Résolution de problèmes

Résolution de problèmes

Équipe académique Mathématiques - 2013

RÉSOUDRE UN PROBLÈME,

POURQUOI ?


Enrichir l’activité mathématique des élèves, leur faire acquérir des compétences plus variées

Renforcer l’intérêt des élèves pour notre discipline dans des situations en prise avec une certaine réalité


RÉSOUDRE UN PROBLÈME,

ÇA CONSISTE EN QUOI ?


EXTRAIT DE PROGRAMMES DU LYCÉE modéliser et s’engager dans une activité de

recherche ; conduire un raisonnement, une démonstration ; pratiquer une activité expérimentale ou

algorithmique ; faire une analyse critique d’un résultat, d’une

démarche ; pratiquer une lecture active de l’information

(critique, traitement), en privilégiant les changements de registre (graphique, numérique, algébrique, géométrique) ;

utiliser les outils logiciels (ordinateur ou calculatrice) adaptés à la résolution d’un problème ;

communiquer à l’écrit et à l’oral.


Chercher, expérimenter, modéliser, en particulier à l’aide d’outils logiciels

Choisir et appliquer des techniques de calcul

Mettre en œuvre des algorithmes Raisonner, démontrer, trouver des

résultats partiels et les mettre en perspective

Expliquer oralement une démarche

En particulier



Rôle du professeur dans ce cadre:

Donner aux élèves : - un temps de recherche suffisant - la possibilité de prendre des initiatives

Entendre les élèves, pour les aider à s’écouter et à dialoguer entre eux

(débat, travail en binômes, en groupes…)

Fournir aux élèves des pistes et/ou outils pour répondre à leurs questions concernant le problème posé sans le résoudre à leur place

RÉSOUDRE DES PROBLÈMES,

LESQUELS ?


Transformer des activités classiques en problèmes

• permettant des prises d'initiatives et développant l’autonomie• permettant un maximum d’activité mathématique des élèves • permettant d'aborder ou d’appliquer des nouvelles notions ou

de réinvestir des connaissances et/ou méthodes antérieures

Favoriser des problèmes qui peuvent être résolus de façons différentes (géométrie, analyse, TICE…)

Utiliser des problèmes relativement « ouverts »•l’énoncé est court et facile à comprendre•la réponse n’est pas évidente•aucune méthode de résolution n’est sous entendue


Dans la mesure du possible, il convient d’essayer d’avoir un équilibre entre les problèmes s’inspirant de situations liées à la vie courante, professionnelle et/ou à d’autres disciplines et les problèmes purement mathématiques.

Les problèmes doivent pouvoir permettre aux élèves de s’exprimer de façon simple et concise (à l’oral et/ou à l’écrit, et afin de favoriser leur autonomie et leurs prises d’initiatives).



DANS QUEL CADRE ?


Classe entière (travail en groupes, débat oral…) En salle informatique en demi-groupe

Devoirs maison

Devoirs surveillés (prévoir un problème où le temps de recherche est très raisonnable)



COMMENT ?


Il faut laisser la place

à une véritable recherche des élèves, partie essentielle de l’activité mathématique (cela peut paraitre dans un premier temps chronophage mais le bilan d’une bonne recherche peut aisément remplacer un cours « classique » et donc faire aussi gagner du temps)

à toutes les idées qu’ils peuvent exprimer pour répondre à des questions amenées par l’enseignant, ou par eux-mêmes

aux questions des élèves



Pour leur laisser la possibilité de se poser eux mêmes de bonnes questions, il faut :

faire confiance aux élèves et à leur capacité de s’investir dans la résolution d’un problème

accepter de ne pas toujours diriger ou orienter

entièrement leurs réponses et leurs stratégies

instaurer un climat d’écoute et de dialogue

leur fournir le cas échéant des aides et/ou outils pour répondre à ces questions de manière convaincante


DIFFÉRENTES

POSSIBILITÉS

D’ORGANISATION



LE TRAVAIL DU PROF



choisir un problème avec un enjeu construire le scenario à partir du problème

• choisir la façon de proposer le problème aux élèves• choisir éventuellement les variables didactiques

(pas forcément les mêmes pour tous les groupes d’élèves)

vérifier la compréhension de l’énoncé• reformuler éventuellement la question ou la

faire reformuler par les élèves• faire traiter un exemple, un cas particulier

gérer la classe pour donner le plus de placepossible à l’activité mathématique d’un maximum d’élèves


LE TRAVAIL DE L’ÉLÈVE


L’APPROPRIATION DU PROBLÈME PAR LES ÉLÈVES

phase de recherche personnelle : l’enseignant peut guider les élèves sans les influencer sur leurs conjectures mais au contraire en aidant à faire naître le questionnement

les élèves formulent des conjectures et proposent des stratégies

les propositions visiblement fausses sont mises en évidence par des contre-exemples



EXEMPLE DE DIFFÉRENTIATION


SÉANCES DE RÉSOLUTION DE PROBLÈMES DIFFÉRENCIÉS

LA ROSACELES FONTAINES

ECHANGES DE SYSTÈMES

(La résolution de systèmes n’apparait pas dans les contenus de 2nde mais cette compétence peut être travaillée au travers

d’activités diverses en particulier dans la résolution de problèmes)


1ER GROUPE : LA ROSACE

Une rosace a la forme ci-dessous, dessinée à l’aide d’un carré ABCD de côté 2 et de demi-cercles.

Entre la surface blanche et la surface colorée, quelle est celle qui a la plus grande aire ?


2ÈME GROUPE (ÉLÈVES AYANT DES DIFFICULTÉS DE LECTURE D’ÉNONCÉ) : DEUX FONTAINES

Un bassin est alimenté par deux fontaines dont les débits horaires (exprimés en litres par heure) sont différents mais constants.Si on laisse couler la première fontaine pendant 4 heures et la seconde pendant 3 heures, la quantité d'eau recueillie au total est de 55 litres.Si on laisse couler la première fontaine pendant 3 heures et la seconde pendant 4 heures, la quantité d'eau recueillie au total est de 57 litres.

Sachant que le bassin peut contenir 320 litres, combien faudra-t-il de temps pour le remplir, si les deux fontaines coulent ensemble pendant le même temps ?


3ÈME ET 4ÈME GROUPES : ECHANGES DE SYSTÈMES

Ecrire l’énoncé d’un problème qui peut amener à la résolution d’un système d’équations.

Modalités de mise en œuvre: donné à deux groupes différents d’élèves

relativement faibles le groupe 3 donne à résoudre au groupe 4 son

problème et réciproquement travail sur les contenus, les savoir-faire et les

compétences.



ET AMENER DES CONTENUS


EN AMONT DE LA SÉANCE

choisir un problème en lien avec les notions à introduire et si possible illustrant l’intérêt de cette notionpré-requis nécessairesénoncé du problème plutôt ouvert

anticiper les aides possibles à apporter aux élèvesdémarrage, déblocage(s)…questions possibles des élèvespoint(s) technique(s) délicat(s)


RÉSOLUTION DU PROBLÈME ETINSTITUTIONNALISATION

mise en évidence de nouveaux éléments de savoir (notion(s), technique(s), méthode(s)…) utilisés au cours de la résolution et de l’intérêt et l’apport en regard des autres méthodes qui ont éventuellement émergé.

reformulation écrite par les élèves, avec l’aide du professeur, des connaissances nouvelles acquises en fin de séquence.



POUR METTRE EN ŒUVRE DES MÉTHODES

(deux exemples : 1H de recherche pour chaque et une heure de bilan global)


Contenus (pas de

formalisation excessive)

En amont :

Résoudre des problèmes qui accrochent les élèves et qui nécessitent les contenus du programme et justifier leur pertinence en situation

En aval :

Résoudre des problèmes avec un enjeu qui mettent en œuvre et montrent l’intérêt des contenus étudiés



ALERTE À MALIBU(Tel que nous le poserions…)

Sur une plage de Malibu, le maître-nageur Mitch utilise une corde de 160 mètres de longueur et deux bouées pour délimiter une zone de baignade de forme rectangulaire. Il se demande où placer les bouées pour que la zone de baignade ait la plus grande aire possible.

(Tel que nous l’avons trouvé)On note x la longueur AB en mètres.

D’après Les maths au quotidien 2ème édition Ellipses

L’ÉCHANGE ARGUMENTÉ (DÉBAT) AUTOUR DES PROPOSITIONS ÉLABORÉES

Communication des solutions élaborées, des réponses apportées, des résultats obtenus, des interrogations qui demeurent. Ne pas rejeter les solutions qui ne concernent pas la nouvelle notion.

Confrontation des propositions, débat autour de leur validité, recherche d’arguments. Cet échange peut se terminer par le constat qu’il existe plusieurs voies pour parvenir au résultat attendu et par l’élaboration collective de preuves.

Quand une réponse fait l’unanimité un protocole de démonstration si nécessaire est suggéré.


ASTÉRIX


LE FIL A LINGE

Un fil à linge est tendu entre deux poteaux verticaux de 1,80 mètres de hauteur.Le fil est un petit peu trop long, puisque sa longueur excède de 10 centimètres la distance séparant les deux poteaux.On pend, sur un cintre, au milieu du fil, une jupe. La longueur totale (cintre compris) est de 1 mètre.Le problème est le suivant : La jupe risque-t-elle d'être en contact avec le sol ?

1)Faire une figure (précise !) dans le cas où la distance entre les deux poteaux est de 2 mètres (échelle 1/20). La jupe touche-t-elle le sol dans ce cas ?

2) Si on augmente la distance entre les poteaux (la longueur du fil étant toujours supérieure de 10 centimètres à cette distance), pensez-vous que la jupe risque de toucher le sol ? Et si on diminue la distance ?

3) Démontrer ou invalider cette conjecture.Équipe académique Mathématiques - 2013

Représentation de la situation : Si on appelle x la distance AB.

ABONNEMENTS

Un magazine est vendu uniquement sur abonnement annuel depuis 2010.Le directeur commercial a rassemblé ci-dessous les données liées aux ventes :

1) Si le prix est porté à 90 € en 2013, à quel nombre d’abonnés pourrait-on s’attendre ?

2) Comment estimer le prix qui amènerait 10 000 personnes à s’abonner ?


Année 2010 2011 2012Prix de l’abonnement (en euros) 59 69 80Nombre d’abonnés 8 714 8 174 7 580

DRAPEAU (2H DE RECHERCHE)

Un drapeau a la forme suivante :

Le rectangle OABC a pour longueur 6 dm et largeur 4 dm. K est le milieu du segment [AB].Quelle est la part de l’aire colorée par rapport à l’aire totale ?


VERRE A MOITIE PLEIN (DONNÉ EN DEVOIR À LA MAISON)

Un verre a une forme conique. La hauteur de la partie conique est 10 cm et le diamètre d’ouverture du cône est 6 cm. Avec de l’eau, on souhaite remplir le verre jusqu’à la moitié de son volume.Jusqu’à quelle hauteur doit-on verser l’eau?

Vous décrirez toutes les étapes de votre démarche, les essais entrepris, même s’ils n’ont pas abouti, et le détail des calculs effectués.


UNE SOLUTION D’ÉLÈVE

« Le volume du cône est pr²h/3 ≈ 94,2 cm3.On divise le volume par 2 vu que l’on veut le verre à moitié plein donc V ≈ 47,1 cm3 . Le coefficient de réduction est 1/2 pour le triangle, et donc (1/2)3 pour le cône. Mais alors le volume est divisé par 8 : c’est trop ! La partie basse du verre est plus étroite que la partie haute, donc la solution est supérieure à 5. On reprend tout… En fait, c’est le contraire : le coefficient de réduction de la hauteur, en le mettant au cube, doit être égal au coefficient de réduction du volume.On a donc x3 =1/2 et je pense que la touche 3√ de ma calculatrice me donne le résultat comme pour la racine carrée. On obtient x ≈ 0,794 , donc, la hauteur du verre étant 10, h = 0,794x10 = 7,94 cm. C’est la hauteur cherchée. »

FORFAITS SMS

Tata Yoyo, qui a un grand chapeau, compare trois forfaits SMS mensuels:Forfait A : fixe de 20 € quel que soit le nombre de SMS envoyés.Forfait B : 0,15 € par SMS envoyé.Forfait C : 12 € fixe et 0,05 € par SMS envoyé.

Aider Tata Yoyo à choisir le forfait le plus avantageux selon le nombre de SMS qu’elle enverra.


LE DÉBAT

Le professeur rentre dans la classe et écrit les deux égalités suivantes :(a+b)² = a²+2ab+b²(a+b)3 = a3 +3ab +b3

« Que pensez-vous de ces deux égalités ? »


OPTIMISATION

Un triangle isocèle a pour périmètre 1 dm. On souhaite que son aire soit la plus grande possible. En décrivant votre démarche, recherchez les dimensions et l’aire d’un tel triangle.

Voici la solution proposée par un élève: « Je résous le problème avec le logiciel GEOGEBRA: je construis la figure

avec un curseur a entre 0 et 1, qui représente la longueur des deux côtés égaux, la troisième longueur est alors 1-2a . Je ne peux construire le triangle, à l’aide de cercles, que si a est entre 0,25 et 0,5.

Je demande l’aire du triangle et, en faisant varier la valeur du curseur, j’obtiens une aire maximale de 0,04808 dm² si a=0,33 dm, soit le tiers du périmètre. Il faut donc que le triangle soit équilatéral pour avoir une aire maximale qui est alors égale à 0,04808 dm². »


LES BIDONS

Chez un vigneron, on peut acheter du vin au litre. Dans ce cas, le vin est conditionné dans des cubitainers d’une capacité de 5 litres. Le vin est vendu 2,50 € le litre et un cubitainer vide est vendu 1,50 €.

Proposer une méthode permettant de déterminer le prix en fonction de la quantité achetée et inversement.

Aide(s) éventuelle(s)

1) Calculer le prix qu’un client devra payer pour 2 litres achetés, puis pour 5 litres et 7 litres.

2) On dispose de 35 €. Combien de litres de vin peut-on acheter ?


EN STATISTIQUES

Max, qui a 18 ans, veut partir en vacances et il aimerait y rencontrer des jeunes comme lui.

Le voyagiste lui communique la moyenne d’âge de deux groupes possibles de 6 personnes : 18 ans pour l’un et 29 ans pour l’autre. Max choisit bien sûr le premier !

Proposer un cas dans lequel Max n’aurait pas fait le bon choix.


SUITE ET FIN…

On dispose d’un carré de côté 1. Etape 1 : on colore la moitié du carré.Etape 2 : on colore la moitié de la partie non colorée.

Et ainsi de suite…

Peut-on, par cette méthode, arriver à un moment donné à colorier tout le carré initial de côté 1 ?


OPTIMISATION

Mr Choco est directeur d'un supermarché. Il achète à une usine, des boîtes de chocolats au prix de 5 € la boîte. Il revend ses boîtes dans son magasin à 13,60 € la boîte.Habituellement, il en vend 3 000 par semaine.Mr Choco réalise une étude de marché qui montre que toute baisse du prix de 10 centimes fait augmenter la vente de 100 boîtes par semaine.

On veut aider Mr Choco à fixer le prix de vente de la boîte de chocolats afin de réaliser un bénéfice maximum.


LA CARTE

Une carte de vœux de forme rectangulaire de dimensions 8 cm sur 10 cm, comporte un carré et un rectangle colorés comme sur la figure. Comme ces cartes de vœux seront imprimées en grande quantité, on souhaite que la partie blanche soit la plus grande possible afin de minimiser les coûts d’impression.

Comment faire ?

AGE ET CHOCOLAT

Ne me donne pas ton âge ; tu me mentirais certainement...

1)Choisis le nombre de fois que tu voudrais manger du chocolat chaque semaine (plus d’une fois et moins de 10 fois).2)Multiplie ce nombre par deux (pour être plus près de la réalité).3)Ajoute 5.4)Multiplie par 50 — Oui, tu peux te servir d’une calculatrice !5)Si tu as déjà célébré ton anniversaire cette année, ajoute 1763. Sinon, ajoute 1762.

Maintenant, soustrais ton année de naissance.Tu devrais obtenir un nombre à trois chiffres.Le premier chiffre est le nombre de fois que tu veux manger du chocolat chaque semaine.Les deux autres chiffres représentent... ton âge! (mais oui, avoue le !!!)

Expliquer pourquoi cet algorithme fonctionne.Équipe académique Mathématiques - 2013

LE LOGO

Un logo a la forme d’un triangle rectangle isocèle de côté AB = AC = 8 cm , partagé en quatre zones avec AD = EB = 3 cm comme sur la figure ci-dessous :

Quelle est l’aire de la zone colorée ?Équipe académique Mathématiques - 2013

Un randonneur s’approchant d’une colline aperçoit, planté au sommet, un bâton. La colline a une hauteur de 25 m, on admet qu’elle a la forme d’une portion de parabole , représentant la fonction 𝒫 f définie par f (x) = -x²+25 , et le bâton mesure 1 m.

Objectifs :Le randonneur se promène au pied de la colline. Déterminer quelle est la position limite de celui-ci à partir de laquelle il ne voit plus le haut du bâton ?


QUE LA MONTAGNE EST BELLE…Représentation de la situation (Le haut du bâton est représenté par le point B.)

SÉRIE NOIRE DE L’ÉTÉ 2005

« 713 morts dans les crashs aériens en 2005, trois fois plus qu'en 2004

6 mai 2006 / L'année 2005 s'annonce comme particulièrement noire pour l'aviation civile internationale. Tout le monde a encore en tête la série de crashs meurtriers survenus durant les dernières vacances estivales, créant un début de phobie populaire. Ainsi, le nombre de victimes de crashs aériens explose, atteignant le nombre de 713 décès (contre 203 l'année précédente). Il y eut au total 18 accidents aériens meurtriers (9 en 2004).»

(source : Chocolat.TV)

On possède la statistique suivante : en 10 ans, de 1995 à 2004, on compte 376 accidents aériens graves.

Qu’en pensez-vous ?


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