Universidade Metodista de Piracicaba

TEOREMA DA QUANTIDADE DE MOVIMENTO: FORÇA SOBRE UMA COMPORTA DE FUNDO

Anderson Danilo Friol RA: 09.7080-6André Fuertes Cagnim RA: 09.7070-7Felipe P. Cerezer RA: 09.1119-8Mariana dos Reis Ferreira RA: 09.7290-1Thiago Lopes RA: 09.7182-0

Santa Bárbara D’OesteNovembro/2011

1

Sumário

Objetivo............................................................................ Pág. 03

Fundamentos teóricos..................................................... Pág. 03

Montagem Experimental.................................................. Pág. 09

Metodologia..................................................................... Pág. 09

Resultados e Discussões................................................ Pág. 10

Conclusão....................................................................... Pág. 15

Bibliografia...................................................................... Pág. 16

1. Objetivo

Obter por meio de integração das pressões exercidas em uma comporta, a

força devido ao escoamento de água e comparar os resultados práticos com o

resultado teórico.

2. Fundamentos Teóricos

2.1 Conservação de massa

“O princípio de conservação de massa para um volume de controle pode

ser expresso como: a transferência total de massa para dentro ou para fora de um

volume de controle durante um intervalo de tempo Δt é igual à variação total

(aumento ou diminuição) da massa total dentro do volume de controle durante Δt,

ou seja:” (ÇENGEL,CIMBALA, 2007)

Ou expresso em forma de taxa pela equação 01:

(01)

“Onde me e ms são as vazões totais de massa para dentro e para fora do

volume de controle e Δmvc/dt é a taxa de variação de massa no tempo dentro das

fronteiras do volume de controle, dada em kg/s . A equação 01 recebe o nome de

balanço de massa e se aplica a qualquer volume de controle passando por um

processo qualquer.” (ÇENGEL,CIMBALA, 2007)

3

Massa total entrando no VC durante Δt

Massa total saindo no VC durante Δt

Variação total da massa do VC durante Δt

2.2 Fluxo de massa

“A quantidade de massa que escoa através de uma seção transversal por

unidade de tempo é chamada de vazão em massa e é indicada por m (kg/s). O

fluxo de massa ou vazão em massa pode ser expresso em valores médios sobre

uma seção transversal de um tubo, por exemplo, pelo produto da densidade ρ

(kg/m3) do fluido, que é essencialmente uniforme ao longo da seção transversal do

tubo Ac (m2) e a velocidade média Vm (m/s) do fluido nesta seção, como

demonstrado na equação 02.” (ÇENGEL,CIMBALA, 2007)

(02)

2.3 Vazão volumétrica

“O volume do fluido que escoa através de uma seção transversal por

unidade de tempo é chamado de vazão em volume ou vazão volumétrica V (m3/s),

é obtida pela através da equação 03.” (ÇENGEL,CIMBALA, 2007)

(03)

2.2.2 Medidores de escoamentos internos com redução de seção

“A maioria dos medidores de escoamentos internos (exceto o elemento de

escoamento laminar) é baseada na aceleração da corrente fluida através de

alguma forma de bocal como esquematizado na figura 01. O deslocamento do

fluido nas bordas vivas da garganta do bocal provoca a formação de uma zona de

recirculação, como indicam as linhas tracejadas, a jusante do bocal. A corrente

principal continua a acelerar-se a partir da garganta do bocal para formar a veia

contraída na seção 2 e depois volta a desacelerar-se e encher o conduto. Na veia

4

contraída, a seção de escoamento passa por seu valor mínimo, as linhas de

corrente são essencialmente retas e a pressão é uniforme em todos os pontos da

corrente.” (FOX,McDONALD,1988)

Figura

01 –

Escoamento interno através de um bocal, mostrando o volume de controle usado na análise.

“O escoamento teórico pode ser relacionado com a diferença de pressões

entre as seções 1 e 2, pela aplicação das equações da continuidade e de

Bernoulli. Então fatores de correção empíricos podem ser aplicados para obter-se

o valor real da vazão.” (FOX,McDONALD,1988)

Combinando as equações e isolando a velocidade V2 temos a equação 04.

(04)

Sendo que a vazão teórica é dada pela equação 05.

(05)

“A equação 05 fornece a relação entre a vazão em massa e a queda de

pressão para um medidor com constrição.” (FOX,McDONALD,1988)

De acordo com Çengel e Cimbala (2007), a velocidade da equação 04 é

obtida considerando que não haja nenhuma perda e, portanto, essa velocidade é a

5

máxima que pode ocorrer no local da constrição. Na verdade, é inevitável que haja

alguma perda de pressão devida aos efeitos do atrito e, portanto a velocidade será

menor. Além disso, a corrente de fluido continua se contraindo após a obstrução, e

a área da veia contraída é menor do que a área de escoamento da obstrução. As

duas perdas podem ser calculadas pela incorporação de um fator de correção

chamado de coeficiente de descarga C.

(06)

Segundo Fox e McDonald (1998), usando o coeficiente de descarga na

equação 05, a vazão real é expressa pela equação 07.

(07)

ou fazendo, , vem , então:

(08)

De acordo com Fox e McDonald (1998), na equação 08, o fator é

denominado fator de velocidade de aproximação. O coeficiente de vazão e o

coeficiente da velocidade de aproximação são, frequentemente, combinados em

um coeficiente único, dado pela equação 09.

(09)

6

Em termos do coeficiente de vazão, a vazão em massa, real, é expressa

pela equação 10.

(10)

2.6 Conservação da Quantidade de Movimento

“A quantidade de movimento de um sistema permanece constante se

nenhuma força externa está agindo no sistema. Uma lei mais específica, baseada

neste princípio, é a segunda lei de Newton: a soma de todas as forças externas

agindo em um sistema é igual a taxa temporal de variação da quantidade de

movimento linear do sistema.” (POTTER, WIGGERT, 2004)

2.7 Equação da Continuidade

“O princípio da conservação da massa exige que a soma da variação da

quantidade de massa no interior do volume de controle com a quantidade de

massa que dele sai, através da superfície de controle, seja nula. Como

demonstrado na equação 11, o primeiro termo representa a variação da massa no

interior do volume de controle e o segundo, o fluxo de massa através da superfície

de controle.” (FOX, McDONALD, 1988)

2.8 Equação da Quantidade de Movimento

“A soma de todas as forças (de superfície e de massa), atuando em um

volume de controle sem aceleração, é igual à variação da quantidade de

movimento no interior deste volume, somada com o efluxo da quantidade de

7

(11)

movimento através da superfície de controle, sendo dada por.” (FOX, McDONALD,

1988)

2.9 Escoamento sob uma comporta

“A comporta é um tipo de estrutura de controle frequentemente usada para

regular a vazão, conforme mostrado na figura 02. Sendo a somatória das forças

atuantes em sua parede na direção x, ou Rxt, dada pela equação 13.” (FOX,

McDONALD, 1988)

Figura 02 – Escoamento sob uma comporta

2.10 Ressalto Hidráulico

8

(12)

(13)

“Quando a velocidade de um escoamento em um canal retangular aberto de

largura w relativamente grande, é possível que o escoamento “salte” de uma

profundidade inicial y1, para uma profundidade y2, em uma distância relativamente

curta, este fenômeno é chamado de ressalto hidráulico.” (POTTER, WIGGERT,

2004).

3. Montagem Experimental

- Dispositivo montado com canaleta, comportas de fundo e de saída;

- Reservatório de água;

- Bomba hidráulica;

- Tubulação com registros;

- Placas de orifício;

- Manômetros de coluna de fluido tipo “U”;

- Manômetro diferencial;

- Mangueiras;

4. Metodologia

- Montar um dispositivo com canaleta e com um comporta de fundo e com

uma tubulação conectada ao dispositivo;

- Sendo que um tubulação de 3” deve ser conectada a bomba do

reservatório e conectado a esta tubulação deve conter uma divisão que envia

parte do fluxo de água de volta para o reservatório numa tubulação de 1½” e parte

deve seguir para a canaleta, conforme Figura 03;

9

- Nestas tubulações conectar placas de orifício para medida de pressão no

manômetro diferencial e na comporta conectar manômetros de coluna de fluido

tipo “U” em 10 posições determinadas;

Figura 03 – Esquema de montagem do experimento (entrada)

- Com a bomba já ligada, tomar as medidas de altura da água antes da

comporta e após, sendo que a comporta apresenta uma abertura inferior de

20mm;

- Coletar as medidas dos diferenciais de altura do fluido nos manômetros e

a pressão das placas de orifício das tubulações para posterior análise;

- Desligar a bomba e anotar as medidas da altura da coluna de fluido nos

manômetros;

- Fechar o registro da tubulação de retorno para o reservatório e aumentar a

altura da comporta na saída, neste momento ligar o sistema novamente para

observação do ressalto hidráulico ocorrido após a comporta;

10

CANALETA

TUBULAÇÕES DE 3” E 1½”

COMPORTA COM TOMADAS DE PRESSÃO

5. Resultados e Discussões

Através do experimento realizado foram obtidos os resultados que podem

ser visualizados nas Tabelas 1 e Tabela 2.

Tabela 1: Dados coletados no experimento

Largura da canaleta (W) [m] 0,15

Altura (Z1) [m] 0,31

Altura (Z2) [m] 0,02

Ka placa 3" 0,676

Kb placa 1"1/2 1,067

β Tubo de 3" 0,45

β Tubo de 1"1/2 0,45

ΔP1 que sai da bomba 3" [Pa] 10787,32

ΔP2 que retorna para o tanque 1"1/2 [Pa] 23535,96

ΔP3 que entra no processo [Pa] 12748,65

Área da placa de orifício do tubo de 3" [m2] 0,000923

Área da placa de orifício do tubo de 1"1/2 [m2] 0,000231

Abertura da placa de orifício do tubo de 3" [m] 0,03429

Abertura da placa de orifício do tubo 1"1/2 [m] 0,01715

Temperatura ambiente [°C] 23

Onde as áreas foram encontradas através da Equação 14, onde D é igual ao

diâmetro do tubo.

πD²/4 (14)

Tabela 2: Dados obtidos experimentalmente

Pressão (m) Referência (m) Δh (m) ΔP (Pa)Piezômetro 1 0,983 0,708 0,275 2691,3

11

Piezômetro 2 0,485 0,210 0,275 2691,3Piezômetro 3 0,489 0,231 0,258 2524,9Piezômetro 4 0,998 0,758 0,240 2348,7Piezômetro 5 0,492 0,271 0,221 2167,1Piezômetro 6 0,398 0,197 0,201 1967,1Piezômetro 7 0,497 0,331 0,166 1624,6Piezômetro 8 0,401 0,286 0,115 1125,4Piezômetro 9 0,403 0,336 0,067 655,7Piezômetro 10 0,404 0,390 0,014 137,0

O valor de pressão em cada ponto foi calculado através do produto p.g.h, e

assim deste modo a força que atua sobre a comporta é igual à somatória de todas

as forças que atuam em cada um dos dez pontos de medida, portanto para cada

medida foi utilizado a expressão; pressão vezes a área afim de se obter a força

em cada ponto.

Porém para se encontrar a pressão em cada ponto (ΔP x Área), foi

necessário relacionar seus respectivos valores de Δz com a gravidade e

densidade, e assim obter a pressão em cada ponto. O Δz foi encontrado pela

diferença de altura entre o sistema ligado e desligado. A área foi encontrada pela

multiplicação da largura (W) no valor de 0,15m com seus respectivos

comprimentos denominados de “L”.

Deste modo, com os valores das pressões e suas respectivas áreas

encontradas, pode ser calculado as forças resultantes em cada ponto, como pode

ser observado na Tabela 3.

Tabela 3: Resultados de cada ponto

Pontos Largura (m)

Área (m²) Δ P Força (N)

1 0,02 0,003 2691,3 8,0742 0,02 0,003 2691,3 8,0743 0,02 0,003 2524,9 7,5754 0,02 0,003 2348,7 7,0465 0,02 0,003 2162,8 6,4886 0,02 0,003 1967,1 5,9017 0,035 0,00525 1624,6 8,5298 0,05 0,0075 1125,4 8,441

12

9 0,05 0,0075 655,7 4,91810 0,05 0,0075 137 1,028

ForçaTotal 66,07

Deste modo, obtido os valores das forças que atuam em cada ponto, e

sabendo-se que a força resultante experimental é a somatória das forças de cada

ponto, obteve-se o valor de 66.07N.

Após isto, pode ser feito o análise teórico com dos dados, a fim de obter o

valor da força resultante teórica, para isso, foi necessário primeiramente calcular o

fluxo de massa - ma da tubulação de 3”, através da primeira placa de orifício e da

Equação 10, para isso, utilizou-se do Ka, Área1, ΔP1 da Tabela 1 e da densidade

da água encontrada em função da temperatura ambiente e da pressão

atmosférica, obtendo o valor de 997,6 kg/m³.

Desta maneira obteve-se para o fluxo de massa - ma um valor de

2,8947kg/s.

Em seguida, pode ser calculado o fluxo de massa - mb da tubulação de

1½”, utilizando-se novamente da Equação 10, porém agora com o Kb, Área2, ΔP1

da Tabela 1 e da densidade da água obtendo assim o valor de mb igual a

1,6872/s.

Com os valores dos fluxos de massas (ma e mb) e analisando o sistema de

montagem, a Equação 01 pode ser utilizada a fim de se encontrar o valor do fluxo

de massa - mc, cujo valor obtido foi de 1,2075kg/s.

Ao analisarmos o experimento montado, nota-se que o fluxo de massa que

chega à comporta de fundo (mc) é o mesmo que sai por Z2 (Tabela 1), pois o nível

a montante da comporta se mantém estável, portanto torna-se possível encontrar

a velocidade com que a água chega a montante da comporta (V1) e a velocidade

com que a água a atravessa (V2).

Utilizando-se da Equação 02, onde a área da coluna de água na canaleta

(Amaior) utilizada é obtida através da multiplicação da largura da comporta (W) com

o valor da altura Z1 (Tabela 1), e assim pode ser encontrado o valor de V1, ambos

expostos na Tabela 4. E para obter a velocidade V2, utilizou-se da área (Amenor)

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com a mesma largura, porém com altura Z2, encontrando assim a Amenor, com isso

o valor de V2 foi encontrado, ambos valores também expostos na Tabela 4.

Tabela 4: Velocidades

Área maior (Z1) [m²] 0,0465

Velocidade (V1) [m/s] 0,026

Área menor (Z2) [m²] 0,0021

Velocidade (V2) [m/s] 0,58

Conhecendo as velocidades de entrada e saída foi possível determinar o

valor da força resultante teórica que atua sobre a comporta, de modo que as

forças de contato e de campo exercidas sobre a placa se relacionam com o

teorema da quantidade de movimento, e se tratando de um regime permanente a

força resultante pode ser encontrada a partir da simplificação da Equação 13,

cujo valor encontrado para tal é igual a 69,72N.

Pode-se realizar uma comparação direta entre o método teórico e o método

experimental, expressada na Tabela 5.

Tabela 5: Força Teórica X Força Experimental

Força Resultante Teórica (N)

Força Resultante Experimental

(N)

Erro Experimental

(%)

69,72 66,07 5,23

Nota-se que existe um erro experimental de 5,23% entre as duas

metodologias empregadas, erro que dependendo do nível de aproximação na

realização de um projeto pode ser considerável aceitável. Tornando esse método

onde se tem medidores de pressão ao longo da altura de uma barreira, um

método bastante confiável.

No experimento, também foi possível verificar o surgimento de um ressalto

hidráulico, este fato ocorreu na região de transição de escoamento rápido para um

14

escoamento lento, sendo que nesta região de transição houve a formação de

vórtices e muita turbulência que se estabiliza num escoamento lento. Foi

observado que na saída da comporta, o fluxo de água possui uma velocidade mais

alta e uma altura menor do que no ponto onde o ressalto surgiu.

6. Conclusão

No experimento realizado foi possível avaliar o comportamento do fluxo de

água em um sistema de canaleta e comportas e as forças exercidas pela massa

de água em movimento sobre a comporta, bem como a vazão e a velocidade do

escoamento. A avaliação dos dados coletados no experimento demonstrou uma

pequena margem de erro que para as condições de realização do experimento

pôde ser tratada como aceitável.

Ao induzirmos a formação de um ressalto hidráulico no escoamento após a

comporta, foi possível verificar que os efeitos da turbulência e dos vórtices

formados na região de transição do escoamento pode trazer complicações

operacionais à estrutura de um sistema hidráulico, por problemas ligados à fadiga,

cavitação e vibrações estruturais, ou por exemplo, erosões no leito a jusante do

rio, sendo fundamental em um projeto que seja considerado sua existência e

implicações.

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7. Bibliografia

ÇENGEL, Y.A., CIMBALA, J.M.; Mecânica dos Fluidos, Fundamentos e

Aplicações,1o ed. São Paulo: Editora McGraw-Hill, 2007.

FOX, R.W., McDONALD, A.T.; Introdução à Mecânica dos Fluidos, 3o ed. Rio de

Janeiro: Editora Guanabara S.A., 1988.

POTTER, M.C., WIGGERT, D. C.; Mecânica dos Fluidos, 3o ed. São Paulo:

Editora Thomson, 2004.

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