1Definisi Proses Renewal dan Konsep TerkaitDefinisi Proses
Renewal dan Konsep Terkait Proses Poisson adalah proses
penghitungandimana antar waktu kejadian berturut-turutadalah
independen dan mempunyai distribusiyang sama (iid) yaitu distribusi
eksponensial. Proses renewal merupakan perluasan dariproses
poisson, dimana antar waktu kejadianberturut-turut berdistribusi
sembarang. 2Definisi Proses Renewal dan Konsep TerkaitProses
penghitungan renewal {N(t),t > 0} adalah proses stokastik
bilangan bulatnonnegativeyangmenunjukkan kejadianberurutan dari
suatu peristiwa dalam interval waktu (0,t],di mana antar waktu
kejadianberturut-turut adalah variabel acak positif, independen,dan
mempunyai distribusi yang sama (iid).3Xi- adalah waktu yang berlalu
dari kejadian ke (i-1) sampai kejadian ke i. Distribusi
probabilitas untuk X1 , X2 , adalahF(x) = Pr {Xk x},k = 1, 2, 3, ,
Dengan ketentuan dasar:F(0)= 0, menandakan bahwa X1 , X2 , adalah
variabelrandom positif4Definisi Proses Renewal dan Konsep
TerkaitWaktu tunggu sampai kejadian ke-n adalahWn= X1+ X2+ + Xn, n
> 1..(1.1)W0= 0N(t) = jumlah indeks n di mana 0 < Wn
t..(1.2)5Definisi Proses Renewal dan Konsep TerkaitGambar 1.1
Hubungan ant ara wakt u int eroccurence Xk, danproses penghit ungan
renewal N(t ).Definisi Proses Renewal dan Konsep
Terkait6Penggantian bola lampu :Sebuah bolalampu dipasang pada
waktu W0=0, rusak pada waktu W1=X1,dan kemudian digantidengan
bolalampu yangbaru.Bolalampu yang kedua rusak pada waktu
W2=X1+X2,dandigantikan dengan bolalampu ketiga.Secaraumum,bolalampu
ke nakan rusak pada waktuWn=X1++Xn,dan segera diganti dengan bola
lampu yang baru, dan seterusnya. Contoh Proses Renewal7Contoh
Proses RenewalSehingga dapat diasumsikan waktu hidup (life time)
bola lampu independent secara statistik, dan mempunyai distribusi
probabilitas yang sama selanjutnya dapat dinyatakan sepertidibawah
iniPr {Xk x} = F(x)untuk k = 1, 2, . Pada proses ini N(t) adalah
banyaknya bola lampu pengganti sampai waktu ke t.8Definisi Proses
Renewal dan Konsep Terkaito Fungsi renewalM(t)= E{N (t)}yang
menunjukkan jumlah renewal harapanpada waktu (0,t]9Definisi Proses
Renewal dan Konsep TerkaitBeberapa hubungan dan formula penting
yang akan dicatatHukum probabilitas dari Wn=X1++ Xndapat dihitung
menurut konvolusi berikutPr {Wn x} = Fn(x), dengan asumsi F1(x)=
F(x) diketahui atau ditentukan, maka:( ) ( ) () ( ) ()1 10 0xn n nF
x F x y dF y F x y dF y = = } }10Definisi Proses Renewal dan Konsep
TerkaitHubungan mendasar antara proses waktu tunggu {Wn} dan proses
penghitungan renewal {N(t)} adalahN(t) > kjika dan hanya jika Wk
t.....(1.3)yang artinya, banyaknya renewal dalam jangka waktu t
adalah lebih besar atau sama dengan kjika dan hanya jika renewal
ke-k terjadi sebelum atau pada waktu t. 11Definisi Proses Renewal
dan Konsep TerkaitMenurut (1.3)Pr { N(t) > k } = Pr { Wk s t }=
Fk(t) t > 0, k = 1,2,3,.....(1.4)dan sebagai konsekuensi,Pr {
N(t) = k } = Pr { N(t) > k } Pr { N(t) > k+1 }= Pr {Wk s t }
Pr {Wk+1 s t }=Fk(t)- Fk+1(t),t>0,k=1,2,3,.....(1.5)12Definisi
Proses Renewal dan Konsep TerkaitBerikut ini akan dilihat hubungan
antara fungsi renewal M(t)= E{N(t)} dengan Fk(t) dimana E[N(t)] =
Pr {N(t) > k}, Denganmenggunakan (1.4) diperoleh :..(1.6)| | {
}{ }111( ) ( ) Pr ( )Pr( )kkkkkMt ENt Nt kW tF t==== = >=
s=13Definisi Proses Renewal dan Konsep
TerkaitDalamteorirenewaladasejumlahvariabelrandomlain yang menarik
untuk dibahas. Tiga diantaranya yaitu excess life (juga disebut
excess random variable), current life (juga
disebutagerandomvariable),dantotallife,yang didefinisikan dengan:(
) 1( )W ttNtt WtNtt t to| o= += = +excess atau residual
lifetimeCurrent life atau age random variableTotal life14Definisi
Proses Renewal dan Konsep TerkaitGambar 1.2 Excess life t,
currentlife ot, dan t ot al life |t15Definisi Proses Renewal dan
Konsep TerkaitSelanjutnya kita akan menaksir rata-rata dari
WN(t)+1dalam kaitan dengan rata-rata waktu hidup = E [ X1 ] dari
tiap-tiap unit dan fungsi renewal M(t). Yaitu, untuktiap-tiap
proses renewal adalah benar bahwa :E [WN(t)+1 ] = E [X1++XN(t)+1] =
E [X1] { E [N(t)+1] }= { M(t)+1 }..(1.7)16Definisi Proses Renewal
dan Konsep Terkait Pada awalnya, persamaan diatas menyerupai
rumusanyang diberikan dalam II, (3.9) untuk mean dari random sum,
yang menyatakan bahwa E[X1++ XN]= E[X1] E[N] dimana N adalah suatu
variabel random bernilai integer yang independent terhadap X1, X2,.
Namunpendekatan random sum tidak diaplikasikan disini, perbedaan
yang krusial terjadi bahwa random sum darisummand N(t)+1 dependent
terhadap summands-summands itu sendiri. 17Definisi Proses Renewal
dan Konsep TerkaitDi sesi 3, pada Poisson proses dipandang
sebagaisuatu renewal proses, kita ditunjukkan bahwa summand
terakhir XN(t)+1mempunyai mean yang mendekati duakali dari
unconditional mean =E[X1] untuk t yang besar. Karena alasan itu,
tidaklah benar, khususnya, bahwaE[WN(t)] dapat dihitung sebagai
perkalian E[X1] danE[N(t)]. Berdasar keterangan ini, persamaan yang
dinyatakan di dalam persamaan (1.7) menjadi lebihmenarik.18Definisi
Proses Renewal dan Konsep Terkait Untuk memperoleh ( 1.7), kita
akan menggunakan persamaan fundamental (1.3) dalam bentukN(t) >
j 1 jika dan hanya jika X1++Xj-1 t Yang dinyatakan dalam indikator
variabel random menjadi1{N(t) > j 1} = 1{X1++Xj-1 t}19Definisi
Proses Renewal dan Konsep Terkaitkarena indikator variable random
ini hanyalah fungsi dari variable random X1++Xj-1yang independent
terhadap Xj, sehingga dapat kita hitungE[X E[Xj j1 1{ {X1++Xj-1 t}
=t} = E[X E[Xj j] E[ ] E[1 1{ {X1++Xj-1 t}] t}]== E[X E[Xj j] Pr{ ]
Pr{X1++Xj-1 t}t} ..(1.8)..(1.8) == F Fj j- -1 1(t) (t)20Setelah
mendapatkan persamaan (1.8), kesamaan yang ditunjukkan pada (1.7)
menjadiMenggunakan (1.8)Menggunakan (1.6)Definisi Proses Renewal
dan Konsep Terkait21
