ANEXO 1GUÍA DE EXÁMENES Y PRÁCTICAS

PRIMER EXAMEN PARCIAL TIPO RESUELTO

1.- Resolver │x + 2│ + │x - 2│ 12│x + 2│ 12 - │x - 2│

- 12 + │x - 2│ x + 2 12 - │x - 2│

│x - 2│ x + 14 x - 10 - │x - 2│ - x - 14 x - 2 x + 14 - x + 10 │x - 2│

x + 10 x - 2 x - 10 - 12 2x x x + 16 12 2x x x - 8 x - 6 x ε R x 6 x ε RIntersección de soluciones Intersección de soluciones

x - 6 x 6Solución final, intersección de soluciones

- 6 x 6En la recta real

-8 -7 -6 0 6 7 8

2.- Hallar el siguiente límite

=

227

3.- Encontrar

Respuesta

4.- Hallar asíntotas, determinar simetría y graficar

Respuesta

x = 0 ; x = 2 Son asíntotas verticales

y = 0 es asíntota horizontal

No existe asíntota oblicua

Es simétrica respecto al eje x

No es simétrica respecto al eje y

No es simétrica al origen

228

x y3 ±1.29-1 ±0.57

5.- Derivar

229

PRIMER PARCIAL COMÚN (Semestre I/2005)

1.- Resolver a)

Solución (-∞, -3) U (0, 5)b)

Solución (-3, 0) U (5, ∞)

2.- Determinar el dominio Df de la función a)

Como es siempre positiva, la parte siempre existe.

Para el arccos debe cumplirse que:

Para la desigualdad de la derecha

) )(0 5-3

) ((0 5-3

FV V

230

V VF

La unión de estas soluciones será:

A) (-∞, -1) U (1, ∞)

Para la desigualdad de la izquierda

La unión de estas soluciones será:

B) (-1, -1/3)

La solución final es A) ∩ B)

b)

C)

231

[[1-1

]]1-1

[]1-1

][-1 3

-1

[]-1 -1

3

][-1 3

-1

][4-4

][-1 3

-1

][-1 3

-1

La solución final será la B) ∩ C)

3.- Hallar a)

Sea

b)

4.- Hallar

232

5.- a) Determinar asíntotas y graficar:

Asíntotas Verticales

Asíntota Horizontal

x y0 -1/62 1/8-7 1/8

b) Determinar asíntotas y graficar:

Asíntotas Verticales

233

Asíntota Horizontal

x y0 -1/52 1/7-6 1/7

PRIMER EXAMEN PARCIAL TIPO PROPUESTO

1.- Resolver │2x² - 3│ 4x + 3

2.- Hallar

3.- Demostrar el siguiente límite

4.- Determinar simetrías, asíntotas y graficar

234

5.- Derivar235

SEGUNDO EXAMEN PARCIAL TIPO. RESUELTO

1.- En un montón de forma cónica se deja caer arena a razón de 10 m 3/min. Si la altura del montón es dos veces el radio de la base, ¿a qué rapidez aumenta la altura, cuando el montón tiene 8 m de alto?

El volumen del cono viene dado por:

Si h=8

2.- Hallar máximos, mínimos, puntos de inflexión y graficar

Valores críticos

236

dV/

r

h

Existe un mínimo para x = 3/2 ; y = -1.69Para hallar los puntos de inflexión igualamos la segunda derivada a cero

Los puntos de inflexión serán:

Con lo cual obtenemos la siguiente gráfica:

3.- Encontrar

Sea

237

α1

x2 1x

4.- Hallar

Igualando coeficientes se tiene:

238

La primera y segunda integral se resuelven mediante las fórmulas 15 y 1 respectivamente, observe que la última integral, es la misma que la de la pregunta 3, por tanto:

5.- Encontrar

Sabemos que:

Por tanto:

239

SEGUNDO EXAMEN PARCIAL TIPO. PROPUESTO

1.- Hallar máximos, mínimos, puntos de inflexión y graficar

2.- Hallar las dimensiones del mayor rectángulo que puede inscribirse en la

elipse

(1)

3.- Integrar

4.-Encontrar

5.- Hallar

Sugerencia: Cambio de variable

EXAMEN FINAL TIPO. RESUELTO

1.- Resolver

1 GRANVILLE-SMITH-LONGLEY,Cálculo diferencial e integral, 1977, Ed. UTEHA Pag. 76

240

2.- Hallar el área encerrada por la curva , el eje x y las rectas x =1 ; x = 4Graficando se tiene:

241

El gráfico muestra la necesidad de evaluar dos integrales

Donde el signo negativo indica que el área se encuentra debajo del eje x

El área total es la suma del área 1 mas el área 2

3.- Encontrar la siguiente integral

242

A1

A2

4.- Evalúe la siguiente integral impropia

5.- Hallar

Como

Entonces

243

Como

Entonces

Como

Entonces

244

EXAMEN FINAL TIPO. PROPUESTO

1.- Resolver

2.- Hallar el área comprendida entre

3.- Hallar la siguiente integral

4.- Resuelva la siguiente integral impropia

5.- Hallar

245

PRÁCTICAS

PRÁCTICA # 1

Resolver las siguientes inecuaciones:

Resolver los siguientes límites

246

21) Para cualquier ε > 0, hallar un δ > 0 tal que;

│f(x) - L│ < ε siempre que 0 <│x - c│< δ

si

22) Si y ε= 0,002 Hallar δ

PRÁCTICA # 2

Determinar asíntotas simetría y graficar

1) 2)

3) 4)

5) 6)

7) 8)

9) 10)

Encontrar, si existen, los siguientes límites:

247

Usar la ley del emparedado para demostrar los siguientes límites

PRÁCTICA # 3

Derivar las siguientes funciones;

1.- 2.-

3.- 4.-

5.- 6.-

248

7.- 8.-

9.- 10.-

11.- 12.-

13.- 14.-

Hallar dy/dx si:

15.- x4y5 +xy – x8 = sin y cos2 x16.-

17) 18)

19) 20)

21) 22)

23) 24)

25)

249

PRÁCTICA # 4

Determinar los extremos relativos, puntos de inflexión y graficar. 2

1.- f(x) = x3 – 6x2 + 15 Resp. Max.Rel. (0, 15); Min.Rel.(4, -17)

2.- f(x) = x1/3 - 4

3.- f(x) = (x2 – 2x + 1) / (x + 1) Resp.(-3, -8) Máximo Relativo (1, 0) Mínimo Relativo

4.- Hallar a, b ,c y d tales que la función f(x)=ax3 + bx2 + cx +d tenga un mínimo relativo en (0,0) y un máximo relativo en (2,2).Resp. a = -1/2 ; b =3/2 ; c = d = 0.

5.- f(x) = x3 – 6x2 + 9x + 66.-

7.- Resp. (0, 0) Punto de Inflexión

8.- Un fabricante ha calculado que el costo total c de la explotación de una cierta instalación esta dado por c = 0,5x2 + 15x + 5000, donde x es el número de unidades producidas. ¿A qué nivel de producción será mínimo el costo medio por unidad? (El costo medio por unidad viene dado por c/x) Resp. x = 387,3

En los ejercicios 9 al 14 determine los extremos absolutos de la función en el intervalo indicado.

9.- f(x) = x2 (x2 – 2) + 1 en [-3, 0] Resp. Max. (-3, 64) Min. (-1, 0)

10.- en [-3, 0]

Resp. Máximo (0, 0). Mínimo (-√2, -(√2+1)/2

11.- f(x) = 2ln (1 + x2) + 2 en [0, 1]

12.- f(x) = arctag (1 + x2 ) en [0, 1]

13.- f(x) = -ln (1 + x2 ) en [-2, 3]

2 Larson Hostetler, Cálculo y Geometría Analítica 1987 Pags. 178, 185

250

14.- Hallar los extremos, puntos de inflexión y graficar

MÁXIMOS Y MÍNIMOS

15.- Una huerta rectangular ha de proyectarse al lado del solar de un vecino y ha de tener un área de 10800 m2. Si el vecino paga la mitad de la cerca medianera. ¿Cuáles deben ser las dimensiones de la huerta para que el costo de cercarla sea para el dueño de la huerta mínimo? 3

Resp. 90 x 120 m.

16.- Hallar el área del mayor rectángulo, con lados paralelos a los ejes coordenados, que puede inscribirse en la figura limitada por las dos parábolas 3 y = 12 – x2 ; 6 y = x2 – 12 (15) Resp. 16

17.- Un muro de 8 pies de altura, está cuatro pies delante de un alto edificio. ¿Cuál es la longitud de la escalera mas corta que pasa sobre el muro y se apoya en el edificio? Escoja como variable independiente el ángulo que forma la escalera con el suelo.

18.- En la recta x + y + 1 = 0 encuentre el punto más cercano al (3,4) Resp.(-1,0)

19.- De una hoja de cartón cuadrada que mide dos metros de lado se van a recortar pequeños cuadrados de las esquinas para, después de doblar las partes salientes de la figura en forma de cruz, hacer una caja. Encuentre la longitud de los lados de los cuadrados por recortar para que la caja resultante tenga la mayor área lateral posible. Resp. ½ m.

20.- Determinar el área máxima de un rectángulo inscrito en la parábola que tiene como base al eje x

21.- Hallar los puntos de la gráfica y = 4 – x2 que quedan más próximos al punto (0,2)

22.- La fórmula para la potencia P de una batería está dada por P = VI – RI2, donde V es el voltaje, R la resistencia e I la intensidad. Hallar la intensidad (medida en amperios A) que corresponde a un máximo de P en una batería en que V = 12 Voltios y R = 0,5 ohms.

3 GRANVILLE, SMITH, LONGLEY, Cálculo diferencial e integral, Ed.UTEHA México 1963 Pag.74

251

23.- Un hombre está en un bote a dos millas del punto más cercano de la costa. Ha de ir a un punto Q, situado a tres millas sobre la costa y una milla hacia el interior. Si puede remar a 2 millas/hora y caminar a 4 millas/hora, ¿hacia que punto de la costa habría de remar para alcanzar el punto Q en un tiempo mínimo? Fig. c) Resp. Una milla sobre la costa del punto más próximo.

ww

2 x 3 - x

24 h 1

Figura c) Figura d)

24.- Una viga de madera tiene una sección rectangular de altura h y de anchura w (Fig. d) La resistencia s de la viga es directamente proporcional a la anchura y al cuadrado de la altura. ¿Cuáles son las dimensiones de la viga más resistente que se puede cortar de un tronco de 24 pulgadas de diámetro? (Ayuda: s = kh2w, donde k es la constante de proporcionalidad) (Prob. 15-30 4)

VARIABLES RELACIONADAS15

25.- Un triángulo rectángulo tiene un cateto de 5 cm y su hipotenusa está aumentando a razón de 4 cm/min. Calcule la rapidez a la que está aumentando el área del triángulo cuando la hipotenusa es de 15 cm. Resp. 10,6066 cm2/min.

26.- La arista de un cubo se expande a razón de 3 cm/seg ¿A qué velocidad cambia el volumen cuando la arista tiene:? a) 1 cm b) 10 cm

27.- Un avión vuela a 31680 pies de altura, pasando la trayectoria de vuelo exactamente sobre una antena de radar. El radar detecta el avión y calcula que la distancia s al avión cambia a razón de 4 millas/min. Cuando tal

4 LARSON HOSTETLER, Cálculo y Geometría Analítica ,Mc Graw Hill, 1986 Pag.206

252

distancia es de 10 millas. Calcular la velocidad del avión en millas por hora.

PRÁCTICA # 5Resolver las siguientes integrales

253

x

s

Graficar las funciones en el intervalo dado y demostrar las siguientes integrales definidas:

15) 16)

17) 18)

19)

Graficar y determinar el área de la región cuyos contornos se indican

20) y = 3 x2 + 1 ; x = 0 ; x = 3 ; y = 0

21) y = x3 +x ; x = 2 ; y = 0

22) y = -x2 + 2x + 3 ; y = 0 Resp. 32/3

23) y = 1 – x4 ; y = 0 Resp. 8/5

24) y = 1/x2 ; x = 1 ; x = 2 ; y = 0

PRÁCTICA # 6

Haga un gráfico para los siguientes problemas y encuentre el área comprendida entre:1) 2) f(x) = x3 ; g(x) = x2 Resp. 1/123) f(x) = 3( x3 – x ) ; g(x) = 0 Resp. 3/24) f(x) = 4/x2 ; g(x) = x2 – 6x + 9 Resp. 0,818

254

5) f(x) = ( 3x )1/2 + 1 ; g(x) = x + 1 Resp. 3/26) f(y) = y2 ; g(y) = y + 2 Resp. 9/27) f(y) = y2 +1 ; g(y) = 0 ; y = -1 ; y = 2 Resp. 6

Mediante las fórmulas básicas de integración resuelva:

8) Resp. ½ ln(x2 + 4) + arc tan ( x/2 ) + C

9) Resp. ½ ln (x2 +1) + C

10) Resp.

11) Resp. ln x2 + 2x + 2 + 5 arctan (x + 1) +C

12)

Mediante el método de Completar el Cuadrado, resolver las siguientes integrales:5

13) Resp. arcsen (x + 2)/2 + C

14) Resp.

15) Resp. ½ arctan ( x2 +1 ) +C

16)

5 LARSON HOSTETLER, Cálculo y Geometría Analítica Mc Graw Hill 1987 Pag. 439

255

17)

Aplicando el método de las Fracciones simples resolver:6

18)

19)

20)

21)

22)

23)

Aplique integración por partes para resolver las siguientes integrales7

24) Resp.

25) Resp.

26)

6 HAASER, LASALLE, SULLIVAN. Análisis Matemático, Editorial Trillas México 1978 Pags. 738-7397 PITA RUIZ CLAUDIO, Cálculo de una variable, Editorial Prentice Hall. 1998 Pag. 756

256

27) Resp. (5x – 2) cosh x – 5 senh x + C

28) Resp. (2x + 1)sen x – (x2 +x – 1) cos x + C

29)

257

PRÁCTICA # 7

Resolver las siguientes integrales trigonométricas

1)

2)

3) Resp. ln 2

4) Resp.

5)..

Aplicando Sustituciones Trigonométricas resuelva

6) Resp.

7) Resp.

258

8)

9)

10) Resp.

Mediante cambios de Variable resolver

11) Resp. /6

12) Resp.

13) Resp. 9/4

14) Resp.

15)

259

16)

Hallar las siguientes Integrales Impropias

17) Resp. Diverge

18) Resp. 6

19) Resp. Diverge

20)

21)

260

BIBLIOGRAFÍA

1.- ABURTO BARRAGÁN ANTONIO. Cálculo Diferencial e Integral. Editorial Limusa. Edición 1998

2.- DEMIDOVICH B. P. 5000 Problemas de Análisis Matemático. Editorial Paraninfo Madrid Edición 1976

3.- GRANVILLE-SMITH-LONGLEY, Cálculo diferencial e integral. Editorial UTEHA, 1977

4.- HAASER, LASALLE, SULLIVAN, Análisis Matemático, Editorial Trillas, México Edición 1978

5.- LARSON HOSTETLER, Cálculo y Geometría Analítica. Editorial Mc. Graw Hill Edición 1986

6.- LEYTHOLD LOUIS, El Cálculo. Editorial Mac Graw Hill Edición 1988

7.- PENEYS Y EDWARDS. Cálculo y Geometría Analítica. Editorial Prentice Hall Edición 1987 (segunda edición)

8.- PINO-PHILLIPS-DIAZ, Calculus Amabilis, Serrano Editores, Edición 2002

9.- PITA RUIZ CLAUDIO, Cálculo de una Variable. Editorial Prentice Hall. Edición 1998 10.- TORRICO SEVILLA RAÚL, Solucionario Integrales 5000 Problemas de Análisis Matemático. Editorial Educación y Cultura, 1994

261

FÓRMULAS BÁSICAS DE DERIVACIÓN

Sean u, v funciones de x ; c una constante

262

FÓRMULAS BÁSICAS DE INTEGRACIÓN

263

264

Esta edición de prueba se terminó de imprimir en Agosto de 2008 en el Departamento de Matemáticas de la Facultad Nacional de Ingeniería