Rapport Pfe

KHADRA Rony

Elève ingénieur de 5ème

année

Spécialité Génie Civil

INSA de Strasbourg

Rédaction d’un guide de dimensionnement pour

les ponts dalles selon l’Eurocode

Rapport final

JUIN 2009

Auteur :

Rony KHADRA

Elève ingénieur de 5ème

année, Spécialité Génie Civil

Institut National des Sciences Appliquées de Strasbourg

Tuteur entreprise :

M. Philippe Zink

Ingénieur ENSAIS, responsable du service Ouvrages d’art

INGEROP Conseil et Ingénierie

Tuteur INSA :

M. Jean-Michel Hottier

Institut National des Sciences Appliquées de Strasbourg

Remerciements

Je tiens à remercier tout d’abord M. Claude Heyd de m’avoir accueilli au sein d’Ingerop

Grand Est dans le service Ouvrages d’art.

Je remercie également M. Jean Michel Hottier et M. Philippe ZINK respectivement tuteur

INSA et tuteur entreprise pour leurs aides précieuses.

Je remercie également tout le service Ouvrages d’Art (Fouad, Cécile, Nathalie, Pierre et Jean

Michel) qui m’ont permis de s’intégrer rapidement et de travailler dans une ambiance

agréable.

Mémoire de PFE

Rony KHADRA 1 INSA Strasbourg 2008/2009

Table des matières :

1. Introduction......................................................................................................................................... 4

2. Présentation de l’entreprise................................................................................................................ 5

2.1 Historique ...................................................................................................................................... 5

2.2 Implantations ................................................................................................................................ 6

2.3 Chiffre d’affaires............................................................................................................................ 7

2.4 Effectifs.......................................................................................................................................... 7

2.5 Ingerop Grand EST......................................................................................................................... 8

2.6 Quelques réalisations .................................................................................................................... 8

2.7 Politique de l’entreprise vis-à-vis des Eurocodes.......................................................................... 9

3. Problématique..................................................................................................................................... 9

3.1 Généralités .................................................................................................................................... 9

3.2 Naissance des Eurocodes ............................................................................................................ 10

3.3 Objectif du travail ........................................................................................................................ 10

3.4 Besoin des projeteurs.................................................................................................................. 11

4. Le béton précontraint........................................................................................................................ 11

4.1 Origine du béton précontraint .................................................................................................... 11

4.2 Principe de la précontrainte........................................................................................................ 12

4.3 Exemple traité ............................................................................................................................. 13

5. Application des Eurocodes ................................................................................................................ 14

5.1 Charges d’exploitation................................................................................................................. 14

5.2 Coefficient de Guyon-Massonet.................................................................................................. 16

5.3 Enrobage...................................................................................................................................... 16

5.4 Détermination de P ..................................................................................................................... 17

5.5 Dispositions constructives........................................................................................................... 19

5.6 Méthode des câbles concordants ............................................................................................... 20

5.7 Sections résistantes..................................................................................................................... 23

5.7.1 Section brute ........................................................................................................................ 23

5.7.2 Section nette ........................................................................................................................ 24

5.7.3 Section homogène................................................................................................................ 24

5.8 Calcul de pertes de précontrainte............................................................................................... 25

5.9 Vérifications aux ELS.................................................................................................................... 26

Mémoire de PFE


5.9.1 Hypothèses de calcul............................................................................................................ 27

5.9.2 Catégories de vérification..................................................................................................... 27

5.9.3 Limitation des contraintes.................................................................................................... 28

5.9.4 Application............................................................................................................................ 28

5.10 Ferraillage passif........................................................................................................................ 31

5.10.1 Règles de l’Eurocode .............................................................................................................. 32

5.10.2 Application.............................................................................................................................. 32

5.11 Vérification aux ELU .................................................................................................................. 35

5.11.1 Hypothèses de calcul ......................................................................................................... 35

5.11.2 Lois contrainte déformation béton - acier ........................................................................ 35

5.11.3 Principe de vérification d’une section................................................................................ 36

5.11.4 Application.......................................................................................................................... 41

5.12 Vérification à l’effort tranchant................................................................................................. 44

5.12.1 Généralités ......................................................................................................................... 44

5.12.2 Précontrainte...................................................................................................................... 44

5.12.3 Vérification aux ELS ............................................................................................................ 45

5.12.4 Vérification aux ELU ........................................................................................................... 47

5.13 Appareils d’appui........................................................................................................................... 50

5.13.1 Descente de charges .......................................................................................................... 50

5.13.2 Aire de l’appareil d’appui ................................................................................................... 51

5.13.3 Hauteur nette d’élastomère............................................................................................... 51

5.13.4 Choix de l’appareil convenable .......................................................................................... 52

5.13.5 Surface en plan effective.................................................................................................... 52

5.13.6 Stabilité au flambement..................................................................................................... 53

5.13.67 Respect de la limite de déformation ................................................................................ 54

5.13.8 Stabilité en rotation............................................................................................................ 54

5.13.9 Condition de non glissement.............................................................................................. 55

5.13.10 Dimensionnement des frettes.......................................................................................... 55

5.13.11 Détermination des pressions sur les supports ................................................................. 56

5.14 Fatigue........................................................................................................................................... 57

5.15 Appuis en béton armé................................................................................................................... 59

6. Comparaison BPEL - Eurocode .......................................................................................................... 63

7. Guide méthodologique et environnement du personnel ................................................................. 67

7.1 Contenu du guide méthodologique ............................................................................................ 67

Mémoire de PFE


7.2 Création du programme.............................................................................................................. 67

7. 3 Limitation du programme........................................................................................................... 68

7.4 Rôle des ingénieurs ..................................................................................................................... 68

8. Conclusion ......................................................................................................................................... 70

Mémoire de PFE


1. Introduction

Les Eurocodes sont des normes européennes de conception, de dimensionnement et de

justification des structures de bâtiment et de génie civil, établissant un ensemble de règles

techniques, dans le but de leur donner par la suite un statut de normes européennes et pallier

l’absence d’harmonisation entre ces règles à travers l’Europe. Ceci apparaissait en effet comme un

obstacle au libre accès des entreprises de travaux ou des bureaux d’études techniques aux marchés

des autres états membres.

Ils servent ainsi de documents de référence reconnus par les autorités des 27 états membres de

l’Union européenne, applicables pour la conception et le calcul des structures en Génie Civil.

La précontrainte est un système mécanique assez récent qui consiste à pré comprimer le béton avant

qu’il soit soumis aux charges de différente nature. Elle peut être intérieure au béton (avec

adhérence) ou bien extérieure (sans adhérence).

Les Eurocodes et la précontrainte appliquée aux ouvrages d’art, en particulier aux ponts dalles, font

l’objet du PFE réalisé pendant 20 semaines au sein du bureau d’études Ingerop à Strasbourg.

Une création d’un programme Excel qui porte sur le dimensionnement de la précontrainte dans les

ponts dalles fut réalisé. La rédaction d’un guide méthodologique qui s’appuie sur le programme créé

a été également entrepris.

Ce mémoire de PFE contient la version finale des calculs réalisés. Tous les points abordés durant la

période du stage sont détaillés.

Dans un premier temps, une brève présentation de l’entreprise, des Eurocodes et du principe de la

précontrainte est présenté. Ensuite, la création du programme est les calculs effectués par ce dernier

sont traités en détail. Ces calculs englobent le calcul des sollicitations, la détermination de l’effort de

précontrainte, le tracé du câble de précontrainte, les différentes vérifications à l’ELS et l’ELU et

finalement le dimensionnement des appareils d’appui. La fatigue dans les Eurocodes est aussi traitée.

Enfin, une comparaison est réalisée entre les anciennes normes et les Eurocodes en soulignant les

différences majeures existantes. La dernière partie est consacrée à l’environnement du personnel.

Elle contient des informations concernant le contenu du guide méthodologique, les limitations du

programme et le rôle des ingénieurs dans l’avancement du travail effectué.

Mémoire de PFE


2. Présentation de l’entreprise

2.1 Historique

Ingerop est née en 1992 du regroupement d’INTER G et de SEEE, deux sociétés d’ingénierie

technique au parcours original et complémentaire :

• INTER G, créée en 1945, spécialisée dans le domaine des centrales thermoélectriques,

hôtels, hôpitaux, et à partir des années 80, également du tramway puis, reprise par le

groupe constructeur GTM (Grands Travaux de Marseille) , en 1984, pour développer son

activité clé en main

• SEEE, fondée en 1962 par GTM pour être son département d’études techniques en ouvrages

d’art et structures complexes, et qui, au fil des ans, s’est développée dans les domaines de la

maîtrise d’œuvre de grandes infrastructures linéaires, des réseaux de transport urbains, du

bâtiment et de l’installation industrielle.

Fin 2000, alors que son actionnaire GTM est absorbé par VINCI, les cadres dirigeants d’INGEROP,

prennent l’initiative du rachat de leur société au travers d’un LMBO (Leverage Management Buy, en

d’autres termes rachat de l’entreprise par ses salariés), avec l’appui, à hauteur de 25% des parts de la

société, du fonds d’investissement de la banque Crédit Lyonnais. Ingerop ressemble alors plus de

1100 collaborateurs.

7 ans plus tard, fin 2007, les effectifs d’Ingerop ont progressé de 1100 à 1370, dont plus de 200 à

l’international, avec un ancrage confirmé dans plusieurs pays d’Europe et du reste du monde et son

chiffre d’affaires est de 139.9 M€. Un LMBO secondaire est alors organisé et souscrit par de

nombreux ingénieurs seniors qui reprennent les parts de la société appartenant à la Banque.

Aujourd’hui Ingerop est entièrement détenue par 174 cadres seniors et par un Fonds Commun

de Placement d’Entreprise, ouvert à l’ensemble de ses salariés.

Avec ses implantations en France (dans plus de vingt villes outre le siège à Courbevoie) et à

l'étranger (principalement Afrique du Sud, Brésil, Corée, Japon, Espagne, Europe de l'Est), INGEROP

peut faire intervenir un effectif d'environ 1300 personnes comprenant près de 700 ingénieurs et

cadres.

Les ingénieurs et spécialistes d'INGEROP réalisent des interventions à différents niveaux, soit

dans des missions de maîtrise d'oeuvre, soit dans le cadre d'assistance à des maîtres d'ouvrages

publics ou clients privés : expertises, études de planification, étude de faisabilité, études de

conception, avant-projets détaillés, dossiers de consultation d'entreprises, études d'exécution,

assistance technique dans le suivi des projets et des marchés de travaux, contrôle des études

d'exécution, supervision de travaux, suivi des plannings et des coûts.

Mémoire de PFE


2.2 Implantations

Ingerop comporte 26 agences, établissement et filiales réparties en 8 régions , en France et en suisse.

Elle possède également plusieurs filiales situées sur plusieurs continents.

La direction régionale de l’agence Grand Est se situe à Strasbourg et plus précisément à

Oberhausbergen. L’agence regroupe les bureaux de Besançon, Metz, Nancy et Strasbourg.

Figure 2.2.1 Implantations en France

Figure 2.2.2 Implantations à l'étranger

Mémoire de PFE


2.3 Chiffre d’affaires

Son chiffre d’affaires à fin 2007 atteint près de 147 M€, en progression de plus de 35% sur 6

ans. Plus de 19% de l’activité est réalisée à l’international, avec un ancrage confirmé dans plusieurs

pays d’Europe et du reste du monde.

Figure 2.3.1 Chiffre d'affaires 2003 à 2007

Grâce à une ingénierie internationale, l’activité d’Ingerop est répartie dans 5 domaines :

- Infrastructures 32%

- Bâtiments et équipements 30%

- Industrie 15%

- Transports en commun 13%

- Eau et environnement 10%

2.4 Effectifs

Ses effectifs s’élèvent à 1500 collaborateurs dont un peu plus de 300 à l’international

répartis comme suit :

Figure 2.4.1 Effectifs d'Ingerop

Mémoire de PFE


2.5 Ingerop Grand EST

Ingerop Grand Est regroupe quatre agences : Strasbourg, Nancy, Metz et Besançon dont

Strasbourg est la direction régionale. La région grand Est, dirigée par M. Claude HEYD, regroupe 143

collaborateurs, ingénieurs, experts ou techniciens.

Une cinquantaine de collaborateurs travaillent sur le site d’Oberhausbergen réparties dans les

départements suivants :

• Bâtiment (services : Structure, Fluides, Electricité)

• Infrastructure

• Industrie

• Génie Urbaine

2.6 Quelques réalisations

Pont Rion - Antirion en Grèce Viaduc de l'Anguienne

Tunnel de Confignon en Suisse

Mémoire de PFE


2.7 Politique de l’entreprise vis-à-vis des Eurocodes

Avec l’apparition des Eurocodes (voir 3.2), Ingerop prépare ses effectifs à utiliser les

prochains règlements qui vont être valables d’ici peu de temps. Cela passe par des formations où des

intervenants extérieurs spécialistes dans les Eurocodes viennent initier les ingénieurs à l’utilisation

des nouvelles normes.

Cependant, personne ne nie le fait que c’est une mission assez laborieuse due à la complexité des

Eurocodes et aux méthodes qu’ils proposent qui paraissent longues et difficiles à mettre en œuvre.

3. Problématique

3.1 Généralités

Le béton précontraint est un matériau composite du génie civil permettant de concevoir et

de réaliser des structures performantes, économiques et élégantes. Ses applications dans tous les

domaines de la construction sont nombreuses, notamment pour les bâtiments ou la réalisation de

grands ouvrages d’art.

Figure 3.1.1 Pont dalle en béton précontraint

Dans le cadre de ses missions, la société Ingerop et plus particulièrement le service Ouvrage

d’Art prennent en charge des missions parmi lesquelles l’étude, la conception et le dimensionnement

des ponts. Ces derniers peuvent être conçus en béton armé, en béton précontraint, en structure

mixte (béton + acier) ou bien purement métallique. Dans la suite, on s’intéressera plus

particulièrement aux ouvrages réalisés en béton précontraint.

Plusieurs logiciels de calcul ont été élaborés et développés par le SETRA (service d’étude sur

les transports, les routes et les aménagements) afin de gagner du temps et de minimiser les erreurs

humaines. Parmi ces logiciels, figurent le PSIDPEL pour la précontrainte par post tension et le

WNOTAPP utilisé pour la descente des charges sur les appareils d’appui et les fondations.

Mémoire de PFE


Bien entendu, ces logiciels reposent sur les règlements propres à chaque pays et à chaque

situation de projet. En France, c’est le BPEL qui est utilisé parce qu’il traite des règles techniques à

suivre pour la conception et le calcul des ouvrages.

3.2 Naissance des Eurocodes

A la différence du BPEL, les Eurocodes laissent au choix des concepteurs des méthodes de

calcul ayant des performances très variées. Ils prévoient différents niveaux de complexité dans

l’analyse des sollicitations agissantes et des capacités résistantes d’une structure.

Ainsi, l’ingénieur chargé des études doit veiller, voire imposer ou faire imposer des méthodes de

calcul les plus adaptées en fonction :

• Des besoins, exigences, contraintes et performances définis dans la cadre de la mission et la

structure à bâtir.

• Des besoins technico-économiques de chaque étape.

• De la crédibilité des méthodes proposées par les Eurocodes.

• Du fait que les méthodes les plus complexes, les plus sophistiquées et les plus longues à faire

ne sont pas nécessairement les meilleures et les mieux adaptées.

A partir de 2007, les Eurocodes devaient remplacer tous les codes français, chose qui n’a pas été

encore faite. En conséquence, les experts dans le nouveau règlement ainsi que les logiciels de calcul

adaptés sont très peu nombreux.

3.3 Objectif du travail

Mon travail de PFE consiste, alors, à réaliser un guide de conception et de dimensionnement

pour les ponts dalles. Il sera propre à Ingerop et sera constitué de feuilles Excel accompagnées de

texte pour la justification des calculs.

Il sera prévu pour un procédé de précontrainte par post-tension et sera employé dans une phase de

pré dimensionnement. Il contiendra toutes les étapes nécessaires pour :

• calculer la précontrainte de mise en service

• avoir le tracé du câble moyen avec l’aide de la méthode du câble concordant,

• calculer les pertes différées et instantanées,

• la vérification des contraintes de Navier,

• le calcul du ferraillage passif en respectant la condition de la limite d’ouverture des fissures,

• la vérification vis-à-vis de l’ELU

• la vérification vis-à-vis de l’effort tranchant à savoir la vérification des bielles de compression

et le calcul des armatures des étriers et des cadres.

• calculer et vérifier les appareils d’appui.

Mémoire de PFE


Tous ces calculs seront basés uniquement sur les principes de l’Eurocode 2. Afin de rendre

le travail plus concret, un pont à 2 travées sera traité en utilisant les 2 règlements BPEL et

Eurocodes. Les caractéristiques géométriques et mécaniques de ce pont sont données

ultérieurement.

3.4 Besoin des projeteurs

Conformément au règlement BPEL, et au cours de ses recherches, le SETRA a déjà mis en

place plusieurs logiciels de calcul relatif à chaque procédé de précontrainte. Ces logiciels sont

destinés aux ingénieurs pour les diverses étapes de dimensionnement. Ainsi, pour chaque phase

(calcul de tablier, calcul et dimensionnement des appareils d’appui, fondation…) existe un

logiciel spécialisé. Tous ces derniers sont conçus de telle façon à respecter les recommandations du

BPEL.

Alors que les Eurocodes ne sont pas encore officiellement mis en place, les logiciels qui

s’appuient dessus sont jusqu’à maintenant très peu. La complexité des nouvelles normes et la

difficulté de leur mise en application ralentissent, en plus, la mise en service de tels programmes.

Ainsi, la nécessité d’établir un guide de conception et de dimensionnement qui repose sur les

nouvelles normes semble nécessaire.

4. Le béton précontraint

4.1 Origine du béton précontraint

L’idée du béton précontraint est presque aussi vieille que celle du béton armé. Son invention

proprement dite remonte à 1928. C’est en effet à cette date qu’un ingénieur français, Eugène

Freyssinet, dépose les brevets qui définissent à la fois le fonctionnement théorique du matériau

’’ béton précontraint’’ et surtout les dispositifs technologiques à mettre en œuvre. Depuis, le béton

précontraint a pris sa place dans la plupart des constructions de génie civil. Dans les ponts routiers

par exemple, si les petits ouvrages restent souvent l’apanage du béton armé, le béton précontraint

est utilisé dès que les longueurs des travées dépassent une quinzaine de mètres. Du côté des grandes

longueurs, grâce à des technologies et des structures mécaniques spécifiques telles que les ponts à

haubans, des ouvrages dont les parties ont plusieurs centaines de mètres sont réalisés.

Mémoire de PFE


Figure 4.1.1 Pont à hauban

Le béton précontraint se répand aussi dans le domaine du bâtiment (tours de grande hauteur, ou

encore poutrelles de plancher) et dans les grands ouvrages de génie civil tel que les plates-formes

offshore ou les centrales nucléaires.

4.2 Principe de la précontrainte

Fondamentalement, le béton précontraint peut être conçu comme une manière de pallier

aux faiblesses du béton lui-même. Les qualités du matériau béton ayant un faible coût, la possibilité

de le produire à peu près n’importe où, son aptitude à être coulé dans des coffrages de formes

diverses permettant une certaine expression architecturale, soin esthétique (à condition d’y mettre

le prix). Mécaniquement, c’est un matériau qui a une durée de vie d’une centaine d’années s’il est

bien protégé des phénomènes agressifs extérieurs. Il présente une bonne résistance à la

compression. Son défaut majeur est une faible résistance à la traction (de toute façon très aléatoire).

Dans le béton armé, l’effort de traction qui devait passer par la section fissurée est remplacé par un

effort repris en traction par des armatures métalliques ancrées par adhérence.

Dans le béton précontraint, le béton tendu est évité. L’idée fondamentale est d’introduire

artificiellement dans les structures un système de contraintes préalables qui, ajoutées aux effets des

charges extérieures, permettent au béton de rester dans le domaine des compressions. Le principe

initial de la précontrainte totale est aujourd’hui complété par celui de la précontrainte partielle en

autorisant certains efforts de traction. La précontrainte du béton permet de concevoir et dessiner

des structures beaucoup plus fines et légères qu’en béton armé. Il s’agit d’un avantage esthétique

mais aussi d’un coût direct sur la quantité de matière consommée et indirecte par exemple au niveau

des fondations.

Inversement, les études sont beaucoup plus complexes et la réalisation plus délicate :

Mémoire de PFE


Phase d’étude

• Toutes les vérifications sont menées sur les fibres extrêmes du béton : Intrados et Extrados.

• Un défaut de précontrainte est aussi préjudiciable qu’un excès.

• Le court terme et le long terme sont évoqués et interviennent principalement dans le calcul

du module d’Young et dans le coefficient d’équivalence.

• Les pertes de précontrainte représentent environ 25% de la force initiale ; une attention

particulière doit y être consacrée…

Phase de réalisation

• Peu de tolérances sur le tracé du câble.

• Appareils d’ancrage certifiés et soumis à des contrôles d’après des organismes spécialisés

(SETRA).

• Qualification plus élevée de l’entreprise de travaux…

4.3 Exemple traité

Afin de concrétiser le problème, l’exemple d’un pont à 2 travées a été traité avec les 2

règlements BPEL et Eurocode 2. Tous les calculs de vérification ainsi que les caractéristiques des

matériaux ont été basés sur les indications propres à chaque règlement.

Les calculs issus de la RDM classique ne figurent pas dans les règlements. Les différentes méthodes

sont laissées au choix des concepteurs, le but étant à la fin de respecter les recommandations du

code utilisé.

Caractéristiques mécaniques et géométriques du pont

Section longitudinale :

Mémoire de PFE


Section transversale :

Caractéristiques

Portée = 27,3m

I = 0,7508 m4

v (distance du centre de gravité vers la fibre supérieure) = 0,4712m.

v’ (distance du centre de gravité vers la fibre inférieure) = 0,5658m.

B = 8.6095m² (section transversale)

ρ = = 0,327

Psuperstructures = 70kN/ml

CP (charges permanentes) = 25kN/m3 * B + Psuperstructures = 285 kN/ml

Le but n’étant pas de donner tous les détails du calcul (figurant dans les annexes), le principe

des calculs sera juste présenté ainsi que les démarches suivies pour les différentes phases. La

comparaison entre les 2 règlements s’effectuera au fur et à mesure des différents points abordés.

Ainsi, seront traités les charges d’exploitation, le coefficient de Guyon-Massonet, l’enrobage, la

détermination de l’effort de précontrainte P ainsi que les dispositions constructives, le calcul des

pertes, la vérification des contraintes de Navier, le calcul du ferraillage passif, la vérification aux ELU

et la vérification de l’effort tranchnat.

5. Application des Eurocodes

5.1 Charges d’exploitation

Le cahier des charges définit la future destination du pont et du trafic qu’il va devoir

supporter. En se basant sur ces données, la chaussée est découpée et un modèle de charge est

défini. Ce modèle est quelque part fictif mais il est fait d’une manière à produire le même effet

défavorable qu’un trafic réel.

Le pont étudié desservira une route industrielle donc il sera amené à supporter tous les

genres du trafic. Le modèle le plus adapté semble le LM1 qui se décompose en un trafic léger

Mémoire de PFE


(voiture) noté UDL répartie d’une manière uniforme et d’un trafic noté TS et qui symbolise les

essieux (poids lourd) (Il n’y a pas besoin de multiplier par aucun coefficient dynamique parce que

c’est déjà inclus dans les valeurs des charges).

Pour tenir compte de la fréquence du trafic, toutes les charges trouvées sont à multiplier par

des coefficients d’ajustement qui prennent en compte l’agressivité des actions auxquelles va être

confronté le pont.

En matière de comparaison, l’Eurocode présente plus de facilités que l’ancien BPEL où il

fallait prendre chaque catégorie du trafic, et la multiplier par son coefficient dynamique.

La notion de groupe est aussi introduite. Elle permet de définir clairement les combinaisons

des différents modèles à prévoir en vue de leur application simultanée sur les structures. Le groupe

1a qui regroupe les TS (tandem), UDL (charge de trafic uniformément répartie) et charges de trottoir

(qfk) semble le mieux adapté. Les combinaisons à prendre en compte sont définies à l’aide des

différentes valeurs de ψi .

Elles se décomposent, d’ailleurs comme dans le BPEL, en :

• des combinaisons rares (caractéristiques ou non fréquentes) : Les ψi sont prises égales à 1.

Cette combinaison va donner le diagramme des moments fléchissants le plus défavorable

pour la structure.

• Des combinaisons fréquentes : Les coefficients de ψi prennent des valeurs propres à chaque

charge. Ces valeurs sont données dans l’EN1991-2. Selon du type du pont, des vérifications

différentes sont applicables à ce genre de combinaison.

• Des combinaisons quasi-permanentes : Pas de charges d’exploitation dessus le pont. Cette

combinaison doit vérifier, dans la plupart des cas, la non décompression (pas de traction)

dans béton.

combinaison Valeurs de charges

caractéristique G + P + 1,0*(UDL + TS + qfk)

fréquente G + P +(0,75*UDL + 0,40*TS + 0,40*qfk)

quasi-permanente G + P

Tableau 5.1.1 Différentes combinaisons à prendre en compte dans les calculs

Après avoir effectué les calculs nécessaires des charges et des combinaisons d’actions, le

diagramme du moment fléchissant est calculé (pour les valeurs, voir annexe 3). Il se présente comme

une courbe enveloppe présentant les valeurs maxi et mini susceptibles d’avoir lieu. Cet intervalle

[mini-maxi] est indispensable au calcul de la précontrainte parce qu’un défaut de précontrainte est

aussi préjudiciable qu’un excès. Par contre, en béton armé, un excès d’armatures n’est pas

préjudiciable. Il est sécuritaire. Néanmoins, il n’est pas économique.

Mémoire de PFE


5.2 Coefficient de Guyon-Massonet

Les efforts dans les ponts dalles de biais et de courbure modérée peuvent être calculés par la

méthode de Guyon-Massonet-Barès (G-M-B). Plus précisément :

• Dans le sens longitudinal, les efforts sont ceux obtenus par la théorie des poutres et corrigés,

pour effet de dalle, par le coefficient K de répartition transversale de la méthode G-M-B.

Le moment fléchissant sous un cas de charge déterminé, est calculé pour la largeur totale de la dalle.

En effet, compte tenu de la répartition transversale de la charge, toutes les fibres de la section ne

sont pas également sollicitées. On calcule donc un coefficient correctif de la forme 1+ε par lequel il

faut multiplier l’effort longitudinal que l’on obtiendrait en supposant la charge uniformément

répartie sur toute la largeur de la dalle, pour tenir compte de la répartition transversale de la charge.

Le SETRA, dans son guide méthodologique, traite de ce problème et donne la démarche à suivre pour

le calcul de ce coefficient qui dépend de différents paramètres à savoir : la largeur de la dalle, sa

portée, la nature de la travée (droite ou biaise), les charges et leur emplacement…

Les règlements étudiés ne traitent pas ce problème parce que ça relève de la résistance des

Matériaux classique.

Avant le calcul de l’effort de précontrainte, il faut bien traiter en avant l’enrobage qui va

nous permettre de déduire l’excentricité maximale que peut avoir le câble.

5.3 Enrobage

Pour assurer une bonne protection des gaines et des câbles contre la corrosion, il est

nécessaire qu’ils soient isolés de l’atmosphère par une épaisseur suffisante de béton. Afin de réaliser

un ouvrage sain, il est nécessaire qu’il ne présente ni trou, ni défaut de bétonnage tels que

ségrégation, nids de caillou…Pour cela, il faut que le béton et les vibreurs puissent passer dans les

coffrages, les gaines et le ferraillage passif.

L’Eurocode consacre une grande partie à ce sujet. Il introduit des classes d’environnement qui sont

basés sur l’agressivité du climat dans lequel se trouve le pont. 6 familles sont introduites, 3

concernent d’une façon directe les ponts où le béton est directement soumis aux agents agressifs

extérieurs tels que déverglacage, gaz d’échappement, gel – dégel… L’Eurocode donne des valeurs

strictes qui passent par déterminer les classes d’exposition et la classe structurale. Ce dernier terme

s’appuie sur la durée d’utilisation du projet caractérisée par une catégorie définie en fonction des

divers types de construction.

L’enrobage est calculé comme étant la valeur max entre cmin,b , cmin,dur , et 10mm.

Le premier terme dépend du type du ferraillage conçu, c à d acier de précontrainte ou bien acier

passif. Les tableaux suivants résument les recommandations :

Mémoire de PFE


cmin,b pour les acier passifs

Plus gros granulat <32mm

Plus gros granulat >32mm

Armatures individuelles

Φ Φ + 5mm

Paquets Φéquivalent Φéquivalent + 5mm

Tableau 5.3.1 valeurs de cmin, b pour les aciers passifs

cmin,b pour les armatures de précontrainte

câbles dans gaine circulaire min{Φ;8cm}, Φ diamètre

de la gaine

câbles dans gaine plate max{a;b/2}, (a,b)

dimensions de la gaine et b>a

Armatures pré-tendues max{2Φ;diamètre du plus gros granulat}, Φ diamètre

du toron, du fil lisse

Tableau 5.3.2 valeurs de cmin, b pour les aciers de précontrainte

Quant au deuxième terme cmin, dur, il dépend de la classe d’environnement et de la classe structurale.

Ayant calculé les valeurs des moments fléchissants, le coefficient de correction transversale K

et l’enrobage, toutes les données sont valables pour calculer l’effort de précontrainte noté P qu’il

faut mettre en œuvre pour stabiliser l’ouvrage. L’expression de cet effort de précontrainte est établie

suivant les règles de la résistance des Matériaux classique.

Quant au tracé du câble, la méthode des câbles concordants est détaillée. Elle permet,

généralement de déterminer le tracé dès la première itération.

5.4 Détermination de P

3 conditions sont à satisfaire ce qui se traduit par 3 expressions de P.

• Ouverture du fuseau de passage

• Existence d’une ligne de précontrainte

• Inscription du câble

� Ouverture du fuseau de passage

On calcule pour chaque section 2 valeurs de P notées PImin et PImax.

Mémoire de PFE


PImin = ΔM = Mmax – Mmin (valeurs données par la courbe enveloppe)

PImax = σ1 = limite du béton en traction = fctm

σ’2 = limite du béton en compression = fck

I = Inertie de la section transversale (m4)

� Existence d’une ligne de précontrainte

Convenance des contraintes de traction

PIImini1 =

PIImini2 =

Convenance des contraintes de compression

PIImaxi1 =

PIImaxi2 =

On vérifie alors P < Min {PIImaxi1 ; PIImaxi2}.

� Inscription du câble

La troisième condition, généralement la plus dimensionnante, permet de trouver la valeur minimale

PIII de l’effort de précontrainte permettant d’inscrire un câble :

Mémoire de PFE


PIII>

Tous les calculs effectués, un effort de précontrainte 40.8 MN est déduit en utilisant les

recommandations des Eurocodes. En BPEL et en effectuant les mêmes calculs, P = 46.11 MN. Cette

différence provient, bien entendu, de la différence d’évaluation de la limite de traction du béton

entre les 2règlements. Pour un béton B35, la limite de traction du béton d’après le BPEL est évaluée

à 2.7 Mpa alors que l’Eurocode prévoit 3.2 Mpa d’où la différence des quelques MN trouvées.

5.5 Dispositions constructives

L’effort P trouvé est la force de précontrainte, les pertes déduites. Pour tenir compte de ce

dernier paramètre, on divise par 0.675, un facteur qui permet de prendre en compte les pertes qui

vont se produire ainsi que la fourchette sur la précontrainte.

Po = P/0.675 = 40.11/0.675 = 59.42 MN. En se basant sur cet effort, on calcule le nombre de gaines et

d’ancrages nécessaires pour assurer cette force.

L’Eurocode prévoit un agrément technique européen (A.T.E) qui contient dedans toutes les

informations nécessaires aux concepteurs quant à la mise en tension des câbles, leur force de

tension initiale, les entraxes entre les gaines d’ancrage, les coefficients relatifs aux pertes par

frottement et aux reculs d’ancrage…

Figure 5.5.1 Force de mise en tension des câbles

Mémoire de PFE


La force maximale à la mise en tension respecte bien les recommandations de l’Eurocode 2 en se

limitant au min {0.8fpk ; 0.9 fp0.1k}. Des gaines de 12T15S avec une classe de résistance 1770 Mpa sont

choisis. Leur force initiale est de 2527 kN ou bien 2.527 MN.

n = 59.42/2.527 = 23.51 → n = 24 gaines de 12T15S. Quant à leur emplacement, puisqu’il s’agit d’un

pont dalle, il y a suffisamment de la place pour loger toutes les pièces d’ancrages.

Finalement, un effort de précontrainte de 24* min{0.8Fpk ; 0.9Fp0.1%} = 24*2.527 = 60.65 MN sera

injecté à la structure.

La longueur du pont dépassant les 50m, on aura besoin alors de 2 ancrages actifs. Sinon, les pertes

deviennent trop importantes.

5.6 Méthode des câbles concordants

Un câble est concordant s’il ne provoque pas de moments parasites.

Dans ce cas, les moments globaux sont égaux aux moments primaires et les excentricités fictives

correspondent aux excentricités réelles du câble résultant.

Pour la recherche du tracé du câble adéquat, il faut tout d’abord savoir que le dimensionnement de

la précontrainte d’un élément hyperstatique se fait par tâtonnement : on se donne un tracé de câble

initial et on vérifie si l’excentricité fictive correspondante se situe à l’intérieur du fuseau limite du

câble résultant. Dans la négative, il faut corriger le tracé initial de façon à ce que la nouvelle

excentricité fictive rentre dans le fuseau (qui est resté inchangé si l’effort de précontrainte est resté

inchangé).

Figure 5.6.1 principe du tracé du câble

La procédure suivie a été de calculer, tout d’abord, le fuseau enveloppe donné par l’expression

suivante (issue de la Résistance Des Matériaux) :

Mémoire de PFE


-ρ*v’*(1-σ1* ) - < ep < ρ*v*(1-σ’2* )-

ρ*v*(1-σ’1* ) - < ep < -ρ*v’*(1-σ2 * )-

Après avoir déterminé le fuseau enveloppe, le fuseau tronqué est obtenu en plaçant les points qui

vont le constituer dans la zone permise soit sur la figure 5.6.2 dans la zone pointillée.

La zone pointillée sur la figure 5.6.2 est obtenue en réduisant la courbe enveloppe. En d’autres

termes, on se limite dans la travée au min (e2) (position du moment maximal positif en travée) et en

appui au max (e1) (position du moment négatif maximal en appui). Ainsi, la zone hachurée

correspond à la zone où le fuseau tronqué ne doit pas y être et la zone pointillée à la zone permise.

Cette notion de fuseau tronqué est utilisée afin qu’on aille le tracé du câble final et le respect des

contraintes limites dès la première itération.

Figure 5.6.2 Zones du fuseau tronqué

Afin de rendre cette notion plus claire, le calcul de quelques points du fuseau tronqué sera explicité :

Pour l’exemple traité, la courbe enveloppe se présente de la forme suivante :

e1(m) -0,311 -0,482 -0,598 -0,655 -0,658 -0,601 -0,486 -0,315 -0,089 0,209 0,606

e2(m) 0,259 -0,027 -0,231 -0,350 -0,386 -0,339 -0,212 -0,007 0,273 0,615 0,972

Fuseau enveloppe

Figure 5.6.3 Fuseau enveloppe

En reportant ces points sur un dessin, le tracé se présente comme suivant :

Figure 5.6.4 Tracé du fuseau enveloppe

D’après le fuseau enveloppe, le min (e2) en travée se situe à -0.386m et le max (e1) est à 0.606m en

appui. Le fuseau enveloppe est tronqué à ces 2 valeurs suivant la figure 5.6.2.

Mémoire de PFE


Figure 5.6.5 Zone tronquée pour le pont

En faisant un zoom sur une des travées :

Figure 5.6.6 Zone tronquée pour une travée

Comme déjà dit, le fuseau tronqué sera constitué de points (notés et1 et et2) qui appartiendront à la

zone pointillée qui caractérise la zone permise. Ainsi, des droites sont menées à l’intérieur de ces

zones et des points sont choisis tel qu’ils appartiennent à ces dernières.

On note bien que les points trouvés ne sont pas la seule solution possible. Plusieurs points sont

possibles à condition qu’on respecte les zones permises et interdites.

Le fuseau tronqué étant déduit, les points le constituant et1 et et2 seront utilisés pour calculer la ligne

de précontrainte fictive qui ne provoquera pas de moment parasite.

Elle est obtenue en utilisant l’expression suivante :

ep(x) = et1(x) + λ*(et2(x)-et1(x)) avec

λ = ;

J(ei) = +

Les différentes intégrales sont calculées en utilisant la formule de Simpson et en prenant un pas de

0.2 étant donné qu’on a découpé la travée en 10 parties de 0.1*L.

Ayant la ligne de précontrainte, et à l’aide d’une interpolation linéaire, la ligne de câblage est

déduite, en d’autre terme le tracé final du câble noté e0(x).

ep(x) = eo(x) + δ*x/L, δ étant la distance entre la ligne de précontrainte et l’excentricité maximale de

la ligne du câble moyen sur appui. Le schéma suivant illustre bien cela :

Mémoire de PFE


Figure 5.6.7 définition de δ

Finalement, un tableau Excel se présentant de la forme suivante est retrouvé:

x/L 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0

Mmax(MN.m) 0,00 11,62 19,92 24,82 26,21 24,33 19,21 10,84 -0,63 -14,52 -29,07

Mmin(MN.m) 0,00 6,96 11,67 14,06 14,11 11,82 7,19 0,22 -9,08 -21,20 -37,34

σ1(Mpa) -3,21 -3,21 -3,21 -3,21 -3,21 -3,21 -3,21 -3,21 -3,21 -3,21 -3,21

σ'2(Mpa) -3,21 -3,21 -3,21 -3,21 -3,21 -3,21 -3,21 -3,21 -3,21 -3,21 -3,21

σ'1(Mpa) 21 21 21 21 21 21 21 21 21 21 21

σ2(Mpa) 21 21 21 21 21 21 21 21 21 21 21

B(m2) 8,6095 8,6095 8,6095 8,6095 8,6095 8,6095 8,6095 8,6095 8,6095 8,6095 8,6095

ρ 0,327 0,327 0,327 0,327 0,327 0,327 0,327 0,327 0,327 0,327 0,327

v(m) 0,4712 0,4712 0,4712 0,4712 0,4712 0,4712 0,4712 0,4712 0,4712 0,4712 0,4712

v'(m) 0,5658 0,5658 0,5658 0,5658 0,5658 0,5658 0,5658 0,5658 0,5658 0,5658 0,5658

ep1(m) -0,311 -0,482 -0,598 -0,656 -0,658 -0,601 -0,487 -0,316 -0,088 0,210 0,607

ep'2(m) 0,259 -0,027 -0,231 -0,351 -0,386 -0,339 -0,213 -0,008 0,274 0,616 0,973

ep'1(m) -0,531 -0,702 -0,818 -0,876 -0,878 -0,821 -0,707 -0,536 -0,308 -0,010 0,387

ep2(m) 0,637 0,352 0,148 0,027 -0,007 0,039 0,165 0,371 0,653 0,994 1,352

e1(m) -0,311 -0,482 -0,598 -0,656 -0,658 -0,601 -0,487 -0,316 -0,088 0,210 0,607

e2(m) 0,259 -0,027 -0,231 -0,351 -0,386 -0,339 -0,213 -0,008 0,274 0,616 0,973

et1(m) 0 -0,169 -0,289 -0,361 -0,386 -0,386 -0,386 -0,316 -0,088 0,210 0,607

et2(m) 0 -0,096 -0,193 -0,351 -0,386 -0,339 -0,213 -0,008 0,274 0,524 0,607

ep(m) 0,000 -0,124 -0,230 -0,355 -0,386 -0,357 -0,279 -0,126 0,136 0,404 0,607

eo(m) 0,000 -0,147 -0,275 -0,423 -0,476 -0,470 -0,415 -0,284 -0,045 0,200 0,381

P*et1*x/L/I 0,000 -0,914 -3,133 -5,875 -8,355 -10,444 -12,533 -11,987 -3,795 10,259 32,900

P*et2*x/L/I 0,000 -0,522 -2,089 -5,711 -8,355 -9,189 -6,938 -0,290 11,885 25,550 32,900

Intégrale et1 -89,70160901 λ 0,617

intégrale et2 55,7475314

Fuseau enveloppe

Fuseau tronqué

Ligne de précontrainte

Ligne de cablage

Figure 5.6.8 Tableau donnant le tracé du câble et tous les calculs intermédiaires

Ayant le tracé du câble à priori final, le calcul exact des pertes instantanées et différées peut être

abordé pour évaluer le plus précisément possible Pm.

5.7 Sections résistantes

5.7.1 Section brute

La section brute est la section de béton qui ne tient compte ni des trous des gaines ni des aciers la

traversant (qu’il s’agisse des aciers de précontrainte ou des aciers passifs).

Les sections brutes servent à déterminer les sollicitations dues au poids propre, les inconnues

hyperstatiques des poutres continues et à calculer les flèches des ouvrages. Ce sont aussi les sections

utilisées pendant les phases de prédimensionnement ; en effet, la précontrainte n’est, à ce stade, pas

connue. Le calcul de l’inertie brute fait notamment largement au théorème de Huygens.

Mémoire de PFE


La section brute est notamment caractérisée par :

• Une surface Acb ;

• Une position du centre de gravité Yb par rapport à la fibre inférieure de la section ;

• Une inertie Ib par rapport à ce centre de gravité.

5.7.2 Section nette

La section nette est la section brute du béton de laquelle les trous des gaines ont été enlevés. En

pratique, les caractéristiques suivantes sont calculées :

• La section et la position du nouveau centre de gravité en enlevant la section des gaines ;

• L’inertie par rapport à ce nouveau centre de gravité.

Les valeurs Acn, Yn et In se calculent simplement à partir des valeurs brutes et, pour chaque gaine, de

son diamètre Φi et de sa position di par rapport à la fibre inférieure :

Acn = Acb –

Yn x Acn = Yb x Acb -

In = Ib + Acb x (Yn – Yb) ² - )

Le terme en Φi4 représente l’inertie propre des gaines. Il est généralement négligeable.

La section nette est utilisée pour calculer les contraintes dues aux charges de poids propre. Les

raisons sont expliquées dans le paragraphe suivant.

5.7.3 Section homogène

La section homogénéisée est la section nette augmentée de la surface des câbles de précontrainte

multipliée par un coefficient d’équivalence n. Il n’est plus égal à 15 comme dans l’ancien règlement

BPEL.

Pour évaluer ce coefficient d’équivalence, il faut bien se représenter la phase construction :

Ayant mis en place le coffrage et les armatures de précontraintes, le béton est coulé. Les câbles de

précontrainte ne sont pas encore tout à fait solidaires du béton donc il n’y a aucune adhérence entre

le béton mou et les armatures de précontrainte. C’est pour cette raison que le calcul du poids propre

est fait en section nette qui est indépendant du module d’équivalence.

Le béton ayant durci pour qu’il puisse supporter l’effort de compression, les câbles sont tendus. La

phase suivante est la mise en place des superstructures. Contrairement au poids propre, les câbles

sont maintenant tout à fait solidaires du béton donc le calcul doit être fait en section homogène avec

la prise en compte des pertes différées dans le temps susceptibles d’avoir lieu. Par conséquence, le

module d’Young va évoluer dans le temps d’une manière décroissante (du au fluage).

Mémoire de PFE


A la mise en service du pont, le tablier va être confronté aux charges variables de trafic. Les

contraintes engendrées par ces dernières doivent être calculées en section homogène due à

l’adhérence complète entre les câbles de précontrainte et la section de béton durcie. Comme ce sont

des charges de courte durée, c’est un module d’équivalence instantanée qu’il faut prendre en

compte.

Pour résumer, 2 valeurs de modules d’équivalence n différé et ninstantané sont à entrer.

Avec le ndifféré, une section homogène, qui servira à trouver les contraintes dues aux charges

permanentes (uniquement superstructures), sera calculée.

Avec le ninstantané, une autre section homogène, qui servira à calculer les contraintes dues aux charges

d’exploitation, sera calculée.

Si Api, Ipi et di caractérisent respectivement la section transversale, l’inertie propre et la distance par

rapport à la fibre inférieure du câble i, on calcule :

Ach = Acn + n x

Ach x Yh = Acn x Yn + n x

Ih = In + Ach x (Yh – Yn) ² + n x

Le programme utilise les données entrées précédemment pour calculer les 3 types de section.

Acb(m²) 8,6095 8,6095 8,6095 8,6095 8,6095 8,6095 8,6095 8,6095 8,6095 8,6095 8,6095

Icb(m4) 0,7508 0,7508 0,7508 0,7508 0,7508 0,7508 0,7508 0,7508 0,7508 0,7508 0,7508

v(m) 0,4712 0,4712 0,4712 0,4712 0,4712 0,4712 0,4712 0,4712 0,4712 0,4712 0,4712

v'(m) 0,5658 0,5658 0,5658 0,5658 0,5658 0,5658 0,5658 0,5658 0,5658 0,5658 0,5658

di(m) 0,566 0,441 0,321 0,156 0,090 0,115 0,228 0,426 0,703 0,876 0,947

Acn(m²) 8,450 8,450 8,450 8,450 8,450 8,450 8,450 8,450 8,450 8,450 8,450

Icn(m4) 0,7508 0,7483 0,7410 0,7235 0,7140 0,7178 0,7322 0,7476 0,7477 0,7351 0,7272

v(m) 0,4712 0,4689 0,4666 0,4635 0,4622 0,4627 0,4648 0,4686 0,4738 0,4771 0,4784

v'(m) 0,5658 0,5681 0,5704 0,5735 0,5748 0,5743 0,5722 0,5684 0,5632 0,5599 0,5586

Ach 9,0980 9,0980 9,0980 9,0980 9,0980 9,0980 9,0980 9,0980 9,0980 9,0980 9,0980

Ich 0,7508 0,7580 0,7786 0,8285 0,8555 0,8447 0,8037 0,7599 0,7595 0,7953 0,8180

v 0,4712 0,4779 0,4844 0,4932 0,4968 0,4954 0,4894 0,4787 0,4638 0,4545 0,4507

v' 0,5658 0,5591 0,5526 0,5438 0,5402 0,5416 0,5476 0,5583 0,5732 0,5825 0,5863

Ach 8,6660 8,6660 8,6660 8,6660 8,6660 8,6660 8,6660 8,6660 8,6660 8,6660 8,6660

Ich 0,7508 0,7519 0,7550 0,7625 0,7665 0,7649 0,7587 0,7522 0,7521 0,7575 0,7609

v 0,4712 0,4720 0,4728 0,4739 0,4743 0,4741 0,4734 0,4721 0,4703 0,4692 0,4687

v' 0,5658 0,5650 0,5642 0,5631 0,5627 0,5629 0,5636 0,5649 0,5667 0,5678 0,5683

section homogène instantanée

section homogène différé

section nette

section brute

Figure 5.7.3.1 Calcul des sections brutes, nettes et homogènes

5.8 Calcul de pertes de précontrainte

Ce calcul ne sera pas entièrement développé parce qu’il figure dans l’annexe. Le nouveau et

l’ancien règlement sont tout à fait d’accord quant aux calculs. Le seul changement est dans le calcul

des pertes différées, l’Eurocode donne une formule assez complexe mais qui prend en compte à la

fois la relaxation de l’acier, le retrait et le fluage du béton.

Quant aux résultats, les pertes instantanées représentent environ toujours 15% et les pertes

différées 10% des pertes totales (d’ailleurs comme dans le BPEL).

Après avoir sommé toutes les pertes différées et instantanées et ayant l’effort de précontrainte

initial, l’effort de précontrainte moyen est facilement déduit : Pm = Po – ΔP.

Mémoire de PFE


Afin de prendre en compte les variations de précontrainte autour de cette valeur, l’Eurocode

préconise une fourchette représentée par Pk,inf et Pk,sup.

Pk,inf = rinf x Pm = 0.9 x Pm

Pk,sup = rsup x Pm = 1.1 x Pm

Les justifications sont menées à l’ELS avec la plus défavorable de ces 2 valeurs.

5.9 Vérifications aux ELS

Pour assurer la stabilité de la structure, il faut bien vérifier que les contraintes sur les fibres

les plus sollicitées ne soient jamais dépassées. Le respect des contraintes limites évitera la formation

de désordres qui pourraient contribuer au mal fonctionnement de l’élément.

La somme des contraintes totales doit respecter le schéma suivant :

ha

ute

ur

de

la s

ect

ion

-fctm

-fctm fck

fck

Figure 5.9.1 Contraintes limites

Pour un B35, nous rappelons que fctm = 3.2Mpa et fck = 21Mpa.

Les contraintes se décomposent comme suit :

+

-

-

+

++ +

M * v / I

M * v ' / I

( P * e p ) * v / I

( P * e p ) * v ' / I

P / B

P / B

Figure 5.9.2 Composition des contraintes de Navier

Ce calcul de contraintes doit être vérifié sous les différentes combinaisons de charges (introduites

auparavant) et aux états limites de service ELS.

Mémoire de PFE


5.9.1 Hypothèses de calcul

Les hypothèses suivantes sont adaptées:

• Les sections droites restent planes. Les schémas de déformations des sections sont donc des

fonctions linéaires de l’ordonnée y ;

• Les contraintes sont proportionnelles aux déformations. Compte tenu de l’hypothèse

précédente, cela signifie une variation des contraintes qui est représentée par une fonction

linéaire de l’ordonnée y ;

• Le béton est supposé résister à la traction jusqu’à la valeur –fctm. Au-delà de cette valeur,

l’ensemble du béton tendu est négligé dans les calculs qui doivent être menés en section

fissurée ;

• Il n’y a aucun glissement relatif entre le béton et les armatures.

5.9.2 Catégories de vérification

Les conditions de l’environnement interviennent aussi pour définir une ouverture maximale des

fissures. Les ponts sont classés en 3 catégories : A, B et C ; A étant la catégorie la plus exigeante.

Les catégories concernent les ponts suivants :

• La catégorie A s’applique aux tabliers constitués de voussoirs préfabriqués et pour certains

ponts ferroviaires ;

• La catégorie B s’applique aux tabliers poussés et aux tabliers en caisson construits par

encorbellements successifs ;

• Les ponts à poutre, les ponts dalles relèvent de la catégorie C.

En fonction de cette catégorie, sont conduites les vérifications relatives à l’absence de traction du

béton et de l’ouverture des fissures selon certaines combinaisons de charges.

Le tableau suivant résume les différentes catégories de vérification à l’ELS :

A

B

C quasi permanentes fréquentes

non fréquentes -

fréquentes non fréquentes

combinaisons d'actions pour les justificationsCatégorie

de l'ouverture des fissuresde non traction du béton

Figure 5.9.2.1 Justification avec les différentes combinaisons

Puisque le présent rapport ne s’intéresse qu’aux ponts dalles, alors la catégorie C sera toujours en

vigueur.

Mémoire de PFE


5.9.3 Limitation des contraintes

Les limitations des contraintes fixées par la deuxième partie de l’Eurocode 2 consacrée aux ponts en

béton sont les suivantes :

• La contrainte de traction dans les armatures passives doit, sous combinaisons non

fréquentes d’actions, rester inférieure à 80% de la limite élastique fyk de l’acier.

• Le béton doit rester partout comprimé (non traction du béton) sous le cas de charge indiqué

dans le tableau 5.9.2.1

• La contrainte maximale de compression sur le béton ne doit pas dépasser 0.6xfck sous

combinaisons d’action non fréquente et en construction. Par ailleurs, si la contrainte de

béton dépasse les 0.45 x fck, les pertes par fluage doivent être calculées en utilisant un

modèle non linéaire (l’effet du fluage augmente dans ce cas de façon exponentielle).

• Sous combinaisons non fréquentes, la contrainte, toutes pertes déduites, dans les armatures

de précontrainte, ne doit pas excéder 0.80 x fpk.

Toutes ces vérifications doivent être faites avec la plus défavorable des valeurs caractéristiques de la

précontrainte.

5.9.4 Application

Dans le cadre de l’exemple traité, le tableau suivant donne le calcul des contraintes de Navier en

phase d’exploitation sur les 2 fibres extrêmes en fonction des différentes combinaisons de charge:

Mémoire de PFE


x/L 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1

Pm(MN) 51,71 51,58 51,23 50,71 50,50 50,78 51,40 51,98 52,03 53,43 52,10

Pinf(MN) 46,53 46,43 46,11 45,64 45,45 45,70 46,26 46,78 46,82 48,08 46,89

Psup(MN) 56,88 56,74 56,35 55,78 55,55 55,85 56,54 57,18 57,23 58,77 57,31

Mp(MN.m) 0,00 -5,31 -10,39 -17,34 -19,81 -18,31 -12,87 -3,27 10,19 19,26 22,57

σpr(Mpa)(v) 0,00 -3,33 -6,54 -11,11 -12,83 -11,80 -8,17 -2,05 6,46 12,50 14,85

σpr(Mpa)(v') 0,00 4,03 8,00 13,75 15,95 14,65 10,06 2,49 -7,68 -14,67 -17,34

M(MN,m) poids propre 0,00 5,21 8,81 10,82 11,22 10,01 7,21 2,80 -3,20 -10,82 -20,03

M(MN,m) infrastructures 0,00 1,70 2,90 3,50 3,70 3,30 2,30 0,90 -1,00 -3,50 -6,50

Mmax(MN.m)UDL+TS 0,00 4,72 8,24 10,48 11,34 11,05 9,65 7,12 3,62 -0,18 -2,52

Mmin(MN.m)UDL+TS 0,00 0,06 -0,01 -0,28 -0,76 -1,46 -2,37 -3,50 -4,83 -6,86 -10,79


M(MN,m) infrastructures 0,00 1,70 2,90 3,50 3,70 3,30 2,30 0,90 -1,00 -3,50 -6,50Mmax(MN.m)UDL+TS 0,00 3,31 5,78 7,34 7,91 7,67 6,65 4,82 2,32 -0,48 -2,54

Mmin(MN.m)UDL+TS 0,00 0,26 0,40 0,32 0,04 -0,46 -1,17 -2,09 -3,22 -4,82 -7,49


M(MN,m) infrastructures 0,00 1,70 2,90 3,50 3,70 3,30 2,30 0,90 -1,00 -3,50 -6,50

cara,

σsr(Mpa)max(v) 0,00 7,30 12,51 15,53 16,43 15,24 12,00 6,79 -0,37 -9,13 -18,31

σsr(Mpa)min(v) 0,00 4,37 7,34 8,84 8,94 7,48 4,50 0,13 -5,66 -13,27 -23,41

σsr(Mpa)max(v') 0,00 -8,76 -15,00 -18,61 -19,69 -18,26 -14,37 -8,14 0,44 10,94 21,93

σsr(Mpa)min(v') 0,00 -5,25 -8,83 -10,67 -10,81 -9,05 -5,44 -0,16 6,80 15,95 28,10

fréq,

σsr(Mpa)max(v) 0,00 6,41 10,97 13,58 14,31 13,14 10,13 5,35 -1,19 -9,32 -18,33

σsr(Mpa)min(v) 0,00 4,50 7,60 9,22 9,44 8,10 5,25 1,01 -4,65 -12,00 -21,37

σsr(Mpa)max(v') 0,00 -7,69 -13,16 -16,30 -17,18 -15,77 -12,14 -6,41 1,42 11,17 21,94

σsr(Mpa)min(v') 0,00 -5,40 -9,14 -11,11 -11,40 -9,79 -6,33 -1,22 5,59 14,41 25,64

quasi-p,

σsr(Mpa)(v) 0,00 4,34 7,35 9,01 9,41 8,39 5,98 2,32 -2,64 -9,02 -16,76

σsr(Mpa)(v') 0,00 -5,21 -8,84 -10,87 -11,37 -10,13 -7,20 -2,79 3,16 10,80 20,05

σcomp,(Mpa) 5,51 5,49 5,46 5,40 5,38 5,41 5,47 5,54 5,54 5,69 5,55

x/L 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1

Navier en v (Mmax) 5,51 9,46 11,43 9,82 8,98 8,84 9,30 10,28 11,62 9,05 2,09

Navier en v (Mmin) 5,51 6,54 6,26 3,13 1,49 1,09 1,81 3,61 6,34 4,92 -3,01

Navier en v'(Mmax) 5,51 0,77 -1,55 0,53 1,64 1,80 1,16 -0,12 -1,70 1,96 10,14

Navier en v'(Mmin) 5,51 4,27 4,62 8,48 10,52 11,01 10,09 7,86 4,67 6,97 16,32

x/L 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1

Navier en v (Mmax) 5,507 8,577 9,890 7,871 6,861 6,746 7,433 8,834 10,808 8,866 2,072

Navier en v (Mmin) 5,507 6,662 6,517 3,509 1,988 1,708 2,555 4,497 7,345 6,184 -0,976

Navier en v'(Mmax) 5,507 1,835 0,290 2,850 4,151 4,291 3,389 1,612 -0,715 2,189 10,156

Navier en v'(Mmin) 5,507 4,126 4,315 8,033 9,932 10,272 9,195 6,802 3,459 5,436 13,852

x/L 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1

Navier en v 5,507 6,501 6,268 3,307 1,964 1,992 3,284 5,809 9,361 9,166 3,638

Navier en v' 5,507 4,319 4,612 8,273 9,961 9,935 8,328 5,232 1,030 1,826 8,257

combinaison quasi permanente

combinaison caractéristique

combinaison fréquente

combinaison quasi-permanente(précontrainte + poids propre)

Combinaison caractéristique (précontrainte + poids propre + 1,0*(UDL + TS + qfk))

Combinaison fréquente(précontrainte + poids propre + 0,75UDL + 0,40 TS + 0,40qfk)

Figure 5.9.4.1 Contraintes de Navier sous les différentes combinaisons de charges

Comme indiqué dans le paragraphe 5.7.3 (section homogène), il y a lieu de séparer le calcul

des contraintes (sollicitantes) de Navier en :

• Contraintes dues au poids propre calculé avec la section nette.

• Contraintes dues à la superstructure calculée avec la section homogène différée.

Mémoire de PFE


• Contraintes dues aux charges de trafic calculé avec la section homogène instantanée.

Quant aux contraintes dues à la mise en place de la précontrainte P/Ac et M x v / I (où M = P x ep),

c’est la section nette qui est utilisée.

Les contraintes de Navier étant calculées, les différentes justifications énumérées dans le paragraphe

5.9.3 (Limitation des contraintes) peuvent être entamées :

Contraintes dans les aciers de précontrainte :

Dans le tableau 5.8.5.2, la précontrainte moyenne Pm, toutes pertes déduites, est divisée par la

section totale des câbles ∑Ap. Les contraintes de traction dans les aciers de précontrainte sont ainsi

calculées et comparées à 0.80 x fpk.

σs(Mpa) 1196,880 1194,082 1185,907 1173,759 1169,042 1175,399 1189,826 1203,211 1204,284 1236,733 1206,034

Vérifications vérifié vérifié vérifié vérifié vérifié vérifié vérifié vérifié vérifié vérifié vérifié

Contraintes dans les aciers de précontrainte

Figure 5.9.4.2 Vérification des contraintes de traction dans les armatures

Contraintes de compression :

Le tableau suivant cherche les valeurs maximums des contraintes positives (généralement donnée

par la combinaison caractéristique). Elles sont ensuite comparées à 0.6 x fck.

Quant aux contraintes sous la combinaison quasi-permanente, elles sont comparées à 0.45 x fck. Le

fluage est linéaire dès qu’il est inférieur à 0.45 x fck.

fck(de calcul) 5,477 9,154 11,317 10,814 10,818 10,367 10,234 10,041 9,330 8,249 13,697

0,6 x fck 21,000 21,000 21,000 21,000 21,000 21,000 21,000 21,000 21,000 21,000 21,000

vérification vérifié vérifié vérifié vérifié vérifié vérifié vérifié vérifié vérifié vérifié vérifié

fcp 5,477 6,192 6,162 6,377 6,927 7,380 8,484 7,431 7,057 8,249 5,639

0,45 x fck 15,750 15,750 15,750 15,750 15,750 15,750 15,750 15,750 15,750 15,750 15,750

fluage linéaire linéaire linéaire linéaire linéaire linéaire linéaire linéaire linéaire linéaire linéaire

Figure 5.9.4.3 Vérification des contraintes de compression

Phase construction :

Un excès de précontrainte est aussi préjudiciable qu’un défaut. C’est pour cette raison que la

vérification des contraintes, lors de la construction du pont, est indispensable. Il faut bien s’assurer

que l’effort de précontrainte injecté ne va pas flamber le tablier soumis juste aux charges qu’apporte

son poids propre.

Quant à l’effort de précontrainte, la force moyenne devient Pm = Po - ΔPi, où ΔPi sont seulement les

pertes instantanées.

Les contraintes de Navier trouvées sont comparées ensuite à la limite de résistance du béton (en

compression et en traction) au jour j, date de mise en tension des câbles.

Mémoire de PFE


x/L 0,000 0,100 0,200 0,300 0,400 0,500 0,600 0,700 0,800 0,900 1,000

Pm(MN) 55,838 55,854 55,821 55,751 55,749 55,850 56,025 56,191 56,245 58,256 57,831

Pinf(MN) 50,254 50,268 50,239 50,176 50,174 50,265 50,423 50,572 50,621 52,431 52,048

Psup(MN) 61,422 61,439 61,403 61,326 61,324 61,435 61,628 61,811 61,870 64,082 63,614

Mp(MN.m) 0,00 -5,75 -11,32 -19,07 -21,87 -20,14 -14,02 -3,53 11,02 21,00 25,05

σpr(Mpa)(v) 0,000 -3,605 -7,125 -12,213 -14,160 -12,983 -8,903 -2,215 6,982 13,627 16,481

σpr(Mpa)(v') 0,000 4,368 8,711 15,114 17,608 16,115 10,960 2,688 -8,299 -15,995 -19,244

quasi-p,

σsr(Mpa)(v) 0,000 3,264 5,547 6,931 7,264 6,453 4,577 1,755 -2,028 -7,022 -13,177

σsr(Mpa)(v') 0,000 -3,956 -6,782 -8,578 -9,033 -8,009 -5,634 -2,129 2,410 8,241 15,387

σcomp,(Mpa) 5,947 5,949 5,945 5,938 5,938 5,949 5,967 5,985 5,991 6,205 6,160

x/L 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1

Navier en v 5,947 5,609 4,367 0,656 -0,958 -0,582 1,641 5,524 10,945 12,811 9,463

Navier en v' 5,947 6,361 7,875 12,475 14,513 14,054 11,293 6,544 0,102 -1,549 2,302

σc à j (Mpa) 30,77 30,77 30,77 30,77 30,77 30,77 30,77 30,77 30,77 30,77 30,77

fctm à j(Mpa) 2,89 2,89 2,89 2,89 2,89 2,89 2,89 2,89 2,89 2,89 2,89

σcompression(Mpa) vérifié vérifié vérifié vérifié vérifié vérifié vérifié vérifié vérifié vérifié vérifié

σtraction(Mpa) vérifié vérifié vérifié vérifié vérifié vérifié vérifié vérifié vérifié vérifié vérifié

(précontrainte + poids propre)

Figure 5.9.4.4 Vérification des contraintes de Navier en phase construction

Cette phase n’est pas dimensionnante pour l’effort de précontrainte, elle l’est pour la date de mise

en tension des câbles.

5.10 Ferraillage passif

L’Eurocode introduit, vis-à-vis de ce sujet, la notion d’ouverture des fissures. Le calcul de la section

passive va dépendre de wmax recommandée. Le calcul de cette dernière est fort bien compliqué.

Heureusement, il existe des règles minimales concernant le ferraillage qui permettent de faire

l’économie de ce calcul un peu fastidieux. Ainsi et suivant la classe de l’environnement, l’ouverture

des fissures prend des valeurs différentes qui sont résumées par le tableau suivant donné par le

tableau 7.1 de l’EN1992-1.

Figure 5.10.1 Valeurs recommandées de wmax (mm)

Il convient d’abord de dimensionner le ferraillage passif conformément aux règles décrites en

dessous. La maîtrise de la fissuration impose que la contrainte dans l’acier soit limitée. En plus, il faut

respecter un diamètre et un espacement maximal des armatures, de façon à mieux répartir la

fissuration.

Mémoire de PFE


σs(Mpa) 160 200 240 280

diamètre maxi (mm) 25 16 12 8

espacement maxi(mm) 200 150 100 50

Figure 5.10.2 Contrainte acier en fonction de Φ

5.10.1 Règles de l’Eurocode

Un ferraillage minimum est requis dans la zone d’aire Act de béton soumis à une contrainte

de traction sous l’effet des combinaisons fréquentes et caractéristiques. Ce taux minimal de

ferraillage est donné par l’équation :

σs x As = kc x k x fctm x Act

Les paramètres de cette équation sont les suivantes :

σs est la contrainte de l’acier passif donnée par le tableau 5.10.2.

kc et k : paramètres adimensionnels qui dépendent de la forme géométrique du tablier.

fctm est la limite de traction du béton.

5.10.2 Application

Dans un premier temps, les zones, soumises à une traction sur leur fibre inférieure ou supérieure,

sont localisées.

Ensuite, le programme conçu calcule la quantité d’armatures sous les combinaisons fréquentes en

réduisant la contrainte dans l’acier conformément aux règles des Eurocodes.

Cela est fait en 2 étapes : en travée et en appui. kc est calculé en fonction de la contrainte du béton

donc, à chaque dixième de travée.

Les données à entrer sont la contrainte de l’acier en fonction du diamètre choisi σs, k et k1.

La largeur de la section est prise à 1ml. Quant au calcul de la zone tendue Act, et étant donnée la

linéarité du diagramme des contraintes, le théorème de Thalès est utilisé pour calculer la hauteur de

la zone tendue. En multipliant par la largeur de la section (=1m), Act est ainsi déduite.

h(m) 1,037

b(m) 1

k1 1,5

h* 1,037

k 1

σs (Mpa) 160

d (m) 1,007

voir page

111 EC2-

1-1

Ferraillage de la travée

Données à saisir

voir page

113 EC2-

1-1

Figure 5.10.2.1 Données à saisir

Mémoire de PFE


kc 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,46 0,00 0,00

0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 10,808 0,000 0,000

5,507 1,835 0,290 2,850 4,151 4,291 3,389 1,612 -0,715 2,189 10,156

A.N. (axe neutre) 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,973 0,000 0,000htendue (m) 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,064 0,000 0,000

Act(m²) 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,064 0,000 0,000

Ast(cm²) 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 5,926 0,000 0,000

traction uniquement

dans la travée

Figure 5.10.2.2 Calcul de la section d'acier en travée sous combinaisons fréquentes

h(m) 1,037

b(m) 1,000

k1 1,500

h* 1,037

k 1,000

σs (Mpa) 160,000

Données à saisir

Ferraillage de la zone d'appui

Figure 5.10.2.3 Données à saisir

kc 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,436

5,507 6,321 6,372 4,765 4,264 3,725 3,010 3,092 5,013 5,498 -0,435

0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 11,569

A.N. (axe neutre) 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,038

Act(m²) 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,375

Ast(cm²) 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 32,837

Traction uniquement en

appui

Figure 5.10.2.4 Calcul de la section d’acier en appui sous combinaisons fréquentes

Les zones qui affichent un « 0 » sont les zones où il n’y a pas de contrainte de traction. Néanmoins,

un ferraillage visant la sécurité est toujours conseillé même si l’analyse révèle le contraire. Les

résultats (affichés en rouge) sont les quantités d’acier à disposer.

Quant à la combinaison caractéristique, c’est exactement le même principe pour les calculs sauf que

les sollicitations (contraintes de Navier) changent. En plus, on n’est plus limité par l’ouverture des

fissures et par conséquent, par la limitation de la contrainte dans l’acier.

σs (Mpa) 400

kc 0,000 0,000 0,601 0,624 0,651 0,588 0,428 0,000 0,000 0,000 0,000

0 0 10,49 9,74 9,65 9,23 8,3301158 0 0 0 0

5,51 0,76 -2,42 -2,69 -3,02 -2,26 -0,34 1,38 1,09 2,26 7,87

A.N. (axe neutre) 0,00 0,00 0,84 0,81 0,79 0,83 1,00 0,00 0,00 0,00 0,00

htendue (m) 0,00 0,00 0,19 0,22 0,25 0,20 0,0408 0,00 0,00 0,00 0,00

Act(m²) 0 0 0,1946 0,2247 0,2475 0,2038 0,0408 0 0 0 0

Ast(cm²) 0,00 0,00 9,39 11,25 12,93 9,61 1,40 0,00 0,00 0,00 0,00

donnée à saisir

Ferraillage de la travée

traction uniquement en

travée

Figure 5.10.2.5 Calcul de la section d'acier en travée sous combinaison caractéristique

Mémoire de PFE


kc 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0,597

5,51 6,21 6,16 4,47 3,88 3,25 2,42 2,36 4,10 4,29 -2,38

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 14,02

A.N.(axe neutre) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0,150

Act(m²) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0,150

Ast(cm²) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 7,20

traction uniquement en

appui

Ferraillage de la zone d'appui

Figure 5.10.2.6 Calcul de la section d'acier en appui sous combinaison caractéristique

Le ferraillage minimal à prévoir partout est donné par :

Asmin = 0.26 x fctm/fyk*b*d

Ce ferraillage est à disposer dans les zones où il n’y a pas de traction et là où la quantité d’acier

trouvée est inférieure à Asmin.

Ferraillage minimal

Asmin(cm²) 21,01 21,01 21,01 21,01 21,01 21,01 21,01 21,01 21,01 21,01 21,01

Figure 5.10.2.7 Ferraillage minimal

Une dernière étape est un récapitulatif des quantités d’acier qu’il faut mettre en œuvre (par ml).

C’est le max entre Asmin, la quantité d’acier calculée en combinaison caractéristique et celle calculée

en combinaison fréquente.

Les résultats sont repris par le tableau suivant :

récapitulatif

Asfinal(cm²) 21,01 21,01 21,01 21,01 21,01 21,01 21,01 21,01 21,01 21,01 21,01

Figure 5.10.2.8 Tableau récapitulatif des quantités d'acier à mettre en oeuvre

Dans la plupart des cas, c’est le ferraillage minimal qui l’emporte. Cela revient au fait que les

contraintes de traction sont minimes. Cela n’aurait pas été vrai en cas de la précontrainte partielle

(classe 3 dans le BPEL) là où la traction dans le béton est beaucoup plus importante et le calcul est

mené en section fissurée.

Mémoire de PFE


5.11 Vérification aux ELU

5.11.1 Hypothèses de calcul

Aux états limites ultimes, les hypothèses ci-après sont retenues :

• Les sections droites restent planes jusqu’à rupture. Cette hypothèse est vérifiée par

l’expérience, au moins pour les sections soumises à la flexion simple ou composée pour

lesquelles l’effort tranchant n’est pas prédominant ;

• Le béton tendu peut être négligé. Cette hypothèse est très bien vérifiée, du moins dans les

structures courantes ;

• Les lois contraintes - déformation des matériaux sont connues. Elles sont du type σ = f (ε) ;

• Les caractéristiques mécaniques des matériaux sont modifiées par des coefficients partiels

de sécurité.

5.11.2 Lois contrainte déformation béton - acier

Béton :

Pour les bétons jusqu’à 50Mpa de résistance caractéristique, la relation entre σc et εc est de la

forme :

σc = fcd x (1-(1- εc/ εc2)²) pour εc ≤ εc2 ≤ 2‰

σc = fcd pour εc2 ≤ εc ≤ εcu

Figure 5.11.2.1 Loi contrainte déformation du béton

Mémoire de PFE


Acier de précontrainte

Figure 5.11.2.2 Loi contrainte - déformation de l'acier de précontrainte

5.11.3 Principe de vérification d’une section

Soit la section rectangulaire suivante :

Figure 5.11.3.1 Section rectangulaire précontrainte

A vide (à l’état limite de service), les diagrammes des déformations et des contraintes sont linéaires,

conformément à la figure suivante :

Figure 5.11.3.2 Contraintes - déformations à l'ELS

Les valeurs de εpm (Pm/(Ap x Ep)) et δε’p(σcp/Ec) sont donc connues. Connaissant les caractéristiques de

l’acier, la valeur de la déformation supplémentaire δε’’p, qui amène l’acier à une déformation εpu est

également connue :

δε’’p = εpu - εpm - δε’p

Mémoire de PFE


Les charges appliquent à la section un moment fléchissant Mu. Pour effectuer le calcul, il faut tout

d’abord savoir quel est le matériau qui provoque la rupture (acier ou béton). Pour cela, les 2

matériaux sont supposés atteindre simultanément leur déformation ultime. L’équilibre des efforts

normaux permet de connaître quel est le matériau de résistance insuffisante. Des schémas simplifiés

de relations entre les contraintes et les déformations sont adoptés pour les 2 matériaux.

Si les deux matériaux atteignent simultanément leur déformation ultime, les diagrammes sont les

suivants :

Figure 5.11.3.3 Limite pivot A – pivot B

δε’’p = εpu – εpm - δε’p

y = hp x εcu / (δε’’p +εcu)

P = Pu = Ap x 0.9fpk/γs

R = P – 0.8 x y x b x fcd

1. Rupture par les aciers :

Si R < 0, cela signifie que la possibilité de résistance du béton est supérieure à celle de l’acier ; la

rupture a lieu par ces derniers (pivot A). L’équilibre des efforts normaux permet de calculer la bonne

valeur de y.

y = P/(0.8 x b x fcd)

La valeur de y étant connue, il y a stabilité si le moment résistant de la section Mr est supérieur au

moment appliqué Mu.

Mr = (hp – 0.4 x y) x 0.8 x y x b x fcd

2. Rupture par le béton :

Si R > 0, la rupture résulte d’une déformation excessive du béton (pivot B).

Pour écrire l’équilibre, il faut tout d’abord savoir si l’acier travaille dans le domaine plastique (P = Pu)

ou dans le domaine élastique (P = Ap x Ep x εp) ; pour cela, l’acier est supposé atteindre sa limite

élastique, ce qui permet de calculer l’effort normal résultant.

Mémoire de PFE


Figure 5.11.3.4 Limite pivot B - acier élastique

On a:

εpe = fp0.1k/ (Ep x γs)

δε’’p = εpe – δ’εp – εpm

P = Pe = εpe x Ap x Ep

y = hp x εcu/(εcu + δε’’p)

R = P – 0.8 x y x b x fcd

2.1 Acier plastique :

Si R < 0, l’acier travaille dans le domaine plastique (P = Pe = Pu). Le calcul se conduit comme

précédemment en écrivant l’équilibre des efforts normaux :

Pu – 0.8 x y x b x fcd = 0

y = Pu/(0.8 x b x fcd)

Mr = (hp – 0.4 x y) x 0.8 x b x fcd

2.2 Acier élastique :

Si R > 0, l’acier travaille dans le domaine élastique (P = Ap x Ep x εp). Deux cas sont possibles :

• La section est partiellement tendue

• La section est totalement comprimée

On se met à la limite du pivot B – pivot C :

Mémoire de PFE


Figure 5.11.3.5 Limite pivot B - pivot C

δεp = δε’p – εcu x (h – hp)/h

P = Ap x Ep x (δεp + εpm)

R = P – 0.8 x h x b x fcd

Si R < 0, la section est partiellement tendue et si R > 0, la section est totalement comprimée.

2.2.1 Béton partiellement tendu :

Dans le premier cas (béton partiellement tendu et acier dans le domaine élastique), le calcul est un

peu plus complexe que précédemment ; en effet, l’équilibre des efforts normaux s’écrit :

P – 0.8 x y x b x fcd = 0

P = Ap x Ep x (εpm + δ’εp + δ’’εp)

y = hp x εcu/ (δ’’εp + εcu)

En remplaçant P et y par leur valeur en fonction de δ’’εp, on obtient une équation du 2ème degré en

δ’’εp de la forme :

δ’’εp² + a x δ‘’εp + b = 0

a = εcu + εpm + δ‘εp

b = εcu x (εpm + δ‘εp – 0.8 x b x fcd/ (Ap x Ep))

Cette équation n’admet qu’une racine positive δ‘’εp ; y est calculé et par conséquent à Mr (comme

précédemment).

Mémoire de PFE


2.2.2 Béton complètement comprimé :

Dans le cas où R > 0, la section est entièrement comprimée. Il n’est plus possible d’utiliser le

diagramme rectangulaire simplifié des contraintes dans le béton. En compression simple (effort

normal résultant appliqué au centre de gravité), l’état limite ultime est atteint quand la déformation

du béton (uniforme sur l’ensemble de la section) est égale à εc2 qui correspond au début du palier

plastique.

Les diagrammes de déformations d’une section entièrement comprimée sont donc compris entre les

deux limites suivantes :

Figure 5.11.3.6 Déformations dans le béton au pivot C

On a εc2 /εcu = 4/7

L’état limite ultime est atteint lorsque le diagramme des déformations est du type suivant :

Figure 5.11.3.7 Position du pivot C

Le point pivot C est le point d’intersection des deux diagrammes limites précédents. Les

déformations sur les fibres extrêmes sont liées par une relation du type :

εcsup = (7 εc2 – 3 εinf)/4

Mémoire de PFE


Le principe du calcul est le même ; l’équilibre des efforts normaux est, d’abord, écrit; les

déformations des matériaux sont déduites, ce qui permet de calculer le moment résistant Mr de la

section qui est comparé au moment réellement appliqué. La difficulté réside ici dans le fait que les

calculs sont beaucoup plus longs par l’utilisation de la loi exacte de la relation contrainte –

déformation pour le béton.

5.11.4 Application

Afin de bien illustrer la procédure de vérification citée et de mieux clarifier le tableau des résultats, la

section du pont à x/L = 0.4 sera traité. A cette position, le câble de précontrainte passe par sa

position la plus basse soit à une hauteur hp de la distance supérieure = 0.947m.

Le diagramme des contraintes est calculé à vide (sans les charges d’exploitation) sur les 2 fibres

extrêmes.

σinf = Pm/B + (Pm*ep)*v’/I + Mcp*v’/I

σsup = Pm/B + (Pm*ep)*v/I + Mcp*v/I

Où Mcp est le moment du juste aux charges permanentes.

Figure 5.11.4.1 contraintes à vide à l'ELS

La déformation δ’’εp qui amène l’acier à rupture est obtenue en calculant :

Rupture par les aciers ou par le béton ?

εpm = Pm/(Ap*Ep) = 47.37/(1800*24*195000) = 5.623 ‰.

σcp (contrainte à vide en hp)= (8.96-3.178)*0.947/1.037+3.178 = 8.46 Mpa

Ecm = 22000*(fcm/10)0.3 = 34000Mpa (fcm = fck +8 Mpa = 43Mpa pour un B35).

δ’εp = σcp/ Ecm = 0.249‰.

Finalement, la valeur limite de δ’’εp est :

δ’’εp = εuk – εpm - δ’εp = 20-5.623-0.249 = 14.13 ‰, εuk étant la déformation ultime propre à chaque

matériau.

Mémoire de PFE


Pour déterminer le pivot concerné par la rupture, les deux matériaux sont supposés atteindre leur

limite de déformation. Si les deux matériaux sont à la limite de rupture, le diagramme suivant est

caractérisé :

Figure 5.11.4.2 Limite pivot A -pivot B

P = Apxfp0.1k / γs = 24*1800*0.9*1770/1.15 = 59.8MN.

y = hp x εcu / (εcu+δ’’εp) = 0.947*3.5/ (3.5+14.13) = 0.188m.

0.8 x y = 0.15m.

fc = fck/γc x 0.8 x y x b = 35/1.5*0.150*6.2 = 21.7 MN.

P - Fc = 59.8 - 21.7 = 38.1 > 0

La rupture a lieu alors ‘’par le béton’’, au pivot B.

Il s’agit de déterminer dans quel domaine se trouve l’acier quand la rupture du béton a lieu.

Acier plastique ou élastique ?

εpe = fp0.1k/ (Ep x γs) = 0.9*1770/(195000*1.15) = 7.10‰.

δε’’p = εpe – δ’εp – εpm = 7.10 – 0.249 – 5.623 = 1.228‰.

P = Pe = εpe x Ap x Ep = 7.10 x 24 x 1800 x 195000 = 59.81 MN.

y = hp x εcu/(εcu + δε’’p) = 0.947 x 3.5/(3.5 + 1.228) = 0.701m

R = P – 0.8 x y x b x fcd = 59.81 – 0.8*0.701*6.2*35/1.5 = -21.31 < 0

R < 0, quand la rupture a lieu par le béton, les aciers sont en état plastique.

Mémoire de PFE


Rupture béton, acier plastique :

P = Pe = Pu = 59.81MN

y = Pu/(0.8 x b x fcd) = 59.81/(0.8 x 9.98 x 35/1.5) = 0.321m.

Mr = (hp – 0.4 x y) x b x 0.8 x fcd = (0.947 – 0.4*0.321) x 9.98 x 0.8 x 35/1.5 = 152MN.m

Le moment de rupture est largement supérieur au moment sollicitant à l’ELU.

Le tableau suivant traite de tous les cas énumérés là-dessus et compare à la fin le moment de

rupture au moment ultime. C’est selon le lieu de rupture du béton ou de l’acier qu’on doit se référer

à la vérification correspondante.

σsup(Mpa) 6,086 6,398 6,030 3,782 3,178 2,986 2,901 4,424 8,134 10,166 7,086σinf(Mpa) 6,086 5,607 5,831 8,294 8,960 9,326 10,230 8,567 4,036 1,298 4,038

εpm‰ 6,104 6,035 5,885 5,687 5,623 5,698 6,112 6,281 6,299 6,056 5,477

hp 0,566 0,618 0,746 0,893 0,947 0,941 0,884 0,753 0,516 0,767 0,947σcp 6,086 5,927 5,887 7,669 8,459 8,737 9,150 7,432 6,096 7,856 6,821

δε'p (précontrainte) 0,179 0,174 0,173 0,225 0,248 0,256 0,268 0,218 0,179 0,231 0,200

δε''p ‰ 13,72 13,79 13,94 14,09 14,13 14,05 13,62 13,50 13,52 13,71 14,32

y (m) 0,115 0,125 0,150 0,178 0,188 0,188 0,181 0,155 0,106 0,156 0,186

0,8*y (m) 0,092 0,100 0,120 0,142 0,150 0,150 0,145 0,124 0,085 0,125 0,149

Fc 13,31 14,47 17,32 20,57 21,76 21,72 20,92 17,94 12,27 18,05 21,52R=Fc - Pu 46,53 45,37 42,52 39,27 38,08 38,12 38,92 41,90 47,57 41,79 38,32

Rupture par ? par le béton par le béton par le béton par le béton par le béton par le béton par le béton par le béton par le béton par le béton par le béton

εpe ‰ 7,10 7,10 7,10 7,10 7,10 7,10 7,10 7,10 7,10 7,10 7,10 δε''p ‰ 0,82 0,89 1,05 1,19 1,23 1,15 0,72 0,60 0,63 0,82 1,43

0,8 x y (m) 0,37 0,39 0,46 0,53 0,56 0,57 0,59 0,51 0,35 0,50 0,54

Fc 85,38 91,66 106,99 124,14 130,49 131,94 136,50 119,61 81,51 71,96 77,86

P 59,84 59,84 59,84 59,84 59,84 59,84 59,84 59,84 59,84 59,84 59,84

R -25,54 -31,82 -47,15 -64,30 -70,65 -72,09 -76,66 -59,77 -21,67 -12,12 -18,02

Acier plastique plastique plastique plastique plastique plastique plastique plastique plastique plastique plastique

si l'acier est plastique

y 0,52 0,32 0,32 0,32 0,32 0,32 0,32 0,32 0,32 0,52 0,52

Mr 41,55 91,15 115,03 142,48 152,50 151,31 140,77 116,33 72,15 64,82 85,66

vérifié vérifié vérifié vérifié vérifié vérifié vérifié vérifié vérifié vérifié vérifié

si l'acier est élastique

a 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000

b 0,009782893 0,009709279 0,009557672 0,009411791 0,009371243 0,009454738 0,009880405 0,009999244 0,009977812 0,009786482 0,009176872

c -0,000005216 -0,000007973 -0,000014667 -0,000022262 -0,000024993 -0,000024392 -0,000020182 -0,000013458 -0,000002130 -0,000014875 -0,000025667

racine(delta) 0,011 0,011 0,012 0,013 0,014 0,014 0,013 0,012 0,010 0,012 0,014

δε''p ‰ -0,010 -0,010 -0,011 -0,011 -0,012 -0,012 -0,012 -0,011 -0,010 -0,011 -0,011 δε''p ‰ 0,506935 0,761444 1,345220 1,957996 2,166208 2,109276 1,737203 1,201504 0,209107 1,337 2,247

y 0,566 0,618 0,746 0,893 0,947 0,940 0,884 0,753 0,516 0,767 0,946

Fc 65,472 71,481 86,298 103,325 109,545 108,804 102,273 87,111 59,692 88,725 109,529

Mr 22,229 26,499 38,634 55,399 62,277 61,436 54,272 39,363 18,475 40,838 62,261


P 59,841 59,841 59,841 59,841 59,841 59,841 59,841 59,841 59,841 59,841 59,841y 0,517 0,321 0,321 0,321 0,321 0,321 0,321 0,321 0,321 0,517 0,517Mr 26,852 29,279 36,949 45,766 48,988 48,604 45,219 37,368 23,178 41,897 55,366


Si la rupture a lieu par l'acier

Si la rupture a lieu par le béton

Vérification acier plastique ou élastique ?

Figure 5.11.4.3 Vérifications aux ELU

Mémoire de PFE


5.12 Vérification à l’effort tranchant

5.12.1 Généralités

Les déformations dues aux contraintes de cisaillement sont très petites (négligeables devant celles

qui résultent des contraintes normales) ; cette particularité a deux conséquences importantes pour

la sécurité :

• Une rupture par cisaillement ne prévient pas et présente un caractère fragile ;

• Dans un système hyperstatique, il n’y a pas de redistribution d’effort comparable à celle

qu’on observe avec les moments fléchissants (il n’y a pas de « rotule plastique » à l’effort

tranchant).

C’est pourquoi il y a lieu d’être très prudent dans le dimensionnement des structures vis-à-vis de

l’effort tranchant.

5.12.2 Précontrainte

Considérons un câble faisant un angle α avec la fibre moyenne d’une poutre droite.

Figure 5.12.2.1 Effet de l'inclinaison du câble de la force de précontrainte

L’action P du câble de précontrainte sur la section peut se décomposer en deux forces : l’une N

normale à la section, l’autre Vpd située dans le plan de la section et dirigée « vers le bas ».

N = P x cos (α)

Vpd = P x sin (α)

N > 0 est une compression : c’est l’effort normal de précontrainte. Vpd représente l’effort tranchant

de précontrainte.

L’effort tranchant total V(x) dans une section d’une poutre s’écrit indépendamment des éventuels

coefficients de sécurité à prendre en compte selon la combinaison de calcul :

V(x) = Vg(x) + Vq(x) – Vpd(x)

Mémoire de PFE


Avec :

Vg(x) = effort tranchant dû aux actions permanentes.

Vq(x) = effort tranchant dû aux actions variables

Vpd(x) = effort tranchant dû à la précontrainte.

En fonction du signe de sin (α), l’effort tranchant de précontrainte peut donc être favorable ou

défavorable selon qu’il se cumule ou se retranche à celui dû aux forces extérieures. Dans la majorité

des cas, il se retranche et l’effort tranchant total obtenu est appelé « effort tranchant réduit ».

5.12.3 Vérification aux ELS

Contrairement à ses prédécesseurs, l’Eurocode 2 n’impose aucune vérification des contraintes de

cisaillement du béton aux états limites de service.

En tant que besoin, les risques de fissuration du béton pourraient être toujours vérifiés en se

référant aux règles utilisées par le BPEL avec quelques réserves concernant la comptabilité de ces

règles avec les cas de chargement.

Un domaine de sécurité interne à la courbe intrinsèque est défini de façon à garder une certaine

marge vis-à-vis de la rupture.

Figure 5.12.3.1 Domaine de sécurité (σ, τ)

Ce domaine est limité par deux courbes ; l’une, dans la zone des faibles compressions longitudinales,

limite les risques de rupture par fissuration du béton ; l’autre, dans la zone des fortes compressions,

limite le risque de rupture par un excès de compression cumulé à l’effet du cisaillement.

Ce domaine est défini par les expressions suivantes dans le cas où σx ≥ 0 :

τ² ≤ 0.4 x ftk x (ftk +2σx/3)

τ² ≤ 2xftk/fck x (0.6 x fck - σx)x(ftk + 2 σx /3)

Mémoire de PFE


La courbe limite est donc définie par :

• un arc de parabole si σx ≤ 0.4 fck

• un arc d’ellipse si σx ≥ 0.4 fck

Figure 5.12.3.2 Vérification des cisaillements selon le BPEL

En ce qui concerne la contrainte de cisaillement, elle est calculée de la façon suivante :

τ = V x S / (bw,nom x I),

S étant le moment statique.

bw,nom = b – 0.5 ∑Фi ; b étant la largeur réduite de la section par laquelle passe le câble. Pour un pont

en encorbellement, cette valeur dépend de la position des câbles de précontrainte. Selon y,

l’ordonnée de la section transversale, la largeur correspondante est à entrer. Pour un pont à section

rectangulaire, ce problème ne se pose pas parce que la largeur est constante indépendamment de la

position des armatures de précontrainte.

I étant l’inertie de la section. Cette inertie dépend de l’état de charge à savoir l’inertie de la section

nette pour les charges de poids propre, l’inertie homogène différée pour les superstructures, l’inertie

homogène instantanée pour les charges d’exploitation (courte durée).

Ainsi, τred sera la somme de :

• (Vpoids propre – Pm x sin (α)) x S/ (bw,nom x I section nette)

• Vsuperstructures x S/ (bw,nom x Ihomogène différée)

• VUDL+TS x S / (bw,nom x Ihomogène instantanée)

Mémoire de PFE


α(rad) 0,0523 0,051 0,04677 0,03857 0 0,01239 0,03264 0,08919 0,09529 0,09076 0

α(°) 3,0 2,9 2,7 2,2 0,0 0,7 1,9 5,1 5,5 5,2 3,5

σx(Mpa) 5,5 5,5 5,5 5,4 5,4 5,4 5,5 5,5 5,5 5,7 5,5

Vpoids propre 2201 1614 1027 440 -147 -734 -1321 -1908 -2495 -3081 -3668

Vsuperstructures 717 526 334 143 -48 -239 -430 -621 -812 -1003 -1194

Vexploitation 1392 1309 1033 805 -521 -732 -951 -1194 -1438 -1661 -1672

b(m) 8,0 7,7 7,2 6,7 6,5 6,5 6,7 7,2 8,0 9,98 9,98

bréduit(m) 6,9 6,6 6,1 5,6 5,4 5,4 5,6 6,1 6,9 8,9 8,9

h(m) 1,037 1,037 1,037 1,037 1,037 1,037 1,037 1,037 1,037 1,037 1,037

S(m3) 0,62 0,59 0,55 0,50 0,48 0,48 0,50 0,55 0,62 0,80 0,80

ζred(Mpa) 0,192 0,097 -0,004 -0,078 0,084 0,124 0,117 -0,111 -0,027 0,095 0,780

ζred²(Mpa) 0,04 0,01 0,00 0,01 0,01 0,02 0,01 0,01 0,00 0,01 0,61

vérification 1 2,31 2,30 2,30 2,29 2,29 2,29 2,30 2,31 2,31 2,33 2,31

vérification 2 8,15 8,15 8,14 8,13 8,13 8,13 8,15 8,16 8,16 8,19 8,16

valeur minimale 2,31 2,30 2,30 2,29 2,29 2,29 2,30 2,31 2,31 2,33 2,31

vérifié aux ELS vérifié aux ELS vérifié aux ELS vérifié aux ELS vérifié aux ELS vérifié aux ELS vérifié aux ELS vérifié aux ELS vérifié aux ELS vérifié aux ELS vérifié aux ELS

Aux ELS

Vérification à l'effort tranchant

Figure 5.12.3.3 Vérification à l'ELS de l'effort tranchant

5.12.4 Vérification aux ELU

5.12.4.1 Hypothèses de calcul

On admet que la poutre se fissure perpendiculairement à la direction de la contrainte principale de

traction. Pour éviter la rupture de la pièce, il est nécessaire de mettre en oeuvre des aciers de

couture de ces fissures. Ces aciers sont, la plupart du temps, constitués d’étriers passifs

perpendiculaires à l’axe de la poutre et ancrés près des fibres inférieurs et supérieurs de la poutre.

Après fissuration, la poutre est assimilée à une poutre treillis dont les diagonales comprimées sont

constituées par les bielles de béton et les diagonales tendues par les étriers passifs.

Figure 5.12.4.1.1 Fonctionnement en treillis

Ces étriers sont espacés régulièrement de s et les bielles de béton sont inclinées d’un angle θ sur

l’horizontale (voir figure 5.12.4.1.1). En théorie, au moment de l’apparition de la fissure, tan (2θ) =

2τ/σx puisque cela correspond à la direction de la facette sur laquelle s’exerce la contrainte de

traction la plus importante.

5.12.4.2 Sécurité vis-à-vis de la rupture

Une fois la fissure formée, les étriers sont mis en traction. La pièce est rompue lorsque se produit soit

la rupture des étriers en traction, soit l’écrasement du béton et des bielles. Cette approche, qui est la

plus satisfaisante sur le plan scientifique, est difficile à mettre en œuvre essentiellement par le fait

que la résistance du béton à la traction est très aléatoire (les résultats des mesures sont beaucoup

plus dispersés que ceux des mesures de résistance à la compression). De plus, la direction réelle de la

Mémoire de PFE


fissure est influencée par des phénomènes parasites (densité du ferraillage, défaut local du béton,

efforts secondaires négligés dans les calculs…).

Figure 5.12.4.2.1 Inclinaison des fissures d'effort tranchant

Le règlement se contente d’une vérification globale. L’angle θ est laissé à l’appréciation du projecteur

dans la fourchette :

0.4 ≤ tan (θ) ≤ 1.0

A l’état limite ultime, la résistance à l’effort tranchant est égale à la plus faible des deux valeurs Vrd,sy

et Vrd,max.

Le premier terme représente la résistance des étriers travaillant à la limite élastique réduite par le

coefficient γs.

Vrd,sy = Asw x fyk/γs x Z/(s x tan(θ))

Où fyk est la limite élastique de l’acier constituant les étriers et γs est le coefficient partiel de sécurité

(soit 1,15 sauf combinaison accidentelle).

Le deuxième traduit la limite de résistance du béton des bielles de compression.

Vrd, max = bw,nom x Z x ν1 x fcd x sin(2θ)/2 x K

Où :

ν1 = 0.9 x (1-fck/200) avec fck en Mpa pour fck > 60Mpa, 0.6 autrement.

fcd = fck/ γc avec γc = 1,5

Z est le bras de levier des efforts internes

K exprime la variation de la résistance au cisaillement en fonction de la compression longitudinale du

béton.

0,50 < σcp ≤ 1,00fcd

1+σcp/fcd

1,25

2,5 x (1-σcp/fcd)

Kσcp

0 < σcp ≤ 0,25fcd

0,25 < σcp ≤ 0,50fcd

Figure 5.12.4.2.2 K = f (σcp)

Mémoire de PFE


Par ailleurs, pour assurer une ductilité suffisante, la condition suivante est à vérifier :

Asw x fyk / (γc x bw,nom x s) ≤ 0.5 x ν1 x fcd

Cette dernière condition est justifiée également car, à partir d’un certain taux de ferraillage,

l’augmentation de la quantité d’acier n’a pratiquement aucune influence sur la résistance à l’effort

tranchant.

L’Eurocode impose, vis-à-vis de l’effort tranchant, un minimum d’armatures dont au moins 50% sous

forme d’étriers et de cadres.

Le minimum est donné par :

Asw/(s x bw,nom) ≥ 0.08 x racine(fck)/fyk

Les calculs sont repris par les tableaux suivants :

Vu(kN) 8163 6549 4573 2693 -1411 -3256 -5117 -7040 -8939 -10809 -12277

Vréduit(kN) 5460 3919 2178 738 -1411 -2627 -3440 -2410 -3989 -5967 -12277

b (m) 8,0 7,7 7,2 6,7 6,5 6,5 6,7 7,2 8,0 9,98 9,98

bréduit(m) 6,9 6,6 6,1 5,6 5,4 5,4 5,6 6,1 6,9 8,9 8,9

h(m) 1,09 1,11 1,14 1,17 1,19 1,19 1,17 1,14 1,09 1,00 1,00

S(m3) 0,69 0,68 0,66 0,64 0,63 0,63 0,64 0,66 0,69 0,75 0,75

θu(°) 30,0 30,0 30,0 30,0 30,0 30,0 30,0 30,0 30,0 30,0 30,0

θu(rad) 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5

K 1,236 1,235 1,234 1,231 1,231 1,232 1,235 1,237 1,237 1,244 1,238

Vrd,max(MN) 44,0 41,8 39,0 35,6 34,3 34,3 35,9 39,0 44,1 57,0 56,8

résistance ok ok ok ok ok ok ok ok ok ok ok

Figure 5.12.4.2.3 Vérification de la limite de résistance des bielles de compression

e(m) 0,25

Asw @25 (cm²) 26,58 19,25 11,07 4,31 6,87 13,03 17,16 12,06 19,44 29,71 59,77

par ml 3,85 2,94 1,81 0,77 1,27 2,41 3,05 1,98 2,82 3,35 6,73

vérification 0,536 0,408 0,252 0,107 0,177 0,336 0,424 0,275 0,392 0,466 0,937

7,000 7,000 7,000 7,000 7,000 7,000 7,000 7,000 7,000 7,000 7,000

Aswmin(cm²) 20,399 19,393 18,091 16,553 15,962 15,962 16,642 18,032 20,399 26,256 26,256

par ml 2,958 2,958 2,958 2,958 2,958 2,958 2,958 2,958 2,958 2,958 2,958

Asmis en oeuvre 3,85 2,96 2,96 2,96 2,96 2,96 3,05 2,96 2,96 3,35 6,73

Dimensionnement des étriers

Figure 5.12.4.2.4 Dimensionnement des étriers

Le tableau 5.12.4.2.3 calcule la résistance des bielles de béton à la compression.

Le tableau 5.12.4.2.4 calcule, dans un premier temps, les sections d’acier pour remédier à l’effort

tranchant sollicitant et dans un deuxième temps, la section d’acier minimale à répartir partout. Le

résultat final est la max entre ces 2 valeurs.

Mémoire de PFE


5.13 Appareils d’appui

Un appareil d’appui est important dans une structure. C’est un organe de liaison entre le tablier et

les appuis (piles ou culées). Il permet d’absorber tous les déplacements, les efforts horizontaux

(dilatation, contraction, freinage) et les rotations.

Les appareils d’appui les plus souvent utilisés sont ceux en élastomère fretté. Ils vont nous intéresser

dans la suite, en particulier, leur dimensionnement et vérification. Ces derniers se font toujours aux

Etats Limites Ultimes (ELU).

5.13.1 Descente de charges

Pour le calculs des sollicitations, il faut se servir des combinaisons proposées par l’Eurocode

notamment celles qui prennent en compte les efforts de freinage (soit le groupe 2).

Le tableau suivant résume la liste des combinaisons fondamentales :

1,5 Tk + 1,35 {0,4UDL + 0,75TS + 0,4qfk}

1,35Gk,sup + Gk,inf + P +1,35 gr2

1,35 {gr3 ou gr4} + 1,5 {0,6 Tk}

1,35 gr5

1,5 Fwk

1,35{UDL + TS + qfk} + 1,5 min{FW* ; 0,6FWk}

1,35{UDL + TS + qfk} + 1,5 {0,6Tk}

1,35 gr1b

Figure 5.13.1.1 Combinaisons fondamentales dimensionnantes

Les efforts horizontaux se décomposent en des efforts de freinage et des efforts dus à la

température et retrait.

Le freinage à prendre en compte est défini dans l’Eurocode 1991-2 comme étant 10% de la charge

répartie UDL et 60% pour les charges concentrées TS.

Les valeurs (calculées avec Robot) sont à entrer par le concepteur dans le tableau suivant.

V (MN) α(x10-3) ∆x(m) Hx(MN)

Max 4,5 5,7 0,07 -

Min 0,71 3,3 0,068 -

Max 3,75 4,9 0,061 0,055

Min 0,79 1,8 0,059 0,055

Max 3,82 6,7 0,08 -

Min 0,75 3,3 0,078 -

0,89

1,35Gsup + 1,35LMcara +1,5(0,6T)

1,35Gsup + 1,35gr2 +1,5(0,0T)

1,35Gsup + 1,5T + 1,35LMfreq

Gmin

Figure 5.13.1.2 Sollicitations externes dimensionnantes

Mémoire de PFE


V est l’effort tranchant (ou l’effort de compression)

α est la rotation d’appui exprimé en radians (x 10-3)

Δx correspond au déplacement sans l’effort de freinage (température et retrait)

Hx est l’effort de freinage.

5.13.2 Aire de l’appareil d’appui

La contrainte de compression moyenne sur un appui en élastomère fretté est comprise entre 20 et

25Mpa. C’est au concepteur de décider de la valeur à entrer dans le tableau de données

σcmoyen(Mpa).

La réaction verticale maximale Vmax permet d’obtenir la surface minimale de l’appareil d’appui :

A’min > Vmax / σcmoyen

L’aire de l’appareil d’appui est limité pour conserver une pression moyenne minimale de 3Mpa sous

l’effort de compression minimal (effort du seulement aux charges permanentes).

A’max < Vmin / Pmini

A'min > 1800 cm²

A'max < 2966,7 cm²

Aire de l'appareil d'appui

Figure 5.13.2.1 Aire de l'appareil d'appui

5.13.3 Hauteur nette d’élastomère

Cette hauteur est directement proportionnelle au déplacement horizontal. Ce dernier se décompose

en un déplacement lié à la température et au retrait et un déplacement qui est lié à la force de

freinage.

εq = vx / Tq ≤ 1

vx = v1 + v2 = v1 + Hx*Tq/ (2Gab)

v1 = déplacement horizontal maximal dû à la température et au retrait (valeur entrée dans le tableau

Δx)

v2 = déplacement horizontal maximal dû au freinage.

Les 2 cas probables sont la présence du freinage (v2) ou bien son absence (v2 = 0).

1. v2 # 0

C’est la combinaison avec le groupe 2 qui prend en compte l’effort de freinage qui va être

dimensionnante.

(Δx + Hx*Tq/ (2Gab)) / Tq ≤ 1

Condition 1 � Tq ≥ Δx / (1-Hx/ (2Gab))

Mémoire de PFE


2. v2 = 0

C’est la combinaison avec le 1.5T qui va être dimensionnante car c’est elle qui va créer le plus grand

déplacement (lié à la température).

Par conséquent:

Condition 2 � Tq ≥ Δx

Tq > 73,5 mm

Tq > 80 mm

Hauteur nette d'élastomère

Présence d'effort de freinage

absence de freinage

Figure 5.13.3.1 Hauteur nette d'élastomère

5.13.4 Choix de l’appareil convenable

Avec ces données (l’aire de l’appareil d’appui et la hauteur nette de l’élastomère), les dimensions de

l’appareil peuvent déjà être choisies tout en respectant les conditions citées précédemment.

a(mm) 400

b(mm) 600

n 6

ti(mm) 12

ts(mm) 4,00

e(mm) 6

Figure 5.13.4.1 Choix de l'appareil convenable

L’épaisseur des frettes d’acier (désignée par ts) est dimensionnée ultérieurement et est renvoyée

automatiquement dans le tableau.

5.13.5 Surface en plan effective

Une surface A’ est calculée en retranchant les enrobages des côtés de l’appareil.

a’ = a -2*e

b’ = b – 2*e

A’ = a’ x b’

a' (mm) 388

b' (mm) 588

A' (cm²) 2281,44

Figure 5.13.5.1 Calcul de A'(cm²)

Alors que les dimensions de l’appareil sont connues, un nouveau déplacement est calculé vx = v1 +

v2 :

- v1 reste inchangé (déplacement due à la température sous l’effort de freinage).

Mémoire de PFE


- v2 = Hx * Tq /(2Gab) avec Tq = n*Ti + 2e calculé à partir des dimensions de l’appareil.

v1 (m) 0,061

v2 (m) 1,13E-02

vx(m) 7,23E-02

Figure 5.13.5.2 Nouveau calcul du déplacement vx = v1 + v2

Le nouveau déplacement obtenu est comparé ensuite aux autres valeurs déjà calculées en 5.13.3.

La plus grande des valeurs vx est alors retenue.

vx(m) 0,0800

Figure 5.13.5.3 Déplacement retenu

Ar = A’*(1-vx/a’)

Si Ar > A’min, alors l’appareil d’appui convient.

Ar(cm²) 1811 → l'appareil d'appui convient

Figure 5.13.5.4 Calcul de Ar et vérification

5.13.6 Stabilité au flambement

Un appareil en élastomère fretté peut flamber sous une charge verticale. Donc il faut bien le vérifier

vis-à-vis de ce phénomène.

Un coefficient de forme est introduit ; il vaut :

S = a’ x b’/ (2t x (a’+b’))

Avec l’effort de compression maximal, la pression moyenne σm est calculée :

σm = Vmax / Ar

Où Ar est la surface en plan effective calculée.

La pression limite σlimite est donnée par :

σlimite = 2a’GS / 3Te avec Te = n x ti + 2e

Si σm ≤ σlimite, alors l’appareil d’appui n’est pas sujet au flambement.

S 9,74

σm sollicitante(Mpa) 24,85 →

σm résistante(Mpa) 26,99

Condition vérifiée

Figure 5.13.6.1 Vérification au flambement

Mémoire de PFE


5.13.67 Respect de la limite de déformation

εcd = 1.5 x Fz/(G x Ar x S)

εqd = vx / Tq

εαd = a’² x α x ti/ (2∑ti3)

Avec α(rad) caractérisant la plus grande rotation obtenue avec les différentes combinaisons de calcul

à laquelle vient s’ajouter 3.0x10-3 qui prend en compte la tolérance de pose.

Si εcd + εqd + εαd < 7, alors la limite de déformation est respectée.

Cette condition fait intervenir plusieurs cas :

Cas 1 : Effort vertical maximum avec déplacement du à l’effet thermique

Cas 2 : Effort vertical avec déplacement du à l’effet thermique et au freinage.

Cas 3 : Effort vertical avec rotation maxi.

εcd 4,252

εqd 0,833

εαd 0,73

ε totale 5,813 →

εcd 3,543

εqd 0,860

εαd 0,661

ε totale 5,064 →

rotation maxi 6,7

εcd 3,61

εqd 0,952

εαd 0,811

ε totale 5,37 →


Cas 1 : effort vertical maximum avec déplacement dû à l'effet thermique

Cas 2 : effort vertical avec déplacement dû à l'effet thermique et freinage


Cas 3 : effort vertical avec rotation maxi


Figure 3.13.7.1 Vérification de la limite de déformation

5.13.8 Stabilité en rotation

Le modèle de charge provoquant la plus grande rotation est adopté.

Le tassement théorique est donné par l’expression suivante :

vz = ∑Fz ti/A’ x (1/(5G S1²)+1/Eb)

La valeur de stabilité de rotation est donnée par :

(a’ x αa + b’ x αb)/Kr

Mémoire de PFE


(On suppose en but de simplification que la flexion transversale est négligeable devant la flexion

longitudinale (αb = 0)).

Il y a une stabilité en rotation si ∑Fz ti/A’ (1/(5G S1²)+1/Eb) ≥ ((aa’’ααaa + b’ αb)/Kr

vz (mm) 3,998

→

Valeur de stabilité en rotation

1,25

Tassement théorique


Figure 5.13.8.1 Vérification de la stabilité en rotation

5.13.9 Condition de non glissement

La vérification se fait avec la combinaison qui donne l’effort de freinage maximal et l’effort de

compression minimal.

Ar = A’ x (1-vx / a’)

σmin = Vmin / Ar

μe = 0.1 + 1.5Kf / σm

Fx = vx/Te x G x A’ + Hx, vx étant le déplacement qui va avec la combinaison qui donne l’effort de

compression minimal Fd et l’effort de freinage maximum Hx.

La condition de non glissement est vérifiée si Fx < μe x Fd.

Ar(m²) 0,193452

σmin(Mpa) 4,083700349

µe 0,320388354 →

Fx 0,1992196

µeFd 0,2531068


Figure 5.13.9.1 Vérification du non glissement

5.13.10 Dimensionnement des frettes

Le dimensionnement des frettes fait intervenir la combinaison qui donne l’effort maximal de

compression :

La surface en plan effective de l’appareil d’appui est recalculée, cette fois avec le déplacement qui va

avec le Vmax.

Ar = A’ x (1-v1/a’)

ts = 2.6 x Vmax x ti/(Ar x fy)

Mémoire de PFE


fy est la limite d’élasticité de l’acier dont les frettes sont constituées. Il est généralement égal à

235Mpa.

Ar(cm²) 1869,84

ts(mm) 3,20

4,00 mmOn prendra des frettes d'acier d'épaisseur

Figure 5.13.10.1 Dimensionnement des frettes d'acier

5.13.11 Détermination des pressions sur les supports

L’appui est considéré comme entièrement comprimé.

Les vérifications sont menées avec les résultats de la combinaison qui donne l’effort de compression

maximal.

La surface en plan effectif est encore une fois calculée en considérant le v1 résultant de la

combinaison adoptée. Ensuite, elle est comparée à A’mini.

La contrainte moyenne σm sollicitant = Fmax / Ar est alors déduite et comparée à σm résistant déjà calculé

dans la vérification du flambement.

Ar(cm²) 1870 →

σm(Mpa) 24,066

Vérifications de l'appareil


Figure 5.13.11.1 Vérifications de l'appareil sous la combinaison causant le Vmax

Un nouveau calcul de distorsions est effectué avec la même combinaison de charges et la limite de

déformations est vérifiée comme précédemment.

εc 4,118

εq 0,833

εα 0,728

εt 5,679 < 7

Distorsions


Figure 5.13.11.2 Vérification du respect des déformations

Le frettage, la stabilité en rotation et la stabilité en flambement sont également vérifiés.

Frettage → ts (mm) 3,195 < 4,00 mm

Stabilité rotation → vz (mm) 4,710 > 1,13 mm

Stabilité flamb → σm (Mpa) 24,07 < 26,99 Mpa

Figure 5.13.11.3 Différentes vérifications

Il s’agit de vérifier que l’appareil d’appui en question ne soit pas sujet au soulèvement.

Mémoire de PFE


Pour cela, l’excentricité de la résultante des forces = Mt/Fz est calculée et comparée à a’/6.

Si elle est inférieure, il n’y a pas de risque de soulèvement.

Mt est le moment de rappel, il est donné par :

Mt = G x α x a’5 x b’ x Kamax / (n’ x ti3 x Ks)

n’ = n + 2 x (e/ti)3

Ks = 26.2 x exp (-1.2785ln (b/a)) +60

α est la rotation retranché de 3.0 x 10-3 qui correspond au défaut de pose.

Kamax est un coefficient correcteur qui tient compte des imprécisions concernant la grande dispersion

des résultats d’essai. Il est déduit d’après la courbe comportement compression – rotation avant

soulèvement qui est repris au paragraphe 3.4.2.1 du guide du SETRA (Il est à entrer par le

concepteur).

Le moment de rappel Mt étant calculé, l’excentricité est déduite en divisant par l’effort de

compression maximal et la condition du non soulèvement est vérifiée.

Kamax 2,47

n' 6,250

Mt (MN.mm) 80,24

excmax (mm) 17,83

6*excmax (mm) 106,988 < 388 → pas de risque de soulèvement

Voir paragraphe 3.4.2.1 page 27 - Appareils d'appui en élastomère fretté

Figure 5.13.11.4 Vérification du non soulèvement

5.14 Fatigue

La fatigue est un processus qui, sous l'action de contraintes ou déformations variables dans le temps,

modifie les propriétés locales d’un matériau et peut entraîner la formation de fissures et

éventuellement la rupture de la structure. La fatigue est notamment caractérisée par une étendue de

variation de contrainte bien inférieure à la résistance à la traction du matériau. Les étapes principales

de la fatigue sont l’amorçage de fissures (si des défauts ne sont pas déjà présents dans le matériau),

la propagation de fissures et la rupture finale. Les paramètres souvent utilisés pour prédire le

comportement en fatigue et ainsi le nombre de cycles à rupture d'une structure sont : l'amplitude de

cette sollicitation (chargement ou déformation imposée), sa valeur moyenne, le fini de surface et le

milieu dans lequel la structure sera utilisée.

Ce phénomène peut être combiné avec d’autres comme par exemple la corrosion ou bien le fluage.

Un matériau qui résiste très bien à la fatigue et à la corrosion peut se rompre brutalement sous

l’effet combiné de ces deux phénomènes.

La fatigue est assez détaillée dans l’Eurocode 2-2 et dans l’annexe NN. Les paramètres à calculer

présentent beaucoup de difficultés. Il faut se référer à des courbes établies expérimentalement.

Mémoire de PFE


Figure 5.14.1 λs,1 pour la vérification à la fatigue en zone d'appui

Figure 5.14.2 λs,1 pour la vérification à la fatigue en travée

Comme solution proposée, la vérification à la fatigue peut ne pas être nécessaire si sous combinaison

de charge fréquente, les fibres inférieures et supérieures du béton sont comprimées. Bien entendu,

ce n’est pas la solution la plus économique parce qu’on pourra être emmené à ajouter plus de force

de précontrainte que nécessaire. Néanmoins, ça va dans le sens de la sécurité et dispense du calcul

laborieux de la résistance de la fatigue.

σmin(Mpa) 5,477 2,043 0,049 0,960 1,117 1,746 2,485 2,907 2,205 2,612 0,087

Résistance à la fatigue Vérification fatigue non nécessaire

Résistance à la fatigue

Figure 15.14.3 Vérification de la fatigue

Dans le programme conçu, les valeurs des contraintes issues de la combinaison fréquente sont

sélectionnées et vérifiées vis-à-vis de la compression. Un message est affiché pour signaler si la

vérification à la fatigue est nécessaire ou pas. En cas où elle est nécessaire, le nombre de câbles de

précontrainte est modifié.

Mémoire de PFE


5.15 Appuis en béton armé

Les appuis d’un pont se décomposent en 2 culées et des piles suivant le nombre de travées. Ayant la

réaction d’appui Nu et le moment à la base de l’appui Mu1 calculés aux états limites ultimes, le

ferraillage nécessaire à l’équilibre des forces peut être entrepris.

En présence d’élément porteur à grande hauteur, le phénomène d’élancement doit être pris en

compte ainsi que les effets du second ordre qui en découlent.

Le BAEL donne des indications facilement mis en œuvre et directement applicables. Elles se

présentent comme suit :

Effet du 1èr ordre : e1 = l/250

Effet du 2ème ordre : e2 = 6lf²*(1+α)/(104*h)

D’où Mu2 = Mu1 + Nu*(e1 + e2)

Le problème est ramené alors à un problème de flexion composée classique.

Il suffit de calculer le moment au centre de gravité de la section et après d’appliquer les règles du

béton armé classique afin de trouver la quantité d’acier nécessaire à mettre en œuvre.

Dans les Eurocodes, c’est beaucoup plus compliqué parce que c’est une méthode itérative qu’il faut

appliquer afin de savoir la quantité d‘acier final. En fait :

Le moment du premier ordre est remplacé par une expression qui prend en compte les moments

suivant les 2 axes principaux. Moe = 0.6 Mo2 + 0.4Mo1.

Le moment du deuxième ordre est remplacé par M2 = Ned x e2 où e2 = (1/r)*lo² / c.

c = 10 ; lo = K * h (de la pile) ; K = 2 pour un élément encastré en pied et libre en tête (cas courant

d’une pile ou d’une culée).

Le calcul du terme (1/r) est une longue démarche et fait déjà intervenir l’inconnu As. Les calculs sont

alors alourdis (voir exemple traité ci-dessous). Une valeur précise doit être affectée à la section

d’acier. Une vérification est, bien entendu, nécessaire afin de savoir si la quantité d’acier mise en

place suffira pour équilibrer les efforts sollicitants. Afin de plus clarifier ce point, un exemple

numérique sera traité dans la suite suivant les règles du BAEL et suivant les Eurocodes.

La section traitée est la suivante :

Mémoire de PFE


Figure 5.14.1 Section d'une pile

Cette section de pile a pour hauteur 6.25m. Elle est dimensionnée aux états limites ultimes comme

tout élément d’appui. Elle est soumise aux sollicitations suivantes :

Nu = 1527.7 T

Mu = 111 T.m

BAEL :

Excentricité de premier ordre : e1 = l/250 = 6.25/250 = 0.025m

Excentricité du 2ème ordre : e2 = 6*lf²/(104*h)*(1+α)

lf = 2*6.25 = 12.5m ;

h = 6.25m ;

α = 0.12/(0.12+0.11+10.94) = 0.011m ;

e2 = 6*12.5²*(1 + 0.011)/(104*0.85) = 0.111m

D’où Mu = 111 + 1527.7 * (e1 + e2) = 111 + 1527.7 * (0.111 + 0.025) = 318.77 T.m

Le moment retrouvé est le moment sollicitant la section au niveau de la section des armatures.

Mu(Gs) = 318.77 + 1527.7*(0.76-0.85/2) = 830.5 T.m

mu = Mu(Gs)/(bo*d²*fbu) or fbu = limite de résistance du béton aux ELU = 0.85*fc28/1.5 = 17Mpa

mu = 830.5*10-2/(4*0.76²*17) = 0.2114 � pivot B �αu = 0.2983�au = 17/21* αu = 0.2415

As = au*bo*d*fbu/σs – Nu/σs = 0.2415*4*0.76*17/(400/1.15) – 1527.7*10-2/(400/1.15) < 0

On disposera alors le ferraillage minimal qui est de 0.1% la section.

Asmini = 0.1/100*400*85 = 34cm²

Eurocode 2 :

Mémoire de PFE


Les effets du premier ordre sont supposés prendre la même expression que dans le BAEL. Quant à

l’excentricité du 2ème ordre, elle est donnée par l’expression suivante :

e2 = (1/r) * lo² / c

c = 10 ;

lo = 2*6.25 = 12.5m.

1/r = Kr * KФ * (1/ro)

1/ro = εyd / (0.45*d) ; εyd = fyd/Eacier = 400/200000 = 2‰

1/ro = 0.002/(0.45*0.76) = 0.00585 (5.85‰).

Kr = (nu – n)/(nu – nbal) ;

n = Ned/(Ac*fcd) avec fcd limite de compression du béton aux ELU = 1.0*fck/1.5 (le coefficient 0.85 du

BAEL disparaît) = 1.0*30/1.5 = 20Mpa.

n = 1527.7*10-2/(4*0.85*30/1.5) = 0.2247

nu = 1 + w et w = As*fyd/(Ac*fcd) = 400*As/(4*0.85*20) = 5.882*As.

nu = 1 + 5.882As.

nbal = 0.4

Kr = (1 + 5.882As – 0.2247) / (1 + 5.882As – 0.4) = (0.775 + 5.882As) / (0.6 + 5.882As)

KФ = 1 + βФef ;

Фef = Ф(∞,to) * MoEqp / MoEq où le rapport MoEqp / MoEq est le rapport du moment à l’ELS et celui à

l’ELU. Généralement, ce rapport est voisin de 1.4 et Ф(∞,to) est le coefficient de fluage à l’infini (=

2). D’où Фef = 2*(1/1.4) = 1.43

β = 0.35 + fck/200 – λ / 150

λ = 20*A*B*C/√n ;

Si la valeur de A, B, C n’est pas connue, il convient de prendre A = 0.7 ; B = 1.1 ; C = 0.7

λ = 20*0.7*1.1*0.7/√0.2247 = 22.47

β = 0.35 + 30/200 – 22.47/150 = 0.35

KФ = 1+0.35*1.43 = 1.5

1/r = 1.5 * (0.775 + 5.882As) / (0.6 + 5.882As)*5.85/1000 = (51.61*As + 6.8) / (600 + 5882As)

D’où e2 = (51.61*As + 6.8) / (600 + 5882As) * (2*6.25)²/10 = (806.4As + 106.243) / (600 + 5882As)

Le moment total dû au premier et au deuxième ordre est :

Mémoire de PFE


M = 1547.7*10*(6.25/250 + (806.4As + 106.243) / (600 + 5882As)) ;

M = 381.925 + 15277*(806.4 As + 106.24)/(600 + 5882As)

On se remmène au cas de la flexion composée. Le moment au centre de gravité de la section des

armatures est : M(Gs) = M + 1527.7*10*(0.76-0.85/2) ;

M(Gs) = 5500 + 15277*(806.4As + 106.24)/(600 + 5882As)

mu est déduite en divisant bo*d²*fbu sauf que dans l’expression obtenue, le calcul n’est pas faisable

étant donné de la présence du As alors qu’il est recherché.

C’est une méthode itérative. Il faut donner une valeur à As pour pouvoir continuer les calculs. Cette

valeur sera vérifiée dans la suite pour savoir si elle est suffisante pour équilibrer les efforts

sollicitants.

La valeur de Asmini lui est affectée soit 34cm².

au = (Nu + As*σs)/(bo*d*fbu) = (1527.7*10-2 + 0.0034*400/1.15)/(4*0.76*20) = 0.2707

� pivot B � αu = 21/17* au = 0.3344 � mu = 0.233

Mu = mu*bo*d²*fbu = 0.233*4*0.76²*20*103 = 10766kN.m > Mud = 8185 T.m

Les 2 règlements donnent le même résultat mais la démarche proposée par l’ancien règlement est

beaucoup plus facile à mettre en œuvre.

Mémoire de PFE


6. Comparaison BPEL - Eurocode

Dans cette partie, une comparaison entre le BPEL et les Eurocodes va être exposée. Les 2 règlements

s’appuient sur les mêmes principes mais il y a quelques importants changements qui peuvent être

notés.

Une première différence est au niveau des charges et des sollicitations :

Charges :

Le BPEL recommandait de se référer au fascicule 61 titre II qui détaillait les charges à prendre en

compte lors de la conception et du dimensionnement du pont. Ces charges se décomposaient en 2

systèmes A et B qui peuvent être disposés sur les chaussées des ponts. Ces systèmes sont distincts et

indépendants, en ce sens que pour le calcul d’un effet donné les 2 systèmes ne peuvent être

appliqués simultanément.

Le système A est une charge uniforme représentant un trafic léger (voitures) et qui est répartie sur

toute la longueur chargée.

Le système B représente les poids lourds que le pont est amené à supporter. Ce système comprend 3

systèmes distincts : Bc, Br et Bt.

Le système Bc se compose de camions types, Br d’une roue isolée et Bt de groupes de deux essieux

dénombrables essieux – tandems.

Figure 6.1 Vue en en plan respective du système Bc et Bt

Dans les Eurocodes et comme ça a été traité ultérieurement, des modèles spécifiques de charge

pondérés de coefficient d’ajustement remplacent les systèmes A et B. La notion de groupe est aussi

introduite. Ainsi, en fonction de la future destination du pont, des modèles de charges différents

peuvent exister. Le cas le plus souvent est celui du LM1 (chargement utilisé au fur et à mesure dans

le programme conçu) parce qu’il permet de couvrir la plupart des effets du trafic des camions et des

voitures.

Mémoire de PFE


Une deuxième différence majeure est celle de la classe d’environnement.

Classe d’environnement :

Dans l’ancien règlement, cette notion servait à prédire le type de la fissuration (peu préjudiciable,

préjudiciable, très préjudiciable) et d’en déduire alors l’état limite dimensionnant. Pour la fissuration

peu préjudiciable, le calcul se faisait aux états limites ultimes en n’imposant pas de condition sur la

contrainte dans l’acier mais en considérant que le béton ne résiste pas à la traction (section

fissurée) ; en fissuration préjudiciable ou très préjudiciable, le calcul se faisait aux états limites de

service (ELS) en limitant la contrainte dans l’acier et en considérant que le béton peut résister à un

certain effort de traction.

Dans les nouvelles normes, la notion de type de fissuration disparaît complètement. C’est,

désormais, la classe d’environnement qui dicte la valeur de la limite de fissuration qui ne doit pas

être dépassée. Elle va être indispensable lors du calcul du ferraillage passif parce qu’elle va

déterminer la contrainte dans l’acier à laquelle il faut se limiter.

La classe d’environnement est utile aussi pour déterminer l’enrobage qu’il faut prévoir pour éviter

tout phénomène de corrosion qui pourra attaquer les armatures passives ou de précontrainte et les

fait perdre de leur résistance. Une nouveauté dans les Eurocodes, est l’ajout de 10 mm sur cmin qui

prend en compte un défaut de mise en œuvre.

Coefficient d’équivalence :

La notion du coefficient d’équivalence (désigné par n) est une parmi les différences majeures qui

existent entre l’ancien et le nouveau règlement. En fait, en BAEL, le n est toujours égal à 15 parce

qu’on se place à long terme ; les expériences ont montré que le module d’Young du béton chutait

d’un facteur 3. Ainsi, le 11000(fcj)1/3 (module d’Young adopté dans les calculs lorsque le béton est à

jeune âge) devient 3700(fcj)1/3 du au phénomène du fluage.

Dans les Eurocodes, le n n’est plus égal à 15. Il faut le calculer pour chaque situation de projet.

L’Eurocode ne donne pas une méthode particulière à suivre, il est laissé au choix du concepteur de

choisir la valeur qu’il juge juste et qui reflète bien la réalité. Ainsi, la méthode proposée est comme

décrite dans le paragraphe 5.7 sections résistantes.

Le « n » est utilisé juste dans le calcul des sections homogènes, en d’autres termes, lorsqu’il y a une

adhérence complète entre le béton et les armatures.

Par conséquence, quand le béton est encore mou (coulage en place du béton), la force qui va entrer

en jeu est uniquement le poids propre du béton. A ce moment là, il n’ y a aucune adhérence entre les

2 matériaux. Les câbles sont tendus après que le béton soit suffisamment durci. Le coffrage est

retiré ; les superstructures (bordures, corniches, trottoir…) sont mises en place. A ce moment, une

adhérence complète existe entre le béton et les armatures. Par conséquence, le calcul va être fait

avec une section homogène différée parce que les superstructures sont des charges permanentes

donc le caractère du fluage doit être pris en compte. Les charges d’exploitation sont calculées en

section homogène instantanée parce que ces dernières sont d’une courte durée.

Mémoire de PFE


En résumé, une différenciation doit être faite pour les charges de poids propre, les charges de

superstructure et celles d’exploitation parce que l’inertie de la section de béton est emmenée à

changer.

Vérifications (ELS):

Dans le BPEL, les ponts étaient divisés en 3 classes (I, II et III). Chacune de ces dernières avait des

vérifications propres à elles :

Classe I :

En situation d’exploitation, aucune contrainte de traction n’est admise sur l’ensemble de la section.

En situation d’exécution, les contraintes de traction sont partout bornées à 0.7ftj.

Classe II :

En classe II, le calcul des contraintes normales est toujours effectué sur la section non fissurée. Il doit

être vérifié que les contraintes de traction du béton sont limitées aux valeurs suivantes :

• En situation d’exploitation, sous l’effet des combinaisons rares : ftj dans la section

d’enrobage ; 1.5 ftj ailleurs.

• En situation d’exploitation, sous l’effet des combinaisons fréquentes : 0 dans la section

d’enrobage.

• En situation d’exécution : 0.7ftj dans la section d’enrobage et 1.5ftj ailleurs.

Classe III :

En classe III, les contraintes normales sont calculées uniquement sur la section fissurée. Il y a lieu de

vérifier que :

• En situation d’exploitation, sous l’effet des combinaisons rares, aussi bien qu’en situation

d’exécution, les aciers passifs, quelle que soient leurs positions, respectent les

recommandations du BAEL 91.

• En situation d’exploitation, sous l’effet des combinaisons fréquentes, les surtensions dans les

aciers de précontrainte sont limitées à 100Mpa et les tensions dans les aciers passifs à

0.35fe.

• En situation d’exploitation, sous l’effet de la combinaison quasi-permanente, la section

d’enrobage demeure entièrement comprimée.

Dans les nouvelles normes, la notion de classe pour les ponts disparaît. Un pont est plus caractérisé

par son milieu environnemental. Les différentes vérifications qui doivent être satisfaites sont les

suivantes :

• Il faut limiter la contrainte de compression à une valeur 0.6xfck dans les parties exposées à

des environnements correspondant aux classes d’environnement XD, XF et XS.

Mémoire de PFE


• Si sous charges quasi-permanentes, la contrainte dans le béton est inférieure à 0.45fck, on

peut admettre que le fluage est linéaire. Dans le cas contraire, il convient de considérer un

fluage non – linéaire.

• On peut considérer qu’un niveau de fissuration ou de déformation inacceptable est évité si,

sous la combinaison caractéristique de charges, la contrainte de traction dans les armatures

de précontrainte n’excède pas 0.8 x fpk.

Ferraillage passif :

Dans le BPEL, l’acier passif était calculé suivant l’expression suivante :

As = Bt / 1000 + Nbt x ftj/(fe x σ)

Où :

Bt : aire de la section tendue

Nbt : effort de traction

ftj : limite de traction du béton

σ : contrainte de traction sollicitante du béton

Dans les nouvelles normes, le ferraillage passif est calculé suivant l’expression retrouvée dans le

paragraphe 5.10.1 (σs x As = kc x k x fctm x Act).

Cette expression est donnée sous forme de simplification pour ne pas être emmené à calculer

l’ouverture des fissures en détail. La contrainte dans l’acier est limitée suivant le diamètre des barres

et l’ouverture des fissures.

Effort tranchant :

Aux ELS, les nouvelles normes n’indiquent rien à ce sujet. Donc, les recommandations du BPEL sont à

utiliser et à vérifier.

Quant aux ELU, la contrainte limite de compression des bielles est beaucoup plus élevé que celle

dictée en BPEL.

Vérification aux ELU :

Ce sont les mêmes artifices de calcul dans les 2 règlements à 1 facteur près : En BPEL, on limitait par

un facteur 0.85 la résistance du béton alors que dans l’Eurocode, ce facteur disparaît (= 1).

Mémoire de PFE


7. Guide méthodologique et environnement du personnel

7.1 Contenu du guide méthodologique

Le guide méthodologique réalisé explique la procédure à suivre lors du dimensionnement d’un pont

dalle. Il se compose de :

• une partie opératoire où les informations nécessaires au fonctionnement du programme

sont illustrées. Ces informations sont les données à entrer pour chaque étape du

dimensionnement (sollicitations externes, calcul de la force de précontrainte, les différentes

justifications à l’ELS et l’ELU et le dimensionnement des appareils d’appui) et les résultats qui

intéressent à la fin l’utilisateur.

• Une partie explicative qui traite des principes sur lesquels les calculs ont été basés. Cette

partie est plus destinée pour ceux qui désirent vérifier les calculs que le programme réalise.

Dans la partie opératoire, les données se décomposent en :

• Type du béton.

• Caractéristiques mécaniques et géométriques du pont.

• Classe du trafic.

• Type des armatures de précontrainte et des armatures passives.

• Coefficients de frottement pour les pertes instantanées, la date de mise en tension des

câbles, les différentes valeurs des retraits en fonction du rayon moyen et de la région dans

laquelle se fait construire le pont.

• …

Dans le guide figurent aussi des références qui renvoient aux prescriptions et aux articles des

Eurocodes notamment en ce qui concerne tous les coefficients qui se rapportent avec le fluage et le

retrait.

Les résultats du programme Excel sont marqués en rouge pour faciliter la tache aux utilisateurs.

7.2 Création du programme

Toutes ces feuilles d’Excel ont été réalisées en se basant sur un exemple de pont à 2 travées.

Dans un premier temps, il a été calculé suivant le règlement BPEL. Cela a été une première occasion

pour se familiariser avec les calculs et voir quelques méthodes de calcul ignorées jusqu’à ce stade. On

peut en citer la méthode des câbles concordants. L’attention a été attirée aussi sur les différentes

vérifications auxquelles est soumis un calcul d’un pont.

Après que les calculs suivant le BPEL ont été terminés, l’étape suivante a été de passer aux nouvelles

normes qui sont les Eurocodes et qui font le cœur du PFE. Le même exemple a été refait alors en se

Mémoire de PFE


basant sur l’Eurocode 2 qui traite du béton et de l’Eurocode 1 qui détaille les charges à considérer

pour un pont routier.

La généralisation s’est ensuite faite pour des ponts à 2 et 3 travées quelconques. Cela a alourdi les

méthodes de calcul surtout pour la détermination des sollicitations du convoi mobile que prescrit le

modèle de charge LM1 adopté dans les calculs (la méthode des foyers a été utilisée). Quant aux

charges de trafic, le calcul s’est effectué à la main en considérant les nombreux cas de charges de

travées possibles. La validation des résultats obtenus se faisait toujours avec le logiciel Robot

Millenium. Une comparaison des sollicitations montrait l’exactitude des résultats obtenus.

7. 3 Limitation du programme

Le programme d’Excel réalisé est conçu pour les ponts courants :

• Les ponts à 2 ou 3 travées quelconques : les portées données et la classe du trafic entré, le

programme calcule les sollicitations du aux charges permanentes et celles dues aux charges

d’exploitation (en utilisant les lignes d’influence). Ces mêmes sollicitations sont utilisées dans

la suite des calculs pour déterminer la force de précontrainte à mettre en œuvre et les

différentes vérifications à réaliser. Au-delà de 3 travées, le pont dalle est abandonné. Des

structures de pont plus performantes prennent le relais (meilleur rendement géométrique et

plus grande portée).

• Les ponts à même inertie et même enrobage : il faut que les sections du pont dalle ne

montre pas des irrégularités au niveau de l’inertie ni au niveau de l’enrobage. Sinon, les

résultats donnés par le programme ne sont plus valables.

• Les ponts à largeur de chaussée constante tout au long.

Le programme n’est pas à utiliser dans une phase d’exécution. Il est plus fait pour une phase de

prédimensionnement. Tous les aspects de la précontrainte pour un pont dalle figurent dedans. Il

pourrait être une bonne base pour générer un programme encore plus puissant.

Quant aux quantités de matériaux utilisés, il ne donne pas la solution la plus économique au niveau

du nombre de câbles de précontrainte à utiliser. On a tendance à majorer pour éviter de vérifier

certains critères essentiellement la fatigue du à la méthode fort compliquée donnée par les

Eurocodes.

Avec l’élaboration de nouvelles méthodes pour vérifier la fatigue (qui ne surdimensionnement pas la

force de précontrainte), ils peuvent être applicables dans le programme pour être encore plus

performant.

7.4 Rôle des ingénieurs

Avant d’avoir commencé la création du programme, une enquête a été menée auprès des ingénieurs

pour déterminer leurs besoins et leurs priorités face à un projet de pont dalle précontraint. Ainsi, des

informations principales que doit contenir le programme ont pu être relevées. Une de ces

informations était la simplicité et la clarté. Plus le programme est simple et facile à mettre en œuvre,

plus on va économiser du temps pour s’y habituer. Egalement, il doit contenir tous les aspects du

Mémoire de PFE


dimensionnement. Finalement, les données doivent bien être distinguées ainsi que les résultats. Le

code des couleurs a été aussi utilisé.

Mémoire de PFE


8. Conclusion

Dans ce rapport, les différentes étapes de calcul et d’élaboration du programme réalisé sont traitées.

Cela englobe le calcul des sollicitations, la détermination de la précontrainte à mettre en œuvre, le

tracé du câble, le calcul des sections résistantes, les pertes instantanées et différées, le calcul des

contraintes de Navier, etc.…

Quelques conclusions peuvent être tirées :

• Au niveau de la précontrainte, les Eurocodes sont plus des normes de vérification que de

dimensionnement. Plusieurs étapes de calcul sont laissées au choix du concepteur (calcul du

module d’équivalence, vérification de l’effort tranchant à l’ELS).

• Les Eurocodes sont des normes assez complexes. Ils demandent beaucoup de précaution

lors de leur mise en application et contiennent des méthodes assez laborieuses pour

quelques phases de dimensionnement.

• Au niveau du travail réalisé, un guide méthodologique basant sur un programme d’Excel a

été effectué. Il s’adresse pour des ponts courants à 2 ou 3 travées et contient toutes les

phases de dimensionnement d’un pont dalle précontraint. Il s’appuie sur des méthodes

simplifiées proposées par l’Eurocode 2.

Ce travail de PFE m’a permis, dans un premier temps, d’approfondir mes connaissances en matière

d’ouvrages d’art. Dans un deuxième temps, c’était une occasion de voir le monde de l’entreprise.

Une ouverture d’esprit était requise pour travailler avec les 2 règlements BPEL et Eurocodes. La

principale difficulté rencontrée était de surmonter la complexité des Eurocodes tout en essayant

d’adopter des méthodes basées sur la simplicité et de s’affranchir des longs calculs qui peuvent avoir

lieu (vérification de la fatigue, calcul de l’ouverture des fissures).

Pendant ces 20 semaines, l’autonomie s’est installée au fur et à mesure de l’avancement du travail.

Cette autonomie était due à la confiance que j’acquérais avec les jours. J’ai pu gagner aussi de

l’expérience en travaillant sur quelques petits projets de dimensionnement à côté du guide réalisé.

Enfin, travailler avec les nouvelles normes et les appliquer dans un projet complet ont rendu ce

projet de fin d’études particulièrement intéressant. Tout au long de mon analyse, les enseignements

suivis lors de mes dernières années ont pu être mis en application d’une façon ou d’une autre, ce qui

me semble être un très bon lien vers le monde du travail et de l’entreprise.

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Références bibliographiques :

• Eurocode 1 – Partie 2 : Actions sur les ponts, dues au trafic.

• Eurocode 2 : calcul des structures en béton.

• Guide du SETRA – Application aux ponts-routes en béton.

• Béton précontraint aux Eurocodes – Auteur : Patrick Le Delliou – Editeur : Pul – Collection :

ENTPE

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ANNEXES

Documents

Rapport Pfe