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Rüdiger Scholz (Hrsg.) Crashkurs – Pendel · PDF file0-180 -150 -120 -90 -60 -30 0 30 60 90 120 150 180 Rüdiger Scholz (Hrsg.) Crashkurs – Pendel . Gottfried Wilhelm Leibniz

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    Rüdiger Scholz (Hrsg.)

    Crashkurs – Pendel

    Gottfried Wilhelm Leibniz Universität Hannover

  • Crashkurs – Schwerependel

    © Dezember 2011 R. Scholz  PhysikPraktikum  Leibniz Universität Hannover  2

    Inhaltsverzeichnis

    Inhaltsverzeichnis........................................................................................................ 2

    Literatur ..............................................................................................................................2 1 Die harmonische Schwingung ........................................................................... 3

    2 Gravitationspendel ............................................................................................. 4

    2.1 Das mathematische Pendel .....................................................................................4 2.2 Harmonisierung: Analyse für kleine Auslenkungen...............................................4 2.3 Bestimmung des Ortsfaktors...................................................................................4 2.4 Analyse für endliche Winkel ....................................................................................5 2.5 Das physikalische Pendel ........................................................................................6

    3. Dämpfung .......................................................................................................... 8

    3.1 Die Bewegungsgleichung........................................................................................8 3.2 Gedämpftes Pendel und Energiesatz.................................................................... 10

    Anhang: Vollständige Lösung von Gl. 11 ...................................................................12

    Literatur 1. Lehrbücher Experimentalphysik und der theoretischen Physik 2. R. P. Feynman/R. B. Leighton, M. Sands: The Feynman Lectures of Physics 3. H. Haken, A. Wunderlin: Die Selbststrukturierung der Materie, Vieweg 1991 4. F. Kuypers: Klassische Mechanik, VCH, 1990

  • Crashkurs – Schwerependel 1 Die harmonische Schwingung

    Als harmonische Schwingung wird die Bewegung von Körpern in einem quadratischen Potential bezeichnet. Derartige Potentiale führen zu den bekannten typisch sinusförmigen Bewegungen. Parabelpotentiale (Abb. 1) ergeben sich aus Rückstellkräften, deren Betrag proportional zur Auslenkung ist:

    © Dezember 2011 R. Scholz  PhysikPraktikum  Leibniz Universität Hannover  3

     

      2 20 1 1 . 2 2

    pot

    pot

    dW F x D x

    dx

    W x D x m x

         

        2 (1)

    Aus der Newtonschen Grundgleichung F(x) = ma folgt die Bewegungsdifferentialglei- chung

      0,Dm x F x D x x x m

              (2)

    die direkt elementar lösbar ist:

       

           

     

    0 0 0

    0 0 0 0

    0 0 0

    0 0

    ( ) cos ; 0 cos

    sin ; 0 cos 2; 2 ; ; tan

    xx t t x x t

    xv t x t t v v t

    vD mT m D

      

       

       0

    . x 

        

          

        

     (3)

    1 Bewegung im Parabelpotential: Die rote Kugel schwingt harmonisch hin und her

    Die Struktur der Differentialgleichung Gl. 2 ist spezifisch für sämtliche harmonischen Schwingungen. Durch entsprechenden Koeffizientenvergleich lassen sich daher in konkreten Fällen die charakteristischen Eigenschaften der jeweilig vorliegenden Schwingung ableiten. Beim Fadenpendel wird das gezeigt. Typische Merkmale und Kenngrößen harmonischer Schwingungen x0 Amplitude = maximale

    Auslenkung 0

    0 0 0

    4 2xv T

    x  

      mittlere Geschwindig- keit

    vmax = x00/cos Geschwindigkeits- amplitude

    0 = 2f Resonanz-(Kreis-) frequenz

      max 0 0

    2 2 cosrms v xv 

       mittlere quadratische

    Geschwindigkeit T0 = 1/f = 2/0 Periodendauer

    Tabelle 1 Kenngrößen der harmonischen Schwingung

    Dämpfungsterme, anharmonische Zusatzterme im Potential in Gl. 1 mit anderen x-Abhängigkeiten führen zu Anharmonizitäten. Diese haben nicht nur Abweichungen der Resonanzeigenschaften zur Folge, sondern bewirken u. U. qualitativ völlig neue Bewegungsformen, z. B. chaotische Schwingungen.

  • Crashkurs – Schwerependel 2 Gravitationspendel

    In vielen Fällen führt die Bewegungsanalyse auf harmonische Näherungen. Schon deshalb ist die Analyse harmonischer Bewegungen von zentraler Bedeutung:  Bewegung von Elektronen im Dielektrikum unter Einwirkung von Licht; Optik (vergleiche

    „Crashkurs Optik“; PhysikPraktikum; LUH),  unterschiedliche Pendelarten, Matratzenmodell“ des Festkörpers,  Schwingungsanalyse in der Akustik und in der Baustatik. 2.1 Das mathematische Pendel  Die Masse ist eine Punktmasse (also ohne

    Trägheitsmoment);

    © Dezember 2011 R. Scholz  PhysikPraktikum  Leibniz Universität Hannover  4

     die Massenaufhängung ist masselos;  Reibungsphänomene werden ignoriert.  Der Abstand zwischen Masse und

    Drehpunkt, l, ist konstant. Setzt man den frei wählbaren Energienullpunkt willkürlich auf Null für  = 0 ergibt sich die potentielle Energie der Masse m am Faden zu

      1 cospotW m g l      . (3)

    2 Die physikalischen Größen beim mathematischen Pendel

    Es liegt also ganz offensichtlich kein Parabelpo- tential vor und damit keine harmonische Schwingung (vgl. Abb. 3). 2.2 Harmonisierung: Analyse für kleine Auslenkungen In derartigen Fällen wird versucht, Randbedingungen zu finden, untern denen das System analytisch leichter zugänglich ist. Wie bereits angedeutet, bietet sich bei der Schwingungsanalyse der Bereich sehr kleiner Amplituden an. Bei kleinen Auslenkungen von  < 10°, kann man im Rahmen einer Toleranzgren- ze von 0,5 % die Taylorreihen der cos-Funktion nach dem quadratischen Term abbrechen:

        

         

    2 4

    22 4 2 4 0

    1 11 cos ... 2 24

    1 1 . 2 2

    potW m g l m g l

    m g l O m l O

      

        

                  

         

      (4)

    Der Vergleich mit Gl. 1 und Gl. 2 zeigt, dass diese Näherung auf eine harmonische Schwingung führt. Durch direkten Vergleich ergeben sich die charakteristischen Eigenschaften, z. B. die Periodendauer:

    0 0

    2 2 lT g

      

       . (5)

    2.3 Bestimmung des Ortsfaktors Nach Gl. 5 können Sie mit dem Schwerependel den Ortsfaktor g bestimmen (in Hannover gilt g = (9,812874  5105) m/s2)

    2 2

    0

    4 lg T

     .

  • Crashkurs – Schwerependel Der Messgenauigkeit einer solchen g-Messung wird durch die Messung der Dauer t = nT0 von n Schwingungen verbessert, bleibt aber stets durch die Messunsicherheit der Längenmessung nach unten beschränkt. n folgt aus der Anforderung an die Genauigkeit der Zeitmessung:

    0 0 0

    22 2 ; 2g l t l t t l tq n l g l t l nT nT l q T        

            l

    .

    Sind Zeit- und Längenmessung gleich ungenau, folgt z. B. für q = 0,1: n = 20. 2.4 Analyse für endliche Winkel Für endliche Auslenkungen ist das Potential nicht mehr harmonisch und das Kräfteparallelogramm in Abb. 2 liefert eine nicht mehr analytisch lösbare nichtlineare Differentialgleichung:

    sin 0 sin 0gm l m g l

                  .

    Ein alternativer Weg zur Bestimmung der Periodendauer T über den Energieerhaltungssatz hilft hier (wie in zahlreichen anderen Fällen) weiter. Die Argumentation geht so: Für eine volle Schwingung  = 40 braucht das Pendel die volle Periodendauer T, ein kleines Winkelstück d erfordert die Zeit dt. Die Summe über alle dt für eine volle Schwingung ist T (da die Winkelgeschwindigkeit d/dt eine Funktion des Pendelausschlags ist, sich also ständig ändert, erhalten Sie T durch Integration über infinitesimale Zeitspannen dt):

    Potential des mathematischen Pendels

    0

    -180 -150 -120 -90 -60 -30 0 30 60 90 120 150 180

    Auslenkung

    po te

    nt ie

    lle E

    ne rg

    ie

    3 Die potentielle des mathematischen Pendels (gestrichelt die

    harmonische Nährung) 0

    0

    1 1d d 4 Periode Periode

    T t 

    d .   

              Der Energiesatz (hier noch ohne Reibung) liefert einen Wert für d/dt:

     

    2 2 2

    2 2 0 0

    1 1 ; (1 cos ) 2 2

    21 (1 cos ) (1 cos ) cos cos . 2

    kin pot

    ges

    W m v m l W m g l

    gW m l m g l m g l l

     

        

            

                   

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