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Unidad: Transformaciones Isométricas La propuesta didáctica se basa en el uso de tecnologías en una primera etapa como herramienta de aproximación a los conceptos que se desarrollarán aprovechando sus virtudes y el interés que presentan los alumnos por dichas herramientas. Luego se finalizará con la manipulación de objetos concretos (construcción de una teselación) ya que está ampliamente demostrado que la manipulación de objetos(sobre todo en estos niveles) activa distintas regiones del cerebro a las activadas solo por el trabajo intelectual ayudando a fijar los conceptos desarrollados en la etapa anterior. Para respetar los distintos ritmos de aprendizaje se trabajará con los programas Exe-learning y Geogebra. Así, los alumnos podrían seguir trabajando en sus casas destinando el tiempo que cada uno necesite. Las actividades serán más bien de carácter lúdico planteadas como desafíos para cada concepto de transformación a desarrollar. Cada archivo de Geogebra sería incrustado en Exe-learning con las respectivas actividades de guía. Objetivo: Conocer, caracterizar y aplicar las transformaciones isométricas. Conocimientos previos: - Plano cartesiano - Geogebra(si no lo han utilizado antes se deberá considerar una sesión para familiarizarse con el programa) - Construcciones geométricas básicas Actividad 1: Caracterización de vectores en el plano Se les da la definición de vector resaltando la idea de “desplazamiento” (Vector es un término que deriva de un vocablo latino y que significa “que conduce”) y se le pide que dibuje los vectores AB , CD y EF , como muestra la siguiente figura:

Propuesta Metodol-gica 2a Semana

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Page 1: Propuesta Metodol-gica 2a Semana

Unidad: Transformaciones Isométricas

La propuesta didáctica se basa en el uso de tecnologías en una primera etapa como herramienta

de aproximación a los conceptos que se desarrollarán aprovechando sus virtudes y el interés que

presentan los alumnos por dichas herramientas. Luego se finalizará con la manipulación de objetos

concretos (construcción de una teselación) ya que está ampliamente demostrado que la

manipulación de objetos(sobre todo en estos niveles) activa distintas regiones del cerebro a las

activadas solo por el trabajo intelectual ayudando a fijar los conceptos desarrollados en la etapa

anterior. Para respetar los distintos ritmos de aprendizaje se trabajará con los programas Exe-

learning y Geogebra. Así, los alumnos podrían seguir trabajando en sus casas destinando el tiempo

que cada uno necesite. Las actividades serán más bien de carácter lúdico planteadas como

desafíos para cada concepto de transformación a desarrollar. Cada archivo de Geogebra sería

incrustado en Exe-learning con las respectivas actividades de guía.

Objetivo: Conocer, caracterizar y aplicar las transformaciones isométricas.

Conocimientos previos:

- Plano cartesiano

- Geogebra(si no lo han utilizado antes se deberá considerar una sesión para familiarizarse

con el programa)

- Construcciones geométricas básicas

Actividad 1: Caracterización de vectores en el plano

Se les da la definición de vector resaltando la idea de “desplazamiento” (Vector es un término que

deriva de un vocablo latino y que significa “que conduce”) y se le pide que dibuje los vectores A⃗B

, C⃗D y E⃗F , como muestra la siguiente figura:

Al ir dibujando los vectores con el programa van apareciendo los valores que definen al

vector(coordenadas)

Page 2: Propuesta Metodol-gica 2a Semana

Se hace hincapié en el significado de los valores asociados a cada vector, es decir, qué significa

que A⃗B≡u⃗ (−4 ,−3 )

Posteriormente se le pide que realice una serie de actividades con el fin de que se familiarice con el

concepto de vector, por ejemplo:

- Dibujar un vector dados dos puntos.

- Dibujar un vector dadas sus coordenadas.

- Dibuja tres vectores distintos, pero que tengan igual:

a) Dirección

b) Módulo

c) Sentido

d) Dirección y sentido(análisis soluciones posibles)

e) Dirección y módulo(análisis soluciones posibles)

f) Módulo y sentido(análisis soluciones posibles)

- Dados dos punto A y B:

a) Dibujar tres vectores uno a continuación del otro de tal manera que el primero para

en A y el último termine en B. Anotar las coordenadas de cada vector.

b) Dibujar el vector desde A hasta B. Anotar sus coordenadas.

c) ¿Es posible obtener las coordenadas del vector A⃗B a partir de la suma o resta de

las coordenadas de los tres vectores iniciales?

d) ¿Qué sucede si en vez de tres vectores se dibujan, 4, 8 o 10 vectores? (Actividad

orientada a composición de traslaciones)

Page 3: Propuesta Metodol-gica 2a Semana

Actividad 2: Traslaciones

A través de Exe-learning se le presenta la siguiente pantalla de Geogebra:

Sin definir qué es una traslación se le pide que posicione el mouse sobre el noveno botón

y observe el mensaje que aparece:

Luego se le pide que seleccione dicha opción(traslación), marque el polígono ABCD y luego el

vector E⃗F . Posteriormente se le pide que complete algunas afirmaciones relacionadas con el

polígono resultante en función del polígono original con el fin de que él mismo defina qué es una

traslación. Se resaltan los elementos que la definen (figura inicial, vector y representación TA⃗B o

T u⃗ ). A continuación se le pide que:

a) Mueva el vector de traslación e intente hacer coincidir el polígono A’B’C’D’ con el polígono

A1B1C1D1. (obviamente no podrá)

b) Mueva el punto inicial E del vector de traslación e intente hacer coincidir el polígono A’B’C’D’

con el polígono A1B1C1D1. Se le pide que anote las coordenadas del vector.

c) Mueva el punto final F del vector de traslación e intente hacer coincidir el polígono A’B’C’D’

con el polígono A1B1C1D1. Se le pide que anote las coordenadas del vector.

Page 4: Propuesta Metodol-gica 2a Semana

(Se adjunta archivo de Geogebra que sería incrustado en Exe-learning:

http://tube.geogebra.org/m/1421753)

En este punto se le presentarían varias ventanas de Geogebra que le permitiesen aplicar

dicha transformación para que se familiarice con ella.

Posteriormente se le hacen algunas preguntas orientadas a explicitar algunas características de

una traslación y de las transformaciones isométricas en general:

- ¿cómo son los segmentos AA ' , BB' , CC ' Y DD' entre sí?

- ¿cómo son los polígonos ABCD y A’B’C’D’ entre sí?

- si se aplican distintas traslaciones al polígono ABCD, ¿cómo serán entre sí las figuras

resultantes? ¿en qué se diferenciarán?

- Etc...

A continuación se le presentan distintos desafíos (archivos de geogebra) que le permitan

enriquecer el concepto de Traslación, a modo de desafío, tales como:

- Dado una figura inicial y la correspondiente figura trasladada, cómo determinar el vector de

traslación que se utilizó.

- Dada la traslación de una figura y el vector de traslación, cómo determinar la figura inicial.

- Si se aplican varias traslaciones sucesivamente sobre el resultado de la traslación

anterior(composición de traslaciones) , se le pide determinar una sola traslación(vector) que

permita obtener la figura final a partir de la figura inicial

Tales desafíos estarían acompañados de una ventana de geogebra para que pueda ir probando si

sus soluciones son correctas o no teniéndolas que probar con distintas figuras(aquí se fomenta la

acción de ensayo y error, hecho que sería más complicado si se hiciera la misma actividad con

lápiz y papel).

Al finalizar esta sección el alumno deberá resolver un listado de EJERCICIOS (no problemas) con

tal de que pueda reforzar lo comprendido hasta ahora.

Las actividades relacionadas con rotación y simetrías tendrían las mismas características. Se

adjuntan imágenes y links correspondientes:

Page 5: Propuesta Metodol-gica 2a Semana

Actividad 3: Rotación.

Se inicia de la misma manera que se hizo con respecto a una traslación, es decir, sin definir qué es

una rotación se le pide que coloque el mouse sobre el noveno ícono y observe lo que se muestra.

Luego se le pide que aplique una rotación de 90° al polígono ABCD con centro en P (tal

construcción sería guiada en la página de Exe-learning). Obtenida el polígono rotado se le pide que

mueva el centro de rotación hasta lograr coincidir el polígono rotado A’B’C’D’ con el polígono EFGH

(Se adjunta archivo que sería incrustado en Exe-learning: http://tube.geogebra.org/m/1422139)

Posteriormente se le presentan las actividades (y archivos de Geogebra) necesarias para que

deduzca las relaciones entre las coordenadas de los polígonos inicial y final al aplicar una rotación

con centro en el origen del plano cartesiano y con ángulos de 90°, 180°, 270° y 360°.

En este punto se le presentarían varias ventanas de Geogebra que le permitiesen aplicar

dicha transformación para que se familiarice con ella.

Se finaliza con actividades de refuerzo(guía de ejercicios)

Page 6: Propuesta Metodol-gica 2a Semana

Actividad 4: Simetrías

a) Central

Se inicia de la misma manera que las transformaciones anteriores, es decir, se le pide que

aplique una simetría central al polígono ABCD con respecto al punto P, luego se le pide que

desplace el punto P hasta hacer coincidir el polígono A’B’C’D’ con el polígono rojo EFGH.

Se le pide que responda(complete) alguas preguntas de análisis de la figura final en relación a la

figura inicial y posteriormente se caracteriza la transformación.

En este punto se le presentarían varias ventanas de Geogebra que le permitiesen aplicar

dicha transformación para que se familiarice con ella.

Luego se le pide que desarrolle un listado de ejercicios que ayude a internalizar las características

de dicha transformación.

(Se adjunta archivo que sería incrustado en Exe-learning: http://tube.geogebra.org/m/1422187 )

b) Axial

Se inicia de la misma manera que las transformaciones anteriores, es decir, se le pide que

aplique una simetría axial al polígono ABCD con respecto a la recta P⃗Q , luego se le pide que:

- Desplace la recta P⃗Q con el objetivo de que logre hacer coincidir el polígono resultante de la

transformación con el polígono rojo EFGH(no podrá obviamente en este caso)

- Desplace el punto P hasta hacer coincidir el polígono A’B’C’D’ con el polígono rojo EFGH.

Page 7: Propuesta Metodol-gica 2a Semana

En este punto se le presentarían varias ventanas de Geogebra que le permitiesen aplicar

dicha transformación para que se familiarice con ella.

Luego de que responda algunas preguntas de análisis se caracteriza la transformación y se le pide

que desarrolle un listado de ejercicios que ayude a internalizar las características de dicha

transformación.

(Se adjunta archivo que sería incrustado en Exe-learning: http://tube.geogebra.org/m/1422173)

Actividad 5: Composición de transformaciones isométricas .

En este punto se seguiría el mismo principio que el utilizado con las transformaciones anteriores

finalizando con un cuadro resumen de las características de todas ellas.

Page 8: Propuesta Metodol-gica 2a Semana

Actividad 6: Trabajo con logotipos.

Tal conjunto de actividades están orientadas a que el alumno identifique algunas transformaciones

relacionadas con algunos logotipos. Dichas actividades serían desarrolladas en hojas, a diferencia

de las actividades anteriores.

1) Logotipos Simétricos

En esta actividad vamos a considerar logotipos que además de tener elementos geométricos, tengan simetría axial o central. Observa estos tres logotipos de marcas de autos correspondientes a Volkswagen, Mercedes Benz y Opel.

a) Opel b) Mercedes Benz c) Volkswagen

a) Indica en cada uno de los logotipos anteriores si tienen simetría. En caso que la tengan indica si es axial o central.

b) En los logotipos que tienen simetría axial encuentra todos los ejes de simetría, y en caso que tenga simetría central, encuentra el centro (punto) de simetría.

c) Busca un logotipo de alguna empresa (distintos a los dados anteriormente) que tenga alguna de las 2 simetrías escribiendo de cuál se trata y dibuja en él los ejes de simetría o el punto.

2) Logotipos con rotación Consideremos el logotipo de la Mitsubishi y la correspondiente enumeración de los rombos que la componen:

Page 9: Propuesta Metodol-gica 2a Semana

a) Co respecto a dicho logotipo escribe:

- el ángulo de rotación estimado y el centro de rotación utilizado para obtener la figura 2 a partir de la figura 1

- el ángulo de rotación estimado y el centro de rotación utilizado para obtener la figura 3 a partir de la figura 1

- el ángulo de rotación estimado y el centro de rotación utilizado para obtener la figura 3 a partir de la figura 2

b) Dibuja todos los ejes de simetría en este logo.

c) Dibuja el nuevo logotipo que se obtendría si girásemos la figura 1 en 60º, 120º, 180º, 240º y 360º, con el mismo centro de rotación que está hecha la figura original.

d) Diseña el logotipo de una marca que tenga al menos 3 rotaciones de una figura original. Indica el ángulo de cada rotación y el centro de esta rotación.

3) Logotipos con traslaciones.

Consideremos el logotipo de la Citroën con los siguientes nombres:

a) Dibuja el vector que permitiría obtener la figura 2 a partir de la figura 1. ¿Es el mismo que permite obtener la figura 1 a partir de la figura dos? ¿Por qué?

b) Diseñe el logotipo de una marca que tenga al menos 4 traslaciones. Dibuja en cada caso el vector de traslación.

Page 10: Propuesta Metodol-gica 2a Semana

Actividad(de finalización) 6: Teselaciones.

El profesor presenta a través de un PPT el concepto y características de una teselación la cuál se

les entrega impresa a los alumnos para que la completen tomando apuntes (se adjunta PPT).

Finalizada la presentación, los alumnos deberán construir una teselación tal que:

- La figura base debe ser construida a través de una de las dos técnicas mostradas en la PPT.

- Se debe cubrir la superficie de una cartulina a partir de la figura inicial y aplicando las

transformaciones isométricas (utilizando regla y/o compás) que sean necesarias.

- Se deben explicar qué transformación se utilizó para obtener cada figura adyacente a la

figura original (en la imagen de ejemplo se debería explicar que transformaciones permiten

obtener cada polígono verde a partir de la figura inicial).