programare dinamica

Programare dinamic 1 1 1

Metoda programrii dinamice

Prof. Emanuela Cerchez

Liceul de Informatica Grigore Moisil Iasi

Prezentare general

Programarea dinamic este o metod de elaborare a algoritmilor care se aplic n general problemelor pentru care se cere determinarea unui optim n urma

adoptrii unor decizii.

Nu exist un criteriu pe baza cruia s identificm cu siguran o problem pentru rezolvarea creia trebuie s utilizm metoda programrii dinamice, dar putem formula dou proprieti care sugereaz o soluie prin programare dinamic.

Substructur optimal

Problema dat poate fi descompus n subprobleme i soluia optim a problemei depinde de soluiile optime ale subproblemelor sale.

Acest criteriu nu indic neaprat o soluie prin programare dinamic, ar putea fi i un indiciu c se poate aplica metoda Greedy sau metoda Divide et Impera.

Subprobleme superpozabile

Subproblemele problemei date nu sunt independente, ci se suprapun.

Datorit faptului c subproblemele problemei date se suprapun, deducem c o abordare prin metoda Divide et Impera ar fi dezastruoas din punctul de vedere al timpului de execuie (datorit faptului c problemele se suprapun se ajunge la rezolvarea repetat a aceleiai subprobleme). Prin urmare, vom rezolva subproblemele o singur, dat, reinnd rezultatele ntr-o structur de date suplimentar (de obicei un tablou).

Rezolvarea unei probleme prin programare dinamic presupune urmtorii pai:

1. Se identific subproblemele problemei date.

2. Se alege o structur de date suplimentar, capabil s rein soluiile subproblemelor.

3. Se caracterizeaz substructura optimal a problemei printr-o relaie de recuren.

4. Pentru a determina soluia optim, se rezolv relaia de recuren n mod bottom-up (se rezolv subproblemele n ordinea cresctoare a dimensiunii lor).

n cele ce urmeaz vom exemplifica pas cu pas modul de rezolvare a problemelor prin metoda programrii dinamice.

2 METODA PROGRAMRII DINAMICE

1. nmulirea optimal a matricelor

Fie n matrice A1, A2, ..., An, de dimensiuni d0xd1, d1xd2, ..., dn-1xdn. Produsul

A1xA2x...xAn se poate calcula n diverse moduri, aplicnd asociativitatea

operaiei de nmulire a matricelor. Numim nmulire elementar nmulirea a dou elemente. n funcie de modul de parantezare difer numrul de nmuliri

elementare necesare pentru calculul produsului A1xA2x...xAn. Determinai o

parantezare optimal a produsului A1xA2x...xAn (costul parantezrii, adic numrul total de nmuliri elementare s fie minim).

Exemplu

Pentru n=3 matrice cu dimensiunile (10,1000), (1000,10) i

(10,100), produsul A1xA2xA3 se poate calcula n dou moduri:

1. (A1xA2)xA3 necesitnd 1000000+10000=1010000 nmuliri elementare

2. A1x(A2xA3), necesitnd 1000000+1000000=2000000 nmuliri.

Reamintim c numrul de nmuliri elementare necesare pentru a nmuli o

matrice A cu n linii i m coloane i B o matrice cu m linii i p coloane este nmp

(vezi problema 8 de la capitolul Structuri elementare de date).

Solutie

1. Pentru a calcula A1xA2x...xAn, n final trebuie s nmulim dou matrice, deci

vom paranteza produsul astfel: (A1xA2x...xAk)x(Ak+1x...xAn ). Aceast observaie se aplic i produselor dintre paranteze. Prin urmare, subproblemele problemei iniiale constau n determinarea parantezrii optimale a produselor de

matrice de forma AixAi+1x...xAj, 1ijn. Observm c subproblemele nu

sunt independente. De exemplu, calcularea produsului AixAi+1x...xAj i

calcularea produsului Ai+1xAi+2x...xAj+1, au ca subproblem comun

calcularea produsului Ai+1x...xAj.

2. Pentru a reine soluiile subproblemelor, vom utiliza o matrice M, cu n linii i n coloane, cu semnificaia:

M[i][j] = numrul minim de nmuliri elementare necesare pentru a calcula

produsul AixAi+1x...xAj, 1ijn.

Evident, numrul minim de nmuliri necesare pentru a calcula A1xA2x...xAn

este M[1][n].

3. Pentru ca parantezarea s fie optimal, parantezarea produselor A1xA2x...xAk

i Ak+1x...xAn trebuie s fie de asemenea optimal. Prin urmare elementele

matricei M trebuie s satisfac urmtoarea relaie de recuren:

M[i][i]=0, i{1,2,..., n}. M[i][j]=min{M[i][k] + M[k+1][j] + d[i-1]*d[k]*d[j]}

ik


Cum interpretm aceast relaie de recuren? Pentru a determina numrul

minim de nmuliri elementare pentru calculul produsului AixAi+1x...xAj,

fixm poziia de parantezare k n toate modurile posibile (ntre i i j-1), i

alegem varianta care ne conduce la minim. Pentru o poziie k fixat, costul

parantezrii este egal cu numrul de nmuliri elementare necesare pentru

calculul produsului AixAi+1x...xAk, la care se adaug numrul de nmuliri

elementare necesare pentru calculul produsului Ak+1x...xAj i costul

nmulirii celor dou matrice rezultate (di-1dkdj).

Observm c numai jumtatea de deasupra diagonalei principale din M este

utilizat. Pentru a construi soluia optim este util i reinerea indicelui k, pentru care se obine minimul. Nu vom considera un alt tablou, ci-l vom reine,

pe poziia simetric fa de diagonala principal (M[j][i]).

4. Rezolvarea recursiv a relaiei de recuren de mai sus este ineficient, datorit faptului c subproblemele de suprapun, deci o abordare recursiv ar conduce la rezolvarea aceleiai subprobleme de mai multe ori. Prin urmare vom rezolva relaia de recuren n mod bottom-up: (determinm parantezarea optimal a produselor de dou matrice, apoi de 3 matrice, 4 matrice, etc).

long M[NMax][NMax];

void dinamic()

{ int nr, i, j, k, kmin;

long min, Infinit=1000000000;

for (nr=2; nr


2. Subir cresctor maximal

Fie un ir A=(a1, a2, ..., an). Numim subir al irului A o succesiune de

elemente din A, n ordinea n care acestea apar n A: ai1, ai

2, ..., ai

k, unde

1i1


Pentru a determina soluia optim a problemei, determinm maximul din

vectorul l, apoi afim soluia, ncepnd cu poziia maximului i utiliznd

informaiile memorate n vectorul poz:

//determin maximul din vectorul l

int max=l[1], pozmax=1;

for (int i=2; i


S[i][j]=T[i][j]+max{S[i+1][j], S[i+1][j+1]}

4. Rezolvm relaia de recuren n mod bottom-up:

int i, j;

for (i=1; i0; i--)

for (j=1; j


lcs[k][h]=1+lcs[k-1][h-1], dac x[k]=y[h]

max{lcs[k][h-1], lcs[k-1][h]}, dac x[k]y[h] 4. Rezolvm relaia de recuren n mod bottom-up:

for (int k=1; k


Soluie

Vom reine culorile jetoanelor ntr-un vector c[]. Iniializarea configuraiei de joc const din citirea numrului de jetoane i generarea aleatoare a culorilor

acestora, codificnd prima culoare cu 0 i cea de a doua culoare cu 1.

#define NMax 1002

int n, c[NMax];

void Init()

{coutn;

randomize();

for (int i=1; i


//Ana ia jetoanele de la i la k

cout


Date de ieire

Fiierul text LASER.OUT conine pe o singur linie numrul natural T.

Exemplu LASER.IN LASER.OUT

3 5

1 1 1 1 5

1 7 1 1 1

1 1 1 6 1

52

Restricii m,nN, 2m,n20

dxyN, 1dxy100

Soluie 1. Subproblemele problemei date constau n tierea unui dreptunghi din placa dat,

care are colul stnga-sus n poziia (i, j), are lungimea l i nlimea h.

2. Pentru a reine soluiile subproblemelor trebuie s utilizm un tablou cu 4

dimensiuni Cnxmxnxm, cu semnificaia C[i,j,h,l]=costul total de tiere a unui

unui dreptunghi din placa dat, care are colul stnga-sus n poziia (i, j), are

lungimea l i nlimea h. Evident, soluia problemei date va fi C[1,1,n,m].

Deoarece nu avem spaiu suficient, vom aloca parial tabloul c n mod dinamic,

i l vom iniializa cu 0:

int i, j, k, l, h;

for (i=0; i


Prin urmare putem caracteriza substructura optimal a problemei prin urmtoarea relaie de recuren:

C[i][j][1][1]=0; i{1,2,..,n}, j{1,2,..,m} C[i][j][h][l]=min

{min{c[i][j][k-i][l]+c[k][j][h-k+i][l]+dmaxL(k,j,l)}//orizontal k=i+1,i+h-1

min{c[i][j][h][k-j]+c[i][k][h][l-k+j]+dmaxC(k,i,h)}} //vertical k=j+1,j+l-1

n relaiile de recuren precedente am utilizat valorile:

dmaxL(k,j,l), reprezentnd densitatea maxim a bucilor 11 peste

marginile crora trece raza laserului, la o tietur ntre liniile k-1 i k, de

lungime l, ncepnd de la coloana j;

dmaxC(k,i,h), reprezentnd densitatea maxim a bucilor 11 peste

marginile crora trece raza laserului, la o tietur ntre coloanele k-1 i k,

de lungime h, ncepnd cu linia i.

4. Calculul soluiei optime n mod bottom-up:

for (h=1; h


Observaie O optimizare posibil a algoritmului const n evitarea apelurilor funciilor

dmaxL() i dmaxC(), prin precalcularea valorilor respective o singur dat i memorarea lor n cte un tablou tridimensional. Implementai aceast optimizare!

7. Problema patronului

Un patron de gogoerie a cumprat un calculator i dorete s nvee s lucreze pe el. Pentru aceasta va umple un raft de cri din colecia Informatica n lecii de

9 minute i 60 secunde. Raftul are lungimea L cm. Seria dispune de n titluri,

numerotate 1, 2,..., n avnd respectiv grosimile de g1, g2,..., gn cm.

Scriei un program care s selecteze titlurile pe care le va cumpra patronul, astfel nct raftul s fie umplut complet (suma grosimilor crilor cumprate s fie egal cu lungimea raftului) i numrul crilor achiziionate s fie maxim. Progra-mul va afia numrul crilor selectate, precum i grosimile acestora. Dac nu

exist soluie, va fi afiat mesajul IMPOSIBIL. (ONI Suceava 1996, XI)

Restricii nN, 1n60

LN,1L200

giN*, gi30000, i{1,2,...,n}

Timp maxim de execuie: 1 secund/test.

Exemplu

Soluie

1. Problema const n selectarea unor elemente a cror sum s fie egal cu L. n

cazul n care exist mai multe soluii, este preferat soluia cu numr maxim de elemente. O subproblem a acestei probleme const n selectarea unor elemente

a cror sum s fie egal cu S, SL.

2. Pentru a reine soluiile subproblemelor vom utiliza un vector Nr, cu L+1

componente, avnd semnificaia: Nr[S]=numrul maxim de titluri ce pot fi

cumprate pentru a umple un raft de lungime S (0SL) sau -1 (dac nu putem

umple un raft de lungime S). Pentru a reine i crile cumprate, vom utiliza o

matrice Uz cu L+1 linii i n coloane, avnd semnificaia L[S][i] este 1, dac

am utilizat titlul i pentru a umple optimal raftul de lungime S i 0, n caz contrar.

#define NMax 61

#define LMax 201

int n, L; //numarul de titluri si lungimea raftului

int g[NMax]; //grosimile

int Nr[LMax]; //numarul maxim de carti selectate

int Uz[LMax][NMax]; //indicii titlurilor utilizate


3. S considerm c ultimul titlu selectat pentru a umple un raft de lungime S este

i. Prin urmare, n rest sunt selectate (obligatoriu n mod optim) cri a cror

grosime total trebuie s fie egal cu S-g[i]. Evident, pentru a putea alege

titlul i, condiia este ca acest titlu s nu fie deja utilizat pentru a umplerea

restului raftului (de lungime S-g[i]). Alegerea titlului i trebuie s fie fcut de asemenea n mod optim (s maximizeze numrul total de cri selectate):

Nr[0]=0;

Nr[S]=max{-1, max{1+Nr[S-g[i]]|S-g[i]0 i Nr[S-g[i]]-1 i i=1,n Uz[S-g[i]][i]=0}

4. Rezolvarea relaiei de recuren:

int S, k, i;

for (S=1; S


Taste acionate Efect + urmat de o cifr Se genereaz suma dintre cifra de pe afiaj i cifra tastat (operaie

posibil doar dac suma este tot o cifr). Cifra sum este reinut n memorie.

urmat de o cifr Se genereaz diferena dintre cifra de pe afiaj i cifra tastat (operaie posibil doar dac se obine tot o cifr). Cifra obinut este reinut n memorie.

* urmat de o cifr Se reine n memorie valoarea tastei care se acioneaz dup tasta

*. Deoarece asupra cifrei curente din X nu se efectueaz nici o

operaie, aceasta nu dispare de pe afiaj. / Se terge cifra curent din X # Se terg din X cifra curent i toate cifrele care urmeaz, pn la

sfrit. = Se copiaz n memorie cifra curent.

Aciunea se ncheie atunci cnd toate cifrele lui X au fost prelucrate. Am obinut

o soluie cnd n memoria telecomenzii se afl cifrele numrului Y. O soluie este

optim dac numrul de taste acionate este minim. Ctigtorii jocului sunt acei concureni care descoper o soluie optim.

Date fiind X i Y, scriei un program care s determine o soluie optim de

transformare a numrului X n numrul Y. (ONI, Bacu 2001, XI-XII)

Date de intrare

Fiier de intrare TELE.IN conine dou linii: X

Y

Date de ieire

Fiier de ieire TELE.OUT conine dou linii: min

t1t2...tmin

unde:

min este un numr natural nenul, reprezentnd numrul minim de taste

acionate pentru transformarea lui X n Y.

t1t2...tmin este o succesiune de min caractere, care reprezint tastele acionate; ntre caractere nu se vor pune separatori.

Exemplu TELE.IN TELE.OUT

372 4

78 /=+6

Timp maxim de execuie/test: 1 secund

Soluie

1. S notm cu m numrul de cifre din X i cu n numrul de cifre din Y. De

asemenea vom nota Xi sufixul care ncepe cu cifra i din X (secvena de cifre


XiXi+1...Xm) i cu Yj sufixul care ncepe cu cifra j din Y (secvena de cifre

YjYj+1...Yn). Subproblemele problemei date constau n determinarea

transformrii de cost minim a lui Xi n Yj, i{1,2,...,m} i j{1,2,...,n}.

2. Pentru a reine soluiile subproblemelor vom utiliza dou matrice cm i o,

fiecare cu m linii i n coloane, avnd urmtoarea semnificaie:

cm[i][j] = numrul minim de acionri de taste necesar pentru a

transforma Xi n Yj.

o[i][j] = prima operaie ce va fi executat pentru a transforma optimal Xi

n Yj.

typedef char Operatie[3];

char x[DimMax], y[DimMax];

int cm[DimMax][DimMax];

Operatie o[DimMax][DimMax];

int n, m;

Evident, cm[1][1] reprezint numrul minim de acionri de taste necesar

pentru a transforma numrul X n numrul Y.

3. Relaia de recuren carecaracterizeaz substructura optimal a problemei este:

cm[i][j]=min

{1+cm[i+1][j], //operatia /

2+cm[i][j+1], //operatia *Y[j]

2+cm[i+1][j+1], //operatia - X[i]-Y[j], daca X[i]>Y[j]

2+cm[i+1][j+1], //operatia + Y[j]-X[i], daca X[i]


{min=1+cm[i+1][j]; strcpy(omin,"/");

if (min>2+cm[i][j+1])

{min=2+cm[i][j+1];

omin[0]='*'; omin[1]=y[j]; omin[2]=NULL;}

if (x[i]>y[j])

{if (min>2+cm[i+1][j+1])

{min=2+cm[i+1][j+1];

omin[0]='-'; omin[1]=x[i]-y[j]+'0';

omin[2]=NULL;}

}

else

if (x[i]2+cm[i+1][j+1])

{min=2+cm[i+1][j+1];

omin[0]='+'; omin[1]=y[j]-x[i]+'0';

omin[2]=NULL;}

}

else

{if (min>1+cm[i+1][j+1])

{min=1+cm[i+1][j+1]; strcpy(omin,"=");}

}

if (min>1+cm[m+1][j])

{min=1+cm[m+1][j]; strcpy(omin,"#");}

cm[i][j]=min;

strcpy(o[i][j],omin);

}

O soluie optim se obine utiliznd matricea o, a operaiilor efectuate la fiecare pas.

ofstream f("tele.out");

f


9. Codificare optimal

Fie un text de lungime maxim 100, ce conine doar litere. Textul poate fi

codificat, nlocuind apariiile consecutive ale subirurilor sale cu subirul urmat de numrul su de apariii.

Exemplu

Textul T="aaacaaacbbdefdef" poate fi codificat: "a3c1a3c1b2def2"

dar i "aaac2b2def2". Evident, cel de al doilea mod de codificare este mai scurt, deci mai convenabil.

Scriei un program care s codifice optimal un text dat (codul rezultat s fie de lungime minim).

Soluie 1. Spaiul subproblemelor problemei iniiale este format din determinarea unei

codificri optimale pentru caracterele din text de la i pn la j (T[i..j]),

0ij


Deoarece jumtatea de sub diagonala principal din matricea l este neutilizat, pentru a putea reconstitui soluia optim, o vom utiliza astfel:

l[j][i]=0, dac l[i][j]=j-i+2 l[j][i]=k, unde k este poziia de splitare a textului pentru

l[i][j]=minI

l[j][i]=-k, unde k este lungimea subirului s care se repet, pentru T[i][j]=minII.

4. Rezolvarea relaiei de recuren: for (int i=0; i


char s[DimMax];

if (!k) // cazul I

{strncpy(s,T+i,j-i+1); s[j-i+1]=NULL;

cout


Conform acestui tabel, azaleele, de exemplu, vor arta grozav n vaza 2 i

groaznic n vaza 4.

Pentru a obine cel mai plcut efect, trebuie s maximizai suma valorilor estetice ale vazelor, pstrnd ordinea buchetelor. Dac exist mai multe soluii, se cere numai una. (IOI Turcia 1999)

Restricii

1F100 unde F este numrul de buchete de flori. FV100 unde V este numrul de vaze.

-50Aij50 unde Aij este valoarea estetic care se obine punnd buchetul i n vaza j.

Timp maxim de execuie 2 secunde / test.

Date de intrare

Fiierul de intrare se numete flower.in. Prima linie conine dou numere: F

V. Fiecare din urmtoarele F linii conine cte V numere ntregi, astfel nct Aij

este al j-lea numr de pe linia (i+1) din fiierul de intrare.

Date de ieire

Fiierul de ieire flower.out conine dou linii. Prima linie conine suma valorilor estetice a aranjamentului floral. A doua linie reprezint aranjamentul

floral, ca o list de F numere, astfel nct cel de al k-lea numr de pe linie

identific vaza n care este pus buchetul k.

Exemplu flower.in flower.out

3 5

7 23 5 24 16

5 21 -4 10 23

-21 5 -4 -20 20

53

2 4 5

Soluie 1. Subproblemele problemei date constau n amplasarea optim (cu maximizarea

sumei valorilor estetice) a buchetelor 1..i n vazele 1..j, respectnd ordinea

buchetelor (i{1,2,...,F}, j{i,...,V-F+i}).

2. Pentru a reine soluiile subproblemelor vom utiliza o matrice c cu F linii i V

coloane (c[i][j]=valoarea estetic optim care se poate obine amplasnd

buchetele 1..i n vazele 1..j, respectnd ordinea buchetelor. Evident,

valoarea estetic optim se obine n c[F][V]. Pentru reconstituirea soluiei

optime, vom utiliza o matrice poz cu F linii i V coloane (poz[i][j]= vaza

n care plasm buchetul i, ntr-o amplasare estetic optim a buchetelor 1..i

n vazele 1..j).


3. Pentru a amplasa optim buchetele 1..i n vazele 1..j, respectnd ordinea

buchetelor (i{1,2,...,F}, j{i,...,V-F+i}) avem dou posibiliti

(dintre care o alegem pe cea mai convenabil): fie amplasm buchetul i n vaza

j i amplasm optimal buchetele 1..i-1 n vazele 1..j-1, fie amplasm

buchetele 1..i n vazele 1..j-1. Prin urmare, caracterizm substructura optimal a problemei prin urmtoarea relaie de recuren:

c[i][i-1]=-;, i{1,2,...,F}

c[0][j]=0; j{0,...,V}

c[i][j]=max{A[i][j]+c[i-1][j-1], c[i][j-1]}, i{1,2,...,F},

j{i,...,V-F+i}

4. Pentru implementare observm putem iniializa c[i][j] cu valoarea Aij,

astfel nct s nu mai fie necesar s utilizm o matrice suplimentar A. Rezolvm relaia de recuren n mod bottom-up astfel:

int i, j;

for (i=1; i


clientul, s coboare i s aduc n butoiul din magazin exact cantitatea solicitat de clientul respectiv (cel ce nu a fost servit) .

Clienii sunt restaurante de lux i nu cumpra mai mult de 1 hectolitru.

Cunoscnd cele n cantiti cerute de clieni, s se determine un mod de a rspunde solicitrilor astfel nct, n final, cantitatea de vin vnduta s fie maxim.

Date de intrare

Din fiierul de intrare CERERI.IN se citesc:

n numrul de clieni (n600);

c1 c2 ... cn cantitile (n litri) cerute de clieni, n ordinea sosirii lor.

Date de ieire

n fiierul VANZARI.OUT se va scrie cantitatea vndut (tot n litri).

Exemplu CERERI.IN VANZARI.OUT

4

5 3 4 2

6

Interpretare

Aciunile lui Septic sunt: refuz primul client i pune 5 litri n butoi, l refuz pe al doilea i mai pune nc 3 litri n butoi, iar pe urmtorii doi clieni i servete , realiznd o vnzare de 6 litri. (ONI Timioara 1997, X)

Soluie Subproblemele problemei date constau n determinarea cantitii maxime de vin

ce poate fi vndut lund n considerare cererile clienilor i..n, n ipoteza c

iniial avem n butoi o cantitate j. Soluiile acestor subprobleme le vom reine ntr-

o matrice v.

Relaia de recuren o obinem astfel:

v[i][0]=0, i{1,2,...,n}

v[i][j]= max{v[i+1][j+c[i]] (cazul n care clientul i este refuzat)

c[i]+v[i+1][j-c[i]], dac jc[i]

(cazul n care clientul i este servit)}

Soluia problemei iniiale o vom obine n v[1][0].

O problem de implementare o constituie dimensiunile matricei v: i variaz de

la 1 la n, deci numrul de linii este maxim 600). Numrul de coloane este determinat de cantitatea maxim care se poate acumula n butoi (n cazul cel mai

defavorabil cei 600 de clieni comand fiecare cte 100 de litri), deci numrul

maxim de coloane ar fi 60000. Nu putem aloca n memorie o matrice de

600x60000, dar observm c pentru determinarea liniei i din matricea v este


necesar numai linia i+1. Prin urmare este suficient s utilizm doi vectori de

60000 de componente v1 pentru a reine linia precedent (linia i+1) i v2

pentru a calcula linia curent (linia i). Aceti doi vectori vor fi alocai dinamic,

numrul de elemente alocate fiind max (suma tuturor cantitilor cerute de clieni):

unsigned *v1,*v2;

v1=new unsigned[max];

v2=new unsigned[max];

if(!v1 || !v2)

{ cout

Documents

programare dinamica