15

Renkli – Resimli – Tablolu

Örnek Soru Çözümlü

Kazanımlarla Uyumlu

Tam Konu Anlatımı

Öğrenmeyi Kolaylaştıranİpuçları

Güncel

ONLİNE“eğitimde yayındenizi online”

ÖĞRETMEN ÜYELİĞİ SEÇİMİ İLE SİSTEME ÜYELİK FORMUNU DOLDURUNUZ.

SİSTEME GİRİŞ YAPARAK DİJİTAL İÇERİKLERİNİZİ İSTEDİĞİNİZ YEREİNDİREBİLİRSİNİZ.

İNTERNETE BAĞLI OLSUN VEYA OLMASIN DİLEDİĞİNİZ PLATFORMLARDA İÇERİKLERİMİZKULLANABİLİRSİNİZ.

İSTEDİĞİNİZSORULARLA KENDİ TESTİNİZİOLUŞTURABİLİRSİNİZ.

www.ydakillitahta.com

ÜCRETSİZ ÖĞRETMEN ÜYELİĞİ

KOLAY ERİŞİLEBİLİR DİJİTAL İÇERİK

ÖRNEK KİTAP TALEBİ

TYT

MÜFREDATA UYGUN SORU HAVUZU

MATEMATİK

Genel Yayın KoordinatörüAyça AKTAŞ DEMİRCAN

YazarServet KAÇARAN Şenay KAÇARANTuba ÇADIR

Dizgi YAYIN DENİZİ DİZGİ BİRİMİ

Basım Yeri

Copyright ©Bu kitabın her hakkı yayınevine aittir.

Hangi amaçla olursa olsun, bu kitabın tamamının ya da bir kısmının, kitabı yayımlayan yayınevinin önceden izni olmaksızın elektronik, mekanik, fotokopi ya da herhangi bir kayıt sistemi ile

çoğaltılması, yayınlanması ve depolanması yasaktır.

08-0918-01-5000ISBN: 978-605-197-132-2

İLETİŞİMServet KAÇARAN skacaran@gmail.comAyça AKTAŞ DEMİRCAN aycademircan@isler.com.tr

TELEFON 0(312) 395 13 36

İNTERNET @ydtekserisi tekyayinlari@gmail.com

@ydtekserisi

ÖN SÖZ

Sevgili Öğrenciler,

Yayın Denizi serisindeki TEK MATEMATİK-TYT kitabı üniversiteye hazırlanan tüm öğrenciler ile 9. ve 10. sınıf öğrencileri için aradıkları her bilgiyi kolayca bulabilecekleri bir kaynak kitap niteliğindedir.

Bir öğrencinin Temel Yeterlilik Testinin (TYT) Matematikle ilgili kıs-mında ihtiyaç duyabileceği tüm bilgiler bir sistem dahilinde bu kitapta bir araya getirildi.

Bu kitaptaki konular aynı zamanda Akademik Yeterlilik Testinin de (AYT) kapsamındadır.

Formüller, özellikler, uyarılar örneklerle desteklendi. Bunun için sıra-dan örnekler yerine özelliği olan örnekler seçildi.

Kolay anlaşılabilirlik için renkler kullanıldı. İşlem sırası, önemli noktalar renklendirildi.

Uzun paragraflardan kaçınıldı; maddeleştirici anlatım yolu tercih edildi.

Gereksiz detaylara yer verilmedi.

Milli Eğitim Bakanlığı tarafından son olarak Ocak-2018 tarihinde de-ğiştirilen ve 2018-2019 Eğitim Öğretim yılından itibaren tüm sınıflarda ve sınavlarda uygulanacak müfredat değişikliğine hem konu sırası bakımın-dan hem de içerik bakımından tam olarak uyulmuştur.

Kitap, bu özelliği nedeniyle de 9. ve 10. sınıf öğrencileri için de iyi bir başucu kitabıdır.

TEK MATEMATİK-TYT kitabından beklediğiniz verimi alabilmenizi te-menni ediyoruz.

Başarı dileklerimizle.

Servet KAÇARAN Şenay KAÇARAN Tuba ÇADIR

ÇALIŞMA PLANI YAPALIM!

NA

SIL

NER

EDE

NE ZAMAN

Herşey ne kadar karışık görünse de;☛ Gerçekleştirilebilecek bir hedefin varsa,☛ Hedefe ulaşmayı amaç edindiysen,☛ Soru çözerek deneyim kazanıyorsan,☛ Konuları birbiri ile ilişkilendirebiliyorsan,☛ Sınav uygulayarak bilgilerini sık sık kontrol

ediyorsan, ☛ Kendine güveniyorsan

işler iyi gidecek demektir.

İyi not almak, her şeyi yazmak demek değildir!İyi not almak; kendi cümlelerini kurmak, şekille veya yazıyla şifre-

lemek, baktığında kolayca anlayıp hatırlamak için materyal hazırlamak demektir.

Tutulan notlar; onlara geri dönmek, onları okumak, onları gözden geçirmek, oradaki fikirlerin üzerine düşünmekle bir anlam kazanırlar.

Bilgi Duygu ve davranış+ Deneyim + = ÖĞRENME

Merak

;

öğren

meisteğ

iniha

rekete

geçir

ir,

odaklan

mayısağla

r,

çabu

kyorulm

ayıeng

eller.

Çalışma Planı Yaparken Bu Soruları Dikkate Alınız!

Hangi ders, hangi gün?

Konu öğrenme ve tekrarı ne zaman?

Soru çözümleri, ödevler ne zaman?

Deneme Sınavları ne zaman?

Aksayan çalışmalara hangi gün, ne kadar zaman ayırmalıyım?

Ders dışı hangi etkinlikler ne zaman yapılmalı?

Tatil günü hangi gün?

5

EVDE ETKİN ÇALIŞMA Evde olduğunuz zamanı çok iyi değerlendirmelisiniz. Çoğu zaman yoğun ve

yorgun bir gün geçirerek eve geldiğiniz için uygulanabilir iyi bir ev programına ihtiyacınız var.

Evde yapılması gereken işler uyuma, dinlenme, beslenme, konuları tekrar etme, soru çözme, çözemediğin sorular için araştırma yapma, ödev yapma, fazladan sınav uygulama, önceden öngörülemeyen durumlar gibi pek çok başlık altında toplanabilir.

İyi bir program için aşağıdaki uyarılar işinize yarayabilir.

Eve gelince önce dinlenmelisiniz.

Konu öğrenme, tekrar etme, soru çözme saatlerini birbiri arkasına yerleştir-melisiniz.

Ders çalıştığınız her saat için 10 dakika kadar dinlenme molası vermelisiniz. Mola vermek odaklanma gücünü artırır.

Her hafta en az 1 tane deneme sınavı uygulamalısınız.

Her gün konu tekrarlarına zaman ayırmalısınız Yeni bilgiyi günlük tekrar etmelisiniz. Tekrar etmek başarının anahtarıdır. Bilginin pekiştirilmesini ve uzun sureli hazfızaya atılmasını sağlar.

Bilginin kalıcı olmasını sağlamak için ilişkilendirerek öğrenmeye çalışmalısı-nız.

Herkesin uyuduğu zaman çalışmak, herkesin çalıştığı zaman uyumak iyi bir yöntem değildir.

Herşeyden arındırılmış ortam, çalışma için iyi bir ortam değildir.

Dikkatinizi belli alanlara değil, genele yaymalısınız.

Yaptığınız programa beyninizi ikna etmelisiniz.

• Konuları eksik bırakma.• Tam özümseyene kadar tekrar et.• Tanımlara, kavramlara önem ver.• Zor bilgileri şekil ve grafikle destekle.• Bilgileri günlük yaşamla ilişkilendir.• Bilinçli okuma, yazma alışkanlığı kazan.• Kendine güven.BAŞARM

AK B

U KADAR KOLAY

B

6

1. BÖLÜM: Mantık ....................................................................................... 7

2. BÖLÜM: Kümeler .................................................................................. 21

3. BÖLÜM: Doğal Sayılar ve Tam Sayılar ................................................. 35

4. BÖLÜM: Rasyonel Sayılar, Reel (Gerçek) Sayılar ................................ 49

5. BÖLÜM: Birinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklem ve Eşitsizlikler ... 57

6. BÖLÜM: Mutlak Değer .......................................................................... 63

7. BÖLÜM: Birinci Dereceden İki Bilinmeyenli Denklem ve Eşitsizlikler .... 73

8. BÖLÜM: Üslü ve Köklü İfadeler ............................................................. 81

9. BÖLÜM: Oran, Orantı ve Problemler ..................................................... 93

10. BÖLÜM: Veri ..................................................................................... 117

11. BÖLÜM: Sayma Metotları, Permütasyon, Kombinasyon,

Pascal Üçgeni, Binom Açılımı ........................................... 127

12. BÖLÜM: Basit Olayların Olasılığı ...................................................... 149

13. BÖLÜM: Fonksiyonlara Giriş ............................................................. 157

14. BÖLÜM: Polinomlar ve Çarpanlarına Ayırma .................................... 180

15. BÖLÜM: İkinci Dereceden Denklemler .............................................. 197

İÇİNDEKİLER

7

BÖLÜM

1

7

MANTIK

1. ÖNERMELER

Bugüne kadar pek çok şey hakkında “doğru” veya “yanlış” diye hüküm ver-mişsinizdir. “3 + 5 = 8” eşitliğinin doğru bir hüküm belirttiğini, “Bir yılda 10 ay vardır.” cümlesinin yanlış bir hüküm belirttiğini hemen söyleyebiliriz. Fakat, “Bugün ders çalışacak mısın?” cümlesi doğru ya da yanlış bir hüküm belirtmemektedir.

Doğru ya da yanlış hüküm bildiren ifadelere önerme denir.

1.1.ÖnermelerinGösterimi,DoğrulukDeğeri,DoğrulukTablosu

Önermeler genellikle p, q, r, s, t, ... gibi harflerle adlandırılır.

p: “23 = 8” ,

q: “5 bir asal sayı değildir.”

r: “Cümleler büyük harfle başlar.” gibi.

• Bir önerme, doğru veya yanlış hükümlerinden yalnız birini belirtir. Bu hükme önermenin doğruluk değeri denir.

• “doğru” hükmü, D veya 1 ile; “yanlış” hükmü, Y veya 0 ile ifade edilir. Bu kitapta genellikle 1 ve 0 gösterimini kullanacağız.

• Herhangi bir p önermesi için (doğru) veya (yan-lış) olmak üzere iki durum söz konusudur. Bu iki durum yandaki tabloda gösterilmiştir.

p

1

0

veya

p

D

Y

p: “23 = 8” önermesinin doğruluk değeri 1’dir. Çünkü, gerçekten 23 = 8’dir.

q: “5 bir asal sayı değildir.” önermesinin doğruluk değeri 0’dır.

r: “Cümleler büyük harfle başlar.” önermesinin doğruluk değeri 1’dir.

›› ÖRNEK

8

• Herhangi iki önerme p ve q olsun. Bu p ve q önermelerinin doğruluk de-ğerlerinin karşılıklı olarak kaç değişik şekilde olabileceğini bulabiliriz. p önermesinin alabileceği her bir doğruluk değeri için q önermesinin iki tane doğruluk değerinden birini alabileceği açıktır. Bu durumu dallanma veya tablo ile gösterebiliriz.

• Herhangi iki önermenin doğruluk değerleri birbirlerine göre 2·2 = 22 = 4 de-

ğişik durumda olabilmektedir. • Üç farklı önermenin doğruluk değerleri için 2·2·2 = 2

3 = 8 değişik durum

söz konusudur. • Birbirinden farklı n tane önermenin doğruluk değerleri için 2

n değişik durum söz konusudur.

• Önermelerin doğruluk değerlerinin birbirine göre alabilecekleri bütün durum-ları gösterdiğimiz tabloya doğruluk tablosu denir.

q

1

0

1

0

p

1

1

0

0

q

1

0

1

0

p

1

0

İki önermedallanma ile

İki önermetablo ile

p

1

1

1

1

q

1

1

0

0

0

0

0

0

1

1

0

0

r

1

0

1

0

1

0

1

0

Üç önerme tablo ile

1.2.Denk(Eşdeğer)Önermeler

Doğruluk değeri aynı olan önermelere denk (eşdeğer) önermeler denir.

• p ve q denk iki önerme ise bu denklik p ≡ q biçiminde gösterilir ve “p önermesi q önermesine denktir” diye okunur.

• Denk olmayan önermeler p q_ biçiminde gösterilir.

1.3.BirÖnermeninOlumsuzu(Değili)

Bir p önermesinin sonuna “değil” kelimesi getirerek hükmünün değiştirilme-siyle elde edilen yeni önermeye p önermesinin olumsuzu (değili) denir ve pı veya ~p sembollerinden biri ile gösterilir.

9

• p ve pı önermelerinin doğruluk değerlerinin birbirine göre du-rumları yandaki doğruluk tablosunda gösterilmiştir.

• .p p dir› ›=` j Bir önermeninin değilinin değili kendisine eşittir.

p10

p′

01

p : “En küçük asal sayı 9’dur.” önermesinin değili, pı : “En küçük asal sayı 9 değildir.” dir.

q : “5! = 120 dir.” önermesinin değili, qı : “5! ≠ 120 dir.” dir.

›› ÖRNEK

2.BAĞLAÇLARVEBİLEŞİKÖNERMELER

En az iki önermenin “veya”, “ve”, “yada”, “ise”, “ancakveancak” gibi bağ-laçlardan en az birisi ile birleştirilmesinden elde edilen yeni önermelere, bileşik önermeler denir.

• “veya” bağlacı “∨” sembolü ile gösterilir.

• “ve” bağlacı “∧” sembolü ile gösterilir.

• “ya da” bağlacı “∨” sembolü ile gösterilir.

• “ise” bağlacı “⇒” sembolü ile gösterilir.

• “ancak ve ancak” bağlacı “⇔” sem-bolü ile gösterilir.

Bağlac›n işareti

∨

∧

⇒

⇔

Bağlac›n ad›

veya

∨ya da

ve

ise

ancak ve ancak

2.1.“Veya”(v)Bağlacı(İşlemi)

p ile q önermelerinden oluşan p ∨ q bileşik önermesi, p ile q önermelerinden en az biri doğru iken doğru, her ikisi de yanlış iken yanlıştır.

p ∨ q bileşik önermesi, “p veya q” biçiminde okunur.

p ∨ q bileşik önermesinin doğruluk tablosu yandadır.

p

1

1

0

0

q

1

0

1

0

p ∨ q

1

1

1

0

10

2.2.“Ve”(∧)Bağlacı(İşlemi)

p ile q önermelerinden oluşan p ∧ q bileşik önermesi, p ile q önermelerinden her ikisi de doğru iken doğru, diğer durumlarda yanlıştır.

p ∧ q bileşik önermesi, “p ve q” biçiminde okunur.

p ∧ q bileşik önermesinin doğruluk tablosu yandadır.

p

1

1

0

0

q

1

0

1

0

p ∧ q

1

0

0

0

2.3.“Yada”(∨)Bağlacı(İşlemi)

p ile q önermelerinden oluşan p ∨ q bileşik önermesi, p ile q önermelerinden her ikisinin de doğruluk değerleri aynı iken yanlış, farklı iken doğrudur.

p ∨ q bileşik önermesi, “p ya da q” biçiminde okunur.

p ∨ q bileşik önermelerinin tablosu yandadır.

p

1

1

0

0

q

1

0

1

0

p q

0

1

1

0

∨

(1 ∨ 0)ı ∧ (1ı ∧ 0) bileşik önermesinin doğruluk değerini bulalım.›› ÖRNEK

(1 ∨ 0)ı ∧ (1ı ∧ 0) ≡ 1ı ∧ (0 ∧ 0) (1 ∨ 0 ≡ 1 dir.)

≡ 0 ∧ 0 ≡ 0 bulunur.

›› ÇÖZÜM

(p ∧ qı ) ∨ (pı ∧ q ) bileşik önermesinin doğruluk tablosunu yapalım.›› ÖRNEK

Bu bileşik önermede p ve q iki önermedir. pı, qı, p ∧ qı, pı ∧ q önerme-lerinin doğruluk değerlerini p ve q önermelerinin doğruluk değerlerinden elde edeceğiz. Aşağıdaki tabloda yapılan işlemleri dikkatle inceleyiniz.

Tabloda p ve q’nun birbirlerine göre alabilecekleri değerler yerleştirilmiştir (İlk iki sütun).

›› ÇÖZÜM

11

Sonra bu değerlere bakılarak; pı, qı, p ∧ qı, pı ∧ q, (p ∧ qı) ∨ (pı ∧ q) değerleri bulunmuştur.

p

1

1

0

0

q

1

0

1

0

pı

0

0

1

1

qı

0

1

0

1

p ∧ qı

0

1

0

0

(p ∧ qı) ∨ (pı ∧ q)

0

1

1

0

pı ∧ q

0

0

1

0

2.4.Ve(∧),Veya(∨),Yada(∨ )BağlaçlarınaAitÖzellikler

2.4.1. Tek Kuvvet Özelliği

p ∨ p ≡ p (∨ nın tek kuvvet özelliği)

p ∧ p ≡ p (∧ nin tek kuvvet özelliği)

2.4.2. Değişme Özelliği

∨ nın değişme özelliği var: p ∨ q ≡ q ∨ p

∧ nin değişme özelliği var: p ∧ q ≡ q ∧ p

∨ nın değişme özelliği var: p ∨ q ≡ q ∨ p

2.4.3. Birleşme Özelliği

∨ nın birleşme özelliği var: p ∨ (q ∨ r) ≡ (p ∨ q) ∨ r ≡ p ∨ q ∨ r

∧ nin birleşme özelliği var: p ∧ (q ∧ r) ≡ (p ∧ q) ∧ r ≡ p ∧ q ∧ r

∨ nın birleşme özelliği yoktur.

2.4.4. Dağılma Özelliği

∨ nın ∧ üzerine soldan dağılma özelliği var: p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r)

∨ nın ∧ üzerine sağdan dağılma özelliği var: (p ∧ q) ∨ r ≡ (p ∨ r) ∧ (q ∨ r)∧ nin ∨ üzerine soldan dağılma özelliği var: p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)

∧ nin ∨ üzerine sağdan dağılma özelliği var: (p ∨ q) ∧ r ≡ (p ∧ r) ∨ (q ∧ r)

12

2.4.5. De Morgan Kuralı

p ∨ q bileşik önermesinin değili: (p ∨ q)ı ≡ pı ∧ qı

p ∧ q bileşik önermesinin değili: (p ∧ q)ı ≡ pı ∨ qı

p ∨ q bileşik önermesinin değili: (p ∨ q)ı ≡ pı ∨ q ≡ p ∨ qı

2.4.6. Sadeleştirmeler

a. p ∧ 1 ≡ p d. p ∨ 1 ≡ 1 h. p ∨ 1 ≡ pı

b. p ∧ 0 ≡ 0 e. p ∨ 0 ≡ p ı. p ∨ 0 ≡ p

c. p ∧ pı ≡ 0 f. p ∨ pı ≡ 1 i. p ∨ p ≡ 0

ç. p ∧ (p ∨ q) ≡ p g. p ∨ (p ∧ q) ≡ p j. p ∨ pı ≡ 1

(pı ∨ q)ı ∨ (p ∧ q) bileşik önermesini en sade biçimde yazalım.›› ÖRNEK

(pı ∨ q)ı ∨ (p ∧ q) ≡ [(pı )ı ∧ qı ] v (p ∧ q) (De Morgan kuralı uygulandı.)

≡ (p ∧ qı ) ∨ (p ∧ q) ((pı )ı ≡ p dir.)

≡ p ∧ (qı ∨ q) (∧ nin ∨ üzerine dağılma özelliği)

≡ p ∧ 1

≡ p olur. (qı ∨ q ≡ 1 olduğundan)

›› ÇÖZÜM

2.5.Koşullu(Şartlı)Önerme

“⇒” bağlacı ile kurulan p ⇒ q bileşik önermesine koşullu (şartlı) önerme de-nir. p ⇒ q bileşik önermesi, “p ise q” biçiminde okunur.

• p ⇒ q bileşik önermesinin doğruluk değeri; p doğru, q yanlış iken 0, diğer bütün durumlarda 1’dir.

• Bu tanıma göre, p ⇒ q bileşik önermesinin doğruluk tablosu yandaki gibi olur.

p

1

1

0

0

q

1

0

1

0

p ⇒ q

1

0

1

1

13

2.5.1. Bir Koşullu Önermenin Karşıtı, Tersi, Karşıt Tersi

p ⇒ q bileşik önermesi verilsin.

• q ⇒ p bileşik önermesine p ⇒ q bileşik önermesinin karşıtı denir. • pı ⇒ qı bileşik önermesine p ⇒ q bileşik önermesinin tersi denir. • qı ⇒ pı bileşik önermesine p ⇒ q bileşik önermesinin karşıt tersi denir.

“Bugün pazar ise okul tatildir.”

koşullu önermesinin karşıtını, tersini, karşıt tersini yazalım.

›› ÖRNEK

“Bugün pazar ise okul tatildir.” bileşik önermesinde;

p : “Bugün pazardır”,

q : “Okul tatildir.” ile gösterilirse, bileşik önerme p ⇒ q olur.

Buna göre, bileşik önermenin karşıtı;

q ⇒ p : “Okul tatil ise bugün pazardır.” dır.

Bileşik önermenin tersi;

pı ⇒ qı : “Bugün pazar değil ise okul tatil değildir.” dir.

Bileşik önermenin karşıt tersi;

qı ⇒ pı : “Okul tatil değil ise bugün pazar değildir.” dir.

›› ÇÖZÜM

2.5.2. İse “⇒” Bağlacının Özellikleri

1. Her şartlı (koşullu) önerme karşıt tersine denktir: p ⇒ q ≡ qı ⇒ pı dür.

2. ⇒ bağlacının ∨ bağlacına çevrilmesi: p ⇒ q ≡ pı ∨ q dür.

3. ⇒ bağlacının değili: (p ⇒ q)ı ≡ p ∧ qı dür.

4. ⇒ nin ∧ üzerine soldan dağılma özelliği: p ⇒ (q ∧ r) ≡ (p ⇒ q) ∧ (p ⇒ r)

5. ⇒ nin ∨ üzerine soldan dağılma özelliği: p ⇒ (q ∨ r) ≡ (p ⇒ q) ∨ (p ⇒ r)

6. İndirgeme kuralları

a. p ⇒ p ≡ 1 b. p ⇒ pı ≡ pı c. 0 ⇒ p ≡ 1

ç. p ⇒ 0 ≡ pı d. 1 ⇒ p ≡ p e. p ⇒ 1 ≡ 1

14

(p ⇒ q) ⇒ q bileşik önermesini indirgeyelim.›› ÖRNEK

(p ⇒ q) ⇒ q ≡ (pı ∨ q) ⇒ q ( p ⇒ q ≡ pı ∨ q olduğundan)

≡ (pı ∨ q)ı ∨ q ( p ⇒ q ≡ p′ ∨ q olduğundan)

≡ (p ∧ q′ ) ∨ q (De Morgan kuralından)

≡ (p ∨ q) ∧ (qı ∨ q) ( ∨ nın ∧ üzerine sağdan dağılma özelliği)

≡ (p ∨ q) ∧ 1 ≡ p ∨ q ( t ∧ 1 ≡ t dir.)

›› ÇÖZÜM

pı ⇒ q ≡ 0 olduğuna göre, [rı ∨ (p ⇒ qı )] ⇒ (r ⇒ p) bileşik önermesini indirgeyelim.

›› ÖRNEK

pı ⇒ q ≡ 0 olması için (pı ≡ 1 ve q ≡ 0) olmalıdır.

O hâlde, p ≡ 0 ve q ≡ 0 dir.

Bu değerleri verilen önermede yerine yazalım:

[rı ∨ (p ⇒ qı )] ⇒ (r ⇒ p) ≡ [rı ∨ (0 ⇒ 1)] ⇒ (r ⇒ 0) ≡ (rı ∨ 1) ⇒ rı ≡ 1 ⇒ rı ≡ rı olur.

›› ÇÖZÜM

2.6.İkiYönlüŞartlı(Koşullu)Önerme“⇔”(Ancakveancak)

“⇔” bağlacı ile kurulan p ⇔ q bileşik önermesine iki yönlü şartlı önerme denir. p ⇔ q bileşik önermesi, “p ancak ve ancak q” biçiminde okunur.

• p ⇔ q bileşik önermesinin doğruluk değeri; p ile q önermeleri aynı değeri aldığında 1, farklı değeri al-dığında 0’dır.

• Bu tanıma göre, p ⇔ q bileşik önermesinin doğruluk tablosu yandaki gibi olur.

p

1

1

0

0

q

1

0

1

0

p ⇔ q

1

0

0

1

15

2.6.1. ⇔ Bağlacının Özellikleri

1. ⇔ işleminin değişme özelliği vardır: p ⇔ q ≡ q ⇔ p

2. ⇔ bağlacının ⇒ ve ∧ bağlaçlarıyla ifadesi: p ⇔ q ≡ (p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p)

3. ⇔ bağlacının değili: (p ⇔ q)ı ≡ pı ⇔ q ≡ p ⇔ qı

4. Önemli bir denklik: p ⇔ q ≡ pı ⇔ qı

5. Sadeleştirmeler:

a. p ⇔ p ≡ 1 b. p ⇔ pı ≡ 0 c. p ⇔ 1 ≡ p ç. p ⇔ 0 ≡ pı

(p ⇔ q)ı ⇒ (q ∨ pı) bileşik önermesini indirgeyelim.›› ÖRNEK

(p ⇔ q) ⇒ (q ∨ pı) ≡ (p ⇔ q)ı ∨ (q ∨ pı) ( a ⇒ b ≡ aı ∨ b olduğundan)

≡ (pı ⇔ q) ∨ (q ∨ pı) ((p ⇔ q)ı ≡ pı ⇔ q olduğundan)

≡ [(p′ ⇒ q) ∧ (q ⇒ pı )] ∨ (q ∨ pı) (⇔ bağlacının tanımı)

≡ [(p ∨ q) ∧ (qı ∨ pı )] ∨ (q ∨ pı) (⇒ bağlacının tanımı)

≡ { [(p ∨ q) ∨ q] ∧ [(qı ∨ pı ) ∨ q] } ∨ pı (Dağılma özelliği)

≡ [(p ∨ q ∨ q) ∧ (qı ∨ pı ∨ q)] ∨ pı (Birleşme özelliği)

≡ [(p ∨ q) ∧ (pı ∨ 0)] ∨ pı (Sadeleştirme)

≡ [(p ∨ q) ∧ pı ] ∨ pı (Sadeleştirme)

≡ pı (Sadeleştirme)

›› ÇÖZÜM

16

3.NİCELEMEMANTIĞI

x, herhangi bir nesneyi ifade eden bir değişken olmak üzere; “xuçabilenbirhayvandır.”ifadesini göz önüne alalım. Bu ifadeye kesinlikle “doğru” veya “yanlış” diyemeyiz. Eğer x yerine “Balık” yazarsak “yanlış” bir önerme, x yerine “Serçe” ya-zarsak “doğru” bir önerme elde ederiz. Ancak; x yerine “Elma” yazarsak anlamsız bir ifade elde ederiz ki bunu da “yanlış” kabul edeceğiz.

Şimdi de; “xile5’inçarpımı,xile12’nintoplamındanbüyüktür.” ifadesini inceleyelim. Bu ifadenin de doğruluğu veya yanlışlığı hemen söylenemez. Eğer x yerine 4 yazılırsa “doğru”, 2 yazılırsa “yanlış”, “kitap” yazılırsa “anlamsız” yani “yanlış” bir önerme elde edilir.

3.1.AçıkÖnerme

İçerisinde en az bir değişken bulunan ve bu değişkenlere verilen her değer için “doğru” ya da “yanlış” değer alan ifadelere, açık önerme denir.

• Eğer açık önerme x değişkenine bağlı ise P(x), a değişkenine bağlı ise P(a), x ve y değişkenlerine bağlı ise P(x, y) ... biçiminde gösterilir.

• Bir önermenin bağlı olduğu değişkenin yerine bazı değerler yazıldığında an-lamsız ifadeler elde edilebileceğini söylemiştik. Bu durumdan kurtulmak için açık önermeler genellikle bir küme içinde tanımlanır.

P(x) : “2x – 1 = 5, x doğal sayı” ifadesi doğal sayılar kümesi üzerinde tanımlı, x’e bağlı bir açık önermedir.

Bu açık önermede x yerine doğal sayıların dışında bir değer yazamayız.

x = 2 için P(2) : “3 = 5” yanlış bir önerme elde edilir.

x = 3 için P(3) : “5 = 5” doğru bir önerme elde edilir.

›› ÖRNEK

3.2.DoğrulukKümesi

x değişkenine bağlı olan P(x) açık önermesi bir A kümesinde tanımlanmış ol-sun. P(x) açık önermesini doğruyapan A kümesindeki bütün değerlerin kümesine P(x) açık önermesinin doğruluk kümesi denir.

17

a. P(x) : “x + 3 ≥ 10, x doğal sayı” açık önermesinin doğruluk kümesi;

D = {7, 8, 9, ..., n, ...} kümesidir.

b. P(x) : “x < 5, x doğal sayı” açık önermesinin doğruluk kümesi;

D = {0, 1, 2, 3, 4} kümesidir.

c. P(x) : “x < 5, x tam sayı” açık önermesinin doğruluk kümesi;

D = {..., –1, 0, 1, 2, 3, 4} kümesidir.

ç. P(x) : “x2 < 4, x gerçek sayı” açık önermesinin doğruluk kümesi;

D = {x | –2 < x < 2, x ∈ R } kümesidir.

›› ÖRNEK

3.3.VarlıksalNiceleyiciler,EvrenselNiceleyiciler

Günlük konuşma dilinde ve matematiksel ifadelerde “bazı”, “bütün”, “her”, “en az bir”, “bir tek” gibi niceleyicileri sık sık kullanırız.

I. “Ankara’da bazı günler yağmur yağar.”

II. “Yılda en az bir defa tiyatroya giderim.”

III. “Her reel sayının karesi pozitif bir reel sayıdır.”

IV. “Bazı doğal sayılar asal sayıdır.”

(I) ifadesi doğru bir ifadedir. (II) ifadesinin doğruluğu, yanlışlığı söyleyen ki-şiye göre değişir. (III) ifadesi, yanlış bir ifadedir. Çünkü, 0 için doğru değildir. (IV) ifadesi doğru bir ifadedir.

• “Bazı”, “En az bir” niceleyicilerine varlıksal niceleyiciler denir ve ∃ sembolü ile gösterilir.

• “Her”, “Bütün” niceleyicilerine evrensel niceleyiciler denir ve ∀ sembolü ile gösterilir.

3.3.1. “Bazı” (∃) Niceleyicisi

Bir A kümesinde tanımlı “Bazı x ∈ A için P(x)” açık önermesini alalım. Bu önerme “∃ x ∈ A için P(x)” biçiminde de yazılabilirdi.

• A kümesindeki en az bir eleman için P(x) önermesi doğru ise, “∃ x ∈ A için P(x)” önermesi doğrudur.

• A’nın bütün elemanları için P(x) önermesi yanlış ise, “∃ x ∈ A için P(x)” öner-mesi yanlıştır.

18

3.3.2. “Her” (∀) Niceleyicisi

Bir A kümesinde tanımlı “Her x ∈ A için P(x)” veya “∀ x ∈ A için P(x)” öner-mesini alalım.

• A kümesindeki her eleman için P(x) ≡ 1 ise, “∀ x ∈ A, P(x)” ≡ 1’dir.

• A kümesindeki en az bir eleman için P(x) ≡ 0 ise, “∀ x ∈ A, P(x)” ≡ 0’dır.

3.3.3. “Bir tek” Niceleyicisi

“Bir tek” niceleyicisi varlıksal niceleyicinin özel bir halidir.

“Bir tek x ∈ A, P(x)” önermesi, A kümesinin sadece bir tek elemanı için P(x) ≡1 oluyorsa, doğrudur.

A’nın birden fazla elemanı için P(x) ≡ 1 veya her elemanı için P(x) ≡ 0 oluyor-sa, “Bir tek x ∈ A, P(x)” ≡ 0’dır.

3.4.NiceleyicilerinOlumsuzu(Değili)

1. [∀x, P(x) ]ı ≡ ∃x, (P(x))ı dir.

2. [∃x, P(x) ]ı ≡ ∀x, (P(x))ı dir.

a. “∃x, x tam sayı, x2 ≤ x ” önermesinin doğruluk değeri; 1’dir.

Çünkü, x = 1 tam sayısı için, 12 ≤ 1 doğrudur.

b. “Bazı kuşlar yırtıcıdır.” önermesinin doğruluk değeri; 1’dir. Çünkü, yırtıcı olan en az bir kuş vardır.

c. “Negatif olan en az bir asal sayı vardır.” önermesinin doğruluk değeri; 0’dır. Çünkü, bütün asal sayılar pozitiftir.

ç. “∀x, x reel sayı, x2 > x” önermesinin doğruluk değeri; 0’dır. Çünkü, x 21

=

reel sayısı için 21

21

41

21> >

2&e o yanlış olmaktadır. En az bir reel sayı

için sağlanmadığından açık önermenin doğruluk değeri, 0’dır.

d. “Her insan ölür.” önermesi doğru bir önermedir.

e. “Bütün asal sayılar tek sayıdır.” önermesi yanlıştır. Çünkü, 2 sayısı asal sayıdır ve çifttir.

›› ÖRNEK

19

f. “Karesi kendisine eşit olan bir tek doğal sayı vardır.” önermesi yanlıştır. Çünkü, karesi kendisine eşit olan iki tane (0 ve 1) doğal sayı vardır.

g. “Çift sayı olan bir tek asal sayı vardır.” önermesi doğrudur. Çünkü, 2’den başka hem çift, hem asal olan başka sayı yoktur.

Aşağıda varlıksal ve evrensel niceleyici içeren açık önermelerin değilleri alınmıştır. Bu “değil alma” örneklerini inceleyiniz.

a. “∀ x ∈ N , 2x – 1 > 5” önermesinin değili; “∃ x ∈ N , 2x – 1 ≤ 5” tir.

b. “∃ x ∈ R , (x ≥ 5 veya x asaldır.)” önermesinin değili;

“∀ x ∈ R , (x < 5 ve x asal değildir.)” dir.

c. “∃ x ∈ R , x2 = x” ve “∀ x ∈ R , x > –x” bileşik önermesinin değili;

“∀ x ∈ R , x2 ≠ x” veya “∃ x ∈ R , x ≤ –x” tir.

›› ÖRNEK

4.AKSİYOM,TEOREM,İSPAT

4.1.Aksiyom

Doğruluğu nedenleri araştırılmadan sezgi yoluyla kabul edilen matematik ifa-delerine aksiyom denir.

Aksiyomlar, matematik yapının temel taşlarıdır. Matematikte bir konu ile ilgili belirlenen aksiyomlar kendi içlerinde bir sistem oluştururlar. Gereksiz hiç bir aksi-yom yoktur.

4.2.GerektirmeveÇiftGerektirme

• p ve q önermeleri için p ⇒ q ≡ 1 ise p, q’yu gerektiriyor denir.

Bu durumda p ⇒ q bileşik önermesine, gerektirme denir.

p, q için yeter şart; q, p için gerek şarttır.

• p ve q önermeleri için p ⇔ q ≡ 1 ise p, q’yu çift gerektiriyor denir.

Bu durumda p ⇔ q bileşik önermesine, çift gerektirme denir.

p ⇔ q gerektirmesinde p, q’yu gerektirir, q da p’yi gerektirir.

p ve q birbirleri için gerek ve yeter şarttır.

20

4.3.Teorem

p ⇒ q bir gerektirme olsun. Bu gerektirmede p ≡ 1 ise p ⇒ q gerektirmesine teorem denir.

Aynı biçimde, p ⇔ q çift gerektirmesinde p ≡ 1 ise p ⇔ q çift gerektirmesine de teorem denir.

• p ⇒ q teoreminde p’ye hipotez, q’ya hüküm denir.

• p ⇒ q bileşik önermesinin tanımından p ≡ 1 ve p ⇒ q ≡ 1 olması için q ≡ 1 ol-mak zorundadır. O hâlde, p ⇒ q teoreminde p hipotezi ve q hükmü doğruluk değeri 1 olan birer önermedirler.

• Eğer p ⇒ q ve q ⇒ p birer teorem ise, bu iki terorem p ⇔ q teoremi ile ifade edilir.

Aşağıdaki teoremleri inceleyiniz. Hipotez ve hüküm kavramlarını anlayı-nız. Teoremlerin ifade biçimlerine dikkat ediniz.

a. “İki açı ters açı ise bu açıların ölçüleri eşittir.” teoreminde;

hipotez: p ≡ “A ve B açıları ters açılardır.”,

hüküm: q ≡ " ( ) ( ) ."m A m B dir=W VBu teorem p ⇒ q biçimindedir.

b. “n tek doğal sayı ise n2 de tek doğal sayıdır.” teoreminde;

hipotez: p ≡ “n, tek doğal sayıdır.”,

hüküm: q ≡ “n2 tek doğal sayıdır.”

Bu teorem p ⇒ q biçimindedir.

›› ÖRNEK

4.4.İspat

Bir teoremin doğruluğunu gösterme işine o teoremin ispatı denir. Değişik is-pat yöntemleri vardır. Hangi teoremin hangi yöntemle ispatlanacağının bir kuralı yoktur.

BÖLÜM

2

2121

KÜMELER

1. KÜMELERDE TEMEL KAVRAMLAR

1.1. Küme Kavramı

Küme, matematiğin tanımsız terimlerinden biridir. Küme kavramını örnekler üzerinden algılamaya çalışırız. Kümeyi “İyi tanımlanmış nesneler topluluğu” olarak ifade edebiliriz.

Örneğin, “Yaz ayları”, ifadesi bir küme belirtir. Çünkü herkes için yaz ayları haziran, temmuz ve ağustos aylarıdır.

“İki basamaklı bazı doğal sayılar” ifadesi bir küme belirtmez. Çünkü, bu ifade-ye göre yazılacak sayılar kişiden kişiye göre değişir.

• Kümeler genellikle A, B, C, ... gibi büyük harflerle gösterilir. • Bir kümeyi oluşturan nesnelere o kümenin elemanları (ögeleri) adı verilir. • ‌Bir‌x‌elemanı‌bir‌A‌kümesine‌ait‌ise‌x ∈ A‌biçiminde‌yazılır. • Bir‌x‌elemanı‌bir‌A‌kümesine‌ait‌değil‌ise‌x ∉ A‌biçiminde‌yazılır. • A‌kümesinin‌eleman‌sayısı‌s(A)‌ile‌gösterilir.

1.2. Kümelerin Gösterimi

Bir küme üç farklı şekilde gösterilebilir.

1.2.1. Liste Yöntemi ile Gösterim

Kümenin elemanları arasına virgül konularak { } sembolü içerisine tek tek yazmaya liste yöntemiyle gösterim denir. Liste yönteminde elemanların parantez içinde yazılış sırası önemli değildir. Ama sıralanabilen elemanları sıralı olarak yaz-mak tercih edilmelidir. Her eleman sadece bir kez yazılır. A = { a, b, c, d } gibi.

22

1.2.2. Venn Şeması (Diyagramı) ile Gösterim

Bu gösterimde kümenin her bir elemanı, kapalı bir eğrinin içinde yazılırlar. Kapalı eğrinin içine önce bir nokta konulur ve yanına eleman yazılır. Her eleman için aynı şey yapılır. Bu kapalı eğriye Venn şeması denir.

. d

. a . b

. c

A . 1 . 2. x

B E

gibi.

›› ÖRNEK

1.2.3. Ortak Özellik Yöntemi ile Gösterim

Bir kümenin bütün elemanları aynı bir ortak özelliği sağlayabilirler.

Böyle kümeler; {x | x’in sahip olduğu tanımlayıcı özellikler } veya

{x : x’in sahip olduğu tanımlayıcı özellikler } biçiminde yazılırlar.

A = {x l x’in sahip olduğu tanımlayıcı özellikler } yazılımı “A kümesi x eleman-larından oluşmuştur öyle ki, ......” biçiminde okunur.

A = {x l x, bir asal sayı ve 10 < x < 20 } gösterimi, ortak özellik yöntemi ile gösterimdir.

Bu kümenin liste biçiminde yazılışı A = { 11, 13, 17, 19 } dur.

›› ÖRNEK

B = {2k l 5 ≤ k < 20 ve k, tam sayı } gösterimi, ortak özellik yöntemi ile gösterimdir.

Bu kümenin liste biçiminde yazılışı B = { 10, 12, 14, ... , 36, 38 } dir.

›› ÖRNEK

1.3. Küme Çeşitleri

1.3.1. Sonlu Küme, Sonsuz Küme

Eleman sayısı bir doğal sayı olan kümelere sonlu küme denir.

Sonlu olmayan kümelere de sonsuz kümeler denir.

23

1.3.2. Boş Küme

Hiçbir‌elemanı‌olmayan‌kümeye‌boş küme‌denir.‌{‌‌}‌veya‌∅‌ile‌gösterilir.

Boş‌kümenin‌eleman‌sayısı‌0’dır.‌

1.3.3. Evrensel Küme

Üzerinde‌işlem‌yapılan‌en‌geniş‌kümeye‌evrensel küme‌denir.

• Evrensel‌küme‌genel‌olarak‌E‌harfi‌ile‌isimlendirilir.

• Evrensel‌kümede‌ihtiyaç‌duyulan‌bütün‌elemanlar‌vardır.‌Gereğinden‌fazla‌eleman‌da‌yoktur.

• Evrensel‌küme‌sonlu‌ya‌da‌sonsuz‌küme‌olabilir.

2. ALT KÜME, ÖZ ALT KÜME

A‌ve‌B‌herhangi‌ iki‌küme‌olsun.‌A‌kümesinin‌her‌elemanı‌B‌kümesinin‌de‌elemanı‌ise‌“A kümesi B kümesinin bir alt kümesidir”‌denir‌ve‌A‌⊂ B‌ya‌da‌A‌⊆ B biçiminde‌gösterilir.‌

Bu‌durumda,‌“B kümesi A kümesini kapsar”‌da‌denebilir‌ve‌B ⊃‌A‌biçiminde‌gösterilir.

• A‌⊂‌B‌gösterimi‌A‌⊆‌B‌biçiminde‌de‌kullanılabilir. • B ⊃‌A‌gösterimi‌B‌⊇‌A‌biçiminde‌de‌kullanılabilir. • Bir kümenin kendisinden farklı her alt kümesine, bu kümenin bir öz alt kümesi

denir.

. 5

. 1 . 4

. 2

A

. 6. 3

B C

. 5

. 1

. 4. 2

K. 6

. 3

L

M

Yukarıdaki Venn şemalarına göre, B ⊂‌A‌dır.‌Bunu,‌B‌⊆‌A‌biçiminde‌de‌yazabiliriz.

Ayrıca,‌L‌⊆‌K‌ve‌L‌⊆‌M‌olduğunu‌görünüz.

Buna‌göre‌yukarıda‌verilen‌kümelerin‌elemanlarını‌liste‌biçiminde‌yazınız.

›› ÖRNEK

24

A‌=‌‌{‌a,‌b,‌c‌}‌kümesinin‌tüm‌alt‌kümelerini‌yazalım:

Hiç‌elemanı‌olmayan‌alt‌kümeleri:‌∅

1‌tane‌elemanı‌olan‌alt‌kümeleri:‌‌{‌a‌},‌{‌b‌},‌{‌c‌}

2 tane‌elemanı‌olan‌alt‌kümeleri:‌‌{‌a,‌b‌},‌{‌b,‌c‌},‌{‌a,‌c‌}

3 tane‌elemanı‌olan‌alt‌kümeleri:‌‌{‌a,‌b,‌c‌}‌‌dir.

{‌a,‌b,‌c‌}‌‌alt‌kümesi‌hariç‌diğer‌alt‌kümeler‌birer‌öz‌alt‌kümedir.

›› ÖRNEK

Alt Kümenin Özellikleri

1. Her‌küme‌kendisinin‌alt‌kümesidir.‌Yani‌A‌⊂‌A‌dır.

2.‌ Boş‌küme‌her‌kümenin‌alt‌kümesidir.‌Yani‌∅ ⊂‌A‌dır.

3.‌ (A‌⊂‌B‌ve‌B‌⊂‌C)‌ise‌A‌⊂‌C‌dir.

4.‌ (‌A‌⊂‌B‌ve‌B‌⊂‌A‌)‌⇔‌A‌=‌B‌dir.

5.‌ n‌elemanlı‌bir‌kümenin‌tüm‌alt‌kümelerinin‌sayısı‌2n‌dir.

6.‌ s(A)‌=‌n‌ise‌A‌kümesinin‌öz‌alt‌kümeleri‌sayısı‌‌2n‌–‌1‌dir.

7. A kümesinin eleman sayısı n olsun. Yani, s(A) = n olsun.

‌ m‌≤‌n‌olmak‌üzere,‌A‌kümesinin‌m‌tane‌elemanı‌olan‌alt‌kümelerinin‌sayısı;‌‌‌‌

! ( ) !!n

m m n mn$ -

=e o dır.

8. Bir A kümesinin m elemanlı alt küme sayısı k elemanlı alt küme sayısına eşit ise A kümesinin eleman sayısı m + k dir. (m ≠ k için).

9. Bir kümenin alt küme sayıları Pascal Üçgeni ile de bulunabilir. Pascal Üçgenindeki her satır bir kümenin alt küme sayılarını verir.

Boş kümenin alt küme sayısı: 1

1 elemanlı kümenin alt küme sayıları: 1 1

2 elemanlı kümenin alt küme sayıları: 1 2 1

3 elemanlı kümenin alt küme sayıları: 1 3 3 1

4 elemanlı kümenin alt küme sayıları: 1 4 6 4 1

5 elemanlı kümenin alt küme sayıları: 1 5 10 10 5 1

6 elemanlı kümenin alt küme sayıları: 1 6 15 20 15 6 1

25

• Bu tablonun her satırındaki sayılar kümenin 0 elemanlı, 1 elemanlı, 2 ele-manlı, ... alt küme sayılarına karşılık gelir.

Örnek olarak 4 elemanlı kümenin alt küme sayıları şöyle yorumlanır:

1 Hiç elemanı olmayan alt küme sayısı

4 1 tane elemanı olan alt küme sayısı

6 2 tane elemanı olan alt küme sayısı

4 3 tane elemanı olan alt küme sayısı

1 4 tane elemanı olan alt küme sayısı

a. A = {2, 4, 6, 7, 8, 9} kümesinin eleman sayısı s(A) = 6 dır. Bu kümenin tüm alt kümeleri sayısı 26 = 64’tür.

b.‌ s(B)‌=‌6‌olsun.‌B kümesinin 4 elemanlı alt kümelerinin sayısı:

64 4! (6 – 4)!

6!4! 2!

6! 15 tir.$ $

\= = =f p

c. Bir C kümesinin 5 elemanlı alt kümeleri sayısı 8 elemanlı alt kümeleri sayısına eşit ise C’nin eleman sayısı 5 + 8 = 13’tür.

›› ÖRNEK

3. İKİ KÜMENİN EŞİTLİĞİ

Aynı elemanlardan oluşan kümelere eşit kümeler denir. A ve B kümelerinin birbirine eşit olması A = B biçiminde yazılır.

• A‌ve‌B‌kümeleri‌birbirine‌eşit‌değilse‌A ≠ B‌biçiminde‌yazılır.

• Eşit‌kümeler‌birbirlerinin‌alt‌kümeleridir.

• A‌=‌B‌‌⇔‌‌‌(A‌⊂‌B‌ve‌B‌⊂‌A‌)‌dir.

A‌=‌‌{‌M,‌A,‌T,‌E,‌İ,‌K‌}‌‌‌ve‌‌B‌=‌{‌MATEMATİK‌kelimesinin‌harfleri}‌kü-meleri‌eşit‌iki‌kümedir.

Her‌iki‌küme‌de‌aynı‌elemanlardan‌oluşmuştur.

›› ÖRNEK

26

4. KÜMELERDE İŞLEMLER

4.1. Kümelerde Birleşim İşlemi

A‌ve‌B‌herhangi‌iki‌küme‌olsun.‌A‌ve‌B‌kümelerinde‌ortak‌olan‌ve‌olmayan‌bütün‌elemanlarının‌alınmasıyla‌elde‌edilen‌kümeye‌“A ve B kümelerinin birleşim kümesi”‌denir.

• A‌ile‌B‌kümelerinin‌birleşim‌kümesi‌A ∪ B‌biçiminde‌yazılır‌ve‌‌“A birleşim B ” diye‌okunur.

• A‌∪‌B‌kümesi‌ortak‌özellik‌metoduyla‌A‌∪‌B‌=‌{x‌I‌x‌∈ A‌veya‌x‌∈ B}‌biçiminde‌yazılır.

• Aşağıdaki‌Venn‌şemasında‌A‌∪‌B‌kümesi‌renkli‌olarak‌verilmiştir.

A B

A ∪ B

4.1.1. Birleşim İşleminin Özellikleri

a. Tek Kuvvet Özelliği

Her‌A‌kümesi‌için‌‌A‌∪‌A‌=‌A‌‌dır.

b. Kümelerde birleşim işleminin değişme özelliği vardır.

A‌∪‌B‌=‌B‌∪‌A‌‌dır.

c. Kümelerde birleşim işleminin birleşme özelliği vardır.

A‌∪ (B ∪‌C)‌=‌(A‌∪ B) ∪‌C‌=‌A‌∪ B ∪‌C‌‌dir.

ç. Kümelerde birleşim işleminin etkisiz (birim) elemanı boş küme (∅) dir.

A‌∪ ∅‌=‌∅ ∪‌A‌=‌A‌‌dır.

d. A‌∪‌B‌=‌∅ ⇔ A‌=‌∅ ‌ve‌‌B‌=‌∅‌‌‌dir.

4.2. Kümelerde Kesişim İşlemi

A ve B herhangi iki küme olsun. Hem A kümesinde hem de B kümesinde ortak olarak bulunan elamanların alınmasıyla elde edilen kümeye “A ve B kümele-rinin kesişimi (veya arakesiti)” denir.

27

• A‌ve‌B‌kümelerinin‌kesişim‌kümesi‌ A ∩ B biçiminde‌gösterilir‌ve‌‌“A kesişim B ”‌diye‌okunur.

• Buna‌göre,‌kesişim‌kümesi;‌A‌∩‌B‌=‌{x‌I‌x‌∈‌A‌ve‌x‌∈‌B}‌dir.

• Aşağıda‌A‌∩‌B‌kümesi‌renkli‌olarak‌verilmiştir.

A B

A ∩ B

4.2.2. Kesişim İşleminin Özellikleri

a. Tek Kuvvet Özelliği

Her‌A‌kümesi‌için‌‌A‌∩‌A‌=‌A‌‌dır.

b. Kümelerde kesişim işleminin değişme özelliği vardır.

A‌∩‌B‌=‌B‌∩‌A‌‌dır.

c. Kümelerde kesişim işleminin birleşme özelliği vardır.

A‌∩ (B ∩‌C)‌=‌(A‌∩ B) ∩‌C‌=‌A‌∩ B ∩‌C‌‌dir.

ç. Kümelerde kesişim işleminin etkisiz elemanı evrensel küme (E) dir.

A‌∩ E‌=‌E‌∩‌A‌=‌A‌‌dır.

d. Kümelerde kesişim işleminin yutan elemanı boş küme (∅) dir.

A‌∩ ∅‌=‌∅ ∩‌A‌=‌∅‌‌dir.

4.2.3. Ayrık Kümeler

Ortak elemanı olmayan kümelere ayrık kümeler denir.

• A‌ve‌B‌ayrık‌iki‌küme‌ise‌A‌∩ B‌=‌∅‌‌dir.

• Ayrık‌kümelerin‌Venn‌şeması‌için‌şu‌çizimi‌yapabiliriz:

A BKızlar Erkekler

Geziye katılanlarGeziyekatılmayanlar

28

4.2.4. Birleşim ve Kesişim İşlemlerinin Ortak Özellikleri

a. Birleşim işleminin kesişim işlemi üzerine dağılma özelliği vardır.

A‌∪ (B ∩‌C)‌=‌(A‌∪ B) ∩ (A‌∪ C‌)‌‌(Soldan‌dağılma‌özelliği)

(B ∩ C) ∪‌A‌=‌(B‌∪‌A)‌∩ (C ∪ A‌)‌‌(Sağdan‌dağılma‌özelliği)

b. Kesişim işleminin birleşim işlemi üzerine dağılma özelliği vardır.

A‌∩ (B ∪‌C)‌=‌(A‌∩ B) ∪ (A‌∩ C‌)‌‌(Soldan‌dağılma‌özelliği)

(B ∪ C) ∩‌A‌=‌(B‌∩‌A)‌∪ (C ∩ A‌)‌‌(Sağdan‌dağılma‌özelliği)

c. Soğurma özelliği

A‌∩‌(A‌∪‌B)‌=‌A‌‌dır.

A‌∪‌(A‌∩‌B)‌=‌A‌‌dır.

ç. Birleşim Kümesinin Eleman Sayısı

İki küme için: s(A ∪ B) = s(A) + s(B) – s(A ∩ B) dir.

Üç küme için:

s(A ∪ B ∪ C) = s(A) + s(B) + s(C) – s(A ∩ B) – s(A ∩ C) – s(B ∩ C)

+ s(A ∩ B ∩ C) dir.

Bu formüller yerine uygun bir Venn şeması çizilip sayılar, değişkenler yerleri-ne yazılırlar. Verilenlere uygun denklem ya da denklemler kurulup çözülür.

3 tane küme olursa aşağıdaki gibi bir Venn şeması çizebilirsiniz.

Aşağıdaki Venn şemalarında her bölgedeki harf o bölgenin eleman sayısını göstermektedir.

s(A) = a + x + y + t

s(B) = b + x + z + t

s(C) = c + y + z + t

s(A ∩ B) = x + t

s(A ∩ C) = y + t

s(B ∩ C) = z + t

A

ab

c

y

t

x

z

B

C

s(A ∩ B ∩ C) = t

Ayrık kümelerle ilgili sorularda uygun bir Venn şeması çizmelisiniz.

29

Örneğin, kız ve erkek öğrencilerin bulunduğu bir sınıfta öğrenciler sarışın ve sarışın olmayanlar diye gruplandırılmışsa aşağıdaki gibi bir Venn şeması yapabi-lirsiniz.

Erkeköğrenciler

Kız öğrenciler

Sarışınöğrenciler

Sarışınolmayanöğrenciler

Bu bölge sarışın olmayan kız öğrencileri belirtir.

Bu bölge sarışın olan erkek öğrencileri belirtir.

4.3. Kümelerde Tümleme İşlemi

Evrensel küme E ve evrensel kümenin bir alt kümesi A olsun. E’de olup A’da olmayan elemanların kümesine A’nın tümleyeni denir ve Aı ile gösterilir.

Aşağıdaki şekilde A kümesinin E kümesine göre tümleyeni görülmektedir.

AıE

A

4.3.1. Tümleme İşleminin Özellikleri

E‌evrensel‌küme,‌A‌⊂‌E‌olsun.

a.‌ Bir‌kümenin‌tümleyeninin‌tümleyeni‌kendisine‌eşittir.‌ A A› ›=` j

b.‌ Bir‌küme‌ile‌tümleyeninin‌kesişimi‌boş‌kümedir.‌‌A‌∩ A›‌=‌∅

c. Bir‌küme‌ile‌tümleyeninin‌birleşimi‌evrensel‌kümedir. A ∪ A›‌=‌E

ç. Boş‌kümenin‌tümleyeni‌evrensel‌kümedir.‌‌ ıQ =‌E

d. Evrensel‌kümenin‌tümleyeni‌boş‌kümedir.‌E›‌=‌∅

e. A‌⊂ B ⇔ B› ⊂ A› dür.

f. De‌Morgan‌Kuralı‌(Kesişim‌işleminin‌tümleyeni):‌(A‌∩ B)ı‌=‌Aı ∪ Bı

g. De‌Morgan‌Kuralı‌(Birleşim‌işleminin‌tümleyeni):‌(A ∪ B)ı‌=‌Aı ∩ Bı

30

[ (A ∩ Bı ) ∪ (Aı ∩ B) ] ∪ (A ∩ B)

ifadesinin en sade biçimini bulalım (ifadeyi sadeleştirelim).

›› ÖRNEK

[(A ∩ Bı) ∪ (Aı ∩ B)] ∪ (A ∩ B)

= (A ∩ Bı ) ∪ [ (Aı∩ B) ∪ (A ∩ B) ] (∪ işleminin birleşme özelliği)

= (A ∩ Bı ) ∪ [(Aı ∪ A) ∩ B] ( ∩ B parantezine alındı)

= (A ∩ Bı ) ∪ (E ∩ B) (A′ ∪ A = E = evrensel kümedir.)

= (A ∩ Bı ) ∪ B (E ∩ B = B dir)

= (A ∪ B) ∩ (Bı ∪ B) (∪ işleminin ∩ işlemi üzerine dağılma özelliği)

= (A ∪ B) ∩ E = A ∪ B bulunur.

›› ÇÖZÜM

4.4. İki Kümenin Farkı İşlemi

A ve B herhangi iki küme olsun. A kümesinin B’de olmayan elemanlarının kümesine “A fark B ” kümesi denir ve A – B veya A \ B biçiminde gösterilir.

• Fark kümesini ortak özellik metodu ile; A – B = { x | x ∈ A ve x ∉ B } biçiminde ifade edebiliriz.

• Yandaki Venn şemasında A – B ve B – A kümelerini gözlemleyiniz. A – B B – A

A B

4.4.1. Fark İşleminin Özellikleri

E‌evrensel‌küme,‌A‌⊂‌E‌ve‌B‌⊂‌E‌olsun.

a. Her A, B kümeleri için A – B = A ∩ Bı dir.

b.‌ A – A‌=‌∅ dir.

c. A – ∅ =‌A‌dır.

ç. ∅ – A‌=‌∅ dir.

d. E – A‌=‌‌Aʹ‌dür.‌

e. Fark‌işleminin‌değişme‌özelliği‌yoktur.‌A‌≠‌B‌olmak‌üzere‌A – B ≠ B – A‌dır.

31

A = {1, 2, 3, 4} ve B = {2, 4, 5, 6, 7} kümeleri için A – B ve B – A küme-lerini yazalım.

›› ÖRNEK

A – B = {1, 2, 3, 4} – {2, 4, 5, 6, 7} = {1, 3} tür. Hem A’da hem de B’de bulunan ortak elemanlar A kümesinden atıldı.

B – A = {2, 4, 5, 6, 7} – {1, 2, 3, 4} = {5, 6, 7} dir. Hem B’de hem de A’da bulunan ortak elemanlar B kümesinden atıldı.

Bu işlemi ortak Venn şemas› çizerek görebiliriz:

A

A – B B – A

B

1

3

2

4

5

6

7

Bu örnekte, A – B ≠ B – A olduğuna dikkat ediniz.

›› ÇÖZÜM

Aşağıdaki Venn şemalarında taralı bölgeler farklı biçimlerde ifade edi-lebilir.

A

C

BA

C

BA

C

Şekil I Şekil II Şekil III

B

Şekil I, (B ∪ C) - A) ile ifade edilebilir.

Şekil II, (B - C) ∪ [C - (A ∪ B)] ile ifade edilebilir.

Şekil III, [B ∩ (A ∪ C)] - (A ∩ B ∩ C) ile ifade edilebilir.Siz de başka yazım biçimleri araştırınız.

›› ÖRNEK

32

4.4.2. Sembolik Mantık İle Kümeler Arasındaki İlişki

Sembolik mantıkta ve kümelerde kullanılan sembol, gösterim ve bunlara bağ-lı olan işlemler arasında çok kullanılan ve çok kolaylık sağlayan ilişkiler vardır. Aşağıdaki tabloda semboller arasındaki ilişkilendirmeyi inceleyiniz.

Mantık 0 1 ∨ ∧ ı ≡

Kümeler ∅ E ∪ ∩ ı =

Semboller arasındaki ilişkiler gibi işlemler arasında da ilişkilendirmeler yapı-labilir. Aşağıdaki tabloda bazı örnekleri verilmiştir.

Sembolik mantık Kümelerp ∨ pı ≡ 1 A ∪ Aı = E

p ∧ pı ≡ 0 A ∩ Aı = ∅

p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r) A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)

(p ∧ q)ı ≡ pı ∨ qı (A ∩ B)ı = Aı ∪ Bı

5. SIRALI İKİLİ VE İKİ KÜMENİN KARTEZYEN ÇARPIMI

5.1. Sıralı İkili

a ve b herhangi iki eleman ve yazılış sırası önemli olmak üzere, (a, b) göste-rimine bir sıralı ikili denir.

• (a, b) sıralı ikilisinde a’ya birinci bileşen, b’ye ikinci bileşen denir.

• Tanımdan da anlaşıldığı gibi a ≠ b olmak üzere, (a, b) sıralı ikilisi ile (b, a) sıralı ikilisi birbirinden farklıdır.

5.2. Sıralı İkililerin Eşitliği

Birinci ve ikinci bileşenleri karşılıklı olarak birbirine eşit olan ikililere eşit ikililer denir. Bu tanımı sembolik olarak;

(a,‌b)‌=‌(c,‌d)‌⇔‌(a‌=‌c‌‌‌ve‌‌‌b‌=‌d) biçiminde ifade edebiliriz.

33

5.3. İki Kümenin Kartezyen Çarpımı

A ve B boş olmayan herhangi iki küme olsun. Birinci bileşeni A kümesinin elemanı, ikinci bileşeni B kümesinin elemanı olan (a, b) biçimindeki sıralı ikililerin meydana getirdiği kümeye A ve B kümelerinin kartezyen‌çarpım‌kümesi denir ve A x B ile gösterilir.

• Bu tanımı sembollerle; A‌x‌B‌=‌{(x,‌y)‌|‌‌x‌∈ A‌ve‌y‌∈ B} biçiminde ifade ederiz.

A = { a, b} ve B = { 1, 2} kümeleri için A x B ve B x A kümelerini yazalım.›› ÖRNEK

A x B kartezyen çarpım kümesinin ikililerini yazarken birinci elemanları A kümesinden, ikinci elemanları B kümesinden alacağız. A kümesindeki a elema-nına karşılık B kümesinden 1 ve 2 elemanlarını alarak (a, 1) ve (a, 2) ikililerini; aynı biçimde b elemanına karşılık yine 1 ve 2 elemanlarını alarak (b,1) ve (b, 2) ikililerini elde ederiz. Bu ikilileri küme içinde yazarsak,

A x B = { (a, 1), (a, 2), (b, 1), (b, 2) }olur. Aynı mantıkla, B x A = { (1, a), (1, b), (2, a), (2, b) } olur.

A x B ve B x A kümelerinin farklı olduğuna dikkat ediniz.

A x A = { (a, a), (a, b), (b, a), (b, b) }

B x B = { (1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2) } olur.

›› ÇÖZÜM

5.3.1. Kartezyen Çarpım İşleminin Özellikleri

a. Kümelerde kartezyen çarpım işleminin değişme özelliği yoktur.A ve B farklı iki küme ise, A x B ≠ B x A dır.

b. Kartezyen çarpım işleminin birleşim işlemi üzerinde dağılma özelliği vardır.Her‌A,‌B,‌C‌kümesi‌için;‌ A‌x‌(B‌∪‌C)‌=‌(A‌x‌B)‌∪‌(A‌x‌C) (B ∪‌C)‌x‌A‌=‌(B‌x‌A)‌∪‌(C‌x‌A)‌‌dır.

c. Kartezyen çarpım işleminin kesişim işlemi üzerinde dağılma özelliği vardır.

Her‌A,‌B‌ve‌C‌kümesi‌için;‌ A‌x‌(B‌∩‌C)‌=‌(A‌x‌B)‌∩‌(A‌x‌C) (B ∩‌C)‌x‌A‌=‌(B‌x‌A)‌∩‌(C‌x‌A)‌dır.

34

ç. A, B ve C kümeleri boş olmayan herhangi üç küme olsun.

A, B, C kümelerinin kartezyen çarpımı A x B x C biçiminde gösterilir.

A‌x‌B‌x‌C‌=‌{(x,‌y,‌z)‌|‌x‌∈ A,‌y‌∈ B,‌z‌∈ C‌}‌dir.‌

(x,‌y,‌z)‌elemanına‌sıralı üçlü denir.

(A x B) x C = A x (B x C) = A x B x C dir. Kartezyen çarpımda parantez kul-lanılsa bile parantezlerin bir önemi yoktur.

d. A ve B sonlu iki küme olmak üzere, A x B kümesinin eleman sayısı, A ve B kümelerinin eleman sayılarının çarpımına eşittir.A‌ve‌B‌sonlu‌iki‌küme‌olmak‌üzere, s(A x B) = s(A)·s(B) dir.

A = {x| –3, –1, 1, 2, 4} ve B = { y | –1, 0, 1, 3} ol du ğu na gö re, A x B kü­me sinin grafiğini çizelim.

›› ÖRNEK

A x B = {(x, y) | x ∈ A ve y ∈ B} dir. Bu kümenin analitik düzlemde grafiği çizilirken A kümesinin elemanları yatay eksen üzerinde, B kümesinin eleman-ları düşey eksen üzerinde alınır.

Kartezyen çarpım kümesinin s(A‌x‌B)‌=‌s(A)·s(B)‌=‌5·4‌=‌20‌tane‌elema-nı‌vardır. Bu kümenin grafiği aşağıdaki, analitik düzlemde işaretli noktalardır.

y

x0–3 –1

–1

1

1

2 4

(4, 3)

(4, –1)

(2, 0)

(–3, 1)

3

Grafikte, kartezyen çarpım kümesinin (–3, 1), (2, 0), (4, –1) ve (4, 3) ele-manları noktaların yanlarına yazılmıştır.

›› ÇÖZÜM

BÖLÜM

3

3535

DOĞAL SAYILARTAM SAYILAR

1. DOĞAL SAYILAR

• Rakam: Sayıları ifade etmeye yarayan sembollere rakam denir. 10’luk sayı sisteminde kullanılan rakamların kümesi: {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} dur.

• Doğal Sayılar: N = {0, 1, 2, 3, ..., n, ...} kümesine doğal sayılar kümesi denir. En küçük doğal sayı 0’dır. Doğal sayılar kümesi üstten sınırsızdır.

• Sayma Sayıları: N+= {1, 2, 3, ..., n, ...} kümesine sayma sayıları kümesi denir. Bu kümeye pozitif doğal sayılar kümesi de denir.

0 (sıfır) sayısının pozitif olmadığına dikkat ediniz.

1.1. Basamak Analizi

Rakamların sayıda bulundukları yere basamak denir. Bir rakamın, sayıda bu-lunduğu basamaktaki değerine basamak değeri denir.

Bir sayının, sayıyı meydana getiren rakamların basamak değeri cinsinden yazılmasına o sayının basamak analizi denir.

• İki basamaklı (ab) sayısı (ab) = 10·a + b biçiminde yazılabilir.

• Üç basamaklı (abc) sayısı (abc) = 100·a + 10·b + c biçiminde yazılabilir.

• Dört basamaklı (abcd) sayısı (abcd) = 1000·a + 100·b + 10·c + d biçiminde yazılabilir.

• Buna göre, on tabanındaki n = (ak ... a2a1a0) sayısının basamak analizi

n = (ak ... a2 a1 a0) = ak·10k + ... + a2·102 + a1·101 + a0 dır.

1.2. Ardışık Doğal Sayıların Toplamı

İlk n pozitif doğal sayının toplamı: 1 + 2 + 3 + ... + n = ( )n n 12$ +

dir.

İlk n pozitif çift doğal sayının toplamı: 2 + 4 + 6 + ... + (2n) = n·(n + 1) dir.

İlk n tek doğal sayının toplamı: 1 + 3 + 5 + ... + (2n – 1) = n2 dir.

36

2. TAM SAYILAR

Z = { ..., –n, ..., –2, –1, 0, 1, 2, ..., n, ...} kümesine tam sayılar kümesi denir.

Z+ = {1, 2, 3, ..., n, ...} kümesine pozitif tam sayılar kümesi denir.

Z– = {..., –n, ..., –3, –2, –1} kümesine negatif tam sayılar kümesi denir.

Bu tanımlara göre, aşağıdaki sonuçlar yazılabilir:

• 0Z Z Z–, ,= +$ . dir.

• N Z=+ + dir.

• 0 (sıfır) tam sayısı negatif ya da pozitif değildir; işaretsizdir. –0 = +0 = 0 dır.

2.1. Tek Tam Sayılar, Çift Tam Sayılar

Tam sayılar kümesi; tek tam sayılar kümesi, çift tam sayılar kümesi olarak da gruplandırılır:

• {..., –2n, ..., –2, 0, 2, ... , 2n, ...} kümesine çift tam sayılar kümesi denir.

• {..., –2n+1,..., –1, 1,... , 2n – 1, ...} kümesine tek tam sayılar kümesi denir.

• {0, 2, 4, ... , 2n ...} kümesine çift doğal sayılar kümesi,

• {1, 3, 5, ... , 2n + 1, ...} kümesine tek doğal sayılar kümesi denir.

Tek tam sayılarla çift tam sayılar arasındaki toplama ve çarpma işlemleri için şunları söyleyebiliriz:

• Herhangi iki tek tam sayının toplamı veya farkı çift tam sayıdır.

• Herhangi iki çift tam sayının toplamı veya farkı çift tam sayıdır.

• Bir tek tam sayı ile bir çift tam sayının toplamı veya farkı tek tam sayıdır.

• Herhangi bir çift tam sayı ile herhangi bir tam sayının çarpımı çift tam sayıdır.

• Herhangi iki tek tam sayının çarpımı tek tam sayıdır.

• Tek tam sayıların her doğal sayı kuvveti tek tam sayıdır.

• Sıfırdan farklı tüm tam sayıların sıfırıncı kuvveti 1’dir.

• Çift tam sayıların pozitif doğal sayı kuvvetleri çift tam sayıdır.

37

2.2. Ardışık Doğal ve Tam Sayılar

Art arda gelen doğal sayılara ardışık doğal sayılar, art arda gelen tam sayıla-ra ardışık tam sayılar denir.

• n bir tam sayı olmak üzere;

n ve n + 1 tam sayıları ardışık iki tam sayıdır.

n, n + 1, n + 2 tam sayıları ardışık üç tam sayıdır.

n – 1, n, n + 1 sayıları da ardışık üç tam sayıdır.

• n bir tam sayı olmak üzere;

2n, 2n + 2 sayıları ardışık iki çift tam sayıdır.

2n – 1, 2n + 1 sayıları ardışık iki tek tam sayıdır.

• Ardışık iki tam sayı arasındaki fark +1 veya –1’dir.

• Ardışık iki çift tam sayı n, n + 2 ile de gösterilebilir. Ancak, burada n çift ol-malıdır. Aynı biçimde ardışık iki tek tam sayı n, n + 2 ile gösterilebilir. Burada da n tektir. Buna göre, ardışık üç tek tam sayı, ya da ardışık üç çift tam sayı n – 2, n, n + 2 ile gösterilebilir.

3. TAM SAYILARDA BÖLME VE BÖLÜNEBİLME

3.1. Tam Sayılarda Bölme

m ve n birer tam sayı, n ≠ 0 olsun. m = n·k olacak biçimde bir k tam sayısı varsa, “m, n ile bölünebiliyor” denir.

• Bu durumda n’ye m’nin bir böleni (çarpanı) denir.

• n tam sayısı, m tam sayısını bölerse bu durum n | m biçiminde gösterilir.

• n | m gösterimi “n, m’yi böler” ya da “ m, n’ye bölünebilir” diye okunur.

a. 60 = 6·10 olduğundan, 60 sayısı 6’ya bölünebilir. 6 | 60’dır.

b. 84 = 12·7 olduğundan, 84 sayısı 12’ye bölünebilir. 12 | 84’tür.

c. – 50 = – 5·10 olduğundan, – 50 sayısı – 5’e bölünebilir. – 5 | – 50 ‘dir.

ç. – 50 = 10·(– 5) olduğundan, – 50 sayısı 10’a bölünebilir. 10 | – 50’dir.

›› ÖRNEK

38

3.1.1. Bölme İle İlgili Özellikler

• n | m ⇒ n | – m, – n | m ve – n | – m dir.

• 1 sayısı her tam sayının bölenidir. Yani, her tam sayı 1’e bölünür.

• 0 sayısı hiçbir sayının böleni değildir. Yani, hiçbir tam sayı 0’a bölünmez.

• 0 sayısı, kendisi hariç her tam sayı ile bölünür ve bölüm 0’dır.

Yani, n ≠ 0 için n0

0= ’dır.

12 sayısının bütün doğal sayı bölenlerinin kümesi; {1, 2, 3, 4, 6, 12} dir. Çünkü, 12 sayısı 1 ile, 2 ile, 3 ile, 4 ile, 6 ile ve 12 ile ayrı ayrı bölünebilir.

Bir tam sayı n’ye tam bölünebiliyorsa – n’ye de tam bölünebilir.

Buna göre, 12’nin bütün tam sayı bölenlerinin kümesi;

{–12, –6, –4, –3, –2, –1, 1, 2, 3, 4, 6, 12} dir.

›› ÖRNEK

3.1.2. Tam Sayılarda Kalanlı Bölme

0 ≤ k < |b| olmak üzere; a, b, c ve k tam sayıları arasında a = b·c + k bağıntısı varsa “a’nın b’ye bölümünde bölüm c, kalan k’dir.” denir.

a b ck

– –Bölünen Bölen

BölümKalan

• Bölme işleminde kalan negatif olamaz: k ≥ 0’dır.

• Bölme işleminin sağlaması a = b·c + k eşitliği ile yapılır. Bu eşitlik sağlanıyor-sa bölme işlemi doğrudur.

• a = b·c + k eşitliğinde, k < |c| ise bölen ile bölüm yer değiştirilebilir. Bu duru-da, a’nın c’ye bölümünde bölüm b, kalan k olur.

• Tam sayıların 2’ye bölümlerinden kalanlar 0 ve 1’dir. Tam sayıların 3’e bö-lümlerinden kalanlar 0, 1 ve 2’dir. Tam sayıların 4’e bölümlerinden kalanlar 0, 1, 2 ve 3’tür.

• Genel olarak, tam sayıların n doğal sayısına bölümlerinden kalanlar; 0, 1, 2, ... , n – 1 dir.

39

3.2. Bölünebilme Kuralları

3.2.1. 2 ile Bölünebilme Kuralı

Birler basamağında 0, 2, 4, 6 ve 8 rakamlarından biri olan tam sayılar 2 ile bölünebilir.

3.2.2. 3 ile Bölünebilme Kuralı

Basamaklarındaki rakamların sayı değerlerinin toplamı 3’ün katı olan tam sayılar 3 ile bölünebilir.

☛ Bir doğal sayının 3 ile bölünmesinden kalan ile o sayının rakamlarının sayı değerleri toplamının 3 ile bölünmesinden kalan aynıdır.

3.2.3. 4 ile Bölünebilme Kuralı

n = (...zyx) olsun. (yx) iki basamaklı sayısı 4 ile bölünebiliyorsa, n tam sayısı da 4 ile bölünebilir.

☛ n = (...zyx) sayısında x + 2y sayısı 4 ile bölünebiliyorsa, n sayısı da 4 ile bölünebilir.

☛ n sayısının 4 ile bölümünden kalanla (yx) sayısının 4 ile bölümünden kalan aynıdır.

3.2.4. 5 İle Bölünebilme Kuralı

Birler basamağında 0 ve 5 rakamlarından biri olan tam sayılar 5 ile bölüne-bilir.

☛ Bir doğal sayının 5 ile bölünmesinden kalan k ise, bu doğal sayının birler basamağındaki rakam ya k’dir ya da 5 + k’dir.

3.2.5. 8 İle Bölünebilme Kuralı

n = (... tzyx) sayısında (zyx) sayısı 8 ile bölünebiliyorsa, n sayısı da 8 ile bölünebilir.

☛ n = (.....tzyx) sayısında 4z + 2y + x toplamı 8 ile bölünebiliyorsa n sayısı da 8 ile bölünebilir.

☛ n sayısının 8 ile bölümünden kalanla (zyx) sayısının 8 ile bölümünden kalan aynıdır.

40

3.2.6. 9 ile Bölünebilme Kuralı

Basamaklarındaki rakamların sayı değerlerinin toplamı 9’un katı olan tam sayılar 9 ile bölünebilir.

☛ Bir doğal sayının 9 ile bölünmesinden kalan ile o sayının rakamlarının sayı değerleri toplamının 9 ile bölünmesinden kalan aynıdır.

3.2.7. 10 İle Bölünebilme Kuralı

Birler basamağı 0 olan tam sayılar 10 ile bölünebilir.

☛ Bir doğal sayının 10 ile bölünmesinden kalan, o sayının birler basamağın-daki rakamın değeridir.

3.2.8. 11 İle Bölünebilme Kuralı

Sayının rakamları birler basamağından başlanarak sola doğru 1, 2, 3, ... diye numaralandırılır.

Tek sayılarla numaralandırılan ve çift sayılarla numaralandırılanlar kendi arasında toplanır. Bu toplamlar arasındaki fark 11’in katı ise, doğal sayı 11’e bö-lünebilir.

☛ Tek sayılarla numaralandırılan rakamların değerleri toplamı ile çift sa-yılarla numaralandırılan rakamların değerleri toplamı arasındaki farkın 11 ile bölümünden kalanla, sayının 11 ile bölümünden kalan aynıdır.

3.2.9. 6, 12, 15, 18, 24, 36, 45 İle Bölünebilme Kuralları

Hem 2’ye hem de 3’e bölünebilen sayılar 6’ya bölünebilir.

Hem 3’e hem de 4’e bölünebilen sayılar 12’ye bölünebilir.

Hem 3’e hem de 5’e bölünebilen sayılar 15’e bölünebilir.

Hem 2’ye hem de 9’a bölünebilen sayılar 18’e bölünebilir.

Hem 3’e hem de 8’e bölünebilen sayılar 24’e bölünebilir.

Hem 4’e hem de 9’a bölünebilen sayılar 36’ya bölünebilir.

Hem 5’e hem de 9’a bölünebilen sayılar 45’e bölünebilir.

41

4. ASAL SAYILAR

1’den ve kendisinden başka pozitif böleni (çarpanı) olmayan 1’den büyük doğal sayılara asal sayı denir.

Asal olmayan 1’den büyük doğal sayılara bileşik sayı denir.

İlk 10 asal sayı; 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 ve 29’dur.

İlk 10 bileşik sayı; 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16 ve 18’dir.

• 2’den başka çift olan asal sayı yoktur.

• Asal sayılar kümesi üstten sınırsızdır.

• 1’den büyük her doğal sayının en az bir asal sayı çarpanı (böleni) vardır.

• n bir bileşik sayı ise, n sayısının n den büyük olmayan bir asal çarpanı vardır. Bu özellik nedeniyle herhangi bir n doğal sayısının asal sayı olup ol-madığı şöyle anlaşılır:

n sayısının n den küçük eşit olan asal sayılardan en az birine bölünüp bölünmediği kontrol edilir. Hiçbirine bölünemiyorsa, n asal sayıdır.

223 sayısı asal sayıdır. Çünkü, , ...223 14 9= dur. 14,9... a kadar olan asal sayılar; 2, 3, 5, 7 ve 11 dir. 223 sayısı bu asal sayılardan hiçbirine bölüne-mez. O hâlde, 223 asal sayıdır.

›› ÖRNEK

4.1. Asal Çarpanlarına Ayırma

1’den büyük her tam sayı, tabanları farklı asal sayılar, üsleri pozitif doğal sa-yılar olan çarpanlar cinsinden, çarpanların yazılış sırası önemli olmamak üzere tek türlü yazılabilir. Bu yazılıma, o sayının asal çarpanlarına ayrılması denir.

a. 12 = 22·3 biçiminde asal çarpanlarına ayrılır.

b. 72 = 23·32 biçiminde asal çarpanlarına ayrılır.

c. 70 = 2·5·7 biçiminde asal çarpanlarına ayrılır.

ç. 64 = 26 biçiminde asal çarpanlarına ayrılır.

›› ÖRNEK

42

4.2. n! Sayısının Sonundaki 0 Sayısı

n ≥ 5 olmak üzere, n! sayısının sonunda ardışık olarak kaç tane 0 olduğu şöyle bulunur:

n1 5

n2...

n t–1 5nt

n 5

n1

nt < 5 olmak üzere, n1 + n2 + .... + nt toplamı 0’ların sayısını verir.

☛ n ≥ 5 için n! – 1 sayısının sonundaki ardışık 9’ların sayısı, n! sayısının sonundaki 0’ların sayısına eşittir.

4.3. n! Sayısının Çarpanlarının Üssünü Bulmak

m ≤ n ve m asal sayı olsun. n! sayısı asal çarpanlarına ayrıldığında m’nin üssü şöyle bulunur:

n m n1

k1

n1 m n2

k2

. . .nt−1 m nt

kt

nt < m olmak üzere; n1 + n2 + ... + nt toplamı m’nin üssünü verir.

!3

106n ifadesinin sonucunun bir doğal sayı olması için n doğal sayısının

alabileceği en büyük değeri bulalım.

›› ÖRNEK

106! sayısı asal çarpanlarına ayrıldığında 3’ün üssü kaç ise n’nin alabi-leceği en büyük değer odur.

106 3

105 35

1–

35 3

33 11

2–

11 3

9 3

2–

3 3

3 1

0–

3’ün üssü, 35 + 11 + 3 + 1 = 50’dir.

O hâlde, 106! = 350·A biçimindedir. A, bir doğal sayıdır ve 3 ile bölüne-mez.

Buna göre, n’nin alabileceği en büyük değer 50’dir.

›› ÇÖZÜM

43

4.4. Bir Doğal Sayının Tam Sayı Bölenleri

a, b, c, ... birbirinden farklı asal sayılar; p, q, r, ... pozitif doğal sayılar olmak üzere, n ≥ 2 doğal sayısı; n = ap·bq·cr·... biçiminde asal çarpanlarına ayrılmış olsun.

1. n doğal sayısının pozitif tam sayı olan bölenlerinin sayısı:

(p + 1)·(q + 1)·(r + 1)·... dir.

n doğal sayısının bütün tam sayı bölenlerinin sayısı;

2·(p + 1)·(q + 1)·(r + 1)·... dir.

2. n doğal sayısının pozitif tam sayı olan bölenlerinin toplamı:

aa

bb

cc

11

11

11

––

––

––p q r1 1 1

$ $ g+ + +

dır.

Bu ifade (1 + a + a2 + .... + ap)·(1 + b + b2 + ..... + bq)·.... biçiminde de yazıla-bilir.

3. n doğal sayısının pozitif tam sayı olan bölenlerinin çarpımı:

.n dir

( ) ( ) ( ) ...p q r2

1 1 1$ $ $+ + +

4. n doğal sayısından küçük ve n ile aralarında asal doğal sayıların sayısı:

n aa

bb

cc1 1 1

$ $ $$ g− − −

dir.

180 sayısının bütün pozitif doğal sayı bölenlerinin sayısını, toplamını ve çarpımını bulalım.

›› ÖRNEK

Önce 180 sayısını asal çarpanlarına ayırmalıyız: 180 = 22·32·5 tir.

Pozitif doğal sayı bölenlerin sayısı asal çarpanların üslerinin birer fazlası-nın çarpımı olduğundan, (2 + 1)·(2 + 1)·(1 + 1) = 3·3·2 = 18 tanedir.

Pozitif doğal sayı bölenlerin toplamı,

(1 + 2 + 22)·(1 + 3 + 32)·(1 + 5) = 7·13·6 = 546 dir.

Pozitif doğal sayı bölenlerinin çarpımı; 180 180218

9= dur.

›› ÇÖZÜM

44

5. EN BÜYÜK ORTAK BÖLEN (EBOB)

a, b ve m tam sayıları için m sayısı hem a’yı hem de b’yi bölüyorsa m’ye a ile b’nin bir ortak böleni denir.

• (a, b) ≠ (0, 0) olmak üzere a ile b’nin ortak bölenlerin bir en büyüğü vardır ve buna en büyük ortak bölen ya da ortak bölenlerin en büyüğü denir.

• En Büyük Ortak Bölen kısaca EBOB(a, b) ile gösterilir.

• Bu tanıma göre en az biri sıfırdan farklı olan tam sayıların EBOB’u tanımlıdır.

• Üç veya daha fazla tam sayının EBOB’u aynı biçimde tanımlanır.

a. 24 sayısının pozitif bölenleri; 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 ve 24’tür.

b. 30 sayısının pozitif bölenleri; 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15 ve 30’dur.

c. 24 ve 30 sayılarının ortak bölenleri; 1, 2, 3 ve 6’dır.

ç. EBOB (24, 30) = 6’dır. Çünkü, 24 ve 30 sayılarının ortak bölenleri 1, 2, 3 ve 6 idi. Bu ortak bölenlerin en büyüğü 6’dır.

›› ÖRNEK

5.1. EBOB Nasıl Bulunur?

İki veya daha fazla doğal sayının EBOB’u şöyle bulunur: Sayılar asal çarpan-larına ayrılır. Tabanları aynı olan çarpanların en küçük üslüleri alınarak çarpılır. Elde edilen sayı, o sayıların EBOB’udur.

168, 180 ve 540 sayılarının EBOB’unu bulalım.›› ÖRNEK

Önce bu sayıları asal çarpanlarına ayırmalıyız.

168 = 23·3·7

180 = 22·32·5

540 = 22·33 ·5

tir. Sayıların asal çarpanlarının hepsinde ortak olan tabanlar 2 ve 3’tür.

›› ÇÖZÜM

45

5 ve 7 ortak çarpan değillerdir. Çünkü; 5, sayıların ikisinde var, birinde yok; 7, sayıların birinde var, ikisinde yok.

Tabanı 2 olan çarpanlardan üssü en küçük olan 22, tabanı 3 olan çarpan-lardan üssü en küçük olanı 31 olduğundan,

EBOB (168, 180, 540) = 22·31 = 12 dir.

Sayılar asal çarpanlarına aynı anda ayrılarak sonuca daha kolay ulaşılabilir. Bunun için sayıların ortak bölünebildiği asal sayılar aranır:

168 180 540 2 (ortak bölen) 84 90 270 2 (ortak bölen) 42 45 135 3 (ortak bölen) 14 15 45 14, 15 ve 45'in 1'den başka ortak böleni yok.

14, 15 ve 45 sayılarının 1 den başka ortak böleni olmadığından;

EBOB (168, 180, 540) = 22·3 = 12’dir.

5.2. Aralarında Asal Sayılar

EBOB’u 1 olan sayılara aralarında asal sayılar denir. • İki ya da daha fazla sayının aralarında asal olması için, bu sayıların asal sayı

olması gerekmez.

• 1 ile her sayma sayısı aralarında asaldır.

• Ardışık olan n tane sayma sayısı daima aralarında asaldır.

• m ile n aralarında asal ise m + n ile m·n de aralarında asaldır. Aynı biçimde; m + n ile m·n aralarında asal ise m ile n de aralarında asaldır. Bu özellik sadece iki sayı için geçerlidir, ikiden fazla sayılar için geçerli değildir.

a. 5 ile 7, 9 ile 10, 20 ile 49 aralarında asal sayılardır.

b. 1 ile 13, 1 ile 20, 1 ile 100 aralarında asal sayılardır.

c. 15, 16 ve 20 sayıları aralarında asal üç sayıdır. Çünkü, bu üç sayının ortak olarak bölünebildiği 1’den başka sayı yoktur.

ç. 4 ile 9 aralarında asal iki sayıdır. 4 + 9 = 13 ve 4·9 = 36 olduğundan, 13 ile 36 sayıları da aralarında asaldır. Gerçekten, EBOB(13, 36) = 1 dir.

›› ÖRNEK

46

5.3. EBOB ile İlgili Özellikler

1. a ile –a nın tam sayı bölenleri aynı olduğundan;

EBOB(a, b) = EBOB(– a, b) = EBOB(a, – b) = EBOB(– a, – b) dir.

2. k ≠ Z – {0} için EBOB(k·a, k·b) = |k|·EBOB(a, b) dir.

3. EBOB(a, b) = d olsun. a = d·x ve b = d·y olacak biçimde, aralarında asal x ve y tam sayıları vardır.

4. Aralarında asal sayıların EBOB’u 1’dir.

6. EN KÜÇÜK ORTAK KAT (EKOK)

a, b ve k sıfırdan farklı tam sayılar olsun. k tam sayısı a’ya ve b’ye ayrı ayrı bölünebiliyorsa, k’ye a ile b’nin bir ortak katı denir.

• Pozitif ortak katların en küçüğüne en küçük ortak kat ya da ortak katların en küçüğü denir ve EKOK (a, b) ile gösterilir.

• İkiden fazla tam sayının EKOK’u aynı biçimde tanımlanır.

a. 12’nin pozitif katları 12’nin 1, 2, 3, 4, ... ile çarpılmasıyla elde edilir. Bunlar; 12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, ... tür.

b. 18’in pozitif katları 18’in 1, 2, 3, 6, ... ile çarpılmasıyla elde edilir.

Bunlar; 18, 36, 54, 72, 90, 108, ... dir.

c. 12 ve 18’in ortak katları a ve b şıklarından yazılabilir.

Bunlar; 36, 72, 108, 144, ... tür. Tüm ortak katlar 36’nın 1, 2, 3, ... katıdır.

ç. EKOK (12, 18) = 36’dır. Çünkü, pozitif ortak katların en küçüğü 36’dır.

›› ÖRNEK

6.1. EKOK Nasıl Bulunur?

İki veya daha fazla tam sayının EKOK’unu bulmak için öncelikle sayılar asal çarpanlarına ayrılır.

Tabanları ortak olan çarpanların üssü en büyük olanı ile tabanları ortak olma-yan çarpanların hepsi alınarak çarpılır.

Elde edilen sayı, EKOK’tur.

47

x = 104·123·11, y = 65·49 ve z = 1503·7 sayılarının EKOK’unu bulalım.

›› ÖRNEK

Önce sayıları asal çarpanlarına ayıralım:

x = 104·123·11 = (2·5)4·(22·3)3·11 = 210·33·54·11

y = 65·49 = (2·3)5·72 = 25·35·72

z = 1503·7 = (2·3·52)3·7 = 23·33·56·7

Bu sayıların EKOK’unu yazarken tabanları ortak olan çarpanların en bü-yük üslüleri ile ortak olmayan çarpanların hepsi alınıp çarpılacak:

Örneğin; 210, 25 ve 23 tabanları ortak çarpanlardır. Bu çarpanların en büyük üslüsü olan 210 alınacak.

7 ve 72 de tabanları ortak olan çarpanlardır. Bu çarpanların en büyük üslüsü olan 72 alınacak.

54 ve 56 da tabanları ortak olan çarpanlardır. Bu çarpanların en büyük üslüsü olan 56 alınacak.

x sayısının bir çarpanı olan 11 ise tabanları ortak olmayan çarpandır. Çünkü, y ve z’de tabanı 11 olan bir çarpan yok. Bu çarpan aynen alınacak.

Buna göre, EKOK (x, y, z) = 210·35·56·72·11 olur.

›› ÇÖZÜM

108, 168 ve 180 sayılarının EKOK’unu çarpan tablosu yaparak bulalım.

›› ÖRNEK

108 168 180 2 54 84 90 2 27 42 45 2 27 21 45 3 9 7 15 3 3 7 5 3 1 7 5 5 7 1 7 1

Bütün çarpanların çarpımı EKOK’u verir:

EKOK(108, 168, 180) = 23·33·5·7 olur.

›› ÇÖZÜM

48

6.2. EKOK ile İlgili Özellikler

1. EKOK(a, b) = EKOK(– a, b) = EKOK(a, – b) = EKOK(– a, – b) dir.

2. k ≠ Z – {0} için EKOK(k·a, k·b) = |k|·EKOK(a, b) dir.

3. EKOK(a, b) = k olsun. k = a·x ve k = b·y olacak biçimde aralarında asal x ve y tam sayıları vardır.

4. Pozitif iki doğal sayının EKOK’u ile EBOB’unun çarpımı sayıların çarpımına eşittir. Bu özellik, üç veya daha fazla doğal sayı için geçerli değildir.

Yani, a·b = EBOB(a, b)·EKOK(a, b) dir.

5. Aralarında asal iki sayının EKOK’u bu sayıların çarpımına eşittir.

Yani, EBOB(a, b) = 1 ise, a · b = EKOK(a, b) dir.

200 ta ne den daha faz la ol du ğu bi li nen bir mik tar el ma altışar altışar sa­y›l d› ğ›n da 4, onar onar sa y›l d› ğ›n da 8, onikişer onikişer sa y›l d› ğ›n da 10 el ma art mak ta d›r. Bu elmaların sayısının en az kaç tane olabileceğini bulalım.

›› ÖRNEK

Elmaların sayısı x olsun. Verilenlere göre,

x = 6·a + 4

x = 10·b + 8

x = 12·c + 10eşitlikleri yazılabilir. Bütün eşitliklerin her iki tarafına 2 ekleyelim:

x + 2 = 6·a + 6 x + 2 = 6·(a + 1)

x + 2 = 10·b + 10 x + 2 = 10·(b + 1) olur.

x + 2 = 12·c + 12 } ⇒

x + 2 = 12·(c + 1)

}

O hâlde, x + 2 sayısı 6, 10 ve 12’nin ortak katıdır.

EKOK (6, 10, 12) = 60 olduğundan, x + 2 = 60·k dir.

Elma sayısı 200’den fazla olduğuna göre, k = 4 seçersek, x = 238 olur. Buna göre, elmaların 200’den çok olan en az sayısı 238’dir.

k = 5 seçilirse elma sayısı 298; k = 6 seçilirse elma sayısı 358, ... olur.

›› ÇÖZÜM

49

BÖLÜM

4

49

RASYONEL SAYILARREEL SAYILAR

1. RASYONEL SAYILAR

Kesir: a, b ∈ Z , b ≠ 0 olmak üzere, ba

ifadesine bir kesir denir.

a’ya kesrin payı, b’ye kesrin paydası denir.

a b< ise, kesre basit kesir denir.

≥a b ise, kesre bileşik kesir denir.

1.1. Bileşik Kesrin Tam Sayılı Kesre Çevrilmesi

ba

kesrinde a ≥ b > 0 olsun. a’nın b’ye bölünmesinden elde edilen bölüm t,

kalan k ise; ba

t bk

= biçiminde tam sayılı kesre çevrilir.

• t bk

yazılımına tam sayılı kesir denir. Kesrin tam kısmı t’dir. bk

, basit kesirdir.

• Tam sayılı kesir, bileşik kesre; t ck

ct c k$

=+

biçiminde çevrilir.

1.2. Denk Kesirler ve Rasyonel Sayılar

ba

ve dc

iki kesir olsun. a·d = b·c ise, bu iki kesir birbirine denktir denir.

Bir kesrin genişletilmesi ve sadeleştirilmesiyle elde edilen bütün kesirler bir-birine denktir. Birbirine denk olan kesirlerin temsilcisine bir rasyonel sayı denir.

O hâlde, her kesir bir rasyonel sayıdır. Rasyonel sayılar kümesi Q ile göste-

rilir. Buna göre, , ,ba

a b b 0Q Z !!= ) 3 yazılabilir.

50

1.3. Rasyonel Sayılarda İşlemler

a. Toplama: ba

dc

b da d b c

( ) ( )d b$

$ $+ =

+ b. Çıkarma: b

adc

b da d b c

( ) ( )d b$

$ $−

−=

c. Çarpma: ba

dc

b da c

$$

$= ç. Bölme: :b

adc

ba

b ca d

cd

$

$$= =

Bu işlemler yapılırken rasyonel sayıları sadeleştirmek ya da uygun biçimde genişletmek işlemleri kolaylaştırılabilir.

Rasyonel sayılar arasındaki işlemlerin sırası genellikle parantezlerle belir-lenmiştir. Parantezle işlem sırası belirlenmeyen ifadelerde önce çarpma ve bölme işlemleri sonra da toplama ve çıkarma işlemleri yapılır.

Aşağıda eşitliklerin sol taraflarında parantezsiz olarak verilen işlemlerin işlem sırası eşitliklerin sağ taraflarında belirlenmiştir; inceleyiniz.

a. x·y + z = (x·y) + z b. x·y + z·t = (x·y) + (z·t)

c. x + y·z = x + (y·z) ç. x : y + z = yx

z+

d. x + y : z = x zy

+ e. x·y : z = zx y$

f. x : y + z : t = yx

tz

+ dir.

☛ x : y·z işlemi tanımsızdır. İşlem sırası parantezle belirtilmelidir. Parantezin bulunduğu yere göre bu işlemin sonucu değişir. Parantezin bulunduğu yere göre işlemin nasıl değiştiğini aşağıdaki eşitliklerden gözlemleyiniz.

x : (y·z) = y zx$

(x : y)·z = yx

z$

1.4. Ondalık Açılım

ba

bir rasyonel sayı olsun. a’nın b’ye bölünmesiyle elde edilen bölüme ba

kesrinin ondalık açılımı denir.

• Her rasyonel sayının ondalık açılımı devirlidir.

• Her devirli ondalık açılım da bir rasyonel sayı belirtir.

• b ≠ 0 olmak üzere, b0

0= dır.