49
Unitat 1. Nombres reals Continguts 1.1 Introducció 1.2 Nombres que no són racionals 1.3 Nombres irracionals L’arrel quadrada de 2 ( 2 ) El número pi ( π ). El número e 1.4 Representació gràfica de nombres irracionals 1.5 Els nombres reals 1.6 Operacions amb nombres reals. Propietats Propietats 1.7 Les arrels i les potències 1.8 Propietats de les arrels 1.9 Operacions amb arrels Sumes i restes Multiplicacions i divisions 1.10 Racionalització de denominadors 1.11 Les solucions d’inequacions i la recta real 1.12 Notació científica Punt final: La quadratura del cercle i passejada amb el cavall Objectius Identificar els nombres irracionals més usuals amb la seva aproximació decimal. Establir aproximacions i estimar l’error comès. Reconèixer la significació històrica dels nombres irracionals. Ordenar i representar gràficament els nombres reals. Conèixer i aplicar les propietats de les operacions amb nombres reals. Efectuar operacions amb radicals senzills. Distingir els diferents tipus d’intervals per expressar conjunts numèrics. Utilitzar els intervals com a expressió del conjunt solució d’una inequació. Expressar nombres grans i petits en notació científica. Tenir la solució de totes les equacions de primer grau. Orientacions didàctiques És important que l’alumnat diferenciï d’una manera clara els nombres racionals dels irracionals i els identifiqui amb elements del conjunt dels nombres reals, els quals aconsegueixen completar la recta numèrica. Es recomana fer aplicacions pràctiques de com obtenir els nombres irracionals més utilitzats. Cal que l’alumnat utilitzi la calculadora per obtenir aproximacions de nombres irracionals mitjançant les tècniques d’arrodoniment que ja coneix. És important 1 PROGRAMACIÓ MATEMÀTIQUES 1r BATXILLERAT

PROGRAMACIÓ MATEMÀTIQUES 1r BATXILLERATspain-s3-mhe-prod.s3-website-eu-west-1.amazonaws.com/bcv/guide/progra/... · Criteris d’avaluació Comprendre les ampliacions successives

  • Upload
    others

  • View
    2

  • Download
    0

Embed Size (px)

Citation preview

Unitat 1. Nombres reals

Continguts

1.1 Introducció1.2 Nombres que no són racionals1.3 Nombres irracionals

L’arrel quadrada de 2 ( 2 )El número pi ( π ). El número e

1.4 Representació gràfica de nombres irracionals1.5 Els nombres reals1.6 Operacions amb nombres reals. Propietats

Propietats1.7 Les arrels i les potències1.8 Propietats de les arrels1.9 Operacions amb arrels

Sumes i restesMultiplicacions i divisions

1.10 Racionalització de denominadors1.11 Les solucions d’inequacions i la recta real1.12 Notació científicaPunt final: La quadratura del cercle i passejada amb el cavall

Objectius

● Identificar els nombres irracionals més usuals amb la seva aproximació decimal.

● Establir aproximacions i estimar l’error comès.● Reconèixer la significació històrica dels nombres irracionals.● Ordenar i representar gràficament els nombres reals.● Conèixer i aplicar les propietats de les operacions amb nombres reals.● Efectuar operacions amb radicals senzills.● Distingir els diferents tipus d’intervals per expressar conjunts numèrics.● Utilitzar els intervals com a expressió del conjunt solució d’una inequació.● Expressar nombres grans i petits en notació científica. Tenir la solució de totes

les equacions de primer grau.

Orientacions didàctiques

● És important que l’alumnat diferenciï d’una manera clara els nombres racionals dels irracionals i els identifiqui amb elements del conjunt dels nombres reals, els quals aconsegueixen completar la recta numèrica. Es recomana fer aplicacions pràctiques de com obtenir els nombres irracionals més utilitzats.

● Cal que l’alumnat utilitzi la calculadora per obtenir aproximacions de nombres irracionals mitjançant les tècniques d’arrodoniment que ja coneix. És important

1

PROGRAMACIÓ MATEMÀTIQUES 1r BATXILLERAT

valorar l’error comès en un càlcul, fonamentalment en el resultat de les operacions amb nombres irracionals aproximats.

● A fi i efecte de fer una representació gràfica correcta, cal que s’utilitzin els estris de dibuix necessaris.

● Es recomana dedicar una atenció especial a les operacions amb radicals i a la relació entre aquests i les potències d’exponent racional.

Competències específiques de la matèria

● Competència matemàtica. Desenvolupar i aplicar el raonament matemàtic amb la finalitat de resoldre problemes en situacions diverses. Assolir la capaci-tat i la voluntat per pensar en la recta, el pla i l'espai, cercar arguments que do-nin solidesa a patrons establerts, representar construccions, gràfics o diagra-mes, construir, interpretar i emprar adequadament fórmules.

Exemple: Apartat 1.4 Representació gràfica de nombres irracionals

Contribució a les competències genèriques de batxillerat

● Competència en gestió i tractament de la informació. Realització d’activitats obertes que requereixen recursos tecnològics (per exemple, la calculadora) que fomenten l'autoaprenentatge.

Exemple: Activitat 40

● Competència digital. Utilització de les TIC, tot ensenyant des de l'experimen-tació. Treballar i actualitzar aspectes de les eines tecnològiques, el tractament de la informació amb aquestes eines i les possibilitats comunicatives de les xar-xes virtuals.

Exemple: Apartat 1.3 Obtenció mitjançant la calculadora d’una aproximació del número e. Activitats i laboratoris Wiris del CD. Animacions i webs citats a la guia didàctica.

● Competència en el coneixement i interacció amb el món. Resolució de pro-blemes inspirats en el món real però que es presenten en models simplificats.

Exemple: Activitats 41 i 42

Connexió amb altres matèries

● Les aproximacions, els errors i la notació científica apareixen en el currículum de física, el de química i el de biologia quan es fan pràctiques quantitatives o en tractar el tema de la sensibilitat dels instruments de mesura.

● Context històric en l’acceptació al llarg de la història dels diferents nombres reals, així com de la irracionalitat d’arrel de 2 o que la quadratura del cercle no tingui solució.

2

PROGRAMACIÓ MATEMÀTIQUES 1r BATXILLERAT

Criteris d’avaluació

● Comprendre les ampliacions successives dels conjunts numèrics, amb atenció especial als nombres reals. Distingir els nombres reals de les seves aproximacions. Saber calcular i comprendre el significat del concepte intuïtiu de límit d’una successió.

● Operar amb soltesa amb exponents i logaritmes com a primer pas per a la futura comprensió de les funcions exponencials i logarítmiques, i entendre’n el significat.

● Utilitzar amb soltesa la calculadora i l’ordinador per facilitar càlculs, fer representacions gràfiques, i explorar i simular situacions. Fer servir intel·ligentment les TIC, ser capaç d’interpretar els resultats d’una operació automàtica en el context del problema que s’està resolent.

Temporització

Per a aquesta unitat es necessiten 8 hores de classe.

3

PROGRAMACIÓ MATEMÀTIQUES 1r BATXILLERAT

Unitat 2. Nombres complexos

Continguts

2.1 Construcció del conjunt de nombres complexos2.2 Nombres complexos

IgualtatRepresentació gràficaComplexos conjugats

2.3 Expressions de nombres complexos2.4 Operacions en forma binòmica

SumaMultiplicacióDivisióPotenciació

2.5 Operacions en forma polarMultiplicacióDivisióPotenciació

2.6 Radicació de nombres complexosPunt final: Calcul directe de l’invers d’un nombre complex i arrel quadrada d’un nombre complex en forma binòmica

Objectius

● Reconèixer la necessitat d’altres nombres, diferents dels reals, per obtenir la solució de totes les equacions de primer grau.

● Identificar els nombres complexos.● Representar cada nombre complex pel seu afix.● Expressar un mateix nombre complex en les seves diferents formes: binòmica,

polar i trigonomètrica.● Efectuar operacions amb nombres complexos.● Aplicar el desenvolupament del binomi de Newton per calcular la potència d’un

nombre complex.● Comprovar l’avantatge de cada forma d’expressió.● Calcular arrels de nombres complexos. En particular, arrels d’índex parell de

nombres reals negatius expressats com a complexos.

Orientacions didàctiques

● En aquesta unitat els alumnes aprenen que els nombres complexos són necessaris per obtenir la solució de totes les equacions de segon grau. Cal ressaltar que el conjunt dels nombres reals està inclòs en el dels complexos. Això es pot veure quan representem els nombres reals en la recta real i els complexos en el pla. La recta està continguda en el pla. La representació dels afixos també permet constatar que el conjunt dels nombres complexos no està ordenat.

1

PROGRAMACIÓ MATEMÀTIQUES 1r BATXILLERAT

● Quan representem l’afix, obtenim un triangle rectangle que permet establir les relacions entre els seus elements que donen lloc a les fórmules que relacionen les coordenades polars amb els components binòmics del nombre complex. La conversió d’una forma a l’altra permet repassar continguts de trigonometria, en particular l’obtenció d’angles dels diferents quadrants de la circumferència unitat.

Competències específiques de la matèria

● Competència matemàtica. Desenvolupar i aplicar el raonament matemàtic amb la finalitat de resoldre problemes en situacions diverses. Assolir la capaci-tat i la voluntat per pensar en la recta, el pla i l'espai, cercar arguments que do-nin solidesa a patrons establerts, representar construccions, gràfics o diagra-mes, construir, interpretar i emprar adequadament fórmules.

Exemple: Apartat 2.2 Representació gràfica de nombres complexos. Apartat 2.4 Expressió del binomi de Newton. Apartat 2.5 Fórmula de Moivre

● Competència en modelització matemàtica. Establir relacions sistemàtiques entre els diferents sistemes d’expressió.

Exemple: Apartat 2.3 Expressions polar i trigonomètrica de nombres complexos

Contribució a les competències genèriques de batxillerat

● Competència comunicativa. Defensar, oralment o per escrit, un resultat que s'obté per aplicació d'una fórmula o algorisme.

Exemple: Apartat 2.4 Expressió del binomi de Newton

● Competència digital. Treballar i actualitzar aspectes de les eines tecnològi-ques, el tractament de la informació amb aquestes eines i les possibilitats co-municatives de les xarxes virtuals.

Exemple: Activitats i laboratoris Wiris del CD. Animacions i webs citats a la guia didàctica.

● Competència en recerca. L'ensenyament de la matemàtica facilita la formula-ció d'activitats que desenvolupen la capacitat creativa de l’estudiant.

Exemple: Activitats finals 15 i 24

Connexió amb altres matèries

● La introducció històrica a la construcció dels nombres complexos i la biografia de Leonhard Euler.

● La resolució d’equacions és imprescindible per a la realització de problemes d’equilibri químic.

2

PROGRAMACIÓ MATEMÀTIQUES 1r BATXILLERAT

Criteris d’avaluació

● Comprendre les ampliacions successives dels conjunts numèrics, amb atenció especial als nombres reals. Distingir els nombres reals de les seves aproxima-cions. Saber calcular i comprendre el significat del concepte intuïtiu de límit d’u-na successió.

● Utilitzar amb soltesa la calculadora i l’ordinador per facilitar càlculs, fer repre-sentacions gràfiques, i explorar i simular situacions. Fer servir intel·ligentment les TIC, ser capaç d’interpretar els resultats d’una operació automàtica en el context del problema que s’està resolent.

Temporització

Per a aquesta unitat es necessiten 8 hores de classe.

3

PROGRAMACIÓ MATEMÀTIQUES 1r BATXILLERAT

Unitat 3. Trigonometria

Continguts

3.1 Raons trigonomètriques d’un angle3.2 Circumferència trigonomètrica3.3 Reducció al primer quadrant3.4 Relacions entre les raons trigonomètriques d’un angle qualsevol3.5 Fórmules d’addició

Cosinus de l’angle sumaCosinus de l’angle diferènciaSinus de l’angle sumaSinus de l’angle diferènciaTangent de l’angle sumaTangent de l’angle diferènciaRaons trigonomètriques de l’angle dobleRaons trigonomètriques de l’angle meitat

3.6 Transformació de sumes en productes3.7 Determinació de triangles3.8 Teorema del cosinus3.9 Teorema del sinus3.10 Resolució de problemesPunt final: La trigonometria i els pitagòrics

Objectius

● Establir l’aproximació adequada dels resultats obtinguts en el càlcul trigonomètric.

● Interpretar i representar gràficament les raons trigonomètriques d’angles més grans de 90º.

● Conèixer el comportament de les raons trigonomètriques amb relació a la suma i la resta d’angles, i aplicar-lo al treball amb expressions trigonomètriques senzilles.

● Interpretar els teoremes del sinus i del cosinus com una ampliació dels procediments de resolució de triangles rectangles.

● Aplicar els teoremes del sinus i del cosinus a la resolució de triangles en general.

● Identificar triangles en la resolució de problemes de topografia elemental.● Utilitzar la calculadora per resoldre qüestions trigonomètriques.

Orientacions didàctiques

● Tant pel que fa a la representació d’angles en la circumferència trigonomètrica, com pel que fa a la construcció de triangles, cal insistir en la utilització correcta dels estris de dibuix: regle, escaire, cartabó, compàs i transportador d’angles.

● És important establir la connexió entre els coneixements de trigonometria adquirits en l’etapa anterior i els que són propis de batxillerat; així com també

1

PROGRAMACIÓ MATEMÀTIQUES 1r BATXILLERAT

en la resolució de triangles en general i la de triangles rectangles que ja coneixen. La deducció dels teoremes del cosinus i del sinus, a partir de l’obtenció de triangles rectangles per descomposició d’un triangle qualsevol, ens pot ajudar.

Competències específiques de la matèria

● Competència matemàtica. Desenvolupar i aplicar el raonament matemàtic amb la finalitat de resoldre problemes en situacions diverses. Assolir la capaci-tat i la voluntat per pensar en la recta, el pla i l'espai, cercar arguments que do-nin solidesa a patrons establerts, representar construccions, gràfics o diagra-mes, construir, interpretar i emprar adequadament fórmules.

Exemple: Activitat final 7

● Competència en modelització matemàtica. Resoldre problemes obliga l'a-lumne a fixar l'atenció en la situació plantejada, cercar relacions entre les varia-bles implicades i descobrir patrons generals per tal d'obtenir un model que, amb un nivell de sofisticació gradual, permeti interpretar el problema plantejat.

Exemple: Activitat final 20

● Competència en contextualització. La contextualització de les situacions pro-blema participa en la motivació de l'estudiant i alhora és un instrument que per-met validar el coneixement après.

Exemple: Activitat final 19

● Competència en experimentació. Experimentar, plantejar problemes, com-prendre’ls, establir plans de treball, conjecturar, equivocar-se, corregir, tornar a errar per experimentar i conjecturar de nou fins a obtenir una solució que sigui plausible, proposar la solució, redactar les conclusions i exposar-les en públic requereix temps per al qual cal una planificació.

Exemple: Apartat 3.10 Resolució de problemes

Contribució a les competències genèriques de batxillerat

● Competència comunicativa. Defensar, oralment o per escrit, un resultat que s'obté per aplicació d'una fórmula o algorisme, té un efecte ben diferent que no pas defensar una conjectura, la qual porta l'alumne a exposar els arguments que l'han conduït a establir-la, sabent, però, que no té la seguretat de que sigui certa.

Exemple: Activitat final 18

● Competència en recerca. L'ensenyament de la matemàtica a través de resolu-ció de problemes facilita la formulació d'activitats que encaminen l'estudiant cap a l'establiment de conjectures i llur contrast. Aquesta pràctica educativa facilita la capacitat creativa de l’alumne.

Exemple: Activitat final 10

2

PROGRAMACIÓ MATEMÀTIQUES 1r BATXILLERAT

● Competència digital. Treballar i actualitzar aspectes de les eines tecnològi-ques, el tractament de la informació amb aquestes eines i les possibilitats co-municatives de les xarxes virtuals.

Exemple: Activitats i laboratoris Wiris del CD. Animacions i webs citats a la guia didàctica.

● Competència en gestió i tractament de la informació. Realització d’activitats obertes que requereixen recursos tecnològics (per exemple, la calculadora) que fomenten l'autoaprenentatge.

Exemple: Activitat 10 i les activitats WIRIS proposades al CD de l’alumne.

● Competència personal i interpersonal. Prendre decisions, discernir el que és essencial del que és prescindible i aprendre dels propis errors facilita la capaci-tat d’acceptació i superació de l’alumne.

Exemple: Activitat final 21

● Competència en el coneixement i interacció amb el món. Resoldre proble-mes emprant la generalització, particularització, analogia i inducció.

Exemple: Activitat 35

Connexió amb altres matèries

● La trigonometria és imprescindible en els apartats de cinemàtica, dinàmica, camp gravitatori, camp elèctric i electromagnetisme del currículum de física. També s’usa per calcular àrees en la matèria de ciències de la terra i del medi ambient.

● Context històric de la trigonometria que fa referència als pitàgorics i al descobriment que realitzaren sobre el compliment de la proporció àuria.

Criteris d’avaluació

● Resoldre triangles rectangles amb soltesa. Saber plantejar i resoldre problemes pràctics de trigonometria tot fent servir les eines apreses sobre mesura d’an-gles. Estar familiaritzat amb la resolució de triangles. Aplicar a situacions reals les tècniques de resolució de triangles, amb èmfasi especial en el cas de trian-gles rectangles.

● Utilitzar amb soltesa la calculadora i l’ordinador per facilitar càlculs, fer representacions gràfiques, i explorar i simular situacions. Fer servir intel·ligentment les TIC, ser capaç d’interpretar els resultats d’una operació automàtica en el context del problema que s’està resolent.

Temporització

Per a aquesta unitat es necessiten 15 hores de classe.

3

PROGRAMACIÓ MATEMÀTIQUES 1r BATXILLERAT

Unitat 4. Vectors en el pla

Continguts

4.1 Els vectors: mòdul, direcció i sentit4.2 Components cartesians d’un vector4.3 Vector posició d’un punt4.4 Vectors equipol·lents4.5 Operacions amb vectors

Suma de dos vectorsMultiplicació d’un vector per un nombre real

4.6 Combinació lineal de vectors. Dependència i independència lineal4.7 Bases del pla

Els dos vectors són linealment dependentsEls dos vectors són linealment independents

4.8 Producte escalar de dos vectors4.9 Aplicacions geomètriques dels vectors

Punt mitjà d’un segmentDivisió d’un segment segons una raó donadaPunts alineatsBaricentre d’un triangle

Punt final: Una aplicació física dels vectors

Objectius

● Identificar vectors en el pla, gràficament o a partir dels seus components.● Representar vectors en el pla, coneguts els seus components.● Reconèixer de manera intuïtiva la dependència o la independència lineal entre

vectors del pla.● Localitzar punts en el pla i reconèixer analíticament possibles relacions

elementals entre els vectors que determinen.● Utilitzar els vectors del pla per representar i resoldre situacions plantejades en

els àmbits científic i tecnològic.● Conèixer els conceptes de mòdul i argument d’un vector del pla i la relació amb

els seus components cartesians.● Calcular el producte escalar de dos vectors, tant a partir dels seus components

cartesians com dels mòduls i l’angle que formen.● Aplicar el producte escalar de dos vectors i les seves propietats.

Orientacions didàctiques

● Els vectors es tracten de manera analítica i gràfica, indistintament. Per aquest motiu, l’alumnat ha de ser precís a l’hora de representar-los gràficament en el sistema de referència cartesià.

● És important que l’alumnat aconsegueixi adquirir tots els conceptes i procediments que corresponen a aquesta unitat, ja que constitueixen la base per al desenvolupament tant de la geometria del pla com de la de l’espai.

1

PROGRAMACIÓ MATEMÀTIQUES 1r BATXILLERAT

● La dependència i la independència lineal de vectors, tot i que es pot deduir de manera intuïtiva, han de tractar-se amb rigor, tant des del punt de vista analític com des del gràfic. Això facilitarà, sens dubte, la comprensió d’aquest concepte en el cas de vectors que pertanyin a espais de dimensió major.

● El concepte de base es tracta d’una manera molt senzilla i intuïtiva. En el pro-per curs s’aprofundirà quan s’introdueixi l’estructura d’espai vectorial.

Competències específiques de la matèria

● Competència matemàtica. Desenvolupar i aplicar el raonament matemàtic amb la finalitat de resoldre problemes en situacions diverses. Assolir la capaci-tat i la voluntat per pensar en la recta, el pla i l'espai, cercar arguments que do-nin solidesa a patrons establerts, representar construccions, gràfics o diagra-mes, construir, interpretar i emprar adequadament fórmules.

Exemple: Activitat 6

● Competència en modelització matemàtica. Resoldre problemes obliga l'a-lumne a fixar l'atenció en la situació plantejada, cercar relacions entre les varia-bles implicades i descobrir patrons generals per tal d'obtenir un model que, amb un nivell de sofisticació gradual, permeti interpretar el problema plantejat.

Exemple: Apartat 4.7 Bases del pla

● Competència en experimentació. Experimentar, plantejar problemes, com-prendre'ls, establir plans de treball, conjecturar, equivocar-se, corregir, tornar a errar per experimentar i conjecturar de nou fins a obtenir una resolució que si-gui plausible, proposar la solució, redactar les conclusions i exposar-les en pú-blic requereix temps per al qual cal una planificació.

Exemple: Exercici final 11

Contribució a les competències genèriques de batxillerat

● Competència digital. Treballar i actualitzar aspectes de les eines tecnològi-ques, el tractament de la informació amb aquestes eines i les possibilitats co-municatives de les xarxes virtuals.

Exemple: Activitats i laboratoris Wiris del CD. Animacions i webs citats a la guia didàctica.

● Competència en recerca. L'ensenyament de la matemàtica a través de resolu-ció de problemes facilita la formulació d'activitats que encaminen l'estudiant cap a l'establiment de conjectures i llur contrast. Aquesta pràctica educativa facilita la capacitat creativa de l’alumne.

Exemple: Exercici final 7

● Competència en el coneixement i interacció amb el món. Resoldre proble-mes emprant la generalització, particularització, analogia i inducció.

2

PROGRAMACIÓ MATEMÀTIQUES 1r BATXILLERAT

Exemple: Punt final: Una aplicació física dels vectors

Connexió amb altres matèries

● Els vectors són imprescindibles en els apartats de cinemàtica, dinàmica, camp gravitatori, camp elèctric i electromagnetisme del currículum de física i tecnologia industrial.

● Les aplicacions geomètriques dels vectors i tot el que fa referència a la geometria plana apareix també en la matèria de dibuix tècnic.

Criteris d’avaluació

● Transcriure situacions geomètriques al llenguatge vectorial bidimensional i fer-ne servir les tècniques per resoldre problemes. Utilitzar amb destresa la relació entre direcció i pendent d’una recta, tot lligat amb la comprensió del concepte de paral·lelisme.

● Utilitzar amb soltesa la calculadora i l’ordinador per facilitar càlculs, fer repre-sentacions gràfiques, i explorar i simular situacions. Fer servir intel·ligentment les TIC, ser capaç d’interpretar els resultats d’una operació automàtica en el context del problema que s’està resolent.

Temporització

Per a aquesta unitat es necessiten 12 hores de classe.

3

PROGRAMACIÓ MATEMÀTIQUES 1r BATXILLERAT

Unitat 5. Rectes en el pla

Continguts

5.1 Diferents formes d’expressió de la rectaEquació vectorialEquacions paramètriquesEquació contínuaEquació general o implícitaEquació explícitaEquació canònica

5.2 Determinació de rectesRecta determinada per dos puntsRecta determinada per un punt i el seu pendent

5.3 Incidència i paral·lelisme de rectes5.4 Perpendicularitat de rectes

Projecció ortogonal d’un punt sobre una rectaPunt simètric respecte d’una recta

5.5 Angle de dues rectesCasos particulars

5.6 DistànciesDistància entre dos puntsDistància d’un punt a una rectaDistància entre dues rectesBisectriu dels angles que formen dues rectes

Punt final: Triangle inscrit en una circumferència i circumferència inscrita en un triangle

Objectius

● Localitzar punts en el pla, donats en un sistema de referència, i reconèixer analíticament possibles relacions elementals entre ells.

● Utilitzar els vectors per representar rectes.● Resoldre situacions geomètriques planes utilitzant els vectors.● Reconèixer i aplicar la interpretació geomètrica del producte escalar de dos

vectors en termes de projecció.● Distingir i representar rectes en el pla expressades per les seves equacions.● Trobar les equacions d’una recta a partir dels elements que les determinen.● Plantejar i resoldre problemes mètrics en el pla utilitzant el càlcul d’angles,

distàncies i perpendicularitat.● Resoldre problemes geomètrics en el pla mitjançant mètodes vectorials,

analítics o trigonomètrics.

Orientacions didàctiques

● Els estris de dibuix (regle, compàs i transportador d’angles) resulten imprescindibles en aquesta unitat. És recomanable resoldre tots els problemes

1

PROGRAMACIÓ MATEMÀTIQUES 1r BATXILLERAT

de geometria plana fent la representació gràfica en un sistema de coordenades cartesianes. És important establir les connexions entre la trigonometria, els vectors i la geometria plana.

● Cal insistir en la diferència que hi ha entre la geometria afí i la geometria mètrica que, juntament amb la introducció del producte escalar de dos vectors, permet resoldre problemes mètrics. Cal que l’alumnat practiqui l’obtenció de les diferents equacions que poden representar una mateixa recta, que siguin capaços de passar d’una a l’altra i extreure la màxima informació possible de cadascuna.

● En l’aplicació dels procediments geomètrics que condueixen a la determinació d’expressions algebraiques és imprescindible el màxim rigor, ja que d’aquesta manera es podrà resoldre qualsevol problema mètric del pla. Aplicar correctament les fórmules és important, però també ho és saber com es poden deduir.

Competències específiques de la matèria

● Competència matemàtica. Desenvolupar i aplicar el raonament matemàtic amb la finalitat de resoldre problemes en situacions diverses. Assolir la capaci-tat i la voluntat per pensar en la recta, el pla i l'espai, cercar arguments que do-nin solidesa a patrons establerts, representar construccions, gràfics o diagra-mes, construir, interpretar i emprar adequadament fórmules.

Exemple: Tots els apartats i totes les activitats

● Competència en modelització matemàtica. Considerar les relacions lligades al comportament d'una o diverses variables. Establir relacions sistemàtiques entre les diferents formes d’expressió (equacions) de la recta.

Exemple: Apartat 5.1 Diferents formes d’expressió de la recta

● Competència en experimentació. Experimentar, plantejar problemes, com-prendre'ls, establir plans de treball, conjecturar, equivocar-se, corregir, tornar a errar per experimentar i conjecturar de nou fins a obtenir una resolució que si-gui plausible, proposar la solució, redactar les conclusions i exposar-les en pú-blic requereix temps per al qual cal una planificació.

Exemple: Exercici final 20

Contribució a les competències genèriques de batxillerat

● Competència digital. Treballar i actualitzar aspectes de les eines tecnològi-ques, el tractament de la informació amb aquestes eines i les possibilitats co-municatives de les xarxes virtuals.

Exemple: Activitats i laboratoris Wiris del CD. Animacions i webs citats a la guia didàctica.

● Competència en recerca. L'ensenyament de la matemàtica a través de resolu-ció de problemes facilita la formulació d'activitats que encaminen l'estudiant cap

2

PROGRAMACIÓ MATEMÀTIQUES 1r BATXILLERAT

a l'establiment de conjectures i llur contrast. Aquesta pràctica educativa facilita la capacitat creativa de l’alumne.

Exemple: Exercici final 8

● Competència personal i interpersonal. Prendre decisions, discernir el que és essencial del que és prescindible i aprendre dels propis errors facilita la capaci-tat d’acceptació i superació de l’alumne.

Exemple: Activitat final 1

Connexió amb altres matèries

● L’estudi de les rectes dins la geometria plana engloba apartats com la construcció de la bisectriu de l’angle que formen dues rectes, la construcció del triangle inscrit en una circumferència o de la circumferència inscrita en un triangle, els quals formen part també del currículum de dibuix tècnic.

Criteris d’avaluació

● Transcriure situacions geomètriques al llenguatge vectorial bidimensional i fer-ne servir les tècniques per resoldre problemes. Utilitzar amb destresa la relació entre direcció i pendent d’una recta, tot lligat amb la comprensió del concepte de paral·lelisme.

● Utilitzar amb soltesa la calculadora i l’ordinador per facilitar càlculs, fer repre-sentacions gràfiques, i explorar i simular situacions. Fer servir intel·ligentment les TIC, ser capaç d’interpretar els resultats d’una operació automàtica en el context del problema que s’està resolent.

Temporització

Per a aquesta unitat es necessiten 10 hores de classe.

3

PROGRAMACIÓ MATEMÀTIQUES 1r BATXILLERAT

Unitat 6. La circumferència i altres llocs geomètrics

Contingut

6.1 Equació de la circumferència6.2 Determinació del centre i el radi6.3 Circumferència que passa per tres punts6.4 Circumferència tangent a una recta6.5 Posicions relatives de rectes i circumferències

Recta i circumferènciaDues circumferènciesPunt i circumferència

6.6 Recta tangent a una circumferènciaRecta tangent a una circumferència des d’un punt exterior

6.7 Potència d’un punt respecte d’una circumferènciaEix radical de dues circumferènciesCentre radical de tres circumferències

6.8 La paràbolaLes paràboles i les funcions polinòmiques de segon grau

6.9 L’el·lipse6.10 La hipèrbolaPunt final: Les còniques

Objectius

● Conèixer la definició de circumferència com a lloc geomètric.● Relacionar l’equació general de la circumferència amb el centre i el radi.● Verificar la posició relativa entre recta i circumferència i entre dues

circumferències.● Determinar l’equació de la recta tangent a una circumferència per un dels seus

punts i per un punt exterior.● Fer el plantejament de problemes geomètrics en el pla emprant rectes i

circumferències.● Obtenir les equacions de les còniques a partir del concepte de lloc geomètric.● Identificar l’el·lipse, la hipèrbola i la paràbola amb les seves equacions i els

gràfics corresponents.● Interpretar i relacionar els paràmetres de les còniques en el seu gràfic.

Orientacions didàctiques

● Cal posar de manifest que la propietat que verifiquen els punts d’una circumferència dóna la seva equació.

● També cal remarcar que les coordenades dels punts de la circumferència, i només ells, verifiquen la seva equació.

● És interessant deduir l’equació de la circumferència a partir dels diferents elements que la determinen i tenir en compte que si la circumferència es pot dibuixar, se’n pot trobar l’equació.

1

PROGRAMACIÓ MATEMÀTIQUES 1r BATXILLERAT

● També cal fer exercicis en què, donada l’equació, se’n determini el centre i el radi.

● És important utilitzar els procediments geomètrics apresos anteriorment per resoldre qualsevol situació que es plantegi entre rectes i circumferències.

● Els alumnes han de ser capaços de distingir els processos que fem servir per trobar l’equació de la recta tangent a una circumferència des d’un dels seus punts o des d’un punt exterior, així com també han de poder interpretar el perquè d’aquests processos tan diferents en un cas i en l’altre.

Competències específiques de la matèria

● Competència matemàtica. Desenvolupar i aplicar el raonament matemàtic amb la finalitat de resoldre problemes en situacions diverses. Assolir la capaci-tat i la voluntat per pensar en la recta, el pla i l'espai, cercar arguments que do-nin solidesa a patrons establerts, representar construccions, gràfics o diagra-mes, construir, interpretar i emprar adequadament fórmules.

Exemple: Activitats finals 7, 20, 25

● Competència en modelització matemàtica. Considerar les relacions lligades al comportament d'una o diverses variables. Establir relacions sistemàtiques entre diferents sistemes de representació.

Exemple: Apartat 6.8 La paràbola. Apartat 6.9 L’el·lipse. Apartat 6.10 La hipèrbola

● Competència en experimentació. Experimentar, plantejar problemes, com-prendre'ls, establir plans de treball, conjecturar, equivocar-se, corregir, tornar a errar per experimentar i conjecturar de nou fins a obtenir una resolució que si-gui plausible, proposar la solució, redactar les conclusions i exposar-les en pú-blic requereix temps per al qual cal una planificació.

Exemple: Activitat 9

Contribució a les competències genèriques de batxillerat

● Competència digital. Treballar i actualitzar aspectes de les eines tecnològi-ques, el tractament de la informació amb aquestes eines i les possibilitats co-municatives de les xarxes virtuals.

Exemple: Activitats i laboratoris Wiris del CD. Animacions i webs citats a la guia didàctica.

● Competència en recerca. L'ensenyament de la matemàtica a través de resolu-ció de problemes facilita la formulació d'activitats que encaminen l'estudiant cap a l'establiment de conjectures i llur contrast. Aquesta pràctica educativa facilita la capacitat creativa de l’alumne.

Exemple: Activitat final 29

2

PROGRAMACIÓ MATEMÀTIQUES 1r BATXILLERAT

● Competència personal i interpersonal. Prendre decisions, discernir el que és essencial del que és prescindible i aprendre dels propis errors facilita les capa-citats d’acceptació i superació.

Exemple: Activitat final 1

Connexió amb altres matèries

● El coneixement de les còniques és de gran utilitat en l’apartat d’interferències i el de camps gravitatori i elèctric de la matèria de física. Recordem que, per exemple, la corba que descriu els moviments dels planetes al voltant del Sol és una el·lipse i que la trajectòria que descriu un projectil en un tir oblic és una paràbola.

● Cal fer referència també, en el context històric d’aquestes corbes planes que s’obtenen a partir d’interseccions de plans amb una superfície cònica de doble fulla, al matemàtic grec Apol·loni de Pèrgam el qual va descobrir-ne les principals propietats geomètriques.

Criteris d’avaluació

● Transcriure al llenguatge algebraic el concepte de lloc geomètric i saber inter-pretar les expressions algebraiques corresponents. Conèixer les equacions de les còniques referides als seus eixos principals.

● Utilitzar amb soltesa la calculadora i l’ordinador per facilitar càlculs, fer repre-sentacions gràfiques, i explorar i simular situacions. Fer servir intel·ligentment les TIC, ser capaç d’interpretar els resultats d’una operació automàtica en el context del problema que s’està resolent.

Temporització

Per a aquesta unitat es necessiten 10 hores de classe.

3

PROGRAMACIÓ MATEMÀTIQUES 1r BATXILLERAT

Unitat 7. Polinomis

Continguts

7.1 Polinomis en una indeterminadaValor numèric d’un polinomiIdentitat de polinomis

7.2 Operacions amb polinomisSumaRestaMultiplicació

7.3 Divisió de polinomis. Regla de RuffiniRegla de Ruffini

7.4 Teorema del residu7.5 Divisibilitat de polinomis

Criteri de divisibilitat d’un polinomi per x – a 7.6 Arrels d’un polinomi

Càlcul de les arrels d’un polinomi7.7 Factorització de polinomis

Extreure factor comúIdentificar igualtats notablesDeterminar arrels de polinomi

7.8 Màxim comú divisor i mínim comú múltiple de polinomis7.9 Fraccions algebraiques

Fraccions equivalentsFraccions algebraiques irreductibles

7.10 Operacions amb fraccions algebraiquesSuma i restaMultiplicació i divisió

7.11 El binomi de NewtonNombres combinatorisPropietats dels nombres combinatorisFórmula del binomi de Newton

Punt final: Tornem a parlar de la regla de Ruffini

Objectius

● Recordar de 4t d’ESO com són els polinomis en una indeterminada i calcular el seu valor numèric.

● Adquirir agilitat en les operacions amb polinomis i fraccions algebraiques elementals.

● Aplicar correctament la regla de Ruffini i determinar les arrels d’un polinomi per realitzar-ne la factorització.

1

PROGRAMACIÓ MATEMÀTIQUES 1r BATXILLERAT

Orientacions didàctiques

● L’alumnat ha de ser capaç d’operar, amb desimboltura i rapidesa, amb expressions algebraiques i cal que s’exerciti en la descomposició factorial de polinomis. Un bon domini dels procediments corresponents els serà de gran utilitat en unitats posteriors.

● S’aconsella repassar la descomposició polinòmica de nombres naturals, a fi i efecte d’introduir de manera senzilla el concepte de polinomi en una indeterminada. Cal insistir en la utilització correcta de la nomenclatura relativa als polinomis: coeficients, grau, indeterminada, terme independent, valor numèric, etc.

● Pel que fa a les operacions amb polinomis, és important insistir en els diferents mètodes: divisió clàssica, igualació de coeficients i, quan sigui aplicable, regla de Ruffini.

● La comparació entre les fraccions numèriques i les algebraiques és útil per comprendre millor les algebraiques quan es tracta de buscar fraccions equivalents o efectuar operacions. Per simplificar-ne el càlcul, és bo que l’alumnat adquireixi l’hàbit de simplificar, sempre que sigui possible, les fraccions algebraiques.

Competències específiques de la matèria

● Competència matemàtica. Desenvolupar i aplicar el raonament matemàtic amb la finalitat de resoldre problemes en situacions diverses. Assolir la capaci-tat i la voluntat per pensar en la recta, el pla i l'espai, cercar arguments que do-nin solidesa a patrons establerts, representar construccions, gràfics o diagra-mes, construir, interpretar i emprar adequadament fórmules.

Exemple: Apartat 7.4 Teorema del residu. Apartat 7.11 El binomi de Newton. Nombres combinatoris. Fórmula del binomi de Newton

● Competència en modelització matemàtica. Resoldre problemes ajuda l'alum-ne a fixar l'atenció en la situació plantejada, a cercar relacions entre les varia-bles implicades i a descobrir patrons generals per tal d'obtenir un model que, amb un nivell de sofisticació gradual, permeti interpretar el problema plantejat.

Exemple: Apartat 7.3 Regla de Ruffini

● Competència en experimentació. Experimentar, plantejar problemes, com-prendre'ls, establir plans de treball, conjecturar, equivocar-se, corregir, tornar a errar per experimentar i conjecturar de nou fins a obtenir una resolució que si-gui plausible, proposar la solució, redactar les conclusions i exposar-les en pú-blic requereix temps per al qual cal una planificació.

Exemple: Activitat 24

2

PROGRAMACIÓ MATEMÀTIQUES 1r BATXILLERAT

Contribució a les competències genèriques de batxillerat

● Competència comunicativa. Defensar, oralment o per escrit, un resultat que s'obté per aplicació d'una fórmula o algorisme té un efecte ben diferent que no pas defensar una conjectura, la qual porta l'alumne a exposar els arguments que l'han conduït a establir-la, sabent, però, que no té la seguretat de que sigui certa.

Exemple: Activitat final 6

● Competència en recerca. L'ensenyament de la matemàtica a través de resolu-ció de problemes facilita la formulació d'activitats que encaminen l'estudiant cap a l'establiment de conjectures i llur contrast. Aquesta pràctica educativa facilita la capacitat creativa de l’alumne.

Exemple: Activitat final 7

● Competència digital. Treballar i actualitzar aspectes de les eines tecnològi-ques, el tractament de la informació amb aquestes eines i les possibilitats co-municatives de les xarxes virtuals.

Exemple: Activitats i laboratoris Wiris del CD. Animacions i webs citats a la guia didàctica.

● Competència en gestió i tractament de la informació. Cerca d'informació a través de fonts diverses (tradicionals o electròniques), i la seva posterior estruc-turació.

Exemple: Apartat 7.3 Regla de Ruffini. Apartat 7.7 Factorització de polinomis

Connexió amb altres matèries

● L’estudi dels polinomis i les fraccions algebraiques són necessàries per al tractament posterior de les funcions polinòmiques i de proporcionalitat inversa que s’usen en tot el currículum de física i també en el de química, en enunciar la llei dels gasos de Gay-Lussac i la de Boyle-Mariotte.

Criteris d’avaluació

● Aplicar i saber identificar en problemes pràctics les relacions entre la descom-posició de polinomis i la resolució d’equacions polinòmiques. Comprendre i uti-litzar la relació entre els zeros d’un polinomi i les solucions de l’equació polinò-mica.

● Utilitzar amb soltesa la calculadora i l’ordinador per facilitar càlculs, fer repre-sentacions gràfiques, i explorar i simular situacions. Fer servir intel·ligentment les TIC, ser capaç d’interpretar els resultats d’una operació automàtica en el context del problema que s’està resolent.

3

PROGRAMACIÓ MATEMÀTIQUES 1r BATXILLERAT

Temporització

Per a aquesta unitat es necessiten 15 hores de classe.

4

PROGRAMACIÓ MATEMÀTIQUES 1r BATXILLERAT

Unitat 8. Successions

Continguts

8.1 SuccessionsTerme generalRepresentació gràfica

8.2 Successions monòtonesFites

8.3 Límit d’una successióLímits que no són numèrics

8.4 Operacions amb successionsSuccessió sumaSuccessió producte

8.5 Límits de successions convergentsCasos especials

8.6 Límits de successions divergents8.7 Càlcul de límits

Límits de polinomisLímits de fraccions algebraiquesLímits de diferènciesLímits de potències

8.8 El nombre eCàlcul de límits amb el número e

Punt final: Les progressions aritmètiques i les progressions geomètriques

Objectius

● Adquirir desimboltura en el càlcul del terme general i dels termes d’una successió.

● Reconèixer les progressions aritmètiques i les progressions geomètriques. I veure com es fan operacions amb successions.

● Reconèixer les diferents indeterminacions que poden aparèixer en el càlcul de límits de successions i usar correctament el mètode més adequat per calcular el límit de cada successió.

Orientacions didàctiques

● En aquesta unitat s’introdueixen, per primer cop, els conceptes de límit i d’infinit a partir de les successions numèriques. Pot resultar més formatiu introduir els conceptes de límit i infinit a partir de les successions que de les funcions.

● Convé que l’alumnat identifiqui les successions com a funcions reals de variable un nombre natural. Cal que sigui capaç de trobar exemples de successions relacionats amb situacions quotidianes, tot i que en la majoria de casos no es pugui determinar l’expressió dels termes generals. És important que s’adquireixi destresa en l’estudi d’una successió i que sigui capaç de classificar les successions amb el màxim rigor.

1

PROGRAMACIÓ MATEMÀTIQUES 1r BATXILLERAT

● El concepte de límit es troba de manera intuïtiva, calculant termes avançats de cada successió per veure quina és la tendència. En les successions divergents cal distingir el símbol de l’infinit, que és el seu límit, i no confondre aquest símbol amb un nombre molt gran. És important diferenciar aquests conceptes per estalviar-se futures interpretacions errònies.

● Convé també que l’alumnat practiqui el càlcul de límits i, en especial, els casos d’indeterminació més usuals, per poder-ho aplicar en una unitat posterior a l’estudi de la continuïtat d’una funció i al seu comportament en l’infinit.

● Creiem que aquesta unitat és un bon punt per introduir el nombre e com a límit d’una successió i, amb l’ajut de la calculadora, trobar termes avançats d’aquest tipus de successions que condueixin a una aproximació cada vegada millor al seu valor.

Competències específiques de la matèria

● Competència matemàtica. Desenvolupar i aplicar el raonament matemàtic amb la finalitat de resoldre problemes en situacions diverses. Assolir la capaci-tat i la voluntat per pensar en la recta, el pla i l'espai, cercar arguments que do-nin solidesa a patrons establerts, representar construccions, gràfics o diagra-mes, construir, interpretar i emprar adequadament fórmules.

Exemple: Activitat 5. Apartat 8.3 Límit d’una successió

● Competència en modelització matemàtica. Resoldre problemes ajuda l'alum-ne a fixar l'atenció en la situació plantejada, a cercar relacions entre les varia-bles implicades i a descobrir patrons generals per tal d'obtenir un model que, amb un nivell de sofisticació gradual, permeti interpretar el problema plantejat.

Exemple: Apartat 8.7 Càlcul de límits. Apartat 8.8 Càlcul de límits amb el nombre e

● Competència en experimentació. Experimentar, plantejar problemes, com-prendre'ls, establir plans de treball, conjecturar, equivocar-se, corregir, tornar a errar per experimentar i conjecturar de nou fins a obtenir-ne una resolució que sigui plausible, proposar la solució, redactar les conclusions i exposar-les en públic requereix temps per al qual cal una planificació.

Exemple: Activitat 4 de l’avaluació

Contribució a les competències genèriques de batxillerat

● Competència comunicativa. Defensar, oralment o per escrit, un resultat que s'obté per aplicació d'una fórmula o algorisme té un efecte ben diferent que no pas defensar una conjectura, la qual porta l'alumne a exposar els arguments que l'han conduït a establir-la, però sabent que no té la seguretat de que sigui certa.

Exemple: Activitat final 8

● Competència en recerca. L'ensenyament de la matemàtica a través de resolu-ció de problemes facilita la formulació d'activitats que encaminen l'estudiant cap

2

PROGRAMACIÓ MATEMÀTIQUES 1r BATXILLERAT

a l'establiment de conjectures i llur contrast. Aquesta pràctica educativa facilita la capacitat creativa de l’alumne.

Exemple: Activitat final 1

● Competència digital. Treballar i actualitzar aspectes de les eines tecnològi-ques, el tractament de la informació amb aquestes eines i les possibilitats co-municatives de les xarxes virtuals.

Exemple: Activitats i laboratoris Wiris del CD. Animacions i webs citats a la guia didàctica.

● Competència en gestió i tractament de la informació. Cerca d'informació a través de fonts diverses (tradicionals o electròniques), i la seva posterior estruc-turació.

Exemple: Activitats 1, 9

Connexió amb altres matèries

● Context històric en el qual es va definir el nombre e com a límit d’una successió.

● L’estudi dels límits és imprescindible per entendre les taxes de variació i, en especial, la definició de derivades les quals s’usen en cinemàtica i moviment ondulatori, en cinètica química i gasos ideals, en l’estudi de la taxa de creixement d’una població i en corrent altern.

Criteris d’avaluació

● Comprendre les ampliacions successives dels conjunts numèrics, amb atenció especial als nombres reals. Distingir els nombres reals de les seves aproxima-cions. Saber calcular i comprendre el significat del concepte intuïtiu de límit d’u-na successió.

● Utilitzar amb soltesa la calculadora i l’ordinador per facilitar càlculs, fer repre-sentacions gràfiques, i explorar i simular situacions. Fer servir intel·ligentment les TIC, ser capaç d’interpretar els resultats d’una operació automàtica en el context del problema que s’està resolent.

Temporització

Per a aquesta unitat es necessiten 12 hores de classe.

3

PROGRAMACIÓ MATEMÀTIQUES 1r BATXILLERAT

Unitat 9. Funcions

Continguts

9.1 Concepte de funció9.2 Domini i recorregut d’una funció9.3 Funcions algebraiques

Funcions polinòmiquesFuncions racionalsFuncions irracionalsFuncions definides a trossos

9.4 Operacions amb funcionsFunció sumaFunció producteFunció quocient

9.5 Funció composta9.6 Funció inversa

Càlcul de la funció inversaPunt final: La funció part entera

Objectius

● Assimilar els conceptes relacionats amb les funcions que l’alumne ja coneix de cursos anteriors.

● Consolidar les operacions amb funcions, incidint en la composició. ● Saber trobar la funció inversa, si existeix, d’una funció.● Reconèixer les funcions polinòmiques, racionals i irracionals i aplicar-les a situ-

acions pràctiques.

Orientacions didàctiques

● És important que l’alumnat sigui capaç d’obtenir funcions a partir de situacions de la vida quotidiana, diferenciant amb claredat la variable independent de la dependent. Cal que els nois i les noies coneguin funcions relacionades amb el món de la ciència i de la tècnica i, segons el context en el qual es defineix la funció, determinar-ne els dominis.

● El coneixement del domini d’una funció és important per poder processar-la.● Cal definir amb rigor el domini d’una funció expressat en forma d’interval, insis-

tint en el tipus de funcions el domini de les quals ve determinat per tots els nombres reals.

● No és necessari insistir en la determinació del recorregut d’una funció, ja que es pot deduir fàcilment a partir de la gràfica. En el curs proper s’estudiarà amb detall la representació gràfica de funcions i aleshores serà un bon moment per observar quin n’és el recorregut.

● L’alumnat ha de ser capaç d’identificar les funcions elementals i de realitzar-ne operacions amb agilitat i destresa. És important insistir en la composició de fun-cions per afavorir la comprensió posterior de nous conceptes.

1

PROGRAMACIÓ MATEMÀTIQUES 1r BATXILLERAT

Competències específiques de la matèria

● Competència matemàtica. Desenvolupar i aplicar el raonament matemàtic amb la finalitat de resoldre problemes en situacions diverses. Assolir la capaci-tat i la voluntat per pensar en la recta, el pla i l'espai, cercar arguments que do-nin solidesa a patrons establerts, representar construccions, gràfics o diagra-mes, construir, interpretar i emprar adequadament fórmules.

Exemple: Apartat 9.2 Domini i recorregut d’una funció. Exemples

● Competència en modelització matemàtica. Considerar les relacions lligades al comportament d'una o diverses variables.

Exemple: Apartat 9.1 Concepte de funció

● Competència en contextualització. La contextualització de les situacions pro-blema participa en la motivació de l'estudiant i alhora és un instrument que per-met validar el coneixement après.

Exemple: Activitats finals 10, 11 i 12

● Competència en experimentació. Experimentar, plantejar problemes, com-prendre'ls, establir plans de treball, conjecturar, equivocar-se, corregir, tornar a errar per experimentar i conjecturar de nou fins a obtenir una resolució que si-gui plausible, proposar la solució, redactar les conclusions i exposar-les en pú-blic requereix temps per al qual cal una planificació.

Exemple: Activitat final 15

Contribució a les competències genèriques de batxillerat

● Competència digital. Treballar i actualitzar aspectes de les eines tecnològi-ques, el tractament de la informació amb aquestes eines i les possibilitats co-municatives de les xarxes virtuals.

Exemple: Activitats i laboratoris Wiris del CD. Animacions i webs citats a la guia didàctica.

● Competència en recerca. L'ensenyament de la matemàtica a través de resolu-ció de problemes facilita la formulació d'activitats que encaminen l'estudiant cap a l'establiment de conjectures i llur contrast. Aquesta pràctica educativa facilita la capacitat creativa i impulsa aquesta competència.

Exemple: Activitat final 23

● Competència en gestió i tractament de la informació. Cerca d'informació a través de fonts diverses (tradicionals o electròniques), i la seva posterior estruc-turació.

Exemple: Apartat 9.4 Operacions amb funcions. Apartat 9.5 Funció composta. Apartat 9.6 Funció inversa

2

PROGRAMACIÓ MATEMÀTIQUES 1r BATXILLERAT

● Competència personal i interpersonal. Prendre decisions, discernir el que és essencial del que és prescindible i aprendre dels propis errors facilita les capa-citats d’acceptació i superació.

Exemple: Activitat final 9

Connexió amb altres matèries

● Les funcions s’usen en tot el currículum de física. Concretament les trigonomètriques en estudiar el moviment harmònic simple, el pèndol simple i el moviment ondulatori i, les exponencials, en física nuclear. Igualment s’estudien en el currículum de química a partir de taules i gràfiques. Més específicament, les polinòmiques i les de proporcionalitat inversa, en enunciar la llei dels gasos de Gay-Lussac i la de Boyle-Mariotte. Les exponencials s’usen també, en biologia, per estudiar els creixements de població. I les trigonomètriques també, en ciències de la terra i el medi ambient, quan es fa referència als fenòmens periòdics i, en electrotècnia, per estudiar el corrent altern.

● El concepte de funció ha tingut diferents interpretacions al llarg de la història. El gran impulsor de les funcions fou Leonhard Euler el qual va fer que el concepte de funció passés a ser el concepte fonamental de l’anàlisi matemàtica.

Criteris d’avaluació

● Interpretar i utilitzar el concepte de funció, la seva expressió algebraica i les operacions amb funcions. Ser capaç de traduir el llenguatge de les funcions a situacions de l’entorn, i a l’inrevés, ser capaç de construir funcions a partir de dades reals.

● Conèixer i identificar els tipus bàsics de funcions, així com les seves propietats, i distingir entre les propietats dels diversos tipus de funcions.

● Utilitzar amb soltesa la calculadora i l’ordinador per facilitar càlculs, fer repre-sentacions gràfiques, i explorar i simular situacions. Fer servir intel·ligentment les TIC, ser capaç d’interpretar els resultats d’una operació automàtica en el context del problema que s’està resolent.

Temporització

Per a aquesta unitat es necessiten 10 hores de classe.

3

PROGRAMACIÓ MATEMÀTIQUES 1r BATXILLERAT

Unitat 10. Límits i continuïtat de funcions

Continguts

10.1 Límit d’una funció en un punt10.2 Límit d’una funció a l’infinit10.3 Càlcul del límit d’una funció en un punt10.4 Límits laterals en un punt10.5 Funció contínua en un punt10.6 Interpretació gràfica dels límits i de la continuïtat de funcionsPunt final: Paradoxes de l’infinit

Objectius

● Comprendre i aplicar amb desimboltura el concepte de límit funcional.● Analitzar el comportament d’una funció en l’infinit i aprendre a utilitzar correcta-

ment el mètode més adequat per calcular el límit d’una funció en un punt.● Calcular els límits laterals d’una funció en un punt.● Treballar el concepte de funció contínua en un punt, i identificar els diferents ti-

pus de discontinuïtats a partir de l’expressió algebraica de la funció o bé en una gràfica.

Orientacions didàctiques

● Si utilitzem els procediments establerts en la unitat 8 per al càlcul de límits de successions, es pot treballar amb més facilitat el càlcul de límits de funcions. Cal recordar que, en el cas de les funcions, la variable dependent pren valors reals.

● És necessària la utilització de la calculadora per a la determinació dels límits la-terals d’una funció en un punt i, si es tracta de discontinuïtat asimptòtica, cal in-sistir en la importància de precisar el signe de l’infinit.

● En l’estudi dels límits d’una funció en un punt, aconsellem que l’alumnat co-menci a fer-ho de manera intuïtiva, veient quina és la tendència dels valors de la funció per a valors de x cada cop més propers al considerat.

● És important aprofitar aquest procediment per observar quin és el comporta-ment de la funció, pel que fa al punt en el qual es treballa. D’aquesta manera, es pot interpretar gràficament el resultat d’un límit funcional.

● És fonamental la comprensió del concepte de funció contínua en un punt per poder estudiar els diferents tipus de discontinuïtats que es puguin presentar. És recomanable que l’alumnat treballi a fons les discontinuïtats, tant des del punt de vista analític com des del punt de vista gràfic.

Competències específiques de la matèria

● Competència matemàtica. Desenvolupar i aplicar el raonament matemàtic amb la finalitat de resoldre problemes en situacions diverses. Assolir la capaci-tat i la voluntat per pensar en la recta, el pla i l'espai, cercar arguments que do-

1

PROGRAMACIÓ MATEMÀTIQUES 1r BATXILLERAT

nin solidesa a patrons establerts, representar construccions, gràfics o diagra-mes, construir, interpretar i emprar adequadament fórmules.

Exemple: Apartat 10.5 Funció contínua en un punt. Apartat 10.6 Intepretació gràfica dels límits i de la continuïtat de funcions

● Competència en contextualització. Sota entorns d'aprenentatge que partei-xen de situacions problema, l'alumnat obté un coneixement matemàtic més ge-neral.

Exemple: Activitat final 21

● Competència en experimentació. Experimentar, plantejar problemes, com-prendre'ls, establir plans de treball, conjecturar, equivocar-se, corregir, tornar a errar per experimentar i conjecturar de nou fins a obtenir una resolució que si-gui plausible, proposar la solució, redactar les conclusions i exposar-les en pú-blic requereix temps per al qual cal una planificació.

Exemple: Activitat final 5

Contribució a les competències genèriques de batxillerat

● Competència comunicativa. Defensar, oralment o per escrit, un resultat que s'obté per aplicació d'una fórmula o algorisme té un efecte ben diferent que no pas defensar una conjectura, la qual porta l'alumne a exposar els arguments que l'han conduït a establir-la, però sabent que no té la seguretat de que sigui certa.

Exemple: Activitat final 11

● Competència digital. Treballar i actualitzar aspectes de les eines tecnològi-ques, el tractament de la informació amb aquestes eines i les possibilitats co-municatives de les xarxes virtuals.

Exemple: Activitats i laboratoris Wiris del CD. Animacions i webs citats a la guia didàctica.

● Competència personal i interpersonal. Prendre decisions, discernir el que és essencial del que és prescindible i aprendre dels propis errors facilita la seva acceptació i superació.

Exemple: Activitat final 22

Connexió amb altres matèries

● L’estudi dels límits és imprescindible per entendre les taxes de variació i, en especial, la definició de derivades les quals s’usen en cinemàtica i moviment ondulatori, en cinètica química i gasos ideals, en l’estudi de la taxa de creixement d’una població i en corrent altern.

● Les funcions s’usen en tot el currículum de física. Concretament les trigonomètriques en estudiar el moviment harmònic simple, el pèndol simple i el

2

PROGRAMACIÓ MATEMÀTIQUES 1r BATXILLERAT

moviment ondulatori i, les exponencials, en física nuclear. Igualment s’estudien en el currículum de química a partir de taules i gràfiques. Més específicament, les polinòmiques i les de proporcionalitat inversa, en enunciar la llei dels gasos de Gay-Lussac i la de Boyle-Mariotte. Les exponencials s’usen també, en biologia, per estudiar els creixements de població. I les trigonomètriques també, en ciències de la terra i el medi ambient, quan es fa referència als fenòmens periòdics i, en electrotècnia i tecnologia industrial, per estudiar el corrent altern.

● Estudi de les paradoxes de l’infinit al llarg de l’història. Establiment per part de Karl Weierstrass del concepte de límit d’una funció en un punt, en l’obra Elements.

Criteris d’avaluació

● Interpretar i utilitzar el concepte de funció, la seva expressió algebraica i les operacions amb funcions. Ser capaç de traduir el llenguatge de les funcions a situacions de l’entorn, i a l’inrevés, ser capaç de construir funcions a partir de dades reals.

● Conèixer i identificar els tipus bàsics de funcions, així com les seves propietats, i distingir entre les propietats dels diversos tipus de funcions.

● Comprendre i saber utilitzar els conceptes lligats a la variació d’una funció. Sa-ber utilitzar en problemes pràctics el concepte de taxa de variació d’una funció i la seva aplicació a contextos de la realitat, comprendre el concepte de derivada d’una funció en un punt i ser destre en el càlcul de funcions derivades senzilles.

● Utilitzar amb soltesa la calculadora i l’ordinador per facilitar càlculs, fer repre-sentacions gràfiques, i explorar i simular situacions. Fer servir intel·ligentment les TIC, ser capaç d’interpretar els resultats d’una operació automàtica en el context del problema que s’està resolent.

Temporització

Per a aquesta unitat es necessiten 12 hores de classe.

3

PROGRAMACIÓ MATEMÀTIQUES 1r BATXILLERAT

Unitat 11. Funcions exponencial i logarítmica

Continguts

11.1 Potències d’exponent real11.2 La funció exponencial

Propietats11.3 Equacions exponencials11.4 La funció logarítmica

Propietats11.5 Equacions logarítmiques11.6 Aplicacions de les funcions exponencial i logarítmicaPunt final: L’escala de Richter

Objectius

● Reconèixer i aplicar les funcions exponencial i logarítmica a l’estudi de fenò-mens relacionats amb la ciència i la tècnica.

● Aplicar procediments d’estudi de funcions, ja apresos en unitats anteriors, a la funció exponencial i a la funció logarítmica.

● Identificar la funció logarítmica com a inversa de la funció exponencial.● Deduir les propietats de la funció logarítmica i conèixer el comportament dels

logaritmes respecte de les operacions.● Resoldre equacions exponencials i logarítmiques i pretendre utilitzar la calcula-

dora en processos de càlcul exponencial i logarítmic.

Orientacions didàctiques

● La utilització de la calculadora per al càlcul de potències i logaritmes es fa im-prescindible en aquesta unitat. Tenint en compte que la calculadora només dis-posa de les tecles per al càlcul de logaritmes decimals i neperians, cal aplicar el factor de conversió corresponent per calcular-los en altres bases. El fet de treballar amb resultats aproximats obliga a establir els arrodoniments pertinents i a valorar l’error que això comporta.

● És important presentar la funció logarítmica com a inversa de la funció expo-nencial. Pot fer-se a partir de l’intercanvi de variables en una taula de valors a partir de la simetria respecte de la recta y = x que presenten les gràfiques de dues funcions inverses entre si.

● És particularment interessant que l’alumnat observi l’aplicació d’ambdues funci-ons a situacions reals relacionades amb el món de la ciència i la tècnica. Per aquest motiu, a títol d’exemple, se citen algunes d’aquestes aplicacions.

● Finalment, cal procurar que l’alumnat valori la importància del càlcul amb loga-ritmes, tant pel que fa referència a la simplificació del procés com per la seva necessitat per determinar exponents decimals en una potència.

1

PROGRAMACIÓ MATEMÀTIQUES 1r BATXILLERAT

Competències específiques de la matèria

● Competència matemàtica. Desenvolupar i aplicar el raonament matemàtic amb la finalitat de resoldre problemes en situacions diverses. Assolir la capaci-tat i la voluntat per pensar en la recta, el pla i l'espai, cercar arguments que do-nin solidesa a patrons establerts, representar construccions, gràfics o diagra-mes, construir, interpretar i emprar adequadament fórmules.

Exemple: Activitats 5, 13. Activitats final 4, 15, 19

● Competència en modelització matemàtica. Considerar les relacions lligades al comportament d'una o diverses variables. Establir relacions sistemàtiques entre diferents sistemes de representació.

Exemple: Activitats 6, 15

● Competència en experimentació. Experimentar, plantejar problemes, com-prendre'ls, establir plans de treball, conjecturar, equivocar-se, corregir, tornar a errar per experimentar i conjecturar de nou fins a obtenir uan resolució que si-gui plausible, proposar la solució, redactar les conclusions i exposar-les en pú-blic requereix temps per al qual cal una planificació.

Exemple: Activitat final 22

Contribució a les competències genèriques de batxillerat

● Competència digital. Treballar i actualitzar aspectes de les eines tecnològi-ques, el tractament de la informació amb aquestes eines i les possibilitats co-municatives de les xarxes virtuals.

Exemple: Activitats i laboratoris Wiris del CD. Animacions i webs citats a la guia didàctica.

● Competència en recerca. L'ensenyament de la matemàtica a través de resolu-ció de problemes facilita la formulació d'activitats que encaminen l'estudiant cap a l'establiment de conjectures i llur contrast. Aquesta pràctica educativa facilita la capacitat creativa de l’alumne.

Exemple: Activitats finals 18, 20

● Competència en gestió i tractament de la informació. Realització d’activitats obertes que requereixen recursos tecnològics (per exemple, la calculadora) que fomenten l'autoaprenentatge.

Exemple: Activitats 1, 2, 3 i 4

● Competència personal i interpersonal. Prendre decisions, discernir el que és essencial del que és prescindible i aprendre dels propis errors facilita la seva acceptació i superació.

Exemple: Activitat final 23

2

PROGRAMACIÓ MATEMÀTIQUES 1r BATXILLERAT

● Competència en el coneixement i interacció amb el món. Resoldre proble-mes emprant la generalització, particularització, analogia i inducció.

Exemple: Activitats 30, 31

Connexió amb altres matèries

● Les funcions exponencials s’usen en física nuclear i també, en biologia, per estudiar els creixements de població.

● Per estudiar les funcions logarítmiques és imprescindible conèixer el concepte de logaritme, el qual també és necessari per saber resoldre equacions i poder realitzar amb èxit poblemes d’equilibri químic i per calcular el ph.

● Context històric amb relació a la funció logaritme natural o neperià, en honor al matemàtic escocès John Napier, com a inversa a la funció exponencial, de gran interès en matemàtiques.

Criteris d’avaluació

● Operar amb soltesa amb exponents i logaritmes com a primer pas per a la futu-ra comprensió de les funcions exponencials i logarítmiques, i entendre’n el sig-nificat.

● Interpretar i utilitzar el concepte de funció, la seva expressió algebraica i les operacions amb funcions. Ser capaç de traduir el llenguatge de les funcions a situacions de l’entorn, i a l’inrevés, ser capaç de construir funcions a partir de dades reals.

● Conèixer i identificar els tipus bàsics de funcions, així com les seves propietats, i distingir entre les propietats dels diversos tipus de funcions.

● Utilitzar amb soltesa la calculadora i l’ordinador per facilitar càlculs, fer repre-sentacions gràfiques, i explorar i simular situacions. Fer servir intel·ligentment les TIC, ser capaç d’interpretar els resultats d’una operació automàtica en el context del problema que s’està resolent.

Temporització

Per a aquesta unitat es necessiten 10 hores de classe.

3

PROGRAMACIÓ MATEMÀTIQUES 1r BATXILLERAT

Unitat 12. Funcions trigonomètriques

Continguts

12.1 La funció sinusTransformacions de la funció sinus

12.2 La funció cosinus12.3 La funció tangent12.4 Funcions circulars inverses

La funció arc sinusLa funció arc cosinusLa funció arc tangent

12.5 Altres funcions trigonomètriquesCosecantSecantCotangentRepresentació gràficaFuncions cosecant, secant i cotangent

12.6 Identitats i equacions trigonomètriquesPunt final: Un moviment que no és rectilini

Objectius

● Establir l’aproximació adequada en els resultats obtinguts en un càlcul trigono-mètric.

● Reconèixer i aplicar les funcions trigonomètriques a l’estudi de fenòmens cientí-fics i tecnològics.

● Adquirir agilitat en el càlcul amb funcions trigonomètriques directes.● Aplicar procediments d’estudi de funcions a les funcions trigonomètriques direc-

tes i inverses.● Millorar els procediments trigonomètrics adquirits anteriorment.● Buscar aplicacions a altres àrees, i observar que és així com ha evolucionat la

ciència en general i les matemàtiques en particular.● Utilitzar la calculadora per obtenir raons trigonomètriques d’un angle.● Utilitzar la tecla de la funció inversa.

Orientacions didàctiques

● Cal insistir en el fet que les funcions trigonomètriques es defineixen a partir de les raons trigonomètriques d’un angle qualsevol, expressat en aquest cas en radians. L’alumnat ha de familiaritzar-se amb aquesta nova unitat i, per això, és important que s’exerciti en la conversió de radians en unitats sexagesimals, i a l’inrevés.

● És imprescindible que coneguin el valor de les raons trigonomètriques dels an-gles més usuals, tant a l’hora d’interpretar i entendre les gràfiques de les funci-ons trigonomètriques com a l’hora de resoldre equacions trigonomètriques.

1

PROGRAMACIÓ MATEMÀTIQUES 1r BATXILLERAT

● Per als altres angles, la calculadora permet conèixer els valors de les seves ra-ons trigonomètriques i és de gran utilitat per a la comprovació de resultats.

● En la resolució d’equacions trigonomètriques és recomanable començar amb exemples senzills i complicar-los gradualment. En tot cas, és important ser rigo-rosos en els procediments utilitzats, a fi i efecte de facilitar-ne la utilització i la comprensió.

Competències específiques de la matèria

● Competència matemàtica. Desenvolupar i aplicar el raonament matemàtic amb la finalitat de resoldre problemes en situacions diverses. Assolir la capaci-tat i la voluntat per pensar en la recta, el pla i l'espai, cercar arguments que do-nin solidesa a patrons establerts, representar construccions, gràfics o diagra-mes, construir, interpretar i emprar adequadament fórmules.

Exemple: Activitats 1, 5

● Competència en modelització matemàtica. Considerar les relacions lligades al comportament d'una o diverses variables. Establir les relacions sistemàtiques entre diferents sistemes de representació.

Exemple: Activitats 2, 6

● Competència en experimentació. Experimentar, plantejar problemes, com-prendre'ls, establir plans de treball, conjecturar, equivocar-se, corregir, tornar a errar per experimentar i conjecturar de nou fins a obtenir una resolució que si-gui plausible, proposar la solució, redactar les conclusions i exposar-les en pú-blic requereix temps per al qual cal una planificació. A més a més, la presència de calculadores i ordinadors permet les proves i els assajos en la cerca de pa-trons de comportament matemàtic.

Exemple: Apartat 12.6 Identitats i equacions trigonomètriques. Comprovació de les solucions en l’exemple 4. Activitats finals 9, 14

Contribució a les competències genèriques de batxillerat

● Competència digital. Treballar i actualitzar aspectes de les eines tecnològi-ques, el tractament de la informació amb aquestes eines i les possibilitats co-municatives de les xarxes virtuals.

Exemple: Activitats i laboratoris Wiris del CD. Animacions i webs citats a la guia didàctica.

● Competència en recerca. L'ensenyament de la matemàtica a través de resolu-ció de problemes facilita la formulació d'activitats que encaminen l'estudiant cap a l'establiment de conjectures i llur contrast. Aquesta pràctica educativa facilita la capacitat creativa de l’alumne.

Exemple: Activitat 13

2

PROGRAMACIÓ MATEMÀTIQUES 1r BATXILLERAT

● Competència en gestió i tractament de la informació. Realització d’activitats obertes que requereixen recursos tecnològics (per exemple, la calculadora) que fomenten l'autoaprenentatge.

Exemple: Activitat 10

● Competència personal i interpersonal. Prendre decisions, discernir el que és essencial del que és prescindible i aprendre dels propis errors facilita la seva acceptació i superació.

Exemple: Activitat final 15

● Competència en el coneixement i interacció amb el món. Resoldre proble-mes en entorns propers i significatius.

Exemple: Punt final

Connexió amb altres matèries

● Les funcions trigonomètriques apareixen en física en estudiar el moviment harmònic simple, el pèndol simple i el moviment ondulatori; també, en ciències de la terra i del medi ambient, quan es fa referència als fenòmens periòdics i, a electrotècnia o tecnologia industrial, en estudiar el corrent altern.

Criteris d’avaluació

● Resoldre triangles rectangles amb soltesa. Saber plantejar i resoldre problemes pràctics de trigonometria tot fent servir les eines apreses sobre mesura d’an-gles. Estar familiaritzat amb la resolució de triangles. Aplicar a situacions reals les tècniques de resolució de triangles, amb èmfasi especial en el cas de trian-gles rectangles.

● Interpretar i utilitzar el concepte de funció, la seva expressió algebraica i les operacions amb funcions. Ser capaç de traduir el llenguatge de les funcions a situacions de l’entorn, i a l’inrevés, ser capaç de construir funcions a partir de dades reals.

● Conèixer i identificar els tipus bàsics de funcions, així com les seves propietats, i distingir entre les propietats dels diversos tipus de funcions.

● Utilitzar amb soltesa la calculadora i l’ordinador per facilitar càlculs, fer repre-sentacions gràfiques, i explorar i simular situacions. Fer servir intel·ligentment les TIC, ser capaç d’interpretar els resultats d’una operació automàtica en el context del problema que s’està resolent.

Temporització

Per a aquesta unitat es necessiten 10 hores de classe.

3

PROGRAMACIÓ MATEMÀTIQUES 1r BATXILLERAT

Unitat 13. Introducció a les derivades

Continguts

13.1 Variacions d’una funció13.2 Velocitat mitjana13.3 Variació mitjana d’una funció en un interval13.4 Velocitat instantània13.5 Variació d’una funció en un punt13.6 Derivada d’una funció en un punt13.7 Funció derivada13.8 Càlcul de funcions derivades

Derivada de la funció constantDerivada de la funció f(x) = x

13.9 Les derivades i les operacions amb funcionsDerivada de la funció sumaDerivada del producte d’una constant per una funció

Punt final: Funcions que presenten una variable uniforme

Objectius

● Comprendre el concepte de variació mitjana d’una funció en un interval.● Comprendre el concepte de derivada d’una funció en un punt.● Calcular la derivada d’una funció en un punt.● Comprendre el concepte de funció derivada.● Calcular la funció derivada de funcions elementals.● Aplicar les normes que regulen els algorismes de càlcul de derivades.● Valorar els processos deductius com a eines bàsiques en el càlcul de deriva-

des.

Orientacions didàctiques

● Aquesta unitat serveix d’enllaç entre el temari de primer de batxillerat i el de se-gon. Cal que tingueu present que és una introducció al concepte de derivada d’una funció en un punt i que a segon de batxillerat s’haurà de començar el curs fent un breu repàs a aquesta unitat. Resulta molt útil, però, que els alum-nes comencin el curs següent havent assolit aquest concepte i relacionant el signe de la derivada amb el creixement o el decreixement de la funció.

● Segons el temps de què disposeu l’explicació es pot fer de manera molt intuïti-va, amb exemples gràfics i amb alguna animació i deixar per segon de batxille-rat l’explicació més teòrica.

1

PROGRAMACIÓ MATEMÀTIQUES 1r BATXILLERAT

Competències específiques de la matèria

● Competència matemàtica. Desenvolupar i aplicar el raonament matemàtic amb la finalitat de resoldre problemes en situacions diverses. Assolir la capaci-tat i la voluntat per pensar en la recta, el pla i l'espai, cercar arguments que do-nin solidesa a patrons establerts, representar construccions, gràfics o diagra-mes, construir, interpretar i emprar adequadament fórmules.

Exemple: Activitats finals 1, 6

● Competència en modelització matemàtica. Resoldre problemes ajuda l'alum-ne a fixar l'atenció en la situació plantejada, cercar relacions entre les variables implicades i descobrir patrons generals per tal d'obtenir un model que, amb un nivell de sofisticació gradual, permeti interpretar el problema plantejat.

Exemple: Apartat 13.8 Càlcul de funcions derivades

● Competència en contextualització. La contextualització de les situacions pro-blema participa en la motivació de l'estudiant i alhora és un instrument que per-met validar el coneixement après.

Exemple: Activitat final 10

● Competència en experimentació. Experimentar, plantejar problemes, com-prendre'ls, establir plans de treball, conjecturar, equivocar-se, corregir, tornar a errar per experimentar i conjecturar de nou fins a obtenir una resolució que si-gui plausible, proposar la solució, redactar les conclusions i exposar-les en pú-blic requereix temps per al qual cal una planificació.

Exemple: Activitat final 12

Contribució a les competències genèriques de batxillerat

● Competència comunicativa. Defensar, oralment o per escrit, un resultat que s'obté per aplicació d'una fórmula o algorisme té un efecte ben diferent que no pas defensar una conjectura, la qual porta l'alumne a exposar els arguments que l'han conduït a establir-la, però sabent que no té la seguretat de que sigui certa.

Exemple: Activitat 18

● Competència digital. Treballar i actualitzar aspectes de les eines tecnològi-ques, el tractament de la informació amb aquestes eines i les possibilitats co-municatives de les xarxes virtuals.

Exemple: Activitats i laboratoris Wiris del CD. Animacions i webs citats a la guia didàctica.

● Competència personal i interpersonal. Prendre decisions, discernir el que és essencial del que és prescindible i aprendre dels propis errors facilita la seva acceptació i superació.

2

PROGRAMACIÓ MATEMÀTIQUES 1r BATXILLERAT

Exemple: Activitat 31

● Competència en el coneixement i interacció amb el món. Resoldre proble-mes emprant la generalització, particularització, analogia i inducció.

Exemple: Activitats finals 10, 11

Connexió amb altres matèries

● Les taxes de variació i les derivades també apareixen a física en les unitats de cinemàtica i moviment ondulatori; a química en les unitats de cinètica química i de gasos ideals; en estudiar la taxa de creixement d’una població en biologia, i a electrotècnia i tecnologia industrial en estudiar el corrent altern.

Criteris d’avaluació

● Interpretar i utilitzar el concepte de funció, la seva expressió algebraica i les operacions amb funcions. Ser capaç de traduir el llenguatge de les funcions a situacions de l’entorn, i a l’inrevés, ser capaç de construir funcions a partir de dades reals.

● Conèixer i identificar els tipus bàsics de funcions, així com les seves propietats, i distingir entre les propietats dels diversos tipus de funcions.

● Comprendre i saber utilitzar els conceptes lligats a la variació d’una funció. Sa-ber utilitzar en problemes pràctics el concepte de taxa de variació d’una funció i la seva aplicació a contextos de la realitat, comprendre el concepte de derivada d’una funció en un punt i ser destre en el càlcul de funcions derivades senzilles.

● Utilitzar amb soltesa la calculadora i l’ordinador per facilitar càlculs, fer repre-sentacions gràfiques, i explorar i simular situacions. Fer servir intel·ligentment les TIC, ser capaç d’interpretar els resultats d’una operació automàtica en el context del problema que s’està resolent.

Temporització

Per a aquesta unitat es necessiten 15 hores de classe.

3

PROGRAMACIÓ MATEMÀTIQUES 1r BATXILLERAT

Unitat 14. Distribucions bidimensionals

Continguts

14.1 El llenguatge estadístic14.2 Distribucions unidimensionals

Propietats14.3 Diagrames de dispersió14.4 Mesures de correlació

CovariànciaCoeficient de correlació lineal o de Pearson

14.5 Regressió linealPunt final: Una experiència de geometria com a exemple d’estadística bidimensional

Objectius

● Situar els valors en una taula de doble entrada i representar un diagrama de dispersió.

● Valorar intuïtivament el tipus i el grau de dependència entre dos variables, ob-servant el núvol de punts al diagrama de dispersió.

● Saber calcular i interpretar la covariància i el coeficient de correlació lineal. En cas d’existir la correlació lineal, cal saber trobar l’equació de la recta i servir-se’n per tal de fer prediccions de manera adequada i sense incórrer en errors estadístics.

● Ser capaç de fer una anàlisi crítica de les prediccions.

Orientacions didàctiques

● Es tracta d’identificar situacions que es poden ajustar a una predicció lineal re-presentant el núvol de punts.

● Diferenciar signes en la interpretació del coeficient de correlació.● Realitzar el càlcul dels coeficients i paràmetres utilitzant la calculadora, la cal-

culadora gràfica, calculadores en línia o programes d’ordinador.● Calcular les equacions de les rectes de regressió, i diferenciar entre la utilitza-

ció d’una o altra recta, així com també fer-ne prediccions.

Competències específiques de la matèria

● Competència matemàtica. Desenvolupar i aplicar el raonament matemàtic amb la finalitat de resoldre problemes en situacions diverses. Assolir la capaci-tat i la voluntat per pensar en la recta, el pla i l'espai, cercar arguments que do-nin solidesa a patrons establerts, representar construccions, gràfics o diagra-mes, construir, interpretar i emprar adequadament fórmules.

Exemple: Apartat 14.3 Diagrames de dispersió. Apartat 14.4 Càlcul de les mesures de dispersió i interpretació

1

PROGRAMACIÓ MATEMÀTIQUES 1r BATXILLERAT

● Competència en modelització matemàtica. Considerar les relacions lligades al comportament d'una o diverses variables. Establir les relacions sistemàtiques entre els diferents sistemes de representació.

Exemple: Apartat 14.4 Mesures de correlació. Apartat 14.5 Regressió lineal

● Competència en contextualització. La contextualització de les situacions pro-blema participa en la motivació de l'estudiant i alhora és un instrument que per-met validar el coneixement après.

Exemple: Activitats finals 7, 8, 9

● Competència en experimentació. Experimentar, plantejar problemes, com-prendre'ls, establir plans de treball, conjecturar, equivocar-se, corregir, tornar a errar per experimentar i conjecturar de nou fins a obtenir una resolució que si-gui plausible, proposar la solució, redactar les conclusions i exposar-les en pú-blic requereix temps per al qual cal una planificació. A més a més, la presència de calculadores i ordinadors permet les proves i els assajos en la cerca de pa-trons de comportament matemàtic.

Exemple: Activitats 18, 19, 20

Contribució a les competències genèriques de batxillerat

● Competència comunicativa. Defensar, oralment o per escrit, un resultat que s'obté per aplicació d'una fórmula o algorisme té un efecte ben diferent que no pas defensar una conjectura, la qual porta l'alumne a exposar els arguments que l'han conduït a establir-la, però sabent que no té la seguretat de que sigui certa.

Exemple: Activitats 12, 22. Apartat 14.5 Regressió lineal. Predicció de les variables quan la correlació lineal és forta

● Competència en gestió i tractament de la informació. Cerca d'informació a través de fonts diverses (tradicionals o electròniques), i la seva posterior estruc-turació.

Exemple: Activitats finals 1, 2, 4, 5

● Competència digital. Aplicar les TIC amb exemples reals que, tot i que rutina-ris, requereixen gran potència de càlcul. La selecció dels recursos tecnològics ha de permetre que siguin una eina que s'empri en la resolució de problemes per experimentar, observar, proposar conjectures i contrastar-les, en definitiva, una eina al servei de la creativitat.

Exemple: Activitats i laboratoris Wiris del CD i animacions i webs citades a la guia didàctica.

● Competència en el coneixement i interacció amb el món. Resoldre proble-mes en entorns propers i significatius.

Exemple: Activitats finals 7, 8, 9

2

PROGRAMACIÓ MATEMÀTIQUES 1r BATXILLERAT

Connexió amb altres matèries

● El coneixement d’estadística és necessari per al tractament de dades experimentals en les matèries de física i química i en la unitat de l’evolució del currículum de biologia i de ciències per al món contemporani.

Criteris d’avaluació

● Interpretar la possible relació entre variables fent servir el coeficient de correla-ció i la recta de regressió, i ser capaç d’aplicar els conceptes bàsics de l’esta-dística descriptiva i bivariant a situacions senzilles.

● Utilitzar amb soltesa la calculadora i l’ordinador per facilitar càlculs, fer repre-sentacions gràfiques, explorar i simular situacions. Fer servir intel·ligentment les TIC, ser capaç d’interpretar els resultats d’una operació automàtica en el context del problema que s’està resolent.

Temporització

Per a aquesta unitat es necessiten 15 hores de classe.

3

PROGRAMACIÓ MATEMÀTIQUES 1r BATXILLERAT

Unitat 15. Probabilitat

Continguts

15.1 El llenguatge dels successosOperacions amb successosPropietats de la unió i de la intersecció de successos

15.2 Probabilitat d’un succésPropietats de la freqüència relativa

15.3 Definició axiomàtica de la probabilitatPropietats de la probabilitat

15.4 Probabilitat condicionada15.5 Fórmula de BayesPunt final: Una mica d’història sobre la probabilitat

Objectius

● Repassar i ampliar les tècniques de comptatge apreses al cicle superior de l’E-SO.

● Estudiar les propietats dels diferents grups que es poden formar en combinatò-ria, segons una llei donada, amb un nombre finit d’elements. En particular es proposa trobar una regla que permeti formar aquests grups, i calcular el nom-bre que se’n poden formar.

● Entrenar la intuïció probabilística, crear dubtes i alertes sobre la comprensió, interpretació, avaluació i predicció de fenòmens probabilístics.

Orientacions didàctiques

● En combinatòria, quan fem problemes de comptar són molt importants els exer-cicis d’estimació abans d’utilitzar el raonament o les fórmules. Hi ha maneres diferents de comptar el nombre de grups de les activitats que es proposen en aquesta unitat, i s’ha d’evitar forçar l’alumne a comptar d’una manera concreta. El procés de comptar és semblant al d’escriure, tant se val si s’utilitza la mà dreta o l’esquerra, el que cal és fer-ho correctament.

● La probabilitat pot ser aplicada a la realitat tan directament com l’aritmètica. Proporciona una excel·lent oportunitat per aplicar la matemàtica en la resolució de problemes reals. També ajuda a distingir entre diferents graus d’incertesa i ensenya a comparar prediccions i extrapolacions. El que fa és cercar un model teòric per analitzar experiments aleatoris, així com disposar d’una mesura del grau de certesa per estimar que determinats fets es produeixin o no.

● L’aprenentatge de la probabilitat es pot fer mitjançant una metodología heurísti-ca plantejant problemes reals i realitzant experiments reals o simulats.

1

PROGRAMACIÓ MATEMÀTIQUES 1r BATXILLERAT

Competències específiques de la matèria

● Competència matemàtica. Desenvolupar i aplicar el raonament matemàtic amb la finalitat de resoldre problemes en situacions diverses. Assolir la capaci-tat i la voluntat per pensar en la recta, el pla i l'espai, cercar arguments que do-nin solidesa a patrons establerts, representar construccions, gràfics o diagra-mes, construir, interpretar i emprar adequadament fórmules.

Exemple: Apartat 15.3 Definició axiomàtica de probabilitat. Apartat 15.5 Fórmula de Bayes

● Competència en modelització matemàtica. Resoldre problemes ajuda l’alum-ne a fixar l'atenció en la situació plantejada, cercar relacions entre les variables implicades i descobrir patrons generals per tal d'obtenir un model que, amb un nivell de sofisticació gradual, permeti interpretar el problema plantejat.

Exemple: Activitats finals 8, 9

● Competència en contextualització. La contextualització de les situacions pro-blema participa en la motivació de l'estudiant i alhora és un instrument que per-met validar el coneixement après.

Exemple: Activitats finals 23, 24

● Competència en experimentació. Experimentar, plantejar problemes, com-prendre'ls, establir plans de treball, conjecturar, equivocar-se, corregir, tornar a errar per experimentar i conjecturar de nou fins a obtenir una resolució que si-gui plausible, proposar la solució, redactar les conclusions i exposar-les en pú-blic requereix temps per al qual cal una planificació.

Exemple: Activitats finals 10, 11, 12

Contribució a les competències genèriques de batxillerat

● Competència digital. Treballar i actualitzar aspectes de les eines tecnològi-ques, el tractament de la informació amb aquestes eines i les possibilitats co-municatives de les xarxes virtuals.

Exemple: Activitats i laboratoris Wiris del CD. Animacions i webs citats a la guia didàctica.

● Competència en gestió i tractament de la informació. Cerca d'informació a través de fonts diverses (tradicionals o electròniques), i la seva posterior estruc-turació.

Exemple: Apartat 15.1 El llenguatge dels successos

● Competència personal i interpersonal. Prendre decisions, discernir el que és essencial del que és prescindible i aprendre dels propis errors facilita les capa-citats d’acceptació i superació.

Exemple: Activitats finals 3 i 4

2

PROGRAMACIÓ MATEMÀTIQUES 1r BATXILLERAT

Connexió amb altres matèries

● Estudi de l’origen de la probabilitat en els jocs d’atzar, pels volts de 1650, a França.

● En l’apartat de genètica del currículum de biologia i ciències per al món contemporani apareixen nocions de probabilitat.

Criteris d’avaluació

● Aplicar tècniques senzilles de recompte a situacions de la vida real. Resoldre problemes en què intervinguin els conceptes de probabilitat i dependència o in-dependència d’esdeveniments, en casos lligats a conceptes elementals de combinàtoria.

● Utilitzar amb soltesa la calculadora i l’ordinador per facilitar càlculs, fer repre-sentacions gràfiques, i explorar i simular situacions. Fer servir intel·ligentment les TIC, ser capaç d’interpretar els resultats d’una operació automàtica en el context del problema que s’està resolent.

Temporització

Per a aquesta unitat es necessiten 10 hores de classe.

3

PROGRAMACIÓ MATEMÀTIQUES 1r BATXILLERAT

Unitat 16. Distribució de probabilitat

Continguts

16.1 Funció de probabilitat d’una variable aleatòria16.2 La distribució binomial16.3 Variable aleatòria contínua16.4 La distribució normal

Propietats de la funció de densitat de distribució normal N(μ, σ)Tipificació d’una variable que segueix una distribució N(μ, σ)

16.5 Aproximació d’una distribució binomial per una normalA fons: Risc i interval de confiança

Objectius

● Entrar en el camp de les diferents distribucions de probabilitat conegudes a partir de l’estudi de només un parell d’aquestes variables: la binomial, que és una distribució discreta, i la normal, que és contínua.

● Distingir entre variable estadística i variable de probabilitat, entre variable dis-creta i variable contínua i el diferent tractament amb relació a la funció de pro-babilitat per a les variables discretes i la funció de densitat per a les contínues.

● Identificar quan en un problema es tracta d’una variable que té una distribució binomial i com calcular la seva probabilitat, fins i tot en casos en què els càlculs són extremadament llargs, comprovar si es pot aproximar per una normal i fer-ho.

● Saber tipificar, si s’escau, les variable que segueixen una distribució normal i trobar la probabilitat que correspongui.

Orientacions didàctiques

● Les matemàtiques del batxillerat tenen un triple paper: instrumental, formatiu i de fonament teòric. En el paper instrumental, cal proporcionar tècniques i estra-tègies bàsiques, tant per a altres assignatures com per a l’activitat professional.

● Els continguts d’aquesta unitat fan èmfasi en aquest paper instrumental. Però l’aprenentatge no s’ha de basar només en un ensinistrament i la resolució de problemes, tot i que són dues de les seves finalitats més destacades: cal que es complementi amb la formació en aspectes més abstractes que ajudin l’alum-nat a tenir una visió més àmplia i científica de la realitat. En aquest sentit, és bàsic el raonament dels processos utilitzats, així com de les deduccions de ca-ràcter abstracte, com poden ser la funció de probabilitat, la funció de densitat i la funció de distribució.

● Es recomana donar un cert suport teòric, aplicant-hi les definicions, les demos-tracions i els conceptes, ja que donen validesa a la intuïció, molt important en matemàtiques, i donen solidesa i sentit a les tècniques aplicades.

● En aquesta unitat conflueixen tots els aspectes propis de l’assignatura, es po-den treballar simultàniament aspectes més d’aplicació i aspectes més formals,

1

PROGRAMACIÓ MATEMÀTIQUES 1r BATXILLERAT

que ajuden a la formació matemàtica de l’alumnat. És per això que, en aquest sentit, és una bona oportunitat que no s’ha de deixar escapar.

● Un dels objectius bàsics que cal consolidar és que els alumnes siguin capaços, de manera intuïtiva i autònoma, de triar l’estratègia més adequada per a la re-solució dels problemes. Recomanem, per tant, que en l’aproximació d’una dis-tribució binomial per una de normal, siguin els mateixos alumnes els qui vegin la necessitat de fer-ho; si no és així, els càlculs que cal fer els duran a expressi-ons numèriques incalculables.

● Per acabar, pensem que és una bona ocasió per fomentar el treball en grup, sobretot en les correccions i les comparacions dels resultats, ja que, tant en la distribució binomial com en la normal, la correcció és molt ràpida i àgil. Al ma-teix temps, els nois i les noies es poden ajudar entre ells en el càlcul de proba-bilitats en què hagin de recórrer a nombres combinatoris més o menys grans.

Competències específiques de la matèria

● Competència matemàtica. Desenvolupar i aplicar el raonament matemàtic amb la finalitat de resoldre problemes en situacions diverses. Assolir la capaci-tat i la voluntat per pensar en la recta, el pla i l'espai, cercar arguments que do-nin solidesa a patrons establerts, representar construccions, gràfics o diagra-mes, construir, interpretar i emprar adequadament fórmules.

Exemple: Distinció entre variables aleatòries discreta i contínua. Distinció entre funció de probabilitat i funció de densitat.

● Competència en modelització matemàtica. Resoldre problemes ajuda l'alum-ne a fixar l'atenció en la situació plantejada, cercar relacions entre les variables implicades i descobrir patrons generals per tal d'obtenir un model que, amb un nivell de sofisticació gradual, permeti interpretar el problema plantejat.

Exemple: Apartat 16.5 Aproximació d’una distribució binomial per una normal

● Competència en contextualització. La contextualització de les situacions pro-blema participa en la motivació de l'estudiant i alhora és un instrument que per-met validar el coneixement après.

Exemple: Activitats finals 11, 12, 13

● Competència en experimentació. Experimentar, plantejar problemes, com-prendre'ls, establir plans de treball, conjecturar, equivocar-se, corregir, tornar a errar per experimentar i conjecturar de nou fins a obtenir-ne una que sigui plau-sible, proposar la solució, redactar les conclusions i exposar-les en públic re-quereix temps per al qual cal una planificació.

Exemple: Activitats finals 4, 5

2

PROGRAMACIÓ MATEMÀTIQUES 1r BATXILLERAT

Contribució a les competències genèriques de batxillerat

● Competència en gestió i tractament de la informació. Cerca d'informació a través de fonts diverses (tradicionals o electròniques), i la seva posterior estruc-turació.

Exemple: Apartat 16.4 La distribució normal

● Competència digital. Aplicar les TIC amb exemples reals que, tot i que rutina-ris, requereixen gran potència de càlcul. La selecció dels recursos tecnològics ha de permetre que siguin una eina que s'empri en la resolució de problemes per experimentar, observar, proposar conjectures i contrastar-les, en definitiva, una eina al servei de la creativitat.

Exemple: Activitats i laboratoris Wiris.

● Competència personal i interpersonal. Prendre decisions, discernir el que és essencial del que és prescindible i aprendre dels propis errors facilita les capa-citats d’acceptació i superació.

Exemple: Punt final

● Competència en el coneixement i interacció amb el món. Resoldre proble-mes emprant la generalització, particularització, analogia i inducció.

Exemple: Activitats finals 14, 18

Connexió amb altres matèries

● En l’estudi de la genètica del currículum de biologia i de ciències per al món contemporani apareixen nocions de probabilitat.

Criteris d’avaluació

● Interpretar la possible relació entre variables fent servir el coeficient de correla-ció i la recta de regressió, i ser capaç d’aplicar els conceptes bàsics de l’esta-dística descriptiva i bivariant a situacions senzilles.

● Utilitzar amb soltesa la calculadora i l’ordinador per facilitar càlculs, fer repre-sentacions gràfiques, i explorar i simular situacions. Fer servir intel·ligentment les TIC, ser capaç d’interpretar els resultats d’una operació automàtica en el context del problema que s’està resolent.

Temporització

Per a aquesta unitat es necessiten 10 hores de classe.

3

PROGRAMACIÓ MATEMÀTIQUES 1r BATXILLERAT