22
Regressão não linear - Exemplo Tabela de valores para um objecto suspenso num túnel de vento, força em função da velocidade. 2013/04/30 MN 1 V (m/s) 10 20 30 40 50 60 70 80 F (N) 25 70 380 550 610 1220 830 1450 10 20 30 40 50 60 70 80 0 500 1000 1500 v (m/s) F (N)

Regressão não linear - Exemplo 500 · Regressão não linear - Exemplo Tabela de valores para um objecto suspenso num túnel de vento, força em função da velocidade. 2013/04/30

Embed Size (px)

Citation preview

Regressão não linear - Exemplo

Tabela de valores para um objecto

suspenso num túnel de vento, força em

função da velocidade.

2013/04/30 MN 1

V (m/s) 10 20 30 40 50 60 70 80

F (N) 25 70 380 550 610 1220 830 1450

10 20 30 40 50 60 70 800

500

1000

1500

v (m/s)

F (

N)

Regressão não linear - Exemplo

Vamos fazer a minimização dos quadrados

com a função

function f = fSSR( a,xm,ym )

yp = a(1)*xm.^a(2);

f=sum((ym-yp).^2);

end

2013/04/30 MN 2

bavF

Regressão não linear - Exemplo

x

x =

10 20 30 40 50 60 70 80

y

y =

Columns 1 through 6

25 70 380 550 610 1220

Columns 7 through 8

830 1450

>> fminsearch(@fSSR,[1,1],[],x,y)

ans =

2.5384 1.4359

2013/04/30 MN 3

Regressão não linear - Exemplo

por linearização dá

2013/04/30 MN 4

4359,15384,2 vF

9842,12741,0 vF

Regressão não linear - Exemplo

O valor de r2 é muito semelhante

2013/04/30 MN 5

Sinusóides

Vamos considerar sempre o coseno (é

indiferente, mas temos de assentar numa

das funções.

Uma sinusóide pode, de uma forma geral,

ser representada por

Em que A0 é o valor médio acima do eixo

das abcissas, C1 é a amplitude,

2013/04/30 MN 6

)cos()( 10 tCAtf

Sinusóides

0 é a frequência

angular e é a fase

inicial. Na figura b)

temos uma

decomposição da

mesma função.

2013/04/30 MN 7

Sinusóides

A decomposição em duas sinusóides sen e

cos tem a vantagem de evitar a soma

dentro da função

2013/04/30 MN 8

)(senB e )cos(

)sen()cos()cos()(

)sen()(sen)cos()cos()cos(

1111

01010010

00101

CCA

com

tBtAAtCAtf

ttCtC

Sinusóides

Dividindo vem

2013/04/30 MN 9

2

1

2

11

2

1

2

1

1

1

AC

vemA fazendo e

C

C

A

Barctg

Sinusóides

2013/04/30 MN 10

0 2 4 6 8 10 12 14-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

0 2 4 6 8 10 12 14-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

Interpolação polinomial

Interpolação é a operação pela qual

fazemos passar uma função por um

conjunto de pontos dados, com o objectivo

de encontrar valores aproximados para

pontos intermédios. No caso dos pontos a

obter estarem fora do intervalo definido

pelos pontos dados, falamos de

extrapolação.

2013/04/30 MN 11

Interpolação polinomial

Se a função utilizada é um polinómio,

estamos a falar de Interpolação poli-

nomial. Exemplos de interpolação, grau 1,

2 e 3, respectivamente.

2013/04/30 MN 12

Interpolação polinomial

Para n pontos só existe um polinómio que

passa por todos os pontos e que tem grau

n-1.

2013/04/30 MN 13

nn

nn

n

n

pxpxpxpxf

xaxaxaxaaxf

1

2

2

1

1

13

4

2

321

...)(

aveMatlab/Oct em como ou,

...)(

Interpolação polinomial

O processo mais simples de determinação

dos coeficientes é resolver um sistema de

n equações a n incógnitas. No entanto,

este procedimento pode conduzir a erros

de cálculo bastante elevados.

2013/04/30 MN 14

Interpolação polinomial

Exemplo 1 clear all

format long

A=[90000 300 1;160000 400 1;250000 500 1];

b=[0.616 0.525 0.457]';

p=A\b

corresponde a

2013/04/30 MN 15

bpxpxp 32

2

1

p =

0.000001150000000

-0.001715000000000

1.027000000000000

Interpolação polinomial

Exemplo 2

T=[300 400 500];

>> dens=[0.616 0.525 0.457];

>> p=polyfit(T,dens,2)

p =

0.000001150000000 -0.001715000000000 1.027000000000001

>> d=polyval(p,350)

d =

0.567625000000000

2013/04/30 MN 16

Interpolação polinomial

Para evitar os erros de resolução de

sistemas podemos empregar vários outros

métodos.

Um dos mais utilizados é o método

polinomial de Newton.

2013/04/30 MN 17

))((3)()()(2

)()()(1

NewtonSimplesOrdem

211212

2

3212

1211211

xxxxbxxbbxfxaxaaxfnd

xxbbxfxaaxfst

Polinómios de Newton

• O polinómio de primeira

ordem pode ser obtido

através do uso de inter

polação linear e triângulos

semelhantes..

• A fórmula resultante deve-

se ao conhecimento dos

pontos 1 e 2, a partir dos

quais se calcula f(x).

2013/04/30 MN 18

1

12

1211 xx

xx

xfxfxfxf

Polinómios de Newton

• Na segunda ordem

introduzimos alguma

curvatura.

• O resultado corresponde a

três pontos 1, 2 e 3.

2013/04/30 MN 19

f2 x f x1 f x2 f x1 x2 x1

x x1

f x3 f x2 x3 x2

f x2 f x1 x2 x1

x3 x1x x1 x x2

Polinómios de Newton

Esta expressão provem de se fazer passar

a parábola pelos três pontos:

2013/04/30 MN 20

13

12

12

23

23

3

12

122

1111

2131212

)()()()(

Para

)()( Para

)( fazemos Para

)(

xx

xx

xfxf

xx

xfxf

xx

xx

xfxfxx

xfbxxb

xxxxbxxbbxf

Polinómios de Newton

Em geral todos os termos da ordem n-1 dos polinómios de

Newton contêm todos os da ordem n-2 mais um termo

extra.

A expressão geral é

em que

2013/04/30 MN 21

fn1 x b1b2 x x1 bn x x1 x x2 x xn1

b1 f x1

b2 f x2, x1

b3 f x3, x2, x1

bn f xn, xn1, , x2 , x1

Sendo f[….] as diferenças divididas.

Diferenças divididas

Cálculo

2013/04/30 MN 22

f xi , x j f xi f x j xi x j

f xi , x j , xk f xi , x j f x j , xk

xi xk

f xn, xn1, , x2 , x1 f xn, xn1, , x2 f xn1, xn2, , x1

xn x1