R2 b8 rectas

Bloque 8

Funciones lineales: Sus representaciones algebraica y gráfica

Desarrollo del pensamiento algebraico

Tenoch Cedillo y Valentín Cruz

Bloque 8

Funciones lineales: sus representaciones algebraica y gráfica

Los propósitos centrales de las actividades de este bloque son los si-guientes:

(i) Estudiar el comportamiento gráfico de funciones de la forma y=mx+b.

(ii) Estudiar los efectos en las gráficas del ajuste de la escala y el rango en el plano cartesiano.

(iii) Reconocer la pendiente de la recta como la razón entre el desplazamiento en el eje X y su correspondiente en el eje Y.

(iv) Estudiar la ecuación de la recta a partir de dos de sus puntos y de un punto y su pendiente.

(v) Identificar los conceptos de crecimiento y decrecimiento ex-plorando el comportamiento de pendiente de una recta.

(vi) Introducir el concepto de regresión lineal a través de encon-trar “la mejor recta” para estudiar el comportamiento de una nube de puntos.

La propuesta didáctica que se presenta en este bloque aborda el estudio de la ecuación de la recta y su representación gráfica; las actividades evolucionan paso a paso para centrar la atención en conceptos básicos como la ordenada al origen y la pendiente. El tratamien-to algebraico y gráfico se basa en el uso de la representación algebraica y la representa-ción gráfica de una recta aprovechando las facilidades que ofrece el software para deter-minar una gráfica a partir de su ecuación y viceversa. Este bloque amplía el estudio del plano cartesiano abordando los conceptos de escala y rango; en el ambiente gráfico de la calculadora estos aspectos cobran gran relevancia de-bido a su carácter dinámico, basta con unos cuantos ajustes para producir distintas vistas de una gráfica. La calculadora en un elemento central de esta propuesta didáctica, la retroalimentación inmediata que la máquina ofrece permite que los estudiantes confirmen o refuten sus con-jeturas e induce que establezcan una comunicación con la máquina mediante el uso del código algebraico y el correspondiente a la representación gráfica.



HOJA DE TRABAJO 69 Un punto importante en una recta

Teclea en el editor de ecuaciones de la calcula-dora la ecuación y=2x+5. Para contestar lo que se pide a continuación, construye la gráfica de esa ecuación empleando el editor de gráficas.

1. Reproduce la gráfica en el siguiente pla-no cartesiano. ¿Cuáles son las coordenadas del punto donde la gráfica corta al eje Y? ______________

2. ¿Cuál es la relación que hay entre las coordenadas de ese punto y los valores numéricos que aparecen en la ecuación y=2x+5? ___________________________________ ________________________________________________________________

3. Ahora construye la gráfica de la ecuación y=3x−4. ¿Cuáles son las coordenadas del pun-to donde esa gráfica corta al eje Y? ___________________________________

4. ¿Qué relación existe entre las coordenadas de ese punto y los valores numéricos que aparecen en la ecuación y=3x−4? ______________________________________

5. Una estudiante dice que la gráfica de la ecuación y=4x+3 corta al eje Y en el punto de coordenadas x=0, y=3. ¿Lo que dice es correcto? Justifica tu respuesta. ________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

6. ¿Cuáles son las coordenadas del punto donde la gráfica de la ecuación y=3x corta al eje Y? __________________ ¿Qué modificación harías a esa ecuación para que su gráfi-ca corte al eje Y en el punto de coordenadas x=0, y=2.5? __________________ ________________________________________________________________

7. Modifica la ecuación y=3x para que su gráfica corte al eje Y en el punto x=0, y=-4.5). ¿Cuál es la ecuación que construiste? _________________________________

8. Construye en la calculadora cuatro ecuaciones cuyas gráficas corten al eje Y en el pun-to x=0, y= 5.7. Escribe las ecuaciones que usaste en las líneas de abajo.

9. Un estudiante dice que la gráfica de la ecuación y=5x−4 corta al eje Y en el punto x=0, y=5. ¿Es correcto lo que dice? Justifica tu respuesta. ___________________________

___________________________________________________________________

10. Inventa cuatro ecuaciones cuyas gráficas corten al eje Y en el punto x=0, y=−4. Indica cuáles son esas ecuaciones y comprueba tus respuestas construyéndo las gráficas en la cal-culadora. __________________________________________________________

___________________________________________________________________



HOJA DE TRABAJO 70

Cambio de escala 1. Construye en la calculadora la gráfica de la ecuación y=2x+3. a) ¿Cuáles son las coordenadas del punto donde la gráfica corta al eje Y?

x = ________ y = _________ b) ¿Cuáles son las coordenadas del punto donde corta al eje X?

x = ________ y = _________ 2. La pantalla donde se producen las gráficas en tu calculadora puede configurarse de distin-

tas maneras. Las siguientes figuras muestran la gráfica de la ecuación y=2x+3 con distintas escalas en el eje Y. Arriba de cada pantalla dice qué escala se empleó para producir cada gráfica. Por ejemplo, si ajustas la escala en el eje Y como “yscl = 2”, significa que cada marca en el eje Y vale 2 unidades.

Fig. 15; yscl = 1

Fig. 16; yscl = 2

Fig. 17; yscl = 3

Fig. 18; yscl = 0.5

a) ¿Qué diferencias observas en las gráficas? _______________________________

________________________________________________________________

b) ¿Las coordenadas del punto donde cortan al eje Y son las mismas en todas las gráficas? _________________________________________________________ ¿Por qué pa-recen ser distintos los puntos donde cada gráfica corta al eje Y? ________________

________________________________________________________________

Usa la la herramienta TRACE de la calculadora para verificar tus respuestas.



HOJA DE TRABAJO 71 Más sobre escalas y gráficas

Las gráficas que se muestran a continuación se hicieron usando una escala en la que cada marca en el eje Y equivale a cinco unidades y cada marca en el eje X equivale a dos unidades.

1) ¿Cuáles son las coordenadas del punto donde la gráfica de la Fig. 19 corta al eje Y? _______________

2) ¿Cuáles son las coordenadas del punto

donde la gráfica de la Fig. 19 corta al eje X? _______________

Fig. 19

3. ¿Cuáles son las coordenadas del punto donde la gráfica de la Fig. 20 corta al eje Y? _______________

4. ¿Cuáles son las coordenadas del punto

donde la gráfica de la Fig. 20 corta al eje X? _______________

Fig. 20

5. ¿Cuáles son las coordenadas del punto donde la gráfica de la Fig. 21 corta al eje Y? _______________

6. ¿Cuáles son las coordenadas del punto

donde la gráfica de la Fig. 21 corta al eje X? _______________________ ____________________________

Fig. 21

7. Reproduce de manera exacta esas gráficas en tu calculadora. Verifica tus respuestas usan-do la herramienta TRACE. ¿Todas tus respuestas fueron correctas? _____________ Si tuviste alguna respuesta incorrecta explica por qué. __________________________

___________________________________________________________________

___________________________________________________________________

___________________________________________________________________

___________________________________________________________________

___________________________________________________________________



HOJA DE TRABAJO 72 El rango en el editor de gráficas

Se le llama rango del editor de gráficas a los valores máximo y mínimo que podemos asignar tanto en el eje X como en el Y.

1. Activa la pantalla de tu calculadora que te muestra los valores mínimo y máximo con los que está configurado el editor de gráficas de tu máquina. Completa la siguiente tabla con los valores que tiene en este momento tu calculadora.

xmin = xmin indica el valor mínimo en el eje X xmax = xmax indica el valor máximo en el eje X ymin = ymin indica el valor mínimo en el eje Y ymax = ymax indica el valor máximo en el eje Y

2. Construye la gráfica de la ecuación y=2x+3 y anota las coordenadas de los puntos en los que corta al eje X y al eje Y. _______________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________

3. Ahora configura el rango RANGO de tu calculadora con los valores que se muestran a con-tinuación y observa de nuevo la gráfica de la ecuación y=2x+3.

xmin = −20 xmax = 20 ymin = −30 ymax = 30

¿Qué ocurre cuando cambias el rango del editor de gráficas? _______________________

_________________________________________________________________________

4. Construye en la calculadora las gráficas de las ecuaciones y=2x+30 y y=40−3x. Esas gráfi-cas se cortan en un punto, pero no podrás verlo en la pantalla. a) Ajusta de manera adecuada el rango y la escala de la pantalla del editor de gráficas pa-

ra que puedas ver en qué punto se cortan esas gráficas. b) Usa la tecla TRACE para encontrar las coordenadas del punto en que esas gráficas se

cortan. ¿Cuáles son las coordenadas del punto de intersección? ____________________ _________________________________________________________________________

5. Construye una ecuación tal que su gráfica no se vea en la pantalla debido a la forma como tienes definida la escala en el editor de gráficas y a los valores máximos y mínimos asigna-dos para los ejes X y Y. ¿Cuál es la ecuación que construiste? _________ __________________________________________________________________ ¿Cómo ajustarías el rango de tu calculadora para que se vea la gráfica? ________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________

6. Configura el rango de la calculadora para que puedas ver la gráfica de la ecuación y=10-x sólo en el primer cuadrante del plano cartesiano. Anota los valores que tuviste que usar.

xmin = _____ xmax = _____ ymin = _____



ymax = _____ HOJA DE TRABAJO 73 Rectas que “crecen”

En la Fig. 22 se muestra la gráfica de la ecuación y=x. Constrúyela en tu cal-culadora. En la figura se han destacado algunos puntos. No tienes que reproducirlos, sólo son para auxiliarte en la lectura de la gráfica. 1. ¿Cuáles son las coordenadas de los

puntos que se han resaltado en la gráfica? ________________________ ________________________________

Fig. 22

2. ¿A qué crees que se deba la relación que observas entre los valores de la primera y la se-gunda coordenadas de esos puntos? _______________________________________

___________________________________________________________________ 3. En la Fig. 23 se muestra la gráfica de la

ecuación y=2x. Constrúyela en tu calculado-ra. Se han resaltado algunos puntos de la gráfica. ¿Cuáles son las coordenadas de esos puntos? __________

4. Una estudiante dice que en esa gráfica los valores de y son el doble de los valores de x? ¿Es cierto lo que dice? ______ ¿Qué relación hay entre esto y que la gráfica fue construida usando la ecuación y=2x? _______________________________________ _______________________________________

Fig. 23

5. Completa la siguiente tabla usando la ecuación y=5x. ¿Qué relación hay entre los valores de x y y? ____________________________________________________________

x −2.5 −2 1.5 2 3 4.5 y −7.5

6. Cuando localizamos las coordenadas de un punto, contamos cuántas unidades avanzas sobre el eje X y luego cuántas unidades subes o bajas sobre el eje Y, con respecto al origen del plano cartesiano. Traza la gráfica de la ecuación y=4x. ¿Cuántas unidades “sube” la gráfica en el eje Y por cada unidad que “avanza” sobre el eje X a partir del origen del plano? __________________ ¿Encuentras una relación entre lo que “sube” y lo que “avanza” la gráfica con la ecuación y=4x? ¿Cuál es esa relación? _______________________. Construye una gráfica en la que por cada unidad que “avance” sobre el eje X, “suba” 1.5 unidades sobre el eje Y. ¿Cuál es la ecuación que usaste para construir esa gráfica? _______________________________________ Anota las coordenadas de tres puntos de la gráfica que construiste. ______________ _________________________________________________________________



HOJA DE TRABAJO 74 ¿Qué gráficas “crecen” más rápido?

En las figuras de esta hoja de trabajo la escala en los ejes X y Y es 1.

1. ¿Cuál de las gráficas que se muestran en la Fig. 24 es la que “crece” más rápido? ______________________________

2. ¿Cuál es la gráfica que “sube” más lento? ______________________________

Fig. 24

3. La Fig. 25 muestra la gráfica de la ecuación y=3x−2. ¿Cuántas uni-dades “sube” la gráfica sobre el eje Y, mientras avanza desde x=0 hasta x=1? ____________

¿Cuántas unidades “sube” la gráfi-ca mientras avanza desde x=1 hasta x=2? _____________.

Fig. 25

4. ¿Qué relación hay entre los términos de esa ecuación y el número de unidades que sube la gráfica en el eje Y con respecto a cada unidad que avanza sobre el eje X? _________________________________________________________________ _________________________________________________________________ _________________________________________________________________

5. Construye en la calculadora lo que se indica en cada caso. a) Dos gráficas que “crezcan” más rápido que la gráfica de y=x. ¿Cuáles son las ecuaciones

que usaste para construirlas? _________________________________ Comprueba tus respuestas usando la calculadora.

b) Dos gráficas que “crezcan” menos rápido que y=x. ¿Cuáles son las ecuaciones que usaste paraconstruirlas? ___________________________________________________ Compara con las de tus compañeros las gráficas que construiste en la calculadora.

c) Una gráfica que corte al eje Y en el punto x=0, y=3, y que suba 5.5 unidades por cada unidad que avanza sobre el eje X. ¿Que ecuación usaste para construirla? __________________ Compara tu respuesta con la de tus compañeros. Escribe tus conclusiones a continuación __________________________________________________ __________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________

d) Dos gráficas distintas que “crezcan” igual de rápido que y=4x. Cuáles son las ecuaciones que usaste para construirlas? ________________________________________________ ¿Cómo son entre sí las gráficas que construiste? ________________________________



HOJA DE TRABAJO 75 ¿Qué ecuaciones producen esas rectas?

En las figuras de esta hoja de trabajo, la escala en los ejes X y Y es 1.

1. ¿Puedes construir en tu calculadora una gráfica idéntica a la que se muestra en la Fig. 26? ¿Qué ecuación usaste para cons-truirla? _____________________ ¿Qué información obtuviste de la gráfica para encontrar esa ecuación?__________ ___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________

Fig. 26

2. Construye en tu calculadora tres gráficas

idénticas a las que se muestran en la Fig. 27. ¿Qué ecuaciones usaste para truir-las?_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Fig. 27

3. Construye en tu calculadora cuatro gráfi-cas idénticas a las que se muestran en la Fig. 28. ¿Qué ecuaciones usaste para cons-truirlas? _________________________________ _________________________________ _________________________________ _________________________________

Fig. 28

4. ¿Encontraste un “método” para obtener la ecuación que corresponde a cada gráfica? Des-cribe tu método de manera que cualquiera de tus compañeros lo pueda entender. ___________________________________________________________________ ___________________________________________________________________ ___________________________________________________________________ ___________________________________________________________________



HOJA DE TRABAJO 76 Gráficas que “decrecen”

En las figuras de esta hoja de trabajo, la escala en X y Y es 1.

La Fig. 29 muestra la gráfica de la ecuación

y=−x+2.

1. ¿Cuáles son las coordenadas del punto donde la

gráfica corta al eje Y? ____________________ 2. ¿La gráfica “sube” si avanzas desde x=1 hasta

x=2? ___________________________________ 3. Una estudiante dice que esta gráfica “baja”

cuando avanzas de izquierda a derecha sobre el eje de las X. ¿Estás de acuerdo con lo que ella dice? _______ ¿Por qué? ________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________

Fig. 29

4. La Fig. 30 muestra la gráfica de la ecuación y=−2x+1. ¿Cuáles son las co-ordenadas de los puntos A, B y C? ________________________________ ________________________________

5. ¿Cuántas unidades avanzas sobre el eje de las X si te mueves desde el punto A hasta el punto B? ________ ____________________________

Fig. 30

6. ¿Cuántas unidades baja la gráfica sobre el eje Y verticalmente cuando te mueves de C a B? ___________________________________________________________________

7. ¿Qué relación hay entre lo que “baja” la gráfica por cada unidad al avanzar horizontalmente y su ecuación? ________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________



HOJA DE TRABAJO 77 Más sobre gráficas que “decrecen”

La figura 31 muestra la gráfica de la ecuación y=−x+2. 1. ¿Cuáles son las coordenadas del punto don-

de la gráfica corta al eje Y? ____________ ___________________________________

2. ¿La gráfica “sube” si avanzas desde x=0 hasta x=2? __________________________

Fig. 31 La escala en X y Y es 1

3. Una estudiante dice que esta gráfica “baja” cuando avanzas desde x=0 hasta x=2. ¿Estás de

acuerdo con lo que ella dice? ________ Da un ejemplo que justifique tu respuesta _____ ______________________________________________________________________________

4. La figura 32 muestra la gráfica de la ecua-

ción y=−3x+1. ¿Cuáles son las coordenadas de los puntos A, B y C? _____ ________________________________________________________________

5. ¿Cuántas unidades avanzas sobre el eje de las X si te mueves desde el punto A hasta el punto B? __________________________

Fig. 32 La escala en X y Y es 1

6. ¿Cuántas unidades baja la gráfica sobre el eje Y cuando te mueves desde C hasta B? ___________________________________________________________________

7. ¿Encuentras alguna relación entre lo que “baja” la gráfica con su ecuación? _______ ¿Cuál es esa relación? ______________________________________________________ ___________________________________________________________________

8. Construye en la calculadora una gráfica que “baje” como las anteriores y dibújala en el plano de la derecha. ¿Qué ecuación usaste para construir esa gráfica? ___________ ¿Cuántas unidades “baja” la gráfica sobre el eje Y cuando avanzas una unidad sobre el eje X? ________________________

Fig. 33

9. ¿Qué relación hay entre lo que “baja” la gráfica y la ecuación que usaste? _________________________________________________________________ _________________________________________________________________ _________________________________________________________________ ________________________________________________________________



HOJA DE TRABAJO 78 Rectas y ecuaciones

1. Reproduce en tu calculadora cada una de las gráficas que se muestran en las siguientes figuras. Anota en el espacio las ecuaciones que usaste. La escala en los ejes X y Y es 1.

Fig. 34

Fig. 35

Fig. 36

Ecuaciones: ____________

____________ Ecuaciones: ____________

____________ Ecuaciones: ____________

____________ Fig. 37

Fig. 38

Fig. 39

Ecuaciones: ____________

____________ Ecuaciones: ____________

____________ Ecuaciones: ____________

____________

2. En las siguientes figuras sólo se marcaron algunos puntos. Construye en tu calculadora las gráficas que pasen exactamente por esos puntos. En los espacios correspondientes, anota las ecuaciones que utilizaste.

Fig. 40

Fig. 41

Fig. 42

Ecuación: _____________ Ecuación: ______________ Ecuación: ____________

Fig. 43

Fig. 44

Fig. 45

Ecuación: ______________ Ecuación: _______________ Ecuación: _____________



HOJA DE TRABAJO 79 Cuadriláteros

1 Un estudiante construyó la figura 46, re-

prodúcela en tu calculadora y anota las ecuaciones que usaste. _______ _______________________________ _______________________________

Fig. 47

3 Construye las gráficas de la figura 48 y

anota las ecuaciones que usaste. _______ _______________________________ _______________________________ _______________________________ _______________________________ _______________________________ _______________________________

Fig. 46

2 Construye en la calculadora las gráficas de

la figura 47. Anota a continuación las ecuaciones que usaste. ______________ ____________________________________________________________________________________________

Fig. 48

4. Describe, de manera que cualquiera de tus compañeros lo pueda entender, cuál es la infor-mación más importante que te proporciona la gráfica para encontrar en la calculadora la ecuación que la produce. _________________________________________________ ____________________________________________________________________ ____________________________________________________________________ Realiza un diseño con rectas paralelas en la calculadora, anota las expresiones que usaste y bosquéjalo en el siguiente plano cartesiano.

_______________________ _______________________ _______________________ _______________________ _______________________ _______________________ _______________________



HOJA DE TRABAJO 80 ¿Gráficas que no “crecen” ni “decrecen”?

La Fig. 49 muestra la gráfica de la ecuación y=1. Construye en tu calculadora esa gráfica y compárala con ésta. 1. ¿Cuántas unidades “sube” la gráfica si te

mueves desde x=1 hasta x=2? _______ 2. ¿Cuántas unidades “baja” la gráfica si te

mueves desde x=3 hasta x=5? ________

Fig. 49

3. ¿Encuentras alguna relación entre la ecuación que produce esa gráfica y el hecho de que no “suba” ni baje”? ______ ¿Cuál es? _________________________________________ ___________________________________________________________________ ___________________________________________________________________

4. Un estudiante dice que esa gráfica no “crece” ni “decrece” porque “no hay x en la ecuación”. Él dice que los valores de y no dependen de los valores de x. ¿Estás de acuerdo con lo que dice ese alumno? ______ ¿Cuáles son tus conclusiones? __________________________ ___________________________________________________________________ ___________________________________________________________________

5. Otro estudiante dice que la ecuación y=1 es equivalente a la ecuación y=0×x+1. ¿Estás de acuerdo con lo que ese alumno dice? _________ ¿Por qué? _______________________ ___________________________________________________________________ ¿Cómo crees que afecta el cero en la ecuación respecto a lo que ves en su gráfica? ___________________________________________________________________ ___________________________________________________________________

6. Construye en tu calculadora la gráfica de la ecuación y=2x. ¿Qué efecto produce en la gráfica el 2 que aparece en la ecuación? _____________________________________

___________________________________________________________________

7. Observa la ecuación y=3x. Sin construir la gráfica, ¿puedes decir cuánto subirá esa gráfica sobre el eje Y por cada unidad que avanza sobre el eje X? _______________________ ___________________________________________________________________

8. Observa la ecuación x23y = , ¿qué efecto produce en la gráfica el número

23 ? _______

___________________________________________________________________

Verifica tu respuesta construyendo la gráfica de esa ecuación.

9. Dibuja una gráfica que es una línea recta con las siguientes características. La gráfica sube 3.5 unidades en el eje Y por cada unidad que avanza sobre el eje X. Además la gráfica cor-ta al eje Y en el punto (0, -2.5). ¿Cuál es la ecuación que corresponde a esa gráfica? ___________________________________________________________________



HOJA DE TRABAJO 81 Rectas horizontales

En las figuras de esta hoja de trabajo, la escala en X e Y es 1.

1. Construye en la calculadora la gráfica de las siguientes ecuaciones y dibújalas en la pantalla de la derecha.

2. Un estudiante de otra escuela dice que con las tres ecuaciones anteriores obtiene gráficas iguales, ¿estás de acuerdo con él? _____ Justifica tu respuesta ___________________

___________________________________________________________________ ___________________________________________________________________ ___________________________________________________________________

3. Reproduce las siguientes gráficas en tu calculadora y anota las expresiones que utilizaste.

y = y =

4. En la figura 50 aparecen las gráficas de

las ecuaciones y =1 y y=−1.5. ¿Puedes cons-truir gráficas de manera que el espacio entre las gráficas quede prácticamente negro? Anota a continuación algunas de las ecuaciones que usaste. ______________ ______________________________ ______________________________ ______________________________ ______________________________ ______________________________

Fig. 50

y=0x+2

y=2

y=0×x+2



HOJA DE TRABAJO 82 Puntos, rectas y ecuaciones

1. ¿Cómo puedo encontrar la ecuación de la recta que pasa por los puntos que se muestran a continuación? La escala en X y Y es 1.

Fig. 51

2. ¿Cuánto sube la gráfica sobre el eje Y cuando avanzas desde x=1 hasta x=3? ________

La Fig. 52 muestra los dos puntos que nos inte-resan y la gráfica de la ecuación y=2x. 3. ¿Qué modificación hay que hacerle a dicha

ecuación para construir una recta que pase por esos dos puntos? Comprueba tu respues-ta construyendo la nueva gráfica en la calcu-ladora. ¿Qué ecuación usaste para lograr que la recta pase por los dos puntos dados? __________________________

Fig. 52

4. Una alumna dice que esa gráfica sube 4 unidades en el eje Y cuando avanza 2 unidades sobre el eje X. Por lo tanto la gráfica sube 2 unidades en Y por cada unidad que avanza sobre X. Con ba-se en eso, asegura que la ecuación de la recta que pasa por esos dos puntos debe empezar con y = 2x, pero falta sumarle algo para que “se suba” y no corte al eje Y en el punto (0, 0). ¿Tiene razón? _______________________ ¿Cuánto hay que sumar? _____

5. No todos los puntos que se muestran en la

Fig. 53 están alineados. a) Primero ve qué coordenadas tienen los

puntos que se dan y constrúyelos en tu cal-culadora.

b) Construye en la calculadora una recta que pase por el mayor número posible de esos puntos ¿Por cuántos de esos puntos pasa la recta que construiste? ___ ______________ ¿Qué ecuación usaste? ______________________

Fig. 53 La escala en X es 1 y en Y es 2

6. Explica todo lo que hiciste encontrar la ecuación de la recta que construiste. ______________

_______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________



HOJA DE TRABAJO 83 Nubes de puntos y rectas

1. Construye una recta que pase

por el mayor número posible de los puntos que se muestran en la Figura 54. ¿Qué ecua-ción usaste? _________ Compara tu recta con la de tus compañeros. ¿La recta que construiste pasa por más pun-tos que las que construyeron tus compañeros? _________ ¿Puedes mejorar tu ecuación? ____ ¿Encontraste una nueva ecuación? ¿Cuál es? _______ ______________________

Fig. 54 Escala en X es 1. Escala en Y es 2

2. Describe el método que usaste para construir la recta que pasa por esos puntos. ___________________________________________________________________ ___________________________________________________________________

3. Los siguientes datos muestran cómo ha crecido el número de habitantes en San Miguel.

Año 1980 1982 1988 1992 1996 2000 2004 Habitantes 12 000 15 000 20 000 24 000 29 000 31 000 34 000

Construye una gráfica de puntos que represente esos datos. Considera a 1980 como el año 1, 1982 como el año 2, y así sucesivamente. Te puede ser útil expresar el número de habitantes en unidades de millar, por ejemplo, 12 en lugar de 12000. Ajusta adecuadamente los valores máximos y mínimos de tu pantalla, por ejemplo, observa que no hay valores negativos en la ta-bla. Tu gráfica debe verse como la de la Figura 34.

Fig. 55

4. Si la población de San Miguel sigue creciendo a ese ritmo, ¿cuántos habitantes tendrá en el año 2008? ____________________ ¿Cuántos en el año 2016? ______________ ¿Cuán-tos habitantes tenía aproximadamente en 1972? ___________________________



HOJA DE TRABAJO 84 Nubes de puntos y predicciones

Las gráficas de la Fig. 56 muestran el número de habitantes de San José y de Teziulapan de 1960 a 1990, en intervalos de cinco años. En San José ha venido cre-ciendo la población, pero en Teziulapan está disminuyendo drásticamente. La escala en el eje Y es 5, y en el X es 1. Las unidades sobre el eje Y están expresadas en unidades de millar.

Fig. 56

1. ¿En que año se esperaría que San José y Teziulapan tengan el mismo número de habitan-tes? _________ Justifica tu respuesta. ___________________________________ ___________________________________________________________________

2. ¿En que año se esperaría que la población de San José sea mayor que la de Teziulapan? ____________ ¿Por qué? _______________________________________________

3. ¿Aproximadamente cuántos habitantes tenía San José en 1960? ________________ De acuerdo con la forma en que ha venido aumentando esa población, ¿cuántos habitantes ten-ía en 1955? __________________________________________________________

4. ¿Aproximadamente cuántos habitantes tenía Teziulapan más que San José en 1970? ___________________________________________________________________

5. Construye en tu calculadora dos rectas, una que pase por tantos puntos como sea posible sobre la gráfica de los datos de San José y la otra sobre los datos de Teziulapan. ¿Qué ecuaciones utilizaste para construir esas rectas? ______________________________

6. La figura 57 muestra los datos del movi-miento de un automóvil entre las 8:00 y las 14:30 horas, en intervalos de media hora (eje X). La escala en el eje X es 0.5, y el origen corresponde al 8:00. Los datos en el eje Y corresponden a la posición del auto-móvil en kilómetros recorridos, con una es-cala de 100 en el eje Y.

Fig. 57

7. ¿Cuántos kilómetros recorrió el automóvil de las 8:00 a las 10:00 horas? ___________ ¿Cuántos entre las 11:00 y las 14:00 horas? ______________ ¿En qué momento retroce-dió el automóvil? __________ ¿Cuántos kilómetros retrocedió? ____________ ¿A cuán-tos kilómetros por hora, en promedio, viajó el automóvil entre las 13:00 y las 14:30 horas? ____________________ ¿Cuál es la velocidad máxima que alcanzó durante todo el reco-rrido? ____________ ¿En qué intervalo alcanzó esa velocidad? _________________ ¿En qué intervalo viajó más despacio? __________________ ¿A qué velocidad viajó du-rante ese tiempo? _________________



Actividades que se sugieren para el futuro docente 1. Describe la secuencia didáctica para el tema que se aborda en este bloque y discute tu des-

cripción con tus compañeros. 2. En equipo, haz un mapa conceptual del tema que se trata en este bloque y preséntalo a tu

grupo. 3. Identifica las actividades del bloque que promueven el estudio de la ordenada al origen y

elabora una presentación al respecto. 4. ¿En qué hojas de trabajo de este bloque se aborda el estudio de la pendiente de una recta?

Identifica tres ejemplos y prepara una presentación para discutirla con tu grupo. 5. ¿Cuál es la ecuación de cada una de las rectas que se describen a continuación? Registra el

procedimiento que emplees en cada caso y discute tu trabajo con tus compañeros y tu pro-fesor.

a. Pasa por (0,-2) con pendiente 3. b. Pasa por (0,0) con pendiente −1

2.

c. Pasa por (-1,3) y (3,-4). d. Pasa por (0,4) y (2,0). e. Pasa por (1,2) con pendiente 5. f. Pasa por (-4,-3) y (2,-3).

6. Realiza en equipo una indagación en fuentes bibliográficas acerca de la ecuación de la recta y presenta tu trabajo a tu grupo.

7. Realiza las siguientes actividades. a. Mide la extensión de los brazos (medida a través de la espalda con los brazos ex-

tendidos para formar una “T”) y la estatura de diez personas y completa la siguien-te tabla.

b. Construye una gráfica de puntos con los datos de la tabla. c. ¿Qué tipo de relación observas que hay entre las dos medidas? Detalla tu respues-

ta. d. Construye una recta que pase por la mayor cantidad de puntos. ¿Cuál ecuación

usaste?___________________ Compárala con la de tus compañeros. e. ¿Cuál es la estatura estimada de una persona cuya extensión de brazos es de 140

cm? ______________ ¿y para 165 cm? __________ f. Anota tus conclusiones acerca de la relación entre la extensión de brazos y estatura

de una persona. ¿A quiénes y para qué puede ser útil conocer la relación entre es-tas dos variables?

8. Investiga acerca del coeficiente de correlación y la regresión lineal. ¿De qué manera contri-buyen las actividades de este bloque al desarrollo de estos temas? Detalla tu respuesta y prepara una presentación.

9. Investiga otras situaciones cuyo modelo matemático sea una función lineal y preséntalas en tu grupo.

Persona 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Extensión de los brazos

Estatura

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