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____________________________________________________________________________ IUT de Saint-Etienne – Tremplin – Mathématiques – RAN 1 Calcul - CoursEx – Rev2017 – page 1 sur 38

Départements tertiaires

MATHEMATIQUES

________ Remise à niveau 1 : CALCUL ________

COURS, ACTIVITES -

ENONCES DES EXERCICES

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SOMMAIRE 1 QUELQUES RAPPELS SUR LES NOMBRES 3

1.1 COMPARER, ÉVALUER 3 1.1.1 ARRONDIS, CHIFFRES SIGNIFICATIFS .......................................................... 3

1.1.2 ENCADREMENTS DE DEUX VARIABLES, OPÉRATIONS SUR LES ENCADREMENTS .... 4

1.2 S’ORGANISER 5 1.2.1 LIRE UN ÉNONCÉ .................................................................................. 5

1.2.2 METTRE UN PROBLÈME EN ÉQUATION ...................................................... 5

1.2.3 RÉDIGER UNE RÉPONSE ......................................................................... 5

2 CALCUL 6

2.1 LES FRACTIONS 6 2.2 CALCUL DE TÊTE, CONVERSIONS DE TEMPS 7 2.3 PROPORTION ET POURCENTAGES 8

2.3.1 PROPORTIONNALITÉ ............................................................................. 8

2.3.2 INDICES ............................................................................................. 9

2.3.3 INTERPOLATION/EXTRAPOLATION LINÉAIRE .............................................. 10

2.3.4 POURCENTAGES ................................................................................ 11

2.4 EXPRESSIONS LITTÉRALES : ÉLÉMENTS, MANIPULATIONS 16 2.4.1 MANIPULATION DE FORMULES SIMPLES .................................................. 16

2.4.2 FORME D’UNE EXPRESSION ................................................................... 17

2.4.3 DIFFÉRENTS TYPES DE NOMBRES ............................................................ 17

2.5 MISE EN ÉQUATION D’UN PROBLÈME 18 2.5.1 EXEMPLE D’APPROCHE ........................................................................ 18

2.5.2 MISE EN ÉQUATION ............................................................................ 19

2.6 PREMIER DEGRÉ : DROITES, ÉQUATIONS, SYSTÈMES 20 2.6.1 EQUATIONS DU PREMIER DEGRÉ ............................................................ 20

2.6.2 INÉQUATIONS DU PREMIER DEGRÉ ......................................................... 20

2.6.3 SYSTÈME DE DEUX ÉQUATIONS À DEUX INCONNUES ................................... 21

2.6.4 EQUATIONS DE DROITES ...................................................................... 22

2.6.5 SYSTÈMES D’INÉQUATIONS : OPTIMISATION ............................................. 22

2.7 EQUATIONS DU SECOND DEGRÉ 25 2.7.1 CAS PARTICULIERS : ............................................................................ 25

2.7.2 CAS GÉNÉRAL : .................................................................................. 25

2.8 PUISSANCES 26 2.8.1 PUISSANCES ENTIÈRES POSITIVES ........................................................... 26

2.8.2 PUISSANCES ENTIÈRES NÉGATIVES .......................................................... 26

2.8.3 PUISSANCES ENTIÈRES DE 10 ................................................................ 27

2.8.4 FORMULES RELATIVES À LA NOTATION PUISSANCE ..................................... 28

2.8.5 REMARQUES ..................................................................................... 28

2.8.6 RADICAUX ET PUISSANCES INVERSES ....................................................... 28

2.8.7 PUISSANCES FRACTIONNAIRES............................................................... 29

2.9 INTRODUCTION AUX LOGARITHMES 30 2.10 NOTIONS DE MATHÉMATIQUES FINANCIÈRES 31

2.10.1 PROGRESSIONS ARITHMÉTIQUES ET GÉOMÉTRIQUES .................................. 31

2.10.2 INTÉRÊTS SIMPLES .............................................................................. 32

2.10.3 INTÉRÊTS COMPOSÉS .......................................................................... 34

2.10.4 LES EMPRUNTS INDIVIS ........................................................................ 35


1 Quelques rappels sur les nombres

1.1 Comparer, évaluer

1.1.1 Arrondis, chiffres significatifs

Ordre de grandeur Définition : l’ordre de grandeur d’un nombre est la valeur 10n employée dans son écriture scientifique.

On sortira de ce cadre strict pour rechercher un arrondi grossier d’un nombre et nommer « ordre de grandeur du nombre » le résultat. L’objectif de ce paragraphe est de vous permettre d’obtenir une valeur approximative, suffisamment juste pour raisonner, ce, le plus rapidement possible pour pouvoir, sur le vif, sans machine, avoir un ordre de grandeur suffisant pour prendre une décision. Il s’agit donc d’arrondir les valeurs issues d’un calcul à une précision « raisonnable » (d’ailleurs l’ordre de grandeur mathématique – voir définition - est rarement un bon arrondi de la valeur concernée).

Arrondi, valeurs approchées Approcher ou arrondir un nombre suppose qu’on le cite d’une manière approximative, après avoir choisi une précision à respecter (« à l’entier », « au dixième », « au centième », …).

Exemple : soit le rapport 12/7

Donner le résultat affiché par la calculatrice : 12/7 ≈ Compléter le tableau suivant (arrondi signifie "au plus près") :

Exemples Arrondi à l’entier Arrondi au dixième

à 10-1 près Arrondi au centième

à 10-2 près

12/7

2500/6

100/3

25/8

Calcul approché manuel ou de tête

Lorsqu’on veut multiplier deux valeurs, on peut imaginer prendre une valeur approchée inférieure de l’une et une valeur approchée supérieure de l’autre. Exemple : Le taux horaire de la machine est 412,10 € ; vous allez devoir arrêter la machine pendant 2h25min pour mettre en œuvre une amélioration. Quel est le coût de l’arrêt ?

Le premier facteur dépasse légèrement 400 (en proportion de sa valeur) et le second est légèrement inférieur à 2,5 heures. On peut donc se permettre d’écrire :

412,10 × 2h25 ≈ 400 × 2,5 = 1000€. Le calcul exact donne : 995,91 €…

Lorsqu’on veut diviser deux valeurs, on s’attachera à les augmenter, ou bien à les diminuer, toutes les deux, de façon que le quotient ne soit pas trop modifié et que les nouvelles valeurs permettent un calcul rapide. Exemple : Diviser 2327 par 579. On calculera le rapport 2400/600, qui vaut 4.

Une valeur plus précise de 2327/579 est 4,019… EXERCICES

* EX 1.1. QCM a. Lesquels sont entre -3 et -2 ? -2,5 -3,5 -1,5 -2,6 -3,01 b. Si a est négatif, alors a ≤ -a a ≥ -a -a ≤ 0 -a ≥ 0 -(-a) ≤ 0 c. Si a ≤ b, alors -a ≤ -b -a ≥ -b b – a ≥ 0 b – a ≤ 0 a – b ≤ 0 d. Qui est égal à (-2) + (-3) ? -5 5 -1 (-2) – 3 (-2) – (-3)


e. Quels calculs ont pour résultat 0 ? 7 – 7 × 0 8 – 4 + 4 6 – 6 × 2 3×(2 – 2) 1 – 1 + 1 – 1

f. Lesquels ont pour résultat 10 ? 2 + 3 × 2 20 – 5 – 5 1 + 3 × 3 8 – 2 + 4 40 ÷ 2 × 2 g. Lesquels sont égaux ? 3×2×(7-3) 4×(7-5)×3 6 + 6 × 2 30 – 4 + 2 24 – (1-1)×2 h. Lesquels sont égaux ? 9 - 2×(3-1) 9-2×3-2 9-2×3+2 (2+7) – 2 × 2 2×(7-2)

i. Lesquels sont égaux ? 7×5-7×2 7×6-7×4 7×(10-7) 40÷(5-3) 7+3×2+8

* EX 1.2. Soit le rapport 12/7

Donner le résultat affiché par la calculatrice : 12/7 ≈ Compléter le tableau suivant :

v.a. par défaut arrondi v.a. par excès

à l’unité

à 0,1 près

à 0,01 près

à 0,001 près

* EX 1.3. QCM : Quelles sont les valeurs approchées à 0,01 près de 11/15 ? a. 0,72 b. 0,733 c. 0,734 d. 1 e. 0,73

* EX 1.4. Encadrer les réels a, b, c sachant que : 5,784 approche a par défaut à 10-3 près. 3,20 approche b par défaut à 5.10-3 près. 2,156 approche c par excès à 4.10-4 près.

* EX 1.5. Soit le nombre a = 2,7091. Donnez sa valeur approchée ... a) Par défaut à 0,001 près b) Par excès à 0,01 près c) Par défaut à 0,1 près

* EX 1.6. a) Donner la valeur approchée par défaut de 3,14159265 à 0,01 près. b) Donner la valeur approchée par excès de 1,61803399 à 0,001 près. c) Donner un encadrement de 1,414213 à 0,0001 près. d) Multiplier le nombre donné à la question a) par celui donné à la question c) et donner

l'encadrement du résultat à 0,01 près.

* EX 1.7. QCM

1) Le nombre 15

8 : a. est égal à 1,875 b. a pour valeur approchée 1,88 à 0,01 près

c. est égal à 30

16 d. est égal à 1,87500

2) Le nombre 10

3 : a. est égal à 3,333333333 b. est égal à

30

9

c. est égal à 3,333 d. a pour valeur approchée 3,333 à 0,001 près

1.1.2 Encadrements de deux variables, opérations sur les encadrements

EXERCICES

* EX 1.8. Soit x < y . Compléter par < ou > a. 2x 2y b. -7x -7y c. -2x + 5 -2y + 5

* EX 1.9. QCM a. Ces nombres sont-ils solution de 3x-2 > x+4 ? -1 0 3 5 10/3 b. 5(3x -2) ≤ x +4 est vrai pour x = 3/4 7/5 -10 1 -1/7 c. -0,5x – 3/2 < x + 5/2 est vrai pour x = 8/3 1 0 -3 -8/3

d. L’intervalle [-2 ; +∞[ représente : 4x ≤ 8 14 + 2x ≥ 7x -2x ≥ 0 6x ≥ 3(2 - x) 2x ≤ 6+5x


* EX 1.10.

a. Trouver un encadrement pour x + y sachant que x ∈ [4 ; 6] et y ∈ [1 ; 2].

b. Trouver un encadrement pour x − y sachant que x ∈ [4 ; 6] et y ∈ [1 ; 2].

* EX 1.11. QCM 1) x étant un nombre réel, si 2x ≥ , alors :

a. 1 1

2x≥

b.

1 1

2x≤ − c.

1 10

2x< ≤ d.

1 1

2x< .

2) x étant un nombre réel, si 4x ≤ − , alors :

a. 2 16x ≤ b. 2 16x ≤ − c. 2 16x ≥ d. 20 16x≤ ≤ .

* EX 1.12. Un agriculteur possède un champ rectangulaire dont il décide de mesurer la longueur L et la largeur l. Il sait que pour chacune de ces deux mesures il aura une incertitude de 1m. Ainsi, il sait que L est comprise entre 245 et 246 mètres, et que l est comprise entre 82 et 83 mètres. a) Donner un encadrement pour la valeur du périmètre de ce champ (somme des longueurs des

quatre côtés). b) Quelle est la valeur de l'incertitude sur la mesure de ce périmètre ? c) Donner un encadrement pour la valeur de l'aire de ce champ, et en déduire la valeur de

l'incertitude sur celle-ci.

1.2 S’organiser

1.2.1 Lire un énoncé

Activité : Le cinéma d'art et d'essai de Mathyville, où la population dépasse les 20 000 habitants, propose une carte d'abonnement annuelle de 15 € ; la séance coûte alors 6,40 € au lieu de 9 €. Rania, étudiante en 1ère année de licence, hésite à s'abonner. À combien de séances dans l'année doit-elle assister au minimum pour que l'abonnement devienne intéressant ?

1.2.2 Mettre un problème en équation

1. Repérer et nommer (soi-même si besoin) les données fixées de l’énoncé. 2. Repérer et nommer (soi-même si besoin) les variables : quelles grandeurs doivent être choisies, trouvées,

dans la question de l’énoncé ? 3. Désigner, s’il y en a, les contraintes (ex : telle grandeur doit être inférieure à telle valeur) et les exprimer

en fonction des valeurs fixées et des variables. 4. Désigner et exprimer en fonction des variables, soit le calcul demandé, soit la fonction objectif (y a-t-il

une grandeur à optimiser ?) Parallèlement à cela, il faut être capable de rassembler les éléments de cours (résultats, formules) qui pourront être utiles dans le cadre fixé par l’énoncé.

1.2.3 Rédiger une réponse

Lors de la rédaction d'une réponse à une question posée, vous devez être aussi lisible que possible par la personne qui va corriger votre copie. Cela signifie dans un premier temps une explication claire, sous forme de phrases simples ; puis, s'il y a lieu, des calculs ordonnés et un résultat encadré, ou alors une réponse correspondant précisément à la question posée. nb : la forme de votre réponse doit être adaptée à la demande. Par exemple (parmi d’autres !), si la question demande de « calculer » une valeur, vous devez écrire le calcul, si elle demande de « donner » une valeur, vous n’êtes pas tenus d’écrire le calcul.

pas d'exercices dans cette section : nous réutiliserons ces notions dans les parties calcul et fonctions


2 Calcul

2.1 Les fractions

Vous prenez la moitié d'une pizza, j'en prends le quart. Combien en reste-t-il ?

On peut réfléchir en % :

au départ on a 100%. Vous prenez 50%, je prends 25%, il reste

naturellement 25%, donc le quart.

On peut aussi compter les parts, les portions, donc les fractions :

au départ on a 1 pizza. Vous prenez 1/2 pizza (2×1/4), je prends 1/4 de

pizza.

On a donc enlevé 3×1/4 = 3 quarts, il reste un quart.

D'où l'écriture :

1 1 2 1 2 1 3 4 3 11 1 1 1

2 4 4 4 4 4 4 4 4 4

− − = − − = − + = − = − =

Effectivement, faire ce calcul en utilisant des fractions, ce n'est pas nécessaire. Mais la pizza peut prendre sa revanche : Imaginons 3 personnes. La première prend un sixième de la pizza, la deuxième en prend un quart, et la troisième 3 parts d'un huitième. Part totale prise :

1 1 3

6 4 8 24 24 24+ + = + + = et il reste :

Additionner des fractions entre elles suppose qu’elles soient d’abord écrites au même dénominateur :

++ =a b a b

A A A

++ =a b aB bA

A B AB

On peut aussi vouloir multiplier ou diviser deux fractions, ou un nombre et une fraction :

× =a A aA

b B bB ; ; ;

1 1= = × = = × = = × =

AA

b A b Ab A b Ab A AaBAa a aa a a B a aB b a b ab

b b b

Enfin, deux fractions sont égales traduisent une proportion, d’où l’égalité des produits en croix :

= ⇔ =a baB Ab

A B


EXERCICES

* EX 1.13. Compléter le tableau suivant, à l’image de sa première ligne. littérale décimale fractionnaire pourcentage

un dixième

un cinquième

un quart

un demi

deux tiers

trois quarts

un

cinq quarts

0,1

0,25

1

10 %

20 %

66,67 %

* EX 1.14. Traduire les expressions suivantes en un calcul, puis donner le résultat a. Les trois quarts de 10 b. Le quart du tiers c. Les deux cinquièmes de la moitié d. La moitié des deux cinquièmes

* EX 1.15. Effectuer les calculs proposés ci-dessous (réduire le résultat s’il y a lieu) – les fractions apparaissant en première ligne seront dans un deuxième temps traduites en pourcentages.

; ; ; ;

; ; ; ; ; ; ; ; ; ;

1 3 1 3 5 1 1 3 1 2 1

4 4 10 10 10 2 4 2 2 5 10

1 5 32 3 3 9 2 9 1 5 31 1 23 2 9 3 9 2

1 1 29 9 2 2 3 3 2 4 92 4 9

+ + + + − +

× × × × × ×

* EX 1.16. Un père donne en héritage à ses trois enfants toute sa fortune. Le quart de cette somme va à son premier enfant. Le tiers va à son deuxième enfant. Le reste, d'une valeur de 20 000 €, est attribué à son troisième enfant. Quelle est la valeur du total de l'héritage ?

2.2 Calcul de tête, conversions de temps

Arrêtons de prendre sa calculatrice pour multiplier par 10 ! multiplier par 10 : décaler la virgule d'un cran à droite multiplier par 5 : diviser par 2 puis multiplier par 10 multiplier par 0,25 : diviser par 4 multiplier par 25 : diviser par 4 puis multiplier par 100 multiplier par 2,5 : diviser par 4 puis multiplier par 10

diviser par 10 : décaler la virgule d'un cran à gauche diviser par 5 : multiplier par 2 puis diviser par 10 diviser par 0,25 : multiplier par 4 diviser par 25 : multiplier par 4 puis diviser par 100 diviser par 2,5 : multiplier par 4 puis diviser par 10

Nous avons parfois affaire à des calculs incluant une durée, qui doit alors être convertie en une unité. Par exemple, 1h15min doit être exprimée en heures, ou en minutes.

1h 15 minutes = 1 heure et quart = 1 heure + 0,25 heure = 1,25 heure Dans tous les cas, convertir des minutes en heures impose de les diviser par 60 :

1h 15 minutes = 1 heure + 15/60 heure = 1 heure + 0,25 heure = 1,25 heure Dans l’autre sens, convertir des heures en minutes imposera donc de les multiplier par 60 :

1h 15 minutes = 1×60 min + 15 min = (60 + 15) min = 75 minutes

1

10

2

3


EXERCICES

* EX 1.17. a. 6247 divisé par 10 b. 6247 multiplié par 10 c. 0,083 divisé par 10 d. 0,083 multiplié par 10 e. 72 multiplié par 5 f. 72 divisé par 5 g. 72 multiplié par 0,25 h. 72 divisé par 0,25 i. 12 multiplié par 25 j. 12 divisé par 25 k. 36 multiplié par 2,5 l. 36 divisé par 2,5

* EX 1.18. Convertir… a. 2 h 40 min en heures b. 2 h 40 min en minutes c. 7 minutes et 40 secondes en minutes d. 7 min 40 sec en secondes e. 3,75 heures en h-min f. 140 minutes en heures

2.3 Proportion et pourcentages

2.3.1 Proportionnalité

a. Listes proportionnelles Une liste L est un ensemble de valeurs citées dans un ordre bien précis.

On souhaite comparer deux listes A = (a1, a2, …, an) et B = (b1, b2, …, bn) formées du même nombre de

termes (ici : « de longueur n »), tous non nuls.

Par définition, dire que deux listes A et B sont proportionnelles, c'est dire que pour tout entier i compris

entre 1 et n le rapport bi/ai est constant.

Notons "p" ce rapport unique, lorsqu'il existe, et appelons-le "coefficient de proportion(nalité) de A vers

B", nombre par lequel il faut multiplier les valeurs de A pour obtenir celles de B.

Exemple : Soit les listes A = (2, 4, 6, 10, 15, 20) et B = (7, 14, 21, 35, 52,5, 70).

b. Formules rectangulaires

Les formules rectangulaires montrent l’égalité de deux fractions, a c

b d= , b et d non nuls.

Elles font donc état d’une proportion respectée entre les listes (a, b) et (c, d) de longueur 2.

Dans ce cas, on a par équivalence l’égalité des produits en croix : ad = bc.

Mais on peut aussi placer ces quatre nombres dans un tableau de proportion et considérer de façon mécanique que chaque trait intérieur de ce tableau peut représenter un trait de fraction :

a c

b d= permet la notation

a b

c d ,

qui entraîne les égalités : a b b d c d

c d a c a b= = =, ,

EXERCICES

* EX 1.19. Un employé est payé en fonction du temps de travail comme l’indique le tableau ci-contre :

a. Est-ce un tableau de proportionnalité ? pourquoi ?

b. Calculer le salaire correspondant à 85 h 30 min de travail.

c. Calculer le temps de travail nécessaire pour obtenir un salaire de 1 755 € ; exprimer le résultat en

heures minutes.

Temps (h) 1 10 50

Salaire (€) 12 120 600

... n

n

b bb b

a a a a= = = =31 2

1 2 3


* EX 1.20. Afin de monter une petite entreprise, trois amis, Paul, François et Marc ont besoin de 200 000 €. Ils décident d’investir respectivement 94 000 €, 61 000 € et 45 000 €. Au bout d’un an ils réalisent un bénéfice total de 75 000 € qu’ils se partagent proportionnellement à leurs investissements.

Calculer la part de chacun.

* EX 1.21. Trois vendeurs ont reçu chacun une prime, proportionnelle au montant des ventes qu’ils ont réalisées dans le mois. Le vendeur A a vendu pour 12 000 € , le vendeur B pour 8 000 € et le vendeur C pour 11 000 €.

Sachant que le vendeur B a reçu 200 € de moins que le vendeur A, calculer le montant de chaque prime.

* EX 1.22. Compléter le tableau suivant constitué de deux listes proportionnelles

14 35 42 1

10 35 1 45

* EX 1.23. Lesquels sont des tableaux de proportionnalité ?

a. 2 20 b. 20 1 c. 8,5 5,5

5 50 10 2 34 22

d. 2 5 e. 2 4 10 20 50

20 50 14 28 70 140 350

* EX 1.24. On veut réaliser une maquette de la ville de Paris avec ses monuments principaux. On dispose d'une maquette de la Tour Eiffel de 30 cm de haut (hauteur réelle : 300 m). a. Quelle sera l'échelle de la maquette ?

b. Sachant que Paris mesure d'est en ouest 12 km, quelle sera la taille de la maquette de la ville ?

c. Quelles seront les dimensions de la maquette de l'Arc de Triomphe sachant qu'elles sont en réalité

de 55m × 50m × 20m ?

d. La place de l'Etoile est circulaire et mesure 200 m de diamètre. Les aires des places réelles et

maquette respectent-elles le facteur d'échelle ? Pourquoi ?

* EX 1.25. Le prix d'un diamant est proportionnel au carré de sa masse. Un diamant de 0,45 g vaut 3 000 €.

a) Combien coûte un diamant de 0,693 g ?

b) Quel est la masse d'un diamant valant 30 000 € ?

2.3.2 Indices

Lorsqu'on veut suivre l'évolution d'une valeur à intervalles réguliers, tout en gardant la possibilité d'une

comparaison simple avec ce qu'elle était au départ, on peut utiliser un indice. La valeur initiale sert de

référence ; pour cela, elle est transformée en une valeur « ronde », indice initial de référence, au choix : 1,

10, 100, 1000, 10000, … Puis les valeurs suivantes sont converties proportionnellement à ce choix, pour

devenir des indices.

EXERCICES

* EX 1.26. Coût d’achat moyen du coton : 1,84 €/kg en 2006, 2,12 €/kg en 2007, 1,53 €/kg en 2008. En fixant l’indice initial du cours du coton à 1000 en 2006, calculer les indices du cours en 2007 et 2008.

* EX 1.27. Une usine de métallurgie produit les quantités d'acier ci-dessous (en kilotonnes) :

2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 2015 2016

850 920 1100 1000 1020 1200 1250 1350 1300 1170

1) Donner les indices de production en prenant pour base 100 celle de 2007.

2) Quels sont les pourcentages de variation de 2007 à 2010 ? de 2010 à 2015 ?


2.3.3 Interpolation/extrapolation linéaire

Le thème de la proportionnalité – et son pendant graphique, le théorème de Thalès – nous permet de

déterminer la position d’un point M aligné avec deux autres points repérés E et F.

Prenons par exemple E(2 ; 2) et F(5 ; 3,5), puis plaçons un point M(a ; b) sur le segment [EF].

La connaissance de l’une des coordonnées de M nous donnera l’autre ; il suffit pour cela d’appliquer le

théorème de Thalès !

Ce théorème nous affirme en particulier que : − −=− −

M E F E

M E F E

y y y y

x x x x. Ici :

,2 1 5

2 3

− =−

b

a

(en d’autres termes : les pentes des droites (EM) et (EF) sont égales)

Il vient : ( )2 2 2 2 2− = − ⇔ = −a b a b , pour déterminer a à partir de b,

ou encore : ( ), ,2 0 5 2 0 5 1− = − ⇔ = +b a b a , pour déterminer b à partir de a.

On notera que cette dernière expression n’est autre que l’équation de la droite (EF) : y = 0,5x + 1.

Cette remarque entraîne la possibilité tout aussi directe de pratiquer une extrapolation linéaire :

il n’est pas nécessaire que M se trouve entre E et F pour que le théorème de Thalès soit valable !

Récapitulons :

Soit deux points E(x1 ; y1) et F(x2 ; y2) non confondus et un point M(a ; b) autre que E, aligné avec E et F.

Alors : 1 2 1

1 2 1

b y y y

a x x x

− −=− −

, relation qui permet de déterminer b une fois a connu (ou le contraire).

EXERCICES

* EX 1.28. Dans chaque cas, on donne deux points E et F. On donne une coordonnée d’un point M aligné avec E et F, il s’agit de trouver l’autre !

a. E(2 ; 8), F(5 ; 1), M(4 ; ?) ; b. E(-3 ; 2), F(3 ; 4), M( ? ; 6) ; c. E(6 ; 1), F(3 ; -8), M(4 ; ?)


* EX 1.29. interpolation Le barème de l'impôt sur le revenu pour une famille composée de 2 adultes et de 2 enfants est défini de la façon suivante :

impôt de 0 € pour la tranche de revenu comprise entre 0 € et 20000 €. Puis, pour un revenu allant de

20000 € à 40000 €, croissance linéaire de l'impôt de 0 € à 2000 €. Puis, pour un revenu allant de

40000 € à 80000 €, croissance linéaire de l'impôt de 2000 € à 12000 €.

(ce barème n'est pas réel, il a été simplifié pour la clarté de l'exercice)

1) Représentez graphiquement l'impôt I (en ordonnées) en fonction du revenu x (en abscisses).

2) Par lecture graphique, donnez le montant de l'impôt pour une famille dont le revenu se monte à

30000 €, puis pour une famille dont le revenu se monte à 50000 €.

3) Déterminer les deux impôts précédents par le calcul, sans utiliser le graphique.

* EX 1.30. extrapolation Laëtitia Assamémèr a reçu deux factures téléphoniques : une première facture se montant à 45 € pour 10 heures de communications ; une deuxième facture se montant à 85 € pour 30 heures de communications ;

Elle sait que depuis, elle a téléphoné 40 heures en tout et voudrait connaître le montant de sa future facture. 1) Le montant de la facture est-il proportionnel au temps passé en communications téléphoniques ? 2) Représentez graphiquement les informations données par les deux premières factures. On

appellera x - en abscisses - les temps de communication, en heures ; échelle : 1 cm pour 4 heures. On appellera f (x) - en ordonnées - les montants des factures, en € ; échelle : 1 cm pour 10 €.

3) Soit l'information suivante : l'augmentation du montant de la facture est proportionnelle à l'augmentation du temps de communications. Ainsi, le montant de la facture croît linéairement en fonction de la durée totale de communications. a. Compléter alors la représentation graphique précédente. b. Lire sur le graphique le montant de la future facture de Laëtitia. c. Proposer une méthode pour calculer ce montant.

2.3.4 Pourcentages

a. Pourcentage fixe

* Le taux d'une valeur v par rapport à une valeur de référence V est le rapport t = v

V .

Taux de 20 par rapport à 25 : Taux de 50 par rapport à 48 :

Taux de 8 par rapport à 32 : Taux de 56 par rapport à 28 :

* Le "symbole" % :

* Pourcentage fixe :

Le pourcentage d'une valeur v par rapport à une valeur de référence V est le nombre p = v

V×100 .

pourcentages…

de 20 par rapport à 25 : de 50 par rapport à 48 :

de 8 par rapport à 32 : de 56 par rapport à 28 :

* Pourcentage fixe et proportion :

Calculer une valeur v égale à un pourcentage p d'une valeur V, c'est : calculer une valeur v qui a le même rapport à V que le rapport de p à 100. Les listes (v ; V) et (p ; 100) sont proportionnelles.


Exemples :

valeur pourcentage

testée 20

référence 25 100

"20 représente …… % de 25".

valeur pourcentage

testée 50

référence 48 100

"…... représente …….… % de …...".

valeur pourcentage

testée 8

référence 32 100

" …… % de 32 valent ……".

valeur pourcentage

testée 56

référence 28 100

" …… % de …... valent …...".

b. Pourcentage de variation

On considère qu'une grandeur a évolué d'une valeur initiale v1 vers une valeur finale v2.

La valeur de référence est dans tous les cas v1, la valeur initiale. La variation est égale à v2 - v1.

Le taux de variation est le nombre v v

v

−2 1

1

(le pourcentage vaut cent fois le taux).

Taux de variation de 20 vers 25 : Taux de variation de 50 vers 48 : Taux de variation de 28 vers 56 : Taux de variation de 56 vers 28 :

* Pourcentage de variation et proportion :

On formera ici un tableau de proportion mettant en rapport : * la valeur initiale, * la variation, * la valeur finale

Exemple : Un article est vendu 35€. Puis il est soldé : "-40%". À combien se vend-il, soldé ?

valeur pourcentage

valeur initiale (référence) 35 100

variation

-40

valeur finale

"La remise vaut ……€ et le prix soldé est ……€. Le prix soldé représente…..% du prix initial."

* Coefficient multiplicateur :

Augmenter une valeur v1 de p% pour obtenir une valeur v2 revient à conduire le calcul :

v2 = 100%×v1 + p%×v1 donc, v2 = (100% + p%)×v1.

Mais comme % signifie /100 : p

v v = + ×

2 11100

Diminuer une valeur v1 de p%, obtenant une valeur v2, revient à calculer : p

v v = − ×

2 11100


On voit donc qu'appliquer un pourcentage de variation à une valeur, pour la diminuer ou pour l'augmenter,

revient à la multiplier par un coefficient.

Exemples :

1. Une facture fait état d'un montant hors taxes (HT) de 248,5 € sur lequel devra être appliquée une TVA

à 19,6%. Quel sera le montant TTC de la facture ?

2. Une autre facture affiche un prix à payer de 71,25 € après remise de 15%. Quel était le prix normal

sans la remise ?

Méthodes :

1. Augmentation 2. Diminution

La population d’une ville de 15 500 habitants a

augmenté de 10 % ; calculer le nombre d’habitants

après cette augmentation.

Avec un tableau :

Valeur initiale

Augmentation

Valeur finale

Avec le coefficient associé à une augmentation :

Formule du coefficient :

Un article coûte 576 € après une augmentation de

20 %. Retrouver son prix initial avant

l’augmentation.

Pendant les soldes, un article coûtant 90 € est

affiché à « - 40 % ». Calculer le prix soldé :

Avec un tableau :

Valeur initiale

Augmentation

Valeur finale

Avec le coefficient associé à une diminution :

Formule du coefficient :

Un commerçant accorde une ristourne de 5 % à ses

bons clients ; sachant qu’un client a payé 237,50 €,

calculer le montant avant la ristourne.

Activités :

Comment calculer le nouveau prix du scooter ? 1 785 € - 15 %


* Variations successives :

Exemple : pendant les soldes un article coûtant 145 € a été soldé à – 30 % puis à – 20 % pendant la

deuxième démarque.

a) Combien coûte cet article après ces deux réductions ?

b) Ces deux réductions, de 30 % et 20 %, sont-elles équivalentes à une réduction unique de 50 % ?

justifier.

Exemple : le prix du baril de pétrole valait 32 $ à une date 1, puis il est monté à 96 $ à une date 2, 140 $ à

une date 3, et enfin est redescendu à 40 $ à une date 4.

1. Donner le détail des pourcentages d'augmentation ou de baisse entre chaque date.

2. Donner le pourcentage global de variation entre les dates 1 et 4.

EXERCICES

* EX 1.31. Calculer : a) Le pourcentage de 25 par rapport à 30. b) Le pourcentage de 30 par rapport à 50.

c) Le pourcentage de 25 par rapport à 50. d) Le pourcentage de 30 par rapport à 25.

* EX 1.32. Lu dans la presse... où tout est relatif... Le "oui" l'emporte avec 66,3 % (contre 33,7 % pour le "non"), mais la participation des Niçois a été de

22,71 % seulement.

Quel pourcentage de la population niçoise inscrite a effectivement voté pour le "oui" ?

* EX 1.33. J'ai ramassé des champignons contenant, frais, 90 % d'eau. Une fois séchés, ils ne contenaient plus que 30 % d'eau et pesaient 1,5 kg. Quelle était leur masse lorsqu'ils étaient frais ?

* EX 1.34. Le prix de revient d'une chemise, pour le fabricant, se décompose de la façon suivante : 60 % pour la main d'œuvre et 40 % pour le tissu et les boutons. Pour cette nouvelle année, la main d'œuvre augmente de 10 % et les matériaux de 30 %. a. De quel pourcentage augmente le prix de revient de la chemise ? b. Comment se décompose ce nouveau prix de revient ?

* EX 1.35. Un magasin, à l'occasion d'une braderie, propose des soldes de 20% sur tous les articles qu'il vend. On donne dans le tableau ci-dessous les prix auxquels sont vendus divers articles avant les soldes.

article sucre baguette huile fromage salade

prix avant soldes (€) 0,85 0,6 1,8 1,4 0,7

prix pendant soldes (€)

a) Compléter ce tableau de valeurs grâce au pourcentage de diminution pratiqué pour les soldes.

b) Le prix pendant soldes est-il proportionnel au prix avant soldes ? Si oui, donner le coefficient de

proportionnalité.

c) Représenter, dans un repère orthogonal, les points dont les coordonnées sont présentes dans ce

tableau (abscisses : prix avant soldes ; ordonnées : prix pendant soldes). Relier ces points.

Un ordinateur est vendu à 420 € après une remise de 20 %. a) Quel était son prix avant la remise ? b) Comment vérifier si le résultat est juste ?

……..€ - 20 % Vendu 420 €


d) En utilisant votre graphique (uniquement), donner, avec la meilleure précision, les réponses aux

questions suivantes :

d1) Quel est le prix pendant soldes d'un article qui coûte habituellement 1,00 € ?

d2) Quel était le prix avant soldes d'un article qui coûte 1,00 € pendant les soldes ?

* EX 1.36. Calculer les taux de variation dans les cas suivants :

prix initial prix après variation

Taux

120 € 114 €

120 € 126 €

120 € 60 €

120 € 240 €

* EX 1.37. QCM : 1) Les prix ont baissé de 15%. Pour connaître les nouveaux prix :

a. On multiplie les anciens par 15/100

b. On soustrait 15/100 aux anciens prix

c. On multiplie les anciens prix par 0,85

2) Les prix ont augmenté de 15%. Pour connaître les nouveaux prix :

a. On multiplie les anciens par 15/100

b. On ajoute 15/100 aux anciens prix

c. On multiplie les anciens prix par 1,15

* EX 1.38. Une société de presse propose à ses clients deux types d'abonnement pour un magazine

bimensuel (deux éditions par mois) :

Première formule : Abonnement de 6 mois pour 24 €.

Deuxième formule : Abonnement d'1 an pour 43 €.

Sachant que le prix (hors abonnement) d'un magazine est 3 €, calculer les taux de réduction

consentis dans ces deux formules.

* EX 1.39. Un commerçant pratique en fin d'année des soldes de 20 %. Son chiffre d'affaires est sur la

période de soldes de 15 000 €. Quel serait celui-ci s'il n'avait pas fait de soldes et avait vendu la même

quantité de produits ? Quel serait-il si ses soldes avaient été de 30 % ?

* EX 1.40. Une marchandise dont le prix est 1600 € subit une hausse de 15% puis une nouvelle hausse de 5%.

Quel est le prix final ? Quel est le pourcentage global d'augmentation ?

* EX 1.41. Voici deux affichages, vus chez deux vendeurs pour le même produit.

chez Jules chez TOTO

Ici, 20 % de produit en

plus !

Ici, 20 % de remise !!

Laquelle de ces promotions est la plus avantageuse pour l'acheteur ?

* EX 1.42. Production d'olives 25 kg d'olives fournissent en moyenne 17,5 litres d'huile d'olive. a) Peut-on dire si la production d'huile d'olive est proportionnelle à la quantité récoltée ? b) Calculer la quantité d'huile produite par kg d'olives récoltées. C'est le coefficient de

proportionnalité.


La récolte a été cette année de 125 kg d'olives. c) Quelle quantité d'huile pourra-t-on produire ? d) Quel facteur d'échelle y a-t-il entre les 25 kg de l'exemple et la production de 125 kg ? e) Retrouve-t-on ce facteur d'échelle entre les quantités d'huile produites ? L'année suivante, la récolte est de 150 kg. f) Calculer de deux façons différentes la nouvelle production d'huile. g) Combien représente en pourcentage la première récolte par rapport à la seconde ? h) Quel a été le pourcentage d'augmentation des quantités entre la première et la deuxième année ?

* EX 1.43. Un agriculteur produit des pommes de terre. Cette année, il a récolté 40% de plus que l'an

dernier, en masse totale ; mais les prix auxquels il peut vendre sa production ont baissé dans la même

période de 30%. Son chiffre d'affaires a-t-il augmenté par rapport à celui de l'an dernier ? Quel a été le

taux de variation de ce chiffre d’affaires ?

2.4 Expressions littérales : éléments, manipulations

Une expression littérale est l’écriture d’un calcul utilisant des valeurs fixées et d’autres non fixées.

ex : 21 3

2

xx

x

+ π − +a

2.4.1 Manipulation de formules simples

Il s’agit ici de se rappeler les principes de base : * Priorité de la multiplication sur l’addition * Utilisation des parenthèses, développement d’un calcul * Saisie d’un calcul sur la calculatrice : besoin de parenthèses… ou non !

Notons aussi un outil pratique pour les formules triangulaires : b

ac

= .

Dans ce cas, on peut « ranger » les données dans un triangle où le trait intérieur traduit le trait de fraction :

entraîne les égalités : ,b

c b aca

= = .

exemple : résoudre l’équation 2

51x

=−

(pour x ≠ 1) On a immédiatement x – 1 = 2/5 et donc x = 7/5.

EXERCICES

* EX 1.44. Calculer sans calculatrice :

a. (2) + (-5) - 6 - (-12) b. (4 - 7)×(-3) + (-2+1)×(-1+2) c. , ,

,

+2 2 3 3

4 4

* EX 1.45. Donner l'écriture littérale, pour deux nombres a et b, de : a) La somme de leurs doubles b) Le double de leur somme

c) La différence de leurs carrés d) Le carré de leur différence

* EX 1.46. Calculer sans calculatrice, puis avec :

a. 5 3 4+ × = b. 4 2 3− × = c. ( )4 3 2× + = d. 3 57 3

++

= e. 2 52× =

* EX 1.47. On donne l'expression suivante : A = (a - 1)×(-3a + 5). a. Calculer A pour a = -2, puis pour a = 3, pour a = 0 et pour a = 10.

b. A augmente-t-il… : - Lorsque a augmente ? Lorsque a diminue ?


* EX 1.48.

a. Calculer A = 2a + 1

a +

a2a + 1

lorsque a = 23

b. Calculer B = 4a - 3 × 3a + 52 - a

lorsque a = -2

* EX 1.49. Le volume d’un tonneau est donné approximativement par la formule : 2

V4 2

h D dπ + =

où h est la hauteur du tonneau, d le diamètre de ses bases et D celui de son milieu (D > d).

1) Calculer le volume (en litres) d’un tonneau dont les dimensions sont :

h = 80 cm ; D = 60 cm ; d = 40 cm

2) Proposer des valeurs pour les diamètres D et d d’un tonneau dont la hauteur h vaut 1 mètre et

dont la contenance est 200 litres.

2.4.2 forme d’une expression

Il est important de savoir reconnaître la forme globale d’une expression et les éléments qui la composent.

On appelle termes les groupes additionnés (ou retranchés) les uns aux autres.

On peut changer leur ordre d’écriture dans l’expression.

Dans l’exemple ci-dessus, l’expression est une somme de trois termes.

Chaque terme peut être composé d’un seul nombre, ou alors d’un produit de facteurs.

On peut changer leur ordre d’écriture dans le terme.

Dans l’exemple ci-dessus, le premier terme est le produit de deux facteurs : 1

2 et ( )21 x+ , le second

terme est le produit du facteur a et du facteur x, et le troisième terme est le produit du facteur 3 et du

facteur 1

x.

Un facteur commun à plusieurs termes pourra donner lieu à une factorisation.

Exemple : ( )3 225 2 25 2x x x x− + = − +a a .

Ici, les deux premiers termes ont été « factorisés par x », pour devenir un terme unique.

2.4.3 Différents types de nombres

La faune que l’on rencontre dans les expressions rend compte d’une certaine diversité de types :

Variable Nombre quelconque par nature, dont nous ne décidons pas la valeur, mais qui est au contraire représentatif d’un ensemble (variable notée souvent x, y, …)

Coefficient Nombre fixe, mais dont nous n’avons pas encore déterminé la valeur (a, b, c, …)

Paramètre Nombre que nous choisissons et dont nous avons le droit de modifier la valeur au sein d’une expression donnée (p, n, …)

Constante Valeur fixe issue de la physique (G, c, H0, …) ou des mathématiques (π, e, φ, …)

Cas à part : l’inconnue

Une valeur d’une variable, à déterminer si possible, devant vérifier une ou plusieurs équations.


EXERCICES

* EX 1.50. Développer, réduire et ordonner les expressions ci-dessous

a. 3 + (x + 5) = b. 5x × (3x+4) = c. (x+4) × 5 = d. - ( a + b ) =

e. ( - b ) - a = f. - ( - a ) + ( - b ) = g. ( - a ) × b + ( - 2 ) =

h. A = (a - b)(b - c) - 2(b - a)(c + b) - (-a - b)(c + b) i. 4x – (5x-2) =

j. (3x - 5)(2x + 1) - 2(x + 1)(-x + 3) k. (2x + 1)(x - 2)(x - 7)

l. 3(x + 2y - 5z) - 2(4x - y - 3z)

* EX 1.51. Calculer la valeur numérique pour x = -2 de : A = 2(x + 1)(-2x + 3) - 3(x + 1)(4x - 2) Effectuer le même calcul en utilisant la forme développée, réduite et ordonnée de A. Conclusion.

* EX 1.52. Soient les polynômes P(x) et Q(x) définis par : P(x) = x² + 3x - 5 et Q(x) = 3x³ - 4x² + 2x - 7.

Déterminer P+Q et 2PQ.

* EX 1.53. Factoriser les expressions suivantes : a. (x – 3)(x + 7) – (2x – 7)(x – 3) b. -5x + 2x² c. x(x + 1) - 2(x + 1)

d. (x - 1)(3x + 2) + 2x(1 - x) e. (x + 3)(x + 2) + x² - 9

* EX 1.54. QCM : a étant un nombre réel, 2

32

a +− =

a. 3 a− b. 5

2

a− c. 1

2

a− d. 4

2

a− e. 4

2

a− f. 22

a−

* EX 1.55. QCM : a étant un nombre réel, 2

83

a a× =

a. 16

3a b. 210

3a c.

26

3a d. 216

3a e. 216

24a

* EX 1.56. QCM : a et b étant deux nombres réels tels que 1

3b ≠ − ,

3 6

3 9

a

b

+ =+

a. 2

3

a

b b.

1 2

1 3

a

b

++

c. 3

4

a

b d.

21

3

a

b+ e.

9

12

a

b

* EX 1.57. QCM

a. Si x ≤ x', alors � x2 ≤ x'2 � x2 ≥ x'2 � on ne sait pas

b. Pour x = -3, le nombre -2x² vaut � -12 � -18 � 18

c. L'équation x² = 1/x a pour solution � x = 1 � x = 2 � x = -1

2.5 Mise en équation d’un problème

2.5.1 Exemple d’approche

Considérons des quadrillages carrés : conjecturer le nombre de carreaux qui ceinturent le carré, en fonction

des dimensions du quadrillage. Faire de même pour le nombre de carreaux intérieurs.


2.5.2 Mise en équation

En amont de la réalisation de calculs, de la résolution d’équations, ou encore de l’étude d’une fonction, on

peut avoir à traduire dans un premier temps un cas posé concret en langage mathématique, afin de le

résoudre.

Démarche à adopter :

� Repérer la (ou les) variable / l’inconnue, dans la question finale posée ;

� Traduire les informations de l’énoncé en relations ou contraintes, en utilisant la variable /

l’inconnue ;

� S’il y a lieu, écrire sous forme d’expression la « fonction objectif » de l’exercice (si une grandeur est

à optimiser, par exemple) ;

� Résoudre mathématiquement le cas.

EXERCICES

* EX 1.58. Traduire des phrases par des expressions littérales : a. Le carré de tout nombre est égal à celui de son opposé.

b. Quel que soit le nombre x, son carré lui est supérieur.

c. Quel que soit le nombre n, son cube est supérieur à son carré

* EX 1.59. Un article est vendu au prix de 8 € l’unité. Combien peut-on en acheter avec 120 € ?

* EX 1.60. Un panier rempli d’œufs est vendu 15 €. Les œufs seuls seraient vendus 6 € de moins que le panier seul. Combien coûtent les œufs ?

* EX 1.61. C'est à l'âge de 22 ans, 24 ans et 27 ans qu'une mère, actuellement âgée de 46 ans, a eu chacun de ses trois enfants. Dans combien d'années l'âge de la mère sera-t-il égal à la somme des âges des trois enfants ?

* EX 1.62. Un fermier plante des pommiers. Pour les protéger du vent, il plante des conifères tout autour. Le schéma ci-dessous illustre la façon dont il décide de s’y prendre, en fonction du nombre de rangées de pommiers qu’il décidera de planter.

1) Compléter le tableau :

n nombre de pommiers nombre de conifères

1 1 8

2 4

3

4

5

2) Déterminer, en fonction de n, le nombre de pommiers et le nombre de conifères. 3) Déterminer la valeur de n telle que le nombre de pommiers soit égal au nombre de conifères.


* EX 1.63. Dans un grand demi-cercle de diamètre [AB], dont le diamètre mesure 10 cm, on inscrit deux demi-cercles plus petits, dont la somme des diamètres vaut également 10 cm (voir figure). Leurs dimensions peuvent être choisies comme bon nous semble, moyennant la contrainte précédente.

On s’intéresse en particulier aux points C et D, respectivement sommets des demi-cercles de gauche et de droite.

A B

1) Si on note x le rayon du demi-cercle de gauche, donner l’expression de la pente du segment [CD]

par rapport au segment [AB] considéré horizontal.

2) a. Quelles sont les valeurs extrêmes que peut prendre cette pente ?

b. Comment choisir x pour que le segment [CD] ait une pente nulle ?

2.6 Premier degré : droites, équations, systèmes

2.6.1 Équations du premier degré

Comment résoudre une équation ? Exemples :

3 − 2�� + 5 = 4�� − 7 − 3 53 � + 4 = 3� + 54

Activités : 1. Un téléphone portable et son étui coûtent ensemble 110 €. Le téléphone coûte 100 € de plus que l'étui.

Entourer l'équation correspondant à l’énoncé et indiquer ce que représente �.

� + 10 = 1102� + 110 = 2102� + 100 = 110

2. Un salarié a travaillé 151 h durant ce mois et a effectué 3 heures supplémentaires majorées à +25 %.

Il a touché en tout 1 857 €. Combien est-il payé de l’heure ?

3. Trouver les trois nombres entiers consécutifs dont la somme vaut 204.

(exemple : 5, 6 et 7 sont consécutifs, de somme 5+6+7 = 18)

2.6.2 Inéquations du premier degré

Activité Un club de sports propose à ses clients deux types de tarifs à l’année :

- tarif A : 12 € la séance. - tarif B : abonnement de 100 € puis chaque séance ne coûte que 5 €.

Problématique : pour combien de séances, le tarif A est-il plus intéressant que le tarif B ?

Qu’est-ce qu’une inéquation ? Une inéquation est une inégalité dans laquelle figure une inconnue. Résoudre une inéquation c’est trouver toutes les solutions qui conviennent à l’inégalité. La technique de résolution des inéquations est identique à celle des équations. L’ensemble des solutions s’écrit sous forme d’intervalle, en utilisant des crochets.

Rappels : inégalités et intervalles

1. Que signifie l’écriture x ≥ 2 ? 2. Représenter sur une droite graduée l’ensemble des nombres convenant à l’inégalité précédente (barrer les valeurs de x qui ne vérifient pas l’inégalité).


3. Écrire l’intervalle correspondant à tous ces nombres, en utilisant des crochets : 4. Recommencer le travail précédent (droite graduée + intervalle) avec l’inégalité x > 2 5. Même travail avec x ≤ 5 6. Même travail avec x < -3 7. Que veut dire la double inégalité -1 ≤ x < 5 ?

EXERCICES

* EX 1.64. Résoudre les inéquations et présenter les solutions sous forme d’intervalles :

a. 8x – 5 > 2x + 7 b. 10 – 3x ≤ - 7x + 4 c. 3(2 – x) + 1 > 13 d.

2.6.3 Système de deux équations à deux inconnues

Activités :

Exemple 1 :

Sur une terrasse de café, une première commande de cinq sodas et de quatre cafés a coûté 17 €.

Une deuxième commande de trois sodas et deux cafés a coûté 9,70 €.

Quel est le prix d’un soda et le prix d’un café ? (Méthode par combinaison linéaire)

Exemple 2 : soit le système suivant : � 2� � � 3�0,5� � � �2

Méthode par substitution :

Méthode graphique :

1 4 1

2 6 3 2

x x− ≥ −


Exemple 3 : "On feint qu'une mule allant avec une ânesse se plaignait d'être trop chargée, et que la

mule lui dit : - Si je t'avais donné un de mes sacs, nous en aurions autant l'une que l'autre ; et si tu

m'avais donné un des tiens, j'en aurais le double de toi."

En posant x : nombre de sacs de la mule, et y : nombre de sacs de l'ânesse, trouver x et y.

2.6.4 Équations de droites

Comment trouver l’équation d’une droite ? L’équation d’une droite est de la forme y = ax + b

Activité :

Dans une entreprise, les coûts mensuels de production se

décomposent en un coût fixe de 6 k€ (salaires, locaux, etc.) et

un coût variable de 40 € par unité produite (proportionnel à la

quantité produite).

On note x la quantité à produire en un mois donné et y le coût

total de production de cette quantité.

1. Exprimer y en fonction de x. Est-ce une relation affine ?

2. Représenter cette relation graphiquement, pour x compris

entre 0 et 1000 unités.

3. Lire graphiquement la quantité qui correspond à un coût de

20 000 €.

2.6.5 Systèmes d’inéquations : optimisation

Exemple : résoudre graphiquement le système d’inéquations �2� � � � 5� � � � 1

Méthode :

(D)

-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7


EXERCICES

* EX 1.65. Retrouver les équations des droites

* EX 1.66. Dans chaque cas, retrouvez l’équation de la droite contenant les deux points donnés (on

calculera d’abord le coefficient directeur, puis on résoudra une équation pour déterminer l’ordonnée à

l’origine).

a. A(-2 , 6) et B(4 , 0) b. C(1 , 10) et D(4 , 16) c. E(-2 , 2) et F(4 , 5)

d. G(-3 , -6) et H(2 , 4) e. A(-1 , 5) et B(3 , 5)

* EX 1.67. Trouver les équations de chaque droite selon les critères indiqués :

a) Elle contient A(-1 , 7) et B(2 , 1).

b) Elle contient M(3 , 1) et est parallèle à (Ox).

c) Elle contient P(-1 , 2) et est parallèle à la droite d'équation y = 2x + 5.

d) Elle contient Q(2 , -1) et est perpendiculaire à la droite d'équation y = 0,5x + 2. (deux droites sont

perpendiculaires si et seulement si le produit de leurs pentes vaut -1)

* EX 1.68. Résoudre les équations suivantes.

a. x + =2 31

5 5 b. x + =1 1

16 3

c. x + =2 1 7

3 4 2

* EX 1.69. * Mon oncle, qui est pêcheur et bricoleur, veut se fabriquer une boîte

pour son petit matériel, ayant les caractéristiques suivantes : 14 cases carrées

identiques pour les hameçons, disposées en deux rangées comme le montre le

dessin ci-contre. Il veut que sa boîte soit carrée; quelle taille doit-il donner aux

14 cases?

* EX 1.70. Résoudre les équations suivantes.

a. 3 2

41

x

x

− =+

b. x x

=+ −1 1

1 3 2 c.

x x=

+ −2 5

1 3 2

* EX 1.71. Un carré a pour côté x cm. Si on augmente chaque côté de 2 cm, son aire augmente de 40 cm².

Quel est le côté x de ce carré ?

* EX 1.72. L'âge d'un homme est le quadruple de celui de son fils. Dans 14 ans, il ne sera plus que le

double. Quels sont leurs âges ?

* EX 1.73. Soit une parcelle rectangulaire de 60 m × 40 m. On désire la

partager en une parcelle triangulaire et une parcelle trapézoïdale selon

le schéma ci-contre. Quelle doit être la distance AM pour que l'aire du

triangle soit trois fois moindre que celle du trapèze ?


* EX 1.74. Trouver dans chaque cas les coordonnées du point d'intersection de D et D' :

a) D : y = 2x + 1 et D' : y = -x + 2

b) D : x + y = 1 et D' : x - y = 1

c) D : y = 3x + 2 et D' : y = 3x - 2

* EX 1.75. Le rayon surgelés d’un supermarché comporte des boîtes de crème glacée de deux marques :

Gerdé et Mipo. Le responsable du rayon doit respecter les contraintes suivantes :

- la capacité maximale du rayon est de 50 boîtes

- le prix d’une boîte Gerdé est de 4,50 € et celui d’une boîte Mipo est 3 €

- la valeur du stock ne doit pas dépasser 180 €

- le nombre de boîtes mises en rayon doit être supérieur à 20.

En notant x le nombre de boîtes Gerdé et y le nombre de boîtes Mipo mises en rayon, écrire les inéquations

traduisant ces contraintes. Représenter graphiquement l’ensemble des couples solutions.

* EX 1.76. Une entreprise d’emballages industriels veut transporter x colis A (75 cm× 50 cm× 40 cm) de

60 kg et y colis B (60 cm× 50 cm× 40 cm) de 30 kg.

Un véhicule a été affrété pour le transport de ces marchandises dont les caractéristiques sont :

- volume utile : 18 m3

- charge utile : 6 tonnes.

1. Montrer que les contraintes de charge et de volume se traduisent par les inéquations :

� 2� + � ≤ 2005� + 4� ≤ 600

2. Dans un repère orthonormé, représenter l’ensemble des couples solutions.

3. Déterminer si les conditions suivantes de chargement sont possibles :

a) 50 colis A et 80 colis B

b) 80 colis A et 50 colis B.

* EX 1.77. Une entreprise française A de transports achemine des produits vers l'Angleterre. Elle dispose

pour cela de camions qui empruntent le tunnel sous la Manche. La société B qui gère le tunnel fait

payer des taxes de passage qui se calculent pour chaque camion comme suit : 150 € pour la prise en

charge du camion plus 8 € par tonne de marchandises présentes dans le camion.

On appelle x: le nombre de tonnes de marchandises chargées dans un camion, et y: les taxes que

l'entreprise A devra payer pour le passage d'un camion par le tunnel.

1) Exprimer y en fonction de x par une équation simple.

2) a. Combien paiera-t-on pour un camion dont la charge est 22,6 tonnes ?

b. Quelle est la charge d'un camion pour lequel on a payé 294 € ?

3) A chaque charge x (en tonnes) est associé un prix y (en euros). On décide de représenter dans un

repère orthogonal l'ensemble des points M(x , y) dont l'ordonnée y est calculée à partir de leur

abscisse x suivant l'équation trouvée à la question 1).

a. D'après la forme de cette équation, quelle sera la forme de la courbe engendrée par cet

ensemble de points M ?

b. Tracer cette courbe dans un repère aux échelles bien choisies, pour x ∈ [0 ; 35].

4) a. Quel est l'ensemble des charges correspondant à un coût inférieur ou égal à 310 € ?

b. Quel est l'ensemble des coûts correspondant à une charge comprise entre 15 et 25 tonnes ?

5) Une société C propose à l'entreprise A de transporter ses camions par la mer. Les taxes imposées

par C sont : 200 € de prise en charge + 6 € / tonne de marchandises pour un camion.

a. Donner, pour cette société C, l'équation de y en fonction de x.

b. Représenter graphiquement ce nouvel ensemble de points P(x , y) sur la figure précédente.


c. Dire graphiquement à partir de quelle charge x le bateau est plus avantageux que le tunnel pour

un camion de l'entreprise A.

d. Retrouver le résultat par le calcul en posant une inéquation.

* EX 1.78. Omer SIBIEN vend ses pommes de terre 0,8 € le kg si on achète moins de 10 kg ; il accorde une

remise de 15 % pour 10 kg et plus, et les vend 0,5 € le kg pour 50 kg et plus.

a. Représentez graphiquement le prix p(x) de x kg, pour x variant de 0 à 80. Écrire p(x) en fonction de x.

b. Son voisin, Oscar NAGE, qui veut lui faire de la concurrence, les vend à 0,6 € le kg, quelle que soit la

quantité achetée, pour la même qualité. Quel commerçant pratique les prix les plus intéressants

pour un achat de 40 kg de pommes de terre ?

c. Quel commerçant choisir selon la quantité achetée ?

d. Retrouver ces résultats sur le graphique.

2.7 Équations du second degré

Une équation du second degré est une équation de la forme : ax² + bx + c = 0

2.7.1 Cas particuliers :

* l’équation est factorisée : c’est un produit nul Résoudre les équations Rappels �� 2�3� − 5 = 0�4� + 1�3 − 2� = 0 � × � = 0 ⟺ � = 0�� = 0

* b est nul – l’équation devient ax² + c = 0

�� + 25 = 04�² = 36 �² − �² = �� − �� + � * c est nul – l’équation devient ax² + bx = 0

�� + 2� = 04�² = �

2.7.2 Cas général :

Selon l’équation choisie (donc des coefficients a, b et c), ses solutions sont au nombre de zéro, une ou

deux. Pour déterminer l’existence et les valeurs de ces solutions, il faut suivre un protocole bien défini :

1. Calculer le discriminant du polynôme : il s’agit du nombre ∆ = b² - 4ac

2. Regarder le signe de ∆ pour en déduire le nombre et la valeur des racines :

Si ∆ < 0 : l’équation n’a pas de solution

Si ∆ = 0 : l’équation admet une solution : 2

bx

a′ = − .

Si ∆ > 0 : l’équation admet deux solutions : b b

x xa a

− − ∆ − + ∆′ ′′= =et2 2

.

Exemples :

* x² - 6x + 8 = 0 * x² - 2x - 3 = 0 * x² - 6x + 9 = 0 * x² - 6x = -10


EXERCICES

* EX 1.79. Résoudre les équations suivantes :

7�� 4� � 3 = 0; 2�² − 5� − 3 = 0; �² + 6� + 9 = 0; − �²5 + 3� − 1 = 0; 9�² + 6� = −2

* EX 1.80. On a une corde de 50 cm de longueur, avec laquelle on doit former un rectangle. Quelles sont

les proportions à donner à ce dernier pour qu’il couvre la plus grande aire possible ?

* EX 1.81. Le drapeau danois est un rectangle de 1,50 m sur 1 m. Il comporte une croix blanche sur fond

rouge (une bande blanche verticale, sur toute la hauteur, une bande blanche horizontale, sur toute la

largeur). Quelle doit être la largeur des bandes pour que l'aire de la surface blanche soit égale à celle de

la surface rouge ?

* EX 1.82. Un article coûtait 2 500 € ; il a augmenté de t % puis a diminué de 2t %. Son nouveau prix est

de 2 448 €. Calculer le nombre t.

* EX 1.83. Le père Galion a un jardin carré. Il double la longueur de deux côtés opposés et réduit d’un

mètre la longueur des deux autres côtés opposés. L’aire du jardin a alors augmenté de 80 m². Trouver

le côté du carré initial.

* EX 1.84. J'ai gagné 300 € en travaillant quelques heures. Tu as travaillé 5 heures de moins en étant payé

1 € de moins par heure et tu as gagné 220 €. Quel est ton salaire horaire ? Quel est le mien ?

* EX 1.85. On achète pour 60 € d'essence à une pompe. On s'aperçoit qu'à une autre pompe le prix du

litre est inférieur de 0,07 €. On aurait pu ainsi avoir 3,1 litres de plus pour le même prix.

Quel était le prix de l'essence à la première pompe et combien en avait-on pris ?

2.8 Puissances

2.8.1 Puissances entières positives

Plutôt qu’écrire beaucoup de facteurs identiques, ou des nombres longs, on note :

na a a a a× × × × =⋯ où n est un entier naturel (0, 1, 2, 3, …) Quel que soit le nombre réel a : a3 = a×a×a ; a2 = a×a ; a1 = a ; a0 = 1

2.8.2 Puissances entières négatives

On peut remarquer que si m et n sont deux entiers naturels (donc positifs), alors am × an = am + n

En effet, par exemple : a2 ×a4

= a×a × a×a×a×a = a6

Autorisons-nous à utiliser cette propriété avec des nombres négatifs, en cherchant en particulier le nombre

n tel que a1 ×an = a0 . Il vient n = -1 : a1

×a-1 = a0 .

a-1 n’est qu’une écriture symbolique, mais cette dernière égalité n’est autre que a ×a-1 = 1.

a-1 , définition de l’inverse de a, est conforme à la notation puissance ! aa

− =1 1

De même, a-2 est l’inverse de a², a-3 est l’inverse de a³, et ainsi de suite. n

na

a− = 1

n facteurs


2.8.3 Puissances entières de 10

On retiendra les préfixes associés à quelques puissances de 10, intervenant notamment dans l’écriture

scientifique des nombres, dans divers domaines :

cent mille

million milliard

= == =

2 3

6 9

100 10 1000 10

1000000 10 1000000000 10

2

3

5

9

10 100 10 10

10 1000 100 10 10 100 10 10 10

10 100000 100 1000 10 10 10 10 10

10 1000000000 1000 1000 1000 10 10 10 10 10 10 10 10 10

= = ×= = × = × = × ×

= = × = × × × ×= = × × = × × × × × × × ×

10n possède n zéros.

10-1 = 0,1 ; 10-3 = 0,001 ; 10-6 = 0,000 001 ….. 10-n possède n zéros.

Puissances

de 10 Préfixe sens Symbole exemple écriture sans puissance de 10

1018 Exa E

1015 Péta P 10 Pfps : 10 pétaflops 10 000 000 000 000 000 flops

1012 Téra T 2 TB : 2 térabytes 2 000 000 000 000 bytes

109 Giga milliard G 1,2 GW : 1,2 gigawatt 1 200 000 000 watts

106 Méga million M 53 Mo : 53 mégaoctets 53 000 000 octets

103 Kilo millier k 25 k€ : 25 000 euros 25 000 euros

102 Hecto centaine h 12,5 hL : 12,5 hectolitres 1 250 L

101 Déca dizaine da 6 dam : 6 décamètres 60 m

100 = 1 : unité

Puissances

de 10 Préfixe sens Symbole exemple écriture sans puissance de 10

10-1 Déci dixième d 5,4 dg : 5,4 décigrammes 0,54 gramme

10-2 Centi centième c 35 cm : 35 centimètres 0,35 mètre

10-3 Milli millième m 12 mA : 12 milliampères 0,012 ampère

10-6 Micro millionième µ 64 µg : 64

microgrammes 0,000 064 gramme

10-9 Nano milliardième n 4 nm : 4 nanomètres 0,000 000 004 mètre

10-12 Pico p

10-15 Femto f

10-18 Atto a

Qu’est-ce que la notation scientifique ? Exemple : calculer 5 000 000 x 3 000 = Affichage calculatrice :

Un nombre exprimé en notation scientifique s’écrit de la manière suivante : ! � × 10" où : � est un nombre décimal supérieur ou égal à 1 et strictement inférieur à 10 ( 1 ≤ � < 10 $est un entier relatif (positif, négatif ou nul).


Exemples : Donner l'écriture scientifique correcte des nombres suivants :

35 000 000 = 0,000078 =

2 580.10-30 = 47 500.102 =

68,5.10-5 = 0,000127.10-27 =

2.8.4 Formules relatives à la notation puissance

Des définitions et constatations précédentes découlent un ensemble de propriétés de la notation

puissance :

Pour tous entiers relatifs (+ ou -) n et p et pour tous réels a et b :

n p n pa a a +× = n

n pp

aa

a−= ( ) pn npa a=

( )nn na b ab× = b non nul :

nn

n

a a

b b =

2.8.5 Remarques

* Attention : les formules sont valables lorsqu’elles font appel à des multiplications. On ne peut les transposer à des cas d’addition. Il suffit de constater par exemple que (2 + 3)² vaut 5², donc 25, et que 2² +

3² = 4 + 9 = 13. Ainsi, par exemple : (a + b)n ≠ an + bn

Cette remarque s’applique donc aussi aux racines. Ex : 2 2a b a b+ ≠ +

!

* les puissances n’affectent que ce qu’elles touchent : un élément ou un bloc mis entre parenthèses.

Ex : dans 3x², 3 n’est pas au carré, alors que dans (3x)², 3 et x le sont ! (3x)² = 9x²

* Votre calculatrice (pour la plupart des modèles) n’utilise pas la notation 10n, mais la remplace par En

(lorsqu’elle emploie le mode scientifique d’écriture d’un nombre).

Par exemple, pour exprimer la valeur trois millions, soit 3 000 000, soit encore 3×106,

votre calculatrice écrira 3E06.

Piège : cela ne signifie pas « 3 exposant 6 », nombre qui vaudrait 36 = 729 !!

2.8.6 Radicaux et puissances inverses

Comme pour l’établissement des puissances entières négatives, nous pouvons travailler par convention à

partir de la formule ( ) pn npa a= et s’autoriser à écrire que a a a a×

= = =

21 12

12 2 .

Or ( )a a=2

, donc a a=1

2 est une écriture cohérente.

De même, a a=1

3 3 , et pour tout entier n positif : n na a=

1


2.8.7 Puissances fractionnaires

De tout ce qui précède découle l’existence des puissances fractionnaires :

Pour p entier relatif et q entier naturel,

p

qa n’est autre que ( ) qp pqa a=1

.

Exemples : = =3

324 4 8 , x xx

− −= =5

3 53

3 5

1, x x x x x= × =

311 2 2 .

Il est à noter que le formules données dans la partie 2.8.4 sont valables pour ces puissances non entières.

EXERCICES

* EX 1.86. 2³ × 3³ = (2×3)³ = 4² + 5² = (4+5)² = (2²)³ =

; ; ; ; ; ;3

5 2 2 4 2 4 2 4 22

2 2 5 3 3 3

2 5 5 5 3 5 3 2 42

2 4 2 5 5 2

−

−

× + ×

* EX 1.87. QCM : pour tout réel a :

a. a3 + a5 = a8 b. a3 × a5 = a8 c. a3 × a5 = a15 d. a3 + a5 = 2a8

* EX 1.88. QCM : (-3a)² est égal à…

a. -9a² b. (3a)² c. 9a² d. 6a² e. -3a²

* EX 1.89. Écrire en chiffres : 10², 10³, 106, 10-3, 10-6.

* EX 1.90. Écrire les nombres 2 300 ; 55 000 ; 0,02 ; 0,00015 en notation scientifique (s’aider de la

calculatrice)

* EX 1.91. Calculer : 105×102 ; 105:102 ; 10-3×106 ; 10-4×10-2

* EX 1.92. Faire les calculs suivants et écrire les résultats en notation scientifique :

a. 2,5×103 + 3×102 b. (2,5×103) × (3×102) c. 2,5×103 - 3×102 d. (2,5×103):(3×102)

* EX 1.93.

a. La distance Terre-Soleil est environ 150 millions de kilomètres. Écrire en notation scientifique (puissances de 10) le nombre de mètres correspondant. On appelle ce nombre "a".

b. Une feuille de papier a une épaisseur de 0,2 mm. Écrire en notation scientifique cette épaisseur en

mètres. On appelle ce nombre "b".

c. Calculer, en utilisant seulement a et b, le nombre de feuilles qu'il faudrait empiler pour atteindre le

Soleil.

* EX 1.94. La mésaventure du souverain indien Chiram

Ce souverain a promis de verser à l'un de ses compatriotes une quantité de grains de riz acceptable.

L'indien lui montra un échiquier et lui dit : "Versez donc un grain sur la première case, deux sur la

deuxième, quatre sur la troisième, et ainsi de suite en multipliant par deux en utilisant toutes les

cases." Le souverain se mit à rire, croyant faire une bonne affaire, et accepta le marché.

Combien de grains dut-il ainsi donner ? (un échiquier comporte 64 cases)


2.9 Introduction aux logarithmes

Calculer le logarithme d’un nombre et calculer la puissance d’un nombre sont deux opérations

réciproques : logxay a x y= ⇔ = .

(on s’en tient à des valeurs de a strictement positives et différentes de 1) On a défini ainsi de manière naturelle le « logarithme de base a ». Exemples :

logarithme de base 2

On sait que 8 = 23 ; donc log2(8) = 3 ; 2 = 21 ; donc log2(2) = 1

On sait que 1024 = 210 ; donc log2(1024) = 10

22,5 ≈ 5,656 ; donc log2(5,656) ≈ 2,5 ( ) ( )log log2

22 et 2x xx x= =

logarithme de base 10, souvent noté log (au lieu de log10), très présent en physique

On sait que 1000 = 103 ; donc log10(1000) = 3 ; 10 = 101 ; donc log(10) = 1

102,5 ≈ 316,23 ; donc log10(316,23) ≈ 2,5 ( ) ( )log log10

1010 et 10x xx x= =

logarithme de base e : le logarithme népérien ln

(e est l’« exponentielle » et vaut environ 2,718)

On sait que 100 ≈ e4,605 ; donc loge(100) = ln(100) ≈ 4,605 ; e = e1 ; donc ln(e) = 1

e2,5 ≈ 12,18 ; donc ln(12,18) ≈ 2,5 ( ) ( )ln lne et ex xx x= =

Propriétés algébriques des logarithmes

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

{ }( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

*

*

*

*

, : log log log log log log

, : log log

: log ; log

, , \ : log ; log log loglog

2

3

et

1 0 1

11

a a a a a a

ya a

a a

a a a bb

xx y xy x y x y

y

x y x y x

x a

a b c b c b ca

+

+

+

+

∀ ∈ = + = −

∀ ∈ ∈ =

∀ ∈ = =

∀ ∈ = = ×

ℝ

ℝ ℝ

ℝ

ℝ

En particulier : On montre que ( ) ( ) lnlog

ln10 10

xx =

Intérêts du logarithme népérien : 1) lnx est une primitive de 1/x

2) ex est égal à sa dérivée !

EXERCICES

* EX 1.95. Simplifier :

a. log10(1000) b. log10(0,01) c. log2(5) + log2(0,6) d. log10

3

100

e. log10(0,07) f. 8×log10 ( )5 g. 8×ln ( )5


2.10 Notions de mathématiques financières

2.10.1 Progressions arithmétiques et géométriques

L’objectif ici n’est pas de refaire un cours exhaustif sur les suites arithmétiques et géométriques, mais de faire une présentation succincte de quelques notations et résultats à des fins d’applications économiques. Généralités

Une suite u de valeurs réelles est une liste finie ou infinie de telles valeurs. À ce titre, ses valeurs, ou termes, doivent être données dans un ordre précis. On les nomme donc en se servant d’un indice : entier n qui est le rang d’un terme, c'est-à-dire son numéro dans la suite. Les termes d’une suite u sont le plus souvent notés u0 (premier terme), u1, u2, …, un-1, un, un+1, … et ainsi de suite. Tout est permis dans les suites : la liste des valeurs peut être parfaitement aléatoire, ou au contraire être logique. Dans ce dernier cas, la suite montre un lien bien déterminé entre un terme et le (ou quelques) précédent(s) – on dira que la suite est définie par récurrence -, ou alors chaque terme un se calcule directement à partir de son rang n – suite fonctionnelle. Exemples * Soit la suite u telle que u0 = 3 et pour tout entier naturel n, un+1 = un

2. Elle est ainsi définie par récurrence. Sans chercher à tout savoir sur cette suite, on constate que pour passer d’un terme au suivant, il faut le mettre au carré. On en tire quelques termes : u1 = 9, u2 = 81, u3 = 6561, … * Soit la suite u telle que u0 = 100 et pour tout entier naturel n, un+1 = un + 7. Elle est ainsi définie par récurrence. On en tire quelques termes : u1 = 107, u2 = 114, u3 = 121, … * Soit la suite u telle que un = 2n. (définie de façon fonctionnelle) Ici, c’est le rang lui-même qui intervient dans la valeur du terme : u0 = 1, u1 = 2, u2 = 4, u3 = 8, u4 = 16, u5 = 32, … * Une même suite peut être définie des deux façons. Prenons la suite précédente et définissons-la par récurrence : soit la suite u telle que u0 = 1 et pour tout entier naturel n, un+1 = 2×un. Il est clair qu’il s’agit bien de la suite précédente. * définir d’une manière fonctionnelle la suite du deuxième exemple.

Suites arithmétiques Présentation et résultats Une suite est dite arithmétique lorsque la différence entre un terme et le précédent est constante.

n nu u r+ − =1

Ce nombre fixé r est appelé raison de la suite. L’évolution des valeurs, terme après terme, se fait donc à vitesse constante. Si r < 0, la suite est décroissante, si r = 0, elle est constante, si r > 0, elle est croissante. On a alors les résultats suivants :

.nu u n r= +0 ( )( )n

nk

k

n u uu

=

+ +=∑ 0

0

1

2

pour calculer un terme pour calculer la somme des n+1 sans avoir à calculer les premiers termes précédents


Suites géométriques

Une suite est dite géométrique lorsque le rapport entre un terme et le précédent est constant.

n

n

uq

u+ =1

Ce nombre fixé q est appelé raison de la suite. L’évolution des valeurs, terme après terme, ne se fait donc pas à vitesse constante. Nous ne parlerons que des raisons positives et d’un premier terme positif. Si 0 < q < 1, la suite est décroissante, si q = 1, elle est constante, si q > 1, elle est croissante. On a alors les résultats suivants :

nnu u q= ×0 .

nn

kk

qu u

q

+

=

−=−∑1

00

1

1

pour calculer un terme pour calculer la somme des n+1 sans avoir à calculer les premiers termes précédents

2.10.2 Intérêts simples

Un capital C0, placé en intérêts simples, rapportera à chaque période (en général : une année) des intérêts à taux fixe de p% calculés sur la base de C0. Autrement dit, chaque période rapporte le même montant d’intérêts : p% × C0. Capital possédé au bout d’une période : C1 = C0 + p% × C0. Capital possédé au bout de deux périodes : C2 = C0 + 2× p% × C0. Capital possédé au bout de trois périodes : C3 = C0 + 3× p% × C0. … Capital possédé au bout de n périodes : Cn = C0 + n × p% × C0. La suite des capitaux est donc arithmétique, de raison p% × C0.

Les formules précédentes montrent que . %. .n n = + = +

0 0 0 1100

n

pC C p C C

et que si à chaque début de nouvelle période on rajoute au placement une nouvelle somme égale à C0, la somme totale possédée au bout de n périodes est alors :

( )( ) ( ) .n n

n n=

+ + = = + +

∑ 00

0

11 1

2 200n

k

k

C C pC C

Activité : « LE TAUX DE PLACEMENT » Arthur, Olivier et Stéphane placent respectivement, sur leurs livrets « jeune » à la banque, 150 €, 450 € et 900 €. Au bout de 1 an, les intérêts obtenus sont alors de 4,50 € , 13,50 € et 27 €. Compléter le tableau ci-dessous :

Arthur Olivier Stéphane

Capital placé (€)

Intérêt (€)

Prouver que les deux suites de nombres sont proportionnelles : Que représente le coefficient de proportionnalité ? Écrire le calcul de l’intérêt de chacun :

Arthur : ……………………………………………………………………………….. Olivier : ……………………………………………………………………………….. Stéphane : ……………………………………………………………………………..


Le montant de l’intérêt est donc proportionnel au capital placé : le coefficient est le taux de placement. Le taux de placement est exprimé en pourcentage, mais dans les calculs on l’écrira en décimal : exemples : Livret jeune :……………………………………. Livret A : ………………………………………. Assurance vie : …………………………………. CALCUL DE L’INTÉRÊT ET DE LA VALEUR ACQUISE

1) Exemples

Un capital de 500 € est placé sur un compte épargne à un taux d’intérêt annuel de 4,5 %. Calculer le montant de l’intérêt au bout de 2 ans de placement :

……………………………………………………………………………………………………… En déduire le montant total sur le compte :

………………………………………………………………………………………………………

2) Formules

Intérêt % &' × ( × ) C0 : capital placé ; t : taux annuel ; n : durée du placement

Valeur acquise &) &' � %

3) Remarques

Les placements à intérêts simples se font sur des courtes durées, rarement au-delà de 1 an ; donc les durées utilisées sont : le mois, le jour.

Si le nombre de périodes n est en mois : % &' × ( × )*+

en jours : % &' × ( × ),-'

Exemples : calculer l’intérêt et la valeur acquise dans les cas suivants : Capital 250 € placé à 3,5 % pendant 4 mois : Capital 1 200 € placé à 4,75 % pendant 15 quinzaines : Capital 900 € placé à 5,25 % du 3 Octobre au 10 Novembre : COMMENT RETROUVER LE CAPITAL PLACÉ ? Exemple 1 : un capital a produit 10,50 € d’intérêt au bout de 9 mois de placement ; retrouver le montant du capital sachant que le taux d’intérêt annuel est de 4 %. Exemple 2 : un capital a acquis une valeur de 3813,30 € au bout de 36 jours à un taux annuel de 3,5 %. Retrouver le montant de ce capital. COMMENT RETROUVER LE TAUX DU PLACEMENT ? Exemple : un capital de 1200 € est placé pendant 72 jours ; le montant de l’intérêt est alors de 10,80 €. Calculer le taux annuel de ce placement. COMMENT RETROUVER LA DURÉE DU PLACEMENT ? Exemple : un capital de 4000 € est placé à un taux annuel de 3,75 % ; au bout de combien de jours de placement le montant de l’intérêt atteindra 30 € ?


2.10.3 Intérêts composés

Un capital C0, placé en intérêts composés, rapportera à chaque période n+1 (en général : une année) des intérêts à taux fixe de p% calculés sur la base du capital Cn possédé à la fin de la période précédente. Autrement dit, le montant d’intérêts évolue d’une période à une autre. Capital possédé au bout d’une période : C1 = C0 + p% × C0. Capital possédé au bout de deux périodes : C2 = C1 + p% × C1 = C0.(1 + p%)2 Capital possédé au bout de trois périodes : C3 = C2 + p% × C2 = C0.(1 + p%)3 … Capital possédé au bout de n périodes : Cn = C0.(1 + p%)n. La suite des capitaux est donc géométrique, de raison 1 + p%. Remarque : la suite des intérêts est également géométrique, avec la même raison.

Les formules précédentes montrent que

n

n

= +

0 1100

pC C

et que si à chaque début de nouvelle période on rajoute au placement une nouvelle somme égale à C0, la somme totale possédée au bout de n périodes est alors :

n

n

+

=

+ − =∑

1

00

1 1100

100

k

k

p

C Cp

CALCUL DE LA VALEUR ACQUISE

Activité Vous placez un capital C de 1 000 € sur un livret d’épargne au taux annuel t de 4 % .

Calculer la valeur acquise au bout d’un an, que l’on notera C1 :

Calculer la valeur acquise par le capital C1 pendant la deuxième année. On note C2 cette valeur acquise.

Calculer la valeur acquise par le capital C2 pendant la troisième année. On note C3 cette valeur acquise.

Un placement est à intérêts composés, quand à la fin de chaque période de placement, l’intérêt s’ajoute au capital pour le calcul des intérêts de la période suivante : on parle alors de capitalisation. Formule Recopier dans le tableau les résultats obtenus précédemment :

Capital initial C0 Valeur acquise C1 Valeur acquise C2 Valeur acquise C3

Écrire le calcul donnant directement la valeur acquise de la cinquième année en partant de 1 000 € :

Formule générale : Cn = C0× ( 1 + t )n

Remarque : dans ce cas on calcule directement la valeur acquise. ; pour trouver le montant de l’intérêt il suffira de calculer la différence entre la valeur acquise et le capital initial. Application Calculer la valeur acquise par un capital de 1 500 € placé sur un livret jeune au taux annuel de 3,75 % pendant 8 ans. En déduire le montant de l’intérêt.


COMMENT RETROUVER LE CAPITAL ? Exemple : Quel capital C0 faut-il placer pendant 4 ans à un taux annuel de 5 % pour avoir une valeur acquise de 6 077,53 € ? COMMENT RETROUVER LE TAUX DU PLACEMENT ? (utilisation de la puissance inverse) Exemple : Calculer le taux t auquel il faut placer 20 000 € pendant 9 ans pour avoir 33 789,58 €. COMMENT RETROUVER LA DURÉE DU PLACEMENT ? (introduction du logarithme) Exemple : Calculer la durée du placement, en années, d’un capital de 8 000 € placé à 5,75 % pour obtenir une valeur acquise de 10 000 €.

2.10.4 Les emprunts indivis

Lorsqu’une personne a besoin d’une somme d’argent, il lui est possible d’emprunter cette somme (auprès d’une banque, d’une société de prêts, d’une assurance ….) si ses ressources sont suffisantes pour rembourser. La loi impose que le remboursement ne doit pas dépasser le tiers (33 %) des revenus. Exemple : une personne qui gagne 1500 €/mois peut rembourser maximum 500 €/mois.

Il existe deux types de remboursement : - remboursement par amortissements constants - remboursement par annuités constantes L’amortissement est la valeur du capital remboursé chaque année. L’annuité est la somme payée par le débiteur pour rembourser le prêt, elle correspond à la somme de l’amortissement et des intérêts : annuité = amortissement + intérêts. Les intérêts sont calculés pour chaque période sur la base du capital restant dû. 1 . Remboursement par amortissements constants

Le montant du de l’amortissement ne varie pas, mais la somme payée chaque période (annuité) n’est pas la même. Amortissement = capital à rembourser / nombre d'échéances On calcule d’abord l’amortissement annuel, puis les capitaux restants dus, sur la base desquels le taux d’intérêts est appliqué. 1er Exemple : capital emprunté : 80 000 € ; taux d'intérêt annuel : 4 % ; remboursement annuel pendant 5 ans. Amortissement = Tableau d'amortissement :

années capital restant dû

(en début de période)

amortissements intérêts Annuités de

remboursement capital restant dû (en fin de période)

1

2

3

4

5


2ème exemple : capital emprunté : 30 000 € ; taux d'intérêt annuel : 9 % ; remboursement mensuel sur 2 ans. Quelle va être la durée du remboursement en mois ? Valeur de l’amortissement de chaque mois = Les intérêts vont s’appliquer chaque mois, avec un taux mensuel =

Mois capital restant dû



remboursement

capital restant dû (en fin de période)

1

2

3

…

2. Remboursement par annuités constantes ( On paie le même montant chaque période) Les annuités de remboursement sont des versements réguliers effectués en fin de période afin de rembourser le capital emprunté.

La valeur actuelle ./ d'un emprunt est donnée par la formule : ./ � 01�023)453

Comment déterminer le montant de l’annuité « � » payée chaque période ? (transformation de formule) 1er exemple : Mr Toulemonde doit rembourser un crédit de 10 000 € en cinq annuités constantes payables chaque fin d'année au taux annuel de 4 %. Calcul du montant de l’annuité : Calcul du premier intérêt : Calcul du premier amortissement :

années capital restant dû



remboursement capital restant dû (en fin de période)

1

2

3

4

5

Remarques : En début de période, le montant de l’intérêt est plus élevé qu’en fin de période (contrairement à l’amortissement). Calculer le montant total versé à la banque (total des annuités) :


Calculer le montant total des intérêts perçus par la banque (c’est le « coût du crédit ») : Formule pour trouver le montant total des intérêts : � × $ � ./

2ème exemple :

Vous désirez acheter une voiture dont la valeur d'achat est 14 000 €. Vous envisagez un emprunt.

Les conditions du plan de financement sont les suivantes :

- apport : 20 % de la valeur d'achat - remboursements mensuels constants

- taux annuel global (TEG) : 6 % - durée 5 ans

Calculer le montant à emprunter :

Calculer le taux mensuel proportionnel :

Calculer la durée du remboursement en mois :

Calculer le montant d'une mensualité :

Compléter les 4 premières lignes du tableau d'amortissement ci-dessous :

Mois capital restant dû


amortissements intérêts Mensualités de remboursement

capital restant dû (en fin de période)

1

2

3

4

…..

Calculer le montant total versé à la banque (total des mensualités) : Calculer le montant total des intérêts perçus par la banque (c’est le « coût du crédit ») : EXERCICES

* EX 1.96. Calculer la valeur acquise par un capital de 5 000 € placé au taux annuel de 4,75 % pendant 5

ans. En déduire le montant de l’intérêt.

* EX 1.97. Quel capital C0 placer pendant 8 ans à 5 % pour avoir une valeur acquise de 14774,55 € ?

* EX 1.98. Calculer le taux t auquel il faut placer 20 000 € pendant 10 ans pour obtenir une valeur acquise

de 33 361,92 €.

* EX 1.99. Calculer la durée du placement d’un capital de 3 500 €, placé à 2,1 %, pour obtenir une valeur

acquise de 4 219,88 €.

* EX 1.100. On place un capital C0 = 15000 € à intérêts composés au taux annuel t = 5%. Exprimer Cn+1 en

fonction de Cn et de t, calculer le capital possédé au bout de 10 ans, et dire au bout de combien de

temps on obtiendra le double du capital de départ.

* EX 1.101. Un capital de 5000 € est déposé à intérêts composés pendant 7 ans. Déterminer le taux

d’intérêt annuel sachant que ce capital a produit 3569 € d’intérêts.

* EX 1.102. Vous placez 1000 € le 1er janvier, en intérêts composés, au taux annuel de 6% mais vous

désirez retirer votre argent au bout de 6 mois. Combien retirerez-vous ?

* EX 1.103. Un pépiniériste achète de jeunes conifères du Japon, mesurant 20 cm.


Ces conifères ont la particularité de voir leur taille augmenter de 20% tous les ans.

1) Remplir le tableau de valeurs suivant.

année année 1 année 2 année 3 année 4

taille (cm) 20

2) Exprimer, en fonction de n, la taille d'un de ces conifères à l'année n.

3) Pour que cet arbre soit vendu, il doit mesurer au moins un mètre. À partir de quelle année pourra-

t-il vendre ses conifères ?

* EX 1.104. Un commerçant place 10% de ses bénéfices sur un compte rapportant 7% par an. Les

bénéfices annuels se montent à 36000 €, si bien que le commerçant apporte à chaque fin d'année 3600

€ sur son compte. Il retire également ses intérêts, chaque année à la même date.

Le tableau ci-dessous explique le détail de ses opérations et les relevés de son compte.

année 2012 2013 2014 2015

argent placé 3600 3600 3600 3600

intérêts retirés 0 7% de 3600 7% de 7200 7% de 10800

montant du compte 3600 7200 10800 14400

1) Calculer les intérêts retirés au bout de chacune de ces quatre années. 2) Calculer les intérêts retirés n années après 2012, en fonction de n.

3) En utilisant la formule ( )

...1

1 2 32

n nn

++ + + + = , calculer le total des intérêts qu’il aura

récupérés entre 2012 et 2030.

4) Combien possédera-t-il sur son compte en 2030 ?

* EX 1.105. 1) M.Prévoist dépose 500 € sur un compte rapportant 6% annuels d’intérêts composés. De quelle

somme disposera-t-il cinq ans plus tard ?

2) Quelle somme devrait-il déposer aujourd’hui pour pouvoir disposer de 1000 € dans cinq ans ?

* EX 1.106. Au 1/01/2015, un employé a un salaire mensuel de 1550 €. L'entreprise qui l'emploie décide

de lui accorder des augmentations au rythme d'une par an, et lui demande de choisir entre deux types

de rémunération :

- une augmentation de 170 € au 1er janvier de chaque année (choix 1)

- une augmentation de 10 % au 1er janvier de chaque année (choix 2)

1) Remplir le tableau ci-dessous en calculant pour les années citées son nouveau salaire mensuel,

considérant les deux types différents.

année 2015 2016 2017 2018

choix 1 1550

choix 2 1550

2) Donner, pour chaque type d'augmentation, une expression du salaire mensuel de cette personne

lorsque n années se sont écoulées après 2015.

3) Calculer, à l'aide des deux relations précédentes, les deux salaires mensuels différents qu'il

pourrait toucher en 2030.

* EX 1.107. Une machine perd chaque année 20% de sa valeur. Au bout de combien de temps vaudra-t-

elle moins de 10% de sa valeur de départ ?