R I V I S T A

P R O P A G A Z I O N E A N O H A L A D E L L E O N D E

Nora del dott. ORAZm SP~CCHIA

(Parte Prima)

In una memoria pubblicata negli ~ Annales de Chimie et de Physique ~ del 1891, fl GO~'Y ha dimvstrato, sia in base a considerazioni teoriche, sia con esperienze di interferenza, come un ~ onda 1,mninosa subisca, passa~do per un fuoeo o per m~a focale, un'alterazione nella sua velocit~ di propaga-

zione, the si traduce in un anticipo di fase di ~ ne] easo del fuoeo, di 7~

~el caso della focaIe. Questa propagazione accelerata delle onde periodiche, ~, come ~limos~ra

~! GouY, una proprieth generale delle onde allorquando il loro raggio non molto graade in confronto della lunghezza d 'onda: la propagazione normale rappresenterebbe ~n caso limite, e, come tale, d 'una sempl~it~ eccezionale, che si verifica solo quando si considerino onde plane o sferiche di ragg;~ grsndissimo.

Formule del 6[ouy,

Queste formule the il GouY stabilisce, t ra t tando il caso acustico, sono relative a onde s~eriehe isotrope, eio~ tall che il mezzo essendo ugualmente

Fig. 1

per~urbato seco~do tutte ]e direzioni intorno a un punto fisso O, il movi- mento vibratorio in ogni punto del mezzo non dipende che dalla distanza r di questo punto dal p~nto O, ~en~ro delle onde.

lndichi, amo con u ,lo spostamento piceolissimo di ciaseuna partieella del mezzo dalla sua posizione in~ziale quando il mezzo era in riposo; con E il

CLXVI

[ modulo d'elastieitk di questo (per i g a s s iha, com'~ noto, E = P c ) , e o n s l a

eondensazione; e eonsideriamo due sfere eoneeatriehe 8 ed 8' di raggi r e d r + a r .

Un cono di pieeolissima apertura col verbiee in 0 taglia sulle due sfere due ccrehi sensibilmente uguali di raggio ~, e il volume dV de! troneo di eono cosl defmito sarh: ~r

~Se a ~ la densit~ del mezzo, la massa racehiusa nel volume dV sar~ espressa da:

Caleoliamo ora il valo~e della forza appticata al volume dV: Sulfa faceia ehe appartiene alla sfera S agisee la forza EspY7:, su quella

( ds ) the appartiene alia sfera 8' la forza --~E,~ s +~-~ dr . La componente se-

condo il raggio vettore della forza ehe agisce sulla superfieie laterale essendo trascurabite, la forza risultante dF aplclicata al volume dV ~ quindi espressa da:

ds dr dF = - - uE~ 2dr "

E l'equazione del movimento sara:

Ponemlo a ~

tiena infine :

d~u 2 ds One'dr ~t ~ ~ - - ~Ee dr dr.

, velocit~ di propagazione delle onde piane, si or-

d~u ~ ds ( I ) ~ t - r = - a ~ .

Questa equazione, valida tanto per le onde plane quanto per le onde sferiche, ~ diversa nei due easi per l'espressione di s. Infatti , il mezzo es- sendo in riposo, si consideri Io strafe eompreso fra le sgere di raggi r ec~ r-~-dr. I1 suo volume

V ~ 4~r~dr.

Durante il movimento, r ed r + d r diventano r + u ed r + u + d r + ~ d r .

II nuovo volume sarh dato da:

V + d V ~ 4 , ~ ( r + u)'(dr +.du~ dr)

da cui si ricava:

dV-~" 4nr~'d~(d'! +"

ed d v §

(2) s ----- V \ d r

C L X V I [

Tenendo ,eonto delda (2) la (1) diventa:

d~u __ a~ {d"-u 2 d u_)r (3) dt ~ \-~r Y + ~ - �9

Per r infinit~mente grande si ritrova l 'equazione elassiea delle onde p lane :

d'2u ~ d'~u ~ t ~ = a ~ j .

L' integra]e generale dell'equazione (3) 5 : u ---- u, -~- u~, dove :

essendo F, ed F~ funzioni arbitrarie di (at - - r) e di (at -{- r) rispettivamente, ~d F , ' ed F'~ ,le derivate di F, ed F , rapporto ad ( a t - - r ) e ad (a t -{ -r ) .

Supponiamo che t vari di At : a questa variazione di t, eorrisponderh per r la variazione aAt . Le funzioni F~ ed F~' rhnangono inalterate se ad un accrescimento di t eorrisponde una diminuzione di r ; il contrario avviene per le funzioni F, ed F, ' . L'equazione (5) ralSpresenta quindi il movimento t'li mfonda sferiea ehe si propaghi con veloeit~t a n e l senso delle r decreseenti, cio~ un'onda convergente verso il punto O. L'equazione (4) inveee rappre- senta il movimento .di un'onda sferica ,che si dilati a part ire da 0 propa- gandosi con velocit~ a, eio~ un'onda divergente.

I1 movimento pifi gener~le risulta dalla sovrapposizione dei movi- menti (4)e (5).

II caso particolare pifi importante si ha quando esiste solamente la fun- zione u,. In questo caso i valori della velocit~ vibratoria v, e della eonden- sazione s, sono daft dalle espressioni:

dui a , 4- a_ i v~ dt r - - ~ r:'- Fl (at - - r) Fl"(at - - r)

(6) , /dui 2u', 1 ,,

I ~, - ~ - d T + -~ r ) ~ r F i (a t - - r) .

La prima delle (6) ci mostra come l'espressione di v, ~ costituita da due termini ehe dipendono da r seeondo due leggi differenti. Sieeome, in generale, le funzioni F' ed F" , sono dello stesso ordine di grandezza, il seeondo ter- mine della (6) sarh t~a~c~rabile di fronte al primo per piceolissimi valori di r ; il eontrario avverr~ per grandi valori di r. Cosl, in prossimit~ deI centro di perburbazione, la velocith vibratoria v, ~ sensibilmente eguale ad 1 -~ F ' ( a t - - r ) ; lontano dal eentro ~ invece uguale ad lr FP" ('a$ - - r). Se si

1 1 prescinde dai fa t tor i ~ ed ~ , si pub dire ehe nei due casi eonsiderati l a

vel~eith vibratoria ~ espressa da due funzioni dene quali una ~ la derivata delI 'al tra rapporto ad a t - - r .

CI ,XVII I

ConsideTiamo il r appor to

si - F t " ( a t - - r ) eame risutta dalle (6).

In generale, come abbiamo detto, F ' ed F " han lo stesso ordine di gran-

dezza. Quindi il r appor to ~ non avrh il suo valore normale ~ che come si limite, quando eio~ si abbia a che fare con onde p iane opp,~re sferiche di raggio grandissimo. In generale tale r appor to sar~ diverso da a e aumenterh senza l imite quando si considevi delle onde di raggio v ia via pifi piccolo,

Nel le considerazioni fin qui esposte abbiamo lasciato indeterminata la eausu pr.oduttriee delle onde sferiehe. Pe r precisare, supponiamo ora elm il centro di vibrazioni sia costituito da una sfera solida di raggio ~ ehe si eon t ragga o si ~lilati senza deformars i e senza the il suo centro subisca spostamento aleuno. Sulla su.perficie della s fera supponiamo inoltre che si abbia :

k sen 2T: T ' dove k e T sono due costanti. V

Se supponiamo il raggio r piecolissimo sar~ come abbiamo gi'~ vis to:

s e n 2 ~ T ~ F ' ( a t - - ~) ~ F ' ( a t ) (sensibi|mente). $2k

E le equazioni del movimento saranno, applican~lo le (6):

1 t r v __ k~ [7, sea 2~ (~ - " - - ~ ) + ~ T - - a t \ 127: cos 2r: (T _ ~_a)]

. ,1 2~ s ~ k~" ~ ~/,a cos 2~ ( T - - ~ )

oppure , essendo )~ = a t :

1 , t r 1 2T:

( 7 ) ;) ar-- - f cos ~,~ k ~ - - .

Se r ~ piceolissimo in confronto di ),, si ha sensibi lmente:

k:- ~ ~ t v ~ ~ sen zr: ~ .

Per grandi valori di r si ha iavece:

= - F i sen . ~ \ ~ x "

C L X I X

Q~esta relazione mostra come il movimento vibratorio posse~ga, a una 1

grande distanza dal centro di vibrazione, un anticipo di 7~ di periodo su

quello ehe si avrebbe se le onde si propagassero, a partire dal eentro, con la velocith normale a. Tale anticipo impliea neeessariamente e he l a velocith di propagazione delle onde d~bba essere, in qualche parte del loro percorso, maggiore di a. Infatt i , consideriamo, ad un eerto Jstante, le sfere sulle quali si abbia v ~-0. I1 raggio p ,di ,una di queste soddisferh alla relazione ehe ~i deduce d'alla (7) ponendo v----0.

~. t p ~ = - - ~ t g 2 ~ : ( ~ - - ~ ) ,

dp dalla quale si ri,cava per la velo.cith (]i propagazione ~ delle onde al punto

considerato : d~

d 9 ~ T d t a

t p

dp La (9) mostra come sia sempre ~ > a.

Solo nel caso ehe a s i a grandissimo, la veloeith di propagazione assume il valore normale a; mentre per ~ piccolissimo in eonfronto di ), essa p~b avere d.ei valori estremamente elevati. Questa velocith anomala, dalla quale

1 dipende l'antieipo di fas~ di ~ di periodo, si verifica helle immediate viei-

nanze del centro di vibrazione: poi diminuisee rapidamente, tendendo al valore normale q.

Considerazioni analoghe valgono per le onde convergenti. In q~est(> caso il eentro verso cui Fonda si dirige non ~ pih oeeupato da una sorgente di vibrazioni, ma b un fuoco e l'onda si deve supporre generata da una perturbazione anteriore del mezzo. Quest'onda dopo essersi eoneentrata nel fuoco dh origine a un'on.da divel, gente: e la veloeit~ di propagazione ano-

X mala far~ guadagnare, in prossimith del fuoco, un antieipo di V~ tanto

all'onda che vi converge quanto a quella ehe se ne diparte: in totale al ).

pa~saggio per il fuoeo eorrisponder~ un anticipo di ~.

Questo ~ il risultato .cui il Gory giunge attraverso le eonsiderazioni sulle onde sferiche isotrope ehe ho cer~ato di riassumere; la verifiea sperimentale 5 stata .data, per il easo ottico, da vari sperimentatori: dallo stesso GorY, dal FABRV, dallo ZEE~IAN, dal SAGNAC e dal REICHE. Le esperienze del Gory e del FABaY relative a tale passaggio del~'onda per un fuoco provano sola-

mente come a tale passaggio corrisponda una variazione di s di ~, senza

per altro decidere se si tratti di un anticipo o di un ritardo. Che si tratti

C L X X

effettivamente di un antieipo, ~ dai due autori messo in evidenza conside- rando il passaggio per una locale, al quale passaggio eorrisponde, come

X vedremo, un anticipo di ~.

Inoltre, seeondo la teoria del GorY, la variazione di fase si avrebbe bruscamente ~1 pass~ggio per il fuoeo o per la foeale: SAGNAC' e REICHE, r iprendendo e vaviando un'esperienza di Z E E ~ , hart mostrato come il ~nomeno del GouY, della propagazione anomal~a delle onde, ~, come ve- dremo, un fenomeno eomplesso e relativamente esteso.

Esperienza di Gouy.

L'apparecehio adoperato (fig. 2) non differisce dall 'apparecchio classico dei due specehi di FRESh'EL se non in eib: uno dei due specchi piani ~ sosti- tuito da uno specehio sferico eoncavo in modo the i raggi riflessi da questo passino per il fuoco prima di interferire con quel~i riflessi dallo specchia

Fig. 2

piano. I1 fenomeno r si deve osservare eonsiste unicamente n~l carattero della f ran~ia centrale e ~lelle eolorazioni delle flange. Se il fenomeno della propaga~ione anomala dell 'onda non es~istesse, si avrebbe, come ~ noto, un sistema di frange, di cui la centrMe, the occupa punt i cui corrispondono uguali cammini dei raggi interferenti, sarebbe biancee.

I1 passaggio per il ~uoco, producendo in base alla teoria, un antieipa

di X su uno dei fasei interferenti, la frangia eentrale do~rebbe es~re hera

e tutte le eolorazioni eomplementari di que~le the si avrebbero ne~l'ipotesi preeedente. I1 sistema di f range dovrebbe essere, ~n ultima analisi, analoga a quello che si ottiene nell 'esperienza dei tre speechi di FRESNEL, nella quale la riflessione produce su uno dei fasci interferenti un cambiamcnto di segno.

L'esperienza conferma queste previsioni. La disposizione di G o r y d~ effettivamente un sistema di frange a centro nero, come se il movimento lu-

7. minoso passando per il fuoco subisse una variazione di fase di .~.

C L X X I

Esperienza dl Fabry.

I1 FABRY utilizza on apparecchio produttore di anelli di NEWTON eosti- tuito da una lente convergente di eui una faecia, eonvessa, ~ applieata su una superficie piana riflettente (fig. 3).

Un punto luminoso lontano, oppure un collimatore nel cui piano locale disposto uno schermo con un foro piccolissimo, invia sul sistema un' onda

Fig. 3

sensibilmente piana, parallela alla superfieie riflettente. ,Si ottengono degli anelti di NEWTON non localizzati, osservabili, eio~, in qualsiasi piano avanti il sistema. Le interferenze si producono f ra dne onde ~ e ~ ' di eentri F ed F' , la eui posizione si cal~ola ~acilmente. Infat t i , s~apponiamo che !a Iente sia infinitamente sottile, biconvessa e simmetrica, d'indice ugua]e a 1,5 e che fl raggio di eurvatura di eiascuna fascia sia uguale ad R. L'onda piana incidente che attraversa la lente converge in un punto a sinistra del sistema: di questo punto lo specchio piano dh un' imagine virtuale a destra alla distanza R----f. Quest' imagine funziona da oggetto virtuale rispetto alla

R lente, attraverso la qua]e essa dh infine un' imagine reale F ' alla distanza ~ .

Consideriamo ora l 'onda che si riflette sulla faccia sinistra della lente. Tenendo eonto che essa attraversa il diottro due volte e subisce una rifles- sione su una faceia della lente ehe funziona da speechio concavo, si vede, con ragionamento analogo a qnello del easo precedente, ehe essa converge in

R un punto F alla distanza ~ .

Osserviamo le frange in un piano P normale a F F ' : si ha un sistema di anelli a centro nero, dipendentemente dalla perdi ta di fase deU'onda ~ per

). rifles~ione. A1 d'i l'~ di F l 'onda ~ subisce una variazione di fase di 2: quindi

in ogni pun~o deI segmento F F ' le due onde saranno fix concordanza e in un p.;ano qualsiasi P ' t r a F e d F" gli anelli saranno a centro bianco. A1 di lk

di F ' ~ l 'onda ~ ' ehe snbisce la variazione di fase di ~ 2: gli anelli saranno

(]i nuovo a centro nero.

O L X X I I

Altre esperienze.

L'osservazione del fenomeno scoperto dal Gou~ ~ s tata anche tentata da MEsms, utilizzando le mezze l'enti di BILLET con una disposizione diversa da quella che s 'adotta nella esperienza classica. ~ noto come le frange "di inter- ferenza ehe si ottengono con gli speechi di FRESNEL, .con le mezze lenti di BILLET, ecc. sono sensibihnente rettilinee, rappresentando esse le sezioni d'un piano paralle]o all'asse con un sistema di iperboloidi omofocali di ri-

Fig. 4

voluzione intorno alla linea dei fuochi. 1Ka ~ possibile, con le mezze lenti, ottenere anehe detle frange circolari con l'ingegnosa disposizione imaginata dal MESLIm Si separino le due mezze lenti e si dispongano una di seguito al l 'a l t ra davanti a una sorgente puntiforme e si regolino le eose in modo che q~esta e i due centri ottlei delle mez~e lenti siano sensibilmente sulFasse del fascio luminoso (fig. 4).

L'osservazione delle frange ~a fa t t a in piani normali a tale asse, in una regione compresa fra S, ed S,, nella quate vi ~ interferenza t ra le onde di- vergenti ehe emanano da S, e q~ell~e the convergono verso S2.

Questa disposizione sembrerebbe atta a mettere in evidenza il fenomeno del GouY: in realth, nella realizzazione pratica, essendo costret t i a spostare te due mezze lenti perpendicolarmente all'asse S,S,, ne risulta non solo una (leformazione delle fral~ge, ma anche ehe i punt i della retta S.~S, non corri- spondono pifi a r i tardi nulli e quindi il centro degli anelli non solo non ha pi~ il carattere di f rangia centrale, ma anzi, in certe eondizioni, pub anehe non essere visibile.

L' esperienza del GouY ~ stata r ipresa dallo serivente, il quale utilizza un interferometro di MmHELSO~ in cui uno degli specchi piani ~ sostituito da uno specchio sferieo conea:r (fig. 5).

La sorgente ~ un punto luminoso lontano, in modo ehe il fenomeno di interferenza risulta non localizzato e le frange sono osservabili in qual- siasi piano avanti l 'apparecchio. Esse sono eircolari, essendo la lamina e~luivalente l[mitata eta una~ superficie piana e da una superfieie sferica e indieano, come negl~ anelli di NEWTON, regioni di uguale spessore gi tale lamina. Questa disposizione presenta su quella del Gouy il van- taggio di permettere l'osservazione r frange sia avanti che dopo ii fuoco, sic ch~ il fenomeno della propagazione anomala si constata immedia- tamente eonfrontando [ due sistemi di frange che s[ osservano helle due

C I . X X I I I

posizioni indicate. Inoltre, 1' impiego di una sorgente monocromat~ca (arco a vapori di mercurio) permette di fare l 'esperienza con spessori notevoli della lamina equivalente, eliminando l'inconveniente di ,un r~golaggio pe- noso e delieato dell 'appareechio per ottenere il eontatto ottico fra le due superfici riflettenti: neeessario ove si voglia fare I' osservazionc in luee

Fig. 5

bianca. ]qell'esperienza si procede in questo modo: spostando convenien- temente lo specebio mobile si cerea che il sistema di f lange avanti il fuoco sia per es. a centro oscuro; al di lh del fuoco il sistema diventa a centro bril lante, eonformemente alla teoria del GoLlY.

Perb, come avviene anehe nell'esperienza del FABRu l'intensits dei due fasci interferenti diventano cosl diverse a una eerta distanza al di qua e al di lh del fuoco che le frange non sono visibil[ ed b quindi impossibile verificare se la variazione di fase che subisee l 'onda al passaggio per un fuoco sia brusca, come esige la teoria del Go[T~-, oppure continua.