Regressão Múltipla

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Text of Regressão Múltipla

Regresso MltiplaBaseado (parcialmente) em: Statistical Methods for the Behavioral Sciences, 3rd edition David C. Howell 2004-2005 Traduo e adaptao, Toms da Silva

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Pontos Principais O problema da Regresso Mltipla Um exemplo Correlao Mltipla Equao de Regresso Predies

Cont.

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Pontos Principais--cont. Resduos Teste de Hipteses Questes para Reviso Referncias bibliogrficas essenciais

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O Problema Utilizar vrios preditores para predizer a varivel dependente Determinar uma medida do grau de ajustamento global Ponderar cada preditor e determinar a sua importncia

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O que a regresso mltipla?A Regresso/Correlao Mltipla (RCM) um procedimento analtico de dados baseado no critrio dos mnimos quadrados, que determina as relaes lineares entre um conjunto de preditores e um nico critrio e determina qual a melhor combinao do conjunto de preditores para predizer esse critrio singular (Licht). A RCM a simples extenso da regresso bivariada a duas ou mais variveis preditoras.

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O modelo de regresso mltiplaO modelo de regresso que ser testado representado pela seguinte equao de regresso mltipla:Y' = a +b1X1 + b2 X2 +L+bk Xk(frmula no estandardizada; Licht)

zY' =1z1 +2z2 +L kzk +

(frmula estandardizada; Licht)

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Quantas variveis usar?Os programas de regresso mltipla permitem a incluso de um grande nmero de variveis X. (todavia, esta prtica deve ser evitada); ver recomendaes nos slides 8 e 9

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Quantas variveis usar?Quando as variveis entram na regresso como um nico bloco a rcio dos casos para as variveis deve ser pelo menos de 20:1 (Tabachnick e Fidell) Nos modelos de regresso Stepwise e Hierrquica so precisas amostras de maior dimenso, pelo menos de 40:1 (Tabachnick e Fidell)

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Quantas variveis usar?Newton e Rudestam (1999) recomendam: Quando calcula o R2 o n dever ser pelo menos 50+8k, onde k o nmero de variveis independentes. Quando calcula as estimaes de regresso para cada das variveis dever ter um n de 104+k.

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Mtodos de Entrada de VariveisExplicando a sobreposio da varincia: As estimativas de regresso podem ser calculadas num nico passo ou atravs de um processo multi sequencial (multi-passos) Neste caso o passo refere-se ao ponto na anlise em que uma ou mais variveis X entram nos clculos da regresso.

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Mtodos de Entrada de VariveisAssim: Podemos fazer entrar todas as variveis num nico passo (bloco ou etapa) e examinar o R2. Alternativamente, podemos fazer entrar uma nica varivel e verificar quanta varincia esta varivel explica, depois adicionar outra varivel e ver quanta varincia extra esta varivel explica, etc.

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Mtodos de Entrada de VariveisExistem trs mtodos principais de regresso linear, que diferem quanto ao mtodo usado para fazer entrar as variveis na anlise: Standard, simultneo, directo, all in; Sequencial:Q Hierrquico. Q Stepwise Forward, Backward, Stepwise;

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Mtodos de Entrada de Variveis Standard ou simultneo. TODAS as variveis entram ao mesmo tempo Stepwise. Uma varivel adicionada de cada vez de acordo com um critrio preestabelecido. Depois do critrio ter sido definido o investigador no tem controlo sobre quais as variveis que entram ou sobre a ordem em que estas entram

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Mtodos de Entrada de Variveis Hierrquico. A ordem em que as variveis entram determinada pelo investigador. As variveis podem entrar uma a uma, em blocos ou por uma combinao de ambos os procedimentos.

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Um Exemplo MRLM Standard Estudo realizado por Kliewer et al. (1998) sobre o efeito da violncia no comportamento de internalizaoQ Comportamento de internalizao (vide Achenbach)

PreditoresQ Grau em que o sujeito foi testemunha de violncia Q Medida do grau de stress na sua vida actual Q Medida do suporte social

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Violncia e Internalizao Os sujeitos so crianas com 8-12 anosQ Viviam em reas muito violentas Q Hiptese: violncia e stress conduzem internalizao do comportamento. Q Os dados esto disponveis em: www.duxbury.com/dhowell/StatPages/ More_Stuff/Kliewer.dat

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Matriz de IntercorrelaesCorrelationsStatistics

Amount violenced witnessed Amount violenced witnessed Current stress Social support Internalizing symptoms on CBCL .050 .080 .200*

Current stress

Social support

Internalizing symptoms on CBCL

-.080 .270** -.170

*. Correlation is significant at the 0.05 level (2-tailed). **. Correlation is significant at the 0.01 level (2-tailed).

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Consideraes Preliminares Constatamos que tanto Stress como Witnessing Violence esto significativamente correlacionadas com Internalizing. Notamos, ainda, que os preditores so francamente independentes uns dos outros.

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Correlao Mltipla (Coeficiente de) Directamente anlogo ao r (simples) Sempre em letra maiscula (e.g. R) Sempre positivoQ a correlao de Y com Y observado onde Y calculado a partir da equao deregresso

Q Frequentemente reporta-se o R 2, em vez de

R Nota: Y Y

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Coeficientes de Regresso Teremos (a) dois ou mais declives e (b) um ponto de intercepo. Cada varivel ajustada por todas as outras includas no modelo. Estes coeficientes so apenas uma exteno do declive e do ponto de intercepo que encontrmos na regresso simples. Output do SPSS no prximo slide

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R2Model Summary Adjusted R Square ,108 Std. Error of the Estimate 2,2174

Model 1

R R Square ,368a ,136

a. Predictors: (Constant), Social support, Current stress, Amount violenced witnessed

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Declives e Ponto de IntercepoCoefficientsa Unstandardized Coefficients B Std. Error ,517 1,288 ,038 ,272 -,076 ,018 ,106 ,043 Standardized Coefficients Beta ,202 ,245 -,170

Model 1

t ,401 2,111 2,560 -1,766

(Constant) Amount violenced witnessed Current stress Social support

Sig. ,689 ,037 ,012 ,081

a. Dependent Variable: Internalizing symptoms on CBCL

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Equao de Regresso Y = b1 X 1 + b2 X 2 + b3 X 3 + b0 = 0.038Wit + 0.272Stress 0.076SocSupp + 0.517 Um coeficiente nico para cada varivelQ Os bis (b1,,bi) so os declives

Um ponto de intercepo (aqui designado b0 em vez de a)

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Interpretao Note que o declive para Witness e Stress positivo, mas que o declive para o Social Support negativo.Q Este dado faz sentido?

Se tivesse sujeitos com Stress e SocSupp idnticos, uma unidade de aumento de Witness produziria 0.038 unidades de aumento na varivel Internal.Cont.

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Interpretao--cont. O mesmo verdadeiro para os outros preditores. Os testes t, para dois dos declives, so significativos Q Todavia, SocSupp no significativo. Q O que quer isto dizer? O R 2 pode interpretar-se do mesmo modo que r (correlao), ou seja:2

Q 13.6% da variabilidade em Internal explicada pela variabilidade em Witness, Stress, e SocSupp.

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Interpretao--cont. O ponto de Intercepo habitualmente no tem significado.Q a predio que efectuamos quando todos os preditores so 0.0 Q J agora, com dois preditores (regresso trivariada), no existe uma recta de regresso, mas um plano de regresso.

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Predies Assuma que Witness = 20, Stress = 5, e SocSupp = 35: Ento qual o valor de Y? Y = .038 *Wit + .272 * Stress .076 * SocSupp + 0.517 = .038(20) + .272(5) .076(35) + 0.517 = .023

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Teste de Hipteses O teste sobre o R 2 dado na tabela da Anlise da Varincia:ANOVAb Sum of Squares 73,320 467,090 540,410

Model 1

df 3 95 98

Regression Residual Total

Mean Square 24,440 4,917

F 4,971

Sig. ,003a

a. Predictors: (Constant), Social support, Current stress, Amount violenced witnessed b. Dependent Variable: Internalizing symptoms on CBCL

Cont.

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Teste de Hipteses O testes do R 2 (usando as estatsticas da ANOVA) Sendo2 RY .12 =

SQR SQT SQE SQE = = 1 SQT SQT SQT2 RY.12 = 0

ento testa-se

com

F =

(n 2 1)R 2 MQR SQR 2 = = MQE SQE (n 2 1 ) 1 R 2 (2 )

(

)

Cont.

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Teste--cont. Os testes sobre os coeficientes de regresso so oferecidos, no SPSS num segundo quadro (cf. rcios t de student) Ver o prximo slide Aprecie os testes sobre cada coeficiente.

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Testes sobre os Declives e Ponto de IntercepoCoefficientsa Unstandardized Coefficients B Std. Error ,517 1,288 ,038 ,272 -,076 ,018 ,106 ,043 Standardized Coefficients Beta ,202 ,245 -,170

Model 1

t ,401 2,111 2,560 -1,766

(Constant) Amount violenced witnessed Current stress Social support

Sig. ,689 ,037 ,012 ,081

a. Dependent Variable: Internalizing symptoms on CBCL

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Testes sobre os Declives e Ponto de Intercepo Os coeficientes de regresso, BiH0