RESONANCE METERS FOR VISCOELASTICITY MEASUREMENT

Department of Biophysics and Physical Chemistry, Faculty of Pharmacy, Heyrovskeho 1203, 500 05 Hradec Kralove, Czech Republic

DELTER v.o.s. Lohenice 43, 535 01 Prelouc, Czech Republic

Introductory remarks

Quantification of relations between strains and stresses in dynamic loading is one of the key tasks of biomechanics.

In contrast to static loading, in dynamic loading energy losses play a relevant role. Viscoelasticity must thus be taken into account.

Rheological viscoelastic models are currently applied on this field. Nevertheless, they do not ensure a satisfactory approximation.There are two main sources of discrepancy between the behavior of rheological models and the behavior of real viscoelastic structures. The first issue is the problematic disregard of the influence of inertial forces. The second lies in the fact that the current rheological models use lumped parameters which are incongruous with the distributed parameters in real bodies.

Complex moduli or, more generally, complex stiffnesses, provide adequate tools for satisfactory characterizing dynamic behavior of linear mechanical systems.

energy generator

fixed end

inertial body

sample

deformation sensor signal to computer

damping oscillations Resonance methods represent an alternative to direct

measurements of frequency characteristics (DMA

apparatuses). Crucial advantage of resonance meters

consists in the high sensitivity of measurements and the

elimination of errors resulting from the effect of the mass of

the sample and the mass of the moving part of the meter on

measurement results. Moreover, its design enables

contactless sensing, which further improves the accuracy

and precision. Application of this principle leads to a

reduction of costs and elimination of some errors.

deformation

time

Principle of resonance apparatuses (RMA)

RMA measure complex stiffnes and complex moduli. RMA are based on the measurement of mechanical resonance of samples of biological materials.

Inverse problem solutions

)(1

)(0 tFlala

n

j

jj

Fundamental equations:

deformation

time

).(sin.)( . teAty ta

Complex stiffness of system sample-inertial body in periodic mode:

)(1

)(0 tbb

n

j

jj

)()()(

iliFiS

Complex modulus definition: )()()(

iiiE

AlSE SRERE0 A

lSE SIMIM0

Loss modulus of sample: Storage modulus of sample:

Complex stiffness definition:

inertial body

sample

F

l0

)( iTS

)( iTB

)()()( iiSiSiS IMRE

MTRE M

TIM

2

RMA – tensile measurements

RMA – measurements in bending loading

RMA – measurements of surface sitiffness

Potential application of measurement of viscoelasticity in biomechanics

Solutions of problems of mechanical compatibility

 

Origin of additional stresses in mechanically incompatible bodies.

Tangent stresses in tensile loading.

    

Condition of mechanical compatibility is the same complex stiffness in all bodies in contact.

body1 body2 body nbody 3

F

1

2

n

Serial systems

n

i iCS SS 1

11

n

iiCP SS

1

Knowledge of stiffnesses of partial bodies enables calculation of stiffness of whole system

Parallel systems

F

L2

L3

L1

F3F1 F2

L

Potential application of measurement of viscoelasticity in biomechanics

Solutions of problems of complex mechanical systems

Addenda

Přechodová charakteristika - odezva na skok síly

čas

Síla nebo mechanické napětí

Příklad přechodové charakteristiky Voigtova modelu

)1.()(.t

NH

eHFtL

)1.()(.tE

eE

t

defo

rmac

e

čas

Křivka toku - odezva na obdélníkový impuls síly

čas

mechanické napětí

Příklad křivky toku Voigtova modelu

)1.()(.t

NH

eHFtL

defo

rmac

e

čas

tNH

eHFtL

.)(

Frekvenční charakteristikysíl

a, d

efor

mac

e

čas

F0 φ

L0

imaginární osa

reálná osasměr rotace fázorů

ωt

poloha fázoru v čase t imaginární osa

reálná osa

φpoloha fázoru odezvy v čase 0

poloha fázoru síly v čase 0

tFtF sin)( 0

)(sin)( 0 tLtL

Fázorové (vektorové) zobrazení síly a deformace

Další používané charakteristiky

síla

čas

čas

T2 T1 síla

síla

čas

T1 T2

síla

čas

Odezvy na lineárně rostoucí sílu – rampová charakteristika

Cyklické odezvy

Odezvy na pilový průběh síly

Odezvy na trojúhelníkovýprůběh síly

Odezvy na sílu rostoucí po skocích

Teorie chování lineárních mechanických systémů

Základní diferenciální rovnice

m

j

jj

n

i

ii fbfblala

1

)(0

1

)(0

kde a a b jsou koeficienty, i a j jsou stupně derivace, l je deformace, f je namáhání

Pokud je vstupní veličina síla F a výstupní veličina deformace l, lze vztah napsat ve jednodušší formě

)(1

)(0 tFlala

n

i

ii

Fourierova transformace

)()()()(1

01

0 iFibbiLiaam

j

jj

n

l

ll

Základní diferenciální rovnice je na obecné úrovni obtížně řešitelná. S použitím Fourierovy transformace ji však možné řešení podstatně usnadnit. Princip spočívá v tom, že se čas nahradí novou proměnnou (iω). Dostáváme pak relace mezi fázory síly a deformace. Tyto relace jsou popsány algebraickou rovnicí, jejíchž řešení je snadnější. Tato metoda se používá v elektronice a regulační technice.

dtetxiX ti )()(

Převody mezi časovými průběhy a fázory

Transformační vztah, definující Fourierovu transformaci se v praxi obvykle přímo nepoužívá.

.Využívá se tzv. slovník transformace, kde je transformace již vypočtena.

Fourierova transformace je vhodná pro analýzu frekvenčních závislostí mezi namáháním a deformací. Lze ji využít i pro fyzikálně reálné periodické průběhy. Využíváme tzv. harmonickou analýzu, založenou na Fourierově trigonometrické řadě.Dokonce i neperiodické průběhy lze řešit pomocí Fourierovy transformace.

Laplaceova transformacePodobně jako Fourierova transformace, nahrazuje Laplaceova transformace základní diferenciální rovnici algebraickou rovnici. Princip spočívá v tom, že se čas nahradí novou proměnnou (p). Dostáváme pak relace mezi Laplaceovými obrazy síly a deformace.

Transformační vztah

Transformační vztah se opět v praxi obvykle přímo nepoužívá.

.

I v případě Laplaceovy transformace se využívá se tzv. slovník transformace, kde je transformace již vypočtena pro běžné funkce.

0

)()( dtetfpF pt

pXpbbpYpaam

j

jj

n

i

ii

10

10 )(

Rovněž tato metoda se používá v elektronice a regulační technice. Ulehčuje zejména hledání impulsních a přechodových charakteristik.

Komplexní tuhost a komplexní moduly

)()()(

iliFiT

)()()( iSiiSiS IMRE

Komplexní mechanická tuhost T(iω) je poměr fázoru síly F(iω) a deformace l(iω):

.Komplexní mechanická tuhost obsahuje reálnou složku (TRE) a imaginární složku (TIM).

imaginární osa

reálná osa

φpoloha fázoru odezvy v čase 0

poloha fázoru v čase 0

S (iω)

imaginární osa

reálná osa

φ

d = |S(iω)| SIM

SRE

dynamická tuhost

fázorová presentace

)()()(

iiiE

)()()( iEiiEiE IMRE

AF

0ll

0yAES

V režimu namáhání v tahu a tlaku lze u těles tvaru homogenní tyče charakterizovat materiál pomocí komplexních modulů.

Komplexní modul E(iω) je poměr fázoru mechanického napětí σ(iω) a relativní deformace ε(iω):

Komplexní modul obsahuje reálnou složku (ERE) a imaginární složku (EIM).

Imaginární část komplexního modulu se nazývá „storage modulus“.

Imaginární část komplexního modulu se nazývá „loss modulus“.

Relace mezi komplexní tuhosti a komplexním modulem

Protože pro namáhání v normálovém směru (tahu a tlaku platí):

Platí také:

Komplexní modul

Energetické ztráty při dynamickém zatěžování

Energetické ztráty závisí na frekvenci a na imaginární části komplexní tuhosti. Při normálovém namáhání tedy na ztrátovém modulu EIM (loss modulus).

tFtF sin)( 0

)(sin)( 0 tLtL

Pokud je průběh síly dán vztahem:

A průběh deformace vztahem:

Obecně lze energetické ztráty určit podle vztahu: sin2

00 LFPz

Při znalosti komplexní tuhosti je možno použít vztah: 20

2LSP IMz

Komplexní tuhost a komplexní moduly mechanických soustavMechanické soustavy více vzájemně spojených těles do kombinací „sériově“ spojených částí (u nichž je společné namáhání) a „paralelně“ spojených částí (společná je deformace). Například Maxwellův model je sériové spojení Hookeova a Newtonova tělesa, Voigtův model je paralelní spojení Hookeova a Newtonova tělesa.

n

iiCP iSiS

1

)()(

n

i iCS iSiS 1 )(1

)(1

Celková tuhost je součet dílčích tuhostí

Převrácená hodnota celková tuhost je součet převrácených hodnot dílčích tuhostí

F

stejné síly

těleso1 těleso 2 těleso ntěleso 3

Sériová kombinace

F

1

2

n

L

stejné deformace

Paralelní kombinace

Dynamická tuhost složitých soustav viskoelastických struktur  - příklady

Sériová kombinace

1

L

n

i iCS iSiS 1 )(1

)(1

 

 

L2(ω)

T1(ω)

T2(ω)

Modelové příklady použití:

Držadlo s krytemPodrážka boty složená z více vrstevPodložky  

Lze určit :

Deformace dílčích strukturCelkovou komplexní tuhost v závislosti na frekvenciEnergetické ztráty v dílčích strukturách v závislosti na frekvenciTlumení vibrací v závislosti na frekvenci  

Dynamická tuhost složitých soustav viskoelastických struktur  - příklady

Paralelní kombinace

L

n

iiCP iSiS

1

)()(

 

 

F2(ω)

T1(ω) T2(ω)

Modelové příklady použití:

Tělesa s povrchovým krytem či lakemVícevrstevný textilPovrch těla a přiléhající struktury (textil, obuv, náplasti a obinadla)  

Lze určit :

Síly a namáhání v dílčích strukturáchCelkovou komplexní tuhost v závislosti na frekvenciEnergetické ztráty v dílčích strukturách v závislosti na frekvenciNamáhání na rozhraní  struktur v závislosti na frekvenci 

Paralelní struktury  

 

Příklady problémů které lze řešit na základě znalosti komplexní dynamické tuhosti

1) Deformace v dílčích strukturách

2) Namáhání dílčích struktur

3) Ztráty energie, celkové i v dílčích strukturách

4) Mechanická kompatibilita materiálů

Znalost komplexní dynamické tuhosti lze využít také k řešení problematiky nebezpečí vzniku trvalých deformací a porušení celistvosti (prasknutí) dílčích struktur.

 

 

H N

F 

 

E η

σ

Voigtův (Kelvinův) modelNamáhání je společné pro obě tělesa deformace se sčítají

Obecně Pro normálové namáhání tyče

Komplexní tuhost Komplexní modul

NiHiS )( iEiE )(

Praktické poznámky:

U Voigtova modelu jsou parametry (H, N, E, η) frekvenčně nezávislé.

Rovněž je frekvenčně nezávislá reálná část tuhosti a modulu.

Reálná část komplexního modulu je shodná s Youngovým modulem pružnosti.

Imaginární části komplexní tuhosti i komplexních modulů jsou přímo úměrné frekvenci.

 

 

H N

F

Voigtův model se setrvačnostíNamáhání je společné pro obě tělesa deformace se sčítají

Komplexní tuhost

MNiHiS 2)(

Praktické poznámky:

U tělesa chovajícího se podle Voigtova modelu jsou parametry (H, N, M) frekvenčně nezávislé.

Reálná část tuhosti i imaginární část modulu je frekvenčně závislá.

M

Viskoelastické modelySložené reologické modely

Závěry

Složené modely tvoří sério-paralelní struktura Hookeových a Newtonových těles.

Modely neberou v úvahu vliv setrvačných si, což je při dynamickém zatěžování principiální nedostatek.

Identifikace a odhad parametrů modelů je obtížně řešitelný úkol.

Praktické použití reologických modelů je sporné.

F

Význam kvantitativního popisu viskoelasticity

Mechanická kompatibilita těles a materiálůKontrola kvality produktů.Metodika ovlivnění houževnatosti a křehkosti volbou viskoelastických parametrůStabilita parametrů v závislosti na vnějších podmínkách a stárnutí materiálu.Mechanické filtry vibracíKvantifikace viskoelasticity biomateriálů

Vibrace, vlastní oscilace, mechanické filtry vibrací

F

stejné síly

těleso1

těleso 2

těleso n

těleso 3

Sériová kombinace těles

Selektivní mechanické filtry vibracíV řadě praktických případů se setkáváme se situací, kdy je mechanická soustava složena z dílčích těles, namáhaných stejnou silou. Příkladem mohou být držadla, podrážky bot, podložky apod.Deformace v dílčích tělesech lze určit na základě vztahů pro komplexní tuhosti.Častá je také situace, kdy je třeba minimalizovat vibrace v některých tělesech, respektive „odfiltrovat“ některé frekvence vibrací. Například je žádoucí, aby určité frekvence vibrací nepřecházely do lidského těla (rukojeti pneumatických kladiv, volanty u automobilů, jsou markantní příklady).Vhodná volba viskoelasticity ochranných vrstev umožňuje takovéto selektivní filtrování. Znalost komplexních tuhostí umožňuje vhodnou volbu viskoelasticty mechanických filtrů.

0 1 2 3 4 5 6 7 8

Výkon

frekvence (Hz)

Výkon přenášený do koncového tělesa

těleso1 těleso 2

Přiklad selektivního mechanického filtru pro vibrace od 5 do 7 Hz

Analýza mechanického chování soustav těles, založená na znalosti komplexní tuhosti, umožňuje předpovídat možnost vzniku vlastních kmitů, jejich frekvenci a tlumení.

Řešení inversního problémuZ frekvenčních charakteristik

Z hlediska komplexní tuhosti se jedná o přímou metodu. Tuto metodu využívají přístroje DMA.

síla,

def

orm

ace

čas

F0

L0Δt

tFtF sin)( 0 )(sin)( 0 tLtL

t

)()()( IMRE SiSS

)(cos)()( SSRE )(sin)()( SSIM

Hledáme reálnou a imaginární část komplexní tuhosti v závislosti na frekvenci

Postup:

a) Určíme deformaci pro harmonický průběh síly

b) Určíme absolutní hodnotu komplexní tuhosti0

0)(LFS

c) Určíme fázový posun

d) Určíme reálné a imaginární části komplexní tuhosti

e) Měření opakujeme pro různé frekvence

Řešení inversního problémuZ přechodových charakteristikTato metoda je použitelná pro periodické i neperiodické odezvy. Obecně je odezva součtem periodických a aperiodických částí. Na obecné úrovni je řešení inversního problému komplikované, byť možné. Odezva má totiž obecně složitý průběh:

Snadnější je řešení pro ryze periodickou odezvu a je shodné s řešením podle postupu u impulsních charakteristik.

Pokud je chování tělesa v souladu s Voigtovým modelem, má odezva deformace na skok síly F průběh:

čas

Síla de

form

ace

čas

j

tj

iii

tai

ji eBteAtl ).(sin.)( .

)1()( NH

eHFtl

Z parametrů H a N lze vypočítat komplexní tuhost takto:

Parametry H a N lze snadno určit. Toto je klasický reologický přístup. Deformace však bývají malé a měření je zatíženo velkou chybou. Významná chyba vzniká navíc zanedbáním vlivu setrvačnosti tělesa a případně i setrvačností senzoru deformace.

HSRE

NS IM

Pokud je odezva pouze aperiodická, obsahuje součet klesajících exponenciálních průběhů, které lze jednoduše, ale s omezenou přesností, identifikovat.

RESONANČNÍ PŘÍSTROJE (RMA)

Přesná, citlivá a levná metodika měření mechanického chování viskoelastických těles při dynamickém zatěžování.

Základní myšlenka řešení

Resonanční metody měření se požívají v mnoha oborech. Vyznačují se zpravidla velkou citlivostí a přesností.

Příklady resonančních metod: NMR, EPR, spektrofotometrie, měření elektrické impedance, měření torzních kmitů v mechanice atd.

Předpokladem použití resonanční metody periodický charakter odezvy měřené veličiny na vstupní stimul. Musí docházet k resonanci.

Pohybová rovnice viskoelastických těles však v reálných situacích nemá periodické řešení.

Vhodnou úpravou (spojením měřeného tělesa se „setrvačným členem“) lze dospět ke stavu, kdy pohybová rovnice systému těleso-setrvačný člen má periodické řešení a lze tedy použít resonančního principu měření.

Toto řešení ve spojení s bezkontaktním snímáním deformace je spojeno s dalšími výhodami.

Ilustrace principu RMA na měření tyče při namáhání v tahu

délka L

setrvačné těleso

sensor deformace počítač a SW

vzorek

Deformační odezva y na vnesení energie do systému krátkým impulsem je součet tlumených harmonických průběhů.

ii

ti teAty i sin)(

Část výrazu:t

iieA

je úměrná disipaci energie v tělese.

Parametry Ai,  ωi a αi vypočte z naměřených průběhů počítač a jeho software.

Z parametrů Ai,  ωi a αi lze určit komplexní dynamickou

tuhost tělesa, komplexní modul pružnosti, ztrátový úhel

a časové konstanty deformační odezvy na skok

namáhání.

Obvyklý postup:

1) Pro zvolené M změříme impulsní nebo přechodovou charakteristiku.

2) Určíme α a ω tlumených kmitů dílčích složek průběhu (vypočte SW).

3) Vypočteme celkovou a po odečtení tuhosti setrvačného členu i tuhost

samotného tělesa.

4) Měření opakujeme pro různé ω.

 

Takto získáme frekvenční závislosti reálných i imaginárních částí komplexního

modulu tělesa.

Přístroje RMA umožňují měřit:

Komplexní tuhost těles

Komplexní mechanickou impedanci těles

Komplexní modul pružnosti

Časové konstanty tělesa pro skokovou změnu namáhání

Měření lze provádět při různých frekvencích a různých úrovních klidového namáhání

(předpětí), tyto parametry lze nastavovat nezávisle

Nelineárně elastická tělesa a materiály

Lineární viskoelasticita

Statické mechanické chování těles

V ustálených stavech se i u viskoelastických těles uplatňují pouze elastické síly.

Například pro tyč namáhanou v tahu se klasicky předpokládá platnost Hookeova zákona:

E SF

0ll

E je modul pružnosti, F je síla, S je průřez tyče, l je délka tyče při namáhání, l0 je délka tyče bez namáhání.Modul se považuje za konstantu a závislost mezi σ a ε je tedy lineární.

σ

ε

Namáhání na relativní deformaciProtože klidová délka se v řadě případů určuje obtížně, je možno ze zatěžovacího grafu určit modul podle vztahu:

E

Δσ

Δε

Takto lze postupovat jen u lineárně se chovajících těles. Modul, takto určený, je nezávislý na rozdílu hladin i na velikosti deformace či předpětí.

Nelineární viskoelasticita – statická namáhání

Viskoelastická tělesa se často chovají nelineárně. Například průběh na grafu je výrazně nelineární.

U nelineárních průběhů je možné mechanické chování popsat tak, že v každém bodě grafu určíme diferenciálně určovaný modul.

σ

ε

Namáhání na deformaci - nelineární průběh

Δσ

Δσ

Δε1

Δε2

ddED

Diferenciální modul je směrnice ke grafu v daném bodě (pro dané předpětí). Na grafu je v oblasti kolem bodu 1 mnohem menší modul než kolem bodu 2.

Právě diferenciální moduly jsou pro praxi zásadní, protože namáhání se zpravidla mění v okolí jistého klidového zatížení (tedy předpětí).

1

2

Nelineární viskoelasticita – dynamické namáhání

Dynamické mechanické chování tělesa se obvykle určuje pomocí komplexních modulů. Komplexní modul je poměr fázoru namáhání ku fázoru deformace.U nelineárních systémů určujeme diferenciální komplexní moduly v daném pracovním bodě:

U přístroje RMA vycházíme z měření tlumených

oscilací o velmi malé amplitudě kolem pracovního

bodu. Tedy pro dané předpětí.

Z oscilací pak počítáme diferenciální komplexní modul

(moduly stroge i loss).

σ

ε

Namáhání na deformaci - nelineární průběh

bod 1

bod 2

)()()(

ididiE

Dodatek:

Teorie RMA podrobněji

)(1

)(0 tfyaya

n

i

ii

Teoretická východiska

U lineárních či linearizovatelných systémů má rovnice popisující vztahy mezi vstupem a výstupem následující tvar:

kde a a b jsou koeficienty, i jsou stupně derivace, y je výstupní veličina (deformace), f(t) je vstupní veličina (síla,

napětí)

Dále budeme za vstupní veličinu považovat sílu a za výstup (absolutní) deformaci.

Poznámka: Toto pojetí vychází z faktu, že při měření vycházíme ze sil a absolutních deformací. Přechod k relacím

mezi mechanickým napětím a relativní deformaci (veličinami obvykle používanými v literatuře) je možný, ale až

sekundární krok, závisející na geometrii vzorku.

(1)

Z teorie diferenciálních rovni vyplývá, že deformační odezva na Diracův impuls síly

je tvořena součtem exponenciálních průběhů a tlumených harmonických průběhů.

Tento charakter má i odezva na změnu síly formou skoku mezi dvěma konstantními

hladinami.

Principiálně je tedy možné určit koeficienty v rovnici (1) na základě měření impulsní

charakteristiky (odezvy na krátký impuls) nebo na základě přechodové charakteristiky

(odezvy na skok mezi hladinami). Jinými slovy na základě měření impulsní

charakteristiky lze dospět k obecnému popisu mechanického chování tělesa (vyřešit

tzv. inverzní problém).

Koeficienty v rovnici (1) lze určit také na základě měření závislostí mezi

harmonickým namáháním a deformací. Na tomto principu pracuje řada přístrojů

kategorie DMA. K řešení inversního problémů je v tomto případě třeba měřit

frekvenční závislosti pro dostatečným počet frekvencí.

)(1

)(0 tfyaya

n

i

ii

(1)

Snadnější vhled do této problematiky přináší aplikace Laplaceovy transformace na rovnici (1). Po

Laplaceově transformaci totiž rovnice (1) přejde na algebraickou rovnici (2):

)(1

)(0 tfyaya

n

i

ii

(1)

pXpFpYpaan

i

ii )()(

10

, (2)

kde Y(p) je obraz výstupu, X(p) je obraz vstupu, p je Laplaceův operátor.

Obraz výstupní veličiny (deformace) racionální lomená funkce, kterou lze pomocí metody parciálních

zlomků převést na součet zlomků typu:

i

i

pA

222 2sin)(cos

iii

iii pp

pB

i

i

pA

teAty )(Členy typu odpovídají v časové oblasti klesajícím exponenciálám podle vztahu:

222 2sin)(cos

iii

iii pp

pB

)sin()( teBty t

Členy typu odpovídají v časové oblasti klesajícím exponenciálám podle vztahu: