Proračun okvirnih konstrukcija

6. PRORAČUN OKVIRNIH SUSTAVA

6.1. Uvodne pripreme za dimenzioniranje

6.2. Komponente okvira

6.3. Klasifikacija okvira

6.3.1. Poduprti i nepoduprti okviri 6.3.1.1. Uvjeti klasifikacije

6.3.2. Pomični i nepomični okviri 6.3.2.1. Uvjeti klasifikacije

6.4. Elastično kritično opterećenje okvira za bočno pomičan mod

6.4.1. Približni postupak

6.4.2. Postupak "grinter-ov okvir" 6.4.3. Ostali postupci

6.5. Dužine izvijanja

6.5.1. Uvod

6.5.2. Efektivna dužina stupova

6.5.3. Stupovi nepomičnih okvira

6.5.4. Stupovi pomičnih okvira

6.6. Imperfekcije

6.6.1. Imperfekcije okvira

6.6.2. Imperfekcije za analizu veznih sustava

6.6.3. Lokalne imperfekcije konstrukcijskog elementa

6.7. Analiza okvirnih konstrukcija

6.7.1. Uvod

6.7.2. Ponašanje okvira

6.7.3. Modeliranje konstrukcije građevine 6.7.3.1. Uvod

6.7.3.3. Koncept nosivosti

6.7.3.3. Prostorno ponašanje

215

6.7.3.4. Otpornost na horizontalne sile

6.7.3.5. Međudjelovanje tlo - konstrukcija

6.7.3.6. Modeliranje okvira

6.7.3.7. Konstrukcijsko uobličavanje i priključci

6.7.4. Bitne značajke analize konstrukcija

6.8. Plastična globalna analiza i potrebne provjere pri dimenzioniranju

6.8.1. Plastična analiza prvog reda i dimenzioniranje

6.8.2. Plastična analiza drugog reda i dimenzioniranje okvira 6.8.2.1. Direktna metoda

6.8.2.2. Pojednostavljena plastična analiza drugog reda

6.8.2.3. Merchant- Rankine postupak

6.8.3. Smjernice za primjenu plastičnih metoda dimenzioniranja

6.9. Postupci proračuna okvira

6.9.1. Tradicionalni postupci proračuna okvira

6.9.2. Suvremeni postupci proračuna okvira

215

6. Proračun okvirnih sustava MK I

6.1. UVODNE PRIPREME ZA DIMENZIONIRANJE

Radi velike razlike u nekadašnjoj i sadašnjoj inženjerskoj praksi u pogledu tehničke

terminologije u prvom će se redu navesti neki važniji tehnički pojmovi vezani uz

modeliranje okvirnih sustava.

Terminologija

• Okvir (Frame): Dio konstrukcije koji obuhvaća spajanje direktno priključenih

konstrukcijskih elemenata tako dimenzioniranih da djeluju zajedno opirući se

djelovanjima.

Radi važnosti pojma `okvir' u tablici 6.1. prikazat će se različite mogućnosti primjene

tog izraza u različitim jezicima.

Međutim, nekada se smatralo da su okviri konstrukcijski sustavi koji imaju najmanje

jedan priključak stupa i prečke koji ima krutost na spajanje, kako se vidi na slici 6.1.

Danas, kada se govori o tipovima uobličavanja konstrukcija (type of framing), često je

bolje koristiti širi pojam izraza 'okvir', a to je 'kost' ili 'skelet' konstrukcije.

Tablica 6.1: Različite primjene riječi ‘okvir’ na nekoliko jezika

B. Peroš 217


Slika 6.1. Okvirni sustavi

Na slici 6.2. prikazano je nekoliko tipova okvirnih sustava. Portalom je uobičajeno

nazvati okvirne sustave prikazane na slici 6.3. a), b) i d).

Slika 6.2. Praktični primjeri okvirnih sustava

B. Peroš 218


Dakle, može se vidjeti da se pojam 'okvira' može shvatiti u užem smislu, kako je to do

sada bilo uobičajeno, ali može se definirati i 'u širem smislu' prema Eurocode 3.

• Dio okvira (sub-frame):

To je konstrukcijski sustav koji čini dio okvira, ali se kod proračuna tretira kao da je

zasebni okvir.

• Tipovi uobličavanja (type of framing):

Izraz se primjenjuje radi modeliranja konstrukcijskih sustava kako slijedi:

- Djelomično-kontinuirane (semi-continuous) - u globalnoj analizi zahtijeva se

posebno razmatranje konstrukcijskih svojstava priključaka.

- Kontinuirane (continuous) - u globalnoj analizi trebaju se uzeti u obzir konstrukcijska

svojstava elemenata.

- Jednostavne (simple) - priključci ne trebaju pružati otpornost momentu.

• Sustavna dužina (system lenght):

Razmak između dvije susjedne točke u kojima su elementi pridržani protiv bočnog

pomaka u danoj ravnini, ili između jedne takve točke i kraja elementa.

• Dužina izvijanja (buckling lenght):

Sustavna dužina nekog sličnog elementa sa zglobovima na krajevima, koji ima istu

otpornost na izvijanje kao i dani element.

• Projektant - konstruktor (designer):

Primjereno kvalificirana i iskusna osoba odgovorna za dimenzioniranje konstrukcije.

• Analiza konstrukcije (structural analysis)

Postupak ili algoritam za određivanje učinaka djelovanja u svakoj točki konstrukcije.

• Globalna analiza (global analysis)

Određivanje konzistentnog skupa unutarnjih sila i momenata ili napona, koji su u

ravnoteži sa pojedinačno definiranim skupom djelovanja na konstrukciju, i ovise o

geometrijskim svojstvima to o svojstvima konstrukcije i materijala.

• Linearno elastična analiza prvog reda bez preraspodjele

(first order linear-elastic analysis without redistrubution)

B. Peroš 219


To je elastična analiza konstrukcije temeljena na linearnom odnosu σ-ε ili M-ϕ koja je

provedena na početnoj geometriji nedeformirane konstrukcije.

• Linearno elastična analiza prvog reda s preraspodjelom

(first order linear-elastic analysis with redistrubution)

To je linearna elastična analiza u kojoj su unutarnje sile i momenti modificirani za

dimenzioniranje konstrukcije konzistentno sa zadanim vanjskim djelovanjima i bez

eksplicitnog izračunavanja rotacijske sposobnosti.

• Linearno elastična analiza drugog reda

(second order linear-elastic analysis)

To je elastična analiza konstrukcije primjenom linearnog odnosa σ-ε na deformiranu

konstrukciju.

• Nelinearna analiza prvog reda (first order non-linear analysis)

To je analiza konstrukcije provedena na nedeformiranoj konstrukciji uzimajući u obzir

nelinearna svojstva materijala (materijalna nelinearnost).

• Nelinearna analiza drugog reda (second order non-linear analysis)

To je analiza provedena na deformiranoj konstrukciji uzimajući u obzir nelinearna

svojstva materijala (materijalna nelinearnost).

• Elasto-idealno plastična analiza prvog reda

(first order elasto-perfectly plastic analysis)

To je analiza temeljena na M-ϕ odnosima koji sadrže linearno elastični dio i plastični

dio bez očvršćivanja, provedena na nedeformiranoj konstrukciji.

• Elasto-idealno plastična analiza drugog reda

(second order elasto-perfectly plastic analysis)

To je analiza temeljena na M-ϕ odnosima koji sadrže linearno elastični dio i plastični

dio bez očvršćivanja, provedena na deformiranoj konstrukciji.

• Elasto-plastična analiza - prvog i drugog reda

(elasto-plastic analysis - first or second order)

B. Peroš 220


To je analiza konstrukcije koja rabi σ-ε odnose ili M-ϕ odnose koji sadržavaju

elastični dio i plastični dio sa ili bez očvršćivanja na deformiranoj ili nedeformiranoj

konstrukciji.

• Idealno plastična analiza (rigid plastic analysis)

To je analiza provedena na nedeformiranoj konstrukciji, koja koristi teoreme granične

analize za direktnu procjenu krajnjeg opterećenja.

Dokazi kod dimenzionirania okvirnog sustava

Kod dimenzioniranja okvirnog sustava mora se za kriterij krajnjeg graničnog stanja

dokazati sljedeće:

B. Peroš 221


Također, kod dimenzioniranja okvirnog sustava potrebno je provesti sve dokaze

vezane uz granično stanje uporabljivosti.

Proračun unutarnjih sila i momenata

6.2. KOMPONENTE OKVIRA

Okvir je sastavljen od konstrukcijskih elemenata i priključaka, vidi sliku 6.3.

Konstrukcijski elementi su elementi kod kojih je dužina puno veća od visine.

B. Peroš 222


Priključci su zone gdje su dva ili više konstrukcijskih elemenata spojeni.

Konstrukcijske elemente klasificiramo prema vrsti naprezanja kojoj su izloženi. Ako je

savijanje dominantno nazivamo ih nosači, ako je uzdužna sila dominantna nazivamo

ih stupovi (tlačni ili vlačni konstrukcijski elementi), a ako su prisutni značajni iznosi i

savijanja i uzdužne sile nazivamo ih nosači - stupovi. Nosač, nosači - stupovi i

njihovi priključci tvore glavne komponente okvirnih konstrukcija.

Slika 6.3. Okvir i njegove komponente

6.3. KLASIFIKACIJA OKVIRA

6.3.1. Poduprti i nepoduprti okviri

Sa izvedenim sustavom za podupiranje sprječava se, ili barem ograničava,

horizontalni pomak višekatnih konstrukcija. Uobičajeno je izvesti ga ili kao rešetku

(vezni sustav), okvir ili kao krutu jezgru, slika 6.4.

Slika 6.4. Sustavi za podupiranje

Okviri se klasificiraju kao poduprti okviri (engl. braced frame, njem.

unverschiebliche Rahmen) ako posjeduju odgovarajuće krute sustave za

B. Peroš 223


podupiranje. Tada je moguće razmatrati okvir i sustav za podupiranje zasebno prema

sljedećem:

• Okvir se bez veznog sustava može smatrati kao potpuno bočno oslonjen i

razmatra se samo djelovanje vertikalnih opterećenja.

• Sustav za podupiranje preuzima sva horizontalna opterećenja koja djeluju na

okvire koje on pridržava, sva vertikalna opterećenja koja djeluju na vezni sustav i

učinke početnih horizontalnih imperfekcija od okvira koje pridržava kao i samog

sustava za podupiranje.

Okviri bez sustava za podupiranje i naravno okviri sa sustavom za podupiranje, ali

nedovoljno krutim, klasificiraju se kao nepoduprti okviri (engl, unbraced frame,

njem. verschiebliche Rahmen).

U ovom slučaju, pojedinačni konstrukcijski sustavi, koji se sastoje od okvira i od veza

kada je prisutan, analiziraju se i za vertikalna i horizontalna opterećenja kao i za

učinke imperfekcija.

6.3.1.1. Uvjeti klasifikacije

Samo kada vezni sustav reducira horizontalne pomake barem 80% može se okvir

klasificirati kao poduprt.

• Vezni sustav nije izveden: ⇒ okvir je nepoduprt.

• Vezni sustav je izveden i ispunjava:

Ψbr > 0,2 ⋅ Ψunbr ⇒ okvir je nepoduprt,

Ψbr < 0,2 ⋅ Ψunbr ⇒ okvir je poduprt,

gdje je:

Ψbr - bočna fleksibilnost konstrukcije s veznim sustavom,

Ψunbr - bočna fleksibilnost konstrukcije bez veznog sustava.

B. Peroš 224


Slika 6.5. Klasifikacija okvira bočno poduprtih veznim sustavom

Okvir bočno poduprt veznim sustavom može se klasificirati kao poduprt prema slici

6.5. kada vrijedi:

Ψbr ≤ 0,2 ⋅ Ψunbr

gdje je:

Ψbr - bočna fleksibilnost nepoduprtog okvira,

Ψunbr - bočna fleksibilnost veznog sustava.

Problem se može svesti i na problem krutosti okvira i vertikalne stabilizacije. Ako je

krutost vertikalne stabilizacije Sver.st pet puta veća od krutosti okvira Sokv., onda se

okvir može smatrati nepomičnim tj. ako je:

B. Peroš 225


Slika 6.6. Krutosti vertikalne stabilizacije

Napomena: I se nekada nazivao momentom tromosti (engl. second moment of area,

njem. Flachenmoment 2. Grades). U ovoj knjizi usvojen je naziv prema engleskom -

drugi moment površine.

∑∑+

⋅=

b

bc

r

r.okv

LI

1I

hhE12

S

∑Ιc - zbroj svih drugih momenata površine za stupove Ιc, u promatranom katu,

6.3.2. Pomični i nepomični okviri

Razmatra se okvir na kojeg djeluju u njegovoj ravnini horizontalne sile. Pretpostavlja

se da je okvir dovoljno krut. Ovo znači da se mogu zanemariti bilo koje dodatne sile

ili momenti koji potječu iz horizontalnih pomaka njegovih čvorova. Za takav okvir kaže

se da je nepomični okvir (engl. non-sway frame, njem. seitensteife Rahmen). Dakle,

B. Peroš 226


globalni učinci drugog reda (Ρ-∆ učinci) mogu se zanemariti kod nepomičnog

okvira. Kada se globalni učinci drugog reda ne mogu zanemariti, okvir se naziva

pomični okvir (engl. sway frame, njem. seitenweiche Rahmen).

Vrlo je vjerojatno da se okvir sa veznim sustavom (poduprti okvir) klasificira kao

nepomičan, dok je vrlo vjerojatno da će se okvir bez veznog sustava (nepoduprti)

klasificirati kao pomični. Međutim, važno je napomenuti da je teoretski moguće da

nepoduprti okvir bude klasificiran kao nepomični. Ovo je čest slučaj portalnog okvira.

Također je moguće da okvir sa veznim sustavom (poduprti) bude klasificiran

kao pomičan. Ovo je pak moguće za višekatne okvirne konstrukcije. Navedeni

slučajevi prikazani su na slici 6.7.

Slika 6.7. Okvir sa i bez veznog sustava

Kada je okvir klasificiran kao nepomičan, uvijek se može koristiti analiza prvog reda

(teorija prvog reda). Analiza drugog reda (teorija drugog reda) koristit će se za okvire

klasificirane kao pomične. Postupci analize okvira na ovaj način bit će objašnjeni u

točkama.

Također se mora napomenuti da i vezni sustavi moraju biti klasificirani kao pomični ili

nepomični.

6.3.2.1. Uvjeti klasifikacije

Klasifikacija okvirnih konstrukcija (ili veznih sustava) kao pomičnih ili nepomičnih

temelji se na vrijednosti omjera Vsd i Vcr. Vsd je ukupno vertikalno računsko

opterećenje koje djeluje na konstrukciju. Vcr je elastično kritično opterećenje koje

proizvodi instabilitet uslijed bočne pomičnosti 'sway instability (otkazivanje u bočno

pomičnom modu 'sway mode').

B. Peroš 227


Vcr je elastično kritično opterećenje kod kojeg dolazi do otkazivanja u bočno

pomičnom modu. Moguća je provjera nekoliko različitih modova izvijanja u ovisnosti o

okviru. Svaki od pojedinog moda izvijanja povezan je s odgovarajucim Vcr. Za

jednostavan portalni okvir prikazan na slici 6.8. mogući su i simetričan (bočno

nepomičan) mod i antimetričan (bočno pomičan) mod.

Očito, što je opterećenje na konstrukciju bliže kritičnom opterećenju, to je veća

opasnost (rizik) od instabiliteta. Također su veći i učinci drugog reda na konstrukciju

(P - ∆ učinci).

Slika 6.8. Izvijanje okvira

Uvjeti klasifikacije su:

• VSd / Vcr ≤ 0.1 , konstrukcija je nepomična,

• VSd / Vcr > 0.1 , konstrukcija je pomična.

Uvjeti se mogu izvesti i na sljedeći način:

• λcr = Vcr / VSd ≥ 10 , konstrukcija je nepomična,

• λcr = Vcr / VSd < 10 , konstrukcija je pomična.

Primjer: Okvir je pomičan

Svrha primjera:

Potrebno je odrediti može li se nepoduprti okvir prikazan na slici 6.9. smatrati

pomičnim.

B. Peroš 228


• Statički sustav i računska opterećenja

Slika 6.9. Statički sustav i računska opterećenja

Okvir: stupovi: HE 260 B

prečka:IPE 550

• Imperfekcije okvira (vidi točku 6.6.1.)

F = 2 ⋅ 200 + 50 ⋅ 8 = 800kN

Φ =1 / 200

⇒ F1 = 800 / 200 = 4.0 kN - ekvivalentno horizontalno opterećenje zbog imperfekcija.

• Bočni (horizontalni) pomak okvira

Hk

1k2EI12

h

c

3

⋅+⋅

⋅⋅

=δ gdje je 812,20,810149200,51067120

Lh

II

k 4

4

c

b =⋅⋅⋅⋅

=⋅= .

07832,00,1812,2

1812,22149201221000

5003

1 =⋅+⋅

⋅⋅

=δ cm, za H=1,0 kN.

Ukupni horizontalni pomak (progib) okvira, za ukupno horizontalno

opterećenje, uključujući i ekvivalentno horizontalno opterećenje zbog

imperfekcija (∑H = 40 + 4 = 44 kN) iznosi:

δ = δ1 ⋅ ∑H = 0,07832 ⋅ 44 = 3,45 cm .

• Kriterij pomičan - nepomičan okvir

125,044

8000,5105,34

HV

h

3

=⋅⋅

=δ −

∑∑ > 0,1

Okvir se klasificira kao pomičan.

B. Peroš 229


Zaključak:

Okvir se klasificira kao pomičan. To znači da se primjenjuje analiza drugog reda

(uzimaju se u obzir učinci drugog reda;).

Primjer: Poduprti okvir je nepomičan

Svrha primjera:

Potrebno je odrediti može li se poduprti okvir prikazan na slici 6.10. smatrati

nepomičnim.



Vezni sustav: stupovi: HE 180 A Ιc= 2510 cm4

prečka: IPE 200 Ιb= 1940 cm4

ispuna: ∅ 171 x 8 A= 41 cm2

Vezni sustav prenosi ukupna horizontalna opterećenja ∑Hd (vanjsko opterećenje

vjetra i imperfekcije):

Hd = 80 kN od djelovanja vjetra

Imperfekcije (vidi točku 6.6.1.):

φ =kc ⋅ ks ⋅ φo

φo = 1/200

kc= 1816,06/15,0n/15,0 c <=+=+

ks= 110,11/12,0n/12,0 s >=+=+ ⇒ ks = 1

B. Peroš 230


φ=0,816 ⋅1⋅2451

2001

=

∆Hd = φ ⋅ N = kN3,730062451

=⋅⋅

∑Hd = Hd + ∆Hd = 80 + 7,3 = 87,4 kN

• Kriterij pomičan - nepomičan okvir (vidi točku 6.3.2.1.)

VSd / Vcr ≤ 0,1

VSd / Vcr = HV

h⋅

δ (vidi točku 4.1.)

Pomak veza:

V

cdW S

hH ⋅=δ ∑

( ) kN650658600500

600500412100012d

LhEAn2S 3

22

2

3

2cd

V =+

⋅⋅⋅⋅⋅=

⋅⋅⋅⋅=

cm0671,0650658

5004,87W =

⋅=δ

Vertikalno opterećenje:

V=6 ⋅ Pd = 6 ⋅ 300 = 1800 kN

(vez stabilizira 6 glavnih poprečnih sustava).

Prema tome je:

1,00028,04,87

18005000671,0

HV

h<=⋅=⋅

δ

Zaključak:

Okvir se klasificira kao nepomičan. To znači da se primjenjuje analiza prvog reda (ne

uzimaju se u obzir učinci drugog reda).

B. Peroš 231


6.4. ELASTIČNO KRITIČNO OPTEREĆENJE OKVIRA ZA BOČNO POMIČAN MOD

6.4.1. Približni postupak

Za ravninske okvire kod kojih su u svakoj razini kata nosači spojeni sa svakim

stupom, vidi sliku 6.11., elastično kritično opterećenje izvijanja u bočno pomičnom

modu može se izračunati prema sljedećem:

• Okvir se računa prema elastičnoj analizi prvog reda za kombinaciju opterećenja.

Izračuna se horizontalni pomak svakog kata za računska opterećenja (i

horizontalna i vertikalna).

• Elastično kritično opterećenje okvira u bočno pomičnom modu za specificiranu

kombinaciju opterećenja može se procijeniti prema sljedećem:

icr

Sd

HV

hmax

VV

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ⋅δ

=

gdje i označava i-ti kat, a Vsd je računska vrijednost ukupne vertikalne reakcije na

temelj,

Vcr - elastično kritično opterećenje okvira 'sway mode',

δ - horizontalni pomak vrha i-tog kata u odnosu na dno i-tog kata,

h - visina i - tog kata,

H - ukupna horizontalna reakcija na dnu i - tog kata,

V - ukupna vertikalna reakcija na dnu i - tog kata.

Vidi sliku 6.11. sa ilustracijom navedenih parametara i numerički primjer.

B. Peroš 232


Slika 6.11. Okvir u bočno pomičnom modu

Navedeni približni postupak temelji se na procjeni omjera momenata pri temeljnoj

stopi (bazi) stupa uslijed učinka drugog reda globalno na okvir (P-∆ učinak dan kao Vj

⋅ δj) i momenta prvog reda (danog kao Hj ⋅ hj).

6.4.2. Postupak "grinter-ov okvir"

Ideja ovog postupka jest nadomjestiti razmatrani okvir s tipom okvira poznatim kao

ekvivalentan 'Grinter-ov okvir', vidi sliku 6.12.

Slika 6.12

B. Peroš 233


Višekatni višebrodni okvir (engl. multi-storey, multi-bay frame) sa nepopustljivim ili

djelomično nepopustljivim priključcima, prvo se nadomjesti s ekvivalentnim

zamjenskim jednobrodnim okvirom. Ovaj zamjenski okvir ima nepopustljive priključke

i stupove i nosače s ekvivalentnim krutostima. Ekvivalentni okvir određen je iz uvjeta

da su bočni pomaci svakog kata jednaki kao za originalni okvir. Dakle, elastično

kritično opterećenje treba biti slično za obje konstrukcije.

Pretpostavlja se da se stupovi ponašaju elastično i da su kontinuirani po čitavoj visini.

Krutost stupa u svakom katu dobije se prema izrazu:

∑=j

j,CC K21K

gdje je:

Kc,j - koeficijent krutosti j-tog stupa, tj. j,c

j,cj,c L

IK = (Ic,j - moment površine drugog

reda, Lc,j - dužina j-tog stupa).

Ekvivalentni koeficijent krutosti nosača sa linearnim pridržanjima u svakom katu

dobije se prema izrazu:

∑=j

i,equi,bb KK

sa i,b

i,equi,bi,equi,b L

IK = , i

i,bi

i,equi,b L311I ⋅⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡α+

= sa

i,bi,ini,j

i,bi LS

EI2=α , (αi =0 za nepopustljivi priključak)

i,b

i,b

LEI

je fleksijska krutost razmatranog i-nosača,

Sj,ini,i je početna krutost priključka na kraju razmatranog nosača aktualne

konstrukcije.

Budući da ovako definirani zamjenski okvir ima nepopustljive priključke (slika 6.12.b),

može se sada formirati odgovarajući Grinter-ov okvir (slika 6.12.c).

B. Peroš 234


Bočni pomaci svakog kata stvarnog, zamjenskog i ekvivalentnog Grinter-ovog okvira

su podjednaki. Može se očekivati da će i vrijednosti elastičnih kritičnih opterećenja za

sva tri okvira biti podjednaka.

Krutosti nosača i stupova Grinter-ovog okvira su:

.KKiK3Kj

j,c*c

ii,equi,b

*b ∑∑ ==

Elastično kritično opterećenje aktualnog okvira sa djelomično nepopustljivim

priključcima izračunava se preko pridruženog Grinter-ovog okvira prema sljedećim

koracima:

(1) Izračuna se kritično opterećenje svakog stupa na temelju njegove dužine

izvijanja u bočno pomičnom modu uzevši u obzir pridržanja na krajevima.

*crV

(2) Svaki stup Grinterovog okvira ima pridruženu vrijednost . Najniža od svih ovih

vrijednosti, , odabire se kao donja sigurna granica za elastično kritično

opterećenje cijelog Grinterovog okvira i prema tome čitavog aktualnog okvira.

*crV

*min,crV

6.4.3. Ostali postupci

Postoje specijalizirani kompjutorski programi za izračunavanje elastičnog kritičnog

opterećenja okvira. Priključke, klasificirane kao djelomično nepopustljive, pri tom

uzimamo u analizu s njihovom inicijalnom krutošću.

Također, postoje u literaturi za određena uobličenje okvira, specijalni dijagrami koji

omogućavaju brzo određivanje elastičnog kritičnog opterećenja.

B. Peroš 235


Tablica 6.2. Postupak određivanja Vcr prema Eurocode 3

Primjer: Klasifikacija okvira kao pomičan/nepomičan

Svrha primjera:

Potrebno je odrediti može li se nepoduprti okvir sa skošenim prečkama prikazan na

slici 6.13. smatrati pomičnim.

Slika 6.13.Statički sustav i geometrija

B. Peroš 236


• Imperfekcije okvira

.2191

20011913,0

1k1095,11/12,0n/12,0k

1913,03/15,0n/15,0k

3n,3n200/1kk

sss

cc

sc

0

0sc

=⋅⋅=φ

=⇒>=+=+=

<=+=+=

===φ

φ⋅⋅=φ

• Kriterij pomičan - nepomičan okvir

Provedena je globalna elastična analiza 1. reda. U tablici su dani samo rezultati

kritične kombinacije opterećenja (G1* + S1)

Kriterij:

1,0HV

h≤⋅

δ

∑∑

***Najkritičnija kombinacija je C1: g + s.

B. Peroš 237


Napomena:

Metoda prema EC3 nije potpuno važeća u slučaju portalnih okvira skošenih prečaka.

Tlačna sila u nosačima (prečkama) nije odgovarajuće uzeta u obzir kada su nosači

pod nagibom. Dalje, buduci da su stupovi u strehama sa prilično velikim, ali

nasuprotnim, pomacima, pojavljuju se poteškoće pri korektnoj interpolaciji kriterija

EC3. Stoga su ovdje prikazane metode za istraživanje stabilnosti bočno pomičnog

moda.

a) Metoda koja koristi lateralnu krutost okvira

Kriterij bočne nepomičnosti EC3 može se prikazati na način:

1,0hV

Krutost1

hV

HHV

h prosječro

≤⎥⎦⎤

⎢⎣⎡⋅⎥⎦

⎤⎢⎣⎡=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡⋅⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ δ=⋅

δ

Uvodi se uprosječena lateralna krutost konstrukcije odgovarajuće horizontalnom

opterećenju na razini strehe, slika 6.14 Ovime se uvodi učinak uzdužne sile u

prečkama.

Slika 6.14.Lateralna krutost okvira

Vrijednost od V odgovara kombinaciji za KGS koja uključuje maksimalno vertikalno

opterećenje u stupovima.

B. Peroš 238


U elastičnoj analizi 1. reda za vertikalna opterećenja i bočni pomak, početne bočne

imperfekcije su uključene.

Prosječan bočni pomak u razini strehe, slika 6.14 za totalno horizontalno

opterećenjeH=10kN je14,4 mm. (δpr).

Zbroj V uzdužnih sila u tri stupa za kombinaciju g + s je:

V =105,7 + 184,1 + 105,7 = 394,5 kN .

Za visinu kata 8, 0 m dobije se:

.1071,08000

5,39410

4,14hV

Hprosječro <=⋅=⋅

δ

Okvir je nepomičan.

b) Metoda uprosječene rotacije vrha stupa

elastična analiza 1. reda (g + s + ekvivalentne sile imperfekcija)

∑∑ϕ

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ δ=ϕ

jj

jjj

prosječroprosječro N

N

h

Za kombinaciju g+s, horizontalno opterećenje je samo od imperfekcija:

.219HV

219VVH =⇒=

φ=

Za g + s dobije se:

1,0072,02190,1060,1834,105

0,1068000

77,220,1838000

62,24,1058000

62,17

HV

HHV

h prosječro

<=⋅++

⋅⎥⎦⎤

⎢⎣⎡+⋅⎥⎦

⎤⎢⎣⎡+⋅⎥⎦

⎤⎢⎣⎡−

=⋅⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ δ=⋅

δ

c) Metoda autora Home & Davies

Istražuju se dva zasebna slučaja:

I. Stup u strehi i prečka

II. Srednji stup i prečka sa svake strane

B. Peroš 239


I. Stup u strehi i prečka

Slika 6.15. Stup u strehi i prečka

.97,10

80065,933,42,1111865,453,01186

23130210003

30,40,886,11

2313067120

hIsI

R

ivrijednostprosječrokN65,93

26,817,105P

kN5,45P

hPR2,11sP3,0s

EI3

cr

cr

r

c

c

c

cr

rcr

=λ

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅⋅⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛++⋅⋅⋅

⋅⋅=λ

=⋅=⋅⋅

=

⎪⎭

⎪⎬⎫

=+

=

=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ++⋅⋅⋅

⋅=λ

II. Srednji stup i prečka sa svake strane

Slika 6.16. Srednji stup i prečka sa svake strane

( )

( ) ( ) .15,21186/23130210001186/2313021000

800/6712021000s/EIs/EI

h/EIR

PPR3,34

PP

1

rlrrlrl

c2

crit,c

c2

crit,r

r

cr

=⋅+⋅

⋅=

+=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅⋅++⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=λ

B. Peroš 240


( )

1,010,060,911.IIZa

1,009,097,10

11.IZa

.60,921737

6,17715,23,343408

461

kN34081186

2313021000s

EIP

kN21737800

6712021000h

EIP

cr

cr

cr

cr

2

2

2r

2

crit,r

2

2

2c

2

crit,c

===λ

<==λ

=λ

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⋅⋅++⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

=λ

=⋅⋅π

=⋅π

=

=⋅⋅π

=⋅π

=

Rezultati su konzervativni jer nisu uzeta u obzir ojačanja.

6.5. DUŽINE IZVIJANJA

6.5.1. Uvod

Koncept efektivne dužine koristi se kod dimenzioniranja stupova okvirnih konstrukcija

prema metodi dužine izvijanja bočno pomičnog moda.

Dužina izvijanja obostrano zglobno pridržanog stupa, slika 6.17., jednaka je njegovoj

sustavnoj dužini i Eulerova kritična sila dana je izrazom:

2

cr 2

EINLπ

= (6.1)

Međutim, takvi slučajevi rijetki su u praksi. Procjena otpornosti stupova koji imaju

različite uvjete na krajevima od stupa sa slike 6.17. može se postići primjenom ideje

o efektivnoj dužini, Le..

Efektivna dužina stupa Le je dužina sličnog zglobno pridržanog stupa, istog presjeka,

koji ima istu silu izvijanja kao promatrani stup. Dane su aproksimativne vrijednosti za

efektivnu dužinu za široko područje uvjeta pridržanja na krajevima.

B. Peroš 241


Slika 6.17. Izvijanje obostrano zglobno pridržanog stupa

6.5.2. Efektivna dužina stupova

Efektivna dužina stupa može se izvesti prema teoriji elastične stabilnosti. U tom

slučaju je faktor efektivne dužine k, omjer dužine ekvivalentnog stupa LE, i stvarne

dužine L.

Dužina ekvivalentnog stupa je razmak između točaka infleksije stvarnog stupa, slika

6.18.

Slika 6.18. Definicija dužine izvijanja ekvivalentnog stupa LE i faktora dužine k

Za obostrano zglobno pridržan stup sa slike 6.17., faktor efektivne dužine jednak je

1, a razmak između točaka infleksije (točaka nul momenata) jednak je stvarnoj dužini

stupa.

Efektivna dužina stupa ovisi o krutosti nosača koji pridržavaju stup. Slika 6.19.

ilustrira jedan takav općenit slučaj.

B. Peroš 242


Slika 6.19. Određivanje efektivne dužine

Pretpostavlja se da je krutost na savijanje nosača (prečka) mnogo veća od krutosti

stupova. Spriječena je rotacija vrha stupa pri bočnom pomaku okvira. Pretpostavke

su dane na slici 6.19.b).

Efektivna dužina stupa može se odrediti pomoću diferencijalnih jednadžbi. Prema

slici 6.19.c) vrijedi:

M = N ⋅ v + H ⋅ z

Diferencijalna jednadžba postaje oblika:

( )2

2

N v H zd v M .dz EI EI

− ⋅ + ⋅= − = (6.2.)

Uz oznaku k2 = N/EI nakon sređivanja jednadžba (6.2.) glasi:

2 22

2

d v k H zk vdz N

⋅ ⋅+ ⋅ = − . (6.3.)

Rješenje jednadžbe (6.3) dano je s:

( ) ( ) H zv A cos k z B sin k zN

.⋅= ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ − (6.4.)

Za određivanje konstanata A i B, vrijede rubni uvjeti:

za z=0, v=0 i za z=L, dv 0dz

= , stoga su:

A=0 i B ⋅ k ⋅ cos(k ⋅ L)=0 (6.5.)

Iz (6.5.) slijedi da je ili B=0 ili cos(k ⋅ L)= 0.

B. Peroš 243


Ako je B=0, H zvN⋅

= i 2

2

d v 0dz

= , i u ovom slučaju treba moment savijanja M biti nula u

bilo kojoj točki duž stupa.

Druga mogućnost je da je cos(k ⋅ L) = 0 . Ovaj uvjet zahtijeva da je:

k=nπ/(2L) s n= 1, 3, 5,... (6.6.)

Najmanja vrijednost od N za koju je zadovoljena jednadžba (6.6.) dobije se koristeći

n=1 pa se dobije kL= π/2 iz kojeg je k=π/2L i k2=N/EI, i

( )

2 22

cr 22

EIN k EI EI .4 L 2 Lπ π

= ⋅ = ⋅ =⋅ ⋅

(6.7.)

Usporedbom izraza (6.1.) i (6.7.) vidi se da je faktor efektivne dužine k jednak 2.

Efektivna dužina stupa je dvostruka dužina stupa. Drugim riječima, kritična sila za

stup dužine L, sa slike 6.19., jednaka je kao kritična sila obostrano zglobno

pridržanog stupa dužine 2L, vidi sliku 6.19.a).

Efektivna dužina dozvoljava da se uspostavi odnos ponašanja stupova u okviru sa

ponašanjem temeljnog slučaja obostrano zglobno pridržanog stupa.

U tablici 6.3. dane su preporučene k vrijednosti koje su jednake ili neznatno veće od

ekvivalentnih teoretskih vrijednosti dobivenih prema teoriji elastične stabilnosti.

Tablica 6.3. Vrijednosti k za centrički opterećene stupove različitih uvjeta pridržanja

Usporedbom slučaja (b) i (e) u tablici 6.3., uočljiv je utjecaj pomaka na kritičnu silu.

Slučaj (e) predstavlja stup sa slike 6,19.a), sa bočnim pomakom, dok je u slučaju (b)

B. Peroš 244


pomak spriječen. Ovime se ukazuje na potrebu razlikovanja pomičnih i nepomičnih

okvira.

Kod nepomičnih okvira vrh stupa nema bočnih pomaka. Izvijanje nepomičnog okvira

rezultira s izvijenim oblikom stupa koji ima barem jednu točku infleksije između

krajeva elementa, vidi sliku 6.20., kao u slučajevima (a), (b) i (c) iz tablice 6.3. k

vrijednosti su uvijek manje ili jednake 1 (0,5<k<1 ).

Slika 6.20.Izvijanje stupa nepomičnog okvira

Kod pomičnog okvira vrh stupa se pomiče u odnosu na stopu stupa. Slučajevi (d), (e)

i (f) iz tablice 6.3. su slučajevi izvijanja s bočnim pomakom. Izvijanje stupa pomičnog

okvira prikazano je na slici 6.21. Faktor efektivne dužine k uvijek je veći ili jednak 1 i

neograničen je tj. 1 < k < ∝ .

B. Peroš 245


Slika 6.21. Izvijanje stupa u pomičnom okviru

Ova razmatranja mogu se poopćiti tako da se protegnu i na višekatne okvire.

Puna upetost, slike 6.20.b) ,6.20.d), 6.21.b) i 6.21.d), kao pridržanje rijetko se postiže

u praksi. Uobičajeno se radi o djelomičnim pridržanjima (djelomično nepopustljivi).

U takvim slučajevima, djelomično nepopustljivih pridržanja na krajevima, faktor

efektivne dužine k može se odrediti ili općom metodom rotacije drugog reda ili

pomoću funkcija stabilnosti.

Rješenje problema dano je u obliku:

k = f (ηt,ηb) (6.8.)

gdje su ηt i ηb koeficijenti elastičnog pridržanja na krajevima razmatranog stupa.

Procjena k moguća je pomoću pojednostavljenog postupka, koristeći Donnell-ovu

približnu formulu, vidi sliku 6.22.:

B. Peroš 246


1kn

= (6.9.)

gdje je:

( )( )1 2 1 2

1 2 1 2

1, 2 f f 7, 2 f fn

1 1, 4 f f 1,8 f f⋅ + + ⋅ ⋅

=+ ⋅ + + ⋅ ⋅

, (6.10.)

ii

i

M1f6,5 EI Q

= ⋅⋅

. (6.11.)

Slika 6.22. Zamjenski sustav za Donnell-ovu formulu

Za tlačni štap rešetke vrijedi:

i i1f R

6,5 EI= ⋅

⋅ (6.12.)

gdje je

ji

j j

EIR 3

I= ⋅∑ (6.13.)

su karakterizirana pridržanja j-tih susjednih štapova.

Wood i Johnston također su dali pojednostavljene postupke.

EC 3 je usvojio postupak koji je predložio Wood za nepomične i pomične okvire.

6.5.3. Stupovi nepomičnih okvira

Wood razmatra zamjenski okvir prikazan na slici 6.23.b), u kojoj je dio AB okvira

prikazanog na slici 6.23.a).

B. Peroš 247


Slika 6.23. Primjer zamjenskog okvira

Dva koeficijenta elastičnog pridržanja ηt i ηb izračunavaju se pomoću formula:

ct

c

cb

c b

KK K

KK K

η =+

η =+

∑

∑

b,t

,b

(6.14.) i (6.15.)

gdje je:

Kc - krutost stupa I/L,

∑Kb - zbroj efektivnih krutosti nosača u priključku, a indeksi b i t označavaju

podnožje (engl. bottom) i vrh (engl. top) stupa.

Ako nosači nisu izloženi uzdužnim silama, njihove efektivne krutosti mogu se odrediti

pomoću tablice 6.4., uz pretpostavku da ostaju elastični pod računskim momentima.

Tablica 6.4. Efektivne krutosti nosača

B. Peroš 248


Naravno, moguće je da se za isti slučaj opterećenja dogodi da računski moment u

nekom od nosača premaši elastični moment. Tada je potrebno pretpostaviti da je u

toj točki ili tim točkama zglob (određuje se duljina izvijanja uz prisutnost plastičnog

zgloba).

Kada je nosač spojen djelomično nepopustljivim priključkom, njegova efektivna

krutost mora biti shodno reducirana.

Kada su nosači izloženi uzdužnim silama, njihova efektivna krutost mora se odrediti

uzevši ovo djelovanje u obzir.

U tablici 6.5. dan je jednostavan alternativni postupak. Povećanje krutosti uslijed

uzdužne vlačne sile može se zanemariti. Učinak tlačne sile uzima se u obzir pomoću

konzervativnih aproksimacija, vidi tablicu 6.5. Navedeno se može prikazati grafički

pomoću krivulja danih na slici 6.24.

Faktor efektivne dužine može se izračunati pomoću izraza:

( )( ) tbtb

tbtb

247,0364,02265,0145,01

kη⋅η⋅−η+η⋅−η⋅η⋅−η+η⋅+

= (6.16.)

B. Peroš 249


Slika 6.24. Faktori efektivne dužine za stup nepomičnog okvira

Tablica 6.5. Redukcija krutosti nosača zbog uzdužne sile

B. Peroš 250


Model se može usvojiti za kontinuirane stupove pretpostavljajući da je svaka dužina

stupa opterećena do iste vrijednosti odnosom (N/Ncr). U slučajevima gdje (N/Ncr)

varira, dobivaju se konzervativne vrijednosti za k, za najkritičniju dužinu stupa.

Koristeći model sa slike 6.25., za svaku dužinu kontinuiranog stupa može se ova

pretpostavka uvažiti i dobiti ηt i ηb prema formulama:

c tt

c t b

K KK K K

+η =

+ +∑ ,t

(6.17.)

c bt

c b b,

K KK K K

+η =

+ +∑ b

(6.18.)

Slika 6.25. Koeficijent elastičnog pridržanja za kontinuirane stupove

6.5.4. Stupovi pomičnih okvira

k se može izračunati koristeći isti postupak usvojen za nepomične okvire. Međutim,

mora se istaći da se dobiveni rezultati moraju smatrati više aproksimativnim od onih

za nepomične okvire.

Wood-ova metoda za pomične okvire prihvatljiva je samo za regularne okvire, ti.

visine, momenti inercije i uzdužne sile u stupovima ne razlikuju se znatno.

k za stupove pomičnog okvira može se dobiti iz dijagrama sa slike 6.26. ili prema

formuli:

( )( ) btbt

btbtkηηηηηηηη⋅⋅++⋅−⋅⋅−+⋅−

=6,08,01

12,02,01 (6.19.)

Koeficijenti elastičnog pridržanja ηt i ηb izračunavaju se kao za slučaj nepomičnih

okvira.

B. Peroš 251


Slika 6.26. Faktori efektivne dužine za stup pomičnog okvira

Primjer: Poduprt i nepomičan okvir

Svrha primjera:

Potrebno je za već klasificirani okvir kao poduprt i nepomičan izračunati dužinu

izvijanja stupa u ravnini. Okvir je prikazan na slici 6.27.

EC 3

B. Peroš 252



• Izvijanje u ravnini okvira

12111 KKK

K

c

c

++=η (E.1)

22212 KKK

K

c

c

++=η (E.2)

302,55002510 cm

LI

Kc

cc ===

323,3600

19400,1 cmKK bc =⋅== Tablica E.1

61,023,302,5

02,51 =

+=η ( )zglob0,12 =η

Poduprt okvir (nepomičan)

cmLL

lL

iy

iy

42550085,085,0

85,0/

=⋅=⋅=

=

• Izvijanje izvan ravnine okvira

Dužina izvijanja cmLLiz 500==

B. Peroš 253


Primjer: Nepoduprt i nepomični okvir

Svrha primjera:

Potrebno je za već klasificirani okvir kao nepoduprt i nepomičan izračunati dužinu

izvijanja stupa u ravnini. Okvir je prikazan na slici 6.28.




cmLLcmLLcmLI

KK

cmLI

KzglobKKK

KKKK

K

iziyb

bb

c

cc

c

c

c

c

600;5409,0;3,75,1

8,18);(0,1;72,0

311

3

222112111

=======

===++

==++

= ηη

Primjer: Nepoduprt i pomičan okvir

Svrha primjera:

Potrebno je za već klasificirani okvir kao nepoduprt i pomičan izračunati dužinu

izvijanja stupova u ravnini. Okvir je prikazan na slici 6.29.


B. Peroš 254



Slika 6.30. Bočno pomičan mod izvijanja

Tablica 6.6. Karakteristike elemenata okvira

B. Peroš 255



Faktori raspodjele 21 ηη i

12111

11 KKKK

KK

c

c

++++

=η , (E.1)

22212

22 KKKK

KK

c

c

++++

=η , (E.2)

cK - koeficijent krutosti razmatranog stupa,

21, KK - koeficijent krutosti za dužine stupova ispod i iznad,

ijK - koeficijenti efektivne krutosti nosača.

Na nosač ne djeluju uzdužne sile. Oni su obostrano upeti. Njihova deformacija je

oblika dvostruke krivulje (vidi mod izvijanja). Njihovi koeficijenti efektivne krutosti:

LIKij ⋅= 5,1 Tablica E.1

Rezultati izračunavanja 21 ηη i prikazani su tablično u tablici 6.7.

Tablica 6.7. Proračun 21 ηη i

Dužine izvijanja:

B. Peroš 256


Izračunavanje Liy/L prema izrazu:

( )( ) 2121

2121

6,08,0112,02,01

ηηηηηηηη⋅⋅++⋅−⋅⋅−+⋅−

=LLij

Tablica 6.8. Dužine izvijanja elemenata okvira

6.6. IMPERFEKCIJE

6.6.1. Imperfekcije okvira

Globalne imperfekcije okvira uzimaju se u obzir u globalnoj analizi u obliku

ekvivalentnih geometrijskih imperfekcija. Dakle, zadaju se kao početni bočni pomak

slika 6.31.a).

Slika 6.31. a) Globalne imperfekcije okvira

b) Lokalne imperfekcije (okvira)

Imperfekcije okvira razmatraju se kao jedan od slučajeva opterećenja. Koriste se u

svim kritičnim kombinacijama opterećenja koja djeluju na okvir. Početne imperfekcije

B. Peroš 257


primjenjuju se u svim horizontalnim smjerovima. Međutim, treba ih uzeti u obzir samo

za jedan smjer istovremeno. Osobitu pozornost treba obratiti za slučajeve

antimetričnih imperfekcija na dvije suprotne strane zbog torzijskih učinaka.

Moguća su dva načina obuhvaćanja imperfekcija okvira:

a) Globalne geometrijske imperfekcije za okvire

Imperfekcija se zadaje pomoću početnog kuta rotacije okvira u odnosu na stopu

stupova, slika 6.32.a). Vrijedi izraz:

,0Φ⋅⋅=Φ sc kk

gdje je

alin

kc

c ,)15,0( 5,0+= , 1≤ck

alin

ks

s ,)15,0( 5,0+= , 1≤sk

,200/10 =Φ

cn - broj stupova koji idu kroz sve katove po jednoj ravnini,

sn - broj katova.

Numeričke vrijednosti φ dane su u tablici .

Tablica 6.11.

b) Zatvoreni sustav ekvivalentnih horizontalnih sila

Ova alternativna metoda mote bit prikladnija za primjenu. Postupak je sljedeći:

Izračunavaju se ekvivalentne horizontalne sile na svakoj razini kata. One su jednake

umnošku vertikalnog opterećenja kata s inicijalnom imperfekcijom. Mogu djelovati u

B. Peroš 258


bilo kojem horizontalnom smjeru. Međutim, uzimaju se u obzir samo u jednom smjeru

istovremeno, slika 6.32.b).

Slika 6.32. Globalne imperfekcije okvira

Ekvivalentne horizontalne sile, dobivene množeći vertikalne reakcije s inicijalnim

imperfekcijama, djeluju na ležajevima. One djeluju u suprotnom smjeru od onih koje

djeluju na katovima. Dakle, ekvivalentne sile na čitavom okviru tvore zatvoreni sustav

tj. ekvivalentna sila koja djeluje na čitavu konstrukciju jednaka je nuli.

Primjer: Poduprt i nepomičan okvir-vezni sustav

Svrha primjera:

Potrebno je za sustav sa slike 6.33. izračunati ekvivalentne horizontalne sile zbog

imperefekcije.

• Statički sustav i računska opterećenja (podaci kao na slici 6.27.)


B. Peroš 259


• Imperfekcije

2451

20011816,0

1110,11/12,0/12,0

1816,06/15,0/15,0

200/10

0

=⋅⋅=

=⇒>=+=+=

<=+=+=

=⋅⋅=

φ

φφφ

sss

cc

sc

knk

nk

kk

dd PV 6= , ekvivalentna horizontalna sila zbog imperfekcija je:

kNVH dd 3,730062451

=⋅⋅=⋅=∆ φ

6.6.2. Imperfekcije za analizu veznih sustava

U proračunu veznih sustava od kojih se zahtijeva da bočno pridržavaju (stabiliziraju)

nosače ili tlačne konstrukcijske elemente, moraju se uzeti u obzir imperfekcije ovih

elemenata pomoću ekvivalentnih geometrijskih imperfekcija (inicijalna strelica luka

e0) - vidi sliku 6.34.

Slika 6.34. Imperfekcije za analizu veznih sustava

Numeričke vrijednosti za zamjenske stabilizirajuće sile navedene su u tablici 6.13

B. Peroš 260


Tablica 6.13. Veličine zamjenskih stabilizirajućih sila

Primjer: Imperfekcija veznog sustava (vjetrovni vez)

Svrha primjera:

Potrebno je za sustav sa slike 6.35. izračunati ekvivalentne horizontalne sile zbog

imperfekcije.



B. Peroš 261


Okviri: stup: IPE 500 Vez: dijagonalne: L 60 x 40 x 5 prečka: IPE 400 pojas 1 HE 120 A podrožnica: IPE 160 pojas 2 IPE 400

Slika 6.36. Tlocrt krova

Računsko opterećenje vjetrom: wsd =1,5-2,0 = 3,0 kN . Maksimalni moment savijanja u sredini prečke: Msd = 310 kNm. Uzdužna sila koja djeluje na vezni sustav: Nsd = Msd/h = 310/0,4 = 775 kN.

• Određivanje imperfekcija veznog sustava Pretpostavka: ukupni progib veznog sustava δ je manji od L/2000.

za nr = 4 (broj okvira koje stabilizira vezni sustav), nr =4 (broj panela) ⇒ ς = 1,0

Σ Nsd = 4 775 = 3100 kN.

Slika 6.37. Ekvivalentno opterećenje

Ekvivalentno stabilizirajuće opterećenje qΣ

./28,20,200,3100

9,670,1 mkNq =⋅=Σ

Određivanje deformacija δ veznog sustava

Ukupno opterećenje veznog sustava je zbroj Sdwq +Σ .

Ekvivalentna sila u čvoru veznog sustav (ekvivalentno opterećenje panela):

B. Peroš 262


( )

.2000/105,9.2,132/

,4,260,4/0,200,328,2

,2,1

,2

LmmmmPP

kNP

SdSd

Sd

=<=

==

=⋅+=

δ

(zadovoljava!)

6.6.3. Lokalne imperfekcije konstrukcijskog elementa

Lokalna impertekcija konstrukcijskog elementa prikazana je na slici 6.38.

Slika 6.38. Element s lokalnom imperfekcijom

Vidljivo je da je njen učinak isti kao onog uslijed progibanja elementa na koji djeluju

uzdužna sila i savijanje. Dakle, učinak drugog reda poznat kao P-δ efekt.

U globalnoj analizi okvira mogu se zanemariti učinci imperfekcija elementa. U takvim

slučajevima pretpostavlja se da su one uzete u obzir s odgovarajućim izrazima za

izvijanje.

Slučajevi u kojima se ovaj učinak mora uzeti u obzir su tlačni konstrukcijski elementi

u pomičnim okvirima sa priključcima koji prenose momente i za koje je:

5,0)/(5,0 Sdy NfA ⋅⋅>λ

(alternativno: 4/25,0/ <=> SdcrcrcrSd NNiliNN λ )

gdje je:

NSd - računska tlačna sila,

Ncr - Euler-ova sila izvijanja izračunata za element dužine izvijanja jednake

sustavnoj dužini,

( 5,0/ cry NfA ⋅=λ ) (klase presjeka 1,2 ili 3) - bezdimenzijska vitkost (izvijanje u

B. Peroš 263


ravnini).

Primjer: Nepoduprt i pomičan okvir - imperfekcije okvira i elemenata

Svrha primjera:

Potrebno je za okvir sa slike 6.39. izračunati imperfekcije okvira (globalne

imperfekcije) i imperfekcije elemenata (lokalne imperfekcije) kao i ekvivalentne

horizontalne sile zbog imperefekcije.

• Statički sustav i računska opterećenja (EC)


Okvir: stupovi: IPE 360 Ib=Iy=16270 cm4 A=72,73 cm2

Wpl,y=1019 cm3

prečka: IPE 400 Ic=Iy=23130 cm4 A=84,46 cm2

Wpl,y=1307 cm4

• Imperfekcije okvira (vidi točku 6.1.)

0,10,110,11/12,0/12,0

0,12/15,0/15,0

12

200/10

0

=⇒>=+=+=

=+=+=

===

⋅⋅=

sss

cc

s

c

sc

knk

nk

nn

kkφ

φφ

2001

20010,10,1 =⋅⋅=φ

B. Peroš 264


Ekvivalentna horizontalna sila:

( ) kNVH dd 6,36000,10122001

0 =+⋅⋅=⋅=∆ φ

• Imperfekcije elementa - Stup CD

85,09,93

80

8015

1200

1

===

===

λλ

λ

λ

yy

yy i

L

NSd prema teoriji 1. reda - procjena:

( ) ( ) kNLhFHP

LqN ddd

dSd 682

0,100,126,315600

20,1012

2=⋅+++

⋅=⋅+++

⋅=

uvjet:

Sdy NfA /5,0 ⋅⋅>λ

.79,085,079,0682/5,2373,725,0

>=⋅⋅

>> Imperfekcije stupa CD moraju se uzeti u obzir. - Stup AB

85,09,93

80

8015

1200

1

===

===

λλ

λ

λ

yy

yy i

L

NSd prema treoriji 1. reda - procjena:

( ) ( ) kNLhFH

LqN dd

dSd 38

0,100,126,315

20,1012

2=⋅+−

⋅=⋅+−

⋅=

uvjet:


.35,385,035,338/5,2373,725,0

>=⋅⋅

>>Nije potrebno uzeti u obzir imperfekcije stupa AB. - Nosač BD

65,09,936,60

6,605,16

1000

1

===

===

λλ

λ

λ

yy

yy i

L

B. Peroš 265


NSd prema teoriji 1. reda - procjena:

kNNSd 92

6,18≈≈

uvjet:


.74,065,04,79/5,2346,845,0

<=⋅⋅

>> Nije potrebno uzeti u obzir imperfekcije nosača BD.

6.7. ANALIZA OKVIRNIH KONSTRUKCIJA

6.7.1. Uvod

Svrha globalne analize okvira je određivanje raspodjele unutarnjih sila i momenata

savijanja kao i odgovarajućih deformacija u konstrukciji izloženoj djelovanju. Za

ostvarenje navedenog zahtijeva se usvajanje prikladnog modela. Ovaj model

uključuje pretpostavke o ponašanju konstrukcije a posebno o njenim konstrukcijskim

elementima i priključcima.

Prema tome, u daljnjim razmatranjima istraživat će se glavni aspekti ponašanja

okvira i načini na koje se ovi aspekti vežu s metodama za procjenu odgovora okvirne

konstrukcije.

6.7.2. Ponašanje okvira

Odgovor konstrukcije na opterećenje može se izraziti odnosom između parametra

opterećenja λ i parametra pomaka. Primjer ponašanja pomičnog okvira na koji

djeluje postepeno rastuće opterećenje dan je na slici 6.40.

B. Peroš 266


Slika 6.40. Odgovor okvirne konstrukcije opisan odnosom opterećenje - pomak

Parametar opterećenja A (u engleskom poznat i kao "load factor", -load multiplier")

primjenjuje se na sve komponente opterećenja.

Njime se proizvodi monotono i proporcionalno povećanje svih opterećenja na

konstrukciju. Za parametar pomaka uzet je bočni pomak zadnjeg kata okvira

Dobivena krivulja karakterizira ponašanje konstrukcije. Nagib krivulje je mjera bočne

krutosti okvirne konstrukcije.

Do točke nazvane granica linearnosti vidi sliku 6.40., odgovor konstrukcije je skoro

linearan. Nakon dosizanja granice linearnosti pozitivan nagib rastućeg dijela krivulje

postepeno se smanjuje. Ovo smanjenje je uslijed kombinacije tri vrste nelinearnosti:

- geometrijske nelinearnosti,

- nelinearnosti priključka,

- materijalne nelinearnosti.

Nelinearnost priključka obično se pojavljuje već pri relativno malom opterećenju.

Geometrijska nelinearnost izražava utjecaj aktualnog deformiranog oblika

konstrukcije na raspodjelu momenata savijanja i poprečnih i uzdužnih sila. Ona

postaje očita prilično prije početka tečenja materijala, tj. materijalne nelinearnosti.

Nadalje, odgovor konstrukcije postaje progresivno nelinearan kako se opterećenje

približava maksimumu. Dosezanjem maksimalnog opterećenja, ravnoteža bi

zahtijevala pad veličine opterećenja kako deformacije rastu. Nagib krivulje (tj. krutost)

jednak je nuli u točki vršnog opterećenja. Iza toga postaje negativan pokazujući da je

konstrukcija od ove točke nestabilna.

Vršno opterećenje, nazivamo ga i krajnje opterećenje (engl. ultimate load), je točka

skorog kolapsa konstrukcije ukoliko opterećenje ne prestane djelovati.

B. Peroš 267


6.7.3. Modeliranje konstrukcije građevine

6.7.3.1. Uvod

Model potreban za globalnu analizu okvira temelji se na nizu pretpostavki o:

• konstrukcijskom modelu,

• geometrijskom ponašanju konstrukcije i njezinih elemenata,

• ponašanju poprečnih presjeka elemenata,

• ponašanju priključaka.

Nakon što je provedena analiza okvira, moraju se provesti brojni dokazi otpornosti

okvira i njegovih komponenata (konstrukcijskih elemenata i priključaka). Ovi dokazi

ovise o tipu provedene analize i kriterijima krajnjeg graničnog stanja.

U nastavku se razmatraju jednostavni modeli za građevine izložene pretežno

statičkom opterećenju. Također, navedeno se može usvojiti kao alternativa za

složenije modele.

6.7.3.2. Koncept nosivosti

U razrađivanju ideje o konceptu nosivosti potrebno je razlučiti sljedeće kategorije

konstrukcijskih elemenata:

• glavne konstrukcijske elemente:

glavne okvire, njihove priključke i temelje preko kojih se vertikalna i

horizontalna opterećenje prenose u tlo,

• sekundarne konstrukcijske elemente:

kao što su npr. podrožnice,

• ostali elementi:

oni koji prenose opterećenje do sekundarnih ili glavnih elemenata.

B. Peroš 268


Slika 6.41. 3D prikaz konstrukcijskih elemenata

6.7.3.3. Prostorno ponašanje

Općenito, glavna konstrukcija ponaša se kao trodimenzijski okvir (prostorni okvir).

Uobičajeno je analizirati ih kao neovisne ravninske okvire, prikazane na slici 6.42.

Slika 6.42. 3D i 2D okviri

6.7.3.4. Otpornost na horizontalne sile

Ovaj dio obuhvaćen je klasifikacijom okvira na poduprte ili nepoduprte, pomične ili

nepomične.

Katkad je uobličenje konstrukcije takvo da je moguća pojava ekscentričnog unosa

horizontalnog opterećenja u odnosu na težište rotacije konstrukcije.

B. Peroš 269


Slika 6.43. Nesimetričan unos sile u odnosu na centar rotacije objekta

Ove učinke je također potrebno uzeti u obzir na odgovarajući način.

6.7.3.5. Međudjelovanje tlo - konstrukcija

Slijeganje temelja može imati značajan učinak na momente savijanja i poprečne i

uzdužne sile konstrukcijskih elemenata. Ukoliko je učinak značajan, Eurocode 3 ne

daje kriterije. Međudjelovanje tlo - konstrukcija uzima se u obzir na sljedeći način:

• U prvom koraku, konstrukcija se proračunava pretpostavljajući da je tlo

nedeformabilno. Određuje se opterećenje na tlo iz ovog proračuna i

izračunavaju se potom slijeganja.

• Dobiveno slijeganje uzima se kao djelovanje na konstrukciju i izračunavaju se

momenti savijanja i poprečne i uzdužne sile.

• Ako su učinci značajni (smanjuju znatno otpornost konstrukcija),

međudjelovanje tlo - konstrukcija mora se uzeti u obzir.

B. Peroš 270


Slika 6.44. Međudjelovanje tlo - konstrukcija

Ukoliko se otpornost konstrukcije reducira do 5% međudjelovanje tlo – konstrukcija

može se zanemariti.

6.7.3.6. Modeliranje okvira

Pri modeliranju okvira za globalnu analizu potrebno je držati se sljedećeg:

(1) Konstrukcijski elementi i priključci modeliraju se na način koji odgovarajuće

odražava njihovo očekivano ponašanje za promatrano opterećenje.

(2) Osnovna geometrija okvira predstavlja se težišnim linijama konstrukcijskih

elemenata.

(3) Uobičajeno se usvajaju linearni konstrukcijski elementi, zanemaruju se

preklapanja stvarnih širina elemenata.

(4) Alternativno, stvarna širina elementa može biti uzeta u obzir kod priključka između

konstrukcijskih elemenata Metode koje su predložene po Eurocode 3 obuhvaćaju

posebne fleksibilne priključke.

6.7.3.7. Konstrukcijsko uobličavanje i priključci

Pojam konstrukcijsko uobličavanje (engl. framing) u Eurocode 3 upotrebljava se da

istakne različite načine na koje se ponašanje priključka može razmatrati u globalnoj

analizi.

Prije prihvaćanja koncepta 'djelomične nepopustljivosti' (engl. semirigidity),

dimenzioniranje čeličnih okvira rađeno je na osnovu dviju krajnjih pretpostavki. Prva

B. Peroš 271


pretpostavka bila je da su krajevi svih elemenata kod priključka izloženi jednakoj

rotaciji i jednakim pomacima uslijed nepopustljivog ponašanja priključka. U ovom

slučaju radi se o kontinuiranoj konstrukciji (engl. continuous framing), slika 6.45.a).

Druga pretpostavka bila je da priključci ne mogu prenijeti momente i slobodno

rotiraju. U ovom slučaju radi se o jednostavnoj konstrukciji (engl. simple framing),

slika 6.45.b).

Eurocode 3 uvodi koncept da se priključci mogu ponašati između ova dva ekstrema,

dakle djelomično nepopustljiv. Dakle, radi se o djelomično kontinuiranoj konstrukciji

(engl. semi-continuous framing), slika 6.45.c)

Slika 6.45. Konstrukcijska uobličenja

6.7.4. Bitne značajke analize konstrukcija

Formiranje modela konstrukcije započinje se definiranjem njezinog uobličenja

(raspored konstrukcijskih elemenata i priključaka).

Za tipičnu okvirnu konstrukciju odabiru se ravni konstrukcijski elementi između

spojnih točaka (priključaka). Geometrija konstrukcije obično je definirana neovisnim

koordinatama priključaka.

Iz geometrijskih informacija utvrđuju se stupnjevi slobode konstrukcije. Za

upotpunjavanje ove informacije, mora se još voditi računa o ležajnim uvjetima i

mogućem ponašanju priključaka (relativni pomaci, rotacije itd.).

Stupnjevi slobode, definirani kao pomaci i rotacije priključaka, koriste se u analizi

modela za opisivanje deformiranog oblika konstrukcije za promatrano opterećenje.

B. Peroš 272


Nakon definiranja geometrije konstrukcije, potrebno je definirati svojstva materijala i

karakter opterećenja. Preliminarnim dimenzioniranjem određuju se početna svojstva

poprečnih presjeka elemenata i priključaka. Ilustracija navedenog dana je na slici

6.46

Slika 6.46. Model okvirne konstrukcije iz QSE-a

Rješenje problema analize konstrukcije zahtijeva da konstrukcijske varijable (sile,

deformacije) zadovolje tri osnovna principa:

• Ravnotežu Sile u elementima i čvorovima i opterećenje na konstrukciju moraju zadovoljavati

jednadžbe statičke (ili dinamičke) ravnoteže u konstrukciji.

• Kompatibilnost Deformacije elemenata moraju biti geometrijski kompatibilne s pomacima čvorova i

rotacijama (sačuvan je kontinuitet)

• Zakone ponašanja Sile u elementima i čvorovima (naponi) i deformacije elemenata i čvorova moraju

zadovoljiti zakone ponašanja materijala koji je predviđen za izradu konstrukcije.

Temeljni zakon ponašanja materijala je prikazan εσ − dijagramom u koji je uključen

modul elastičnosti, granica popuštanja, sposobnost deformiranja.

Analizu konstrukcije moguće je provesti na nekom od kompjutorskih programa.

Međutim, još uvijek se u praksi primjenjuje i 'ručni proračun'.

Bitno je napomenuti da većina metoda analize konstrukcije, ručne i kompjutorske, ne

otkrivaju početak instabiliteta konstrukcije Instabilitet se može pojaviti kao:

• lokalno izbočavanje hrpta ili pojasnice poprečnog presjeka konstrukcijskog

elementa,

• lokalno izbočavanje dijela priključka,

• izvijanje konstrukcijskog elementa (uključujući i bočno izvijanje),

B. Peroš 273


• izvijanje dijela ili čitave konstrukcije.

Prema tome, kao dopunu analizi konstrukcije, potrebno je provesti dodatnu analizu

i/ili mjere dimenzioniranja za osiguranje protiv pojave instabiliteta.

6.8. PLASTIČNA GLOBALNA ANALIZA I POTREBNE PROVJERE PRI DIMENZIONIRANJU

Slika 6.47. prikazuje različite mogućnosti primjene plastične globalne analize i

provjera pri dimenzioniranju prema EC 3.

Slika 6.47. Plastična globalna analiza i provjere pri dimenzioniranju prema Eurocode 3

Metode plastične analize primjenjive su uz zadovoljenje sljedećih uvjeta:

(1) Čelik sa svojstvima:

• 2,1≥y

u

ff

B. Peroš 274


gdje je:

fu - vlačna čvrstoća čelika,

fy - granica popuštanja čelika.

• Izduženje pri lomu vlačne probe (otkazivanju epruvete) dužine 065,5 A nije

manje od 15% (A0 - površina poprečnog presjeka epruvete).

• εσ − dijagram pokazuje:

gdje je:

uε - krajnje izduženje koje odgovara krajnjoj čvrstoči fu

yε - izduženje tečenja koje odgovara granici tečenja fy

Slika 6.48.

(2) Potrebno je izvesti bočna pridržanja kod svih mjesta plastičnih zglobova kod

kojih se može dogoditi rotacija plastičnog zgloba za bilo koji slučaj opterećenja.

Pridržanje treba izvesti unutar razmaka duž konstrukcijskog elementa od teoretske

lokacije plastičnog zgloba ne većeg od pola visine konstrukcijskog elementa.

Slika 6.49. Pridržanja u području plastičnog zgloba

(3) Poprečni presjek konstrukcijskog elementa općenito mora udovoljavati

zahtjevima klase 1. Presjeci klase 2 i 3 mogu se dozvoliti samo gdje se ne pojavljuju

B. Peroš 275


plastični zglobovi. Klasa 2 presjeka može se primjeniti na mjestu plastičnog zgloba

samo ako se ne zahtijeva veliki rotacijski kapacitet. Dozvoljava li se formiranje

plastičnih zglobova u priključcima, oni moraju također biti u duktilnoj klasi.

(4) Kada se poprečni presjeci mijenjaju duž konstrukcijskih elemenata,

ograničenja su:

• debljina hrpta ne smije se mijenjati unutar razmaka 2d, s obje strane zgloba, a d je

ravni dio hrpta,

• tlačna pojasnica mora biti klase 1 i konstantne debljine na istom razmaku,

• tlačna pojasnica mora biti klase 1 na razmaku od zgloba do točke u kojoj je moment

savijanja smanjen na 0,8 Mpl,Rd,

• na ostalim mjestima tlačna pojasnica mote biti klase 1 ili 2, a hrbat klase 1, 2 ili 3.

Slika 6.50. Zahtjevi za debljinu elemenata u području ojačanja

Zadovoljenjem navedenih uvjeta smatra se da konstrukcijski elementi i priključci

posjeduju dovoljan rotacijski kapacitet da se omogući razvijanje svih plastičnih

zglobova kroz konstrukciju.

B. Peroš 276


Za opterećenje se pretpostavlja da raste proporcionalno i monotono, a množitelj

opterećenja kolapsa (faktor opterećenja kolapsa) mora imati vrijednost barem 1,0.

6.8.1. Plastična analiza prvog reda i dimenzioniranje

Primjenjuju se idealno plastična analiza i elastična - idealno plastična analiza.

Analiza prvog reda osobito je prikladna za nepomične okvire. Primjena ove analize

na pomične okvire ograničena je na specifične slučajeve. Primjenjuje se i za

dimenzioniranje jednobrodnih okvira sa skošenim prečkama.

Najprikladnije je uzeti u obzir imperfekcije okvira metodom 'ekvivalentne horizontalne

sile'. Ovo osobito vrijedi za idealnu plastičnu metodu.

U plastičnoj metodi prvog reda nisu uzete u obzir bilo koje pojave instabiliteta

konstrukcijskih elemenata. Stoga je potrebno provesti provjere stabilnosti elemenata

u ravnini i izvan ravnine s uzimanjem u obzir prisutnost plastičnih zglobova.

Uvijek kada se koristi idealno plastična metoda prvog reda, za provjeru

dimenzioniranja konstrukcijskog elementa uzima se dužina izvijanja u ravnini za

bočno nepomičan mod i uzevši u obzir učinke plastičnih zglobova. Ne zahtijevaju se

daljnje provjere stabilnosti okvira u ravnini za izvijanje bočno pomičnog moda.

Idealno plastična analiza prvog reda ne koristi se za analizu nepoduprtih okvirnih

konstrukcija s više od dva kata. Osim toga u ovom slučaju, kada se u stupovima

formiraju plastični zglobovi, stupovi se moraju provjeriti na otpornost na izvijanje u

ravnini sa dužinom izvijanja jednakoj sustavnoj dužini. Stupovi moraju također

posjedovati vitkost u ravnini okvira koja zadovoljava sljedeće uvjete, a s time se

postiže da imaju odgovarajući rotacijski kapacitet:

• Poduprti okviri 5,0

4,0 ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ⋅≤

Sd

y

NfA

λ ili 16,01≤=

cr

Sd

cr NN

λ

• Nepoduprti okviri 5,0

32,0 ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ⋅≤

Sd

y

NfA

λ ili 10,01≤=

NNSd

λ

gdje je Ncr, Eulerova sila izvijanja u ravnini za stupove. U elastično - plastičnoj analizi izračunavaju se rotacije plastičnih zglobova. Na

osnovu toga može se provesti provjera da Ii je raspoloživ zahtijevani rotacijski

B. Peroš 277


kapacitet presjeka. S idealno plastičnom analizom ovaj podatak nije moguć. Stoga se

na mjestima plastičnih zglobova moraju uvijek primijeniti presjeci klase 1 i duktilni

priključci.

lako ove metode plastične analize prvog reda pružaju neposredne informacije

pomoću računske otpornosti okvira, zahtijevaju se provjere otpornosti presjeka i

priključaka. Pri tom se uzima u obzir utjecaj uzdužnih i/ili poprečnih sila kada one

nisu bile obuhvaćene u metodi analize. Ovo se događa u slučaju mnogih primjena

idealne plastične metode.

Idealna plastična metoda ne daje nikakve podatke o progibima i rotacijama. U

načelu, ova metoda se mora nadopuniti elastičnom analizom konstrukcije s uvjetima

opterećenja shodno graničnom stanju uporabivosti.

Sve ostale provjere jednake su kao u slučaju elastične analize prvog reda.

6.8.2. Plastična analiza drugog reda i dimenzioniranje okvira

Plastična analiza drugog reda, s globalnim imperfekcijama koje su uzete u obzir,

može se koristiti u svim slučajevima za koje se dopusta plastična analiza. Ova

metoda mora se koristiti za pomične okvire kada se provodi plastična analiza.

Za određene tipove okvira koristi se idealno plastična metoda prvog reda s

odgovarajućim povećanjem momenata savijanja, poprečnih i uzdužnih sila, kao

alternativa direktnoj elasto - plastičnoj analizi.

6.8.2.1. Direktna metoda

Uobičajeno primjenjivana direktna metoda je elastična - idealno plastična analiza

drugog reda. Koristi se za sve slučajeve bočno pomičnih i nepomičnih okvira.

Uglavnom se koristi za istraživačke svrhe. Ograničenja plastične globalne analize

odnose se na klasifikaciju konstrukcijskog elementa, duktilnost priključka i svojstva

materijala.

Učinci drugog reda, zbog globalnih imperfekcija okvira i bočnih pomaka, uzeti su u

obzir kada se provodi analiza. Obično se u analizi uzimaju u obzir učinci drugog reda

zbog lokalnih imperfekcija konstrukcijskih elemenata, a kada je potrebno, i progiba

konstrukcijskih elemenata u ravnini.

B. Peroš 278


Sa odgovarajućim računskim otpornostima korištenim u analizi može se uzeti u obzir

utjecaj uzdužnih i/ili poprečnih sila na plastični moment otpornosti presjeka i

priključaka.

Navode se sljedeće prednosti elastično - idealno plastične analize drugog reda:

• Identificiran je kolaps okvira (plastični mehanizam ili instabilitet).

• Identificirani su svi plastični zglobovi uključujući i one koji se mogu formirati all

potom i odteretiti (tako da se ne pojavljuju u mehanizmu kolapsa okvira), ali ih

treba pridržati kao i sve plastične zglobove.

• Mogu se identificirati zglobovi koji se formiraju između krajnjih računskih

opterećenja.

• Mogu se izračunati unutarnje sile i momenti, uključujući učinke drugog reda,

za sve faze do kolapsa.

Kada je utjecaj uzdužnih i/ili poprečnih sila uzet u obzir u analizi, ne zahtijevaju se

dodatne provjere za poprečne presjeke i priključke.

Budući da je izračunata rotacija plastičnih zglobova, moguća je provjera da je

zahtijevani rotacijski kapacitet raspoloživ.

Za vitke konstrukcijske elemente potrebno je provesti provjeru stabilnosti u ravnini.

Pri tom treba uzeti dužinu izvijanja za bočno nepomičan okvir i s uzimanjem u obzir

prisutnosti plastičnih zglobova. Ukoliko su lokalne imperfekcije vitkih elemenata uzete

u obzir u globalnoj analizi, ova provjera se ne zahtijeva.

U većini slučajeva primjene elastične - idealno plastične analize na okvire razmatra

se samo ponašanje u ravnini konstrukcijskih elemenata. Prema tome, potrebne su

provjere njihove stabilnosti (okvira i konstrukcijskih elemenata) izvan ravnine. Ne

zahtijevaju se nikakve druge provjere stabilnosti okvira u ravnini za izvijanje bočno

pomičnog moda jer su one pokrivene analizom konstrukcije.

Ostale računske provjere iste su kao u slučaju elastične analize prvog reda.

6.8.2.2. Pojednostavljena plastična analiza drugog reda

Kao alternativa elastično - plastičnoj analizi drugog reda dopušta se primjena idealno

plastične analize prvog reda za pojedine tipove pomičnih okvira. Učinci drugog reda

uslijed bočne pomičnosti uzeti su u obzir indirektno, množeći momente i unutarnje

B. Peroš 279


sile prikladnim faktorom povećanja. Metoda se ne smije primijeniti na okvire s vitkim

konstrukcijskim elementima.

Faktor povećanja dan je izrazom:

cr

Sd

VV

−1

1

oblikom istim kao za elastičnu analizu prvog reda. Metoda je primjenjiva samo ako je VSd/Vcr ≤ 0,20 (isključuju se vitki elementi) i ako

konstrukcija zadovoljava uvjete:

(1) Okviri s jednim ili dva kata u kojima

• ne formiraju se plastični zglobovi u stupovima, ili

• stupovi imaju vitkost u ravnini temeljenu na dužini izvijanja jednakoj

sustavnoj dužini koja zadovoljava uvjete za stupove s plastičnim

zglobovima u okvirima proračunatim koristeći idealno plastičnu analizu

prvog reda.

(2) Okviri s upetim stopama stupova, kod kojih bočno pomični mod otkazivanja

obuhvaća plastične zglobove samo u stupovima na mjestu upetosti. Proračun

se zasniva na nekompletnom mehanizmu u kojem su stupovi dimenzionirani

da ostanu elastični za izračunati moment plastičnog zgloba i da zadovolje

uvjet vitkosti u ravnini za stupove sa plastičnim zglobovima.

Dakle, idealno plastična metoda prvog reda dopustiva je samo za specifične

slučajeve bočno pomičnih okvira (okviri s jednim katom ili s dva kata).***

Pri provjerama otpornosti presjeka i priključaka zahtijeva se uzimanje u obzir

utjecaja uzdužnih i/ili poprečnih sila na otpornost na savijanje. Provodi se

provjera stabilnosti konstrukcijskih elemenata u ravnini i izvan ravnine. Koristi

se dužina izvijanja bočno nepomičnog moda s uzimanjem u obzir prisutnosti

plastičnih zglobova.

Ostale računske provjere iste su kao za slučaj idealno plastične analize prvog

reda.

B. Peroš 280


6.8.2.3. Merchant - Rankine postupak

Ovaj postupak nije izričito naveden u EC 3, dio 1-1. Međutim, primjenjen je u

kriterijima ograničavanja primjene klasifikacije pomičnih okvira. Također, može se

pokazati da je metoda povećanih momenata primjenjena za okvire analizirane

plastičnom analizom prvog reda temeljena na ovom postupku.

Postoje brojne znanstvene demonstracije o njenoj primjeni na pomične okvire. U

nekim nacionalnim standardima metoda je i uključena. Predložena su sljedeća

ograničenja njene primjene:

104 ≤≤p

cr

λλ

gdje je:

crλ - linearni elastični kritični množitelj opterećenja,

pλ - množitelj opterećenja kolapsa prvog reda (plastični mehanizam)

Provjera sigurnosti čitavog okvira je zadovoljena ako je:

,0,11≤

fλ

gdje je:

fλ - množitelj opterećenja kolapsa izračunat prema Merchant- Rankine formuli.

Merchant- Rankine formula (modificirana verzija izvorne Rankine-ove formule) glasi:

.9,011

pcrf λλλ+=

Primjena na provjeru okvira vrlo je jednostavna. Unutarnje sile i momenti potrebni za

dimenzioniranje, mogu se dobiti pomoću elastične - idealno plastične analize prvog

reda. Analiza se ne koristi u slučaju vitkih stupova. Stoga nema potrebe uzimati u

obzir učinke drugog reda zbog imperfekcija ili progiba konstrukcijskih elemenata.

Pri provjeri otpornosti presjeka i priključaka zahtijeva se uzimanje u obzir utjecaja

uzdužnih i/ili poprečnih sila.

U primjeni Merchant- Rankine kriterija na okvire, potrebna je provjera stabilnosti

konstrukcijskih elemenata izvan ravnine. Ostale su provjere iste kao u slučaju

plastične analize prvog reda.

B. Peroš 281


6.8.3. Smjernice za primjenu plastičnih metoda dimenzioniranja

B. Peroš 282


B. Peroš 283


6.9. POSTUPCI PRORAČUNA OKVIRA

6.9.1. Tradicionalni postupci proračuna okvira

Postupak u kojem se priključci razmatraju ili kao zglobni ili nepopustljivi dan je

dijagramom toka na slici 6.51.

Dakle, proces obuhvaća sljedeće korake:

• modeliranje okvira uključujući izbor nepopustljivih ili zglobnih priključaka,

• početno pretpostavljeni odabir dimenzija nosača i stupova,

B. Peroš 284


• kombinacije opterećenja za krajnje granično stanje (KGS) i granično stanje

uporabivosti (GSU):

- izračunavanje učinaka opterećenja (unutarnje sile i momenti),

- provjera kriterija za KGS i GSU;

• iteracija, ako je potrebna, za odabir presjeka elemenata dok se ne zadovolje

kriteriji,

• dimenzioniranje priključaka shodno s početnim pretpostavkama: nepopustljivi,

zglobni, krutost.

Postupak sa zglobnim priključcima prikladan je za okvire klasificirane kao poduprte,

nepomične okvire. Najčešći primjer okvirnih konstrukcija s nepopustljivim priključcima

je portalni okvir.

U tradicionalne postupke može se uvrstiti i postupak poznat pod nazivom Wind moment method. Zanimljivo je u okviru ovog poglavlja spomenuti ovu metodu

proračuna budući da je imala veliki utjecaj na današnje poimanje filozofije uvođenja

pojma proračuna popustljivosti priključaka u inženjersku praksu. Osnovno značenje

sastoji se u tome da se za vertikalno opterećenje usvaja popustljivo (zglobno)

ponašanje priključaka, dok se za horizontalna opterećenja usvaja da su ti isti

priključci nepopustljivi. Ova metoda primjenjuje se odavno u SAD-a i na postavkama

ove metode proračunat je nosivi kostur zgrade UN u New Yorku. Dakle, primjena ove

metode potaknula je razvoj i primjenu priključaka, koji su djelomično nepopustljivi.

Pojednostavnjeno je ova metoda prikazana na slici 6.52.

B. Peroš 285


Slika 6.51. Tradicionalni proces proračuna okvira s nepopustljivim i/ili zglobnim priključcima

B. Peroš 286


Slika 6.52. Wind moment method

6.9.2. Suvremeni postupci proračuna okvira Mnogi priključci, pretpostavljeni kao nepopustljivi, često pokazuju konstrukcijsko

ponašanje koje sa nalazi između 'upetog' i 'zglobnog' ponašanja. Eurocode 3

prihvaća činjenicu realnog ponašanja priključka, negdje između ove dvije krajnosti, i

omogućava postupak poznat pod imenom 'djelomično nepopustljiv postupak' analize,

slika 6.53. Suvremenost ovog postupka očituje se u provođenju analize okvira

konzistentno s odgovorom priključka.

Ponašanje priključaka uzima se u razmatranje već u samom početku analize. Dakle,

u fazi preliminamog dimenzioniranja, kada se određuju početne dimenzije elemenata

(nosači, nosači-stupovi) okvira, uzima se u obzir ponašanje priključka. Početna

globalna analiza uključuje približnu procjenu karakteristika priključka, njegovu krutost,

otpornost i rotacijski kapacitet. Ove karakteristike kasnije mogu biti korigirane kao i u

slučaju odabira dimenzija komponenata u završnoj fazi analize. Uobičajeno se

priključak, za potrebe provedbe analize, predstavlja kao rotacijska opruga na

krajevima konstrukcijskog elementa, u pravilu na nosaču.

Ovakav, realističan model priključaka, uključen u globalnu analizu, polučuje

ekonomično dimenzioniranje za većinu tipičnih okvirnih konstrukcija.

B. Peroš 287


Naravno, navedena procedura, sa slike 6.53, može se primijeniti i za priključke koji

su zglobni (jednostavno uobličenje) ili nepopustljivi (kontinuirani uobličenje).

Slika 6.53. Procedura za analizu konzistentnu s odgovorom priključka

B. Peroš 288

Documents

Proračun okvirnih konstrukcija