UNIVERSIDADE DO ESTADO DO RIO GRANDE DO NORTE

PROGRAMA DE POS-GRADUACAO EM F ISICA

DEPARTAMENTO DE F ISICA

Rızia Rodrigues da Silva

Refracao Negativa em Cristais de Quartzo

Mossoro/RN

Marco/2010

UNIVERSIDADE DO ESTADO DO RIO GRANDE DO NORTE-UERNPROGRAMA DE POS-GRADUACAO EM F ISICA

DEPARTAMENTO DE F ISICA

Rızia Rodrigues da Silva

Refracao Negativa em Cristais de Quartzo

Mossoro/RN

Marco/2010

Rızia Rodrigues da Silva

Refracao Negativa em Cristais de Quartzo

Dissertacao apresentada ao Mestrado

em Fısica da Universidade do Estado

do Rio Grande do Norte, como requi-

sito parcial para obtencao do tıtulo de

Mestre em Fısica.

Orientador: Prof. Dr. Thomas Dumelow

MOSSORO/RN

MARCO/2010

Rızia Rodrigues da Silva

Refracao Negativa em Cristais de Quartzo

Dissertacao apresentada ao Mestrado

em Fısica da Universidade do Estado

do Rio Grande do Norte, como requi-

sito parcial para obtencao do tıtulo de

Mestre em Fısica.

Aprovado 19/03/2010

Banca Examinadora

Orientador

Prof. Dr. Thomas Dumelow

UERN

Examinador Externo

Prof. Dr. Alejandro Pedro Ayala

UFC

Examinador Interno

Prof. Dr. Jose Alzamir Pereira da Costa

UERN

AGRADECIMENTOSPrimeiramente a Deus,

A minha maezinha Raimunda pelo amor e companheirismo a mim dedicado

em todos os momentos da vida. A meu pai Jose Adalberto pelo incentivo ao

estudo. A meus irmaos Haniel Sostenis e Tiago Rodrigues por acreditarem ou

desacreditarem em minha capacidade nos momentos certos. A Rogerio pela

forca nos momentos de dificuldades. Aos meus professores Auta Stella, Mil-

ton, Idalmir, Marco Morales, Ana Lucia, Valdomiro, Carlos Ruiz, Vamberto e

Raimundo por me conduzirem na busca pelo conhecimento e crescimento int-

electual. Em especial ao professor Jose Ronaldo por mostrar-me como a Fısica

e apaixonante e por acreditar sempre em meu potencial. Aos professores Jose

Alzamir e Alejandro Pedro Ayala e a colega Sara pela ajuda na realizacao deste

trabalho. Ao coordenador do programa de pos-graduacao Joao Maria Soares

pela dedicacao e companheirismo junto aos alunos do mestrado. A meus ami-

gos Eleilianny Isabel, Amanda Andrade, Angelo Silva, Hozanio Nunes, Fran-

cisco e Rair Macedo pelo apoio moral, amizade e discussoes que contribuiram,

mesmo que indiretamente, para um melhor desempenho no trabalho. Ao com-

panheiro Denis Carlos por me ajudar a escolher a Fısica como profissao. A An-

tonio Marques pela dedicacao, carinho e por sua grande ajuda nas correcoes.

Principalmente a Thomas Dumelow pela confianca e paciencia durante todos

os anos que trabalhamos juntos.

Enfim, a todos voces acima citados por me ajudarem a aumentar o grau

intelectual da lente pela qual vejo o mundo.

RESUMONo presente trabalho investigamos refracao negativa, do tipo presente para

todos os angulos de incidencia, em cristais de quartzo na frequencia de in-

fravermelho distante. Para ocorrer refracao negativa deste tipo em materiais

nao-magneticos anisotropicos, e necessario ter dois componentes principais do

tensor dieletrico com sinais opostos. Esta condicao e diferente da condicao para

refracao negativa em meios de ındice negativo com ε < 0 e µ < 0. Para essa

investigacao realizamos simulacoes e medidas experimentais com amostras de

quartzo em varias configuracoes das polarizacoes e orientacoes dos cristais. Em

nossas simulacoes, verificamos que a condicao requerida para refracao nega-

tiva e satisfeita no quartzo para determinada faixa de frequencia no infraver-

melho. Na mesma regiao de frequencia podemos ver das simulacoes e de nos-

sas medidas experimentais que ocorre transmissao suficiente para possibilitar

a ocorrencia de refracao negativa mais eficiente que observada ateriormente

usando o mesmo princıpio.

Palavras-chave: Espectroscopia, infravermelho distante, refracao negativa

ABSTRACTIn the present work we investigate negative refraction, of the type present

for all incident angles, in quartz crystals at far infrared frequencies. In order

for this type of negative refraction to occur, in nonmagnetic anisotropic crystals,

it is necessary for two of the principal components of the dielectric tensor to

have opposing signs. This condition is different from the negative refraction

condition in media having negative refractive index with ε < 0 and µ < 0. For

this investigation we perform simulations and experimental measurements on

quartz in various configurations of polarization and crystal orientation. In our

simulations we confirm that the required condition for negative refraction is

satisfied over a particular infrared frequency range. In the same frequency

region we can see from our simulations and experimental measurements that

there is sufficient transmission for more efficient negative refraction to occur

than previously observed using the same principle.

keywords: spectroscopy, far infrared, negative refraction

Lista de Figuras

2.1 Trajetoria dos raios ao cruzar uma interface com a) um meio de

ındice positivo e b) um meio de ındice negativo. . . . . . . . . . . . 15

2.2 Refracao negativa e as componentes k e S da radiacao. . . . . . . 17

2.3 Estrututa de um metamaterial com fios contınuos condutores nao

magneticos e ressonadores de aneis abertos (SRR), figura reti-

rada de [1]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.4 Lente a) e b) de material convencional, lentes esfericas. c) e d)

lentes de material de ındice negativo, lentes planas. . . . . . . . . 21

3.1 Plano de atomos deslocados por uma onda longitudinal. . . . . . . 24

3.2 Plano de atomos deslocados pela passagem de uma onda transver-

sal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3.3 Relacao de dispersao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

3.4 Rede diatomica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3.5 Fonons acusticos e oticos em rede diatomica . . . . . . . . . . . . . 29

3.6 Constante dieletrica em funcao da frequencia . . . . . . . . . . . . 35

3.7 Modo acoplado polariton-fonon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

4.1 Trajetoria da radiacao eletromagnetica ao passar por um mate-

rial anisotropicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

6

4.2 (a)Direcoes do vetor de onda e vetor de Poynting para polarizacao-

p refratando na interface entre o ar e um meio uniaxial com

εxx > 0 e εzz < 0. (b)Perfil do campo instantaneo por um feixo

gaussiano. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

4.3 Caminho de um feixe de radiacao atravessando uma lente de ma-

terial com ındice negativo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

4.4 (a)Direcoes do vetor de onda e vetor de Poynting para polarizacao-

p refratando na interface entre o ar e um meio uniaxial com

εxx > 0 e εzz < 0. (b)Perfil do campo instantaneo por um feixo

gaussiano. Retirado de [2]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

4.5 (a) Estrutura artificial de camadas alternadas , (b) Componentes

principais do tensor dieletrico de uma superrede e de SiC/SiO2,

baseado em [3] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

4.6 Experimento de Hoffman et al [4] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

5.1 Interferometro de Michelson. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

5.2 Funcao do instrumento. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

5.3 interferograma instrumental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

5.4 Funcao Parzen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

5.5 interferograma instrumental apos apodizacao. . . . . . . . . . . . 59

5.6 Fenomenos de “aliasing” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

5.7 Fenomeno de multiplas reflexoes no divisor de raios. . . . . . . . . 61

5.8 Espectrometro e seus componentes. 1- Camara de vacuo; 2- Cilin-

dro hidraulico com pistao; 3- Pistao; 4- Espelho fixo; 5- Laser; 6-

Espelho para reflexao do laser; 7- Janela para entrada do laser;

8- Espelho movel; 9- Haste para movimentecao do espelho movel;

10- Caixa da amostra; 11- Detector; 12- Amostra; 13- Fotodiodo;

14- Divisor de raios; 15- Lampada de mercurio. . . . . . . . . . . . 62

5.9 Foto do espectrometro de transformada de fourier de infraver-

melho distante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

5.10 Esquema dos raios no Easi Diff, acessorio utilizado para medidas

de refletividade. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

6.1 (a)Resultados dos calculos para Re(εord) e Re(εext) em funcao

do numero de onda. (b) Resultados dos calculos para Im(εord),

Im(εext) em funcao do numero de onda. . . . . . . . . . . . . . . . 70

6.2 Reflexao da radiacao polarizada-p incidente na interface. . . . . . 72

6.3 Resultados teoricos para amostras de quartzo com o unieixo ao

longo de y. (a) e (b) componentes principais dos tensores dieletricos

sem e com amortecimento respectivamente. . . . . . . . . . . . . . 79

6.4 Resultados teoricos para amostras de quartzo com o unieixo ao

longo de y e polarizacao-s: (a) e (b) refletividade e (c) e (d) angulos

de refracao para os angulos de incidencia de 30 e 50. As figuras

a esquerda sao sem amortecimento e as figuras a direita sao com

amortecimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

6.5 Resultados teoricos para amostras de quartzo com o unieixo ao

longo de y e polarizacao-p: (a) e (b) refletividade e (c) e (d) angulo

de refracao. As figuras a esquerda sao sem amortecimento e as

figuras a direita sao com amortecimento. . . . . . . . . . . . . . . 81

6.6 Resultados teoricos para amostras de quartzo com unieixo ao

longo de z. (a) e (b) componentes principais dos tensores dieletricos

sem e com amortecimento respectivamente. . . . . . . . . . . . . . 82

6.7 Resultados teoricos e experimentais para amostras de quartzo

com unieixo ao longo de z e polarizacao-s: (a) e (b) refletividade e

(c) e (d) angulos de refracao para os angulos de incidencia de 30

e 50. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

6.8 Resultados teoricos e experimentais para amostras de quartzo

com unieixo ao longo de z e polarizacao-p: (a) e (b) refletividade

e (c) e (d) angulo de refracao. As figuras a esquerda sao sem

amortecimento e as figuras a direita sao com amortecimento. . . . 84

6.9 Transmissao da radiacao polarizada-p incidente na interface. . . 85

6.10 Resultados teoricos e experimentais para transmissividade de

radiacao polarizada-s em amostras de quartzo com unieixo ao

longo de y. As medidas do lado esquerdo da figura sao para angulo

de incidencia de 30 e as do lado direito para 50. (a) e (b) trans-

missividade na amostra de 25µm, (c) e (d) transmissividade na

amostra de 50µm, (e) e (f) transmissividade na amostra de 75µm. 86

6.11 Resultados teoricos e experimentais para transmissividade de

radiacao polarizada-p em amostras de quartzo com unieixo ao

longo de y. As medidas do lado esquerdo da figura sao para angulo

de incidencia de 30 e as do lado direito para 50. (a) e (b) trans-

missividade na amostra de 25µm, (c) e (d) transmissividade na

amostra de 50µm, (e) e (f) transmissividade na amostra de 75µm. 87

6.12 Resultados teoricos e experimentais para transmissividade de

radiacao polarizada-s em amostras de quartzo com unieixo ao

longo de z. As medidas do lado esquerdo da figura sao para

angulo de incidencia de 30 e as do lado direito para 50. (a) e

(b) transmissividade na amostra de 25µm, (c) e (d) transmissivi-

dade na amostra de 50µm, (e) e (f) transmissividade na amostra

de 75µm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

6.13 Resultados teoricos e experimentais para transmissividade de

radiacao polarizada-p em amostras de quartzo com unieixo ao

longo de z. As medidas do lado esquerdo da figura sao para

angulo de incidencia de 30 e as do lado direito para 50. (a) e

(b) transmissividade na amostra de 25µm, (c) e (d) transmissivi-

dade na amostra de 50µm, (e) e (f) transmissividade na amostra

de 75µm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

Sumario

1 Introducao 12

2 Refracao Negativa 142.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.2 Conceitos Basicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.3 Metamateriais e Estruturas Fotonicas . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.4 Estudos Experimentais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.5 Dispositivos com Materiais de Indice Negativo . . . . . . . . . . . 20

2.6 Refracao Negativa com Dieletricos Anisotropicos . . . . . . . . . . 22

3 Interacao da Radiacao Infravermelha com a Materia 233.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3.2 Fonons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3.3 Campo Eletrico em Dieletrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3.4 Polarizabilidade nos Sıtios dos Atomos em Meio Dieletrico . . . . 31

3.5 Modos LO e TO e a Constante Dieletrica . . . . . . . . . . . . . . . 33

3.6 Polaritons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

4 Refracao Negativa em Meios Anisotropicos 394.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

4.2 Interacao da Radiacao com o Material Anisotropico . . . . . . . . 40

4.3 Refracao Negativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

4.4 Materiais Anisotropicos Adequados Para Refracao Negativa . . . 46

10

5 Espectroscopia de Transformada de Fourier de InfravermelhoDistante 525.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

5.2 Interferometro de Michelson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

5.3 Transformada de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

5.4 “Aliasing” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

5.5 Transformada de Fourier Rapida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

5.6 Efeito do Divisor de Raios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

5.7 Espectrometro de Transformada de Fourier Montado na UERN . 62

5.8 Procedimento Experimental Para as Nossas Medidas de Refle-

tividade e Transmissividade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

6 Resultados para Refracao Negativa em Cristais de Quartzo 676.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

6.2 Funcao Dieletrica do Quartzo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

6.3 Reflexao e Refracao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

6.4 Medidas de Transmissividade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

6.5 Conclusao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

7 Conclusoes e Perspectivas 91

Bibliografia 92

Capıtulo 1

Introducao

O fenomeno de refracao negativa tem atraıdo bastante interesse nos ultimos

anos devido ao seu potencial na fabricacao de dispositivos singulares, como su-

perlentes e super DVDs. A ocorrencia de refracao negativa em metamateriais

com ε < 0 e µ < 0, materiais de ındice de refracao negativo, tem sido bastante

abordado na literatura inclusive com publicacoes contendo comprovacao exper-

imental.

Nos analisamos neste trabalho a possibilidade da ocorrencia de refracao

negativa em cristais naturais (quartzo) anisotropicos. O efeito e baseado na

resposta dos fonons, e mostramos teoricamente e experimentalmente que o

fenomeno de refracao negativa para todos os angulos de incidencia deve acon-

tecer ao redor das frequencias dos fonons.

A estrutura da dissertacao e a seguinte: Para uma melhor compreensao

do fenomeno e da problematica, no capıtulo 2 nos abordamos o fenomeno de

refracao negativa em uma forma mais geral, concentrando na maior parte em

metamateriais com ε < 0 e µ < 0. Trazemos no capıtulo 3 uma abordagem sobre

a interacao da radiacao infravermelha com a materia, onde discutimos o com-

portamento de campos eletromagneticos ao entrar em contato com corpos ma-

teriais, em particular discutimos a interacao da radiacao eletromagnetica com

fonons. No capıtulo 4 realizamos uma discussao sobre a interacao de ondas

eletromagneticas com meios anisotropicos, e mostramos como esta interacao

12

pode resultar em refracao negativa, na situacao onde dois componentes princi-

pais do tensor dieletrico tem sinais opostos, que e a situacao de interesse para

nos. No capıtulo 5 descrevemos a tecnica de espectroscopia de infravermelho de

transformada de Fourier, o aparato instrumental que foi montados na UERN, e

discutimos como foram feitas as medidas de reflexao e transmissao do presente

trabalho usando um instrumento comercial. Os resultados das simulacoes e

experimentos estao discutidos no capıtulo 6, onde mostramos medidas de refle-

tividade e transmissividade em cristais de quartzo e analisamos os resultados

particularmente no contexto de refracao negativa. As conclusoes e perspectivas

estao apresentadas no capıtulo 7.

Capıtulo 2

Refracao Negativa

2.1 Introducao

O fenomeno de refracao negativa tem atraıdo bastante interesse nos ultimos

anos devido ao crescente numero de comprovacoes experimentais do fenomeno

e as propostas para dispositivos feitos desses materiais. Nesse capıtulo nos ire-

mos fazer uma breve revisao bibliografica apontando os principais avancos no

estudo de refracao negativa. No primeiro topico apresentaremos os conceitos

mais fundamentais para o entendimento do fenomeno. Em seguida citamos e

damos uma breve ideia sobre os metamateriais e os cristais fotonicos que apre-

sentam refracao negativa. Na secao posterior falamos sobre alguns resultados

experimentais que confirmam o fenomeno. Na secao seguinte abordamos os

dispositivos feitos com materiais de ındice negativo. E na ultima discutimos

brevemete a ocorrencia de refracao negativa com dieletricos anisotropicos.

2.2 Conceitos Basicos

Um dos primeiros a propor a ideia de refracao negativa foi Veselago que abor-

dou com um tratamento eletrodinamico o comportamento de um meio com

ındice de refracao negativo [5]. Esses meios que tem seu comportamento car-

acterizado pela permissividade eletrica, ε, e pela permeabilidade magnetica, µ,

14

Figura 2.1: Trajetoria dos raios ao cruzar uma interface com a) um meio deındice positivo e b) um meio de ındice negativo.

apresentariam ambos ε e µ menores que zero. O ındice de refracao que e dado

por

n = ±(εµ)12 (2.1)

e considerado negativo para materiais com ε < 0 e µ < 0 simultaneamente.

Alguns comportamentos caracterısticos desses meios tambem foram citados

por Veselago, como o efeito Doppler invertido, o efeito Vavilov-Chenrenkov in-

vertido e o efeito de refracao negativa. O efeito de refracao negativa tem sido o

mais estudado na comunidade cientıfica nos ultimos anos.

Refracao negativa pode ser imaginada como o efeito invertido da refracao

convencional que ocorre em materiais de ındice positivo. Enquanto na refracao

positiva o raio refratado desvia sua direcao se aproximando ou afastando da

normal a interface dependendo do ındice de refracao do meio, a refracao nega-

tiva desvia o raio incidente para o outro lado da normal como indicado na figura

2.1(b)

Na figura 2.1(a) esta ilustrado o efeito de refracao posisitiva que ocorre

quando a radiacao eletromagnetica ultrapassa uma interface entre dois meios

de ındices de refracao positivos (ε > 0 e µ > 0). A figura 2.1(b) mostra a direcao

do raio refratado ao atravessar uma interface incidindo de um meio de ındice

positivo para um meio de ındice negativo (ε < 0 e µ < 0).

O angulo de refracao negativa pode tambem ser deduzido da lei de Snell

modificada [1]

n+ sin θ+ = n− sin θ−, (2.2)

onde n+ e θ+ sao referentes ao meio positivo e n− e θ− ao meio de ındice negativo.

O comportamento do vetor de onda da radiacao incidente em uma interface

entre dois meios isotropicos um de ındice positivo e o outro de ındice negativo

e dado pela relacao de dispersao

k2 = k20n

2, (2.3)

o qual nao sofre alteracao para n > 0 ou n < 0, sendo k20 = ω2

c2, onda as grandezas

ω e c sao a frequencia angular e a velocidade da luz respectivamente.

A direcao do fluxo de energia da radiacao eletromagnetica e determinada

pelo vetor de Poynting S, dado por

−→S =

−→E ×−→H (2.4)

e esse sofre uma inversao na direcao em relacao a−→k e aponta na direcao de

−−→k como indicado na figura 2.2

O angulo de refracao do fluxo de energia ou vetor de Poynting foi calculado

analıticamente por Pacheco et al [6] que demonstrou que esse e realmente na

direcao do angulo de refracao negativa.

Esse tipo de material com ε < 0 e µ < 0 nao ocorre naturalmente e esse

Figura 2.2: Refracao negativa e as componentes k e S da radiacao.

fato desestimulou a comunidade cientıfica por muito tempo, ate serem ideal-

izados e fabricados materiais artificiais com essas caracterısticas. Apos algu-

mas publicacoes contendo propostas para esse tipo de materiais o fenomeno de

refracao negativa passou a receber bastante atencao dos pesquisadores. Pendry

foi um dos primeiros a propor um material alternativo que apresenta ε < 0 para

frequencias de GHz [7]. Porem materiais com ambos ε e µ negativos eram mais

difıceis de realizar, pois esses parametros negativos ocorrem proximos a uma

ressonancia que exigem altas frequencias para se encontrar ε < 0 e baixas

frequencias para µ < 0 [8]. Maiores avancos foram conseguidos quando o grupo

de San Diego de Smith et al [9] demonstrou numericamente e experimental-

mente um material com ambos ε < 0 e µ < 0 a uma determinada banda de

frequencia. Esses materiais sao conhecidos como metamateriais que abordare-

mos mais a frente.

Nem todos os autores que abordaram refracao negativa foram de acordo

com a explicacao do fenomeno por meio de ındice de refracao negativo. Valanju

et al [10] propos que interpretacoes de refracao negativa sao incorretas e as

publicacoes de experimentos de materiais de ındice negativo podem ser expli-

cados sem invocar refracao negativa. Esse artigo foi contestado posteriormente

por Pendry et al. [11, 12] que mostrou que Valanju havia se baseado em uma

definicao erronea de velocidade de grupo para tirar suas conclusoes.

Outros artigos fizeram referencia ou analisaram o fenomeno levando em

consideracao a velocidade de grupo e de fase [13, 10, 14], mas sem contestar o

fenomeno de refracao negativa.

Outras revisoes foram publicadas mostrando que realmente o desenrolar

das pesquisas nas areas teorica e experimental apontam para a ocorrencia do

fenomeno de refracao negativa em materiais com n < 0 [1, 15, 8, 16].

2.3 Metamateriais e Estruturas Fotonicas

Os materiais que apresentam refracao negativa para determinadas frequencias

mais citados nas publicacoes sao os metamateriais e cristais fotonicos.

Os metamateriais demonstrados primeiramente por Smith et al [9] para

apresentarem ε < 0 e µ < 0 para frequencias de microondas sao baseadas

em repeticoes periodicas de fios contınuos condutores nao magneticos inter-

calados com ressonadores de aneis abertos (SRR), ilustrado na fig. 2.3. Os

ressonadores de aneis abertos sao a parte do metamaterial que oferece a per-

meabilidade magnetica menor que zero, enquanto os fios contınuos dieletricos

apresentam a permissividade menor que zero. Essas estruturas sao consid-

eradas homogenias, mesmo nao sendo de fato homogenias a comprimentos de

onda grandes em relacao aos parametros da rede. Todos os materiais com n < 0

sao fabricados seguindo esse modelo com dois materiais que apresentam sepa-

radamente ε < 0 e µ < 0 para determinadas frequencias. Mais detalhes sobre o

funcionamento dessas estruturas podem ser encontrados nos artigos de revisao

[1, 8, 17].

As estruturas fotonicas que tambem apresentam o fenomeno de refracao

negativa para frequencias especıficas nao sao estruturas com ındices de refracao

Figura 2.3: Estrututa de um metamaterial com fios contınuos condutores naomagneticos e ressonadores de aneis abertos (SRR), figura retirada de [1].

negativos. Os constituintes desse tipo de estrutura periodica sao materiais de

ındice positivo [1]. O parametro de rede dos cristais fotonicos e da mesma or-

dem de grandeza da radiacao incidente o que ocasiona multiplas reflexoes de

Bragg que aparece como o efeito de refracao negativa.

Calculos numericos ja foram realizados e apresentados em publicacao mostrando

que refracao negativa ocorre em cristais fotonicos [18, 19]. Notomi [19] fez

seus calculos com base em cristais fotonicos bidimensionais por simplificacao e

obteve confirmacao de refracao negativa.

2.4 Estudos Experimentais

Pendry et al. 1998 [20] foram os pioneiros ao se falar em experimentos com

materiais de ındice negativo, ele idealizou e verificou experimentalmente um

material que apresenta ε negativo na faixa de frequencia de GHz.

Os primeiros a realizar experimentos com materiais de ındice efetivamente

negativo foram Smith et al [21], utilizando metamateriais que apresetam ε < 0

e µ < 0 simultaneamente a uma banda de frequencia. Em seu experimento,

Smith et al., fizeram radiacao na faixa de microondas incidir em um prisma do

metamaterial e mediram o angulo de transmissao do feixe transmitido. Seus

resultados confirmaram que, como previsto pelas equacoes de Maxwell, n e

dado por uma raiz quadrada negativa de εµ para as frequencias as quais ε e µ

sao menores que zero.

Resultados experimentais que comprovam a ocorrencia de refracao negativa

tambem foram publicados por Parazzoli et al. [22]. Radiacao foi incidida em

um metamaterial unidimensional com os SRRs e os fios condutores depositados

em substratos dieletricos de baixa perda, a incidencia foi na faixa de frequencia

de 12.6 a 13.2 GHz. Para a frequencia de 12.6 GHz o ındice de refracao foi

medido e calculado para dar n = −1.05, o que comprova que materiais com ε

e µ menores que zero possuem ındice de refracao negativo, como esperado. No

mesmo ano Parazzoli et al. publicaram [23] experimentos com outros tipos de

metamateriais que apresentaram comportamentos similares.

Outros experimentos tambem foram realizados por Ozbay [24] com metama-

teriais bidimensionais no regime de frequencia de microondas. Tres metodos

foram utilizados para observar refracao negativa: o metodo dos feixes dividi-

dos, refracao por uma chapa de material de ındice negativo e experimentos de

troca de fase. Todos os tres metodos apresentaram resultados em bom acordo

com a teoria do fenomeno de refracao negativa.

2.5 Dispositivos com Materiais de Indice Nega-tivo

Alguns dispositivos exoticos feitos de materiais que apresentam refracao neg-

ativa foram propostos nos ultimos anos como superlentes, DVDs com super

capacidade de armazenamento e ate uma capa de invisibilidade estilo Harry

Potter [16].

Lentes feitas com materiais de ındice negativos tem sido abordadas por

Figura 2.4: Lente a) e b) de material convencional, lentes esfericas. c) e d)lentes de material de ındice negativo, lentes planas.

Pendry [25]. Essas lentes sao planas ao contrario das convencionais e fun-

cionam como mostrado na fig. 2.4. Esse tipo de lente da maior precisao na

imagem pois aproveitam o campo proximo para a formacao da imagem o que

nao ocorre com as lente convencionais. As fig. 2.4(a) e (c) mostram a trajetoria

do raio para a formacao da imagem apos a lente, enquanto as fig. 2.4(b) e (d)

mostram o comportamento do campo proximo. Por causa do aproveitamento do

campo proximo a resolucao da imagem de lentes desse tipo nao e limitada pelo

comprimento de onda. Assim esta lente ganhou o nome de superlente.

Um grupo de cientıstas da universidade da California [26] demonstrou uma

utilizacao de superlentes em microcopios opticos com uma resolucao de 60 nanometros,

enquanto os microscopios convencionais so conseguem fazer imagens de cerca

de 400 nanometros. Lentes de simetria cilindrica para obtencao de maior resolucao

foram propostas por Pendry [27]. Outra realizacao experimental e proposta por

Pendry [28]

Mostrando como campos eletromagneticos podem ser desviados por materi-

ais de ındice negativo Pendry [29] propos um tipo de capa de invisibilidade. Os

campos de deslocamento eletrico−→D , de inducao magnetica

−→B e o vetor de Poynt-

ing seriam redirecionados estrategicamente pela capa e continuariam sua tra-

jetoria na mesma direcao apos passar pela mesma o que provocaria um efeito

de invisibilidade. Assim algum material poderia ser coberto pelo material e

esse ficaria escondido ou aparentemente “transparente”.

2.6 Refracao Negativa com Dieletricos Anisotropicos

Alem de meios com ε < 0, µ > 0 e cristais fotonicos existe outro tipo de mate-

rial que tambem e apontado para desencadear refracao negativa, mesmo sem

apresentar o ındice de refracao negativo [18]. Eles sao dieletricos anisotropicos

e nao magneticos e apresentam tensores dieletricos com sinais diferentes para

diferentes elementos do tensor. Esses materiais sao de nosso interesse neste

trabalho e serao abordados mais cuidadosamente no capıtulo 4.

Capıtulo 3

Interacao da RadiacaoInfravermelha com a Materia

3.1 Introducao

Antes de discutir a interacao de radiacao eletromagnetica infravermelha com

meios anisotropicos e como esta interacao pode induzir refracao negativa, faze-

mos uma breve revisao da interacao da radiacao infravermelha com material

em geral, concentrando em materiais isotropicos. Na secao 3.2 trazemos uma

breve discussao sobre fonons que e a vibracao da materia devida ou nao a

excitacoes eletromagneticas na frequencia de infravermelho. Discussoes mais

detalhadas estao contidas em livros do Estado Solido tais como Kittel [30], My-

ers [31] e Ashcroft e Mermin [32] e em livros mais especializados como Donovan

e Angress [33] e Born e Huang [34]. Na secao 3.3 temos um resumo da interacao

do campo eletrico com materiais dieletricos, campo esse provindo da radiacao

eletromagnetica que e composta de campo eletrico e magnetico, como sabemos.

As polarizabilidades em meios dieletricos sao discutidas na secao 3.4 onde apre-

sentamos os tipos de polarizabilidades e suas fontes. Na secao 3.5 e realizada

uma uma breve discussao sobre os modos oticos e a constante dieletrica com

dependencia da frequencia dos modos oticos. Por ultimo na secao 3.6 discuti-

mos polaritons fonons que sao acoplamentos da radiacao com as vibracoes da

materia.

23

Figura 3.1: Plano de atomos deslocados por uma onda longitudinal.

3.2 Fonons

Em uma rede cristalina exposta a determinadas excitacoes pode-se originar

modos vibracionais. Esses modos vibracionais sao uma sequencia de desloca-

mentos atomicos sistematicos e repetitivos que podem ser longitudinais, transver-

sais, ou uma combinacao dos dois. Nos modos longitudinais a vibracao e na

mesma direcao que o vetor de onda, enquanto nos transversais a vibracao e

em uma direcao perpendicular ao vetor de onda. Nas figuras 3.1 e 3.2 estao

ilustrados os modos longitudinais e transversais, respectivamente, para redes

monoatomicas.

As linhas descontınuas nas figuras 3.1 e 3.2 ilustram planos de atomos em

equilıbrio e as linhas contınuas planos de atomos quando deslocados por uma

onda. A coordenada u mede o deslocamento dos planos.

Para deslocamentos pequenos, normalmente podemos considerar como uma

boa aproximacao a interacao entre os atomos da rede obedecendo a lei de Hooke,

F = Ax, onde F e a forca experimentada pelos atomos, x sua posicao e A e a

Figura 3.2: Plano de atomos deslocados pela passagem de uma onda transver-sal

constante elastica do meio. Escrevendo em termos das posicoes dos atomos no

plano s da figura 3.1.

F =∑

p

Ap(Us+p − Us). (3.1)

Considerando apenas interacao entre os vizinhos mais proximos

F = A(Us+1 − Us + Us−1 − Us). (3.2)

Como U descreve a propagacao da onda entao a solucao e na forma de onda

senoidal, assim

Us = U0 exp[i(kx− wt)]. (3.3)

Pela segunda lei de Newton

md2U/dt2 =∑

p

Ap(Us+1 − Us). (3.4)

Figura 3.3: Relacao de dispersao

Apos alguns calculos em 3.4, substituindo U e resolvendo a equacao diferencial,

podemos encontrar a frequencia angular para uma onda se deslocando em uma

rede monoatomica

ω2 =4

m

∑p>0

Ap sin2(1

2ka), (3.5)

onde a e o parametro de rede e k = 2πλ

e o vetor de onda. Levando em conta

apenas interacao entre os vizinhos mais proximos, teremos

ω2 =4A

msin2(

1

2ka) (3.6)

Pela equacao 3.6 pode-se perceber que o valor maximo de ω se da quando

sin2(12ka) = 1, assim a maxima frequencia da onda e ω = 2

√Am

. Na figura 3.3

esta mostrado o comportamento de ω por k que e a relacao de dispersao.

A unica regiao de interesse fısico e a regiao da primeira zona de Brillouin,

que e a regiao sobre um ponto da rede que e mais proximo a este ponto que a

qualquer outro ponto da rede. Os valores do vetor de onda k fora da primeira

zona de Brillouin so reproduzem os movimentos dos atomos descritos pelos k

dentro da zona.

Ao se referir a uma rede com dois ou mais tipos de atomos os ramos da

curva de dispersao originados podem ser de dois tipos: “acusticos”ou “oticos”.

Se a rede for tridimensional serao originados modos longitudinal acustico (LA),

transversal acustico (TA), longitudinal otico (LO) e transversal otico(TO).

Supondo uma rede diatomica, ilustrada na figura 3.4, formada por dois tipos

de atomos de massas diferentes m1 e m2 e considerando apenas interacao entre

os vizinhos mais proximos, pode-se chegar a equacao da frequencia angular dos

modos vibracionais dessa rede.

Figura 3.4: Rede diatomica

Para um atomo posicionado em Us considerando apenas interacoes entre os

vizinhos mais proximos, podemos escrever a equacao do movimento como

m1d2Us

dt2= A(Vs− 1

2+ Vs+ 1

2− 2Us) (3.7)

e para um atomo posicionado em Vs+ 12, teremos

m2

d2Vs+ 12

dt2= A(Us + Us+1 − 2Vs+ 1

2). (3.8)

As equacoes de onda neste caso tem amplitudes diferentes para famılia de

atomos diferentes e podem ser escritas como segue

Us = U0 exp[i(kna− ωt)], (3.9)

Vs+ 12

= V0 expi[k(n +1

2)a− ωt] (3.10)

onde a, como mostrado na figura 3.4, e a distancia entre os planos da mesma

famılia na rede e nao a distancia entre os planos mais proximos.

Fazendo a substituicao das funcoes de onda nas equacoes 3.7 e 3.8 e re-

alizando algumas manipulacoes matematicas pode-se encontrar a frequencia

angular do modo vibracional na rede diatomica.

ω2 = A(m1 + m2

m1m2

)± [A2(m1 + m2

m1m2

)− 4A2

m1m2

sen2(1

2ka)]

12 (3.11)

A equacao anterior tem dois grupos de solucoes distintos que descrevem dois

modos vibracionais. Analisando para os limites e o centro da zona de Brillouin,

teremos quando k = 0, centro da zona de Brillouin, ω2 = 0 ou ω2 = 2A(m1+m2)m1m2

;

para k = ±πa, borda da zona de Brillouin, ω2 = 2A

m1ou ω2 = 2A

m2, como mostra na

curva de dispersao para uma rede diatomica figura 3.5.

A curva inferior e a mesma mostrada para uma rede monoatomica ja ap-

resentada anteriormente, trata-se de um modo acustico. A curva superior

trata-se de um modo otico que ocorre em estruturas que possuem dois ou mais

tipos de atomos diferentes. Os modos oticos recebem esse nome porque em

cristais ionicos eles causam uma polarizacao da rede e podem ser excitados

pela radiacao eletromagnetica (infravermelha, no nosso caso).

A energia da vibracao ou modo da rede cristalina e quantizada, o quan-

tum de energia e chamado de fonon, em analogia ao foton das ondas eletro-

magneticas. Entao o fonon e o quanta de vibracoes da rede.

Figura 3.5: Fonons acusticos e oticos em rede diatomica

3.3 Campo Eletrico em Dieletrico

A radiacao eletromagnetica, como sabemos, e composta por campos eletricos e

magneticos. Como estaremos estudando resposta de fonons devido a incidencia

dessa radiacao em materiais dieletricos apresentaremos uma breve revisao so-

bre a interacao do campo eletrico com esses materiais. O mesmo nao e feito com

relacao ao campo magnetico porque os campos magneticos nao excitam fonons

que e a excitacao de interesse neste trabalho.

Um material dieletrico e um material isolante que nao conduz corrente

eletrica por nao possuir cargas eletricas livres em seu interior. Esse mate-

rial ao sofrer influencia de um campo eletrico se torna polarizado. Ao se falar

em dieletricos as quantidades fısicas de maior interesse sao o campo eletrico−→E , o fluxo ou deslocamento eletrico

−→D , a polarizacao

−→P , a susceptibilidade χ e

a permissividade eletrica ε. Maiores detalhes podem ser encontrados em livros

de fısica do estado solido [31].

O vetor deslocamento eletrico−→D , de acordo com a eletrodinamica pode ser

escrito da seguinte forma

−→D = εε0

−→E = (1 + χ)ε0

−→E

−→D = ε0

−→E + χε0

−→E

−→D = ε0

−→E +

−→P (3.12)

onde−→P = χε0

−→E , ε0 e a permissividade eletrica no vacuo e ε e a permissividade

relativa do meio. O momento dipolar total pelo volume da molecula nos da a

polarizacao−→P =

1

V

∑i

−→p i =1

V

∑i

qi−→r i, (3.13)

onde −→r i e a posicao do atomo i, qi e a carga do i-ezimo atomo e −→pi e o momento

de dipolo eletrico.

Para se calcular o campo eletrico local para um atomo em uma amostra

dieletrica sob a acao de um campo incidente devemos considerar as seguintes

contribuicoes:

1- A contribuicao do campo eletrico macroscopico, devido a radiacao incidente

no material;

2- Contribucao das cargas presentes na amostra.

Imaginando a retirada do material dieletrico ao redor de um atomo formando

uma cavidade fictıcia esferica de raio R, o campo eletrico local pode ser escrito

como

−→E loc =

−→E +

−→E cav (3.14)

onde−→E e o campo macroscopicos e

−→E cav =

−→E 1 +

−→E 2 sendo

−→E 1 o campo devido

a polarizacao das cargas na superfıcie fictıcia da cavidade e−→E 2 gerado pelos

atomos posicioanados no centro da cavidade.

O campo−→E 1 = 1

3ε0

−→P foi calculado por Lorentz [35, 30] para o caso de sime-

tria cubica. Se considerarmos os atomos no interior da amostra como dipolos

pontuais paralelos uns aos outros o campo−→E 2 pode ser dado pela equacao

−→E 2(r) =

3(−→p .−→r )−→r − r2−→p4πε0r5

. (3.15)

Se os dipolos estiverem alinhados com o eixo z

−→E 2(z) =

p

4πε0

Σi3zi − r2

i

r5i

. (3.16)

Considerando nossa estrutura cristalina de simetria cubica teremos que

Σiz2

r5 = Σix2

r5 = Σiy2

r5 e assim o campo−→E 2 = 0. Desssa forma

−→E loc =

−→E +

1

3ε0

−→P (3.17)

que e conhecida como aproximacao de Lorentz para cristais cubicos ou relacao

de Lorentz.

3.4 Polarizabilidade nos Sıtios dos Atomos emMeio Dieletrico

A polarizabilidade nos sıtios dos atomos e uma das grandezas que determinam

o comportamento dos atomos na presenca de um campo eletrico e e definida

para um atomo local como

−→p = α−→E loc, (3.18)

sendo α a polarizabilidade. A polarizabilidade pode ser oriunda de tres fontes:

eletronica, ionica e molecular. A polarizacao molecular e o alinhamento das

moleculas polares devido a acao de um campo eletrico local. A polarizacao

ionica e o deslocamento de ions em relacao a outros ions positivos e negativos,

dando origem a dipolos induzidos, pela acao de um campo eletrico aplicado. Ja

o deslocamento dos eletrons em relacao ao nucleo atomico, devido a atuacao de

um campo eletrico, e a polarizacao eletronica que e a unica que ocorre em todos

os solidos dieletricos.

A polarizabilidade pode sofrer influencia desses tres tipos de polarizacao,

sendo que suas contribuicoes dependem da frequencia da onda incidente. Em

solidos com dipolos permanentes, por exemplo, a baixas frequencias (de mi-

croondas) a polarizabilidade sofre influencia de todos os tres fenomenos, pois

ha tempo para resposta tando dos eletrons como das moleculas e dos ıons. A

contribuicao da polarizabilidade ionica vai ate a frequencia do infravermelho,

que e a frequencia de iteresse nesse trabalho, ja a altas frequencias (ultravi-

oleta) somente os eletrons conseguem ter tempo para resposta devido a maior

inercia dos ıons e moleculas.

Para relacionar a polarizabilidade e a constante dieletrica consideramos o

caso de simetria cubica no qual o campo local e dado pela relacao de Lorentz

substituindo a eq. 3.17 na 3.18 e escrevemos o momento de dipolo em funcao

da polarizacao

−→P

N= αj(

−→E +

1

3ε0

−→P ) (3.19)

onde N e a densidade volumetrica dos atomos em questao. Reescrevendo a

polarizacao em funcao do campo eletrico macroscopico pode-se chegar a relacao

de Clausius-Mossotti

1

3ε0

Nα =ε− 1

ε + 2(3.20)

se o meio for um meio composto de varios tipos de atomos a relacao se torna

1

3ε0

∑j

Njαj =ε− 1

ε + 2. (3.21)

Em um modelo bastante simplificado onde supoe-se que a polarizabilidade

eletronica e ignorada e o material e um cristal ionico, rıgido e diatomico, a po-

larizabilidade ionica ou de fonons pode ser encontrada. Utilizando como modelo

a ilustracao da figura 3.4, chamando as posicoes dos atomos apenas de U e V

para as massas m1 e m2, respectivamente, encontramos a equacao de movi-

mento levando em consideracao a contribuicao do campo local.

Md2Φ

dt2= q

−→E loc − CΦ (3.22)

onde M = m1m2

m1+m2e a massa reduzida, Φ = (U − V ) e C e a constante elastica da

rede.

Resolvendo a derivada, colocando o campo local em evidencia e substituindo

na eq. 3.18 e possivel encontrar a polarizabilidade dos fonons.

αfonons =q2

M( CM− ω2)

. (3.23)

Mais detalhes podem ser encontrados em livros como Donovan e Angress [33].

Essa equacao e de grande importancia no nosso trabalho, pois a frequencia de

estudo e o infravermelho e estaremos analisando a resposta dos fonons.

3.5 Modos LO e TO e a Constante Dieletrica

Como ja foi falado anteriormente os modos oticos, que podem ser longitudinais

ou transversais, ocorrem em redes com mais de um tipo de atomo. Em cristais

cubicos nos modos LO (longitudinal otico) os campos−→E e

−→P sao paralelos ao

vetor de onda−→k , enquanto nos TO (transversal otico) os campos

−→E e

−→P sao

perpendiculares ao vetor−→k . Como na luz o campo eletrico e sempre perpendic-

ulare ao vetor de onda entao apenas os modos TO podem ser excitados com tal

frequencia.

Ainda utilizando o modelo simplificado onde a polarizabilidade eletronica

pode ser ignorada e supondo a incidencia de um campo eletrico em um sis-

tema com um material dieletrico sendo o campo local dado pela aproximacao

de Lorentz, ao relacionar as equacoes de movimento dos ıons chegamos a

−ω2−→P = Ω2pε0−→E loc − C

M

−→P , (3.24)

sendo Ω2p = Nq2

Mε0. As equacoes 3.23 e 3.24 foram deduzidas da equacao de movi-

mento 3.22 e podem ambas serem deduzidas uma da outra. Essa equacao e

importante para se encontrar a frequencia dos modos longitudinais e transver-

sais. O campo eletrico que age sobre o meio causando uma polarizacao e exci-

tando os modos oticos transversais e o campo local de Lorentz. Fazendo uma

substituicao na eq. 3.24, teremos

−ω2−→P = Ω2pε0(

−→E +

−→P

3ε0

)− C

M

−→P . (3.25)

A frequencia natural dos modos oticos transversais e longitudinais sao en-

contradas pela eq. 3.25. Analisando os modos utilizando a primeira e segunda

equacoes de Maxwell, ∇.−→D = ρ e ∇ × −→

E = −∂−→B

∂trespectivamente, podemos

chegar a essas frequencias. Como nos modos TO−→E⊥−→k usaremos a segunda

equacao de Maxwell, pois o produto vetorial trata da perpendicularidade. Con-

siderando a situacao de campo estatico o lado direito desta equacao e nulo

∇×−→E = 0, o que implica que−→E = 0 para os modos TO que so sofrem influencia

da polarizacao. Substituindo este resultado na eq. 3.25 podemos encontrar a

frequencia natural dos modos TO que e dada por

ω2T =

C

M− 1

3Ω2

p (3.26)

Os modos longitudinais oticos sao vibracoes naturais da rede e nao podem

ser excitados pela luz. Para esses modos utilizaremos a primeira equacao de

Maxwell para o sistema sem cargas livres ∇.−→D = 0, de onde tiramos que

−→E =

−−→Pε0

. Substituindo em 3.25 encontramos a frequencia dos modos LO

ω2L =

C

M+

2

3Ω2

p. (3.27)

Analisando as duas equacoes das frequencias naturais dos modos eq. 3.27

e eq. 3.26 percebe-se que a frequencia natural LO e maior que a TO por

uma diferenca de Ω2p. Percebe-se tambem uma diferenca dessas equacoes das

frequencias dos modos LO e TO para as ja apresentadas na secao 1.1. Essa

diferenca e devida a uma maior sofisticacao no modelo presente, pois nesse

estamos considerando a acao do campo de Lorentz.

Utilizando a eq. 3.25 a susceptibilidade pode ser escrita da seguinte maneira

χ =

−→P

ε0−→E

=Ω2

p

−ω2 − Ω2p

3+ C

M

(3.28)

Fazendo uma analise da funcao dieletrica que e ε = 1 + χ para os dois ca-

sos da frequencia longitudinal e tranversal otica, veremos que quando ω for

igual a ωL a constante dieletrica vai tender a zero, ε → 0, e em contrapartida

quando a frequecia for igual a ωT a constante dieletrica vai tender a infinito,

ε → ∞, como mostra a figura 3.6. No intervalo de frequencia entre ωT e ωL a

constante dieletrica e negativa e a o ındice de refracao n =√

εµ e imaginario

nao ocorrendo progacao nesse intervalo.

Figura 3.6: Constante dieletrica em funcao da frequencia

Eliminando algumas simplicacoes do nosso modelo, iremos levar em consideracao

as contribuicoes da polarizabilidade eletronica e ionica. Quando ω e bem pe-

queno em relacao a ω0, como no caso de frequencia no infravermelho distante

a polarizabilidade eletronica, que pode ser escrita como αe = e2

m(ω20−ω2)

, e inde-

pendente da frequencia incidente sendo funcao apenas da frequencia natural

de vibracao do material. Em geral a constante dieletrica pode ser escrita pela

seguinte equacao

ε = ε∞ +ω2

T ρ

ω2T − ω2

(3.29)

onde ρ e a intensidade do oscilador e ε∞ e a contante dieletrica para frequencia

ω tendendo ao infinito. Entretanto, ωT nao e mais dada pela eq. 3.26 [34]. Por

exemplo, se assumirmos que as polarizabilidades sao aditivas, ωT sera dada por

ω2T = C

M− Ω2

p(2+ε∞

9). Como nos ja temos visto para a frequencia ωL dos fonons

LO a constante dieletrica e nula, substituindo na eq. 3.29 chega-se a relacao

de Lyddane-Sachs-Teller (LST), que e a relacao entre as constantes dieletricas

e as frequencias dos fonons oticos longitudinais e transversais.

ε(0)

ε∞=

ω2L

ω2T

, (3.30)

onde ε(0) e a constante dieletrica ε(ω) para ω tendendo a zero.

Levando em consideracao o amortecimento devido a absorcao, acrescenta-se

o termo de amortecimento γ e a funcao dieletrica torna-se

ε = ε∞ +ω2

T ρ

ω2T − ω2 − iωγ

(3.31)

Como ja foi falado a constante dieletrica tambem pode sofrer influencias

dos plasmons que sao quantuns de oscilacoes de eletrons livres. Os plasmons

nao podem ocorrer espotaneamente, mas podem ser excitados por eletrons que

atravessam ou sao refletidos por semicondutores dopados ou metais. A contribuicao

dos plasmons para a constante dieletrica e da seguinte forma

ε = ε∞(1− ω2p

ω2 + iωΓ) (3.32)

onde ωp = Ne2

ε∞ε0m∗ e a frequencia dos plasmons, m∗ e a massa efetiva dos eletrons

e N e a concentracao dos eletrons no material. Assim a funcao dieletrica com a

contribuicao de fonons e plasmons se torna

ε = ε∞ + Σi(ωT

2i ρi

ωT2i − ω2 − iωγi

)− ε∞ω2p

ω2 + iωΓ(3.33)

3.6 Polaritons

A combinacao ou acoplamento de modos ondulatorios de cristais com radiacao

eletromagnetica recebe o nome de polaritons. Essa combinacao pode ocorrer de

forma linear com o campo eletromagnetico de acordo com seu carater eletrico

ou magnetico [36]. Se a excitacao e capaz de causar um momento de dipolo

eletrico ou magnetico esta pode se acoplar com campo eletrico ou magnetico.

Esses polaritons podem ocorrer pelo acoplamento de um fonon com um foton,

para cristais ionicos, ou de um foton com um plasmon, para gases de eletrons,

por exemplo. Os polaritons ocorrem para vetores de onda pequenos (ou grandes

comprimentos de onda) porque os fotons e as vibracoes na rede vao ter energias

comparaveis. Sendo o vetor de onda muito pequeno de forma a ser desprezado

a constante dieletrica vai ser funcao somente da frequencia, assim ε = ε(ω) de

acordo com a equacao 3.33

Fazendo-se algumas combinacoes entre as equacoes de Maxwell chega-se a

relacao de dispersao para o sistema em questao que e

k2 = ε(ω)k20, (3.34)

onde k20 = ω2

c2. A relacao de dispersao devido a resposta dos fonons esta ilustrada

na fig. 3.7. Mais detalhes podem ser encontrados no livro de Albuquerque e

Cottam [37].

A dispersao associada com polaritons e fundamental ao tipo de refracao neg-

ativa considerado neste trabalho.

Figura 3.7: Modo acoplado polariton-fonon[36]

Capıtulo 4

Refracao Negativa em MeiosAnisotropicos

4.1 Introducao

A abordagem mais comum de refracao negativa e para metamateriais que ap-

resentam ambos ε < 0 e µ < 0 simultaneamente, como ja foi mensionado

anteriormente no capıtulo 2. Porem, materiais naturais anisotropicos e nao

magneticos tambem sao preditos para apresentarem refracao negativa devido

a sua anisotropia. De interesse particular e o caso quando refracao negativa

ocorre para todos os angulos de incidencia θ na variacao de−90 < θ < 90. Este

fenomeno e possıvel a determinadas frequencias quando dois componentes do

tensor dieletrico tem sinais opostos, que e a configuracao de interesse neste tra-

balho [2, 38]. Outro tipo de refracao negativa, que nao e de interesse para nos,

ocorre quando um eixo principal (eixo optico) de qualquer meio anisotropico,

mesmo sem componentes do tensor dieletrico negativos, faz um angulo oblıquo

com a normal a superfıcie [38, 39, 40, 41]. Nesse caso a faixa de angulo de

incidencia para o qual ocorre a refracao negativa e bastante limitado por volta

de 10 [42, 39].

Na primeira secao abordamos a interacao da radiacao com materiais anisotropicos

no modo geral. Na segunda secao analisamos a direcao do angulo de refracao

da radiacao apos cruzar uma interface entre um meio isotropico e um meio

39

anisotropico e mostramos como refracao negativa pode acontecer. Por ultimo

discutiremos um pouco os tipos de materiais anisotropicos adequados para

serem usados para o tipo de refracao negativa de nosso interesse.

4.2 Interacao da Radiacao com o Material Anisotropico

Meios anisotropicos sao materiais com propriedades fısicas diferentes para

direcoes diferentes. Em termos de coordenadas cartesianas x, y e z, as funcoes

permissividade e permeabilidade em meios anisotropicos sao representadas por

tensores [43], como segue

ε(ω) =

εxx εxy εxz

εyx εyy εyz

εzx εzy εzz

(4.1)

µ(ω) =

µxx µxy µxz

µyx µyy µyz

µzx µzy µzz

(4.2)

Se o material em questao for um cristal biaxial e nao magnetico, com os

unieixos principais orientados ao longo dos eixos cartesianos, teremos os ten-

sores dieletrico e magnetico na forma diagonal como mostrado abaixo [41]

ε(ω) =

εxx 0 0

0 εyy 0

0 0 εzz

, (4.3)

µ(ω) =

1 0 0

0 1 0

0 0 1

(4.4)

Nosso maior interesse neste trabalho sera de um caso especial onde o cristal

anisotropico e uniaxial e duas das componentes dos tensores sao iguais, que

consideramos como um caso especial do meio biaxial.

Entretanto, fazemos nossa analise neste capıtulo utilizando a forma mais

geral do tensor dieletrico mostrado na equacao 4.4, colocando dois componentes

iguais nas situacoes explıcitas consideradas no capıtulo 6.

Em meios anisotropicos, a relacao de dispersao (3.34) para ondas eletro-

magneticas ou polaritons propagando no meio nao se aplica mais. Neste tra-

balho consideramos o caso onde a direcao de propagacao fica no plano formado

pelos eixos x e z (Este nao e o caso mais geral, mas e suficiente para a analise

neste trabalho). Assim podemos denominar o vetor de onda−→k como (kx, 0, kz).

Relacionando as equacoes de Maxwell

−→k ×−→E = µ0ω

−→H (4.5)

e−→k ×−→H = −ωε0ε

−→E (4.6)

encontra-se−→k × (

−→k ×−→E ) = −µ0ω

2ε0ε−→E (4.7)

Utilizando a identidade−→k × (

−→k ×−→E ) = (

−→k · −→E )

−→k − k2−→E chegamos a

(−→k · −→E )

−→k − k2−→E − ω2

c2ε−→E = 0 (4.8)

Resolvendo para as direcoes x, y e z com k0 = ωc, teremos para a direcao x

(kxEx + kzEz)kx − (k2x + k2

z)Ex + k20εxxEx = 0, (4.9)

a direcao y

−(k2x + k2

z)Ey + k20εyyEy = 0, (4.10)

e a direcao z

(kxEx + kzEz)kz − (k2x + k2

z)Ez + k20εzzEz = 0 (4.11)

onde εxx, εzz e εyy sao as componentes da funcao dieletrica.

Pode ser visto que a eq. 4.10 esta escrita em termos de Ey, enquanto as

eqs. 4.9 e 4.11 estao escritas em termos de Ex e Ez. Assim temos duas relacoes

de dispersao independentes, que classificamos como onda ordinaria e onda ex-

traordinaria

Para o campo eletrico ao longo de y com E‖y (onda ordinaria), pela eq. 4.10

teremos

k2z + k2

x = k20εyy (4.12)

e para o campo−→E⊥y (onda extraordinaria), pelas eq. 4.9 e 4.11, teremos

k2z

εxx

+k2

x

εzz

= k20, (4.13)

Podemos ver que a equacao 4.12, para a onda ordinaria, tem essencialmente

a mesma forma que a equacao 3.34, para meios isotropicos. Entretanto, o com-

portamento de onda obedecendo a equacao 4.13 (onda extraordinaria) e difer-

ente, especialmente em termos da relacao entre o vetor de onda e o fluxo de

energia.

O fluxo de energia e representado pelo vetor de Poynting que, na notacao

complexa, escrevemos−→S =

−→E × −→

H ∗, e tem valor medio temporal <−→S >=

12Re(

−→S ) [43]. Para a onda ordinaria podemos representar o valor medio tempo-

ral do vetor de Poynting em termos do modulo do campo Ey na seguinte maneira

<−→S >=

1

2Re(

k∗xµ0ω

|Ey|2, 0, k∗zµ0ω

|Ey|2). (4.14)

Para a onda extraordinaria, o vetor de Poynting e representado em termos

do campo−→H que e ao longo da direcao y

<−→S >=

1

2Re(

kx

ε0ωεzz

|Hy|2, 0, kz

ε0ωεxx

|Hy|2) (4.15)

Uma consequencia importante da eq. 4.15 e que, quando εxx e εzz sao difer-

entes, a direcao do fluxo de energia, no caso de onda extraordinaria, e diferente

da direcao do vetor de onda.

4.3 Refracao Negativa

Nesta secao consideramos refracao na interface entre ar e um meio anisotropico

e mostramos como, dada a correta combinacao de sinais dos componentes do

tensor dieletrico, refracao negativa pode acontecer para todos os angulos de

incidencia.

Figura 4.1: Trajetoria da radiacao eletromagnetica ao passar por um materialanisotropicos

Consideramos um sistema, como ilustrado na fig 4.1, onde radiacao eletro-

magnetica incide em uma interface de um meio isotropico (ar ε = 1) para o

cristal anisotropico citado, sendo o eixo z na direcao perpendicular a interface e

o plano xz sendo o plano de incidencia. O comportamento da radiacao dentro do

meio depende da polarizacao da onda incidente. Na polarizacao s, com o campo

eletrico perpendicular ao plano de incidencia, ao longo de y, a radiacao excita a

onda ordinaria, e o comportamento e determinado pelas equacoes 4.12 e 4.14.

Na polarizacao p, o campo eletrico fica no plano de incidencia xz, e a radiacao

excita a onda extraordinaria. Neste caso o comportamento e determinado pelas

equacoes 4.13 e 4.15. A componente x do vetor de onda e determinada pelo

angulo de incidencia θi dado por

kx = k0 sin θ1, (4.16)

onde pelas condicoes de contorno kx e o mesmo em ambos os meios. Ja o compo-

nente z do vetor de onda e diferente nos dois meios e no meio anisotropico para

diferentes polarizacoes. No ar de onde a radiacao e incidente essa componente

e obtida da equacao 2.3, com n = 1, e e dada por

k21z = k2

0 − k2x (4.17)

No meio anisotropico para polarizacao s, que apresenta o campo eletrico ao

longo de y com E‖y (onda ordinaria) teremos, da equacao 4.12,

k22z = k2

0εyy − k2x (4.18)

e para polarizacao p que apresenta o campo E⊥y (onda extraordinaria) tere-

mos, da equacao 4.13

k22z = k2

0εxx − k2x

εxx

εzz

(4.19)

onde εxx e εzz sao as componentes principais da funcao dieletrica do meio anisotropico.

A direcao do raio refratado e determinada pela direcao do fluxo de energia,

ou vetor de Poynting <−→S 2 > dentro do meio anisotropico. O angulo de refracao

θ2 e dado por

tan θ2 =< S2x >

< S2z >(4.20)

e assim temos

tan θ2 =kx

Re(k2z)(4.21)

em polarizacao s, e

tan θ2 =Re( kx

εzz)

Re(k2z

εxx). (4.22)

em polarizacao p

Consideramos agora o caso sem amortecimento onde todos os componentes

de ε sao reais. Neste caso k2z sera totalmente real ou totalmente imaginario.

No primeiro caso a radiacao propaga dentro do meio, com angulo de refracao

tan θ2 =kz

k2z

(4.23)

na polarizacao s, e

tan θ2 =kxεxx

k2zεzz

(4.24)

na polarizacao p. No caso de k2z imaginario nao tem propagacao dentro do meio

anisotropico, e o fluxo de energia e somente ao longo da superfıcie, atraves de

ondas evanescentes.

Nosso maior interesse e o caso especial εxx > 0, εzz < 0 na polarizacao

p. Nesta situacao, eq. 4.19 mostra que k2z e sempre real. Da equacao 4.24,

tambem pode ser observado que, para kx positivo, o angulo de refracao sera

negativo, devendo ocorrer refracao negativa. Esta situacao e mostrada na

figura 4.4 para um feixe gaussiano, onde o vetor de onda refrata positivamente

enquanto o vetor de Poynting refrata negativamente, assim determinando a

direcao de propagacao do raio. Comparacao das figs. 4.4(a) e 4.4(b) mostra que

o vetor de onda−→k 2 fica normal as frentes de onda, enquanto a direcao de

−→S 2

e a direcao do raio refratado. A condicao (Re(εxx) > 0, Re(εzz) < 0) tambem

pode ser utilizada para prever o fenomeno de refracao negativa na presenca de

amortecimento.

Materiais os quais rendem este tipo de refracao negativa, em princıpio, po-

dem ser usados para construcao de lentes de chapa grossa na mesma maneira

que meios isotropicos com ε < 1 e µ < 0, como previsto por alguns autores

[2, 44]. Dumelow et al [2] apresenta um bem detalhado esquema para formacao

de imagens atraves de lentes, de material anisotropicos que apresenta refracao

negativa. Esse esquema e o mostrado na fig. 4.3.

Como pode ser visto no esquema a radiacao e incidente de uma fonte S

passando por uma lente de grossura d2 para diferentes angulos de incidencia.

Anisotropic Medium xx > 0, zz < 0

Vacuum = 1

| 2|1

k1 , S1S2

k2

x

z

Figura 4.2: (a)Direcoes do vetor de onda e vetor de Poynting para polarizacao-prefratando na interface entre o ar e um meio uniaxial com εxx > 0 e εzz < 0.(b)Perfil do campo instantaneo por um feixo gaussiano.

O raio ao entrar na lente sofre refracao negativa se posicionando no mesmo lado

da normal que o raio incidente, ao sair da lente o raio sofre refracao negativa

novamente saindo da lente na mesma direcao que o raio incidente inicial.

4.4 Materiais Anisotropicos Adequados Para RefracaoNegativa

Aqui discutimos os tipos de materiais anisotropicos adequados para apresentar

refracao negativa do tipo considerado neste capıtulo.

A maioria dos sistemas considerados ate agora sao estruturas baseadas em

superredes. O estudo de refracao negativa em superredes atraves de resposta

de fonons tem sido estudados por alguns autores [3, 44, 45], assim como atraves

de resposta de plasmons [4].

As superredes sao estruturas de redes atomicas montadas umas nas out-

ras. A fig. 4.5(a) mostra uma ilustracao de uma superrede com as funcoes

dieletricas dos dois componentes ε1 e ε2. As epessuras das camadas sao d1 e d2

respectivamente, e o perıodo d = d1 + d2 ¿ λ, onde λ e o comprimento de onda

da radiacao incidente.

As condicoes de contorno para as superredes requerem que Ex e Dz sejam

Lens

S

Figura 4.3: Caminho de um feixe de radiacao atravessando uma lente de ma-terial com ındice negativo.

contınuos na interface, sendo constantes para limite de longo comprimento de

onda, valendo < Ex > e < Dz > respectivamente [46]. As componentes Ez e Dx

nao sao contınuos, assim para cada das duas camadas i pode-se escrever

Dxi = ε0εi < Ex >, (4.25)

Ezi =< Dz >

ε0εi

. (4.26)

Anisotropic Medium xx > 0, zz < 0

Vacuum = 1

| 2|1

k1 , S1S2

k2

x

z

Figura 4.4: (a)Direcoes do vetor de onda e vetor de Poynting para polarizacao-prefratando na interface entre o ar e um meio uniaxial com εxx > 0 e εzz < 0.(b)Perfil do campo instantaneo por um feixo gaussiano. Retirado de [2].

Essas quantidades podem ser expressas em funcao das espessuras das ca-

madas da superrede d1 e d2 como

< Dx >=d1Dx1 + d2Dx2

d, (4.27)

< Ez >=d1Ez1 + d2Ez2

d, (4.28)

Relacionado essas equacoes com as eq. 4.25 e 4.26 podemos encontrar as

expressoes das componentes principais dos tensores dieletricos das superredes,

que sao

εxx =ε1d1 + ε2d2

d, (4.29)

ε−1zz =

ε−11 d1 + ε−1

2 d2

d. (4.30)

e dai sai a anisotropia do tensor dieletrico das superredes.

Nas frequencias onde εε1 e ε2 tem sinais oposto, existe a possibilidade, para

certos valores de d1

d2, de obter a condicao εxx > 0, εzz < 0.

O comportameto dos tensores dieletricos, para uma superrede de SiC/SiO2

na regiao de fonons de SiC em funcao da frequencia e mostrada na fig 4.5(b)

Figura 4.5: (a) Estrutura artificial de camadas alternadas , (b) Componentesprincipais do tensor dieletrico de uma superrede e de SiC/SiO2, baseado em [3]

[3]. Como pode ser notado, na regiao escurecida da fig. 4.5(b) ocorre a condicao

para refracao negativa.

Refracao negativa foi demonstrada experimentalmente por Hoffman et al

[4, 47] no caso de In0,53Ga0,47As/Ai0,48In0,52As superredes. A refracao negativa

neste caso acontece devido a resposta dos plasmons. Os autores investigaram

o fenomeno atraves de medidas dos espectros de reflexao e transmissao em in-

cidencia obliquo, alem de medidas do deslocamento lateral do raio transmitido

usando uma configuracao onde o raio transmitido foi parcialmente bloqueado

(veja fig 4.6).

Mesmo que existam mais trabalhos baseados em superredes, alguns cristais

anisotropicos naturais tambem devem satisfazer as condicoes εxx > 0 e εzz < 0

em certas frequencias. Em cristais anisotropicos, os detalhes dos calculos para

obter as funcoes dieletricas apresentadas no capıtulo 3 nao sao mais validas.

Entretanto, numa forma fenomenologica, a equacao 3.33 ainda e valida para

representar a resposta ao longo de cada eixo principal. Em termo da resposta

Figura 4.6: Experimento de Hoffman et al [4]

dos fonons, podemos escrever

εuu = ε∞,u +∑

n

ρn,uω2Tn,u

ω2Tn,u − ω2 − iωγn,u

, (4.31)

onde u representa os eixos x, y ou z, o que deixa a liberdade para ocorrerem

parametros diferentes para eixos diferentes. O termo ε∞,u representa a con-

stante dieletrica a alta frequecia e ωTn,u, ρn,u e γn,u sao a frequencia, a intensi-

dade e o parametro de amortecimento do n-esimo fonon. Se ignorarmos o efeito

de amortecimento nos podemos ver que εxx ou εzz podem levar valores nega-

tivos proximo a ressonancia dos fonons, e se as frequencia de ressonancia sao

diferentes nas duas direcoes, a condicao εxx > 0 e εzz < 0 pode ser satisfeita.

Para dimimuir os efeitos de absorcao foi sugerido trabalhar em baixas temper-

aturas [2]. Refracao negativa foi simulada em um cristal de sulfato de glicina

(TGS) do tamanho da ordem de 1 cm, com absorcao desprezıvel. Uma segunda

sugestao, tambem em baixa temperatura, foi o uso da anisotropia nas massa

efetiva de bismuto [44]. Neste caso, a diferenca entre a frequencia dos plas-

mons ao longo dos eixos diferentes pode tambem produzir o efeito desejado. Na

pratica, nenhuma destas previsoes de refracao negativa nestas temperaturas

ainda foi confirmada experimentalmente.

O objetivo deste trabalho e estudar cristais naturais, atraves de resposta

de fonons, em temperatura ambiente. Claramente, temperatura ambiente sera

mais conveniente em geral que o uso de temperatura perto daquela do helio

lıquido. Entretanto, os efeitos de absorcao serao maiores. Nossa intencao e con-

firmar que o comportamento do cristal escolhido (quartzo) esta em conformidad

outros trabalhos mostrando refracao negativa.

Capıtulo 5

Espectroscopia de Transformadade Fourier de InfravermelhoDistante

5.1 Introducao

Neste capıtulo trataremos da teoria da tecnica de espectroscopia de transfor-

mada de Fourier para a frequencia de infravermelho e da instrumetacao para

a realizacao de medidas de refracao negativa. O instrumento utilizado para

esse trabalho tem como parte integrante um interferometro de Michelson e seu

funcionamento sera ilustrado na segunda secao. A tecnica de transformada

de Fourier e discutida na terceira secao onde sao apresentados os pares da

transformada de Fourier que estaremos utilizando. O fenomeno de “aliasing” e

apresentado na quarta secao que discute o fenomeno e suas causas. A quinta

secao tras uma breve discussao sobre a transformada de Fourier rapida. Alguns

efeitos que ocorrem no divisor de raios, quando a radiacao e nele incidente, sao

discutidos na sexta secao.

Na setima secao discutimos o instrumento montado na UERN e na ultima

descrevemos o procedimento experimental utilizado no presente trabalho us-

ando um instrumento comercial.

52

Figura 5.1: Interferometro de Michelson.

5.2 Interferometro de Michelson

O interferometro de Michelson e composto por uma fonte, detector, divisor de

raios e espelhos fixo e movel.

O divisor de raios tem como funcao dividir os raios provenientes da fonte

em dois feixes perpendiculares enviando-os para os espelhos movel e fixo. Os

raios ao tocarem os espelhos refletem e voltam ao divisor de raios juntando-se

novamente e seguindo para a amostra e o detector. Esse esquema esta ilustrado

na figura 5.1.

A distancia do espelho movel ao divisor de raios pode ser ajustada com pre-

cisao e essa separacao determina o tempo que o feixe vai levar para percorrer

todo caminho ate chegar novamente no divisor de raios. O interferograma cau-

sado pela diferenca de caminho optico (que e duas vezes o deslocamento do es-

pelho) dos raios parciais e captado pelo detector. Porem, para se fazer analises

de materiais e ideal trabalhar com o espectro e nao com interferoagrama. A

transformada de Fourier possibilita encontrar o espectro a partir do interfero-

grama, aplicando-se a transformada de Fourier no interferograma encontramos

o espectro, como veremos um pouco mais detalhadamente no decorrer desse

capıtulo.

Considerando-se, por simplificacao, uma fonte de radiacao monocromatica

incidente de numero de onda ν = 1λ

em cm−1 a intensidade I(x) captada pelo

detector e

I(x) = 2I0(1 + cos2πνx), (5.1)

onde I0 e a intensidade do raio parcialmente dividido apos passar pelo divisor

de raios em direcao ao detector e x = 2(d1 − d2), sendo d1 e d2 as distancias dos

espelhos ao divisor de raios, e a diferenca de caminho optico. O primeiro termo

da eq. 5.1 e constante enquanto o segundo varia com x.

5.3 Transformada de Fourier

A transformada de Fourier e uma manipulacao matematica que escreve funcoes

em termos de funcoes de base sinusoidais. A transformada de Fourier quando

aplicada possibilita encontrar uma funcao a partir de outra, desde que estas se-

jam pares de transformada de Fourier. No nosso caso, como ja foi mensionado

anteriormente, estaremos utilizando o interferograma para obter o espectro da

radiacao incidente no detector.

Supondo um modelo um pouco menos simplificado onde a fonte nao e mais

uma fonte monocromatica e sim uma fonte com varias frequencias que chamare-

mos de faixa larga de frequencia. O interferograma para este sistema sera

entao a superposicao linear da interferencia produzida por cada comprimento

de onda e a intensidade captada pelo detector sera uma somatoria de todas

essas componentes. A intensidade e como na equacao seguinte sendo a inten-

sidade na faixa de frequencia entre ν e ν + dν igual a G(ν)dν, onde G(ν) e o

espectro.

I(x) = 2

∫ ∞

0

G(ν)dν + 2

∫ ∞

0

G(ν) cos(2πνx)dν (5.2)

O primeiro termo dessa equacao, como ja foi falado, e constante e da informacao

sobre todas as componentes dos comprimentos de onda nao interferidos. O

segundo termo e o nosso interferograma e depende da diferenca de caminho

optico. O interferograma e entao escrito como segue

I(x) = 2

∫ ∞

0

G(ν) cos(2πνx)dν (5.3)

I(x) e a transformada de Fourier do espectro G(ν) e por sua vez o espectro e

a transformada de Fourier inversa de I(x)

G(ν) = 2

∫ ∞

0

I(x) cos(2πνx)dx. (5.4)

Na pratica os interferometros utilizados nos espectrometros convencionais

nao sao totalmente simetricos, ou seja, os seus espelhos possuem refletividades

diferentes e para esses casos e necessario utilizar a transformada de Fourier

complexa

I(x) = 2

∫ ∞

0

G(ν) exp(−i2πνx)dν, (5.5)

G(ν) = 2

∫ ∞

0

I(x) exp(i2πνx)dx. (5.6)

Um detalhe importante ao se utilizar a tecnica de espectroscopia de trans-

formada de Fourier e que os limites de integracao da transformada sao infini-

tos e isso nao ocorre experimentalmente. Os limites do instrumento sao finitos,

xmin < x < xmax, e para se trabalhar com esses limites finitos e necessario

fazer a convolucao do espectro ideal com uma funcao do instrumento [48].

A convolucao de duas funcoes f(ν) e h(ν) e definida como

g(ν) =

∫ ∞

−∞f(ν ′)h(ν − ν ′)dν. (5.7)

Figura 5.2: Funcao do instrumento.

Mais informacoes podem ser encontradas no livro de Bell [48]. A funcao

instrumental geralmente utilizada e uma funcao retangular como ilustrado na

fig. 5.2

O espectro obtido apos a convolucao, para radiacao monocromatica e como

mostrado na fig 5.3 que e uma funcao sinc(x) = sin xx

A imposicao dos limites do caminho optico para o interferograma causa

um truncamento brusco que aparece no interferograma como lobulos laterais.

Esses lobulos laterais sao indesejaveis e surgem como picos e cumes que ficam

proximos ao maximo central. A tecnica de apodizacao e utilizada para remover

os lobulos laterais.

O nome apodizacao que vem do grego significa remocao dos pes. Essa tecnica

realiza uma ponderacao numerica do interferogra multiplicando o interfero-

grama por uma funcao que decresce suavemente ao se afastar do maximo cen-

tral causando um alongamento do interferograma e um decrescimo dos lobulos

que se tornam positivos. Alem da funcao triangular ou Parzen outras funcoes

tambem podem ser utilizadas para a tecnica de apodizacao como as funcoes

cosseno, trapezoidal, Gaussiana, entre outras.

-40 -20 0 20 40-1,0

-0,8

-0,6

-0,4

-0,2

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

I(x)

X

Figura 5.3: interferograma instrumental

A funcao apodizacao Parzen esta ilustrada na fig. 5.4

A janela espectral associada a funcao apodizacao Parzen e uma funcao sinc2x

e esta ilustrada na fig. 5.5

A imposicao dos limites do caminho optico para o interferograma afeta tambem

na resolucao que e dada por

∆ν =1

2xmax, (5.8)

onde xmax e o maximo deslocamento do espelho movel na diferenca de cam-

inho zero entre os espelhos. Entao a resolucao e proporcional ao inverso do

deslocamento maximo do espelho, assim, quanto maior for o comprimento do

deslocamento do espelho maior sera a resolucao instrumento.

5.4 “Aliasing”

Os dados de amostragem das funcoes captadas sao retirados em intervalos

de espaco ∆x entre as medidas, quanto menor o espaco menor e a perda de

Figura 5.4: Funcao Parzen.

informacao. Ao se determinar as frequencias de estudo deve-se levar em cosideracao

que baixas frequencias e frequencias acima de νmax podem ser interpretadas

identicamente, sendo νmax < 14∆x

. Esse fenomeno e conhecido como fenomeno

de “aliasing” e esta ilustrado na fig. 5.6

Se a resolucao requerida e ∆ν entao o numero total de pontos necessarios

para se obter uma funcao mais precisa e

N =2K0

∆ν, (5.9)

onde K0 = 14x

[49].

5.5 Transformada de Fourier Rapida

Os calculos ao se realizar medidas com a tecnica de espectroscopia de trans-

formada de Fourier sao realizados por computadores. O tempo levado para

se realizar esses calculos utilizando a transformada de Fourier convencional,

como mostrada aqui, e muito grande e uma tecnica e utilizada para diminuir o

tempo de computacao dos dados, essa tecnica e conhecida como transformada

-60 -40 -20 0 20 40 60

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

G

Número de onda

Figura 5.5: interferograma instrumental apos apodizacao.

de Fourier rapida (FFT) e da os mesmos resultados que a transformada con-

vencional em um tempo bem menor. Para se utilizar a FFT sao necessarios

η = 2n pontos dados, sendo n um inteiro positivo. A razao entre os tempos de

computacao e dada por

TclassicoTFFT

=2η2

3η log2 η=

0.46η

lne η. (5.10)

0 20 40 60 80 100

-1,0

-0,5

0,0

0,5

1,0

G

Número de onda

Figura 5.6: Fenomenos de “aliasing”

5.6 Efeito do Divisor de Raios

Um divisor de raios ideal deve refletir 50% e transmitir 50% da radiacao nele

incidente. Para frequencias do infrevermelho (< 1000cm−1), que e a regiao

de interesse, geralmente sao utilizados divisores de raios feitos de dieletricos.

A espessura do divisor de raios deve ser escolhida com cautela para evitar

informacoes imprecisas nos resultados devido ao efeito de interferencia multipla

dos feixes refletidos nas faces do divisor. A fig. 5.7 ilustra o fenomeno de

multipla interferencia, sendo d a espessura do divisor de raios e f1 e f2 as fases

dos feixes refletidos. Como pode ser visto na figura cada um dos dois lados do

divisor de feixes reflete a radiacao. A intensidade para cada raio parcial pode

ser dada por

Figura 5.7: Fenomeno de multiplas reflexoes no divisor de raios.

I0 = R(1−R)Ifonte, (5.11)

onde R e a refletividade total do divisor de raios e depende do coeficiente de

reflexao de cada superfıcie e tambem da interferencia entre os raios refletidos

dos dois lados.

Se a diferenca entre entre as fases f1 e f2 for multiplo ımpar de π, entao a

refletividade R vai tender a zero. Isto ocorre quando

nλ = 2d(n2 − 1

2)

12 , (5.12)

sendo n = 0, 1, 2, .... Quando λ satisfaz a condicao anterior o espectro medido

apresenta um mınimo. Por esta razao o comprimento do filme deve ser escol-

hido para que ν coincida com uma das frequencias de maxima transmissao que

e dada por

d =(2l + 1)

(4nνcosθ)(5.13)

onde l = 0, 1, 2, 3, ...

5.7 Espectrometro de Transformada de FourierMontado na UERN

Montamos no departamento de Fısica da UERN um espectrometro que tra-

balha na faixa de frequencia de 30cm−1 a 1000cm−1 e pode ser utilizado para

estudos em uma variedade de excitacoes incluindo fonons e plasmons em es-

truturas semicondutoras e magnons em antiferromagnetos e terras raras [50].

Esse equipamento tambem pode ser utilizado para a investigacao de funcoes

dieletricas e permeabilidades de materiais associada a polaritons. Um es-

quema dos componentes do espectrometro esta ilustrado na fig. 5.8

2 3

4

1

56

7

8

13

10

11 12

914

15

Figura 5.8: Espectrometro e seus componentes. 1- Camara de vacuo; 2- Cilin-dro hidraulico com pistao; 3- Pistao; 4- Espelho fixo; 5- Laser; 6- Espelho parareflexao do laser; 7- Janela para entrada do laser; 8- Espelho movel; 9- Hastepara movimentecao do espelho movel; 10- Caixa da amostra; 11- Detector; 12-Amostra; 13- Fotodiodo; 14- Divisor de raios; 15- Lampada de mercurio.

Esse espectrometro e baseado em um interferometro de Michelson que fun-

ciona como descrito anteriormente. O espelho movel desliza em um caminho

linear promovendo uma distancia de scan de 100cm, correspondente a resolucao

de 0.01cm−1. A radiacao infravermelha incidente da lampada de mercurio e col-

imada por alguns espelhos e enviada para o divisor de raios, feito de lamina de

mylar, que envia parte da radiacao para o espelho fixo e parte para o espelho

movel; ao serem refletidos os feixes divididos encontram-se novamente no divi-

sor de raios produzindo um interferograma que segue em direcao a amostra e

da amostra para o detector. O feixe de laser faz o mesmo percurso produzindo

um interferograma subsidiario na forma de franjas cosseno. Essas franjas sao

detectadas por um pequeno fotodiodo no caminho do feixe e serve para possi-

bilitar a medida da distancia do espelho movel.

Na fig. 5.9 esta sendo apresentada uma fotografia do instrumento apos a

montagem.

Figura 5.9: Foto do espectrometro de transformada de fourier de infravermelhodistante

O espectrometro conta tambem com um sistema de vacuo que e necessario

para a faixa de estudo, ja que vapor de agua apresentam uma forte absorcao

para o infravermelho. A movimentacao do espelho movel e realizada utilizando-

se um sistema hidraulico, e monitorado usando as franjas de interferencia de

raios de laser que atravessam o mesmo caminho que a radiacao infravermelha.

Apos a montagem do espectrometro foi realizada a automatizacao do mesmo

para possibilitar a movimentacao do espectrometro, atraves do sistema hidraulico,

e a aquisicao de dados de refletividade e transmissividade das amostras. A

programacao foi realizada no pragrama LabVIEW 8.6 que recebe (envia) do

(para) o espectrometro as informacoes atraves de uma interface.

O espectrometro como mostrado nas figuras esta configurado para medi-

das de refletividade. Para este tipo de medidas, os feixes combinados no inter-

ferometro sao focados por um espelho concavo na superfıcie da amostra e depois

de uma serie de reflexoes e focado no detector Golay. Em ordem nos medimos

o interferograma correspondente a reflexao da amostra, e calculamos o corre-

spondente espectro. O mesmo procedimento e repetido trocando a amostra por

um espelho. O espectro de refletividade e entao a razao desses dois espectros.

Medidas de transmissao e outros tipos de medidas sao realizadas seguindo a

mesma sequencia mudando-se apenas a disposicao das amostras e dos espel-

hos.

As medidas do presente trabalho nao foram realizadas nesse equipamento

devido a defeitos ocorridos nos detectores disponıveis no laboratorio, porem

foram realizadas algumas medidas de refletividade e tranmissividade nos cristais

de quartzo no laboratorio de Fısica da UFC.

5.8 Procedimento Experimental Para as NossasMedidas de Refletividade e Transmissividade

Todas as nossas medidas foram realizadas em um espectrometro de infraver-

melho distante utilizando dois polarizadores em serie para fazer medidas com

polarizacao-s e p. O uso de dois polarizadores foi importante para melhorar

a eficiencia da polarizacao. O instrumento utilizado para realizar as medidas

de refletividade e transmissividade foi o Bruker Vertex 70.A abertura do feixe

incidente na amostra foi de 2, 5mm. O detector utilizado foi o de DTGS. A fonte

utilizada foi a globar. O divisor de feixes e o Si. A resolucao foi de 2cm−1. Foram

realizadas para cada medida um total de 64 scans.

Para as medidas de refletividade foi utilizado um acessorio de reflexao di-

fusa Easi Diff, cujo funcionamento e mostrado na figura 5.10. Notamos que

este acessorio nao e projetado para reflexao especular que seria mais adequado

para este trabalho. No acessorio de reflexao difusa existe uma grande faixa de

angulos de incidencia, como pode ser visto na figura 5.10, alem de varios planos

de incidencia. Para este acessorio o angulo de incidencia em media e em torno

de 50.

Figura 5.10: Esquema dos raios no Easi Diff, acessorio utilizado para medidasde refletividade.

As medidas de transmissao foram feitas com as amostras presas sobre uma

barra de ferro por uma lamina magnetica flexıvel, ambos contendo uma aber-

tura de 15mm. O acessorio inteiro foi girado para obter medidas em incidencia

obliqua.

Os cristais de quartzo para as medidas foram obtidos de Boston Piezo-

Opttics Inc. Para as medidas de reflexao usamos um cristal de diametro de

20mm e espessura 10mm, com o unieixo perpendicular a superfıcie. Para as

medidas de transmissividade usamos cristais de diametro 20mm e espessura

de 25µm, 50µm e 75µm. Dois tipos de cristais foram usados - com unieixo per-

pendicular a superfıcie e com o unieixo no plano da superfıcie.

Capıtulo 6

Resultados para RefracaoNegativa em Cristais de Quartzo

6.1 Introducao

Em nosso trabalho nos consideramos a possibilidade de usar resposta de fonons

em um cristal uniaxial para obter refracao negativa. O cristal que utilizamos

foi o de quartzo (SiO2), um dos primeiros materiais a ser investigado no in-

fravermelho devido a seu potencial tecnologico. Embora a reposta a baixas

temperaturas seja mais eficiente devido a uma diminuicao no efeito de absorcao

nos trabalhamos a temperatura ambiente que teoricamente tambem nos possi-

bilitaria resultados satisfatorios. Ja e conhecido da literatura especializada na

area que cristais de quartzo apresentam resposta de fonons para frequencias

especıficas na faixa de infravermelho. O fenomeno de refracao negativa nesses

cristais e esperado para ocorrer devido a sua anisotropia similarmente ao efeito

em superredes.

Aqui nos investigamos para a interacao do infravermelho com o quartzo

mostrando calculos dos tensores de permissividade, do angulo de refracao, da

refletividade e da transmissividade. Foram realizadas tambem medidas exper-

imentais de refletividade e transmissividade para comparacao com os calculos.

Com base nesses resultados investigamos refracao negativa neste material.

Na primeira secao nos discutimos a funcao dieletrica para cristais de quartzo,

67

apresentando alguns resultados das nossas simulacoes. Na segunda secao

mostramos e discutimos nossos resultados para refletividade no cristal. Na

terceira secao apresentamos os nossos resultados para transmissividade. E

finalmente trazemos uma breve conclusao na ultima secao deste capıtulo.

6.2 Funcao Dieletrica do Quartzo

O cristal de quartzo e um cristal uniaxial. Como ja foi abordado no capıtulo 4 a

funcao dieletrica dos cristais anisotropicos sao tensores. Como o quartzo e uni-

axial apenas um dos componentes principais do tensor dieletrico e diferente en-

quanto os outros dois apresentam as mesma caracterısticas fısicas. Na equacao

abaixo escrevemos o tensor dieletrico considerando o unieixo (eixo diferente)

sendo na direcao z, assim εxx = εyy 6= εzz que e o caso particular de maior inter-

esse neste trabalho

ε(ω) =

εyy 0 0

0 εyy 0

0 0 εzz

, (6.1)

Como nao trataremos apenas com esse caso particular utilizaremos uma

outra forma para identificar o unieixo do cristal em cada situacao. Chamare-

mos de ordinarios os componentes comuns entre si e extraordinarios o com-

ponente diferente ou que representa o unieixo. Exemplificando com o tensor

dieletrico apresentado na eq. 6.2 teremos

ε(ω) =

εord 0 0

0 εord 0

0 0 εext

, (6.2)

onde εord e εext representam os componentes do tensor dieletrico ordinarios e

extraordinarios respectivamente.

A equacao para os tensores dieletricos e dada da forma apresentada na eq.

4.31 que pode ser reescrita em termos de tensores ordinarios e extraordinarios,

ainda para a condicao particular anterior, como

εord = ε∞,ord +∑

n

ρn,ordω2

Tn,ordω2

Tn,ord − ω2 − iωγn,ord

(6.3)

e

εext = ε∞,ext +∑

n

ρn,extω2Tn,ext

ω2Tn,ext − ω2 − iωγn,ext

. (6.4)

As partes reais e imaginarias dos tensores dieletricos foram calculadas, as-

sim como todos os outros calculos, usando os dados numericos de ressonancias

contidos no artigo de Gervais e Piriou [51] de onde retiramos os modos ativos

no infravermelho para nossas simulacoes. Os dados usados nos calculos de [51]

estao tabelados abaixo.

Parametros utilizados para as simulacoesComponente ε∞ n ρn ωTn γn

εext 2.383 1 0.67 363.5 4.8

2 0.72 495 5.2

3 0.11 777 6.7

4 0.66 1071 6.8

εord 2.356 1 0.33 393.5 2.8

2 0.83 450 4.5

3 0.02 695 13

4 0.11 797 6.9

5 0.65 1063 7.2

6 0.01 1158 9.3

Para que a modelagem fosse satisfatoria foi necessaria alguma correcao nos

parametros. Ajustamos o valor de ρ2ext para dar o valor certo da frequencia

do fonon LO correspondente. Esse tipo de ajuste foi necessario porque um os-

cilador adicional foi incluıdo na modelagem original de Gervais e Piriou [51],

mas este oscilador foi considerado um artefato da experiencia [51, 52] devido

ao LO da outra polarizacao.

Na figura 6.1 estao os resultados das simulacoes para os tensores dieletricos,

parte real Re(εord), Re(εext) e imaginaria Im(εord) e Im(εext).

300 400 500 600 700 800 900 1000

-40

-20

0

20

40

Re(

ord),R

e(ex

t)

NUMERO DE ONDA (cm-1)

Re(ord

) Reext

)(a)

300 400 500 600 700 800 900 10000

20

40

60

80

Im(

ord),Im

(ex

t)

NUMERO DE ONDA (cm-1)

Im(ord

) Im(ext

)

(b)

Figura 6.1: (a)Resultados dos calculos para Re(εord) e Re(εext) em funcao donumero de onda. (b) Resultados dos calculos para Im(εord), Im(εext) em funcaodo numero de onda.

Os calculos claramente mostram que existem varias combinacoes dos sinais

dos componentes da parte real do tensor dieletrico. Isto sugere que refracao

negativa pode ser possıvel em certas frequencias. A parte imaginaria mostra

picos estreitos nas frequencias dos fonons TO. A largura desses picos da uma

indicacao da absorcao esperada da radiacao. Esperamos os melhores resultados

nas regioes onde tem osciladores fortes e absorcao baixa.

Neste trabalho estaremos concentrados na faixa de frequencia de 400cm−1 a

600cm−1 onde estas condicoes estao melhor satisfeitas.

6.3 Reflexao e Refracao

Nesta secao investigamos reflexao e refracao em quartzo na regiao de frequencias

de 400cm−1 a 600cm−1. A geometria e mostrada na fig. 6.2, e e a mesma que ja

foi considerada no capıtulo 4.

Radiacao infravermelha distante incide em uma interface formada pelo ar

(isotropico) e um cristal de quartzo (anisotropico), chamando o ar de meio 1

e o cristal de meio 2. O plano de incidencia e xz, com z normal a superfıcie.

Investigamos cristais com os unieixos nas direcoes dos eixos y ou z. Para as

amostras com o unieixo na direcao de z os tensores εxx e εyy sao iguais a εordenquanto o tensor εzz = εext. A mesma regra vale para o cristal com unieixo y,

sendo para este caso εxx = εzz = εord e εyy = εext.

Assim, os valores de εxx, εyy e εzz sao mostrados na fig. 6.3(a), ignorando

amortecimento, e na fig. 6.3(b), levando amortecimento em conta, para o unieixo

ao longo de y. Os valores equivalentes para o unieixo ao longo de z sao mostra-

dos nas figs. 6.6(a) e 6.6(b) respectivamente.

Em geral, os resultados mostrados no lado esquerdo das figs. 6.4, 6.5, 6.7

e 6.8 sao sem amortecimento enquanto os do lado direito estao considerando o

fenomeno de amortecimento. Nessas figuras mostramos as permissividades , a

refletividade e o angulo de refracao em funcao da frequencia para polarizacao

s e p respectivamente.

Consideramos primeiro a refletividade, em incidencia obliqua. Na figura 6.2

Figura 6.2: Reflexao da radiacao polarizada-p incidente na interface.

esta ilustrado o sistema para radiacao polarizada-p, onde os ındices i, r e t sig-

nificam incidente, refletido e transmitido respectivamente. Para as simulacoes

de refletividade consideramos as condicoes de contorno para a interface, no caso

para polarizacao-p utilizamos

Hi + Hr = Ht, (6.5)

e

Exi + Exr = Ext, (6.6)

onde pelas equacoes de Maxwell teremos que Exi = kz1Hi

ωε0, Exr = kz1Hr

ωε0e

Ext = kz2Ht

ωε0εxx, onde os valores de k1z e k2z sao obtidos das equacoes 4.17 e 4.19.

Fazendo-se a devidas substituicoes e calculando o coeficiente de reflexao dado

por r = Hr

Hi, econtramos para polarizacao-p,

r =εxxk1z − k2z

εxxk1z + k2z

, (6.7)

com a refletividade R = r.r∗.O calculo para radiacao polarizada-s e similar, porem com

−→E ao longo de y,

assim

r =k1z − k2z

k1z + k2z

(6.8)

Neste caso, k2z e dado por eq. 4.18.

Se considerarmos a situacao na ausencia de absorcao com (γi = 0) o vetor

k2z e totalmente real (para k22z > 0) ou totalmente imaginario (para k2

2z < 0).

Nas regioes onde k2z e totalmente imaginario ocorre reflexao total (R = 1) da

radiacao na amostra. Ja nas regioes onde k2z e totalmente real a reflexao nao

e total (R < 1). Essas afirmacoes podem ser observadas dos resultados teoricos

apresentados nas figuras 6.4(a) e 6.5(a), 6.7(a) e 6.8(a).

Consideramos primeiro a refletividade com o unieixo ao longo de y. Em

polarizacao s (fig. 6.4(a)), o campo eletrico interage somente com εyy (= εext).

Pode ser visto que, para εyy negativo (entre os fonons LO e TO), k2z e ima-

ginario e a reflexao e total. Na verdade, esta regiao estende um pouco acima

da frequencia do fonon LO no caso de incidencia obliquo (kx 6= 0) como pode

ser visto da eq. 4.18. O maior angulo de incidencia (e assim o maior valor de

kx), o mais alto estende esta regiao. Fora da regiao de k2z imaginario, pode-

mos ver que R < 1, e radiacao se propaga dentro da amostra. Na polarizacao

p (fig 6.5(a)) a radiacao interage com εxx e εzz. Entretanto os valores destes

componentes sao iguais (εext), e a refletividade e parecida com o resultado em

polarizacao s, mas a radiacao interage com εord em vez que com εext. Assim

o fenomeno de reflexao total acontece numa faixa de frequencias mais baixa

(veja as componentes do tensor dieletrico na fig. 6.3(a)).

No caso onde amortecimento e incluıdo nos calculos (figs. 6.4(b) e 6.5(b)) o

comportamento e semelhante mas agora nao pode distinguir definitivamente

regioes onde R = 1. Isto e porque k2z nao e puramente real ou puramente

imaginario, mas, em geral, e complexo.

Agora, consideramos o angulo de refracao, dado pelas equacoes 6.4(b) e

6.8(b), na ausencia de amortecimento. Fig. 6.4(c) mostra o angulo de refracao

em polarizacao s na ausencia de amortecimento. O sinal do angulo de refracao

e sempre positivo nas regioes onde R < 1, com propagacao dentro da amostra.

Na regiao de reflexao total, o calculo da um angulo de refracao de +90, mas isto

nao deve ser interpretado como refracao no sentido usual. Na verdade, existe

somente propagacao ao longo da superfıcie na forma de ondas evanescentes.

Nao existe propagacao de energia para dentro do cristal nesta regiao.

Na polarizacao p, esperamos refracao negativa para εxx > 0 e εzz < 0. En-

tretanto, notamos que para os cristais com o unieixo ao longo de y, em mo-

mento algum podemos ter esta condicao, que e justificavel pois os tensores em

questao εxx e εzz sao iguais (ordinarios). A ocorrencia de εyy e εzz com sinais

diferentes, que pode ser visto em algumas regioes de frequencia na fig. 6.3(a)

(sem amortecimento) e 6.3(b) (com amortecimento) nao caracteriza a ocorrencia

de refracao negativa. A nao aparencia de refracao negativa nas regioes de

propagacao e confirmada na fig. 6.5(c).

Entretanto, na regiao de 450cm−1 a 510cm−1 o angulo de refracao e −90 e

isso poderia sugerir a ocorrencia de refracao negativa. Porem na mesma regiao

ocorre o fenomeno de reflexao total, e o comportamento e parecido com aquele

na polarizacao s nas regioes de reflexao total. Entretanto, o fluxo de energia

ao longo da superfıcie agora tem o sentido de −kx. Este fenomeno tambem

pode acontecer em reflexao da superfıcie de um metal na polarizacao p [53]. O

mesmo comportamento para o angulo de refracao pode ser visto nos resultados

com amortecimento fig. 6.5(d) sem a ocorrencia de reflexao total.

Na figura 6.6, investigamos o comportamento do cristal com unieixo ao longo

de z. Na polarizacao s, o campo eletrico interage com εyy (= εord). Assim a

refletividade (fig. 6.7(a) e 6.7(b)) e parecida com a refletividade em polarizacao

p para o unieixo ao longo de y (figs. 6.5(a) e 6.5(b)). Os angulos de refracao

sao iguais, ignorando amortecimento nas regioes de propagacao (R < 1) nos

dois casos (figs. 6.5(c) e 6.7(c)), mesmo que os sentidos do fluxo ao longo da

superfıcie possam ser diferentes nas regioes de reflexao total.

Para as geometrias consideradas a anisotropia somente entra nos calculos

em polarizacao-p, com o unieixo ao longo de z. Neste caso temos um novo as-

pecto no espectro de refletividade. Na ausencia de amortecimento, isto aparece

como uma regiao de R = 1 acima do modo LO polarizado ao longo de z, que

pode ser observado na fig. 6.8(a). Este aspecto corresponde a condicao εxx > 0,

0 < εzz sin2 θ1 que da k2z imaginario [45] um pouco acima de 550cm−1.

Observamos que na regiao (na faixa de 510cm−1 a 551cm−1) entre as duas

regioes de alta frequencia (veja a fig. 6.6(a)) satisfazemos a condicao necessaria

para refracao negativa como mostram as figs. 6.8(c) e 6.8(d). Vemos que a

refletividade e baixa o que e desejavel para uma boa transmissao (fig. 6.8(a) e

6.8(b)).

Nas figuras 6.7(b) e 6.8(b) mostramos, alem das simulacoes, resultados ex-

perimentais (curva verde) da refletividade nas duas polarizacoes. Em geral

tem boa concordancia entre a teoria e a experiencia. Em particular, a fig. 6.8(b)

mostra uma regiao de alta reflexao numa frequencia de 556cm−1 em acordo

com nossas previsoes de refracao negativa. Tem boa concordancia com a curva

teorica para angulo de incidencia de 50, que e aproximadamente o angulo de

incidencia medio do acessorio de reflexao difusa usado na experiencia.

Na polarizacao s, tambem tem boa concordancia com a teoria, mas o aspecto

a 556cm−1 ainda e observado agora muito mais fraco. A teoria nao preve esta

caracterıstica e nos consideramos que deve ser devido ao fato que, para reflexao

difusa, nao temos so um plano de incidencia o que pode contribuir para uma

mistura nas polarizacoes. Assim podemos estar observando alguma reflexao

em polarizacao p alem de reflexao em polarizacao s. Nao podemos tambem

descartar possıveis ineficiencias nos polarizadores utilizados.

6.4 Medidas de Transmissividade

Para que ocorra o fenomeno de refracao positiva ou negativa e necessario que

haja transmissao da radiacao no material. Somente as medidas de refletividade

nao sao suficientes para dizer o quanto da radiacao esta sendo transmitida, pois

nem todo raio que nao e refletido e transmitido pode ser tambem absorvido pelo

cristal. Como para ocorrencia de refracao negativa eficiente e importante que

haja transmissao com um mınimo de absorcao nos tambem fizemos medidas de

transmissividade que serao apresentadas abaixo.

As medidas de transmissao podem ser modeladas na maneira mostrada na

figura 6.9, usando o exemplo de polarizacao p. a e b representando os campos

magneticos nos dois lados de cada interface. Os calculos para as simulacoes

foram feitos levando em consideracao as condicoes de contorno nas interfaces.

Na primeira interface, por exemplo, temos, para o campo H,

a1 + b1 = a2u + b2u (6.9)

Tambem tem continuidade da componente x do campo eletrico que pode

ser relacionado com os campos magneticos na maneira ja descrita na secao

anterior. Para se chegar as equacoes de transmissividade fizemos os calculos

utilizando matriz de tranferencia e encontramos

t−1 =exp(−ikzd)

2+

exp(ikzd)

2+

kz2 exp(−ikzd)

4kz1

+kz1 exp(−ikzd)

4kz2

−exp(ikzd)kz2

4kz1

− exp(ikzd)kz1

4kz2

. (6.10)

para polarizacao-p, e para polarizacao-s teremos

t−1 =exp(−ikzd)

2+

exp(ikzd)

2+

kz1εxx exp(−ikzd)

4kz2

+kz2 exp(−ikzd)

4kz1εxx

−exp(ikzd)kz1εxx

4kz2

− kz2 exp(ikzd)

4kz1εxx

. (6.11)

Para essas medidas utilizamos amostras de quartzo com espessuras de 25µm,

50µm e 75µm para angulos de incidencia de 30 e 50 e feixe incidente com

polarizacao-s ou p. Nas figuras 6.10, 6.11, 6.12 e 6.13 estao apresentados os

nossos resultados teoricos e experimentais para transmissividade.

Comparacao com os resultados de reflexao nas figuras ?? e ?? mostra que,

em geral, nas regioes de alta refletividade (R = 1 na ausencia de amortec-

imento) a transmissao cai para zero. Isto acontece porque as amostras sao

relativamente grossas em relacao a distancia de penetracao do campo eletro-

magnetico nestas regioes.

Comecamos com as amostras com o unieixo ao longo de y na polarizacao

s (fig 6.10). Pode ser visto que a transmissao decresce com a espessura da

amostra. Os calculos teoricos mostram que nao deve ocorrer transmissao na

regiao entre 480cm−1 e 560cm−1.

Esses resultados confirmam a ocorrencia de reflexao total como vimos na

secao anterior. Os resultados experimentais concordam em geral com a teo-

ria, mas percebemos que ocorre alguma transmissao na regiao de 510cm−1 a

560cm−1 nao previsto na teoria. Para entender como isto acontece devemos

comparar a figura 6.10 com a 6.11 para polarizacao p. Na polarizacao p, a

regiao de transmissao zero tem uma faixa de frequecia mais baixa (430cm−1 ate

510cm−1), pois nesta polarizacao o campo eletrico esta interagindo com εord em

vez de εext. Entretanto, tem transmissao para frequencias acima de 510cm−1.

Isto sugere que a transmissao em polarizacao s observado nestas frequencias e

devido a alguma radiacao polarizada-p que nao foi filtrada por causa da baixa

eficiencia dos polarizadores.

Na figura 6.12 mostramos os resultados para o unieixo ao longo de z na

polarizacao s. Como na figura 6.11, existe uma excelente concordancia entre a

teoria e a experiencia, sem transmissao na regiao de reflexao alta.

Na fig. 6.13 nos mostramos os resultados para as amostras com o unieixo

ao longo de z e radiacao polarizada-p. Esta configuracao e de maior interesse

no contexto deste trabalho, porque e a configuracao onde pode existir refracao

negativa. Pode ser visto que agora tem um mınimo extra, que nao aparece nos

espectros nas outras configuracoes, em torno de 556cm−1. Entretanto, como nos

outros espectros, este mınimo aparece onde tem refletividade alta (isto e, R = 1

na ausencia de amortecimento) como foi visto na figura ??(h).

Alem do efeito de alta reflexao existe uma absorcao em torno da frequencia

do fonon LO polarizado ao longo de z (zero em εxx). Esta absorcao tambem con-

tribui a este mınimo devido ao efeito Berreman (Berreman 1964). Esta absorcao

e a maior contribuicao em reduzir a transmissao na regiao de refracao negativa

que ocorre entre 510cm−1 e 551cm−1, isto e, entre os mınimos na transmissao.

Nesta regiao, vemos que ocorre transmissao significativa para as amostras

de 25µm e 50µm possibilitando a transmissao com refracao negativa. Ja na

amostra de 75µm a transmissao e muito baixa devido a sua grossura ocorrendo

maior absorcao.

Mesmo que os aspectos mais gerais tenham uma boa concordancia entre

teoria e experiencia, em geral nas regioes acima de 510cm−1, os espectros esper-

imentais mostram uma transmissao acima da esperada, e o mınimo em torno

de 556cm−1 nao cai para zero (assumimos que a transmissao abaixo da teoria

na fig. 6.13(a) e devido ao mal alinhamento da amostra). Acreditamos que

isto e devido a baixa eficiencia dos polarizadores, deixando alguma radiacao de

polarizacao s passar pela amostra, que e consistente com os espectros mostra-

dos na fig. 6.12 e parecido com o comportamento observado na fig. 6.10.

Em geral a transmissao mostrada neste trabalho e melhor que a reportada

para superredes nas regioes de refracao negativa. Nossos resultados para uma

amostra de 50µm mostram transmissao maior que observado para superredes

com espessura de 8µm. Tambem nossos cristais nao necessitam de substratos.

Um ponto negativo de cristais naturais nao temos controle sobre as frequencias

de refracao negativa.

400 420 440 460 480 500 520 540 560 580 600-40

-30

-20

-10

0

10

20

30

40zz

yy

NUMERO DE ONDA (cm-1)

yy

xx,

zz

(a)

400 500 600-40

-30

-20

-10

0

10

20

30

40

zzyy

NUMERO DE ONDA (cm-1)

zz,

xx,yy

(b)

Figura 6.3: Resultados teoricos para amostras de quartzo com o unieixo aolongo de y. (a) e (b) componentes principais dos tensores dieletricos sem e comamortecimento respectivamente.

400 500 6000,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

REFLETIVIDADE

NUMERO DE ONDA(cm-1)

r=50o

r=30o

(a)

400 500 6000,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

REFLETIVIDADE

NUMERO DE ONDA (cm-1)

(b)

r=50o

r=30o

400 500 600

-90

0

90

r(graus

)

NUMERO DE ONDA (cm-1)

i=50o

i=30o

(c)

400 500 600-90

0

90

r(graus

)

NUMERO DE ONDA (cm-1)

(d)

i=50o

i=30o

Figura 6.4: Resultados teoricos para amostras de quartzo com o unieixo aolongo de y e polarizacao-s: (a) e (b) refletividade e (c) e (d) angulos de refracaopara os angulos de incidencia de 30 e 50. As figuras a esquerda sao semamortecimento e as figuras a direita sao com amortecimento

400 500 6000,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

REFLETIVIDADE

NUMERO DE ONDA (cm-1)

i=30o

i=50o

(a)

400 500 6000,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

REFLETIVIDADE

NUMERO E ONDA (cm-1)

(b)

i=30o

i=50o

400 500 600

-90

0

90

r(graus

)

NUMERO DE ONDA (cm-1)

(c)

i=50o

i=30o

400 500 600

-90

0

90

r(graus

)

NUMERO DE ONDA (cm-1)

(d)

i=50o

i=30o

Figura 6.5: Resultados teoricos para amostras de quartzo com o unieixo aolongo de y e polarizacao-p: (a) e (b) refletividade e (c) e (d) angulo de refracao.As figuras a esquerda sao sem amortecimento e as figuras a direita sao comamortecimento.

400 420 440 460 480 500 520 540 560 580 600-40

-30

-20

-10

0

10

20

30

40yy,

zz

xx,

yy

zz

NUMERO DE ONDA (cm-1)

(a)

400 500 600

-40

-20

0

20

40xx

,yy

zz

yy,

zz

NUMERO DE ONDA (cm-1)

(b)

Figura 6.6: Resultados teoricos para amostras de quartzo com unieixo ao longode z. (a) e (b) componentes principais dos tensores dieletricos sem e comamortecimento respectivamente.

400 500 6000,0

0,5

1,0

=30o

REFLETIVIDADE

NUMERO DE ONDA (cm-1)

(a)

=50o

400 420 440 460 480 500 520 540 560 580 6000,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

i=30o

REFLETIVIDADE

NUMERO DE ONDA (cm-1)

i=50o

Experimental

(b)

400 500 600

-90

0

90

i=30o

r(graus

)

(c)

NUMERO DE ONDA (cm-1)

i=50o

400 500 600-100

-80

-60

-40

-20

0

20

40

60

80

100

i=30o

r(graus

)

NUMERO DE ONDA (cm-1)

(d)

i=50o

Figura 6.7: Resultados teoricos e experimentais para amostras de quartzo comunieixo ao longo de z e polarizacao-s: (a) e (b) refletividade e (c) e (d) angulosde refracao para os angulos de incidencia de 30 e 50.

400 500 6000,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

i=30o

REFLETIVIDADE

NUMERO DE ONDA (cm-1)

i=50o

(a)

400 500 6000,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

i=30o

REFLETIVIDADE

NUMERO DE ONDA (cm-1)

(b)

i=50o

Experimental

400 500 600

-90

0

90

i=30o

r(graus

)

NUMERO DE ONDA (cm-1)

(c)

i=50o

400 500 600

-90

0

90

i=30o

r(graus

)

(d)

NUMERO DE ONDA (cm-1)

i=50o

Figura 6.8: Resultados teoricos e experimentais para amostras de quartzo comunieixo ao longo de z e polarizacao-p: (a) e (b) refletividade e (c) e (d) angulo derefracao. As figuras a esquerda sao sem amortecimento e as figuras a direitasao com amortecimento.

Figura 6.9: Transmissao da radiacao polarizada-p incidente na interface.

400 500 6000,0

0,5

1,0

TRANSMISSIVIDADE

NUMERO DE ONDA (cm-1)

Teorico

Experimental

(a)

400 500 6000,0

0,5

1,0

TRANSMISSIVIDADE

NUMERO DE ONDA (cm-1)

TeoricoExperimental

(b)

400 500 6000,0

0,5

1,0

TRANSMISSIVIDADE

NUMERO DE ONDA (cm-1)

Teorico

Experimental

(c)

400 500 6000,0

0,5

1,0

TRANSMISSIVIDADE

NUMERO DE ONDA (cm-1)

Teorico

Experimental

(d)

400 500 6000,0

0,5

1,0

TRASNMISSIVIDADE

NUMERO DE ONDA (cm-1)

Teorico

Experimental

(e)

400 500 6000,0

0,5

1,0

TRANSMISSIVIDADE

NUMERO DE ONDA (cm-1)

(f)

Teorico

Experimental

Figura 6.10: Resultados teoricos e experimentais para transmissividade deradiacao polarizada-s em amostras de quartzo com unieixo ao longo de y. Asmedidas do lado esquerdo da figura sao para angulo de incidencia de 30 e asdo lado direito para 50. (a) e (b) transmissividade na amostra de 25µm, (c) e (d)transmissividade na amostra de 50µm, (e) e (f) transmissividade na amostra de75µm.

400 500 6000,0

0,5

1,0

TRANSMISSIVIDADE

NUMERO DE ONDA (cm-1)

Teorico

Experimental(a)

400 500 6000,0

0,5

1,0

TRANSMISSIVIDADE

NUMERO DE ONDA (cm-1)

(b)

Experimental

Teorico

400 500 6000,0

0,5

1,0

TRANSMISSIVIDADE

NUMERO DE ONDA (cm-1)

Experimental

Teorico

(c)

400 500 6000,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

TRASNMISSIVIDADE

NUMERO DE ONDA (cm-1)

Experimental

Teorico

(d)

400 500 6000,0

0,5

1,0

TRANSMISSIVIDADE

NUMERO DE ONDA (cm-1)

Experimental

Teorico

(e)

400 500 6000,0

0,5

1,0

TRANSMISSIVIDADE

NUMERO DE ONDA (cm-1)

Experimental

Teorico

(f)

Figura 6.11: Resultados teoricos e experimentais para transmissividade deradiacao polarizada-p em amostras de quartzo com unieixo ao longo de y. Asmedidas do lado esquerdo da figura sao para angulo de incidencia de 30 e asdo lado direito para 50. (a) e (b) transmissividade na amostra de 25µm, (c) e (d)transmissividade na amostra de 50µm, (e) e (f) transmissividade na amostra de75µm.

400 500 6000,0

0,5

1,0

TRANSMISSIVIDADE

NUMERO DE ONDA (cm-1)

Experimental

Teorico(a)

400 500 6000,0

0,5

1,0

TRANSMISSIVIDADE

NUMERO DE ONDA (cm-1)

(b)Experimental

Teorico

400 500 6000,0

0,5

1,0

TRANSMISSIVIDADE

NUMERO DE ONDA (cm-1)

Experimental

Teorico

(c)

400 500 6000,0

0,5

1,0

I

A

Experimental

Teorico

(d)

400 500 6000,0

0,5

1,0

TRANSMISSIVIDADE

NUMERO DE ONDA (cm-1)

Experimental

Teorico

(e)

400 500 6000,0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1,0

TRANSMISSIVIDADE

NUMERO DE ONDA (cm-1)

Experimental

Teorico

(f)

Figura 6.12: Resultados teoricos e experimentais para transmissividade deradiacao polarizada-s em amostras de quartzo com unieixo ao longo de z. Asmedidas do lado esquerdo da figura sao para angulo de incidencia de 30 e asdo lado direito para 50. (a) e (b) transmissividade na amostra de 25µm, (c) e (d)transmissividade na amostra de 50µm, (e) e (f) transmissividade na amostra de75µm

400 500 6000,0

0,5

1,0

TRANSMISSIVIDADE

NUMERO DE ONDA (cm-1)

(a) Teorico

Experimemtal

400 500 6000,0

0,5

1,0

TRANSMISSIVIDADE

NUMERO DE ONDA (cm-1)

Experimental

Teorico

(b)

400 500 6000,0

0,5

1,0

TRANSMISSIVIDADE

NUMERO DE ONDA (cm-1)

Experimetal

Teorico

(c)

400 500 6000,0

0,5

1,0

TRANSMISSIVIDADE

NUMERO DE ONDA (cm-1)

Experimental

Teorico

(d)

400 500 6000,0

0,5

1,0

TRANSMISSIVIDADE

NUMERO DE ONDA (cm-1)

Experimental

Torico

(e)

400 500 6000,0

0,5

1,0

TRANSMISSIVIDADE

NUMERO DE ONDA (cm-1)

Experimental

Teorico

(f)

Figura 6.13: Resultados teoricos e experimentais para transmissividade deradiacao polarizada-p em amostras de quartzo com unieixo ao longo de z. Asmedidas do lado esquerdo da figura sao para angulo de incidencia de 30 e asdo lado direito para 50. (a) e (b) transmissividade na amostra de 25µm, (c) e (d)transmissividade na amostra de 50µm, (e) e (f) transmissividade na amostra de75µm

6.5 Conclusao

Esses resultados sugerem que cristais de quartzo tem um grande potencial

para apresentar ocorrencia de refracao negativa de todos os angulos em regioes

de frequencia de infravermelho distante.

Capıtulo 7

Conclusoes e Perspectivas

Mostramos que, em quartzo cristalino com o unieixo ao longo de z na regiao

onde a condicao de refracao negativa εxx > 0 e εzz < 0 e satisfeita, ocorre

transmissao suficiente para induzir refracao negativa com eficiencia melhor

que o outro sistema investigado experimentalmente (superrede dopada) us-

ando o mesmo princıpio [4]. Nossas medidas experimentais confirmam nossas

predicoes teoricas de que o cristal de quartzo apresenta ocorrencia de refracao

negativa na regiao de frequencia do infravermelho distante.

Futuros estudos podem incluir:

1. Medidas com as amostras com unieixo ao longo de x. Em princıpio existe

tambem a possibilidade de refracao negativa nesta geometria.

2. Medidas de refletividade com reflexao especular;

3. Medidas do deslocamento lateral de um raio transmitido atraves de um

cristal de quartzo na regiao de reafracao negativa, usando uma configuracao

parecida com aquela de Hoffman et al [4];

4. Medidas de refracao negativa em outros tipos de cristais;

5. Medidas de refletividade e transmissividade em cristais a baixas temper-

aturas, para reduzir a absorcao;

6. Analises de construcao de lentes de cristais com refracao negativa.

91

Bibliografia

[1] S. Anantha Ramarkrishna, Rep. Prog. Phys. 449 (2005).

[2] Thomas Dumelow, Jose Alzamir Pereira da Costa e Valder NogueiraFreire, Phys. Rev. B 72, 235115 (2005).

[3] Leonid V. Alekseyev e Evgenii Narimanov, Opt. Express 14, 11184 (2006).

[4] Anthony J. Hoffman et al., Nature Materials 6, 946 (2007).

[5] V. G. Veselago, Sov. Phys. Usp. 10, 509 (1968).

[6] J. Pacheco et al., Phys. Rev. Lett. 89, 257401 (2002).

[7] J. B. Pendry, A. J. Holden, W. J. Stewart e I. Youngs, Phys. Rev. Lett. 76,4773 (1996).

[8] J. B. Pendry e David R. Smith, Physics Today 57, 1 (2004).

[9] D. R. Smith et al., Phys. Rev. Lett. 84, 4184 (2000).

[10] P. M. Valanju, R. M. Walser e A. P. Valanju, Phy. Rev. Lett. 88, 187401(2002).

[11] J. B. Pendry e David R. Smith, Phys. Rev. Lett. 90, 029703 (2003).

[12] D. R. Smith, D. Schurig e J. B. Pendry, Applied Physics Letters 81, 2713(2002).

[13] A. L. Pokrovsky e A. L. Efros, Solid. State communications 124, (2002).

[14] V. G. Veselago, Appl. Phys. 81, 403 (2005).

[15] Akhlesh Lakhtakia, Martin W. McCall e Werner S. Weiglhofer, (2002).

[16] Martin W. McCall, J. of Modern Optics 56, 1727 (2009).

92

[17] Vladimir M. Shalaev, Nature Photonics 1, 41 (2007).

[18] Chiyan Luo, Steven G. Johnson, J. D. Joannopoulos e J. B. Pendry, (2002).

[19] M. Notomi, Phys. Rev. B 62, 10696 (2000).

[20] J. B. Pendry, A. J. Holden, D. J. Robbins e W. J. Stewart, J. Phys.: Condens.Matter 10, 4785 (1998).

[21] R. A. Shelby, D. R. Smith e S. Schultz, Science 298, 77 (2001).

[22] C. G. Parazzoli et al., Phys. Rev. Lett. 90, 107401 (2003).

[23] Kin Li et al., Applied Physics Letters 2535 (2003).

[24] Ekmel Ozbay, Kaan Guven e Karay Aydin, Rep. Prog. Phys. S303 (2007).

[25] J. B. Pendry, Phys. Rev. Lett. 85, 3966 (2000).

[26] Sara Yang, Eurek Alert (2005).

[27] J. B. Pendry, Optics Express 11, 755 (2003).

[28] J. B. Pendry, Sceince 71 (2008).

[29] J. B. Pendry, D. Shurig e D. R. Smith, Science 312, 1780 (2006).

[30] Charles Kittel, Introducao a Fısica do Estado Solido (LTC, Rio de Janeiro,2006).

[31] H. P. Myers, Introductory Solid State Physics (Taylor Francis, London,1990).

[32] Neil W. Ashcroft e N. David Mermin, Solid State Physics (Saunders Col-lege, Philadelphia, 1976).

[33] B. Donovan e J. F. Angress, Lattice Vibrations (Price Net, Great Britain,1971).

[34] Max Born e Kun Huang, Dynamical Theory of Crystal Lattices (ClarendonPress Oxford, New York, 1954).

[35] John Sydney Blakemore, SOLID STATE PHYSICS (Cambridge Univer-sity Press, New York, 1985).

[36] D. L. Mills e E. Burstein, Rep. Prog. Phys. 37, 817 (1974).

[37] Eudenilson L. Albuquerque e Michael G. Gottam, Polaritons in Periodicand Quasiperiodic Structures (Elsevier, Amstherdam, 2004).

[38] P. A. Belov, Microwave and Optical Technology Letters 37, 259 (2003).

[39] Lu Yonghua et al., Optics Communications 429 (2004).

[40] Yan Wang, Xuejun Zha e Jinkui Yan, Europhysics Letters 72, 830 (2005).

[41] Hu Wei, Luo Hai-lu e Cao Jing-Xiao, 22, (2005).

[42] Zheng Liu, Zhifang Lin e S. T. Chui, Physical Review 69, 115402 (2004).

[43] L. D. Landau e E. M.. Lifshitz, Electrodynamics of Continuous Media, 2nded. (Pergamon Press, Oxford, 1984).

[44] Viktor A. Podolskiy, Leonid V. Alekseyev e Evgenii E. Narimanov, Journalof Modern Optics 52, (2005).

[45] Thomas Dumelow e David R. Tilley, J. Opt. Soc. Am. A 10, 633 (1993).

[46] Thomas Dumelow, Terence J. Parker, Stephen R. P. Smith e David R.Tilley, Surf. Sci. Rep. 17, 151 (1993).

[47] Athony J. Hoffmann et al., Journal of Applied Physics 105, 122411 (2009).

[48] Robert John Bell, Introductory Fourier Transform Spectroscopy (AcademicPress, New York, 1972).

[49] G. W. Chantry, Submillimetre Spectroscopy (Academic Press, Londres,1971).

[50] Douglas E. Brown et al., Phys. Rev. B 49, 12266 (1994).

[51] F Gervais e B Piriou, Phys. Rev. B 11, 3944 (1975).

[52] JL Duarte, JA Sanjurjo e RS Katiyar, Phys. Rev. B 36, 3368 (1987).

[53] Walter J. Wild e C. Lee Giles, Phys. Rev. A 25, 2099 (1982).