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PROFESSOR PDE 2010 - Operação de migração para o novo ... · Elementos de um Poliedro Nomenclatura do Poliedro Poliedro Convexo Poliedros Regulares Ângulos Poliédricos Soma

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PARANÁ

GOVERNO DO ESTADO

FICHA CATALOGRÁFICA PRODUÇÃO DIDÁTICO-PEDAGÓGICA

PROFESSOR PDE 2010

Título A GEOMETRIA ESPACIAL NO COTIDIANO

ESCOLAR

Autor Leonilda do Nascimento

Escola de Atuação Colégio Estadual Miguel Dias - E.F.M.

Município da escola Joaquim Távora

Núcleo Regional de Educação Jacarezinho

Orientador Anália Maria Dias de Gois

Instituição de Ensino Superior UENP

Disciplina/Área Matemática

Produção Didático-pedagógica Unidade Didática

Relação Interdisciplinar

____________________________________________

Público Alvo Alunos do 3º Ano Matutino

Localização

Colégio Estadual Miguel Dias - E.F.M.

Rua: Dr. Lincoln Graça - 746

Apresentação:

O objetivo desse trabalho é mostrar aos alunos que a

Geometria está presente em nosso cotidiano e a

necessidade de criar aulas mais inovadoras, com as

quais o aluno possa visualizar e compreender os

conteúdos geométricos. Esse projeto busca através da

construção dos sólidos geométricos uma forma que

possibilite aos alunos ações metodológicas

diferenciadas. E diante das dificuldades de se ensinar

o conteúdo de Geometria, é o que se pretende no

projeto de intervenção, com a finalidade de que o

material venha contribuir para uma metodologia eficaz

e que leve os mesmos, se apropriar de tal

conhecimento, construindo-se uma aprendizagem para

melhorar a qualidade de ensino nas escolas públicas.

Palavras-chave História ; Geometria ; Matemática ; Sólidos de Platão

SECRETARIA DE ESTADO DA EDUCAÇÃO - SEED SUPERINTENDÊNCIA DA EDUCAÇÃO

PROGRAMA DE DESENVOLVIMENTO EDUCACIONAL - PDE

Campus de Jacarezinho

LEONILDA DO NASCIMENTO

A GEOMETRIA ESPACIAL NO COTIDIANO ESCOLAR

JACAREZINHO - PR

2010

LEONILDA DO NASCIMENTO

A GEOMETRIA ESPACIAL NO COTIDIANO ESCOLAR

Produção Didática (Unidade Didática)

apresentada ao Programa de Desenvolvimento

Educacional da Secretaria do Estado da

Educação, do Paraná, sob orientação do

professor: Anália Maria Dias de Gois.

JACAREZINHO - PR

2010

Geometria Espacial

No Egito Antigo os

conhecimentos de Geometria

eram muito utilizados, seja pelos

agrimensores, ao medir terrenos,

seja pelos construtores, ao fazer

edificações.

www.dominiopublico.gov.br

Um ótimo exemplo de como a

Geometria era elaborada são as

pirâmides, famosas pela beleza e

pelo engenho na construção. Por

isso, os egípcios ficaram famosos, e

tanta era a fama que os gregos iam

constantemente ao Egito para

adquirir mais conhecimentos no

campo da Geometria.

Fonte:http://tilesexperts.com/wordpress/wp-content/Piramides2-300x200.jpg

Fonte:http://4.bp.blogspot.com/_7_liFbdB7VQ/THHCIQ8TCBI/AAAAAAAAAKk/2kF9T3FCjGY/s1600/hellada_grec

ja_akropol_partenon%5B1%5D.jpg

Por volta de 600 a.C., os filósofos gregos começaram a sistematizar os

conhecimentos matemáticos adquiridos.

Introdução

O método de pesquisa a ser estudado nas figuras geométricas está vinculado

ao Programa de Desenvolvimento Educacional que visa em apresentar o mundo da

matemática por meio de projeto de intervenção pedagógica, mostrando que é

possível ensinar Geometria utilizando as obras existentes na natureza e as

diferentes formas criadas pelo homem, enfatizando meios para que o aluno da

escola da rede pública assimile os conteúdos trabalhados de forma sistematizada,

gerando um aprendizado significativo.

Considerando as dificuldades próprias do ensino da Geometria é preciso

buscar estratégias que seriam as comparações das formas geométricas (retângulos,

quadrados e círculos), com produtos existentes no cotidiano dos alunos ou ainda

sua visualização, observação, manuseio e conclusões, determinando tamanho e

grandeza, despertando o interesse dos alunos para a importância desse conteúdo,

possibilitando a descoberta de inúmeros problemas que ela pode ajudar a resolver,

desde uma simples embalagem até as descobertas astronômicas.

Neste contexto, faz-se necessário uma nova visão a respeito do ensino da

geometria e a busca de novas metodologias deve ser o caminho para alcançar uma

aprendizagem efetiva.

Justificativa

O objetivo principal dessa proposta é enfatizar que a Geometria está presente

em nosso cotidiano, portanto deve-se procurar conhecê-la mais de perto, para

melhor entendermos como funciona o mundo que nos rodeia e a necessidade de

criar aulas mais inovadoras, com as quais o aluno possa visualizar, representar e

compreender os conteúdos geométricos, adquirindo assim habilidades para orientar-

se no espaço de forma sistematizada.

Fundamentação Teórica

A Geometria é um dos mais belos conteúdos da matemática, porque está

presente em todo universo, deixando a todos fascinados, pois tudo nela é tão bonito

e real, todas as formas geométricas fazem parte de nosso cotidiano, assim como: na

natureza, nas brincadeiras infantis, nas construções e nas artes, além de auxiliar na

compreensão dos objetos do mundo concreto e possibilitando construir conceitos

matemáticos relacionados a esta área do conhecimento.

O ser humano, desde criança, já vivencia a geometria em sua vida a partir do

momento que começa a reconhecer suas características, nos objetos a sua volta,

como tamanho, forma, posição, entre outros. Sendo assim, a geometria se faz muito

importante na disciplina da matemática, pois permite que o educando desenvolva as

suas capacidades de abstração, compreensão e a formação do conhecimento para

ter uma visão mais ampla, resgatando deste ramo do saber o abstrato para o mundo

concreto.

A geometria surgiu da necessidade dos seres humanos de medir terras e

demarcar propriedades, mas atualmente, está voltada para o estudo das formas

geométricas, construção de conhecimentos científicos e tecnológicos, dos quais os

alunos devem-se apropriar.

Assim, as atividades realizadas durante a implementação foram baseadas em

alguns exemplos já existentes em livros didáticos como o de José Ruy Geovanni. O

objetivo principal dessa proposta é levar os alunos a construírem conhecimento

sobre os conteúdos geométricos através da construção e manuseio de materiais

concretos, possibilitando ações metodológicas diferenciadas em sala de aula

aguçando reflexões sobre diferentes situações, fazendo com que os alunos

assimilem o conteúdo e os tornem mais agradável durante a aprendizagem, uma vez

que só se aprende o que se pratica.

Conteúdos a serem trabalhados

●Polígonos

●Elementos de um Polígono

●Sólidos Geométricos

●Classificação dos Sólidos

●Poliedros e Corpos Redondos

●Elementos de um Poliedro

●Nomenclatura do Poliedro

●Poliedro Convexo

●Poliedros Regulares

●Ângulos Poliédricos

●Soma dos Ângulos do Poliedro

●Relação de Euler

Objetivo Geral

Ampliar e organizar conhecimentos sobre sólidos geométricos com intuito de

melhorar a compreensão e representação do espaço físico.

Objetivos das Atividades

●Caracterizar Polígono

●Identificar e diferenciar formas planas e formas não-planas

●Perceber a existência das formas e sólidos geométricos entre os objetos que

envolvam o cotidiano do aluno

●Distinguir corpos redondos e Poliedros

●Reconhecer, caracterizar e nomear Poliedros

●Identificar e quantificar faces, arestas e vértice de um Poliedro

●Nomear Poliedro de acordo com número de faces

●Desenvolver os hábitos da apreciação de obras de arte e observação de elementos

da natureza como formas de comparação e estimulo para o estudo da geometria

●Identificar Poliedros convexos e Poliedros regulares

●Aplicar a relação de Euler e a fórmula da soma das medidas dos ângulos das faces.

Estratégias

Ao iniciar o desenvolvimento do trabalho, será realizada uma revisão de

conceitos sobre polígonos e não-polígonos dando ênfase nas formas planas e não-

planas. Sendo assim, os alunos estarão aptos em construir por meio de manipulação

o conceito de polígono. E a seguir o professor utilizará os sólidos geométricos em

acrílico, enviado pela SEED como recursos didáticos para classificar em dois

grandes grupos: poliedros e corpos redondos.

Após essa demonstração, os alunos construirão os poliedros solicitados pelo

professor com diversos materiais manipuláveis, reconhecendo os elementos desses

poliedros (vértices, faces e arestas) e a nomenclatura dos mesmos por meio de

manuseio dos sólidos.

Os poliedros regulares, convexos e poliedros de Platão, também terão

enfoques, pois estarão destacando as relação de Euler e a fórmula da soma das

medidas dos ângulos das faces de um poliedro através da sua construção.

Geometria

É a parte da matemática que estuda as formas.

Observando Formas

Formas planas Formas não-planas

Fonte: Fonte:Praticando Matemática.Álvaro Andrini e Maria José Vasconcellos.São Paulo,EB,Primeira Edição

2002,p.117

O que diferencia as figuras planas das não-planas?

As Formas Planas

Classificamos as formas planas em: polígonos e não-polígonos.

Polígonos Não-polígonos

Fonte: Fonte:Praticando Matemática.Álvaro Andrini e Maria José Vasconcellos.São Paulo,EB,Primeira Edição

2002,p.118.

Que características uma figura deve ter para ser um polígono?

As Formas Não-planas

Classificamos as formas não-planas em dois grandes grupos: poliedros e não-

poliedros.

Poliedros Não-poliedros

Fonte: Fonte:Praticando Matemática.Álvaro Andrini e Maria José Vasconcellos.São Paulo,EB,Primeira Edição 2002,p.119.

O que caracteriza os poliedros e os não-poliedros?

Poliedros

O nome poliedro vem do Grego:

Poli=muitas + Edro = faces

Eles possuem contornos retos, suas faces são polígonos como: triângulos,

quadriláteros, pentágonos, hexágonos, etc.

Elementos de um Poliedro

Em um poliedro, podemos destacar os seguintes elementos:

Fonte:http://portaldoprofessor.mec.gov.br/storage/discovirtual/galerias/imagem/0000002271/0000027013.jpg

Faces: São os polígonos que limitam o poliedro.

Arestas: São os lados dos polígonos.

Vértices: São as partes correspondentes aos encontros de duas ou mais arestas.

Os poliedros recebem nomes de acordo com o número de faces que

possuem.

N° de Faces Nome do Poliedro

4 Tetraedro

5 Pentaedro

6 Hexaedro

7 Heptaedro

8 Octaedro

12 Dodecaedro

13 Tridecaedro

20 Icosaedro

Poliedro Convexo

Um poliedro é convexo se, em relação a qualquer de suas faces, está todo

situado num mesmo semi-espaço determinado pelo plano que contém essa face.

Caso contrário, o poliedro é dito não-convexo.

Poliedro Convexo Poliedro Não-convexo

Fonte: http://static.infoescola.com/wp-content/uploads/2010/05/poliedros2.jpg

Poliedros Regulares

Um poliedro convexo se diz regular quando suas faces são polígonos

regulares congruentes entre si, e seus ângulos poliédricos também são congruentes.

Os poliedros regulares são chamados de "sólidos platônicos", em

homenagem ao filósofo grego Platão (427-347 a.C.) que os utilizava para explicar

cientificamente os fenômenos naturais.

●Fogo - Tretraedo regular

●Terra - Hexaedro regular

●Ar - Octaedro regular

●Água - Icosaedro regular

●Cosmos - Dodecaedro regular

Existem apenas cinco poliedros regulares, são eles:

Fonte: http://4.bp.blogspot.com/--UA2B8LchDM/TcSI4hCBmkI/AAAAAAAAAFY/YDNC4SkzFG4/s1600/Untitled-

3%252874%2529.jpg

Ângulo Poliédrico

A porção do espaço cuja superfície é a reunião dos ângulos das faces que

tem um mesmo vértice.

Soma dos Ângulos das faces de um Poliedro

Para um poliedro convexo, com V vértices podemos determinar a soma dos

ângulos de suas faces pela relação.

Relação de Euler

Esta igualdade e conhecida por formula de

Euler, em homenagem ao matemático suíço Leonard

Euler, por ter sido o primeiro a divulgá-la.

Leonard Euler (1707-1783)

Fonte: http://vigo.ime.unicamp.br/~ms211/euler.jpg

Construindo Poliedros

ATIVIDADE 1:

Fonte:Praticando Matemática.Álvaro Andrini e Maria José Vasconcellos.São Paulo,EB,Primeira Edição

2002,p.127.

Com o intuito de ajudar os alunos neste tipo de atividade segue em anexo

planificações dos Sólidos Platônicos.

A classe será dividida em quatro equipes com cinco alunos em cada grupo,

mas utilizando um critério bem definido, o material será diferenciado para cada

grupo, observe a seguir:

Equipe 1:

Construção dos Poliedros utilizando canudos de refrigerante, tesoura, régua e

linha de nylon.

Equipe 2:

Construção dos Poliedros utilizando placas de Raio-X, tesoura e durex.

Equipe 3:

Construção dos Poliedros utilizando papel cartão, elástico e tesoura.

Equipe 4:

Construção dos Poliedros utilizando cartolina, revistas, cola e tesoura.

Como Construir:

O endereço desta atividade é o seguinte:

http://www.geocities.ws/jaymeprof/tg/Platao/varetas.htm

Equipe 1:

Construção de um tetraedro regular

Tome um fio de linha, passe-o através de três pedaços de canudo,

construindo um triângulo e o feche por meio de um nó. Agora, passe o restante da

linha por mais dois pedaços de canudo, juntando-os e formando mais um triângulo.

Finalmente, passe a linha por um dos lados desse triângulo e pelo pedaço

que ainda resta, fechando a estrutura com um só nó. Essa estrutura representa as

arestas de um tetraedro regular e as etapas intermediárias da construção estão

representadas na figura acima.

Nas construções das estruturas é importante observar que, para se dar

firmeza aos vértices de uma estrutura, é necessário reforçá-los, passando o fio de

linha mais de uma vez por cada pedaço de canudo, ligando-o aos outros dois, como

na figura abaixo.

Construção de um octaedro regular

Com pedaços de canudo e o fio de linha, construa quatro triângulos e os una,

dois a dois, como no esquema apresentado na figura acima.

Construção de um icosaedro regular

Construa quatro triângulos seguindo o esquema da figura a e os una obtendo

uma pirâmide regular de base pentagonal, como representado na figura b . Repita

essa construção, obtendo mais uma pirâmide. una cada uma dessas pirâmides

através dos vértices das bases por meio de pedaços de canudos, de tal forma que

em cada vértice se encontrem cinco canudos, como na figura c .

Também é muito importante que incentivemos o aluno a tentar construir um

cubo com pedaços de canudo. Ele observará que a estrutura construída "não

permanece em pé" sobre a mesa como acontece com as estruturas anteriores, isto

é, a estrutura não tem rigidez própria. Como torná-la rígida é o próximo desafio que

o aluno deve enfrentar é o objetivo da próxima construção.

Construção de um cubo a de suas diagonais

Com pedaços de canudos da mesma cor construa um cubo de 8 cm de

aresta. Para isso, passe o fio através de quatro canudos e passe a linha novamente

por dentro do primeiro canudo, construindo um quadrado. considerando um dos

lados desse quadrado e passando a linha por mais três canudos para completar as

arestas do cubo. Prenda-os de maneira a completá-lo, como na figura.

Observando que a estrutura não é rígida, construiremos suas diagonais

Agora, com pedaços de canudo de cor ( ou diâmetro diferente da usada para

representar as arestas do cubo, construa uma diagonal em cada face de modo que

em cada vértice que determina a diagonal cheguem mais duas diagonais. Ao final da

construção veremos que construímos um tetraedro formado por seis diagonais das

faces do cubo, como mostra a figura acima.

Equipe 2:

O professor deve orientar o grupo antes de confeccionar os sólidos, colocar

as placas na água sanitária para dar o clareamento. Logo a seguir copiar as

planificações conforme consta no anexo, recortar e juntar os polígonos usando durex

formando um sólido.

Equipe 3:

Cada aluno do grupo irá copiar as planificações dos sólidos no papel-cartão

que consta em anexo, recortar e juntar as arestas com elástico e construir os sólidos

solicitados.

Equipe 4:

Os alunos do grupo vão copiar os modelos dos sólidos em anexo e colar

figuras tiradas das revistas, juntar as arestas e colar formando um sólido.

ATIVIDADE 2:

Após as construções dos "Sólidos Platônicos", cada aluno fará no caderno

uma tabela como a seguinte e após observar atentamente os sólidos montados

completará a tabela com os respectivos dados.

Sólidos

Platônicos N° de faces N° de vértices N° de arestas

Forma das

faces

A associação de construções realizadas pelo homem com as formas

geométricas espaciais tem como objetivo valorizar o conhecimento prévio dos

alunos e estabelecer relações entre o saber matemático e a realidade.

Além das construções dos Sólidos Platônicos, as equipes 1,2,3 e 4 realizam a

seguinte atividade:

Pesquisa investigativa sobre um olhar geométrico pela cidade.

1ª Etapa:

Em equipes de 5 os alunos sairão pelas ruas da cidade com um olhar

completamente diferente daquele que são acostumados e tirarão fotos das

construções de algo que lembram formas geométricas espaciais.

2ª Etapa:

Solicitar aos alunos que peguem as fotos tiradas das formas geométricas e

faça a revelação.

3ª Etapa:

A seguir as fotos serão fixadas com papel Collor 7.

4ª Etapa:

O grupo irá observar nas fotos os sólidos geométricos representados,

enumerando as imagens das fotos e classificando e relacionando suas formas com

as figuras geométricas espaciais trabalhadas nas atividades anteriores.

5ª Etapa:

Identificar e escrever os sólidos geométricos nas fotos que elas lembram.

6ª Etapa:

Concluindo essas atividades haverá uma exposição dos trabalhos realizados

pelos alunos durante a implementação do projeto, encerrando com um mural de

fotos da cidade que lembram sólidos geométricos e os sólidos confeccionados

durante as aulas.

ATIVIDADE 3:

Observe a representação dos cincos "Sólidos Platônicos". Realize as

contagens necessárias para completar a tabela em seu caderno.

Fonte: http://carmesi.files.wordpress.com/2009/07/solidos.jpg?w=369&h=268

Poliedros

Regulares

Nº de

Lados em

Cada Face

Nº de Arestas

Concorrentes

em Cada Vértice

Ângulos

Poliédricos

Soma dos

Ângulos do

Poliedro

Relação de

Euler

ATIVIDADE 4:

1) Um poliedro convexo, o número de arestas e 16 e o número de faces e 9.

Determine o número de vértices.

2) Um poliedro convexo tem 5 faces quadrangulares e 2 faces pentagonais.

Determine o número de arestas e o número de vértices.

3) Um poliedro convexo tem 3 faces com 4 lados, 2 faces com tres lados e 4

faces com 5 lados.

Calcule o número de vértices desse poliedro.

4) Qual a soma das medidas dos ângulos das faces de um poliedro que

possuem 12 faces e 30 arestas?

5) Sabendo que em um poliedro de 8 arestas a soma e igual a 1080°,

determine o número de faces.

Referências Bibliográficas

IMENES, Luiz Márcio; JAKUBOVIC, José; LELLIS, Marcelo. Pra que serve

matemática? 3ª ED. São Paulo; Atual Editora, 1994.

MIGUEL, Antônio; MIORIM, Maria Ângela. História na educação matemática:

propostas e desafios. Belo Horizonte: Autêntica, 2004.

MUNIZ, Cristiano. A. Explorando a geometria da orientação e do deslocamento. In:

PDE/ Gestar II. Programa gestão da aprendizagem escolar. Matemática nas

migrações e em fenômenos cotidianos. TP6. Caderno de teoria e prática 6. Brasília:

MEC;SEB,2008.

PARANÁ. Diretrizes Curriculares de Matemática para Educação Básica. Curitiba:

SEED;DEB, 2008.

Anexo das Atividades dos Poliedros Regulares

Equipe 04

Equipes 02 e 03