1/8

1 Introduzione Una retta è un insieme di punti allineati. Fissati due punti su un piano si può considerare il segmento1 che li unisce: il “prolungamento” in entrambi i versi costituisce un ente geometrico chiamato retta. Una retta è formata da un insieme illimitato di punti (si dice “infiniti punti”). Viene disegnata a tratto continuo quindi la retta passante per P1 e P2 si può indicare come in figura 2, con una linea continua. Con riferimento alla figura 2 si nota che:

ci sono infiniti punti oltre al segmento P1P2 (nelle parti tratteggiate) ci sono infiniti punti anche tra P1 e P2 ovvero tra due punti qualsiasi di una retta ne esiste

sempre un altro (in altre parole la retta è una linea “non bucata”). Si può quindi rappresentare una retta con un grafico (il disegno della retta) ma ad esempio per stabilire relazioni tra la retta disegnata ed (eventuali) altri enti geometrici ovvero per dare una descrizione precisa e senza un disegno, si rende necessaria una descrizione in termini di formule ovvero equazioni. A tal fine si può pensare di utilizzare il metodo delle coordinate (cartesiane) su un piano. In questo modo tutti gli enti geometrici (punti, rette,…) vengono riportati su un piano e ciò permette:

di rappresentare i punti con coppie di numeri (le coordinate x,y su un piano) di ricavare delle relazioni geometriche (per esempio distanza tra due punti) di tradurre le relazioni geometriche tra punti in relazioni algebriche (quindi equazioni).

Si considera ora come descrivere una retta nel piano tramite una equazione mettendo insieme:

il metodo delle coordinate su un piano (coordinate cartesiane) le regole dell’Algebra

1Un segmento è da intendersi come “linea dritta” che unisce i due punti P1 e P2 che sono i punti agli estremi del segmento stesso. Nei programmi di disegno come AutoCAD, il comando per tracciare un segmento che unisce due punti è di solito chiamato

Figura 1 Segmento P1P2 Figura 2 Retta passante per P1 e P2

2/8

1.1 Equazione generale della retta su un piano Si considera per primo il caso di una retta non parallela agli assi x, y.

1.1.1 Equazione di una retta non parallela agli assi L’ obiettivo è ricavare una equazione che fornisca le coordinate x,y di un generico punto P su una retta, in funzione di altri due punti della stessa retta. A tal fine si considera una retta su un piano. Una generica retta r si può disegnare come in figura 3. Si assegna il nome r1 a questa retta (r sta per retta e per indicare enti geometrici come le rette, si usano lettere minuscole. Per distinguerla da eventuali altre rette, se è la prima ad essere disegnata, si può indicare un “1” a pedice). Si considerano tre punti sulla retta r1, che si possono indicare con P1, P2 e P. P è un generico punto di r1 scelto in modo che sia tra i due punti P1, P2, come indicato in figura 4 Si associano le coordinate ai punti, in questo modo:

P1 è descritto dalla coppia ordinata (x1,y1) P2 è descritto dalla coppia ordinata (x2,y2) P è descritto dalla coppia ordinata (x,y)

come riportato in figura 5.

Figura 3 Una generica retta su un piano

Figura 4 Tre punti sulla retta r1

Figura 5 Le coordinate di P1, P2, P Figura 6 Punti R, Q

3/8

Si considerano i prolungamenti (verso le x e le y positive) dei segmenti tratteggiati e i due punti Q, R individuati dai punti di intersezione, come indicato in figura 6. Dalla figura 6 si possono individuare due triangoli rettangoli P1RP e P1QP2: come indicato in figura 7, i due triangoli sono simili perché gli angoli sono gli stessi. Il rapporto tra i cateti è legato all’angolo che non varia per i due triangoli. Questo permette di trovare un legame tra le coordinate di P e quelle degli altri due punti della retta. Si ha: 2 121 1 1: :sta a come sta a iR R R R RP P PP n simboliQ PP RP QP (1.1) dove, tramite le coordinate è possibile legare la lunghezza dei segmenti alle coordinate dei punti: 1PR yy 1 1RP xx 2 2 1P y yQ 21 1xQP x Riscrivendo la (1.1) in termini di frazioni e sostituendo le lunghezze dei segmenti si ha:

1 1

2PPRP R

R QP (1.2)

e sostituendo le lunghezze dei segmenti si ha:

1 12

1 12yyx x

y yx x

(1.3)

La (1.3) è nota come equazione di una retta passante per due punti, non parallela2 all’asse y. Più spesso la (1.3) viene riscritta così:

1 1

1 12 2

yy

yx

x xy x

Svolgendo alcuni passaggi è possibile riscrivere la (1.3) in forme più semplici da interpretare.

2 Con alcune convenzioni è possibile utilizzare l’equazione anche per rette parallele all’asse x. Per convenzione nel caso di due punti con la stessa ascissa x1=x2 allora si pone x-x1=0 da cui x=x1 è l’equazione della retta.

Figura 7 I triangoli P1RP e P1QP2

4/8

Si moltiplica “tutto” per 1x x 12x x :

22 2

2

1 11 1 1 1

1 1

yy yx x x xx

y x xxx

xx

x

Si ha: 1 1 2 1 12y xy xyxx y (1.4) Svolgendo i prodotti: 1 1 1 12 2 2 2 1 1x y x yx x y yy yx x (1.5) Isolando i termini in x, y e portando tutto a sinistra dell’uguale: 2 1 2 1 1 2 1 2 1 1 0x x y y y x y x x y y x (1.6) Si possono chiamare con a, b, c i tre termini che compaiono nella (1.6), ottenendo: 2 1 2 1 1 2 1 2 1 1 0x x y y y x y x x y y x (1.7) La (1.7) è della forma: 0x yba c (1.8) che viene detta equazione della retta in forma implicita3. L’equazione (1.8) si può anche scrivere in una forma del tipo y = funzione di x che risulta di semplice interpretazione (ed è detta forma esplicita). Si ha:

y x se è diverso da zero yb bb

c a x cab

ovvero si ottiene l’equazione in forma esplicita (detta anche forma canonica o normale) di una retta: y qmx (1.9)

m prende nome di coefficiente angolare q (spesso indicato con n) viene detto termine noto o intercetta

La (1.9) si può ricavare anche a partire dalla (1.3), ottenendo una ulteriore equazione della retta. A tal fine si cerca di svolgere alcuni passaggi per arrivare alla forma y = …

1

21 1

1

2yx

yy xx

y x

(1.10)

Nella (1.10) chiamando con m il termine

1

2 1

2m yx

yx

(1.11)

si ha l’equazione di una retta passante per il punto P1, noto il coefficiente angolare m: 1 1my xy x (1.12) L’equazione (1.9) si può interpretare su un grafico di una retta. 3 In realtà a partire da considerazioni di geometria basate sui vettori si ricava l’equazione di una retta in forma implicita e da lì tutte le altre.

b a c

5/8

Interpretazione di q Se nella (1.9) si pone x=0 si ricava 0 yqm qy , quindi il punto (0,q) è un punto della retta e sul grafico corrisponde all’intersezione (punto di incrocio) della retta con l’asse y. L’ordinata di questo punto è il termine noto q. Interpretazione di m Con riferimento alla figura 9, considerando due punti qualsiasi sulla retta r1, P1, P2, il rapporto tra

la variazione dell’ordinata [spesso indicata con y ovvero “delta y”] per andare da un punto ad un altro della retta

e la variazione dell’ascissa [spesso indicata con x ovvero “delta x”] per andare da un

punto ad un altro della retta è detto coefficiente angolare (è chiamato anche rapporto incrementale)

2 2

2

1 1

1 12

variazione rispettoa ,per andare da avariazione rispettoa ,per andare da

PP a

PP

y yxxx

y ymx

(1.11)

m indica la pendenza della retta rispetto ad una retta orizzontale (che “non essendo inclinata” ha pendenza zero). Esercizio 1 Dato il grafico di figura 10, trovare l’equazione della retta.

Figura 8 Interpretazione del termine noto

Figura 9 Interpretazione del coefficiente angolare

Figura 10 Grafico della retta per l’esercizio 1

1) Dal grafico si ricava il valore di q = 4

Svolgimento

2) Dal grafico si ricavano le coordinate di due punti “comodi” che stanno sulla retta, ad esempio P1 e P2 P1(-2,0) P2 (0,4)

3) Si applica la formula (1.10)

1

2 1

2 4 2420

02

m yyx y

4) L’equazione di r1 è data dalla (1.9) 2 4y x

6/8

Per trovare m si può utilizzare un metodo che non fa uso di formule, basato sull’interpretazione del grafico (e di m).

si considerano due punti della retta, ad esempio P1 e P2 si cerca un percorso orientato, da P1 a P2 (ma va bene anche da P2 a P1), muovendosi

solo in direzione parallela all’asse x o all’asse y. Si riporta un possibile percorso in figura 11.

Il metodo non dipende dal percorso scelto né dai punti.

Figura 11 Un metodo per il calcolo di m

1) Si considera un percorso per andare da P1 a P2

2) Per andare da P1 a P2occorre spostarsi lungo l’asse x di 2, con verso concorde con l’asse x quindi +2

3) Per arrivare a P2 occorre ancora spostarsi lungo l’asse y di 4, con verso concorde con l’asse y quindi +4

4) m è dato da:

4 22

spostamento inspostamento in x

ym

Figura 12 Un metodo per il calcolo di m, con un altro percorso

1) Si considera un percorso per andare da P2 a P1

2) Per andare da P2 a P1occorre spostarsi lungo l’asse y di 4, con verso opposto all’asse y quindi -4

3) Per arrivare a P1 occorre ancora spostarsi lungo l’asse x di 2, con verso opposto all’asse x quindi -2

4) m è dato da:

4 22

spostamento inspostamento in x

m y

Per il calcolo di m:

7/8

1.1.2 Equazione di una retta parallela agli assi La retta può essere:

parallela all’asse x (figura 13) in tal caso l’equazione è del tipo y = h, dove h è l’intersezione con l’asse y.

parallela all’asse y (figura 14) in tal caso l’equazione è del tipo x = k, dove k è l’intersezione con l’asse y.

1.1.3 Grafico di una retta Per tracciare il grafico di una retta4, si può utilizzare il fatto che per due punti passa una sola retta. Si costruisce una tabella con x,y dove:

se la retta non è parallela all’asse y, si scelgono due valori per le ascisse (x) dei due punti Si sostituisce la x del primo punti nell’equazione della retta, per trovare l’ordinata del

punto. Si ripete per l’altro punto. Si riportano i due punti su un piano e si uniscono con una linea “dritta”.

Esercizio 53 pag. 422 da “Geometria Analitica”, Sansoni Rappresentare graficamente sul piano le rette di equazioni: a) 2 1 0x y b) 2 3 5 0x y c) 2x d) 1y a1) L’equazione non è relativa ad una retta parallela all’asse y quindi si può riscrivere nella

forma (forma esplicita) y =… 2 1x y leggendo da destra verso sinistra e riscrivendo si ha : 2 1ar y x

ovvero la retta ra è tale che (il simbolo : vuol dire tale da essere descritta dall’equazione 2 1y x .

a2) Si costruisce una tabella contenente le coordinate di due punti P1 e P2 che stanno sulla retta. 4 Il metodo può essere utilizzato anche per altre funzioni non complicate e di cui si sappia tracciare a priori un possibile grafico molto indicativo.

Figura 13 Esempio di retta parallela all’asse x

Figura 14 Esempio di retta parallela all’asse y

x 2 1y x

0 1

A tal fine si sceglie un valore per x1, ad esempio 0; l’ordinata y1 di P1 si ricava dall’equazione della retta

2 1y x sostituendo al posto di x, x1 (0 in questo caso)

12 1 10y y Quindi 1 1(0, )P

2 10 1

Si ripete per P2 Quindi 2 (1,1)P

2 11 1

8/8

a3) Si riportano i punti P1 e P2 su un piano e si traccia una linea passante per i due punti. b) Tracciare il grafico di: 2 3 5 0x y b1) Si riscrive l’equazione come y = …

3 ; 2 52 5 3 2 5;3 3

x y xy y x

b2) Si costruisce una tabella contenente le coordinate di due punti P1 e P2 che stanno sulla retta.

Si sceglie x1 = 0 da cui 1 02 5 53 3 3

y . Quindi P1(0,5/3)

Si sceglie x2 = -1 da cui 22 5 2 5 13 3

13

y . Quindi P2(-1,1)

b3) Si riportano i punti P1 e P2 su un piano e si traccia una linea (dritta) passante per i due punti. Il grafico di rb è riportato in figura 16.

c) Tracciare il grafico di: rc: 2x c1) In questo caso x è “bloccata” al valore 2 quindi per trovare due punti di rc si deve tenere

presente questo fatto. Rileggendo l’equazione x = 2 si può notare che non compare la variabile y l’ordinata (y) dei punti che stanno su rc può essere scelta arbitrariamente.

c2) Allora: si può scegliere y1 = 0 P1(2,0) si può scegliere y2 = 1 P2(2,1) c3) Si riportano i punti P1 e P2 su un piano e si traccia una linea (dritta) passante per i due punti. Il grafico di rb è riportato in figura 17. d) Tracciare il grafico di: rd: 1y . Si può procedere come nel caso c), ma ora la variabile y è

“fissata” al valore 1; nell’equazione non compare x che quindi può essere scelto arbitrariamente. Il grafico che si ottiene è riportato in figura 18.

Figura 15 Grafico di ra Figura 16 Grafico di rb

Figura 17 Grafico di rc Figura 17 Grafico di rd