regimul sinusoidal

Funciile alternative sinusoidale sunt deosebit de importante pentru analiza circuitelor, deoarece cea mai mare parte a sistemelor de producere i distribuie a energiei electrice genereaz i transfer energie prin intermediul unor mrimi a cror evolu

Funciile alternative sinusoidale sunt deosebit de importante pentru analiza circuitelor, deoarece cea mai mare parte a sistemelor de producere i distribuie a energiei electrice genereaz i transfer energie prin intermediul unor mrimi a cror evoluie n timp poate fi considerat ca fiind sinusoidal; n mod obinuit, prescurtarea care desemneaz aceast form de energie este "c.a.", sau n englez "AC", care provine de la Alternating Current.

(a)(b)(c)

Figura 1 - (a) Mrime alternativ sinusoidal; (b) Mrime alternativ nesinusoidal; (c) Mrime continu.

Marele avantaj al alimentrii n c.a. (AC), n comparaie cu curentul continuu (c.c., DC-Direct Current), n cazul cruia mrimile sunt constante n timp, l constituie randamentul transportului energiei, care se poate face la tensiuni mult mai mari; tensiunea alternativ este produs n centrale i apoi ridicat prin intermediul transformatoarelor, reducndu-se, aproximativ n aceeai msur, curentul; rezult c pierderile Joule , sunt mai mici la nalt tensiune, acesta fiind motivul pentru care energia electric este transportat la tensiuni mult mai mari dect este produs. Acesta este principalul motiv pentru care sistemele de c.a. (AC) s-au impus fa de sistemele de c.c. (DC).

2. Definiii

O mrime alternativ sinusoidal, , poate fi descris de expresia matematic:

n care este valoarea instantanee, este amplitudinea sau valoarea maxim, este faza, este pulsaia ce se exprim n radiani/secund , iar este faza iniial, exprimat n radiani.

Pulsaia poate fi exprimat n funcie de frecvena a semnalului, exprimat n [Hz]: Frecvena se poate exprima n funcie de perioada a semnalului prin:

Toi parametrii unei mrimi sinusoidale sunt reprezentai grafic n figura urmtoare

Figura 2 - Reprezentarea grafic a unei mrimi sinusoidale

Considernd dou mrimi sinusoidale, de frecven egal, descrise de expresiile:

i,

se numete defazaj ntre cele dou mrimi, diferena fazelor iniiale, .

Figura 3 - Reprezentarea grafic a defazajului ntre dou mrimi sinusoidale

Pentru exemplul dat, se spune c mrimea este n fa cu radiani, fa de . Reciproc, mrimea este n urm cu radiani, fa de mrimea .

3. Valoarea efectiv

Conceptul de valoare efectiv (eficace) a unei tensiuni sau curent alternativ sinusoidal, este legat de puterea transferat de aceste mrimi; cu alte cuvinte, prin intermediul valorilor efective, puterile asociate mrimilor de c.a. (AC) pot fi comparate, ca i cele asociate mrimilor de c.c. (DC).

Din punct de vedere fizic, valoarea efectiv a unui curent alternativ, este valoarea unui curent continuu care produce, pe o aceeai rezisten, acelai efect termic, ca i curentul alternativ care o parcurge.

Matematic, valoarea efectiv, , a unei mrimi periodice este dat de:

n cazul particular al unei mrimi alternative sinusoidale date de , expresia anterioar conduce la:

Se poate scrie deci:

Din punct de vedere grafic, valoarea efectiv este proporional cu aria mrginit de curba ce reprezint evoluia n timp a ptratului mrimii alternative, aa cum se vede n figura urmtoare.

Figura 4 - Reprezentarea grafic a calculului valorii efective

Valoarea efectiv a unei mrimi depinde de amplitudinea mrimii, de forma de und a acesteia, dar nu depinde de frecvena acesteia, nici de faza iniial (integrarea se face pe o perioad, indiferent ct este valoarea acesteia, sau alegerea ei).

4. Notaii n complex

Notaia n complex, este o form de reprezentare a mrimilor alternative sinusoidale, cu ajutorul unor vectori care variaz n timp (vectori / fazori rotitori). Notaia n complex a fost introdus de Steinmetz, n 1893, n scopul simplificrii analizei regimului permanent al circuitelor alimentate n c.a. (AC).

Se dorete s se determine vectorul reprezentativ al tensiunii descrise de .

Pornind de la funcia lui Euler

,

n care reprezint unitate pe axa imaginar, se poate scrie:

.

Multiplicnd ambii membrii ai expresiei cu , se obine:

care va fi numit vector (fazor) rotitor, fiind reprezentat de:

Comparnd expresia lui cu evoluia temporal a semnalului , se poate concluziona c corespunde prii imaginare a lui . Matematic, se poate scrie:

tiind c

,

un numr complex poate fi reprezentat n planul complex ca un vector, care pentru , are valoarea i se rotete n timp, cu viteza unghiular (corespunztor multiplicrii cu )

Figura 5 - Reprezentare grafic a unui vector (fazor) rotitor

Un vector se definete prin amplitudinea complex Din punct de vedere grafic, o tensiune descris de va fi, n orice moment, proiecia lui pe axa imaginar.

5. Operaii matematice cu mrimi exprimate n complex

Adunarea a dou mrimi sinusoidale de aceeai pulsaie (frecven)

Fiind date dou mrimi sinusoidale descrise de:

i,

analitic, suma lor va fi dat de:

.

Dac cele dou mrimi se reprezint cu ajutorul vectorilor rotitori corespunztori, suma lor va fi dat de suma celor doi vectori; evoluia temporal a sumei, corespunde prii imaginare a sumei vectorilor:

Multiplicarea unei mrimi sinusoidale cu o constant real

Dat fiind o mrime sinusoidal descris de:

,

analitic, multiplicarea sa cu o constant real conduce la:

Dac mrimea se reprezint cu ajutorul vectorului rotitor corespunztor, multiplicarea sa cu conduce la un vector colinear cu , dar al crui modul este ; evoluia temporal a semnalului corespunde prii imaginare a vectorului:

Produsul a dou mrimi sinusoidale de aceeai pulsaie (frecven)

Fiind date dou mrimi sinusoidale descrise de:

i

analitic, produsul lor este dat de:

Dac cele dou mrimi se reprezint cu ajutorul vectorilor rotitori corespunztori, produsul lor va fi reprezentat de un vector cu faza , care se rotete cu vitez unghiular dubl i avnd modulul ; evoluia temporal a produsului corespunde prii imaginare a vectorului:

ANIMAIE

Derivarea unei mrimi sinusoidale


,

analitic, derivata sa este dat de:

Dac mrimea se reprezint cu ajutorul vectorului rotitor corespunztor, derivata sa va fi reprezentat de un vector avnd faza , fiind deci n avans relativ cu fa de , i modulul ; evoluia temporal a derivatei corespunde prii imaginare a vectorului:

Integrarea unei mrimi sinusoidale


analitic, integrala sa este dat de:

Dac mrimea se reprezint cu ajutorul vectorului rotitor corespunztor, integrala sa va fi reprezentat de un vector avnd faza , fiind deci n urm cu fa de , i modulul ; evoluia temporal a integralei corespunde prii imaginare a vectorului:

Circuite n regim sinusoidal

n acest capitol se va realiza analiza, n regim permanent, a circuitelor alimentate n curent alternativ. Se vor deduce ecuaiile caracteristice ale elementelor ideale R, L i C n funcie de amplitudinile n complex i se va prezenta conceptul de impedan complex. Se vor analiza circuitele RL serie i RC serie, determinndu-se tensiunile i curenii prin metoda amplitudinilor complexe. Generalizarea conectrii impedanelor se va face prin deducerea din conectarea rezistenelor.1. Elemente ideale

REZISTOR

Se consider un rezistor, pentru care sensurile de referin ale tensiunii i curentului sunt cele reprezentate n figura urmtoare.

Considernd c rezistorul este parcurs de un curent alternativ sinusoidal, a crui expresie este:

,

aplicnd ecuaia caracteristic a rezistenelor, , se poate determina tensiunea ntre bornele sale:

Rezult c tensiunea ntre bornele unui rezistor este o mrime alternativ sinusoidal, de pulsaie , care este n faz cu curentul i care are amplitudinea egal cu .

n notaie complex, fazorul rotitor ce reprezint curentul este:

i, pe baza ecuaiei caracteristice, fazorul rotitor al tensiunii, , va fi:

Fazorul rotitor al tensiunii va avea aceeai vitez unghiular ca i i este coliniar cu acesta; evoluia n timp a tensiunii se obine proiectnd acest fazor pe axa imaginar.

Doar pentru un rezistor, tensiunea la bornele sale i curentul ce l parcurge, sunt n faz.

n figura urmtoare este reprezentat evoluia temporal i diagrama fazorial a tensiunii la borne i curentului n cazul unui rezistor.

INDUCTAN

Se consider o inductan, pentru care sensurile de referin ale tensiunii i curentului sunt cele reprezentate n figura urmtoare.

Considernd c inductana este parcurs de un curent alternativ sinusoidal, a crui expresie este:

aplicnd ecuaia caracteristic a inductanelor, se poate determina tensiunea ntre bornele sale:

Rezult c tensiunea ntre bornele unei inductane este o mrime alternativ sinusoidal, de pulsaie , care este n avans cu fa de curentul i care are amplitudinea egal cu .


i, pe baza ecuaiei caracteristice, fazorul rotitor al tensiunii, va fi:

Fazorul rotitor al tensiunii va avea aceeai vitez unghiular ca i , fiind n avans cu fa de acesta; evoluia n timp a tensiunii se obine proiectnd acest fazor pe axa imaginar.

n figura urmtoare este reprezentat evoluia temporal i diagrama fazorial a tensiunii la borne i curentului n cazul unei inductane.

CONDENSATOR

Se consider un condensator, pentru care sensurile de referin ale tensiunii i curentului sunt cele reprezentate n figura urmtoare.

Considernd c acesta este parcurs de un curent alternativ sinusoidal, a crui expresie este:

aplicnd ecuaia caracteristic a condensatoarelor, se poate determina tensiunea ntre bornele sale:

Rezult c tensiunea ntre bornele unui condensator este o mrime alternativ sinusoidal, de pulsaie , care este n urm cu fa de curentul i care are amplitudinea egal cu .


i, pe baza ecuaiei caracteristice, fazorul rotitor al tensiunii, va fi:

Fazorul rotitor al tensiunii va avea aceeai vitez unghiular ca i fiind n avans cu fa de acesta; evoluia n timp a tensiunii se obine proiectnd acest fazor pe axa imaginar.

n figura urmtoare este reprezentat evoluia temporal i diagrama fazorial a tensiunii la borne i curentului n cazul unui condensator.

2. Impedana complex

Utiliznd notaia n complex i considernd c fazorul rotitor al curentului care parcurge unul din elemente este reprezentat de expresia:

,

n seciunea anterioar, s-au obinut urmtoarele expresii pentru fazorii rotitori ai tensiunilor, pentru rezistor, inductan, respectiv condensator:

RezistorInductanCondensator

innd cont de expresia lui , expresiile de mai sus pot fi scrise sub forma:


Se definete impedana complex, , ca fiind raportul dintre fazorii rotitori ai tensiunii i curentului:

Explicitnd impedana complex n cazul elementelor R, L i C, se obin:


Impedana complex se exprim n Ohm Amplitudinile i impedanele complexe pot fi reprezentate fazorial, pentru fiecare din elementele analizate.


De notat faptul c impedana complex este un fazor rotitor, fiind reprezentat ca orice mrime alternativ sinusoidal.

Aceasta se justific, deoarece impedana inductanelor i condensatoarelor se modific n funcie de frecvena tensiunii de alimentare a circuitului, spre deosebire de impedana unei rezistene, care rmne constant ca valoare.

Deoarece tensiunea la borne i curentul sunt alternative, de aceeai pulsaie , termenul se poate neglija n scrierea ecuaiilor caracteristice ale elementelor, sub form fazorial, simplificndu-se astfel notaia. n ecuaiile astfel scrise, nu mai apar termeni fazori rotitori, ci doar amplitudini complexe, ceea ce corespunde reprezentrii fazorului rotitor la momentul .


3. Circuit RL serie

Se consider un circuit serie, alimentat de la o surs de tensiune alternativ sinusoidal, a crei tensiune este descris de expresia .

Figura 1 - Schema circuitului RL serie

Cunoscnd valorile lui i , se cere s se determine, n regim permanent, evoluia n timp a curentului din circuit, , tensiunea la bornele rezistorului, i la bornele inductanei, .

Aplicnd Teorema a II-a a lui Kirchhoff, suma tensiunilor la bornele rezistorului i inductanei, este egal cu tensiunea sursei:

Utiliznd amplitudini complexe, relaia de mai sus se scrie:

n care reprezint impedana complex a rezistenei nseriate cu inductana.

Explicitnd din expresia anterioar, se obine:

cui

Diagrama fazorial a impedanelor, amplitudinilor complexe ale tensiunii sursei i curentului, este reprezentat n figura urmtoare.

Figura 2 - Diagrama fazorial

Avnd calculat curentul, se pot calcula imediat tensiunile la bornele celor dou elemente:

Amplitudinea complex este colinear cu , ceea ce nseamn c tensiunea la bornele rezistorului i curentul ce l strbate, sunt n faz.

n ceea ce privete tensiunea la bornele bobinei, se obine:

Amplitudinea complex este n avans cu fa de , ceea ce nseamn c tensiunea la bornele bobinei este n avans cu fa de curentul ce o parcurge.

Diagrama fazorial complet a tensiunilor i curentului din circuit este reprezentat n figura urmtoare, n care se evideniaz Teorema a II-a a lui Kirchhoff: suma fazorilor i este egal cu fazorul .

Figura 3 - Diagrama fazorial a circuitului RL serie

Pentru a obine expresiile evoluiilor n timp ale mrimilor, trebuie s se determine fazorii rotitori corespunztori (multiplicarea amplitudinilor complexe cu ) i s se proiecteze pe axa imaginar.

cui

Expresiile de mai sus au fost obinute considernd c tensiune ce alimenteaz circuitul are faza iniial nul. Ca exerciiu, s se rezolve acelai circuit RL serie, considernd c faza iniial a curentului din circuit, este nul, respectiv, , curent reprezentat de amplitudinea complex .

Amplitudinea complex , care reprezint tensiunea la bornele rezistorului, este colinear cu , ceea ce nseamn c tensiunea la borne i curentul aferente unui rezistor, sunt n faz.

n ceea ce privete amplitudinea complex , ce reprezint tensiunea la bornele inductanei, ea este n avans cu fa de , ceea ce nseamn c tensiunea la bornele unei inductane este n avans cu fa de curentul ce o parcurge.

n final, diagramele vectorial i temporal ce se obin, sunt perfect echivalente cu cele corespunztoare considerrii tensiunii cu faz iniial nul; difer doar momentul la care ne referim.

4. Circuit RC serie

Se consider un circuit serie, alimentat de la o surs de tensiune alternativ sinusoidal, a crei tensiune este descris de expresia .

Figura 4 - Schema circuitului RC serie

Cunoscnd valorile lui i , se cere s se determine, n regim permanent, evoluia n timp a curentului din circuit, , tensiunea la bornele rezistorului, i la bornele condensatorului, .

Aplicnd Teorema a II-a a lui Kirchhoff, suma tensiunilor la bornele rezistorului i condensatorului, este egal cu tensiunea sursei:

Utiliznd amplitudini complexe, relaia de mai sus se scrie:

n care reprezint impedana complex a rezistenei nseriate cu condensatorul.

Explicitnd din expresia anterioar, se obine:

cui

Diagrama fazorial a impedanelor, amplitudinilor complexe ale tensiunii sursei i curentului, este reprezentat n figura urmtoare.

Figura 5 - Diagrama fazorial

Avnd calculat curentul, se pot calcula imediat tensiunile la bornele celor dou elemente:

Amplitudinea complex este colinear cu , ceea ce nseamn c tensiunea la bornele rezistorului i curentul ce l strbate, sunt n faz.

n ceea ce privete tensiunea la bornele condensatorului, se obine:

Amplitudinea complex este n urm cu fa de , ceea ce nseamn c tensiunea la bornele condensatorului este n urm cu fa de curentul ce l parcurge.

Diagrama fazorial complet a tensiunilor i curentului din circuit este reprezentat n figura urmtoare, n care se evideniaz Teorema a II-a a lui Kirchhoff: suma fazorilor i este egal cu fazorul .

Figura 6 - Diagrama fazorial a circuitului RC serie

Pentru a obine expresiile evoluiilor n timp ale mrimilor, trebuie s se determine fazorii rotitori corespunztori (multiplicarea amplitudinilor complexe cu ) i s se proiecteze pe axa imaginar.

cui

Expresiile de mai sus au fost obinute considernd c tensiune ce alimenteaz circuitul are faza iniial nul. Ca exerciiu, s se rezolve acelai circuit RC serie, considernd c faza iniial a curentului din circuit, este nul, respectiv, , curent reprezentat de amplitudinea complex .

Amplitudinea complex , care reprezint tensiunea la bornele rezistorului, este colinear cu , ceea ce nseamn c tensiunea la borne i curentul aferente unui rezistor, sunt n faz.

n ceea ce privete amplitudinea complex , ce reprezint tensiunea la bornele condensatorului, ea este n urm cu fa de , ceea ce nseamn c tensiunea la bornele unui condensator este n urm cu fa de curentul ce l parcurge.

n final, diagramele vectorial i temporal ce se obin, sunt perfect echivalente cu cele corespunztoare considerrii tensiunii cu faz iniial nul; difer doar momentul la care ne referim.

Exerciii

Se consider un circuit serie RLC, reprezentat n figura de mai jos. Sursa de tensiune alternativ are valoarea eficace de i frecvena . Se consider: , i .

Determinai valorile eficace ale tensiunilor i curentului din circuit. Reprezentai aceste mrimi ntr-o diagram fazorial, evideniind bilanul tensiunilor exprimat de Teorema a II-a a lui Kirchhoff.

Impedana rezistenei Impedana bobinei Impedana condensatorului Deoarece aceste 3 impedane sunt n serie:

, respectiv n funcie de valoarea prii imaginare a impedanei, pot exista 3 cazuri:

Cazul 1Partea imaginar a impedanei este nul, , iar impedana total este pur rezistiv, .

Diagrama fazorial a tensiunii de alimentare i a curentului care parcurge impedana total este de forma:

Fa de bornele circuitului, acesta are un caracter rezistiv.

Cazul 2Partea imaginar a impedanei este pozitiv, , rezultnd c impedana total este rezistiv i inductiv, .


Fa de bornele circuitului, acesta are un caracter rezistiv i inductiv.

Cazul 3Partea imaginar a impedanei este negativ, , rezultnd c impedana total este rezistiv i capacitiv, .


Fa de bornele circuitului, acesta are un caracter rezistiv i capacitiv.

Pentru cazul concret al problemei, nlocuind valorile: , , , i , se obine:

Pentru modulul impedanei totale

iar pentru faza impedanei totale

Impedana total complez va fi deci:

Amplitudinea complex (valoarea eficace) a curentului este:

Amplitudinea complex (valoarea eficace) a tensiunii la bornele rezistenei este:

Amplitudinea complex (valoarea eficace) a tensiunii la bornele inductanei este:

Amplitudinea complex (valoarea eficace) a tensiunii la bornele condensatorului este:

Diagrama fazorial a acestor mrimi este reprezentat n figura urmtoare, n care se evideniaz relaia care exist ntre tensiunile din circuit (Teorema a II-a a lui Kirchhoff)

Exerciiul 2

Pentru circuitul reprezentat n figura de mai jos, n care R = 2W, L = 20mH i f = 50 Hz, determinai impedana complex , tiind c valoarea impedanei totale la bornele circuitului este .

Rspuns Exerciiul 2

Impedana complex a rezistenei este i, innd cont de frecvena tensiunii de alimentare a circuitului, impedana complex a inductanei este .

Notnd cu impedana echivalent a circuitului paralel format din i , se obine:

Va rezulta:

INCLUDEPICTURE "http://em.ucv.ro/elee/RO/realisations/CircuitsElectriques/RegimeSinusoidal/CircuitosSinusoidal/Exercicios/RespostaEx2_clip_image010.gif" \* MERGEFORMATINET

INCLUDEPICTURE "http://em.ucv.ro/elee/RO/realisations/CircuitsElectriques/RegimeSinusoidal/CircuitosSinusoidal/Exercicios/RespostaEx2_clip_image012.gif" \* MERGEFORMATINET

INCLUDEPICTURE "http://em.ucv.ro/elee/RO/realisations/CircuitsElectriques/RegimeSinusoidal/CircuitosSinusoidal/Exercicios/RespostaEx2_clip_image014.gif" \* MERGEFORMATINET Exerciiul 3

Se consider circuitul de mai jos, n care valorile paramerilor sunt: , , , i .

tiind c frecvena tensiunii de alimentare este de 50 Hz, determinai impedana complex echivalent vzut de la bornele ab.

Rspuns Exerciiul 3

O prim etap const n calculul impedanei echivalente , a circuitului serie format din , i :

Cum aceste impedane sunt n serie, rezult , n care, nlocuind valorile concrete, se obine: Etapa urmtoare const n calculul impedanei , care reprezint impedana echivalent a circuitului paralel format din i :

Impedana va fi: n final, impedana , care este impedana echivalent a circuitului serie format din , i este:

INCLUDEPICTURE "http://em.ucv.ro/elee/RO/realisations/CircuitsElectriques/RegimeSinusoidal/CircuitosSinusoidal/Exercicios/RespostaEx3_clip_image052.gif" \* MERGEFORMATINET Puteri

n acest capitol se vor defini succesiv, diferitele tipuri de puteri ce apar n regim sinusoidal. Pornind de la evoluia n timp a tensiunii la borne i a curentului printr-un dipol electric, se va defini puterea instantanee, valoarea medie a acesteia corespunznd puterii active transferat circuitului. Pe baza amplitudinilor complexe ale tensiunii i curentului, se vor defini puterea complex i puterea reactiv, evideniindu-se relaia dintre ele, cu ajutorul diagramei triunghiului puterilor. Conceptele prezentate se vor concretiza prin calcularea puterilor fiecrui element ideal din componena circuitelor electrice.

1. Putere instantanee i putere activ

Se va considera un dipol, n figura de mai jos fiind reprezentate sensurile de referin ale curentului i tensiunii corespunztoare conveniei de receptor.

Figura 1 - Dipol electric; convenia de receptor

Se consider c tensiunea i curentul sunt mrimi sinusoidale, descrise de expresiile:

i

Se definete ca fiind puterea instantanee, , produsul valorilor instantanee ale tensiunii i curentului:

Unitatea de msur a puterii instantanee este watt [W].

Presupunnd c mrimile sunt alternative sinusoidale, ntre valorile maxime i efective exist relaiile:

i

Puterea instantanee se poate scrie sub forma:

,

n care se observ importana valorilor efective ale mrimilor alternative, pentru exprimarea puterii transmise n regim sinusoidal.

Pe baza relaiei de mai sus, se poate afirma c puterea instantanee este reprezentat de o component sinusoidal, de amplitudine , care oscileaz cu o pulsaie dubl fa de pulsaiile tensiunii i curentului, , n jurul unei valori medii egale cu .

Figura 1 - Evoluiile n timp ale tensiunii, curentului i puterii instantanee

Se definete puterea activ sau puterea real, , ca fiind valoarea medie a puterii instantanee, pe o perioad, sau pe un numr ntreg de perioade:

Unitatea de msur a puterii active este watt [W].

2. Putere complex

Utiliznd amplitudinile complexe ale tensiunii i curentului dintr-un dipol, se definete puterea complex, , ca fiind produsul dintre amplitudinea complex a valorii efective a tensiunii i complex-conjugatul amplitudinii complexe a valorii efective a curentului.

,

n care este complex-conjugatul lui .

innd cont c amplitudinile complexe sunt:

i,

puterea complex se scrie sub forma:

,

unde .

n expresia de mai sus, se poate identifica primul termen ca fiind puterea activ (sau real), , definit anterior.

Prin analogie, se definete puterea reactiv (sau imaginar), ca fiind :

.

Unitatea de msur a puterii reactive este volt-amper reactiv [VAR].

Astfel, puterea complex poate fi scris sub forma:

,

i reprezentat grafic prin aa-numitul triunghi al puterilor, reprezentat n figura de mai jos.

Figura 2 - Triunghiul puterilor

De observat c, att puterea activ , ct i puterea reactiv , iau doar valori reale; puterea complex este exprimat ns prin numere complexe.

Este important de observat faptul c, puterile activ, reactiv i complex nu sunt fazori rotitori, deoarece evoluiile lor n timp nu sunt sinusoidale; chiar dac tensiunea i curentul sunt sinusoidale (pot fi reprezentate prin fazori rotitori), puterile activ, reactiv i complex au valori constante (deci nu pot fi reprezentate prin fazori rotitori).

Modulul puterii complexe, , se numete putere aparent, se noteaz cu i se exprim n volt-amper [VA].

Factorul de putere, , se definete ca fiind raportul dintre puterile activ i aparent:

.

Factorul de putere este o mrime adimensional, iar n cazul regimului sinusoidal, el este numeric, identic egal cu .

n tabelul urmtor se sintetizeaz expresiile diferitelor mrimi definite n aceast seciune.

Puterea complex- -

Puterea aparentvolt-amper[VA]

Puterea activwatt [W]

Puterea reactivvolt-amper reactiv[VAR]

Factor de putere- -

3. Puteri n elementele ideale

REZISTOR

n cazul particular al unui rezistor, tensiunea la borne i curentul sunt n faz, rezultnd c:

innd cont de expresia puterii instantanee:

,

rezult c valoarea medie (puterea activ) este:

.

tiind c relaia tensiune-curent pentru un rezistor este

,

se obine, pentru valorile efective,

,

care, nlocuit n expresia puterii instantanee, conduce la

.

Grafic, evoluiile n timp ale tensiunii, curentului, puterii instantanee i a puterii active absorbite de un rezistor, sunt reprezentate n figura de mai jos, n care s-a considerat .

Figura 3 - , , , i absorbite de un rezistor

Cum, n cazul unui rezistor, , rezult:

Figura 4 - Diagrama fazorial a puterilor absorbite de un rezistor

Deoarece s-a considerat convenia de receptor pentru un dipol, se poate concluziona c, un rezistor, absoarbe doar putere activ (numeric egal cu puterea aparent). Un rezistor nu absoarbe putere reactiv.

INDUCTAN

n cazul particular al unei inductane, curentul este n urm cu fa de tensiunea la borne, rezultnd deci,

,

respectiv, expresia puteri instantanee este

,

a crei valoare medie (puterea activ) este nul.

Grafic, evoluiile n timp ale tensiunii, curentului, puterii instantanee i a puterii active absorbite de o inductan, sunt reprezentate n figura de mai jos, n care s-a considerat .

Figura 5 - , , , i absorbite de o inductan

Cum, n cazul unei inductane, , rezult:

Figura 6 - Diagrama fazorial a puterilor absorbite de o inductan

Deoarece s-a considerat convenia de receptor pentru un dipol, se poate concluziona c, o inductan, absoarbe doar putere reactiv (numeric egal cu puterea aparent). O inductan nu absoarbe putere activ.

CONDENSATOR

n cazul particular al unui condensator, curentul este n fa cu fa de tensiunea la borne, rezultnd deci,

,

respectiv, expresia puteri instantanee este

a crei valoare medie (puterea activ) este nul.

Grafic, evoluiile n timp ale tensiunii, curentului, puterii instantanee i a puterii active absorbite de un condensator, sunt reprezentate n figura de mai jos, n care s-a considerat .

Figura 7 - , , , i absorbite de un condensator

Cum, n cazul unui condensator, , rezult:

Figura 8 - Diagrama fazorial a puterilor absorbite de un condensator

Deoarece s-a considerat convenia de receptor pentru un dipol, se poate concluziona c, un condensator, absoarbe putere reactiv negativ (numeric egal cu puterea aparent), ceea ce nseamn c un condensator furnizeaz putere reactiv. Un condensator nu absoarbe i nu furnizeaz putere activ.

4. Puterea ntr-un circuit serie RL

Se consider un circuit serie , alimentat de la o surs de tensiune alternativ sinusoidal, descris de .

Figura 9 - Schema circuitului serie RL

Cunoscnd valorile lui i , s se determine (vezi Circuitul RL serie) expresiile impedanei totale a circuitului i a curentului pe care l absoarbe n regim permanent, considernd c faza iniial a amplitudinii complexe a tensiunii este nul, respectiv .

cui

Puterea complex a acestui circuit (care este puterea pe care sursa va trebui s o furnizeze pentru alimentarea circuitului), va fi dat de

innd cont de expresiile amplitudinilor complexe ale tensiunii i curentului, puterea complex rezult:

Puterile activ, reactiv i aparent sunt:

Cum , rezult c toate aceste puteri au valori pozitive.

Cunoscnd amplitudinile complexe ale tensiunilor la bornele elementelor, i (vezi Circuitul RL serie), se pot calcula puterile n fiecare din elementele circuitului (elementul R i elementul L).

tiind c , puterea complex asociat rezistenei este:

Cum (vezi Figura 2 din Circuitul RL serie), se obine:

Aceasta nseamn c puterea activ din circuit este asociat prezenei unei rezistene.

n mod similar, pentru bobin avem

.

Rezult c puterea complex asociat bobinei este:

Cum (vezi Figura 2 din Circuitul RL serie), se obine:

Aceasta nseamn c puterea reactiv din circuit este asociat prezenei bobinei.

Cum ntr-un circuit serie RL , rezult c, impedana complex este reprezentat de vector aflat n cadranul I, iar puterea activ ia valori pozitive; circuitul consum energie reactiv de la sursa de tensiune.

5. Puterea ntr-un circuit serie RC

Se consider un circuit serie , alimentat de la o surs de tensiune alternativ sinusoidal, descris de

Figura 10 - Schema circuitului serie RC

Cunoscnd valorile lui i , s se determine (vezi Circuitul RC serie) expresiile impedanei totale a circuitului i a curentului pe care l absoarbe n regim permanent, considernd c faza iniial a amplitudinii complexe a tensiunii este nul, respectiv, .

cui

Puterea complex a acestui circuit (care este puterea pe care sursa va trebui s o furnizeze pentru alimentarea circuitului), va fi dat de

innd cont de expresiile amplitudinilor complexe ale tensiunii i curentului, puterea complex rezult:

Puterile activ, reactiv i aparent sunt:

Cum , puterile i iau valori pozitive, dar puterea ia doar valori negative.

Cunoscnd amplitudinile complexe ale tensiunilor la bornele elementelor, i (vezi Circuitul RC serie), se pot calcula puterile n fiecare din elementele circuitului (elementul R i elementul C).

tiind c , puterea complex asociat rezistenei este:

Cum (vezi Figura 5 din Circuitul RC serie), se obine:

Aceasta nseamn c puterea activ din circuit este asociat prezenei unei rezistene.

n mod similar, pentru condensator avem:

Rezult c puterea complex asociat condensatorului este:

Cum (vezi Figura 5 din Circuitul RC serie), se obine:

Aceasta nseamn c puterea reactiv din circuit este asociat prezenei condensatorului.

Cum ntr-un circuit serie RC , rezult c, impedana complex este reprezentat de vector aflat n cadranul IV, iar puterea activ ia valori negative; circuitul furnizeaz energie reactiv sursei de tensiune.

Exerciii

Pentru circuitul reprezentat n figura de mai jos, n care R = 1 W, C = 100 mF i f = 50Hz, determinai valoarea inductanei L, astfel nct energia reactiv absorbit de circuit s fie nul.

Rspuns Exerciiul 1

Pentru ca energia reactiv s fie nul, circuitul va trebui s fie, vzut de la bornele sale, echivalent cu o rezisten.

Cum avem un circuit serie RLC, impedana total echivalent este:

Pentru ca circuitul s se comporte ca o rezisten, va trebui ca:

nlocuind valorile se obine:

ex 2Considernd un circuit alimentat de la reeaua monofazat (230 V, 50 Hz), a crui impedan complex este dat de , determinai puterile activ, reactiv, complex i aparent absorbite.

Rspuns Exerciiul 2

tiind impedana complex a circuitului , amplitudinea complex a curentului (valoarea eficace) absorbit din surs va fi:

Odat determinat curentul, puterile absorbite vor fi:

Puterea complex Puterea activ Puterea reactiv Puterea aparent Deoarece impedana complex a circuitului este reprezentat de un numr complex situat n cadranul I al planului complex, circuitul are un caracter rezistiv i inductiv, ceea ce nseamn c, n conformitate cu convenia de semne, el consum energie activ i reactiv.

ex 3

Cunoscnd tensiunea la bornele unui circuit, dat de i curentul pe care acesta l absoarbe, , determinai puterile absorbite de circuit.

Rspuns Exerciiul 3

Ca amplitudini complexe, tensiunea i curentul se pot reprezenta prin:

i

n care se evideniaz valorile eficace ale mrimilor.

tiind c puterea complex este dat de:

n care reprezint complex-conjugatul curentului ,

obinndu-se:

Puterea activ va fi ,

iar puterea reactiv va fi

Deoarece puterea reactiv este negativ, n conformitate cu convenia de semne, rezult c circuitul furnizeaz energie reactiv. ntr-adevr, innd cont de expresiile tensiunii i curentului, se observ c tensiunea este n urma curentului, ceea ce este caracteristic circuitelor cu caracter capacitiv.

Documents

regimul sinusoidal