faces que
possuem.
N° de Faces Nome do Poliedro
4 Tetraedro
5 Pentaedro
6 Hexaedro
7 Heptaedro
8 Octaedro
12 Dodecaedro
13 Tridecaedro
20 Icosaedro
Poliedro Convexo
Um poliedro é convexo se, em relação a qualquer de suas faces, está todo
situado num mesmo semi-espaço determinado pelo plano que contém essa face.
Caso contrário, o poliedro é dito não-convexo.
Poliedro Convexo Poliedro Não-convexo
Fonte: http://static.infoescola.com/wp-content/uploads/2010/05/poliedros2.jpg
Poliedros Regulares
Um poliedro convexo se diz regular quando suas faces são polígonos
regulares congruentes entre si, e seus ângulos poliédricos também são congruentes.
Os poliedros regulares são chamados de "sólidos platônicos", em
homenagem ao filósofo grego Platão (427-347 a.C.) que os utilizava para explicar
cientificamente os fenômenos naturais.
●Fogo - Tretraedo regular
●Terra - Hexaedro regular
●Ar - Octaedro regular
●Água - Icosaedro regular
●Cosmos - Dodecaedro regular
Existem apenas cinco poliedros regulares, são eles:
Fonte: http://4.bp.blogspot.com/--UA2B8LchDM/TcSI4hCBmkI/AAAAAAAAAFY/YDNC4SkzFG4/s1600/Untitled-
3%252874%2529.jpg
Ângulo Poliédrico
A porção do espaço cuja superfície é a reunião dos ângulos das faces que
tem um mesmo vértice.
Soma dos Ângulos das faces de um Poliedro
Para um poliedro convexo, com V vértices podemos determinar a soma dos
ângulos de suas faces pela relação.
Relação de Euler
Esta igualdade e conhecida por formula de
Euler, em homenagem ao matemático suíço Leonard
Euler, por ter sido o primeiro a divulgá-la.
Leonard Euler (1707-1783)
Fonte: http://vigo.ime.unicamp.br/~ms211/euler.jpg
Construindo Poliedros
ATIVIDADE 1:
Fonte:Praticando Matemática.Álvaro Andrini e Maria José Vasconcellos.São Paulo,EB,Primeira Edição
2002,p.127.
Com o intuito de ajudar os alunos neste tipo de atividade segue em anexo
planificações dos Sólidos Platônicos.
A classe será dividida em quatro equipes com cinco alunos em cada grupo,
mas utilizando um critério bem definido, o material será diferenciado para cada
grupo, observe a seguir:
Equipe 1:
Construção dos Poliedros utilizando canudos de refrigerante, tesoura, régua e
linha de nylon.
Equipe 2:
Construção dos Poliedros utilizando placas de Raio-X, tesoura e durex.
Equipe 3:
Construção dos Poliedros utilizando papel cartão, elástico e tesoura.
Equipe 4:
Construção dos Poliedros utilizando cartolina, revistas, cola e tesoura.
Como Construir:
O endereço desta atividade é o seguinte:
http://www.geocities.ws/jaymeprof/tg/Platao/varetas.htm
Equipe 1:
Construção de um tetraedro regular
Tome um fio de linha, passe-o através de três pedaços de canudo,
construindo um triângulo e o feche por meio de um nó. Agora, passe o restante da
linha por mais dois pedaços de canudo, juntando-os e formando mais um triângulo.
Finalmente, passe a linha por um dos lados desse triângulo e pelo pedaço
que ainda resta, fechando a estrutura com um só nó. Essa estrutura representa as
arestas de um tetraedro regular e as etapas intermediárias da construção estão
representadas na figura acima.
Nas construções das estruturas é importante observar que, para se dar
firmeza aos vértices de uma estrutura, é necessário reforçá-los, passando o fio de
linha mais de uma vez por cada pedaço de canudo, ligando-o aos outros dois, como
na figura abaixo.
Construção de um octaedro regular
Com pedaços de canudo e o fio de linha, construa quatro triângulos e os una,
dois a dois, como no esquema apresentado na figura acima.
Construção de um icosaedro regular
Construa quatro triângulos seguindo o esquema da figura a e os una obtendo
uma pirâmide regular de base pentagonal, como representado na figura b . Repita
essa construção, obtendo mais uma pirâmide. una cada uma dessas pirâmides
através dos vértices das bases por meio de pedaços de canudos, de tal forma que
em cada vértice se encontrem cinco canudos, como na figura c .
Também é muito importante que incentivemos o aluno a tentar construir um
cubo com pedaços de canudo. Ele observará que a estrutura construída "não
permanece em pé" sobre a mesa como acontece com as estruturas anteriores, isto
é, a estrutura não tem rigidez própria. Como torná-la rígida é o próximo desafio que
o aluno deve enfrentar é o objetivo da próxima construção.
Construção de um cubo a de suas diagonais
Com pedaços de canudos da mesma cor construa um cubo de 8 cm de
aresta. Para isso, passe o fio através de quatro canudos e passe a linha novamente
por dentro do primeiro canudo, construindo um quadrado. considerando um dos
lados desse quadrado e passando a linha por mais três canudos para completar as
arestas do cubo. Prenda-os de maneira a completá-lo, como na figura.
Observando que a estrutura não é rígida, construiremos suas diagonais
Agora, com pedaços de canudo de cor ( ou diâmetro diferente da usada para
representar as arestas do cubo, construa uma diagonal em cada face de modo que
em cada vértice que determina a diagonal cheguem mais duas diagonais. Ao final da
construção veremos que construímos um tetraedro formado por seis diagonais das
faces do cubo, como mostra a figura acima.
Equipe 2:
O professor deve orientar o grupo antes de confeccionar os sólidos, colocar
as placas na água sanitária para dar o clareamento. Logo a seguir copiar as
planificações conforme consta no anexo, recortar e juntar os polígonos usando durex
formando um sólido.
Equipe 3:
Cada aluno do grupo irá copiar as planificações dos sólidos no papel-cartão
que consta em anexo, recortar e juntar as arestas com elástico e construir os sólidos
solicitados.
Equipe 4:
Os alunos do grupo vão copiar os modelos dos sólidos em anexo e colar
figuras tiradas das revistas, juntar as arestas e colar formando um sólido.
ATIVIDADE 2:
Após as construções dos "Sólidos Platônicos", cada aluno fará no caderno
uma tabela como a seguinte e após observar atentamente os sólidos montados
completará a tabela com os respectivos dados.
Sólidos
Platônicos N° de faces N° de vértices N° de arestas
Forma das
faces
A associação de construções realizadas pelo homem com as formas
geométricas espaciais tem como objetivo valorizar o conhecimento prévio dos
alunos e estabelecer relações entre o saber matemático e a realidade.
Além das construções dos Sólidos Platônicos, as equipes 1,2,3 e 4 realizam a
seguinte atividade:
Pesquisa investigativa sobre um olhar geométrico pela cidade.
1ª Etapa:
Em equipes de 5 os alunos sairão pelas ruas da cidade com um olhar
completamente diferente daquele que são acostumados e tirarão fotos das
construções de algo que lembram formas geométricas espaciais.
2ª Etapa:
Solicitar aos alunos que peguem as fotos tiradas das formas geométricas e
faça a revelação.
3ª Etapa:
A seguir as fotos serão fixadas com papel Collor 7.
4ª Etapa:
O grupo irá observar nas fotos os sólidos geométricos representados,
enumerando as imagens das fotos e classificando e relacionando suas formas com
as figuras geométricas espaciais trabalhadas nas atividades anteriores.
5ª Etapa:
Identificar e escrever os sólidos geométricos nas fotos que elas lembram.
6ª Etapa:
Concluindo essas atividades haverá uma exposição dos trabalhos realizados
pelos alunos durante a implementação do projeto, encerrando com um mural de
fotos da cidade que lembram sólidos geométricos e os sólidos confeccionados
durante as aulas.
ATIVIDADE 3:
Observe a representação dos cincos "Sólidos Platônicos". Realize as
contagens necessárias para completar a tabela em seu caderno.
Fonte: http://carmesi.files.wordpress.com/2009/07/solidos.jpg?w=369&h=268
Poliedros
Regulares
Nº de
Lados em
Cada Face
Nº de Arestas
Concorrentes
em Cada Vértice
Ângulos
Poliédricos
Soma dos
Ângulos do
Poliedro
Relação de
Euler
ATIVIDADE 4:
1) Um poliedro convexo, o número de arestas e 16 e o número de faces e 9.
Determine o número de vértices.
2) Um poliedro convexo tem 5 faces quadrangulares e 2 faces pentagonais.
Determine o número de arestas e o número de vértices.
3) Um poliedro convexo tem 3 faces com 4 lados, 2 faces com tres lados e 4
faces com 5 lados.
Calcule o número de vértices desse poliedro.
4) Qual a soma das medidas dos ângulos das faces de um poliedro que
possuem 12 faces e 30 arestas?
5) Sabendo que em um poliedro de 8 arestas a soma e igual a 1080°,
determine o número de faces.
Referências Bibliográficas
IMENES, Luiz Márcio; JAKUBOVIC, José; LELLIS, Marcelo. Pra que serve
matemática? 3ª ED. São Paulo; Atual Editora, 1994.
MIGUEL, Antônio; MIORIM, Maria Ângela. História na educação matemática:
propostas e desafios. Belo Horizonte: Autêntica, 2004.
MUNIZ, Cristiano. A. Explorando a geometria da orientação e do deslocamento. In:
PDE/ Gestar II. Programa gestão da aprendizagem escolar. Matemática nas
migrações e em fenômenos cotidianos. TP6. Caderno de teoria e prática 6. Brasília:
MEC;SEB,2008.
PARANÁ. Diretrizes Curriculares de Matemática para Educação Básica. Curitiba:
SEED;DEB, 2008.