Quadern de 2n ESO de matemàtiques per l'IES Antoni Maura

Fractal generat amb ordinador per l’alumne Guillermo Cifre

QUADERN D’EXERCICIS MATEMÀTIQUES 2n ESO

GRUP: ______

NOM : __________________________________________________________

2

INSTITUT ANTONI MAURA DEPARTAMENT DE MATEMÀTIQUES

ORIENTACIONS ACADÈMIQUES

NOM MATÈRIA : MATEMÀTIQUES

CURS : 2n ESO

PROFESSORS:

1. INTRODUCCIÓ GENERAL

Programació de matemàtiques curs 2012-2013

2. UNITATS DIDÀCTIQUES I CONTINGUTS

UNITATS CONTINGUTS

1) Nombres decimals, sistema

mètric decimal i sistema

sexagesimal

Repàs d’operacions amb nombres decimals. Sistema mètric decimal. Sistema sexagesimal.

2) Nombres enters Representació en la recta numèrica. Utilitat i operacions amb enters. Prioritat d’operacions i operacions combinades. Regla de signes. Problemes.

3) Potències d’exponent enter Definició. Operacions i propietats. Arrels quadrades exactes.

Notació científica.

4) Divisibilitat Màxim comú divisor i mínim comú múltiple. Problemes

5) Fraccions Definició i operacions. Operacions combinades. Problemes.

6) Proporcionalitat Concepte de magnitud. Magnitud directament proporcional i

inversament proporcional. Regla de tres simple directa.

Percentatges a partir de la regla de tres simple directa. Regla de

tres inversa. Regla de tres composta. Repartiment proporcionals

directes i inversos.

7) Llenguatge algebraic Llenguatge algebraic. Monomis i polinomis: concepte i operacions(

suma , resta multiplicació i divisió amb divisor un monomi). Valor

numèric d’un polinomi. Identitats notables i factor comú.

8) Equacions Definició. Resolució d’equacions de primer grau senzilles, amb

parèntesis i denominadors. Problemes. Equacions de segon grau.

9) Sistemes d’equacions. Sistemes de equacions. Resolució de forma algebraica pels tres

mètodes i de forma gràfica ( Taula funcions ). Problemes

10) Funcions Concepte de funció. Formes de representar una funció. Taules i

gràfics de funcions. La funció de proporcionalitat directa, constant i

afí.

11) Semblança. Semblança. Teorema de Thales. Mapes i escales. Teorema de

Pitàgores

12) Geometria plana i de l’espai. Repàs de geometria plana. Classificació dels cossos geomètrics.

Àrees i volums dels cossos geomètrics. Problemes de la vida

quotidiana.

3

INSTITUT ANTONI MAURA DEPARTAMENT DE MATEMÀTIQUES

3. TEMPORITZACIÓ

TRIMESTRE UNITATS PROGRAMADES

PRIMER 11, 12, 10(*) i 6(*)

SEGON 2, 3, 4, 5 i 1(*)

TERCER 7, 8 i 9 (**)

(*) Aquests temes es donaran transversalment durant el trimestre. (**) Aquest tema es realitzarà només en cas de que hi hagi temps suficient al final del curs.

4. CRITERIS D’ AVALUACIÓ I QUALIFICACIÓ

1. Proves escrites amb nota , amb observació especial de les estratègies utilitzades. Es passaran proves de temes o de part d’ells quan sigui necessari observar si van assolint els coneixements que es pretén a cada tema. De vegades aquestes proves podran incloure exercicis de temes anteriors, de tal manera que serviran per anar recuperant les mancances al llarg del curs.

2. Observació dels hàbits de treball :la feina realitzada en casa i a classe, així com el quadern augmentaran o disminuiran el promig de la puntuació obtinguda en les proves escrites.

3. Observació de la participació i actitud front a la matèria

Per a obtindre la qualificació de cada trimestre els percentatges que donaran la nota final seran els següents:

PERCENTATGE EN LA NOTA DE L’AVALUACIÓ

Nivells alt i mitjà Nivell baix

Proves escrites realitzades 70% 50%

Treball a l’aula i a casa i quadern 15% 25%

Actitud i participació 15% 25%

Pel que fa a la recuperació de matemàtiques pendents de 1r d’eso:

A finals de gener, el professor podrà decidir, en base a la feina desenvolupada, si l’alumne aprova la matèria de 1r. Si no aprova, durant aquest mes hi haurà un examen dels continguts de la matèria corresponent. L’alumne haurà d’estar informat pel professor de la matèria sobre aquests continguts. A finals del mes d’abril hi haurà un altre examen pels alumnes que no hagin aprovat al mes de gener. En les dues convocatòries, de gener i d’abril, els alumnes disposaran d’una fitxa per repassar i que contarà 1 punt si la lliuren abans de l’examen.

Si l'alumne aprova la matèria de 2n, li queda aprovada la matèria pendent corresponent a 1r.

Si l’alumne NO aprova la matèria de 2n al juny, al setembre farà recuperació de 2n ESO i de 1r ESO.

5. CRITERIS DE RECUPERACIÓ DE LA MATÈRIA

Per recuperar la matèria al llarg del curs, cada professor, per Nadal i Pasqua, lliurarà als alumnes treballs amb continguts acumulats. A més, cada professor té llibertat per fer recuperacions per temes o trimestres. I finalment, a final de curs tots els alumnes suspesos, es podran presentar a un examen de recuperació global al juny. En aquesta convocatòria també es podrà pujar nota.

Per recuperar la matèria al setembre, els alumnes presentaran les tasques d’estiu (que contaran 1 punt) i faran l’examen corresponent de la convocatòria

6. MATERIAL I RECURSOS DIDÀCTICS Quadern d’exercicis elaborat pel departament de matemàtiques

Quadern sense espiral

Plàstic per guardar fotocòpies

Calculadora científica

4

UNITAT 1: NOMBRES DECIMALS. SISTEMA MÈTRIC

DECIMAL I SISTEMA SEXAGESIMAL

1. NOMBRES DECIMALS

1.1 ORDENACIÓ I REPRESENTACIÓ A LA RECTA REAL

1.2 TIPUS DE NOMBRES DECIMALS

1.2.1 EXACTES

1.2.2 PERIÒDICS

1.2.3 NO EXACTES NI PERIÒDICS

1.3 OPERACIONS

1.3.1 SUMA I RESTA

1.3.2 MULTIPLICACIÓ

1.3.2 DIVISIÓ

1.4 PROBLEMES

2. SISTEMA MÈTRIC DECIMAL

2.1 UNITATS DE LONGITUD

2.2 UNITATS DE MASSA

2.3 UNITATS DE CAPACITAT

2.4 UNITATS DE SUPERFÍCIE

2.5 UNITATS DE VOLUM

2.6 RELACIONS

2.7 PROBLEMES

3. SISTEMA SEXAGESIMAL

3.1 OPERACIONS

3.1.1 SUMA I RESTA


3.1.3 DIVISIÓ

3.2 EXPRESSIONS COMPLEXES I INCOMPLEXES

3.2.1 PAS DE COMPLEX A INCOMPLEX

3.2.2 PAS D’INCOMPLEX A COMPLEX

4. AUTOAVALUACIÓ

5

1. NOMBRES DECIMALS

1.1 ORDENACIÓ I REPRESENTACIÓ A LA RECTA REAL

Recordarem que els nombres decimals són nombres amb dues parts:

La part sencera (davant de la coma).

La part decimal (darrera de la coma).

Exemple: 3’25

Part sencera:3

Part decimal: 25

Suposem que recordes llegir nombres decimals:

MIL

ER

S

CE

NT

EN

ES

DE

SE

NE

S

UN

ITA

TS

DÈ

CIM

ES

CE

NT

ÈS

IME

S

MIL

·LÈ

SIM

ES

DE

UM

IL·L

ÈS

IME

S

CE

NT

MIL

·LÈ

SIM

ES

MIL

ION

ÈS

IME

S

2 5

1 2 3 5

2’5 dos unitats cinc dècimes

12’35 dotze unitats trenta-cinc centèsimes

També cal recordar que:

Entre dos nombres decimals hi ha infinits decimals.

Exemple: entre 2’5 i 2’6 estan el 2’52, 2’512, 2’59...

Els nombres decimals queden ordenats en la recta real.

Exemple: Els següents nombres decimals ordenats damunt la recta:

3’1 2’9 3’15 3’3

PRIMER: posarem els enters

SEGON: Dividirem en deu unitats cada tros entre enters, per col·locar els

decimals amb una xifra decimal.

6

TERCER: Dividirem en deu unitats cada segment entre els decimals amb

una xifra decimal, per col·locar els decimals amb dues xifres decimals

Finalment, quedarà de la següent forma:

1. Escriu els següents nombres decimals: 25 centèsims, 4 unitats 124 mil·lèsims, 78

unitats 2 dècims, 1025 unitats 25 mil·lèsims.

2. Completa amb el signe “<”, “>” o “=”:

1’48 .....1’5 2’1.... 2’01 0’8.....0’80

3. Ordena del més petit al més gran, i col·loca’ls a la recta real:

2’1 2’01 12’1 2’12 2’11

4. Escriu els següents nombres decimals i ordena’ls dels més gran al més petit: 3

dècims, 30 mil·lèsims, 33 mil·lèsims i 303 mil·lèsims.

5. Les altures assolides per tres saltadors en una competició són 2’35 m; 2’38 m i 2’32

m. Indica quina és la millor marca i quina és la pitjor.

6. Ordena aquests nombres decimals de més gran a més petit, i col·loca’ls a la recta real.

0’375 ; 0 ; 0’38 ; 2’50 ; 0’7 ; 0’3 ; 2’4 ; 1 ; 2 ; 2’490

7. Intercala dos nombres decimals entre cada parella de nombres.

a) 0’75 < ................ < ................< 0’76

b) 1’2 < ................ < ................ < 1’4

c) 1’2 < ................ < ................... < 1’3

d) 2’345 < ........................<..........................< 2’346

e) 0’1 < ....................... < ......................< 0’2

1.2 TIPUS DE NOMBRES DECIMALS

1.2.1 EXACTES

Els nombres decimals exactes són nombres decimals que tenen un

nombre limitat de xifres decimals.

Exemple: 2’5

12’368

7

1.2.2 PERIÒDICS

Els nombres decimals periòdics són nombres decimals que tenen un

nombre il·limitat de xifres decimals que es repeteixen.

Exemple: 2’ 5

=2’55555...

12’368

=13’368888...

35’ 5

6

=35’56565656...

Hi ha dos tipus de decimals periòdics:

Decimal periòdic pur: si després de la coma la part decimal és una

part periòdica.

Decimal periòdic mixt: si després de la coma hi ha una part

decimal no periòdica i una part decimal periòdica.

Exemple: : 2’5

=2’55555... decimal periòdic pur

12’368

=13’368888...decimal periòdic mixt

35’ 5

6

=35’56565656...decimal periòdic pur

1.2.3 NO EXACTES I NO PERIÒDICS

Els nombres decimals no exactes i no periòdics són nombres decimals

que tenen un nombre il·limitat de xifres decimals no periòdiques.

Exemple: 2’5351...

12’36213...

7

8. Classifica els següents nombres:

2’3 3

2 10’23232323… 6’8121212 15’2 3

52’010010001… 81’ 6

2

1 13’52333…. 5 1’0002

EXACTES PERIÒDICS PURS PERIÒDICS

MIXTS

NO EXACTES I

NO PERIÒDICS

8

9. Completa la taula, posant exemples:


MIXTS

NO EXACTES I

NO PERIÒDICS

1.3 OPERACIONS

1.3.1 SUMA I RESTA

Per sumar o restar nombres decimals hem de fer coincidir els ordres

d’unitats corresponents. És a dir, les comes dels nombres decimals que

sumen o resten ha d’estar en la mateixa columna.

Exemple: 12’123

+ 6’2

18’323

10. Realitza les operacions següents:

a)

7 8 5 4

6 9 8 5

3 4 8 6

9 5 4 3

2 8 6 5

9 7 0 3

b)

2 7 ‘ 5 2

6 9 0

7 5 ‘ 0 9

9 8 9 ‘ 2 5

8 7 4 ‘ 2 7

+ 3 7 8 ‘ 2

c) 9 7 5 ‘ 4 8 6

- 2 5 ‘ 4 9 8

d) 9 5 0 5 ‘ 4 3

- 3 7 8 5 ‘ 2

11. Resol aquestes operacions indicades:

a) 572’61 + 7’25 + 499’6 + 619 + 4’502 =

b) 3957 – 0’5468 =

c) 74’378 + 5768 + 0’612 + 495’264 + 453’02 =

d) 5 797’25 – 475’67502 =

9

1.3.2 MULTIPLICACIONS

Per multiplicar nombres decimals hem de multiplicar com si fossin enters,

i després, el resultat es separen comptant de dreta a esquerra tantes xifres

com decimals hi ha entre tots els factors.

Exemple: 12’123

x 6’2

24246

+ 72738

75’ 1626

12. Resol aquestes operacions:

a) 2’35 · 3’5 =

b) 7’05 · 1’9 =

c) 15’08 · 35’42 =

d) 7’81 · 6’732 =

e) 14’87 · 9’42 =

13. Resol mentalment:

a) 2’35 · 10 =

b) 78’522 ·100 =

c) 0’54 ·1000 =

d) 123’005 ·100 =

e) 15’58 · 10 =

1.3.3 DIVISIÓ

Per dividir nombres decimals:

si al divisor no hi ha nombres decimals has de dividir com si

fossin enters, i després, el resultat es separen comptant de dreta a

esquerra tantes xifres com decimals hi ha al dividend.

Exemple: 3’2 : 5 =0’64

12’3 : 2 = 6’15

si al divisor hi ha nombres decimals has de multiplicar el dividend

i el divisor per la unitat seguida de tants zeros com xifres

decimals hi hagi al divisor. Una vegada realitzada la

transformació, has de dividir com en el cas anterior.

Exemple: 2’31 : 0’5

23’1 : 5 = 4’62

10

14. Resol aquestes operacions indicades:

a) 2’35 : 3’5 =

b) 7’05 : 1’9 =

c) 15’08 : 35 =

d) 7’81 : 6 =

e) 14’8712 : 9’42 =


a) 245’8 : 10 =

b) 34’86 : 10000 =

c) 6345 : 1000 =

d) 0’814 : 100 =


a) 2’35 · 0’1 =

b) 78’522 · 0’01 =

c) 0’54 · 0’001 =

e) 123’005 ·0’1 =

f) 15’58 ·0’001 =

17. Calcula:

a) 5’6 · 3’7 + 2’1 – 0’4 =

b) 85’2 – 8’7 · 5’65 – 7’96 =

c) 106’78 – 4’7 · 21’4 – 5’4 =

d) 8’75 – 2’54 · 6’7 : 4’2 =

e) 458’43 + 21’56 – 23’8 · 0’9 =

f) 12’7 + 2’56 · 4’5 – 2’37 =

18. Efectua:

a) (6’2 + 3’8) · 6’5 =

b) 7’6 · (23’5 – 8’7) – 2’75 =

c) 12’4 : 0’2 – (2’7 +1’05) · 3 =

d) (28’6 – 3’2) : (0’21 + 4’3) =

e) (2’5 + 3’7) · (45’6 – 12’5) =

1.4 PROBLEMES

19. La Nerea feia 1’47 m d’alçada el curs passat i ara la seva estatura és d’1’53m.

Quants centímetres ha crescut en un any?

20. Un edifici format per planta baixa i 7 pisos té una altura de 29’52 m. Calcula l’altura

de cada pis si la planta baixa fa 3’56 m d’altura.

21. Un automòbil de turisme té una tara de 1030 kg i un pes màxim autoritzat de 1495

kg. Si transporta 5 passatgers amb masses de 67’8 kg, 82’5 kg , 73’2 kg, 56’3 kg i 64’3

kg, quina és la massa que pot carregar com a equipatge?

22. Una caixa amb 24 llaunes de conserva té una massa de 12’734 kg. Quina és la massa

aproximada de cada llauna?

23. Quantes ampolles de llet de 0’75 litres es poden omplir amb la llet d’un bidó de

24’75 litres ?

24. Traiem 1’06 kg d’arròs d’una bossa que en conté 2’5 kg. Calcula la massa d’arròs

que queda a la bossa. Si repartim la resta de l’arròs en unes altres tres bosses, quina

quantitat d’arròs hi haurà en cadascuna d’aquestes bosses?

11

25. Una corda de 5’36 m de llargària es divideix en trossos de 0’7 m cadascun. Calcula

quants trossos s’obtindran i quina llargària de corda sobrarà. I si els trossos són de 0’8

m de llargària?

26. Una persona rep 25’72 euros i 37’28 dòlars. Si gasta 1250 cèntims d’euro i 1 euro

equival a 1’169 dòlars, expressa de quants diners disposa al final.

a) En euros, b) En dòlars.

27. Per a muntar una instal·lació elèctrica en una casa es necessiten 98’7 m de cable

elèctric. Si cada metre i mig costa 12’8 cèntims d’euro, quant costarà el cable necessari?

2. SISTEMA MÈTRIC DECIMAL

2.1 UNITATS DE LONGITUD

La longitud serveix per mesurar la distància entre dos punts, per exemple:

la distància que hi ha entre la teva casa i l’institut. La unitat principal de

longitud és el metre. El metre té unitats múltiples i submúltiples:

MÚLTIPLES SUBMÚLTIPLES

Quilòmetre (Km) Decímetre (dm)

Hectòmetre (hm) Centímetre (cm)

Decàmetre (dam) Mil·límetre (ml)

Utilitzarem una escala per passar d’una unitat a una altra:

km

hm

dam ·10

m

:10 dm

cm

mm

Per passar a una unitat inferior (baixar), hem de multiplicar per 1 seguit

de tants de zeros com escalons baixem. Per exemple: per passar de km a

m hem de baixar 3 escalons, aleshores hem de multiplicar per 1000.

3 Km = 3000m, ja que, 3·1000=3000

1,5m= 150cm, ja que, 1,5·100=150m

Per passar a una unitat superior (pujar), hem de dividir per 1 seguit de

tants zeros com escalons pugem. Per exemple: per passar de cm a m hem

de pujar dos escalons, aleshores hem de dividir per 100.

175cm= 1,75m, ja que 175:100= 1,75

5600m= 5,60km, ja que, 5600:1000=5,6

12

28. Les estatures d’aquestes persones són:

1’78 m; 1’87 m; 2’06 m; 1’90 m; 1’09 m; 2’11 m

Quina estatura correspon a cada una d’aquestes persones?

29. Expressa en la unitat demanada les mesures següents:

a) 34 cm = .............. m b) 452 km = .............. m

c) 342 m = .............. hm d) 43’56 m = ................... mm

e) 32’45 km = ..................... cm f) 12.000 mm = ............... m

g) 89 cm = .................. dam h) 0’1 hm = ................. cm

30. Completa aquesta taula:

4’75 m 4 m i 75 cm

1’475 m 1 m i 475 mm

32’5 m

2 m i 5 cm

5’15 m

12 m i 30 cm

0’6 m

32 cm

0’046 m

31. Relaciona amb fletxes les columnes A i B:

A B A B

0’5 m 0’05 km 1’2 dm 1200 m

5 m 5 dm 12 hm 12 cm

50 m 50 dm 120 m 12 cm

0'05 m 0’5 km 0’12 m 0’12 km

500 m 5 cm 0’012 km 12 m

32. Ordena del més gran al més petit:

4 dm; 0’3 dam; 90 mm ; 120 m ; 0’7 km

33. Efectua les operacions següents:

a) 21 dm + 37 cm =

b) 700 dm + 0’4 km =

34. Transforma en decímetres aquestes quantitats:

1 m, 5 m, 12 m, 37 m, 0’3 m, 0’35 m

13

2.2 UNITATS DE MASSA

La massa és la quantitat de matèria continguda dins un cos, per exemple:

la quantitat d’arròs que hi ha dins una bossa. La unitat principal del

sistema mètric decimal que emprem per mesurar la massa és el gram.

El gram, com el metre, té múltiples i submúltiples:


Tona (T) Decígram (dg)

Quintal (Q) Centígram (cg)

Miriagram (Mg) Mil·ligram (mg)

Quilogram (Kg)

Hectogram (hg)

Decàgram (dag)


T

Q

Mg

kg

hg

dag ·10

g

dg

:10 cg

mg

Per passar a una unitat inferior (baixar), hem de multiplicar per un 1

seguit de tants de zeros com escalons baixem. Per exemple: per passar de

hg a dg hem de baixar 3 escalons, aleshores hem de multiplicar per 1000.

2hg= 2000dg

9,5kg=9500g

Per passar a una unitat major (pujar), hem de dividir per 1 seguit de tants

zeros com escalons pugem. Per exemple: per passar de mg a dag hem de

pujar quatre escalons, aleshores hem de dividir per 10000.

3000mg= 0,3dag

1500g=1,5kg

35. Passa a la unitat indicada:

a) Passar 3’2 kg a grams

b) Passar 655 dg a hectograms

c) Passar 4.300 dag a quilograms

d) Passar 2’7 grams a mil·ligrams

e) Passar 0’35 T a hectograms

36. Aparella les etiquetes següents segons tinguin la mateixa massa:

0’5 T 1.500 mg 0’5 kg 500 kg 1.500 kg 1’5 g 1’5 T 500 g

14

37. Completa les igualtats següents:

3 kg = .......... hg 25 dg = .......... mg 376 g = .......... hg

50 g = .......... kg 750 g = .......... kg 0’5 kg = .......... g

0’75 kg = .......... g 5 hg = .......... g 467 cg = .......... g

7.682 mg = .......... g 500 g = .......... kg 0’25 kg = .......... g

2.250 g = .......... kg 1’25 kg = .......... g

38. Relaciona les columnes A i B.

A B A B

15 g 1.500 g 2 kg 2.000 cg

1’5 kg 1.500 cg 0’2 t 0’002 T

150 mg 1’5 dg 20 g 200 kg

39. Escriu el resultat amb el nom de la unitat corresponent:

Multiplicar

T Qm Mg kg hg dag g dg cg mg

Dividir

a) 5 T = 50 Qm i) 6 kg = 600 dag

b) 3 dag = 300 .......... j) 10 cg = 1 ..........

c) 8 dg = 800 .......... k) 4 Mg = 4.000 ..........

d) 9 kg = 9.000 .......... l) 6 Qm = 600 ..........

e) 300 hg = 3 .......... m) 2.000 g = 2 ..........

f) 5.000 mg = 5 .......... n) 54 hg = 5.400 ..........

g) 3 kg = 30.000 .......... ñ) 9 dg = 900 ..........

h) 400 mg = 4 .......... o) 5.000 cg = 50 ..........

2.3 UNITATS DE CAPACITAT

La unitat principal de capacitat en el sistema mètric decimal és el litre. El

litre, com el metre i el gram, té múltiples i submúltiples:


Quilolitre (Kl) Decilitre (dl)

Hectolitre (hl) Centilitre (cl)

Decalitre (dal) Mil·lilitre (ml)


kl

hl

dal ·10

l

:10 dl

cl

ml

Per passar a una unitats inferior (baixar), hem de multiplicar per un 1

seguit de tants de zeros com escalons baixem. Per exemple: per passar de

de l a cl hem de baixar 3 escalons, aleshores hem de multiplicar per 100.

0’5l= 50cl

15

Per passar a una unitat superior (pujar), hem de dividir per un 1 seguit de

tants zeros com escalons pugem. Per exemple: per passar de ml a l hem de

pujar dos escalons, aleshores hem de dividir per 100.

3000ml=3l


40 dl; 0’3 dal; 9 ml ; 120 l ; 7 kl


a) 2’1 dl + 370 cl =

b) 70 dl + 4 kl =

42. Transforma en decilitres aquestes quantitats:

1 ml, 5 cl, 12 ml, 37 dal, 0’3 hl, 0’35 kl

43. Completa les igualtats següents:

30 kl = .......... hl 2’5 dl = .......... ml 376 ml = .......... hl

500 l = .......... kl 75 l = .......... kl 0’5 kl = .......... l

75 kl = .......... l 50 hl= .......... l 46’7 cl = .......... l

7.682 ml = .......... l 50 l = .......... kl 25 kl = .......... l

2.4 UNITATS DE SUPERFÍCIE

La unitat principal de mesura de superfície és el metre quadrat. El seu

símbol és: m2.

El metre quadrat té múltiples i submúltiples:


Quilòmetre quadrat (Km2) Decímetre quadrat (dm

2)

Hectòmetre quadrat (hm2) Centímetre quadrat (cm

2)

Decàmetre quadrat(dam2) Mil·límetre quadrat (ml

2)

Per passar d’una unitat a una altra utilitzem una escala:

km2

hm2

dam2

·100

m2

:100 dm2

cm2

mm2

Per passar a una unitat més petita (baixar), hem de multiplicar per un 1

seguit de dos zeros tantes vegades com escalons baixem. Per exemple: per

passar de km2 a m

2 hem de baixar 3 escalons, aleshores hem de multiplicar

per 1000000.

Per passar a una més gran (pujar), hem de dividir per un 1 seguit de dos

zeros per cada escaló que pugem. Per exemple: per passar de cm2 a m

2

hem de pujar dos escalons, aleshores hem de dividir per 10000.

44. Indica la unitat que faries servir per mesurar:

a) La superfície d’un camp de futbol.

b) La superfície d’un full de paper.

16

c) La superfície de l’oceà Atlàntic.

d) La superfície d’un pis.

e) La superfície d’un segell de correus.

f) La superfície d’un mocador de paper.

45. Expressa 85 m2 5 dm

2 23 cm

2:

a) en m2.

b) en dam2.

c) en dm2.

46. Expressa en m2:

a) 16 dam2 6 m

2 3 dm

2.

b) 51 hm2 2 dam

2.

47. Expressa en cm2:

a) 2 m2 48 dm

2

b) 6 dm2 4 mm

2

c) 1 dm2 2 cm

2

d) 19 cm2 1 mm

2

2.5 UNITATS DE VOLUM

El volum és el espai ocupat per un cos. La unitat principal de mesura de

longitud és el metre cúbic. El seu símbol és: m3.

El metre cúbic té múltiples i submúltiples:


Quilòmetre cúbic (Km3) Decímetre cúbic (dm

3)

Hectòmetre cúbic (hm3) Centímetre cúbic (cm

3)

Decàmetre cúbic (dam3) Mil·límetre cúbic (ml

3)


Km3

hm3

dam3

·1000

m3

:1000 dm2

cm3

mm3

Per passar a una unitat més petita (baixar), hem de multiplicar per un 1

seguit de tres zeros tantes vegades com escalons baixem. Per exemple: per

passar de km3 a m

3 hem de baixar 3 escalons, aleshores hem de multiplicar

per 1000000000.

2,8km3=2800m

3

Per passar a una unitat més gran (pujar), hem de dividir per un 1 seguit

de tres zeros per escaló que pugem. Per exemple: per passar de cm3 a m

3

hem de pujar dos escalons, aleshores hem de dividir per 1000000.

256cm3= 0,000256 m

3


a) 34 cm3 = .............. m

3 b) 452 km

3 = .............. m

3

c) 342 m3 = .............. hm

3 d) 43’56 m

3 = ................... mm

3

17

e) 32’45 km3 = ..................... cm

3 f) 12.000 mm

3 = ............... m

3

g) 89 cm3 = .................. dam

3 h) 0’1 hm

3 = ................. cm

3


40 dm3; 0’00003 dam

3; 9 mm

3 ; 12 m

3 ; 0’007 km

3


a) 2’1 dm3 + 370 cm

3 =

b) 7 dm3 + 4 km

3 =

51. Transforma en decímetres aquestes quantitats:

1 km3, 5 mm

3, 12 mm

3, 37 dam

3, 0’3 cm

3, 0’35 m

3

2.6 RELACIONS ENTRE UNITATS

Tenim relacions entre les unitats de massa, capacitat i volum. Per exemple

és el mateix dir 1 litre que 1dm3 (quan parlam d’aigua). Les relacions són

les següents:

MASSA CAPACITAT VOLUM

T ------------------- kl ------------------ m3

Q ------------------- hl

Mg ------------------- dal

kg ------------------- l ------------------- dm3

hg ------------------- dl

dag ------------------- cl

g ------------------- ml ------------------- cm3


a) 34 cm3 = .............. dag b) 452 m

3 = ..............cl

c) 342 m3 = .............. mg d) 43’56 g= ................... dal

e) 32’45 hl = ..................... cm3 f) 12.000 hg = ............... mm

3

g) 89 kg = .................. m3 h) 0’1 cl = ................. mg

2.7 PROBLEMES

53. Indica quines de les mesures que apareixen a aquest text són correctes i quines no.

Corregeix les que no siguin correctes.

El passat cap de setmana la meva família i jo varem anar d’excursió. Com que

havíem de caminar tot el dia varem decidir dur entrepans per berenar i dinar. Per això

el meu germà va anar a comprar tot el que ens feia falta. Va comprar 8 entrepans,

300gr de pernil dolç, 20kg de pernil salat i 500cl d’aigua.

Amb el que va comprar varem preparar els entrepans i omplírem les motxilles.

A les 9:30h sortírem de casa i agafàrem el cotxe per anar fins al poble del costat, que

està a uns 5hm. Una vegada enllà varem deixar el cotxe i començarem a caminar.

Al principi el camí era pla, però a mesura que anàvem caminant el camí es feia

costa cap amunt. Era preciós. Quan ja portàvem una hora i mitja caminant ens vam

aturar a berenar a una possessió, l’amo de la qual el meu pare coneixia. Quan

arribàrem el pagès estava acabant de munyir les 2 vaques que tenia. I alegrement ens

va saludar i mostrar els 300 litres de llet que havia tret de les vaques aquell matí. El

18

meu germà i jo bocabadats varem aprofitar per tocar les vaques. Eren enormes,

almenys cada una d’elles devia pesar 200g. Després de berenar i descansar una estona,

varem seguir el nostre camí, i 7200s després arribàrem a dalt del puig Roig.

A la fi havíem arribat. Jo estava esgotada. Em vaig beure jo tota sola 2dal

d’aigua. Quan vaig haver reposat em vaig fixar que des d’allà dalt es veia mitja illa.

Era molt bonic. A dalt del puig vam dinar, el meu germà i jo vam jugar una bona

estona, el meu pare va aprofitar per fer algunes fotografies, i a les 19:00h érem al

cotxe.

Quan vam arribar gairebé no em sentia les cames. Havíem caminat 700m. Però

la caminada havia valgut la pena. Vaig passar un gran dia.

54. El cim d’una muntanya es troba a 957 m, 325 dm i 68 mm sobre el nivell del mar.

Quants centímetres d’altura amida aquesta muntanya?

55. De casa meva a la plaça hi ha 127 metres i des de la plaça a l’escola, 95 m. Quants

decímetres caminaré per anar des de casa a l’escola si passo per la plaça?

56. Quants decímetres de filferro necessito per tancar un hort de forma quadrada que fa

35 m de costat?

57. Una modista compra dues peces de tela que fan 3 m i 5’6 m, respectivament.

Necessita 4 m per fer un vestit. Quants decímetres li sobraran?

58. Per arreglar una via de ferrocarril necessitem dos rails que amiden 120 dm i 35 dm,

respectivament. Quants metres en necessitem?

59. El Pere ha de recórrer 250 dm per arribar a agafar la pilota. Si ha recorregut 130 dm,

quants metres li falten per arribar?

60. Si d’un llistó de 18 dm n’he tallat 1 metre, quina és la longitud que en queda?

61. Quantes rajoles quadrades de 41 cm de costat necessitarem per cobrir un sol de 340

m2 ?

62.a) En un dipòsit hi caben 862 dal d’aigua. Quantes ampolles de litre podríem omplir?

(recorda que la escala dels litres va de deu en deu)

b) I si les ampolles fossin de 75 cl ?

19

3. SISTEMA SEXAGESIMAL

El sistema sexagesimal és un sistema posicional que utilitza la base 60.

El sistema sexagesimal s’utilitza per mesurar temps (hores, minuts i

segons) i angles (graus, minuts i segons)

3.1 OPERACIONS

3.1.1 SUMA I RESTA

Per sumar temps o angles ho farem de la següent forma:

1r Col·locarem bé les dades, és a dir, els segons baix els segons, els

minuts baix els minuts i les hores o els graus baix les hores o els graus.

2n Sumarem cada columna.

3r Si la columna dels segons és més gran o igual que 60, anirem restant

fins que sigui més petit que 60. Si restem 1 pic posarem una més als

minuts, si restem dos pics posarem 2 més als minuts...

4t Si la columna dels minuts és més o igual que 60, anirem restant fins

que sigui més petit que 60. Si restem 1 pic posarem una més a les hores o

graus, si restem dos pics posarem 2 més a les hores o als graus...

Exemple:

2h 37min 47seg

+ 4h 9min 25seg

6h 46min 72seg

Com que els segons són més grans que 60, restarem 60 als segons i

sumem 1 als minuts:

6h 46min 75seg

- 60seg

6h 47min 15seg

Per restar temps o angles ho farem de la següent forma:

1r Col·locarem bé les dades, és a dir, els segons baix els segons, els

minuts baix els minuts i les hores o els graus baix les hores o els graus.

2n Si qualque dada de dalt és més petita que la baix hem de fer petites

transformacions.

- Si els minuts de dalt són més petits que els de baix, hem de restar una a

les hores o graus de dalt i sumem 60 als minuts de dalt. Si encara és més

petit tornarem a fer això fins que els minuts de dalt siguin més grans.

- Si els segons de dalt són més que els de baix, hem de restar una a les

minuts de dalt i sumem 60 als segons de dalt. Si encara és més petit

tornarem a fer això fins que els segons de dalt siguin més grans.

3r Restem cada columna.

Exemple:

19º 8min 56seg

- 17º 24min 34seg

Primer farem les transformacions:

18º 68min 56seg

- 17º 24min 34seg

1º 44min 22seg

20

63. Fes aquestes operacions:

6 º 23 ' 18 ''

+ 8 º 17 ' 26 ''

17º 43' 19 ''

+ 15º 23' 32 ''

43º 16' 43''

+ 8º 22' 48''

64. Resol:

a) 23º 56' 24'' - 18 º 37 ' 24'' =

b) 22 º 14 ' 37'' - 5º 23' 52'' =

65. Realitza les sumes següents:

a) 5h 45min 34seg + 3h 23min 56seg =

b) 3h 56min 23seg + 23h 23min 45seg =

c) 58min 34seg + 1h 59min 12seg =

d) 87º 32’ 09’’ + 21º 41’ 29’’ =

e) 32º 28’ 39’’ + 24º 21’ 21’’ =

f) 12º 13’ 14’’ + 76º 54’ 59’’ =

66. Realitza les següents restes:

a) 5h 45min 34seg - 3h 23min 56seg =

b) 23h 6min 23seg - 3h 54min 45seg =

c) 1h 58min 34seg - 1h 57min 12seg =

d) 87º 32’ 09’’ - 21º 41’ 29’’ =

e) 32º 28’ 39’’ - 24º 21’ 21’’ =

f) 12º 13’ 14’’ - 6º 54’ 59’’=

21


Per multiplicar temps o angles per un nombre ho farem de la següent

forma:

1r Multipliquem normal

2r Transformarem els nombres com abans:

- Si els segons són més grans de 60 anirem restant 60 als segons fins que

sigui més petit que 60 i sumant als minuts 1 cada vegada que restem.

- Si els minuts són més grans de 60 anirem restant 60 als minuts fins que

sigui més petit que 60i sumant a les hores o graus 1 cada vegada que

restem.

Exemple:

3min 5seg

x 30

90min 150seg

+1 - 60

91min 90seg

+1 - 60

92 min 30seg

+1- 60

1h 32min 30seg

67. Calcula:

a) (2min 34seg) · 5 =

b) (1h 14min 24seg) · 6 =

c) (21º 16’ 3’’) · 10 =

d) (32º 3’ 18’’) · 7 =

e) (16º 4’ 24’’) · 8 =

f) (1h 14min 22seg) · 9 =

3.1.3 DIVISIÓ

Per dividir temps o angles entre un nombre ho farem així:

1r Començarem dividint les hores o angles entre el divisor, i el residu es

passa a minuts multiplicant per 60 i se sumen als minuts que hi havia de

l’enunciat.

2n Després dividirem els minuts entre el divisor, i el residu el passem a

segons multiplicant per 60 i se sumen als segons que hi havia de

l’enunciat.

3r Per finalitzar dividim els segons entre el divisor, i el residu d’aquest

divisió, serà el residu de la divisió inicial.

68. Divideix:

a) 109º : 4 =

b) (21º 42’) : 6 =

c) (12h 32min 34seg) : 5 =

d) (1h 43min 54seg) : 3 =

e) (3h 54min 43seg) : 7 =

f) (166º 17’ 48’’) : 27 =

22

3.2 EXPRESSIONS COMPLEXES I INCOMPLEXES

Recordem que la mesura de les quantitats relatives a una magnitud es

podem expressar de dues formes:

- Utilitzant a la vegada diverses unitats (forma complexa).

Exemple: 2h 23’ 34’’

- Utilitzant només una unitat (forma incomplexa)

Exemple: 2’43h

3.2.1 PAS DE COMPLEX A INCOMPLEX

Passarem cada una de les unitats a la unitat que volem passar tot.

Exemple: 1h 23min 43seg ho volem passar a segons:

1h = 60min = 3600seg

23min = 23 · 60 = 1380seg

43seg = 43seg

I això fa un total de 5023seg

69. Expressa en segons:

a) 37min

b) 34h

c) 1h 26min 45seg

d) 3h 45min 21seg

e) 24min 45seg

f) 2h 43seg

3.2.2 PAS D’INCOMPLEX A COMPLEX

Anirem dividint entre 60 o multiplicant entre 60, segons de quina unitat

partim. Recordem que la nostra escala és:

Hores o graus

Minuts

Segons

Si volem baixar és multiplicar per 60 cada escaló, si volem pujar és

dividir entre 60 cada escaló.

70. Passa a hores, minuts i segons:

a) 321seg

b) 65’6min

c) 3’66h

d) 5432seg

e) 78’9min

f) 2’45h

71. Passa a graus, minuts i segons:

a) 43215’’

b) 23,6’

c) 21345’’

d) 65,8’

e) 7654’’

f) 75,9’

23

3.3 PROBLEMES

72. En Jaume ha treballat al matí 3 hores i un quart, i a la tarda, 2 hores i mitja. Quants minuts més

ha treballat al matí que a la tarda?

73. Un vaixell va estar amarrat durant 18770 segons i un altre vaixell va estar amarrat durant 13348

segons. Quantes hores completes va estar amarrat el primer vaixell més que el segon?

74. La Lluïsa treballa per hores en una floristeria. Avui ha treballat 3 hores i tres quarts. Si per cada

hora treballada cobra 10 euros , quant ha cobrat avui la Lluïsa?

75. Calcula:

a) L’angle complementari de 35 º 26 ' 42'' (l’angle que li falta per valer 90º)

b) L’angle suplementari de 35 º 26 ' 42'' (l’angle que li falta per valer 180º)

76. Calcula l’hora d’arribada per a cada viatge (hora local de la ciutat de destinació).

Vol Hora sortida Durada Hora arribada

Barcelona – Nova York 13:30 8 h

Barcelona – Buenos Aires 9:30 12 h

Barcelona – San José 8:45 10 h

Barcelona – Los Angeles 10:00 11 h

Barcelona – Moscou 15:00 4:30 h

París – NovaYork (Concorde) 16:00 3:30 h

77. Un vaixell per travessar l’Atlàntic necessita de 4’5 dies. Quantes hores són?

24

4. AUTOAVALUACIÓ

1. Ordena de menor a major, i col·loca’ls en la recta real:

2’6 2’06 3’8 5’16 2’001 3’12

2. Classifica els següents nombres:

5’3 5

2 10’2323233… 6’121223… 18’1 3

532’010101… 3’ 6

27

5 14’333…. 8 3’0002


MIXTS

NO EXACTES I

NO PERIÒDICS

3. Calcula:

a) [(2’3 – 0’5) · (3’71 – 2’7)] : 2’5 +3 =

b) (3’12 – 0’13) : 2’3 + 4 · (3 + 2’1 · 3’2) =

c) (3 · 5 – 2 + 4 : 2) · 0’5 + 3’1 · [3 – 0’25 · (3 + 2 · 4)] =

4. Calcula:

a) (4’25 – 2’6) · 1’21 =

b) 12’27 : 3 – 4 =

c) [12’22 – (9’1 – 7 : 2)] · 0’5 =

5. Calcula:

a) 25’2 + 37’1 · (18’06 – 3’4) : 1’2 – 6 =

b) 3 · 750 – 36’5 : (286’08 – 281’08) =

6. Si compres tres llibretes a 1’24 € cadascuna i un llibre que val 14’6 €.

a) Quant valen les tres llibretes? ...............................

b) Quant he de pagar en total? ..................................

c) Si pago amb un bitllet de 20 €, quants diners em tornaran? ............................

7. Ordena de menor a major:

37’4hm 134cm 1’25m 0’45km

8. En quines unitats expressarem?

a) La superfície d’un camp de futbol

b) La longitud d’una agulla

c) La profunditat d’una piscina

d) El pes d’una moto

e) El volum d’una llauna de refresc

25

9. Completa:

a) 4m3 = ................litres d) 2’4kg = ..................cl

b) 2’45dl = ...............cm3 e) 0’47dal = ...............g

c) 530mm3 = .............dg f) 1’65cg = .................mm

3

10. Uneix amb fletxes les dues columnes:

78 dl 0’78 dl

7’8 kl 7’8 litres

7’8 dal 780 dal

78ml 0’78 hl

11. La superfície d’una taula és de 0’9 m2. Calcula la superfície en mm

2 i en dam

2.

12. Indica quina de les mesures de volum següents és major:

a) 20 dm3 c) 1900 cm

3

b) 0’02 m3 d) 0’00025 dam

3

13. Indica si les següents afirmacions són vertaderes o falses i raona la teva resposta:

a) La massa d’un llapis és major que 0’3 kg

b) La massa d’un cotxe és menor que 3000000 g

c) La massa d’unes sabates és major que 140 dg

14. Calcula els angles desconeguts en els següents casos:

a) b)

15. Passa a hores:

a) 2h 24 min 18 s

b) 1 h 40min

21º 45’ 8’’

47º 18’ 55’’

A

x

x

30º 26’ 50”

26

UNITAT 2: NOMBRES ENTERS

1. INTRODUCCIÓ

2. LA SUMA/RESTA

2.1 SUMEM O RESTEM?

2.2 CADENES DE SUMES I RESTES

3. LA MULTIPLICACIÓ I DIVISIÓ

4. LA TAULA DELS SIGNES SEGUITS

5. OPERACIONS COMBINADES

5.1 UN PARÈNTESI

5.2 DOS O MÉS PARÈNTESI

6. PROBLEMES

7. AUTOAVALUACIÓ

27

1. INTRODUCCIÓ

Hi ha moltes situacions on ens trobem un nou tipus de nombre: els nombres positius i

nombres negatius.

Per exemple:

Per expressar temperatures sota zero: -3ºC

Per expressar els moviments d’un compte bancari:

COMPRA....................- 30 EUROS

LLUM..........................- 55 EUROS

NÒMINA....................+ 670 EUROS

Per expressar els diferents nivells d’un edifici:

PRIMER PIS:1

PLANTA BAIXA:0

SOTERRANI: -1

El conjunt format pels nombres positius (+1,+2,+3,...), el nombre 0 i els nombres

negatius (-1,-2,...) rep el nom de conjunt de nombres enters, es representa amb el símbol

Z. Per tant:

Z = {...-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3...}

És un conjunt infinit.

Per ordenar els nombres enters, els podem representar damunt una recta. Aquell que

queda més a la dreta serà el major. Per exemple, 32 , ja que, en la recta el nombre 2

es troba a la dreta del nombre 3

NOTA: Els nombres positius es poden representar amb el signe + davant o sense. Quan

un nombre no duu cap signe davant, és un nombre positiu. Per exemple: 11 = +11

1. Descriu quatre situacions de la vida quotidiana on es fan servir nombres positius i negatius.

a) …………………………………………………………………..

b) …………………………………………………………………..

c) …………………………………………………………………..

d) …………………………………………………………………..

2. Representa els següents nombres a la recta dels nombres

a) 5

b) –3

c) –2 0

d) 4

28

3. Ordena de major a menor:

a) 6; -5; -15; 10; -1; 5

b) -9; 9; 3; -1; 2; 0; -5

c) 4; -2; 6; -10; -12; 7

2. LA SUMA/RESTA

2.1 SUMEM O RESTEM?

Si a les 6h del matí la temperatura d’un dia d’hivern és de -3ºC i al llarg de mig dia

augmenta 4ºC. Quants graus marcarà el termòmetre després d’aquest temps?

El termòmetre marcarà +1ºC . Per saber-ho hem fet l’operació 143

Per sumar o restar nombres enters cal fixar-se en el signe de cada nombre.

Si tenen el mateix signe, SUMEM i es manté el signe.

Suma de dos n. positius: + 3 + 5 = + 8 (resultat positiu)

Suma de dos negatius 532 (resultat negatiu)

Si tenen diferent signe, RESTEM i deixem el signe de la quantitat major.

+ 6 – 2 = +4 (resultat positiu perquè 6 > 2).

+ 3 – 8 = - 5 (resultat negatiu perquè 8>3)

- 2 + 8 = + 6 (resultat positiu perquè 8>2)

- 6 + 4 = -2 (resultat negatiu perquè 6>4)

L’oposat d’un nombre és el nombre amb signe contrari. L’oposat de -5 és +5. L’oposat

de 7 és -7

Fixa’t: Què ocorre, si a un nombre li sumem l’oposat ?

-10 + 10 = 0 +5 + (-5) = 0 (-27) + (+27) = 0

4.- Calcula:

a) +3 – 4 =

b) 6 + 2 =

c) 3 + 5 =

d) -7 – 8 =

e) +3 – 1 =

f) +2 + 7 =

g) -6 – 2 =

h) +4 – 9 =

i) -3 – 5 =

j) -2 + 5 =

k) +2 + 6 =

l) -3 + 7 =

m) -8 – 3 =

n) -2 + 6 =

o) +7 – 4 =

p) +2 – 8 =

q) -4 – 1 =

r) -5 + 9 =

s) +5 – 2 =

t) +8 – 12 =

u) -6 + 7 =

v) +4 – 2 =

w) +3 – 3=

x) +5 – 9 =

y) +2 – 2 =

z) -2 –7 =

aa) +3 + 4 =

bb) -2 +3 =

cc) -1 + 3 =

dd) 7 - 9 =

ee) 1 – 5 =

ff) 5 – 1 =

29

5. Fes les següents operacions:

a) 5 – 7 = e) 2 – 8 = i) – 4 – 5 =

b) 4 – 11 = f) 9 – 2 = j) – 5 + 3 =

c) -3 + 9 = g) 7 – 3 = k) – 4 – 7=

d) -12 – 5 = h) 4 – 6 = l) – 7 + 10 =

6. Fes les següents operacions:

a) 8 – 3 = e) 12 – 3 = i) – 5 – 7 =

b) 4 – 17 = f) 6 – 13 = j) 8 – 9 =

c) 9 – 11= g) 88 k) – 6 – 3 =

d) -14 +15 = h) 4 – 1= l) 8 – 6 =

NOTA: Pots ajudar-te amb aplicacions pràctiques. Fixa’t:

Plantes d’un edifici:

-3 + 5 = +2 Si estàs al soterrani 3 i puges 5 plantes, arribes a la planta 2.

2 – 4 = -2 Si estàs a la planta 2 i en baixes 4, arribes al 2n soterrani.

-7 – 3 = -10 Si estàs a la planta 7 i en baixes 3 plantes, arribes al 10é soterrani.

Doblers:

Positiu és tenir o guanyar diners. Negatiu és deure o gastar doblers.

-5 – 2 = -7 Deus 5€ i et gastes 2€ més, per tant, acabes devent 7€.

3 – 8 = -5 Tens 3€ i et gastes 8€,per tant, acabes devent 5€.

2.2 CADENES DE SUMES I RESTES

Hi ha diferents maneres de realitzar sumes i restes de més de dos nombres enters. Una

d’elles és sumar els positius per un costat i els negatius per un altre, després, fer la resta

de les dues quantitats deixant el signe de la quantitat major.

Exemple : 6 + 2 – 7 – 3 + 6 – 2

Positius: +6 +2 + 6 = +14 Negatius: -7 –3 – 2 = - 12

6 + 2 – 7 – 3 + 6 – 2= +14 – 12= +2

7. Calcula:

a) -5 + 2 + 7 – 8 –3 + 9 =

b) 3 – 7 – 2 + 6 – 3 + 3 =

c) -8 + 7 + 2 + 1 – 7 – 3 + 1 =

d) -3 + 4 + 5 –2 – 4 –1 + 7 =

e) 5 – 3 – 2 + 6 + 1 – 9 =

f) -4 – 2 + 6 + 8 – 2 + 3 =

g) 2 – 6 – 3 + 2 + 4 – 8 =

h) 7 – 3 + 2 + 4 – 6 – 1 + 6 =

30

3. LA MULTIPLICACIÓ I DIVISIÓ

Per multiplicar (o dividir) nombres enters es multipliquen (o divideixen) les quantitats i

s’aplica l’anomenada regla dels signes:

Multiplicació Divisió

+ · + = + + : + = + Quan els dos nombres són del mateix signe, el resultat és +

– · – = + – : – = +

– · + = – – : + = – Quan els dos nombres són de signes contraris, el resultat és –

+ · – = – + : – = –

Per exemple,

18 : 3 = + 6 -7·(+2) = -14 -2·(-4 ) = + 8 15: (-3 ) = -5

8. Calcula:

a) -2·5=

b) -7·(-2)=

c) 4·(-6)=

d) 10:(-5)=

e) 12:(-6)=

f) -4·7=

g) -2·(-9)=

h) -16:4=

i) 7·(-3)=

j) -6:2 =

k) -20:(-4)=

l) 18:(-3)=

m) -4·6=

n) -5·2=

o) -9:(-3)=

p) 8·(-3)=

q) -7·2 =

r) -12:(-6)=

s) 9·2=

t) 8:4=

u) -3·(-10)=

4. LA TAULA DELS SIGNES SEGUITS

A Matemàtiques, no es pot escriure dos signes d’operació seguits. S’utilitza el

parèntesi per separar dos signes. Així, s’escriu -3+ (-5) i NO -3+- 5

Quan ens trobem un signe de suma o resta davant un nombre positiu o negatiu, és a

dir, dos signes seguits, podem aplicar la regla dels signes seguits. s similar a la regla

dels signes de la multiplicació i la divisió de nombres enters: si a és una quantitat

qualsevol.

aa

aa

aa

aa

)(

)(

)(

)(

Per exemple: -(+3) – (- 4) + (-7) + (+2) = – 3 + 4 – 7 + 2 = + 6 – 10 = –4

Taula dels

signes

sumar positius

sumar negatius Restam i

deixam el

signe del

major

31

9. Calcula tenint en compte la TAULA DELS SIGNES:

a) 3 + (-4) – (+2 ) =

b) –3 + (-7) – (-4) + (-3) – (+8) =

c) 1 – (-2) + (+ 3) + (– 6) =

d) – (+5) + (– 4) – (+2) + (+1) =

e) +( -2) + ( -3) – (+1) + ( -2 ) – ( +5) =

f) + (–2) + ( -4) + ( -2) – ( -1) + ( +9) – ( -3) =

g) – ( +6) – ( +4) + ( -5) + ( -2) – ( -3) =

h) 6 + ( -9) – ( -11) + ( +2 ) - ( -3) + ( -4) – ( +2) =

i) – ( -5) – ( +2) – ( +3) – ( -4) – ( +6) – ( +11) =

j) - ( 5 – 4) + ( -6 + 4) – ( -3 + 5) – ( 2 – 4 + 6 ) =


5.1 UN PARÈNTESI

Quan el parèntesi tanca una operació i no un nombre enter, cal recordar la prioritat

d’operacions:

1r. Parèntesis

2n. Multiplicacions i divisions

3r. Sumes i restes

Exemple:

-3 + 6·( 2 – 7 ) = -3 + 6·( - 5) = - 3 – 30 = -33

10. Calcula tenint en compte la prioritat d’operacions:

a) 3 + ( -4 +2 ) =

b) 4 + ( 3 – 8 ) =

c) 1 – ( 2 + 3 – 6 ) =

11. Calcula tenint en compte la prioritat d’operacions:

a) 5 – ( 4 – 2 +1 ) =

b) 2 + ( 3 – 1 + 2 ) – ( 5 + 9 – 3 ) =

c) –2 + ( 4 + 2 – 1 ) =

d) –( 6 – 4 ) + ( 5 + 2 – 3 ) =

e) 6 + ( 9 – 11 + 2 ) + ( 3 + 4 – 2 ) =

f) 5 – ( 2 + 3 – 4 ) – ( 6 – 11 ) =

g) ( 5 – 4 + 6 ) – ( 2 – 4 + 6 ) =

12, Calcula:

a) -2 + 3·( 5 – 1 ) =

b) 2 - 4·( 5 - 7 ) =

c) 1 + 3·( 4 – 8 ) + 5·( -2 + 4 ) =

d) 8·( 2 – 3· 4 ) =

e) 2 - ( 15 – 8 ) =

f) 6 - 4·( 8 – 3 ) – 2·( 2 - 9 ) =

32

13. Calcula:

a) -3 + 6·( 2 – 7 ) – 3·( 8 – 2 ) =

b) 12 + 6·( -8 – 3 ) =

c) -2 + ( -3 + 5 )·4 =

d) ( 12 – 4 )·(-5) + 2·( 5 – 8 ) =

e) 2 + ( -5 + 2 )·3 =

f) 6 + ( 8– 15 )·5 – ( 2 + 3 )·(-2) =

g) 5 – 7·( 8·3 – 5) =

14. Calcula:

a) -5 + 7·(8 – 2 ) =

b) -5·( 3 – 2 ) =

c) -5·(3 + 5) + 2 =

d) –15:5 + 10:(-5)=

e) 3 – 2·( -5· 2 – 7 ) =

f) –( 3 + 2)·5 – 2·6 =

g) + 2·(-7 + 3) + 10 =

5.2 DOS O MÉS PARÈNTESI

Si hi ha més d’un parèntesi, s’ ha de començar pel parèntesi més petit ( ) fins el més gran

(anomenat claudàtor, [ ]).

Exemple

2·[ -5 + 4·( - 2 + 3·4) ] + 8 = 2·[ -5 + 4·( -2 + 12) ] + 8 = 2·[ -5 + 4·10 ] + 8 =

2·[ -5 + 40 ] + 8 = 2·(+35) + 8 =70 + 8 = 78

15. Calcula:

a) 9 – [4 + ( -8 + 7)·5]=

b) (- 9 + 8)·[7 + 5·(8 – 9) + 7] – 3 + 1=

c) 5 – [4 – (5 – 10) + 9·(7 – 4) ] =

d) 9 + [4 – (9 – 2·5) + 10] – 9 =

16. Calcula:

a) 8 + (- 7 + 5) + [ 9 + (12 – 8)·3 + 5] =

b) 7 + [9:(-3) + (8·5 – 12)] =

c) [7 – 9:(-3) + (7 – 5)·(-3) ]·2 + 9 =

d) [ 8 – 3 + 7·(5 – 9)] + 8 – 3 =

17. Calcula:

a) 2 – 7·[ (5 - 8 )·3 – 7 + 5] =

b) 9 – [ 8 – 3·(7 – 5 )] + 8·[ 7 – (5 – 9) – 8] =

c) (3 – 7)·5 – 8·[ ( 3 – 7 )·5 + 9] =

d) [-8 + 7·(3 – 5) ] + (9 – 1)·[8 – 3 + (7 - 9)] =

18. Calcula:

a) -(3 –5 ) + 9·[-5 + 9 – 4 ·(3 – 8 ) + 5·(-9)] =

b) 8 – 4·[ 2 – 3·(8 – 2)] =

33

c) (5 – 9)·[ 8 + 9·(2 – 3) + 9] + 8·[ 7 – 2·(3 + 9)]=

d) [-8 + (5 – 9)· 4 ]·2 – 3=

19. Calcula:

a) 8 – [4 + (8 – 6 )·7] =

b) (-7 + 3)·6 + 5·[ 1 – 3·(5 – 9)] =

c) 3 + 4· [15 : (18 – 15) – 4 : (5 – 3)]

d) -10 : [ (-15+3·2) : (-3) + 2 ] + 2 · [ (-12 + 3·3 ) : 3 + 15 ]

20. T’ha quedat tot clar? Comprova-ho tu mateix.

1) -4·5 =

2) 7-4 =

3) 9:(-3) =

4) -7-7 =

5) 5 – 9 =

6) -8·(-7)=

7) -5 + 9=

8) -8·(-3)=

9) 7 – 9 =

10) 18:(-3) =

11) -7 + 9 =

12) -3 – 5 =

13) -7·3 =

14) -5·(-7)=

15) 6 – 5 =

16) -8·7 =

17) 9 + 8=

18) -3· 5 =

19) -3·(-6)=

20) 5·(-9)=

21) -3 – 6=

22) 6 – 4 =

23) -3· 9=

24) -8 – 7 =

25) 4·(-6) =

26) -8·(-3)=

27) 7 – 6 =

28) 4 + 7=

29) -6 · 4=

30) -1 + 9=

31) 8·(-7)=

32) -2 + 3 =

33) -6 – 4 =

34) 3·(-8)=

35) -6 + 4=

36) -3 ·6 =

37) 4 – 3 =

38) -7 + 6 =

39) 14:(-2 )=

40) -8 + 2=

41) -8·___= 24

42) -5 +____= 9

43) ___·(-3)= -9

44) ____ - 7 = – 9

45) 18:___ = -3

46) -7 +___ = 9

47) -3 – ___ = -5

48) -7·___ = -14

49) ___·(-7)= 35

50) 6 – ___ = -1

Quantes has encertat? ___

Si tens < 20 correctes = No ho tens clar, demana ajuda.

Si ha realitzat entre 20 i 30 correctes = Et cal reforçar el que has aprés.

Si has realitzat entre 31 i 40 correctes = Bé, però encara pots fer-ho millor.

Si tens > 40 correctes = Molt bé!.

Per practicar pots anar a la pàgina http://www.thatquiz.org/es/practice.html?arithmetic Entra a

l’opció “sumar, restar, multiplicar, dividir y negativos”. Hi trobaràs exercicis senzills per fer en

determinat temps, que tu mateix pots programar. En seczillo sense cap error l’he fet en 0:35min. I en

invertido, sense errors, l’he fet en 1:00min.

http://www.thatquiz.org/es/practice.html?arithmetic

34

6. PROBLEMES

21. Joana té a la llibreta d’estalvis 73 €. Cada mes, el pares li ingressen 21 € i ella en treu 11€ per

les seues despeses. Quants euros tindrà al cap de 6 mesos?

22. Tinc un rellotge que es retarda 15 segons cada dia, si ara són les 9:12 am, quina hora marcarà

el meu rellotge d’aquí un mes ?

23. Deman un extracte dels darrers moviments a la meva oficina bancària. A principi de mes

tenia 1260€. Vaig pagar un 550€ d’hipoteca i els rebuts d’aigua i llum que, entre els dos,

sumen 90€. A meitat de mes, arriba la lletra del cotxe de 250€, l’assegurança de la llar 35€ i

del cotxe, 150€. Si me vull comprar un sofà de 832€, quants diners he de demanar al banc?

24. Ens hem reünit per fer els comptes, n’Aïna ha pagat les 3 entrades de cine que costaven 6€

cadascuna, en Paul ha pagat 2 capses de crispetes que costaven 3€ cadascuna. Si duc 10€ a la

butxaca, quants euros me quedaran després d’haver fet els comptes? Quants euros li he de

donar a cadascú? Quants euros li haurà de donar en Paul a n’Aïna?

25. Si estem al 4rt pis d’un edifici i volem baixar al 2n soterrani, Quantes plantes hem de baixar?

26. A les 20h d’ahir, el termòmetre marcava 6ºC. En tres hores, la temperatura baixa 4ºC; al

llarg de les següents 8 hores baixa 10ºC més per a augmentar després 6ºC en 4 hores. Quina

hora marca el rellotge i quina temperatura el termòmetre?

27. Si la temperatura mínima d’un dia a la ciutat de Kiev ha estat de 5ºC sota zero i la màxima

de 7ºC positius. Quants graus centígrads ha variat la temperatura al llarg d’aquest dia en

aquesta ciutat?

28. Una associació de veïns comença el trimesttre amb un deute de 750€. Cada un dels 55 socis

aporta 12€ per reduir aquest deute. A més a més, rep una subvenció de l’Ajuntament de

450€. Per realitzar les activitats d’aquest trimestre han previst una despesa de 1200€. Quin

serà l’estat dels comptes en acabar el trimestre en cas de realitzar les activitats programades?

35

7. AUTOAVALUACIÓ

1. Resol:

a) – 5 – (-6) =

b) 6 + (-4) =

c) -5 + (-3) =

d) (-2) + 9=

e) -6 + (5) =

2. Resol:

a) 5 – 4 = b) -6 – 7 = c)-12 + 7 = d) - 4 + 0 = e) -1+1=

3. Resol:

a) 24 – 39 + 2 -16 =

b) 1 + 4 – 3 – 9 =

c) -15 – 1 + 5 + 1 =

d) -4 – 5 -1 =

4. Resol:

a) 18 : (-3) =

b) 25 : 5 =

c) -5 · (-2) =

d) -6 · 2 =

5. Resol:

a) 2 + 3 · (4-3) =

b) (4 – 7) + 6 · 4 =

c) 3 – 12 : 4 + 5 =

d) 4 · 3 + 6 : 2 – 8 : 2 =

6. Resol:

a) -5 · (4 – 7) – 3 · (-2 + 3 · 4) =

b) 5 · 2 – (-12) : (-4) + 2 · (-14) =

c) -2 + 5 · (-7) – (-3) + (-2) =

d) 18 : (-3) · 5 =

7. Resol:

a) 12 – [ 14 – ( 9 – 15) + 6]=

b) 7 – (11 –8 + 6) – [ 10 – ( 7 – 2 +1 ) –2 ]=

c) )36()154()5823( =

d) (4 3) (5 2) (7 3)

8. La temperatura d’un dia d’hivern a Alaska és de -14º, quina temperatura marcarà el

termòmetre si baixa 7º? I si, més tard, augmenta 3ºC?

9. A una immersió, un submarinista arriba a 10m de profunditat, després de 5 minuts observant

el fons marí, ascén fins a una profunditat de 3m. Quants metres s’ha desplaçat aquest

submarinista?

10. A un compte bancari hi ha un saldo de 183€. Quin serà el saldo després de carregar una

factura de 250€ i fer un ingrés de 58€?

36

UNITAT 3: POTÈNCIES I ARRELS

1. DEFINICIÓ

1.1. POTÈNCIA DE BASE POSITIVA.

1.2. POTÈNCIA DE BASE NEGATIVA.

1.3. POTÈNCIA D’EXPONENT NEGATIU.

2. PROPIETATS

2.1. PRODUCTE DE POTÈNCIES DE LA MATEIXA BASE

2.2. DIVISIÓ DE POTÈNCIES DE LA MATEIXA BASE

2.3. POTÈNCIA D’EXPONENT ZERO

2.4. POTÈNCIA D’UNA POTÈNCIA

2.5. POTÈNCIA D’UN PRODUCTE

2.6. POTÈNCIA D’UN QUOCIENT

3. ARRELS QUADRADES EXACTES


5. NOTACIÓ CIENTÍFICA

6. AUTOAVALUACIÓ

37

1. DEFINICIÓ

1.1 POTÈNCIA DE BASE POSITIVA

Definició: Una potència és un producte de factors iguals.

Exemple: 6·6·6·6 = 64

base 64 exponent

NOTA: L’exponent 1 no s’escriu. Per això tot nombre que no dugui

exponent està elevat a 1. Per exemple: 5 = 51

61 = 6

1. Completa la taula:

Producte de factors

iguals

Potència Base Exponent Es llegeix

5·5·5·5 4

210

72

4 Quatre al cub

10·10·10·10·10

2. Expressa en forma de potència:

a) 3 · 3 · 3 · 3 · 3= e) 10 · 10 · 10 =

b) 5 · 5 · 5 = f) 30 · 30 =

c) 4 · 4 · 4 · 4 · 4 = g) 15 · 15 · 15 =

d) 8 · 8 · 8 = h ) 25 · 25 =

3. Escriu amb nombres:

a) Quinze elevat a dos. b) Quatre elevat a set.

c) Sis al quadrat. d) Vuit elevat a onze.

e) Cinc al cub. f) Nou elevat a quatre

4. Expressa aquestes potències com a productes de factors iguals i calcula el valor:

a) 43 = 4 · 4 · 4 = 64 d) 10

4 =___________ = ____

b)52 = _______ = ___ e) 30

2 = ___________ = ____

c) 83 = ________ = ____ f) 2

5 = ____________= ____

5. Completa:

a) 3_ = 27 b) 10

4= c) __

5= 32

d) __4

= 16 e) 5_ = 125 f) 4

3 =

38

1.2 POTÈNCIA DE BASE NEGATIVA

Podem calcular potències de base negativa, utilitzant la mateixa definició de potència i

tenint en compte els signes dels nombres enters (producte) :

(- 3)2 = (- 3)· (- 3) = 9

(- 4)3 = (- 4)· (- 4)· (- 4) = - 64

Podem afirmar que:

si la base és negativa i l’exponent parell el resultat serà positiu

si la base és negativa i l’exponent senar el resultat serà negatiu

6. Calcula les potències següents:

a) (- 8)2 = c) (- 5)

6 = e) (- 7)

4 = g) (- 10)

3 =

b) (- 3)5 = d) (- 2)

4 = f) (- 1)

3 = h) (- 9)

0 =

7. Calcula:

a)

4

3

1=

b)

3

3

7=

c)

6

10

1=

d)

5

5

3=

e)

4

2

5=

Atenció: la base negativa ha d’anar sempre dins parèntesi, en cas contrari no es

considera una potència de base negativa, per tant, sempre serà un nombre negatiu.

Per exemple: (- 2)2= 4 la base és -2 i l’exponent 2.

- 22= - 4 la base és 2 i l’exponent 2. EL SIGNE SEMPRE NEGATIU

8. Calcula les següents potències:

a) – 23 =

e) - 34 =

b) (-3)0 =

f) (- 10)5 =

c) - 14 =

g) (- 4)6 =

d) -74 =

h) - 21 =

39

1.3 POTÈNCIES D’EXPONENT NEGATIU

Realitzeu la següent operació: 33 · 3

-2 =

Ara realitza aquesta operació: 33 : 3

2 =

Per tant, podem dir que 3-2

es el mateix que 23

1.

Tota potència d’exponent negatiu es igual al quocient entre la unitat i la mateixa

potència amb exponent positiu.

9. Calcula les potències següents:

a) 8-3

= e) (- 3)-4

=

b) 3-5

= f) (- 2)-6

=

c) 1-10

= g) (- 4)-3

=

d) 7-4

= h) (-2)-1

=

En conseqüència, tenim

2

3

2=

2

2

3

10. Calcula:

a)

2

3

1=

b)

3

3

5=

c)

4

10

1=

d)

2

3

2=

e)

4

2

5=


a) - 50 = e) - 3

-4 =

b) (-3)0 = f) (- 2)

-5 =

c) - 14 = g) (- 4)

-3 =

d) (-7)4 = h) - 2

-1 =

40

2. PROPIETATS

2.1 PRODUCTE DE POTÈNCIES DE LA MATEIXA BASE

El producte de dues o més potències de la mateixa base és una potència que

té la mateixa base i com a exponent la suma dels Exponents de les potències

que es multipliquen

Exemple: 42 · 4

3 = 4 · 4 · 4 · 4 · 4 = 4

2+3 =4

5

12. Expressa el resultat en forma de potència única:

a) 23

· 22

· 2 = d) 3 · 34 = g) 5

3 · 5

4 · 5

2 =

b) 12 · 122 ·12 = e) 8

-7 · 8

3 = h) 6

4 · 6 · 6

7 =

c) 7 · 75 · 7

6 · 7

0 = f) 4

4 · 4

-2 · 4

3 = i) 2

3 · 2

-2 =

13. Escriu els nombres que falten:

a) 53 · 5 · 5

2 =5 · 5 · 5 · 5 · 5 · 5 = ___

6

b) 23 · 2

2 · 2

4 =2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 2

__

c) 3 · 3__

· 32 =_____________________ = 3

7

d) 10__

· 10 · 102 = __________________ = 10

6

e) 203 · 20 · 20 = ____________________ = ___

__

14. Escriu cada nombre com a producte de potències de la mateixa base:

a) 35 = 3 · 3

2 · 3

2 e

) 4

3 =

b) 510

= f) 95 =

c) 86 = g) 6

4 =

d) 107 = h) 10

9 =

15. Indica amb una V les igualtats i amb una F les igualtats falses. Raona la teva resposta.

a) 34 · 2

4 · 5

4 = 10

4 b) 30

2 · 30

9 = 30

10 c) 5

7 · 5 · 5

6 · 5 = 5

13

d) 32 · 4

3 = 7

5 e) 6

2 + 6

4 = 6

6 f) 3

4 + 5

2 = 8

6

g) 52 + 4

2 = 9

2 h) 4

3 – 4

8 = 4

-5 i) 2

2 · 7

4 = 14

6

41

2.2 QUOCIENT DE POTÈNCIES DE LA MATEIXA BASE

El quocient de dues potències de la mateixa base és una altra potència de la

mateixa base i com a exponent la diferència dels exponents de les potències

que es divideixen

Exemple: 56 : 5

4 = 5

6-4 = 5

2


a) 135 : 13

3 = b) 9

-8 : 9

5 = c) 6

9 : 6

0 =

d) 108 : 10 = e) 4

2 : 4 = f) 3

5 : 3

-2 =

g) 3 -7

: 3 -3

= h) 913

: 94 = i) 5

6 : 5

6 =


a) 510

: 57 = 5

__ d) 10

4 : 10

__ = 10

b) 56 : 5

__ = 5

2 e) 10

__ : 10

2 = 10

4

c) 5__

: 53 = 5

6 f) 10

5 : 10

3 = 10

__

18. Escriu cada nombre com a quocient de dues potències de la mateixa base:

a) 35 = 3

8 : 3

3 e

) 4

3 =

b) 510

= f) 95 =

c) 86 = g) 6

4 =

d) 107 = h) 10

9 =


Dividend 56

910

75

108

64

815

Divisor 54

99

7 82

125

Quocient 83

125

102

6 814

20. Relaciona les dues columnes quan sigui possible (hi ha columnes que no tenen parella)

23 · 2

4 7

4

24 + 2

2 6

2

75 : 7 2

7

65 - 6

3 2

3

73 - 5

3 2

6

55 : 5 5

4

42

2.3 POTÈNCIES D’EXPONENT ZERO

Qualsevol nombre elevat a zero val 1.

Exemple: 30 = 1

50 = 1

21. Escriu el seu valor:

a) 80= b) 12

0 = c) 125

0 =

d) 450 = e) 98675

0 = f) 1000000

0 =

22. Completa el terme que falta:

a) 53 : __

3 = 1 b) 6

5 : 6

_ = 1 c) 23

_ = 1

d) 350 = __ e)

5

5

4

4 f)

5

5

__

8 1

23. Indica amb un a V les igualtats que siguin vertaderes i amb una F les que siguin falses:

a) 71 = 7 b) 1

7 = 7 c) 8

0 = 1

d) 10 = 0 e) 100

0 = 1 f) 2

3 · 2

0 = 1

g) 5

5

4

40 h) 10

3 = 1000 i) 5

1 = 1

2.4 POTÈNCIA D’UNA POTÈNCIA

Una potència d’una potència és una altra potència que té la mateixa base i

com a exponent la multiplicació dels exponents.

Exemple: (82)3 =8

2 · 8

2 · 8

2 = 8

2+2+2 = 8

6 (8

2)3 = 8

2 ·3 = 8

6

24. Expressa el resultat en forma d’una sola potència:

a) (53)4 = b) (8

5)4 = c) (9

2)3 =

d) (72)4 = e) (6

3)6 = f) (2

-6)

-4 =

g) (45)

-2 = h)(10

-2)5 = i) (10

7)5 =

43

j) ((103)4)2 = k) ((3

5)9)3

=

l) ((68)2)3=

25. Escriu l’exponent que falta:

a) (85)__

= 810

b) (9__

)3 = 9

9 c) (7

2)4 = 7

__

d) (63)__

= 612

e) (2__

)4 = 2

20 f)(10

2)_ = 10

6

g) (10__

)5 =10

5 h) (6

_)2 = 6

10 i) (3

5)__

= 320

26. Escriu com a potència d’una potència:

a) 310

= (32)5 b) 6

15 = c)10

14=

d) 425

= e) 1210

= f) 821

=

g) 86 = h) 9

9 = i) 5

35 =

27. Expressa en forma d’una potència i calcula el resultat:

a) (33)0 = ______ = b) (7

0)5 = ______ =

c) (42)1 = ______ = d) (5

3)0 = ______ =

28. Escriu com a potència, simplificant la base al màxim:

a) 43 = (2

2)3 = 2

6 b) 8

4 = ( )

4 = c) 25

2 = ( )

2

d) 92 = ____ = e) 81

3 = ____ = f) 144

3 = _____ =

g) 1252 = _____ = h) 27

4 = ____ = i) 9

3 = _____=

2.5 POTÈNCIA D’UN PRODUCTE

La potència d’un producte és igual al producte de cada un dels factors elevat

a la potència.

Exemple: (3 · 5)2 = (3 · 5) · (3 · 5) = 3

2 · 5

2

32·5

2 = (3·5)

2 = 15

2

29. Escriu com a producte de potències:

a) (2 · 5)8 = b) (7 · x

3)6 =

c) (5 · 9)4 = d) (2 · b

4 · 7)

3 =

e) (3 · a)2

= f) (3 · 5 · 6)5 =

44


a) (8 · 5 · 6)3 = __

3 · 5

_ · 6

3 b) (__ · 4 · 5)

5 = 7

5 · 4

5 · 5

5

c) (__ · 7 · 3)_ = 8

_ · 7

2 · 3

2 d) (4 · __ · 6)

6 = __

_ · 5

6 · __

_

31. Escriu aquests productes com una sola potència:

a) 34 · 4

4 = (3 · 4)

4 = 12

4 b) 5

4 · 10

4 =

c) 57 · 6

7 = d) 8

6 · 5

6 =

e) 24 · 5

4 · 7

4 = f) 3

2 · 5

2 · 9

2 =

ALERTA!!

No t’equivoquis!! 333 53)53(

32. Quan es pugui, expressa com una sola potència i després calcula:

a) (5 +2)2 = b) 5

2 + 2

2 =

c) 52 · 2

2 = d) (4 + 7)

2 =

e) 42 + 7

2 = f) 4

2 · 2

2 =

2.6 POTÈNCIA D’UN QUOCIENT

Per calcular la potència d’un quocient hem d’aplicar la definició de potència: 4

3

1=

3

1·

3

1·

3

1·

3

1=

81

1

I realment, podem afirmar que: 4

3

1=

4

4

3

1=

81

1

45


a)

4

3

2=

b)

3

3

1=

c)

3

10

x=

d)

5

3

5=

e)

5

3

5

a=

f)

4

7

6=

3. ARRELS QUADRADES EXACTES

34. Quin és el valor de a ?:

a) a2 = 64 b) a

2 = 100 c) a

2 = 400

d) a2 = 144 e) a

2 = 625 f) a

2 = 16

Direm que el nombre “a” és l’arrel quadrada del nombre que t’hem donat, és a dir,

64 = a.

Per tant, l’arrel quadrada d’un nombre és un altre nombre que compleix que el seu

quadrat dóna el primer nombre.

35. Calcula les arrels quadrades següents sense utilitzar la calculadora:

a) 64

b) 100

c) 400

d) 144

e) 625

f) 16

36. Calcula:

a) 0

b) 1

c) 225

d) 900

e) 0001.0

f) 25

46

37. Redueix i expressa en forma d’una sola potència:

a) 32 ·9

3 =

b) 32 · 3

-2 =

c) 34 · 3

-5 =

d) (3a)2 · (3a)

3 · (3a)

6 =

e) 12

27

3

3

f) 12

10

2

2

g) 10

15

5

5

h) [(-3)4]5 =

i) [(-5)0]12

=

j) (4-5

)-2

=

38. Redueix i expressa en forma d’una sola potència:

a) 4

562

3

333

b) 5

34

2

22

c) 2

653

a

aaa

d) 42

35

636

66

e) 2

212

542

2233

333

f)

2

27

3

g) 32

463

255

62555

h) 532

4363

)(

:)(

xx

xxx

4. OPERACIONS COMBINADES AMB POTÈNCIES

Per realitzar operacions combinades amb potències cal tenir en compte la prioritat de les

operacions:

1. Parèntesi

2. Multiplicacions i divisions

3. Sumes i restes

I també s’han de tenir clares les operacions amb potències que hem vist en els apartats

anteriors.

39. Calcula:

a) 2 + (4 + 7)2 = e) 7 + 3 · (9 + 1)

3 = i) 6 · (-3)

2 =

b) 15 – (5 – 3)3 = f) 6 – 3

2 = j) 5

2 – 4

2 =

47

c) 72 - 4 = g) (6 – 3)

2 = k) (5 – 4)

2 =

d) 5 · (4 + 3 )2 = h) (-3)

5 – 6= l) 2 + (3 – 4)

3=

40. Calcula:

a) (4 + 5)2 + (7 – 3)

3 – (8 + 1)

2 = e) (4 + 5)

2 + [(7 – 3)

3 – (8 + 1)]

2=

b) 4 + 52 + 7 – 3

3 – 8 + 1

2 = f) (4 + 5)

2 + [(7 – 3)

3 – (8 + 1)

2]=

c) 4 + (5 + 7)2 – 3

3 – (8 + 1)

2 = g) (- 4)

3 + (3 + 5

2)=

d) (3 – 4 +5) + (4 – 7)2= h) -1 + (3

2 -5) + 7=

5. NOTACIÓ CIENTÍFICA

Per calcular potències de base deu:

Amb exponent positiu, hem de posar un “1”, i moure la coma cap a la dreta tants

llocs com digui l’exponent (afegint zeros)

Amb exponent negatiu, hem de posar un “1”, i moure la coma cap a l’esquerra

tants llocs com digui l’exponent (llevant zeros)

41. Calcula:

a) 102 = c) 10

4 = e) 10

6 =

b) 10-3

= d) 10-5

= f) 10-6

=

42. Transforma en potències de deu:

a) 10.000 = c) 1000 = e) 0,0000001 =

b) 1.000.000 = d) 0,0001= f) 0,001 =

43. Escriu amb totes les xifres:

a) 65 · 105 = c) 3 · 10

8 = e) 35 · 10

-5 =

b) 7 · 1010

= d) 91 · 10-3

= f) 23 · 10-2

=

La notació científica s’utilitza per expressar de forma abreujada nombres molt grans o

molt petits. Per escriure un nombre amb notació científica tindrem un producte de:

Un nombre decimal amb una sola xifra sencera

Una potència de 10 amb exponent positiu si és un nombre gran o amb exponent

negatiu si és un nombre petit.

48

44. Escriu amb notació científica:

a) 18 milions d) 190.000.000

b) 7000 e) 500 milions

c) cent mil f) un bilió

45. Escriu amb notació científica:

a) 231000 f) 0,00045 k) 0,00000089

b) 8760000 g) 0,487 l) 214300000000

c) 240 h) 0,0098 m) 0,000897

d) 2490000 i) 35000000 n) 34000000

e) 73600 j) 9800000000 o) 0,0000007

49

6. AUTOAVALUACIÓ


Base Exponent Potència Càlcul Valor Es llegeix

Tres al quadrat

103

2 -2

Mil elevat a zero

(-3)·(-3)·(-3)

2.Relaciona les dues columnes quan sigui possible (hi ha elements que no tenen parella)

23 · 2

4 10

23 + 2 2

75 : 7

2 5

-1

55 : 5

4 6

2

65 – 6

3 7

3

3. Redueix a una sola potència:

a) m2 · m

5 =

b) a5 : a

4 =

c) b6 : b

8 =

d) c-2

· c-3

=

4. Calcula el valor:

a) -7 + 5·(3 – 1)2 - 64

b) 4

3 2(4 1) 5

c) -4 + 50 - 144 + 4 + 3·(4 – 7) =

d) (50 · 5) : 5

-2 =


a) 32

463

25·5

5·5·5 c)

42

1063

3·3

3·3·3·3

b) 2

23

25

5·5·5 d)

5·9

3·3·25·52

53


a) 3-4

=

b) (32)-3

=

c) (n-4

)-2

=

d)

05

32 )3(

50

7. Calcula el resultat numèric:

a) (-1)10

=

b) -22 =

c) 23 =

d) 2-3

=


a) 105 : 10

5 =

b) 24 · 2

7 =

c) (34)3 =

d) (m3)0 =

9. Escriu amb totes les xifres:

a) 3,67·10-5

=

b) 5,2·10 =

c) 6·10-3

=

d) 8,978·10-7

=

e) 3·106 =

10.Escriu amb notació científica:

a) 98 000 000 000 =

b) 0,000 009 =

c) 3 000 =

d) 0,000 000 000 067 876 =

e) 6 498 000 000 000 =

51

UNITAT 4: DIVISIBILITAT

1. CONCEPTE DE DIVISIBILITAT.

1.1 MÚLTIPLES D’UN NOMBRE

1.2 DIVISORS D’UN NOMBRE

1.3 CRITERIS DE DIVISIBILITAT

1.4 NOMBRES PRIMERS I COMPOSTOS

2. FACTORITZACIÓ D’UN NOMBRE. MÚLTIPLES I DIVISORS D’UN NOMBRE

FACTORITZAT.

3. MÍNIM COMÚ MÚLTIPLE: mcm

4. MÀXIM COMÚ DIVISOR: MCD

5. PROBLEMES

6. AUTOAVALUACIÓ.

52

1. CONCEPTE DE DIVISIBILITAT

1.1 MÚLTIPLES D’UN NOMBRE

Quan la divisió entre dos nombres és exacta, el primer nombre (el dividend) és divisible

pel segon (divisor). Igualment, es diu que el dividend és múltiple del divisor . Per

exemple:

63 és múltiple de 7 (o bé 63 és divisible per 7), ja que, la divisió 63:7 és exacta.

Qualsevol nombre té infinits múltiples.

Per obtenir múltiples d’un nombre, basta multiplicar aquest per qualsevol nombre.

Per exemple, cerquem múltiples de 7:

M(7)= 7, 14, 21,28, 70, 1400,... S’han obtès fent 7·1, 7·2, 7·3, 7·4, 7·10, 7·200...

Fixa’t: 63 és múltiple de 7 perquè 63 = 7·9 , aleshores, 63 també és múltiple de 9.

NOTA: els múltiples d’un nombre mai són inferiors al nombre.

1. Troba tres múltiples de cadascun dels nombres següents i escriu perquè ho són:

M (2) = ........................................................................................................................................

M (4) = ........................................................................................................................................

M (5) = ........................................................................................................................................

M (17) = ........................................................................................................................................

M (25) = .....................................................................................................................................

M (40) = ......................................................................................................................................

- Quants múltiples podem trobar del nombre 2? I del 4? I del 5?

- Per tant, podem dir que “La quantitat de múltiples que hi ha d’un nombre és ___________”

2. Encercla els múltiples dels nombres indicats en cada apartat:

a) M(14) 2 28 10 56 140 7 42 14

b) M(9) 1 90 54 63 9 45 30 3

c) M(25) 1 5 15 25 45 75 50 100

d) M(8) 2 4 6 8 10 16 80 1

e) M(7) 3 21 14 6 7 2 8 1

3. Escriu vuit múltiples de 2 que siguen més grans que 13 i més petits que 30.

M (2) = ........................................................................................................................................

53

1.2 DIVISORS D’UN NOMBRE

Quan un nombre és múltiple d’un altre, aquest últim és divisor del primer. Per exemple:

7 és divisor de 63, ja que, 63 és múltiple de 7; i 9 també és divisor de 63.;

Tots els divisors de 15 són D(15), són 1, 3, 5, 15

NOTA: tot nombre té, com a mínim, dos divisors, l’1 i ell mateix.

Fixa’t: el divisors d’un nombre mai són majors que el mateix nombre.

Per trobar tots els divisor d’un nombre es fan totes les divisions exactes possibles.

Convé començar dividint per nombres petits i fer-ho de forma ordenada (1,2,3, etc). Cada

divisió exacta dóna dos divisors del nombre: el nombre pel qual hem dividit i el que ha

resultat. Ens aturem, quan arribem a un divisor que ja s’ha trobat anteriorment.

Per exemple: Cerquem tots els divisors de 18

18: 1 = 18 18: 2 = 9 18: 3 = 6 18: 4 = no exacta

18: 5 = no exacta 18: 6 no cal, el 6 ens ha donat com a resultat d’una divisió anterior.

Tots els divisors de 18 són: D(18) = 1, 2, 3, 6, 9, 18

Fixa’t: Si el nombre és parell, els dos darrers divisors són la seva meitat i ell mateix.

4. Calcula tots els divisors dels següents nombres:

D (6) = ............................................................. 6 : 1 = ___ 6 : 2 = ___ 6 : 3 = __ 6 : 6 =__

D (20) = ........................................................... 20 : 1 = ___ 20 : 2 = ___ 20 : 3 = ___

20 : 4 = ___ 20 : 5 = ___ 20 : 20 = ____

D (8) = .............................................................. __ : __ = __ __ : __ = __

__ : __ = __ __ : __ = __

D(28)=............................................................... __ : __ = __ __ : __ = __ __ : __ = __

__ : __ = __ __ : __ = __

D (12) =............................................................ __ : __ = __ __ : __ = __ __ : __ = __

__ : __ = __ __ : __ = __

54

5. Enganxa amb una fletxa aquells nombres que tinguin una relació de divisibilitat

divisor múltiple.

3

5

28

6

15

14

8

30

35

9

20

55

1.3 CRITERIS DE DIVISIBILITAT

6. Escriu amb xifres i subratlla els nombres que NO siguin múltiples de 2:

- Mil set-cents vint-i-dos: ...........................................................

- Tres-cents tres: ...........................................................

- Vuit-cents quaranta-quatre: ...........................................................

- Tres milions dos: ...........................................................

- Sis-cents mil: ...........................................................

- Trenta-cinc mil u: ...........................................................

DIVISIBILITAT PER 2

Un nombre és divisible per 2 quan la xifra de les unitats és 0 o parell (2,4,6 i 8)

Exemples: són divisibles per 2 els nombres 10 ; 148; 1594; 20106; etc

En canvi, 245 NO és divisible perquè acaba en xifra senar.

DIVISIBILITAT PER 3

Un nombre és divisible per 3 quan la suma de les seves xifres és múltiple de 3

Exemples:

51 és divisible entre 3 perquè 5+1=6 i 6 és múltiple de 3

4560 és divisible entre 3 perquè 4+5+6+0 =15 i 15 és múltiple de 3

En canvi, el nombre 413 NO és divisible entre 3 perquè 4+1+3=8 NO és múltiple de 3

DIVISIBILITAT PER QUATRE

Un nombre és divisible per 4 si les dues darreres xifres formen un múltiple de 4

Exemples:

324 és divisible entre 4 perquè 24 és múltiple de 4

1116 és divisible entre 4 perquè 16 és múltiple de 4

413 NO és divisible entre 4 perquè 13 NO és múltiple de 4

DIVISIBILITAT PER CINC

Un nombre és divisible per 5 si acaba en 0 o en 5

Exemples: 20; 155; 2340; 1000 000; etc

En canvi, 1354 NO és divisible entre 5 perquè NO acaba en 0 o 5.

DIVISIBILITAT PER SIS

Un nombre és divisible per 6 si és divisible a la vegada per 2 i per 3

Exemples:

18 és divisible entre 3 perquè 1+5=6 i per 2 perquè és parell, també és múltiple de 6

456 és divisible entre 3 perquè 4+5+6=15 i per 2 per ser par, també és múltiple de 6

135 és divisible entre 3 perquè 1+3+5=9 però NO per 2, NO serà divisible per 6

314 és divisible entre 2 per ser par però per 3 perquè 3+1+4=8 NO és múltiple de 3, NO

serà divisible per 6.

DIVISIBILITAT PER DEU

Un nombre és divisible per 10 si acaba en 0

Exemples: 70; 120; 500; 9 000; etc

En canvi, 1002 NO és divisible entre 10 perquè acaba en 2 i no en 0.

56

7. Indica si són vertaderes o falses les següents afirmacions:

a) 426 és múltiple de 6

b) 152 és múltiple de 3

c) 345 és múltiple de 5

d) 691 és múltiple de 3

e) 624 és múltiple de 4

f) 354 és múltiple de 4

g) 365 és múltiple de 3

h) 410 és múltiple de 5

i) 634 és divisor de 6

8. Completa les xifres que falten perquè resulten múltiples de 2:

a) 4 5 ___ ___ b) ___ 6 1 ___ c) 7___ 3___


a) 4 5 ___ ___ b) ___ 6 1 ___ c) 7___ 3___


a) 4 5 ___ ___ b) ___ 6 1 ___ c) 7___ 3___

11.

Encercla els múltiples de 2: 16 19 22 25 28

31 34 37 40 43

46 49 52 55 58

61 64 67 70 73

Encercla els múltiples de 3 27 32 37 42 47

52 57 62 67 72

77 82 87 92 97

102 107 112 117 122


272 302 332 362 392

422 452 482 512 542

572 602 632 662 692

Encercla els múltiples de 5

42 48 50 54 58

55 66 70 73 75

68 84 90 95 5

81 102 110 111 109


22 24 26 28 30

42 45 32 7 600

62 60 58 56 54


36 42 48 54 60

64 78 92 106 120

130 135 140 145 150

1.4 NOMBRES PRIMERS I NOMBRES COMPOSTOS

Un nombre és primer quan només té dos divisors: l’1 i ell mateix.

Per exemple: 13 és un nombre primer, ja que, no és divisible per cap altre nombre diferent

de l’1 i el 13.

En cas contrari, quan té més de dos divisors, el nombre és compost.

Per exemple:10 és un nombre compost perquè, a més de 1 i 10, el 5 i el 2 en són divisors.

57

12. Cerca tots els nombres primers de la taula. Per fer-ho, tatxa els múltiples de 2, de 3, de 5, de 7, de 11. Serà suficient

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

41 42 43 44 45 46 47 48 49 50

51 52 53 54 55 56 57 58 59 60

13. Per què sols tatxem els múltiples dels nombres primers i no cal tatxar els múltiples de 4 o de 6?

2. FACTORITZACIÓ D’UN NOMBRE

Els nombres compostos estan formats per productes (i/o potències) de nombres primers.

Factoritzar o descomposar en nombres primers és expressar un nombre com una

multiplicació de nombres primers. Així, la descomposició de 224 o la de 6 =2·3

18 2 Per tant, la descomposició factorial de 18 = 2·3·3 = 2·32

9 3

3 3

1 tan sols nombres PRIMERS: 2, 3, 5, 7, 11...

14. Factoritza en nombres primers els següents nombres:

20 52 62 32 49

20= 52= 62= 32= 49=

66 125 144 200 900

66= 125= 144= 200= 900=

A partir de la descomposició factorial d’un nombre, es poden trobar múltiples i divisors

d’aquest.

58

És múltiple d’un nombre factoritzat tot aquell que resulte d’afegir algun factor a la

descomposició factorial, SENSE llevar-ne cap!

Per exemple:

Són múltiples de 22·3 2

3·3 s’hi ha afegit un 2

22·3

3 s’hi ha afegit dos 3

22·3·7 s’hi ha afegit un 7

2·32 NO ho és perquè s’hi ha afegit un 3 però s’ha llevat un 2

És divisor d’un nombre factoritzat tot aquell que resulte de llevar-ne algun factor,

SENSE afegir-ne cap!

Per exemple

Són divisors de 2·33·5 2·3·5 s’ha llevat dos 3

2·32 s’ha llevat un 3 i un 5

5 s’ha llevat un 2 i tres 3

33·5·7 NO ho és perquè s’ha llevat un 2 però s’ha inclòs un 7

15. Indica que li hem llevat o inclòs i assenyala els múltiples o divisors de 23·3

2·5

2·3·5 2·32 5 3

3·5·7 2

2·3·7 2

3·3

2·11

llevat:........... llevat:........... llevat:........... llevat:........... llevat:........... llevat:...........

inclòs:.......... inclòs:.......... inclòs:.......... inclòs:.......... inclòs:.......... inclòs:..........

.................... .................... .................... .................... .................... ....................

3·5 23·3

2·5 2

5 ·3·5

2 2

3·3·5 2

2·3

3·5 2

3·3

2·5

4



.................... .................... .................... .................... .................... ....................

I del nombre 22·3

2·3·5 2·32 5 3

3·5·7 2

2·3·7 2

3·3

2·11


in

clòs:.......... inclòs:.......... inclòs:.......... inclòs:.......... inclòs:.......... inclòs:..........

.................... .................... .................... .................... .................... ....................

3·5 23·3

2·5 2

5 ·3·5

2 2

3·3·5 2

2·3

3·5 2

3·3

2·5

4



.................... .................... .................... .................... .................... ....................

59

3. MÍNIM COMÚ MÚLTIPLE: mcm

El mínim comú múltiple de dos (o més) nombres, mcm, és el nombre més petit el qual

és múltiple dels dos a la vegada.

Per obtenir el m.c.m de dos nombres és molt útil seguir els següents passos:

1r) Escriure la descomposició factorial de cada un dels nombres.

2n) Triar, entre les dues descomposicions, TOTS els factors. Però, quan n’hi ha d’iguals en

ambdues descomposicions (repetits), només s’escull el d’exponent major. I, en cas de factors

repetits amb el mateix exponent, només s’agafa una vegada.

3r) Multiplicar els factors que s’han triat en el pas anterior.

Exemple: Calculem el mcm de 12 i de 45. S’expressa mcm(12, 45).

1r) Descomposició factorial: 12 = 22·3 i 45 = 3

2·5

2n) Triem factors: 22, 5 i 3

2

3r) Multipliquem: mcm( 12, 45) = 22·3

2·5 =180

NOTA: El mcm de dos o més nombres es fa servir per ordenar, sumar i restar fraccions amb

diferent denominador, com estudiaràs més avant.

16. Calcula el mcm del següents nombres:

mcm (21, 34) mcm (54, 40)

mcm (8, 24) mcm (30, 6 )

mcm (99,144) mcm (52, 65)

mcm (14, 5 ) mcm (6, 7)

mcm (16 , 25) mcm (26, 280)

17. Calcula el mcm dels següents nombres:

mcm (6, 8, 10) mcm (30,40,50)

mcm (12, 24, 32) mcm (76, 54, 22)

mcm (45, 80, 32) mcm (95, 56, 72)

60

4. MÀXIM COMÚ DIVISOR: MCD

El màxim comú divisor de dos o més nombres, MCD, és el major dels nombres que són

divisors a la vegada dels dos (o més) nombres.

Per obtenir el MCD de dos o més nombres podem seguir els passos següents:

1r) Escriure la descomposició factorial dels dos nombres.

2n) Triar NOMÉS els factors que estan en ambdues descomposicions a la vegada, és a dir, els

repetits. Si n’hi ha amb exponents diferents, s’escull el d’exponent menor.

3r) Multiplicar els factors que s’han triat en el pas anterior.

Exemple: Calculem el MCD de 12 i de 45, que s’expressa MCD(12, 45).

1r) Descomposar 12 = 22·3 45 = 3

2·5

2n) Triar el 3 , l’únic factor que es troba en les dues descomposicions.

3r) Multiplicar MCD ( 12, 45) = 3 (no cal multiplicar perquè només tenim un factor)

Fixa’t: el 1r i el 3r pas són igual en el càlcul del mcm i del MCD. Només canvia el 2n.

18. Calcula el M.C.D de cada parella de nombres (Recorda: màxim comú divisor)

MCD (12,18) = ..............

MCD (15,26) = ..............

MCD (27,36) = ..............

MCD (10,14) = ..............

MCD( 25, 5, 10 ) =.................

MCD( 36, 9, 63 ) = ..................

MCD (21, 27) =..............

MCD (16, 56 ) =..............

MCD (54, 99) =..............

MCD( 42, 28, 64 ) =

MCD ( 280, 144 ) =..............

5. PROBLEMES

19. A un rètol lluminós s’encenen els llums vermells cada 10s, els blaus cada 15s i i els verds cada 18s.

Cada quants segons s’encendran els 3 a la vegada. Sol: 90s.

20. En una autopista hi ha un senyal de circulació cada 2000m i un cartell publicitari cada 3500m.

Cada quants m coincidirà la presència d’indicadors dels dos tipus? Expressa el resulat també en

kilòmetres.

Sol: 14km

21. Tenim dues cordes: una fa 21m de llarg i l’altra en fa 24m. Hem de tallar-les en trossos iguals el

més gran possible sense que sobre cap bocí. De quina mida han de ser els trossos? Sol: 3m

61

22. Un passadís de 860 cm de llarg i 240 cm d’ample s’ha enrajolat amb rajoles quadrades. Les rajoles

eren del màxim tamany i no n’ha sobrat cap . Quant mesura el costat de cada rajola, si no ha calgut

partir cap? Quantes rajoles té el passadís? Quina és la superfíci de cada rajola?

Sol: 20 rajoles dimensions de una rajola: ( 20 cm x 20 cm )

23. Si un bus passa per l’aturada cada 8 minuts mentres que un altre hi passa cada 20 minuts, quantes

vegades poden haver coincidit com a màxim al llarg de 3 hores?

24. Tenim 24 bolles vermelles i 30 bolles negres i les volem ficar en capses de idèntic tamany sense

mesclar-les, quantes bolles podran cabre com a màxim?

Espai CLIC: http://clic.xtec.net/db/act_es.jsp?id=2062

http://clic.xtec.net/db/act_es.jsp?id=2062

62

6. AUTOAVALUACIÓ

1. Contesta vertader o fals:

a) 5 és múltiple de 15 b) 6 és divisor de 18 c) 14 és múltiple de 6

d) 20 és divisible per 4 e) 21 és múltiple de 7 f) 24 és divisor de 8

2. Completa la següent taula amb V ( si és múltiple ) o X ( si no ho és )

2 3 4 5 6 10

3656

120

68

35

683

882

3. Quina de les següents descomposicions en factors primers és la del nombre 384?

a) 26·3·2 b) 2

5·3·2

2 c) 2

7·3 d) Totes són certes

I del nombre 180?

a) 2·33·5 b) 2

2·3·5 c) 4·5·3

2 d) 2

2·3

2·5

4. Contesta si és Vertader o Fals:

a) mcm ( 8, 12 ) = 4 b) mcm( 5, 10) = 50 c) mcm( 14, 4) = 28

d) MCD( 9, 3) = 3 e) MCD( 18, 10 ) = 2 f) MCD (30, 35 ) = 15

5. Si volem emplenar un full de 18x24 cm, amb una taula de caselles quadrades, quant hauran de

mesurar els costats dels quadrets:

a) 9x6cm b) 3x3cm c) 6 cm d) 72 cm e) Cap de les respostes

63

UNITAT 5: FRACCIONS

1. CONCEPTE DE FRACCIÓ

1.1 FRACCIONS EQUIVALENTS

1.2 SIMPLIFICACIÓ DE FRACCIONS. LA FRACCIÓ IRREDUCTIBLE

1.3 ORDENAR FRACCIONS

2. LA SUMA/RESTA DE FRACCIONS

3. LA INVERSA D’UNA FRACCIÓ. MULTIPLICACIÓ I DIVISIÓ DE FRACCIONS


5. PROBLEMES: DIRECTE, INVERS I PART D’UNA PART

6. AUTOAVALUACIÓ

64

1. CONCEPTE DE FRACCIÓ

Les fraccions són un nombre enter dividit per un altre nombre enter, distint del zero.

unitatlatrosejemquanten

agafemtrososquants

adordeno

numerador

min

Per exemple,

4

3serà

Nota 1

Fixem-nos que: 3 = 1

3 i també que

3

2

3

2

3

2 però en canvi

5

2

5

2 ja que - - = +

Nota 2

Si agafem menys trossos dels que hem trossejat la unitat, ens bastarà amb una unitat. És a

dir, si el numerador < denominador. A aquestes fraccions les direm pròpies.

Cas contrari, si numerador > denominador, necessitem més trossos dels que hem partit la

unitat. Ens caldrà més d’una unitat i les direm impròpies.


Fracció Gràfic pròpia o impròpia

4

3

pròpia

impròpia

3

5

2

7

4

1

65

1.1 FRACCIONS EQUIVALENTS

Direm que una fracció és equivalent si té el mateix valor.

Per calcular si dues fraccions són equivalents és suficient multiplicar o dividir dalt i baix

per un mateix nombre.

Per exemple:

40

10=

8

2=

20

5=

80

20=

4

1

Comprovem-ho:

4

1 i

20

5 equivalen a:

equival a:

Notem que per passar del 2 al 5 no podem multiplicar ni dividir per cap nombre, així i

tot, són equivalents, per comprovar si dos fraccions són equivalents, hem de multiplicar

en creu. Si dona el mateix, seran equivalents.

Per exemple:

8

2=

20

5com: 2·20 = 40 tenim que són equivalents.

8·5 = 40

2. Calcula quatre fraccions equivalents de:

20

15=

8

12=

18

6=

10

4=

8

2=

6

7=

3. Comprova si les següents parelles de fraccions són equivalents:

4

3=

8

6

4

3

6

4

6

3

4

8

15

10

6

4

4

5=

6

8

4

6

6

4

6

15

4

10

12

9

8

6

4. Completa els forats:

405

2

21

1412

18

8

12

4

32

66

40

63

6

412

18

8

4

3

6

2

Nota

Fixa’t que per trobar el nombre que falta tan sols hem de multiplicar en diagonal dividir per l’oposat.

5. Completa els forats:

9

35

7

2520

4

10

2

15

12

6

8

16

6

4

147

6

1.2 SIMPLIFICACIÓ DE FRACCIONS

Simplificar fraccions és tan sols trobar una fracció equivalent, però amb els nombres més

petits. És a dir, tan sols podem dividir per un mateix nombre el numerador i el

denominador.

Exemple:

24

18=

8

6=

4

3

Quan arribem a una fracció que ja no podem simplificar més, li direm la irreductible.

Per exemple, 4

3és una fracció irreductible.

Per arribar fins la irreductible podem: anar simplificant poc a poc, o bé, dividir

directament pel MCD entre numerador i el denominador.

6. Simplifica les següents fraccions fins arribar a la irreductible:

40

35=

36

48=

18

90=

40

64=

500

560=

165

231=

Nota: Sempre que treballem amb fraccions haurem d’acabar amb un resultat simplificat.

Sempre podrem simplificar en qualsevol moment, no cal esperar al final, d’aquesta manera podem

treballar amb fraccions més simples.

67

1.3 ORDENAR FRACCIONS

Per poder ordenar fraccions abans haurem d’igualar el tamany dels trossos amb que estem

treballant. És a dir, hem de igualar els denominadors al mcm dels denominadors.

Exemple

12

7,8

6,15

8 No té perquè ser

15

8 el més gran, comprovem-ho.

MCM ( 12, 8, 15 ) = 120

120,120

,120

Calculem els denominadors = 120:(denominador)x(numerador)

120

70,120

90,120

64 (120:12)x7 = 70 (120:8)x6 = 90 (120:15)x8 = 64

Per tant, tenim que: 8

6>

12

7>

15

8

Recorda que si tenim un nombre que és múltiple de l’altre, el gran serà el mcm.

Exemple

mcm ( 8 , 16 ) = 16

7. Justifica que 3

6>

8

6>

10

6 sense necessitat d’igualar els denominadors:

8. Ordena les següents fraccions de menor a major:

4

1,

2

3,

3

4,

6

3)

4

7,

10

15,

8

10,

5

6)

14

10,

8

5,

4

5,

7

6)

6

7,

4

3,

3

5,

8

9)

d

c

b

a

68

2. SUMA I RESTA DE FRACCIONS

Per poder sumar i restar fraccions abans hem d’igualar els denominadors al mcm, igual que

per ordenar fraccions.

4

7

4

5

4

2 I en aquest cas, TAN SOLS sumarem els numeradors.

Sinó,

2

5

6

7 Igualem els denominadors a mcm(6,2) = 6

6

15

6

7 La 1a fracció no la modifiquem, a la 2a tenim, (6:2)x5 = 15

6

8 No sumem ni restem els denominadors!

3

4 Simplifiquem la fracció per 2.

9. Fes les següents sumes i restes, recorda de simplificar:

a) 5

4

5

5 b)

12

16

12

7 c)

14

6

14

9 d)

18

4

18

8

10. Ara ja modificant els denominadors:

a) 9

7

6

1

3

2 b)

3

1

15

7

10

7 c)

3

1

2

1

5

1

3

1

d) 24

3

2

1

4

1 e)

5

1

2

1

1

3

4

3 f)

5

6

3

4

6

3

4

5

g) 4

5

2

3

3

6 h)

5

4

12

8

10

6 i)

12

8

2

10

5

4

6

3

j) 42

3

8

10

4

12 k)

6

5

8

1

3

7

4

6 l)

5

8

5

4

6

3

2

4

3. MULTIPLICACIÓ I DIVISIÓ DE FRACCIONS. LA INVERSA D’UNA FRACCIÓ

En la multiplicació de fraccions, multiplicarem de la següent manera: db

ca

d

c

b

a

Per exemple,

35

6

7·5

2·3

7

2·

5

3

Nota:

NO hem d’igualar denominadors!

69

11. Fes les següents multiplicacions, simplificant els resultats:

8

5·

3

4·

5

6)a

8

18)b ·

9

16

c) 10

15·

4

3=

8

3·

6

5)d =

6

5·

8

3)e =

4

3·

12

8)f =

g)2

5·

4

6=

h) 15

4·

8

10

i) 10

5·

2

6=

j) 4

2·

3

5=

k) 5

6·

8

4=

l) 9

2·

12

6=

Pensa que podem simplificar SEMPRE, dividint numerador i denominador per un mateix

nombre.

15

1

3

1·

5

1

12

1·

5

4

12

5·

25

4

És més fàcil que multiplicar 25·12 i després simplificar, no?

La inversa d’una fracció és aquella que en multiplicar-la ens dona 1. Bastarà en invertir

numerador per denominador.

Exemple:

La inversa de 5

3és

3

5, donat que,

5

3·3

5= 1

1

1

15

15

12. Cerca les inverses de les següents fraccions:

La inversa de 5

2és

La inversa de 8

2és

La inversa de 3 és

La inversa de 6

1és

La inversa de 6

5és

La inversa de 7

2 és

70

La divisió de fraccions és la multiplicació per la seva inversa.

Exemple:

8

2:6

7=

8

2·7

6=

7·8

6·2=

56

12=

14

3

També és pot fer directament multiplicant en ping-pong:

8

2:6

7=

14

3

56

12

7·8

6·2

13. Fes les següents divisions:

a) 3

8:

6

2=

b) 8

2:6

7=

c) 6

3:

6

5=

d) 6

3:

8

2 =

e) 15

8:

10

2=

f) 6

8:

9

3=

g) 3

12:

2

6=

h) 16

4:

3

2=

i) 4

3:

6

5=

j) 8

2:

6

5=

k) 15

9:

10

2=

l) 8

4:

10

5=

4. OPERACIONS COMBINADES.

14. Calcula i simplifica, tenint en compte la prioritat d’operacions:

a. 5

7

3

4

3

10

b. 2

7

6

8

5

2=

c. 8

2:6

7+

4

5=

d. 8

3

6

5:

5

2=

e. 4

3·

4

3

6

1=

f. 9

4

6

4·

8

3

4

2

g. 1

6

4

5

3

4

1

9

h. 2

3

4

5

1

3

2

8

i. 4

3

2

5

3

1

j. 7

6

5

32

k. 2

1

5

2:1

l. 7

62

5

32

m. 4

3

3

1

2

5

3

1

n. 2

5

3

1

9

2

o. 7

1

5

21

p. 3

2:

2

5

3

1

q. 5

3

2

5:

3

1

r. 38

54

3

25

s. 69

4

12

5

8

3:

5

9

t. 3

5

4

7

4

14

u. 52

3

1

92

71

v. 3

4

1

52

5

4

2

9

7

12

w. 8

5

5

2 - 3 =

x. 4

3:

8

3

6

5=

y. (5

2-15

6)·

4

3=

z. 9

1:

5

3

5

4·

6

2

aa. 14

3

7

4

3

5

5. PROBLEMES

Exemples:

DIRECTE: Sabem el total i volem trobar una part

15. Un sastre té 105 metres de tela. Si dedica 4/7 parts de tela per fer samarretes, quants metres

dedicarà per fer samarretes? I si necessita 3/5 metres per fer cada samarreta, quantes samarretes hi

podrà fer?

INVERS: Sabem una part i volem el total

16. Si Joana s’ha gastat 1/4 del que tenia en un CD i ara li queden 112 €. Quants euros tenia al

començament?

PART D’UNA PART

17. El dipòsit d’un cotxe estava ple de gasolina en començar el viatge. En acabar la primera etapa li

queden 3/5del dipòsit. En la segona etapa s’ha gastat la meitat del que li quedava, Si li queden 15

litres. Quina és la capacitat del dipòsit? Quants litres va gastar en cada etapa?

Intenta-ho tu ara!

18. Un camió porta a la caixa 3/8 de fruita, 2/5 de verdura i 1/6 de patates. Volem saber:

a) Quina fracció de la caixa del camió està ocupada.

b) Quina fracció queda lliure.

19. Un vaixell transporta 2500 quilos de pesca congelada. La quarta part és lluç, els 2/5 de la càrrega

són sardines del Cantàbric, i la resta es compon de marisc.

a) Quina fracció del vaixell està ocupada per marisc?

b) Quants quilos de lluç porta el vaixell?

c) Quants quilos no són sardines?

72

20. Avui és la final de l’equip de futbol juvenil. Al camp de futbol 2/3 dels espectadors estan situats

als seients laterals, 1/5 en els dos fons, i queden 1000 localitats lliures. Quants espectadors omplirien

totalment el camp?

21. Un pot de melmelada pesa 250 grams quan és ple només en una cinquena part. Quant pesa quan

està ple?

22. Calcula:

a) Els tres mitjos de la meitat de 36 €.

b) La quarta part del terç de dotze dotzenes.

c) Els vuit terços del doble de 150 €.

d) Els cinc setens de la dècima part de 350 €.

23. Si cada ampolla de perfum conté 1/5 de litre, quants litres de perfum necessitarem per omplir

100 ampolles iguals?

24. Un quilo de patates primerenques val 3 €.

a) Quant valen tres quilos i quart?

b) Quants quilos podràs comprar amb 14 €? Expressa-ho en forma de fracció.

25. En Joan tenia 60€ i n’ha gastat 2/3. L’Anna tenia 40€ i n’ha gastat la meitat. L’Òscar tenia 50€ i

n’ha estalviat 2/5 del que tenia.

a) Quants diners han gastat entre en Joan i l’Anna?

b) Quants diners tenen ara entre els tres?

26. D’un dipòsit de 100L el primer dia buidem 2/5 parts; i del que queda, el segon dia buidem 1/4

part. Quants litres queden en el dipòsit?

27. D’una herència me corresponen 3/8 parts, si m’han donat 60.000€, quant era el total de

l’herència?

28. Si els 2/5 dels estalvis d’en Rafael són 100 €, quina quantitat té estalviada?

29. Si en un solar terreny li dediquem 2/9 per fer el jardí i ens quedem amb 180m2 per fer el xalet,

quants metres quadrats de el solar?

30. Un dipòsit té una fuga, en total s’han perdut 60L, si suposen 2/3 del dipòsit, quina és la capacitat

del dipòsit?

Espai Clic: http://clic.xtec.net/db/act_ca.jsp?id=2060

http://clic.xtec.net/db/act_ca.jsp?id=2060

73

6. AUTOAVALUACIÓ

a.

2

3

5

24

3

3

1

=

b.

6

8·

4

3

5

2

2

1

5

2

4

3

=

c.

37

24

3:

2

5

3

2

=

d.

4

7

2

8·

3

5

3

4·

6

1

2

9

=

e.

4

1

3

2·

3

5

5

2:

4

3

4

5

3

1

6

2·

4

5

2

3

=

f. 12

7

6

5·

4

2

2

6·

9

2

4

52

3

7·

5

2

4

1

5

1

4

3

g. 3

4:

9

1

3

1·

5

4

6

1·

4

3

5

4

6

1

h. 66

1

5

4:

9

4

4

3

2

7

12

5

8

3:

5

9

i.

5

32

1

3

1

j.

8

11

4

11

74

k.

4

13

2

l.

10

3:

5

3

5

4

4

1

23

11

2

3

8

5:

4

3

m.

8

5

4

3

2

1

13

4:

2

1

4

3

n.

2

3

11

1

5

2

2

1

6

5:

3

12

o.

2

1

3

1

4

1

2

1

6

5

2

1

p. 23

17:

2

1

3

5

q. 4

1

2

1:31

4

2:5

r. 3

1

6

5

6

1

2

1

4

3

3

2

s. 4

3

3

1

2

5

3

1

t. 3:2

1

8

114

u. 2

3:2

5

2

10

35

v. 4:59

21:7

w. 13

1:1

3

213

9

1

3

22

x. 2

11:3

2

1

6

1:2

y. 2

1

3

1

5

231

6

1

z. 33

11

20

17

5

31

8

3

75

UNITAT 6: PROPORCIONALITAT I PERCENTATGE

1. MAGNITUDS DIRECTAMENT PROPORCIONALS

2. MAGNITUDS INVERSAMENT PROPORCIONALS

3. PROBLEMES DE PROPORCIONALITAT COMPOSTA

4. PROBLEMES AMB PERCENTATGES

5. INTERÈS BANCARI

6. REPARTIMENTS PROPORCIONALS

7. PROBLEMES

8. AUTOAVALUACIÓ

76

1. MAGNITUDS DIRECTAMENT PROPORCIONALS

Donades dues magnituds, si quan una d’elles augmenta (o

disminueix), l’altra augmenta (o disminueix) en la mateixa quantitat,

es diu que són magnituds directament proporcionals.

Per exemple: 1kg de taronges val 2’50 €. 2kg costen 5 €, (hem doblat el

pes de taronges i el preu s’ha multiplicat també per 2); 4kg costen 10 €;

8kg costen 20 €; 10kg costen 25 €

Quants doblers costaran 3kg i mig de taronges ?

€75'81

€5'25'3

kgkg

També es pot resoldre amb la regla de tres de la següent forma:

Taula de dades:

Regla de tres: x

5'2

5'3

1

Càlcul de la x: €75'81

5'2·5'3x .

Fixa’t: la regla de tres es realitza de la següent forma:

Magnitud A

Magnitud B

x

x =

Pes (kg) Preu (€)

1 2’50

3’50 x

·

PROBLEMES DE PROPORCIONALITAT DIRECTA :

1. Quatre litres de llet han costat 2’6 €. Quant en costen tres?

2. Quatre bolígrafs costen 4’8 €. Quant costaran tres bolígrafs? I deu bolígrafs?

77

3. Mig quilo de pernil dolç costa 7’2 €. Quant costaran 350 grams?

4. Un camió ha recorregut 120 km en una hora i mitja. Si continua a la mateixa

velocitat, quina distància recorrerà en cinc hores i mitja?

5. Una font ha tardat 72 segons a omplir una garrafa de 6 litres. Quin temps

tardarà a omplir una gerra de 25 litres?

2. MAGNITUDS INVERSAMENT PROPORCIONALS

Donades dues magnituds, es diu que són inversament proporcionals

si en augmentar una d’elles en certa quantitat, l’altra disminueix en

la mateixa quantitat.

Exemple 1: Una família de 4 persones consumeix cada 6 dies una capsa de

galletes per berenar. Quant de temps tardarien en consumir la mateixa

capsa si fossin 8 membres? El doble de persones, tarden la meitat de

temps. I si fossin 2? La meitat de persones tarden la meitat de temps.

NOTA: La paraula indirecta no s’utilitza parlant de proporcionalitat.

Es diu INVERSAMENT PROPORCIONAL.

Exemple 2 : Un granger té alfals per alimentar les seves 3 vaques

durant 10 dies. Quant li durarà el farratge si tingués 5 vaques?

També es pot resoldre aplicant la REGLA DE TRES INVERSA:

1r) Taula de dades.

N. de

vaques

Temps

(dies)

3 10

5 x

78

2n) Regla de tres inversa: x

10

3

5 una de les fraccions s’inverteix (gira).

3r) Càlcul de la x: 65

10·3x

Fixa’t: la regla de tres inversa es realitza de la següent forma:

Magnitud A Magnitud B

x

x =

·

PROBLEMES DE PROPORCIONALITAT INVERSA :

6. Vuit obrers construeixen una paret en 9 dies. Quant tardarien a fer-ho sis obrers?

7. Un cotxe, a 90 km/h, fa un recorregut en 5 hores. Quant de temps guanyaria si

augmentes la seva velocitat en 10 km/h?

8. Un cotxe, a 80 km/h, tarda 2h a arribar a Barcelona. Quant tardaria un camió, a 40

km/h? I un bòlid, a 160 km/h?

9. Tres operaris netegen un parc en 7 hores. Quant tardarien a fer el mateix treball 7

operaris?

10. Amb un canó d’aigua, per on l’aigua surt a 3 l/s (litres per segon), es tarda 20 minuts

a omplir un dipòsit.

a. Quant tardaria amb un cabal de 2 l/s?

b. I si fos de 10 litres per segon?

79

3. PROBLEMES DE PROPORCIONALITAT COMPOSTA

La proporcionalitat composta es dóna quan intervenen més de

dues magnituds proporcioals.

Exemple: Un granger ha necessitat 294 quilos de pinso per alimentar 15

vaques durant una setmana. Quants quilos de pinso es necessiten per

alimentar 10 vaques durant 30 dies?

Per resoldre aquest tipus de problemes cal seguir els següents passos:

1r) Identificar les magnituds que hi intervenen. A L’exemple, les hem subrratllades dins l’enunciat

2n) Ordenar les dades en columnes o en una taula.

Vaques Durada (d) Pinso (kg)

15 7 294

10 30 x

Fixa’t: S’ha escrit a la 3a columna la magnitud a la qual correspon la

incògnita (la x). És útil seguir sempre aquest procediment.

3r) Establir el tipus de proporcionalitat (directa o inversa) que relaciona

cada magnitud (per separat) amb la magnitud de la incògnita.

Vaques - Pinso Proporcionalitat directa (PD)

Durada – Pinso Proporcionalitat directa (PD)

4t) Plantejar la regla de tres composta tenint present que, si la

proporcionalitat és inversa, cal invertir (girar) la fracció corresponent.

30

7·

10

15294

x

5é) Realitzar el producte de fraccions ·300

105294

x per obtenir el valor

de la x : 840105

300294xx .

Es necessiten, aproximadament 840kg de pinso per alimentar 10

vaques durant 30 dies

PROBLEMES DE PROPORCIONALITAT COMPOSTA :

11. Un equip de neteja format per 20 persones que treballen 4 hores diàries, neteja

18 oficines. Es vol contractar dues persones més i augmentar la jornada a 8

hores diàries. Quantes oficines podrà fer net el nou equip?

80

12. Un ramader necessita 750 kg de pinso per alimentar 50 vaques durant 10 dies.

Quants dies podria alimentar 40vaques amb 1800 kg de pinso?

13. Vuit màquines teixidores produeixen 384 guardapits de punt en quatre dies.

Quina quantitat de guardapits produiran cinc d’aquestes màquines en tres dies?

I nou màquines en dos dies?

14. Quants dies tarden cinc màquines de l’exercici anterior per fabricar 180

guardapits?

15. A un ramader, 24 vaques li suposen una despesa de 105 euros per dia. Quants

euros s’estalviaria al mes si vengués 10 vaques?

4. PROBLEMES DE PERCENTATGES %

El percentatge és una proporció on el total imaginari és 100.

Exemple 1: el 40% dels alumnes d’una classe són al·lots .És a dir, si a la classe

fóssin 100 alumnes, 40 serien al·lots.

Exemple 2: han rebaixat el 15% del preu original d’unes sabates. És a dir, si el preu

fos 100 euros,rebaixarien 15€.

Per resoldre problemes de percentatges, cal tenir clar que es tracta d’una

regla de tres i distingir, en cada cas, les dades i què és allò que es cerca..

Exemple: Si el 40% d’una classe de 30 alumnes són al·lots.

a) Quants al·lots i quantes al·lotes formen aquesta classe?

Taula:

Regla de tres : x

40

30

100

Càlcul de la x: 12100

40·30x

El 40% de 30 és 12. A la classe hi ha 12 al·lots i 18 al·lotes.

b) Si un examen de Matemàtiques han aprovat 27 alumnes dels 30.

Quin és el percentatge d’aprovats en aquest examen? I de suspesos?

x

27

100

30 90

30

27·100x

Ha aprovat un 90% de la classe.

c) Si aquesta classe representa un 8% del total d’alumnes de l’institut.

Quants alumnes hi ha a aquest institut?

x

100

30

8 375

8

100·30x

A l’institut hi ha un total de 375 alumnes.

Total Al·lots

Imaginari 100 40

Real 30 x

Total Aprovats

Real 30 27

Imaginari 100 x

Classe Total

Imaginari 8 100

Real 30 x

81

Augment i disminució de percentatges: Si el preu d’unes sabates està rebaixat un 15%, ja no paguem el 100%,

paguem un 85% del preu original. (100-15=85)

Si una població ha augmentat un 15% , el tant per cent d’habitants és un

115% de l’inicial. (100+15)

PROBLEMES DE PERCENTATGES:

16. En la capsa d’una coneguda marca d’aliments apareix la composició nutritiva: PROTEINES...26%

HIDRATS DE CARBONI…8,5%

GREIX…5%

LACTOSA…9%

ALTRES…3%.

La resta és aigua. Quin percentatge d’aigua conté?

17. El 8% dels 575 alumnes matriculats enguany són nouvinguts. Quants alumnes són

de nouvinguts?

18. Una família amb uns ingressos mensuals de 2400 € gasta 400€ en oci. Quin

percentatge dels ingressos es dedica a l’oci en aquesta família? Quin percentatge els

queda per a altres despeses?

19. Na Joana aprofita les rebaixes de gener per comprar-se un vestit que al desembre

costava 52 €. Al gener li fan un descompte del 10%.

a) Quin és el percentatge que ha de pagar?

b) Quant val ara el vestit?

c) Quants doblers s’ha estalviat?

20. La factura d’un sopar sense IVA de cinc amics en un restaurant és de 177,35€. Si el

7% correspon a l’IVA. Quin és el preu final? Si en Toni ha d’anar-se’n abans i

deixa 10€, quants de diners hauran de posar la resta dels quatre amics?

5. INTERÈS SIMPLE

En guardar o prestar doblers a un compte bancari, el pas del temps provoca

una pèrdua del valor d’aquest capital. Per compensar aquesta pèrdua,

s’ofereix els anomenats interessos. Un tipus d’interès és l’interès simple.

Per calcular els doblers que genera una quantitat determinada d’euros a

interès simple durant un temps determinat s’aplica la següent fórmula:

100

trCI

C és el capital inicial, r és el rèdit o interès i t és el temps en anys*.

82

Capital acumulat = IC

Per exemple: Quants doblers produeixen 5000€ a un interès simple

del 7% anual durant 6 anys? Quin és el capital acumulat al final

d’aquest període?

Si tenim en compte les dades de l’exemple:

6

7

5000

t

r

C

€2100100

675000

100

trCI és l’interès produït al llarg

de 6 anys.

El capital acumulat durant aquest període és 5000+2100=7100€.

*NOTA: Si la dada del temps ve donada en dies, mesos,... hauràs de fer una

regla de tres i passar-la a anys.

PROBLEMES D’ INTERÈS SIMPLE:

21. Calcula l’interès que produeix 3000 € prestats al 8% anual en 6 anys. Torna a fer

els càlculs si els temps del préstec és de 8 mesos.

22. Obtén el capital acumulat que produeixen 2000 € al 3% anual en 50 anys.

23. Calcula el capital acumulat al 6% anual durant 2 anys, si fem un dipòsit de

10000 euros.

24. Quin és l’interès que produeixen 6000 al 12% anual durant 5 anys. I durant 6

mesos? I durant 200 dies?.

25. Un empresari té uns beneficis de 30 000 euros; si un banc li ofereix un 7% anual

per dipositar els diners durant 3 anys, mentres que, un altre li ofereix un 2%

anual per dipositar els diners durant 9 anys. Quin banc li convé més?

6. REPARTIMENTS PROPORCIONALS

Si en Joan , na Marta i en Vicent han estat utilitzant internet durant 6 hores

en un ciber i els han cobrat 4’5 €. Quants de doblers ha de posar cadascun?

Si els tres amics han utilitzat el mateix temps aquest servei, haurien de

pagar un terç cadascú (4’5:3). És a dir, 1’5€ per persona.

Però, què ocorre si en Joan ha estat 4 hores, na Marta una hora i mitja i en

Vicent només mitja hora?

Es tracta d’un repartiment proporcional: cada amic ha de pagar segons el

83

temps que ha emprat la xarxa.

Per resoldre-ho, s’escriu la fracció de temps que ha emprat cada amic i es

planteja la regla de tres corresponent a cada cas:

En Joan ha emprat 4 hores de 6, és a dir: x

5'4

4

6 3

6

4·5'4x

Na Marta ha emprat 1’5 hores de 6,és a dir x

5'4

5'1

6 125'1

6

5'1·5'4x

En Vicent ha emprat 0’5 hores de 6, és a dir x

5'4

5'0

6 x= 375'0

6

5'0·5'4

Aproximant, en Joan ha de pagar 3€, na Maria 1€i 12c i en Vicent ha de

pagar 38c

PROBLEMES DE REPARTIMENTS PROPORCIONALS:

26. En Pep, en Jaume i en Robert han cobrat 2250€ fent feina de picapedrers. En

Pep ha estat 70 hores, en Jaume 25 hores i en Robert 55 hores. Com es repartiran

els guanys?

27. Dues germanes compren 7 camisetes interiors per 87’5€. Una es queda amb 5 i

l’altra amb dues, quant ha de pagar cadascuna?

28. Tres socis varen posar 3000€, 4500€ i 6250€ respectivament, per muntar una

perruqueria. Si els guanys del primer any varen ser de 27500€, quant

correspondrà a cadascú?

29. Entre tres famílies lloguen un apartament durant 21 dies. La família d’en Miquel

hi va 10 dies, la de na Maria el gaudeix 6 dies, mentres que la d’en Tomeu hi va

5 dies. L’import del lloguer ascendeix a 630€. Quant ha de pagar cada família?

30. En Sergi i Na Antònia han guanyat 150 000€ en la loteria de Nadal però en Sergi

havia posat 15€ i na Antònia 5€, com hauran de repartir el premi?

7. PROBLEMES

31. Indica, entre els parells de magnituds següents, els que són directament

proporcionals, els que són inversament proporcionals i els que no guarden

relació de proporcionalitat:

a. L’edat d’una persona i el seu pes.

b. La quantitat de pluja caiguda en un any i el creixement d’una planta.

c. El nombre de fulls que conté un paquet de folis i el seu pes.

d. La velocitat d’un cotxe i el temps que dura un viatge.

e. L’altura d’una persona i el número de calçat que usa.

f. El preu del kg de taronges i el nombre de kg que em donen per 10€.

32. Imagina’t que en una recepta d’un pastís per a 6 persones es necessiten 400 g de

farina. Hem de saber quina quantitat de farina cal per fer un pastís per a 9

84

persones, i també ens interessa saber per a quantes persones és un pastís que

contingui 1,6 kg de farina. Completa la taula trobant les proporcions que falten.

N. de persones Pes de farina (g)

6 400

9 ?

? 1600

33. El preu de 24 fotocòpies és de 96 cèntims. Quant ens costaran 54 fotocòpies?

Quantes en podem fer amb 72 cèntims?

N. de fotocòpies Cost (cèntims)

24 96

54 ?

? 72

34. Un tractor llaura a una velocitat constant. La taula següent reflecteix el temps

que ha transcorregut i la distància que ha recorregut en aquest temps:

Temps (min) Distància (km)

8 ?

12 3

? 10

a. Són proporcionals les dues magnituds? Per què?

b. Troba la distància que recorrerà el tractor en 8 minuts.

c. Troba el temps que tardarà a recòrrer 10 km.

35. Per posar 360 kg d’avellanes en sacs han calgut 9 sacs iguals. Quant pesaran 7

sacs d’avellanes?

36. Es tarden 18 minuts en omplir un dipòsit de 600l. Quants litres hi haurà al cap de

12 minuts? Quant tardaran a omplir un dipòsit de 500l?

37. A un restaurant hi ha 3l de vi blanc per cada 4l de vi negre. Si tenen 320l de vi

negre, quants n’hi ha de vi blanc i quants hi ha en total?

38. Na Marina ha fet un examen de 8 preguntes on cada pregunta val un punt. Si la

qualificació que ha obtès ha estat de 6 punts. Quina serà la nota equivalent sobre

un total de 10 punts?

39. En un congrés mèdic la proporció d’homes respecte de les dones és de 8/5. Quin

nombre hi ha de dones si hi participen 24 homes?

40. El nombre de gols als dos porters (titular i reserva) d’un equip de futbol es troba

a raó de 3/4 . És a dir, cada 4 gols que encaixa l’equip, 3 són amb el porter

titular. Quants gols han marcat a l’equip, si al titular li n’han fet trenta?

41. Per tres hores de treball, l’Albert ha cobrat 60 €. Quant cobrarà per 5 hores?

85

42. Un camió, a 60 km/h, triga 40 minuts a cobrir un recorregut determinat. Quant

trigarà un cotxe a 120 km/h?

43. Una màquina embotelladora ompli 240 botelles en 20 minuts. Quantes botelles

omplirà en una hora i mitja?

44. Amb 6000 kg de raïm s’han obtès 1250l de most. Quina quantitat de raïm serà

necessari per a aconseguir 5 000 l de most?

45. Una aixeta que vessa un cabal de 3 l/min omple un dipòsit en 20 minuts. Quant

tardarà a omplir aquest mateix dipòsit una altra aixeta el cabal de la qual és de 5

l/min?

46. Quatre màquines excavadores fan un treball de moviment de terres en 14 dies.

Quant de temps es tarda a fer el mateix treball amb set màquines excavadores?

47. Un tren ha recorregut 240 km en tres hores. Si manté la mateixa velocitat, quants

km recorrerà en les pròximes dues hores?

48. Una aixeta, oberta durant 10 minuts, fa que el nivell d’un dipòsit augmenti 35

cm. Quant augmenta el nivell d’aquest dipòsit, si l’aixeta roman oberta 18

minuts més? Quant de temps haurà de romandre oberta perquè el nivell pugi 70

cm?

49. Un automobilista arriba a una gasolinera amb el dipòsit buit i 54 673 km en el

compta quilòmetres. L’ompli amb 39 litres de gasolina i continua el seu viatge.

Quan torna a tenir el dipòsit buit, el comptador marca 55 273 km. Quin és el

consum de combustible cada 100 km recorreguts?

50. Una empresa de confecció ha de lliurar una comanda en 12 dies. Per poder

complir l’encàrrec ha de fabricar 2000 peces diàries. Però, sofreix una avaria que

atura la producció durant dues jornades. Quantes peces haurà de fabricar

diàriament per enfrontar-se a aquesta nova situació?

51. Si un cotxe a 90 km/h consumeix 6’5l cada 100 km, quina quantitat consumirà si

recorre 425 km a la mateixa velocitat?

52. Una canonada amb un cabal de 45 l/min omple un dipòsit en hora i mitja. En

quant de temps s’omplirà el dipòsit si s’augmenta el cabal fins als 90 l/min? I si

tant sols s’augmenta fins 60 l/min?

53. Un tren, a 80 km/h, tarda 5 hores per anar de València a Barcelona. A quina

velocitat haurà de fer el viatge de tornada per cobrir el recorregut en 4 hores?

54. De 475 homens enquestats, només 76 declaren que saben planxar. Quin

percentatge d’homes reconeixen que saben planxar?

55. Si vaig a 60 km/h, tard 30 minuts en arribar a la feina. Quant tardaré si vaig a 50

km/h? Quants km recorreré en 1 minut anant a 60km/h?

86

56. Si tres operaris tarden 10 hores a netejar una nau, quant tardaran cinc operaris a

fer el mateix treball?

57. Una població ha consumit 30 dam3 d’aigua en 5 mesos. Quants de decàmetres

cúbics consumirà a l’any?

58. La població del problema anterior es proveeix d’un embassament que conté 100

dam3 d’aigua. Quant de temps podria disposar d’aigua en cas de no ploure?

59. Un cotxe, a 90 km/h, fa un recorregut en 5 hores. Quin temps guanyaria si

augmenta la seva velocitat en 10 km/h?

60. Per omplir un piló d’aigua per a rec fins a una altura de 80 cm s’ha obert una

aixeta amb un cabal de 20 l/min durant 1 h 20 min. Quant de temps tardarà a

omplir-se aquest mateix piló fins a una altura de 90cm si, a més a més, s’obri

una altra aixeta de 15 l/min de cabal?

61. Cinc màquines iguals envasen 2160l d’oli en una hora. Quants de litres

envasaran tres màquines en dues hores i mitja? Quin temps tardaran quatre

màquines a envasar 12 000 litres?

62. Dotze picapedrers treballant 8 hores diàries acaben una feina en 25 dies. Quant

de temps tardaran a fer la mateixa feina 5 picapedrers treballant 10 hores al dia?

63. Una aixeta domèstica normal vessa 12 litres per minut. Quants litres d’aigua es

tuden, si queda oberta mig minut aquesta aixeta?

64. Na Virgínia fa 1’60 m d’altura i, en aquest moment, la seva ombra té una

longitud de 0’8 m. Si l’ombra d’un arbre que hi ha al costat mesura 10m, quina

és la seva altura?

65. Na Rosa, na Carme i en Sebastià han decidit anar al teatre. Les tres entrades els

han costat 9’6 €. Quant els haurien costat les entrades si haguessin convidat a

dos amics més?

66. Cinc treballadors seguen un camp en 6hores. Quant tardarien a segar aquest

mateix camp 3 treballadors?

67. Per 840 g de bombons, na Rosa ha pagat 12€ i 25c. Quant li costarà a Robert si

n’ha comprat 1kg i 200g?

68. Una botiga rebaixa tots els articles en la mateixa proporció. Si per una camiseta

de 18 € he pagat 16’20 €, quant he de pagar per un jersei de 90€? Quin és el tant

per cent de descompte?

69. Per 2 kg 300 g de lluç hem pagat 41,4€. Quant pagarem per 1kg 700 g?

70. Dues poblacions disten 18km i a un mapa es representen a 7cm de distància.

Quina és la distància real entre altres dues ciutats que, en el mateix mapa, es

troben separades 21cm? A quants km reals correspon 1cm d’aquest mapa?

87

71. Cinquanta vedells consumeixen 4 200 kg d’alfals a la setmana.

a. Quin és el consum d’alfals per vedells i dia?

b. Quants de kg d’alfals es necessitaran per alimentar 20 vedells durant 15

dies?

c. Durant quants de dies podem alimentar 15 vedells si disposem de 600 kg

d’alfals?

72. Per enviar un paquet de 5 kg de pes a una població que es troba a 60 km de

distància, una empresa de transport cobra 9€. Quant costarà enviar un paquet de

15 kg a 200 km de distància?

73. Una peça de tela de 2’5 m de llarg i 80 cm d’ample costa 30 €. Quant costarà

una altra peça de tela de la mateixa qualitat de 3 m de llarg i 1’20 m d’ample?

76. El 24% dels habitants d’un llogaret tenen menys de 30 anys. Quants d’habitants

té el llogaret, si hi ha 90 joves menors de 30 anys?

77. Calcula el 20%, 40%, 25%, 50%, 75% i el 100% de 300€.

78. D’una paret enrajolada, n’han caigut el 30% dels taulells. Si la paret fa 4 m x 8

m i cada taulell 10 cm x 10 cm, quants de taulells hi ha de reposar?

79. He venut el meu cotxe vell per comprar-me’n un de nou. El vaig comprar per

16 000€ i, després d´11 anys, m’han pagat 2000€. Quin percentatge del valor de

la compra del cotxe he pagat? I quin percentatge he perdut?

80. A uns grans magatzems fan un descompte del 15%. Si el preu d’uns calçons és

de 34’4 €, amb el descompte ja efectuat, quin era el preu original d’aquests

calçons?

81. Na Sara ha comprat un jersei que costava 35€, però li han fet una rebaixa del

15%. Quant ha pagat?

82. En Robert ha pagat 29’75€ per uns pantalons que estaven rebaixats un 15%.

Quant costaven els pantalons sense rebaixar?

83. He anat a comprar una pilota que costava 45€, però m’ha fet una rebaixa del 5%.

Quant he pagat per la pilota?

84. La paga mensual de n’Andreu és de 25€, però li han promès un augment del

20% ell pròxim mes. Quina serà la seva nova assignació mensual?

85. Calcula el teu percentatge d’aprovats durant la 1a. avaluació.

86. En unes eleccions municipals, el partit guanyador va obtenir el 48% dels vots. Si

el nombre total de votants va ser de 635100, quants vots va obtenir aquest partit?

87. Dels 35 alumnes d’una classe, 21 són al·lots.

a. Quin percentatge d´ alumnes són al·lotes?

b. Ara calcula el % d’al·lotes que hi ha en la teva classe.

88

88. Un centre escolar té 750 alumnes, el 70% dels quals practica qualque esport.

a. Quants alumnes practiquen qualque esport?

b. Quants alumnes no fan esport?

89. En l’últim partit de bàsquet de la meva ciutat, els cinc jugadors de l’equip titular

van realitzar les annotacions que recull la taula següent.

Cistelles llançaments %

PAU 8 19

O´NEIL 9 12

R.MILLER 16 20

LOSA 7 11

BIRIAKOV 2 8

Completa la taula amb el percentatge d’encerts de cada jugador.

PROBLEMES D’INTERÈS SIMPLE

93. Una persona obri un compte amb 17 625€. Passat un temps retira els diners i li

donen 19 780€.

a. Quin ha estat l’interès produït?

b. Quin era el capital inicial?

c. Quin és el seu capital actualment?

94. Un empresari ha dut el seu capital al banc de 134 000euros i li han ofert un

diposit de 4 anys al 6%.

a. Quin és l’interès produït?

b. Quin serà el capital total de l’empresari al cap de quatre anys?

95. Completa el següent quadre amb l’interès simple:

C R t I

27000€ 6% 1mes

3500€ 5% 17 mesos

472€ 4,5% 3mesos

9310€ 3% 128 mesos

96. Una persona gasta setmanalment 8’75€ en periòdics i revistes. Durant un any

decideix anular aquesta despesa i els diners estalviats els col·loca als 5’5% anual

durant 4 anys. Quin és l’interès produït al llarg d’aquest temps? (Ajuda: Un any

té 52 setmanes)

89

8. AUTOAVALUACIÓ

1.Tres-cents grams de formatge costen 5’46€.

a. Quant costarà mig quilo?

b.Quant formatge podré comprar amb 3€?

a) 9’1€ i 164 grams b) 9’1€ i 165 grams c) 8’45€ i 165 grams

2. Un camió tarda 6 hores a cobrir el trajecte entre dues poblacions, a una velocitat

mitjana de 80 km/h. Quant hauria tardat a una velocitat de 120 km/h?

a) 9 h b) 4 h c) 8 h

3. Un cinema, que fa dues sessions diàries, pot donar entrada a 18 000 persones en 30

dies. Quantes persones podrà rebre aquest local en 45 dies si amplia l’oferta a tres

sessions diàries?

a) 18000 persones b) 67500 persones c) 40500 persones

4. Una família gasta el 18% del pressupost en alimentació. Si els ingressos que té són

1800 € mensuals, quants de diners gasten al mes en aliments?

a) 1476 € b) 324 € c) 375 €

5.Na Mireia ha pagat 29’75 € per una brusa que costava 35 €. Quin tant per cent li han

rebaixat?

a) 20% b) 15% c) 85%

6.M’han augmentat la paga un 5%. Si abans em donaven 15€, ara em donaran:

a) 15’75 € b) 15’25 € c) 0’75 €

7.En comprar una camisa de 20€, em fan un descompte del 10% i desprès em cobren el

16% de l’IVA. Al final hauré de pagar:

a) 20’88 € b) 25’52 € c) 18 €

8. Si ingressem al banc 3960€ durant 4 anys al 5%, quin és el capital final?

a) 19800 € b) 792 € c) 7920 €

90

UNITAT 7: ÀLGEBRA

1. EL LLENGUATGE ALGEBRAIC

2. MONOMIS

2.1. COEFICIENT I GRAU D’UN MONOMI

2.2. VALOR NUMÈRIC D’UN MONOMI

2.3. OPERACIONS AMB MONOMIS

2.3.1. SUMA

2.3.2. RESTA

2.3.3. MULTIPLICACIÓ

2.3.4. POTÈNCIA

2.3.5. DIVISIÓ

3. POLINOMIS

3.1. GRAU D’UN POLINOMI

3.2. VALOR NUMÈRIC D’UN POLINOMI

3.3. OPERACIONS AMB POLINÒMIS

3.3.1. SUMA

3.3.2. RESTA

3.3.3. MULTIPLICACIÓI DIVISIÓ D’UN POLINOMI PER UN NOMBRE

3.3.4. MULTIPLICACIÓ I DIVISIÓ D’UN MONOMI PER UN POLINOMI

3.3.5. MULTIPLICACIÓ D’UN POLINOMI PER UN POLINOMI

3.3.6 OPERACIONS COMBINADES

4. FACTOR COMÚ

5. IDENTITATS NOTABLES

6. AUTOAVALUACIÓ

91

1. EL LLENGUATGE ALGEBRAIC

El llenguatge algebraic és el llenguatge que utilitzen les matemàtiques

en el qual s’utilitzen nombres i lletres (les lletres s’utilitzen per expressar

nombres de valor desconegut).

1. Si anomenem “e” a l’edat de n’Aina, expressa algebraicament:

a) L’edat d’ Aina fa dos anys.

b) L’edat d’Andreu és la meitat que l’edat de n’Aina.

c) L’edat d’Aina d’aquí a cinc anys.

d) L’edat de na Marga és el doble que la de n’Aina.

2. Expressa aquestes relacions algebraicament. Considera t els minuts que ha trigat en

Bernat a completar la cursa.

a) En Marc ha trigat la meitat de temps que en Bernat.

b) La Lluïsa ha trigat el triple de temps que en Marc.

c) En Roger ha trigat el mateix temps que en Marc més 20 minuts.

d) La Laura ha trigat el doble de temps que en Roger.

3. Escriu en llenguatge algebraic les expressions següents:

a) Quatre menys un nombre.

b) El quàdruple d’un nombre.

c) La quarta part d’un nombre.

d) Dos nombres es diferencien en 4 unitats.

e) La quarta part d’un nombre més la seva cinquena part.

4. Expressa en llenguatge algebraic les expressions següents:

a) Nombre de sabates que hi ha en una habitació amb x persones.

b) Nombre de dits a x mans.

c) Nombre d’orelles en una habitació amb x persones.

d) Nombre de persones que hi ha en una habitació després d’arribar-ne 2.

e) Nombre de cromos que em queden després de perdre’n 12 en un joc.

5. Expressa en llenguatge algebraic les expressions següents:

a) El doble d’un nombre menys la seva meitat.

b) La meitat d’un nombre menys el seu doble.

c) El doble d’un nombre menys 4.

d) La meitat de pomes d’un cistell.

e) En el preu d’un cotxe que val x em descompten 15 euros.

f) Nombre de viatgers en un autobús després de baixar-ne 8.

g) La meitat d’un nombre més 2 unitats.

92

2. MONOMIS

2.1 COEFICIENT I GRAU D’UN MONOMI

Un monomi és el producte d’un valor numèric (anomenat COEFICIENT),

per una o més lletres (anomenada PART LITERAL).

Per exemple: coeficient 5a part literal

coeficient - 67x3

part literal

coeficient 3

2z

3y

part literal

Si dos monomis tenen la mateixa part literal els anomenarem monomis

semblants.

6. Còpia i completa:

MONOMI 5b - 15z6

52xy3

3

1t2s

6 0,59x

7y

COEFICIENT

PART

LITERAL

7. Identifica quines d’aquestes expressions són monomis:

a) – 24v e) x + 5

b) 3 x4 f) 2k

5 - 1

c) 5 g) 8

5g

5h

8

d) z7 h) 3x + 2 x

2

Hi ha monomis semblants, en aquest exercici?

8. Posa dos exemples de monomis semblants.

S’anomena grau d’un monomi el nombre de factors que formen la part

literal, és a dir, és la suma de tots els exponents de la part literal.

Per exemple: Als monomis del exemple d’abans

5a

GRAU =1

- 67x3

GRAU = 3

3

2z

3y

GRAU = 4

93

9. Còpia i completa:

MONOMI 5b - 15z6

52xy3

3

1t2s

6 0’59x

7y

GRAU

10. Calcula el grau dels monomis de l’exercici 7.

2.2 VALOR NUMÈRIC D’UN MONOMI

El valor numèric d’un monomi és el valor que té el monomi quan les lletres

prenen valors concrets.

Per exemple:

5x = 10 x = 2

10a2 = 90 a = 3

3x4 = 3 x = - 1

11. Completa:

MONOMI 5b 15z6

3

1xy

3 10t

2s

6 0’59x

7y

VALOR

NUMÈRIC

Si b = 3

5b=........

Si z = - 2

15z6=......

Si x = 3

y = - 1

3

1xy

3=.......

Si t = - 5

s = 2

10t2s

6=.......

Si x = 4

y = 6

0’59x7y= ....

12. Calcula el valor numèric dels següents monomis:

a) 3y = si y = - 5

b) 40a3 = si a =7

c) xy3 = si x = 7, y = 5

d) 0’5z4 = si z = 2

94

2.3 OPERACIONS AMB MONOMIS

SUMA: Dos o més monomis es poden sumar sempre que tinguin la part

literal idèntica (monomis semblants). En aquest cas, es sumen els

coeficients i es deixa la mateixa part literal.

En cas contrari, és a dir, en el cas que no tinguin la part literal idèntica (no

siguin monomis semblants), la suma quedarà indicada.

Per exemple:

5c + 6c = 11c

3x3 + 4x

3 +x

3 = 8x

3

2z + 3z2 = queda així

61s +31t = queda així

13. Suma els següents monomis:

a) 2a + 3a =

b) 15b3 + b

3 =

c) 15x2 + 7x

2 =

d) 9a + 6a + a =

e) 4x2 + 3x =

f) 2b + 6b =

g) 11p + 5p + 2p + p =

h) a + 5b =

i) 4ab + 2ab + 6ab =

j) 5ax + 2ax + ax =

k) 6xy5 + 4xy

5 + xy

5 =

l) 6bx + 3bx6 + 2bx =


a) 3a + 12a + 30a =

b) 3

1b + 8b =

c) 14ab + 12ab =

d) 46x + 25x + 23x =

e) x2 + x

2 + 2x

2 =

f) 7

3a + 9a

2 =

g) 4x2 + 3x + 7x

2 + 3x + 5x

2 =

h) 15b + 12c + 15b +12c + 13b =

i) 3

1x + 4x +

15

4 x +

3

2x =

j) 6

1x +

3

5x + 8x =

95


+ 2x 3y x 10x 12y 3x + 8y

6x

4x

5

1y

5y + x

RESTA: Dos o més monomis es poden restar sempre que tinguin la part

literal idèntica (monomis semblants). En aquest cas, es sumen els

coeficients i es deixa la mateixa part literal.

En cas contrari, és a dir, en el cas que no tinguin la part literal idèntica (no

siguin monomis semblants), la resta quedarà indicada.

Per exemple:

50c - 6c = 44c

6x3 - 4x

3 = 2x

3

12z - 3z2 = queda així

61s -31t = queda així

16. Resta els següents monomis:

a) 20x – 8x =

b) 12a - 30a =

c) 13b3 – 18b

3 =

d) - 14ab – ab =

e) 46x – 52x =

f) x2 - x

2 =

g) - 40a – 9a2 =

h) 6x2 – 5x

2 =

i) 15b – 19b =

j) - 10x – x =

k) 72a - 81a =

96

17. Resta els següents monomis:

a) - 17x – 3

5x =

b) 3

1y – y =

c) 56x2 – 95x

2 =

d) 3

10z - z =

e) 18b2 –

15

2b =

f) - 32s3 – 3s

3 =

18. Opera els següents monomis:

a) 5a – 2b – 3a + 6b =

b) 11p + 5q – 2q + p =

c) a – 2 + 3b + 6 + 5a =

d) 4ab – 2ab + 6ab =

e) 5ax – 2ax + bx =

f) 6xy – 4xy + xy =

g) ab + 6bx – ay + 3ab – 2bx =

MULTIPLICACIÓ: Per multiplicar dos monomis, primer multipliquem els

coeficients i després sumem els exponents de les parts literals (sempre que es

tracte de la mateixa lletra).

Per exemple:

2a · 4a = 8a2

3x2 ·(- 5)x = (- 15)x

3

(- 12)x3 · 4x

2y

3 = (- 48)x

5y

3

3z · 7x5 =21zx

5


· 2x –3x2 – 4xy –2x

3y – 3x

-2 xy

4

6x

– 4x2

– 5y-3

– 8x6

15xy

+ 2x2y

4

97

20. Calcula:

a) 4a ·3 =

b) 5x·2y =

c) (1/2)x·4y =

d) x2·x =

e) (1/3)a·(1/4)b =

f) 6a·(2/3)b =

g) 3x3·2x

4 =

h) (x/2)·(y/3)·(z/4) =

POTÈNCIA: Quan tenim una potència d’un monomi elevem a la

potència el coeficient i la part literal.

Exemple:

(2x3)4 = 2

4(x

3)4 = 16x

12

(-3x)3 = (-3)

3x

3 = -27x

3

21. Calcula:

a) (3x2)2 =

b) (- 4x3)2 =

c) (3xy3)3 =

d) (-2x2y

3)2 =

e) (-4x3)3 =

f)

2

3

3

5x

g)

3

24

2

3yx

h)

4

2

3

4x

DIVISIÓ: Per dividir dos monomis, primer dividim els coeficients i després

restem els exponents de les parts literals (sempre que es tracte de la mateixa

lletra).

Per exemple:

20a2 : 4a = 5a

35x2 : (- 5)x

2 = (- 7)

(- 12)x3y : 4x = (- 3)x

2y

42z :7z5 = 6z

- 4


a) a3: a =

b) a4: a

2 =

c) 3x3: x

2 =

d) b5: 2b =

e) 6b6: 3b

2 =

23. Fes les divisions:

a) (-14)c6: 7c

4 =

b) a2b

3: ab

2 =

c) 6x4y: (-2)x

3 =

d) 6z4: 3z

4 =

e) (-15)x5: 12x

3 =

98

3. POLINOMIS

3.1 GRAU D’UN POLINOMI

El grau d’un polinomi és el major dels graus dels monomis que el formen.

Per exemple:

8 – 4x – 12x2 grau = 2

4y5 – 8y

3 grau = 5

2xy3 + 5x – 34z

6 grau = 6

24. Completa:

POLINOMI 3a2 – 6 8 – 4x – 12x

2 7ab + 14a

2 – 5a 45x

4 – 15x

7

GRAU

3.2 VALOR NUMÈRIC D’UN POLINOMI

El valor numèric d’un polinomi és el valor que té el polinomi quan les

lletres prenen valors concrets.

Per exemple:

5x + 3 = 13 x = 2

10a2 -3a = 81 a = 3

3x4 + x – 2 = 0 x = - 1

25. Calcula el valor numèric de les expressions següents en els valors que s’indica:

a) 3x , si x = –4

b) 2a + 4b, si a = 6 i b = 0

c) 5x2 – 3, quan x = 3

d) –9a3 – 4a

2, en el cas que a = –1

e) 3x2 + 4x

3, si x = –2

f) 3x2 – 1, quan x =

2

1

g) 3

ba, si a = 3 i b = –10

99

3.3 OPERACIONS DE POLINOMIS

3.3.1 SUMA DE POLINOMIS

Per sumar dos o més polinomis:

1r Pas: Llevarem parèntesi

2n Pas: Sumarem els coeficients dels monomis que tenen la mateixa part

literal.

Exemple: A = 3x4 + 4x

2 i B = 2x

4 + 5x

2, aleshores:

A + B = (3x4 + 4x

2) + (2x

4 + 5x

2) = 3x

4 + 4x

2 + 2x

4 + 5x

2 = 5x

4 + 9x

2

26. Donats els polinomis C = 2x4

+ 3x3

– x2 + 9 i B = x

4 – 5x

3 + 2x

2 - 4, calcula C +

B.

27. Donats els polinomis Q = - x2 + 4x + 8 i P = x

2 – 9x – 6, calcula Q + P.

28. Donats els polinomis F = 2y2 + 4y – 8 i G = y

3 + 2y

2 – 3y +1, calcula F + G.

29. Donats els polinomis T = 3x3 + 2x - 5 i U = - 4x

2 + 13x – 1,calcula T + U.

30. Donats els polinomis E = 3a3 + a – 5 i P = 3a

3 + 6a

2 + 1, calcula E + P.

31. Donats els següents polinomis:

W = -2a2 + a – 5

D = – a2 + 2a – 9

J = a3 + a – 1

Calcula:

a) W + D =

b) D + J =

c) W + J =

d) J + D + W =


A = 3x2 –x - 7

B = 2y2 + y - 6

C = x3 – 4x

2 + 3x + 1

D = x + y

E = -5y3 + 3y

2 – 3

Calcula:

a) A + C =

b) B + E =

c) A + D =

d) A + B =

e) B + D =

f) A + B + C + D + E =

100

3.3.2 RESTA DE POLINOMIS

Per restar dos o més polinomis:

1r Pas: Llevarem parèntesis. Alerta! Com tenim un menys davant un

parèntesi hem de canviar de signe tot el que hi ha de dins.

2n Pas: Sumarem els coeficients dels monomis que tenen la mateixa part

literal.

Exemple: A = 3x4 + 4x

2 i B = 2x

4 + 5x

2, aleshores:

A – B = (3x4 + 4x

2) – (2x

4 + 5x

2) = 3x

4 + 4x

2 – 2x

4 – 5x

2 = x

4 -1x

2

33. Donats els polinomis C =3x3

– x2 + 9x + 4 i B = x

3 – 5x

2 + 7x - 6, calcula C – B.

34. Donats els polinomis Q = - x2 + 4x + 8 i P = x

2 – 9x – 6, calcula Q – P.

35. Donats els polinomis F = 2y2 – 8y + 3 i G = y

2 + 2y

- 4, calcula F – G.

36. Donats els polinomis T = 3a2 – 4a + 2 i U = - 4a

2 + 13a - 1, calcula T - U.

37. Donats els polinomis E = 3b3 + b

2 - b – 5 i P = 3b

3 + b

2 + b +3, calcula E - P.


W = -2a2 + a + 5

D = – a2 + 2a – 9

J = a – 1

Calcula:

a) W - D =

b) D - J =

c) W - J =

d) J - D + W =


A = 3x3 –x

2 + x - 7

B = 2y2 + y - 6

C = x3 – 4x

2 + 3x + 1

D = x + y

E = -5y2 + 3y – 3

Calcula:

a) A - C =

b) B - E =

c) C - D =

d) B - D =

e) A + C - D =

f) E - C =

101

3.3.3 MULTIPLICACIÓ I DIVISIÓ D’UN POLINOMI PER UN NOMBRE

Per multiplicar un nombre per un polinomi, hem de multiplicar aquest

nombre per tots els sumands del polinomi (Propietat distributiva)

Exemple:

2 · (4x2

+ 3x) = 8x2 + 6x

( -2x + 3) · 3= -6x + 9

Alerta! Quan la lletra va tota sola, sempre té un 1 davant. Per exemple,

x = 1x x2 = 1x

2 x

3 = 1x

3

D’aquesta forma, 3 · (x3 - 5x) = 3x

3 – 15x

40. Calcula:

a) 3 · (2x – 1) =

b) (-4) · (3x2 + 2x) =

c) (3x3 + 5x – 1) · 6 =

d) (x4 + 5x – 1) · (-2) =

e) 0 · (-5xy – 2x + 7) =

f) (-1) · ( -4x5y + 6x

4y – 2x +1) =

g) (-4x4 + 5x

2 – 6x + 3) · 4 =

h) (5x3 + 5) · 0 =

i) (x3 – 9x + 1) · (-5) =

j) (-11) · (-x2 + x – 1) =

41. Calcula el nombre que falta:

a) · (2x – 4) = 8x – 16

b) · (-x – 2) = -3x – 6

c) · (2x3 – 4x + 2) = -6x

3 + 12x - 6

d) · (x2 – 4x + 3) = -8x

2 + 32x -24

42. Calcula els nombres que falten:

a) 3 · ( x3 + x – 2) = 9x

3 + 12x – 6

b) 4 · ( x3 - x – 1) = 8x

3 -8x – 4

c) ( x2 + x + ) · 9 = -9x

2 – 27x +9

d ( x2 + x + ) · (-2) = 8x

2 – 4x -10

43. Donats els polinomis C = 2x4

+ 3x3

– x2 + 9 i B = x

4 – 5x

2, calcula:

a) 3·C =

b) (-4)·B =

c) -6·C=

d) 7·B =

102

També podem fer la divisió d’un polinomi entre un nombre.

Exemple:

(6x3 – 4x + 10) : 2 = 3x

3 – 2x +5

( 33x 13

43:)34 3 xxx

44. Opera:

a) (4x3 – 8x + 2) : 2 =

b) (6x2 – 9) : (-3) =

c) 5

30 5x y 15x 34

d) (3x4y + 5x

3 – 2) : 5 =

e) 2

6y 8x 4xy

f) (4xy – 8x + y) : (-2) =

g) (5x4 + 125x

2 – 25x + 5) : 5 =

h) (7z3 – 4z – 9) : 4 =

i) (- 10x8 – 20xy

6 + 100) : (-10) =

j) (x2 – 1) : 4 =

k) (9s4 + 5s

3) : (- 4) =

l) (-98x4 + 22x – 2) : (- 2)=

3.3.4 MULTIPLICACIÓ I DIVISIÓ D’UN MONOMI PER UN POLINOMI.

Per multiplicar un monomi per un polinomi, hem de multiplicar aquest

monomi per tots els sumands del polinomi (Propietat distributiva)

Exemple:

2x · (3x3 –x +3) = 6x

4 – 2x

2 +6x

(-4x5 – 2xy –x +3) · (-3x

2) = 12x

7 + 6x

3y + 3x

3 – 9x

2

45. Calcula:

a) 3x2 · (2x – 1) =

b) -4x · (2x2 + 2) =

c) (3x3 + 5x – y) · 6xy =

d) (x4 + 5x – 1) · (-2x) =

e) 0xy · (-5xy – 2x + 7y) =

f) –xy2 · ( -4x

5y + 6x

4y – 2x +1) =

g) (-4x4 + 5x

2 – 6x + 3) · 4xy =

h) (5x3 + 1) · 2x

7 =

i) (x3 – 9x + 1) · (-5x

2) =

j) -11y · (-x2 + x – 1) =

46. Opera:

a) (x4 – 6x

3) · 0y =

b) (3xy – 5x + 6y – 4) · (2xy2) =

103

c) – 3x3y

2 · ( 3x

4y

3 – 5xy – 7) =

d) – x · (x3 + 4) =

e) – 5x · (-5x3 – 3x

2 + 3) =

f) 7x2 · (4x – 2) =

També podem fer la divisió d’un polinomi entre un monomi. Dividirem:

- Signe entre signe.

- Nombre entre nombre

- Lletra entre lletra

Exemple:

(6x5 – 4x

2 + 10x) : 2x = 3x

4 – 2x +5

( 33xx

xx

xxxxx1

3

41·1

3

41

3

43:)34 22122

Alerta! Quan un nombre va tot sol, sempre duu una lletra elevada a zero.

3 = 3x0 -6 = - 6y

0 -8 = -8x

0

47. Opera:

a) (4x3 – 8x

2 + 2x) : 2x =

b) 3x-

9x - 6x 2

=

c) (3x4y + 5x

3 – 2x

2) : 5x =

d) (4xy – 8x + y) : (-2y) =

e) (5x4 + 125x

2 – 25x + 5) : 5x

2 =

f) (7z3 – 4z – 9) : 4z =

g) (- 10x8 – 20xy

6 + 100x

4) : (-10x

2) =

h) (x2 – 1) : 4x =

i) 2

34

4

5s 9s

s

j) (-98x4 + 22x – 2) : (- 2x

3)=

3.3.5 MULTIPLICACIÓ D’UN POLINOMI PER UN POLINOMI.

Per multiplicar un polinomi per un polinomi:

1r Pas: Multiplicam tots els monomis del primer polinomi per tots els

monomis dels segon polinomi.

2n Pas: Juntam els monomis que tenguin la mateixa part literal.

Exemple:

(x + 2) · (x + 5) = x2 + 5x + 2x + 10 = x

2 + 7x + 10

104

48. Realitza els següents productes de polinomis:

a) (x + 5) · (2x2 – x + 3) =

b) (x – 2) · ( -x2 + 4) =

c) (xy + 2x – 1) · (x2y + 2y – 2) =

d) (-2x3 + 2x – 4) · (3x

4 + 5) =


A = 3x2 –x - 7

B = 2y2 + y - 6

C = 3y + 1

D = x + 6

E = -5x2 – 3

Calcula:

a) A · D =

b) 3B =

c) C · C =

d) B · C =

e) E · E =

f) E · A=


· 2x – 9 –3x2 + x -1 – 4x

2- 9 –2x

3 +x

2 - 4 – 3x

2 -

2

1 xy + x3

6x - 1

– 4x2 – 6x

– 5x3 – 2

– 8x – 3

15xy – 5x

105

3.3.6 OPERACIONS COMBINADES

51. Opera i simplifica:

a) 3x3 – 2x · ( -4x + 2) – 5 =

b) -4 · (2x2 –x + 3) + (x – 4) · (-3x + 2) =

c) (2x2 + x) : x + 2x

3 · (- 4x + 2) =

d) xxx

xx72

2

64 823

e) 325

3

3

2 3 xx

f) (3x3 + x) · [2 · (x+2) – 3 · (2x +3)] =

g) xyyyx 4422

3 2

h) )43·(5

4·3 2 xxx

i) 1)4·(5

455 3

xx

j) – (x + 1) + 4 · (8x3 – 3x) =

52. Calcula el valor numèric dels polinomis resultants de l’exercici 51:

a) x = 1

b) x = 0

c) x = - 1

d) x = 3

2

e) x = -2

1

f) x = 0

g) x = - 1, y = 1

h) x = 3

i) x = 5

j) x = -4

106

4. FACTOR COMÚ

Hem de convertir una suma en un producte.

Alerta! Quan el factor comú a extreure coincideix amb un sumand, en el

seu lloc queda un 1.

53. Treu factor comú en les següents sumes:

a) 3xy + 6x =

b) 5a + 5b – 5c =

c) 3a - 4ab + 2ac =

d) x2 + 2x =

e) 2x – 4y =

f) 3x – 6y - 9 =

g) 3x2 – 6x + 9x

3 =

h) x2 – 10x

4 + 6x

8 =

i) 6a2b + 4ab

2 =

54. Treu factor comú:

a) 3x + 6x2 =

b) – x2 + 6x +2x

3 =

c) x2 – 3x +2x

2 =

d) x3 -2x

2 + 3x =

e) 8x2y

3 + 4x

3y

2 - 6x

2y

2 =

5. IDENTITATS NOTABLES

Quadrat d’una suma.

El quadrat d’una suma de dos sumands és igual a:

Al quadrat del primer, més el doble del primer pel segon, més el quadrat

del segon.

(a + b)2 = a

2 + 2·a·b + b

2

Quadrat d’una resta.

El quadrat d’una resta de dos sumands és igual a:

Al quadrat del primer, menys el doble del primer pel segon, més el

quadrat del segon.

(a - b)2 = a

2 – 2·a·b + b

2

Suma per diferència.

La suma de dos monomis per la seva diferència és igual a la resta dels

seus quadrats.

(a + b) · (a – b) = a2 – b

2

55. Desenvolupa les següents identitats notables:

a) (x + 1)2 =

b) (x + 2)2 =

c) (4 + x)2 =

d) (x – 4)2 =

e) (5 – x)2 =

f) (x2 – 9)

2 =

g) (2x + 1)2 =

107

h) (2 + 4x)2 =

i) (3x2 + 4)

2 =

j) (6x – 4)2 =

k) (2- 3x)2 =

l) (2x – 1)3 =

m) (-x + 2)2 =

n) (-x -3)2 =

o) (-2x – 1)2 =

p) (x3 + 3)

2 =

q)

2

43

2x

r)

2

4

3x

s) (2x – 5y)2 =

t)

2

3

2x

x

u) (x + 2)3 =

56. Desenvolupa les següents identitats notables:

a) (x +7)(x – 7)=

b) (x – 6)(x + 6)=

c) (8 + y)(8 – y)=

d) (x + 9)(x + 9)=

e) (x2 + 2)(x

2 – 2)=

f) (6 – x)(6 – x)=

g) (3 – 5c)(3 + 5c)=

h) (8x3 + 1)(8x

3 – 1)=

108

6. AUTOAVALUACIÓ

1. Completa:

MONOMI 3x 12y3

-25t6y

3

COEFICIENT 5 1

PART

LITERAL zy

5

GRAU 3

VALOR

NUMÈRIC x = 2 a = 3 y = - 1

x = 3

y = 0

t = - 2

y = 1

2. Redueix els termes semblants:

a) 3a – 12a + 30a =

b) 7b + 3b – 8b + b =

c) – 14ab + 18 ab – 12ab + 12ab + ab =

d) 46x – 25x + 23x =

3. Calcula:

a) a3

: a =

b) 14c6 · 7c

4 =

c) 3x3

: x2 =

d) b5

: 2b =

e) 6x4y :2x

3 =

f) 6x7 · 2x

4 =

4. Calcula el valor numèric de les expressions següents en els valors que s’indica:

a) 5x , si x = –3

b) 4x2 – 3, quan x = 2

c) –10a3 – 3a

2 , en el cas que a = –2

d) 2x3 – 1, quan x =

2

1

5. Extrau factor comú:

a) 3ab + 2a =

b) 4xy + 2y2 =

c) 14x2y

2 – 7xy =

d) a2 – ab + a =

e) – 4a – 9a2 + 5a + 10a

2 =

6. Calcula:

a) (x + 2)2 =

b) (a – 3b)2 =

109

c) (4x + 5y)2 =

d) (5x2 + 3y)

2=

e) (x + 3)(x – 3)=

f) (x2 +1)(x

2 – 1)=

g) (4 + 3z)(4 – 3z)=

h) (10 – 5y3)(10 + 5y

3)=

7. Si P(x) = 4x3 -3x

2 + 1 i Q(x) = 3x

3 – 3x – 4, calcula:

a) P(x) + Q(x) =

b) Q(x) – P(x) =

c) 3P(x) – 2Q(x) =

d) P(x) · Q(x) =

e) Q(x) : 3x =

110

UNITAT 8: EQUACIONS

1. DEFINICIONS BÀSIQUES

1.1. ELEMENTS D’UNA EQUACIÓ

1.2. SOLUCIONS D’UNA EQUACIÓ

1.3. EQUACIONS EQUIVALENTS

2. EQUACIONS DE PRIMER GRAU

2.1. EQUACIONS IMMEDIATES

2.2. EQUACIONS AMB ESPRESSIONS POLINÒMIQUES

2.3. EQUACIONS AMB PARÈNTESIS

2.4. EQUACIONS AMB DENOMINADORS

3. PROBLEMES

4. EQUACIONS DE SEGON GRAU

5. AUTOAVALUACIÓ

111


Una equació és una igualtat entre expressions algebraiques la qual és

certa només per alguns valors (desconeguts) de les parts literals o lletres.

Les lletres, el valor de les quals es desconeix, són les incògnites de

l’equació. Una equació en pot tindre una o més.

Resoldre una equació és trobar els valors de la (o de les) incògnita que

fan certa la igualtat.

1. Cerca per tempteig el valor de la x que fa certa cada una de les següents igualtats:

a) x – 2 = 8

b) 2y = 10

c) 5 + x = 12

d) 84

x

e) 4 – x = 6

f) 2x + 4 = 8

g) 14

1x

h) 3x – 4 = - 4

i) – 4 + 2 = - x

j) 4a – 7 = 13

1.1. ELEMENTS D’UNA EQUACIÓ

Membres d’una equació: són cada una de les expressions que hi ha a

l’esquerra i a la dreta de l’igual.

Exemple:

)membre(1r esquerra

72x =

membre)(2n dreta

1053x

Termes d’un membre: cada un dels sumands d’un membre.

Exemple: termetermetermetermeterme

xx 105372

Incògnites: són les lletres que apareixen a l’equació. Pot tir-ne una o

més. Exemple: 3y + 9 = 3x. Les incògnites són y, x

Terme independent: el nombre que no té lletra.

Exemple: 3y + 9 = 3x. El terme independent és 9.

Grau d’una equació: és el major dels graus dels monomis que

formen l’equació una vegada reduïda.

Exemple: 3x2 + 2x = x

4 – x

2 – 9

09240923 24242 xxxxxxx . El grau és 4.

112

2. Digues de quin grau són les següents equacions, quines són les incògnites i quin

és el terme independent:

a) 3xy2 – 3x = 5 +3xy

2 Grau: Incògnita/es: Terme independent:

b) 644 525 xxxx Grau: Incògnita/es: Terme independent:

c) 664 25 xxx Grau: Incògnita/es: Terme independent:

d) 654 525 yyy Grau: Incògnita/es: Terme independent:

e) 338 4xxyy Grau: Incògnita/es: Terme independent:

f) 7494 22 xxxx Grau: Incògnita/es: Terme independent

g) 644 525 xxxx Grau: Incògnita/es: Terme independent:

1.2. SOLUCIONS D’UNA EQUACIÓ

Són els valors de les incògnites que fan certa la igualtat.

Exemple: x = 4 és una solució de 2x – 1 = 11 – x, ja que, si substituïm

x = 4, la igualtat és certa 7771841114·2 OK!!

En canvi, x=0 no ho és, ja que, si substituïm x=0,

111111001110·2 NO ÉS CERT!!! 111

NOTA: El grau d’una equació coincideix amb el major nombre de solucions que

aquesta pot tenir. Així, una equació de 1r grau tindrà, com a màxim, una solució.

Només hi ha una excepció a aquesta afirmació: quan l’equació té un nombre

infinit de solucions.

3. Substitueix els valors de x a les equacions i indica si és o no una solució:

2 1 3x x 3 1 3 2x x

1x

2x

4x

4. Comprova que x = 3 és solució de l’equació: 7 2 3 8x x

5. Comprova que y = 2 és solució de l’equació: 2y + 3 = 1 + y

6. Comprova que x = 1

2és solució de l’equació: 4x – 1 = 2x

7. Comprova que x = 2

3és solució de l’equació: 4x – 6 = 7x – 4

8. Comprova que y = -2 és solució de l’equació 2 · (3x + 1) = 5x

9. Comprova que 5

4x és solució de l’equació

2 1 3 93

4 2

x xx

113

1.3. EQUACIONS EQUIVALENTS

Dues equacions són equivalents quan tenen la mateixa solució.

Exemple: 2x + 1 = 5 solució x = 2

4x = 8 solució x = 2

10. Digues quines de les següents equacions són equivalents (primer troba la solució

per tempteig):

a) 4x = 20

b) 10 – x = 2

c) 10 – x = 5

d) 2x + 1 = 9

e) 4 + 3x = 19

f) 2x = 16

g) x – 6 = 2

h) 2x – 10 = 2

i) 10 = 2x

j) 2x – 1 = x + 4

2. EQUACIONS DE PRIMER GRAU

Una equació de primer grau amb una incògnita és una equació on la única

incògnita va elevada a 1.

Exemple:

2x + 3 = 5 És una equació de 1r grau

4 – 6y = 3 – y És una equació de 1r grau

4xy – 8 = 3 No és una equació de 1r grau.

NOTA: generalment, la incògnita d’aquestes equacions s’expressa amb la

lletra x.

11. Indica quines de les següents equacions són equacions de 1r grau:

a) 3y - 5y = 5 - 3x

b) 4t + 6t = 7t + 1

c) -5x2 – 9x = 45

d) 7 – 8x = 6

e) -3x + 6 = 12x – 3

f) –xt + 2xt = 4

g) 4x -5x

h) -4a + 9a = 456

i) 5g – 9k = 8

j) 5f + 7f

2.1. EQUACIONS IMMEDIATES

Per resoldre una equació de 1r grau amb una incògnita, cal aïllar la

incògnita. És a dir, deixar-la tota sola a un dels membres:

Per aïllar la incògnita s’han de tenir en presents algunes normes:

I.- Si un terme canvia de membre, canvia de signe. És a dir: el que suma

passa a l’altre costat del signe = restant. I a la inversa, el que resta passa

sumant.

114

Exemple 1: 14554 xxx el 4 ha canviat de membre

Exemple 2: 94554 xxx el -4 ha canviat de membre

II.- Si un nombre multiplica a la incògnita, passa a l’altre membre

dividint. Mentres que, si un nombre divideix a la x, passarà a l’altre

membre multiplicant.

Exemple1: 32

662 xx 2 passa dividint perquè multiplicava a x

Exemple 2: 204·554

xx

4 passa multiplicant perquè dividia a x

NOTA: A la segona norma no hi ha canvi de signe.

Fixa’t: és important tenir en compte els signes; si queda –x, per aïllar la

x cal llevar el signe - al 2n membre. Observa l’exemple

Exemple: 51

55 xx

12. Aïlla la incògnita i calcula’n la solució:

a) t – 5 = 7 b) 4 + x = 6 c) x – 9 = - 5

d) 1 = x + 5 e) 5 + x = 3 f) x – 2 = 2

g ) x + 54

3 h) y -

2

7

4

6 i) 1

4

5x

13. Aïlla la incògnita i calcula’n la solució:

a) 4x = 8 b) 5x = 25 c) 7x = 14 d) 8 = 2x e) 3x = - 18

f) – 3x = 6 g) – 4x = 24 h) 3 = 4x i) -y = 23 j) 15x = 3

14.Resol les següents equacions:

a) 34

x b) 7

3

x c) 5

3

x d) 5

6

x

e) 7

2

4

x f)

6

10

3

x g)

42

3 x h)

9

1

6

x

115

A una equació, normalment, tot està mesclat. És a dir, a la incògnita li

sumen, resten, multipliquen i divideixen diferents nombres. En aquests

casos s’ha d’aïllar la incògnita poc a poc:

1r . Separar en diferents membres els termes amb x dels termes sense x

aplicant la norma I.

Termes amb x = termes sense x

2n Agrupar els termes de cada membre. És a dir, es sumen o resten..

3r . Aïllar la incògnita aplicant la norma II.

4t Es realitza l’operació que ha quedat.

NOTA: Si al 3r pas resulta una fracció la divisió de la qual no es exacta,

no es divideix, es deixa en forma de fracció irreductible sempre que no

ens indiquin el contrari.

Exemples: Resoldrem l’eqació xx 843

1r pas: 483 xx separem els termes

2n pas: 124x agrupem els termes

3r pas: 4

12x aïllem la incògnita

4t pas: 3x operem

15. Troba la incògnita en cada cas:

a) 4x – 5 = 3

b) 3x + 6 = - 3

c) x + 7 = 5 – 6

d) 2x – 8 = 4

e) 3 + 4f = - 5

f) 4x – 4 = 0

g) 4 + 5x – 3 = 6

h) -4x + 4 = - 6

i) – 6 + 7a + 2 = 9

j) -x – 8 = 5

2.2 AMB EXPRESSIONS POLINÒMIQUES

Quan ens trobem amb incògnites als dos costats de l’igual farem:

1r. Passem les incògnites a l’esquerra de l’igual i els nombres que van

sense lletra (terme independent) a la dreta de l’igual.

116

2n. Agrupem les incògnites i els termes independents.

3r. Aïllem la incògnita com hem après a l’apartat anterior.

Exemple.

32

66241031043 xxxxxx

16. Troba x en cada cas i verifica la solució:

a) 9 3 5 1x x

b) 3x + 6 = 9 + 3x

c) 7 8 2 3x x

d) 5 9 12x x

e) 5x + 4 = 4x + 4 + x

f) 3 2 7 3x x

g) 6 5 9 3x x

h) 2 6 3x x

i) 9 5 4 8x x

j) 5 7 9 7x x

17. Resol les següents equacions:

a) 3 5 8 8 3 9x x x

b) 6x + 7 - 2x = 3 + 4x + 4

c) 9 4 6 25 4x x x

d) 4 8 8 9 3 2x x x

e) 4 – 5x + 3x = 2 - 2x + 8

f) 4 9 5 4 8 4 7 7x x x x

g) 4 7 3 5 8 2 6 19x x x x

h) 9 5 1 5 6 2 4x x x x

i) 4 2 7 1 9 7 2 11 8x x x x x

j) – 4x – 3 + 5 + 3x = - 8x + 10 + 7x – 8

Després de resoldre una equació ens podrem trobar amb 3 casos respecte

la solució:

- Té una solució: x = nombre

Exemple: 23

663 xx

- Té infinites solucions: 0x = 0 ó 0 = 0

Exemple: 001342342133 xxxxxxx

- No té solució: 0x = nombre ó x = 0

nombre

Exemple: 4015345314 xxxxxxx

18. Dels dos exercicis anteriors digues si tenen una, cap o infinites solucions.

117

2.3 EQUACIONS AMB PARÈNTESI

Per resoldre equacions amb parèntesi, seguirem els següents passos:

S’elimina el (o els) parèntesi, tenint en compte:

Si davant el parèntesi hi ha un signe +, el que hi ha dintre el

parèntesi no canvia quan el llevem.

Per exemple: 2 + 10)3(x

2 + x – 3 = 10

Si davant el parèntesi hi ha un signe - , el que hi ha dintre el

parèntesi canvia de signe quan el llevem.

Per exemple: )4(5431 xxx

1 – 3x = 4x + 5 – 4 + x

Si davant el parèntesi hi ha un nombre que multiplica al

parèntesis, es multiplica el nombre per tot el que hi ha dintre

el parèntesi. Així, al mateix temps eliminem el parèntesi cal

tenir en compte el signe del nombre que multiplica al

parèntesis.

Per exemple:

a) xxx 293)2(37

7 + 6 +3x – 3x = 9 + 2x

b) xxx 5120)1(515

15x – 5x + 5 =120 – 5x

Resulta una equació amb expressions algebraiques sense parèntesi,

que es reoldrà tal com s’ha vist a l’apartat 2.2


a) 73)2(3 xx

b) xxx 2)74(342

c) 2( 1) 6x x

d) 3( 1) 6x

e) 6 3( 2) 8x x

20. Resol les equacions:

a) 1 (4 ) 3 1x x

b) - 3( 2) 2 1x x

c) )4(5431 xxx

d) xxx 5120)1(515

e) 2 (2 ) 2 1 (1 2 )x x x x

118

21. Resol les equacions:

a) 2(3 5) 7 4 5( 2) 4x x x

b) 22 + 3 x - ( ) 2 x - 17 = 65

c) 7( 5) 2(4 ) 4 13x x x

d) 4 x + 31 - ( ) 7 x - 69 = 58

2.4 EQUACIONS AMB DENOMINADORS

Per resoldre equacions amb denominadors, cal seguir els següents passos:

Eliminar els parèntesi (si n’hi ha), tal com s’ha vist a l’apartat 3.3.

Eliminar els denominadors:

- Calculem el m.c.m de tots els denominadors de l’equació per

escriure-les amb el mateix denominador.

- Dividim el m.c.m pel denominador original de cada fracció i

multipliquem pel numerador original de cada fracció. Així obtenim

els nous numeradors.

- Quan tots els termes de l’equació tenen el mateix denominador, el

podem eliminar tenint en compte el signe que precedeix cada

fracció:

Si davant de la fracció hi ha un + , quan eliminem el

denominador, no canvia el numerador.

Si davant de la fracció hi ha un -, quan eliminem el

denominador, tots els termes del numerador canvien de signe.

Fixa’t: quan al numerador hi ha una suma de monomis, la fracció fa

el paper d’un parèntesi.

Resulta una equació amb expressions algebraique com les vistes a

l’apartat 2.2.


a) 52

x b) 12

3

x c )

26

4

x

d) 7

214

x e)

2 515

3

x f)

6 23

4

x

119

23. Resol:

a) 3 9

4 6

x

b) 2 6

6 9

x

c) 4 7

15 6

x

d) 8 4

14 21

x

24. Resol:

a) 3 1

410 5

x

b) 4 5

58 12

x x

c) 2

53 6

x x

d) 6 12 12

15 30 5

xx

25. Resol:

a) 2 1

42 3

x x

b) 5 3

22 6

x x

c) 3 1 1

45 3

x x

d) 2 3 3 1

79 12

x x

26. Resol:

a) 4 6 3 9

6 18

x x

b) 4 6 2 3 4 6

5 3 6

x x x

c) 1 2 3

14 3 2

x x xx

d) 3 4 3 5

5 02 6

x xx

e) 14

3

2

1

7

3 xx

f) 4 1 2 5 4 2

3 8 4 5

x x x x

g) 15

23

6

42 xx

x

120

27. Resol:

a) 13

26

9

)1(2 xx

b) 6

21

2

3)1(2

xxx

c) 14

)6(3

8

2x

xx

d) 2 1 5( 4)

1 3 6 9

x x x

e) 3 1 5 2

2( 1) 3 4 3 6

x xx x

f)2( 3) 3( 1) 4

1 ( 2)5 10 2

x x xx

g) 13

4)3(

5

2 xx

3. PROBLEMES D’EQUACIONS DE PRIMER GRAU

Per resoldre problemes mitjançant equacions de primer grau, el més

important és identificar la incògnita, i després saber passar l’enunciat del

problema a la seva traducció matemàtica.

28. Expressa algebraicament i resol l’equació resultant:

a) Troba un nombre que augmentat en 17 doni 43.

b) Troba un nombre que disminuït en 46 doni 81.

c) Troba un nombre que multiplicat per 15 doni 135.

d) Troba un nombre que multiplicat per 7 i sumat 5 al resultat doni 96.

e) Troba un nombre que dividit per 9 i restant 6 al resultat doni 5.

f) Quin és aquell nombre que el seu doble més el seu triple dóna 90?

g) El doble d’un nombre més 5 és igual al seu triple menys 19. Quin és?

121

29. Expressa algebraicament i resol l’equació resultant:

a) Els 3/4 d’un nombre és 27. Quin nombre és?

b) Els 5/7 d’un nombre és 40. Quin nombre és?

c) Quin nombre augmentat en 2/5 d’ell mateix dóna 35?

d) Quin nombre disminuït en 1/3 d’ell mateix dóna 42?

e) Un nombre augmentat en els seus 2/3 més els seus ¾ dóna 58. Quin és?

30. Troba un nombre tal que en restar-li 31 doni com a resultat 13.

31. Troba un nombre que sumat a 15 doni el triple de 23.

32. Amb 7 bitllets iguals tenim 350 euros. Quin és el valor de cada bitllet?

33. Quin nombre multiplicat per 7 dóna 245?

34. Si al doble dels diners que tinc li sumo 72 euros, obtinc 196 euros. Quants diners

tinc?

35. Si un nombre hi restes 15 i el resultat el divideixes per 3 obtens 20. De quin nombre

es tracta?

36. Si al nombre de cromos que té l’Elvira li sumes 17 i el divideixes per 2, obtens com

a resultat 16. Quants cromos té?

37. La meitat dels conills d’una gàbia sumen 36 potes. Quants conills hi ha?

38. A 1r d’ESO hi ha 13 noies més que nois. Si en total hi ha 83 alumnes, quantes noies

hi ha?

39. El triple de l’edat que tenia en Jordi fa 4 anys és el doble de la que tindrà d’aquí a 8

anys. Quina és l’edat actual d’en Jordi?

40. Una mare té 49 anys i la seva filla, 26. Quants anys fa que l’edat de la mare era el

doble que la de la filla?

41. El perímetre d’un quadrat fa 44 m. Quant fa de costat?

42. Entre dos amics tenen 87 cromos. Si l’un en té el doble que l’altre, quants cromos

tenen cada un?

43. La suma de dos nombres consecutius és 155. Quins nombres són?

122

4. EQUACIONS DE SEGON GRAU

Una equació de segon grau sempre es pot expressar de la següent forma:

ax2 + bx + c = 0 on a, b i c són nombres (sempre a és distint de zero)

Els termes a, b i c s’anomenen coeficients.

Per exemple: en l’equació 0753 2 xx a= 3 b= 5 c= -7

44. Assenyala en cada cas els coeficients:

a) 0652 xx a = 1 b = - 5 c = 6

b) 02092 xx

c) 0962 xx

d) 024186 2 xx

e) 082 xx

f) 2 10 25 0x x

g) 245 9 0

3x x

h) 0812x

45. Assenyala en cada cas els coeficients a, b i c:

a) 2 10 12 25x x b) 23 12 24x x c) 216 104 25x x

d) 23 2 10 1x x e) 25 12 4 8x x x

Resolució d’equacions de 2n grau:

Per resoldre equacions de segon grau, sempre que estigui expressada com cal

l’equació, aplicarem la següent fórmula:

ax2 + bx + c = 0 x=

a

acbb

2

42

Per exemple: 0452 xx a= 1 b=5 c=4

x=1·2

4·1·455 2

x=2

16255

x=2

95

x=2

35

12

2

2

351x 4

2

8

2

352x

123

46. Resol les següents equacions de segon grau:

a) 2 5 6 0x x

b) 2 6 0x x

c) 2 4 21 0x x

d) 2 2 8 0x x

e) 2 20 64 0x x

f) 22 6 0x x

g) 26 13 5 0x x

47. Resol les següents equacions de segon grau:

a) 22 32 0x

b) 2 16 0x x

c) 24 2 0x x

d) 23 27 0x

e) 22 0x x

f) 2 25 0x

g) 211 44 0x x

48. Resol les següents equacions de segon grau. Recorda que per poder aplicar la

fórmula l’equació ha d’estar expressada com cal:

a) xx 652

b) 10582 xx

c) 62 xx

d) 0)2)(3( xx

e) 3412 xx

f) 311)1( xxx

g) 92)3)(1( 2xxx

49. Resol:

a) 245 9 0

3x x

b) 22 1

3 2x x

c) 25 12 4 8x x x

d) 2 27 10 101 3x x x

e) 8)1(5 xxx

f) 8)13)(13( xx

g) 20)2()4( 22 xx

h) 15)12( 2 xx

124

5. AUTOAVALUACIÓ

1.- Resol les següents equacions i digues quantes solucions té:

a) 8)1(5 xxx

b) 4 · (x – 3) – x = - 9 + 3· (x – 1)

c) 189 x

d) 3x + 3 = 2x – 10 + x

2.- Resol les següents equacions de primer grau:

a) 3( 1) 4( 3) 22x x

b) )4(20)4(10 xx

c) 0)35()43( xx

d) )5(24)5(22 xx

3.- Resol les següents equacions de primer grau:

a) 5 x - 11

2 = 42

b) 5 x - 20

2 =

40 + 2 x

2

c) 2 x - 8

2 -

4 + 2 x

11 = 30

d) 1 5 3 3

3 5 6

x x x

4.- Expressa algebraicament i resol l’equació resultant:

a) El producte de x per 3 és 15

b) La tercera part de x és 18.

c) La tercera part de 2x és 14.

d) Dos terços de x són 6.

e) El doble de x menys 3 és 43.

5.- Resol les següents equacions de segon grau:

a) 01222 xx

b) 012 2 xx

c) 22 6 0x

d) 2 16 0x

e) 212 6 0

2x x

6.- Resol les equacions:

a) 21 8 0x

b) ( 2)( 3) 0x x

c) 2

2 9x

d) 221 100 21x x x

e) 2 10 12 25x x

125

UNITAT 9: SISTEMES LINEALS


1.1. EQUACIONS DE PRIMER GRAU AMB DUES INCÒGNITES.

1.2. REPRESENTACIÓ GRÀFICA.

1.3. SISTEMES D’EQUACIONS LINEALS.

1.4. TIPUS DE SOLUCIONS D’UN SISTEMA LINEAL.

2. MÈTODES DE RESOLUCIÓ DE SISTEMES LINEALS

2.1. MÈTODE GRÀFIC

2.2. MÈTODE DE SUBSTITUCIÓ

2.3. MÈTODE D’IGUALACIÓ

2.4. MÈTODE DE REDUCCIÓ

3. PROBLEMES

4. AUTOAVALUACIÓ

126


1.1 EQUACIONS DE PRIMER GRAU AMB DUES INCÒGNITES

Definició: Una equació de primer grau amb dues incògnites és una

igualtat en la qual apareixen dos valors desconeguts (dues incògnites)

amb exponent 1(primer grau).

Aquestes equacions reben el nom d’equacions lineals.

Exemple:

a) 2x + 5y = 12 (incògnites: x, y primer grau)

b) 5s – 9 = 8t (incògnites: s, t primer grau)

c) 3y2 – 6x = 9 (incògnites: x, y segon grau NO ÉS EQUACIÓ DE

PRIMER GRAU AMB DUES INCÒGNITES)

d) 4z3 + z – 1 = 5 (incògnites: z NO ÉS EQUACIÓ DE PRIMER

GRAU AMB DUES INCÒGNITES)

1. Digues quines d’aquestes igualtats són equacions lineals:

RECORDA: Han de ser de primer grau i amb dues incògnites.

a) 5x + 7y = 8

b) 6x2 + x = 3

c) 4z – 8t -1= 0

d) 5 + 7x = 9t

e) 4x – 8 = 6x

f) 5t3 + 7t – 3 = 0

2. Expressa mitjançant una equació lineal:

a) La suma de dos nombres diferents és igual a 3.

b) La suma d’un nombre més el doble d’un altre nombre és 4.

c) El triple d’un nombre menys un altre nombre és igual a -1.

d) La diferència d’un nombre i la meitat d’un altre és 10.

e) A l’edat de Joan li restem sis unitats i el resultat és la quinta part de l’edat de son

pare.

f) La tercera part d’un nombre més una unitat és la quarta part d’un altre nombre.

La solució d’una equació lineal està formada per dos valors, un per cada

incògnita, que compleixen l’equació lineal.

Exemple:

13) 5s – 9 = 8t solució: s = 1 t = - 1/2

14) 3y – 6x = 9 solució: x = -3 y = - 3

ATENCIÓ: Una equació lineal té infinites solucions, ja que qualsevol

parell de valors que compleix l’equació l’anomenarem solució.

Exemple: 2x + y =10

solució 1: x = 0 y = 10

solució 2: x = 1 y = 8

solució 3: x = - 1 y = 12

Així, successivament, podríem trobar més solucions de l’equació.

127

3. Calcula una solució de cadascuna d’aquestes equacions lineals:

a) 5x + 7y = 8

b) 6x + y = 3

c) 4z – 8t -1 = 0

d) 5 + 7x = 9y

e) 4y – 8 = 6x

f) 5t + 7s– 3 = 0

4. Comprova si el parell x = 1 i y = 2 és solució d’alguna d’aquestes equacions lineals:

a) x + 2y = 5

b) 3x – y = 2

c) 3x + 4y = 11

d) – x +2y = - 1

e) 7y – 2 = 2x

f) 9x – y = 7

1.2 SISTEMES D’EQUACIONS LINEALS

Un sistema d’equacions lineals està format per dues equacions lineals.

Per exemple:

6

3 2

x y

x y

La solució del sistema d’equacions serà la solució comuna a ambdues

equacions.

Per exemple:

x + y = 6 solucions de l’equació:

-x +3y = 2 solucions de l’equació:

La solució del sistema 6

3 2

x y

x y és x = 4 i y = 2

5. Resol els següents sistemes, cercant la solució comuna a ambdues equacions del

sistema lineal:

a) 2 5

3 2 7

x y

y x

b) 2 3 23

5 6 17

x y

x y

c) 3 7 9

5 2 23

y x

x y

x y

0 6

1 5

4 2

x y

0 2/3

4 2

1 1

128

6. Expressa mitjançant un sistema d’equacions lineals:

a) La suma de dos nombres és 5, i la seva diferència és 1.

b) El doble d’un nombre més la meitat d’un altre nombre és 4.I el primer nombre

més el triple del segon nombre és 10.

c) Si a una cistella de taronges li afegim 4 taronges és el doble del nombre de

pomes d’una altra cistella, però la diferència entre el nombre de taronges i el

nombre de pomes és 10.

1.3 TIPUS DE SOLUCIONS D’UN SISTEMA LINEAL

Quan resolem un sistema d’equacions lineal poden ocórrer diferents

casos:

Que el sistema tingui una solució, és a dir, un valor per cadascuna

de les diferents incògnites (sistema compatible determinat).

Que el sistema no tingui solució, és a dir, que no trobem cap

solució comuna a les dues equacions (sistema incompatible).

Que el sistema tingui infinites solucions, és a dir, que totes les

solucions de les dues equacions coincideixin (sistema compatible

indeterminat).

7. Resol els següents sistemes lineals, i digues de quin tipus són:

a) 5 19

2 7

x y

x y

b) 12

92

yx

yx

c) 1022

5

yx

yx

IMPORTANT!!!

De vegades tenim que modificar els sistemes lineal, ja que nosaltres

sempre voldrem les incògnites a l’esquerra i els nombres a la dreta.

SISTEMES D’EQUACIONS LINEALS AMB PARÈNTESIS.

De vegades ens trobarem sistemes lineals d’aquest tipus:

2( ) 3 11 2

5 2 3 3(2 )

x y y x y

y x y x

Aquí el que hem de fer és:

1r. Llevar els denominadors fent el mcm.

2n. Passar les x i les y a l’esquerra de l’igual, i els nombres a la dreta.

3r. Agrupar.

4t. Una vegada que està com sempre, resolem pel mètode que més ens

agrada o pel mètode que digui l’enunciat.

129

SISTEMES D’EQUACIONS LINEALS AMB DENOMINADORS.

De vegades ens trobarem sistemes lineals d’aquest tipus:

3 16

2 3

1 34

2 5

x y

x y

Aquí el que hem de fer és:

1r. Llevar els denominadors fent el mcm.

2n. Passar les x i les y a l’esquerra de l’igual, i els nombres a la dreta.

3r. Agrupar.

4t. Una vegada que està com sempre, resolem pel mètode que més ens

agrada o pel mètode que digui l’enunciat.

2. MÈTODES DE RESOLUCIÓ DE SISTEMES LINEALS

2.1 MÈTODE GRÀFIC

8. Representa als eixos de coordenades els següents punts:

A(2,1), B(-3,2), C(-1,-1),

D(4,-3), E(3,0), F(0,4),

G(-1,0), H(0,-2)

9. Troba les coordenades dels punts representats en aquesta figura:

130

10. Substituïu els valors de x en les equacions donades i calcula la y. Després escriu els

resultats en les taules donades.

a) 34xy

x y -1

0

1

2

b) 311xy

X y -1

0

1

2

11. Donada la següent equació : x + y = 5

a) Aïllar la y

b) Completar la taula de valors de x i y que compleixen la equació

c) Representar els punts de coordenades (x,y) que han sortit als eixos de

coordenades

d) Unir els punts per veure en quina línia es troben

12. Aïlla la “y” en les següents equacions:

a) 72 yx b) 82yx c) 643 yx

Per resoldre un sistema lineal pel mètode gràfic farem les següents passes:

1r. Aïllarem “y” a la primera equació i aïllarem “y” a la segona

equació.

2n. Dibuixarem cada equació en els mateixos eixos, com hem

après en apartats anteriors:

- Farem un taula de valors.

- Dibuixarem els punts obtinguts.

3r. La solució del sistema d’equació lineal és el punt de tall de les

rectes que representen cada equació (té una única solució)

x y

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

131

ALERTA!!! De vegades no obtenim un punt de tall, pot passar:

- Que les rectes siguin paral·leles (que no tinguin cap punt

en comú), en aquests cas el sistema no té solució.

- Que les rectes siguin la mateixa recta, en aquest cas el

sistema té infinites solucions.

EXEMPLE:

2 3 1

5 2 1

y x

x y

1r Aïllem y a la primera equació i y a la segona equació:

2

31312

xyxy (1)

2

51512

xyxy (2)

2n Fem una taula de valors per a la primera equació i per a la segona

equació. I dibuixem els punts per després traçar les rectes.

x y

0 5,0

2

1

1 -1

-1 2

x y

0 5,0

2

1

1 -3

-1 2

3r La solució és el punt d’intersecció: (-1,2), és a dir, x = -1; y = 2.

132

13. Resol gràficament:

a) 33

12

xy

xy

b) 3

32

yx

yx

c)5

33

xy

yx

14. Representa gràficament i escriu la solució:

a) 2( ) 3 11 2

5 2 3 3(2 )

x y y x y

y x y x

b)

3 16

2 3

1 34

2 5

x y

x y

2.2 MÈTODE DE SUBSTITUCIÓ

Per resoldre un sistema lineal pel mètode de substitució farem les

següents passes:

1r. Aïllem una incògnita en una de les equacions.

2n. Substituïm a l’altra equació.

3r. Resolem aquesta equació.

4t. D’aquesta forma obtenim una incògnita, però nosaltres volem

saber el valor de dues incògnites, per això hem de substituir aquest

valor obtingut a una de les equacions de l’enunciat.

EXEMPLE:

2 3 1

5 2 1

y x

x y

1r Aïllem x a la primera equació:

3

21213

yxyx

2n Substituïm a la segona equació:

123

215 y

y

3r Resolem:

24

8845361036105

3

3

3

6

3

10512

3

10512

3

215

yyyyyy

yyy

yy

y

4t Ara anem a la primera equació del principi i substituïm el valor de y

que és el que hem esbrinat:

13

3

3341313413)2·(2132

x

xxxxxy

Ja tenim la solució: x = -1; y = 2

133

15. Resol els següents sistemes d’equacions, mitjançant el mètode de substitució:

a) 112

8

yx

yx

b) 2 3 6

4 5 8

x y

x y

c) 6

4

x y

x y

d) 2

8

yx

yx

e) 3

182

xy

yx

f)6

152

yx

xy

16. Resol els següents sistemes d’equacions, mitjançant el mètode de substitució:

a) 12)1(2)2(3

103

yx

xy

d) 112

43

yx

yx

b) 4

5 2

3 21

x y

x y

e) 4)1(42

24)1(3

yx

yx

c)

5 1 3 43

7 2

5 2 3 14

4 5

x y

y x f)

4( 5) 2 10

2 3 11

x y

y x

134

2.3 MÈTODE D’IGUALACIÓ

Per resoldre un sistema lineal pel mètode d’igualació farem les següents

passes:

1r. Aïllem una incògnita a la primera equació.

2n. Aïllem la mateixa incògnita a la segona equació.

3r. Igualem les dues expressions i resolem aquesta equació que

hem obtingut.




EXEMPLE:

2 3 1

5 2 1

y x

x y

1r Aïllem y a la primera equació:

2

31312

xyxy

2n Aïllem la mateixa lletra a la segona equació, és a dir, la y:

2

51512

xyxy

3r Igualem i resolem:

12

2

22115351312

51

2

31

x

xxxxxxx

4t Ara anem a la primera equació del principi i substituïm el valor de x


22

4

423121321)1·(32132

y

yyyyxy


17. Resol els següents sistemes d’equacions, mitjançant el mètode de igualació:

a) 2 6

3 1

x y

x y

b) 6

2 11

y x

y x

c) 9

5 1

x y

x y

d) 2 13

2

x y

y x

e) 2 3 13

2 11

x y

x y

f) 3 4 26

8 22

x y

x y

135

18. Resol els següents sistemes d’equacions, mitjançant el mètode de igualació:

a) 5 3 72 5

15 1

y x x

x y

b) 2 22

5( 5) 3

x y

x y

c)

52 7

2

3 1

x y

x y

d)

8 4 4 27

3 2

2 2 12

2 2

x y

x y

e)

2 3( 1)4

4 2

3( 3) 5 4

x y

x y

2.4 MÈTODE DE REDUCCIÓ

Per resoldre un sistema lineal pel mètode de reducció farem les següents

passes:

1r. Multiplicarem les equacions per un nombre adequat, de tal

forma que una incògnita tingui el mateix nombre a la primera i a

la segona equació, però de diferent signe.

2n. Sumarem terme a terme i així se n’anirà una incògnita.

3r. Resolem aquesta equació.




EXEMPLE:

2 3 1

5 2 1

y x

x y

1r Col·loquem bé el sistema i multipliquem per (-1) la segona equació:

125

123

125

123

yx

yx

yx

yx

2n Sumem terme a terme i d’aquesta forma desapareix la y:

125

123

yx

yx

202 yx

3r Resolem l'equació que surt: 12

222 xx

4t Ara anem a la primera equació del principi i substituïm el valor de x


22

44231212312)1·(3 yyyyy


136

19. Resol els següents sistemes d’equacions, mitjançant el mètode de reducció:

a) 6

3 2

x y

x y

b) 5 19

2 7

x y

x y

c) 3 2 23

8

x y

x y

d) 3 5 6

2 24

x y

x y

e) 0

6 7 39

x y

x y

f)3 17

2 3 7

x y

x y

20. Resol els següents sistemes d’equacions, mitjançant el mètode de reducció:

a) 3( )154

23(1) 3( 1)

xy xy

x y xxy

b) 4(1)3( 2) 5

5( 3)23( )7

x y yx

x y yx

c)

12 5

13 7

x y

x y

d)

24

3 5

3 49

2 3

x y

x y

e)

112 22

7

3 214

8 4

xy

xy

f) 6(1)28(2)3(5)

3(2)2(1)

y yx y

xy x

3. PROBLEMES

Els sistemes d’equacions lineals s’utilitzen per resoldre problemes en els

quals hi ha dues dades desconegudes.

21. Resol els problemes següents mitjançant el plantejament d’un sistema d’equacions:

a) Busca dos nombres que difereixen en 4 unitats sabent que si restem el doble del més

gran del triple del més petit el resultat és 4.

b) He pensat dos nombres que hauràs d’endevinar. Només et diré que si sumes 119 al

primer obtens el doble del segon i que si restes 22 del segon obtens el triple del

primer.

c) Busca dos nombres sabent que la suma és 33 i la diferència, 23.

d) Busca dos nombres que sumen 24 sabent que el doble del primer més el triple del

segon és 54.

137

e) Fa 5 anys, l’edat de la Sònia era el doble de la que tenia en Pau. D’aquí a 8 anys, les

edats de tots dos sumaran 56. Quants anys té ara cadascun?

f) Un nen li diu a un amic: “Dóna’m 5 euros i així tindrem els mateixos diners tots

dos”. L’amic li respon amb ironia: “Sí, home... Dóna’m tu 10 euros i així jo tindré el

doble que tu”. Quants diners té cada amic?

22. Un grup de 24 amics i amigues. Sabem que el nombre d’al·lotes és el doble que el

d’al·lots. Quants al·lots hi ha?

23. En Joan ha comprat 3 caramels de fresa i 4 de menta, i ha pagat 11 euros. I en

Miquel ha pagat 8 euros per 1 caramel de fresa i 3 de menta. Què val un caramel de

fresa? I un de menta?.

24. A una granja hi ha, entre gallines i conills, 12 caps i 34 potes. Quantes gallines i

quants conills hi ha?.

25. L’edat d’un pare i la de la seva filla sumen 77 anys. D’aquí dos anys l’edat del pare

serà el doble de l’edat de la seva filla. Esbrina l’edat del pare i la de la filla.

26. El perímetre d’una parcel·la rectangular és de 90 m. Calcula les seves dimensions si

és 5 m més llarga que ampla.

27. Un comerciant disposa de dos tipus de te: de Ceilan, a 5’2 €/kg, i de l’Índia, a 6’3

euros el quilogram. Si vol obtenir 100 kg de te a 6 €/kg, quants quilograms de te de cada

classe ha de barrejar?

28. Un fill té 30 anys menys que el seu pare, i aquest té quatre vegades l’edat del fill.

Quina edat té cadascun?

138

4. AUTOAVALUACIÓ

1. Realitza la representació gràfica de les següents equacions lineals:

a) 2x + y =10

b) x – 3y = 15

c) 3x + 5y =14

d) x =7 + 3y

2. Resol gràficament:

3

32

xy

yx

3. Resol mitjançant substitució:

12)1(2)2(3

103

yx

xy

4. Resol mitjançant igualació:

2 6

3 1

x y

x y

5. Resol mitjançant el mètode de reducció:

5 19

2 7

x y

x y

6. En Joan ha comprat 3 caramels de fresa i 4 de menta, i ha pagat 11€. I en Miquel ha

pagat 8€ per 1 caramel de fresa i 3 de menta. Què val un caramel de fresa i un de

menta?

7. Na Júlia té 12 monedes de 20 cèntims i altres de 50 cèntims. Si en total té 3’30 euros,

quantes monedes de cada tipus porta?

139

UNITAT 10: FUNCIONS

1. COORDENADES CARTESIANES.

2. CONCEPTE DE FUNCIÓ.

3. CREIXEMENT, DECREIXEMENT, MÀXIMS I MÍNIMS.

4. FUNCIONS DE PROPORCIONALITAT.

5. FUNCIONS LINEALS.

6. FUNCIONS CONSTANTS.

7. EXERCICIS.

8. AUTOAVALUACIÓ.

140

1. COORDENADES CARTESIANES.

En el joc dels vaixells per indicar cada tirada s'utilitza un conveni:

s'enumeren les files (horitzontals) i les columnes (verticals), d'aquesta forma

cada casella queda identificada per dos valors. Per exemple A1, B2 o F5.

A1: Aigua

B3: Tocat

F5: Tocat i enfonsat

Quan s’interpreten gràfiques i situen punts del pla, s'utilitza un sistema

similar al del joc dels vaixells. Cada punt del pla queda determinat per les

distàncies a un parell de rectes o eixos perpendiculars. Aquestes distàncies

s'anomenen coordenades cartesianes. El nom es deu al matemàtic i filòsof

francès René Descartes (1596-1650).

L'eix horitzontal s'anomena eix d'abscisses o eix de les x i el vertical eix

d'ordenades o eix de les y; el punt on coincideixen els dos eixos s'anomena

origen de coordenades. Els eixos divideixen el pla en quatre quadrants.

Sobre cada eix es tria una mida que representarà la unitat. Amb aquesta

mida es marquen els eixos a partir de l'origen de coordenades. Cap a la dreta

i cap amunt és el sentit positiu i cap a l'esquerra i cap avall, el negatiu.

La mida pot ser diferent per cadascun dels eixos.

Cada punt del pla té dues coordenades cartesianes (x,y) que l'identifiquen: la

x s'anomena l'abscissa i representa la distància del punt a l'eix horitzontal i

la y s'anomena l'ordenada i representa la distància a l'eix vertical, amb el

corresponent signe segons la posició del punt respecte dels eixos.

141

1. Representa gràficament els punts:

A=(-3,5), B=(4,1), C=(0 , -2), D=( -1, -3), E=( 4, 0), F(0,0) ,G(-1,-2), H(6, -1),

I(-2,0), J(0,7)

x y

142

2. Fes una taula de valors de la gràfica que fa correspondre a cada valor de l'eix

horitzontal mil vegades el seu valor en l'eix vertical, tria l'escala més adequada

per cada eix.

x y

2. CONCEPTE DE FUNCIÓ.

Les companyies de telefonia mòbil presenten les tarifes de trucades com en el

següent exemple:

Quant costaria fer una trucada de cert temps de durada en l'horari normal, per

exemple?.

Fixa't el cost de la trucada està relacionat amb el temps que duri la mateixa;

el cost depèn del temps o, el que és el mateix, el cost és funció del temps.

Una funció és una relació entre dues magnituds o variables. Una és la variable

independent i l’altra, la variable dependent. A l’exemple, la variable

143

independent és el temps de cada trucada i la dependent és el seu cost. Hi ha

moltes formes de presentar una funció:

Mitjançant un enunciat.

Amb una taula de valors.

Amb una gràfica.

Amb una fórmula.

En l’exemple, l'enunciat consisteix en un quadre informatiu amb el preu de les

trucades per minut. Fixa't, en el cas de l'horari reduït, com es passa d'una forma

d'expressió a una altra:

Temps (minuts) Preu de la trucada

(en cèntims d'euro)

0 6,85

1 17,35

2 27,85

3 38,35

Enunciat Taula de valors

Preu de la trucada

(en cèntims d'€)

=

6,85 + 10,5 · minuts

Fórmula

y=6,85 +10,5x

Gràfica

Totes aquestes formes són equivalents i es pot passar d’una a un altra. És a dir,

a partir de l'enunciat es pot obtenir una taula de valors, deduir la fórmula i fer

una gràfica de la funció. I també, a partir d'una fórmula es pot establir un

enunciat. Així com, a partir d'una gràfica deduir la fórmula.

Hi ha gràfics que NO corresponen a funcions: aquells on per a un valor de la x

es pot obtenir més d’un valor d’y. La gràfica de la funció és més precisa quan

més punts es dibuixen. Sobre tot en el cas de funcions els gràfics de les quals

no són rectes.

RECORDA: per cada valor de la x hi ha un únic valor de y. Si per a un valor

de x hi ha més d’un valor de y, NO ES TRACTA D’UNA FUNCIÓ. Hi ha

144

gràfiques que representen relacions entre variables que no corresponen a

funcions, perquè a algun valor de x li correspon més d'un valor de y.

Exercici resolt: Quins d’aquests gràfics corresponen a funcions?

A és la gràfica d’una funció.

B, C i D no corresponen a la gràfica d’una funció perquè hi ha punts que tenen dos o

més imatges.

3. CREIXEMENT, DECREIXEMENT, MÀXIMS I MÍNIMS.

Funcions creixents i decreixents:

Exemple: quan es fa una reforma, a mesura que augmenta el nombre d'hores

de feina, més elevat serà el cost i si amb més treballadors, menys temps es

trigarà acabar-la.

El primer (temps i cost) és un exemple de funció creixent.

Mentre que el segon (treballadors i temps) és un de funció decreixent.

Augment d'hores (x) Augment del cost (y)

Augment de treballadors (x) Disminució hores (y)

145

Considerem la funció que relaciona les

hores treballades per dos picapedrers i el

cost de l'obra en euros que ens cobraran.

Els treballadors cobren 36 € l'hora i el

material utilitzat costa 250 €.

x = temps treballat (hores)

y = cost de l'obra (€)

y = 36 x + 250

Observa: si treballen més hores (x), major

serà el cost (y).

A mesura que augmenta el valor de x també augmenta el valor de la y.

Aquesta característica defineix les funcions creixents.

Considerem ara la funció que relaciona el

nombre de pintors i el temps que trigaran

en pintar un bloc de pisos. El bloc es força

gran i un pintor tardaria 36 dies.

x = nombre de pintors

y = temps que trigarien (dies)

Observa: si el nombre de pintors

augmenta (x), menys temps trigaran en

acabar l'obra (y)

A mesura que augmenta el valor de x disminueix el valor de la y. Aquesta

característica defineix les funcions decreixents.

Màxims i mínims:

Moltes funcions no són sempre creixents o decreixents sinó que tenen trams

de creixement i trams de decreixement. Els punts on passa de créixer a

decréixer són màxims i els punts on passa de decréixer a créixer són

mínims.

La funció següent té un màxim al punt (1,2) i un mínim al punt (-1,-2)

146

3. Ompli el buit amb la paraula corresponent:

Una funció és .......... si en augmentar el valor de la x també augmenta el valor de la y..

Una funció és decreixent si en augmentar el valor de la x, el valor de la y .................. ..

Quan les funcions venen donades en forma d'enunciat

4. Indica si les funcions següents són creixents o decreixents:

Funció Creixent Decreixent

Considerem la funció que relaciona la longitud del costat d'un

quadrat amb la seva àrea.

Considerem la funció que relaciona la velocitat d'un cotxe i el

temps que trigaríem en recórrer 700 km.

Considerem la funció que relaciona la quantitat d'aigua de mar i

la sal que se'n pot extreure.

Considerem la funció que relaciona la quantitat de taronges i el

preu.

Considerem la funció que relaciona l’espai recorregut per un

cotxe i el temps transcorregut. El cotxe va a una velocitat

constant de 90 km/h.

Considerem la funció que relaciona la quantitat de dissolvent

que hi ha en un litre de producte i la concentració.

Considerem la funció que relaciona el descompte que ens fan

en la compra d'un reproductor de DVD's que val 79 € i el preu

que hem de pagar.

x

y

1

2

- 1

- 2

2 - 3

147

Quan les funcions venen donades per una gràfica

5. Observa les gràfiques següents i digues quines són creixents i quines són

decreixents:

Creixent Decreixent

Creixent Decreixent

Creixent Decreixent

Quan les funcions venen donades amb una fórmula

6. Observa les fórmules següents i digues quines corresponen a funcions creixents i

quines a decreixents:

y = x + 3

y = 100 - x

Creixent Decreixent

Creixent Decreixent

Creixent Decreixent

7. Observa la gràfica següent. Representa la variació de la temperatura que ha

sofert un malalt durant tot un dia.

a. Quina temperatura tenia a les 4h de la matinada?................ I a les 8h?.................

b. Entre les 4h i les 8h la temperatura ha pujat o ha baixat?

c. Entre les 4h i les 8h la funció és creixent o decreixent?

148

d. Quina temperatura tenia a les 10h del matí?.................. I a les 12h del

migdia?..............

e. Entre les 10h i les 12h la funció és creixent o decreixent?

f. Podem dir que entre les 14h i les 22h la funció és decreixent?

g. Abans de les 16h la funció és.......................(creixent o decreixent) després de les

16h la funció és...............(creixent o decreixent) per tant a les 16 h ..................(hi

ha un màxim o mínim) i val........

h. Abans de les 20h la funció és.......................(creixent o decreixent) després de les

20h la funció és...............(creixent o decreixent) per tant, a les 20 h

..................(hi ha un màxim o mínim) i val........

i. A quines hores hi ha temperatures mínimes? (marqueu amb una creu)

j. A quines hores hi ha temperatures màximes? (marqueu amb una creu)

Completa la taula següent.

Hora De 0h a 4h 4h

Funció decreixent

mínim

que val

37

4. FUNCIÓ DE PROPORCIONALITAT.

Al mercat, a les botigues, o al supermercat és un bon moment per exercitar el

càlcul mental.

Quant val una poma que pesa 250 g si el kg va a 2 €?

A quant surt el quilo de pernil, si 100g costen 1,65 € ?

Una llauna de tonyina val 0,75 €, l'oferta és 3 llaunes per 2 €, quin estalvi

suposa?

A banda d'ofertes o descomptes, els preus de molts productes són

proporcionals al seu pes. Per exemple, si un quilo de pomes val 2 €, dos

quilos valdran 4 €, tres quilos 6 €, etc. En la següent taula de valors es

recullen els preus per diferents pesos.

El preu i el pes són dues magnituds directament proporcionals. Si es

representen aquests valors en uns eixos de coordenades resulten punts

alineats. La recta que passa per aquests punts mostra la relació el preu i el

pes.

2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22

2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22

149

Preu per quilo: 2 €

Pes en

quilos Preu

0 0

0,5 1

1 2

1,5 3

2 4

El preu és igual al doble del

seu pes, és a dir:

Preu = 2 · Pes

Si x representa el pes, la

fórmula de la funció

corresponent és:

y = 2 · x

En aquest exemple la variable independent x representa el pes i no pot

prendre valors negatius, per tant, la gràfica queda restringida al primer

quadrant.

Aquest tipus de funció s'anomena funció de proporcionalitat

directa i es caracteritza per: tenir una fórmula del tipus y = m x.

El coeficient m que multiplica a la x és el pendent de la recta que

informa sobre la seva inclinació.

La gràfica és una recta que passa per l'origen de coordenades.

5. FUNCIONS LINEALS.

En els últims anys ha proliferat la venda de tot tipus de productes per

Internet. Ofereixen un descompte sobre el preu normal i te'ls porten a casa.

Són uns grans avantatges, però també té els seus inconvenients com és que

et cobren el cost del transport i no tens l'assessorament del personal de la

botiga. Anem a analitzar la part econòmica en un cas concret.

150

Compres per internet:

Na Marta és aficionada a les plantes i necessita fertilitzant. A la botiga val

3’5€ el kg mentrestant que per Internet, 2’5 €/kg més 5 € pel transport de

tota la comanda. Tant a la botiga com per Internet accepten devolucions,

però no tornen els diners del transport.

Completa els espais :

A LA BOTIGA VENDA PER INTERNET

Preu del kg: 3’5 €

Transport: 0 € Preu del kg: €

Transport: €

Pes (kg) Import (€)

0 0

1 3’5

2 7

3 10’5

4 14

Pes (kg) Import (€)

0 5

1

2

3 12’

4 15

Observa que si la Marta compra el

doble de fertilitzant haurà de pagar

el doble.

Observa que no es compleix que si

compra el doble de fertilitzant pagarà

el doble.

La fórmula d'aquesta funció és:

Import = 3’5 · pes

y = 3’5· x

La fórmula d'aquesta funció és:

Import = · pes +

y = · x +

Observa que en el primer cas tenim una funció de proporcionalitat directa:

Si doblem, tripliquem,... el pes, aleshores l'import queda duplicat,

triplicat,...

La fórmula és del tipus y = m x.

La gràfica és una recta que passa per l'origen de coordenades.

En canvi, en el segon cas, no es dóna cap d'aquestes afirmacions. Es tracta

d'un nou tipus de funció anomenat funció lineal . Les funcions lineals es

caracteritzen per:

Tenir una fórmula del tipus y = m x + n.

m és el pendent de la recta i n és l’ordenada en l’origen, és a dir, n té

el valor de y quan x = 0.

La gràfica és una recta que no passa per l'origen de coordenades.

151

8. Un agent d’assegurances d’una empresa asseguradora (A) guanya un mínim de

400 € al mes i , a més a més, 12€ per cada assegurança que contracta. L’agent

d’una altra asseguradora (B) guanya 20€ per cada assegurança contractada, però

no té sou fixe.

a) Expressa la fórmula de la funció que relaciona el nombre d’assegurances

contractades amb el sou que rep l’agent, en cada asseguradora.

b) Dibuixa’n les dues gràfiques en els mateixos eixos de coordenades.

c) Quantes assegurances ha de contractar l’agent de l’asseguradora B per

guanyar més que l’agent de l’asseguradora A?

6. FUNCIÓ CONSTANT.

Un cas especial de funció afí són les funcions constants.

Un exemple podria ser la relació entre el temps (en hores) que estem en un

parc temàtic i el preu que ens cobren. Sigui quina sigui l'estona que estiguem

haurem de pagar el mateix preu, 36€.

Taula de valors: Gràfica:

Temps

(h) Preu

(€)

1 36

2 36

3 36

4 36

5 36

6 36

7 36

Fórmula: y = 36

Fixa’t:

A la taula es veu que per qualsevol valor x, la y és 36.

La representació gràfica és una recta horitzontal.

A la fórmula no hi ha x, el pendent és 0. És a dir,

y = 0·x + 36 = 0+36 =36

Aquestes són les característiques de les funcions constants.

9. Hem representat gràficament quatre funcions, però no sabem quina gràfica

correspon a cada fórmula. Completa la taula

152

10. Representa gràficament les funcions 1,0,3 yyy en un mateix eix

d’ordenades.

7. EXERCICIS.

11. Gradua els eixos de coordenades de -10 a 10 i dibuixa els punts A=(3,0), B=(-

5,0), C=(-3,-4), D=(4,-2), E=(0,-3), F=(1,4), G=(0,1) i H=(-1,4).

12. Completa la taula següent indicant a quin quadrant pertany cada punt.:

Punt Quadrant

o eix

Fórmula

153

13. La gràfica següent representa la relació entre el nombre de fotocòpies i el seu

preu. Cada fotocòpia val 0,03 €. Fes una taula pels valors que s'indiquen a la

gràfica. Quina és la fórmula de la funció?

Còpies preu

14. Construeix una taula de valors de la funció y = x2 (agafa primer els valors enters

de x des de -3 fins a 3) i representa el gràfic d’aquesta funció.

15. Completa la taula de valors corresponent a la gràfica de les tarifes del pàrquing.

Temps Cost (€)

de 0 a 30 min

de 30 min a 1 h

de 1 h a 1h i 30 min

de 1 h i 30 min a 2 h

de 2 h a 3 h

de 3 h a 4 h

16. A una sortida, un ciclista manté una velocitat constant de 20km/h durant les 3

primeres hores. La mitja hora següent, redueix la velocitat fins a 15km/h per

mantenir-se amb aquesta velocitat mig hora més. Les darreres 2 hores a viatja a

10km/h.

a ) Representa en un gràfic la velocitat del ciclista en funció de les hores.

b) Quants kilòmetres ha recorregut el ciclista la 1a hora? I la 2a?

c) Quantes hores ha durat la sortida?

d) Representa en un gràfic els kilòmetres recorreguts en funció de les hores.

154

17. Completa la taula de valors corresponent als preus de les copisteries ARTIS i

RUBEN.

ARTIS RUBEN

còpies preu (€) preu (€)

10

20

25

30

40

18. Dibuixa la gràfica d'una funció creixent i una altra d’una funció decreixent en

diferent eixos de coordenades.

19. Observa les fórmules següents i digues quines corresponen a funcions creixents i

quines a decreixents. Justifica la teva resposta

Funció Creixent o

decreixent?

Justificació

y = x + 3

y = 2

x

y = 100 – x

20. Fes les taules de valors corresponents a les funcions f(x) = x i g(x) = 4x i

dibuixa en els mateixos eixos de coordenades les rectes corresponents a

ambdues funcions. Agafa com a valors de x dos de positius i dos de negatius.

155

21. Realitza el gràfic tres rectes de pendent positiu (utilitza colors diferents) i anota,

per cadascuna d’elles, un punt de la recta diferent del (0,0), el seu pendent i la

seva fórmula. Fixa't com varia el pendent de les rectes segons la seva inclinació.

Fórmula Pendent Punt

22. Dibuixa tres rectes de pendent negatiu (utilitza colors diferents) i anota per

cadascuna un punt pel que passi diferent del (0,0), el seu pendent i la seva

fórmula. Fixa't com varia el pendent de les rectes segons la seva inclinació.

Fórmula Pendent Punt

23. Dibuixa una recta i la seva simètrica respecte l’eix d’ordenades, fes la taula de

valors de cadascuna i escriu la seva fórmula.

24. Et proposem que facis una petita investigació. Es tracta d'esbrinar quina relació

hi ha entre una funció afí del tipus f(x) = mx + n i una del tipus f(x) = 1

m x + p

on m, n i p són nombres qualssevol. Observa que una té pendent m i l'altra 1

m.

Quin ha estat el resultat de la teva investigació?

25. Què tenen en comú les fórmules i les gràfiques d'aquestes parelles de funcions?

a. f(x) = 4x - 3 i g(x) = 4x + 9

b. f(x) = -2x + 6 i g(x) = 7x + 6

26. Dues rectes al pla es tallen o són paral·leles. Quina relació té aquest fet amb el

pendent d'una recta? Si sabem les fórmules de dues rectes com podem saber si es

tallen o són paral·leles sense fer la representació gràfica?

27. Un cop has vist la representació gràfica de moltes funcions afins t'hauràs adonat

que algunes són creixents i d'altres són decreixents. Com es pot saber si una

funció afí és creixent o decreixent a partir de la seva fórmula?

156

28. Escriu un exemple concret de funció constant, amb la taula, gràfica i fórmula

corresponent. Dóna-la en forma de gràfica, taula i fórmula:

29. Escriu les taules de valors corresponents a les funcions f(x) = 2x2 i g(x) = -x

2 i

dibuixa les gràfiques d’aquestes funcions:

30. Joan dibuixa rectangles en els quals el llarg és tres vegades l'ample. Escriu

l'equació que dóna el llarg corresponent a un ample i representa-la.

31. Troba alguns punts de la funció y = 2x - 1 i representa-la.

32. Representa les funcions següents, indica quin tipus de funció és i assenyala quin

és el seu pendent:

a) xy3

2 b) 5xy

33. Com és la representació gràfica de la funció y = 5? Representa-la.

34. Pere ha comprat taronges al preu de 3 €/kg. Escriu l'equació corresponent i

representa-l

35. Observa la representació gràfica

d'aquesta funció i sense fer cap

càlcul, indica quina és la seva

equació:

36. Deu quilos de tomàtigues valen 16€.

a) Quines variables hi relacionem?

b) Expressa la funció de totes les maneres possibles (fórmula, gràfica i taula de

valors).

c) Quin tipus de funció és?

d) Quant val un sac de 7kg de tomàtigues?

37. La temperatura en un lloc de l’Antàrtica, a les 12h, és 5ºC i cada hora baixa 4ºC.

a) Expressa la funció de totes les maneres possibles.

b) Quin tipus de funció és?

c) Quina temperatura fa a les 19h?

38. En un parc d’atraccions, l’entrada val 20€. En Joan ha muntat a 4 atraccions i ha

pagat 32€ en total.


157

b) Expressa la funció de totes les maneres possibles ( fórmula, gràfica i taula de

valors).


d) Quant valdrà entrar al parc i muntar a 6 atraccions?

39. Na Maria ha pagat 740€ per 6 mesos de lloguer d’un pis. Si cada mes ha pagat el

mateix, amb una fiança inicial de 140€:


b) Expressa la funció de totes les maneres possibles ( fórmula, gràfica i taula de

valors).


d) Quant costaria llogar el pis durant 8 mesos?

158

8. AUTOAVALUACIÓ

1. Na Marta ha pagat 110€ per apuntar-se tres mesos a natació, incloent-hi la matrícula

de 50€. Estudia i representa la funció “nombre de mesos” i “preu” i determina quant li

costarà assistir-hi 10 mesos. Quant de temps hi estaria apuntada si hagués pagat 290€?

a) 250€ i 11 mesos b) 225€ i 11 mesos c) 250€ i 12 mesos d) 275€ i 12 mesos

2. Quina funció no és proporcional?

a) xy 4 b) xy 2 c) 12xy d) xy 7

3. Quina funció és afí?

a) 14 5xy b)

xy

2

c) 32xy d) xy 7

4. La funció xy 6 :

a) Sempre és creixent.

b) Sempre és decreixent.

c) No representa una funció.

d) De vegades creix i d’altres decreix.

5. El punt 3,0 pertany a la funció:

a) xy 6 b) 37xy c) 12xy d) xy 7

6. Quin punt no pertany a la funció d’equació 632 yx ?

a) (0,2) b) (3,0) c) (-3,4) d) (-4,3)

7. Per polir un terra de parquet ens cobren 60€ de desplaçament i 5€ per metre quadrat.

La funció que relaciona el cost final y i els metres x és:

a) 605xy b) 560xy c) 605xy d) y = 5x

8.Representa les següents funcions:

a) 2xy b) xy 3 c) 5y

159

UNITAT 11: SEMBLANÇA

1. FIGURES SEMBLANTS

2. ESCALES, PLÀNOLS I MAPES

2.1 ESCALA

2.2 PLÀNOLS I MAPES

3. TEOREMA DE TALES

3.1 TEORIA I SIGNIFICAT

3.2 TRIANGLES SEMBLANTS

4. TEOREMA DE PITÀGORES


4.2 APLICACIONS DEL TEOREMA

4.2.1 ESBRINAR SI UN TRIANGLE ÉS RECTANGLE

4.2.2 CÀLCUL DE LA HIPOTENUSA D’UN TRIANGLE RECTANGLE

4.2.3 CÀLCUL D’UN CATET D’UN TRIANGLE RECTANGLE

5. AUTOAVALUACIÓ

160

1. FIGURES SEMBLANTS

Dues figures són semblants quan només difereixen en la seva grandària.

En aquest cas, els segments corresponents són proporcionals (tots han de

tenir la mateixa raó de semblança)

Es diu raó de semblança al quocient entre les dues longituds

corresponents.

1. Troba les raons de semblança (la figura de l’esquerra a la figura de la dreta).

2. Quines d’aquestes figures són semblants? Quina raó de semblança tenen?

2. ESCALES, PLÀNOLS I MAPES

2.1 ESCALA

Escala és el quocient entre cada longitud en la reproducció (mapa, plànol

o maqueta) i la corresponent longitud de la realitat. És a dir, és la raó de

semblança entre la reproducció i la realitat.

3. A un mapa amb escala 1:1500000, la distància entre dues ciutats és 2’5 cm.

a) Quina és la distància real entre elles?

161

b) Quina serà la distància en aquell mapa entre dues ciutats A i B amb

distància real 360 km?

2.2 PLÀNOLS I MAPES

El plànol d’una casa és una imatge fidel de la realitat. Té la mateixa

distribució, la mateixa forma que la casa real i les dimensions estan

reduïdes segons una escala.

Un mapa és una figura semblant a la porció de territori que representa.

4. Felip s’ha comprat una casa. Com que ha de fer reforma ha fet un plànol a escala

1:200 per fer-se una idea dels despeses.

a) Felip vol canviar les rajoles del sòl de la cuina, quants m

2 té la seva cuina? Quants

diners es gastarà si el m2 de rajoles val a 18€/m

2?

b) Calcula l’àrea real del dormitori.

5. Calcula les dimensions reals de les diferents habitacions d’aquesta casa:

Escala 1: 200

162

6. Disposem d’un model a escala 1:42 d’un SIMCA 1200. Les mides del model són les

següents:

7. El cotxe que tens a la fotografia és un Maserati MC12, les seves mesures reals són:

Llarg 5’143 m

Amplada 2’096 m

Volem dibuixar-lo de perfil a escala 1: 50 en un full

DIN-A4. Hi cabrà?

Mides model Mides reals

Llargària 8’4 cm

Amplada 3’5 cm

Distància entre eixos 6 cm

Alçària 3’2 cm

163

8. Relaciona cada escala amb la distància al pla i la distància real.

9. Volem anar de l’ institut a la Plaça de les Columnes. Hem programat un itinerari i

volem saber la distància que farem. Observa el plànol que està a una escala 1:4000.

Calcula les següents distàncies en metres fent servir l’escala gràfica del plànol:

a) Sortim de l’ institut i anem fins el carrer Puerto Rico.

b) Anem des del carrer Puerto Rico fins al carrer Caracas.

c) Anem des del carrer Caracas fins al carrer Manuel Azaña.

d) Després voltem a l’esquerra pel carrer Manacor.

164

e) Després voltem a la dreta del carrer Tomás Forteza.

f) I per últim girem a la dreta al carrer Nuredduna fins arribar a la Plaça de les

columnes.

3. TEOREMA DE TALES


Direm que la posició de Tales és quan tenim rectes paral·leles que tallen a

dos semirectes que formen un angle.

TEOREMA DE TALES

Si tenim tres rectes paral·leles a, b i c que tallen a les rectes r i s, és a dir,

estan en posició de Tales, aleshores els segments que determinen són

proporcionals:

''''' CB

BC

BA

AB

OA

OA

En general, podem afirmar que qualssevol dels segments que es formen

són proporcionals:

''' OC

OC

OB

OB

OA

OA

''' CC

OC

BB

OB

AA

OA

165

10. Determina (sense fer servir el regle...) la longitud dels segments indicats mitjançant

el teorema de Tales. Després pots comprovar que la solució obtinguda és correcta

mesurant el segment.

a)

OA = 4’2 cm, AB = 3 cm, OA’= 3’4 cm, OC = 11’9 cm.

A’B’= ? , OC’ = ?

b)

OB = 7’8 cm, OC = 12’3 cm, OB’ = 8’3 cm, B’C’ = 4’7 cm, OA = 4’7 cm.

OC’ = ? , BC = ? , OA’ = ?

166

c)

OA’ = 3’5 cm, A’B’ = 4’3 cm, AB = 6’3 cm, B’C’ = 2’2 cm,

OA = ?, BC = ?

11. Al teu quadern dibuixa dues rectes paral·leles que es tallen amb dues rectes secants.

Mesura els segments interceptats entre les rectes paral·leles i secants, i comprova que

s’hi compleix el teorema de Tales.

Una aplicació immediata del teorema de Tales és la divisió en parts iguals

d’un segment.

Exemple: Volem dividir el segment AB en tres parts iguals.

Els passos a seguir són:

Dibuixem el segment AB A B

Dibuixem una semirecta a partir del vèrtex A

A B

Marquem a la semirecta tres segments iguals consecutius de

qualsevol mesura.

Unim el darrer segment marcat amb l’extrem B del segment.

167

Tracem paral·leles pels segments marcats.

Ja tenim el segment AB dividit en tres parts iguals.

12. Divideix gràficament un segment de 10 cm per la meitat.

13. Divideix gràficament un segment de 15 cm en cinc parts iguals.

14. Divideix gràficament en tres parts iguals un segment AB de longitud 10 cm.

15. Senyala el punt mitjà d’un segment qualsevol dividint-lo en dues parts iguals.

16. Troba gràficament els 2

3d’un segment de 14 cm.

17. Divideix el segment AB en parts proporcionals a CD i EF

18. En Joan i la Lluïsa es volen repartir 20 m de cable elèctric en parts proporcionals a 4

i 8. Quants metres li tocaran a cadascú?

Una altra aplicació del teorema de Tales és la semblança de triangles. Així

que el primer que definirem són els triangles en posició de Tales.

Si dos triangles tenen un angle en comú i els costats oposats són paral·lels

tenim dos triangles en posició de Tales.

Els triangles ABC i ADE estan en posició de Tales.

168

3.2 TRIANGLES SEMBLANTS

Dos triangles són semblants si tenen els seus angles respectius iguals i els

costats proporcionals.

Anomenem raó de semblança al nombre que relaciona els costats

proporcionals dels triangles semblants.

Exemple:

Si els angles mesuren:A = 40º, B = 110º i C = 30º

Si els costats mesuren: a = 12cm, b = 18 cm i c = 4cm

Si els angles mesuren:A = 40º, B = 110º i C = 30º

Si els costats mesuren: a = 6cm, b = 9 cm i c = 2cm

Els angles són iguals i els costats proporcionals:

2

4

6

12

9

18

Com els costats són proporcionals i els angles respectius són iguals, són

triangles semblants.

La raó de semblança és 2, ja que 2

4

6

12

9

18=2

19. Comprova si els següents triangles són semblants i determina la seva raó de

semblança:

a)

169

b)

c)

d)

20. a) Dibuixa un triangle semblant al següent amb una raó de semblança de 2 (les

unitats del dibuix són centímetres):

A

50º 5

4

170

b) Dibuixa un triangle semblant al següent amb una raó de semblança de 1,4 (les unitats

del dibuix són centímetres):

c) Dibuixa un triangle semblant al següent amb una raó de semblança de 1/2 (les unitats

del dibuix són centímetres):

En lloc de comprovar totes les característiques per saber si dos triangles

són semblants, s’han establert uns criteris de semblança de triangles:

CRITERIS DE SEMBLANÇA DELS TRIANGLES

Dos triangles en posició de Tales són semblants.

Dos triangles són semblants si tenen dos angles respectivament

iguals.

Dos triangles són semblants si tenen els tres costats proporcionals.

21. Els costats d’un triangle fan 9 , 12 i 15 cm, respectivament. Troba els costats d’un

altre triangle semblant sabent que el costat més gran fa 24 cm.

22. Els costats d’un triangle fan 18, 24 i 32 cm, respectivament. Troba els costats d’un

altre triangle semblant sabent que el més petit fa 24 cm.

A

35º 5

8

A B

37º 48º 10

171

23. Quant faran els costats i el perímetre d’un triangle semblant a un altre de costats 36,

42 i 54 mm, respectivament, si la raó de semblança és 4

5?

24. Calcula l’altura d’una torre que projecta una ombra de 18’5 m sabent que en el

mateix moment un arbre de 3’5 m d’altura projecta una ombra de 0’75 m.

25. Indica si són semblants dos triangles amb les mesures següents: els costats de l’un

fan 10 cm, 7 cm i 6 cm, i els de l’altre, 20 cm, 14 cm i 32 cm.

26. Calcula la longitud d’un triangle semblant a un altre de costats 5 cm, 8 cm i 7 cm, si

la raó de semblança és 5.

27. Calcula l’altura d’una muntanya a partir de les dades següents: Des d’un vaixell es

calcula que la distància d al cim de la muntanya és de 4525 m, amb un angle que

forma la visual sobre l’horitzó. Sobre un paper dibuixem un triangle rectangle ABC, que

té com un dels angles aguts. Mesurem el catet BC i la hipotenusa AC. Aquestes

mesures són: BC= 21 cm i AC = 83 cm.

28. Un arbre projecta una ombra de 5’74 m en el mateix moment en què un pal de 1’56

m en projecta una de 73 cm. Esbrina l’altura de l’arbre.

29. Calcula l’altura d’un xiprer que projecta una ombra de 5 m sabent que en el mateix

moment, un castanyer petit, d’ 1’8 m d’altura, projecta una ombra de 60 cm.

172

4. TEOREMA DE PITÀGORES

Abans d’explicar el teorema de Pitàgores farem un petit recordatori de

què és:

Un triangle: és una figura plana tancada de tres costats i tres

angles. Per exemple:

Un triangle rectangle: és un triangle que té un angle recte, és a dir,

un angle que mesura 90º. Per exemple:

Catets: A un triangle rectangle hi ha dos costats que es diuen

catets. Són els costats que formen l’angle recte.

Hipotenusa: A un triangle rectangle hi ha un costat que es diu

hipotenusa. És el catet que NO forma part de l’angle recte, i a més

a més és el costat més llarg.

30. Per a cadascun dels següents triangles,

1r. Marca l’angle recte.

2n. Assenyala la hipotenusa.

173


El teorema de Pitàgores diu que en un triangle rectangle, el quadrat de la

hipotenusa (el costat més llarg a un triangle rectangle) és igual a la suma

dels quadrats dels dos catets. Si diem a i b als catets i c a la hipotenusa,

ens queda: 222 bac

Demostració:

L’àrea del quadrat construït sobre la hipotenusa és igual a la suma de les

àrees dels quadrats construïts sobre els catets. I això és veritat, només, si

el triangle és rectangle.

4.2 APLICACIONS DEL TEOREMA

4.2.1 ESBRINAR SI UN TRIANGLE ÉS RECTANGLE

La primera aplicació del teorema de Pitàgores és esbrinar si un triangle és

rectangle.

Per exemple: els costats d’un triangle són a = 17cm, b = 11cm, c = 20cm.

És un triangle rectangle?

Suposem que c = 20cm és la hipotenusa, per ser el major dels

costats, i a = 17cm i b = 11cm els catets.

Calculem 202 = 400 (la hipotenusa al quadrat)

Calculem 172 + 11

2 = 410 (la suma dels catets al quadrat)

Com no són iguals, no es compleix el teorema de Pitàgores, per

tant, no és un triangle rectangle.

Si fossin iguals, es compliria el teorema de Pitàgores, per tant seria

un triangle rectangle, ja que el teorema sols es compleix en

triangles rectangles.

174

31. Esbrina si cada un dels triangles següents és rectangle o no ho és:

a) a = 63cm, b = 85cm, c = 57cm

b) a = 17m, b = 8m, c = 15m

c) a = 20cm, b = 30cm, c = 40cm

d) a = 22cm, b = 17cm, c = 10cm

e) a = 61cm, b = 60cm, c = 11cm

f) a = 42m, b = 31m, c = 30m

g) a = 37cm, b = 35cm, c = 12cm

4.2.2 CÀLCUL DE LA HIPOTENUSA D’UN TRIANGLE RECTANGLE

La segona aplicació del teorema de Pitàgores és calcular la hipotenusa

d’un triangle rectangle.

Exemple: Calcula la hipotenusa del següent triangle rectangle:

h

2 = 3

2 + 8

2

h2

= 9 + 64

h2

= 73 h = 54,873

32. En un triangle rectangle, els catets mesuren b = 20 cm i c = 15 cm. Calcula la

longitud de la hipotenusa.

33. Calcula el costat que falta:

175

34. Els costats d’un rectangle mesuren 21 i 28 cm , respectivament. Calcula la diagonal.

35. Calcula les mesures dels costats d’un rombe les diagonals del qual mesuren 219 i

292 cm respectivament.

36.La base d’un triangle isòsceles mesura 32 cm i la seva altura respecte d’aquesta base,

38’4 cm. Troba el seu perímetre.

37. Troba la diagonal d’un quadrat de 12 cm de costat.

4.2.3 CÀLCUL D’UN CATET D’UN TRIANGLE RECTANGLE

La tercera aplicació del teorema de Pitàgores és calcular un dels catets

d’un triangle rectangle.

Exemple: Calcula el catet del següent rectangle:

5

2 = c

2 + 3

2

c2 = 5

2 - 3

2 c

2 = h

2 – c

2

c2 = 25 - 9

c2

= 16

c = 16 = 4

38. En un triangle rectangle, la hipotenusa mesura 35 cm i un dels catets 28 cm. Calcula

la longitud de l’altre catet.

176

39. Calcula el catet dels següents triangles rectangles:

40. Quant mesura l’apotema d’un hexàgon regular de 8 m de costat?

41. Troba el costat d’un quadrat que té una diagonal de 236 mm.

42. Troba l’altura d’un triangle equilàter de costat 24 cm.

43. Calcula els costats que falten de les següents figures:

177

5. AUTOAVALUACIÓ

1. Troba les dades que falten en les figures següents:

2. Divideix un segment de 12 cm en parts proporcionals a 1, 2 i 3 cm, respectivament. Resol

l’exercici gràficament.

3. Si els costats d’un triangle mesuren respectivament 7, 9 i 5 cm, quant mesuraran els costats d’un

altre triangle semblant, si la raó de semblança respecte del primer és de 1’8?

4. Calcula l’altura d’un edifici que projecta una ombra de 50m en el moment en què un arbre de 2m

tira una ombra d’1’25m.

5. Un triangle de costats 6cm, 7cm i 11cm és un triangle rectangle?

6. Els catets d’un triangle rectangle fan 33cm I 27cm. Calcula la longitud de la hipotenusa.

7. La hipotenusa d’un triangle rectangle fa 24m, i un catet, 19m. Calcula la longitud de l’altre catet.

8. En un mapa hi ha dibuixades dues ciutats, separades 2 cm. Determina la distància real, en km, que

les separa si el mapa està fet a escala 1:100000.

178

9. Calcula la distància real que separa, en línia recta, Marateca i Vendas Novas en aquest mapa que

està dibuixat a escala 1:500000.

10. Determina a quina escala s’ha dibuixat el plànol d’una ciutat si 100 m de la realitat es

representen per 1 cm en el pla.

11. Calcula el costat que falta:

a) b)

179

UNITAT 12: GEOMETRIA PLANA I DE L’ESPAI

1. REPÀS DE GEOMETRIA PLANA

1.1 DEFINICIÓ I CLASSIFICACIÓ DE POLÍGONS

1.2 DEFINICIÓ I CLASSIFICACIÓ DE TRIANGLES

1.3 DEFINICIÓ I CLASSIFICACIÓ DE QUADRILÀTERS

1.4 ÀREES I PERÍMETRES DE FIGURES PLANES

2. CLASSIFICACIÓ DELS COSSOS GEOMÈTRICS

3. ÀREES I VOLUMS DE COSSOS GEOMÈTRICS

180

1. REPÀS DE GEOMETRIA PLANA

1.1 DEFINICIÓ I CLASSIFICACIÓ DE POLÍGONS

Un polígon (el nom ve del grec i vol dir “molts angles”) és una figura plana, tancada i

delimitada per segments. Aquestos segments són els costats del polígon. Els punts on

s’uneixen dos costats són els vèrtex del polígon.

Els polígons que tenen tots els seus costats i angles iguals s’anomenen polígons regulars.

CLASSIFICACIÓ

a) Segons el nombre de costats.

N. de costats Nom N. de costats Nom

3 Triangle 8 Octàgon

4 Quadrilàter 9 Enneàgon

5 Pentàgon 10 Decàgon

6 Hexàgon 11 Hendecàgon

7 Heptàgon 12 Dodecàgon

El polígon de 20 costats que es diu Icosàgon.

Altres tipus de classificacions:

b) Si no té interseccions direm que és simple; si no, direm que és complex.

Exemple:

Polígon Simple Polígon complex

c) Un polígon simple, si no té cap angle major de 180º direm que és convex, si no

direm que és còncau.

Polígon convex Polígon còncau

181

1. Empra el tres mètodes de classificació i indica quins polígons són regulars:

2. Un polígon còncau pot ser regular? Per què?

3. Dibuixa els polígons següents:

Un quadrilàter còncau

g) Un hexàgon complex

h) Un enneàgon simple convex

i) Un triangle equilàter

4. Com es diuen cadascun dels polígons regulars següents segons el nombre de costats.

1.2. DEFINICIÓ I CLASSIFICACIÓ DELS TRIANGLES

Els triangles es poden classificar per dues vies diferents, segons el nombre de costats

iguals que tenen o segons els angles interns, si són menors o majors als 90º , és a dir,

Costats iguals Nom Per angles Nom

3 costats iguals equilàter 1 angle intern = 90º rectangle

182

2 costats iguals isòsceles tots els angles < 90º acutangle

cap costat igual escalé 1 angle intern > 90º obtusangle

5 .- Dibuixa i completa cadascun dels possibles triangles al requadre.

Per costats Nom DIBUIX Per angles Nom DIBUIX

3 costats iguals equilàter 1 angle

intern = 90º

2 costats iguals tots els

angles < 90º acutangle

escalé obtusangle

1.3. DEFINICIÓ I CLASSIFICACIÓ DELS QUADRILÀTERS

Els quadrilàters es classifiquen segons el nombre de costats oposats paral·lels:

* Si té els 2 costats oposats paral·lels li direm paral·lelogram.

Dintre dels paral·lelograms ens trobam:

Si té els costats paral·lels sense costats ni angles iguals, li direm romboide.

Si té tots els costats iguals, li direm rombe.

Si té tots els angles iguals, de 90º, li direm rectangle.

I si té tots els costats i els angles iguals, li direm quadrat.

* Si té un costat oposat paral·lel, li direm trapezi.

Dintre dels trapezis ens trobem:

Si té un angle recte, li direm trapezi rectangle.

Si té els dos costats no paral·lels iguals, li direm trapezi isòsceles.

Si no té cap costat igual ni cap angle recte, li direm trapezi escalé.

* Si no té cap costat paral·lel ni els angles iguals, li direm trapezoide.

183

Resumint:

)cos(

)cos2(

)cos3(

cos

))º90(

)º90(tanRe

))º90(tan

igualtatcapEscalé

igualstatsIsòsceles

igualstatsEquilàter

tatsper

unObtusangle

glec

gleAcu

anglesper

Triangles

sTrapezoide

Escalé

glec

Isòsceles

Trapezis

Romboide

Quadrat

Rombe

glec

lelògramsparal

rsQuadrilàte tanRe

tanRe

·

6. Marca l’opció correcta en cada cas:

1.Un rombe és:

a) Un trapezi.

b) Un quadrilàter.

c) Un paral·lelogram.

d) b i c són certes.

2.Els paral·lelogram són:

a) Polígons de 4 costats

b) Quadrilàters amb costats iguals.

c) Quadrilàters amb angles i costats iguals.

d) Quadrilàters amb costats oposats paral·lels

184

3. Quin dels següents polígons no és un quadrilàter?

a) Romboide.

b) Trapezi.

c) Rectangle.

d) Tots ho son.

4. Com es diu el quadrilàter amb els angles iguals?

a) Paral·lelogram

b) Rectangle

c) Quadrat

d) Rombe.

5.Els quadrilàters poden ser:

a) Rombes, Trapezis i Paral·lelograms

b) Rombes, Romboides i Trapezoides

c) Paral·lelograms, Trapezis i Trapezoides

d) Rombes, Romboides, Rectangles i quadrats

6.Marca l’opció correcta. La figura següent és un:

a) Romboide

b) Trapezoide

c) Paral·lelogram

d) Quadrilàter

7.La figura següent és un:

a) Rectangle

b) Romboide

c) Paral·lelogram

d) Quadrilàter

185

1.4. ÀREES I PERÍMETRES DE FIGURES PLANES

El perímetre d’una figura plana és el seu contorn. El valor del perímetre d’un polígon és la

suma de tots els costats i es mesura en unitats de longitud: mm, cm, dm, m...

L’àrea d’una figura plana és la porció del pla tancada pels seus costats (dins el perímetre). Es

mesura amb unitats de superfície: mm2, cm

2, dm

2, m

2...

Per obtenir l’àrea i el perímetre d’una figura plana s’empren les fórmules corresponents.

Paral·lelogram Triangle Rombe Trapezi

A = b·h A = 2

·hb A=

2

·dD A=

2

)·( hbB

Polígon regular Cercle

2

·apotemaperímetreA

2·rA

rP ·2

7. Calcula les àrees i els perímetres de les figures següents:

a) Un rectangle de costats 6cm i 8 cm.

b) Un rombe de diagonals 16cm i 10 cm.

c) Un triangle isòsceles de base 8cm i d’altura 10cm.

d) Un heptàgon de 8cm d’apotegma i 10cm de costat.

e) Un rectangle de 8 cm de base i 12cm de diagonal.

f) Un triangle rectangle de 4cm de base i 5cm d’hipotenusa.

g) Un cercle de 18cm de diàmetre.

h) Un trapezi isòsceles de 12cm i 6cm de bases i 5cm de costat lateral.

186

i) Un hexàgon de 10cm de costat ( NOTA: a l’hexàgon mesura igual el costat que

el radi).

j)

12cm

18cm

6cm

10cm 14cm

9cm

6cm

2cm

15cm

16cm

8cm

6cm

6cm

12cm

8cm 12cm

5cm

10cm

10cm

6cm

6cm

18cm

20cm

4cm

6cm

16cm

5cmm

8cm 18cm

10cm

11cm

8cm

187

2. CLASSIFICACIÓ DELS COSSOS GEOMÈTRICS

Un POLIEDRE és un cos geomètric la superfície del qual es composa d'una

quantitat finita de polígons plans. Els seus elements notables són:

CARA que és el polígon que limita el cos. I es pot dir base si és paral·lela al

terra.

ARESTA on es troben dues cares. Poden ser: laterals si són perpendiculars al

terra i bàsiques si limiten amb la base.

VÈRTEX on es troben tres o més arestes.

A l'hora de definir un poliedre s'assenyala la terna (cares, arestes, vèrtex )

8. Assenyala els elements notables del següent poliedre:

Existeixen exactament 5 políedres simples regulars respecte de les cares (són

polígons regulars idèntics), les arestes i els vèrtex (en cada vèrtex concorre el

mateix nombre de cares).

S’anomenen sòlids platònics o regulars i són:

Tetraedre

Cub

Octaedre

Dodecaedre

Icosàedre

Si fem girar al voltant d’un eix una figura plana, el resultat del procés és una

figura tridimensional tancada que anomenem de forma general COS DE

REVOLUCIÓ.

L’eix al voltant del qual es fa el gir s’anomena eix de simetria o eix de gir, i

qualsevol pla que el contingui divideix el cos de revolució en dues parts iguals.

La línia de la figura plana que gira al voltant de l’eix més allunyada d’ell

s’anomena generatriu, perquè “genera” la superfície de revolució o superfície

lateral del cos.

Està clar que de cossos de revolució n’hi ha infinits, tants com les figures planes

que els poden generar, però els més importants i els que s’estudien habitualment

quan es parla d’aquest tema són el cilindre, el con i l’esfera.

188

Tenim 5 grans tipus diferents de figures a l’espai

Poliedres Cossos de revolució

Prismes Piràmides Cilindres Cons Esferes

Tenen 2 bases

poligonals iguals.

Les cares laterals són

rectangles.

Tenen una sola

base poligonal i

acaben en punta.

Les cares laterals

són triangles.

Tenen 2 bases

circulars.

Tenen una base

circular i

acaben en

punta.

La distància del

centre a la

superfície és

constant.

Als prismes i piràmides s'especifica quin

tipus de base tenen. Els exemples de més

amunt serien prisma pentagonal i piràmide

hexagonal.

3. ÀREES I VOLUMS DELS COSSOS GEOMÈTRICS

El desenvolupament al pla d’un cos geomètric seria el plànol de paper que

necessitaríem si volguérem construir-lo. L'aconseguim si retallem les arestes i

posem totes les cares sobre un pla.

Exemple:

Aquests desenvolupaments ens seran útils per calcular les àrees laterals i totals

dels cossos geomètrics.

189

9. Dibuixa el desenvolupament al pla de les següents figures:

CÀLCUL D’ÀREES



A= Alateral +2·Abase

A= Alateral +Abase

A= Alateral +2·Abase

A= Alateral +Abase

A=2

·dD

4 П·r2

10. Calcula l’àrea total d'una piràmide quadrangular regular de 4 dm de costat de la

base i 10 dm d’apotema de la piràmide

11. Una capsa de sabates amida 10 cm d’amplària, 24 cm de llargària i 15 cm

d’alçària. Calcula la seva àrea total.

12. Un ortoedre és un prisma de 6 cares format per rectangles. Calcula l’àrea del

següent ortoedre:

190

13. Un prisma té per base un hexàgon regular de 8 cm de costat. L’altura del prisma

és de 12 cm. Calcula l’àrea.

14. Una piràmide regular té per base un quadrat de 12 cm de costat. L’altura és de 8

cm. Calcula l’apotema de la piràmide i l’àrea.

15. Calcula l’altura d’una piràmide hexagonal regular si saps que l’aresta lateral

amida 25 cm i l’aresta de la base, 15 cm. Calcula l’àrea.

16. Dibuixa al teu quadern els següents cilindres, on h representa l’alçada i r el radi:

Cilindre 1: h= 10 cm; r= 2 cm.

Cilindre 2: h= 3cm; r= 1 cm.

a) Calcula la superfície o àrea lateral dels cilindres, dibuixant-la prèviament.

b) Calcula l’àrea de les bases dels cilindres, fent també el dibuix abans.

c) Finalment, calcula l’àrea total del cilindres.

191

CÀLCUL DE VOLUMS



V= Abase ·ALTURA

V=(Abase·ALTURA)/3

V= Abase·ALTURA

V=(Abase·ALTURA)/3

V= (4·П·r3)/3

17. Les dimensions d'un prisma rectangular són a = 9 cm, b = 5,5 cm i c = 9 cm.

Calcula l'àrea i el volum.

18. El radi d’una esfera és de 20 cm, calcula l’àrea i el volum.

19. Calcula l’àrea i el volum d’un cilindre de radi 10 cm i altura 18 cm.

20. Calcula el volum d’un con de radi 9,6 m i altura 12,8 m

21. Calcula el volum d’un con de radi 3 cm i generatriu 8 cm

22. Calcula l’àrea i el volum d’un prisma on la base és un hexàgon de costat 40 cm i

l’altura del prisma és de 50 cm

23. Calcula l’àrea i el volum d’una piràmide on la base és un hexàgon de costat 22

cm. L’altura de la piràmide és de 3 m

192

EXERCICIS GLOBALS EN COMPETÈNCIES

CHIQUIPARC

Una parella vol organitzar la festa del 5è aniversari del seu fill en un “chiquiparc”. Han

observat que en un radi de 3 km des de l’escola del nin, hi ha més o menys 20 locals que

organitzen aquestes festes infantils.

Per veure quina opció els resultarà més interessant, estudien els preus d’una mostra de

“chiquiparcs” que trien a l’atzar i elaboren la següent taula:

Chiquiparc A B C D E F G H

Preu per nin 10 € 12 € 11 € 9 € 10 € 9 € 10 € 10 €

1. Quina és la superfície aproximada de l’extensió de terreny on es troben els 20

locals?

A. 3 km2

B. 9 km2

C. 18 km2

D. 28 km2

2. Observant les dades de la mostra, quina de les següents afirmacions seria certa?

A. A la meitat dels “chiquiparcs” el preu és de 9 €

B. A la meitat dels “chiquiparcs” el preu és de 12 €

C. A la quarta part dels “chiquiparcs” el preu és de 9 €

D. A la quarta part dels “chiquiparcs” el preu és de 10 €

3. Calcula el valor mitjà dels preus per nin dels locals de la mostra indicant com ho has

obtingut.

4. Representa en un diagrama de barres la distribució dels preus per nin dels locals de

la mostra.

193

5. El gener del 2009 i seguint les instruccions de l’associació que els regula, tots els

chiquiparcs han augmentat els seus preus un 5 %.

Un dels 20 chiquiparcs que no figuren a la mostra de l’enunciat fa una promoció

durant el mes de febrer:

“Recuperam els preus de 2008”

5 % de descompte en tots els nostres serveis

Quina de les següents opcions és correcta?

A. L’afirmació no és correcta perquè els preus queden com el 2008.

B. L’afirmació no és correcta perquè els preus disminuiran respecte al 2008.

C. L’afirmació no és correcta perquè els preus augmentaran respecte al 2008.

D. Amb el que es diu no es pot saber si l‘afirmació és correcta o no.

194

COLLAR

Tres amics, n’Albert, n’Eva i en Marc, estan passant una estona junts al parc que hi ha

prop d’allà on viuen. N’Eva s’ha posat a jugar amb un collar de 60 cm de longitud que

duia penjat al coll i ha vist que pot crear molts rectangles de diferents formes.

1. Completa la taula que relaciona la mida de la base i l’altura d’alguns dels rectangles

que pot formar n’Eva amb el seu collar.

base 5 cm

altura 20 cm

2. Entre els tres amics estan intentant trobar si hi ha relació entre la base “b” i l’altura

“a” dels rectangles formats. N’Eva diu que és “a + b = 60”, en Marc diu que és “a =

30 - b”, i n’Albert, “b = 30 + a”. Quin dels tres té raó?

A. Eva

B. Marc

C. Albert

D. Cap dels tres

3. Els tres amics segueixen jugant amb el collar de n’Eva i formen unes altres figures

de manera que totes compleixen la relació y=60-2x. De quines figures es tracta i que

representen x i y?

195

4. Dibuixa la gràfica de la funció y=60-2x que han trobat i digués quin nom reben les

funcions com aquesta?

5. Després d’una estona de jugar amb el collar, els tres amics decideixen comprar una

corda i repartir-la entre els tres per poder continuar fent experiments. La corda val

8 € i mesura 5 metres. N’Albert només pot aportar 1 euro, n’Eva 3 i en Marc posa la

resta. Quants metres de corda li corresponen a n’Eva si la se reparteixen

proporcionalment als euros que ha pagat cada un?

A. 0,625 metres

B. 1,625 metres

C. 1,875 metres

D. 2,5 metres

196

JOC DE CUBS

La germana petita de na Neus té un joc de cubs per fer estructures i avui s’han posat a

jugar juntes.

Na Neus ha fet l’estructura A i n’Alexandra, la seva germana petita, li ha desmuntat,

transformant-la en l’estructura B.

1. Quants cubs ha llevat n’Alexandra?

A. 3

B. 6

C. 9

D. 12

2. Les dues germanes juntes han aconseguit fer l’estructura que es mostra a la imatge.

Si l’aresta de cada cub fa 2 cm de longitud, quin és el volum d’aquesta nova

estructura?

A. 8 cm3

B. 24 cm3

C. 32 cm3

D. 40 cm3

3. Quina de les figures següents representa l’estructura anterior girada?

197

4. El joc complet és de 20 cubs i els tenen repartits entre les dues germanes.

N’Alexandra plora perquè na Neus té més cubs que ella. La seva mare fa que na

Neus li doni 4 cubs a n’Alexandra per tal que es quedin les dues amb el mateix

nombre de cubs. Quants cubs tenia inicialment na Neus? Justifica la resposta.

5. N’Alexandra, que és una mica trapella, ha desmuntat un dels cubs del joc. Quina de

les següents figures pot haver-li quedat?

A.

B.

C.

D.

198

EPIDÈMIA A L’ESCOLA

A la nostra escola, de 300 alumnes, hi ha una epidèmia molt forta de grip que ha afectat

a un 15% de l’alumnat, que per aquest motiu no assisteixen a classe.Per no avançar en

el temari amb tantes absències per malaltia, alguns professors fan activitats diferents a

les habituals del tipus: lectures de llibres o activitats de lògica i d’enginy...

1. Quants alumnes de l’escola NO pateixen grip?

A. 45

B. 85

C. 150

D. 255

2. Na Montserrat ha estat una de les malaltes més greus i no ha pogut anar a classe

durant 84 dies. Quantes setmanes ha faltat a l’escola?

A. 9

B. 10

C. 11

D. 12

3. Na Marta du els deures cada dimecres a na Montserrat per tal que no perdi el ritme

del curs. Li diu que han de llegir un llibre de català i que ella va llegir 1/3 de les

pàgines el dilluns i 6/15 el dimarts. El seu company, en Jordi, va llegir 2/5 de les

pàgines el dilluns i 2/6 el dimarts. Quin dels dos ha llegit més pàgines?

A. Els dos igual

B. Na Marta

C. En Jordi

D. No es pot saber

4. El grup de na Montserrat ha estat un dels més afectats per l’epidèmia. Si són

25 alumnes en aquest grup i han faltat 10 alumnes amb na Montserrat inclosa,

quin percentatge d’alumnes del grup ha faltat? Indica com ho has calculat.

199

5. A la classe de matemàtiques, el professor ha proposat el següent enunciat: “Ens

inventam el nom d’epidèmics per als nombres múltiples de 2 i de 3 i que es trobin

entre el 45 i el 50, quin dels següents nombres és epidèmic?

A. 44

B. 46

C. 48

D. 49

6. A l’hora següent tenen Taller de matemàtiques, i la professora proposa diverses

activitats. La primera és sobre “quadrats màgics”. Un “quadrat màgic” és la

disposició de tots els nombres entre l’1 i el 9 en un quadrat de forma que la suma

per files, columnes i diagonals principals sigui la mateixa. Completa el següent

quadrat màgic

4

8 1 6

7. La segona activitat que proposa la professora de Taller de matemàtiques és jugar

amb el “Tangram”, joc xinès molt antic, que consisteix en formar figures amb les 7

peces donades sense solapar-les.

L’any passat els alumnes d’aquesta optativa varen construir un “tangram gegant”

de fusta per jugar al pati, però un dia de pluja es varen rompre el triangle mitjà i el

quadrat. Quanta fusta necessiten per reconstruir aquestes dues peces sabent que el

costat del quadrat ha de ser de 50 cm per tal que encaixi amb les peces ja

construïdes?

A. 0,25 m2

B. 0,375 m2

C. 0,5 m2

D. 0,75 m2

200

8. Mentre alguns companys construeixen les peces gegants de fusta, na Marta fa

una figura d’un home com la de la imatge amb un tangram petit de plàstic que

tenen a classe.

La professora li recorda que el costat del quadrat format per les 7 peces és de

20 cm i li demana que calculi l’àrea de la figura de l’home que ha creat amb el

mínim d’operacions i càlculs possibles.

Explica quin procediment ha de seguir na Marta.

201

EXCURSIÓ FAMILIAR

El proper dissabte, una família de 4 membres (pare, mare, Marta de 3 anys i Felisa d’1

any), vol anar d’excursió al Port de Sóller.

Ells viuen a Palma i agafaran primer el tren per anar de Palma a Sóller i després el

tramvia per anar de Sóller al Port de Sóller.

Aquests són els horaris del tren i del tramvia

TREN (1 hora de durada)

Palma -> Sóller Sóller -> Palma

08:00

10:10

10:50

12:15

13:30

15:10

19:30

07:00

09:10

10:50

12:15

14:00

18:30

19:00 *

* Dissabtes, diumenges i festius

TRAMVIA (10 minuts de durada)

Sóller -> Port de Sóller Port de Sóller -> Sóller

07:00

08:00

08:30 *

09:00

09:30 *

10:00

10:30

11:00

11:25

12:00

12:30

13:00

13:25

14:00

14:30

15:00

15:30

16:00

16:30

17:00

17:30

18:00

18:30

19:00

19:30

20:30

07:30

08:25

09:00 *

09:30

10:00 *

10:25

11:00

11:30

12:00

12:30

13:00

13:25

14:00

14:30

15:00

15:30

16:00

16:30

17:00

17:30

18:00

18:30

19:00

19:30

20:00

20:50

* Dissabtes Mercat / Venda de tiquets a bord

202

1. Si surten de Palma amb el tren de les 10:10 hores. Quant de temps podran

passejar per Sóller si pretenen agafar el tramvia de les 12:30 hores per anar

cap al port?

A. 20 minuts

B. 1 hora

C. 1 hora i 20 minuts

D. 1 hora i mitja

2. Si volen agafar el tren de les 14:00 hores per tornar a casa, quin és l’últim

tramvia que poden agafar des del port de Sóller?

A. el de les 12:00 hores

B. el de les 12:30 hores

C. el de les 13:00 hores

D. el de les 13:25 hores

3. Observa el mapa del recorregut

Quants km té, aproximadament, el recorregut total de Palma al Port de Sóller

si el trajecte de Palma a Son Sardina és d’uns 5 Km?

A. 15 Km

B. 27 Km

C. 38 Km

D. 50 Km

203

4. Aquestes són les taules dels preus del tren i del tramvia

Quant costarà l’excursió a tota la família, emprant l’opció més barata?

A. 32,50 €

B. 50 €

C. 58,50 €

D. 67 €

204

MALALTIES

Als mitjans de comunicació hi ha una campanya per conscienciar la gent de la

importància de la prevenció en les malalties del cor. A la premsa va sortir publicat el

gràfic següent.

1. Segons el gràfic de l’enunciat, quin percentatge d’homes mor a causa de

les malalties del cor?

E. 13 %

F. 29 %

G. 31 %

H. 39 %

2. Segons el gràfic de l’enunciat, quins moren més, els homes o les dones?

A. Homes

B. Dones

C. Homes i dones igual

D. Amb aquestes dades no es pot saber

205

3. A classe es va treballar aquest tema i la professora ens va demanar que

diguéssim el nombre de vegades que havíem anat al metge durant el curs.

Vàrem obtenir el llistat següent.

alumne nombre de vegades que

ha anat al metge

Aina 2

Joan 0

Pere 2

Catalina 1

Isaac 0

Rosalia 1

Robert 1

Teresa 1

Yasmina 1

Josep 2

Àngela 0

Miquel 1

Sergi 0

Maria 3

Paula 1

Agrupar aquestes dades en una taula de freqüències utilitzant la taula

següent.

206

MOTOCICLISME

El circuit de Jerez es va inaugurar el 8 de desembre de 1985, i el 1987 es va estrenar en

la modalitat de motos amb el Gran Premi d’Espanya de Motociclisme, prova que amb el

temps s’ha convertit amb la Festa dels aficionats al motor, que inunden la ciutat i els

seus voltants de motos, color i renou.

Algunes de les dades tècniques del circuit són:

DADES

TÈCNIQUES TRAÇAT NORMAL

Longitud: 4.423,101 m.

Longitud en rectes: 3.037,964 m.

Ample de la pista: Estàndard: 11m. Recta de sortida: 12

m.

Longitud recta de

sortida: 600 m.

Nombre de corbes: 13 (8 a la dreta i 5 a l’esquerra)

1. Quina és la longitud total en corbes?

A. 1.100,100 m

B. 1.385,137 m

C. 1.386,863 m

D. 1.485,137 m

2. En el plànol del circuit tens marcada la sortida amb un petit triangle que n’indica el

sentit. Segons les dades tècniques, la recta de sortida (entre les corbes 13 i 1) fa 600

metres. Quants metres hi ha, aproximadament, entre les corbes 6 i 7?

A. 100 m

B. 200 m

207

C. 300 m

D. 600 m

3. Quin és l’angle aproximat de gir de la motocicleta quan recorre la corba 5?

A. 45º

B. 90º

C. 135º

D. 180º

4. Jorge Lorenzo Guerrero (4 de maig de 1987, Palma de Mallorca), és un pilot de

motociclisme. És bicampió del món de 250 cc per haver-ho aconseguit a les

temporades 2006 i 2007.

El seu palmarès és el següent:

Tempor

ada

Catego

ria Moto

Nomb

re

carrer

es

Victòrie

s

Pòdium

s

Pole

s Punts

Posici

ó final

2002 125cc Derbi 14 0 0 0 21 21º

2003 125cc Derbi 16 1 2 1 79 12º

2004 125cc Derbi 16 3 7 2 179 4º

2005 250cc Honda 15 0 6 4 167 5º

2006 250cc Aprilia 13 8 10 9 249 1º

2007 250cc Aprilia 15 9 12 8 312 1º

2008 MotoG

P

Yamah

a 3 1 3 3 190 4º

Total 92 22 41 28 1059

És correcte fer un gràfic únicament amb la temporada i la posició final per

descriure l’evolució esportiva d’aquest pilot? Per què?

http://es.wikipedia.org/wiki/Pole_position

http://es.wikipedia.org/wiki/Pole_position

http://es.wikipedia.org/wiki/Cent%C3%ADmetro_c%C3%BAbico

http://es.wikipedia.org/wiki/Derbi






http://es.wikipedia.org/wiki/Honda

http://es.wikipedia.org/wiki/Campeonato_del_mundo_de_motociclismo_de_2006


http://es.wikipedia.org/wiki/Aprilia



http://es.wikipedia.org/wiki/Aprilia




http://es.wikipedia.org/wiki/Yamaha_Motor_Company_Limited

http://es.wikipedia.org/wiki/Yamaha_Motor_Company_Limited

208

5. En un dels seus entrenaments, el pilot mallorquí va recórrer en ¼ d’hora 62,5

Km. A quina velocitat mitjana rodava?

A. 220 km/h

B. 250 km/h

C. 280 km/h

D. 310 km/h

6. Fes una gràfica (sense concretar la graduació dels eixos), que representi la

relació del temps transcorregut des de la sortida fins a la corba 3 amb la

velocitat que duia Jorge Lorenzo en el seu entrenament.

7. Tenint en compte que la categoria de 125 cc es refereix a les motos en què el

cilindre del motor té una capacitat màxima de 125 cm3, perquè es diu a

aquesta categoria la del vuitè de litre?

209

ORDINADORS

L’encarregat d’informàtica de l’escola diu que les Illes Balears disposa de pocs recursos

informàtics pels alumnes i ens ha presentat la següent informació referent a 5

Comunitats Autònomes per fer algunes comparacions:

Alumnes per ordinador destinat a tasques d’ensenyament-aprenentatge per CCAA i curs

escolar

Centres Públics Total Nombre mitjà d’alumnes

(curs 2005-06) per ordinador

Balears (Illes) 10,1

Catalunya 7,2

Comunitat Valenciana 10,9

Madrid (Comunitat de) 9,1

País Basc 4,6

Nota: S’han considerat els ordinadors destinats preferentment al professorat i a la docència

amb alumnes.

Font: Ministeri d’Educació i Ciència - © INE 2008

1. Ordena, de major a menor, les Comunitats Autònomes segons el nombre

mitjà d’alumnes per ordinador?

2. Quina és la mitjana d’alumnes per ordinador d’aquestes 5 comunitats?

A. 7,5

B. 8,4

C. No es pot saber en cap cas

D. No es pot saber sense tenir el nombre d’alumnes de cada comunitat

3. Si arrodonim a valors enters el nombre mitjà d’alumnes per ordinador

de les dades referents a Balears i a la Comunitat Valenciana, obtenim:

A. Balears: 10 i Comunitat Valenciana: 10

B. Balears: 10 i Comunitat Valenciana: 11

C. Balears: 9 i Comunitat Valenciana: 10

D. Balears: 9 i Comunitat Valenciana: 11

210

4. Si a Andalusia el nombre mitjà d’alumnes per ordinador és de 7,1. Pot

haver-hi alguna Comunitat Autònoma que el seu nombre mitjà

d’alumnes per ordinador estigui entre el d’Andalusia i Catalunya? Per

què?

211

ZOO

En el zoo de Barcelona tenen una epidèmia que afecta els elefants. Els veterinaris estan

especialment preocupats per una cria i la seva mare i estan fent un seguiment exhaustiu

de les seves temperatures.

El veterinari encarregat d’observar la temperatura de la cria apunta en el seu quadern les

següents anotacions:

- Dues primeres hores: Temperatura estable, 36’5º

- A les 10 hores: 37º

- De les 11 hores a les 15 hores (ambdues incloses): Comença amb 37º i puja

mig grau cada hora

- A les 16 hores: 38º

- A les 17 hores: Ha baixat 1’5º des de les 16 hores.

El veterinari mira la temperatura cada hora i ha fet la primera observació a les 8 hores.

1. Elabora una taula amb les dades de l’enunciat, que reculli la temperatura de

l’elefant a cada hora.

Hora

Temp.

2. Un segon veterinari s’ha encarregat de mesurar la temperatura de la mare

elefant i ha recollit les dades com es mostra a la següent taula:

Hora 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17

Temp. 37’5º 37’7º 37’8º 37’9º 38º 37’8º 37’5º 37º 36’8º 36’5º

Dibuixa una gràfica que mostri com evoluciona la temperatura de l’animal en

funció del temps.

212

3. Un dels veterinaris demana a l’altre. - Quina hora és? I l’altre, que és molt

aficionat a les matemàtiques, li diu. - Queda de dia un terç de les hores que han

passat. Quina hora és?

4. El zoo disposa d’un servei de lloguer de bicicletes per als seus clients, i el preu

és de 2 € l’hora per persona i vehicle. Quina de les següents expressions indica

la relació entre el nombre d’hores que s’ha llogat la bicicleta “x” i el preu final

“y”?

A. y = 2

B. y = x

C. y = 2·x

D. y = 2+x

213

5. En el zoo hi ha un parc tancat amb un llac, dins del qual s’ofereix un servei de

lloguer de barquetes a 1 € cada hora o fracció d’hora (és a dir, que encara que

no es completi una hora, aquesta es cobrarà sencera) i per entrar-hi s’ha de

pagar una entrada a part, de 0,50 €. Quina de les següents gràfiques

representa millor el cost d’un passeig en barca, en funció del temps?

A

.

B.

C

.

D.

214

CARTES CERTIFICADES

Les cartes certificades són més cares que les ordinàries, ja que Correus i Telègrafs les

entrega a domicili i en té un control estricte per tal que no es perdin. Les tarifes són les

següents:

CARTES CERTIFICADES

(ENVIAMENTS LOCAL I

INTERURBÀ)

Fins a 20 g 2,54 €

Fins a 50 g 2,58 €

Fins a 100 g 3,25 €

Fins a 200 g 3,75 €

Fins a 350 g 4,59 €

Fins a 500 g 6,15 €

Fins a 1 Kg 6,65 €

Fins a 1,5 Kg 7,15 €

Fins a 2 Kg 7,49 €

Per tant, a l’hora d’enviar una carta certificada convé saber què pesen els fulls i els

sobres per calcular la quantitat que s’ha de pagar.

En un paquet de 500 fulls A4 hem trobat aquesta informació:

1. Utilitzant les dades de l’enunciat, què pesa aproximadament un full A4?

A. 5 g

B. 6 g

C. 7 g

D. 8 g

80 g/m2

A4 500 u

210 x 297 mm

215

2. Tenim una carta que, amb el sobre inclòs, pesa 70 grams. Què ens

costarà enviar-la certificada de Palma a Bunyola?

A. 2,54 €

B. 2,58 €

C. 3,25 €

D. 3,75 €

3. Per localitzar fàcilment el cost de les cartes certificades va bé tenir una

representació gràfica. Quina d’aquestes representacions gràfiques és la

corresponent a les dades de la taula de tarifes de cartes certificades de

l’enunciat?

A.

B.

C.

D.

4. Es vol enviar una varilla de 60 cm de longitud dins d’un sobre

rectangular de dimensions 30 cm x 50 cm. Cabrà la varilla completament

dins del sobre? Justifica la resposta.

Varilla -->

5. Es volen enviar dues cartes certificades que pesen respectivament 40 i 70

grams. Què surt més barat, enviar-les juntes en un sobre o enviar-les per

separat? Justifica la teva resposta.

216

6. Si una carta certificada pesa 140 grams y només tenim segells de 55

cèntims i 72 cèntims, quants segells hem d’agafar de cada tipus per tenir

suficient per enviar la carta, de manera que ens costi el mínim possible?

(la quantitat d’euros que s‘ha de posar amb segells sempre ha de ser

major o igual que el cost de la tarifa corresponent). Justifica la resposta.

Documents

Quadern de 2n ESO de matemàtiques per l'IES Antoni Maura