3

GİRİŞ

Koordinat sistemi anlayışı verdikdə düz xətt üzərindəki nöqtələrdə həqiqi

ədədlər arasında qarşılıqılı birqiymətli uyğunluq,müstəvi üzərində koordinat

sistemi (istər düzbucaqlı dekart, istərsə afin,istərsə də polyar koordinat sistemi)

anlayışını verməklə isə müəyyən ardıcıllıqda götürülmüş həqiqi ədədlər cütü ilə

müstəvi üzərindəki nöqtələr arasında qarşılıqlı birqiymətli uyğunluq yaratmış

oluruq.Koordinat sistemi vasitəsilə düz xətt üzərində və ya müstəvi üzərində

nöqtənin vəziyyətini təyin edə bilərik.

Burada bizim məqsədimiz xəttin nə olduğunu deyil,verilmiş həndəsi

xassələrinə görə onun tənliyini çıxarmaq və xəttin verilmiş tənliyinə görə onun

həndəsi xassələrini müəyyənləşdirməkdir.

Orta məktəb riyaziyyat kursunda ancaq düz xətt,sınıq xətt və çevrə ətraflı

öyrənilir.Lakin texnika riyaziyyat qarşısısında öz forma və xüsusiyyətlərinə görə

müxtəlif olan xətlərin tədqiqatı kimi məsələ qoyulur.Bu ümumi məsələnin həlli

üçün elementar riyaziyyatın üsullarından fərqli daha ümumi və daha təkmil

metodlar tələb olunur.Belə metodları cəbr və riyazi analiz verir.Cəbr və analizin

verdiyi metodun əsasında isə xəttin tənliklərlə verilməsi durur.

x və y iki ixtiyari dəyişən kəmiyyətlər olsun.Bunu belə başa düşəcəyik

ki,həm x simvolu və həmdə y simvolunda ixtiyari ədəd başa düşmək olar.

x və y dəyişənlərini özündə saxlayan F (x , y ) münasibəti x , y cütünün

müəyyən qiymətlərində F (x , y )=0 olarsa,F (x , y )=0 münasibətinə iki x , y dəyişənli

tənlik deyilir.Deməli,F (x , y )=0 bərabərliyi xvəy-in ixtiyari qiymətlərində

deyil,müəyyən qiymətlərində ödəndikdə bu tənlik adlanır.

F (x , y )=0 bərabərliyi x və y-in ixtiyari ədədi qiymətində ödənərsə,buna

eynilik deyəcəyik.

Həndəsənin (analitik həndəsəsinin) əsas anlayışlarından biridə xətti tənliyi

anlayışıdır. Bunun nə demək olduğunu izah edək.

Müstəvi üzərində hər hansı bir koordinat sisteminin seçildiyini və bu

müstəvi üzərində hər hansı bir xəttin verildiyini fərz edək.

4

Seçilmiş koordinat sistemində verilmiş xəttin tənliyi elə iki dəyişənli

F (x , y )=0 tənliyinə deyilir ki,bu xəttin üzərindəki hər bir nöqtəninx və y

koordinatları bu tənliyi ödəyir və bu xəttin üzərində olmayan heç bir nöqtənin

koordinatları bu tənliyi ödəmir.Xəttin tənliyi

F (x , y )=0 (1)

kimi verildikdə,bu tənliyə xəttin ümumi və ya qeyri-aşkar tənliyi deyilir.

Xətti tənliyi məlum olduqda,müstəvinin hər bir nöqtəsinin əyrinin üzərində

olub olmadığını müəyyənləşdirmək olar.Bunun üçün müstəvi üzərindəki nöqtənin

koordinatlarını tənlikdəki dəyişənlərin yerinə yazmaq lazımdır.Nöqtənin

koordinatları tənliyi ödəyirsə nöqtə xəttin üzərində yerləşir,koordinatlar tənliyi

ödəmirlərsə,nöqtə xəttin üzərində yerləşmir.

Verilmiş tərif analitik həndəsənin metodunun əsasını təşkil

edir.Deməli,baxılan xətlər onların tənliklərinin təhlili vasitəsilə tədqiq edilirlər.

Bir çox məsələlərdə xəttin tənliyi ilkin əsas qəbul edilir və xəttin özü ikinci

hesablanır.Başqa sözlə çox zaman əvvəlcə hər hansı bir tənlik verilir və bunun

vasitəsilə müəyyən bir xətt təyin edilir.Bu funksional asıllığın həndəsi təsvirinin

(göstərilməsinin) tələbləri ilə sıx bağlıdır.

1.AFİN KOORDİNAT SİSTEMİNDƏ DÜZ XƏTTİN ÜMUMİ TƏNLİYİ

Orta məktəb həndəsə kursunu qurarkən düz xətt ilkin obyekt kimi qəbul

edilir və ona tərif verilmir.Düz xəttin əsas xassələri aksiomlarla verilir və digər

xassələri ondan məntiqi nəticələr kimi çıxarılır.Həndəsəni vektorlar əsasında

qurduqda düz xətt müəyyən nöqtələr çoxluğu kimi tərif vermək olur.Vektorların

kolinearlığından istifadə edərək,düz xəttin nöqtələrinin hamısına nöqtələr çoxluğu

kimi tərif verə bilərik.Doğrudan da fərz edək ki, d hər hansı bir düz xətt,M0 isə

onun hər hansı bir nöqtəsidir.Bundan başqa fərz edək ki,sıfırdan fərqli q⃗ vektoru d

düz xəttinə paraleldir.Onda d düz xəttinin hər bir M nöqtəsi üçün M⃗ 0M və q⃗

vektorları kollineardılar.Əksinə, M⃗ 0M vektoru q⃗ vektoru ilə kollineardırsa, M

nöqtəsi d düz xəttinin nöqtəsidir.Deməli, Mnöqtəsinin d düz xəttinə aid olması

5

üçün zəruri və kafi şərt M⃗ 0M və q⃗ vektorlarının kollinear olmasıdır.Başqa sözlə

desək,yalnız və yalnız M⃗ 0M vektoru ilə q⃗ vektoru kollienar olduqda M nöqtəsi d

düz xəttinə aiddir.Düz xəttin nöqtələrinin hamısının nöqtələr çoxluğu kimi tənliyini

yazmaq üçün bunu tərif qəbul edəcəyik.Bu tərifdən istifadə edərək göstərəcəyik

ki,iki məchullu bir dərəcəli hər hansı bir tənlik müəyyən koordinat sistemində

müstəvi üzərində düz xətti təyin edir.Sistemin afin koordinat sistemi olduğunu

başa düşəcəyik.

Fərz edək ki,müstəvi üzərində afin koordinat sistemi təyin edilmişdir.q⃗=

{B ;−A } vektorunu sıfırdan fərqli vektor olduğunu fərz edək və

Ax+By+C=0 (1)

tənliyi ilə təyin olunan xəttin düz xətt olduğunu göstərək.Başqa sözlə

desək,göstərək ki,koordinatları (1) tənliyini ödəyən M (x ; y ) nöqtələri q⃗={B ;−A }

vektoru ilə kollinear olan bir düz xəttin nöqtələridir.

q⃗ vektoru l düz xəttinə paralel və ya l düz xəttinin üzərində olduqda,q⃗

vektoru l düz xəttinə kollienardır deyəcəyik.

Verilmiş düz xətlə kollienar olan,sıfırdan fərqli hər bir vektora düz xəttin

istiqamətverici vektoru deyilir.

Eyni bir düz xəttin bir neçə (sonsuz sayda) istiqamətverici vektoru

olur.İstiqamətverici vektorlar kollieanar olur.Ona görə də eyni bir düz xəttin

müxtəlif iki istiqamətverici vektorunun hər hansı birinin müəyyən sıfırlardan fərqli

həqiqi ədədə vurmaqla digərini almaq olar.

Fərz edək ki,(1) tənıiyinin hər hansı bir həlli x0 , y0-dır.Onda A x0+B y0+C=0

olur.Bunu (1) tənliyindən çıxsaq

A(x−x0)+B( y− y 0)=0 (2)

ifadəsini alarıq.Aydındır ki,(1) və (2) tənlikləri ekvivalentdir.{x−x0 ; y− y0 }-ı hər

hansı bir a⃗ vektorunun koordinatları kimi qəbul etsək,(2) ifadəsi a⃗ və q⃗

vektorlarının kollieanarlıq şərtidir.Başqa sözlə desək,(2) tənliyindəki x0 , y0-ı hər

hansı bir qeyd edilmiş M 0 nöqtəsinin, x , y isə (1) xəttinin cari Mnöqtəsinin

koordinatları kimi qəbul etsək,(2) ifadəsi a⃗={x−x0 ; y− y0 } və

q

e1e2O

6

q⃗={B ;−A } vektorlarının kollinearlıq şərtini verir.Buda M nöqtələrinin q⃗ vektoruna

kollinear düz xəttin nöqtələri olduğunu göstərir.Deməli koordinatları (1) tənliyini

ödəyən nöqtələr q⃗={B ;−A } vektoruna kollinear olan bir düz xəttin nöqtələridir.

(şəkil.1)

Şəkil 1.

Bu dediklərimiz onu göstərir ki,müstəvi üzərində iki məchullu bir dərəcəli

bir tənlik, məchulların əmsalları eyni zamanda sıfır olmadıqda,müəyyən koordinat

sistemində (afin və ya dekart) bir düz xətti təyin edir.(1) tənliyinə düz xəttin

ümumi tənliyi deyilir.

A ,B ,C əmsallararının qiymətlərindən asılı olaraq (1) tənliyinin təyin etdiyi

düz xəttin koordinat sisteminə nəzərən necə yerləşdiyini izah edək.Bəzən sadəlik

üçün (1) tənliyinin təyin etdiyi düz xətt əvəzində (1) xətti də deyəcəyik.

(1) C=0 olduqda (1) tənliyi

Ax+By=0 (3)

kimi olur.Koordinat başlanğıcı olan O(0 ;0) nöqtəsinin koordinatları (3) tənliyini

ödəyir.Bu halda verilmiş düz xətt koordinat başlanğıcından keçir.Tərsinə, (1) düz

xətti koordinat başlanğıcından keçirsə, C=0 olacaqdır.Deməli,koordinat

başlanğıcından keçən düz xətt yalnız və yalnız (3) şəklində olmalıdır.

(2) A=0 ,B≠0 ,C ≠0 olduqda, (1) tənliyi

By+C=0 (4)

kimi olur.C≠0 olduğu üçün (4) xətti,həm də (1) düz xətti,koordinat başlanğıcından

keçmir. Aydındır ki,a⃗={B ;0 } vektoru B ixtiyari sıfırdan fərqli ədəd olduqda.ox oxu

ilə kollineardır. a⃗ vektoru (4) düz xəttinin istiqamətverici vektorudur.Deməli, (4)

düz xətti,həm də (1) düz xətti ox oxuna paralel düz xətdir.

(3) A≠0 ,B=0 ,C ≠0 olduqda (1) tənliyi

Ax+C=0 (5)

m

M 2

M 1

M 0

7

şəklinə düşür.b⃗={0 ;−A } vektoru A ixtiyari sıfırdan fərqli ədəd olduqda, oy oxunun

istiqamətverici vektorudur.Deməli,bu halda (5) düz xətti, həm də (1) düz xətti oy

oxuna paralel düz xətdir.

(4) A=0 ,B≠0 ,C=0 olduqda, (1) tənliyi By=0 şəklinə düşür ki,B≠0

olduğundan, y=0 alırıq.Deməli,(1) tənliyi ox oxunun tənliyi olur.

(5) A≠0, B=0, C=0 olduqda, (1) tənliyi Ax=0 şəklinə düşür ki, buradan da

x=0 alırıq.(1)

tənliyi oy oxunun tənliyi olur.

Düz xətt koordinat başlanğıcından keçmədikdə və oxlardan heç birinə

paralel olmadıqda A ,B ,C əmsallarından heç biri sıfır ola bilməz.

Analitik həndəsədə düz xətt aşağıdakı qaydalardan birilə verilə bilər:

1) Düz xəttə aid olmayan hər bir nöqtədən bu düz xəttə paralel yeganə düz

xətt keçir.Onda düz xəttin müəyyən nöqtəsindən keçərək,müəyyən vektora paralel

olması şərtindən düz xəttin vəziyyətin tamamilə təyin oluna bilər.Deməli,m⃗ vektoru M 0 nöqtəsi verilərsə M 0 nöqtəsindən keçib,m⃗ vektoruna paralel olan düz xətt

birqiymətli olaraq təyin edilir.(Şəkil.2).

m⃗ vektoruna həmən düz xəttin istiqamətverici vektoru deyilir.Qeyd etmək

lazımdır ki, düz xəttin ixtiyari nöqtəsini M 0 nöqtəsi,istiqamətverici vektor əvəzində

isə bu düz xəttə paralel olan ixtiyari sıfırdan fərqli vektoru götürmək olar.Müstəvi

üzərində afin koordinat

sistemi təyin etsək,M 0 nöqtəsi və m⃗ vektoru müəyyən koordinata malik olacaqdır;

M 0(x¿¿0 , y0)¿və m⃗= {α ; β }.Bu dediklərimizdən alırıq ki,x0 , y0 və {α ; β } cütləri düz

xəttin vəziyyətini birqiymətli təyin edir.

2) İki nöqtə düz xəttin vəziyyətini birqiymətli təyin edir.Buradan aydın olur

Şəkil 2

AB

e1e2 O

8

ki,hər hansı bir düz xətt iki nöqtəsində verilə bilər.(Şəkil.2).Müstəvi üzərində afin

koordinat sistemi təyin olunduqda,düz xəttin M 1 və M 2 nöqtələri müəyyən

koordinatlara malik olacaqdır: M 1(x1; y1),M 2(x2; y2).Deməli, yenədə(x1; y1),və

(x2; y2)ədədləri düz xəttin vəziyyətini birqiymətli təyin edir.

3) Fərz edək ki,müstəvi üzərində afin koordinat sistemi təyin olunub və l düz

xətti koordinat başlanğıcından keçmir.Bu düz xəttin koordinat oxlarından kəsdiyi

istiqamətlənmiş parçalar məlum olduqda,düz xətti həmən istiqamətlənmiş

parçaların köməkliyi ilə birqiymətli vermək olar.(Şəkil.3).a= O⃗Ae⃗1, b=O⃗Be⃗2

ilə

göstərsək, a və b ədədləri düz xəttin vəziyyətini bir qiymətli təyin edir.

Düz xəttin belə verilməsinə düz xəttin ″parçalarla” verilməsi deyilir.

4) Afin koordinat sistemində a⃗ vektoru {α ; β } koordinatlarına maliksə,α≠0

olduqda k=βα ədədinə a⃗ vektorunun bucaq əmsalı deyilir. ldüz xəttinə paralel olan

vektorlar öz aralarında kollinear olurlar.Onda l düz xəttinə paralel olan vektorların

hamısının uyğun koordinatları mütənasib olacaqdır.Deməli, l düz xəttinə paralel

olan vektorların hamısının bucaq əmsalları eyni bir k ədədi olacaq.k ədədinə l düz

xəttinin bucaq əmsalı deyilir.Başqa sözlə desək, l düz xəttinin ixtiyari

istiqamətverici vektorunun bucaq əmsalına ldüz xəttinin bucaq əmsalı deyilir.oy

oxunun və ona paralel olan ixtiyari düz xəttin bucaq əmsalı sonsuzdur.ox oxunun

və ona paralel düz xətlərin bucaq əmsalı isə sıfırdır.

Bu dediklərimizin köməkliyi ilə göstərə bilərik ki,düz xəttin bir M 0 nöqtəsi

və k bucaq əmsalı verildikdə müstəvi üzərində onun vəziyyəti birqiymətli təyin

olunur.

Bu halda düz xətt oy oxu ilə kəsişdiyindən, M 0 nöqtəsi əvəzində düz xəttin oy oxu

Şəkil 3.

B(0,b) M 0(x0 , y0)

e2O e1

Q(a ,b)Oe2

N (x , y) l

y

E2

E2

e1 x

9

ilə kəsişdiyi nöqtəni götürmək olar.Şəkil.4-də bu nöqtə B ilə göstərilmişdir.B

nöqtəsi şəkil.4-də olduğu kimi (0 , b) koordinatlarına malik olduqda b və kədədləri

düz xəttin mestəvi üzərində vəziyyətini birqiymətli təyin edir.

Şəkil 4.

Yuxarıdakı izahatdan belə nəticəyə gəlmək olar ki,müstəvi üzərində afin

koordinat sistemi təyin olunduqda,düz xəttin vəziyyətini yuxarıdakı dörd haldan

biri ilə birqiymətli olaraq müəyyənləşdirmək olar.

Qeyd etmək lazımdır ki,axırıncı iki vəziyyət əvvəlki iki vəziyyətdən alına

bilər.Lakin məsələ həllində bu hallar işi asanlaşdırdığı üçün,onları ayrı hal kimi

yazdım.

2.DÜZ XƏTTİN BUCAQ ƏMSALI TƏNLİYİ.

İKİ DÜZ XƏTTİN QARŞILIQLI VƏZİYYƏTİ

Müstəvi üzərində afin koordinat sisteminin təyin olunduğunu fərz

edək.Koordinat başlanğıcından keçməyən və koordinat oxlarından heç birinə

paralel olmayan l düz xəttinin tənliyini çıxarmaq üçün,onun hər hansı bir

nöqtəsinin və bucaq əmsalının verildiyini fərz edəcəyik.Düz xətt oxlardan heç

birinə paralel olmadığından, oy oxunu hər hansı bir Q(0 ;b) nöqtəsində kəsəcək. l

düz xəttinin Q nöqtəsinin və k bucaq əmsalının köməkliyi ilə tənliyini yazaq.

(Şəkil.5)

Şəkil 5

10

ldüz xəttinin tənliyini yazmaq üçün,onun Q-dən fərqli ixtiyari nöqtəsini

M (x ; y ) ilə işarə edək.Onda Q⃗M vektoru ldüz xəttinin istiqamət verici vektoru

olacaq.Vektorun başlanğıc və son nöqtələrinin koordinatları verildikdə, öz

koordinatlarını tapa bilərik:Q⃗M={x ; y−b } olacaqdır.Bucaq əmsalının tərifini

yadımıza salsaq

y−bx =k (1)

alarıq.

Bu onu göstərir ki, ldüz xəttinin bütün nöqtələrinin koordinatları, (1) tənliyi

ilə ekvivalent olan

y=kx+b (2)

tənliyi ödəyir.

Əksinə,koordinatları (1) tənliyini ödəyən ixtiyari M 1(x1; y1),nöqtəsi ldüz xətti

üzərindədir. Doğrudan da, l düz xətti üzərində x1 absisinə malik olan yeganə M '

nöqtəsi vardır ki, x1 həm də M 1 nöqtəsinin absisidir.M ' nöqtəsi nöqtəsinin

koordinatları (1) tənliyini ödədiyindən onun ordinatı y1=k x1+b olur.Bu da M 1

nöqtəsinin ordinatı olduğundan, M ' nöqtəsilə M 1nöqtəsi üst-üstə düşür.Buradan M 1

nöqtəsinin ldüz xətti üzərində yerləşdiyinin alırıq.

Nəhayət alırıq ki, (1) tənliyini yalnız və yalnız ldüz xəttinin koordinatları

ödəyir.Bu da (1) tənliyinin ldüz xəttinin tənliyi olduğunu göstərir.Düz xəttin (2)

şəkildə tənliyinə düz xəttin bucaq əmsallı tənliyi deyilir.

Qeyd:Bundan sonra nöqtənin koordinatları tənliyi ödəyir əvəzində nöqtə

tənliyi ödəyir də deyəcəyik.

oy oxuna paralel olmayan düz xəttin bir M 0 nöqtəsi və bucaq əmsalı k

verilmişdir.Onun tənliyini yazmalı.Fərz edək ki,düz xətt oy oxuna paralel

deyil.Düz xətt oy oxuna paralel olmadığından onun tənliyini (2) kimi yazmaq olar.

M 0(x0; y 0) nöqtəsi bu düz xəttin üzərində olduğundan,

y0=k x0+b (3)

ödənir.

(2)-dən (3)-ü çıxsaq

11

y− y0=k (x−x0) (4)

alırıq ki,bu, M0 nöqtəsindən keçən və k bucaq əmsalına malik olan düz xəttin

tənliyidir.

Aşağıdakı

Ax+By+C=0 A2+B2≠0 (5)

A1 x+B1 y+C1=0 A12+B1

2≠0 (6)

tənliklərilə uyğun olaraq lvə l1düz xətlərinin təyin olunduqlarını fərz edək.Bu düz

xətlərin nə vaxt dar mənada və nə vaxt geniş mənada paralel olduqlarını, nə vaxt

yalnız bir ortaq nöqtəyə malik olduqlarını,(kəsişdiklərini) izah edək.

Düz xətlər heç bir ortaq nöqtəyə malik olmadıqda və ya üst-üstə düşdükdə

belə düz xətlərə,paralel düz xətlər deyilir (düz xətlərin heç bir ortaq nöqtəsi

olmadığı hala dar mənada paralelik kimi baxacayıq).

lvə l1düz xətləri yalnız və yalnız istiqamətverici vektorları u⃗={B;−A },u⃗1= {B1 ;−A1 } kolinear olduqda,paralel olurlar.u⃗ və u⃗1 vektorları isə B:(−A)=B1 :(−A1)

tənasübü ödəndikdə və ya

A1 :B1=A :B (7)

tənasübü ödəndikdə kollinear olurlar.

(7) tənasübü ilə birlikdə

A1 :B1:C1=A :B :C (8)

tənasübü də ödənərsə, lvə l1 düz xətləri üst-üstə düşür.Belə olduqda (5) və (6)

tənliklərinin birinin əmsallarını eyni bir sıfırdan fərqli ədədə vurmaqla digərinin

əmsallarını almaq olar. Deməli, (5) və (6) tənlikləri ekvivalentdir.Yəni bu

tənliklərdən birini ödəyən ixtiyari M (x; y ) nöqtəsi digərini də ödəyir.

Əksinə,lvə l1 düz xətləri üst-üstə düşürsə, (8) tənasübü ödənilir.Bunu isbat

edək.

Əvvəlcə təklifi lvə l1 düz xətlərinin ordinat oxuna paralel olduqları hal üçün

isbat edək. Düz xətlər ordinat oxuna paralel olduqları üçün B=B1=0

olacaqdır.Deməli, C1: A1=C :A tənasübünün ödəndiyini isbat etmək lazımdır.

12

lvə l1 düz xətləri üst-üstə düşdüyündən bu düz xətlər absis oxunu eyni bir −C1

A1=−CA

absisinə malik (A≠0 , A1≠0 üçün) nöqtədə kəsəcəklər.Bu hal üçün

tənasübün doğruluğu isbat edildi.

İndi fərz edək ki, üst-üstə düşən lvə l1 düz xətləri ordinat oxuna paralel

deyildir.Onda bu düz xətlərin hər ikisi ordinat oxunu eyni bir −C1

B1=−CB ordinata

malik bir E nöqtəsində kəsəcəklər ki,buradanB1:C1=B :C tənasübünü alırıq.Bu

tənasüb,lvə l1 düz xətlərinin paraleliklərini göstərən (7) tənasübü ilə birlikdə (8)

tənasübünü verir.

lvə l1 düz xətlərinin ortaq nöqtəyə malik olmadıqları hal, (6) tənasübünün

ödəndiyi (7) tənasübünün ödənmədiyi (düz xətlər üst-üstə düşmədiklərindən) hala

uyğundur.Deməli,bu halda (7) tənasübü ödənir,lakin (8) tənasübü ödənmir,yəni

A1 :B1:C1≠ A :B :C (9)

olur.

(7) və (9) bərabərliklərini birlikdə

AA1

= BB1≠ CC1

(10)

kimi yazırlar.

Beləliklə biz göstərdik ki, (5) və (6) tənlikləri yalnız və yalnız (8) tənasübü

ödəndikdə eyni bir düz xətti təyin edirlər.

(5) və (6) tənliklərinin paralel düz xətləri təyin etmələri üçün zəruri və kafi

şərt (7) tənasübünün ödənməsidir (düz xətlər üst-üstə düşə bilərlər).

(5) və (6) düz xətlərinin paralel olması (heç bir ortaqnöqtəyə malik

olmamaları) üçün (7) və (9) tənasüblərinin ödənməsi zəruri və kafi şərtdir.

lvə l1 düz xətləri uyğun olaraq

A1 x+B1 y+C1=0 A2+B2≠0 (11)

A2 x+B2 y+C2=0 A22+B2

2≠0 (12)

tənliklərilə verilsin.

Bu iki düz xəttin ortaq nöqtəsi varsa,həmin nöqtə eyni zamanda həm (11) və

13

həm də (12) tənliyini ödəyir.Tərsinə,hər hansı bir N nöqtəsi eyni zamanda həm

(11) və həm də (12) tənliyini ödəyirsə, N nöqtəsi bu iki düz xəttin kəsişmə

nöqtəsidir.

Deməli,bu iki düz xəttin kəsişmə nöqtəsini tapmaq üçün (11) və (12)

tənliklərini bir sistem kimi həll etmək lazımdır.Bu sistemi həll etdikdə aşağıdakı

hallar ola bilər.

(1) Məchulların əmsallarından düzəldilmiş iki tərtibli determinant

δ=|A1 B1

A2 B2|≠0

Bu halda (11) və (12) tənliklərindən düzəldilmiş sistem yeganə həllə malik olar.Bu

sistem

yeganə həllə malik olar.Bu sistemi həll edib,həmən nöqtəni taparıq.

(2)Məchulların əmsallarından düzəldilmiş ikitərtibli determinant

δ=|A1 B1

A2 B2|=0 yəni

A1 :B1=A2:B2 və A1 :B1:C1≠ A :B :C olsun.Belə olduqda (11) və (12) düz xəttləri heç

bir ortaq nöqtəyə malik deyillər (dar mənada paraleldirlər).Bu halda düz xətlər

kəsişmir.

(3)A1 :B1:C1=A2:B2 :C2 , başqa sözlə A1

A2=B1

B2=C1

C2 .Bu halda (11) tənliyinin

həllərinin

hamısı həm də (12) tənliyinin həlləri olur.Yəni (11) və (12) tənlikləri eyni bir düz

xəttin tənliyi olur.Bu halda kəsişmə nöqtələri sonsuz sayda olur.

Tərsinə, (11) və (12) düz xətləri yalnız bir ortaq nöqtəyə maliksə,δ ≠0. (11)

və (12) düz xətləri paraleldirsə (dar mənada),δ=0 və nəhayət, (11) və (12) düz

xətləri üst-üstə düşürlərsə,A1

A2=B1

B2=C1

C2 olacaqdır.

3.DÜZ XƏTTİN MÜXTƏLİF TƏNLİKLƏRİ

a)Düz xəttin parametrik tənliyi:Müstəvi üzərində hər hansı bir afin koordinat

sisteminin təyin olunduğunu və bu müstəvi üzərində hər hansı bir M 0 nöqtəsinin

verildiyini fərz edək. M 0 nöqtəsinə tətbiq olunmuş u⃗0 vektoru verildikdə,elə bir M 1

M 1 e1

e2M 0

My

Ou⃗0

14

nöqtəsi var ki, u⃗=⃗M 0M 1

olur.

M0 nöqtəsi və u⃗0 vektorunun verilməsilə müstəvi üzərində

M⃗ 0M=t M⃗ 0M1 (1)

şərtini ödəyən M⃗ 0M vektorun son nöqtələrinin çoxluğu hər hansı bir l düz xəttini

təyin edir.

(1) Vektoru bərabərliyində t parametri ixtiyari həqiqi qiymət ala

bilər.Aydındır ki

u⃗0=⃗M 0M 1 vektoru l düz xəttinin istiqamətverici vektorudur.Deməli,l düz xətti (1)

tənliyinə l düz xəttinin vektoru tənliyi deyilir.Bilirik ki,hər bir düz xətt

istiqamətverici u⃗0=⃗M 0M 1 vektoru və bu vektorun tətbiq olunduğu M 0 nöqtəsinin

köməkliyi ilə təyin oluna bilər. (1) tənliyinin başqa tənliklərə nəzərən üstünlüyü

orasındadır ki,bunun köməkliyi ilə düz xəttin vəziyyətini nəinki müstəvi üzərində

həm də n ölçülü fəzada da bu qayda ilə təyin etmək olar.

Müstəvi üzərində koordinat başlanğıcı O nöqtəsini (Şəkil.6) qeyd etdikdə,

(1) tənliyi

O⃗M=O⃗M 0+t M⃗ 0M 1 (2)

tənliyi ilə ekvivalentdir.Çox zaman mexanika və fizikada düz xəttin vektoru tənliyi

dedikdə, onu (2) kimi ifadə edirlər.

Şəkil 6

Müstəvi üzərində koordinat sistemi təyin olunduğundan u⃗0=⃗M 0M 1 vektoru

iki həqiqi ədədin köməkliyi ilə, yəni u⃗0=⃗M 0M 1=(a,b) koordinatlarının köməkliyi ilə

təyin olunur.

15

M 0 nöqtəsi (x0 ; yo) koordinatlarına malik olduqda cari M nöqtəsinin

koordinatlarını (x ; y) ilə işarə edib və vektorların bərabərliyindən istifadə etsək, (1)

tənliyi

x−x0=at ,y− y0=bt } (3)

tənliklər sistemi kimi yazılar.

Deməli,bizim düz xətt yalnız və yalnzı elə M (x , y ) nöqtələrindən ibarətdir ki,

o nöqtələrin koordinatları t parametrinin hər hansı həqiqi qiymətlərində (3) kimi

yazıla bilər.Ona görə də (3) tənliklər sisteminə verilmiş düz xəttin parametrik

tənliklər sistemi yaxud da sadəcə düz xəttin parametrik tənliyi deyilir.

(3) sistemindən t-ni yox etsək,

x−x0

a=y− y0

b (4)

tənliyini alarıq. (4) tənliyinə düz xəttin kanoniktənliyi deyilir.

b)İki nöqtədən keçən düz xəttin tənliyi:Müstəvi üzərində afin koordinat

sisteminin təyin olunduğunu və bu müstəvi üzərində iki M 1(x1; y1) və M 2(x2; y2)

nöqtələrinin verildiyini fərz edək.M 1 və M 2 nöqtələri ilə təyin olunan düz xəttin

tənliyini yazaq.

Düz xətt iki M 1(x1; y1) və M 2(x2; y2) nöqtələri ilə veildikd,onun

istiqamətverici u⃗0=⃗M1M 2 vektoru

a=x2−x1 , b= y2− y1

koordinatlarına malik olur.Bu qiymətləri nəzərə alsaq (4) tənliyindən

x−x1

x2−x1=y− y1

y2− y1 (5')

və ya

| x−x1 y− y1

x2−x1 y2− y1|=0 (5)

tənliyini alırıq.

(5′) və ya (5) tənliyi iki M 1(x1; y1) və M 2(x2; y2) nöqtələrindən keçən düz

xəttin tənliyidir.

(5) tənliyini

16

| x y 1x1 y1 1x2 y2 1|=0 (6)

kimi də yazmaq olar.

Müstəvi üzərində üçüncü bir M 3(x3; y3) nöqtəsini götürək.M 3(x3; y3) nöqtəsi

(5) düz xəttinin nöqtəsi olsa,M 3 nöqtəsinin koordinatları (5) tənliyini

ödəməlidir,yəni

x3−x1

x2−x1=y3− y1

y2− y1

olmalıdır ki,buradan

( y2− y1)(x3−x1)(x2−x1)( y¿¿3− y1)¿

yaxud da

|x2−x1 y2− y1

x3−x1 y3− y1|=0 (7)

alırıq.

Bu şərti həm də üçüncü nöqtənin koordinatlarını (6)-də yazaraq

|x1 y1 1x2 y2 1x3 y3 1|=0 (8)

Determinantı kimi alırıq.

(6) və (8) determinantları bir-birinə bərabər determinantlardır.

Deməli, M 1(x1; y1),M 2(x2; y2) və M 3(x3; y3)nöqtələrinin bir düz xətt üzərində

olması üçün zəruri və kafi şərti (6) və ya (8) bərabərliyinin ödənməsidir.

c)Düz xəttin parçalarla tənliyi:Xüsusi halda M 1 və M 2 nöqtələri düz xəttin uyğun

olaraq ox və oy oxları ilə kəsişdiyi nöqtələr olsa, M 1 (a; 0 ) ,M 2(0 ;b) koordinatlarına

malik olar. M⃗1M 2 vektorunu düz xəttin istiqamətverici vektoru kimi qəbul etsək bu

nöqtələrdən keçən düz xəttin tənliyi

x−a−a= yb

və ya

xa + yb=1 (9)

17

olar ki,(9) tənliyinə düz xəttin parçalarla tənliyi deyilir.Burada a və b düz xəttin uyğun olaraq ox və oy oxlarından ayırdığı parçaların uzunluğudur. Deməli,düz əxttin tənliyinin nə şəkildə verilməsindən asılı olmayaraq onu

(8) şəklinə gətirib,onun ox və oy oxlarından ayırdığı parçaları tapmaq olar.

4.DÜZ XƏTLƏR DƏSTƏSİ

Tərif 1.Müstəvinin hər hansı bir M0 nöqtəsindən keçən və bu müstəvi

üzərində yerləşən düz xətlər çoxluğuna kəsişən düz xətlər dəstəsi deyilir.M 0

nöqtəsi dəstənin mərkəzi adlanır.

Tərif 2.Müstəvi üzərində yerləşən və müəyyən bir istiqamətə paralel olan

düz xətlər çoxluğuna paralel düz xətlər dəstəsi deyilir.Düz xətlərin paralel

olduqları istiqamətə dəstənin istiqaməti deyilir.

Bu iki tərifi aşağıdakı kimi birləşdirə bilərik.

Tərif 3.Müstəvi üzərində yerləşən və hər hansı bir nöqtədən keçən və ya hər

hansı bir istiqamətə paralel olan düz xətlər çoxluğuna düz xətlər dəstəsi deyilir.

Kəsişən düz xətlər dəstəsi ya dəstənin mərkəzini (x0 ; yo) koordinatları və ya

da bu dəstəyə daxil olan kəsişən iki düz xəttin köməkliyi ilə verilə bilər.Doğrudan

da,kəsişən iki düz xətt bir nöqtəni təyin edir ki, bu nöqtədə dəstənin mərkəzi

olacaqdır.

Paralel düz xətlər dəstəsi ya dəstənin istiqamətini göstərən sıfırdan fərqli və

ya da dəstənin hər hansı bir düz xəttinin köməkliyi ilə verilə bilər.

Afin kkordinat sistemində Ddəstəsi koordinatları (x0 ; yo) olan mərkəzinin

köməkliyi ilə verilmişsə,dəstənin tənliyi

β (x−x0)=α ( y− y0) (1)

kimi olar.(1) tənliyində αvə β eyni zamanda sıfır olmayan ixtiyari qiymətlər

alır.Deməli,αvə β necə ədədlər olurlarsa olsunlar onların müəyyən bir

qiymətlərində (1) tənliyi D dəstəsinin müəyyən bir düz xəttini verir.Əksinə D

dəstəsinin l düz xətti necə düz xətt olursa olsun elə α və β əmsalları tapılar ki, (1)

tənliyinə D dəstəsinin tənliyi deyilir.

18

Doğrudan da,α və β ixtiyari,eyni zamanda sıfıra bərabər olmayan ədədlər

olsunlar.Onda (1) tənliyi (x0 ; yo) nöqtəsindən keçib {α ; β } vektoruna paralel olan düz

xəttin,yəni D dəstəsinin hər hansı bir düz xəttini təyin edir.

Əksinə,D dəstəsinin istiqamətverici vektoru {α ; β } olan düz xətti lolsun,ldüz

xətti (x0 ; yo) nöqtəsindən keçdiyindən tənliyi (1) kimi yazılır.

(1) tənliyində x0; y o sabit ədədlər,αvə β isə parametrlərdir.λ≠0 olduqda, α ,β

üçün λα və λβ parametrləri dəstənin eyni bir düz xəttini verir.Ona görə də,əslində

dəstənin düz xətti parametrlərin α : β nisbəti ilə təyin olunur.

Teorem 1.Afin koordinat sistemində kəsişən Ddüz xətlər dəstəsi,kəsişən iki

müxtəlif

A1 x+B1 y+C1=0 (2)

A2 x+B2 y+C2=0 (3)

düz xətlərilə verilmişsə,α və β eyni zamanda sıfıra bərabər olmayan ixtiyari

ədədlər olduqda,

α (A1 x+B1 y+C1)+ β(A2 x+B2 y+C2)=0 (4)

tənliyi verilmiş dəstəni təyin edir.

İsbatı:Hər şeydən əvvəl göstərək ki, α və β-nın eyni zamanda sıfıra bərabər

olmayan ixtiyari qiymətlərində (4) münasibəti düz xətt tənliyidir,yəni x və y-in

əmsalları eyni zamanda sıfır deyil.(4) münasibətini

(A1α+A2β )x+(B1α+B2 β) y+C1α+C2 β=0 (5)

kimi yazaq.Əksini fərz edək.Fərz edək ki,x və y-in əmsalları eyni zamanda

sıfırdır.Yəni,

A1α+A2 β=0 və B1α+B2 β=0

(2) və (3) müxtəlif kəsişən düz xətlər olduğundan, A1B2−A2B1≠0

olmalıdır.Belə olduqda α=β=0 olmalıdır.Bu isə ziddiyyətdir.Bu ziddiyyyət bizim

fərziyyəmizin doğru olmadığını göstərir.Deməli, (5) ifadəsində x və y-in əmsalı

eyni zamanda sıfır ola bilməz.Buradan alırıq ki, (4),düz xətt tənliyidir.

α və β-nın ixtiyari qiymətində (4) düz xətti (2) və (3) düz xətlərinin kəsişmə nöqtəsindən keçir. Doğrudan da,(x0 ; yo) kəsişmə nöqtəsinin koordinatları olduqda A1 x0+B1 y0+C1=0 və A2 x0+B2 y0+C2=0 olacaq.Ona görə də, αvə β-nın ixtiyari

19

qiymətlərində α (A1 x0+B1 y0+C1)+ β (A2 x0+B2 y 0+C2)=0olur.Buradan da αvəβ-nın ixtiyari qiymətlərində (4) düz xəttinin D dəstəsinə daxil olduğunu alırıq. Tərsinə, D dəstəsinin ixtiyari düz xətti lolsun.Göstərək ki, α və β-nı elə

seçmək olar ki, (4) tənliyi ldüz xəttinin tənliyi olar.Doğrudan da,ldüz xətti,dəstənin

,(x0 ; yo) mərkəzi və bundan fərqli bir (x1; y1) nöqtəsinin köməkliyi ilə təyin

olunur.Yuxarıda göstərdik ki, (4) düz xətti D dəstəsinin mərkəzi (x0 ; yo)

nöqtəsindən keçir.İndi α və β-nı elə seçək ki, (x1; y1) koordinatlarını (4)-də yerinə

yazsaq, α (A1 x1+B1 y1+C1)+β (A2 x1+B2 y1+C2)=0 alarıq.(x1; y1) nöqtəsi (x0 ; yo)

nöqtəsilə üst-üstə düşmədiyindən,A1 x1+B1 y1+C1 və A2 x1+B2 y1+C2 ifadələrinin hər

ikisi eyni zamanda sıfıra çevrilə bilməz.Bunlardan heç olmazsa biri sıfırdan fərqli

olacaq.Müəyyənlik üçün fərz edək ki, A2 x1+B2 y1+C2≠0. Onda α-nı ixtiyari seçərək,

β-nı aşağıdakı

β=A1 x1+B1 y1+C1

A2 x2+B2 y1+C2α

ifadədən tapırıq.

Aydındır ki, α və β-nı belə seçdikdə (4) tənliyi ilə verilmiş düz xətt həm

(x0 ; yo) və həm də x1; y1 ¿ nöqtələrindən keçəcəkdir,yəni (4) düz xətti ldüz xətti ilə

üst-üstə düşəcək.Bununla da teorem isbat olundu.

İndi də paralel düz xətlər dəstəsinin tənliyini çıxaraq.

Teorem 2.Afin koordinat sistemində paralel düz xətlər dəstəsi sıfırdan fərqli

q⃗= {a ;b } vektoru vasitəsi ilə təyin olunursa,

bx−ay+α=0 (6)

tənliyi α-nın bütün mümkün olan həqiqi qiymətlərində verilmiş dəstəni təyin edir.

Teorem 3.Afin koordinat sistemində (2) və (3) paraelel düz xətləri ilə təyin

olunan dəstə, α və β-nın α A1+ β A2və α B1+β B2 ifadəsini eyni zamanda sıfıra

çevirməyən qiymətlərində

α (A1 x1+B1 y1+C1)+β (A2 x1+B2 y1+C2)=0 (7)

tənliyi ilə təyin olunur.

Üç düz xəttin bir dəstəyə aid olması şərtini aşağıdakı teorem kimi ifadə

edək.

Teorem 4.Afin koordinat sistemində

20

A1 x+B1 y+C1=0 (8)

A2 x+B2 y+C2=0 (9)

A3 x+B3 y+C 3=0 (10)

tənlikləri ilə təyin olunan üç düz xəttni eyni bir kəsişən və ya paralel dəstəyə daxil

olması üçün zəruri və kafi şərt

|A1 B1 C1

A2 B2 C2

A3 B3 C3| (11)

determinantının sıfır olmasıdır.

21

5.NƏTİCƏ

22

6.Ədəbiyyat

1.Q.M.Qasımov. Həndəsə,Bakı,1976

2.X.H.Alıyev və b. Analitik həndəsə fənni üzrə mühazirələr.Sumqayıt-2011

3.Базылев, Дуничев Геометрия. Москва 1982.