LA RAZON AUREA O NMERO DE ORO

EN ARTE, ARQUITECTURA Y MSICA

La geometra, segn cuentan los historiadores, nace a orillas del ro Nilo. El faran obligaba a pagar los tributos proporcionalmente a la extensin de las tierras de cada propietario. Asimismo, las crecidas y estiajes del Nilo obligaban a situar las marcas y los lindes de los campos de cultivo despus de cada inundacin. La medida de reas, distancias y ngulos favoreci el desarrollo de una serie de tcnicas para ejecutar estos procesos con precisin y lo que es ms importante supuso el inicio de un proceso de abstraccin que converta un accidente geogrfico en una lnea, una superficie de cultivo en un grfico y las distancias lineales y angulares podan ser tratadas matemticamente. En otras palabras, el inicio de la geometra a un nivel esencialmente prctico.

Fueron los inquietos y curiosos habitantes de Grecia quienes sistematizaron y formalizaron esas estructuras, descubriendo propiedades curiosas, elaboraron teoremas y formularon demostraciones que tenan validez universal. La estructura bsica de la geometra del plano ha llegado intacta a nuestros das y sigue estudindose o mejor dicho debiera seguir estudindose tal como lo hicieron los griegos hace siglos.

De entre todas las facetas abarcadas por esa ciencia, voy a dedicar la charla de hoy a un elemento muy simple, incluso insultantemente simple, pero que en su sencillez encierra innumerables consecuencias, aplicaciones e inesperadas propiedades. Voy a hablar del llamado nmero FI ((). Este nmero recibe su nombre del escultor Fidias (siglo V adC, autor del friso y del frontis del Partenn), quien utiliz ampliamente sus propiedades en su destacada obra artstica.

Todo empieza con una lnea recta. Imaginemos un segmento de una longitud dada l y ahora queremos dividirlo en dos partes, pero de la forma ms bella posible, de la forma ms armnica. Por ejemplo, sean a y b esos dos segmentos, tal que a + b = l. El mayor grado de armona se alcanza cuando la relacin entre la longitud total y el segmento mayor es igual a la relacin entre el segmento mayor y el menor.

Vitrubio indic que para que un todo dividido en partes desiguales pareciera hermoso, entre la parte mayor y la menor debe existir la misma relacin que existe entre la mayor y el todo.

Matemticamente, esto se expresa como.

Y desarrollando esta igualdad.

Resolviendo esta ecuacin de segundo grado.

Tomando el valor positivo de la raz, obtenemos que.

El nmero de oro, es un nmero irracional cuyo valor numrico es.( = 1,618033989.....

Esta simple relacin o cociente entre las longitudes de dos segmentos es la base de uno de los captulos ms curiosos y sugerentes de la Ciencia. Desde la antigedad ha despertado el inters y la curiosidad de filsofos, gemetras, matemticos, pintores, arquitectos y escultores. A mi juicio, su capacidad de fascinacin reside en el hecho de tratarse de un concepto esttico primario que admite un intenso formalismo matemtico. No nos debe extraar esa dualidad arte-matemtica, los hombres cultos de otras pocas no establecan diferencia alguna entre el rea de ciencias y el rea de humanidades. La separacin entre esas dos ramas del saber es uno ms de los lamentables inventos pedaggicos de este siglo. Por ello, la razn urea (bautizada as por Leonardo da Vinci) es un concepto curricular que ha desaparecido de los actuales planes de estudio pero su existencia nos acompaa en nuestra vida cotidiana como comprobaremos a lo largo de esta charla.

Pero volvamos a la definicin inicial. El nmero de oro es como hemos dicho anteriormente simplemente la razn entre dos segmentos pero es algo ms de un simple cociente de longitudes, en su valor matemtico lleva asociado un concepto esttico, el canon de la belleza, de la proporcin perfecta.

Por ejemplo, si pedimos a un grupo de personas que dibujen un rectngulo que resulte agradable a la vista o mejor an, si pedimos que elijan entre una docena de rectngulos con diferentes proporciones entre su anchura y su altura comprobaremos que el rectngulo mayoritariamente elegido es aquel cuyos lados cumplen la relacin.

No es de extraar que las tarjetas de crdito adopten esta forma, son rectngulos ureos, acertadamente elegida su forma para as hacer de oro a quien las emite. El documento nacional de identidad espaol tambin es un rectngulo ureo.Una forma sencilla de dibujar el rectngulo ureo es.

partimos de un cuadrado de lado l.

lo dividimos por la mitad

con un comps pincho en A' y trazo el arco BB'

la distancia OB' =

Para hallar la razn urea de un segmento procederemos de la siguiente forma. sea AC un segmento de longitud a, el cual quiero dividir en dos partes que guarden entre s la relacin urea.

levanto en C la perpendicular de longitud a/2

uno el punto A con el punto D.

trazo el arco CB' con centro en D.

trazo el arco B'B con centro en A

El nmero ( est muy ligado al pentgono regular tanto el convexo como el estrellado. El pentgono regular era el distintivo de los pitagricos. Los pitagricos se sentan fascinados por las propiedades de los nmeros e hicieron importantes descubrimientos en msica, al comprobar cmo al hacer vibrar una cuerda y su longitud fuera proporcional a ciertos nmeros enteros, entonces se producan unos sonidos melodiosos, es decir, existan ciertas longitudes expresadas en forma de nmeros asociados a la armona de los sonidos y, por tanto, al deleite del espritu. Esa escuela filosfica, ms bien una secta religiosa, fascinados por las propiedades del nmero de oro y su representacin grfica en el pentgono regular hicieron suyo ese smbolo que siempre ha posedo unas connotaciones esotricas. Para las invocaciones a los espritus, al diablo, se valen de una escenografa donde siempre aparece el pentgono regular, como elemento intermedio, como puerta de acceso entre la realidad y la irracionalidad.

para la construccin del pentgono regular partimos de un cuadrado de lado l

construimos el segmento ureo OD, tal que , por el mtodo expuesto anteriormente.

con centro en B' prolongo el arco BD hasta C'.

con centro en C trazo el arco OC'.

el segmento CC' es el lado del pentgono regular y el segmento OC' es la diagonal del pentgono, ambos estn relacionados.

Diagonal = lado (Los ngulos interiores de un pentgono miden:

El tringulo OCC' es issceles, los ngulos de los extremos miden,

De aqu deducimos, por inspeccin del tringulo OCC', que.

El tringulo issceles de ngulos 36, 72, 72 es la base del pentgono regular estrellado. Obsrvese que las diagonales y el lado estn en la proporcin del nmero de oro.

El tringulo issceles de ngulos; 36-72-72 nos servir tambin para obtener el lado del decgono regular. Obsrvese que el decgono podemos descomponerlo en 10 tringulos issceles de esas caractersticas y fcilmente se ve que el lado del decgono es justamente la parte urea del radio. Por tanto, a partir del radio OB (ver figura superior), levantamos el segmento OM de longitud igual a R/2. Unimos M con B. Trazamos el arco OC con centro en M. El segmento AB es la parte urea del radio y consecuentemente, el lado del decgono regular.

Llevando ese valor sobre la circunferencia marcamos los 10 puntos. Al unirlos de dos en dos dibujamos el pentgono regular, al unirlos de tres en tres el decgono regular estrellado y al unirlos de cuatro en cuatro el pentgono regular estrellado. Obsrvese en los polgonos estrellados como se forma interiormente el polgono convexo correspondiente.

Una cinta de papel anudada nos proporciona un pentgono regular.Una figura geomtricamente muy hermosa, la armona y belleza de sus proporciones nos indica que sus lados siguen la razn urea.

Un mosaico tambin muy hermoso diseado por el profesor Roger Penrose.

Sus elementos tienen como base las figuras.

Otro ejemplo del diseo artstico basado en las estticas sensaciones de la razn urea.

El "Entierro del Conde de Orgaz" y un estudio de sus proporciones basado en el nmero de oro.

Si disponemos de una hoja de papel de dimensiones ( x 1, al eliminar el cuadrado de lado unidad obtenemos otro rectngulo de dimensiones 1 x ((-1), que es semejante al primero. Procediendo sucesivamente tendremos toda una coleccin de rectngulos ureos de tamao cada vez ms pequeos pero todos semejantes entre s.

No slo aparece el nmero de oro en las obras de arte sino tambin en la Naturaleza.

Una construccin similar podemos realizar partiendo de un rectngulo ureo de dimensiones ( x 1, dividiendo el rectngulo ureo en un cuadrado de lado = 1, entonces el rectngulo sobrante tiene dimensiones 1 x ((-1). En ese nuevo rectngulo separamos el cuadrado de lado ((-1) quedando un rectngulo sobrante de dimensiones ((-1) x (2-(). Siguiendo el proceso vamos obteniendo rectngulos de dimensiones (2-() x (5-3(), (5-3() x (5(-8), tal como observamos en la figura.

Al trazar los cuartos de circunferencia correspondientes a cada uno de la sucesin de cuadrados sucesivos, obtenemos una lnea espiral cuyo perfil concuerda con el de la concha de multitud de caracoles marinos como el Nautilus o caracolas de mar.

Los huevos de gallina son valos que pueden inscribirse en rectngulos de oro, es decir, la altura y la anchura del huevo siguen la razn urea.

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55,.......Esta sucesin representa un buen nmero de situaciones prcticas pero la ms anecdtica es la relacionada con la cra de conejos. Supongamos una pareja de conejos, los cuales pueden tener descendencia una vez al mes a partir del segundo mes de vida, suponemos asimismo que los conejos no mueren y que cada hembra produce una nueva pareja (conejo, coneja) cada mes. La pregunta es, cuntas parejas de conejos existen en la granja al cabo de n meses?.

SECIN UREA EN MSICAEl hecho de que el smbolo de la Escuela Pitagrica fuese el pentagrama hace pensar que los pitagricos ya conocan sus armonas numricas y geomtricas y por lo tanto que conocan la razn urea, aunque la primera referencia escrita sobre sta sea obra de Euclides. Otro hecho que nos aproxima al conocimiento de nmeros inconmensurables por parte de los pitagricos es el famoso teorema de Pitgoras sobre el tringulo 3-4-5, que como ya vimos en la fig.5 tena proporciones prximas a las ureas. Veamos ahora las relaciones reales que existen entre el nmero de oro y las proporciones musicales.

La proporcin 2/3 = 0.666 del diapente es una aproximacin cercana a la proporcin 0.618 de la seccin urea. El diatesarn es idntico a la proporcin 3/4 del tringulo de Pitgoras. El diapasn, tiene la proporcin 1/2 = 0.5 de un rectngulo compuesto por dos cuadrados iguales y una diagonal de 5, o lo que es lo mismo, la proporcin mayor de un segmento ureo con la porcin menor a ambos lados.

Si nos fijamos en el teclado de un piano, reconoceremos sus proporciones armoniosas y ureas: hay 8 teclas blancas, 5 teclas negras y ellas aparecen en grupos de 2 y de 3. La serie 2/3/5/8 es, por supuesto, el comienzo de la serie de Fibonacci, y las proporciones de todos esos nmeros gravitan hacia la proporcin irracional y perfectamente recproca de 0.618 de la seccin urea.

Las proporciones 1/2, 2/3 y 3/4 reaparecen en los primeros y ms fuertes armnicos, tambin llamados parciales o componentes, que reverberan dentro de cada sonido musical, combinndose con el fundamental, como si simultneamente se pulsaran ms cuerdas invisibles, que acompaan y complementan el sonido fundamental. Esta unin dinergtica de la armona y el sonido fundamental es lo que da a los sonidos musicales plenitud, vitalidad y belleza se lo llama timbre- y lo que los distingue del mero ruido.

Las dos modalidades principales de las escalas occidentales, la menor (considerada triste) y la mayor (asociada con la brillantez) difieren una de otra nicamente en la longitud de los pasos entre ciertos intervalos, tal como las partes menor y mayor de la seccin urea difieren entre s slo por sus longitudes. Y tal como la unin de las partes menor y mayor nos deleita en las armonas visuales de la seccin urea, as tambin la unin de las escalas menor y mayor, llamada modulacin, nos encanta cuando la omos en acordes y melodas.

Tanto la escala menor como la mayor tienen, cada una, sus propias variantes llamadas dominantes y subdominantes- con sus propios conjuntos de acordes: y la relacin de stos con sus contrapartidas tnicas se ajusta nuevamente a las proporciones antes mencionadas. La dominante es el intervalo de quinta desde la nota clave (la primera nota de la escala) y la subdominante, el de cuarta.

El poder de la seccin urea para crear armona surge de su exclusiva capacidad de aunar las diferentes partes de un todo de modo que, conservando cada una su propia identidad, las combina no obstante en el patrn mayor de un todo nico. El cociente de la seccin urea es un nmero irracional e infinito que slo puede ser aproximado y, sin embargo, tales aproximaciones son posibles incluso dentro de los lmites de los nmeros enteros mnimos.SECCIN UREA EN ARTE

Escultura

El canon tibetano para construir la figura de Buda, muestra como se la encuadra entres rectngulos ureos, uno dentro del otro. El rectngulo mayor encierra toda la figura, desde el punto superior de la cabeza hasta la base, incluyendo las rodillas; el rectngulo intermedio, se extiende desde la parte superior de la cabeza hasta las piernas, tocando la mano derecha y el codo; y el rectngulo menor encuadra la cabeza. Aparecen tambin dos tringulos que van desde el mentn hasta las piernas y dibujan un pentgono central y dentro de l un pentgrafo que apunta al mentn, la cintura y las axilas (Fig.40a).

La figura coreana de bronce de Maitreya, el futuro Buda (fig. 40b), se puede encuadrar en un rectngulo ureo que descansa sobre un cuadrado del mismo ancho, conteniendo este ltimo el asiento y abarcando, el primero, el grueso de la figura.

Buda segn el canon tibetano. Buda Maitreya.

En Policleto (s.V a.C.), a quien se atribuye la autoria de un clebre tratado sobre las proporciones del cuerpo humano, actualmente perdido, encontramos por vez primera el concepto de belleza basada en el idealismo de proporciones del cuerpo humano como ocurre en dos de sus obras maestras El Diadmenos y ElPortalanza o Dorforo. Las construcciones de la seccin urea de esta escultura (fig.40) muestran dos conjuntos de rectngulos ureos recprocos, cada uno de 5 de largo; el conjunto mayor abarca todo el cuerpo, con las rodillas y el pecho en los puntos de la seccin urea; el conjunto menor se extiende desde la parte superior de la cabeza hasta los genitales. El ombligo se encuentra en el punto de la seccin urea de la altura total, los genitales en el punto de 3/4 de la altura hasta el mentn.

En la Afrodita de Cirene (fig. 45) se pueden reconocer relaciones de longitud igualmente armoniosas, aunque por desgracia se ha perdido la cabeza.

FIGURA 44: Dorforo(Polcleto).

FIGURA 45: Afrodita de Cirene..Pintura italiana del "Cinquecento"

El trnsito del Quattrocento al Cinquecento est encarnado de forma excepcional en Leonardo da Vinci (1452-1519), considerado siempre como una de las mentes ms brillantes y prodigiosas de la historia. Leonardo es el artista ms secreto y ms sabio de los tratados hasta el momento. Apasionado de la msica, habla abundantemente de la sutileza de las relaciones del arte de los sonidos con la pintura, pero su forma de concebir estas relaciones es realmente particular. Sus reflexiones sobre todas las cosas son excesivamente profundas y enigmticas. Laltima Cena, la nica composicin monumental que conservamos, sigue una disposicin simple del rectngulo 5. Aunque esta composicin est centrada sobre el Cristo, su traza determina otro cuadrado central que est en proporcin urea con las longitudes sobrantes a los lados. En el cuadrado central, se inscribe un cuadrado ms pequeo donde residen cuatro rectngulo ureo y a su vez la figura de Cristo se inscribe en otro rectngulo ureo delimitado por la ventana del fondo

La ltima Cena (Leonardo da Vinci).

Hombre de Vitruvio (Leonardo da Vinci).

En muchos otros cuadros suyos utiliz la proporcin urea considerada por l como un reflejo de la proporcin humana. Leonardo establece -siguiendo los dictmenes de la arquitectura de Vitruvio- que las proporciones del cuerpo humano son perfectas cuando el ombligo divide al cuerpo en modo ureo y es a la vez el centro de la circunferencia que lo circunscribe.La aplicacin ms directa que hace de estas proporciones la encontramos en La Gioconda (fig.62) donde la relacin urea la encontramos en las proporciones del cuadro, en las dimensiones del rostro, en el espacio que hay entre el cuello y la mano y en el que hay entre el escote del vestido y el final de la mano. Gioconda o Mona Lisa

SECCIN UREA EN ARQUITECTURASe caracteriza la arquitectura egipcia por el empleo de la piedra, en grandes sillares. La organizacin arquitectnica tomando como elemento bsico la columna es una aportacin esencial del arte egipcio, como lo es la belleza en la razn matemtica de las proporciones, es decir, de las relaciones entre las partes que integran el edificio.

Las construcciones ms caractersticas del arte egipcio son las tumbas y los templos. Como no destacar aqu La Gran Pirmide de KeopsHerodoto relata que los sacerdotes egipcios le haban enseado que las proporciones establecida para la Gran Pirmide entre el lado de la base y la altura eran tales, que el cuadrado construido sobre la altura vertical era exactamente igual al rea de cada una de las caras triangulares".

En Mxico, alrededor del 300 a.C. se construyeron enormes estructuras piramidales destinadas, a propsitos religiosos y astronmicos, que presentan patrones proporcionales bsicos similares a los de la Gran Pirmide de Egipto y los de Stonehege.

La Pirmide del Sol y la Pirmide de la Luna en Teotihucn, cerca de la ciudad de Mxico, fueron en cierta poca el corazn de una esplndida civilizacin metropolitana. La figura 108 muestra cmo los contornos de la Pirmide del Sol estn contenidos en dos conjuntos de tringulos de 5/8 y 3/4.

Otras pirmides mejicanas que se encuadran en los contornos del tringulo de 3/4, como se puede apreciar en los dibujos que representan las elevaciones de dos de ellas, son la Pirmide de Nichos en el Tajn (fig.110) y el Castillo enChichen Itz (fig.109).

BIBLIOGRAFIA.

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