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Projekt-Praktikum Atomphysik
Experimentelle Bestimmung der atomphysikalischen
Fundamentalkonstanten:
Plancksches Wirkungsquantum und Elementarladung .
Aus der Woche vom 01.03. bis 05.03.2010
Im Rahmen des Grundpraktikums Bachelor Physik an der Universität Potsdam
Durchgeführt von: Daniel Pinkal
Erik Peukert
Hardy Drube
Maria Schwarzl
Stephan Eickelmann
Till-Friedrich Kühle
Unter Betreuung von: Dr. Harry Weigt
Potsdam, 07.09.2010
2
„Die Endlosigkeit des wissenschaftlichen Ringens sorgt unablässig dafür, daß dem forschenden
Menschengeist seine beiden edelsten Antriebe erhalten bleiben und immer wieder von neuem
angefacht werden: die Begeisterung und die Ehrfurcht“ (0)
Max Planck
3
Inhalt
I Einleitung ............................................................................................................................................. 4
I.1 Motivation ........................................................................................................................................ 4
I.2 Das bohrsche Atommodell ................................................................................................................. 5
II Die spezifische Elektronenladung ......................................................................................................... 6
II.1 Methode nach Schuster (Fadenstrahlrohr)......................................................................................... 6
II.1.1 Theoretische Vorüberlegung ..................................................................................................................... 6
II.1.2 Experimenteller Aufbau und Durchführung .............................................................................................. 7
II.1.3 Auswertung ............................................................................................................................................... 8
II.2 Methode nach Busch (Kathodenstrahlrohr) ..................................................................................... 10
II.2.1 Theoretische Vorüberlegung ................................................................................................................... 10
II.2.2 Experimenteller Aufbau und Durchführung ............................................................................................ 11
II.2.3 Auswertung ............................................................................................................................................. 12
III Das plancksche Wirkungsquantum .................................................................................................... 14
III.1 Äußerer lichtelektrischer Effekt ...................................................................................................... 14
III.1.1 Theoretische Vorüberlegung, experimenteller Aufbau und Durchführung ........................................... 14
III.1.2 Auswertung ............................................................................................................................................ 15
III.2 Röntgenspektroskopie ................................................................................................................... 17
III.2.1 Theoretische Vorüberlegung .................................................................................................................. 17
III.2.2 Experimenteller Aufbau und Durchführung ........................................................................................... 19
III.2.3 Auswertung ............................................................................................................................................ 21
III.3 Franck-Hertz-Versuch..................................................................................................................... 24
III.3.1 Theoretische Vorüberlegung .................................................................................................................. 24
III.3.2 Experimenteller Aufbau und Durchführung ........................................................................................... 25
III.3.3 Auswertung ............................................................................................................................................ 25
III.4 Wasserstoffspektroskopie .............................................................................................................. 28
III.4.1 Theoretische Vorüberlegung .................................................................................................................. 28
III.4.2 Experimenteller Aufbau und Durchführung ........................................................................................... 30
III.4.3 Kalibrierung des Gitterspektrometers .................................................................................................... 30
III.4.4 Auswertung ............................................................................................................................................ 32
IV Zusammenfassung ............................................................................................................................ 35
V Anhang ............................................................................................................................................. 38
V.1 Literaturnachweise ......................................................................................................................... 38
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I Einleitung
I.1 Motivation Im Sinne des obigen Zitats wurde dieses Projektpraktikum zur Atomphysik absolviert. Das Ziel war es, auf den Spuren bekannter Physiker wissenschaftlich tätig zu werden und sich auszuprobieren. Der gedankliche Hintergrund waren dabei physikalische Errungenschaften aus der Vergangenheit, angefangen bei W. C. Röntgen, welcher 1895 die Röntgenstrahlung entdeckte, über Max Planck, von dem obiges Zitat stammt und der 1900 das physikalisch sehr bedeutsame plancksche Wirkungsquantum einführte, Albert Einstein, der die Versuche zum äußeren lichtelektrischen Effekt, auch bekannt als photoelektrischer Effekt, richtig gedeutet und erklärt hatte, wofür er 1905 den Nobelpreis erhielt, bis hin zu Niels Bohr, auf den das bohrsche Atommodell von 1913 zurück geht.
Hauptziel war die experimentelle Bestimmung zweier Naturkonstanten: die Elementarladung und das plancksche Wirkungsquantum . Beide Konstanten sind in der Physik von elementarer Bedeutung, was sich vor allem darin zeigt, dass sie in vielen wichtigen physikalischen Gleichungen und Verhältnissen vorkommen.
Ein besonderes Augenmerk galt der Zusammenarbeit, sowohl beim Experimentieren, als auch bei der Erstellung dieses Projektberichts, sowie der gemeinsamen Bewältigung von Problemen und dem Diskutieren von Vorgehensweisen, bzw. dem Verbinden von Theorie und praktischen Versuchsmethoden.
Die Experimente wurden in den Räumen des Grundpraktikums des physikalischen Instituts der Universität Potsdam durchgeführt.
Zur Bestimmung der Elementarladung wurde zum einen der Versuchsaufbau nach Schuster (Versuch mit dem Fadenstrahlrohr) und zum anderen der von Busch (Kathodenstrahlröhre im Magnetfeld) nachvollzogen.
Für die Bestimmung des planckschen Wirkungsquantums wurden die folgenden Methoden angewandt: Aufbau zum photoelektrischen Effekt nach Hallwachs, Versuch zur Röntgenspektroskopie mit einer Röntgenröhre, Franck-Hertz-Versuch und die Aufnahme und Auswertung des Wasserstoffspektrums. Die Versuche werden im Laufe dieser Ausarbeitung detailliert vorgestellt.
Um die Mess- bzw. Rechenergebnisse richtig einordnen und deuten zu können, waren natürlich Vergleichswerte nötig. Diese wurden vom NIST (National Institute of Standards and Technology; USA) bezogen, deren Werte auf denen der CODATA (Committee on Data for Science and Technology) basieren, einer Organisation, die u.a. Empfehlungen und Unsicherheiten für physikalische Konstanten ermittelt. Die Werte sind unter „http://physics.nist.gov/cuu/Constants/index.html“ zu finden. Alle verwendeten Vergleichswerte sind auf dem Stand von 2006.
V.l.n.r.: Walther Nernst, Albert Einstein, Max Planck, Robert Millikan, Max von Laue(0.1)
5
Formeln wurden aus Standardwerken wie dem Bergmann-Schäfer oder dem Gerthsen entnommen, deshalb wird auf eine detaillierte Quellenangabe bei den verwendeten Formeln verzichtet.
Dieser Bericht beginnt mit der Ermittlung der Elementarladung und wird mit den Methoden zur Bestimmung des Wirkungsquantums, sowie der Auswertung und Deutung der Ergebnisse fortgesetzt.
I.2 Das bohrsche Atommodell Die Versuche zur Bestimmung der thematisierten Konstanten hängen sehr eng mit der Atomphysik und den Vorgängen in Atomen zusammen. Ein sehr verbreitetes, da intuitives, Modell zur Erklärung einiger wichtiger Vorgänge aus diesem Bereich der Physik ist das bohrsche Atommodell. Da es für die physikalische Erklärung und Auswertung der Versuche angewendet wurde, wird hier kurz näher darauf eingegangen.
Das bohrsche Atommodell ist ein von Niels Bohr im Jahr 1913 entwickeltes Modell zur Beschreibung von Atomen. Es löste das bis dahin gängige rutherfordsche Atommodell ab.
Bohr ging davon aus, dass die negativ geladenen Elektronen eines Atoms um dessen winzigen, positiv geladenen Kern auf Umlaufbahnen kreisen. Dabei ist die Gesamtladung der Elektronen gleich der Ladung des Atomkerns. Atome sind damit insgesamt elektrisch neutral. Die Elektronen können sich dabei nur auf diskreten Umlaufbahnen bewegen, also diskrete Abstände zum Kern haben. Diese können sie allerdings unter bestimmten Bedingungen wechseln und, analog zur Mechanik, gewinnen oder verlieren sie dabei Energie. Atome können auf verschiedene Weise angeregt werden (Erhitzen, Elektronenbeschuss, elektromagnetische Strahlung, usw.), wobei Elektronen auf Bahnen höherer Energie springen. Der Energieaustausch ist somit auch diskret. Angeregte Atome sind nicht stabil und geben beim Übergang in den energetisch niedrigeren Grundzustand Energie ab, die ebenfalls diskret, also quantisiert sein muss. Diese Energie wird in Form von „Energiepaketen“, Photonen, abgegeben, und stellt elektromagnetische Strahlung dar. Diese ist teilweise im sichtbaren Bereich, also Licht.
Heute gilt das bohrsche Atommodell als veraltet und sogar falsch, denn es kann nur einen kleinen Teil von atomphysikalischen Effekten erklären und wurde von Bohr eher intuitiv, als physikalisch begründet, entwickelt. So wird z.B. nicht erklärt, warum die Elektronen unter ihrer beschleunigten Bewegung nicht strahlen und somit in den Kern stürzen. Eine exakte Erklärung für die Vorgänge in Atomen brachte erst die moderne Quantenmechanik, die von Materiewellen ausgeht.
Niels Bohr (1885-1962)(1) war ein dänischer Physiker, der für seine Arbeiten an der Erforschung des Aufbaus und den Vorgängen in Atomen 1922 den Nobelpreis bekam.
Schematische Darstellung des bohrschen Atommodells: Ein angeregtes Atom geht in den Grundzustand über und emittiert dabei Energie in Form eines Photons.
6
II Die spezifische Elektronenladung
In der Physik spielt die konstante Elementarladung eine wichtige Rolle. Die Bezeichnung verrät schon, dass sie die kleinste Ladung ist, die ein geladenes Teilchen annehmen kann. Zum Beispiel ist die Kenntnis dieser Konstanten unabdingbar für die Berechnung des Verhaltens geladener Teilchen in elektrischen Feldern. Hierbei ist die Gesamtladung des zu betrachtenden Objekts immer ein ganzzahliges Vielfaches der Elementarladung. Aufgrund der Relevanz dieser Größe wurde versucht, diese experimentell selbst zu bestimmen.
In den Versuchen wurde immer das Verhältnis
bestimmt, wobei die
Masse der betrachteten elektrisch geladenen Teilchen ist. In diesem Fall handelte es sich um Elektronen. Die Masse des Elektrons ist uns aus diversen Quellen hinreichend genau bekannt, sodass damit bestimmt werden kann. Es wird sich auf die Werte
(2)
(2)
bezogen. Zur Bestimmung des Verhältnisses
wurden zwei Versuche
aufgebaut und durchgeführt: zum einen der Versuch nach Schuster, dessen Hauptelement ein Fadenstrahlrohr in einem Magnetfeld ist, und zum anderen der Versuch nach Busch, in dessen Mittelpunkt eine Kathodenstrahlröhre steht.
II.1 Methode nach Schuster (Fadenstrahlrohr) Der Versuch wurde erstmals 1884 von Arthur Schuster durchgeführt(3). Schuster untersuchte damals die Elektrizität in Gasen. Er führte den Versuch mit Hilfe von Kathodenstrahlteilchen bei Gasentladungen durch, ohne zu wissen, dass es sich dabei um Elektronen handelte.
Erst 1897 entdeckte Joseph John Thomson dann, dass der Kathodenstrahl aus negativen Ladungsträgern, den Elektronen, bestand(4).
II.1.1 Theoretische Vorüberlegung Die Grundüberlegung bestand darin, dass auf geladene Teilchen im homogenen Magnetfeld eine Kraft wirkt, die 1895 nach H. A. Lorentz als die Lorentzkraft bezeichnet wurde(5):
Hierbei erfährt das Teilchen nur eine Richtungsänderung, die Geschwindigkeit bleibt vom Betrage her unverändert.
In diesem Fall beschreibt das Elektron, wobei die Ladung ist, eine Kreisbahn, deren Radius immer senkrecht zum Magnetfeld steht. Da die Lorentzkraft immer zum Mittelpunkt dieses Kreises gerichtet ist und das
Arthur Schuster (1851-1934)(6)
war ein, ursprünglich aus Deutschland stammender, englischer Physiker, der sich u.a. mit Spektroskopie, Elektrochemie, Optik und Röntgenstrahlung beschäftigte.
Der besseren Übersicht wegen werden im Folgenden Vektoren kursiv/fett geschrieben.
7
Elektron auf dessen Bahn hält, kann sie als Zentripetalkraft interpretiert werden. Für die Beträge gilt
| |
Da zudem der Geschwindigkeitsvektor immer senkrecht zu denen der Magnetfeldlinien steht, d.h. die Vektoren stehen in einem Winkel von 90° zueinander, kann der Betrag des Kreuzprodukts einfach aufgelöst werden:
| |
Bewegen sich geladene Teilchen, hier Elektronen, in einem homogenen elektrischen Feld, das durch eine Spannung erzeugt wird, im Mittel parallel zu den Feldlinien, ist deren kinetische Energie am Ende der Beschleunigungsphase
Werden die Gleichungen (1) und (2) ineinander eingesetzt, kommt man auf folgenden Ausdruck für die gesuchte Beziehung:
II.1.2 Experimenteller Aufbau und Durchführung Die Experimentieranordnung bestand im Wesentlichen aus einem evakuierten und dann mit Wasserstoff gefüllten Glaskolben, einem evakuierten Fadenstrahlrohr und einem Wehnelt-Zylinder.
An einer Glühwendel (Kathode) wurden Elektronen emittiert. Diese wurden durch eine bekannte Beschleunigungsspannung , die zwischen der Kathode und einer ringförmigen Anode anlag, auf eine Geschwindigkeit gebracht, die mit (2) bestimmt werden konnte. Danach traten sie in den Wehnelt-Zylinder ein, dessen Wände negativ geladen waren, was eine Fokussierung des Elektronenstrahls ermöglichte.
In dem Glaskolben wurden die Elektronen dann von dem durch zwei Helmholzspulen erzeugten Magnetfeld auf eine Kreisbahn gelenkt. Durch Stöße mit Wasserstoffteilchen wurden Photonen emittiert, wodurch der Strahlenverlauf der Elektronen sichtbar wurde. Dieser Effekt wird noch in der Beschreibung des Franck-Hertz-Versuchs unter III.3.1 genauer erläutert werden.
In dem Kolben war ein Metallgestell angebracht, welches mit einem Material beschichtet war, das durch die Elektronen zum Leuchten angeregt wurde (Lumineszenz). Dadurch konnte der Radius der Kreisbahn der Elektronen abgelesen werden. Das Gestell war bei den Abständen , , und markiert, was den jeweiligen Radien der Strahlenbahnen entsprach.
H. A. Lorentz (1853-1928)(7)
war ein niederländischer Mathematiker und Physiker, der vor allem im Gebiet der theoretischen Elektrodynamik revolutionäre Beiträge lieferte.
Fadenstrahlrohr(8)
8
Für jeden Radius wurde die Beschleunigungsspannung in ‒Schritten von auf erhöht und das Magnetfeld jeweils mittels einer Hall-Sonde gemessen. Folgende Werte wurden aufgenommen:
in m 0,02 0,03 0,04 0,05
in V in mT
150 2,04 1,15 0,84 0,65
170 2,22 1,40 0,98 0,71
190 2,29 1,48 1,03 0,76
210 2,45 1,54 1,10 0,83
230 2,61 1,61 1,15 0,88
250 2,63 1,69 1,22 0,95
II.1.3 Auswertung
Um auf das Verhältnis
zu kommen, wird die Gleichung (3) wie folgt
umgestellt:
Nun wird über
graphisch aufgetragen, sodass man eine Gerade
erhält, deren Anstieg gleich dem gesuchten Verhältnis ist.
Dieses Diagramm ist repräsentativ für die anderen Diagramme der Radien von , und .
Aus den jeweiligen Anstiegen wird die konstante Elementarladung errechnet, indem der Wert mit der Elektronenmasse multipliziert wird.
Für dieses Diagramm ist der Anstieg der Regressionsgeraden
y = 168,892x + 8,219
0
50
100
150
200
250
300
0,00 0,25 0,50 0,75 1,00 1,25 1,50
U in
V
r²B²/2 in 10-9 m²T²
U über r²B²/2 (2 cm)
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Daraus ergibt sich die Elementarladung:
Die Rechnungen für die restlichen Anstiege werden analog ausgeführt. In der Reihenfolge der Diagramme ergeben sich folgende Werte:
in cm in C Fehler in C Rel. Abweichung
2 1,539 0,125 –4,0%
3 1,370 0,169 –14,0%
4 1,521 0,100 –5,1%
5 1,524 0,067 –4,9%
Die Fehler der Punkte bezüglich der Regressionsgeraden wurden mit Excel berechnet.
Die Abweichungen vom Vergleichswert liegen für drei Viertel der Messreihen in einem annehmbaren Bereich. Der Wert für den Radius von weicht etwas mehr ab als die anderen, was hauptsächlich auf einen größeren Ablesefehler beim Experimentieren zurückzuführen ist.
Als Endwert dieses Versuches erhält man durch Mittelwertbildung für die Elementarladung
Der Fehler wurde mit Hilfe von Excel basierend auf den Fehlern aus obiger Tabelle berechnet.
Messunsicherheiten traten vor allem beim Einstellen des Strahls auf den jeweiligen Radius auf, da die Genauigkeit im Ermessen des Experimentators lag. Aufgrund der Streuung des Elektronenstrahls konnte dieser Punkt von vornherein nur mit begrenzter Genauigkeit bestimmt werden. Die Streuung kam dadurch zustande, dass die Elektronen nicht alle exakt dieselbe Anfangsgeschwindigkeit hatten und somit unterschiedlich starke Krümmungsradien erfuhren.
Das Magnetfeld kann man als homogen und zeitlich konstant betrachten, die Schwankungen der Werte des Magnetfeldes waren verschwindend gering und die Fehler der digitalen Messgeräte können als vernachlässigbar klein angenommen werden.
Auffällig ist, dass alle Werte unter dem Tabellenwert liegen, mit in etwa derselben Abweichung, ausgenommen dem Zweiten. Um die Ergebnisse vergleichen und einordnen zu können, wurde ein weiterer Versuch durchgeführt.
CODATA-Wert für die Elementarladung:
10
II.2 Methode nach Busch (Kathodenstrahlrohr) Hans Busch war der Begründer der Theorie der Elektronenoptik, in der das geometrische Verhalten von Elektronenbewegungen in Magnetfeldern beschrieben wird(9), (10). Ein Bestandteil dieser Theorie ist die Fokussierung von Elektronenbündeln mit Hilfe von Magnetfeldern, was auch der Grundgedanke dieses Experiments war, welches in den 1920ern in ähnlicher Form durchgeführt wurde. Buschs Arbeit trug unter anderem wesentlich zur Entwicklung des Elektronenmikroskops bei.
II.2.1 Theoretische Vorüberlegung Wie bereits erwähnt, war der Grundgedanke dieses Experiments, dass sich ein Elektronenstrahl im homogenen Magnetfeld fokussieren lässt.
Es wurde davon ausgegangen, dass sich die Geschwindigkeitsvektoren eines nicht parallel zu den Magnetfeldlinien eintretenden Elektronenstrahls bezüglich der Feldlinien nach dem Superpositionsprinzip addieren lassen.
Die parallele Komponente beschreibt eine geradlinig gleichförmige Bewegung, da sie vom Magnetfeld nicht beeinflusst wurde, während die senkrechte eine Kreisbahn beschreibt.
Für die senkrechte Geschwindigkeitskomponente eines Elektrons gilt die hergeleitete Gleichung (1). Daraus folgt dann für den Radius der Kreisbahn:
da immer senkrecht zu den Magnetfeldlinien steht. Betrachtet werden deshalb wieder nur die Beträge. In den folgenden Gleichungen werden ebenfalls nur die Beträge betrachtet, da das Problem in eindimensionale Bewegungen zerlegt wird.
Aus den Beziehungen
folgt
und mit obiger Beziehung (4):
für die Umlaufzeit eines Elektrons mit senkrechter Geschwindigkeitskomponente. Hier ist schon zu erkennen, dass die
Hans Busch (1884-1973)(11)
war ein deutscher Physiker und der Begründer der Elektronenoptik.
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Umlaufzeit weder von der Anfangsgeschwindigkeit, noch vom Radius abhängt.
Für die Parallelkomponente gilt das Geschwindigkeits-Zeit-Gesetz der geradlinig gleichförmigen Bewegung: Während Umlaufzeiten legt ein Elektron mit paralleler Komponente die Strecke zurück, und mit (5) und der Winkelbeziehung für ergibt sich
Wenn man nun davon ausgeht, dass der Winkel gegen die Feldlinien, unter dem der Elektronenstrahl eintrifft, sehr klein ist, kann man den Cosinus gleich eins setzen, d.h. der Betrag der parallelen Geschwindigkeitskomponente ist in guter Näherung gleich dem der Anfangsgeschwindigkeit. Für die Geschwindigkeit gilt wieder die Beziehung (2), sodass diese nach aufgelöst und in (6) eingesetzt werden kann. Daraus ergibt sich für das gesuchte Verhältnis
Das steht für die Anzahl der Schleifen, die ein Elektron auf einem bestimmten Weg durchlaufen konnte, um wieder fokussiert am Schirm anzukommen.
II.2.2 Experimenteller Aufbau und Durchführung Die Anordnung bestand aus einer braunschen Röhre, die längs in einer Zylinderspule platziert wurde, sodass der Elektronenstrahl im Mittel parallel zum Magnetfeld der Spule verlief. In der braunschen Röhre wurden die Elektronen an einer Glühwendel emittiert und dann wie in obiger Anordnung (Methode nach Busch) beschleunigt. Am anderen Ende der Röhre war eine lumineszierende Schicht aufgetragen (Schirm), die die Positionen der auftreffenden Elektronen sichtbar machte.
Die Spule erzeugte ein starkes Magnetfeld, das die Elektronen, deren Geschwindigkeitskomponenten sich wie beschrieben addieren, auf eine Spiralbahn lenkte. Das Divergieren des Elektronenstrahls wurde durch Ablenkplatten realisiert, an die eine Spannung angelegt wurde.
Ziel war es nun, den Strahl unter verschiedenen Schleifendurchläufen zu fokussieren und dabei das angelegte Magnetfeld in Abhängigkeit von der Beschleunigungsspannung zu messen.
Dazu wurde bei konstanter Beschleunigungsspannung der Spulenstrom solange erhöht, bis auf dem Schirm ein scharfer Punkt erkennbar war. Daraufhin wurde der Strom solange weiter erhöht, bis dieser Punkt wieder scharf wurde. Dies wurde jeweils für drei Schleifen wiederholt. Das ganze wurde für sieben Beschleunigungsspannungen zwischen und durchgeführt. Die Wegstrecke in der Röhre betrug . Das Magnetfeld wurde mittels einer Hall-Sonde gemessen.
12
in V 545 589 641 702 777 870 990
in mT
1 3,99 4,18 4,24 4,50 4,72 4,97 5,25
2 6,78 6,90 7,27 7,60 7,95 8,47 8,60
3 9,54 9,87 10,23 10,72 11,18 11,69 12,38
II.2.3 Auswertung
Bei Auflösung von Gleichung (7) nach kann das Verhältnis
ermittelt
werden, indem über
graphisch aufgetragen wird:
Das Reziproke des Anstiegs ist dann das gesuchte Verhältnis. Dies wurde jeweils für eine, zwei und drei Schleifendurchläufe ausgeführt.
Um die Übersichtlichkeit zu bewahren, wird der Faktor wie folgt definiert:
Auch hier wurden die Diagramme für die Durchläufe mit zwei, bzw. drei Schleifendurchläufen weggelassen. Sie sind obigem ähnlich.
Nun kann mittels der jeweiligen Anstiege wieder das gesuchte Verhältnis ermittelt werden.
Für das erste Diagramm ist der Anstieg der Regressionsgeraden
Für die Elementarladung folgt dann mit ⁄
y = 5,642E-01x + 1,624E-01
0,0
0,5
1,0
1,5
2,0
2,5
3,0
0,0 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0
B²
in 1
0-5
T²
k∙U in 106 V/m²
B² über k∙U (Ein Schleifendurchlauf)
13
(
)
In der Reihenfolge der Diagramme wurden für die Elementarladung folgende Werte ermittelt:
in C Fehler in C Rel. Abweichung
1 1,607 0,049 0,31%
2 2,399 0,190 50,00%
3 2,736 0,044 71,00%
Aus den errechneten Abweichungen vom Tabellenwert ist zu erkennen, dass der Wert für einen Schleifendurchlauf sehr genau übereinstimmt. Mit zusätzlichen Schleifen wurde die Messung ungenauer. Dies deutete sich schon beim Experimentieren an, da es schwierig war, zu erkennen, wann der Strahl fokussiert war. Offensichtlich wurde der Punkt der Fokussierung nicht exakt bestimmt. Der erste Messpunkt war eindeutig zu bestimmen.
Aus diesem Grund werden die letzten beiden Messwerte gestrichen und man erhält für die Elementarladung
Der erste Wert hat eine doch beachtlich hohe Genauigkeit. Das liegt an der Experimentieranordnung. Die Ströme und Spannungen waren genau einstellbar und die Messungenauigkeit der digitalen Messgeräte war sehr klein. Die Länge der Röhre wurde den Herstellerangaben entnommen und als vertrauenswürdig angesehen.
Auch hier kann das Magnetfeld als homogen und zeitlich konstant betrachtet werden, d.h. die Schwankungen waren in Bezug auf die Messwerte vernachlässigbar.
CODATA-Wert für die Elementarladung:
14
III Das plancksche Wirkungsquantum
In der Projektwoche war neben der Elementarladung eine weitere wichtige Naturkonstante experimentell zu ermitteln: das plancksche Wirkungsquantum. Diese Konstante ist neben der Elementarladung eine der wichtigsten in der modernen Physik. Sie ist Bestandteil vieler fundamentaler Gleichungen und taucht in vielen Zusammenhängen auf. Max Planck nahm sie als erster in seine Überlegungen auf, um damit ein thermodynamisches Phänomen leichter beschreiben zu können. Später sollte sich herausstellen, dass diese zuerst nur hypothetische Konstante ein neues Teilgebiet der Physik einleitete.
Das plancksche Wirkungsquantum kommt in vielen physikalischen Gleichungen vor, z.B. bei der Beschreibung der brownschen Molekularbewegung oder der Energie von Lichtbündeln, den Photonen. Weiterhin formulierte Heisenberg mit der Konstante seine Unschärferelation und der Spin von Elektronen wird in der „Einheit“ ⁄ angegeben.
III.1 Äußerer lichtelektrischer Effekt Das plancksche Wirkungsquantum wurde 1900 von Max Planck bei der Beschreibung von Strahlung schwarzer Körper als Hilfskonstante eingeführt. Erst später merkte man, wie wichtig diese Konstante für die Quantenmechanik ist. Der äußere photoelektrische Effekt wurde zwar schon 1887 von Heinrich Hertz entdeckt, aber erst 1905 postulierte Albert Einstein dann, dass es Lichtquanten mit der Energie gibt und erklärte damit den Photoeffekt.
III.1.1 Theoretische Vorüberlegung, experimenteller Aufbau und Durchführung In einer evakuierten Glaskugel fiel Licht auf eine Photokathode. Die Elektronen in der Photokathode sind mit einer bestimmten Energie im Metall gebunden. Die Arbeit, die man aufbringen muss, um diese zu überwinden, nennt man Austrittsarbeit. Jedes Photon des Lichts der Frequenz besitzt die Energie . Wenn die Energie der auftreffenden Photonen größer als die Bindungsenergie der Elektronen ist, werden diese gelöst und bewegen sich mit einer Geschwindigkeit in irgendeine Richtung von der Photokathode weg, sie haben also die kinetische Energie
wobei die an den Elektronen zu verrichtende Austrittsarbeit ist. Dieser Photokathode stand im Glaskolben eine Anode gegenüber, bei der die Elektronen ankamen. Die Anode war außerhalb des Glaskolbens leitend mit der Kathode verbunden, sodass ein Ladungsausgleich stattfinden konnte und dabei über ein Amperemeter der sogenannte Photostrom gemessen
Heinrich Hertz (1857-1894)(12) war ein deutscher Physiker, dem es erstmals gelang, elektromagnetische Wellen nachzuweisen.
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werden konnte. Die Idee war nun, eine Gegenspannung anzulegen und diese so lange zu erhöhen, bis gerade eben kein Photostrom mehr fließt. Diese Methode nennt man Gegenfeldmethode. So ist die Energie gleich der kinetischen Energie der schnellsten Photoelektronen, also
Veränderte man nun , dann veränderte sich auch , alle anderen Größen der Gleichung sind konstant. Trägt man über graphisch auf, erhält man eine Gerade mit der Steigung . Je mehr verschiedene Frequenzen benutzt werden, desto genauer kann aus dem Anstieg der Ausgleichsgeraden das Plancksche Wirkungsquantum ermittelt werden.
Es wurde nun eine Photozelle mit einer Quecksilberdampflampe bestrahlt. Um mit verschiedenen Frequenzen, also Farben, bestrahlen zu können, wurde ein Prisma zwischen Lampe und Zelle gestellt. Wenn man jetzt die Kathode bestrahlte, konnte man einen Strom messen. Da die ausgetretenen Elektronen wieder abgebremst werden sollten, wurde eine Spannung angelegt, die der Bewegungsrichtung der Elektronen entgegen wirkte, bis auch die schnellsten Elektronen nicht mehr die Anode erreichten.
III.1.2 Auswertung Die Werte der angelegten Spannung und des verbleibenden Stromes wurden für verschiedene Wellenlängen gemessen und graphisch aufgetragen. Eine solche graphische Darstellung von über sieht folgendermaßen aus:
Um den genauen Schnittpunkt mit der x-Achse zu ermitteln, ist es sinnvoll, die Werte so aufzutragen, dass man einen linearen Zusammenhang erhält.
√ aufgetragen über der Bremsspannung liefert in etwa einen solchen linearen Zusammenhang:
0
5
10
15
20
25
30
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1
I in
pA
UB in V
I über UB (gelb)
Schematischer Aufbau der Schaltung(13)
16
Aus dieser Graphik kann man nun durch Extrapolation die Spannung ermitteln, bei der kein Strom mehr fließt.
für die Frequenz liegt bei :
√
√
Analog wird dies für die anderen Farben durchgeführt.
Die ermittelten Spannungen und die Energien der Elektronen bei den verschiedenen Frequenzen lauten:
Farbe in Hz(13.1) in V in
violett 7,41 1,50 2,40
blau 6,88 1,26 2,16
türkis 6,08 1,04 1,92
grün 5,49 0,71 1,28
gelb 5,19 0,54 0,87
Wenn man nun die Energie der Elektronen über der Frequenz des bestrahlenden Lichtes aufträgt, erhält man eine Graphik mit dem linearen Zusammenhang
mit der Steigung der Geraden von
y = -9,6416x + 5,1577
0,00
1,00
2,00
3,00
4,00
5,00
6,00
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5
√I
in p
A1/
2
UB in V
√I über UB (gelb)
Die fehlenden Diagramme der anderen Farben haben ähnliche Verläufe und werden somit nicht weiter aufgeführt.
17
Der Wert des planckschen Wirkungsquantums beträgt nach der Regressionsanalyse mit einer Standardabweichung von . Es wurde also ermittelt zu
Damit beträgt die relative Abweichung zum Tabellenwert .
Dies ist eine recht kleine Abweichung, der ermittelte Wert für liegt nah am vorgegebenen Wert. Daraus kann man schließen, dass das Verfahren gut geeignet ist, um die Konstante zu bestimmen. Allerdings werden noch andere Messmethoden, wie auch bei der Bestimmung von , benötigt, um ein aussagekräftiges Ergebnis für zu erhalten.
Eine dieser Methoden bedient sich der Röntgenspektroskopie.
III.2 Röntgenspektroskopie Zur Grundidee dieses Versuches ist zu sagen, dass man, statt Elektronen durch elektromagnetische Strahlung aus einer Metallschicht herauszulösen, nun durch Elektronen, die auf eine Metallschicht treffen, elektromagnetische Strahlung erzeugt.
Was für elektromagnetische Strahlung wird dabei emittiert? Im November 1895 entdeckte Wilhelm Conrad Röntgen die sogenannten X-Strahlen (später Röntgenstrahlen). Dabei handelt es sich um elektromagnetische Strahlung im Wellenlängenbereich von bis .
III.2.1 Theoretische Vorüberlegung Der Frequenzbereich der Röntgenstrahlung liegt über dem UV-Bereich des sichtbaren Lichtes, aber noch unter der Gammastrahlung. Dieser Bereich des elektromagnetischen Spektrums ist für das menschliche Auge nicht sichtbar, aber aufgrund seiner kurzwelligen Eigenschaften für die Menschheit an sich sehr wichtig. Es durchdringt verschiedene Materialien
y = 0,6527x - 2,3229
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
5 5,5 6 6,5 7 7,5 8
eU0
in 1
0-1
9 J
Frequenz in 1014 Hz
eU0 über ν
CODATA-Wert für das plancksche Wirkungsquantum:
Wilhelm Conrad Röntgen (1845– 1923)(14) war ein deutscher Physiker und der Entdecker der Röntgenstrahlung.
18
und kann damit zum „Durchleuchten“ nichtmetallischer Objekte genutzt werden, z.B. des menschlichen Körpers. Dabei reagiert die Röntgenstrahlung mit einer Photoplatte genau wie Licht des sichtbaren Bereiches.
Wie ist es nun möglich dies zu verwirklichen? Diese Frage wird durch das Prinzip der Röntgenröhre beantwortet. Dabei werden in einem evakuierten Glaskolben von einer Heizkathode Elektronen gelöst und mit einer Spannung im Bereich von auf eine Anode beschleunigt. Beim Auftreffen der Elektronen auf die Anode werden diese abgebremst und die dadurch emittierte Strahlung, die sogenannte Bremsstrahlung, erzeugt das kontinuierliche Spektrum der Röntgenbremsstrahlung.
Daneben existiert noch ein charakteristisches Linienspektrum, welches materialabhängig ist. Jedoch ist dieses für die Zwecke der späteren Auswertung unwichtig und kann somit vernachlässigt werden. Dieses Linienspektrum wird über hochenergetische Übergänge innerhalb der Elektronenhülle der Atome emittiert.
Wie kommt es nun zu dieser Bremsstrahlung? Bremsstrahlung ist eine elektromagnetische Strahlung, in diesem Fall ist sie die erzeugte Röntgenstrahlung. Sie entsteht, wenn auf ein geladenes Teilchen (hier Elektron) eine Beschleunigung wirkt.
Beim Eintritt der Elektronen in die Anode werden diese durch die atomaren Bestandteile innerhalb des Metalls durch Coulomb-Wechselwirkungen abgebremst und abgelenkt. Dabei wird die kinetische Energie der Teilchen verringert. Diese Energiedifferenz wird als Bremsstrahlung emittiert. Für die folgende Auswertung sind die Elektronen mit maximalem Energieverlust wichtig, da dort die gesamte kinetische Energie der Elektronen frei wird.
Schema einer Röntgenröhre(15)
Daraus folgt, dass das Spektrum der Röntgenstrahlung von der Beschleunigungsspannung, also der kinetischen Energie der Elektronen, abhängig ist.
Formal sieht dies wie folgt aus:
19
Inte
nsi
tät
λλmin
Röntgenbremsspektren bei verschiedenen Beschleunigungsspannungen (Blau: hoch, Schwarz: gering)
In der obigen Darstellung, in welcher die Intensität über der Wellenlänge aufgetragen wurde, fällt auf, dass sich das Spektrum mit sich ändernder Beschleunigungsspannung verschiebt. Außerdem erkennt man, dass es eine Mindestwellenlänge gibt, unter der keine Röntgenstrahlung emittiert wird. Diese Mindestwellenlänge ist im späteren Versuch der zentrale Ansatzpunkt für die Auswertung.
Um diese Bedingungen in Formeln zu fassen, geht man von der Energieerhaltung aus. Die Elektronen werden zur Anode hin beschleunigt, sie besitzen eine kinetische Energie. Nimmt man an, dass diese Elektronen ihre gesamte Energie für das Emittieren von Strahlung aufwenden, ergibt sich somit:
Dies gilt für die maximalen kinetischen Energien und folglich auch für die maximalen Frequenzen. (Dies entspricht der minimalen Wellenlänge .)
III.2.2 Experimenteller Aufbau und Durchführung Zentrales Bauelement des Versuchsaufbaus war ein Röntgenspektrometer. Der Detektor des Spektrometers war an einen Impulswandler gekoppelt. Über ein Hardwareinterface wurden die Signale des Impulswandlers an einen PC geleitet. Dort wertete eine Software die Messdaten aus.
Das Innenleben des Spektrometers ist in der schematischen Darstellung rechts gezeigt. In der drehbaren Halterung konnte ein beliebiges Gitter oder ein beliebiger Kristall eingesetzt werden.
Die in dem Röntgenspektrometer verbaute Röntgenröhre war mit einer Kupferkathode ausgestattet, dies hatte aber keinen wichtigen Einfluss auf das Experiment, weil hier ausschließlich das kontinuierliche Röntgenspektrum interessant war.
Abbremsen/ablenken eines Elektrons durch Coulomb-Wechselwirkungen(16)
Weil ein Elektron maximal eine kinetische Energie aufnehmen kann, die beträgt, erkennt man schnell, dass es bei totalem Energieverlust eine maximale Frequenz gibt, die emittiert wird.
Versuchsaufbau
Schema des Versuchsaufbaus innerhalb des Röntgenspektrometers (17)
20
Für die Durchführung des Versuches wurde in das Röntgenspektrometer ein LiF-Kristall eingesetzt. Über die Mechanik des Gerätes war es nun möglich, den Einfallswinkel der Röntgenstrahlung auf den LiF-Kristall zu variieren, da sich der Detektor automatisch an den Einfallswinkel anpasste.
Über die Software gelang es nun die Intensität des am Kristall reflektierten/gebeugten Röntgenlichtes aufzunehmen.
Nun wurde das Messintervall des Einfallswinkels von 5° bis 20° am Röntgenspektrometer festgelegt. Die Software nahm dann in sehr kleinen Abständen die Intensität in Abhängigkeit des Einfallswinkels auf.
Vollständiges Röntgenspektrum
(19)
Dieser Versuchsablauf wurde für Beschleunigungsspannungen zwischen und durchgeführt.
Sowohl die graphische als auch die tabellarische Darstellung ließen sich anschließend exportieren. Zur weiteren Bearbeitung in der Auswertung werden ausschließlich die tabellarischen Werte benutzt.
LiF-Kristall = Lithiumfluorid(18)
In diesem Fall wurde ein LiF-Kristall mit einem Gitterabstand von verwendet.
21
III.2.3 Auswertung Nun trägt man für jede Beschleunigungsspannung die Intensität über den Beugungswinkel auf. Über den Bragg-Zusammenhang lässt sich die Wellenlänge bestimmen.
Am groben Verlauf der Kurven erkennt man bereits, dass für jede Beschleunigungsspannung erst ab einer bestimmten Wellenlänge Röntgenlicht reflektiert wird.
Über lineare Extrapolation lässt sich nun aus dem Diagramm möglichst genau diese Mindestwellenlänge bestimmen. Dies ist beispielhaft für zwei Beschleunigungsspannungen dargestellt, die vollständige Ansicht ist dem Anhang zu entnehmen.
Nach der linearen Extrapolation kann man die gewonnenen Mindestwellenlängen über der Beschleunigungsspannung auftragen. Um
0
50
100
150
200
250
4,00E-11 5,00E-11 6,00E-11 7,00E-11 8,00E-11 9,00E-11
Inte
nsi
tät
λ in m
25
24
22
19
17
15
0
50
100
150
200
250
4,00E-11 5,00E-11 6,00E-11 7,00E-11 8,00E-11 9,00E-11
Inte
nsi
tät
λ in m
25
19
Dies bedeutet, dass wenn die Röntgenstrahlung unter einem bestimmten Winkel auf ein Kristallgitter trifft, es in Abhängigkeit der Wellenlänge zu konstruktiver bzw. destruktiver Interferenz kommt. Betrachtet man das Interferenzbild, so kann man folglich eine Aussage über die Wellenlänge(20) treffen:
In diesem Versuch wird in der Ordnung geblieben.
kV
kV
kV
kV
kV
kV
kV
kV
Extrapolation
22
jedoch das Ziel, zu bestimmen, zu erreichen, macht man sich den folgenden Zusammenhang zunutze:
Daraus lässt sich erkennen, dass es sinnvoller ist, ⁄ über aufzutragen. Weil es sich nur um zusätzliche Konstanten handelt, können die Messwerte umgerechnet und graphisch aufgetragen werden.
In der Formel ist zu erkennen, dass es sich bei um den Anstieg einer Geraden handeln muss. Aus diesem Grund bietet sich eine Regressionsanalyse an:
Nun ist der Anstieg dieser Geraden bekannt. Daraus wurde für diesen Versuch ein ermittelt.
Wenn man dieses Diagramm betrachtet, erkennt man, dass die genaue Kenntnis über eine andere Elementarkonstante vorausgesetzt werden muss: die Elementarladung des Elektrons. Nun kann man die Auswertung über dieses Bremsspektrum der Röntgenstrahlung auch anders vornehmen. Setzt man die Kenntnis über das plancksche Wirkungsquantum voraus, erhält man auf analogem Weg einen Wert für die Elementarladung.
Diese ergibt sich nun aus dem Anstieg einer Regressionsgeraden vom Auftragen der Beschleunigungsspannung über ⁄ :
y = 0,661x - 0,219
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
4,5
3 3,5 4 4,5 5 5,5 6 6,5
eU in
10
-15
J
c/λ in 1018 Hz
Regressionsgerade
⁄
⁄
CODATA-Wert für die Lichtgeschwindigkeit im Vakuum:
23
Es lässt sich ein
ermitteln.
Das Experiment hat nun jeweils einen Wert für die beiden gesuchten Naturkonstanten geliefert. Auf der einen Seite einen Wert für das plancksche Wirkungsquantum und auf der anderen Seite einen Wert für die Ladung eines Elektrons. Dabei ist aber darauf zu achten, dass beide Werte jeweils in Abhängigkeit zu dem Literaturwert des jeweils anderen stehen.
Für das plancksche Wirkungsquantum ergab sich
Der Wert weicht um vom CODATA-Wert ab. Wenn man zusätzlich die Vertrauensabweichung betrachtet, liegt der ermittelte Wert sehr gut im Abweichungsintervall.
Die in diesem Versuch ebenfalls bestimmte Elementarladung
weicht um vom Literaturwert ab. Auch hier liegt der ermittelte Wert im Fehlerintervall.
Nun ist aber noch zu erwähnen, dass bei der Auswertung dieser Messdaten einige Schwierigkeiten auftreten können. Bei der linearen Extrapolation kommt es sehr auf die subjektive Abschätzung des Experimentators an. Dies kann eine durchaus nicht zu vernachlässigende Fehlerquelle darstellen. Da aber die gemessenen Daten sowie die Auswertung der Diagramme im Anhang zu finden sind, kann man diese Abschätzung nachvollziehen und gegebenenfalls diskutieren und variieren.
y = 0,1559x + 0,3158
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
4,5
12 14 16 18 20 22 24 26
h·c
/λ in
10
-15
J
U in kV
Regressionsgerade
CODATA-Wert für das plancksche Wirkungsquantum:
CODATA-Wert für die Elementarladung:
24
III.3 Franck-Hertz-Versuch Anfang des 20. Jahrhunderts stellte Niels Bohr sein Atommodell vor. Es enthielt die Aussage, dass Atome nur diskrete Energiezustände annehmen können. Franck und Hertz bestätigten diese Aussagen 1914 experimentell. Sie entdeckten, dass Atome, die sonst elastische Stöße mit Elektronen durchführen, auf einmal mit Elektronen, die eine bestimmte kinetische Energie besitzen, unelastisch stoßen, d.h. die Energie der Elektronen aufnehmen. Diese Energie kann auch durch das von den Atomen emittierte Licht sichtbar werden.
III.3.1 Theoretische Vorüberlegung In diesem Experiment wurden Elektronen in einer evakuierten Glasröhre zwischen einer Kathode und einem Metallgitter beschleunigt, da das Gitter zur Kathode positiv geladen war. Dahinter befand sich die Anode, die zum Gitter negativ geladen war, allerdings war der Betrag der Potenzialdifferenz viel niedriger als zwischen Gitter und Kathode. Die Elektronen erfuhren nach ihrer Beschleunigung also eine schwache Abbremsung zwischen Gitter und Anode. In der Röhre, die Franck-Hertz-Röhre genannt wird, war ein sehr schwach konzentriertes Gas vorhanden, hier Quecksilberdampf.
Nimmt man den Verlauf der Stromstärke von Gitter zu Anode in Abhängigkeit der regelbaren Beschleunigungsspannung auf, so entsteht ein typisches Bild mit mehreren Maxima gleicher Abstände. Diese charakteristische Kurve wurde, nach ihren Entdeckern, Franck-Hertz-Kurve genannt und ist in folgender Abbildung schematisch dargestellt.
Der Verlauf zu Beginn zeigt, dass mit steigender Beschleunigungsspannung auch die Anzahl der Elektronen zunimmt, die die Anode am Ende der Glasröhre erreichen. Ab einer bestimmten Beschleunigung sinkt die Rate jedoch stark und die emittierten Elektronen erreichen kaum noch die Anode. Wird die Beschleunigung nun weiter erhöht, zeigt sich wieder ein Anstieg des Anodenstroms, bis dieser wie zuvor abrupt abnimmt.
Die Erklärung ist in der Quantenphysik zu suchen. Die bewegten Elektronen stoßen permanent mit den Atomen des eingeschlossenen Gases. Hat ein Elektron eine bestimmte kinetische Mindestenergie beim Stoß, so wird diese vom Atom absorbiert und es wird angeregt. Dabei springt nach dem bohrschen Atommodell ein Elektron in der Hülle des Atoms auf ein höheres Energieniveau. Da diese Energien diskret sind, also nur bestimmte Anregungsenergien möglich sind, fällt der Anodenstrom so abrupt ab. Die schnellsten Elektronen haben nach der Energieabgabe nicht mehr genügend kinetische Energie, um die Bremsspannung zur Anode zu überwinden. Das Elektron muss nach diesem unelastischen Stoß weiter beschleunigt werden, bis es erneut die charakteristische Anregungsenergie besitzt.
Gustav Hertz(1887-1975)(21) War ein deutscher Physiker, der nach dem Nobelpreis mit J. Frank an einem Verfahren zur Diffusionstrennung von Isotopen arbeitete.
Typische Franck-Hertz-Kurve(22)
25
Somit entsprechen die Abstände der Maxima bzw. Minima untereinander der Beschleunigungsspannung, die aufgewendet werden muss, um einem Elektron die charakteristische Energie zur Anregung zu übertragen:
mit als Ladung des beschleunigten Teilchens, also hier der Elementarladung. Die angeregten Atome des Gases geben ihre Energie in Form von Photonen ab und gehen wieder in den nicht angeregten Grundzustand. Kennt man die Frequenz der emittierten Photonen, so ist auch deren Energie bekannt. Diese entspricht genau der
Anregungsenergie :
Ist nun die Elementarladung sowie die Frequenz der emittierten Photonen bekannt, so kann man das plancksche Wirkungsquantum aus dem Abstand der Maxima der Franck-Hertz-Kurve errechnen:
III.3.2 Experimenteller Aufbau und Durchführung In einem evakuierten Glaskolben befand sich Quecksilberdampf. Elektronen, die von einem Heizdraht (K) emittiert wurden, wurden darin durch eine regelbare Spannung ( ) zu einem geladenen Gitter (G) hin beschleunigt. An dem Gitter erreichten die Elektronen eine maximale Geschwindigkeit. Ab hier wurden sie wieder von einer Anode (A) gebremst. Die Elektronen, die genug Energie besaßen, um diese zu erreichen, verursachten einen Strom, der per Multimeter gemessen wurde. Heiz- und Bremsspannung wurden so justiert, dass die typische Franck-Hertz-Kurve auf einem Oszilloskop erkennbar wurde. Der Abstand der hier auftretenden Maxima ergab den Betrag der Spannung, die nötig war, um ein Elektron aus der Valenzschale zu lösen.
III.3.3 Auswertung Die Wellenlänge des emittierten Lichts der Quecksilberatome ist von anderen Versuchen allgemein bekannt. Das nicht sichtbare Licht hat eine Wellenlänge von , besitzt also die Frequenz
James Franck (1882-1964)(22.1) war ein deutsch-amerikanischer Physiker, der Untersuchungen über die Energieabgabe von Elektronen anstellte und 1925 mit G. Hertz den Nobelpreis für den hier dargestellten Versuch bekam.
Prinzipschaltbild einer Franck-Hertz-Röhre(23)
26
Nach mehrmaliger Justierung der Beschleunigungsspannung , der Bremsspannung und der Leistung der Glühkathode zeigte die Kurve auf dem Oszilloskop den erwarteten Verlauf.
Mit diesen Einstellungen ergab die Messung der Maxima mittels der Multimeter die Werte
Maximum in V in V
1 5,8
2 10,5 4,7
3 15,5 5,0
4 20,2 4,7
Im Durchschnitt ist also . Daraus ergibt sich das Plancksche Wirkungsquantum zu
Da die Messunsicherheiten der verwendeten Messgeräte kleiner sind als der Standardfehler der Maxima-Abstände , wird dieser als Grundlage der Fehlerrechnung verwendet. Daraus ergibt sich eine Vertrauensabweichung, basierend auf den 3 Messwerten, von
Bei der Maxima-Messung mit den Multimetern wurde also ermittelt zu
Auch ein Digitaloszilloskop zeigte nach der Justierung die typische Franck-Hertz-Kurve:
0
50
100
150
200
250
300
8 13 18 23 28
An
od
en
span
nu
ng
(~ A
no
de
nst
rom
) in
V
Beschleunigungsspannung UB in V
Gerät zur Justierung der Werte der Franck-Hertz-Röhre.
Die charakteristische Franck-Hertz-Kurve, die mit den Multimetern „vermessen“ wurde.
√
Die Vertrauensabweichung errechnet sich aus der Standardabweichung der Einzelwerte und der Anzahl der Werte zu
ist der sogenannte Studentfaktor und hängt von ab. Er korrigiert die Abweichung nach oben, da die ermittelten Werte nicht normalverteilt sind.
27
Hierbei wurden die Abstände der Maxima über verschiebbare Markierungen in der zugehörigen Computersoftware ermittelt zu
Maximum in V in V
1 10,9
2 15,7 4,8
3 20,7 5,0
4 25,7 5,0
Mit ergibt sich
Die Vertrauensabweichung ist dabei
und der Wert des planckschen Wirkungsquantums somit anzugeben als
Die Messungen des Digitaloszilloskops scheinen genauer gewesen zu sein, da eine geringere Unsicherheit ermittelt wurde. Allerdings basiert diese Berechnung auf lediglich 3 Messwerten. Da sich die Messwerte, die durch die Multimeter und das Digitaloszilloskop ermittelt wurden, sehr ähneln, ist es sinnvoll, sie als eine Messreihe mit 6 Messwerten zu betrachten und somit ein genaueres Ergebnis zu erhalten.
Die Berechnungen führen dabei zu den Ergebnissen
An der Vertrauensabweichung ist zu erkennen, dass der nun ermittelte Wert in etwa doppelt so genau wie zuvor sein müsste. Schließlich kann man angeben
Der ermittelte Wert hat eine relative Abweichung vom Tabellenwert von und ist damit sehr genau. Er ist sogar etwa 10 Mal genauer, als es die errechnete Unsicherheit annehmen lässt.
Die Messkurve des Digitaloszilloskops am Computer. Zu sehen sind außerdem die verschiebbaren Messmarkierungen (Linien).
CODATA-Wert für das plancksche Wirkungsquantum:
28
III.4 Wasserstoffspektroskopie Ende des 19. Jahrhunderts untersuchte der Mathematiker Johann Jakob Balmer die vier damals bekannten, sichtbaren Wellenlängen des Wasserstoffspektrums. 1885 fand er heraus, dass diese vier Wellenlängen durch eine mathematische Formel dargestellt werden können.
(
)
Die weiteren möglichen Wellenlängen, die aus dieser Formel folgen, gehören zur sogenannten Balmer-Serie. Diese Formel ließ aber auch weitere Wellenlängen zu, die erst später tatsächlich entdeckt wurden.
Im gleichen Jahr untersuchte Johannes Rydberg diesen Zusammenhang und bestätigte ihn. Er fand heraus, dass diese Wellenlängen emittiert werden, wenn ein Elektron auf eine niedrigere Schale wechselt. Diese Feststellung stimmte mit dem bohrschen Atommodell überein, das besagt, dass Atome nur bestimmte Energieniveaus einnehmen können.
III.4.1 Theoretische Vorüberlegung Der von Balmer empirisch gefundene Zusammenhang der Wasserstoffspektrallinien lässt sich über das bohrsche Atommodell, sowie einige elektrostatische, mechanische und quantenmechanische Betrachtungen herleiten.
Betrachtet man die Elektronen, die den Wasserstoffkern umkreisen, als Wellen, so kann deren Wellenlänge nur ein ganzzahliges Vielfaches der Umlaufbahn mit dem Radius sein:
Weiterhin sagt die Beziehung von de Broglie aus, dass zwischen Wellencharakter und Teilchencharakter der Zusammenhang
besteht. Daraus ergibt sich für die Geschwindigkeit des Elektrons
Da die Elektronen eine stabile Kreisbahn um den Kern vollziehen, kann man die Zentripetalkraft mit der Coulombkraft , die das Elektron zum Kern zieht, gleichsetzen:
ist hierbei Elektronenladung sowie Kernladung des Wasserstoffatoms. Man erhält aus dieser Beziehung und der zuvor berechneten Geschwindigkeit schließlich
Johann Jakob Balmer (1825-1895)(24) war ein schweizer Mathematiker und Physiker, hauptberuflich war er Mathematiklehrer in Basel.
Johannes Rydberg (1854-1919)(25) war ein schwedischer Physiker, der hauptsächlich für die nach ihm benannte Rydberg-Formel bekannt ist. Sie gibt das Emissionsspektrum von Wasserstoff an.
29
Nun lässt sich die Gesamtenergie eines Elektrons berechnen zu
∫
Folglich erhält man für die Energieänderung des Elektrons von einer Schale zu einer anderen Schale
(
)
Diese Energie muss nach dem Energieerhaltungssatz der Energie des emittierten Photons beim Schalenwechsel des Elektrons entsprechen, also und es ergibt sich
(
)
(
) (
)
Die Konstante wird Rydbergkonstante genannt. Der Index soll daran erinnern, dass von einer unendlich großen Kernmasse ausgegangen wird. Um ein korrekteres Ergebnis für Spektrallinien zu erhalten, muss beachtet werden, dass sich Elektron und Proton um einen gemeinsamen Massenmittelpunkt drehen, also ein Zweikörperproblem vorliegt. Dies kann mit der Einführung der reduzierten Masse gelöst werden, durch die die Elektronenmasse ersetzt wird:
(
)
(
)
(
)
mit als Kernmasse, also bei einem Wasserstoffatom die Masse eines Protons.
30
III.4.2 Experimenteller Aufbau und Durchführung Mittels eines zuvor kalibrierten Gitterspektrometers wurde das Spektrum einer Wasserstofflampe aufgenommen. Diese bestand aus einer mit Wasser gefüllten Kapillare, an der ein Wechselstrom angelegt war. Dadurch entstand angeregter, elementarer Wasserstoff, der das spektral zu untersuchende Licht emittierte. Dieses traf im Spektrometer auf ein optisches Gitter, welches es nach Wellenlänge aufspaltete. Danach traf es auf einen CCD-Schirm als Detektor, welcher die relativen Intensitäten der einzelnen Wellenlängen angeben konnte.
III.4.3 Kalibrierung des Gitterspektrometers Da das verwendete Gitterspektrometer zur Bestimmung von Emissionsspektren nicht kalibriert war, wurde dies anhand bekannter Spektren vorgenommen.
Das Spektrometer hatte eine Auflösung von ungefähr 2000 Pixeln, wobei jedem Pixel eine Wellenlänge zugeordnet werden muss und darin ein linearer Zusammenhang angenommen wird. Es wurden die bekannten Spektren von Quecksilber sowie Neon aufgenommen. Zuerst wurde jeweils eine grobe Zuordnung der Spektrallinien über ein Bild optisch sichtbarer Emissionen(26) der Stoffe vorgenommen:
0
5000
10000
15000
20000
0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000
Re
lati
ve I
nte
nsi
tät
Pixelnummer
Quecksilberspektrum
0
5000
10000
15000
0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000
Re
lati
ve I
nte
nsi
tät
Pixelnummer
Neonspektrum
Wasserstofflampe
31
Nun konnten anhand der Farben bereits ungefähre Wellenlängen ausgemacht werden. Mithilfe der Online-Spektraldatenbank der NIST (National Institute of Standards and Technology) konnten zahlreiche Spektrallinien recht eindeutig identifiziert werden(27).
Von etwa 12 Linien des Quecksilbers konnten 8 zugeordnet werden, beim Neon konnten 21 von etwa 30 Linien zugeordnet werden. Diese 33 Wertepaare ergeben einen linearen Zusammenhang zwischen Pixelnummer und Wellenlänge . Eine lineare Regressionsanalyse ergibt den Zusammenhang
Bereits graphisch zeigt sich die Genauigkeit dieser Kalibrierung:
Der Standardfehler beträgt nach der Regressionsanalyse gerade einmal
0
100
200
300
400
500
600
700
800
0 500 1000 1500 2000
We
llen
län
ge λ
in n
m
Pixelnummer P
λ(P)
Hg
Ne
Kalibrierung
32
III.4.4 Auswertung Der Beginn der Balmer-Serie besteht aus den sichtbaren Spektrallinien des Wasserstoffs, welche entstehen, wenn ein Elektron aus einer energetisch höher gelegenen Schale auf die zweite Schale fällt, also .
Die ausfindig gemachten Spektrallinien des gemessenen Spektrums wurden mit ihrer zugehörigen Elektronenschale der angeregten Elektronen markiert:
Die Messungen dieser Spektrallinien der Wasserstofflampe und die zugehörigen Schalen der angeregten Elektronen ergaben die folgenden Wellenlängen im Vergleich mit den theoretisch errechneten Wellenlängen:
0
2000
4000
6000
8000
10000
12000
14000
16000
18000
300 350 400 450 500 550 600 650 700 750 800
Re
lati
ve I
nte
nsi
tät
Wellenlänge λ in nm
Wasserstoffspektrallinien (300...800 nm) 3
4
5 6 7 8
0
50
100
150
200
250
300
380 385 390 395 400 405 410 415 420
Re
lati
ve I
nte
nsi
tät
Wellenlänge λ in nm
Wasserstoffspektrallinien (380...420 nm)
8
7
6
Spektrallinien der sichtbaren Balmer-Serie(26)
33
Relative Intensität in nm
(gemessen)
in nm
(theoretisch)
Relative
Abweichung
>16000,00 3 657,7 656,28 0,220%
15066,00 4 484,9 486,13 –0,250%
1009,70 5 434,1 434,05 0,016%
257,75 6 410,9 410,17 0,180%
151,55 7 396,1 397,01 –0,230%
27,55 8 390,5 388,81 0,430%
Diese Wellenlängen wurden zur größer gemessenen relativen Intensität der Nachbarpixel hin abgeschätzt und gerundet. Die erwartete Genauigkeit der Messung ist die Hälfte der kleinsten Skalenschritte, also eines Pixels. Addiert man dazu noch die Unsicherheit der Kalibrierung, so dürfte die Unsicherheit der gemessenen Wellenlängen in etwa betragen, was sich im Vergleich zu den theoretischen Werten bestätigt.
Nun gilt es aus diesen Wellenlängen und Elektronenschalen und dem theoretisch bekannten Zusammenhang, das plancksche Wirkungsquantum zu ermitteln.
Der hergeleitete Zusammenhang war
(
)
(
)
(
)
wird hier behilfweise eingeführt, um den langen Ausdruck des noch zu verwendenden Wertes zu verkürzen. Dabei ist die Protonenmasse,
die Elektronenmasse und die Elektronenschale, auf die das zuvor angeregte Elektron zurück fällt. Verwendet man nun für die enthaltenen Konstanten ⁄ und die von der CODATA aktuell
(2006) empfohlenen Werte, so erhält man für
(
)
Nun lässt sich, als eine Methode, direkt aus den ermittelten Wertepaaren berechnen:
[ (
)]
34
Auf diesem Wege erhält man die Ergebnisse
in nm in 10-34 Js
3 657,7 6,63021
4 484,9 6,61982
5 434,1 6,62570
6 410,9 6,62933
7 396,1 6,62037
8 390,5 6,63447
Durchschnitt 6,62665
Vertrauensabweichung 0,00615
Also erhält man für das plancksche Wirkungsquantum über direktes Umstellen der Formel
Eine höhere Genauigkeit verspricht allerdings eine lineare Regressionsanalyse, da die hier herrschende Gesetzmäßigkeit in die Form einer Geradengleichung des Anstiegs gebracht werden kann:
(
) (
)
* (
)+
(
)
(21)
Führt man nun eine Regressionsanalyse durch, so ergibt sich die folgende Gerade:
(
)
[ (
)]
7,4
7,6
7,8
8
8,2
8,4
8,6
8,8
9
9,2
110 115 120 125 130 135 140
y in
10
-32
Js/(
m1
/3)
x in m1/3
Regressionsgerade
35
Es wurde angenommen, dass die gesuchte Gerade durch den Nullpunkt verläuft. Somit ergibt die Analyse einen Anstieg von mit einem Standardfehler von . Also ist das Plancksche Wirkungsquantum anzugeben mit
Dies ist das gleiche Ergebnis, wie es zuvor über das direkte Umstellen ermittelt worden ist, allerdings mit einer geringeren Unsicherheit. Der ermittelte Wert weicht gerade einmal um relativ vom Literaturwert ab. Somit zeigt nicht nur die errechnete Unsicherheit, sondern auch die relative Abweichung, dass diese Messung extrem genau ist.
IV Zusammenfassung
Es verbleibt ein Vergleich der ermittelten Konstanten und deren Messmethoden untereinander.
Die Genauigkeiten der ermittelten Werte für die Elementarladung unterscheiden sich je nach Messmethode. Dabei liegt der als wahr anzunehmende Tabellenwert aber immer in der ermittelten Unsicherheit.
Messergebnisse für in
Methode Ergebnis Unsicherheit Angabe Rel. Abweichung Tabellenwert
Schuster 1,488 0,184 1,50±0,20 –7,10%
1,602 Busch 1,607 0,049 1,61±0,05 0,31%
Röntgen 1,558 0,137 1,56±0,14 –2,70%
In der folgenden Graphik werden die Messergebnisse der verschiedenen Methoden dargestellt. Die rote Linie markiert den allgemein anerkannten Tabellenwert der Größe. Zu sehen sind jeweils der ermittelte Wert und dessen Unsicherheit in Form eines Punktes und Balken als Grenzen des Unsicherheitsbereichs.
1
1,1
1,2
1,3
1,4
1,5
1,6
1,7
1,8
1,9
2
Messergebnisse für e in 10-19 C
Schuster Busch Röntgen
CODATA-Wert für das plancksche Wirkungsquantum:
36
Hierbei stellt die Methode des Kathodenstrahlrohrs nach Busch mit der kleinsten Unsicherheit die genaueste Messung dar. Etwas ungenauer sind die Methoden nach Röntgen und Schuster. Dies spiegelt sich auch jeweils in den ermittelten Werten für selbst wieder: Je geringer die relative Abweichung ist, desto kleiner ist der Bereich der Unsicherheit.
Eine Erklärung für die unterschiedlichen Genauigkeiten ist in der Anordnung der Experimente zu suchen. Im Versuch nach Schuster musste man entscheiden, wo die Mitte des Elektronenstrahls die Markierung berührte. Aufgrund der Breite des Strahls, die im Punkt II.1.3 begründet wurde, war dies schon von vornherein nicht exakt möglich, sodass eine größere Unsicherheit bzw. eine relativ breite Streuung der Messwerte folgte. Dies führte zu einem größeren Fehler in der Regressionsanalyse. Zudem konnte man die Abstände der Markierungen nicht nachmessen. Weil alle Messwerte unter dem Vergleichswert liegen, könnte auch eine mögliche Fehlerquelle in der falschen Justierung des beschichteten Metallgestells zu finden sein.
Die Genauigkeit des Wertes aus dem Röntgenversuch hängt stark von der Genauigkeit der Extrapolationsgeraden ab. Diese unterliegt einer subjektiven Einschätzung. Dadurch erfahren die Messwerte eine breite Streuung, was wieder einen relativ großen Fehler bei der Regressionsanalyse zur Folge hat.
Wie schon erwähnt, war beim Versuch nach Schuster die erste Fokussierung sehr genau zu erkennen. Und da, wie beschrieben, alle anderen Unsicherheiten als vernachlässigbar klein eingestuft werden konnten, waren ein genauer Wert und ein geringer Fehler die Folge.
Die Unsicherheiten und die tatsächlichen Abweichungen der Mess- von den Vergleichswerten decken sich also.
Die Genauigkeiten der Methoden zur Bestimmung des planckschen Wirkungsquantums unterscheiden sich recht deutlich:
Messergebnisse für in
Methode Ergebnis Unsicherheit Angabe Rel. Abweichung Tabellenwert
Photoeffekt 6,527 1,088 6,500±1,100 –1,5000%
6,626 Röntgen 6,610 0,579 6,600±0,600 –0,2500%
Franck-Hertz 6,598 0,217 6,600±0,300 –0,4200%
Wasserstoff 6,627 0,002 6,627±0,002 0,0085%
Die unterschiedlichen Unsicherheiten lassen sich gut in der Graphik erkennen:
37
Auch hier liegt der Tabellenwert in allen berechneten Unsicherheitsbereichen. Dabei fällt allerdings auf, dass die ermittelten Werte jeweils viel genauer sind, als es ihre Unsicherheiten annehmen lassen.
Am ungenauesten ist die Bestimmung von über den Photoeffekt. Dies mag daran liegen, dass sehr kleine Ströme gemessen wurden und die Nullpunkte der aufgenommenen Kennlinien schwer zu ermitteln waren. Dadurch sind die Datenpunkte des zugrundeliegenden linearen Zusammenhangs sehr gestreut, was die Regressionsanalyse ungenauer werden lässt.
Etwas genauer scheint die Methode der Röntgenspektroskopie zu sein. Allerdings mussten auch hier aus schwankenden Messreihen Nullpunkte lediglich abgeschätzt werden. Daher ist auch hier die Regressionsanalyse durch gestreute Datenpunkte ungenauer.
Beim Franck-Hertz-Versuch hingegen waren Maxima einer Kurve zu ermitteln, die genauer zu erkennen waren als die Nullpunkte der Kennlinien der vorherigen Versuche. Die kleinere Unsicherheit entsteht aus den weniger gestreuten Werten der Maxima-Abstände der Franck-Hertz-Kurven.
Die weitaus genaueste Messung von gelang über die Spektroskopie von angeregtem Wasserstoff. Dies ist einerseits der sehr genauen Kalibrierung des Spektrometers zu verdanken, die erst durch Kenntnis von zahlreichen Spektrallinien der zur Kalibrierung verwendeten Stoffe möglich war. Andererseits sind Spektrallinien von Atomen sehr scharf und müssen kaum abgeschätzt werden.
5
5,5
6
6,5
7
7,5
8
Messergebnisse für h in 10-34 Js
Photoeffekt Röntgen Franck-Hertz Wasserstoff
38
V Anhang
V.1 Literaturnachweise (0) http://www.zitate.de/db/ergebnisse.php?autor=Planck,+Max (0.1) http://www.einstein-gymnasium-vk.de/einsteinprojekt/wissenschaftliche_kollegen/g2.jpg (1) commons.wikimedia.org/wiki/File:Niels_Bohr.jpg (2) http://physics.nist.gov/cuu/Constants/index.html (3), (4) http://www.kuertz.name/files/Physik3.pdf (5) http://www.leifiphysik.de/web_ph10/geschichte/10lorentz/lorentz.htm (6) http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/2/2a/Schuster_Arthur_signature.jpg (7) http://www.fkg-wuerzburg.de/schule/faecher/physik/lk/material/m12/lorentz.php (8) http://www.quantenphysik-schule.de/images/ubr_fadenstrahlrohr.jpg (9) http://www.deutsches-museum.de/sammlungen/ausgewaehlte-objekte/meisterwerke-
v/elektronenmikroskop/ (10) http://www.amuseum.de/mikroskopie/mikroskopvortrag4.htm (11) http://www.physik.uni-jena.de/profgalerie/grafik28.pdf (12) home.arcor.de/lehmann-christian/html/funktechnik/ (13) http://www.physik.tu-
berlin.de/institute/IFFP/moses/Subsites/themenseiten/photoeffekt/photoeffekt_anordnung.png (13.1) Quelle der Wellenlängen aus „Physikalisches Praktikum“, Geschke u.a., 10. Auflage, Teubner Verlag (14) http://media.dwds.de/dta/media/img/autoren/Wilhelm_Conrad_R%C3%B6ntgen-cropped.JPG (15) http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/e/ec/Roentgen-Roehre.png (16) http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/1e/Bremsstrahlung.svg/180px-
Bremsstrahlung.svg.png (17) http://www.ulfkonrad.de/bilder/grafik/physik/atom-quant/roentgen-spek.jpg (18) http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/c0/NaCl_polyhedra.png/700px-
NaCl_polyhedra.png (19) http://www.ulfkonrad.de/bilder/grafik/physik/atom-quant/roentg-spek-lif201-25.jpg (20) http://ruby.chemie.uni-freiburg.de/Vorlesung/methoden_II_3.xhtml (21) http://geschichte.sachsen.de/pe/1150.htm (22) Gerthsen Physik, S. 697, 23. Auflage. [Online-Ausg.], 2006 (22.1) http://www.britannica.com/EBchecked/topic-art/216901/10785/James-Franck (23) http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/f6/Schaltbild_Franck_Hertz_Versuch
.png/300px-Schaltbild_Franck_Hertz_Versuch.png (24) http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/history/PictDisplay/Balmer.html (25) http://www.answers.com/topic/johannes-rydberg (26) Jan Homann, 2009, Doktorand in Physikander University of Pennsylvania (27) Online-Spektraldatenbank der NIST :http://physics.nist.gov/PhysRefData/ASD/lines_form.html
