FRITZ-SÜCHTING-INSTITUT FÜR MASCHINENWESENDER TECHNISCHEN UNIVERSITÄT CLAUSTHALProfessor Dr.-Ing. Peter Dietz

26.01.2004en

R09 - Wellenberechnung

Aufgabe 1:

Für eine Getriebewelle S275 (St 44) soll ein Festigkeitsnachweis nach FKM – Richtli-nie erbracht werden. Weiterhin ist die Durchbiegung der Welle an der Stelle desZahnrades und die untere biegekritische Drehzahl zu berechnen! Die Getriebewellewird mit einem konstanten Drehmoment T belastet. Das Lager A sei das Festlager.Die Passfedernut in der Welle hat die Tiefe t.

Daten:

a = 185 mm b = 220 mm

c = 245 mm d = 35 mm

r = 65 mm t = 5 mm

mz = 4,8 kg mw = 1,22 kg

E = 2,1 x105 N/mm2

Fzr = 1200 N Fu = 3600 N

FRr = 4000 N

Rm = 410 N/mm2

Rp = 265 N/mm2

Oberflächenrauheit: Rz = 6,3 �m

1. Erbringen Sie einen Festigkeitsnachweis für die Welle im Bereich der Passfeder-nut (Kerbe Kugelgestrahlt)!

2. Ermitteln Sie die resultierende Wellendurchbiegung der Welle für die Mitte desZahnrades! Das Zahnrad hat keine versteifende Wirkung auf die Welle und seimasselos! Ferner kann ein konstanter Wellendurchmesser von 30 mm ange-nommen werden!

3. Bestimmen Sie überschlägig die niedrigste biegekritische Eigenfrequenz für dieWelle zwischen Lager A und B unter der Annahme eines konstanten Wellen-durchmessers von 30 mm! Die Riemenscheibe kann aufgrund ihrer geringenMasse für die Eigenfrequenzberechnung vernachlässigt werden!

- 2 -

Aufgage 2:Ein Hobbybastler möchte die gebrochene Welle seiner alten Waschmaschine reparieren. AlsAusgangsmateriel beabsichtigt er, den Werkstoff S235 (St 37: Rp = 225 N/mm2, Rm = 360N/mm2) zu verwenden. Prüfen Sie (Festigkeitsnachweis nach FKM- Richtlinie), ob die Welleden auftretenden Belastungen standhalten würde. Als Lastgrößen wirken auf die Welle:

- die Radialkraft durch den Riemenzug Fv = 50 N

- die Gewichtskraft der leeren Wäschetrommel GT = 70 N

- die Gewichtskraft der feuchten Wäsche GFW = 130 N

- das Antriebsmoment TA = 50 Nm

- die Unwuchtkraft FU (mit: mU =1 kg, rU = 150 mm)

- die statisch wirkende Axiallast Fax = 2.GFW

Der Festigkeitsnachweis soll für den Fall geführt werden, dass die eingebaute Unwuchtkon-trolle beim Schleudern mit 1200 U/min versagt. Die in der Trommel auftretende Unwuchtkraftkann aus der Unwuchtmasse mU und dem Unwuchtradius rU ermittelt werden.

a) Erstellen Sie jeweils ein mechanischesErsatzbild für die statischen und dynami-schen Belastungen der Welle!

b) Ermitteln Sie für den ungünstigen Bela-stungsfall die Kräfte an den Lagern!

c) Zeichnen Sie für diesen Fall die qualitati-ven Beanspruchungsverläufe der Welle!

d) Wie groß ist die Sicherheit gegen Flie-ßen und gegen Dauerbruch an der StelleX (Vernachlässigung der Normalkraftund Querkraft) ?

�30

X

X

r1

�35

- 3 -

- 4 -

5

Lösung Aufgabe 1

Mechanisches Ersatzbild:

Torsion bewirkt statische BeanspruchungQuerkräfte und Biegemoment bewirken dynamische Beanspruchungen

1) Festigkeitsnachweis

a) Reaktionskräfte

� �

NFVon

Nmm

mmNmmNF

bcFaFF

cFaFbFM

FFFFF

AY

BY

RrZrBY

RrZrBYAZ

RrZrBYAYY

246:)1(

5464220

24540001851200

)2(00

)1(00

��

����

�

�����

��������

������

�

�

� �

NNNFFFund

NmmmmN

baFF

bFaFM

FFFF

BZUAZ

UBZ

BZUAY

UBZZAZ

57330273600

30272201853600

00

00

�����

������

������

�����

�

�

b) Beanspruchungen: Torsion T; Querkraft Q; Biegemoment Mb

� Torsionsnennspannung

2333 /1,44

)535(16653600

16/)(mmN

mmmmN

tdrF

WT U

tt �

��

��

�

�

�

��

��

�

TFBFA

a

b

c

FRrFu

FZr

x

y

Z

Kritische Stelle im Bereichder Paßfedernut

6

� Querkraft im Schnitt an der kritischen Stelle:

Links: QY,links = -FAY= 264 NQZ,links = -FAZ= -573 N

Rechts: QY,Rechts = -FRr+FBY = - 4000N + 5464 N = 1464 N QZ,Rechts = FBZ = 3027 N (größere Werte als die der linke Seite)

NNQQQ ZY 336230271464 2222������

� Schubnennspannung infolge der Querkraft:

2222 /76,44/)535(

33624/)(

mmNmmN

tdQ

AQ

S �

��

�

��

��

��

� (vernachlässigbar)

� Biegemoment an der kritischen Stelle:

NmNmMMM

NmmNaFMNmmNaFM

bZbYb

AYbZ

AZbY

8,11649106

49185,0264106185,0573

2222�����

�������

�����

� Biegespannung:

233

3

/24,27351,0

116800

);25/11.,5.(1,0;

mmNmmNmm

PaßfedermitWellegenuteteBlKapSkriptdWmitWM

b

bb

bb

�

�

�

���

�

�

c) Statische Bauteilfestigkeit

� Kerbformzahlen:5,2, �b�

� ( Skript, Kap.5, Bl.20/25; Paßfeder mit Fingerfräser)

3, �t�� (Skript, Kap.5,Bl.20/25; Kerbwirkung in Umfangsrichtung)

� Plastische Kerbwirkungszahl tplbpl und ,,,, ����

29,6/265

05,0/000.2102

2

�

�

�

�

�

mmNmmN

RE

nP

rertpl

�

plttgrenztpl

plbbgrenzbpl

ngnngn

��������

������

99,333,137,15,225,47,15,2

,,,,

,,,,

��

��

�

�

FAY

QY,Links FRr

FBYQy,Rechts

7

75,033,111

588,07,111

,,,

,,,

,,,

,,,

����

����

tgrenztpl

ttpl

bgrenzbpl

bbpl

gn

gn

�

�

�

�

�

�

��

��

d) Statische Bauteilfestigkeit

� Bauteil-Fließgrenze

22

,,,

22

,,,

/20575,0/26558,0:

/68,450588,0/265:

mmNmmNRrTorsion

mmNmmNRBiegung

tpl

PtFK

bpl

PbFK

�

�

�

�

�

���

�

�

�

��

��

� Bauteil-Festigkeit

22

,,,

22

,,,

/31775,0/41058,0:

/697588,0/410:

mmNmmNRrTorsion

mmNmmNRBiegung

tpl

mtBK

bpl

mbBK

�

�

�

�

�

���

�

�

�

��

��

e) Statische Bauteilsicherheit

� Für die Einzelbeanspruchung

- gegen Fließen

65,4/1,44/205:

72,9/24,27/265:

2

2

max,

,,

2

2

max,

,,

���

���

mmNmmNSTorsion

mmNmmNSBiegung

t

tFKtF

b

bFKbF

�

�

�

�

- gegen Bruch

19,7/1,44/317:

58,25/24,27/697:

2

2

max,

,,

2

2

max,

,,

���

���

mmNmmNSTorsion

mmNmmNSBiegung

t

tBKtB

b

bBKbB

�

�

�

�

� Für die Zusammengesetzte Beanspruchung

- gegen Fließen

8

18,4

239,065,4158,03

72,911311

,

22

22

,

22

,

,

,

��

���

���

��

�

���

���

�

�

�

��

�

��

�

�

�

��

�

���

GEHFv

tFbFP

GEHv

GEHFv

S

Sr

SRS �

�

- gegen Bruch

76,5

1735,019,7158,03

58,2511311

,

22

22

,

22

,

,

,

��

���

���

��

�

���

���

�

�

�

��

�

��

�

�

�

��

�

���

GEHFv

tBbBm

GEHv

GEHBv

S

Sr

SRS �

�

f) Ausnutzung gegen Fließen ( Sollsicherheit von 1,2)

%8,2076,52,1

,

,*

���

GEHFv

FGEHFv

SA �

f) Sicherheit gegen Dauerbruch (nach der vereinfachten Methode, Kap.3.6.3, Bl.5/6 und 6/6)

� Mittlere Vergleichsspannung ohne Berücksichtigung der Formzahlen

22, /38,76/1,4433 mmNmmNtGEHvm ����� ��

� Ausschlagvergleichspannung

22222,

2,, 761,28/76,434,273 mmNmmNaSabGEHva ������� ���

Biegung ist überwiegend � Ausschlagfestigkeit für Biegung ist maßgebend.

� Kerbwirkungszahlen b,�� mit Rm = 410 N/mm2

Für die Paßfedernut der Form B, erhält man aus Diagramm (Kap.5, BL.18/25) 5,1, �b��

� Bauteil-Biegeausschlagspannung

9

22

,,

,, /82,1841

96,015,1

5,1/19011 mmNmmN

K

K

Fb

VbAbAK �

��

��

��

��

�

��

�� ,

wobei 2, /190 mmNbA �� aus Smith-Diagramm von Werkstoff S275 (St 44) bei

2, /38,76 mmNGEHvm ��

Mit Rm = 410 N/mm2 und RZ = 6,3.10-3 mm, 96,0, ��FK

Randschichtfaktor KV = 1,5 (d = 35 mm)

� Sicherheit 45,6/61,28/82,184

2

2

,

,, ���

mmNmmNS

GEHva

bAKGEHD

�

�

� Ausnutzung bei Sollsicherheit �D=1,3

%15,2045,63,1

,,

,

,

,,

*������

GEHD

DD

bAK

GEHva

bzulAK

GEHvaGEHD

SA �

�

�

�

�

�

2) Resultierende Wellendurchbiegung

� Erste Berechnung

mmmmmmN

mmmmNf

dJmitlJEllFf

344

2222

1

422

21

1

1013,9220

64302/2100003

)185220(185120064

;3

�

��

�

�

��

���

�

�

�

���

��

�

�

�

� Zweite Berechnung

���

����

���

��

� 3

31

2

2 6 lx

lxll

JEFf

Mit x=a; l1 =(c-b) und l = b; F = FRr,

mmmmf 23

4

2

2 1038,2220185

220185

66430210000

)220245(2204000����

���

�

���

�

� �

���

��

�

�����

�

Die resultierende Durchbiegung in Y-Richtung

f1

FZr

f2FRr

10

mmmmmmfffY223

21 10466,11038,21013,9 ���

���������

� Dritte Berechnung:

Durchbiegung in Z-Richtung fZ = f3

mmmmfff

mmNf

ZYgesamt22222

245

22

3

10106,3)0274,0()01466,0(

1074,222030101,23

64)185220(1853600

�

�

������

��

�����

�����

�

3) Niedrigste biegekritische Eigenfrequenz

- Welle mit Scheibe (Blatt 15/18)

22 *)(*)(3

balJE

fGCS

SS

�

�����

Mit l=b; a* = a; b* =(a-b)J = 64/4d��

mNmmNmm

mmmmmmNCS /10314,1/10314,135185

2203064

/2100003 85422

442����

�

�����

�

- Welle unter Eigengewicht

mNmmNmm

mmmmNlJECW /10022,6/10022,6

6422030/2100008,768,76 74

33

442

3 ����

�

���

�

�

��

�

- Eigenfrequenz

a* b*

l

FU

f3

11

s

skg

mNmC

skg

mNmC

eges

WWe

SSe

eeeges

/110196,4

/110026,722,1

/10022,6/

/110232,58,4

/10314,1/

111

3

37

2

38

1

22

21

2

��

���

��

���

��

��

�

�

�

���

12

Lösung Aufgabe 2

a) Mechanische Ersatzbilder

Statische Belastungen: T, Fax, FU und Mb aus FU

Dynamische Belastungen: FV, GT, GFW und Mb aus FV, GT, GFW

b) Lagerkräfte

Statische Belastungen

� �

NNNFFF

NmmmmF

NmkgrmFmit

mmmmFF

mmFmmFM

FFFFmmNGF

FFFFF

UBYstatAYstat

BYstat

UUU

UBYstat

UBYstatA

UBYstatAYstatY

FWAXstat

axAXstataxAXstatX

666223699031

9031803052369

236960min1200215,01:

80305

)22580(800

002602

00

212

2

���������

��

��

����

�

��������

��

������

�����

���

������

�

�

�

�

��

Dynamische Belastungen

� � 0305)(80200

0)(0

00

���������

��������

���

�

�

�

mmGGmmFmmFM

GGFFFF

FF

FWTBYdynVA

FWTBYdynAYdynVY

AXdynX

FBYstat

mU

FU

Fax TabTan

FAYstat

FAXstat

X

Y

FV

FBYdynFAYdyn

FAXdyn

XS

GT+ GFW

13

NFBStelleLoslageram

NNF

NFAStelleFestlagerameLagerkräft

NNNNF

GGFFF

Nmm

mmNNmmNF

mmmmGGmmFF

Brad

Arad

Aax

AYdyn

FWTBYdynVAYdyn

BYdyn

FWTVBYdyn

7509031:)(

5006662

260:)(:

50020075050

)(

75080

305)13070(205080

305)(20

���

��

���

�����

�����

������

�

������

Die Kräfte sind maximal in den Lagern, wenn FU in Richtung von GT und GFW wirkt. Somit,

NF

NF

Brad

Arad

9781

7162

max,

max,

�

�

c) Qualitative Beanspruchungsverläufe

14

d) Festigkeitsnachweis

1) Berechnung der auftretenden Beanspruchungen an der Stelle XXStatische Beanspruchung: N = 260 N, Qstat = 6662 N, T = 50 Nm, Mb,stat = 466340 NmmDynamische Beanspruchung: Qdyn = 500 N, Mb,dyn = 39500 Nmm

� Biegenennspannung (statischer Anteil)

b

statbmbstatb W

M ,,, ���� , mit

� � ³26513230

32

23

mmmmdWb �

�

��

��

2, /176

³2651466340 mmN

mmNmm

mb ���

� Torsionsnennspannung (statischer Anteil)

tt WT

�� , mit � � ³53011630

16

23

mmmmdWt �

�

��

��

2/43,9³5301

50000 mmNmmNmm

t ���

� Biegenennspannung ( dynamischer Anteil)

b

dynbabdynb W

M ,,, ����

2, /9,14

³265139500 mmN

mmNmm

ab ���

2) Statischer Festigkeitsnachweis

a) Maximalbeanspruchungen:

22,,max,

22,,max,

/43,9/)043,9(

/9,190/)9,14176(

mmNmmN

mmNmmN

atmtt

abmbb

�����

�����

���

���

b) Berechnung der statischen Bauteilfestigkeit� Formzahl

17,13035033,0

301

����

mmmm

dDund

mmmm

dr

Aus Diagramme (Kap.5.5, Bl.15/25):Biegung 3,2, �b�

�

Torsion 6,1, �t��

� plastische Stützzahl grenzplp

ertrpl n

REn ,��

��

, mit E =210.000 N/mm2 für Stahl,

05,0�ertr� für Walzstahl (Kap. 3.5.2, Bl. 6/13)

� 83,6/225

05,0/000.2102

2

�

�

�

mmNmmNnpl

Biegung: 91,37,13,2,,,, ����� bbgrenzbpl gn��

� ; Kreisquerschnitt (Kap. 3.5.2S. 7/13)Torsion: 13,233,16,1,,,, ����� tbgrenztpl gn

���

Da die plastische Stützzahlen für Biegung und Torsion größer als die Grenzwertnpl,grenz sind, sind npl,grenz zu verwenden.

15

� plastische Kerbwirkungszahl

Biegung: 59,091,33,2

,,,

,,, ���

grenzbpl

bbpl n

�

�

�

�� (Kap. 3.5.2 S. 7/13)

Torsion: 75,013,26,1

,,,

,,, ���

grenztpl

ttpl n

�

�

�

��

� Bauteil-Biegefließgrenze

22

,,, /381

59,0/225 mmNmmNR

bpl

pbFK ���

��

� (Kap. 3.5.4.1 S. 12/13)

� Bauteil-Torsionsfließgrenze

22

,,, /174

75,0/22558,0 mmNmmNRr

tpl

ptFK �

�

��

�

�

�� (Kap. 3.5.4.1 S. 12/13), mit

58,0��r (Kap. 3.6.2 S. 10/13)

� Bauteil-Biegefestigkeit

22

,,, /610

59,0/360 mmNmmNR

bpl

mbBK ���

��

�

� Bauteil-Torsionsfestigkeit

22

,,, /4,278

75,0/22558,0 mmNmmNRr

tpl

mtBK �

�

�

�

�

�

�

��

c) Nachweis der Bauteilsicherheit für die Einzelbeanspruchungen

� gegen Fließen

Biegung: 96,1/9,190/381

2

2

max

,, ���

mmNmmNS

b

bFKbF

�

�

Torsion: 45,18/43,9/174

2

2

max

,, ���

mmNmmNS

t

tFKtF

�

�

� gegen Bruch

Biegung: 20,3/9,190/610

2

2

max

,, ���

mmNmmNS

b

bBKbB

�

�

Torsion: 52,29/43,9/4,278

2

2

max

,, ���

mmNmmNS

t

tBKtB

�

�

d) Nachweis der Bauteilsicherheit für die zusammengesetzte Beanspruchung

� gegen Fließen

2

,

2

2

,,

1311��

�

�

��

�

���

�

�

�

��

�

��

tFbFGEHFV Sr

SS � (Kap. 3.6.2 S. 11/13)

16

513,045,18158,03

96,111

22

2

,

���

���

����

�

���

��

GEHFvS� 95,1, �GEHFvS

� gegen Bruch

314,052,29158,03

20,311311

22

22

,

2

2

,,

���

���

����

�

���

���

�

�

�

��

�

��

�

�

�

��

�

��

tBbBGEHBv Sr

SS �

� 18,3, �GEHBvS

e) Berechnung der Ausnutzung gegen Fließen (bei Sollsichereit 2,1�F� )

Fließen: %5,6195,12,1

,

*, ���

GEHFV

FGEHFv S

A � (Kap. 3.6.2 S. 12/13)

3) Dynamischer Festigkeitsnachweis

dynamische Belastung: 2, /9,14 mmNab ��

a) Ermittlung Werkstoff-AusschlagspannungAus Smith-Diagramm mit 2

, /176 mmNmb �� � 2/83 mmNAb ��

b) Ermittlung der Kerbwirkungszahl

� � � �dnrnb

b��

�

�

��

�

�

,, (Kap. 3.5.3 S. 9/13)

� Formzahl 3,2, �b�� (siehe statische Festigkeitsnachweis)

� Stützzahl zur Beschreibung des Spannungsgefälles in der Kerbe � �rn�

Spannungsgefälle � � � ��� �� 12r

rG (Kap. 3.5.3, Tabelle S. 10/13), mit

118,02

15,24

1

24

1�

�

�

�

�

mmmm

rt

� für 67,086,03530

���

Dd

(Kap. 3.5.3, unter

Tabelle S. 10/13),

� � � � � 124,2118,0112

�

��� mmmm

rG�

� � ����

����

�

��

����²101 4 mm

NG

mG b

Ra

mmGrn ��

für 11 �

� mmG� , (Kap. 3.5.3, über Tabelle

S. 10/13), mit 5,0�Ga und 700.2�Gb für „anderer Walzstahl“ (Kap. 3.5.3, TabelleS. 10/13),

� � 285,11024,212

2

/700.2/3605,0

4����

��

�

�

��

�

�

��

mmNmmN

rn�

� Stützzahl zur Berücksichtigung der Beanspruchungsart � �dn�

17

� � 1067,03022

�

��� mmmmd

dG� (Kap. 3.5.3, S. 9/13)

� � ����

����

�

��

����²

5,0

101 mmN

G

mG b

Ra

mmGdn ��

für 11,0 �

� mmG�

� � 05,110067,012

2

/700.2/3605,05,0

����

��

�

�

��

�

�

��

mmNmmN

dn�

� 70,105,1285,1

3,2, �

�

�b��

c) Ermittlung der Bauteil-Biegeausschlagfestigkeit

11

,,

,

��

�

�

��

��

Fb

VAbbAK

K

K (Kap. 3.5.4.2 S. 13/13), mit

� 2/83 mmNAb �� (siehe a)

� 5,1�VK , für Kerbe gerollt (Kap. 3.5.3, Tabelle S. 11/13)

� und 75,0, ��FK , für Stahl geschlichtet (Rz = 6,3...12,5 µm)

� 22, /23,61

175,0170,1

5,1/83 mmNmmNbAK �

��

���

d) Sicherheit gegen Dauerbruch

bAK

ab

bDS ,

,

,

1�

�

� , (Kap. 3.6.2 S. 11/13)

� 1,4/9,14/23,61

2

2

,

,, ���

mmNmmNS

ab

bAKbD

�

�

Für diesen Anwendungsfall ist die Sicherheit der Einzelbeanspruchung gleich der Sicherheit derzusammengesetzten Beanspruchung SD,GEH, da nur Biegung wird berücksichtigt.Ausnutzung

%321,43,1

,

*, ���

GEHDV

DGEHDV S

A �

� Die Welle ist sowohl für die statische als auch für die dynamische Belastung ausreichend di-mensioniert.