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Rcc. de materiales

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Resistencia de Materialesaplicacion resistencia materiales ingenieria

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RESISTENCIA DE MATERIALES

(Conceptos Básicos de la Materia)

Estudia las relaciones entre las cargas exteriores aplicadas y sus

efectos en el interior de los cuerpos, además no supone que los

cuerpos son idealmente rígidos como en estática, sino que las

deformaciones por pequeñas que sean tienen gran interés, esta

materia comprende los métodos analíticos para determinar la

resistencia, la rigidez y la estabilidad de los diversos medios

soportadores de carga.

Cuerpos Deformables (Sólidos Deformables): Todo cuerpo está

constituido por una serie de partículas pequeñas entre las cuales

actúan fuerzas (internas), estas fuezas se oponen a los cambios de

forma del cuerpor cuando sobre él actúan fuerzas exteriores, si un

sistema de fuerzas exteriores se aplican a un cuerpo o un sólido sus

Page 4: Rcc. de materiales

partículas se desplazan relativamente entre sí, y estos

desplazamientos continúan hasta que se establece el equilibrio

entre fuerzas exteriores y fuerzas interiores.

La resistencia de materiales estudia a los sólidos como cuerpos

deformables que ofrecen gran resistencia a la deformación y desea

hallar:

a.- El estado de tensión del sólido

b.- Determinar cuales son las fuerzas internas con el objeto de

analizar si el sólido puede o no resistir las cargas externas, o

conocidas las cargas externas determinar las dimensiones que debe

tener el cuerpo para resistirlas.

c.- El estado de deformación infinitesimal para determinar los

desplazamientos de los cuerpos para saber si son balanceados y

para resolver problemas hiperestáticos.

Cargas: Fuerzas que actúan sobre los cuerpos. Según su efecto

sobre lso cuerpos existen varios tipos de cargas.

1.- Carga Puntual o Concentrada

2.- Carga Uniformemente Distribuida

3.- Carga Uniformemente variada

Esfuerzos: El término fundamental para el estudio de la resitencia

de los materiales es el llamado esfuerzo unitario, sabemos que el

calculo de las fuerzas externas en una sección de un miembro debe

ser determinada por los conocimientos de la estática.

Esfuerzo Unitario: Puede ser definido como la fuerza interna por la

unidad de área de una sección de unión. Hay dos tipos de

esfuerzos. Esfuerzos normales los cuales actúan en perpendicular a

las secciones en estudio y pueden ser de tensión o compresión

dependiendo de sus tendencias a alargar o acortar el material sobre

el cual actúa.

Deformación: Un cuerpo sólido sometido a un cambio de

temperatura o a cargas externas se deforma.

Deformación Uniforme: Cambio de longitud entre la longitud inicial

Page 5: Rcc. de materiales

y la final.

Relación Esfuerzo - Deformación: En la figura se observa que los

esfuerzos unitarios y las deformaciones unitarias son proporcionales

hasta el punto (A), al continuar cargando más allá del punto (B) la

deformación aumenta rápidamente en relación con el esfuerzo (B-C)

más allá del punto (C) el esfuerzo y la deformación crecen sin

ningún tipo de proporción hasta llegar al punto (D) más allá de

dicho punto el esfuerzo unitario disminuye y la deformación unitaria

crece hasta la rotura del material.

Rango Elástico o Zona Elástica: Zona dónde es válida la Ley de

Hooke en cualquier punto de esta zona el material se deforma bajo

la acción del esfuerzo y al retirar el esfuerzo el material recupera

sus dimensiones originales sin que quede ninguna deformación

(desde 0 hasta A).

Rango Plástico o Zona Plástica: Es la zona donde los esfuerzos no

son proporcionales a las deformaciones, un material cargadoque se

encuentr en esta zona al retirar el esfuerzo queda con una

deformación permanente.

Esfuerzo de Fluencia o Punto Cedente: En este punto el material

desarrolla un marcado incremento de la deformación sin aumentar

el esfuerzo. En la figura el punto cedente esta determinado por las

ordenadas de (B y C), de los cuales B es el punto cedente superior y

C el punto cedente inferior.

Esfuerzo Ultimo: Es el mayor esfuerzo basado en el are original que

puede desarrollar un material así que es la máxima ordenada de un

diagrama Esfuerzo/Deformación. En la figura el esfuerzo último esta

determinado por la ordenada del punto D.

Esfuerzo de Rotura: Es el esfuerzo en un material basado en el area

original en el instante en que se rompe. Es la última ordenada del

diagrama representado por el punto E.

Page 6: Rcc. de materiales

Esfuerzo Admisible: Es el máximo esfuerzo al que puede ser

sometido un material con cierto grado de seguridad.

Factor de Seguridad: Relación entre el esfuerzo último y el esfuerzo

admisible.

Ductilidad: Es la habilidad de un material para deformarse

plásticamente ante la fractura bajo esfuerzo de tracción.

Maleabilidad: Es el mismo concepto de ductilidad pero bajo un

efecto de compresión.

Fragilidad: Ausencia de eductividad.

Resistencia de los materiales:

La resistencia de materiales clásica es una disciplina de la

ingeniería mecánica y la ingeniería estructural que estudia los

sólidos deformables mediante modelos simplificados. La resistencia

de un elemento se define como su capacidad para resistir esfuerzos

y fuerzas aplicadas sin romperse, adquirir deformaciones

permanentes o deteriorarse de algún modo.

Un modelo de resistencia de materiales establece una relación

entre las fuerzas aplicadas, también llamadas cargas o acciones, y

los esfuerzos y desplazamientos inducidos por ellas. Típicamente

las simplificaciones geométricas y las restricciones impuestas sobre

el modo de aplicación de las cargas hacen que el campo de

deformaciones y tensiones sean sencillos de calcular.

Para el diseño mecánico de elementos con geometrías complicadas

la resistencia de materiales suele ser insuficiente y es necesario

usar técnicas basadas en la teoría de la elasticidad o la mecánica

de sólidos deformables más generales. Esos problemas planteados

en términos de tensiones y deformaciones pueden entonces ser

resueltos de forma muy aproximada con métodos numéricos como

el análisis por elementos finitos.

.

Relación entre esfuerzos y tensiones

Page 7: Rcc. de materiales

El diseño mecánico de piezas requiere:

• Conocimiento de las tensiones, para verificar si éstas sobrepasan

los límites resistentes del material.

• Conocimiento de los desplazamientos, para verificar si éstos

sobrepasan los límite de rigidez que garanticen la funcionalidad del

elemento diseñado.

En general el cálculo de tensiones puede abordarse con toda

generalidad desde la teoría de la elasticidad, sin embargo cuando la

geometría de los elementos es suficientemente simple (como

sucede en el caso de elementos lineales o bidimensionales) las

tensiones y desplazamientos pueden ser calculados de manera

mucho más simple mediante los métodos de la resistencia de

materiales, que directamente a partir del planteamiento general del

problema elástico.

Elementos lineales o unidimensionales

El cálculo de tensiones se puede obtener a partir de la combinación

de las fórmula de Navier para la flexión, la fórmula de Collignon-

Jourawski y las fórmulas del cálculo de tensiones para la torsión.

El cálculo de desplazamientos en elementos lineales puede llevarse

a cabo a partir métodos directos como la ecuación de la curva

elástica, los teoremas de Mohr o el método matricial o a partir de

métodos energéticos como los métodos energéticos como los

teoremas de Castigliano o incluso por métodos computacionales.

Elementos superficiales o bidimensionales

La teoría de placas de Love-Kirchhoff es el análogo bidimensional de

la teoría de vigas de Euler-Bernouilli. Por otra parte el cálculo de

láminas es el análogo bidimensional del cálculo de arcos. El análogo

bidimensional para una placa de la ecuación de la curva elástica, es

la ecuación de Lagrange para la deflexión del plano medio de la

placa. Para el cálculo de placas también es frecuente el uso de

métodos variacionales.

Relación entre esfuerzos y desplazamientos

Page 8: Rcc. de materiales

Otro problema importante en muchas aplicaciones de la resistencia

de materiales es el estudio de la rigidez. Más concretamente ciertas

aplicaciones requieren asegurar que bajo las fuerzas actuantes

algunos elementos resistentes no superen nunca desplazamientos

por encima de cierto valor prefijado. El cálculo de las deformaciones

a partir de los esfuerzos puede determiarse mediante varios

métodos semidirectos como el uso del teorema de Castigliano, las

fórmulas vectoriales de Navier-Bresse o el uso de la ecuación de la

curva elástica.

Propiedades mecánicas

En ingeniería, las propiedades mecánicas de los materiales son las

características inherentes que permiten diferenciar un material de

otros, desde el punto de vista del comportamiento mecánico de los

materiales en ingeniería, también hay que tener en cuenta el

comportamiento que puede tener un material en los diferentes

procesos de mecanizados que pueda tener. Entre estas

características mecánicas y tecnológicas destacan:

• Resistencia a esfuerzos de tracción, compresión, flexión y torsión,

así como desgaste y fatiga, dureza, resiliencia, elasticidad,

tenacidad, fragilidad, cohesión, plasticidad, ductilidad, maleabilidad,

porosidad, magnetismo, las facilidades que tenga el material para

soldadura, mecanizado, tratamiento térmico así como la resistencia

que tenga a los procesos de oxidación, corrosión. Asimismo es

interesante conocer el grado de conductividad eléctrica y la

conductividad térmica que tenga y las facilidades que tenga para

formar aleaciones.

• Aparte de estas propiedades mecánicas y tecnológicas cabe

destacar cuando se elige un material para un componente

determinado, la densidad de ese material, el color, el punto de

fusión la disponibilidad y el precio que tenga.

Debido a que cada material se comporta diferente, es necesario

analizar su comportamiento mediante pruebas experimentales..

Page 9: Rcc. de materiales

Tracción

En el cálculo de estructuras e ingeniería se denomina tracción al

esfuerzo a que está sometido un cuerpo por la aplicación de dos

fuerzas que actúan en sentido opuesto, y tienden a estirarlo. Se

considera que las tensiones que tienen cualquier sección

perpendicular a dichas fuerzas: son normales a esa sección, son de

sentidos opuestos a las fuerzas que intentan alargar el cuerpo.

Compresión

El esfuerzo de compresión es la resultante de las tensiones o

presiones que existe dentro de un sólido deformable o medio

continuo, caracterizada porque tiende a una reducción de volumen

o un acortamiento en determinada dirección. En general, cuando se

somete un material a un conjunto de fuerzas se produce tanto

flexión, como cizallamiento o torsión, todos estos esfuerzos

conllevan la aparición de tensiones tanto de tracción como de

compresión.

En un prisma mecánico el esfuerzo de compresión puede

caracterizarse más simplemente como la fuerza que actúa sobre el

material de dicho prisma, a través de una sección transversal al eje

baricéntrico, lo que tiene el efecto de acortar la pieza en la

dirección de eje baricéntrico.

Flexión

En ingeniería se denomina flexión al tipo de deformación que

presenta un elemento estructural alargado en una dirección

perpendicular a su eje longitudinal. El término "alargado" se aplica

cuando una dimensión es dominante frente a las otras. Un caso

típico son las vigas, las que están diseñas para trabajar,

principalmente, por flexión. Igualmente, el concepto de flexión se

extiende a elementos estructurales superficiales como placas o

láminas.

El rasgo más destacado es que un objeto sometido a flexión

Page 10: Rcc. de materiales

presenta una superficie de puntos llamada fibra neutra tal que la

distancia a lo largo de cualquier curva contenida en ella no varía

con respecto al valor antes de la deformación. El esfuerzo que

provoca la flexión se denomina momento flector.

Torsión

En ingeniería, torsión es la solicitación que se presenta cuando se

aplica un momento sobre el eje longitudinal de un elemento

constructivo o prisma mecánico, como pueden ser ejes o, en

general, elementos donde una dimensión predomina sobre las otras

dos, aunque es posible encontrarla en situaciones diversas.

La torsión se caracteriza geométricamente porque cualquier curva

paralela al eje de la pieza deja de estar contenida en el plano

formado inicialmente por la dos curvas. En lugar de eso una curva

paralela al eje se retuerce alrededor de él

Enfoque de la resistencia de materiales

La teoría de sólidos deformables requiere generalmente trabajar

con tensiones y deformaciones. Estas magnitudes vienen dadas por

campos tensoriales definidos sobre dominios tridimensionales que

satisfacen complicadas ecuaciones diferenciales. Sin embargo, para

ciertas geometrías aproximadamente unidimensionales (vigas,

pilares, celosías, arcos, etc.) o bidimensionales (placas y láminas,

membranas, etc.) el estudio puede simplificarse y se pueden

analizar mediante el cálculo de esfuerzos internos definidos sobre

una línea o una superficie en lugar de tensiones definidas sobre un

dominio tridimensional. Además las deformaciones pueden

determinarse con los esfuerzos internos a través de cierta hipótesis

cinemática. En resumen, para esas geometrías todo el estudio

puede reducirse al estudio de magnitudes alternativas a

deformaciones y tensiones. El esquema teórico de un análisis de

resistencia de materiales comprende:

• Hipótesis cinemática establece como serán las deformaciones o el

campo de desplazamientos para un determinado tipo de elementos

Page 11: Rcc. de materiales

bajo cierto tipo de solicitudes. Para piezas prismáticas las hipótesis

más comunes son la hipótesis de Bernouilli-Navier para la flexión y

la hipótesis de Saint-Venant para la torsión.

• Ecuación constitutiva que establece una relación entre las

deformaciones o desplazamientos deducibles de la hipótesis

cinemática y las tensiones asociadas. Estas ecuaciones son casos

particulares de las ecuaciones de Lamé-Hooke.

• Ecuaciones de equivalencia, son ecuaciones en forma de integral

que relacionan las tensiones con los esfuerzos internos.

• Ecuaciones de equilibrio que relacionan los esfuerzos internos con

las fuerzas exteriores.

En las aplicaciones prácticas el análisis es sencillo, se construye un

esquema ideal de cálculo formado por elementos unidimensionales

o bidimensionales, y se aplican fórmulas preestablecidas en base al

tipo de solicitación que presentan los elementos. Esas fórmulas

preestablecidas que no necesitan ser deducidas para cada caso, se

basan en el esquema de cuatro puntos anterior. Más concretamente

la resolución práctica de un problema de resistencia de materiales

sigue los siguientes pasos:

1. Cálculo de esfuerzos, se plantean las ecuaciones de equilibrio y

ecuaciones de compatibilidad que sean necesarias para encontrar

los esfuerzos internos en función de las fuerzas aplicadas.

2. Análisis resistente, se calculan las tensiones a partir de los

esfuerzos internos. La relación entre tensiones y deformaciones

depende del tipo de solicitación y de la hipótesis cinemática

asociada: flexión de Bernouilli, flexión de Timoshenko, flexión

esviada, tracción, pandeo, torsión de Coulomb, teoría de Collignon

para tensiones cortantes, etc.

3. Análisis de rigidez, se calculan los desplazamientos máximos a

partir de las fuerzas aplicadas o los esfuerzos internos. Para ello

puede recurrirse directamente a la forma de la hipótesis cinemática

o bien a la ecuación de la curva elástica, las fórmulas vectoriales de

Page 12: Rcc. de materiales

Navier-Bresse o los teoremas de Castigliano.

Hipótesis cinemática

La hipótesis cinemática es una especificación matemática de los

desplazamientos de un sólido deformable que permite calcular las

deformaciones en función de un conjunto de parámetros incógnita.

El concepto se usa especialmente en el cálculo de elementos

lineales (e.g. vigas) y elementos bidimensionales, donde gracias a

la hipótesis cinemática se pueden obtener relaciones funcionales

más simples. Así pués, gracias a la hipótesis cinemática se pueden

relacionar los desplazamientos en cualquier punto del sólido

deformable de un dominio tridimensional con los desplazamientos

especificados sobre un conjunto unidimensional o bidimensional.

Ecuación constitutiva

Las ecuaciones constitutivas de la resistencia de materiales son las

que explicitan el comportamiento del material, generalmente se

toman como ecuaciones constitutivas las ecuaciones de Lamé-

Hooke de la elasticidad lineal. Estas ecuaciones pueden ser

especializadas para elementos lineales y superficiales. Para

elementos lineales en el cálculo de las secciones, las tensiones

sobre cualquier punto (y,z) de la sección puedan escribirse en

función de las deformaciones como:

En cambio para elementos superficiales sometidos

predominantemente a flexión como las placas la especialización de

las ecuaciones de Hooke es:

Además de ecuaciones constitutivas elásticas, en el cálculo

estructural varias normativas recogen métodos de cálculo plástico

donde se usan ecuaciones constitutivas de plasticidad.

Page 13: Rcc. de materiales

Ecuaciones de equivalencia

Las ecuaciones de equivalencia expresan los esfuerzos resultantes

a partir de la distribución de tensiones. Gracias a ese cambio es

posible escribir ecuaciones de equilibrio que relacionen

directamente las fuerzas aplicadas con los esfuerzos internos.

Elementos lineales

En elementos lineales rectos las coordenadas cartesianas para

representar la geometría y expresar tensiones y esfuerzos, se

escogen normalmente con el eje X paralelo al eje baricéntrico de la

pieza, y los ejes Y y Z coincidiendo con las direcciones principales

de inercia. En ese sistema de coordenadas la relación entre

esfuerzo normal (Nx), esfuerzos cortantes (Vy, Vz), el momento

torsor (Mx) y los momentos flectores (My, Mz) es:

Donde las tensiones que aparecen son las componentes del tensor

tensión para una pieza prismática:

Ecuaciones de equilibrio

Las ecuaciones de equilibrio de la resistencia de materiales

relacionan los esfuerzos internos con las fuerzas exteriores

aplicadas. Las ecuaciones de equilibrio para elementos lineales y

elementos bidimensionales son el resultado de escribir las

ecuaciones de equilibrio elástico en términos de los esfuerzos en

lugar de las tensiones. Las ecuaciones de equilibrio para el campo

de tensiones generales de la teoría de la elasticidad lineal:

Page 14: Rcc. de materiales

Si en ellas tratamos de sustituir las tensiones por los esfuerzos

internos llegamos a las ecuaciones de equilibrio de la resistencia de

materiales. El procedimiento, que se detalla a continuación, es

ligeramente diferente para elementos unidimensionales y

bidimensionales.

Ecuaciones de equilibrio en elementos lineales rectos

En una viga recta horizontal, alineada con el eje X, y en la que las

cargas son verticales y situadas sobre el plano XY, las ecuaciones

de equilibrio relacionan el momento flector (Mz), el esfuerzo

cortante (Vy) con la carga vertical (qy) y tienen la forma:

Ecuaciones de equilibrio en elementos planos bidimensionales

Las ecuaciones de equilibrio para elementos bidimensionales

(placas) en flexión análogas a las ecuaciones de la sección anterior

para elementos lineales (vigas) relacionan los momentos por unidad

de ancho (mx, my, mxy), con los esfuerzos cortantes por unidad de

ancho (vx, my) y la carga superficial vertical (qs):

Relación entre esfuerzos y desplazamientos

Otro problema importante en muchas aplicaciones de la resistencia

de materiales es el estudio de la rigidez. Más concretamente ciertas

aplicaciones requieren asegurar que bajo las fuerzas actuantes

algunos elementos resistentes no superen nunca desplazamientos

por encima de cierto valor prefijado. El cálculo de las deformaciones

a partir de los esfuerzos puede determiarse mediante varios

métodos semidirectos como el uso del teorema de Castigliano, las

fórmulas vectoriales de Navier-Bresse o el uso de la ecuación de la

curva elástica.

Page 15: Rcc. de materiales

Vigas continuas.- Vigas con más de un tramo, pueden ser homogéneas (EI=cte) o no (EI no es cte).

Comparación de una viga

continua y una de dos tramos

3.- Marco Teórico

El ingeniero francés Clapeyron en 1857; enunció por primera vez la ecuación fundamental de los tres momentos. “La ecuación de los tres momentos es aplicable a tres puntos cualquiera de un viga,

siempre que no haya discontinuidades, tales como articulaciones, en esa parte de la estructura”. Entonces, este método sirve para

hallar los momentos en los apoyos de una viga hiperestática, o en puntos característicos o notables de la viga. Al aplicar la ecuación

fundamental de los tres momentos, a tres puntos de apoyo consecutivos i, j, k, los términos del corrimiento del segundo miembro de la ecuación serán nulos o iguales a movimientos

Page 16: Rcc. de materiales

conocidos de los puntos de apoyo; obteniendo de esta manera una ecuación que contiene, como únicas incógnitas, a los momentos en

los apoyos. Esto significa, que podemos escribir una ecuación en forma independiente, para tres puntos de apoyo consecutivos en

una viga continua. De esta manera, se llega a un sistema compatible “n” ecuaciones independientes con “n” incógnitas que

son los movimientos en los apoyos, los cuales se hallan resolviendo el sistema. Cuando en una estructura continua, tenemos un apoyo

extremo empotrado, la forma de salvarlo lo veremos en los ejercicios de aplicación.

Vigas Continuas

Cuando se trabajan con vigas con más de un tramo, las reacciones no pueden ser calculadas estáticamente. Una forma de resolverlas es aplicando el Teorema de los Tres Momentos, el cual puede ser

utilizado también para resolver vigas de un solo tramo. Esta ecuación puede ser expresada de la siguiente manera:

Los términos:

Page 17: Rcc. de materiales

Pueden obtenerse fácilmente de la siguiente tabla, que agrupa los 6

tipos de cargas básicos.

Estos tipos básicos de carga pueden combinarse para obtener tipos más complejos, sumándose o restándose.

Si se va a trabajar con más de dos tramos, deben escribirse una ecuación de Tres Momentos por cada par de tramos consecutivos.

Por ejemplo:

Tramos 1 - 2

Tramos 2 - 3

Tramos 3 - 4

Page 18: Rcc. de materiales

En este caso tendríamos 3 ecuaciones con 5 incógnitas (M1, M2, M3, M4 y M5).

Generalizando, siempre vamos a tener dos incógnitas más que las ecuaciones de Tres Momentos que vamos a construir. Pero los

momentos en tos extremos pueden ser hallados de acuerdo a los siguientes criterios:

1º Si tenemos un apoyo simple, el momento en dicho extremo será igual a cero. Para el diagrama de arriba, M1 = 0 y M5 = 0.

2º Si tenemos un empotramiento, se puede construir una ecuación adicional de Tres Momentos, creando un tramo virtual en el que

todos los valores sean iguales a cero. Para el diagrama de arriba, si suponemos que el apoyo 5 es un apoyo empotrado, podríamos

escribir la siguiente ecuación de Tres Momentos, en donde todos los términos con subíndice cero valen cero:

O sea:

3º Si tenemos un voladizo, el momento en tal extremo seguirá valiendo cero. Además, el momento siguiente al de dicho extremo será igual a la suma de los productos de las cargas por su brazo de

palanca a este último apoyo.

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M1=0 y M2=PL1

Aplicando el Teorema de los Tres Momentos es fácil obtener los momentos flectores en cada apoyo. Hallar las reacciones en cada apoyo es igualmente sencillo, utilizando la siguiente fórmula, para

cada tramo: ejercicios

Posteriormente, las reacciones equivalentes de cada tramo se suman. Por ejemplo:

4.- Ejercicios:

(Haga click sobre la imagen para visualizar el ejercicio)

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En la ingeniería se presentan problemas relacionados con el cálculo, o la

simplificación del mismo con respecto a los momentos flectores en una viga de

estudio. Con la aplicación de una fórmula que relaciona los datos de la situación del

problema, directamente (con una ecuación matemática), se puede determinar a

renglón seguido el comportamiento de la viga. El problema que enfrentan los

ingenieros en el cálculo de vigas que tienen más de dos apoyos, reside en la

indeterminación de las variables en superioridad de las ecuaciones aportadas por la

Estática y la Resistencia de Materiales. Que es el caso particular que se explicará en

relación con el método de los tres momentos y las vigas continuas. A través de

este trabajo de investigación para fines expositivos, se resumirá con algunos

ejemplos básicos, la resolución de problemas de ingeniería, con la técnica

matemática y el contenido teórico que respalda el desarrollo operativo del método

de los tres momentos para vigas , que no pueden ser analizadas en otros métodos,

dada su indeterminación o su comportamiento hiperestático. De paso se resumirán

Page 23: Rcc. de materiales

los conceptos precedidos para el análisis compresivo del método. Se estará en

contacto con la definición de las fases de una viga continua, los principios de

hiperestaticidad, diagramas de fuerzas y flexiones y la propia deformación

analizada en vigas continuas. Buscando significados a los datos recolectados para la

formulación del trabajo, existe una relación entre la palabra flecha y deformación

de una viga. Se explica este concepto, con tal de que no se confunda su significado,

así como otros. Las gráficas que presentan a las vigas en sus condiciones de apoyo

y sumisión a cargas, revelan que se necesitará previamente desarrollar bosquejos

para indicar el flujo del momento, cortante y flexión sobre la viga. Estos esquemas

gráficos proporcionarán datos valiosos en la operatividad del método. La

utilización de vigas continuas en la ingeniería civil es muy frecuente, por ejemplo

en puentes, pórticos, forjados, carriles de ferrocarril, tuberías, etc. Lo que no le resta

importancia en su estudio. La viga continua nos dará pie a las definiciones más

adelante, pero mientras, es justo que se comprenda que puede tratarse como una

tipología particular de estructura reticulada de plano medio, capaz de soportar

esfuerzos, principalmente de flexión y cuya característica mas importante es la de

disminuir los momentos en relación con los que se producen en vigas similares de

tramos simplemente apoyados. Eso justifica su uso, y en este caso, su estudio.

Siempre, antes de enfrentar el análisis de algún método es recomendable valerse de

los significados de los términos que se usarán. En la tesis de la investigación, se

encontró que el Método de los Tres Momentos, no es el único que da soluciones a

los problemas de cálculo en vigas continuas. Sin embargo, el problema genérico

parte de condición estática de la viga.

Una viga continua

Page 24: Rcc. de materiales

puede definirse como una estructura hiperestática formada por varias piezas rectas

alineadas, unidas entre si por nudos rígidos apoyados, determinándose vano, o

tramo, al segmento comprendido entre dos apoyos sucesivos de la viga. Esta

tipología es apreciable en la figura 1. En el estudio de las vigas continuas sólo

consideramos la acción de fuerzas verticales y de momentos, con lo que las

reacciones en los apoyos también serán verticales. De actuar alguna fuerza

horizontal, como, por ejemplo, de frenado en puentes de carretera o de ferrocarril,

supondremos que uno de los apoyos es fijo y, por tanto, que soporta

todas las acciones horizontales.

Con esta disposición de los apoyos, los cambios térmicos uniformes a través del

espesor de las piezas no producen ningún tipo de esfuerzo. Como la viga sobre dos

apoyos simples es un sistema isostático, en una viga de más de un tramo cada

apoyo intermedio introduce un vinculo redundante y, en general, una viga continua

sobre n apoyos, constituye un sistema n-2 veces hiperestático. Por tanto, en la

resolución de una viga continua pueden tomarse como incógnitas hiperestáticas las

reacciones de los apoyos intermedios. Como alternativa a diferentes métodos para

resolver vigas continuas se eliminan los enlaces entre los diversos tramos y se

eligen como incógnitas hiperestáticas los momentos flectores sobre los apoyos

intermedios. Eso equivale a suprimir la continuidad de los tramos y considerar la

viga como una sucesión de vigas biapoyadas isostáticas que interaccionan entre sí a

través de momentos de extremidad de valor desconocido al momento del cálculo.

Recordando que una estructura

hiperestática es

Page 25: Rcc. de materiales

aquella que necesita más elementos de los necesarios

para mantenerse estable; la supresión de uno de ellos

no conduce al colapso, pero modifica sus condiciones

de funcionamiento estático. También llamada

estructura estáticamente indetermin

ada. Y que estas

condiciones se reflejan en el cálculo, puesto que la

cantidad de variable supera la cantidad de ecuaciones

proporcionadas para la solución de los estados de

esfuerzos sobre ellas.

Page 26: Rcc. de materiales

Figura

1

Viga continua.

Se observa que los nudos intermedios son

rígidos, lo cual implica la continuidad de los giros y los momentos

flectores a uno y otro lado de cada apoyo.

Page 27: Rcc. de materiales

Ecuación de los tres momentos

En el diseño de elementos mecánicos se cuenta con piezas y elementos que se

pueden analizar como vigas que tienen más de dos apoyos, entre estos se pueden

mencionar las tuberías, algunas armaduras y algunos marcos. La determinación de

las reacciones en los apoyos no se pueden establecer mediante la estática, por lo que

se denominan hiperestáticos, como ya se mencionó, se recurre a la mecánica de

materiales para su análisis. Buscando determinar la ecuación que se utilizará para

el desarrollo del método, se toma en cuenta que se tiene una viga continua infinita

con diferentes tipos de cargas en cada uno de los extremos y se toma de la misma,

en el hipotético caso, dos tramos, los cuales tienen longitud L

1

y L

2

, como se observa en la figura 2.

Page 28: Rcc. de materiales

Figura 2 Separación de dos tramos de una viga continua infinita y desarrollo de los

diagramas de cortante DFV y DFM.

Separando por tramos la viga y haciendo la similitud estática de las cargas en las

secciones de corte, construimos los diagramas de cortante y momento, señalando

las áreas y centroides de las figuras compuestas en la siguiente forma: Al dividir la

estructura por tramos, es decir, entre cada apoyo, un corte, se generan momentos

compensados de signos contrarios. Los ángulos de giro son señalados con relación

a la pendiente de la deformación, en la división de los tramos. Al realizar el corte

sobre los extremos infinitos, se generan momentos que también son señalados sobre

ambos tramos. En estas razones se puede establecer: Si se toma por separado cada

uno de estos tramos y se observa que las cargas externas producen un diagrama de

momentos pero tambien aparecen momentos hiperestáticos al separar cada tramode

la viga. Los dos tramos tienen un punto común en el cuál se ubica el apoyo No. 2, y

en cual se sabe que

=0

.

El problema de las vigas continu

as | Método de los Tres Momentos | INTEC | Resistencia II | Grupo V

Page 29: Rcc. de materiales

El ángulo que se genera en este punto debe ser igual a cero. También se observa

que cada uno de de los tramos es afectado por las cargas y los momentos. Tomando

en consideración el teorema de area momentos, la contribución de las cargas

externas del tramo 1 a

�2

es la siguiente:

�2

=

�1

�1

��1

Page 30: Rcc. de materiales

Podemos expresar el ángulo

�2

como una contribución de los momentos hiperestáticos En el tramo dos,

igualmente está expresado como sigue: Igualando con la ecuación determinada

antes donde

�2

=

�2

′′

Page 31: Rcc. de materiales

, tenemos:

Donde:

M1, M2, M3

: Momento flectores en los apoyos 1, 2 y 3.

L1, L2 :

Longitudes de los tramos 1 y 2.

A1, A2

: Área del diagrama de Momentos Flectores de las Cargas sobre los tramos 1 y 2.

a1

: Distancia del centro del diagrama de Momentos Flectores del tramo 1 al apoyo 1.

Page 32: Rcc. de materiales

b2

: Distancia del centro del diagrama de Momentos Flectores del tramo 2 al apoyo

3.

Consideraciones del método

Si se va a trabajar con más de dos tramos, deben escribirse una ecuación de Tres

Momentos por cada par de tramos consecutivos.

Tramo 1-2:

M1L1 + 2M2(L1 + L2) + M3L2 + (6A1a1)/L1 + (6A2b2)/L2 = 0

Tramo 2-3:

M2L2 + 2M3(L2 + L3) + M4L3 + (6A2a2)/L2 + (6A3b3)/L3 = 0

Tramo 3-4:

Page 33: Rcc. de materiales

M3L3 + 2M4(L3 + L4) + M5L4 + (6A3a3)/L3 + (6A4b4)/L4 = 0 Si tenemos un

apoyo simple, el momento en dicho extremo será igual a cero. Si tenemos un

empotramiento, se puede construir una ecuación adicional de Tres Momentos,

creando un tramo virtual en el que todos los valores sean iguales a cero. Si tenemos

un voladizo, el momento en tal extremo seguirá valiendo cero.

El método por pasos

Separar la viga en tramos tomándolos de dos en dos.

Superponer las cargas en cada tramo sin violar los principios de la estática.

Calculando y ubicando las reacciones de los apoyos.

Page 34: Rcc. de materiales

Construir diagrama de cortante y momento flector, calculando y ubicando áreas y

sus respectivos centroides.

Aplicar la ecuación de los Tres Momentos en los tramos, de dos en dos. Obteniendo

un sistema de ecuación de dos ecuaciones y dos incógnitas por cada tramo. Sustituir

y resolver. Considerando las condiciones de borde, donde los momentos son cero.

Con el valor de los momentos calculados, sustituir en las ecuaciones de fuerza,

calculando las fuerzas en los tramos con los valores encontrados para obtener las

reacciones reales de los apoyos. (Opcional)

Page 35: Rcc. de materiales

Construir el diagrama de momento y cortante total de la estructura (Opcional) Este

método fue idealizado por:

Benoit Paul Émile Clapeyron

(26 de febrero, 1799 - 28 de enero, 1864) fue un ingeniero y físico francés, padre

(entre otros) de la teoría termodinámica. Nacido en París, Clapeyron estudió en la

École polytechnique y la École des Mines, antes de mudarse a San Petesburgo en

1820 para enseñar en la École des Travaux Publics. Tras la Revolución de 1830

volvió a París, donde supervisó la construcción de la primera vía de ferrocarril de

Francia, que comunicaba París con Versalles y Saint-Germain-en-Laye. 20KN

Page 36: Rcc. de materiales

Ejercicios de Aplicación

1)

Construyendo el esquema de análisis del problema: En el

siguiente paso construimos el diagrama de cortante y momento, superponiendo las

cargas y dividiendo la estructura en tramos. El primer tramo contiene la carga

puntal de la primera columna de contención con su magnitud respectiva. El

segundo tramo asume el peso del camión como carga distribuida entre el punto 2 y

3. El tercer tramo asume el peso de dos columnas en cargas puntualmente aplicadas

y concluye con una articulación.

El problema de las vigas continuas | Método de los Tres Momentos | INTEC |

Resistencia II | Grupo V

Page 37: Rcc. de materiales

Encuentre los momentos

hiperestáticos en la estructura de supervisión de equilibrio

para

camiones

que se muestra en la figura articulado en 1, y simplemente apoyado en 2, 3 y 4.

Considere el peso de las

columnas de contención

de acero galvanizado como cargas puntuales

en las distancias céntricas correspondientes. Asuma el peso del camión

como carga distribuida

Page 38: Rcc. de materiales

de 4kN/m sobre la plataforma del puente entre el punto 2 y 3.

10kN 10kN 4kN/m

20kN

2m

Page 39: Rcc. de materiales

4m

6m

Page 40: Rcc. de materiales

6m

DIAGRAMAS DE ESFUERZO CORTANTE Y MOMENTO FLECTOR DE LA

ESTRUCTURA

Analizando el primer tramo de 1 a 2, se construye nuestra primera ecuación:

Analizando el segundo tramo de 2 a 3, se construye la segunda ecuación:

20KN

Page 41: Rcc. de materiales

Con el valor de los momentos calculados, sustituimos en las ecuaciones de fuerza,

calculando las fuerzas en los tramos con los valores encontrados para obtener las

reacciones reales de los apoyos.

20KN

Construyendo el diagrama de momento total con las reacciones totales ya

calculadas. 2)

En la siguiente viga vamos a analizar los momentos que se generan en los apoyos,

mediante el método de los tres momentos.

Page 42: Rcc. de materiales

3)

Determinar los momentos hiperestáticos que se generan en los apoyos, usar la

ecuación

de los

tres momentos y realizar los diagramas correspondientes.

Conclusión

Page 43: Rcc. de materiales

En la parte final de la investigación se alinean los aspectos generales del tema de

vigas continuas y la oferta de solución que brinda el método matemático, para

problemas de aplicación en ingeniería. Se resumirá brevemente en conclusiones

puntuales los conocimientos concretos adquiridos, conjuntamente, al análisis del

mismo con respecto a los sistemas de cálculo de momentos flectores, conocidos

previamente. Comprendiendo el método, podríamos decir, que se trata de una

ecuación que relaciona a las vigas y los momentos sobre los apoyos con un

comportamiento matemático creciente, que a su vez no es limitado por la forma

hiperestática de la estructura. Resulta beneficioso un método que nos proporcione

soluciones en problemas de vigas indeterminadas, o continuas, como suele suceder

en la ingeniería. Por lo regular en grandes estructuras del campo de estudio

mecánico y la propia construcción civil, un método que exprese el comportamiento

conteniendo a las cargas y los momentos, relacionándose al mismo tiempo con los

diagramas que reflejan los esfuerzos de corte máximos , y los momentos flectores,

le agrega fidelidad a los resultados. Eso es lo que difiere con respecto a los demás

métodos. El teorema de los tres momentos, ajusta por tramos de ecuaciones

conocidas a los esquemas de análisis que contienen la situación de la estructura de

estudio. Cada paso es fidedigno y no requiere de cálculos avanzados de derivadas o

integraciones múltiples. El comportamiento es creciente, una función relacionada a

la expansión de una línea, donde por lo conocido en resistencia de materiales, el

momento afectado sobre una viga guarda relación con su centroide, su área de

sección y la distancia desde el punto de referencia. Es menester reconocer, que en

el intento de presentar un ejercicio de aplicación donde se demostrase la utilidad de

la ecuación de los tres momentos idealizada por Clapeyron, nos dirigimos al caso

práctico de un puente, con ciertas condiciones de carga sobre la plataforma. El

problema lejanamente puede ser considerado como complicado. Hemos querido

presentarlo de esa forma, para darle la versatilidad al campo real de los problemas

ingenieriles ligado a la continuidad y la indeterminación de las vigas de análisis.

En comparación con otros métodos conocidos, para la resolución de cargas vigas

determinadas, aunque no esté al mismo nivel de cálculo, el asunto indeterminado se

corrige con una ecuación que no trasciende fronteras algebraicas. Las funciones

Page 44: Rcc. de materiales

están ordenadas en grados con respecto a los sistemas que dan solución no más de

dos sustituciones. Eso, sencillamente es útil y aprovechable.

El problema de las vigas continuas | Método de los Tres Momentos | INTEC |

Resistencia II | Grupo V

1. PRINCIPIO DE SUPERPOSICIÓNEl Principio de superposición fue explicitado por Euler (1707-1783). " Si los desplazamientos y las tensiones, en los sistemas elásticos, son proporcionales a las cargas que los producen, entonces, los desplazamientos totales y las tensiones totales, resultantes de la aplicación de varias cargas, serán la suma de los desplazamientos y de las tensiones originadas por cada una de las cargas"

Para que podamos aplicar el Principio de Superposición tanto en el campo de los esfuerzos como en el de los desplazamientos es necesario que se cumpla una primera condición:Proporcionalidad, es decir una relación lineal en el comportamiento del material sobre el que actúan las cargas.Lo anterior se cumple en los materiales elásticos como por ejemplo el acero.Pero además ha de cumplirse una segunda condición ya que aunque el sistema de cargas esté actuando sobre un material elástico puede suceder que no sea aplicable el Principio de Superposición, como sucede en el caso de Pandeo, dado que no se produce una relación lineal entre la solicitación y la deformación.m a r t e s 2 9 d e j u l i o d e 2 0 0 8

ECUACION DE LOS TRES MOMENTOS Introducción

Para la resolución matemática de la estructura, es decir, el estudio de las cargas y esfuerzos, existen varios métodos de análisis de deformaciones de vigas. La asignatura de RESISTENCIA DE MATERIALES II es muy importante la cual brindará al estudiante las herramientas necesarias para determinar deflexiones y giros en elementos estructurales es por eso que para resolver un problema de análisis estructural es necesario hacer tanto un estudio matemático, para determinar las cargas y esfuerzos que afectan a la estructura, como un estudio arquitectónico,

Page 45: Rcc. de materiales

para determinar el material a utilizar en la construcción de la estructura así como sus dimensiones. Para eso hay varios métodos matemáticos de análisis de deformaciones de vigas entre ellos tenemos: método de área de momento, método de viga conjugada, tres momentos, método de la doble integración y método matricial, este último se presenta a través de un programa computacional llamado sap 2000. En el presente trabajo daremos a conocer todo lo referente al método de Tres Momentos que a continuación lo mostrare.

GENERALIDADES- Objetivos

· Dar a conocer todo lo referente al método de Tres Momentos.· Analizar toda la teoría a fin de no tener problemas al momento de resolver los ejercicios.· Resolver ejercicios utilizando el Método de tres momentos.

- Limitaciones del Trabajo . Aplicar la ecuación de los tres momentos en vigas hiperestáticas.. Interpretar correctamente la ecuación de los tres momentos.. Graficar correctamente los DFC y DMF.MARCO TEORICO

El ingeniero francés Clapeyron en 1857; enuncio por primera vez la ecuación fundamental de los tres momentos.

“La ecuación de los tres momentos es aplicable a tres puntos cualquiera de un viga, siempre que no haya discontinuidades, tales como articulaciones, en esa parte de la estructura”.

Entonces, este método sirve para hallar los momentos en los apoyos de una viga hiperestática, o en puntos característicos o notables de la viga.

Al aplicar la ecuación fundamental de los tres momentos, a tres puntos de apoyo consecutivos i, j, k, los términos del corrimiento del segundo miembro de la ecuación serán nulos o iguales a movimientos conocidos de los puntos de apoyo; obteniendo de esta manera una ecuación que contiene, como únicas incógnitas, a los momentos en los apoyos.

Esto significa, que podemos escribir una ecuación en forma independiente, para tres puntos de apoyo consecutivos en una viga continua. De esta manera, se llega a un sistema compatible “n” ecuaciones independientes con “n” incógnitas que son los movimientos en los apoyos, los cuales se hallan resolviendo el

Page 46: Rcc. de materiales

sistema. Cuando en una estructura continua, tenemos un apoyo extremo empotrado, la forma de salvarlo lo veremos en los ejercicios de aplicación.

- Ecuación de los Tres MomentosVigas Continuas

Cuando se trabajan con vigas con más de un tramo, las reacciones no pueden ser calculadas estáticamente. Una forma de resolverlas es aplicando el Teorema de los Tres Momentos, el cual puede ser utilizado también para resolver vigas de un solo tramo. Esta ecuación puede ser expresada de la siguiente manera:

Los términos: pueden obtenerse fácilmente de la siguiente tabla, que agrupa los 6 tipos de cargas básicos.

Page 47: Rcc. de materiales

Estos tipos básicos de carga pueden combinarse para obtener tipos más complejos, sumándose o restándose.

Si se va a trabajar con más de dos tramos, deben escribirse una ecuación de Tres Momentos por cada par de tramos consecutivos. Por ejemplo:

Tramos 1 - 2

Tramos 2 - 3

Tramos 3 - 4

En este caso tendríamos 3 ecuaciones con 5 incógnitas (M1, M2, M3, M4 y M5). Generalizando, siempre vamos a tener dos incógnitas más que las ecuaciones de Tres Momentos que vamos a construir. Pero los momentos en tos extremos pueden ser hallados de acuerdo a los siguientes criterios:

1º Si tenemos un apoyo simple, el momento en dicho extremo será igual a cero. Para el diagrama de arriba, M1 = 0 y M5 = 0.

2º Si tenemos un empotramiento, se puede construir una ecuación adicional de Tres Momentos, creando un tramo virtual en el que todos los valores sean iguales a cero. Para el diagrama de arriba, si suponemos que el apoyo 5 es un apoyo empotrado, podríamos escribir la siguiente ecuación de Tres Momentos, en donde todos los términos con subíndice cero valen cero:O sea:

3º Si tenemos un voladizo, el momento en tal extremo seguirá valiendo cero. Además, el momento siguiente al de dicho extremo será igual a la suma de los productos de las cargas por su brazo de palanca a este último apoyo.

Page 48: Rcc. de materiales

Aplicando el Teorema de los Tres Momentos es fácil obtener los momentos flectores en cada apoyo. Hallar las reacciones en cada apoyo es igualmente sencillo, utilizando la siguiente fórmula, para cada tramo:

Posteriormente, las reacciones equivalentes de cada tramo se suman. Por ejemplo:

Ejerccios: