Regressão Linear

MúltiplaVariáveis BináriasRelações Não-Lineares

2

Regressão Linear Múltipla

yc = a + bx1 + cx2 + … mxn + ui

ou

yc = b0 + b1x1 + b2x2 + … bnxn + ui

3

Regressão Linear Múltipla EXEMPLO

REGRESSÃO DE LCRED (Y) EM FUNÇÃO DE LDEP (X1), LAPL (X2), LTVM (X3)

obs. banco lcrd ldep lapl ltvm1 1 23,81 24,38 23,04 22,892 2 23,03 23,98 22,57 23,393 3 22,86 23,24 22,41 21,754 4 21,99 22,10 22,34 22,485 5 23,20 23,03 22,30 22,496 7 20,84 21,12 18,56 21,257 15 21,65 22,44 21,78 23,248 22 21,95 21,71 22,38 21,829 23 22,11 22,44 21,40 21,9910 24 22,01 21,52 20,84 21,2411 38 22,23 22,41 21,23 21,5112 51 23,85 25,14 23,63 24,7913 65 21,44 21,83 20,35 21,5014 87 21,62 23,06 21,34 22,76

4

Regressão Linear Múltipla

Estatística de regressãoR múltiplo 0,9468R-Quadrado 0,8964R-quadrado ajustado 0,8653Erro padrão 0,3292Observações 14

Análise do ajuste

5

Regressão Linear Múltipla

CoeficientesErro

padrão Stat t valor-P95%

inferiores95%

superioresInferior 90,0%

Superior 90,0%

Interseção 8,414 2,060 4,085 0,0022 3,825 13,004 4,681 12,148ldep 0,698 0,164 4,255 0,0017 0,333 1,064 0,401 0,996lapl 0,327 0,118 2,783 0,0193 0,065 0,589 0,114 0,540ltvm -0,406 0,167 -2,425 0,0357 -0,779 -0,033 -0,709 -0,103

Avaliação da significância estatística de cada coeficiente

6

Regressão Linear Múltipla

Avaliação da significância estatística global do modelo

H0: todos os coeficientes são iguais a zero simultaneamente

H1: pelo menos um coeficiente é diferente de zeroOU

H0: r2 = 0H1: r2 > 0

7

Regressão Linear Múltipla

Avaliação da significância estatística global do modelo A significância econômica acontecerá

com a rejeição da Hipótese Nula

ANOVAgl SQ MQ F F de significação

Regressão 3 9,371 3,124 28,8318 3,09265E-05Resíduo 10 1,083 0,108Total 13 10,454

8

Regressão Linear Múltipla

Relação da estatística F com R2

2

2

2

Variação Explicada Variação da RegressãoVariação Total Variação até à Média

Variação Explicada Variação da RegressãoVariação Não Explicada Variação dos Resíduos

/ 11 /

R

F

kRFn kR

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Para análise da utilidade das Regressões Múltiplas substitui-se r2 por r2 ajustado

Ao adicionar novas variáveis independentes, r2 nunca diminuirá, aumentando em alguns casos

O coeficiente de determinação ajustado r2 compensa esse aumento natural de explicação de r2 ao aumentar o número de variáveis independentes

Regressão Linear Múltipla

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Coeficiente r2ajustado

2 2 11 1

najustado

n kr r

onde:

(n - k) = graus de liberdade n = número de observações k = número de coeficientes estimados (variáveis utilizadas)

Objetivo: medir a qualidade de ajuste da reta de regressão, penalizando

o acréscimo de variáveis

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Variáveis Dummy

Variáveis Independentes Binárias Qualitativas, usadas para indicar a presença ou ausência de

determinado fenômeno Assumem apenas o valor 0 ou 1

Exemplo Existência ou não de piscinas numa regressão do preço de

casasXi = 1, se a casa tem piscina

Xi = 0, se a casa não tem

12

Variáveis Dummy

Podem ser usadas também para avaliar qualitativamente algumas situações com mais de 2 alternativas possíveis

Exemplo A qualidade da condição do piso da casa boa, média

ou ruim Usam-se p – 1 variáveis, sendo p o número de

possibilidades

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Variáveis Dummy

1, se o piso está em boas condições0, se não

Xi =

1, se o piso está em condições médias0, se não

Xi + 1 =

Deixa-se de fora a possibilidade de as condições serem ruins. Esta ocorre quando Xi = 0 e Xi + 1 = 0Ou seja, o piso está em condições ruins quando não está em boas condições (xi = 0) nem em condições médias (xi + 1 = 0)

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Variáveis Dummy

O método dos mínimos quadrados não tem respostas se informam-se p variáveis (no exemplo, 3) ao invés de (p – 1) variáveis

Também é inadequado informar-se apenas uma variável, que poderia assumir os valores 1(boa), 2 (média) e 3(ruim).

Neste caso, se entenderia que a condição 3 (ruim) é 3 vezes tão ruim quanto a condição boa (1)

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Variáveis Dummy

Podem ser utilizadas de três formas aditiva, ou seja, alterando o intercepto multiplicativa, ou seja, alterando o coeficiente angular mista, ou seja, alterando o intercepto e o coeficiente

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Variáveis Dummy

aditiva, como no exemplo:

Y

X

Se D = 0:Yc = a + b1.X

Yc = a + b1.X + b2.D

Se D = 1:Yc = (a+b2) + b1.X

17

Variáveis Dummy

multiplicativa, como no exemplo

Y

X

Se D = 0: Yc = a + b1.X

Yc = a + b1.X + b3.D.X

Se D = 1:Yc = a + (b1+b3).X

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Variáveis Dummy

mista, como no exemplo

Y

X

Se D = 0: Yc = a + b1.X

Yc = a + b1.X + b2.D + b3.D.X

Se D = 1:Yc = (a+b2) + (b1+b3).X

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Regressão Não Linear Muitos processos econômicos são mais bem explicados por

funções não lineares Ocorre quando a relação entre Y e a variável X não é linear Podemos verificar se a relação é ou não linear analisando o gráfico

de dispersão x,y Em um estudo de modelos lineares, a relação não linear pode

também ser identificada pela análise dos resíduos.

Y

X

Função quadrática:Yc = a + bX + cX2

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Regressão Não Linear

É possível expressar relações não lineares usando modelos lineares

Regressão Polinomiala) Regressão Polinomial de 2ª Ordem

Função: Yc = a + bX + cX2 Neste caso, a função é não linear porque inclui a variável não

linear X2 No entanto, todos os coeficientes (a, b e c) são lineares. Não aparecem como exponencial nem multiplicadores uns dos

outros. Neste caso, podemos expressar o modelo por uma expressão

linear, definindo uma nova variável como o quadrado de X Basta incluir uma nova coluna nos dados com o quadrado de X

e incluir esta nova variável no modelo.

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Regressão Não Linear

b) Regressão Polinomial de 3ª Ordema) Função: Yc = a + bX + cX2 + dX3

b) Novamente, todos os coeficientes são lineares. c) Para transformá-la numa função linear, basta incluir 2 novas colunas

nos dados: 1) uma com o quadrado de X (x2) 2) outra com o cubo de X (x3) e incluir essas novas variáveis no

modelo.c) Regressões não lineares que suportem transformações em

expressão linear mais complexa não são escopo da disciplina

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Regressão Não Linear

d) Função Exponencial Yc = a.ebx na função linear → ln Yc = ln a + bx

1. Transformar as observações yi em ln yi

2. Calcular os coeficientes da reta de regressão denominados como: intercepto h e declividade k, e o coeficiente de determinação r2

3. Calcular os coeficientes a e b, fazendo:• a = eh (ln a = h) • b = k

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Regressão Não Linear

ln yln xln ý=ln a + b. ln xÝ = a.xbPotência

yln xÝ = a + b. ln xÝ = a + b. ln xLogarítmica

ln yxln ý = ln a + bxÝ = a.ebxExponencial

yxÝ = a + bxÝ = a + bxLinear

Variável yVariável xTransformação

EquaçãoTipoTransformação de Variáveis com Logaritmos

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Regressão Não Linear

Importante!NãoNão são comparáveis, diretamente, os coeficientes de são comparáveis, diretamente, os coeficientes de

determinação determinação rr22 de regressões em que a mesma de regressões em que a mesma variável dependente esteja expressa em diferentes variável dependente esteja expressa em diferentes apresentações, ou seja, y e a transformada lnyapresentações, ou seja, y e a transformada lny

ln yln xln Ý=ln a + b. ln xÝ = a.xbPotência

yln xÝ = a + b. ln xÝ = a + b. ln xLogarítmicaln yxln Ý = ln a + bxÝ = a.ebxExponencial

yxÝ = a + bxÝ = a + bxLinear

Variável yVariável xTransformaçãoEquaçãoTipo

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Usando a Função Tendência do Excel para Regressões Não Lineares

1) Construa gráfico de dispersão x-y para os dados originais do problema

2) Clique em qualquer dos pontos do gráfico de dispersão apresentado

Regressão Não Linear

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Regressão Não Linear

Com o botão direito do mouse, clique em Adicionar Linha de Tendência

polinomial ordem 2

Selecione Opções exibir função no gráfico exibir r2 no gráfico

OK