Realni brojevi

Brojevi...

3 19

Prirodni brojevi• 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, ...• Prebrajanje

5+x =2

•Skup prirodnih brojeva N

•a+b•a-b

Cijeli brojevi

• Skup cijelih brojeva Z• a+b• a-b• a·b• a:b

12x =33x 12=

...-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, ...

Racionalni brojevi

• Decimalni brojevi ↔ razlomci

5

2

10

44.0

25.0)4:1(4

1

...33333.03

1 3.0

714285.0

Skup racionalnih brojeva

• Skup Q je gust skup• Između svaka dva

racionalna broja nalazi se bar još jedan racionalan broj

• Aritmetička sredina

NbZab

a,: 2 32.5

2 2.52.25

2.25 2.52.375

2.25 2.3752.3125

Q

Jesu li to svi brojevi?

• Broj π nije moguće zapisati u obliku razlomka dva prirodna broja

• Broj π nije racionalan broj• On je IRACIONALAN broj

π≈3.14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510 58209 74944 59230 78164 06286 20899 86280 34825...

•Broj π

Jesu li to svi brojevi?

• √2 nije moguće zapisati u obliku razlomka dva prirodna broja

• √2 nije racionalan broj• √2 je IRACIONALAN broj

• Kolika je duljina dijagonale kvadrata stranice 1 cm?

Jesu li to svi brojevi?

• Nađi duljinu stranice kvadrata kojem je površina 55 cm2

• Riješi jednadžbu x2-27=0

x2-27=0

x2=27

x1=√27=3√3x2=-√27=-3√3

Jesu li to svi brojevi?• Racionalni brojevi• Iracionalni brojevi:

π, √2, √55, 3√3, -3√3

19

3

6

2

652

21

237

7.3

,6.2

5

5

4

3

x2+1=0

Jesu li to svi brojevi?

N

ZQ

R

Skupovi brojeva:

I

I

Q

Realni brojevi

• Iracionalni brojevi ne mogu se zapisati u obliku razlomka, to su decimalni neperiodični beskonačni brojevi

Q I

R

πe

22

203 5

•Realni brojevi se sastoje od svih racionalnih i iracionalnih brojeva

•Racionalni brojevi mogu se zapisati u obliku razlomka ili periodičnog decimalnog broja

0.01

3.2-8

6.2 11

1318.1

0.01

3.2-8

6.2 11

1318.1

1 2 30-1-2

JEDVA.DALEKO

SI MI.

HEJ SUSJEDE,ČUJEŠ LI ME?

UH, AL’ JEGUŽVA...

0 1 2-1

2

GUŽVA JE DANAS,ALI JA SKAČEMPA ŠTO BUDE...

0 1 2-12

1-0.7

Brojevni pravac...

Povijesne crtice

• Arhimed:približno √3, π...

...14185.37

13

71

103

•Pitagorejci:racionalni brojevi (omjer)

•Hipas:iracionalni brojevi (√2)

•Descartes 17. st:naziv “realni brojevi”

• Ruđer Bošković 18. st: iracionalni - “neizrazivi brojevi”