Prosti i složeni brojeviProsti i složeni brojevi

U jednoj porodici ima šestoro U jednoj porodici ima šestoro dece.dece.

Petoro njih je starije od Petoro njih je starije od najmlađegnajmlađeg

deteta za 2, 6, 8, 12 i 14 deteta za 2, 6, 8, 12 i 14 godina.godina.

Koliko je koje dete staro ako suKoliko je koje dete staro ako su

godine svih njih prosti brojevi?godine svih njih prosti brojevi?

Zadatak 1Zadatak 1..

Najmlađe dete ima 5,Najmlađe dete ima 5,

a ostali a ostali 7, 11, 13, 17 7, 11, 13, 17 ii 1919 godina.godina.

RešenjeRešenje

Marija je napisala četiri Marija je napisala četiri uzastopna prosta broja. uzastopna prosta broja. Zatim ih je pomnožila i Zatim ih je pomnožila i dobila proizvod čija je dobila proizvod čija je poslednja cifra bila 0.poslednja cifra bila 0.

Koje je brojeve Marija Koje je brojeve Marija napisala?napisala?

Koliki je proizvod dobila?Koliki je proizvod dobila?

Zadatak 2Zadatak 2..

Kako je poslednja cifra proizvoda Kako je poslednja cifra proizvoda jednakajednaka 0,0,

zaključujemo da je proizvod deljiv sa zaključujemo da je proizvod deljiv sa 10, a10, a

onda on mora biti deljiv i sa 2 i sa 5. onda on mora biti deljiv i sa 2 i sa 5. PoštoPošto

je Marija napisala proste brojeve, oni je Marija napisala proste brojeve, oni nene

mogu biti deljevi sa 2 i 5, osim ako jemogu biti deljevi sa 2 i 5, osim ako je

napisala upravo i brojeve 2 i 5.napisala upravo i brojeve 2 i 5.

Odatle zaključujemo da je Marija Odatle zaključujemo da je Marija napisalanapisala

brojeve 2, 3, 5 i brojeve 2, 3, 5 i 7.7.

Proizvod je: 2 Proizvod je: 2 ·· 3 3 ·· 5 5 ·· 7 = 210 7 = 210

RešenjeRešenje

Da li je rezultat donjeg izraza Da li je rezultat donjeg izraza prost broj:prost broj:

2001200120012001 + 2007 + 200720072007 ??

Zadatak 3Zadatak 3..

Zadnja cifra od Zadnja cifra od 2001200120012001 je je 1. 1.

Zadnja cifra od Zadnja cifra od 2007200720072007 je je neparan brojneparan broj

jer je 2007 neparan broj, a jer je 2007 neparan broj, a proizvodproizvod

neparnih brojeva je takođe neparnih brojeva je takođe neparan.neparan.

Stoga će zadnja cifra od Stoga će zadnja cifra od

2001200120012001 + 2007 + 200720072007 biti parna, pa biti parna, pa će i tajće i taj

broj biti paran. Stoga je on deljiv s broj biti paran. Stoga je on deljiv s 2, pa2, pa

ne može biti prost!ne može biti prost!

RešenjeRešenje

DanDanijel ima devet kartica sijel ima devet kartica s

brojevimabrojevima 1,1, 2,2, ……, , 9. 9.

Složio je te kartice u nekomSložio je te kartice u nekom

redosledu i dobio redosledu i dobio devetocifrenidevetocifreni

broj.broj.

Može li se dogoditi da on Može li se dogoditi da on takotako

dobije prost broj? A složen ?dobije prost broj? A složen ?

Zadatak 4Zadatak 4..

Zbir cifara tog broja jeZbir cifara tog broja je

11 + + 2 2 + + … … + + 9 9 = 45, = 45,

a broj 45 je deljiv sa 3.a broj 45 je deljiv sa 3.

Zato je i zadati broj deljiv sa 3, Zato je i zadati broj deljiv sa 3, papa

ne može biti prost.ne može biti prost.

Dakle, Danijel na taj način Dakle, Danijel na taj način možemože

dobiti samo složene brojeve.dobiti samo složene brojeve.

RešenjeRešenje

Učitelj je na tabli napisao devetUčitelj je na tabli napisao devet

brojeva:brojeva:

1 1 2 2 33 4 4 5 5 6 6 7 7 8 8 99

i tražio od učenika da između i tražio od učenika da između njihnjih

stave znakove stave znakove “+” “+” i i “-” “-” tako tako dada

rezultat buderezultat bude dvocifreni prost dvocifreni prost broj. broj.

Na koliko se načina može rešiti Na koliko se načina može rešiti tajtaj

zadatak?zadatak?

Zadatak 5Zadatak 5..

Kao prvo, ne može se dobiti Kao prvo, ne može se dobiti rezultat većirezultat veći

od 45 jer je od 45 jer je 1+2+…+9 = 45.1+2+…+9 = 45.

Imamo deset dvocifrenih prostih Imamo deset dvocifrenih prostih brojevabrojeva

koji su manji od koji su manji od 45: 45: 11,13,17,19,23,29,31,37,41,43. 11,13,17,19,23,29,31,37,41,43.

Evo kako ih možemo dobitiEvo kako ih možemo dobiti::

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 - 8 – 9 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 - 8 – 9 = 1111

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 – 7 + 8 – 9 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 – 7 + 8 – 9 = 1313

1 + 2 + 3 + 4 - 5 + 6 + 7 + 8 – 9 = 1 + 2 + 3 + 4 - 5 + 6 + 7 + 8 – 9 = 1717

RešenjeRešenje

1 + 2 + 3 - 4 + 5 + 6 + 7 + 8 – 9 = 1 + 2 + 3 - 4 + 5 + 6 + 7 + 8 – 9 = 1919

1 – 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 – 9 = 1 – 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 – 9 = 2323

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 - 8 + 9 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 - 8 + 9 = 2929

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 - 7 + 8 + 9 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 - 7 + 8 + 9 = 3131

1 + 2 + 3 – 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 1 + 2 + 3 – 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 3737

1 - 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 1 - 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 4141

2 – 1 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 2 – 1 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 4343

Rešenje Rešenje (nastavak)(nastavak)

Pokušaj naći dva različita Pokušaj naći dva različita dvocifrenadvocifrena

prosta broja takva da oniprosta broja takva da oni

zadovoljavaju:zadovoljavaju: kad jednom od njih zameniš kad jednom od njih zameniš

cifre, cifre,

dobijaš drugi brojdobijaš drugi broj razlika tih brojeva je kvadrat razlika tih brojeva je kvadrat

nekog prirodnog broja.nekog prirodnog broja.

Zadatak 6Zadatak 6..

Dvocifreni prosti brojevi mogu se Dvocifreni prosti brojevi mogu se završavatizavršavati

samo sasamo sa 1, 3, 7 1, 3, 7 iliili 9. 9. Stoga imamo samo Stoga imamo samo četiričetiri

dvocifrena prosta broja koja mogu biti dvocifrena prosta broja koja mogu biti zapisanazapisana

sa istim ciframa (ali u obrnutom sa istim ciframa (ali u obrnutom redosledu):redosledu):

• 31 31 i i 13 13 , , 31 – 13 = 1831 – 13 = 18 ;;• 71 71 i i 17 17 , , 71 – 17 = 5471 – 17 = 54 ;;• 97 97 i i 79 79 , , 97 – 79 = 1897 – 79 = 18 ;;• 73 73 i i 37 37 , , 73 – 37 = 3673 – 37 = 36 , a važi i , a važi i

36 = 636 = 622..

Dakle, rDakle, rešenje ešenje su brojevi su brojevi 37 37 i i 73. 73.

RešenjeRešenje

MaMarko ima dve kartice sa rko ima dve kartice sa prostimprostim

brojevima brojevima A A i i B. B.

Poslednja cifra od zbira Poslednja cifra od zbira AA22 ++ BB22

jednaka je jednaka je 9. 9.

Možeš li otkriti koliki su A i B Možeš li otkriti koliki su A i B ??

Zadatak 7Zadatak 7..

Ako zbir AAko zbir A22+B+B22 dva broja završava sa 9, onda dva broja završava sa 9, onda je jedanje jedan

od sabiraka (Aod sabiraka (A22 ili B ili B22) paran, a drugi neparan.) paran, a drugi neparan.

Kvadrat bilo kog neparnog broja je neparan, a Kvadrat bilo kog neparnog broja je neparan, a parnogparnog

broja paran, pa zaključujemo da je paran broja paran, pa zaključujemo da je paran kvadratkvadrat

zapravo kvadrat broja 2 (jer ne postoji drugi zapravo kvadrat broja 2 (jer ne postoji drugi paranparan

prost broj). Dakle, ili je A=2 ili B=2.prost broj). Dakle, ili je A=2 ili B=2.

Pretpostavimo da je Pretpostavimo da je A = 2 A = 2.. Tada jeTada je A A22=4=4, pa , pa zadnjazadnja

cifra od cifra od BB22 mora bitimora biti 5. 5. Stoga B Stoga B 22 mora biti mora biti deljiv sa 5, adeljiv sa 5, a

onda i B mora biti deljiv sa 5. Pošto je B prost onda i B mora biti deljiv sa 5. Pošto je B prost broj,broj,

zaključujemo da je zaključujemo da je B = 5. B = 5.

Dakle, Dakle, AA == 22 , , B = 5 B = 5..

Tada je Tada je AA22 ++ BB22 = 29 = 29 . .

RešenjeRešenje

AnAna ima tri kara ima tri karttice sa ice sa različitimrazličitim

ciframa.ciframa. Zaključila je da od Zaključila je da od njihnjih

može složiti 6 različitih može složiti 6 različitih trocifrenihtrocifrenih

prostih brojeva.prostih brojeva.

Dokaži da je to nemoguće!Dokaži da je to nemoguće!

Zadatak 8Zadatak 8..

Ako je zadnja cifra trocifrenog broja parna, Ako je zadnja cifra trocifrenog broja parna, onda je tajonda je taj

broj deljiv sa 2, pa ne može biti prost. Odatlebroj deljiv sa 2, pa ne može biti prost. Odatle

zaključujemo da su sve Anine cifre neparne.zaključujemo da su sve Anine cifre neparne.

Takođe zaključujemo da na njenim karticama ne Takođe zaključujemo da na njenim karticama ne možemože

biti broj 5, jer je trocifreni broj koji završava sa biti broj 5, jer je trocifreni broj koji završava sa 5, deljiv5, deljiv

s 5, pa ne može biti prost.s 5, pa ne može biti prost.

Dakle, na Aninim karticama su cifreDakle, na Aninim karticama su cifre 1, 3, 7 1, 3, 7 ili ili 9. 9.

Međutim, koje god od te tri cifre ona imala, od Međutim, koje god od te tri cifre ona imala, od njih nenjih ne

možemo složiti 6 prostih brojeva jer:možemo složiti 6 prostih brojeva jer: Ako imaAko ima 1,3,7, 1,3,7, t tada je ada je 371 = 53 · 7; 371 = 53 · 7; Ako imaAko ima 1,3,9, 1,3,9, t tada je ada je 319 = 29 · 11; 319 = 29 · 11; Ako imaAko ima 1,7,9, 1,7,9, t tada je ada je 791 = 113 · 7; 791 = 113 · 7; Ako imaAko ima 3,7,9, 3,7,9, ttada je ada je 793 = 61 · 13. 793 = 61 · 13.

RešenjeRešenje

Možeš li naći prost broj Možeš li naći prost broj A A takav datakav da

su brojevi su brojevi (A + 10) (A + 10) i i (A + (A + 14)14)

takođe prosti brojevitakođe prosti brojevi??

Nađi sva moguća rešenja.Nađi sva moguća rešenja.

Zadatak 9Zadatak 9..

Ako broj A podelimo brojem 3, ostatak tog deljenjaAko broj A podelimo brojem 3, ostatak tog deljenja

može biti 0, 1 ili 2. Stoga broj A možemo zapisati može biti 0, 1 ili 2. Stoga broj A možemo zapisati nana

jedan od sledeća tri načina:jedan od sledeća tri načina:

1.1. A = 3 · k A = 3 · k , pri čemu je , pri čemu je kk neki prirodni broj, neki prirodni broj,

2.2. A = 3 · k + 1 A = 3 · k + 1 , pri čemu je , pri čemu je kk neki prirodni broj, neki prirodni broj,

3.3. AA == 3 · k + 2 3 · k + 2 , pri čemu je , pri čemu je kk neki prirodni broj. neki prirodni broj.

Ako je Ako je A = 3 · k, A = 3 · k, onda je onda je A A deljiv sa 3, pa može bitideljiv sa 3, pa može biti

prost samo ako je A=3. Tada je prost samo ako je A=3. Tada je A+10 =13A+10 =13 i i A+14=17A+14=17, a, a

to su takođe prosti brojevito su takođe prosti brojevi..

Ako je Ako je A=3·k+1 A=3·k+1 , t, tada jeada je A+14=3·k+15 A+14=3·k+15 , a taj je , a taj je brojbroj

deljiv sadeljiv sa 3 3, pa ne može biti prost, pa ne može biti prost..

Ako jeAko je A=3·k+2, t A=3·k+2, tada jeada je A+10=3·k+12A+10=3·k+12 , pa je u , pa je u ovomovom

slučaju taj broj deljiv sa 3 i ne može biti prost.slučaju taj broj deljiv sa 3 i ne može biti prost.

Dakle, jedino rješenje je A=3.Dakle, jedino rješenje je A=3.

RešenjeRešenje

Brojevi 3, 5 i 7 su uzastopni Brojevi 3, 5 i 7 su uzastopni neparnineparni

brojevi, a uz to su i prosti.brojevi, a uz to su i prosti.

Postoje li još koja tri uzastopnaPostoje li još koja tri uzastopna

neparna broja koja su prosta ?neparna broja koja su prosta ?

Zadatak 10Zadatak 10..

Ne postoje! Dokažimo to:Ne postoje! Dokažimo to:

Pretpostavimo da imamo tri uzastopna Pretpostavimo da imamo tri uzastopna neparna broja.neparna broja.

Označimo ih sa Označimo ih sa A, A, A + 2A + 2 i i A + 4. A + 4.

Broj A nije deljiv sa 3 jer je prost. Stoga on pri Broj A nije deljiv sa 3 jer je prost. Stoga on pri deljenjudeljenju

sa 3 ima ili ostatak 1 ili ostatak 2, pa ga sa 3 ima ili ostatak 1 ili ostatak 2, pa ga možemomožemo

napisati ili kao napisati ili kao A=3·k+1 A=3·k+1 ili ili A=3·k+2 A=3·k+2 , pri , pri čemu je kčemu je k

neki prirodni brojneki prirodni broj..

Ako je Ako je A= 3·k+1, tA= 3·k+1, tada je ada je A+2 A+2 deljiv sa 3, pa deljiv sa 3, pa on nijeon nije

prost broj.prost broj.

A ako je A ako je A= 3·k+2, tA= 3·k+2, tada je ada je A+4 A+4 deljiv sadeljiv sa 3, 3, pa pa on nijeon nije

prost broj.prost broj.

Dakle, ne postoje takvi brojevi (osim 3, 5 i 7).Dakle, ne postoje takvi brojevi (osim 3, 5 i 7).

RešenjeRešenje