programare liniara

Programare liniară

Matematici aplicate in economie

17

Programare liniară Programarea liniară este un capitol important al cercetărilor operaţionale, cu o

largă aplicare în practica de zi cu zi, dar mai ales în economie.Vom ilustra câteva

direcţii de aplicare ale programării liniare in activitatea productivă.

A. Problema utilizării optime a unor resurse Se urmăreşte producerea reperelor

R1,R2,…Rn

în fabricarea cărora se utilizează materiile prime (resursele)

E1,E2,….Em (resursele mai pot fi: disponibil de forţă de muncă, disponibil de

capital, energie).

Resursele sunt disponibile în cantităţi limitate; asfel din resursa Ej dispunem

de o cantitate maximă bj, cunoscută în prealabil.

Se mai cunosc:

- consumurile tehnologice: ∀ i = n,1 şi ∀ j= m,1 aij ≥ 0 este cantitatea din

resursa Ej ce se consumă pentru a fabrica o unitate din produsul Ri;

-beneficiile unitare: ∀i= n,1 ci este suma obţinută prin vânzarea unei unităţi

de produs Ri;

-costurile unitare de achiziţie pentru materiile prime: ∀j= m,1 αj este suma

necesară cumpărării unei unităţi din materia prima Ej;

-capital total disponibil: S reprezinta suma totală disponibilă pentru achiziţionarea de resurse in vederea realizării producţiei.

Vom nota cu xi (i= n,1 ) cantitatea de produs ce va fi fabricată.

• Cunoaşterea mărimilor xi, i= n,1 reprezintă scopul final într-o problemă de

planificarea producţiei.

În aceste condiţii:

-încasările totale rezultate din vânzarea produselor sunt date de:

f(x1,x2,…xn) = ∑=

n

iii xc

1

-din resursa Ej s-a consumat în total cantitatea , ∑=

n

iiij xa

1mj ,1=∀ ;

-costul total al materiei prime Ej consumate este ∀ j = ∑=

n

iiijj xa

1α m,1 ;

Programare liniară


18

-cheltuielile totale pentru achiziţionarea tuturor materiilor prime necesare realizării

producţiei vor fi . ∑∑= =

m

j

n

ijiij xa

1 1α

Se pot prezenta două modele diferite, care au ca scop determinarea mărimilor

x1,x2,…xn.

1)Dacă unitatea are materiile prime E1,E2,….Em în cantităţile b1,b2,…bm

cunoscute, se pune problema utilizării acestora într-un mod care să conducă la

încasări totale cât mai mari.

În acest caz modelul matematic poate fi scris:

maxim f(x1,x2,…xn) = ∑ ; =

n

iii xc

1 ⎪⎩

⎪⎨⎧

=≥

=≤∑=

nix

mjbxa

i

n

ijiij

,10

,11

2)Dacă unitatea productivă dispune de un capital S, care va folosi la

achiziţionarea materiilor prime necesare pentru fabricarea produselor R1,R2,…Rn,

asfel încât încasările totale să fie cât mai mari şi să se recupereze capitalul investit.

Modelul matematic va fi :

maxim f(x1,x2,…xn) = ∑ ; =

n

iii xc

1

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=≥≥

≤

∑

∑∑

=

= =

nixSxc

Sxa

i

n

iii

n

i

m

jjiij

,10;1

1 1α

Aceste modele pot fi completate cu numeroase detalii reprezentând condiţii

suplimentare de care trebuie să se ţină seama.

B.Problema aprovizionării (cu o singură marfă) Se ia în considerare un sistem de depozite D1,D2,…Dn: în depozitul Di se află

cantitatea ai de marfă (i= n,1 ). Se ştie că această marfa este destinată unor

consumatori C1,C2,…Cm. Beneficiarul Cj are nevoie de cantitatea bj de marfă (j= m,1 ).

Notăm cu cij (0 ∞≤≤ ijc ) costul transportului unei unitaţi de marfă de la depozitul Di

la consumatorul Cj. Acest model are scopul de a determina cantitaţile xij

( mjni ,1,,1 == ) de marfă ce vor fi scoase din depozitul Di şi trimise beneficiarului Cj,

astfel încât costul transportului întregii cantităţi de produse să fie cât mai mic. Cazul

‘’cij=∞’’ arată că transportul de la Di la Cj este imposibil. Vom prezenta modele care

vor conţine ca restricţii condiţiile ca totalul mărfii extrase dintr-un depozit să nu

Programare liniară


19

depaşească marfa existentă în acel depozit, iar cantitatea totală de marfă primită de

un beneficiar să nu fie sub necesarul acelui beneficiar.

Costul total de transport are forma: . ∑∑= =

n

i

m

jijij xc

1 1

Modelele sunt : minim ; ∑∑= =

n

i

m

jijij xc

1 1

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

==∀≥

=∀=

=∀=

∑

∑

=

=

mjnix

mjbx

niax

ij

n

ijij

m

jiij

,1,,10

,1

,1

1

1

pentru problema echilibrată, în care ∑ ∑= =

=n

i

m

jji ba

1 1

şi pentru problema neechilibrată

minim ; ∑ ∑= =

n

i

m

jijij xc

1 1

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

==∀≥

=∀≥

=∀≤

∑

∑

=

=

mjnix

mjbx

niax

ij

n

ijij

m

jiij

,1,,10

,1

,1

1

1

.

C.Problema de nutriţie

Se ştie din cercetările nutriţioniştilor că un sistem de alimentaţie, într-un

anumit interval de timp trebuie să conţină anumite substanţe active, care se găsesc

în diverse tipuri de alimente.

Notăm cu Si substanţele active necesare i= m,1 ,

Aj alimentele care trebuie procurate j= n,1 şi care conţin aij cantitate

din substanţa Si pe unitatea de aliment Aj.

Notăm cu xj cantitatea din alimentul Aj, cu cj costul unitar al alimentului Aj şi cu

bi necesarul din substanţa Si.

Se pune problema: care sunt cantităţile de alimente xj, care pot fi procurate

mai ieftin, fără abatere de la alimentaţia ştiinţifică.

Modelul matematic este:

minim f(x1,x2,…xn) = ; ∑=

n

iii xc

1 ⎪⎩

⎪⎨⎧

=≥

=≥∑=

nix

mibxa

i

n

jijij

,10

,11 .

Programare liniară


20

Un model asemănător cu acesta prezentat mai sus este problema

amestecurilor de benzine, impunând drept condiţie alegerea celor mai ieftine

amestecuri cu condiţia obţinerii unui produs final cu anumite caracteristici tehnice

(putere calorică, temperatură de aprindere, grad de rafinare) care să fie inferioare

sau superioare unor anumite mărimi prestabilite. Se poate rezolva şi problema

alcătuirii celui mai ieftin amestec din diferite sortimente de cărbune pentru încălzirea

cazanelor cu aburi, cu anumite caracteristici tehnice.

O problema de programare liniară (model de programare liniară) este formata

din:

- o funcţie obiectiv (funcţie scop) care este o funcţie liniară reala cu variabilele

x1,x2,…xn

f(x1,x2,..xn)=c1x1+c2x2+…..+cnxn

- un sistem de restricţii format din ecuaţii şi inecuaţii liniare

- condiţii asupra variabilelor

( de obicei, condiţii de nenegativitate x1 0≥ ,x2 0≥ ,…xn 0≥ )

- un criteriu de optim, care poate fi ‘’minim’’ sau ‘’maxim’’.

Vom folosi matricele

C= , b = , A = , X = . (1)

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

nc

c

.

.1

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

mb

b

.

.1

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

mnm

n

aa

aa

..........

..

1

111

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

nx

x

.

.1

Se numeşte o restricţie concordantă , o restricţie care:

- în problemele de maxim are semnul “≤ ”

- în problemele de minim are semnul “ ” . ≥

În celelalte cazuri restricţiile se numesc neconcordante.

Din modelele prezentate mai sus s-au dedus două forme particulare ale problemei

de programare liniară, numite forme canonice.

Programare liniară


21

Acestea sunt:

[max] f =TCX; (2) ⎩⎨⎧

≥≤0XbAX

şi [min] f =TCX ; . (3) ⎩⎨⎧

≥≥0XbAX

Am notat cu ‘’X ”, condiţiile care arată că toate componentele vectorului X sunt

nenegative.

0≥

Observaţie. În formele canonice (2) sau (3) ale problemei de programare

liniară, restricţiile sunt concordante.

Se numeşte forma standard a problemei de programare liniară, forma

[min] f =TCX ( sau [max] f = TCX ); . (4) ⎩⎨⎧

≥=0XbAX

Evident că sistemul de restrictii AX=b poate fi incompatibil, compatibil unic

determinat sau compatibil nedeterminat. Numai ultimul caz este cu adevărat

interesant, pentru că numai atunci se pune efectiv problema de a alege din mai

multe soluţii pe cea bună.

Pentru a aduce o problema de programare liniară la forma standard, singura

forma pe care ştim să o rezolvăm, vom adăuga sau scădea noi variabile pozitive

in restrictiile problemei, numite variabile de compensare sau variabile de ecart.

Observaţii.

1) Se poate trece de la o problemă de maxim la una de minim folosind relaţia:

max f = - min (-f ) si invers.

2) Dacă problema de programare liniară nu are forma canonica, atunci se

adaugă sau se scad variabilele de compensare, după cum cere restricţia respectivă.

Exemplu. Să se aducă la forma standard problema de programare liniară

următoare

Programare liniară


22

[max] f = 16x1+20 x2 –2x3+3x4 ; ⎪⎩

⎪⎨

⎧

=≥≥+−≤−++

4,1,010022002

421

4321

jxxxxxxxx

j

Se adaugă o variabilă de compensare la prima restricţie şi se scade o variabilă din a

doua restricţie. Forma standard este

[max] f = 16x1+20 x2 –2x3+3x4; ⎪⎩

⎪⎨

⎧

=≥=−+−=+−++

6,1,010022002

6421

54321

jxxxxx

xxxxx

j

.

Se poate demonstra că orice problemă de programare liniară se poate aduce

la forma standard şi că aceasta are aceleaşi soluţii ca şi problema iniţială.

Soluţiile unei probleme de programare liniară Fie problema de programare liniară (P.L)

[min] f =TCX ; . ⎩⎨⎧

≥=0XbAX

• Un vector X0∈Rn care verifică sistemul de restricţii AX=b, cât şi condiţiile de

nenegativitate X 0 ale unei (P.L) se numeşte soluţie posibilă a problemei

(admisibilă sau realizabilă sau “program”).

≥

• O soluţie posibilă X0 cu numărul de componente nenule, r≤m, iar vectorii matricei

A care corespund componentelor nenule sunt liniar independenţi, se numeşte

soluţie de bază; dacă r< m, soluţia de bază se numeşte degenerată.

• Un vector X0∈Rn, soluţie posibilă pentru (P.L) se numeşte soluţie optimă

(“program optim’’) a problemei (P.L) dacă optimizează funcţia f, adică dacă

pentru orice soluţie posibilă X are loc relaţia TC X0 ≤ TCX.

Toţi algoritmii de rezolvare a unei probleme liniare au o caracteristică

comună: metoda iterativă - se porneşte de la o soluţie posibilă iniţială care se

modifică treptat, până când funcţia de eficienţă devine optimă sau se dovedeşte că

optimul nu există. Esenţa fiecărei metode este determinarea soluţiei iniţiale şi

îmbunatăţirea ei cu un algoritm de calcul. Noi vom prezenta algoritmul lui Dantzig

numit algoritmul simplex.

Metoda simplex, pentru prima dată publicată de americanul G. B. Dantzig în

1947, presupune analizarea anumitor soluţii realizabile de bază şi trecerea de la o

Programare liniară


23

soluţie la alta mai bună, prin schimbarea unui vector din bază. Mai exact, se

porneşte de la o soluţie realizabilă de bază (care se deduce cât mai simplu posibil),

se testează optimalitatea acestei solutii folosind un test de optimalitate. Dacă soluţia

este optimă metoda ia sfârşit, dacă nu, se trece la o altă soluţie de bază,

corespunzătoare unei baze care diferă de precedenta printr-un singur vector.

Alegerea vectorului se face prin criteriul de intrare în bază. Vectorul, pe care acesta

îl înlocuieşte se alege conform criteriului de ieşire din bază.

Criteriul de ieşire din bază se deduce din condiţia de admisibilitate a noii

soluţii; criteriul de intrare în bază se obţine din condiţia ca noua soluţie să

îmbunătăţească valoarea funcţiei de eficienţă.

Determinarea unei soluţii iniţiale de bază Fie problema de programare liniară cu forma canonică:

max f=c1x1+c2x2+…+cnxn ;

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

≥≥≥≤+++

≤+++≤+++

0.....,0,0...

.................................................

21

2211

22222121

11212111

n

mnmnmm

nn

nn

xxxbxaxaxa

bxaxaxabxaxaxa

şi presupunem că toţi termenii liberi sunt pozitivi, adică b1 ≥ 0,...,bm ≥ 0, adăugăm

variabilele de compensare: xn+1,xn+2,…xn+m ≥0 şi se obţine forma standard:

max f=c1x1+c2x2+…+cnxn; .

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

≥≥≥=++++

=++++=++++

+

+

+

+

0.....,0,0...

.................................................

21

2211

222222121

111212111

mn

mmnnmnmm

nnn

nnn

xxxbxxaxaxa

bxxaxaxabxxaxaxa

Rangul matricei sistemului de ecuaţii de mai sus este m, deoarece matricea

sistemului conţine exact m vectori unitari, pe care îi vom nota: an+1,an+2,…,an+m.

O soluţie de bază trebuie să aibă maxim m componente nenule. Drept

soluţie iniţială vom lua o soluţie foarte uşor de determinat şi anume: x1=x2-

=….=xn=0, xn+1=b1, xn+2=b2,…, xn+m=bm.

Cum toate componentele termenului liber sunt pozitive, rezultă că soluţia

sistemului de restricţii al problemei de programare liniară:

XT=(0,0,…,0,b1,b2,…bm)∈Rn+m serveşte drept soluţie iniţială de bază.

Programare liniară


24

Observaţie. Se ştie că problema de programare liniară se poate aduce mereu

la forma standard, totuşi condiţia suplimentară b1 ≥ 0 ,...,bm≥0 face ca întotdeauna

soluţia iniţială să poată fi dedusă ca mai sus.

Metoda simplex are în vedere testarea optimalităţii soluţiei de bază (iniţiale)

curente; în caz că soluţia este optimă, algoritmul se opreşte; dacă nu este optimă,

soluţia se modifică prin modificarea unui vector din baza curentă, aplicând criteriul

de intrare în bază; acest nou vector care se alege prin criteriul de intrare în bază,

înlocuieşte un vector din vechea bază, care se alege prin criteriul de ieşire din bază.

Noua soluţie se calculează utilizând metoda Gauss-Jordan. Această soluţie

se va testa la rândul ei, cu criteriul de optimalitate, etc. Algoritmul ia sfârşit după un

număr finit de paşi.

Organizarea calculelor - tabelul simplex Presupunem, fara a reduce generalitatea, că baza curentă B este formată din

primii m vectori ai matricei sistemului de restricţii din forma standard, a1,a2,…,am,

deci primele m componente ale soluţiei x1,x2,…,xm sunt diferite de 0.

Vom nota CB subvectorul lui C format cu componentele lui C corespunzătoare bazei

B. Se observă că vectorii bazei se exprimă în felul următor în baza B:

a1=1⋅a1+0⋅a2+…+0⋅am;a2=0⋅a1+1⋅a2+…+0⋅am;….,am =0⋅a1+0⋅a2+…+1⋅am.

De asemenea, aşa cum am văzut mai sus, toţi vectorii care nu aparţin

bazei se pot exprima prin:

ja

, ∀ j=mj

mjj

j aaaa ααα +++= ......2211 nmm ++ ,1 .

Tabelul simplex pentru baza curentă este următorul:

c1 c2…cr…cm…cj… cm+n θ

CB B xB a1 a2…ar…am…aj… am+n

c1 a1 x1 1 0…..0….0….α1j… α1

m+n

c2 a2 x2 0 1…..0….0….α2j… α2

m+n

. . . ………………………………

cr ar xr 0 0…..1…0…..αrj…. αr

m+n

. . . ……………………………..

cm am xm 0 0…..0…1…..αmj…. αm

m+n

Δk f0 0…0….0….0… Δj … Δm+n

Programare liniară


25

Reguli practice pentru aplicarea algoritmului simplex

1.Criteriul de optimalitate. Dacă toate diferenţele Δk=ck-fk (pentru problema

de maxim) sau Δk= fk-ck (pentru problema de minim) corespunzătoare vectorilor care

nu sunt în baza curentă B sunt negative sau egale cu 0, soluţia XB este optimă şi

algoritmul se opreşte. (fk=TCB⋅aB k)

2.Criteriul de intrare in bază. Dacă cel puţin una dintre diferenţele

corespunzătoare vectorilor care nu se află în baza curentă, este pozitivă, Δk=ck-fk>0

(pentru problema de maxim) sau Δk =fk-ck>0 (pentru problema de minim), atunci

soluţia XB nu este optimă. Se alege max { Δ k | Δ k >0} = Δj . Vectorul aj intră în

bază.

Criteriu de optim infinit. Dacă toate componentele vectorului care intră în

bază (la o anumită iteraţie a simplexului) sunt negative sau nule, problema admite

optim infinit.

3.Criteriul de ieşire din bază. Se aplică după aplicarea criteriului de intrare

în bază. Se adaugă o nouă coloană în tabelul simplex, coloana θ, în care se scriu

rapoartele jk

kxα

, pentru care > 0. Se alege raportul minim: jkα

min ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⟩0, jkj

k

kxα

α= j

r

rxα

care indică vectorul ar care iese din bază.

4.Stabilirea pivotului. La intersecţia liniei vectorului ar, care iese din bază, cu coloana vectorului aj, care

intră în bază, se află pivotul > 0, care se foloseste în metoda lui Gauss-Jordan jrα

pentru obţinerea noului tabel simplex.

Elementele noului tabel simplex se vor calcula astfel:

-linia pivotului se împarte la pivot;

-coloana pivotului are elementele egale cu 0, cu excepţia elementului de pe locul

pivotului, care este 1;

-celelalte elemente se calculează după regula dreptunghiului: pentru calculul unui

element se formează un dreptunghi care intr-un vârf are pivotul, în vârful opus

Programare liniară


26

elementul pe care vrem să-l înlocuim din vechiul tabel; acest dreptunghi se

calculează ca un determinant de ordin 2, dar cu precizarea că diagonala care se ia

cu semnul + este mereu cea pe care se află pivotul.Valoarea obtinuta se împarte la

pivot si astfel se calculeaza fiecare element din noul tablou simplex.

Se obţine o nouă soluţie. Noua bază B1, va conţine în locul lui ar vectorul aj, iar

coloana lui aj va deveni vector unitar, cu coordonata de ordin r egala cu 1 şi celelalte

0.

E xem plu.Să se rezolve problema de programare liniară, utilizând algoritmul

simplex: max f = 5x1 + 4x2 + 3x3

x1 + 2x2 + 2x3 ≤ 10

2x1 + x2 ≤ 8

2x2 - x3 ≤ 8 x1, x2 ,x3 ≥ 0.

Soluţie. Se aduce problema la forma standard, adăugându-se variabilele de

compensare x4, x5, x6 ≥ 0. Funcţia de eficienţă rămâne neschimbată.

max f = 5x1 + 4x2 + 3x3+0x4+0x5+0x6

x1 + 2x2 + 2x3 + x4 =10

2x1 + x2 +x5 = 8

2x2 - x3 +x6 = 8 xj ≥ 0 , j= 6,1 .

Baza iniţială este baza unitară, formată cu vectorii coloană a4,a5,a6 din

matricea sistemului de restricţii. Soluţia iniţială de bază se alege astfel: x1=x2=x3=0,

x4=10(din prima restricţie), x5=8(din a doua restricţie), x6=8(din a treia restricţie).

Construim tabelul simplex iniţial, în care apare soluţia iniţială de bază, matricea

sistemului de restricţii, baza initiala:

c1= 5 c2= 4 c3= 3 c4= 0 c5 =0 c4 =0

CB B XB a1 a2 a3 a4 a5 a6 θ

0 a4 10 1 2 2 1 0 0 10/1

0 a5 8 (2) 1 0 0 1 0 8/2→

0 a6 8 0 2 -1 0 0 1 -

Δk=ck-fk 0 Δ1=5↑ Δ2=4 Δ3=3 Δ4=0 Δ5 =0 Δ6 =0

Ultima linie a diferenţelor se calculează conform definiţiei , astfel:

Programare liniară


27

f1 = CBT a1 =(0, 0, 0) =0 ; c

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

021

1-f1= 5 – 0 =5

f2 = CBT a2 =(0, 0, 0) =0; c

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

212

2 – f2 = 4 - 0=4

f3= CBT a3 =(0, 0, 0) =0; c

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−102

3 – f3 = 3 - 0=3;f4=0; c4-f4=0; f5=0, c5-f5 =0; f6=0, c6-f6=0.

Criteriul de optimalitate se aplică după calcularea diferenţelor Δj. Soluţia nu

este optimă, deoarece nu toate diferenţele sunt negative sau egale cu 0. Vom

schimba baza curentă, prin inlocuirea unui vector în bază. Criteriul de ieşire din bază

indică alegerea max { 5,4,3 } = 5 =c1–f1, deci vectorul a1 intră în bază, j=1. Vom

stabili vectorul care iese din bază şi pentru aceasta adăugăm coloana θ.

Criteriul de ieşire din bază arata ca vectorul care va fi inlocuit in baza este a5,

deoarece min {10,4} = 4= 15

5

αx . Pivotul iteraţiei este 2. Noua bază va fi formată din

vectorii a4, a1, a6.

Calculul elementelor noului tabel se va efectua cu metoda Gauss - Jordan.

Tabloul simplex este urmatorul:

c1= 5 c2= 4 c3= 3 c4= 0 c5 =0 c4 =0


0 a4 6 0 3/2 (2) 1 -1/2 0 3→

5 a1 4 1 1/2 0 0 1/2 0 -

0 a6 8 0 2 -1 0 0 1 -

Δk=ck-fk 20 Δ1 =0 Δ2 =3/2 Δ3 =3↑ Δ4 =0 Δ5 =-5/2 Δ6 =0

Soluţia indicată de acest tabel este XT=(4,0,0,6,0,8), iar valoarea funcţiei este

de 20. Aplicăm iar criteriile de optimalitate pentru a studia această soluţie .

Linia diferenţelor arată că soluţia nu este optimă şi intră în bază a3; coloana lui θ

arată ieşe din bază vectorul a4. Pivotul este 2.Noua bază va fi formată din vectorii a3,

a1, a6. Iteraţia corespunzătoare este dată de tabelul de mai jos:

Programare liniară


28

c1= 5 c2= 4 c3= 3 c4= 0 c5 =0 c4 =0


3 a3 3 0 3/4 1 1/2 -1/4 0

5 a1 4 1 1/2 0 0 1/2 0

0 a6 11 0 11/4 0 1/2 -1/4 1

Δk=ck-fk 29 Δ1 =0 Δ2=-3/4 Δ3 =0 Δ4=-3/2 Δ5 =-7/4 Δ6 =0

Soluţia corespunzătoare este XT = (4,0,3,0,0,11), iar valoarea functiei de eficienţă

este 29.Testul de optimalitate indică faptul că această soluţie este optimă.

Determinarea unei soluţii iniţiale de bază, când problema are forma canonică: min f=c1x1+c2x2+…+cnxn

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

≥≥≥≥+++

≥+++≥+++

0.....,0,0...

.................................................

21

2211

22222121

11212111

n

mnmnmm

nn

nn

xxxbxaxaxa

bxaxaxabxaxaxa

Presupunem că termenii liberi sunt pozitivi: b1 ≥ 0 ,b2 ≥ 0,…, bm ≥ 0.

Aducem problema la forma standard:

min f=c1x1+c2x2+…+cnxn

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

+=≥=++++

=−+++=−+++

+

+

+

mnjxbxxaxaxa

bxxaxaxabxxaxaxa

j

mmnnmnmm

nnn

nnn

,1,0...

.................................................

2211

222222121

111212111

Dacă procedăm ca in cazul anterior, vom lua drept soluţie iniţială de bază, soluţia:

x1=x2=….=xn=0, xn+1= -b1,xn+2= - b2,…,xn+m= - bm,

însă acesta nu este şi realizabilă, pentru că ea nu satisface condiţiile algoritmului

simplex.

Pentru a obţine o soluţie admisibilă de bază, vom introduce în fiecare

egalitate o nouă variabilă pozitiva, care să înlesnească alegerea soluţiei iniţiale.

Aceste m variabile pe care le introducem se numesc variabile artificiale, iar metoda

de lucru pe care o expunem se numeşte metoda variabilelor artificiale sau

metoda penalizării .

Programare liniară


29

Se modifică şi funcţia de eficienţă astfel :

-dacă problema este de minim, atunci se adaugă la funcţia de eficienţă iniţială,

variabilele artificiale cu coeficienţii de penalizare M (M pozitiv, foarte mare);

-dacă problema este de maxim, atunci se adaugă la funcţia de eficienţă iniţială,

variabilele artificiale cu coeficienţii de penalizare -M (negativ, -∞)

Astfel, după adăugarea variabilelor artificiale xn+m+1, xn+m+2,… xn+2m sistemul

de restricţii devine :

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

+=≥=+++++

=+−+++=+−+++

++

+++

+++

mnjxbxxxaxaxa

bxxxaxaxabxxxaxaxa

j

mmnmnnmnmm

mnnnn

mnnnn

2,1,0...

.................................................

22211

2222222121

1111212111

.

Soluţia iniţială de bază pentru problema cu restricţiile de mai sus poate fi

acum una convenabilă şi anume: x1=x2=….=xn=…=xn+m=0,

xn+m+1=b1,xn+m+2=b2,…xn+2m=bm.

Iniţial, variabilele artificiale sunt în bază; le putem elimina treptat din bază

dacă asociem fiecarei variabile artificiale un coeficient foarte mare în funcţia de

eficienţă, practic ∞, care se numeşte coeficient de penalizare si se notează cu M.

În concluzie, funcţia de eficienţă se modifică, devenind:

min w = c1x1+c2x2+…+cnxn+Mxn+m+1+Mxn+m+2+…Mxn+2m.

Dacă totuşi, la finalul rezolvării problemei de programare liniară prin metoda

variabilelor artificiale cel putin una din variabilele artificiale are vector în baza

optimă, rezultă că problema dată nu admite soluţie.

Exemplu.

Să se rezolve problema de programare liniară, utilizând algoritmul simplex:

min f = 4x1 + 3x2 + 5x3

2x1 + x2 -5x3 ≥300;

x1 + x2 + x3 ≥ 75; x1, x2 ,x3 ≥ 0.

Soluţie. Aducem problema la forma standard fără a modifica f

min f = 4x1 + 3x2 + 5x3

2x1 + x2 -5x3 – x4 =300

x1 + x2 + x3 - x5 = 75; xj ≥ 0 5,1=j .

Programare liniară


30

Vom adăuga variabilele artificiale x6, x7, introducându-le în restricţii cu

coeficientul 1 şi în funcţia de eficienţă cu coeficientul de penalizare M:

min w = 4x1 + 3x2 + 5x3+Mx6+Mx7

2x1 + x2 - 5x3 – x4+ x6 =300

x1 + x2 + x3 - x5 + x7= 75

xI ≥ 0, l=1,7.

Soluţia iniţială de bază este x1=x2=x3=x4=x5=0, x6=300, x7=75.

Calculele aferente algoritmului simplex sunt redate în tabelul următor. Pentru calculul

liniei diferenţelor şi stabilirea criteriilor de optimalitate şi de intrare în bază se

foloseşte Δj=fj–cj. La prima iteraţie, se calculeaza max {Δ1=3M–4, Δ2=2M-3}=Δ1, a1

intră în bază.

c1= 4 c2= 3 c3= 5 c4= 0 c5= 0 c6= M c7= M

CB B XB a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 θ

M a6 300 2 1 - 5 -1 0 1 0 150

M a7 75 (1) 1 1 0 - 1 0 1 75→

Δk=fk- ck 3M-4↑ 2M-3 -4M-5 - M - M 0 0

M a6 150 0 -1 -7 -1 (2) 1 - 75

4 a1 75 1 1 1 0 -1 0 - -

Δk=fk- ck 0 -M+1 -7M-1 -M 2M-4↑ 0 -

0 a5 75 0 -1/2 -7/2 - 1/2 1 - -

4 a1 150 1 1/2 - 5/2 - 1/2 0 - -

Δk=fk- ck 600 0 -1 - 15 -2 0 - -

O variabilă artificială care iese din bază, nu va mai intra în bază, fapt care justifică

eliminarea din calcul a coloanelor a7 şi a8 din tabelul de mai sus.

Soluţia optimă a problemei este: x1=150, x2=x3=x4=0, x5=75, min f =600.

Soluţie optimă multiplă.Calcul soluţiei optime generale

Dacă o problemă de programare liniară are mai multe soluţii optime de bază, atunci

orice combinaţie liniară convexă a acestor soluţii este de asemenea o soluţie optimă.

O soluţie este multiplă dacă în iteraţia optimă Δj=0 pentru un vector aj care nu

aparţine bazei, atunci este posibil să introducem în bază vectorul aj pentru a

determina altă soluţie optimă care va conduce la aceeaşi valoare a funcţiei de

eficienţă.

Programare liniară


31

Exemplu. Se face un amestec de uleiuri minerale U1,U2,U3,U4, în vederea obtinerii unui

produs finit cu anumite calităţi şi în cantitate de cel puţin 800 l. Amestecul trebuie să

conţină substanţele S1 şi S2 în cantitate de cel puţin 18000 g, respectiv 21000

g.Conţinutul de substanţe S1 şi S2 ale fiecărui tip de ulei şi costurile unitare sunt date

in tabelul urmator:

Uleiuri (conţinut în g/ l)

Substanţe

U1

U2

U3

U4

Necesar (g)

S1 20 10 30 20 18000

S2 10 20 10 30 21000

Cost unitar(Mii u.m./t) 5 4 4,5 3

Cum trebuie făcut amestecul cu cost total minim? Ce cantitate din fiecare ulei trebuie

pusă in acest amestec?

Soluţie.

Fie xi, 4,1=i cantităţile din uleiurile Ui care trebuie puse în amestec. Funcţia de

eficienţă este costul total al amestecului. Ea trebuie minimizată:

min f = 5 x1+4x2+4,5 x3+3x4 (mii u.m.)

Restricţia referitoare la cantitate este:

x1+x2+x3+x4 ≥ 800.

Celelalte două restricţii se referă la substanţele S1 şi S2 necesare

amestecului:

20 x1+10x2+30x3+20x4 ≥ 18000

10 x1+20x2+10x3+30x4 ≥ 21000.

Condiţiile de nenegativitate asupra variabilelor sunt:x1 ,x2 , x3, x4 ≥ 0.

Deci, modelul matematic al problemei de amestec este :

min f = 5x1+4x2+4,5 x3+3x4

x1+x2+x3+x4 ≥ 800; 20 x1+10x2+30x3+20x4 ≥ 18000;10 x1+20x2+10x3+30x4 ≥ 21000

x1 ,x2 , x3 , x4 ≥ 0.

Împărţim cu 10 restricţiile doi şi trei si se aduce problema la forma standard :

Programare liniară


32

min f =5 x1+4x2+4,5 x3+3x4

x1+x2+x3+x4 –x5 = 800

2 x1+x2+3x3+2x4 – x6 = 1800

x1+2x2+x3+3x4 – x7 = 2100; xj ≥ 0, 7,1=j

Pentru a reduce calculele, vom scădea din ecuaţia cu termenul liber cel mai mare,

pe rând fiecare dintre ecuaţiile sistemului de restricţii, adică din ecuaţia a treia se

scade prima şi apoi a doua şi astfel se obţine un sistem echivalent cu cel dat.

Matricea ataşată acestui ultim sistem este :

A= ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−−−−

100312111012111012010

conţine doi vectori unitari a5 şi a6; nu este nevoie pentru determinarea soluţiei iniţială

de bază decât de o singură variabilă artificială, x8 şi va fi adăugată la ultima restricţie.

Problema de programare liniară devine :

min f =5 x1+4x2+4,5 x3+3x4+Mx8

x2 +2x4 +x5 –x7 = 1300

- x1+x2 - 2x3+x4 + x6 – x7 = 300

x1+2x2+x3+3x4 – x7 +x8= 2100; xj ≥ 0, j=1,..,8.

5 4 4,5 3 0 0 0 M

CB B XB a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 θ

0 a5 1300 0 1 0 2 1 0 -1 0 650

0 a6 300 -1 1 -2 (1) 0 1 -1 0 300→

M a8 2100 1 2 1 3 0 0 -1 1 700

Δk=fk- ck M-5 2M-4 M-4,5 3M-3↑ 0 0 -M 0

0 a5 700 2 -1 4 0 1 -2 1 0 700/4

3 a4 300 -1 1 -2 1 0 1 -1 0 -

M a8 1200 4 -1 (7) 0 0 -3 2 1 1200/7→

Δk=fk–ck 4M-8 -M-1 7M-0,5↑ 0 0 -3M+3 2M-3 0

0 a5 100/7 -2/7 -3/7 0 0 1 -2/7 -1/7 -

3 a4 4500/7 1/7 5/7 0 1 0 1/7 -3/7 -

4,5 a3 1200/7 4/7 -1/7 1 0 0 -3/7 2/7 --

Δk=fk–ck 2700 -2 -2,5 0 0 0 -1,5 0*

Programare liniară


33

Soluţia optimă este XoT=(0,0,

71200 ,

74500 ,

7100 , 0 ,0), iar valoarea minimă a funcţiei

de eficienţă este f min = 2700.

Pe linia diferenţelor f7- c7 = 0, fără ca vectorul a7 să fie în bază. Pentru a determina o

altă soluţie optimă vom introduce în bază vectorul a7 şi vom construi un nou tabel

simplex

5 4 4,5 3 0 0 0

CB B XB a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 θ

0 a5 100 0 -1/2 1/2 0 1 -1/2 0

3 a4 900 1 1/2 3/2 1 0 -1/2 0

0 a7 600 2 -1/2 7/2 0 0 -3/2 1

Δk =fk –ck 2700 -2 -2,5 0 0 0 -1,5 0

Soluţia optimă obţinută este X1T=( 0 , 0 , 0, 900, 100, 0 , 600) .

Se poate construi o combinaţie liniară convexă a celor două soluţii optime care

reprezintă soluţia optimă generală:

X(λ) = λX0+(1-λ)X1, λ∈[0,1]

Pentru orice λ∈[0,1], f(X(λ))=4,5⋅ λ7

1200 +3⋅(900 - λ7

1800 ) = 2700, adică valoarea

funcţiei de eficienţă rămâne minimă.

Rezolvarea unei probleme de programare liniară care nu are forma canonica. In acest caz, se aduce problema la forma standard, cu toţi termenii liberi

ai sistemului de restricţii pozitivi. Matricea sistemului corespunzător problemei adusă

la forma standard va indica care sunt vectorii coloană unitari existenţi si daca este

necesar se va aplica metoda penalizării.

Vom construi tabelul simplex, cu baza iniţială formată din vectori unitari, care pot fi:

- vectori corespunzători variabilelor problemei sau

- vectori corespunzători variabilelor de compensare sau

- vectori corespunzători variabilelor artificiale.

Exemplu. Să se rezolve problema de programare liniară:

max f = 10x1 + 6x2 -2x3+ 4x4

2x1 + x2 -2x4 =300

2x2 + x3+x4 ≤ 600

x1 +2x2+ x3 +x4 ≥ 120 ; x1, x2 ,x3 ,x4 ≥ 0.

Programare liniară


34

Soluţie. Aducem problema la forma standard, prin adăugarea variabilelor de

compensare x5 şi x6:

2x1 + x2 -2x4 = 300 2x2 +x3+ x4 +x5 = 600 x1 +2x2+ x3 + x4 - x6 = 120; xj ≥ 0, j= 6,1 .

Matricea sistemului de restricţii este acum : A= . ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−

−

101121011120002012

Ea conţine un singur vector unitar, vom adăuga două variabile artificiale, notate x7 şi

x8 la restricţia întâi şi a treia. Astfel, problema devine:

max f = 10x1 + 6x2 -2x3+ 4x4 -Mx7 – Mx8 2x1 + x2 -2x4 +x7 = 300 2x2 +x3+ x4 +x5 = 600 x1 +2x2+ x3 + x4 -x6 +x8 = 120; xj ≥ 0, j= 8,1 . Acum baza iniţială va fi formată din vectorii unitari a5,a7, a8

10 6 -2 4 0 0 -M -M

CB B XB a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 θ

-M a7 200 (2) 1 0 -2 0 0 1 0 100→

0 a5 600 0 2 1 1 1 0 0 1 -

-M a8 120 1 2 1 1 0 -1 0 0 120

cj-fj 10+3M↑ 6+3M -2+M 4-M 0 -M 0 0

10 a1 100 1 1/2 0 -1 0 0 - 0 -

0 a5 600 0 2 1 1 1 0 - 0 600

-M a8 20 0 3 /2 1 (2) 0 -1 - 1 10→

cj-fj 0 3/2M+1 -2+M 2M+14↑ 0 -M - 0

10 a1 110 1 5/4 1/2 0 0 - 1/2 - - -

0 a5 590 0 5/4 1/2 0 1 (1/ 2) - - 1180→

4 a4 10 0 3/4 1/2 1 -1/2 - - -

cj-fj 1140 0 -19/2 -9 0 0 7↑ - -

10 a1 700 1 5/2 1 0 1 0 - -

0 a6 1180 0 5/2 1 0 2 1 - -

4 a4 600 0 2 1 1 1 0 - -

cj-fj 9400 0 -27 -16 0 -14 0

Solutia optima este XT=( 700 , 0 , 0, 600, 0, 1180 ).

Programare liniară


35

Exemplu de problemă care nu admite soluţie Să se rezolve problema de programare liniară, utilizând algoritmul simplex:

max f = 2x1 + x2 + 2x3

5x1 + x2 + x3 ≤ 20

-x1 + x2 + x3 = 30 ; x1, x2 ,x3 ≥ 0.

Soluţie. Aducem problema la forma standard adăugând variabila de compensare x4

la restricţia întâi şi variabila artificială x5 la restricţia a doua .

max w = 2x1 + x2 + 2x3 - Mx5

5x1 + x2 + x3+ x4 =20

-x1 + x2 + x3 +x5 =30; xj ≥ 0 5,1=j .

c1=2 c2=1 c3=2 c4=0 c4= - M

CB B XB a1 a2 a3 a4 a5 θ

0 a4 20 5 1 (1) 1 0 20→

-M a5 30 -1 1 1 0 1 -

cj-fj 2-M 1+M 2+M↑ 0 0

2 a3 20 5 1 1 1 0

-M a5 10 -6 0 0 -1 1

cj-fj -8-6M -1 0 -2-M 0

Ultima iteraţie a tabelului de mai sus indică optimalitatea soluţiei datorită faptului că

toate diferenţele sunt Δj = c j- fj sunt negative sau 0.

Totuşi variabila artificială x5 , a rămas în bază cu valoarea 10, x5≠0; deci problema

initiala nu admite soluţie.

Probleme propuse

1. O întreprindere fabrică trei tipuri de produse folosind gaz metan şi apă.

Consumurile specifice, disponibilul de apă şi gaz, precum şi beneficiile nete unitare

sunt date în tabelul de mai jos:

Produse Consumuri specifice

Resurse P1 P2 P3 Disponibil

Apă 2 3 2 40.000 t

Gaz metan 10 50 30 500.000 mc

Beneficiu unitar 10 15 25

Programare liniară


36

a) Cum se organizează producţia, dacă se urmăreşte maximizarea

beneficiului total?

b) Dacă îşi propune acelaşi scop, cu aceleaşi resurse, dar trebuie să

producă cel puţin 3000 unităţi din P1,cum trebuie organizată producţia?

2. Să se rezolve problemele:

a) min f = 3x1 - 2x2 + x3 b) max f = 3x1 + 2x2 – x3 +16 x4

3x1 + x2 - 2 x3 = 2 3x1+2x2+5x3+4x4≤ 8

4x1 +3x2 +2 x3= 1 x1+x2+2x3+x4 ≤ 4

x1, x2 , x3 ≥ 0 x1, x2 , x3 ,x4 ≥ 0 .

3. O maşină produce trei produse P1,P2,P3.Produsul P1 aduce întreprinderii un venit

de 3 u.m. pe unitatea de produs, P2 de 12 u.m. iar P3 de 4 u.m. Randamentul maşinii

este de 75, 25 şi respectiv 50 bucăţi/oră pentru P1,P2,P3. Vânzările sunt limitate

pentru P1 la 1500, pentru P2 la 500 şi pentru P3 la 1000 bucăţi.Ştiind că maşina

lucreză săptămânal 45 ore, să se determine repartiţia producţiei, astfel încât

beneficiul să fie maxim.

4.Să se rezolve următoarele probleme de programare liniară:

a) min f = 4x1 + 8x2 +3x3 b) max f = 10 x1 +15 x2

2x1 + x2 +3x3 ≥ 4 2x1 +4x2 ≤ 40

5x1 + 2x2 +7x3 ≥ 8 6x1 +2x2 ≤ 60

x1, x2,x3 ≥ 0 x1, x2 ≥ 0

c) max f = 4x1 + x2 +6 x3 d) min f = x1 +3x2 –4x3 - 2x4 -9x5

2x1 +3x2 +x3 ≥ 7 x1 + x3 – x4 – x5 = 3 3x1 + x2 +x3 ≤ 11 x1 +x2 –2x3 - 3x5 = -1

x1, x2, x3 ≥ 0 x1, x2, x3 ,x4, x5 ≥ 0

e) min f = 9x1 + 3x2 +2 x3 f) max f = x1 + 2x2 +3x3 - x4

4x1 + x2 +5 x3 = 7 x1 +2x2 +3x3 =15

3x1 + x2 +4 x3 ≥ 5 2 x1+ x2 + 5x3 =20

x1, x2 , x3 ≥ 0 x1 +2x2 + x3 +x4 =10; x1, x2 ,x3,x4 ≥ 0.

g) max f = x1 + 3x2 +6x3 h) min f = 6x1 + x2

5x1 +2x2 +3x3 =11 x1 +2 x2 ≥ 3

3x1 + x2 +2x3 ≤ 8 3x1 + x2 ≥ 4

x1, x2 , x3 ≥ 0 x1, x2 ≥ 0

Programare liniară


37

5. Să se determine valoarea maximă şi minimă a funcţiei

f = 9x4 -14x5 -8 x6

cu restricţiile

x1 + x4 – x5 – x6 = 2

x2 - 5x4 + 4x5 + 7x6 = 2

x3 + 2x3 + x5 – x6 = 5

x1, x2, x3 ,x4, x5, x6 ≥ 0

6. Să se determine maximul funcţiei f = x1 + 2x2 +2x3 +x4 cu restricţiile

x1 – x3 + 21 x4 = 1;

x2 + x3 – x4 = 1;

x1, x2, x3 ,x4 ≥ 0

7. Să se determine minimul funcţiei f = x2 -2 x3 + 2 x5

in condiţiile

x1 + 3x2 - x3 + 2x5 = 7

-2x2 + 4x3 +x4 = 12

-4x2 + 3x3 + 8x5 + x6 = 10

x1, x2, x3 ,x4, x5, x6 ≥ 0

Documents

programare liniara