Repartido de matemática – Matemática II – Quinto Científico

16

Propiedades de la Adición:

1) Existencia de neutro 0, 0 / n , n + 0 = 0 + n = n

Demostración : 0 por el axioma III

Por def. de adic. n , 0 + n = n

Por teorema II n , n + 0 = n

En conclusión: 0 n ,0+n=n+0= n

2) Conmutativa ,n m n+ m = …………

Demostración: Consideremos A = n / m n + m = m + n

1) A por …………………..

2) Por existencia de neutro n , n + 0 = ……….. Adef

0A

, ......... ............

.............

.............. ..............

..........

def A axioma

def

teoIIItransit def A

def A

n A m n m sig n m

sig n m

sig n m

De esta manera probamos que: nA sig(n)A (3)

De 1, 2 y 3.C.Iax

A =

Teorema: Es condición necesaria y suficiente que n=0 e m=0 para que n+m= 0

Como es una condición necesaria y suficiente deberemos demostrar el teorema

directo y el recíproco.

Teorema directo H) n = 0 e m = 0 T) n+m = 0

Demostración: Por existencia de neutro se cumple

Teorema recíproco H) n + m = 0 T) n = 0 e m= 0

Demostración: Por reducción al absurdo, suponemos que uno de ellos al menos

es distinto de 0, por ejemplo n 0.

Por teorema previo sabemos que: p ; n= sig(p) n+m = sig(p)+m =

sig(p +m)IIIax

sig (p+m) 0 n+m 0 Absurdo.

3) Asociativa

x, y, z ( x +y )+z = x +(y +z).

4) Unicidad del neutro aditivo 0 es el único neutro

5) Cancelativa de la adición en N

Si a + b = a + c b = c

Teorema: H) n n 0

T) p /sig(p) = n

NÚMERO NATURAL - 2016 - PROF. GUSTAVO SOSA - 1 - _______________________________________________________________________________________________

17

Teorema H) m p T) m+n n+p

Demostración: Contra recíproco de la propiedad cancelativa, por lo tanto es

cierto.

Definición: Sea n , llamaremos antecedente de n (que anotamos ant(n)) al

número m que cumple: sig (m) = n.

En símbolos: ant(n) = m sig (m) = n

Propiedades:

a) Si dos números tienen el mismo antecedente, entonces son iguales.

b) H) n n 0 T) sig (ant (n)) = n

c) H) n T) ant (sig (n)) = n

d) El antecedente de un número natural es único

e) 0 es el único natural que no tiene antecedente.

Definición de multiplicación:

0. n = 0 n

sig (m) . n = m. n + m n

Propiedades:

a) Propiedad Hankeliana: , . 0 0 0n m n m n m

(Se verá cómo una actividad extra en clase)

b) Propiedad cancelativa: . .n n m n p m p

(La demostración queda a cargo del estudiante)

Definición: Llamaremos número uno, al siguiente de cero.

En símbolos: sig(0) = 1

Observación: La generalización de la definición anterior nos lleva a definir en

forma análoga al número 2 como el siguiente de 1, al tres como siguiente de 2,

etc.

Relaciones de desigualdad:

1) Definición de la relación “menor que”:

n, m , n < m p , p 0; n + p = m

2) Definición de la relación “ mayor que”:

n, m , n > m m < n

3) Definición de la relación “ menor o igual” :

n, m , n m n < m o n = m

Ejercicios

1) Completa la siguiente demostración:

Teorema: H) n T) sig(n) =

n + 1

Demostración: Por definición de uno:

n + 1=n + ……=sig(………)=sig(…..)

2) Completa las siguientes

proposiciones.

a. El siguiente de 10 es ………, el de

15 es ………, el de n es ………

b. Todo número natural, excepto el

………, tiene anterior.

c. El anterior de 3 es ………, el de

20 es ………, el de ( 0)n n es

………

3) Encuentra el número h, las pistas

son las siguientes:

a. 0 1000 h

b. h es un número impar.

c. El producto de sus cifras es 18

d. La suma de sus cifras es 12

Repartido de matemática – Matemática II – Quinto Científico NUMERO NATURAL -2 -

Repartido de matemática – Matemática II – Quinto Científico

Ficha II – El método de inducción completa.

Entendemos por inducción al proceso que nos conduce de una proposición particular a una general. Proceso inverso

de la deducción que nos lleva de lo general a lo particular. Veamos algunos ejemplos:

Ejemplos:

a) Observemos que:

2

2

2

2

52597531

4167531

39531

2431

Parece que: Nnn)1n2(.........7531 2

Hemos hecho una inducción. De algunos casos particulares (cuatro) hemos llegado a una proposición general.

b) Disponemos de 10.000 fichas de dominó con las cuales formar una fila. ¿Cómo debemos proceder para tener la

certeza de que se caerán todas.

Observemos que saber que se cayeron las primeras cuatro fichas no implica que necesariamente se cayeron todas.

Es razonable afirmar que si:

1) Se cae la ficha 1

2) Las fichas están dispuestas de tal manera que si se cae una cualquiera necesariamente se cae la siguiente (h+1)

Entonces se caerán todas las fichas.

Téngase en cuenta que si falla cualquiera de las dos condiciones no necesariamente se caerán todas las fichas.

Por otra parte observemos que si sustituimos la condición 1) por 1’) Se cae la ficha 5 llegaríamos a la conclusión de

que se caen todas a partir de la 5º. En este último ejemplo entró en juego una condición (la 2)) que no lo había hecho

en los ejemplos anteriores. Intentaremos a continuación formalizar esta idea.

1 2 3 4 ................................................. ...... h h+1................................................

NÚMERO NATURAL -3- _______________________________________________________________________________________________

Repartido de matemática – Matemática II – Quinto Científico

Ejemplo: Demostrar que: 21 3 5 ..... 2 1 ; 1n n n N n

1) La proposición es verdadera para n=1 Efectivamente pues: 211

2) H) La proposición es verdadera para n=h 2h1h2.......531

T) La proposición es verdadera para n=h+1 2)1h(1h21h2........531

22

h

)1h(1h2h1h21h2.....531

2

De 1) y 2) por el principio de inducción completa tenemos que la proposición es verdadera para todo natural mayor o

igual que 1. En otras palabras: 1n;Nnn1n2.....531 2

Antes de continuar, repasemos a modo de resumen, el quinto axioma de Peano, el axioma de inducción completa

El Principio de inducción completa (P.I.C) afirma que dada una proposición ( )P n referida a los números

naturales

que cumpla: 1) 0( )P n es verdadera.

2) ( )P n es verdadera ( 1)P n es verdadera

Entonces ( )P n es verdadera n

En matemática, la inducción es un razonamiento que permite demostrar una infinidad de proposiciones, o una

proposición que depende de un parámetro que toma una infinidad de valores naturales. En términos simples, la

inducción completa consiste en el siguiente razonamiento:

Premisa mayor: El número entero n0 tiene la propiedad P.

Premisa menor: El hecho de que cualquier número entero n tenga la propiedad P implica que n+1 también la tiene.

Conclusión: Todos los números enteros a partir de n0 tienen la propiedad P.

Con más rigor, el método de inducción completa es el que realiza la demostración para proposiciones en las que

aparece como variable un número natural. Se basa en el quinto axioma de Peano y es conocido como principio de

inducción completa.

NÚMERO NATURAL - 4 - _______________________________________________________________________________________________

Repartido de matemática – Matemática II – Quinto Científico

1. Representa gráficamente un los siguientes conjuntos:

2. Indica si alguno de los siguientes conjuntos cumple con la axiomática de

Peano, si no cumple debes justificar dónde falla.

1C 2C 3C 4C *

5

1; 0C x x n

n

3. Considera válido el siguiente teorema n

n pp

a. Escribe su recíproco y demuestra su veracidad o falsedad.

b. Escribe el contrarecíproco y demuestra su veracidad o falsedad.

c. Escribe el contrario y demuestra su veracidad o falsedad.

4. a. Niega las siguientes proposiciones:

i. Todos los estudiantes estudian.

ii. Todos los estudiantes no estudian.

iii. Existe un estudiante que no estudia.

iv. Existe un estudiante que estudia.

b. Escribe cada uno de los anteriores enunciados en forma simbólica.

c. Niega los enunciados escritos en la parte anterior pero ahora en forma

simbólica.

5. En el conjunto P formado por todas las personas, considera el conjunto E

formado por las personas que estudian al menos una asignatura. A qué

conjunto pertenece una persona de la que se sabe:

a. No estudia nada.

b. Algo estudia.

c. No estudia.

6. Analiza la siguiente demostración: 0 2 2 1cancelativa

c c c c c c

7. En el siguiente procedimiento se ha cometido un error. Identifícalo:

3 6 4 8 3 2 4( 2) 3 4n n n n S

8. Sea A el conjunto formado por todos los

puntos del segmento a, y B el conjunto

formado por todos los puntos del

segmento b. ¿Cuál tienen mayor cardinal?

¿Y si agregamos al conjunto A un punto

que no pertenezca al segmento a?

Representación de conjuntos

mediante diagramas de Venn

Notación formal de conjuntos:

Dados dos conjuntos A y B:

;A B x x A x B o

;A B x x A x B y

;A B x x A x B y

;B A x x A x B y

Conjunto vacío:

Cardinal de A: # A número de

elementos de A

NÚMERO NATURAL - 5 - _______________________________________________________________________________________________

Repartido de matemática – Matemática II – Quinto Científico

t

Analiza la validez de la siguiente demostración:

Se demostrará que todo natural es igual a su siguiente:

H) n = h h = h+1 T) n = h+1 1 2h h

Demostración: Sumo en ambos miembros de H) +1

h+1 = h+1+1h+1 = h+2 que es la T)

9. Desarrolla las siguientes sumas:

a.

1

4

3 2i

i b.

5

1i

ii c.

6

1

3i

i

d.

5

2 3

2

i

i

e.

3

2 4

1

i i

i

f.

7 2 3

27

i

i ii

g.

2

2i

h

i h

10. Expresa mediante el símbolo de sumatoria las siguientes sumas:

a. 2+4+6+..............+72 b. 1+3+5+..............+77 c. 1+4+9+…….+100

d. 10+13+16+…..+304 e. 2+6+12+….+56 f. 1+2+4+8+16+…+1024

11. En caso de ser posible, expresa en un solo símbolo de sumatoria las

siguientes sumas.

a. 11 19

1 12

i i b. 11 19

1 12

3 3i i c. 15 21

1 15

i i

d. 11 19

2 1 2 1

1 12

37i i e. 55 55

2 2

1 3

i i

f. 110 110

10 12

7 7i i g. 8 10

4 7 4 7 4 7

5 6

8

6

i i i

12. Prueba que:

a. 0 0 0

( ) ( )n n n

i i i

f i g i f i g i

b.

0 0

. ( ) ( )n n

i i

K f i K f i K

13. Induce una ley general para cada uno de los siguientes casos y demuéstrala

por inducción completa.

a. 1

1

n

b. 1

n

i c. 2

1

n

i d. 2 1

1

n

i

e. 1

n

i f.

2 5

31

ni

c. 21

ni

d.

1 3

31

ni

La sumatoria es una operación que se

emplea para calcular la suma de

muchos o infinitos sumandos.

La operación sumatoria se expresa con

la letra griega sigma mayúscula Σ, y se

representa así:

Expresión que se lee: "sumatoria de

Xi, donde i toma los valores desde 1

hasta n".

i es el valor inicial, llamado límite

inferior.

n es el valor final, llamado límite

superior.

Pero necesariamente debe cumplirse

que:

i ≤ n

Si la sumatoria abarca la totalidad de los

valores, entonces no se anotan sus

límites y su expresión se puede

simplificar a:

Ejemplo: Si se quiere expresar la suma

de los cinco primeros números naturales

se puede hacer de esta forma:

NÚMERO NATURAL - 6 - _______________________________________________________________________________________________

Repartido de matemática – Matemática II – Quinto Científico

14. Demuestra que:

2

1

1 2 1

6i

n n ni n

n

15. a. Prueba que :

21

2 2

1 1

2 1n n

i i n n

b. Determina una ley general para las siguientes expresiones y demuestra:

i. 21

1

n

i ii 1 1

1

n

i i iii

2

2 3

21

ni

16. a. Demuestra que:

1

0

2 2 1ni

i

nn

b. Calcula las siguientes sumas:

i.

35

1

0

2i

i

ii.

35

1

0

2i

i

iii.

35

1 1

9

2 2i i

i

17. Demuestra por I. C. las siguientes desigualdades:

a.

3 1 3 12

1

nn

i n

i

c.

12 1 3 3

.34

1

nn nii

i

b.

1

1

2 1 2 1 2 1i

n

i i n

n d.

1

0

4 14

3

ni

i

n

18. a. Halla el valor de a para que la igualdad 2 2

1

3 9 ( 6 )n

i i n n n a se

cumpla para n=1.

b. Demuestra por I. C. la igualdad anterior.

19. a. Halla el valor de a para que la siguiente igualdad se cumpla para n =1.

b. Demuestra por I. C. la igualdad anterior.

20. a. Halla a y b sabiendo que: 22

1

10 13n

i

ai b n n

se cumple para n=1 y

n=2

b. Demuestra por I. C. la igualdad anterior para todo n ≥ 1

c. Calcula 2000

201

ai b

Suma y resta: En

el siglo XV poco

a poco se van

imponiendo

abreviaturas para

indicar algunas

operaciones

matemáticas. Por ejemplo, los italianos

utilizaban una p y una m para indicar la

suma y la resta (plus y minus, en latín).

Sin embargo, acabó imponiéndose la

abreviatura alemana + y -. Estos signos

se utilizaban originariamente para

indicar exceso y defecto en la medida

de las mercancías en los almacenes. De

hecho, el texto más antiguo que se

conoce en el que aparecen estos signos

con el sentido de suma y resta es un

libro de aritmética comercial del alemán

Johann Widman publicado en 1489.

Pese a su uso por los alemanes, parece

ser que el signo + tiene origen latino por

ser una contracción medieval de la

palabra et (la conjunción copulativa

"y").

1

(3 4)2

3i

nn n

i a

NUMERO NATURAL - 8 - _______________________________________________________________________________________________

Repartido de matemática – Matemática II – Quinto Científico

21. 3

4

Dada la igualdad : 2 3 3 1n

i

i n an b

69

4

a. Halla y sabiendo que se cumple para n = 2 y n = 3.

b. Para y hallados en (a), demuéstrala por I. C. / 4.

c. Aplicando (ii) calcula : 2 3i

a b

a b n n

i

22. Resuelve: (Sugerencia ver igualdades en ejercicios previos)

a.

4

2n

i

i n

b.

4

22 2 1n

i

i nn

c. 23 1

1 1

n ni i

i i

23. Demuestra mediante Inducción Completa:

a.

10 9 1n d.

2 4 1 si 2n n

b.

9 1 8n e.

1 1 6n n n

c.

2 12 1 3n f.

2 2 21 1 60n n n

24. Prueba por inducción completa:

a. 7 2n n es divisible entre 5

b. 110 3. 10 5nn es múltiplo de 5

c. 1

! 1 ! 1n

i

i i n

d. Existe un natural a partir del cual se cumple que: 22 1n n

e. 1

log log !n

i

i n

25. Induce una ley general para el siguiente desarrollo y demuéstrala por I. C.

1 11 2

2 2

1 1 11 2

2 4 4

1 1 1 11 2

2 4 8 8

La paradoja del caballo: “Todos los

caballos son del mismo color”

Razonemos por inducción. Como caso

base, podemos observar que en

un conjunto que contiene a un

único caballo, todos los caballos son

claramente del mismo color. Ahora

suponemos que la proposición es cierta

para todos los conjuntos de tamaño

inferior a n y para los de tamaño n. Si

hay n +1 caballos en un conjunto,

retiramos un caballo para obtener un

conjunto resultante de n caballos y, por

la suposición de inducción, todos los

caballos en ese conjunto son del mismo

color. Queda demostrar que este color

es el mismo al del caballo que hemos

retirado. Pero es fácil, lo que tenemos

que hacer es devolver el primer caballo,

retirar otro y aplicar otra vez el

principio de inducción a este conjunto

de n caballos. Así todos los caballos en

un conjunto de n+1 caballos son del

mismo color. Por el principio de

inducción, hemos establecido que todos

los caballos son del mismo color.

El fallo en la suposición implícita de

que los dos subconjuntos de caballos a

los que aplicamos la suposición de

inducción tienen un elemento común,

pero esto falla cuando n =2.

Esta paradoja es simplemente el

resultado de un razonamiento erróneo.

Muestra así los problemas que se

producen cuando se dejan de considerar

casos específicos para los que una

proposición general puede ser falsa.

NUMERO NATURAL - 9 - _______________________________________________________________________________________________