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UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINA PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA ELÉTRICA CONTROLE PREDITIVO NÃO-LINEAR PARA SISTEMAS DE HAMMERSTEIN Projeto de Tese de Doutorado submetido à Universidade Federal de Santa Catarina como parte dos requisitos do Exame de Qualificação José Eli Santos dos Santos Orientador: Antonio Augusto Rodrigues Coelho Florianópolis, Agosto de 2003.

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Sistemas de Control de Procesos Continuos

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  • UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINA

    PROGRAMA DE PS-GRADUAO EM ENGENHARIA ELTRICA

    CONTROLE PREDITIVO NO-LINEAR PARA SISTEMAS

    DE HAMMERSTEIN

    Projeto de Tese de Doutorado submetido Universidade Federal de Santa

    Catarina como parte dos requisitos do Exame de Qualificao

    Jos Eli Santos dos Santos

    Orienta

    dor: Antonio Augusto Rodrigues Coelho

    Florianpolis, Agosto de 2003.

  • RESUMO

    As pesquisas associadas s estratgias de controle preditivo no-linear tm

    apresentado grande crescimento ultimamente registrando, tambm, um nmero

    considervel de aplicaes na indstria. Apesar disso, muitas questes continuam em

    aberto, principalmente, aquelas associadas estimao, adaptao, robustez e a otimizao.

    A representao de um processo complexo atravs de um modelo no-linear, com o

    objetivo de melhorar seu desempenho dinmico, tende a sacrificar a simplicidade de

    projeto do controlador preditivo. Visando aliar a capacidade de representao da no-

    linearidade de um processo com a simplicidade de projeto, torna-se interessante a

    utilizao de controladores preditivos baseados no modelo de Hammerstein o qual

    constitudo de um bloco esttico, no-linear, seguido de um bloco linear dinmico. Esta

    forma de representao permite que se mantenham algumas caractersticas desejveis do

    controlador preditivo baseado em modelos lineares como, por exemplo, a convexidade do

    problema de otimizao.

    ii

  • ABSTRACT

    Nowadays, the researches associated with nonlinear predictive control strategies

    have increased and the control literature has been showing new facts of industrial

    applications. However, many questions remain open, such as the problems related with

    estimation, adaptation, robustness and optimization. The representation of a complex

    process by a nonlinear model, with aim at improving the dynamic performance, can

    deteriorate the simplicity of the predictive controller design. In order to combine the

    capacity of representation of the process nonlinearity with the implementation simplicity, it

    is interesting to use the Hammerstein model for designing predictive controllers, where the

    Hammerstein model is composed by a nonlinear static block followed by a linear dynamic

    block. This kind of representation can keep some design characteristics presented by linear

    model predictive controllers such as the convexity of the optimization problem and the

    short horizon of the input signal.

    iii

  • SUMRIO

    1. INTRODUO...................................................................................................................................02 1.1 OBJETIVOS.................................................................................................................. 05

    1.2 ESTRUTURA DO PROJETO DE TESE .............................................................................. 07

    2. MODELOS DE PROCESSOS LINEARES E NO-LINEARES...................................08 2.1 INTRODUO .............................................................................................................. 08

    2.2 MODELOS LINEARES................................................................................................... 09

    2.2.1 Modelos Paramtricos........................................................................................ 09

    2.2.2 Modelos No-Paramtricos................................................................................ 10

    2.3 MODELOS NO-LINEARES.......................................................................................... 15

    2.3.1 Modelo NCARMA............................................................................................... 16

    2.3.2 Modelo de Volterra............................................................................................. 17

    2.3.3 Modelo Bilinear.................................................................................................. 19

    2.3.4 Modelo de Hammerstein..................................................................................... 20

    2.3.5 Modelo de Wiener............................................................................................... 24

    2.4 COMPARAO ENTRE OS MODELOS............................................................................ 25

    3. IDENTIFICAO DE SISTEMAS NO-LINEARES............................................. 28 3.1 INTRODUO .............................................................................................................. 28

    3.2 SELEO DO MODELO ................................................................................................ 29

    3.2.1 Deteco de No-Linearidade............................................................................ 30

    3.3 SELEO DE ESTRUTURA............................................................................................ 34

    3.3.1 Razo entre Determinantes para o Modelo de Hammerstein ............................ 35

    3.4 ESTIMAO DE PARMETROS..................................................................................... 40

    3.4.1 Mtodo dos Mnimos Quadrados ....................................................................... 40

    3.4.2 Mtodo do Erro de Predio.............................................................................. 43

    3.4.3 Mtodo de Narendra Gallman......................................................................... 44

    iv

  • 3.4.4 Mtodo de Boutayeb ........................................................................................... 46

    3.4.5 Mtodo de Bai..................................................................................................... 49

    3.5 VALIDAO DO MODELO............................................................................................ 51

    4. CONTROLE PREDITIVO.............................................................................................................54 4.1 INTRODUO .............................................................................................................. 54

    4.2 CONTROLE PREDITIVO BASEADO EM MODELO LINEAR ............................................. 56

    4.2.1 Controle de Varincia Mnima Generalizada (GMV)........................................ 57

    4.2.2 Controle por Matriz Dinmica (DMC) .............................................................. 60

    4.2.3 Controle Preditivo Generalizado (GPC)............................................................ 63

    4.2.4 Abordagem Mean Level Control (MLC) ............................................................ 70

    4.3 CONTROLE PREDITIVO BASEADO EM MODELO NO-LINEAR ..................................... 73

    4.3.1 Controlador de Bars e Haber............................................................................. 74

    4.3.2 Controlador Preditivo Baseado num Modelo Quase-Linear ............................. 75

    4.3.3 Controlador de Katende e Jutan ........................................................................ 76

    4.3.4 Controlador de Fruzzetti .................................................................................... 78

    4.3.5 Multiplicidade de Solues para a Lei de Controle ........................................... 79

    5. RESULTADOS DE SIMULAO .............................................................................................83 5.1 INTRODUO .............................................................................................................. 83

    5.2 IDENTIFICAO DE UM PROCESSO DO TIPO HAMMERSTEIN ........................................ 83

    5.3 MULTIPLICIDADE DE SOLUES PARA A LEI DE CONTROLE ....................................... 85

    5.4 CONTROLE DE UM SISTEMA DE HAMMERSTEIN .......................................................... 88

    5.5 REATOR DO TIPO CSTR .............................................................................................. 98

    5.5.1 Identificao ....................................................................................................... 94

    5.5.2 Controle Preditivo .............................................................................................. 95

    6. CRONOGRAMA................................................................................................................................98

    REFERNCIAS BIBLIOGRFICAS..........................................................................................101

    v

  • LISTA DE TABELAS

    Tabela 2.1 Seleo do Modelo: Paramtrico X No-Paramtrico. ................................... 15

    Tabela 2.2 Representao de NL com Estrutura Conhecida............................................. 22

    Tabela 2.3 Particularizaes do Modelo NCARMA.......................................................... 26

    Tabela 2.4 Comparao da Complexidade dos Modelos. ................................................ 27

    Tabela 3.1 Comportamento No-Linear........................................................................... 31

    Tabela 4.1 - Aplicaes Comerciais de MPC...................................................................... 57

    Tabela 4.2 - Aplicaes Comerciais de NMPC. .................................................................. 73

    Tabela 5.1 Comparao entre os Resultados de Identificao. ........................................ 85

    Tabela 5.2 Desempenho das Tcnicas de Seleo de Razes. .......................................... 88

    Tabela 5.3 Comparao entre o Desempenho dos Controladores. ................................... 91

    Tabela 5.4 Notao para o Reator CSTR. ......................................................................... 92

    Tabela 5.5 Desempenho dos Controladores para o CSTR. ............................................... 97

    Tabela 6.1 Atividades Previstas. ...................................................................................... 98 Tabela 6.2 Cronograma de atividades. ............................................................................. 99

    vi

  • LISTA DE FIGURAS

    Figura 1.1 Publicaes sobre Controle Preditivo No-Linear.......................................... 04 Figura 1.2 Esquema da Planta Solar de Refrigerao. ..................................................... 06

    Figura 2.1 Coeficientes da Resposta Impulsiva. .............................................................. 11

    Figura 2.2 Coeficientes da Resposta ao Degrau. .............................................................. 14

    Figura 2.3 Modelo de Hammerstein. ................................................................................ 20

    Figura 2.4 Tipos Comuns de No-Linearidades............................................................... 22

    Figura 2.5 Estrutura de um modelo Hammerstein Neural................................................ 23

    Figura 2.6 Estrutura de um modelo Hammerstein Nebuloso. .......................................... 23

    Figura 2.7 Modelo de Wiener........................................................................................... 24

    Figura 2.8 Modelo Wiener-Hammerstein......................................................................... 25

    Figura 2.9 Relao entre os modelos no-lineares. .......................................................... 26

    Figura 3.1 Diagrama de Identificao. ............................................................................. 28

    Figura 3.2 Diagrama para Seleo de Modelo. ................................................................ 30

    Figura 3.3 Teste de Simetria............................................................................................. 32

    Figura 3.4 Teste de Dependncia de Amplitude da Entrada. ........................................... 33

    Figura 3.5 Teste de Entradas Peridicas........................................................................... 34

    Figura 3.6 Representao da NL do Exemplo 3.4. ........................................................... 37

    Figura 3.7 Teste DR para o Exemplo 3.4. ........................................................................ 38

    Figura 3.8 Teste DR para o Exemplo 3.5. ........................................................................ 39

    Figura 3.9 No-Linearidade Tipo Saturao. ................................................................... 49

    Figura 3.10 Funo de Autocorrelao de um Resduo Rudo Branco. ........................... 52

    Figura 4.1 Estrutura de um Controlador Preditivo........................................................... 55 Figura 4.2 Horizontes de Previso. .................................................................................. 56

    vii

  • Figura 4.3 Estrutura do Controlador GMV. ...................................................................... 59

    Figura 4.4 Estrutura do Controlador GPC........................................................................ 68

    Figura 4.5 Abordagem Mean Level Control. ................................................................... 70

    Figura 4.6 Estrutura do Controlador de Fruzzetti............................................................. 78

    Figura 4.7 Seleo do Sinal de Controle. ......................................................................... 82

    Figura 5.1 Ensaio em Malha Aberta para Identificao. .................................................. 84

    Figura 5.2 Comparao Sada Real x Estimada. .............................................................. 84

    Figura 5.3 Controladores Preditivos com Sintonia: N2 = 5; Nu = 2; = 10..................... 86 Figura 5.4 Controladores Preditivos com Sintonia: N2 = 5; Nu = 1; = 10..................... 87 Figura 5.5 Representao de um Trocador de Calor Casco-Tubo.................................... 89

    Figura 5.6 Funo Custo em Relao ao Horizonte de Previso...................................... 89

    Figura 5.7 Anlise de Seguimento de Referncia............................................................. 90

    Figura 5.8 Anlise de Rejeio de Perturbao................................................................ 90

    Figura 5.9 Representao Esquemtica de um reator CSTR. ........................................... 92

    Figura 5.10 Resposta do CSTR a Aplicao de um Degrau. ............................................ 93

    Figura 5.11 Dados de Entrada-Sada do Processo para Estimao. ................................. 94

    Figura 5.12 Comparao Resposta da Planta x Modelo Estimado................................... 94

    Figura 5.13 Comparao das Respostas para Validao. ................................................. 95

    Figura 5.14 Anlise de Comportamento Servo para o CSTR. .......................................... 96

    Figura 5.15 Anlise de Comportamento Regulatrio para o CSTR.................................. 96

    viii

  • NOTAO

    Smbolos

    , passo de iterao , ( q1) u(t) = (1 q1)u(t) = u(t) u(t-1) (t), (t) incerteza de modelagem, erro de medio, rudo , (t) vetor de medidas (t) sada generalizada matriz de informao i elementos do polinmio da no-linearidade , , ponderaes da sada, referncia e controle, respectivamente (.) esperana matemtica , (t) vetor de parmetros , (t) vetor de parmetros estimados parmetros da parcela no-linear a, b parmetros da parcela linear

    b + pseudo-inversa de b A(q-1), B(q-1) polinmios em q-1

    d atraso de transporte no tempo discreto

    e, e(t) erro de previso, erro de estimao

    G matriz de coeficientes da resposta ao degrau

    G(q-1) funo de transferncia discreta

    gi elementos da resposta ao degrau

    g(k) gradiente gs ganho esttico do processo

    H(k) Hessiana

    ix

  • hi, hij elementos da resposta impulsiva, kernels do modelo de Volterra, elementos

    do modelo NCARMA

    I, In matriz identidade, matriz identidade n x n

    J, V funo custo

    k, a constantes

    L atraso de transporte no tempo contnuo

    l, m grau da no-linearidade, ordem do modelo

    N1, N2 horizonte de previso da sada, inicial e final, respectivamente

    Nu horizonte de controle

    N nmero de termos de uma srie, nmero de medidas

    N(.) no-linearidade

    na, nb ordem dos polinmios A(q-1), B(q-1), respectivamente

    nu, ny nmero de termos das parcelas de u(t) e y(t) nos modelos, respectivamente

    q-1 operador atraso, q1u(t) = u(t-1)

    R, S, T polinmios de um controlador com dois graus de liberdade, estrutura RST

    ree() funo de autocorrelao do erro de estimao t tempo, instante de tempo

    Ts perodo de amostragem

    u, u(t) sinal de entrada, controle

    W matriz de ponderaes

    w, w(t) pseudo-entrada do sistema, entrada do bloco linear

    x, x(t), v, v(t) pseudo-sada do sistema, sada do bloco linear

    Y vetor de sadas

    y, y(t) sinal de sada y valor mdio da sada

    y valor estimado para a sada

    x

  • Abreviaturas

    AIC Akaikes Information Criterion

    ANN Artificial Neural Networks

    CARIMA Controlled Auto-Regressive Integrated Moving Average

    CARMA Controlled Auto-Regressive Moving Average

    CSTR Continuous Stirred Tank Reactor

    DMC Dynamic Matrix Control

    DR Determinant Ratio

    ERR Error Reduction Ratio

    FIR Finite Impulsive Response

    FPE Final Prediction Criterion

    FSR Finite Step Response

    GMV Generalized Minimum Variance

    GPC Generalized Predictive Control

    IIR Infinite Impulsive Response

    ISR Infinite Step Response

    MAC Model Algorithmic Control

    MISO Multiple Input, Single Output

    MLC Mean Level Control

    MPC Model Predictive Control

    MQ algoritmo dos mnimos quadrados

    NARMAX Nonlinear Auto-Regressive Moving Average Model with Exogenous Variables

    NCARMA Nonlinear Controlled Auto-Regressive Moving Average

    NL No-Linearidade

    NGPC Nonlinear Generalized Predictive Control

    NMPC Nonlinear Model Predictive Control

    PI Controlador Proporcional + Integral

    PRBS Pseudo-Random Binary Signal

    SISO Single Input, Single Output

    SSE Sum of Squared Error

    xi

  • 1. INTRODUO

    Nos ltimos anos o controle de sistemas no-lineares tem recebido considervel

    ateno tanto no meio acadmico como no industrial. Este recente interesse na anlise e

    projeto de sistemas de controle no-linear devido ao desempenho insatisfatrio de

    controladores lineares quando aplicados a plantas com acentuada no-linearidade ou

    plantas no-lineares atuando sobre uma ampla faixa de operao alm do grande

    desenvolvimento de estratgias de controle baseado em modelo para sistemas no-lineares

    (Eskinat et al., 1991; Henson e Seborg, 1997; Hapoglu et al., 2001).

    Estas estratgias de controle de processos complexos utilizam o modelo no-linear

    diretamente no projeto do controlador sem a necessidade de aplicar nenhum tipo de

    linearizao em torno do ponto de operao (Henson e Seborg, 1997; Hapoglu et al.,

    2001).

    Nas estratgias de controle no-linear convencionais o objetivo fazer com que o

    sistema em malha fechada comporte-se linearmente mantendo o ganho constante. A

    tcnica do ganho escalonado foi amplamente aplicada para compensar as caractersticas

    no-lineares dos processos. Nesta abordagem os parmetros do controlador so ajustados

    para compensar as no-linearidades conhecidas de maneira que o ganho de malha seja

    mantido to constante quanto possvel. Generalizando, o controlador deve conter a inversa

    da no-linearidade esttica do processo (Pearson e Ogunaike, 1997; Rawlings, 2000).

    Estratgias de controle baseadas em modelo para processos no-lineares so,

    tradicionalmente, baseadas na aplicao de uma linearizao local e um projeto de

    controlador baseado no modelo linearizado obtido.

    Ultimamente, tem ressurgido o interesse no desenvolvimento de novas estratgias

    de identificao e controle para sistemas no-lineares motivadas pelos avanos na teoria de

    sistemas no-lineares, pelo desenvolvimento de eficientes mtodos de identificao de

    modelos no-lineares empricos e sua disponibilidade em pacotes computacionais

  • CAPTULO 1 - INTRODUO 3

    comerciais e pela melhoria contnua na capacidade de hardware e software o que torna

    possvel a utilizao de modelos no-lineares complexos nos sistemas de controle de

    processos.

    O controle preditivo baseado em modelo tem-se apresentado atualmente como uma

    das mais populares e eficientes estratgias de controle na indstria de processos. Isto

    ocorre porque muitos dos aspectos fundamentais num projeto de controle industrial prtico

    podem ser explorados num controle preditivo baseado em modelo, como a trajetria de

    referncia futura, previso de perturbaes e a incluso de restries, verificando assim a

    flexibilidade de projeto desta tcnica de controle (Ogunnaike e Ray, 1994; Scheffer-Dutra

    et al., 2002).

    A utilizao de modelos lineares numa aplicao de controle preditivo bastante

    comum pois alm da popularidade deste tipo de modelo, muitas vezes, torna-se necessrio

    o emprego de um modelo simplificado para possibilitar que todos os clculos envolvidos

    sejam realizados dentro do intervalo correspondente a um perodo de amostragem

    viabilizando, assim, o controle em tempo-real. Um modelo linear possibilita, tambm

    soluo analtica para o problema de minimizao da funo custo quando no so

    consideradas restries (Zambrano e Camacho, 2002; Nez-Reyes et al., 2002).

    As aplicaes bem sucedidas de sistemas de controle preditivo baseados em

    modelos lineares motivou a idia de que estes poderiam apresentar desempenhos

    superiores ainda se o modelo empregado pudesse representar o processo de forma mais

    eficiente. Ocorreu, ento, nos ltimos anos, um grande crescimento nas aplicaes

    industriais de controle preditivo no-linear visto que este se apresenta como uma estratgia

    de controle promissora para diversas reas da engenharia (Giannakis e Serpedin, 2001).

    Atualmente grande o interesse de diversos pesquisadores na rea de controle

    preditivo baseado em modelos no-lineares pois apresentam muitas questes em aberto

    relacionadas estimao, adaptao, robustez e, principalmente, ao problema de

    otimizao no-convexa (Mayne, 2000). Uma possvel soluo est no emprego de

    modelos no-lineares que aliem simplicidade com uma boa capacidade de representao do

    processo alm do aprofundamento de estudos relacionados a preditores no-lineares

    (McCannon, et al., 1982; Favier e Dubois, 1990). A Figura 1.1 apresenta o nmero de

    trabalhos publicados anualmente em revistas e eventos associados a Elsevier Science, IEE

    (The Institution of Electrical Engineers) e IEEE (Institute of Electrical and Electronics

    Engineers) na rea de controle preditivo no-linear nos ltimos anos.

  • CAPTULO 1 - INTRODUO 4

    1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 20020

    10

    20

    30

    40

    50

    60

    70

    80

    Ano

    Pub

    lica

    es

    Figura 1.1 Publicaes sobre Controle Preditivo No-Linear.

    A necessidade de representar um sistema da forma mais eficiente possvel

    empregando um modelo que no provoque um aumento significativo no esforo

    computacional estabelece um compromisso entre a qualidade do modelo e a sua

    simplicidade de representao. Neste aspecto o modelo de Hammerstein apresenta boas

    caractersticas pois alia uma boa capacidade de representao de no-linearidades fracas

    com uma inerente simplicidade de representao. O modelo de Hammerstein possibilita a

    representao adequada de vrios processos da indstria qumica como reatores, colunas de

    destilao, trocadores de calor, dentre outros (Fruzzetti et al., 1997; Menold et al., 1997;

    Pearson e Pottman, 2000; Fink e Nelles, 2001).

    O emprego de controladores preditivos baseados no modelo de Hammerstein tem

    motivado uma srie de aplicaes bem sucedidas ao longo dos ltimos anos (Bars e Haber,

    1991; Katende e Jutan, 1996; Fruzzetti et al., 1997). Isto se deve ao fato que este modelo

    apresenta propriedades que simplificam o projeto do controlador preditivo no-linear

    possibilitando, inclusive, uma soluo analtica para o problema de minimizao da funo

    custo (caso sem restries), embora, a maioria dos resultados apresentados restrinja-se ao

    nvel de simulao. Deste modo, estudos de implementao de estratgias de controle

    preditivo no-linear em processos reais apresenta-se, ainda, como um interessante campo

    de pesquisa com diversas questes em aberto.

  • CAPTULO 1 - INTRODUO 5

    1.1 OBJETIVOS

    Os principais objetivos deste trabalho so:

    realizao de um estudo comparativo entre diversas tcnicas de controle preditivo aplicado a processos representados pelo modelo de Hammerstein;

    implementao prtica das estratgias de identificao e controle em estudo possibilitando a validao dos resultados j obtidos em ambiente de simulao

    avaliando seu desempenho na presena de dificuldades encontradas na prtica

    (rudos, incertezas de modelagem, variaes paramtricas);

    estudo de preditores no-lineares com nfase na estrutura de Hammerstein;

    adequao da estrutura de controle mean level control no tratamento de processos no-lineares visando aplicaes em controle preditivo;

    avaliao da robustez em relao s incertezas de modelagem na aplicao de controladores preditivos no-lineares;

    obteno de modelos matemticos no-lineares e implementao de estratgias de controle preditivo no-linear aplicadas a uma planta solar de climatizao;

    proposio de modificaes e/ou novas estratgias de controle preditivo no-linear visando superar as dificuldades observadas.

    As etapas de levantamento de modelos matemticos no-lineares, bem como, a

    implementao das estratgias de controle baseadas nestes modelos sero desenvolvidas

    em relao instalao solar de refrigerao da Escuela Superior de Ingenieros da

    Universidad de Sevilla (Sevilla, Espanha) ilustrada na Figura 1.2 a qual consta de uma

    mquina de absoro com uma potncia frigorfica nominal de 35kW, junto com um

    sistema de obteno de energia trmica necessria para o funcionamento do ciclo de

  • CAPTULO 1 - INTRODUO 6

    absoro e um sistema de retirada de calor. A operao de um sistema multivarivel desta

    complexidade, apresenta caractersticas bastante interessantes do ponto de vista do controle

    de processos: a fonte primria de energia (radiao solar) no pode ser manipulada;

    existem grandes perturbaes no sistema (variao nas condies ambientais); existem

    fortes restries de amplitude e velocidade nas variveis manipulada e controlada; existe

    atraso de transporte associado ao movimento de fluidos que dependem das condies de

    operao; a demanda de refrigerao bastante varivel pois depende das condies de

    ocupao do ambiente (Normey-Rico, 1999; Scheffer-Dutra et al., 2002; Zambrano e

    Camacho, 2002).

    Figura 1.2 Esquema da Planta Solar de Refrigerao.

  • CAPTULO 1 - INTRODUO 7

    A Figura 1.2 representa o esquema da planta solar de refrigerao onde se podem

    observar seus componentes: o sistema de captao, formado por um conjunto de painis

    solares; o acumulador solar, composto por dois tanques encarregados de armazenar o

    fluido proveniente dos painis; o sistema auxiliar de energia, composto por uma caldeira

    de gs natural encarregada de suprir energia quando o abastecimento solar no o

    bastante; a mquina de absoro encarregada da produo de frio; alm de um simulador

    de carga, composto por um trocador e uma bomba de calor que permitem a realizao de

    ensaios.

    1.2 ESTRUTURA DO PROJETO DE TESE

    Este trabalho apresenta um estudo preliminar em relao s diversas estratgias de

    modelagem, identificao e controle preditivo com aplicao a processos monovariveis

    que possam ser representados pelo modelo de Hammerstein.

    Este projeto de tese est organizado de acordo com os seguintes captulos: alm desta

    introduo, os modelos empregados na representao de processos lineares e no-lineares

    so abordados no captulo 2. As tcnicas de identificao de sistemas so apresentadas no

    captulo 3. Os algoritmos de controle preditivo linear e no-linear so discutidos no

    captulo 4. O captulo 5 apresenta resultados de simulao e, finalmente, o captulo 6

    apresenta uma proposta de pesquisa e cronograma para a realizao da tese.

  • 2. MODELOS DE PROCESSOS LINEARES E NO-LINEARES

    2.1 INTRODUO

    A modelagem de um processo dinmico consiste da obteno de um modelo

    matemtico capaz de representar adequadamente as caractersticas de interesse de uma

    planta em estudo.

    Toda vez que a experimentao num processo real apresente restries de ordem

    operacional, econmico-financeira ou de segurana torna-se fundamental a realizao de

    estudos de simulao a partir de um modelo do processo. Alm disso, um modelo pode ser

    empregado com o objetivo de treinamento de operadores de plantas, projeto de

    controladores e previso de resultados.

    O modelo de um sistema pode ser obtido de duas formas, a partir das equaes

    bsicas do sistema Modelagem Fenomenolgica ou, a partir da medio de dados de

    entrada e sada do sistema Identificao de Sistemas. A dificuldade na obteno de um

    modelo fenomenolgico adequado, devida a complexidade dos sistemas reais, aliada a

    grande evoluo dos computadores e o desenvolvimento de estratgias de identificao

    eficientes, fizeram a Identificao de Sistemas tornar-se a principal maneira de obteno de

    modelos matemticos sendo, atualmente, objeto de estudo de inmeros pesquisadores das

    mais diversas reas de atuao (Ljung e Glad, 1994; Coelho e Coelho, 2003).

    A necessidade de representar um sistema da forma mais eficiente possvel

    empregando um modelo que no provoque um aumento significativo no esforo

    computacional estabelece um compromisso entre a qualidade do modelo e a sua

    simplicidade de representao que pode ser observada nos diversos tipos de modelos

    existentes.

    A representao de um processo pode ser feita atravs de um modelo contnuo, ou

    seja, com base no tempo contnuo e representado, normalmente, por equaes diferenciais,

  • CAPTULO 2 - MODELOS DE PROCESSOS LINEARES E NO-LINEARES 9

    ou atravs de um modelo discreto ou amostrado, representado por equaes a diferenas.

    Por ser o caso mais usado em implementaes prticas dada a disponibilidade dos sinais de

    entrada/sada apenas em instantes discretos de tempo, neste trabalho, destacada-se a

    representao de sistemas SISO (Single-Input, Single-Output) atravs de modelos discretos.

    2.2

    1 )

    MODELOS LINEARES

    Um modelo linear apresenta-se como a forma mais popular de representar um

    sistema devido sua simplicidade restringindo-se, no entanto, um caso particular dos

    sistemas reais que, em geral, so no-lineares. A validade deste tipo de modelo fica

    limitada a faixas de operao relativamente estreitas.

    Considerar um sistema linear significa supor que seu comportamento independe do

    ponto de operao, ou seja, que satisfaz o Princpio da Superposio dos Efeitos.

    Princpio da Superposio dos Efeitos

    A resposta produzida pela aplicao da combinao linear de duas ou mais excitaes diferentes igual combinao linear das respostas individuais a cada uma das excitaes.

    Entrada Sada

    u1 y1 u2 y2 k1u1 + k2u2 k1y1 + k2y2

    2.2.1 Modelos Paramtricos

    Correspondem aos modelos que apresentam parmetros caractersticos. Estes

    parmetros so os coeficientes de uma equao a diferenas ou funo de transferncia

    discreta que representa o sistema.

    Modelo CARMA (Controlled Auto-Regressive Moving Average) - modelo representado

    pela estrutura da equao (2.1)

    1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (dA q y t q B q u t C q t = + (2.1)

  • CAPTULO 2 - MODELOS DE PROCESSOS LINEARES E NO-LINEARES 10

    onde 1 1

    1( ) 1na

    naA q a q a q = + + +

    1 10 1( )nb

    nbB q b b q b q = + + +

    1 11( ) 1

    ncncC q c q c q

    = + + + y(t) a sada do sistema, u(t) o sinal de controle (entrada), (t) uma seqncia aleatria que pode representar incertezas de modelagem, erros de medio ou rudos presentes na

    sada e d o atraso de transporte discreto onde ( 1)s sdT L d T + e L o atraso no tempo contnuo.

    Modelo CARIMA (Controlled Auto-Regressive Integrated Moving Average) - modelo

    representado pela seguinte equao a diferenas:

    1 1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) /dA q y t q B q u t C q t = +

    1 )

    (2.2)

    que pode ser reescrita na forma

    1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (dA q y t q B q u t C q t = + (2.3)

    onde = (1 q1) de maneira que y(t) = y(t) y(t-1).

    Comumente encontram-se casos particulares dos modelos citados anteriormente, por

    exemplo:

    Modelo CAR 1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( )dA q y t q B q u t t = + Modelo ARMA 1 1( ) ( ) ( ) (A q y t C q t) = Modelo MA 1( ) ( ) ( )y t C q t=

    2.2.2 Modelos No-Paramtricos

    Representam a dinmica do processo atravs dos coeficientes da resposta impulsiva

    ou da resposta ao degrau. Estas estruturas apresentam, como caracterstica principal, a

    capacidade de representar dinmicas que no poderiam ser bem representadas por modelos

    paramtricos de ordem reduzida sem a introduo de incertezas estruturais.

  • CAPTULO 2 - MODELOS DE PROCESSOS LINEARES E NO-LINEARES 11

    Embora tenham como um inconveniente a necessidade de um nmero elevado de

    parmetros, estes modelos possuem um bom desempenho para representar processos que

    apresentem dinmicas rpidas (Ljung e Glad, 1994).

    Modelo Matemtico Baseado na Resposta ao Impulso

    Representa o processo com um nmero infinito de termos que correspondem aos

    coeficientes da resposta impulsiva do sistema.

    1( ) ( )i

    iy t h u t i

    == (2.4)

    Para sistemas estveis estes coeficientes tendem assintoticamente para zero

    conforme ilustra a Figura 2.1.

    i

    h

    h1

    h2

    h3

    hi

    hN

    ...

    ...

    Figura 2.1 Coeficientes da Resposta Impulsiva.

    Como se pode observar na Figura 2.1, depois de um tempo suficientemente grande,

    os coeficientes hi tendem a zero, caso o sistema seja estvel. Esta constatao possibilita o

    uso de um nmero finito de termos permitindo, assim, a implementao do modelo FIR

    (Finite Impulsive Response).

    Modelo FIR Convencional

    Corresponde ao modelo de resposta ao impulso onde empregado, no entanto, um

    nmero finito de termos N suficientemente grande de maneira que hi 0 para i > N.

  • CAPTULO 2 - MODELOS DE PROCESSOS LINEARES E NO-LINEARES 12

    1( ) ( )

    N

    ii

    y t h u t i=

    = (2.5)

    Modelo FIR Incremental

    Baseia-se, tambm, na Eq. (2.5) que pode ser reescrita como

    1( 1) ( 1

    N

    ii

    y t h u t i=

    ) = (2.6)

    e subtraindo a Eq. (2.6) da Eq. (2.5) tm-se que

    1 1( ) ( 1) ( ) ( 1 )

    N N

    i ii i

    y t y t h u t i h u t i= =

    =

    que pode ser reescrita na forma (Clarke e Zhang, 1987)

    1( ) ( 1) ( )

    N

    ii

    y t y t h u t i=

    = + (2.7)

    Modelo FIR Dinmico

    Este modelo considera que a dinmica de baixa freqncia da maioria dos

    processos pode ser aproximada por um modelo de 1a ordem (Auslander et al., 1978).

    1

    11

    ( ) ( ) ( )1

    NN

    ii

    hy t h u t i u t Npq

    == + (2.8)

    que pode ser reescrita como a funo de transferncia

    1 1

    1 1 11

    ...( )1

    NNb q b q b qG q

    pq

    + + +=

    onde b1 = h1, bi = hi phi-1 para i = 2, ..., N e p determinado de maneira que o ganho do

    modelo seja igual ao ganho esttico do processo (gs), isto ,

  • CAPTULO 2 - MODELOS DE PROCESSOS LINEARES E NO-LINEARES 13

    =

    = 1

    1

    1 N

    iis

    N

    hg

    hp

    (2.9)

    O modelo garantido estvel e sobreamortecido desde que

    =

    = + < =

    onde sgn representa a funo sinal.

    Representao da NL por um Modelo Semi-paramtrico

    Esta terminologia foi empregada por Unbehauen (1996) para descrever uma classe

    de modelos baseada em redes neurais artificiais (ANN Artificial Neural Networks) e

    informao lingstica difusa. Nestes casos os modelos so formados por nmeros que

    correspondem s ponderaes de uma ANN ou ao grau de pertinncia num conjunto difuso.

    Modelos ANN Estes modelos tm a capacidade de aprender o comportamento entrada-sada do sistema. Uma rede neural consiste de vrios elementos

    computacionais simples, denominados de ns, arranjados em camadas e operando

    em paralelo (Figura 2.5). Os pesos das conexes entre os ns so adaptados durante

    ua

    -a

    x x

    1

    u-aa

    -1

  • CAPTULO 2 - MODELOS DE PROCESSOS LINEARES E NO-LINEARES 23

    a operao de treinamento da rede que tem por objetivo melhorar o seu

    desempenho (Unbehauen, 1996; Al-Duwaish e Karim, 1997; Bauer e Ninness,

    2000).

    Figura 2.5 Estrutura de um modelo Hammerstein Neural.

    Modelos Nebulosos (fuzzy models) este modelo combina informao numrica e lingstica (do tipo pequeno, mdio, grande, etc.) possibilitando a aplicao do

    conhecimento prvio das caractersticas do processo mesmo que este seja

    incompleto e/ou com incertezas (Sjberg et al., 1995, Abonyi et al., 2000; Coelho,

    2000).

    Figura 2.6 Estrutura de um modelo Hammerstein Nebuloso.

    A popularidade do modelo de Hammerstein deve-se ao fato da maior simplicidade

    em relao s representaes de Volterra e Bilinear aliada a uma capacidade de

    representao da no-linearidade da maioria dos processos prticos sendo capaz de

    representar processos com atuadores no-lineares e ganhos variantes.

    A literatura de controle e identificao de sistemas conta com inmeras aplicaes

    do modelo de Hammerstein na representao de reatores qumicos (Katende e Jutan, 1996;

    Menold et al., 1997), colunas de destilao (Pearson e Pottmann, 2000), trocadores de

    calor (Eskinat et al., 1991; Al-Duwaish e Naeem, 2001; Fink e Nelles, 2001), processos de

    nvel (Katende et al., 1998; Coelho et al., 2002), controle de pH (Zhu et al., 1991; Zhu e

    Seborg, 1994; Fruzzetti et al., 1997), processos de fermentao (Roux et al., 1996), alm

    de qualquer processo do Tipo Hammerstein, ou seja, que possa ser representado por uma

    G(q-1)

    u(t) x(t) y(t)

    d1

    dNR

    .

    .

    .

    1

    NR

    G(q-1)

    u(t) x(t) y(t)

    .

    .

    .

    o

    1 wjh wjo

    .

    .

    . jhL

    1 1

  • CAPTULO 2 - MODELOS DE PROCESSOS LINEARES E NO-LINEARES 24

    no-linearidade seguida de uma parcela dinmica linear (Hwang e Hsu, 1995; Haber et al.,

    2000; Coelho e Santos, 2002).

    2.3.5 Modelo de Wiener

    Este modelo apresenta um sistema dinmico linear seguido por um elemento no-

    linear, de forma contrria ao modelo de Hammerstein, como ilustrado na Figura 2.7.

    Figura 2.7 Modelo de Wiener.

    Da mesma forma que o caso de Hammerstein, a parcela linear pode ser

    representada por um dos modelos apresentados na seo 2.2 enquanto que a no-

    linearidade (NL) pode ser representada por um polinmio do tipo

    y(t) = 1w(t) + 2w2(t) + ... + mwm(t) (2.30)

    onde w(t) a pseudo-sada do bloco linear ou, ainda, baseada nas outras formas de

    representao vlidas para o modelo de Hammerstein visto que o modelo de Wiener

    considerado o seu dual.

    Exemplo 2.5 - As equaes (2.32) e (2.32) representam um modelo de Wiener, com na =

    2, nb = 2 e m = 3, usado como exemplo em Norquay et al., 1998.

    2 3( ) ( ) 0.4 ( ) 0.1 ( )y t w t w t w t= + (2.31)

    onde

    ( ) 0.5 ( 1) 0.4 ( 2) 0.5 ( 1) 0.3 ( 2) 0.1 ( 3)w t w t w t u t u t u t= + + + (2.32)

    G(q-1)

    u(t) w(t) y(t) NL

  • CAPTULO 2 - MODELOS DE PROCESSOS LINEARES E NO-LINEARES 25

    O modelo de Wiener conta com diversas aplicaes registradas na literatura de

    controle de processos como na representao de reatores qumicos (Menold et al., 1997),

    colunas de destilao (Hagenblad, 1999; Pearson e Pottmann, 2000), controle de vlvulas

    (Al-Duwaish e Naeem, 2001), controle de pH (Norquay et al., 1998; Wellers e Rake,

    2000), comportamento muscular sob anestesia (Mahfouf e Linkens, 1998), alm de

    qualquer processo do Tipo Wiener, ou seja, que possa ser representado por uma parcela

    dinmica linear seguida de uma no-linearidade esttica (Gerksic et al., 2000).

    Na tentativa de criar modelos mais abrangentes surgiram combinaes dos modelos

    de Wiener e Hammerstein na forma ilustrada na Figura 2.8.

    Figura 2.8 Modelo Wiener-Hammerstein.

    2.4

    2

    COMPARAO ENTRE OS MODELOS

    Os diversos modelos apresentados nas sees anteriores podem ser considerados

    como casos particulares do modelo NCARMA de maneira que, baseado na representao da

    Eq. (2.33), particularizao da Eq. (2.16) para o caso onde o grau de no-linearidade = 2,

    possvel verificar cada caso atravs da Tabela 2.3.

    A

    1 1 1 2 1

    1 2 1 2 1

    0 1 1 1 1 1 2 11 1 1

    1 2 1 2 1 2 1 21 1 1

    ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( , ) ( ) ( )

    ( , ) ( ) ( ) ( , ) ( ) ( )

    y y yu

    y y yu

    n n nn

    u y uun n n n n

    n n nn

    yu yyn n n n n

    y t h h n u t n h n y t n h n n u t n u t n

    h n n y t n u t n h n n y t n y t n

    = = = =

    = = = =

    = + + +

    + +

    (2.33)

    Tabela 2.3 Particularizaes do Modelo NCARMA.

    G1(q-1)

    NL

    u(t) v(t) w(t) y(t) G2(q-1)

  • CAPTULO 2 - MODELOS DE PROCESSOS LINEARES E NO-LINEARES 26

    Coeficientes Linear Hammerstein Bilinear Volterra NCARMA

    hu 5 5 5 5 5 hy 5 5 5 5 huu 5* 5 5 hyu 5 5 hyy 5

    onde 5 denota um coeficiente presente no modelo * apenas quando n1 = n2 denota um coeficiente inexistente

    Pela anlise do diagrama de Venn da Figura 2.9 que ilustra a relao entre os tipos

    de modelos apresentados possvel comprovar a informao j disponvel na Tabela 2.3

    em relao a capacidade de generalizao de cada modelo desde o modelo NCARMA, caso

    geral, at o modelo linear, caso particular comum a todos os demais.

    NCARMA Volterra

    Hammerstein

    Linear

    Wiener Bilinear

    Figura 2.9 Relao entre os modelos no-lineares.

    Como a complexidade dos modelos estudados est diretamente relacionada ao

    nmero de termos envolvidos, a Tabela 2.4 apresenta uma comparao levando em conta o

    caso no-paramtrico na representao do modelo linear.

    Tabela 2.4 Comparao da Complexidade dos Modelos.

  • CAPTULO 2 - MODELOS DE PROCESSOS LINEARES E NO-LINEARES 27

    Modelo Nmero de Termos

    Linear N

    Hammerstein / Wiener N + m

    Bilinear

    N + ny.nu

    Volterra ( )! !!

    N m Nm

    +

    NCARMA ( )( )

    !! !

    N ny mN ny m+ ++

    Embora os modelos de Volterra e NCARMA possam apresentar um nmero bastante

    elevado de termos comum a aplicao de tcnicas de reduo de modelo ao longo do

    procedimento de identificao visando empregar apenas aqueles termos que sejam mais

    relevantes em relao s caractersticas de interesse do processo (Aguirre, 2000).

  • 3. IDENTIFICAO DE SISTEMAS NO-LINEARES

    3.1 INTRODUO

    A identificao de sistemas busca a representao do comportamento de um

    processo atravs de um modelo matemtico independente do conhecimento prvio a

    respeito do mesmo. Um procedimento de identificao pode ser dividido em vrias etapas

    dentre as quais destacam-se: seleo do modelo, determinao da estrutura, estimao dos

    parmetros, validao do modelo como ilustrado na Figura 3.1.

    Figura 3.1 Diagrama de Identificao.

  • CAPTULO 3 - IDENTIFICAO DE SISTEMAS NO-LINEARES 29

    O sinal empregado na identificao do sistema deve ser capaz de excit-lo em toda

    a faixa de interesse pois, caso contrrio, estas caractersticas no so registradas e,

    portanto, o modelo identificado no capaz de represent-las. Sinais de entrada aleatrios

    possibilitam um melhor condicionamento numrico nos problemas de estimao que

    aplicam a tcnica dos mnimos quadrados e a aplicao de um sinal do tipo branco ,

    tambm, desejvel pois este tem potncia espectral numa ampla faixa de freqncias.

    Enquanto que na identificao de sistemas lineares a caracterstica do sinal de entrada

    mais importante o contedo de freqncias no seu espectro, para sistemas no-

    lineares destaca-se tambm a amplitude do sinal que deve ser capaz de fazer o sistema

    trabalhar em toda a faixa de operao de interesse fazendo-o revelar as suas

    caractersticas no-lineares. Na prtica, sinais do tipo rudo branco (sinal aleatrio

    cujo espectro tem potncia em todas as freqncias) e PRBS (Pseudo-Random Binary

    Signal) so comumente utilizados tanto na identificao de processos lineares como

    no-lineares (Ljung e Glad, 1994; Aguirre, 2000; Gmez e Baeyens, 2001).

    A literatura apresenta diversas tcnicas de identificao para sistemas lineares,

    representados por equaes a diferenas, sendo as mais populares aquelas baseadas no

    algoritmo dos mnimos quadrados (MQ). Neste captulo discutida a identificao de

    sistemas SISO no-lineares reapresentados pelo modelo de Hammerstein baseadas nas

    medidas de entrada e sada do processo (Coelho e Coelho, 2003).

    3.2 SELEO DO MODELO

    Os modelos matemticos mais comuns para a representao de um processo

    dinmico esto apresentados no captulo 2 e cada um possui caractersticas distintas que

    devem ser levadas em conta na seleo. Para escolher o modelo mais adequado para uma

    aplicao particular deve-se levar em conta sua capacidade de representar as caractersticas

    da planta sem, no entanto, desconsiderar que a simplicidade do modelo est diretamente

    relacionada ao esforo computacional envolvido sendo, portanto, um fator fundamental

    para uma implementao em tempo-real . Na prtica, o modelo escolhido , em geral, o

    mais simples possvel capaz de atender aos requisitos operacionais estabelecendo um

    compromisso entre capacidade de aproximao x simplicidade de representao (Santos,

    1998; Pearson, 2003).

  • CAPTULO 3 - IDENTIFICAO DE SISTEMAS NO-LINEARES 30

    A Figura 3.2 apresenta um diagrama que pode ser usado como uma ferramenta na

    seleo de um modelo a ser empregado na representao de um processo no-linear.

    Figura 3.2 Diagrama para Seleo de Modelo.

    3.2.1 Deteco de No-Linearidade

    Uma etapa fundamental na determinao da necessidade de uso de um modelo no-

    linear na representao da planta a deteco da no-linearidade (NL) do processo. Um

    sistema no-linear apresenta uma no-linearidade que pode ser classificada como fraca,

    mdia ou forte e um dos seguintes tipos de comportamento apresentados na Tabela 3.1

    (Pearson, 2003).

  • CAPTULO 3 - IDENTIFICAO DE SISTEMAS NO-LINEARES 31

    Tabela 3.1 Comportamento No-Linear.

    Tipo de NL Comportamento Descrio

    Resposta Assimtrica Caracterstica da resposta dependente da entrada violando o Princpio da Superposio dos Efeitos.

    Gerao de Harmnicas O sistema sujeito a uma entrada senoidal produz uma sada no senoidal de mesma freqncia.

    Fraca

    Multiplicidade de Entrada Uma sada corresponde a mais de uma entrada em regime permanente.

    Mdia Estabilidade Dependente da Entrada

    A estabilidade do sistema depende da amplitude da entrada aplicada.

    Multiplicidade de Sada Uma entrada leva a mais de uma sada em regime permanente.

    Gerao de Sub-harmnicas O sistema sujeito a uma entrada senoidal produz uma sada no senoidal de freqncia menor que a entrada.

    Forte

    Comportamento Catico O sistema apresenta respostas altamente irregulares para entradas simples.

    Alguns testes comuns permitem a observao de um comportamento no-linear

    auxiliando, portanto, na deciso de optar-se por este tipo de representao na seleo de

    um modelo.

    Simetria e Dependncia de Amplitude da Entrada

    Estes testes permitem confrontar os comportamentos linear x no-linear cobrindo a

    maioria dos processos no-lineares.

    Teste de Simetria representa o mais comum dos testes de no-linearidade, consiste na aplicao de entradas simtricas ao sistema e a conseqente observao da sada.

    Exemplo 3.1 - O comportamento do sistema representado pela equao ilustrado pela

    Figura 3.3 com a aplicao de degraus de entrada com valores u(t) = +3; +1; -1 e -3.

  • CAPTULO 3 - IDENTIFICAO DE SISTEMAS NO-LINEARES 32

    ( )( ) 0.8 ( 1) 0.3 ( 1) ( 1) ( 1)y t y t y t sen y t u t= + (3.1)

    0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100-15

    -10

    -5

    0

    5

    10

    15

    tempo

    sad

    a

    u(t) = +3

    u(t) = +1

    u(t) = -3

    u(t) = -1

    Figura 3.3 Teste de Simetria.

    O comportamento do sistema, ilustrado na Figura 3.3, apresenta-se bastante

    assimtrico em relao s entradas aplicadas caracterizando de forma bastante acentuada

    este tipo de no-linearidade. Embora seja um teste bastante popular a caracterstica de

    simetria uma condio apenas necessria para indicar a linearidade de um sistema, ou

    seja, mesmo um sistema no-linear pode apresentar um comportamento simtrico dentro de

    uma faixa de operao restrita e, neste caso, outros testes se fazem necessrios.

    Teste de Dependncia de Amplitude consiste na aplicao de entradas em degraus de amplitudes crescentes e a observao da sada. Caractersticas dinmicas e at de

    estabilidade de um sistema no-linear podem ser dependentes da amplitude da entrada

    aplicada.

    Exemplo 3.2 - A Figura 3.4 ilustra o comportamento de um sistema representado pela

    equao sujeita aplicao de degraus de entrada com valores u(t) = 4.2k, k = 1 a 5.

    2( ) 0.8 ( 1) 0.2 ( 1) 0.2 ( 1)y t y t y t u t= + + (3.2)

  • CAPTULO 3 - IDENTIFICAO DE SISTEMAS NO-LINEARES 33

    0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1000

    0.5

    1

    1.5

    2

    2.5

    3

    3.5

    4

    4.5

    5

    tempo

    sad

    a

    Figura 3.4 Teste de Dependncia de Amplitude da Entrada.

    Observa-se que o comportamento dinmico do sistema varia em funo da

    amplitude do sinal de entrada e, a partir da entrada u(t) = 21, torna-se instvel.

    Entradas Peridicas

    Atravs de uma anlise do comportamento do sistema sujeito a uma entrada

    peridica possvel observar comportamentos no-lineares do tipo gerao de harmnicas

    ou sub-harmnicas.

    Exemplo 3.3 - A equao (3.3) representa um sistema com uma no-linearidade do tipo

    seno na entrada

    ( )( ) 0.9 ( 1) 0.1 2 ( 1)y t y t sen u t= + (3.3)

    e a Figura 3.5 representa a relao entrada x sada para este sistema onde a entrada um

    sinal senoidal e a sada um sinal no-senoidal de mesma freqncia que a entrada

    caracterizando um comportamento no-linear com gerao de harmnicas.

  • CAPTULO 3 - IDENTIFICAO DE SISTEMAS NO-LINEARES 34

    0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100-1

    -0.8

    -0.6

    -0.4

    -0.2

    0

    0.2

    0.4

    0.6

    0.8

    1

    tempo

    sad

    a

    entrada

    sada

    Figura 3.5 Teste de Entradas Peridicas.

    O modelo de Hammerstein mostra-se adequado na representao das no-

    linearidades descritas como fracas na Tabela 3.1 pois capaz de reproduzir os

    comportamentos caractersticos deste tipo de no-linearidade.

    Embora a anlise do comportamento do processo indique a necessidade de

    utilizao de um modelo no-linear, restries do ponto de vista da aplicao em tempo-

    real podem levar o usurio para outras solues como, por exemplo, o emprego de

    mltiplos modelos lineares levando em conta faixas de operao mais restritas (Marchi,

    1999) ou, ainda, o uso de um nico modelo linear pode ser suficiente para aplicaes em

    controle de processos quando empregado algum tipo de estratgia adaptativa (strm e

    Wittenmark, 1995).

    3.3 SELEO DE ESTRUTURA

    Existem diversos critrios para a seleo de ordem de modelos lineares

    monovariveis como aqueles baseados na razo entre determinantes, critrio de informao

    de Akaike (AIC Akaikes Information Criterion), critrio do erro de predio final (FPE

    Final Prediction Criterion). No entanto, quando o sistema no-linear so poucas as

    ferramentas para auxiliar nesta etapa. Aguirre (2000) prope a aplicao da taxa de

    reduo do erro, ERR (Error Reduction Ratio), aplicadas a modelos NCARMA. Esta

  • CAPTULO 3 - IDENTIFICAO DE SISTEMAS NO-LINEARES 35

    estratgia permite a deteco de quais parcelas do modelo so mais relevantes para serem

    includas e quais podem ser consideradas desprezveis.

    O caso particular do modelo de Hammerstein permite a aplicao de uma extenso

    do mtodo da razo entre determinantes, DR (Determinant Ratio).

    3.3.1 Razo entre Determinantes para o Modelo de Hammerstein

    Assim como no caso linear, este mtodo baseia-se na singularidade da matriz de

    informao cujos elementos possuem dados sobre a correlao entre os sinais de entrada e

    sada do sistema em diferentes instantes de tempo. A ordem da matriz de informao

    funo da ordem do modelo a ser obtido por identificao. Quando a ordem do modelo

    selecionada maior que o sistema real, a matriz de informao torna-se redundante, ou seja,

    apresenta colunas linearmente dependentes que levam singularidade.

    Para o modelo de Hammerstein, onde a no-linearidade aproximada por um

    polinmio de ordem m e cuja parcela linear representada por um modelo do tipo CARMA,

    tem-se que

    1 1( ) ( ) ( ) ( ) (dA q y t q B q x t t) = + (3.4)

    onde 1 1

    1( ) 1 aan

    nA q a q a q = + + +

    1 10 1( ) bb

    nnB q b b q b q

    = + + +

    e (t) representa erros de modelagem e/ou rudos de medio, a pseudo-sada x(t) pode ser representada por

    x(t) = 1u(t) + 2u2(t) + ... + mum(t) (3.5)

    a representao da parcela linear por equao a diferenas

    y(t) = - a1y(t-1) - a2y(t-2) - ... - anay(t-na) + b0x(t-d) + ... + bnbx(t-d-nb) + (t) (3.6)

    que pode ser reescrita como

  • CAPTULO 3 - IDENTIFICAO DE SISTEMAS NO-LINEARES 36

    y(t) = T(t)(t) + (t) (3.7)

    onde o vetor de medidas formado como se estivesse tratando de um sistema MISO

    (Multiple Inputs Single Output) na forma (Eskinat, et al., 1996)

    T(t) = [-y(t-1) ... -y(t-na) u(t-d) ... u(t-d-nb) u2(t-d) ... u2(t-d-nb) ... um(t-d-nb)] (3.8)

    com dimenso [(na + (nb + 1)m) x 1] e o vetor de parmetros pode ser expresso na forma

    = [a1 a2 ... ana; b01 b11 ... bnb1; b02 b12 ... bnb2; ... ; b0m b1m ... bnbm]T

    Define-se, ento, a matriz de informao pela equao

    '( , , ) ( , , ) ( , , )TQ t n m t n m t n m = (3.9)

    que, para um grande nmero de medidas N, pode ser representada, aproximadamente, por

    1

    1( , , ) ( , , ) ( , , )N

    T

    tQ n m t n m t n m

    N

    == (3.10)

    Considerando que a ordem da parcela linear do sistema real seja n0, quando

    utilizado um modelo com ordem imediatamente superior, n0+1, as ltimas medidas de

    entrada e sada so uma combinao linear das anteriores e, portanto, a matriz Q torna-se

    singular, detQ(,n0+1,m) 0. A seleo da ordem do modelo feita atravs do clculo do determinante da matriz

    de informao e comparando-o com o de ordem imediatamente superior (n+1). Quando a

    razo entre os determinantes, DR, apresenta um aumento significativo admite-se, ento,

    como n a ordem mais adequada para o modelo.

    ( , , )( , 1, )

    detQ n mDRdetQ n m

    = + (3.11)

  • CAPTULO 3 - IDENTIFICAO DE SISTEMAS NO-LINEARES 37

    Embora, geralmente, no seja muito significativa no clculo do determinante da

    matriz Q, desejvel que a seleo da ordem do polinmio da no-linearidade, m, seja

    determinada antes do clculo da DR. Isto pode ser feito atravs da determinao da

    caracterstica esttica do processo e do ajuste de um polinmio para sua representao. A

    ordem escolhida a menor capaz de representar a no-linearidade esttica na faixa de

    operao de interesse.

    Exemplo 3.4 - Considera-se um processo cujo comportamento pode ser expresso por

    1 2 0 1( ) ( 1) ( 2) ( 1) ( 2)y t a y t a y t b x t b x t= + + (3.12)

    onde (( ) ( ))x t sen u t= , a1 = -0.7358, a2 = 0.1353, b0 = 0.2642 e b1 = 0.1353.

    Embora fosse possvel determinar a caracterstica esttica do processo, Figura 3.6,

    aplicando uma entrada de sucessivos degraus com valores crescentes por tempo suficiente

    para que este alcance o regime permanente, optou-se pela determinao de ordem da

    funo de transferncia da parcela linear admitindo o desconhecimento da ordem da no-

    linearidade (m).

    -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2-2.5

    -2

    -1.5

    -1

    -0.5

    0

    0.5

    1

    1.5

    2

    u

    x

    m = 1

    m = 2 m

    m = 3 m = 4

    x = sen(u)

    Figura 3.6 Representao da NL do Exemplo 3.4.

  • CAPTULO 3 - IDENTIFICAO DE SISTEMAS NO-LINEARES 38

    O teste realizado comparando as ordens da parcela linear n = 1; 2; 3 e 4 para a

    grau do polinmio que representa a no-linearidade valendo m = 1; 2; 3 e 4 conforme

    ilustrado na Figura 3.7.

    1 2 3 40

    50

    100

    150

    200

    250

    300

    350

    400

    450

    500m

    ordem

    DR

    = 1

    (a)

    1 2 3 40

    50

    100

    150

    200

    250

    300

    350m

    ordemD

    R

    = 2

    (b)

    1 2 3 40

    0.5

    1

    1.5

    2

    2.5

    3

    3.5

    4x 104 m

    ordem

    DR

    1

    = 3

    (c)

    1 2 3 40

    0.5

    1

    1.5

    2

    2.5

    3

    3.5

    4

    4.5x 104 m

    ordem

    DR

    = 4

    (d)

    Figura 3.7 Teste DR para o Exemplo 3.4.

    Em todos os casos representados na Figura 3.7, exceto pela diferena de escala, o

    comportamento semelhante, indicando que um modelo de terceira ordem provoca um

    grande crescimento na DR apontando, portanto, como modelo mais apropriado o de

    segunda ordem (n = 2).

    A seleo da ordem do polinmio para a representao da no-linearidade esttica

    (NL) do processo pode ser feita pela aproximao dos polinmios identificados em relao

    caracterstica esttica do processo. Neste caso, apenas pela inspeo da Figura 3.6

    possvel concluir que um polinmio com m = 3 suficiente para uma representao da NL

    embora critrios numricos possam ser empregados na seleo de m.

  • CAPTULO 3 - IDENTIFICAO DE SISTEMAS NO-LINEARES 39

    Exemplo 3.5 - Dado um processo cuja parcela dinmica linear tambm pode ser expressa

    pela Eq. (3.12) mas que a no-linearidade 2( ) ( ) 2 ( )x t u t u t= , o teste realizado comparando as ordens da parcela linear n = 1; 2; 3 e 4 para a ordem do polinmio que

    representa a no-linearidade m = 1; 2; 3 e 4 conforme ilustrado na Figura 3.8.

    1 2 3 40

    0.2

    0.4

    0.6

    0.8

    1

    1.2

    1.4

    1.6m = 1

    ordem

    DR

    (a)

    1 2 3 40

    0.5

    1

    1.5

    2

    2.5

    3

    3.5

    4

    4.5x 1014 m = 2

    ordem

    DR

    (b)

    1 2 3 40

    0.2

    0.4

    0.6

    0.8

    1

    1.2

    1.4

    1.6

    1.8

    2x 1014 m = 3

    ordem

    DR

    (c)

    1 2 3 40

    0.5

    1

    1.5

    2

    2.5

    3

    3.5

    4

    4.5x 1014 m = 4

    ordem

    DR

    (d)

    Figura 3.8 Teste DR para o Exemplo 3.5.

    A Figura 3.8 ilustra um caso onde o comportamento do DR diferente para as

    simulaes onde o grau de no-linearidade (m) selecionado menor que o real, neste caso

    m = 2, destacando a importncia da seleo prvia deste parmetro. Pela observao da

    Figura 3.8 (b), (c) e (d) possvel determinar que a ordem mais adequada para o modelo

    realmente n = 2. Esta diferena de comportamento considerando-se o desconhecimento do

    grau de no-linearidade pode ser ainda maior na presena de rudo.

  • CAPTULO 3 - IDENTIFICAO DE SISTEMAS NO-LINEARES 40

    3.4

    ESTIMAO DE PARMETROS

    Nesta seo so apresentadas algumas estratgias de estimao de parmetros para

    sistemas SISO no-lineares representados pelo modelo de Hammerstein baseadas nas

    medidas de entrada e sada do sistema. Para a formalizao das tcnicas optou-se por um

    modelo cuja parcela linear representada por um modelo do tipo CARMA, Eq.(3.4), sendo

    possvel a aplicao destas a outros tipos de modelo.

    3.4.1 Mtodo dos Mnimos Quadrados

    Definindo-se o vetor de medidas, (t), com dimenso [(na + nb + 1) x 1] , para o caso linear

    T(t) = [-y(t-1) -y(t-2) ... -y(t-na) u(t-d) u(t-d-1) ... u(t-d-nb)] (3.13)

    e o vetor de parmetros, (t), com dimenso [(na + nb + 1) x 1]

    T(t) = [a1 a2 ... ana b0 b1 ... bnb] (3.14)

    pode-se reescrever a equao (3.6) como

    y(t) = T(t)(t) + (t) (3.15)

    que denominado modelo de regresso linear (Wellstead e Zarrop, 1991; Ljung, 1996;

    Coelho e Coelho, 2003).

    Admitindo que a realizao de N medidas so suficientes para determinar os

    parmetros , ento tem-se que

    (0) (0)(0)(1) (1)(1)... ......

    ( 1) ( 1)( 1)

    T

    T

    T

    yy

    y N NN

    = +

    (3.16)

    A representao matricial da equao (3.16)

  • CAPTULO 3 - IDENTIFICAO DE SISTEMAS NO-LINEARES 41

    Y = + (3.17)

    onde a matriz de observao

    ( 1) ( 2) ... ( ) ( ) ( 1) ... ( )(0) ( 1) ... (1 ) (1 ) ( ) ... (1 )(1) (0) ... (2 ) (2 ) (1 ) ... (2 )

    ... ... ... ... ... ... ... ...( 2) ( 3) ... ( 1) ( 1) (

    y y y na u d u d u d nby y y na u d u d u d nby y y na u d u d u d nb

    y N y N y N na u N d u N

    =

    2) ... ( 1)d u N nb d

    e o vetor de sada dado por YT = [y(0) y(1) y(2) ... y(N-1)]

    A estimativa do vetor de parmetros, , pode ser obtida pelo procedimento dos mnimos quadrados (least squares approach). Utilizando a estimativa , a melhor previso da sada do sistema, , calculada por y

    Y = (3.18)

    e o erro de previso, e, avaliado de acordo com

    e Y Y Y = = (3.19)

    O estimador dos mnimos quadrados obtido minimizando o seguinte critrio:

    [ ] [ ]TJ Y W Y = (3.20)

    onde a matriz W diagonal, na forma

    (1) 0 ... 00 (2) ... 0

    0 0 ... ( )

    ww

    W

    w N

    = # # % #

  • CAPTULO 3 - IDENTIFICAO DE SISTEMAS NO-LINEARES 42

    onde w(i) a ponderao em cada componente do erro cujo valor diretamente

    proporcional preciso da medida.

    Minimizando a funo custo da equao (3.20) em relao a tem-se que

    ( ) 2 2 TT TJ Y W W 0 = + =

    Assim, o estimador clssico dos mnimos quadrados ponderado calculado por

    1 [ ]T TW W = Y (3.21)

    e isto conduz ao mnimo desde que

    2

    22 0

    TJ W = >

    condio esta garantida se a matriz ( )TW definida positiva (condio de excitao persistente).

    O estimador dos mnimos quadrados no-recursivo obtido admitindo que

    W = 2IN, isto , a mesma ponderao aplicada em todos os erros de medida (considerando a mesma confiana a todas as medidas). Logo, a equao (3.21) torna-se

    1 T TY = (3.22)

    Mnimos Quadrados para o Modelo de Hammerstein

    Neste caso, o vetor de medidas formado como se estivesse tratando de um sistema

    MISO na forma (Eskinat, et al., 1996)

    T(t) = [-y(t-1) ... -y(t-na) u(t-d) ... u(t-d-nb) u2(t-d) ... u2(t-d-nb) ... um(t-d-nb)] (3.23)

    com dimenso [na + (nb + 1)m x 1] e o vetor de parmetros:

  • CAPTULO 3 - IDENTIFICAO DE SISTEMAS NO-LINEARES 43

    = [a1 a2 ... ana; b01 b11 ... bnb1; b02 b12 ... bnb2; ... ; b0m b1m ... bnbm]T

    considerando 1 = 1 pode-se obter diretamente os parmetros da parcela linear do modelo e, em princpio, tambm os parmetros da parcela no-linear, pela relao

    0 1

    0 1

    ...i i nbinb

    b b bb b b

    i = = = = (3.24)

    A presena de rudo de medio provoca, no entanto, incoerncias nos resultados

    obrigando a adoo de outras medidas para solucionar este problema de redundncia de

    parmetros como, por exemplo, uma mdia aritmtica, Eq. (3.25).

    ( ) 01

    1

    nbj i

    ij j

    bnb b

    =

    = + (3.25)

    3.4.2 Mtodo do Erro de Predio

    Esta estratgia permite a obteno dos parmetros do modelo diretamente na forma

    = [a1, a2, ... , ana, b0, b1, ... , bnb, 1, 2, ... , m]T (3.26)

    atravs da minimizao numrica do critrio dos mnimos quadrados

    ( )21

    1( ) ,N

    tV e

    Nt

    == (3.27)

    onde e(t,) = y(t) (t,) o erro de previso. y Como a derivada da funo custo no uma funo linear em relao aos

    parmetros no h soluo analtica para este problema de minimizao tornando-se

    necessrio o uso de um mtodo iterativo no qual o vetor de parmetros determinado por

    ( ) ( )11k k kH g k + = + (3.28)

  • CAPTULO 3 - IDENTIFICAO DE SISTEMAS NO-LINEARES 44

    onde representa o passo, H(k) a Hessiana de V(k) e g(k) o gradiente de V(k). Em funo da dificuldade da determinao da Hessiana esta aproximada por

    ( )1

    1 ( , ) ( , )TNk

    t

    e t e tH IN

    = + (3.29)

    onde um parmetro a ser inicializado num valor pequeno, em torno de 10-4 e as derivadas do erro de previso podem ser determinadas por

    ( ) 11 1

    1

    , 1 ( ) ( )( ) ( )

    Nj

    jji

    e t B q u t ia A q A q

    =

    = ( )

    11

    , 1 ( )( )

    Nj

    jji

    e tu t i

    b A q

    =

    = ( ) 1

    1

    , ( ) ( )( )

    j

    j

    e t B q u tA q

    =

    As iteraes devem ser realizadas at que a norma do gradiente g(k) atinja um limite pr-estabelecido ou que o nmero mximo de iteraes seja alcanado (Ljung, 1987;

    Eskinat et al., 1991).

    Algoritmo do Erro de Predio

    1. Inicializao de (p. ex. estimando por MQ); 2. Calcula V() e seleciona (pequeno, 10-4); 3. Calcula o gradiente g() e a Hessiana H(); 4. Atualiza k = k-1 + H(k-1)-1g(k-1) e calcula V(k); 5. Se V(k) < V(k-1), atualiza k, decrementa e vai para o passo 2; 6. Se V(k) > V(k-1), incrementa e vai para o passo 3.

    Condio de Parada: || g(k-1) || < gmin ou alcanando limite de iteraes.

    3.4.3 Mtodo de Narendra Gallman

    Este mtodo prope a obteno dos parmetros do modelo de Hammerstein atravs

    da separao do problema de estimao da parcela linear e da parcela esttica no-linear.

  • CAPTULO 3 - IDENTIFICAO DE SISTEMAS NO-LINEARES 45

    Os parmetros da parte linear so inicialmente arbitrados ou estimados atravs de uma

    tcnica linear e a funo custo, Eq. (3.13), reescrita na forma

    1

    11

    1 ( ) ( ) ( ) ( )( )

    NT

    t

    B qV y t UN A q

    t

    =

    = (3.30)

    onde UT(t) = [u(t) ... u(t-nb) u2(t) ... u2(t-nb) ... um(t) ... um(t-nb)] e [ ]1 2 ... Tm =

    minimizada em relao aos parmetros da parte no-linear,

    ( ) 1 11 1

    1

    2 ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )

    NT

    t

    V B q B qU t y t U tN A q A q

    =

    = (3.31)

    obtendo os parmetros da no-linearidade 11 1 1

    1 1 11

    ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

    NT

    t

    B q B q B qU t U t U t y tA q A q A q

    =

    = (3.32)

    e, desta forma, a pseudo-sada x(t) pode ser calculada, Eq. (3.5). A partir do valor de x(t) a

    parcela linear determinada novamente e este procedimento repetido at haver

    convergncia (Narendra e Gallman, 1966; Eskinat et al., 1991).

    Algoritmo de Narendra-Gallman

    1. Inicializao da parte linear [a1, a2, , ana, b1, b2, , bnb]; 2. Minimiza V() em relao parte no-linear e estimao de [1, 2,, m]; 3. Calcula a pseudo-sada: x(t) = 1u(t) + 2u2(t) + ... + mum(t); 4. Estima os parmetros da parte linear e vai para o passo 2.

    Condio de Parada: convergncia dos parmetros.

    Esta estratgia pode apresentar problemas de estabilidade e convergncia

    (Boutayeb et al., 1996).

  • CAPTULO 3 - IDENTIFICAO DE SISTEMAS NO-LINEARES 46

    3.4.4 Mtodo de Boutayeb

    Esta proposta consiste em transformar a representao do modelo (3.3), em um

    modelo linear em parmetros (Boutayeb et al., 1996).

    ( ) ( )Ty t t = (3.33)

    onde (t) e so vetores definidos como (t) = [-y(t-1) ... -y(t-na) u(t-d) ... u(t-d-nb) u2(t-d) ... u2(t-d-nb) ... um(t-d-nb)]T = [a1 a2 ... ana; b0 b1 ... bnb; b02 ... bnb2; b0m ... bnbm]T

    considerando 1 = 1. O estimador dos mnimos quadrados leva a seguinte estimao de parmetros

    ( ) 1 T TY = (3.34)

    onde = [(t) (t+1) (t+N)]T e Y = [y(t) y(t+1) y(t+N)]T

    Utilizando esta estrutura, os parmetros da parcela linear podem ser calculados

    diretamente.

    a

    b

    b

    = (3.35)

    onde

    [ ]1 2 ... Ta na a a = a [ ]0 1 ... Tb nb b b = b

    [ ]0 2 2 0 3 3 ... ... ... Tb nb nbb b b b b nb m =

    O problema de redundncia de parmetros resolvido, obtendo os parmetros da

    parcela no-linear separadamente, na forma

  • CAPTULO 3 - IDENTIFICAO DE SISTEMAS NO-LINEARES 47

    [ ]1 2 ... Tm =

    atravs da expresso

    bM = (3.36)

    Teorema 3.1

    O estimador consistente de s dado por

    a aT

    s b b

    b

    YM

    = = (3.37)

    onde

    ( ) 1a Tbb

    =

    (3.38)

    e M uma matriz diagonal, de ordem N2m, definida como

    0 0

    0 0

    b

    b

    M

    +

    +

    =

    "# #

    " (3.39)

    com e Tb b Y = b + sendo a pseudo-inversa de b tal que 1b b + = .

    Prova do Teorema 3.1:

    Como b e b so obtidos diretamente de (3.36) na forma

  • CAPTULO 3 - IDENTIFICAO DE SISTEMAS NO-LINEARES 48

    Tb b Y = (3.40)

    Tb b Y = (3.41)

    e os parmetros do vetor b podem ser escritos como

    ( )( )

    22 2

    b bb b

    b

    b m b m b mb b m

    2b

    + + = = = + + # # # (3.42)

    e, por outro lado, tem-se que

    b b b = + (3.43)

    Como b e b so do tipo rudo branco, ento, o estimador dos mnimos quadrados de dado por

    2 0 0

    0 0

    b

    b b

    m b

    M

    +

    +

    = = =

    "# # #

    " (3.44)

    Visto que um vetor coluna de posto completo e 1b b + = , pode-se verificar que (3.37) tambm um estimador consistente e, portanto,

    ( )s s = onde a esperana matemtica.

  • CAPTULO 3 - IDENTIFICAO DE SISTEMAS NO-LINEARES 49

    3.4.5 Mtodo de Bai

    Este mtodo prope a identificao de no-linearidades com estrutura conhecida.

    As no-linearidades so parametrizadas por uma nica varivel (a) identificada a partir da

    aplicao da estratgia dos mnimos quadrados separveis (Bai, 2002).

    Para a formalizao deste mtodo adotada uma no-linearidade do tipo saturao

    (Figura 3.9), embora os resultados possam ser estendidos para os demais tipos de no-

    linearidade (zona-morta, histerese, rel, etc.).

    x(t)

    a

    -aa u(t)

    -a

    Figura 3.9 No-Linearidade Tipo Saturao.

    A sada do sistema pode ser representada por

    y(t) = [-y(t-1) ... -y(t-na) x(t-d) ... x(t-d-nb)] + (t) (3.45)

    onde = [a1 a2 ... ana; b0 b1 ... bnb] corresponde aos parmetros da parcela linear e a pseudo-sada no mensurvel, x(t), pode ser representada como funo da entrada e do

    parmetro a na forma x(t) = N[u(t), a] cuja estimativa

    ( ) [ ( ), ]x t u t a= N (3.46)

    O erro de estimao , portanto,

  • CAPTULO 3 - IDENTIFICAO DE SISTEMAS NO-LINEARES 50

    , ( ) [- ( -1) ... - ( - ) ( - ) ... ( - - )]

    ae t y t y t na x t d x t d nb = (3.47)

    e a funo custo a ser minimizada

    2 ,

    1

    1 ( )N

    at

    J eN =

    = t (3.48)

    onde Y = [y(1) y(2) ... y(N)]T

    ( ) (0) (1 ) (0) (1 ) (1) (2 ) (1) (2 )

    ( 1) ( ) ( 1) ( )

    y y na x x nby y na x x nb

    a

    y N y N na x N x N nb

    =

    " "" "

    # # # # # #" "

    (3.49)

    A funo custo pode ser reescrita como

    ( ) 21 J Y aN

    = (3.50)

    a qual minimizada em relao a resulta

    ( ) ( ) ( ) 2 2 T TJ a Y a a = + (3.51)

    Se a parcela inversvel, a condio necessria e suficiente para ( ) ( ) T a a ser timo que

    ( ) ( ) ( )1 T Ta a a = Y (3.52)

    Portanto, substituindo o valor timo de da Eq. (3.52) na funo custo da Eq. (3.50) tem-se a eliminao do termo e a funo objetivo

  • CAPTULO 3 - IDENTIFICAO DE SISTEMAS NO-LINEARES 51

    ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ } 211 T TJ a I a a a a YN = (3.53)

    cuja minimizao torna-se um problema cujo espao de busca reduzido de (na + nb + 1)

    para 1 (um).

    Uma vez obtido o valor de timo, empregando qualquer mtodo clssico de

    minimizao unidimensional, possvel determinar os parmetros da parcela linear

    a

    timos, Eq. (3.52).

    Algoritmo de Bai para NL de Estrutura Conhecida

    1. Realiza a medio dos dados [u(t) y(t)]; 2. Define Y = [y(1) ... y(N)]T e ( )a ; 3. Minimiza ( )J a , obtendo o a timo; 4. Calcula o timo.

    Esta reduo da dimenso de busca pode ser conseguida para qualquer tipo de no-

    linearidade para a qual seja possvel a parametrizao atravs de uma nica varivel.

    3.5 VALIDAO DO MODELO

    O objetivo desta etapa do processo de identificao verificar se os modelos

    obtidos so vlidos e qual deles o mais adequado aplicao em particular. Uma das

    formas mais comuns de verificar a validade do modelo comparar se este capaz de

    reproduzir o comportamento do sistema. Para a realizao deste teste importante a

    utilizao de um conjunto de dados diferente daquele empregado na etapa de estimao.

    Este segundo conjunto de dados, embora diferente, deve ser obtido segundo as mesmas

    condies de operao do primeiro. Esta prtica, embora simples, permite observar a

    capacidade de generalizao do modelo obtido.

    Anlise de Resduos

    Uma forma de avaliar se um modelo adequado atravs do erro de estimao

    cujo comportamento desejvel do tipo rudo branco. Considerando que o resduo

    representa a parcela dos dados no explicada pelo modelo. Se este um rudo branco

  • CAPTULO 3 - IDENTIFICAO DE SISTEMAS NO-LINEARES 52

    significa que no h nenhuma informao til adicional nos dados alm daquela j descrita

    pelo modelo estimado. Este comportamento pode ser verificado pela anlise da funo de

    autocorrelao normalizada que deve apresentar seu primeiro elemento unitrio

    enquanto que os demais devem distribuir-se aleatoriamente em relao ao zero num

    intervalo de confiana de 95% para que o resduo possa ser admitido como rudo branco,

    Figura 3.10 (Ljung, 1987; Aguirre, 2000).

    1

    1( ) ( ) ( )N

    eet

    r e t eN

    t =

    = + (3.54)

    1.96 1.96( ) , 0eerN N < < (3.55)

    0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50-0.2

    0

    0.2

    0.4

    0.6

    0.8

    1

    atraso

    r ee

    Figura 3.10 Funo de Autocorrelao de um Resduo Rudo Branco.

    Esta tcnica eficiente para indicar a escolha da ordem do modelo reduzida em

    relao ao processo real (sub-modelagem) ou erros na etapa de estimao mas no fornece

    qualquer informao que indique a ocorrncia de sobre-modelagem.

    Para avaliar a capacidade do modelo em reproduzir o comportamento dinmico do

    processo importante a utilizao de ndices de desempenho que auxiliem nesta etapa.

  • CAPTULO 3 - IDENTIFICAO DE SISTEMAS NO-LINEARES 53

    Somatrio do Erro Quadrtico SSE (Sum of Squared Error)

    [ ]21

    ( ) ( )N

    tSSE y t y t

    == (3.56)

    Este ndice representa a soma dos quadrados do erro de estimao e, quanto menor

    o seu valor, melhor a qualidade do modelo.

    Coeficiente de Correlao Mltipla R2

    [ ][ ]

    2

    2 1

    2

    1

    ( ) ( )1

    ( ) ( )

    N

    tN

    t

    y t y tR

    y t y t

    =

    =

    =

    (3.57)

    onde y a mdia das N amostras medidas para a sada do processo.

    Quando o valor de R2 igual unidade (1.0) indica uma exata adequao do

    modelo para os dados medidos do processo. Um valor de R2 entre 0.9 e 1.0 considerado

    suficiente para aplicaes prticas, em sistemas de controle (Coelho e Coelho, 2003).

    Embora forneam uma indicao importante em relao qualidade do modelo

    obtido estes ndices de desempenho no levam em considerao a complexidade (nmero

    de parmetros) do modelo. A seleo do modelo mais adequado deve sempre levar em

    conta a relao entre capacidade de representao e simplicidade estabelecendo um

    compromisso entre preciso do modelo x esforo computacional, por exemplo, atravs do

    critrio de informao de Akaike (Ljung e Glad, 1994).

  • 4. CONTROLE PREDITIVO

    4.1 INTRODUO

    O controle preditivo baseado em modelo (MPC Model Predictive Control) surge

    atualmente como uma das mais populares e eficientes estratgias de controle na indstria

    de processos. Muitos dos aspectos fundamentais num projeto de controle industrial prtico

    podem ser explorados num controle preditivo baseado em modelo, como a trajetria de

    referncia futura, previso de perturbaes e a possibilidade de incluso de restries,

    verificando a flexibilidade desta tcnica de controle (Ogunnaike e Ray, 1994; Zambrano e

    Camacho, 2002).

    Embora idealizado inicialmente para aplicaes em sistemas de potncia e na

    indstria petrolfera, atualmente, o controle preditivo empregado nas mais diversas reas

    no somente da indstria (regulao de tenso, controle de temperatura, presso, nvel,

    etc.) mas tambm em outras reas do conhecimento humano como a medicina (anestesia,

    controle de presso sangnea) mostrando a evoluo prtica destas estratgias e

    comprovando que em breve devem substituir a maioria dos controladores clssicos

    utilizados que muitas vezes mostram-se ineficientes em ambientes complexos (Kwok,

    1994; Santos, 1998; Rawlings, 2000).

    A estrutura bsica do MPC apresentada na Figura 4.1 onde os principais

    elementos envolvidos so:

    Trajetria de Referncias - representa o comportamento do sinal desejado para a

    sada no futuro. o conhecimento prvio desta trajetria que garante ao controlador uma

    caracterstica antecipativa.

    Modelo - modelo matemtico do processo que deve ser capaz de representar o seu

    comportamento dinmico de forma suficientemente precisa. Conforme a necessidade este

  • CAPTULO 4 CONTROLE PREDITIVO 55

    modelo pode ser linear ou no-linear e podendo, ainda, ser atualizado atravs de mtodos

    de identificao on line conferindo ao controlador uma caracterstica adaptativa.

    Preditor - fornece atravs do modelo matemtico uma previso da sada futura com

    base na informao atual da planta.

    Otimizador - minimiza a funo custo a cada perodo de amostragem de forma a

    obter uma ao de controle que garanta um desempenho adequado ao sistema. A funo a

    ser minimizada pode contemplar, alm de parcelas associadas ao erro futuro e ao

    incremento no sinal de controle, outros termos que forneam ao controlador propriedades

    que melhorem o seu desempenho frente s particularidades do processo. Quando da

    utilizao de uma funo custo quadrtica, modelos lineares e na ausncia de restries o

    problema de otimizao apresenta uma soluo analtica, caso contrrio, algum mtodo de

    otimizao numrica deve ser empregado.

    O MPC baseia-se na previso do comportamento futuro do processo para o clculo

    do sinal de controle. As previses so feitas atravs de um modelo matemtico do processo

    sobre um intervalo de tempo denominado horizonte de previso cujo conceito ilustrado

    na Figura 4.2.

    erro de previso

    OTIMIZADOR

    MODELO

    PROCESSO

    PREDITOR

    controle

    previso da sada

    + sada TRAJETRIA DE

    REFERNCIAS

    Figura 4.1 Estrutura de um Controlador Preditivo.

  • CAPTULO 4 CONTROLE PREDITIVO 56

    passado futuro

    referncia futura

    sada prevista y

    controle futuro u

    O horizonte de previso final (N2) representa o intervalo futuro onde est sendo

    considerado o comportamento da sada da planta e o horizonte de controle (Nu)

    corresponde ao nmero de aes de controle consideradas.

    4.2 CONTROLE PREDITIVO BASEADO EM MODELO LINEAR

    A utilizao de modelos lineares numa aplicao de controle preditivo bastante

    comum pois alm da popularidade deste tipo de modelo, muitas vezes, torna-se necessrio

    o emprego de um modelo simplificado para possibilitar que todos os clculos envolvidos

    sejam realizados dentro do intervalo correspondente a um perodo de amostragem

    viabilizando, assim, o controle em tempo-real. Um modelo linear possibilita, tambm

    soluo analtica para o problema de minimizao da funo custo quando no so

    consideradas restries. A opo por um modelo linear para a representao da planta deve

    ser a escolha preferencial sempre que este possibilite que o controlador alcance o

    desempenho almejado pelo usurio.

    Nos ltimos anos houve um grande crescimento nas aplicaes industriais de

    controle preditivo baseado em modelos lineares. A Tabela 4.1 apresenta algumas destas

    aplicaes presentes no trabalho de Qin e Badgwell (2000; 2003).

    tempo t+Nu

    t+N2t-1 t+Nu-1 t+1 t

    Figura 4.2 Horizontes de Previso.

  • CAPTULO 4 CONTROLE PREDITIVO 57

    Tabela 4.1 Aplicaes Comerciais de MPC.

    rea Adersa Aspen Technology

    HonneywelHi-Spec

    Invensys SGS Total

    refinaria 1200 480 280 25 1985 petroqumica 450 80 20 550 qumica 100 20 03 21 144 papel 18 50 68 ar e gs 10 10 utilidades 10 04 14 metalurgia 08 06 07 16 37 alimentos 41 10 51 polmeros 17 17 fornos 42 03 45 aeroespacial 13 13 automotiva 07 07 outras 40 40 1045 26 450 1601 Total 1833 696 1438 125 450 4542

    4.2.1 Controle de Varincia Mnima Generalizada (GMV)

    O controlador GMV (Generalized Minimum Variance) foi proposto por D. W.

    Clarke e P. J. Gawthrop (Clarke e Gawthrop, 1975) como uma generalizao do regulador

    de varincia mnima proposto por K. J. strm e B. Wittenmark (strm e

    Wittenmark,1973), onde a funo custo a ser minimizada obtida em funo do modelo do

    processo e da dinmica desejada para a malha de controle atravs de uma sada

    generalizada (t), equao (4.1). O sinal de controle otimizado de maneira a determinar, atravs dos parmetros de projeto, a dinmica transitria, reduzindo a sobre-elevao e

    eliminando o erro em regime permanente, isto ,

    1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (rt d q y t d q y t q u t + = + + 1 )

    1 )

    (4.1)

    onde (q-1), (q-1) e (q-1) so polinmios de ponderao da sada, controle e referncia, respectivamente.

    O controlador GMV utiliza um modelo matemtico do tipo CARMA conforme

    caracterizado pela seguinte equao a diferenas:

    1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (dA q y t q B q u t C q t = + (4.2)

  • CAPTULO 4 CONTROLE PREDITIVO 58

    onde y(t) a sada do processo, u(t) a varivel manipulada, d o atraso de transporte, (t) representa rudo na medio, perturbaes e/ou erros de modelagem.

    A funo custo a ser minimizada

    2 ( )GMVJ t d= + (4.3)

    Seja a identidade polinomial

    1 1 1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( )dq C q A q E q q S q = + 1 (4.4)

    onde 1 1

    1( ) 1 ... een

    nE q e q e q = + + +

    1 10 1( ) ... ss

    nnS q s s q s q

    = + + + ne = d 1 ns = max(na 1, n + nc d)

    Pela manipulao das equaes (4.1), (4.2) e (4.4) obtm-se

    [ ]{ }1( ) ( ) ( ) ( ) ( )rt d Sy t BE C u t C y t E t dC + = + + + + | informaes disponveis | |futuro|

    no instante t

    (4.5)

    Assim, minimiza-se a funo custo JGMV, funo (4.3), zerando o primeiro termo da

    equao (4.5), isto

    1 1 1 1 1 1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (r )B q E q q C q u t C q q y t S q y t

    + = (4.6)

    e a lei de controle pode ser representada da forma

    1 1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (r )R q u t T q y t S q y t

    = (4.7)

    onde

  • CAPTULO 4 CONTROLE PREDITIVO 59

    1 1 1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( )1R q B q E q q C q = + 1

    1 1( ) ( ) ( )T q q C q =

    ns = na 1, nt = nb + d 1 e nr = n + nc

    A estrutura utilizada pelo controlador GMV ilustrada na Figura 4.3.

    Substituindo a lei de controle na equao do processo, Eq. (4.2), obtm-se a

    equao de malha fechada dada por

    ( ) ( ) ( )d

    rq B BE Cy t y t tB A B A

    + = + + + (4.8)

    Para que o sistema apresente erro nulo em regime permanente torna-se necessrio

    satisfazer a relao

    1 1

    1 1 1 11

    ( ) ( ) 1( ) ( ) ( ) ( ) q

    B q qq B q A q q

    =

    = +

    qd B(q1)

    A(q1)

    1

    R(q1)

    S(q1)

    T(q1)

    C(q1)

    (t)

    A(q1)

    yr(t) u(t) y(t) + +

    Figura 4.3 Estrutura do Controlador GMV.

  • CAPTULO 4 CONTROLE PREDITIVO 60

    Uma das maneiras de obter-se erro nulo em regime permanente corresponde

    utilizao de uma ponderao incremental para o controle, ou seja, (q1) = 0 (1 q1), ou ainda, pelo uso de um modelo CARIMA (Vaz, 1999). Atravs da correta seleo do

    polinmio (q1), cujo objetivo limitar o esforo de controle, pode-se tratar sistemas de fase no-mnima bem como instveis em malha aberta. A sintonia adequada dos

    polinmios (q1) e (q1) pode reduzir a sobre-elevao da resposta transitria do sistema.

    A estratgia de controle GMV apresenta, ainda, como caractersticas:

    permite a penalizao do esforo de controle na funo custo; apresenta bom seguimento da referncia; trata alguns sistemas de fase no-mnima sem a utilizao de mtodos auxiliares.

    4.2.2 Controle por Matriz Dinmica (DMC)

    O controlador DMC (Dynamic Matrix Control) desenvolvido por C. R. Cutler e B.

    L. Ramaker foi um dos primeiros controladores preditivos baseados em modelo a

    apresentar disponibilidade comercial. O DMC para um sistema SISO baseado no modelo

    da resposta ao degrau do tipo ISR (Infinite Step Response) dado por:

    1( ) ( ) ( )i

    iy t g u t i t

    == + (4.9)

    onde y(t) a sada do processo, u(t) a varivel manipul