Przetwarzanie sygnałów biomedycznych

1

Przetwarzanie sygnałów biomedycznych

Transformacja falkowa

Wykład VIII

Krótkookresowa transformacja Fouriera

interpretacje

2


interpretacje


Krótkookresowa transformacja Fouriera (STFT – short time Fourier transform) jest transformacj ą Fouriera przeprowadzon ą dla krótkiego odcinka sygnału. Analizuj ąc cały sygnał otrzymujemy dla kolejnych t ci ąg transformat Fouriera, gdzie h(t) jest funkcj ą okna (np. prostok ątnego):

Dyskretna STFT:

n okre śla poło żenie fragmentu sygnału

ciąg kwadratów modułów STFT dla kolejnych n - spektrogram

∫∞

∞−

−−= duetuhuxhftF fuj π2)()(),,(

∑+−

=−−−=

nN

nkx NnkmjnkhkxhmnF

1

)/)(2exp()()(),,( π

3

)(*)()()()(1

0

nhnxknhkxnyN

k

=−=∑−

=

Równanie opisuj ące działanie filtru:(bez wzgl ędu na posta ć h(n))

h(n)/h(t) odpowiada transformata H(e jω) lub H(ω); moduł |H(ejω)|/|H(ω)| zależy od h(n)/h(t) i w przypadku dyskretnego okna prostok ątnego jest to moduł funkcji sin(Nx)/sinx (b ądź sinc x w przypadku okna czasu ciągłego)

Co nast ąpi, jeśli funkcj ę h() pomno żymy przez zespolon ą funkcj ę wykładnicz ą ejωot :

widmo H zostanie przesuni ęte do ω0 :

Poniewa ż h(n) jest odpowiedzi ą impulsow ą filtru, H(e jω) jest jego odpowiedzi ą częstotliwo ściow ą (TF). Uzyskali śmy dwa filtry, jeden dolnoprzepustowy ( ω0 =0), drugi pasmowoprzepustowy o pulsacji środkowej ω0

Filtr dyskretny

)()( 00 ωωω −⇒ Heth tj

)()( ωHth ⇒

)()( ωjeHnh ⇒

)()( )( 00 ωωω −⇒ jnj eHenh

)(*)()()()(1

0

nhnxknhkxnyN

k

=−=∑−

=

Mnożąc funkcj ę h() przez zbiór zespolonych funkcji wykładniczych ejmωot /ejmωon :

uzyskamy zbiór odpowiedzi cz ęstotliwo ściowych, których moduły b ędą przesuni ęte do mω0 , i będą miały taki sam kształt jak |H( ω)|.

W ten sposób uzyskujemy zbiór filtrów pasmowoprzepu stowych (bank) o równo na osi cz ęstotliwo ści rozło żonych cz ęstotliwo ściach środkowych i przebiegach modułu zale żnych od kształtu funkcji h(t)/h(n)

Bank filtrów dyskretnych

)()( 00 ωωω mHeth tjm −⇒ )()( )( 00 ωωω mjnjm eHenh −⇒

4

STFT - DFT lub filtracja

h(k) - okno o długo ści N próbekokno h() jest parzyste!!h(k)=h(N-k) !!

∑+−

=

−−−=nN

nkx NnkmjnkhkxhmnF

1

)/)(2exp()()(),,( π

])/)(2exp()()[(])/)(2exp()()[(

)/)(2exp()]([)()/)(2exp()()(),,(

1

1

1

1

1

1

1

11

∑∑

∑∑

+−

=

+−

=

+−

=

+−

=

−−=−−−=

=−−−−=−−−=

nN

nk

nN

nk

nN

nk

nN

nkx

NknmjknhkxNnkmjknhkx

NnkmjnkhkxNnkmjnkhkxhmnF

ππ

ππ

ustalamy m=m 1 tak że f=f1=m1/N oraz ω1 =2πm1/N


h(k) - okno o długo ści N próbekokno h() jest parzyste!!h(k)=h(N-k) !!

∑+−

=−−−=

nN

nkx NnkmjnkhkxhmnF

1

)/)(2exp()()(),,( π

Ostatnia suma stanowi splot x(n) z iloczynem okna h (n) i zespolonej funkcji wykładniczej o pulsacji 2 πm1/N (ω1):

])/)(2exp()()[(),,(1

11 ∑+−

=

−−=nN

nkx NknmjknhkxhmnF π

ustalamy m=m 1 tak że f=f1=m1/N oraz ω1 =2πm1/N

)]/2exp()([*)(])/)(2exp()()[( 1

1

1 NnmjnhnxNknmjknhkxnN

nk

ππ =−−∑+−

=

)()()()(1

0

ngnxkngkxN

k

∗=−∑−

=

5


h(k) - okno o długo ści N próbekokno h() jest parzyste!!h(k)=h(N-k) !!∑

+−

=

−−−=nN

nkx NnkmjnkhkxhmnF

1

)/)(2exp()()(),,( π

),(*)()]/2exp()([*)(),,( 111 ωπ nhnxNnmjnhnxhmnFx ==

Dla ustalonego n jest to zatem sygnał wyj ściowy filtru pasmowoprzepustowego o pulsacji środkowej 2 πm1/N, pobudzonego ci ągiem x(n) o długo ści N próbek.

Dla kolejnych warto ści n (poło żeń okna h) uzyskujemy ci ąg N warto ści Fx, dla filtru o pulsacji środkowej okre ślonej przez m 1 (pulsacja ω1 <=> 2πm1/N)

dla ustalonego m= m 1 STFT może być przedstawiona jako splot x(n) z iloczynem okna h(n) i zespolonej funkcji wykładnicz ej o pulsacji 2 πm1/N (ω1):

)/2exp()(),( 11 Nnmjnhnh πω =

)}/2exp()(Re{ 1 Nkmjkh π )})/2exp()({( 1 NkmjkhFabs π

ω1= 2πm1/N

)()}exp()({ 11 ωωω −= HtjthF

),(*)(),,( 11 ωnhnxhmnFx =

Otrzymujemy splot x(n) z oknem h(n) pomo żonym przez zespolon ą funkcj ę wykładnicz ą o pulsacji ω1. Oznacza to przesuni ęcie TF okna h(n) do pulsacji ω1. |H(ω)| odpowiadaj ący modułowi odpowiedzi cz ęstotliwo ściowej układu dolnoprzepustowego staje si ę modułem odpowiedzi układu pasmowoprzepustowego |H( ω-ω1)|.

ω1

),(*)()/2,(*)()]/2exp()([*)(),,( 1111 ωππ nhnxNmnhnxNnmjnhnxhmnFx ===

funkcja h(n, ω1) funkcja |H( ω-ω1)|

STFT - DFT lub filtracja)/2exp()(),( 11 Nnmjnhnh πω =

)()}exp()({ )(1

1ωωω −= jeHnjnhF

6


ω1 = 2πm1/N

h() - okno prostok ątne

ustalamy m 1 oraz m 2 =2m1

Moduły odpowiedzi cz ęstotliwo ściowych filtrów - moduły TF okna prostok ątnego przesuni ęte do ω1 i ω2 !!

ω2 = 2πm2/N = 2ω1



ω1

ω2

)/2,(*)(),,( NmnjnhnxhmnFx π=

Odpowiedzi impulsowe filtrów przy h(n) prostok ątnym

STFT - zespół (bank) filtrów

0 20 40 60 80 100-1

0

1

0 20 40 60 80 100-1

0

1

0 20 40 60 80 100-1

0

1

0 20 40 60 80 100-1

0

1

50 100 150 2000

50

50 100 150 2000

50

50 100 150 2000

50

50 100 150 2000

50

ω1

2ω1

4ω1

3ω1

0 50 100-1

0

1

0 50 100-1

0

1

0 50 100-1

0

1

0 50 100-1

0

1

0 50 100 150 2000

20

40

0 50 100 150 2000

20

40

0 50 100 150 2000

20

40

0 50 100 150 2000

20

40

h(t) - okno prostok ątne h(t) - okno Hamminga

),(*)(),,( mx nhnxhmnF ω=

7

- wynik krótkookresowej TF przedstawiany w postaci zbioru modułów TF uzyskiwanych dla kolejnych odcinków sygnału

- wynik TF jako rezultat filtracji sygnału bankiem filtrów o cz ęstotliwo ściach środkowych okre ślonych przez sposób dyskretyzacji osi cz ęstotliwo ści, przedstawiany w postaci modułów sygnałów wyj ściowych poszczególnych filtrów

Interpretacje te s ą równowa żne.


STFT - interpretacje

STFT dla ustalonej warto ści częstotliwo ści f 0(pulsacji ω0) można interpretowa ć jakoreakcj ę filtru pasmowoprzepustowego napobudzenie sygnałem x(t). Odpowied źimpulsowa tego filtru ma posta ć:

)(*)()](2exp[)()(),,( thtxdutufjtuhuxhftF f=−−−= ∫+∞

∞−

π

)()exp()()( 000ωωω −⇒= Htjthth f

Przesuni ęcie okna w czasie skutkuje:

)exp()()( 00tjthth f ω=

Odpowied ź częstotliwo ściowa tego filtru ma posta ć:

)exp()()exp()( 0000 tjHtjtth ωωωω −−⇒−

STFT może być interpretowana jako zespół filtrów!!!

8

STFT – bank filtrów o stałej szeroko ści pasma

f2

f1

t2t1

t1 t2

f1

f2

czas

częstotliwo ść

),(*)(),,( mnhnxhmnFx =

m ⇔ f

n ⇔ t

Zamiast filtru o stałej szeroko ści pasma (STFT) mo żna zaproponowa ćfiltr o stałym stosunku szeroko ści pasma do cz ęstotliwo ści środkowej

Odpowiedzi impulsowe filtrów

Inne banki filtrów

),(*)( ωnhnx

9


Transformacja falkowa jest to jedna z transformacji sygnał u, która słu żyćmoże np. uwypukleniu istotnych wła ściwo ści sygnału, które s ą mniejwidoczne w dziedzinie czasu.

Podobnie jak w przypadku TF mo żliwe s ą dwie interpretacje – iloczynskalarny sygnału i funkcji falkowej b ądź interpretacja jako bank filtrów.Podobnie jak w przypadku TF oczekujemy, że transformacja falkowa zapewnijak najmniejsz ą redundancj ę, tj. niezerowe warto ści powinna przyjmowa ćmożliwie niska liczba wyników analizy falkowej (współczynnik ów falkowych).Oznacza to m.in., że zbiór falek powinien by ć zbiorem funkcji ortogonalnych.

Z transformacj ą falkow ą związane jest poj ęcie skali.


10

Zmiana skali – zmiana czasu trwania sygnałupoł ączona ze zmian ą jego cz ęstotliwo ści.

Skala (współczynnik skali) okre śla stopie ńdylatacji sygnału i zmiany cz ęstotliwo ści/pulsacji.Sygnał trwaj ący najkrócej ma najni ższą warto śćskali.

Skala

Związek mi ędzy współczynnikiem skali s ipulsacj ą środkow ą sygnału:

ωs= ω0/s,

gdzie ω0 - pulsacja środkowa sygnału dla s=1;

szeroko ść pasma sygnału:

Bs=B0/s,

gdzie B 0 - szeroko ść pasma sygnału dla s=1.

Bank filtrów o ró żnych cz ęstotliwo ściachśrodkowych i ró żnych szeroko ściach pasmafiltrów - a wi ęc ró żnych czasach trwaniaodpowiedzi impulsowej.

Różne czasy trwania odpowiedzi impulsowejoznaczaj ą różne rozdzielczo ści czasowe.

Transformacja falkowa mo że byćinterpretowana analogicznie jak STFT - polegana wyznaczeniu warto ści/miary podobie ństwaodpowiedzi impulsowych filtrów banku ibadanego sygnału.

Otrzymywane warto ści nazywane s ąwspółczynnikami rozwini ęcia falkowego.

Bank filtrów

11

Bank filtrów - odpowiedzi impulsowe

stała szeroko ść pasma zmieniaj ąca si ę z fo szeroko ść pasma filtru

Odpowied ź impulsowa podlega zmianie skali, tj. ze zmian ą jej cz ęstotliwo ściśrodkowej odwrotnie proporcjonalnie zmienia si ę jej czas trwania, a wi ęc ipasmo odpowiadaj ącego jej filtru. Zmiany te s ą efektem zmiany skali.

↑

skala

0 20 40 60 80 100-1

0

1

0 20 40 60 80 100-1

0

1

0 20 40 60 80 100-1

0

1

częstotliwość

↓

STFT

W STFT stosuje si ę okno analizy h(t) o stałym czasie trwania, co odpowiada stałe j szeroko ścipasma filtrów analizuj ących. W przypadku transformacji falkowej stały jest stosun ekszeroko ści pasma do cz ęstotliwo ści środkowej filtru, co oznacza ró żne pasma filtrów.

Transformacja falkowa Wavelet Transform (WT)

Bank filtrów

12

STFT Transformacja falkowa

Różnica mi ędzy STFT a transformacj ą falkow ą leży w tym, że zmianie skalitowarzyszy zmiana czasu trwania i cz ęstotliwo ści falki analizuj ącej (kształtfalki nie ulega zmianie).

Lokalizacja sygnału w dziedzinie czasu i cz ęstotliwo ści

Sygnał mo żna opisa ć na płaszczy źnie t-f podaj ąc jego„ średnie poło żenie” (t m, fm) oraz obszar zlokalizowaniagłównej cz ęści energii sygnału, proporcjonalny doiloczynu T*B. Powstaje tzw. „kostka ” przedstawiaj ącapoło żenie sygnału na płaszczy źnie t-f.

Czas („ średni ”)

Czas trwania

Średnia cz ęstotliwo ść

Szeroko ść widma (pasmo)

E - energia sygnału

∫+∞

∞−

= dttxtE

tx

m2|)(|

1

∫+∞

∞−

−= dttxttE

T mx

222 |)(|)(1

∫+∞

∞−

= dffXfE

fx

m2|)(|

1

∫+∞

∞−

−= dffXffE

B mx

222 |)(|)(1

∞<= ∫+∞

∞−

dttxE x2|)(|

13

STFT – stałe wymiary kostki lokalizacyjnej na płaszczy źnie t-f

WT – ze wzrostem skali rozdzielczo ść czasowa maleje, a rozdzielczo śćczęstotliwo ściowa wzrasta, iloczyn obu rozdzielczo ści T*B pozostaje stały

STFT - WT

lokalizacja sygnału w dziedzinie czasu i cz ęstotliwo ści

Co zapewnia WT w zwi ązku z ró żnicami w stosunku do STFT?

- wykrywanie nieci ągłości w sygnale

- wykrywanie krótkotrwałych struktur w sygnale

Możliwo ści te obejmuj ą także przetwarzanie informacji o strukturze 1D/2D(powierzchni) – badania regularno ści/nieregularno ści.

WT umo żliwia eliminacj ę szumów z sygnałów, adaptacyjn ą eliminacj ęszumów, ograniczanie redundacji w danych (kompresja i kodo wanie), analiz ęsygnałów w podpasmach.

W zastosowaniach medycznych WT umo żliwia w szczególno ściwykrywanie/lokalizacj ę mikropotencjałów serca (pó źne potencjały LAS),stanów przej ściowych w EEG, potencjałów wywołanych, potencjałówczynno ściowych jednostek ruchowych, kompresj ę np. sygnału ECG, analiz ęw podpasmach np. sygnału dopplerowskiego aktywno ści ruchowej płodu.


14

∫+∞

∞−

= dtttfs s )()(),( *,τψτγ

Ciągła transformacja falkowa CWT

)(1

)(, s

t

sts

τψψ τ−=

Prosta CWT

współczynniki rozwini ęcia CWT:

Falka

s- współczynnik skali,τ – przesuni ęcie

falka podstawowa („mother wavelet”) – s=1, τ =0


)(1

)(, s

t

sts

τψψ τ−=

)(0,1 tψ

)(,1 tτψ)(2,1 tτψ

)(0,2 tψ

∫+∞

∞−


)0,1(γ

),1( τγ)2,1( τγ

)0,2(γ

15

Warunki dla funkcji falkowej ψ(t)

+∞<Ψ∫ ω

ωω

d||

|)(| 2tzw. warunek dopuszczalno ści;

oznacza on, że:

0||)(| 02 =Ψ =ωω transformata Fouriera F[ ψ(t)] znika dla ω=0

∫ = 0)( dttψskładowa średnia ψ(t) jest równa zeru

(ψ(t) musi mie ć przebieg oscylacyjny)

∫ →= 0)( dtttM pp ψ

momenty funkcji ψ(t) są bliskie zeru; oznacza to, żefalka jest gładka i skoncentrowana w czasie iczęstotliwo ści

∫+∞

∞−


Ciągła transformacja falkowa CWT

∫∫+∞

∞−

+∞

∞−

= dss

dtsC

tf s 2*,

1])(),([

1)( τψτγ τ

ψ

)(1

)(, s

t

sts

τψψ τ−=

Odwrotna CWT:

współczynnik normalizuj ący:

współczynniki rozwini ęcia CWT:

Falka

s- współczynnik skali,τ – przesuni ęcie

∫Ψ= ω

ωω

ψ dC||

|)(| 2

16

Związek mi ędzy pulsacj ą środkow ą falki a skal ą

Obok - falka Morleta

Związek mi ędzy współczynnikiem skali s i pulsacj ąśrodkow ą falki:

ωs= ω0/s,

gdzie ω0 jest pulsacj ą środkow ą falki podstawowej(s=1);

szeroko ść pasma falki:

Bs=B0/s

gdzie B 0 jest szeroko ścią pasma falki podstawowej(‚mother wavelet’).

300 400 500 600 700-1

0

1morlet skala 1

300 400 500 600 700-1

0

1morlet skala 2

300 400 500 600 700-1

-0.50

0.5

morlet skala 3

300 400 500 600 700-0.4-0.2

00.20.4

morlet skala 4

300 400 500 600 700-0.4-0.2

00.20.4

morlet skala 5

Przykładowe rodziny falek I

0 0.5 1 1.5 2

x 104

-2

-1

0

1db8

0 5000 10000-2

-1

0

1

2db5

0 0.5 1 1.5 2

x 104

-2

-1

0

1db10

0 1 2 3

x 104

-1

-0.5

0

0.5

1db12

0 1 2 3 4

x 104

-1

-0.5

0

0.5

1db16

0 1 2 3 4

x 104

-1

-0.5

0

0.5

1db20

Rodzina falek Daubechies (rzeczywiste), skala 1

17

0 100 200 300 400 500 600-1

-0.5

0

0.5cgau 2

0 100 200 300 400 500 600-1

0

1cgau 4

0 100 200 300 400 500 600-1

0

1cgau 8

0 100 200 300 400 500 600-1

0

1cgau 6

Rodzina falek gaussowskich cgau (falki zespolone)

Falka rodziny “p” jest pochodn ą rzędu p przedstawionejobok funkcji f(x), stała C p normalizuje do 1 powierzchni ępod falk ą (na wykresach cz ęści rzeczywiste).

Przykładowe rodziny falek II

2

)( xixp eeCx −−=ψ

0 100 200 300 400 500 600-1

0

1 M=20, fb=1

0 100 200 300 400 500 600 -1

0

1 M=15, fb=1

0 100 200 300 400 500 600 -1

0

1 M=5, fb=1

0 100 200 300 400 500 600-1

0

1 M=15, fb=1

0 100 200 300 400 500 600-1

0

1M=10, fb=1 fc=1

0 100 200 300 400 500 600-2

0

2M=10, fb=2 fc=1

0 100 200 300 400 500 600-2

0

2M=10, fb=3 fc=1

0 100 200 300 400 500 600-2

0

2M=10, fb=4 fc=1

Rodzina falek frequency-b-spline (zespolone,na wykresach cz ęści rzeczywiste)

Przykładowe rodziny falek III

xfimbb

cem

xfcfx πψ 2])([sin)( =

18

Sygnał

Wybrany przekrój obrazumodułu współczynników

Obraz modułów współczynników rozwini ęcia falkowego(skalogram)

50 100 150 200

10

20

30

40

50

60

50 100 150 200

5

10

15

20

25

30

0 50 100 150 200-1

-0.5

0

0.5

1

Obraz modułów współczynników rozwini ęcia falkowego

Odpowiedni dobór skali (niska)pozwala zlokalizowa ć krótkotrwałystan przej ściowy.

19

0 200 400 600 800 1000-200

0

200

400

100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000

10

20

30

40

50

60100

200

300

400

500

600

100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000

10

20

30

40

50

60 -400

-200

0

200

400

600

0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5

0

20

40

60

80

100

-40

-30

-20

-10

0

Wyniki WT oraz spektrogram sygnału EKG. Częstotliwo ść próbkowania 200Hz.

Analiza falkowa dla współczynników skali od 1 do 128 z krokiem 2. Zastosowano falk ę db4 (powy żej).

– warto ści wsp. rozwini ęcia falkowego,

-moduły wsp. rozwini ęcia,

- spektrogram z 50% nakładaniem si ę okien danych o dł. 128 próbek.

Transformacja falkowa zapewnia lepsz ą lokalizacj ę na płaszczy źnie czas- skala zespołów QRS i załamków T.

Dekompozycja falkowa sygnału EKG

Obliczenia prowadzone s ą oczywi ście na danychdyskretnych – sk ąd wi ęc rozró żnienie natransformacj ę ciągłą i dyskretn ą?

CWT może operowa ć z dowolnymi warto ściamiskali oraz z dowolnym (ci ągłym) przesuni ęciemczasowym.

Powoduje to powstawanie bardzo du żej ilo ścidanych – redundancja, oraz implikuje znaczneobci ążenie obliczeniowe, niekoniecznie celowe.

Ciągła a dyskretna transformacja falkowa

)(1

)(, s

t

sts

τψψ τ−=

20

CWT – redundancja i nadmiar oblicze ń;

eliminacja – dyskretna transformacja falkowa,polegaj ąca na ograniczeniu zbioru warto ściwspółczynników skali i przesuni ęć czasowych:

j, k – liczby całkowite, s 0>1 – krok dylatacji(skalowania), τ0 – przesuni ęcie

W efekcie dostajemy dyskretny rozkład punktówna płaszczy źnie czas-skala (cz ęstotliwo ść), wktórych wyznaczana jest transformacja falkowa(współczynnik rozwini ęcia falkowego).

Jeśli s 0=2, mamy diadyczny (oktawowy) podziałosi cz ęstotliwo ści, jeśli τ0=1, taki sam podziałdotyczy poło żenia na osi czasu:

)(1

)(0

00

0

, j

j

jkj s

skt

st

τψψ −=

Dyskretna transformacja falkowa DWT

)2

2(

2

1)(, j

j

jkj

ktt

−= ψψ


Dyskretna transformacja falkowa - współczynnikirozwini ęcia:

Dyskretna transformacja odwrotna:

d(j,k) – współczynniki rozwini ęcia falkowego

)2

2(

2

1)(, j

j

jkj

ktt

−= ψψ

Poło żenie kostek rozdzielczo ścina płaszczy źnie czas-skala orazpodział płaszczyzny czas-skala

dtttgkjd kj∫∞

∞−

= )()(),( *,ψ

∑=kj

kj tkjdtf,

, )(),()( ψ

21

)2

2(

2

1)(, j

j

jkj

ktt

−= ψψ


Falki dla kolejnych poziomów skali j (skala=2 j!!) będą związane zodpowiedziami impulsowymi kolejnych filtrów pasmowych. C zęstotliwo ściśrodkowe i pasma tych filtrów malej ą jak 2 j!

Wyniki filtracji - współczynniki rozwini ęcia falkowego na danym poziomie skali.

Bank filtrów do dekompozycji sygnału na podpasma i transformacja falkowa

Transformacj ę falkow ą zaczęliśmy omawia ćrozpoczynaj ąc operacje na próbkach sygnału,dziel ąc pasmo na połowy, przesuwaj ąc si ę wzdłu żosi cz ęstotliwo ści z krokiem 1/2 j w kierunkupocz ątku układu. Aby zapewni ć analiz ę doczęstotliwo ści 0Hz, nale żałoby u żyć niesko ńczonejliczby falek/filtrów. Nie jest to realizowalne. Pojawiasię konieczno ść zastąpienia niesko ńczonej liczbyfalek now ą funkcj ą, mającą widmo si ęgającepocz ątku układu. Jest to tzw. funkcja skaluj ąca,która odpowiada filtracji dolnoprzepustowej.

22

Transformacj ę falkow ą traktowa ć możnajako proces filtracji, schematycznieprzedstawiony na rysunku. Na ka żdympoziomie (skali) dokonujemy filtracji dolno-i pasmowo-przepustowej, przy czym wwyniku tej pierwszej otrzymujemy zgrubn ąreprezentacj ę sygnału (aproksymacj ę), a wwyniku drugiej – reprezentacj ę szczegółow ą(na danym poziomie skali). W efekcieotrzymujemy wynik składaj ący si ę zreprezentacji zgrubnej (na najwy ższympoziomie skali) oraz reprezentacjiszczegółowych uzyskanych na wszystkichpoziomach.

Filtracja a DWT – podział na podpasma

Dekompozycja falkowa, podział napodpasma, współczynniki DWT

Na każdym poziomie dekompozycjiwspółczynniki s ą 2-krotnie decymowane, wcelu ograniczenia liczby produktówtransformacji falkowej – pozostaje ona równaliczbie próbek sygnału. Z 2-krotnej decymacjikolejnych produktów dekompozycji wynikamożliwo ść wykorzystania na ka żdym etapietych samych filtrów, dziel ących na ka żdympoziomie pasmo sygnału na dwie równe cz ęści(relacja pasma filtrów do obowi ązującej dladanej skali (po decymacji) cz ęstotliwo ścipróbkowania nie ulega zmianie).

Na podstawie współczynników mo żnaodtworzy ć/zrekonstruowa ć reprezentacjeszczegółowe/detale (D1-D4) dla kolejnychpoziomów skali oraz aproksymacj ę (A4).

23

Bank filtrów - dekompozycja sygnału na podpasma

TF ciągu wyj ściowegodecymatora:

Moduły TF

Widmo ci ągu wej ściowegodecymatora, pasmo [0, π)

Podział pasma, decymacjaczęści dolnej widma

Podział pasma, decymacjaczęści górnej widma

)]2/()2/([2

1)]2/()2/([

2

1)( * ωπωωπωω −+=++== XXXXY

X(ω) Y(ω)

Bank filtrów do dekompozycji sygnału napodpasma i transformacja falkowa

Z punktu widzenia bie żącej cz ęstotliwo ścipróbkowania (po decymacji) pasmasygnałów na wyj ściu ka żdego z filtrów s ątakie same i wynosz ą:

Jednak z punktu widzenia podziałusygnału x na podpasma ka żdy z sygnałówwyjściowych x D zawiera inne podpasmosygnału x!!!

πω <≤0

24

Bank filtrów - dekompozycja sygnału na podpasma

|)(| 1ωjeH|)(| ωjeH

4/0)4/(21

)( 221 πωωω ≤≤= DD XX

2/4/),4/(21

)(*

222 πωπωπω ≤≤−= DD XX

πωπωπω <≤−= 2/),2/(2

1)( *

2 XXD

2/0),2/(21

)(1 πωωω ≤≤= XXD

Bank filtrów - dekompozycja sygnału na podpasmai transformacja falkowa

|)(| ωjeH

|)(| ωjeH

|)(| 1ωjeH

|)(| 1ωjeH

25

Przykład dekompozycji falkowej

Poziomy skali 1-6,skale 2-4-8-16-32-64

Porównanie CWT i DWT sygnału EKG

0 200 400 600 800 1000-200

0

200

400

100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000

10

20

30

40

50

60100

200

300

400

500

600

26

Wielorozdzielczo ść

i transformacja falkowa

Wielorozdzielczo ść - wprowadzenie

Przestrze ń liniowa (nad ciałem liczb rzeczywistych lub zespolonych)– zbiór wektorów/funkcji/sygnałów.

S- przestrze ń,

jeśli ka żdą funkcj ę f(t) ∈ S można przedstawi ć w postaci: ∑=k

kk tatf )()( ϕ

zbiór funkcji { ϕk(t)} nazywamy baz ą albo zbiorem funkcji bazowych.

Baza – zbiór sygnałów/wektorów/funkcji wzajemnie (parami ) ortogonalnychw pewnym przedziale. Dowolny wektor/sygnał nale żący tego zbioru mo żnawyrazi ć jako kombinacj ę liniow ą elementów tego zbioru (składowychortogonalnych). Np. wektor w 3D jest kombinacj ą liniow ą wersorów osi.Wersory stanowi ą bazę. Zbiór funkcji {cos(n ωot)} stanowi baz ę(ortogonaln ą) rozwini ęcia w szereg Fouriera.

27

Można zastosowa ć podej ście odwrotne – okre ślić bazę, czyli zbiór { ϕk(t)}, anastępnie zdefiniowa ć przestrze ń S funkcji/sygnałów f(t), które mo żna okre ślićposługuj ąc si ę równaniem

∑=k

kk tatf )()( ϕ

taka przestrze ń (zbiór) nosi nazw ę rozpi ęcia.

Ważna przestrze ń - L2(R) , czyli przestrze ń funkcji zmiennych rzeczywistychcałkowalnych z kwadratem.

Iloczyn skalarny funkcji, wektorów, sygnałów dttgtftgtfa ∫∞

∞−

>==< )()()(),( *

Wielorozdzielczo ść - wprowadzenie

Wielorozdzielczo ść - funkcja skaluj ąca

Zbiór funkcji skaluj ących { ϕk(t)}:

k∈N, ϕ(t)∈L2, V0 – podprzestrze ń L2(R) funkcjicałkowalnych z kwadratem

Wtedy, dla f(t) ∈V0 przy czym

Zazwyczaj mo żna powi ększyć zakres (rozmiar) rozpi ęcia zmieniaj ąc skal ę czasu funkcji skaluj ącej. Rodzina funkcji skaluj ących okre ślona jest jako produkt skalowania i translacji funkcji ϕk(t):(k jest równie ż parametryzowane przez j!!)

takie funkcje tworz ą dla kolejnych j kolejne rozpi ęcia V j, i jeśli f(t) ∈Vj, to:

)()( kttk −= ϕϕ

∑=k

kk tatf )()( ϕ

)2(2)( 2/, ktt jjkj −= ϕϕ

∑ +=k

jkk ktatf )2()( ϕ

dtttfa kk ∫∞

∞−

= )()(* ϕ

1)( =∫∞

∞−

dttϕ

28

Rodzina funkcji skaluj ących okre ślona jest jako produktskalowania i translacji funkcji ϕk(t):

takie funkcje tworz ą dla kolejnych j kolejne rozpi ęcia V j, i jeśli f(t) ∈Vj, to:(k jest równie ż parametryzowane przez j!!)

dla j>0 rozpi ęcie mo że być większe, poniewa ż ϕj,k(t) jest w ęższa i przesuwana (poddawana translacji) z mniejszym kroki em. Takie funkcje mog ą reprezentowa ć bardziej szczegółow ą informacj ę.

Dla j<0 rozpi ęcie mo że być mniejsze, bo ϕj,k(t) jest szersza i poddawana translacji z wi ększym krokiem. Takie funkcje mog ą reprezentowa ć zgrubn ą informacj ę (mniej szczegółów).

Inna interpretacja – wzrost j � wzrost rozdzielczo ści.

)2(2)( 2/, ktt jjkj −= ϕϕ

∑ +=k

jkk ktatf )2()( ϕ

Wielorozdzielczo ść - funkcja skaluj ąca

Analiza wielorozdzielcza

V0⊂V1⊂V2⊂V3..... ⊂L2

czyli dla ka żdego j ∈ NVj⊂Vj+1

V-∝={0}

V∝=L2

Podprzestrzenie V spełniaj ą warunek:

f(t)∈Vj ⇔ f(2t)∈Vj+1

Zagnie żdżenie przestrzeni V j wymaga spełnienia warunku ϕ(t)∈V1(jeśli ϕ(t)∈V0, to równie ż ϕ(t)∈V1)

Jeśli ϕ(t)∈V1, czyli do przestrzeni rozpinanej przez ϕ(2t), to ϕ(t) mo żna przedstawi ć w postaci:

gdzie h(n) s ą pewnymi współczynnikami. Jest to podstawowe równan ie analizy wielorozdzielczej.

∑ −=n

ntnht )2(2)()( ϕϕ

∑ +=k

jkk ktatf )2()( ϕ

29

Analiza wielorozdzielcza a bank filtrów do podziału na podpasma

Zagnie żdżenie przestrzeni V j wymaga spełnienia warunku ϕ(t)∈V1. Jeśli ϕ(t)∈V0, to tak że ϕ(t)∈V1, czyli do przestrzeni rozpinanej przez ϕ(2t). Oznacza to, że ϕ(t) mo żna przedstawi ć w postaci:

∑ −=n

ntnht )2(2)()( ϕϕ

gdzie h(n) s ą współczynnikami. Jest to podstawowe równanie anali zy wieloroz-dzielczej, tzw. równanie o podwójnej skali. Jednocze śnie jest to splot h(n) z funkcj ą ϕ, a więc opisuje proces filtracji funkcji ϕ filtrem o odpowiedzi impulsowej h. Zapis „2t” oznacza wybór co drugiej próbki (co drugiego w yniku filtracji filtrem h). Równanie to przypomina opis działania jednej z gał ęzi banku filtrów do podziału na podpasma:

Okazuje si ę, że istotne cechy sygnału mog ą zostać przedstawione nietylko przez wzrost j, kolejne funkcje ϕj,k(t) i zwi ększanie rozmiarurozpi ęcia, ale tak że poprzez wykorzystanie nowych funkcji, rozpinaj ącychróżnice W i między rozpi ęciami uzyskiwanymi przy pomocy kolejnychfunkcji skaluj ących. S ą to tzw. funkcje falkowe ψj,k(t).

Funkcje skaluj ące i funkcje falkowe powinny by ć ortogonalne:

0)()()(),( ,*,,, =>=< ∫

∞

∞−

dttttt ljkjljkj ψϕψϕ

Funkcja falkowa

30

001 WVV ⊕=

1002 WWVV ⊕⊕=

........1002 ⊕⊕⊕= WWVL

........12 ⊕⊕⊕= +jojojo WWVL

gdzie Vo jest rozpi ęciem okre ślonym przez zbiór funkcji skaluj ących { ϕk(t)}(⊕ jest operatorem sumowania podprzestrzeni).

Uwaga: wybór pocz ątkowego rozpi ęcia (skali) j 0 jest dowolny i wynikaz bieżących potrzeb, tzn. wymaganej skali:

Zależność między kolejnymi rozpi ęciami:

Funkcja falkowa

Poniewa ż funkcje falkowe s ą usytuowane w przestrzeni V 1rozpinanej przez ϕ(2t), mog ą zostać zapisane w postaci:(ϕ(2t) mo że słu żyć także do tworzenia falek!!!), gdzie h1 to współczynniki pewnego filtru

z warunku na rozpinanie przez falki ró żnicy mi ędzy V 0 i V1 orazz warunku ortogonalno ści funkcji skaluj ących i falkowych wynika:

(„-n” oznacza odwrócenie kolejno ści współczynników – celemjest zapewnienie liniowo ści fazy procesu dekompozycjii rekonstrukcji falkowej)

Funkcja ψ(t) daje mo żliwo ść utworzenia klasy funkcji:

ψ(t) jest to tzw. falka-matka (mother wavelet).

dotychczasowy zapis (konwencja Matlaba):

∑ −=n

ntnht )2(2)()( 1 ϕψ

)()1()(1 nhnh n −−=

)2(2)( 2/, ktt jjkj −= ψψ

Funkcja falkowa

)2(2)2

2(

2

1)( 2/

, ktkt

t jjj

j

jkj −=−= −− ψψψ

31

Zbiór funkcji ϕk(t) i ψj,k(t) pozwala zapisa ć dowoln ą funkcj ę f(t) ∈ L2 w postaci:

Pierwsza suma reprezentuje rozpi ęcie V 0, zaś sumy pozostałe (sumowanie po k)reprezentuj ą różnice mi ędzy kolejnymi rozpi ęciami V j (w obr ębie każdego V jsumowanie po k), czyli W j .Współczynniki c i d tego wyra żenia, tzw. współczynniki rozwini ęcia falkowego,określone s ą jako iloczyny skalarne:

∑∑∑∞

=

∞

−∞=

∞

−∞=

+=0

, )(),()()()(j k

kjk

k tkjdtkctf ψϕ

dtttfkc k∫∞

∞−

= )()()( ϕ

dtttfkjd kj∫∞

∞−

= )()(),( ,ψ

Rozwini ęcie falkowe

Rozwini ęcie falkowe a wielorozdzielczo ść i banki filtrów

∑∑∑∞

=

∞

−∞=

∞

−∞=

+=joj k

kjjk

kjojo tkdtkctf )()()()()( ,, ψϕ

32

Transformacj ę falkow ą traktowa ć można jako procespodziału sygnału na podpasma. Na ka żdym poziomie(skali) dokonujemy filtracji dolno- i pasmowo-przepustowej, przy czym w wyniku tej pierwszejotrzymujemy współczynniki zgrubnej reprezentacjisygnału A (aproksymacj ę), a w wyniku drugiej –współczynniki reprezentacji szczegółowej D (nadanym poziomie skali).

Daje to mo żliwo ść przedstawienia sygnału zarówno wpostaci ci ągu aproksymacji A, jak i ci ągu reprezentacjiszczegółowych D i jednej aproksymacji (A4).

Te dwa sposoby przestawienia s ą zbieżne z analiz ąwielorozdzielcz ą i przedstawianiem kolejnych rozpi ęćprzy pomocy funkcji skaluj ącej b ądź różnic mi ędzytymi rozpi ęciami przy pomocy funkcji falkowej.

Filtracja a DWT – podział na podpasma

Analiza wielorozdzielcza obwiedni znaku drogowego „Pocz ątek terenu zabudowanego”

Z obrazu wyodr ębniono obwiedni ę i zamieniono na ci ąg próbek. Uzyskany w ten sposób sygnał poddano analizie falko wej.

33

W myśl analizy wielorozdzielczej sygnał mo żnaprzedstawi ć na dwa sposoby:

-przy pomocy zbioru funkcji falkowych, a wi ęcróżnic mi ędzy kolejnymi aproksymacjami, i jednejfunkcji skaluj ącej, czyli jednej aproksymacji.

-przedstawienie przy pomocy kolejnychaproksymacji:• A4• A3 =A4+D4• A2 =A3+D3• A1 =A2+D2• A0 =A1+D1

Aproksymacja A0 jest równa sygnałowiwejściowemu.

Analiza wielorozdzielcza obwiedni znaku drogowego „Pocz ątek terenu zabudowanego” a bank filtrów

=A0

Kolumna lewa – wynikizastosowania tylko funkcjiskaluj ących• A4• A3 =A4+D4• A2 =A3+D3• A1 =A2+D2• A0 =A1+D1

Kolumna prawa: wynikizastosowania funkcji skaluj ącej if. falkowych• A4• D4• D3• D2• D1

A0 =A4+D4+D3+D2+D1

Analiza wielorozdzielczaobwiedni znaku „Pocz ątek terenu zabudowanego”

34

Analiza wielorozdzielcza a podział na podpasma

Wykorzystanie funkcjiskaluj ącej i funkcji falkowych

Przebiegi przedstawiaj ą zrekonstruowane składowe sygnału mieszcz ące si ę w paśmie odpowiadaj ącym aproksymacji A4 i kolejnym reprezentacjom szczegółowej D1-D4. Te ostatnie odpowiadaj ą rozpi ęciom ró żnic mi ędzy kolejnymi aproksymacjami.

Analiza wielorozdzielcza a podział na podpasma

wykorzystanie tylko funkcji skaluj ących

Przebiegi przedstawiaj ą zrekonstruowane składowe sygnału mieszcz ące si ę w paśmach odpowiadaj ących kolejnym aproksymacjom A4-A1 i sygnałowi wej ściowemu (A0).

35

Dekompozycja falkowa EKG + rekonstrukcja produktów dekompozycji

Poziomy skali 1-6,skale 2-4-8-16-32-64

Bank filtrów - dekompozycja sygnału w DWT

4/0)4/(21

)( 221 πωωω ≤≤= DD XX

2/4/),4/(21

)(*

222 πωπωπω ≤≤−= DD XX

πωπωπω <≤−= 2/),2/(2

1)( *

2 XXD

2/0),2/(21

)(1 πωωω ≤≤= XXD

Sygnał podpasmo

36

Bank filtrów

odpowiada poni ższemu podziałowisygnału f(t) na podpasma:

Poszczególne moduły charakterystyk W okre ślają pasmo wyniku filtracjikolejnymi filtrami h 1, zaś Vo okre śla pasmo wyniku filtracji filtrem h.

Banki filtrów, DWT i analiza wielorozdzielcza

oraz poni ższym rozpi ęciom:

Pojedynczy etap analizy (dekompozycji) falkowej wśrodkowej cz ęści drzewa jest procesem dwóchfiltracji współczynników skaluj ących (aproksymacjiwyższego poziomu) filtrami h (LP) i h 1 (HP) zprzerzedzaniem 2x i mo że być zapisany nast ępująco:

∑ +−=m

jj mckmhkc )()2()( 1

∑ +−=m

jj mckmhkd )()2()( 11


Operacje te s ą splotami c*h oraz c*h 1 i oznaczaj ąfiltracj ę współczynników skaluj ących z poziomu(j+1) filtrami o odpowiedziach h(n) i h 1(n) orazdwukrotne przerzedzanie (odrzucenia nieparzystychwyników filtracji).

37

Dekompozycja falkowa, podział napodpasma, współczynniki DWT

W celu przeprowadzenia dekompozycji falkowejwystarcza zatem znajomo ść współczynnikówh(n) (filtr LP) i h 1(n) (filtr HP).

DWT wykorzystuje te wła śnie współczynniki, niezaś bezpośrednio funkcj ę skaluj ącą i funkcjefalkowe.

Na każdym poziomie dekompozycjiwspółczynniki rozwini ęcia falkowego s ą 2-krotnie decymowane. Z 2-krotnej decymacjiwynika mo żliwo ść wykorzystania na ka żdymetapie tych samych filtrów, dziel ących nakażdym poziomie pasmo sygnału na dwie równeczęści. Relacja pasma filtrów do obowi ązującejdla danej skali (po decymacji) cz ęstotliwo ścipróbkowania nie ulega zmianie.

Pojedynczy etap analizy (dekompozycji) falkowej wśrodkowej cz ęści drzewa jest procesem dwóchfiltracji współczynników skaluj ących (aproksymacjiwyższego poziomu) z przerzedzaniem 2x i mo że byćprzedstawiony i zapisany nast ępująco:

∑ +−=m

jj mckmhkc )()2()( 1

∑ +−=m



Jako dane wej ściowe pierwszego stopnia dekompozycjina rysunku obok podany jest sygnał, nie za ś – w myślanalizy wielorozdzielczej – współczynniki skaluj ące.

Czy istnieje zwi ązek mi ędzy współczynnikamiskaluj ącymi a próbkami sygnału?

38

Matlab

Zapis:

Ze wzrostem j - poziomu skali – skala ro śnie jak 2 j, ale poniewa ż czynnikskaluj ący znajduje si ę w mianowniku argumentu falki, mamy do czynienia z„rozci ąganiem” falki i coraz bardziej zgrubn ą reprezentacj ą sygnału.

Zapis:

Ze wzrostem j - poziomu skali – skala ro śnie jak 2 j, ale poniewa ż czynnikskaluj ący znajduje si ę w liczniku argumentu fali, mamy do czynienia z„kompresj ą” falki i coraz bardziej szczegółow ą reprezentacj ą sygnału.

Konwencja zapisu stosowana w Matlabie odpowiada ujemnym sk alom wkonwencji przyj ętej w analizie wielorozdzielczej, tzn. daje rezultat w post acidekompozycji sygnału na coraz mniej szczegółowe reprezent acje. Jest to jaknajbardziej zasadne, poniewa ż dekomponujemy zbiór próbek, nie za śpowi ększamy zakres rozpi ęcia!


)2(2)2

2(

2

1)( 2/

, ktkt

t jjj

j

jkj −=−

= −− ψψψ

)2(2)( 2/, ktt jjkj −= ψψ

Matlab

Ze wzrostem j skala ro śnie jak 2 j i mamy do czynienia z „rozci ąganiem” falki, aw efekcie coraz bardziej zgrubn ą reprezentacj ą sygnału.

Ze wzrostem j skala ro śnie jak 2 j i mamy doczynienia z „kompresj ą” falki i coraz bardziejszczegółow ą reprezentacj ą sygnału.

Konwencja zapisu stosowana w Matlabie odpowiadaujemnym skalom w konwencji przyj ętej w analiziewielorozdzielczej. W Matlabie dokonujemydekompozycji sygnału na coraz mniej szczegółowereprezentacje. Jest to naturalne z punktu widzeniaanalizy sygnału, poniewa ż rozkład rozpoczynamydysponuj ąc próbkami, które dekomponujemy naskładowe odpowiadaj ące ni ższym skalom.


)2(2)2

2(

2

1)( 2/

, ktkt

t jjj

j

jkj −=−

= −− ψψψ

)2(2)( 2/, ktt jjkj −= ψψ

Matlab

analiza wielorozdzielcza

39

Próbkowanie a współczynniki skaluj ące

Proces dekompozycji falkowej sygnału:

∑ +−=m

jj mckmhkc )()2()( 1 ∑ +−=m


Banki filtrów a DWT

Warto ści wej ściowe dekompozycji stanowi ą próbki sygnału - powinny by ćrównowa żne współczynnikom skaluj ącym najwy ższego poziomu skali (wMatlabie - najni ższego).

∑∑∑= ==

+=5

0 0,

0

)(),()()()(j

p

kkj

m

kk tkjdtkctf ψϕ

40

Proces dekompozycji falkowej :

∑ +−=m

jj mckmhkc )()2()( 1∑ +−=m


Banki filtrów a DWT

Warto ści wej ściowe drzewa dekompozycji stanowi ą próbkisygnału - powinny by ć równe współczynnikom skaluj ącym.

Próbkowanie: model procesu próbkowania wykorzystuj ący ci ąg delt Diraca,tzw. próbkowanie idealne, jest modelem teoretycznym, któr ego nie mo żnazrealizowa ć fizycznie. Krokiem w stron ę owej realizowalno ści jest tzw.próbkowanie rzeczywiste, w którym ci ąg próbkuj ący przedstawia si ę jakocią impulsów prostok ątnych. Wtedy widmo sygnału próbkuj ącego jestciągiem delt Diraca z obwiedni ą sinx/x o parametrach wynikaj ących z czasutrwania i okresu przebiegu prostok ątnego. Ten model te ż nie jestrealizowalny fizycznie, poniewa ż nie umiemy wytworzy ć skokowej zmianystanu elementu, jakim jest klucz analogowy czy układ S&H. Ta k wi ęc wrealizowalnym fizycznie procesie próbkowania przebieg pr óbkuj ący musimieć skończony czas trwania i opadania zboczy. Wtedy widmo sygnałupróbkuj ącego jest ci ągiem delt Diraca z obwiedni ą o parametrachwynikaj ących z czasu trwania i okresu przebiegu próbkuj ącego.

Próbkowanie

41

Twierdzenie o próbkowaniu

Sygnał widmo amplitudy

fs>2fmax ωo>2ωmax

∑∞+

−∞=

−=

==

n

TT

nFT

tFFttfF

)(

))}({*)(21

)}()({

0ωωπ

δωπ

δ

Definicje graniczne dystrybucji:

ciąg funkcji prostok ątnych

ciąg funkcji sin(x)/x=sinc(x)

)2/(1)2/(1[1

lim)( 0 τττ

δ τ −−+= → ttt

)(sinclim)( ktk

t k πδ ∞→=

gdzie 1(t) - skokjednostkowy

Dystrybucja delta Diraca

0)(

0

1)(

=≠

=∫+∞

∞−

t

t

dla

t

δ

δWłaściwo ści dystrybucji

∫+∞

∞−

=− )()()( 00 tftttf δ

42

Ciągi próbkuj ące

Okresowy ci ąg dystrybucji :

∑+∞

−∞=

−=k

T kTtt )()( δδ

∑ −−+=k

T kTkTtrect )]2/(1)2/(1[1

)( τττ

Okresowy ci ąg prostok ątny: τ→0

Próbkowanie rzeczywiste

Iloczyn funkcji f(t) o ograniczonymwidmie F( ω) i okresowego ci ąguimpulsów prostok ątnych rect T(t) (okresT,wypełnienie τ/T, amplituda A,ω0=2π/T):

∑

∑∞+

−∞=

+∞

−∞=

−=

=−==

n

nTT

nFn

cT

A

nT

nc

T

AFtrectFFtrecttfF

)()2

(sin

)()(sin2

*)(2

1)}({*)(

2

1)}()({

00

0

ωωτωτ

ωωδπττπωπ

ωπ

∑+∞

−∞=

−=n

T nT

nc

T

AtrectF )()(sin

2)}({ 0ωωδπττπ

Widmo sygnału spróbkowanego nie jestokresowe, ale jego deformacja jestokreślona przez wła ściwo ści ci ągurect T(t). Interesuje nas przedział od 0 dopołowy cz ęstotliwo ści próbkowania.

43

Funkcja skaluj ąca

Zbiór funkcji skaluj ących ϕk(t):

k ∈ N, ϕ(t) ∈ L2, V0 – podprzestrze ń L2(R) funkcji całkowalnych z kwadratem

Wtedy, dla f(t) ∈ V0

)()( kttk −= ϕϕ

∑=k

kk tatf )()( ϕ dtttfc kk ∫∞

∞−

= )()(* ϕ

1)( =∫∞

∞−

dttϕ

Jeśli parametr k (odpowiada za translacj ę f. skaluj ącej) przebiega sko ńczonyzbiór warto ści całkowitych, okre ślających poło żenia wzdłu ż osi czasukolejnych funkcji skaluj ących ϕk(t), mo żna okre ślić zbiór ϕk(t) nast ępująco:

∑=

−=Φp

k

ktt1

)()( ϕ

Uwzgl ędniaj ąc omówione wcze śniej wła ściwo ści procesu próbkowania, przyzastosowaniu dostatecznie krótkotrwałej funkcji skaluj ącej (wysokiejrozdzielczo ści) współczynnik skaluj ący jest bliski próbce sygnału (w sensiepróbkowania idealnego):

Przebiegiem próbkuj ącym mo że więc być zbiór poprzesuwanych funkcjiskaluj ących, a wynikiem próbkowania b ędą warto ści próbkowanej funkcji wpunktach usytuowania kolejnych funkcji skaluj ących. Ci ąg funkcji ϕk(t) jest bliskiciągowi funkcji δk(t), a zbiór próbek bliski zbiorowi {c(k)}.

Oznacza to tak że, że do przedstawienia funkcji f(t) nie s ą niezbędne funkcjeskaluj ące!!!

)()()()( ktfdtttfkc k −≈= ∫∞

∞−

ϕ )()( kttk −= ϕϕ

∑=

−=Φp

k

ktt1

)()( ϕ

∑+∞

−∞=

−=k

T kTtt )()( δδ

∑∑ ∫∫ −≈−=Φ==

∞

∞−

∞

∞− k

p

k

ktfdtkttfdtttfkc )()()()()()}({1

ϕ

Próbki a współczynniki skaluj ące

44

Dekompozycja falkowa EKG

Przedstawienie geometryczne -analiza wielorozdzielcza

Współczynniki rozwini ęcia falkowego

Zrekonstruowane reprezentacjeszczegółowe (numeracja wg.analizy wielorozdzielczej)

Zrekonstruowane aproksymacje (numeracja wg. analizy wielorozdzielczej)

Vo ⇔ ao

V1 ⇔ a1

.

.

V5 ⇔ a5

Przedstawienie geometryczne - analizawielorozdzielcza

Dekompozycja EKG

45

Elementy niezb ędne do zrekonstruowaniasygnału – współczynniki falkowe na poziomach0-5 oraz skaluj ące na poziomie 0 (numeracjawg. analizy wielorozdzielczej).

Vo ⇔ ao, W0 ⇔ d0, ...... W5 ⇔ d5

Dekompozycja EKG

∑∑∑= ==

+=6

1 0,

0

)(),()()()(j

p

kkj

m

kk tkjdtkctf ψϕ

Zlokalizowa ć na rysunku powy żej współczynniki wchodz ące w skład sum!(numeracja wg. zapisu Matlaba)

Zlokalizowa ć na rysunku powy żejpierwsz ą sum ę!

Dekompozycja EKG

46

∑=

m

kk tkc

0

)()( ϕ

∑=

p

kk tkd

0,6 )(),6( ψ

∑=

p

kk tkd

0,5 )(),5( ψ

∑=

p

kk tkd

0,4 )(),4( ψ

∑=

p

kk tkd

0,3 )(),3( ψ

∑=

p

kk tkd

0,2 )(),2( ψ

∑=

p

kk tkd

0,1 )(),1( ψ

∑∑∑= ==

+=6

1 0,

0

)(),()()()(j

p

kkj

m

kk tkjdtkctf ψϕ

Lokalizacja sum –poszczególne przebiegi s ą rekonstrukcjami produktów dekompozycji falkowej!(numeracja wg. zapisu Matlaba).

Dekompozycja EKG

∑=

p

kk tkd

0,6 )(),6( ψ

∑=

p

kk tkd

0,5 )(),5( ψ

∑=

p

kk tkd

0,4 )(),4( ψ

∑=

p

kk tkd

0,3 )(),3( ψ

∑=

p

kk tkd

0,2 )(),2( ψ

∑=

p

kk tkd

0,1 )(),1( ψ

∑∑= =

6

1 0, )(),(

j

p

kkj tkjd ψsuma reprezentacji szczegółowych

należy doda ć do niej aproksymacj ę na najwy ższympoziomie skali (w Matlabie!!)

Dekompozycja EKG

47

∑∑∑= ==

+=6

1 0,

0

)(),()()()(j

p

kkj

m

kk tkjdtkctf ψϕ

Dekompozycja EKG

Informacja zawarta w sygnale znajdujesię we wszystkich rozpi ęciach

0 200 400 600 800 1000-200

0

200

400

DWT sygnału EKG

48

Synteza (rekonstrukcja) falkowa

równanie syntezy/rekonstrukcji falkowej:

powy ższa operacja oznacza wstawienie zer pomi ędzy współczynnikic(m) (upsampling, interpolacja), potem filtracj ę – splot.

Synteza falkowa

schemat syntezy/rekonstrukcji falkowej (fragment):

∑∑ −+−=+m

jm

jj mkgmdmkgmckc )2()()2()()( 101

49

Wymagania dotycz ące funkcji skaluj ącej i filtru h

1)( =∫∞

∞−

dttϕ

∑ −=n

ntnht )2(2)()( ϕϕ

1)(22

)()(22

)2(2)()(2

===−= ∑∫∑∫∑∫∞

∞−−−

∞

∞−

∞

∞− nnnt

n

nhdnhdtntnhdtt ττϕϕϕτ

czyli: 2)( =∑n

nh

Jeśli filtr ma nie przenosi ć ω=π , zachodzi ćmusi:

Oznacza to, że suma parzystych i nieparzystych współczynnikówodpowiedzi impulsowej filtru musi by ć równa:

0)()1( =−∑n

n nh

2

2)12()2( =+=∑∑

nn

nhnh

Ortonormalno ść funkcji skaluj ącej:

warunek

równanie o podwójnej skali:

współczynniki filtru h spełniaj ą zależność:

)()()( ndtntt δϕϕ =−∫∞

∞−

Ortonormalno ść funkcji falkowej i skaluj ącej:

warunki

równanie o podwójnej skali:

współczynniki filtru h 1 spełniaj ą zależność:

Wymagania dotycz ące funkcji falkowej i filtru h 1

0)( =∫∞

∞−

dttψ

∑ −=n

ntnht )2(2)()( 1 ϕψ

0)()(22

)2(2)()( 12

1 ==−= ∫∑∫∑∫∞

∞−−−

∞

∞−

∞

∞−

ττϕϕψτ

dnhdtntnhdttn

ntn

czyli: 0)(1 =∑n

nh

0)()( =−∫∞

∞−

dtntt ψϕ

)()1()(1 nhnh n −−=

(„-n” oznacza odwrócenie kolejno ści współczynników – celem jest zapewnienie liniowo ści fazy wypadkowego procesu dekompozycji i rekonstru kcji)

i

1)( =∫∞

∞−

dttϕ

50

Dekompozycja falkowa i rekonstrukcja sygnału z produktów dekompozycji

dekompozycja rekonstrukcja

Kwadraturowe filtry lustrzane

Zestaw filtrów QMF otrzyma ć można stosuj ąc:

co oznacza, że jeśli H jest filtremdolnoprzepustowym, to H 1 jest filtremgórnoprzepustowym. Oznacza to tak że, żecharakterystyka amplitudowa filtru H 1 jestlustrzanym odbiciem charakterystyki filtru Hwzgl ędem pulsacji π/2, nazywanejczęstotliwo ścią kwadraturow ą. Stąd nazwa„kwadraturowe filtry lustrzane”.

)()(1 zHzH −=

|)(||)(| )(1

ωπω −= jj eHeH

51

Odpowiedzi impulsowe filtrów:

(„-n” oznacza odwrócenie kolejno ści współczynników – celem jest zapewnienieliniowo ści fazy wypadkowego procesu dekompozycji i rekonstrukcji)

Kwadraturowe filtry lustrzane

1,...1,0),()1()(1 −=−−= Nnnhnh n

1,...1,0),()( −=−= Nnnhng o

1,...1,0),()( 11 −=−= Nnnhng

0 5 10 15 20-1

0

1odp. impulsowa filtr dolnoprzepustowy dekompozycji, falka db10

0 5 10 15 20-1

0

1odp. impulsowa filtr gornoprzepustowy dekompozycji

0 5 10 15 20-1

0

1odp. impulsowa filtr dolnoprzepustowy rekonstrukcji

0 5 10 15 20-1

0

1odp. impulsowa filtr gornoprzepustowy rekonstrukcji

0 1 2 3 4 5 6 7

x 104

-60

-50

-40

-30

-20

-10

0faza: fdp dekomp. - nieb, fdp rekonstr. - czerw, suma - magenta, falka db10

Kwadraturowe filtrylustrzane

52

Zastosowania analizy falkowej

Zastosowania analizy falkowej

1. Dekompozycja (i rekonstrukcja) sygnałów

- eliminacja zakłóce ń i szumów

- wykrywanie i lokalizacja stanów przej ściowych w sygnale

- wykrywanie trendów w silnie zaszumionych sygnałach

- wykrywanie składowych sinusoidalnych w silnie zasz umionych sygnałach

- redukcja danych

- wykorzystanie produktów dekompozycji do dalszego p rzetwarzania

2. Przetwarzanie obrazów – WT 2D – dekompozycji rekon strukcja

- eliminacja szumów

- poszukiwanie interesuj ących cech na poszczególnych poziomach skali

- redukcja (kompresja)

53

0 1000 2000

-1000

0

1000

A4

0 1000 2000

-5000

0

5000

D4

0 1000 2000

-5000

0

5000

D3

0 1000 2000

-5000

0

5000

D2

0 1000 2000

-2000

0

2000

D1

0 1000 2000-1

0

1x 10

4 signal

Dekompozycja i rekonstrukcja sygnałów dopplerowskich akt ywno ściruchowej płodu , DWT, db10, 4 poziomy dekompozycji (skali; s kale 2, 4 8 i16).D1-D4, A4 – odpowiednie detale i aproksymacja. Widoczn e składoweokresowe w D1, D2 oraz w D3 i D4. Skalowanie osi x - nr próbki,częstotliwo ść próbkowania 400Hz.

Zastosowania analizy falkowej I

Analiza korelacyjna modułów produktów rekonstrukcji – wsk azuje naobecno ść składowych okresowych. D1, D2 - okres ok. 0.4s. D3,D4 - okres ok.1s. Odpowiada to rytmowi serca płodu i rytmowi ruchów pseudo oddechowych.

Zastosowania analizy falkowej I

0 500 10000

0.5

1ACC A4

0 500 10000

0.5

1ACC D4

0 500 10000

0.5

1ACC D3

0 500 10000

0.5

1ACC D2

0 500 10000

0.5

1ACC D1

0 500 10000

0.5

1ACC signal

Współczynniki autokorelacji produktów rekosntrukcji i sygnału. Skalowanie osi x -nr próbki (opó źnienie), cz ęstotliwo ść próbkowania 400Hz.

54

Wykrywanie i lokalizacja stanówprzejsciowych w sygnałach

Zastosowania analizy falkowej II

50 100 150 200

10

20

30

40

50

60

50 100 150 200

5

10

15

20

25

30

0 50 100 150 200-1

-0.5

0

0.5

1

Kompresja EKG

Zastosowania analizy falkowej III

Sygnał poddano dekompozycji falkowej (4 poziomy ) pr zy użyciu falki biortogonalnej

Falka biortogonalna ‘bior1.5’

55

Współczynniki dekompozycji falkowej sygnału

Kompresja EKG


Rekonstrukcja poszczególnych produktów dekompozycji :

Kompresja EKG


56

Rekonstrukcja sygnału na podstawie wszystkich produ któw dekompozycji Miarą porównania sygnału oryginalnego i zrekonstruowaneg o mo że byćwzgl ędny bł ąd średniokwadratowy (w %)

f^

(i)

są porównywanymi sygnałami, tj. EKG wejściowe i produkt rekonstrukcji uzyskany po pomini ęciu cz ęści współczynników falkowych.

f (i)

100)(

)()(

1

2

1

2^

×

−=

∑

∑

=

=n

i

n

i

if

ififPRD

Kompresja EKG


W poni ższych przykładach wykonano kompresj ę zdekomponowanego falkowo sygnału EKG poprzez wyzerowanie współczynników o najmniejszej warto ści bezwzgl ędnej.

Współczynniki falkowe po dekompozycji Współczynniki falkowe po wyzerowaniu połowy współczynników o najmniejszych warto ściach bezwzgl ędnychWspółczynnik kompresji = 50%

Kompresja EKG


57

Porównanie sygnału oryginalnego i zrekonstruowanego na podstawie współczynników dekompozycji po kompresji 50%; wzgl ędny bł ąd średniokwadratowy PRD = 2%

Kompresja EKG


Documents

Przetwarzanie sygnałów biomedycznych