Rezistenta-materialelor curs facultate

AGLAIA DIMOFTE BOGDAN IONIŢĂ

REZISTENŢA MATERIALELOR I

2009

Rezistenţa materialelor I

3

CUPRINS I. NOŢIUNI INTRODUCTIVE 1.1 Principalele probleme privind solicitările solidelor deformabile…………..... 5

1.2 Clasificarea solidelor deformabile……............................................................ 6 1.3. Sarcini exterioare………………………………………………………......... 7

1.4. Eforturi interioare.Tensiuni…………………………………………………. 8 1.5. Deplasări şi deformaţii …………………...................................................... 11

1.6. Ipoteze ale Rezistenţei Materialelor…………...…………………………… 13 II. DIAGRAME DE EFORTURI 2.1. Diagrame de eforturi la bare drepte. Convenţia de semne………………… 15 2.2. Relaţii diferenţiale între eforturi secţionale şi sarcini…………….……….. 17 2.3. Diagrame de eforturi la sisteme de bare în plan şi în spaţiu.…………….... 21 2.4 Diagrame de eforturi la sisteme de bare cu articulaţii intermediare………. 25 2.5. Stabilirea diagramelor de eforturi prin suprapunere de efecte…………….. 25 2.6. Diagrame de eforturi la bare curbe plane………………………………...... 26 2.7. Forţe concentrate mobile. Moment maxim maximorum…………….…...... 30

III. SOLICITAREA AXIALA 3.1. Încercarea la tracţiune a metalelor………………………………………….. 33 3.2. Forţe axiale. Diagrame de forţe axiale……………………………………… 35 3.3. Tensiuni şi deformaţii …………………........................................................ 36 3.4. Bare cu variaţie de secţiune………………………………………….……… 38 3.5. Tensiuni şi deformaţii ţinând seama de greutatea proprie………................... 38 3.6. Probleme static nedeterminate......................................................................... 41

IV. CARACTERISTICI GEOMETRICE ALE SUPRAFEŢELOR PLANE 4.1. Momente statice. Centre de greutate………………..................................... 48

4.2. Momente de inerţie…………………............................................................ 49 4.3 Variaţia momentelor de inerţie la translaţia axelor……………………........ 50

4.4. Momente de inerţie pentru suprafeţe simple………………………….…..... 52 4.5..Variaţia momentelor de inerţie cu rotaţia axelor………………………….... 54

4.6. Momente de inerţie pentru suprafeţe compuse.............................................. 58 4.7. Module de rezistenţă……………………………………………………...... 59 4.8. Raze de inerţie. Elipsa de inerţie................................................................... 60


4

V. INCOVOIEREA BARELOR DREPTE

5.1. Consideraţii generale………………………………………………….…. 63 5.2. Tensiuni normale la încovoierea pură plană………………………….…. 64 5.3. Grinzi neomogene alcătuite din două materiale diferite............................. 72 5.4. Tensiuni tangenţiale la încovoierea simplă a barelor drepte…………....... 74 5.5. Variaţia tensiunilor tangenţiale................................................................... 80 5.6. Calculul convenţional al barelor la forfecare.............................................. 84 VI DEFORMAREA BARELOR SOLICITATE LA ÎNCOVOIERE 6.1. Ecuaţia diferenţială a fibrei medii deformate……………….…………...... 85 6.2. Integrarea analitică a ecuaţiei diferenţiale aproximative a fibrei medii deformate………………………………………………...…........... 89

6.3. Integrarea ecuaţiei diferenţiale de ordinul patru a fibrei medii deformate………………………………………………………………… 91 6.4. Metoda parametrilor în origine…………………………………………… 92

VII TORSIUNEA BARELOR CIRCULARE 7.1. Diagrame de eforturi la torsiune….......................................................... 97 7.2. Tensiuni şi deformaţii la răsucirea barelor de secţiune circullară……… 99 BIBLIOGRAFIE.......................................................................................... 104


5

CAPITOLUL I

NOŢIUNI INTRODUCTIVE

1.1. PRINCIPALELE PROBLEME PRIVIND SOLICITĂRILE SOLIDELOR DEFORMABILE Rezistenţa materialelor este o disciplină de cultură tehnică generală, situată între ştiinţele fizico-matematice şi disciplinele de specialitate ale ingineriei. Ea este o continuare logică a mecanicii teoretice, o dezvoltare a acesteia prin introducerea în calcule a proprietăţilor de deformabilitate ale corpurilor solide. În mecanica teoretică, corpurile solide sunt considerate nedeformabile. În natură astfel de corpuri nu există, întrucât sub acţiunea forţelor corpurile îşi modifică forma geometrică şi dimensiunile iniţiale, iar dacă forţele au valori mari corpurile solide (elemente de maşini şi elemente de construcţii) nu mai pot asigura o bună funcţionalitate pentru ansamblul din care fac parte. De asemenea, în mecanica teoretică forţele aplicate corpurilor solide în repaus pot fi oricât de mari, întrucât se admite că echilibrul forţelor se menţine indiferent de valoarea forţelor aplicate. Această situaţie este posibilă deoarece mecanica teoretică ţine seamă într-o mică măsură de proprietăţile materialelor. Pentru a contura deosebirea dintre mecanică şi rezistenţa materialelor se consideră un corp solid în repaus aflat în două situaţii (fig. 1.1):

a) asupra corpului acţionează două forţe egale, coliniare şi de sensuri contrare, b) asupra corpului nu acţionează nici o sarcină exterioară.

Din punct de vedere al mecanicii teoretice nu există nici o deosebire între cele două situaţii a) şi b), echilibrul forţelor se menţine indiferent de valoarea lor. În realitate, dacă forţele ating valori mari, corpul solid se poate distruge, echilibrul static dispare.

Chiar şi la valori mai mici ale forţelor corpul solid se deformează, în interiorul lui apar

aşa numitele "eforturi interioare", corpul solid se află în stare solicitată ("a"). În cazul "b" corpul solid se află în stare nesolicitată. Rezistenţa materialelor ţine seamă de această realitate şi înlocuieşte ipoteza corpului solid rigid cu ipoteza corpului solid deformabil în concordanţă cu realitatea. Dar prin aceasta nu înseamnă că se renunţă la metodele de lucru şi la legile mecanicii teoretice, ci numai se precizează limitele în cadrul cărora acestea rămân valabile.

Fig.1.1

Capitolul I Noţiuni introductive

6

Rezistenţa materialelor, ca ştiinţă, este acea ramură a mecanicii care studiază comportarea corpurilor solide sub acţiunea forţelor şi determină materialul şi dimensiunile corpurilor solide astfel încât acestea să reziste la un consum minim de material. Rezistenţa materialelor este o ştiinţă practică legile ei se bazează pe observaţii practice şi determinări de laborator.

Problemele rezistenţei materialelor sunt: dimensionarea, verificarea şi calculul sarcinii capabile. După cum problemele rezistenţei materialelor se pot rezolva sau nu cu ajutorul metodelor staticii se disting două mari categorii de probleme: static determinate şi static nedeterminate. Istoricul disciplinei Începuturile rezistenţei materialelor ca ştiinţă se situează în lucrările lui GALILEO GALILEI (1564 - 1642), rezolvările propuse se bazează doar pe principiile mecanicii teoretice, fără a ţine seamă de legătura dintre forţele ce solicită corpurile şi deformaţiile corpurilor. Descoperirea legii care leagă forţele de deformaţii, datorată lui ROBERT HOOKE (1635 - 1703), deschide drumul dezvoltării continue a rezistenţei materialelor. Dezvoltarea tehnico-industrială a condiţionat în permanenţă progresul disciplinei, acesta fiind rodul muncii multor savanţi, ingineri, matematicieni, fizicieni: I. BERNOULLI (1654 - 1705), L. EULER (1707 - 1783), L. HAVIER (1785 - 1836), A.L. CAUCHY (1789 - 1857), G. LAMÉ (1795 - 1875), BARRÉ DE SAINT-VENANT (1797 - 1886), D.I. JURAVSKI (1821 - 1891), I.C. MAXWELL (1831- 1879), C.O. MOHR (1835 - 1919), F.S. IASINSKI (1856 - 1899). Importanţi pentru dezvoltarea şi constituirea rezistenţei materialelor ca ştiinţă în forma care există astăzi sunt: S.P. TIMOSHENKO, TH. von KÁRMÁN, L. PRANDTL, A.M. KRÎLOV, B.G. GALERKIN. În ultimele decenii: V.Z. VLASLOV, ILIUŞIN, BAKER, PRAGER. În domeniul rezistenţei materialelor în ţara noastră se pot menţiona inginerii: ANGHEL SALIGNY, ION IONESCU, EMILIAN FILIPESCU, AUREL BELEŞ, MIHAIL HANGAN.

1.2. CLASIFICAREA SOLIDELOR DEFORMABILE Organele de maşini şi elementele de construcţii întâlnite în practică au forme complicate. Rezistenţa materialelor le schematizează la anumite forme simple, convenabile pentru stabilirea relaţiilor de calcul, dar schematizarea se face astfel încât să nu se producă o îndepărtare de la fenomenul real. Sub formă schematizată de calcul corpurile solide se pot grupa în trei categorii:

1) Care au o dimensiune mult mai mare în comparaţie cu celelalte două: firele (fig.1.2.a.), barele (fig.1.2.b) care pot fi drepte sau curbe.

a) b) c) d)

Fig.1. 2


7

Elementele caracteristice ale acestor corpuri sunt: - forma şi dimensiunile secţiunilor transversale, - axa longitudinală, locul geometric al centrelor de greutate ale secţiunilor transversale.

2) Care au două dimensiuni mari comparativ cu a treia: membrane (grosimea foarte mică) şi plăci (plane sau curbe) fig.1.2.c. Elementele caracteristice sunt: grosimea şi dimensiunile suprafeţei mediane (suprafaţa ce împarte grosimea în două părţi egale).

3) Care au toate dimensiunile de acelaşi ordin de mărime: blocuri, corpuri masive: fundaţii, bile sau role de rulmenţi (fig.1.2.d).

1.3. SARCINI EXTERIOARE

Organele de maşini şi elementele de construcţii se află sub acţiunea sarcinilor exterioare, care pot fi forţe sau cupluri de forţe. Sarcinile se pot grupa după diferite criterii:

1) După mărimea suprafeţei pe care se aplică: - sarcini concentrate (fig.1.3.a), - sarcini repartizate (fig.1.3.b).

2) După modul de acţiune în timp: - sarcini statice: se aplică lent şi rămân constante în timp(fig.1.3.c), - sarcini dinamice, se aplică cu viteză relativ mare:

- sarcini aplicate brusc, prin şoc (fig.1.3.d), - sarcini variabile periodic (fig.1.3.e).

a) b) c) d) e)

Fig.1.3

3) După locul de aplicare:

- forţe de suprafaţă sau de contur, aplicate din exterior, - forţe masice (greutatea, forţa de inerţie).

OBSERVAŢII

1. Toate sarcinile inclusiv reacţiunile sunt considerate sarcini aplicate, care supun corpul la o anumită stare de solicitare.

2. În rezistenţa materialelor forţa se consideră un vector legat de punctul de aplicaţie


8

Fig.1.4

Fig.1.5

1.4. EFORTURI INTERIOARE. TENSIUNI

Sub acţiunea sarcinilor aplicate, în interiorul corpurilor solide apar eforturi interioare, corpul solid fiind în stare solicitată. Eforturile interioare au, de obicei, diferite intensităţi în punctele corpului solid. Determinarea eforturilor interioare în punctele corpului solid constituie una din problemele rezistenţei materialelor. Dacă se cunosc valorile eforturilor interioare, se pot stabili care sunt cele mai solicitate puncte ale corpului solid, şi pe această bază se poate aprecia dacă corpul solid rezistă sau nu acţiunii sarcinilor aplicate. Astfel devine posibilă stabilirea dimensiunilor corpului solid astfel încât rezistenţa lui să fie asigurată. Eforturile interioare se pun în evidenţă prin metoda secţiunilor. Se consideră un corp solid oarecare, solicitat de un sistem de sarcini în echilibru (fig.1.4). Echilibrul corpului solid se exprimă prin torsorul sarcinilor într-un punct oarecare O, care de obicei este centrul de greutate al secţiunii considerate:

I SAR , O I SAM elementele torsorului sarcinilor aplicate pe partea I din stânga secţiunii, în punctul O.

II SAR , O II SAM elementele torsorului sarcinilor aplicate pe partea II din dreapta secţiunii, în punctul O. Echilibrul sarcinilor aplicate:

0

0I SA II SA

O I SA O I SA

R R

M M

⎧ + =⎪⎨

+ =⎪⎩ (1.1)

Dacă se secţionează corpul solid după planul considerat ce tece prin punctulO se obţin două zone de corp ce nu mai sunt în echilibru.

Echilibrul părţilor se reface numai dacă în planul secţiunii se aplică interacţiunea, forţele interioare care se exercită în fiecare punct, conform principiului acţiunii şi reacţiunii egale şi de sensuri contrare (fig.1.5).

Se notează: IR , OIM elementele torsorului forţelor interioare ce lucrează pe faţa din stânga secţiunii.

IIR , OIIM elementele torsorului forţelor interioare ce lucrează pe faţa din dreapta secţiunii.

Conform principiului acţiunii şi reacţiunii:

I II

O I OII

R RM M⎧ = −⎪⎨

= −⎪⎩ (1.2)

Cu notaţiile făcute se poate exprima echilibrul părţilor I şi II:

I

OI

R 0

M 0I SA

O I SA

R

M

⎧ + =⎪⎨

+ =⎪⎩ (1.3)

II

OII

R 0

M 0II SA

O II SA

R

M

⎧ + =⎪⎨

+ =⎪⎩ (1.4)

Pe baza relaţiilor (1.1) şi (1.3) se obţine:


9

I

OI

R

MI SA II SA

O I SA O II SA

R R

M M

⎧ = − =⎪⎨

= − =⎪⎩ (1.5)

Din relaţiile (1.5) rezultă că elementele torsorului forţelor interioare de pe faţa din stânga secţiunii sunt date de elementele torsorului sarcinilor aplicate pe partea din dreapta secţiunii (torsorul se efectuează în acelaşi punct O ).

Similar se obţine din (1.1) şi (1.4):

II I SA

O II O I SA

R R

M M

⎧ =⎪⎨

=⎪⎩ (1.6)

Deci elementele torsorului forţelor interioare de pe faţa din dreapta secţiunii sunt date de elementele torsorului sarcinilor aplicate pe partea din stânga secţiunii (torsorul se efectuează în acelaşi punct O ). Ţinând seama de (1.2), eforturile interioare se notează fără indici R , M şi se mai numesc eforturi secţionale sau forţe în secţiune. R , M eforturile interioare se stabilesc utilizând metodele mecanicii teoretice, ele reprezintă elementele torsorului sarcinilor aplicate pe zona de corp îndepărtată. De exemplu, pentru eforturile secţionale de pe faţa din dreapta secţiunii, partea îndepărtată este partea din stânga secţiunii ( )I . BARA DREAPTĂ În cazul barelor drepte se ataşează sistemul de axe cu care se lucrează în rezistenţa materialelor şi eforturile interioare R , M vor avea pe axe următoarele componente (fig.1.6):

y z

t y z

R N,T ,TM M ,M ,M

⎫→ ⎪⎬→ ⎪⎭

eforturi secţionale


10

Fig.1.9

Solicitările produse de eforturile secţionale sunt: N - Solicitare axială (întindere sau compresiune) (fig.1.7.a), My, Mz - Solicitare de încovoiere (fig.1. 7.b), Mt - Solicitare de torsiune ( fig.1.7.c), Ty,Tz - Solicitare de forfecare - (fig.1.7.d). TENSIUNI Se consideră un corp solid oarecare, solicitat de un sistem de sarcini în echilibru

(fig.1.8).

Se secţionează corpul solid printr-un plan oarecare şi astfel se pun în evidenţă forţele

interioare, care datorită caracterului continuu al legăturilor interioare vor fi continuu distribuite pe secţiune. Într-un punct oarecare P al secţiunii, pe un element de suprafaţă de arie AΔ , rezultanta forţelor interioare este FΔ . Conform principiului acţiunii şi reacţiunii pe faţa din dreapta secţiunii în punctul 'P P≡ forţa interioară este egală şi de sens contrar. Mărimea notată:

A 0

F dFp limA dAγ Δ →

Δ= =

Δ

se numeşte tensiune totală, care depinde de forţa FΔ şi de orientarea elementului de suprafaţă AΔ , precizată prin vectorul normalei (fig.1.9).

Desigur tensiunea totală are aceeaşi valoare în punctele P şi 'P ( 'P P≡ ) pentru aceeaşi orientare a elementului de suprafaţă, deci pentru aceeaşi normală ν .

Fig.1.8

a) b) c) d)

Fig.1.7


11

Fig.1.10

Tensiunea totală pν are două componente: • νσ , tensiunea normală, dirijată după normala ν pe elementul de suprafaţă • ντ , tensiunea tangenţială, din planul elementului de suprafaţă după o direcţie

oarecare din planul elementului. Între componentele tensiunii totale există legătura: 2 2pν ν νσ τ= + Mărimea tensiunii totale în punctul considerat reflectă gradul de solicitare al corpului solid în acel punct. Ansamblul tensiunilor totale de pe toate elementele de suprafaţă ce trec printr-un punct definesc starea de tensiune din acel punct. Astfel se poate stabili care este orientarea elementului de suprafaţă pe care tensiunea totală are cea mai mare valoare, desigur în scopul rezolvării problemelor Rezistenţei materialelor.Dimensional pentru tensiuni se foloseşte

exprimarea 2

[F][L ]

, care în S.I. înseamnă 2 1N Pam

= , 61 10MPa Pa= .

Dacă în jurul unui punct al corpului solid solicitat (fig.1.10) se consideră un element de volum paralelipipedic cu feţele în planurile de coordonate ce trec prin punctul considerat, tensiunile totale de pe aceste elemente de suprafaţă se descompun în componente corespunzătoare axelor de coordonate în felul următor: • pe elementul de suprafaţă cu normala Ox tensiunea totală are componentele: xσ , tensiunea normală pe direcţia axei x , sensul corespunde normalei pozitive în ideea că

elementul de volum se detaşează din corpul solid. xyτ , xzτ , tensiunile tangenţiale orientate pe direcţia axelor y şi z . Tensiunile

tangenţiale se notează cu doi indici: primul este al normalei suprafeţei în care lucrează, al doilea al axei cu care este paralel. Sensul tensiunilor tangenţiale este arbitrar, convenţional se consideră pozitive în sens invers axelor de coordonate. • pe elementul de suprafaţă cu normala Oy : yxτ , yσ , yzτ , • pe elementul de suprafaţă cu normala Oz : zxτ , zyτ , zσ . Tensiunile corespunzătoare elementelor de suprafaţă din planurile de coordonate ce trec printr-un punct se numesc componentele stării de tensiune din acel punct, definesc starea de tensiune din punct. Principala problemă a Rezistenţei materialelor este stabilirea legăturii între cauză şi efect, deci între sarcinile aplicate şi eforturile secţionale ( R , M ), iar la nivel de punct legătura cu starea de tensiune din acel punct ( pν ).

1.5. DEPLASĂRI ŞI DEFORMAŢII

Sub acţiunea sarcinilor aplicate corpurile solide se deformează, iar punctele lor se deplasează. În funcţie de numărul şi de natura legăturilor, deplasările punctelor corpurilor solide pot fi:


12

Fig.1.12

Fig.1.11

• deplasări cinematice, când legăturile corpului solid permit mişcări mecanice şi sub acţiunea sarcinilor aplicate corpurile solide îşi modifică poziţia în spaţiu. Aceste deplasări constituie obiectul de studiu al Mecanicii teoretice.

• deplasări produse prin deformarea corpurilor solide, când corpurile solide sub acţiunea sarcinilor aplicate îşi modifică dimensiunile şi forma geometrică iniţială; corpurile solide nu pot efectua deplasări cinematice.

Se consideră un corp solid oarecare, încărcat cu un sistem de sarcini în echilibru,

corpul solid are legături ce nu-i permit deplasări cinematice, deci sub acţiunea sarcinilor aplicate corpul solid se deformează iar punctele lui se deplasează (fig. 1.11).

Se raportează corpul solid la sistemul de axe din Rezistenţa materialelor.consideră în interiorul corpului solid trei puncte , ,A B C care după deformare au poziţiile , , ,, ,A B C .

Starea deformată a corpului solid este caracterizată prin mărimile: - deplasări (liniare şi unghiulare) - deformaţii specifice (liniare şi unghiulare) DEPLASĂRI

1) Deplasări liniare Δ , deplasare totală, este vectorul care are originea în punctul corpului solid înainte de deformare şi vârful în acelaşi punct al corpului solid după deformare.

Componentele deplasării totale , ,u v w sunt proiecţiile vectorului deplasare totală pe axele de coordonate. 2 2 2= u v wΔ + +

2) Deplasări unghiulare ϕ , rotire, este unghiul cu care un segment sau o secţiune a corpului solid se roteşte ca urmare a deformării. Rotirea este o mărime orientată, este reprezentată printr-un vector perpendicular pe planul de rotire, iar mărimea sa este egală cu unghiul de rotire.

Componentele rotirii: xϕ , yϕ , zϕ rezultă din descompunerea vectorului rotirii pe axele de coordonate; sunt

dirijate în lungul axelor de coordonate (fig.1.12).


13

DEFORMAŢII SPECIFICE

1) Deformaţii specifice liniare. Datorită deplasării inegale a punctelor corpului solid se modifică distanţa dintre două

puncte oarecare. Diferenţa dintre distanţa existentă între două puncte după deformare şi distanţa iniţială dintre aceste puncte se numeşte lungire:

' 'l A B ABΔ = − Deformaţia specifică liniară, în punctul A pe direcţia Δ se defineşte ca raportul dintre

variaţia segmentului AB considerat pe dreapta Δ şi lungimea iniţială a segmentului:

ll

εΔΔ

=

xε , yε , zε sunt deformaţiile specifice liniare pe axele de coordonate, variaţia lungimii unor segmente considerate pe axele de coordonate.

2) Deformaţii specifice unghiulare Lunecare se defineşte unghiul cu care variază un unghi oarecare format de două

segmente sau drepte ce trec prin punctul în care se defineşte lunecarea: ' ' 'BAC B ACαΔ = ∠ −∠

Deformaţia specifică unghiulară γ reprezintă unghiul cu care se modifică un unghi drept considerat între două drepte ce trec prin punctul în care se defineşte deformaţia specifică unghiulară. Deformaţia specifică unghiulară este pozitivă atunci când corespunde micşorării unghiului drept.

xyγ , xzγ , yzγ sunt deformaţiile specifice unghiulare din planurile de coordonate şi reprezintă modificarea unghiurilor drepte formate de axele de coordonate ce trec prin punctul în care se definesc aceste deformaţii. Ansamblul deformaţiilor specifice liniare şi unghiulare definite într-un punct al corpului solid: xε , yε , zε , xyγ , xzγ , yzγ definesc starea de deformaţii din jurul acestui punct şi se numesc componentele stării de deformaţie.

1.6. IPOTEZE ALE REZISTENŢEI MATERIALELOR

Întrucât fenomenul deformării reale a corpurilor solide este deosebit de complex, iar considerarea exactă în calcule duce la complicaţii de calcul, în Rezistenţa materialelor se admit ipoteze simplificatoare (ipoteze fundamentale), care au scopul de a stabili relaţii de calcul şi metode eficiente. Deoarece relaţiile de calcul astfel obţinute sunt verificate experi-mental, rezultă că ipotezele reflectă cu o bună aproximaţie realitatea. 1) Ipoteza mediului continuu

Materialele folosite pentru organe de maşini şi elemente de construcţii sunt formate dintr-un mediu continuu, care umple întreg spaţiul ocupat de volumul acestora. În baza acestei ipoteze tensiunile şi deformaţiile se exprimă matematic prin funcţii continue.

2) Ipoteza omogenităţii şi a izotropiei

Materialele se consideră omogene şi izotrope, ceea ce înseamnă că au aceleaşi proprietăţi în toate punctele şi pe toate direcţiile.

3) Ipoteza identităţii proprietăţilor mecanice ale elementului infinit mic cu cele ale corpului solid întreg


14

Dacă nu se consideră forţele intercristaline, se admite că elementul infinit mic dintr-un solid are aceleaşi proprietăţi ca şi corpul solid. Pe baza acestei ipoteze devine posibil studiul matematic al elementului solicitat şi extinderea relaţiilor găsite la corpul solid întreg.

4) Ipoteza elasticităţii perfecte Dacă solicitarea nu depăşeşte anumite limite corpurile solide se consideră perfect

elastice, adică după îndepărtarea sarcinilor aplicate revine complet la forma şi dimensiunile iniţiale. În realitate, după îndepărtarea sarcinilor aplicate, corpurile solide prezintă deformaţii remanente, care însă se neglijează de foarte multe ori în practica inginerească.

5) Ipoteza proporţionalităţii dintre tensiuni şi deformaţii Dacă solicitarea nu depăşeşte anumite limite, între tensiuni şi deformaţii se

înregistrează o dependenţă liniară. O consecinţă a acestei ipoteze o constituie principiul suprapunerii efectelor sau a indiferenţei ordinii de aplicare a sarcinilor: Dacă asupra unui corp solid acţionează un sistem de sarcini, starea de tensiuni şi deformaţii se poate obţine însumând stările de tensiune şi deformaţii produse de fiecare sarcină în parte.

6) Ipoteza micilor deformaţii Pentru majoritatea corpurilor solide, deformaţiile elastice sunt deformaţii mici; ca

urmare, sub acţiunea sarcinilor aplicate corpurile solide îşi modifică într-o mică măsură configuraţia iniţială. Ipoteza se mai numeşte şi ipoteza menţinerii dimensiunilor iniţiale. Ipoteza se aplică la scrierea ecuaţiilor de echilibru ale staticii când nu se consideră deplasările punctelor de aplicaţie ale sarcinilor ca urmare a deformării.

Calculul condus pe starea nedeformată se numeşte calcul de ordinul I; dacă deplasările sunt mici dar ecuaţiile se scriu pe starea deformată, calculul este de ordinul II; dacă deplasările sunt mari şi ecuaţiile se scriu pe starea deformată calculul este de ordinul III. În

Rezistenţa materialelor se adoptă ipoteze specifice unor stări de solicitare: • Ipoteza BARRÉ DE SAINT VENANT La distanţe suficient de mari de locul de aplicare al sarcinilor distribuţia de tensiuni nu

depinde de modul efectiv de aşezare a sarcinilor . • Ipoteza BERNOULLI O secţiune plană şi perpendiculară pe axa barei înainte de deformare rămâne şi după

deformare plană şi perpendiculară pe axa barei .


15

Fig.2.1

CAPITOLUL II

DIAGRAME DE EFORTURI

2.1. DIAGRAME DE EFORTURI LA BARE DREPTE. CONVENŢIA DE SEMNE

În cazul general de solicitare, efectul sarcinilor aplicate apare în secţiunile transversale ale barelor drepte prin eforturile secţionale: , , , , ,y z t y zN T T M M M . Pentru început se restrânge generalitatea, luând în analiză cazul cel mai frecvent întâlnit în practică:

- forţele aplicate sunt perpendiculare pe axa barei deci 0N = , - forţele aplicate întâlnesc axa barei, deci 0tM = , - sarcinile aplicate se află într-un singur plan:

xOy ⇒ efectul sarcinilor apare prin ,y zT M xOy ⇒ efectul sarcinilor apare prin ,z yT M Se analizează cazul când în secţiunea transversală apar eforturile secţionale zT şi yM , care se vor nota simplu T şi M ştiind că aceste eforturi secţionale pot proveni numai din sarcini aplicate în planulxOz , că forţa tăietoare are direcţia axeiz şi momentul încovoietor direcţia axei y .

Pentru acest caz convenţia de semne este cea din figura 2.1. Se consideră o bară oarecare solicitată de un

sistem de sarcini în echilibru (fig. 2.2). Reacţiunile din legăturile grinzii se stabilesc din ecuaţiile de momente în raport cu punctele fixe reprezentate de reazemul 4 şi articulaţia 1, iar ecuaţia de echilibru de proiecţie pe direcţia normalei la axa barei (direcţia forţelor) se foloseşte pentru verificare.

( )

( )

14

21

0

0

M V

M V

= ⇒ =

= ⇒ =

∑∑

K

K

( ) 1 20 extzF V V F= ⇒ + =∑ ∑ Eforturile secţionale se pun în evidenţă prin metoda secţiunilor. De exemplu, se

efectuează o secţiune în bară, pe zona 2 3- şi se poziţionează prin coordonatax faţă de capătul barei.

Capitolul II Diagrame de eforturi

16

Forţa tăietoare şi momentul încovoietor reprezintă elementele torsorului sarcinilor

aplicate pe partea îndepărtată, zona de bară de lungimex torsorul sarcinilor aplicate se stabileşte în centrul de greutate al secţiunii efectuate. Ţinând seama de convenţia de semne conform figura 2.1 se definesc funcţiile eforturilor secţionale pe zona considerată: 2 3− [ , ]x a b∈ ( ) 1 1T x V F= − ( ) ( )1 1M x V x F x a= ⋅ − ⋅ − În mod similar se stabilesc funcţiile eforturilor secţionale şi pe celelalte zone ale grinzii, iar în final se face reprezentarea grafică a acestor funcţii conform figurii 2.3.

Convenţia de semne din figura 2.1 se poate prezenta în altă formă dacă se consideră un

element izolat din bară şi în secţiunile ce îl delimitează se aplică eforturile secţionale corespunzătoare (fig.2.4).

Astfel forţa tăietoare este pozitivă atunci când produce o lunecare în sensul acelor de

ceas, sau forţa roteşte faţă de secţiunea efectuată în sensul acelor de ceas. Momentul încovoietor este pozitiv atunci când produce întinderea fibrei inferioare a barei (fig.2.5).

Fig.2.2

Fig.2.3

Fig.2.4

Fig.2.5


17

2.2. RELAŢII DIFERENŢIALE ÎNTRE EFORTURI SECŢIONALE ŞI SARCINI

Se consideră o bară dreaptă solicitată de un sistem de sarcini în echilibru (fig.2.6). Din bară se izolează un element infinit mic de lungime dx . Pentru echilibrul elementului se aplică pe feţele ce îl delimitează eforturile secţionale corespunzătoare , ,N T M ţinând seama că eforturile secţionale sunt funcţii de variabilă x . Se consideră că pe lungimea elementului (fig.2.7) există din sarcinile aplicate: q sarcină normală pe axa x , xq sarcină pe direcţia axei x .

Întrucât pe feţele I şi II ce delimitează elementul s-au aplicat eforturile secţionale, elementul izolat din bara în echilibru va fi în echilibru. Ecuaţiile de echilibru aplicabile pentru sistemul de sarcini ce solicită elementul considerat conduce la relaţiile diferenţiale dintre eforturi secţionale şi sarcinile aplicate, în cazul barei drepte:

( ) 0 0xxF N N dN q dx= ⇒ − + + + ⋅ =∑ xdN qdx

= − (2.1)

( ) 0 0zF T T dT p dx= ⇒ − + + + ⋅ =∑ dT qdx

= − (2.2)

( ) ( )0 02IIdxM T dx M q dx M dM= ⇒ ⋅ + − ⋅ ⋅ − + =∑ dM T

dx= (2.3)

Pentru cazul sarcinilor aplicate în condiţiile prezentate anterior, relaţiile diferenţiale se grupează în forma următoare:

2

2

d dT qdx

Mdx

= = − (2.4)

OBSERVAŢII privind trasarea graficelor de variaţie ale eforturilor secţionale utilizând relaţiile diferenţiale: 1. 0q = , .T ct= , ( )M x liniar.

2. 0q = , ( )T x liniar, ( )M x parabolă.

3. Panta tangentei geometrice la graficul ( )T x este intensitatea q a sarcinii distribuite, iar

panta tangentei geometrice la graficul ( )M x este forţa tăietoare. 4. Dacă funcţia forţă tăietoare este zero într-o secţiune, funcţia moment încovoietor are un extrem în secţiunea respectivă (fig.2.8):

Fig.2.6

Fig.2.7


18

Fig.2.8

Fig.2.9

Fig.2.11

2

2

d 0 0M qdx

< ⇒ > 2

2

d 0 0M qdx

> ⇒ <

5. În dreptul unei forţe concentrate graficul de

variaţie al forţei tăietoare are un salt, care în diagrama de variaţie a momentului încovoietor apare prin schimbarea pantei graficului în dreptul forţei concentrate (fig.2.9). 6. Diagramele de variaţie ale eforturilor secţionale sunt influenţate de modul de distribuţie al sarcinilor pe intervalul de distribuţie al sarcinii, în afara intervalului de aplicaţie al sarcinii, depinzând numai de rezultanta sistemului de sarcini (fig.2.10).

1-2 x ∈ [0,a] 2-3 x ∈ [a,b] ( )T x q x= − ⋅ ( )T x q a= − ⋅

( )2

2q xM x ⋅

= − ( )2aM x q a x⎛ ⎞= − ⋅ ⋅ −⎜ ⎟

⎝ ⎠

7. Dacă 2

2

d 0Mdx

= , atunci graficul funcţiei ( )M x ) are un punct de inflexiune. Această situaţie

provine din sarcini distribuite de sensuri contrare şi de aceeaşi valoare (fig.2.11). 8. Stabilirea eforturilor secţionale în cazul unei sarcini distribuite după o lege oarecare ( )q ξ (fig.2.12):

[ ]1 21 2 ,x l l− ∈ 1x-l

0

T(x)=- q( )dξ ξ∫ 1x-l

0

M(x)=- q( )d (x-l1- )ξ ξ ξ∫

sau se integrează direct funcţia ( )T x .

Fig.2.10

Fig.2.12


19

APLICAŢII

1. Bară simplu rezemată încarcată cu forţă concentrată.

( )3 0M =∑ , 1 0V l Fb− =

1FbVl

=

( )1 0M =∑ , 2 0V l Fa− + =

2FaVl

=

[ ]1 2 0,x a− ∈

( ) FbT xl

=

( ) ( ) ( )0 0 ,i i iFb FabM x x M M al l

= → = =

[ ]3 2 0,x b− ∈

( )

( ) ( ) ( )0 0 ,i i i

FaT xl

Fa FabM x x M M bl l

= −

= → = =

2. Bara simplu rezemată încărcată cu moment concentrat.

( ) 1 20 0F z V V= → − =∑ , 1 2V V=

( ) 13 0 0M V l M= → − + =∑ , 1MVl

=

[ ]1 2 0,x a− ∈

( ) MT xl

= − , ( )iMM x xl

= −

( ) ( )0 0,i iMaM M al

= = −

[ ]3 2 0,x b− ∈

( ) MT xl

= − , ( )iMM x xl

=

( ) ( )0 0,i iMbM M bl

= =


20

Cazuri particulare a = 0 b = 0

3. Bară simplu rezemată încărcată cu sarcină uniform distribuită şi concentrată.

( ) 1 13 0 3 9 2 2 3 0, 13M V V kN= → ⋅ − ⋅ ⋅ − = =∑

( ) 2 21 0 3 3 2 9 2 1 0, 8M V V kN= → − ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ = =∑

[ ]1 2 0, 2x m− ∈ T(x)=13 – 9x T(0)=13kN , T(2)=- 5kN T(x)=0 x0 = 1,4m

( )2913

2ixM x x= −

Mi(0)=0 , Mi(2)=8kN Mi(1,4)=9,4kN [ ]3 2 0,1x m− ∈ T(x)= - 8kN Mi(x) =8x Mi(0)=0, Mi(1)=8kN 5. Bară simplu rezemată încărcată cu sarcină uniformă şi moment concentrat.

( )3 0M =∑ V1.3-9.2.2+6=0 V1=10kN

( )1 0M =∑ V2.3+9.2.1+6=0 , V2=8kN

[ ]1 2 0, 2x m− ∈ T(x)=10-9x T(0)=10kN, T(2)=-8kN T(x)=0 x=1,1m

( )2910

2ixM x x= −

Mi(0)=0, Mi(2)=2kNm, Mi(1,1)=5,5kNm [ ]3 2 0,1x m− ∈

T(x)= -8kN , Mi(x)=8x , Mi(0)=0 , Mi(1) =8kN


21

Fig.2.13

Fig.2.14

2.3. DIAGRAME DE EFORTURI LA SISTEME DE BARE ÎN PLAN ŞI ÎN SPAŢIU

Sisteme de bare în plan

Se analizează sistemele de bare drepte în plan (fig.2.13), solicitate de sarcini coplanare. Astfel efectul sarcinilor aplicate în secţiunile transversale se manifestă prin eforturile secţionale: , ,N T M . Eforturile secţionale se definesc ca elementele torsorului sarcinilor aplicate pe partea îndepărtată (zona de bară de lungime x, inclusiv barele adiacente). Torsorul se efectuează în centrul de greutate al secţiunii considerate.

Convenţia de semne pentru forţa tăietoare şi momentul încovoietor se foloseşte în forma stabilită pentru bara dreaptă, iar pentru forţa axială se consideră sensul fizic: forţa axială este pozitivă când întinde bara şi negativă când comprimă bara. Determinarea reacţiunilor din legăturile sistemului de bare se fac utilizând ecuaţiile de echilibru aplicabile pentru sistemul de sarcini în plan. ( ) ( ) ( )1 1 22 10 , 0 , 0hF H M V M V= ⇒ = ⇒ = ⇒∑ ∑ ∑

( ) ( ) ( )1 1 110 , 0 , 0v hF V F H M M= ⇒ = ⇒ = ⇒∑ ∑ ∑ La stabilirea eforturilor secţionale se recomandă observarea barelor din interiorul

sistemului. Diagramele de variaţie ale eforturilor secţionale se trasează pe schema sistemului de bare.

Dacă se secţionează barele concurente într-un nod (fig.2.14), în imediata vecinătate a nodului, aplicând eforturile secţionale corespunzătoare, se verifică echilibrul nodului: 1 2 1 2 1 2, ,T N N T M M= = − = Rezultă astfel că, în cazul barelor ortogonale, forţa axială de pe o bară se transformă în forţă tăietoare pe cealaltă bară şi invers, iar momentul încovoietor de pe o bară este egal cu cel de pe cealaltă bară (în nod momentul încovoietor se transmite, dacă nu există moment concentrat).

Sisteme de bare în spaţiu Pentru sistemele de bare în spaţiu, încastrate la un capăt şi libere la celălalt, se

recomandă sensul de parcurs, în stabilirea eforturilor secţionale, din capătul liber spre încastrare în acest mod nefiind necesară determinarea reacţiunilor din încastrare decât pentru verificarea eforturilor secţionale stabilite (fig.2.15). Pentru sistemele de bare simplu rezemate şi articulate la capete, după determinarea reacţiunilor din legături, se recomandă parcurgerea sistemului de la capete spre zona centrală (fig.2.16).


22

Fig.2.15

Fig.2.16

Sistemele de axe se fixează pentru fiecare bară din sistem; după trasarea diagramelor de variaţie ale eforturilor secţionale pentru o bară, se îndepărtează această bară, aplicând în secţiunea efectuată torsorul sarcinilor aplicate pe partea îndepărtată. Astfel se pot stabili mai uşor eforturile secţionale pentru bara următoare din sistem (fig.2.17):

1 2− [0, ]x a∈ ( )zT x F= − , ( )yM x F x= − ⋅ 2 3− [0,2 ]x a∈ ⋅ ( )zT x F= − , ( )yM x F x= − ⋅ , ( )tM x F a= ⋅

Diagramele de variaţie ale eforturilor secţionale se pot trasa pe schema sistemului de bare în spaţiu sau pe fiecare bară izolată din sistem, precizându-se astfel şi încărcarea corespunzătoare eforturilor secţionale şi sistemul de axe ataşat. La stabilirea eforturilor secţionale se foloseşte convenţia de semne în cazul general de solicitare (fig.2.18). APLICAŢII 1. Sistem de bare în plan. ( ) 0HF =∑ H1=118kN

( )6 0M =∑ V1.3-H1.1-30.4.2-18.1=0 ; V1=92kN

( )1 0M =∑ -V2.3+30.4.1-18.2=0 ; V2=28kN

Fig.2.17

Fig.2.18


23

1 –2 x∈[0,3m] N(x)=-92kN ,T(x)=-18kN Mi(x)= -18x Mi(0)=0, Mi(3)= - 54kNm 3 – 2 x∈[0,1m] N(x)=0 T(x)= - 30x T(0)=0 , T(1)= - 30kN

( )2

302ixM x = −

Mi(0)=0 , Mi(1)= - 15kNm 6 – 5 x∈[0,1m] N(x)= - 28kN , T(x)=0 , Mi(x)=0 5 – 4 x∈[0,1m] N(x)= - 28kN , T(x)=18kN , Mi(x)= - 18x , Mi(0)=0 , Mi(1)= - 18kNm 4 – 2 x∈[0,3m]

N(x)= - 18kN , T(x)= - 28+30x , T(0)= - 28kN, T(3)=62kN, T(x)=0 x0=0,93m Mi(x)= -18+28x -30x2/2 Mi(0)= - 18kNm, Mi(3)= -69kNm Mi(0,93)= - 4,9kNm

Observaţie: în punctul 2 de pe bara 3-4 apare efectul barei 1-2 prin salt de forţă tăietoare şi salt de moment încovoietor. Diagrame N, T , M:


24

2. Sistem de bare în spaţiu. Se consideră sistemul din fig.2.19.

1 – 2 x∈[0,a] Tz(x)= - qx Tz(0)=0 , Tz(a)= - qa My(x)= - qx2/2 My(0)=0 , My(a)= - qa2/2 Observaţie: Se efectuează torsorul forţelor de pe bara 1-2 în punctul 2; astfel bara 2-3- se poate considera încastrată în punctul 3 şi liberă în 2, pe capătul liber fiind aplicate elementele torsorului forţelor de pe bara 1-2.

2 – 3 x ∈[0,2a] Tz(x)= - qa , My(x) = - qax , My(0)=0 , My(2a)= - 2qa , Mt(x)=qa2/2 3 – 4 x ∈[0,3a] Tz(x)=qa , My(x)= -qax+qa2/2 , My(0)=qa2/2 , My(3a)= -5/2qa2 , Mt(x)=2qa2

Fig.2.19


25

2.4. DIAGRAME DE EFORTURI LA SISTEME DE BARE CU ARTICULAŢI INTERMEDIARE

În aceste cazuri problema este determinarea reacţiunilor din legăturile sistemului, întrucât mai departe determinarea eforturilor secţionale nu prezintă aspecte deosebite. Se recomandă stabilirea reacţiunilor din legături cu ajutorul ecuaţiilor de echilibru corespunzătoare fiecărui element component al sistemului, ecuaţii ce se pot stabili numai după izolarea elementelor. APLICAŢII

2.5. STABILIREA DIAGRAMELOR DE EFORTURI PRIN SUPRAPUNERE DE EFECTE.

Diagramele de eforturi se pot stabili aplicând principiul suprapunerii efectelor. Principiul suprapunerii efectelor este o consecinţă a ipotezei proporţionalităţii dintre tensiuni şi deformaţii: starea de tensiune şi deformaţii a unui corp solid încărcat cu un sistem oarecare de sarcini se poate obţine însumând stările de tensiuni şi deformaţii produse de fiecare sarcină în parte. Ca urmare, diagramele de eforturi se pot obţine însumând algebric diagramele de eforturi produse de fiecare sarcină ce solicită barele sau sistemul de bare.


26

Fig.2.20

Fig.2.21

APLICAŢIE

2.6. DIAGRAME DE EFORTURI LA BARE CURBE PLANE

La barele curbe plane, acţionate de sarcini aplicate în planul lor, efectul acestora apare în secţiunile transversale prin eforturile secţionale: N, T, M, care se definesc în mod similar ca la orice sistem plan. Se consideră o bară curbă plană şi într-o secţiune oarecare se ataşează sistemul de axe intrinsec t , n (fig.2.20): - forţa axială N are direcţia tangentei t , - forţa tăietoare T are direcţia normalei n , - momentul încovoietor M este dirijat ca vector după direcţia binormalei. Convenţia de semne (fig.2.21): • eforturile secţionale N şi T sunt pozitive când sunt dirijate în sens invers axelor t şi n , pentru faţa dreaptă. • momentul încovoietor M este pozitiv pe faţa din dreapta secţiunii când roteşte în sens orar, pentru observatorul aşezat astfel încât sensul tangentei t să fie spre dreapta. Dacă se ţine seama de efectul fizic al momentului se poate aprecia semnul momentului încovoietor astfel: • M > 0 dacă tinde să mărească raza de curbură a barei, deci să îndrepte bara curbă. • M < 0 dacă tinde să micşoreze raza de curbură a barei.


27

OBSERVAŢIE Pentru eforturile secţionale N şi T se poate folosi convenţia de semne în forma utilizată la bara dreaptă: N > 0 când iese din secţiunea transversală, T > 0 când produce o alunecare în sensul acelor de ceas.

Relaţiile diferenţiale între eforturi secţionale şi sarcini Din bara curbă solicitată de sarcini coplanare se izolează un element ds (fig.2.22). Sarcinile aplicate se reduc în centrul elementului la componentele notate: ptds, pnds. Elementul fiind izolat din bara solicitată este necesar ca în secţiunea ce îl delimitează să se aplice eforturile secţionale corespunzătoare: N, T, M pe faţa (1) N+dN, T+dT, M+dM pe faţa (2) De asemenea se notează: ρ - raza de curbură dϕ - unghiul format de normalele din punctele 1 şi 2. Elementul considerat fiind izolat dintr-un sistem în echilibru va fi în echilibru, dacă în secţiunile ce îl delimitează s-au aplicat eforturile secţionale corespunzătoare. Ecuaţiile de echilibru ce se pot scrie sunt următoarele:

• proiecţii pe N+dN:

cos sin sin cos 02 2n t

d dN dN N (d ) T (d ) p ds p dsϕ ϕϕ ϕ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ − ⋅ − ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

(2.5)

• proiecţii pe T+dT:

sin cos cos sin 02 2n t

d dT dT N (d ) T (d ) p ds p dsϕ ϕϕ ϕ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + ⋅ − ⋅ + ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

(2.6)

• momente în raport cu punctul 2:

sin 1 cos sin2n

dM M dM T r (d ) N r [ (d )] p ds r ϕϕ ϕ ⎛ ⎞− − + ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ − − ⋅ ⋅ ⋅ +⎜ ⎟⎝ ⎠

1 cos 02t

dp ds r ϕ⎡ ⎤⎛ ⎞+ ⋅ ⋅ ⋅ − =⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

(2.7)

Fig.2.22


28

Elementul considerat ds r dϕ= ⋅ este foarte mic şi se pot face aproximaţiile:

cos 1(d )ϕ ≅ , cos 12

dϕ⎛ ⎞ ≅⎜ ⎟⎝ ⎠

, sin(d ) dϕ ϕ≅ , sin2 2

d dϕ ϕ⎛ ⎞ ≅⎜ ⎟⎝ ⎠

(2.8)

Pe baza aproximărilor (2.8) ecuaţiile (2.5), (2.6), (2.7) au forma următoare:

02n t

dN dN N T dr p ds p dsϕ+ − − ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ =

02n t

dT dT N d T p ds p ds ϕρ+ + ⋅ − + ⋅ − ⋅ ⋅ = (2.9)

02n

dM M dM T r dr p ds ϕρ− − + ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ =

Se împart ecuaţiile (2.9) prin ds, se neglijază infiniţii mici de ordin superior şi rezultă:

t

n

dN dp Tds dsdT dp Nds dsdM Tds

ϕ

ϕ

⎧ = − + ⋅⎪⎪⎪ = − − ⋅⎨⎪⎪ =⎪⎩

(2.10)

Întrucât ds dρ ϕ= ⋅ rezultă forma finală a relaţiilor diferenţiale între eforturi secţionale şi sarcini, pentru barele curbe plane solicitate de sarcini coplanare:

t

n

dN TpdsdT NpdsdM Tds

ρ

ρ

⎧ = − +⎪⎪⎪ = − −⎨⎪⎪

=⎪⎩

(2.11)

OBSERVAŢII 1. Relaţiile stabilite pot fi folosite la determinarea eforturilor secţionale (prin integrare) cât şi la trasarea diagramelor. Eficienţa folosirii lor este însă mult mai mică decât a relaţiilor de la barele drepte. Din acest motiv la barele curbe se va aplica, de regulă, metoda reducerii, exprimând eforturile secţionale pe fiecare interval de variaţie continuă a sarcinii.

2. La barele curbe circulare, variabila ds r dϕ= ⋅ se exprimă în funcţie de ρ şi relaţiile diferenţiale au forma următoare:

t

n

dN p r TdrdT p r NdrdM T rdr

⎧ = − ⋅ +⎪⎪⎪ = − ⋅ −⎨⎪⎪ = ⋅⎪⎩

(2.12)

3. Recomandării privind trasarea diagramelor de eforturi secţionale pentru cazurile obişnuite de bare curbe circulare:

- se efectuează secţiunea curentă poziţionată prin unghiul ϕ . - se duc tangenta şi normala în secţiunea respectivă. - se proiectează sarcinile aplicate pe partea îndepărtată (zona cuprinsă în unghiul ϕ )


29

pe direcţia tangentei şi a normalei, în vederea stabilirii eforturilor secţionale ( )N ϕ şi ( )T ϕ utilizând convenţia de semne în forma de la bara dreaptă.

- momentul încovoietor ( )M ϕ va fi dat de suma momentelor sarcinilor aplicate pe partea îndepărtată în secţiunea efectuată.

- trasarea diagramelor de variaţie ale eforturilor secţionale se face pe conturul barei curbe, folosind reprezentarea în coordonate polare.

- diagramele se pot trasa utilizând regulile generale de trasare a graficelor fără a folosi relaţiile diferenţiale.

4. Dacă sarcinile aplicate barei curbe sunt perpendiculare pe planul barei curbe, atunci efectul lor apare în secţiunile transversale prin moment de răsucire. APLICAŢIE

1 2 0,2πϕ ⎡ ⎤− → ∈⎢ ⎥⎣ ⎦

( ) sin( )N Fϕ ϕ= − ⋅ (0) 0

2

N

N Fπ=

⎛ ⎞ = −⎜ ⎟⎝ ⎠

( ) cos( )T Fϕ ϕ= − ⋅ (0)

02

T F

T π= −

⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠

( ) sin( )M F Rϕ ϕ= − ⋅ ⋅ (0) 0

2

M

M F Rπ=

⎛ ⎞ = − ⋅⎜ ⎟⎝ ⎠

2 3 ,2πϕ π⎡ ⎤− → ∈⎢ ⎥⎣ ⎦

( ) sin( ) cos( )N F Fϕ ϕ π ϕ= − ⋅ − ⋅ − 2( )

N F

N F

π

π

⎛ ⎞ = −⎜ ⎟⎝ ⎠

= −

030 cos( ) sin( ) 0 ( ) 14

dN F F tgd

πϕ ϕ ϕ ϕϕ= ⇒ − ⋅ − ⋅ = ⇒ = − ⇒ =

0( ) 2N Fϕ = −


30

( ) cos( ) sin( )T F Fϕ ϕ π ϕ= − ⋅ − ⋅ − 2( )

T F

T F

π

π

⎛ ⎞ = −⎜ ⎟⎝ ⎠

=

03( ) 04

T πϕ ϕ= ⇒ =

( ) sin( ) cos( )M F R F Rϕ ϕ π ϕ= − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ − 2( )

M F R

M F R

π

π

⎛ ⎞ = − ⋅⎜ ⎟⎝ ⎠

= − ⋅

0 cos( ) sin( ) 0 ( ) 1dM F R F R tgd

ϕ ϕ ϕϕ

= ⇒ − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ = ⇒ = −

034πϕ = , 0( ) 2N F Rϕ = − ⋅

OBSERVAŢIE Păstrând aceeaşi origine pentru unghiul ϕ ce poziţionează secţiunea curentă pe zona 2-3, rămân valabile expresiile eforturilor secţionale stabilite pentru zona 1-2.

2.7. FORTE CONCENTRATE MOBILE. MOMENT MAXIM MAXIMORUM În practica inginerească se întâlnesc numeroase cazuri când forţele aplicate pe grindă nu au poziţii fixe şi se deplasează în lungul grinzii. De exemplu: roţile unui vehicul pe un pod, roţile unui tren pe calea ferată, roţile căruciorului pe podul rulant, etc. Se defineşte convoi de sarcini mobile o succesiune de forţe concentrate sau repartizate, de mărime constantă, care se deplasează pe o grindă, menţinându-se constantă distanţa dintre ele. În timpul deplasării forţelor pe grindă, variază desigur valoarea reacţiunilor cât şi cea a eforturilor secţionale.

Studiul grinzii necesită determinarea modului de variaţie a eforturilor secţionale într-un număr cât mai mare de secţiuni, în funcţie de poziţiile succesive ale convoiului. Interesează, în primul rând, determinarea eforturilor secţionale celor mai mari. Astfel, momentul încovoietor cel mai mare se numeşte moment maxim maximorum.


31

Calculul momentului maxim maximorum se exemplifică pe cazul grinzii drepte simplu rezemate la capete, de lungime l (fig. 2.23).

Se consideră că pe grindă se deplasează un convoi format din "n" forţe concentrate paralele şi de acelaşi sens: 1 2, , , nF F FL , la distanţă constantă una faţă de cealaltă, kF şi iF se află la distanţa .kd ct= Se notează distanţa de la forţe la reazem, pentru o forţă oarecare kF , cu ka şi respectiv

kb : Poziţia convoiului pe grindă este definită de poziţia rezultantei convoiului de forţe, care desigur se calculează cu relaţia:

1

n

kk

R F=

= ∑ (2.13)

Se notează: Ra , Rb poziţia rezultantei convoiului de forţe faţă de reazeme c , poziţia rezultantei faţă de forţa Fi din convoiul de forţe şi se poate calcula cu relaţia:

k k

k

kk

F dc

F

⋅=∑∑

(2.14)

Pentru o poziţie oarecare a convoiului de forţe pe grindă, momentul încovoietor maxim se produce în dreptul unei forţe concentrate. Ca urmare, în cazul grinzii simplu rezemate la capete şi momentul încovoietor maxim maximorum are loc pentru o anumita poziţie a convoiului, în dreptul unei forţe concentrate, de obicei în dreptul forţei apropiate de rezultantă. Se consideră că momentul maxim maximorum are loc în dreptul forţei iF , deci trebuie exprimat momentul încovoietor în dreptul forţei iF şi în acest scop se va stabili reacţiunea din reazemul A :

( ) 0BM = ⇒∑ 1

0n

A k kk

V l F b=

⋅ − ⋅ =∑ 1

1 n

A k kk

V F bl =

= ⋅ ⋅∑ (2.15)

Desigur, se poate calcula reacţiunea VA şi în funcţie de rezultanta convoiului de forţe:

( ) 0BM = ⇒∑ 0A RV l R b⋅ − ⋅ = 1A RV R b

l= ⋅ ⋅ , R Rb l a= −

Fig.2.23


32

RA

l aV Rl−

= ⋅ (2.16)

Momentul încovoietor maxim în dreptul forţei Fi va fi:

1

max1

( )i

A R k kk

M V a c F d−

=

= ⋅ − − ⋅∑ (2.17)

Ţinând seama de expresia (2.16) pentru reacţiunea VA din (2.17) se obţine:

1

max1

( ) ( )i

R R k kk

RM l a a c F dl

−

=

= ⋅ − ⋅ − − ⋅∑ (2.18)

Din relaţia (2.18) se observă că momentul încovoietor maxim este funcţie de poziţia rezultantei convoiului de forţe prin distanţa aR. Pentru stabilirea maximului funcţiei Mmax(aR) se anulează prima derivată:

max 0R

dMda

=

şi rezultă:

( ) 02 2R R R

R l ca c l a al⋅ − + + − = ⇒ = + (2.19)

Din relaţia (2.19) se conturează concluzia următoare: momentul încovoietor în dreptul unei forţe Fi atinge valoarea cea mai mare atunci când, forţa Fi şi rezultanta R a convoiului de forţe de pe grindă se află la aceeaşi distanţă faţă de mijlocul grinzii; sau mijlocul grinzii împarte în două părţi egale distanţa dintre forţa Fi şi rezultanta R (fig.2. 24). Din (2.19) şi (2.18) se obţine expresia de calcul pentru momentul încovoietor maxim maximorum în cazul unei grinzi simplu rezemate la capete, ca urmare a deplasării pe grindă a unui convoi de forţe concentrate:

1

max1max 2 2 2 2

i

k kk

R l c l cM l c F dl

−

=

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ⋅ − − ⋅ + − − ⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

∑

1

max1max 2 2 2 2

i

k kk

R l c l cM F dl

−

=

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ⋅ − ⋅ − − ⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

∑

( )1

2max

1max 4

i

k kk

RM l c F dl

−

=

= ⋅ − − ⋅∑ (2.20)

În funcţie de relaţia (2.13), din (2.20) se stabileşte relaţia finală pentru calculul

momentului maxim maximorum, care este în funcţie de c distanţa între rezultantă şi forţa iF şi

kd ce fixează poziţia forţelor din convoi faţă de forţa iF :

2 1

max1 1max

( )4

n i

k k kk k

l cM F F dl

−

= =

−⎛ ⎞= ⋅ − ⋅⎜ ⎟⎝ ⎠∑ ∑ (2.21)

Fig.2.24


33

CAPITOLUL III

SOLICITAREA AXIALĂ

3.1. ÎNCERCAREA LA TRACŢIUNE A METALELOR

Încercarea la tracţiune a metalelor este încercarea la care sunt supuse epruvetele şi constă în aplicarea pe direcţia axei longitudinale a unei forţe progresive de întindere până la rupere.

Dependenţa dintre tensiunile normale şi deformaţiile specifice ce sunt efectul

solicitării axiale a epruvetei, reprezintă curba caracteristică a materialului încercat la tracţiune. Pentru un oţel moale curba caracteristică (Fig.3.1) prezintă mai multe puncte ce definesc cele mai importante caracteristici mecanice ale oţelului.

În figura 3.1 s-au făcut următoarele notaţii:

___ curba caracteristică convenţională 0

FA

σ = , 0

LL

ε Δ= ,

---- curba caracteristică reală r

FA

σ = , 0

LL

ε Δ= ,

0A aria secţiunii iniţiale a epruvetei, 0L lungimea iniţială între două secţiuni transversale ale epruvetei,

Fig.3.1

Capitolul III Solicitarea axială

34

rA aria secţiunii momentane reale a epruvetei,

pP σ⇒ limita de proporţionalitate convenţională, reprezintă tensiunea pentru care abaterea dintre modulul de elasticitate curent Eσ şi modulul de elasticitate iniţial 0E este de 10%.

Abaterea se calculează cu relaţia:

0

0

100 [%]E EE

σ−⋅ ,

şi limita de proporţionalitate se notează 10σ .

eE σ⇒ limita de elasticitate tehnică, pentru o deformaţie specifică liniară remanentă prescrisă, uzual se consideră

0,01rε = % şi se notează 0.01σ . ,CC ⇒ "palier de curgere", în cazul oţelurilor cu conţinut redus de carbon deformaţiile plastice sunt foarte mari şi se

produc la o forţă exterioară constantă sau descrescătoare. ( )C eC Rσ⇒ limita de curgere aparentă, reprezintă tensiunea corespunzătoare momentului în care creşterea forţei încetează, în timp ce procesul de deformare a epruvetei continuă.

La materialele care nu au limită de curgere aparentă stabilirea acesteia se face convenţional: - Rp0.2 , limita de curgere convenţională, pentru o alungire neproporţională prescrisă de 0.2%. - Rr0.2 , limita de curgere remanentă, pentru o alungire remanentă prescrisă de 0.2%. ,C R ⇒ zonă de ecruisare (de întărire), pe măsură ce se accentuează gradul de deformare plastică în zona de curgere, metalul se ecruisează şi forţa necesară deformării epruvetei începe să crească. ,RR ⇒ zonă de curgere locală; la un moment dat, într-o anumită zonă a epruvetei apare o subţiere (gâtuire), care se accentuează destul de rapid. În continuare deformarea epruvetei se efectuează numai în zona gâtuirii, la forţe tot mai mici şi în final se produce ruperea reprezentată prin punctul ,R . ( )r mR Rσ⇒ rezistenţa la rupere, reprezintă raportul dintre forţa maximă ce se realizează în punctul R şi aria secţiunii transversale iniţiale a epruvetei:

max

0r

FA

σ =

Pe baza încercării la tracţiune sau la compresiune uniaxială se stabileşte tensiunea admisibilă (rezistenţa admisibilă), care se poate defini astfel: valoarea convenţională aleasă în calcul, pe baza practicii, pentru tensiunea maximă ce se poate produce într-o piesă în condiţii date de material şi solicitare. Se presupune că se cunoaşte curba caracteristică la tracţiune a materialului din care urmează să se confecţioneze o piesă solicitată la întindere.

Pentru rezolvarea problemelor Rezistenţei materialelor (dimensionare, verificare, calculul sarcinii capabile), trebuie precizată valoarea maximă a tensiunii ce se poate dezvolta în piesa considerată, astfel încât aceasta să reziste şi să nu se producă deformaţii prea mari.

Tensiunea din piesă trebuie limitată la valori mult mai mici decât limita de elasticitate sau limita de curgere, din următoarele motive:

• în majoritatea cazurilor determinarea sarcinilor aplicate este aproximativă şi este posibilă o depăşire a valorilor considerate în calcul,

• schemele de calcul privind modul de aplicare a sarcinilor, precum şi schematizarea pentru calcule a formei piesei conduce la diferenţe faţă de fenomenul real,


35

N > 0 N < 0

• proprietăţile mecanice ale materialelor pieselor proiectate nu pot fi cunoscute cu certitudine, întrucât apar diferenţe între caracteristicile mecanice ale piesei proiectate faţă de cele ale epruvetei încercate.

Se obişnuieşte ca tensiunea admisibilă " aσ " să fie raportată la una din tensiunile periculoase de pe curba caracteristică şi anume, la tensiunea de rupere rσ sau la cea de curgere cσ .

Astfel tensiunea admisibilă este definită prin raportul:

ra

rcσσ = sau c

acc

σσ =

unde rc şi cc se numesc coeficienţi de siguranţă. La alegerea tensiunii admisibile sau a coeficientului de siguranţă trebuie să se ţină

seama de mai mulţi factori: felul materialelor, procedeul tehnologic, natura solicitării, modul de acţionare a sarcinilor în timp, condiţiile de lucru, metodele de calcul, etc.

Unele indicaţii privind valorile coeficienţilor de siguranţă şi ale tensiunilor admisibile sunt date în memoratoarele inginereşti şi în cărţile de specialitate. Pentru coeficientul de siguranţă faţă de limita de rupere a materialului la o solicitare statică, se poate considera cu aproximaţie 2 3c = ÷ pentru materiale tenace, 3 4c = ÷ pentru materiale fragile şi 4 6c = ÷ pentru materiale foarte fragile.

Pentru oţelul OL37 folosit în construcţii industriale se poate considera [ ]150a MPaσ = la solicitarea statică de întindere sau compresiune.

3.2 FORŢE AXIALE. DIAGRAME DE FORŢE AXIALE

O bară este solicitată la întindere sau compresiune dacă în secţiunile ei transversale se dezvoltă efortul secţional forţă axială.

Forţa axială într-o secţiune este dată de suma proiecţiilor pe direcţia axei longitudinale a tuturor sarcinilor aplicate pe partea îndepărtată. Convenţia de semn corespunde sensului real al solicitării.

În figura 3.2 se prezintă diagrama de forţe axiale pentru o bară dreaptă solicitată de mai multe forţe dispuse pe axa longitudinală.

Fig.3.2


36

3.3 TENSIUNI ŞI DEFORMAŢII

Se consideră: - o bară de lungime l (fig.3.3), secţiune transversală constată de arie A ,

- materialul barei are o caracteristică liniar-elastică, respectă legea lui Hooke, - bara este solicitată axial de o forţă axială 0N ≥ .

Studiul geometric al deformaţiilor Se consideră o secţiune oarecare AB la distanţa x de capătul barei. Sub acţiunea sarcinii axiale bara se deformează, iar secţiunea AB se deplasează. Experimental se constată verificarea ipotezei lui Bernoulli, deci secţiunea AB rămâne şi după deformare plană şi perpendiculară pe axa longitudinală a barei. Astfel rezultă că toate punctele secţiunii AB se deplasează cu aceeaşi cantitate Δx şi se poate pune în evidenţă deformaţia specifică liniară a punctelor din secţiunea transversală:

.x ctx

ε Δ= = (3.1)

Legea fizică - Hooke face legătura între deformaţiile specifice liniare şi tensiunile

normale ce apar din solicitarea axială: Eσ ε= ⋅ (3.2)

În baza relaţiei (3.1), din (3.2) rezultă: .ctσ = şi deci tensiunile normale sunt uniform repartizate în secţiunea transversală.

Ecuaţii de echivalenţă Forţa elementară corespunzătoare unui element de suprafaţă dA este ( )dAσ ⋅ .

Torsorul tuturor forţelor elementare ( )dAσ ⋅ corespunzătoare tuturor elementelor de suprafaţă în care se poate descompune secţiunea transversală, este reprezentat în centrul de greutate al secţiunii prin efortul secţional forţă axială N .

Fig.3.3


37

Ca urmare ecuaţia de echivalenţă este:

A

dA Nσ ⋅ =∫ (3.3)

Întrucât .ctσ = relaţia (3.3) se poate scrie A

dA Nσ =∫ , dar A

dA A=∫ şi astfel rezultă

relaţia fundamentală a solicitării de întindere compresiune:

NA

σ = (3.4)

Experimental se poate arăta, că în secţiunile normale pe axa longitudinală a barei nu există tensiuni tangenţiale deoarece nu există deformaţii specifice unghiulare( Gτ γ= ⋅ reprezintă legea lui Hooke pentru forfecare, G modulul de elasticitate transversal).

Deformaţia specifică liniară la solicitarea axială, pe baza legii lui Hooke, va fi:

Eσε = , N

Aσ = ⇒ N

E Aε =

⋅ (3.5)

Produsul ( )EA se numeşte rigiditate la întindere-

compresiune, întrucât dacă ( )EA are valoare mare, deformaţia specifică liniară este mică şi bara este rigidă la solicitarea axială. Pentru un element de bară de lungime dx, efectul solicitării axiale este deplasarea axială egală cu lungimea elementului, deci modificarea lungimii elementului va fi:

( ) Ndx dx dxE A

εΔ = ⋅ = ⋅⋅

Pentru o bară de lungime l, deplasarea axială a capătului liber, deci modificarea lungimii barei va fi:

( )l l

Nl dx dxE A

Δ = Δ = ⋅⋅∫ ∫ (3.6)

Din (3.7) se obţin două situaţii particulare:

• N llE A⋅

Δ =⋅

(3.7)

• i i

i

N llE A

⋅Δ =

⋅∑ (3.8)

Pe baza relaţiilor (3.4), (3.3), (3.8) se pot rezolva problemele Rezistenţei materialelor: → din condiţii de rezistenţă (când se impune aσ )

• dimensionare neca

NAσ

=

• verificare ef aef

NA

σ σ= ≤

• calculul sarcinii capabile cap a efN Aσ= ⋅ (3.9)

→ din condiţii de rigiditate (când se impune alΔ sau aε )


38

• dimensionare neca a

N l NAE l E ε

⋅= =

⋅Δ ⋅ (3.10)

3.4. BARE CU VARIAŢIE DE SECŢIUNE Experimental s-a stabilit că în dreptul variaţiilor de secţiune, tensiunile normale nu mai sunt repartizate uniform în secţiune. Distribuţia tensiunii prezintă un maxim care exprimă concentrarea tensiunilor în dreptul variaţiei de secţiune. Tensiunea maximă este:

max 0kσ α σ= ⋅ (3.11) unde: - kα este coeficientul teoretic de concentrare, stabilit în funcţie de concentrator;

- 0FA

σ = este tensiunea din secţiunea fără concentrator.

În figura 3.4 sunt prezentate, pentru câteva cazuri, influenţa variaţiei de secţiune asupra distribuţiei de tensiuni din secţiunea transversală.

3.5. TENSIUNI ŞI DEFORMAŢII ŢINÂND SEAMA DE GREUTATEA PROPRIE

La barele foarte lungi greutatea proprie are un rol la fel de important ca şi încărcarea utilă aplicată la capete. Realizarea lor cu secţiune constantă nu ar fi judicioasă, întrucât secţiunile ar fi solicitate neegal.

Aceste situaţii apar la prăjinile de foraj, barele solicitate la compresiune existente la pilele de la viaducte, etc.

Se consideră o bară de lungime l (fig.3.5), rigiditate .EA ct= , materialul barei are greutate specifică γ , bara este solicitată de o forţă axială de întindere F aplicată în capătul liber al barei.

Fig.3.4


39

Se stabileşte forţa axială şi tensiunea normală: ( )N x F A xγ= + ⋅ ⋅ (3.12)

( ) ( )N x Fx xA A

σ γ= = + ⋅ (3.13)

( )

( )

max

0

Fl lAFA

σ γ σ

σ

⎧ = + ⋅ =⎪⎪⎨⎪ =⎪⎩

Dacă 0F = , rr rl

σσ σγ

= ⇒ = reprezintă lungimea la rupere, lungimea pentru care se

produce ruperea barei verticale sub acţiunea greutăţii proprii, rl este un coeficient de calitate al materialului. Pe baza relaţiei (3.13) se stabilesc:

• deformaţia axială corespunzătoare unui element dx :

( ) 1 Fdx dx dx x dxE E Aσε γ⎛ ⎞Δ = ⋅ = ⋅ = ⋅ + ⋅ ⋅⎜ ⎟

⎝ ⎠ (3.14)

• deformaţia axială corespunzătoare barei de lungime l :

( )2

0

12

l

l

F F l ll dx x dxE A E A E

γγ ⋅⎛ ⎞Δ = Δ = ⋅ + ⋅ ⋅ = + ⋅⎜ ⎟ ⋅⎝ ⎠∫ ∫

2

l A ll FE A

γ ⋅ ⋅⎛ ⎞Δ = ⋅ +⎜ ⎟⋅ ⎝ ⎠

Întrucât A l Gγ ⋅ ⋅ = este greutatea barei rezultă:

2

l Gl FE A

⎛ ⎞Δ = ⋅ +⎜ ⎟⋅ ⎝ ⎠ (3.15)

Se constată astfel că dacă lungimea barei este mare atunci şi deplasarea axială lΔ este mare, deci bara de secţiune constantă nu este economică şi din acest punct de vedere, în plus faţă de solicitarea neegală a secţiunilor.

Fig.3.5


40

Fig.3.6

Fig.3.7

Soluţia economică o constituie bara de egală rezistenţă ce reprezintă bara caracterizată prin aceea că în fiecare secţiune transversală tensiunea normală este egală cu tensiunea admisibilă.

Se consideră bara din figura 3.6. În secţiunea de capăt, secţiunea transversală va fi:

1a

FAσ

= (3.16)

Pentru stabilirea legii de variaţie a ariei secţiunii transversale ( )A x , se detaşează din bară un element infinit mic la distanţa x de capătul barei, cuprins între secţiunile 1 şi 2 . Dacă se aplică pe feţele elementului tensiunile normale, care se consideră egale cu rezistenţa admisibilă, elementul va fi în echilibru: ( ) 0a aA dA A A dxσ σ γ⋅ + − ⋅ − ⋅ ⋅ =

a

dAA dx

γσ

=⋅

şi integrând rezultă:

( )lna

A x Cγσ

= ⋅ + (3.17)

Constanta de integrare se obţine din condiţia limită pentru 0x = unde aria secţiunii transversale este determinată ( )1A .

0x = ⇒ ( )1ln A C=

Deci: ( ) ( )1ln lna

A x Aγσ

= ⋅ +

1

lna

A xA

γσ

⎛ ⎞= ⋅⎜ ⎟

⎝ ⎠ (3.18)

Din (3.18) se obţine astfel legea de variaţie pentru aria secţiunii transversale în cazul grinzii de egală rezistenţă:

1a

xA A e

γσ

⋅

= ⋅ (3.19) Forma barei de egală rezistenţă este neeconomică din

punct de vedere al execuţiei, fiind mai simplu să se aproximeze forma riguroasă din punct de vedere analitic cu o bară de secţiune variabilă în trepte (fig. 3.7).

Se ţine seamă de faptul că pentru fiecare tronson tensiunea maximă apare la capătul superior. Pentru primul tronson:

( )1max 1

1

F lA

σ γ= + ⋅ (3.20)

Secţiunea transversală necesară rezultă punând condiţia ca tensiunea maximă să fie egală cu tensiunea admisibilă:

( )1max aσ σ= ⇒ 1

1a

FAlσ γ

=− ⋅

(3.21)


41

Pentru tronsonul al doilea se ţine seama că la forţa F se adaugă greutatea proprie a primului tronson:

2 1 1 1

1

FF F A l F l

la

γ γσ γ

= + ⋅ ⋅ = + ⋅ ⋅− ⋅

, 1 12

1

l laF Fla

σ γ γ

σ γ

− ⋅ + ⋅= ⋅

− ⋅⇒ 2

1

aF Fla

σ

σ γ= ⋅

− ⋅ (3.22)

Aria necesară pentru cel de-al doilea tronson se obţine din expresia pentru 1A înlocuind F cu 2F :

( ) ( )2

22 1 2

F aA Fl l la a a

σ

σ γ σ γ σ γ= = ⋅

− ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ (3.23)

Pentru cazul general se obţine relaţia de recurenţă:

( )( ) ( ) ( )

1

1 2

naA Fn l l la a a n

σ

σ γ σ γ σ γ

−

= ⋅− ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅K

(3.24)

Dacă tronsoanele au aceeaşi lungime l, relaţia devine:

( )( ) 0

1 n nnFa a aA F An n l ll a a aa n

σ σ σ

σ γ σ σ γσ γ

−

= ⋅ = ⋅ = ⋅− ⋅ − ⋅− ⋅

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

(3.25)

3.6. PROBLEME STATIC NEDETERMINATE În cazul unor probleme de solicitare axială, forţa axială din secţiunile transversale nu se poate determina numai utilizând metodele de calcul ale staticii (ecuaţiile de echilibru ale staticii).

Aceste probleme se numesc probleme static nedeterminate, caracterizate prin numărul de mărimi necunoscute mai mare decât numărul de ecuaţii de echilibru aplicabile pentru sistemul de sarcini aplicate (fig.3.8).

În aceste situaţii este necesar să se analizeze modul de deformare al sistemului şi să se stabilească ecuaţii suplimentare de deformaţii. Numărul de ecuaţii de deformaţii ce trebuie stabilite este egal cu diferenţa dintre numărul mărimilor necunoscute şi numărul ecuaţiilor de echilibru. Ecuaţiile de echilibru împreună cu ecuaţiile de deformaţie rezolvă nedeterminarea.

Sistem static Sistem static derminat nedeterminat Fig.3.8


42

Se vor prezenta câteva tipuri caracteristice de probleme static nedeterminate, pentru precizarea modului de stabilire a ecuaţiilor suplimentare de deformaţii.

1) Bara dreaptă fixată la capete

Ecuaţia de echilibru: 1 2X X F+ = (3.26) Ecuaţia de deformaţie: ( ) 0totallΔ = (3.27)

( ) 43 32 21totall l l lΔ = Δ + Δ + Δ

2 343

3

x ll

E A

− ⋅Δ =

⋅ , 2 2

322

x ll

E A

− ⋅Δ =

⋅ , 1 1

211

x ll

E A

− ⋅Δ =

⋅

Din (3.27) rezultă:

2 3 2 3 1 1 03 2 1

x l x l x l

E A E A E A

− ⋅ − ⋅ ⋅− + =

⋅ ⋅ ⋅ (3.28)

( ) ( ) 1 23.26 , 3.28 ,X X⇒

2) Sistem de bare articulate concurente

Ecuaţiile de echilibru: ( ) ( )1 3 1 3sin sinN N N Nα α⋅ = ⋅ ⇒ = (3.29) ( )1 22 cosN N Fα⋅ ⋅ + = (3.30) Ecuaţia de deformaţie: ( )2 1cosl lαΔ ⋅ = Δ (3.31)

1 11

1

N llE A

⋅Δ =

⋅

2 22

2

N llE A

⋅Δ =

⋅

( ) ( ) 1 23.30 , 3.31 ,N N⇒

3) Sistem de bare paralele

Ecuaţiile de echilibru se stabilesc după izolarea elementelor ce formează sistemul. Pentru bara A B se pot scrie două ecuaţii de echilibru:


43

1 2 30F N N N F= ⇒ + + =∑ (3.32)

( ) 1 32 0 0M N a F c N b= ⇒ ⋅ + ⋅ − ⋅ =∑ (3.33) Ecuaţia de deformaţie:

3 22 1

1'42 ' 2 '53'

l ll la b

Δ ≈ Δ

⇓Δ −ΔΔ −Δ

=

(3.34)

unde:

1 11

1

N llE A

⋅Δ =

⋅, 2 2

22

N llE A

⋅Δ =

⋅, 3 3

33

N llE A

⋅Δ =

⋅

( ) ( ) ( ) 1 2 33.32 , 3.33 , 3.34 , ,N N N⇒ Se exemplifică şi cazul sistemului de bare cu articulaţie în O :


44

Ecuaţia de echilibru: ( ) 1 2 30 0M N a N b N c Fd= ⇒ + + =∑ (3.35) Ecuaţiile de deformaţii:

1

2

l al b

Δ=

Δ , 1

3

l al c

Δ=

Δ (3.36)

unde:

1 11

1

N llE A

⋅Δ =

⋅, 2 2

22

N llE A

⋅Δ =

⋅, 3 3

33

N llE A

⋅Δ =

⋅

( ) ( ) 1 2 33.35 , 3.36 , ,N N N⇒ 4) Efectul inexactităţii de execuţie şi montaj în sistemele articulate static nedeterminate

Ecuaţia de echilibru: ( )1 22 cosN Nα⋅ ⋅ = (3.37) Ecuaţia de deformaţii:

( )1

2cosl l δα

Δ+ Δ = (3.38)

unde:

1 11

1

N llE A

⋅Δ =

⋅, 2 2

22

N llE A

⋅Δ =

⋅

( ) ( ) 1 23.37 , 3.38 ,N N⇒

Pentru sistemul de bare cu articulaţie în O se pot scrie: Ecuaţia de echilibru: ( ) 1 3 20 0M N a N c N b= ⇒ + =∑ (3.39)


45

Ecuaţiile de deformaţii:

1

2

l al bδ

Δ=

−Δ, 1

3

l al c

Δ=

Δ (3.40)

5) Efectul variaţiei de temperatură în sistemele static nedeterminate

Dacă o bară se poate dilata liber, atunci când este încălzită uniform, ea se lungeşte cu cantitatea: l l tαΔ = ⋅ ⋅Δ , unde: α - coeficientul de dilatare termică liniară ( ) 10C

−,

l - lungimea barei, tΔ - variaţia de temperatură ( )0C . Dacă dilataţia liberă este împiedicată total sau parţial, în bare apar tensiuni de valori mari ce nu pot fi neglijate. Se consideră bara articulată la capete, de lungime l , rigiditate .EA ct= , ce suportă o variaţie de temperatură tΔ .

Ecuaţia de deformaţie: ( ) ( ) 0

t Nl lΔ + Δ = (3.42)

unde: ( )t

l l tαΔ = ⋅ ⋅Δ , deformaţia din dilatare liberă,

( )N

N l F llE A E A⋅ ⋅

Δ = = −⋅ ⋅

, deformaţia corespunzătoare

forţei F , care apare din împiedicarea dilatării libere. Rezultă în final:

F E A tα= ⋅ ⋅ ⋅Δ , F E tA

σ α= = ⋅ ⋅Δ (3.43)

Dacă dilatarea liberă este împiedicată parţial: ( )t

l l tα δΔ = ⋅ ⋅Δ > (3.44)

( )N

R llE A⋅

Δ = −⋅

(3.45)

şi condiţia de deformaţie este: ( ) ( )t N

l l δΔ + Δ = (3.46)


46

În cazul unui sistem de bare concurente supuse unei variaţii de temperatură tΔ :

Ecuaţia de echilibru:

( )2 12 cosN N β= ⋅ ⋅ (3.47) Ecuaţia de deformaţii: ( )1 2 cosl l βΔ = Δ ⋅ (3.48)

În ecuaţiile (3.47) şi (3.48) notaţiile făcute au următoarele semnificaţii:

( ) ( ) 1 11 1 1 1 1

1 1t N

N ll l l l tE A

α ⋅Δ = Δ + Δ = ⋅ ⋅Δ −

⋅

( ) ( ) 2 22 2 2 2 2

2 2t N

N ll l l l tE A

α ⋅Δ = Δ + Δ = ⋅ ⋅Δ +

⋅

( ) ( ) 1 23.47 , 3.48 ,N N⇒

6) Bare cu secţiuni neomogene solicitate axial

În practică se întâlnesc frecvent bare alcătuite din două sau mai multe materiale cu caracteristici elastice diferite, ex: betonul armat, cablurile din diferite materiale, etc. Experimental s-a constatat că în domeniul de comportare elastică a acestor bare este valabilă ipoteza lui Bernoulli şi pe această bază se pot stabili ecuaţiile de compatibilitate a deformaţiilor. În cazul general se consideră o bară alcătuită din " n " materiale având modulele de elasticitate 1 2, , , nE E EL şi ariile secţiunilor transversale 1 2, , , nA A AL .

Eforturile secţionale ce revin fiecărui material sunt 1 2, , , nN N NL .Bara întreagă este solicitată de forţa axială F .

Ecuaţia de echilibru va fi: 1 2 nN N N F+ + + =L (3.49) Ecuaţiile de deformaţii exprimă că deformaţia axială este aceeaşi pentru toate

materialele şi întrucât lungimea este aceeaşi, rezultă că şi deformaţiile specifice liniare sunt aceleaşi:

( ) ( )

1 2

1 1 2 2 1 1

in

n n i i

NNN N FE A E A E A E A E A

= = = = =⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

∑∑ ∑

K (3.50)

şi rezultă:

( )

1 11

i i

E AN FE A⋅

= ⋅⋅∑

, ( )

2 22

i i

E AN FE A⋅

= ⋅⋅∑

, …, ( )

i ii

i i

E AN FE A⋅

= ⋅⋅∑

(3.51) Tensiunile corespunzătoare vor fi:


47

( )

ii

i i

EFE A

σ = ⋅⋅∑

, ( )1, 2, ,i n= L (3.52)

Pentru un stâlp de beton armat supus la compresiune de o forţă F , tensiunile în cele două materiale vor fi:

aa

b b a a

EFE A E A

σ = ⋅⋅ + ⋅

, bb

b b a a

EFE A E A

σ = ⋅⋅ + ⋅

(3.53)

unde: aA aria secţiunii de armătură , aE modul de elasticitate al armăturii, aA aria secţiunii de beton,

aE modul de elasticitate al betonului.

Capitolul IV Caracteristici geometrice ale suprafeţelor plane

48

CAPITOLUL IV

CARACTERISTICI GEOMETRICE ALE SUPRAFEŢELOR PLANE

4.1. MOMENTE STATICE. CENTRE DE GREUTATE

În definirea răspunsului la acţiunea sarcinilor exterioare asupra barelor şi sistemelor de bare, intervin pe lângă proprietăţile fizice ale materialelor şi mărimi legate de forma şi dimensiunile secţiunilor transversale ale barelor numite caracteristici geometrice ale secţiunilor.

Se consideră o suprafaţă plană oarecare, raportată la sistemul de axe din Rezistenţa materialelor cu axele y şi z în planul secţiunii (fig.4.1).

Cea mai simplă caracteristică geometrică este aria secţiunii:

2, [ ]A

A dA L= ∫ (4.1)

Momentele statice faţă de o axă reprezintă suma produselor dintre ariile elementare dA în care s-ar diviza secţiunea transversală şi distanţa la axă:

yA

S z dA= ⋅∫ , zA

S y dA= ⋅∫ , 3L⎡ ⎤⎣ ⎦ (4.2)

Fig.4.1


49

Fig.4.2

Pentru stabilirea variaţiei momentelor statice cu translaţia axelor se consideră un sistem de axe 1 1 1y O z paralel cu yOz . Se presupun cunoscute: 0 0, , ,y zS S y z , şi se determină

1 1,y zS S :

1 1y

A

S z dA= ⋅∫ , 1 1z

A

S y dA= ⋅∫ (4.3)

unde: 1 0z z z= − , 1 0y y y= − (4.4) Din (4.3) şi (4.4) rezultă:

( )1 0 0 0y y

A A A

S z z dA z dA z dA S z A= − ⋅ = ⋅ − ⋅ = − ⋅∫ ∫ ∫

( )1 0 0 0z z

A A A

S y y dA y dA y dA S y A= − ⋅ = ⋅ − ⋅ = − ⋅∫ ∫ ∫

(4.5) Dacă axele 1y şi 1z trec prin centrul de greutate, deci 1O C≡ atunci momentele statice în raport cu aceste axe sunt nule:

1

0yS = , 1

0zS = (4.6) şi din (4.5) se obţine:

yC

Sz

A= , z

CSyA

= (4.7)

Pentru cazul frecvent întâlnit al suprafeţelor

compuse (fig.4.2) relaţiile de calcul pentru coordonatele centrului de greutate vor fi:

'

i iC

i

A zz

A⋅

= ∑∑

, '

i iC

i

A yy

A⋅

= ∑∑

unde: ' ',i iy z sunt coordonatele centrului de elementul i.

Axele ce trec prin centrul de greutate al secţiunii transversale se numesc axe centrale.

OBSERVAŢIE Dacă secţiunea transversală prezintă o axă de simetrie centrul de greutate este dispus pe această axă; dacă secţiunea transversală are două axe de simetrie centrul de greutate se află la intersecţia axelor.

4.2. MOMENTE DE INERŢIE Momentele de inerţie reprezintă suma produselor dintre ariile elementelor de suprafaţă în care se descompune secţiunea transversală şi pătratul distanţei la o axă, la un punct, sau produsul distanţelor la două axe. Momentele de inerţie sunt:

Axiale: 2

yA

I z dA= ⋅∫ , 2z

A

I y dA= ⋅∫ 4L⎡ ⎤⎣ ⎦ (4.9)


50

Fig.4.3

Fig.4.4

Centrifugale: yz

A

I yz dA= ⋅∫ 4L⎡ ⎤⎣ ⎦ (4.10)

Polare: 2

pA

I r dA= ⋅∫ 4L⎡ ⎤⎣ ⎦ (4.11)

Întrucât: 2 2 2r y z= + rezultă: ( )2 2

p y zA

I y z dA I I= + ⋅ = +∫ (4.12)

Momentul de inerţie polar este egal cu suma momentelor de inerţie axiale calculate faţă de orice axe ortogonale ce trec prin polulO . OBSERVAŢIE Se consideră o suprafaţă care prezintă o axă de simetrie (fig.4.3) şi se raportează la sistemul de axe oarecare yOz, cu particularitatea că axa Oz coincide cu axa de simetrie.

Fiecărui element de suprafaţă cu moment de inerţie ( )yzdA îi corespunde un element de suprafaţă simetric, cu moment de inerţie centrifugal ( )yzdA− .

Însumând momentele de inerţie centrifugale corespunzătoare elementelor de suprafaţă în care se poate diviza secţiunea transversală rezultă că se anulează.

În concluzie, momentul de inerţie centrifugal al unei suprafeţe simetrice este egal cu zero, dacă el se calculează

faţă de un sistem de axe dintre care cel puţin o axă este axă de simetrie.

4.3. VARIAŢIA MOMENTELOR DE INERŢIE LA TRANSLAŢIA AXELOR Se consideră o suprafaţă plană raportată la un sistem oarecare de axe yOz (fig.4.4) şi se presupun cunoscute momentele de inerţie axiale şi momentul centrifugal faţă de acest sistem de axe:

2

2

,

,

.

yA

zA

y zA

I z dA

I y dA

I yz dA

= ⋅

= ⋅

= ⋅

∫

∫

∫

(4.13)

Se urmăreşte determinarea momentelor de inerţie axiale şi momentul centrifugal faţă de un sistem de axe

1 1y Oz paralel cu sistemul yOz . Se consideră cunoscute distanţele dintre axele celor două sisteme: 0y şi 0z .

Momentele de inerţie axiale şi centrifugale faţă de sistemul de axe

1 1y Oz sunt:

1

21y

A

I z dA= ⋅∫ , 1

21z

A

I y dA= ⋅∫ , 1 1 1 1y z

A

I y z dA= ⋅∫ (4.14)

Legătura dintre coordonatele elementului de suprafaţă dA în cele două sisteme de axe este următoarea:

1 0z z z= − , 1 0y y y= − (4.15)


51

Înlocuind (4.15) în (4.14) se obţine:

( )1

2 2 20 0 02 ,y

A A A A

I z z dA z dA z z dA z dA= − ⋅ = ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅∫ ∫ ∫ ∫

( )1

2 2 20 0 02 ,z

A A A A

I y y dA y dA y y dA y dA= − ⋅ = ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅∫ ∫ ∫ ∫

(4.16)

( ) ( ) ( )

1 1 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0

y zA A

A A A A

I y y z z dA yz y z yz y z dA

yz dA y z dA z y dA y z dA

= − ⋅ − ⋅ = − − + ⋅ =

= ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ + ⋅

∫ ∫

∫ ∫ ∫ ∫ (4.16)

Ţinând seamă de relaţiile (4.13), expresiile (4.16) devin:

1

1

1 1

20 0

20 0

0 0 0 0

2

2y y y

z z z

y z yz y z

I I z S z A

I I y S y A

I I y S z S y z A

⎫= − ⋅ + ⋅⎪

= − ⋅ + ⋅ ⎬⎪= − ⋅ − ⋅ + ⋅ ⎭

(4.17)

Dacă axele y şi z sunt axe centrale, O C≡ , atunci 0yS = , 0zS = şi din relaţiile (4.17) rezultă:

1

1

1 1

20

20

0 0

y y

z z

y z yz

I I z A

I I y A

I I y z A

⎫= + ⋅⎪

= + ⋅ ⎬⎪= + ⋅ ⎭

(4.18)

Relaţiile (4.18) reprezintă relaţiile STEINER: momentul de inerţie calculat faţă de o axă este egal cu momentul de inerţie în raport cu axa paralelă ce trece prin centrul de greutate plus produsul dintre aria suprafeţei şi pătratul distanţei dintre axe.

Pentru momentul de inerţie centrifugal se adaugă produsul dintre aria suprafeţei şi distanţele la axe. Dacă se cunosc momentele de inerţie în raport cu un sistem oarecare de axe, se pot afla din (4.18) momentele de inerţie faţă de sistemul de axe paralel cu acesta ce trece prin centrul de greutate:

1

1

1 1

20

20

0 0

y y

z z

y z y z

I I z A

I I y A

I I y z A

⎫= − ⋅⎪⎪= − ⋅ ⎬⎪= + ⋅ ⎪⎭

(4.19)

OBSERVAŢIE Pentru utilizarea relaţiilor STEINER în cazul suprafeţelor compuse, se recomandă folosirea lor în forma (4.20), conform notaţiilor din figura 4.5.

( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( )

0 0

0 0

0 0 0 0

2

2

i i i iy y yy

i i i iz z zz

i i i i iy z y z yy zz

I I A d

I I A d

I I A d d

⎫= + ⋅ ⎪⎪⎪= + ⋅ ⎬⎪⎪= + ⋅ ⋅⎪⎭

(4.20)


52

4.4. MOMENTE DE INERŢIE PENTRU SUPRAFEŢE SIMPLE

Determinarea momentelor de inerţie pentru suprafeţele simple se face prin integrare directă conform relaţiilor de definiţie. Secţiunea dreptunghiulară

,yA

I z dA dA b dz= ⋅ = ⋅∫

22 2

02

22

h h

yh

zI z b dz b+

−

= ⋅ ⋅ = ⋅∫

3

12yb hI ⋅

= , 3

12zh bI ⋅

=

1 1 1 1

2 2

2 2 4y z yz yy zzh b b hI I A d d b h ⋅⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ − ⋅ = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Secţiunea circulară

Întrucât suprafaţa circulară este caracterizată prin

simetrie în raport cu orice axă centrală se va determina

momentul de inerţie polar şi apoi rezultă momentele de inerţie

axiale.

2 ,pA

I r dA dA r dr dϕ= ⋅ = ⋅ ⋅∫

Fig.4.5


53

2 4 4 4

3 34

0 0

24 2 2 2

R

pA

R R DI r dr d d r drπ π πϕ ϕ π= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ = = ⋅∫∫ ∫ ∫

4 4

,32 2 64

pp y z

ID DI I Iπ π= = = =

Secţiunea inelară

( ) ( )4 4

4 41 , 132 2 64

pp y z

ID DI I Iπ πα α= − = = = − , dD

α =

Secţiunea triunghiulară

1

21 1 1 1 1, ,y

A

bI z dA dA b dz b zh

= ⋅ = ⋅ = ⋅∫ , 1

431 1

0 4

h

yb b hI z dzh h

= ⋅ ⋅ = ⋅ ⇒∫

⇒1

3

4yb hI ⋅

=

1 1

232 2

4 2 3y y yyb h b hI I A d h⋅ ⋅ ⎛ ⎞= − ⋅ = − ⋅ ⇒⎜ ⎟

⎝ ⎠

3

36yb hI ⋅

=

2 2

232 1

36 2 3y y yyb h b hI I A d h⋅ ⋅ ⎛ ⎞= + ⋅ = − ⋅ ⇒⎜ ⎟

⎝ ⎠

2

3

12yb hI ⋅

=

Secţiunea semicirculară

4 4

' 12 64 128y

d dI π π= ⋅ =

' '

24 22 1 2

128 2 4 3y y yy

d d dI I A d π ππ

⎛ ⎞= − ⋅ = − ⋅ ⋅⎜ ⎟⎝ ⎠

40.00686yI d≅ ⋅

4

128zdI π

=


54

4.5. VARIAŢIA MOMENTELOR DE INERŢIE CU ROTAŢIA AXELOR

Se consideră o suprafaţă plană raportată la sistemul de axe yOz (fig.4.6) şi se presupun cunoscute momentele de inerţie axiale şi momentul centrifugal al suprafeţei faţă de aceste axe:

2 ,yA

I z dA= ⋅∫ 2 ,zA

I y dA= ⋅∫ ,y zA

I yz dA= ⋅∫ (4.21)

Se urmăreşte stabilirea momentelor de inerţie axiale şi a momentului centrifugal faţă de un sistem de axe 1 1y Oz rotit faţă de sistemul yOz cu unghiul α .

Conform relaţiilor de definiţie aceste momente de inerţie au următoarele expresii:

1

21 ,y

A

I z dA= ⋅∫ 1

21 ,z

A

I y dA= ⋅∫ 1 1 1 1y zA

I y z dA= ⋅∫ (4.22)

Legătura între coordonatele unui element de suprafaţă de arie dA , corespunzătoare celor două sisteme de axe este următoarea:

( ) ( )( ) ( )

1

1

sin coscos sin

y z yz z y

α αα α

= ⋅ + ⋅⎧⎪⎨ = ⋅ − ⋅⎪⎩

(4.23)

Folosind expresiile (4.23) se stabilesc relaţiile momentelor de inerţie faţă de axele

1 1y Oz în funcţie de momentele de inerţie faţă de axele yOz :

( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( )

1

2

2 2 2 2

cos sin

cos sin 2sin cos

yA

A A A

I z y dA

z dA y dA yz dA

α α

α α α α

= ⋅ − ⋅ =

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ⋅ + ⋅ − ⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

∫

∫ ∫ ∫

Fig.4.6


55

( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( )

1

2

2 2 2 2

sin cos

sin cos 2sin cos

zA

A A A

I z y dA

z dA y dA yz dA

α α

α α α α

= ⋅ + ⋅ =

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ⋅ + ⋅ + ⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

∫

∫ ∫ ∫

(4.24)

( ) ( )( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )

1 1

2 2 2

2

cos sin sin cos

sin cos sin cos sin

cos

y zA

A A A

A

I z y z y dA

z dA y dA yz dA

yz dA

α α α α

α α α α α

α

= ⋅ − ⋅ + ⋅ =

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ⋅ − ⋅ − ⋅ +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛ ⎞

+ ⋅⎜ ⎟⎝ ⎠

∫

∫ ∫ ∫

∫

Ţinând seama de relaţiile (4.21), expresiile (4.24) se restrâng în forma următoare:

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

1

1

1 1

2 2

2 2

cos sin sin 2

sin cos sin 2

1 1sin 2 sin 2 cos 22 2

y y z y z

z y z y z

y z y z y z

I I I I

I I I I

I I I I

α α α

α α α

α α α

= ⋅ + ⋅ − ⋅

= ⋅ + ⋅ + ⋅

= ⋅ − ⋅ + ⋅

(4.25)

Se aduc relaţiile (4.25) funcţie de argumentul ( )2α , având în vedere relaţiile de transformare:

( ) ( )( )

( ) ( )( )

2

2

1cos 1 cos 221sin 1 cos 22

α α

α α

⎧ = +⎪⎪⎨⎪ = −⎪⎩

(4.26)

şi rezultă:

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

1

1

1 1

cos 2 sin 22 2

cos 2 sin 22 2

sin 2 cos 22

y z y zy yz

y z y zz yz

y zy z yz

I I I II I

I I I II I

I II I

α α

α α

α α

+ −⎧= + ⋅ − ⋅⎪

⎪+ −⎪ = − ⋅ + ⋅⎨

⎪−⎪

= ⋅ + ⋅⎪⎩

(4.27)

OBSERVAŢII 1. Însumând primele două relaţii din (4.27) rezultă:

1 1

.y z y z pI I I I I ct+ = + = = (4.28) Din (4.28) rezultă că suma momentelor de inerţie axiale, calculate faţă de două axe ortogonale nu depinde de poziţia axelor (unghiul α), prin rotaţia axelor rămâne o mărime constantă, egală cu momentul de inerţie polar şi reprezintă invariantul momentelor de inerţie. 2. Momentele de inerţie axiale sunt funcţii de unghiul α şi ca urmare se ia în discuţie funcţia

( )1

2yI α . Prima derivată a funcţiei va fi:


56

( ) ( ) ( )1 sin 2 cos 22 2

y y zy z

dI I II

dα α

α−

= − ⋅ − ⋅ (4.29)

şi ţinând cont de (4.27) se observă că:

( )

1

1 12y

y z

dII

d α= − (4.30)

Pentru analizarea extremelor funcţiei moment de inerţie se anulează prima derivată şi rezultă:

( )

1

1 12y

y z

dII

d α= − ⇒ ( )* 2

2 y z

y z

Itg

I Iα = −

− (4.31)

Întrucât perioada funcţiei tg esteπ , în intervalul de variaţie al argumentului α [0, 2 ]π există două valori pentru care se anulează prima derivată:

* *2α α→ * *22πα π α+ → + (4.32)

Valorile argumentului α , stabilite prin relaţiile (4.31) şi (4.32) definesc două direcţii perpendiculare între ele numite direcţii principale de inerţie. Momentele de inerţie axiale calculate faţă de aceste axe se numesc momente principale de inerţie. În baza relaţiei (4.30), momentul de inerţie centrifugal calculat în raport cu axele principale de inerţie este egal cu zero şi invers dacă momentul de inerţie centrifugal calculat faţă de un sistem de axe este zero, atunci axele sunt principale. Întrucât momentul de inerţie centrifugal este zero atunci când se calculează faţă de un sistem de axe din care cel puţin una este axă de simetrie, rezultă că axa de simetrie este o axă principală de inerţie. Dacă se discută funcţia ( )2zI α , se stabilesc aceleaşi valori ale argumentului α pentru care funcţia moment de inerţie admite extreme, deci se stabilesc aceleaşi direcţii principale de inerţie. 3. Stabilirea momentelor principale de inerţie se realizează din relaţiile (4.27) şi (4.31):

( ) ( )( ) ( )

**

22 * 2

2 2sin 2

1 2 4

y z

y z y z

tg I

tg I I I

αα

α

⋅= ± =

+ − + ⋅m

( )( ) ( )

*

22 * 2

1cos 21 2 4

y z

y z y z

I I

tg I I Iα

α

−= ± = ±

+ − + ⋅

Rezultă:

( )2 21,2

1 42 2

y zy z y z

I II I I I

+= ± − + ⋅ (4.33)

unde: - pentru semnul (+) se obţine momentul de inerţie maxim 1I , - pentru semnul (-) se obţine momentul de inerţie minim 2I . 4. Analiza naturii extremelor funcţiei moment de inerţie se face cu ajutorul derivatei a doua:

( )( ) ( )

( ) ( ) ( )

1

2

2 cos 2 sin 222

cos 22 2

2

y y zy z

y z y z

d I I II

d

I I I tg

α αα

αα

−= − ⋅ + ⋅ =

⎡ ⎤= − ⋅ − − ⋅⎣ ⎦

(4.34)

Pentru *α se obţine:


57

( )

( ) ( ) ( )1

*

*2*

2

cos 22 2

22y

y z y z

dII I I tg

dα α

αα

α=

⎡ ⎤= − ⋅ − − ⋅⎣ ⎦ (4.35)

şi ţinând seama de (4.31) rezultă:

( )

( ) ( )

( ) ( )

1

*

*2

2

*2

cos 2 22

22

cos 2 1 42

y y zy z y z

y z

y z y zy z

dI II I I

I Id

I I II I

α α

α

α

α=

⎡ ⎤⎛ ⎞= − ⋅ − − ⋅ − =⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟−⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

⎡ ⎤= − ⋅ ⋅ − +⎣ ⎦−

(4.36)

Se notează în (4.36): ( )2 21 42 y z y zC I I I⎡ ⎤= ⋅ − +⎣ ⎦ şi în final derivata a doua a funcţiei

moment de inerţie are forma:

( )

( )1

*

*22

2

cos 2

2y

y z

dIC

I Idα α

α

α=

= − ⋅−

(4.37)

Concluzii

• Dacă ( )

1

*

2

2 02

ydI

dα α

α=

< funcţia ( )1

2yI α admite un maxim pentru *α şi deci:

*1 1Iα α= → , *

2 22Iπα α+ = → .

• Dacă ( )

1

*

2

2 02

ydI

dα α

α=

> funcţia ( )1

2yI α admite un minim pentru *α şi deci:

*1 12

Iπα α+ = → , *2 2Iα α= → .

Axa principală 1 face întotdeauna cel mai mic unghi cu axa faţă de care momentul de inerţie axial are cea mai mare valoare. Dacă y zI I> axele principale sunt dispuse astfel:

*1 2, Iα α→ *

2 2,2

Iπα α+ → (4.38)

1 2α α< 5. În raport cu orice punct din planul unei suprafeţe plane se pot determina axe principale şi se pot calcula momente principale de inerţie. Pentru secţiunile transversale ale barelor un interes deosebit îl prezintă momentele principale centrale

de inerţie, adică momentele calculate faţă de axele principale ce trec prin centrul de greutate al secţiunii transversale. 6. Relaţiile (4.27) permit stabilirea momentelor de inerţie în raport cu două axe ortogonale în

funcţie de momentele principale de inerţie. Se cunosc: 1 2, ,I I α şi se stabilesc:


58

, ,y z y zI I I

( )

( )

( )

1 2 1 2

1 2 1 2

1 2

cos 22 2

cos 22 2

sin 22

y

z

y z

I I I II

I I I II

I II

α

α

α

+ −⎧ = + ⋅⎪⎪

+ −⎪ = − ⋅⎨⎪

−⎪ = ⋅⎪⎩

(4.39)

4.6. MOMENTE DE INERŢIE PENTRU SUPRAFEŢE COMPUSE În cazul suprafeţelor compuse din elemente simple pentru care se cunosc ariile şi centrele de greutate, iar momentele de inerţie faţă de axele lor centrale se pot calcula uşor, momentul de inerţie pentru întreaga secţiune se determină ca suma momentelor de inerţie ale elementelor componente în raport cu axa faţă de care se calculează momentul de inerţie. Astfel conform fig. 4.7 se obţine:

1

2 2 2

i

yA A A

I z dA z dA z dA= = + + +∫ ∫ ∫L L , ( ) ( )1 iy y yI I I= + + +L L

şi rezultă:

( )

( )

( )

iy y

iz z

iyz yz

I I

I I

I I

⎫=⎪⎪= ⎬⎪= ⎪⎭

∑∑∑

(4.40)

Etapele ce se parcurg în stabilirea momentelor principale centrale de inerţie pentru

suprafeţele compuse (fig.4.8): · Se împarte secţiunea în elemente simple.

Fig.4.7

Fig.4.8


59

· Se stabileşte un sistem de referinţă faţă de care se calculează coordonatele centrului de greutate:

'

i iC

i

A yy

A= ∑∑

, '

i iC

i

A zz

A= ∑∑

· Se definesc axele centrale y şi z faţă de care trebuie calculate momentele de inerţie: , ,y z y zI I I .

· În centrul de greutate al fiecărui element component se fixează axele proprii ( paralele cu axele centrale) faţă de care se poate calcula uşor momentele de inerţie sau sunt date în tabele.

· Se calculează: ( )i

y yI I=∑ , ( )iz zI I=∑ , ( )i

y z y zI I=∑ ,

unde ( ) ( ) ( ), ,i i iy z y zI I I se stabilesc prin relaţiile Steiner:

( ) ( ) ( ) ( )( )0 0

2i i i iy y y yI I A d= + ⋅

( ) ( ) ( ) ( )( )0 0

2i i i iz z z zI I A d= + ⋅

( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 0 0 0

i i i i iy z y z y y z zI I A d d= + ⋅ ⋅

în care: 0

0

'

'

y y i c

z z i c

d z z

d y y

⎧ = −⎪⎨

= −⎪⎩

· Se definesc axele principale centrale de inerţie şi se calculează momentele principale.

( )2

2 y z

y z

Itg

I Iα = −

−, ( )2 2

1,21 4

2 2y z

y z y z

I II I I I

+= ± ⋅ − +

4.7. MODULE DE REZISTENŢĂ Modulul de rezistenţă axial al unei suprafeţe reprezintă raportul dintre momentul de inerţie axial al suprafeţei, calculat faţă de o axă centrală de inerţie şi distanţa maximă de la marginea secţiunii la axa respectivă:

max

yy

IW

z= ,

max

zz

IWy

= 3L⎡ ⎤⎣ ⎦ (4.41)

Modulele de rezistenţă axiale pentru suprafeţele simple: • dreptunghi ( )b h× :

2

6yb hW ⋅

= , 2

6zh bW ⋅

=

• cerc de diametru d :

3

32y zdW W π

= =

• inel de diametre ,d D :

dD

α = , ( )3

4132y zDW W π α= = ⋅ −


60

Fig.4.9

Modulul de rezistenţă polar se defineşte pentru suprafaţa circulară sau inelară ca fiind raportul dintre momentul de inerţie polar şi raza maximă:

( )

3

34

16

116

pp

p

p

dWIW

R DW

π

π α

== ⇒

= ⋅ −

4.8. RAZE DE INERŢIE. ELIPSA DE INERŢIE Razele de inerţie sunt caracteristici geometrice definite prin relaţiile:

yy

Ii

A= , z

zIiA

= [ ]L (4.42)

Se pot calcula şi raze de inerţie principale faţă de axele principale centrale de inerţie :

11

IiA

= , 22

IiA

= (4.43)

Elipsa de inerţie

Se consideră o suprafaţă plană, cu axele principale centrale de inerţie 1y ≡ , 2z ≡ (fig. 4.9).

Axa 1Oy face unghiul α cu axa principală centrală de inerţie Oy . Momentul de inerţie al suprafeţei în raport cu această axă se poate exprima funcţie de momentele principale centrale de inerţie: ( ) ( )

1

2 21 2cos sinyI I Iα α= ⋅ + ⋅ (4.44)

Pe axa 1Oy se consideră un punct astfel încât:

1y

kOMI

= (4.45)

unde k este o constantă arbitrară. Astfel coordonatele punctului M vor fi:

( )1

cosy

kyI

α= ⋅ , ( )1

siny

kzI

α= ⋅ (4.46)

Din relaţiile (4.46) se obţin:

( ) 12 22cos yI

yk

α = ⋅ , ( ) 12 22sin yI

zk

α = ⋅ (4.47)

şi cu aceste exprimări relaţia (4.44) devine:

1 1

1

2 21 22 2

y yy

I II I y I z

k k= ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ , 2 2 2

1 2I y I z k⋅ + ⋅ = (4.48)

Din relaţia (4.48) rezultă că locul geometric al punctului M când axa 1Oy se roteşte

în jurul originii va fi o elipsă. Dacă se alege pentru constanta arbitrară k valoarea particulară:


61

2 2 2

1 2k A i i= ⋅ ⋅ (4.49)

unde: 2 11

IiA

= , 2 22

IiA

= ,

rezultă: 2 1 2I IkA⋅

= (4.50)

În funcţie de (4.50), relaţia (4.48) se poate pune sub forma următoare:

2 2 1 21 2

I II y I zA⋅

⋅ + ⋅ = , 2 2

2 11y z

I IA A

+ =

şi în final rezultă:

2 2

2 22 1

1y zi i

+ = (4.51)

Expresia stabilită (4.51) reprezintă ecuaţia elipsei principale de inerţie a suprafeţei plane, semiaxele ei fiind razele de inerţie 1i şi 2i .

APLICAŢII

0cy = , ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2

2 2 2 2

12 0.5 12 7 6 7 7 13.55.7

12 12 6 7C

t t t t t t t tz t

t t t t⋅ + ⋅ − ⋅ + ⋅

= =+ − +

( ) ( ) ( ) ( )1 2 3 4 4888.08y y y y yI I I I I t= + − + =


62

( ) ( )3

21 212 12 0.5 5.712yt tI t t t⋅

= + ⋅ − , ( ) ( ) ( )3

22 21212 7 5.7

12y

t tI t t t

⋅= + ⋅ −

( ) ( ) ( )3

23 266 7 5.7

12y

t tI t t t

⋅= + ⋅ − , ( ) ( ) ( )

324 27

7 13.5 5.712y

t tI t t t

⋅= + ⋅ −

( ) ( ) ( ) ( )1 2 3 4 4174.08z z z z zI I I I I t= + − + =

( ) ( ) ( )0

31 1 12

12z z

t tI I

⋅= = , ( ) ( ) ( )

0

32 2 12

12z z

t tI I

⋅= = , ( ) ( ) ( )

0

33 3 6

12z z

t tI I

⋅= = ,

( ) ( ) ( )0

34 4 7

12z z

t tI I

⋅= =

Momentele de inerţie principale centrale sunt: 4

1 888,08I t= , 42 174.08I t=


63

CAPITOLUL V

ÎNCOVOIEREA BARELOR DREPTE

5.1 CONSIDERAŢII GENERALE

O grindă dreaptă este solicitată la încovoiere, dacă în secţiunile transversale efectul sarcinilor aplicate se manifestă prin efortul secţional moment încovoietor. În funcţie de poziţia în spaţiu a sarcinilor aplicate, solicitarea de încovoiere poate fi:

• Încovoiere plană, dacă sarcinile aplicate se află într-un singur plan longitudinal, care conţine una din axele principale centrale de inerţie ale tuturor secţiunilor transversale (fig.5.1).

• Încovoiere oblică, dacă sarcinile aplicate se află într-un singur plan longitudinal, care însă nu conţine axele principale centrale de inerţie ale tuturor secţiunilor transversale (fig.5.2).

• Încovoiere strâmbă, dacă sarcinile aplicate se află în plane longitudinale diferite (fig.5.3). În funcţie de natura eforturilor secţionale ce apar în secţiunile transversale, solicitarea de încovoiere poate fi: • Încovoiere pură, atunci când în secţiunile transversale apare numai efortul secţional moment încovoietor. • Încovoiere simplă, atunci când în secţiunile transversale apar eforturile secţionale forţă tăietoare şi moment încovoietor. Încovoierea simplă constituie solicitarea cea mai frecventă de încovoiere, însă încovoierea pură este o stare de solicitare mai rar întâlnită în aplicaţiile tehnice.

Fig.5.1 Fig.5.2

Fig.5.3

Capitolul V Încovoierea barelor drepte

64

Fig.5.5

5.2. TENSIUNI NORMALE LA ÎNCOVOIEREA PURĂ PLANĂ

Se consideră o bară dreaptă (fig. 5.4), de secţiune transversală constantă pe toată lungimea barei, solicitată la încovoiere plană pură: sarcinile aplicate lucrează în planul xOz , efectul lor în secţiunile transversale apare numai prin efortul secţional moment încovoietor

yM . Axa Oz este axă de simetrie pentru bară, dar această ipoteză cu aspect particular

rezultă din demonstraţie ca o condiţie necesară. y iM M⇒ . Ipoteze 1. Materialul barei are o caracteristică liniar-elastică, deci respectă legea lui Hooke, este omogen şi izotrop. 2. Planul sarcinilor aplicate este plan de simetrie. 3. Se consideră că fibrele longitudinale nu se apasă între ele, deci se neglijează compresiunea lor, astfel încât fiecare fibră se află în stare liniară de tensiune şi deci legătura dintre tensiuni şi deformaţii este dată de legea lui Hooke în forma: Eσ ε= ⋅ . 4. Experimental se verifică ipoteza lui Bernoulli. Astfel pe suprafaţa exterioară a modelului experimental se trasează un caroiaj de linii perpendiculare, dispuse la distanţe egale (fig.5.5). Analizând aspectul liniilor de pe suprafaţa exterioară a barei se constată următoarele:

Fibrele longitudinale îşi modifică lungimea: există fibre care îşi măresc lungimea, fibre care îşi micşorează lungimea şi fibre care nu îşi modifică lungimea prin deformaţia de încovoiere. Se constată că secţiunile plane şi perpendiculare pe axa longitudinală a barei rămân şi după deformare plane şi perpendiculare pe axa longitudinală a barei (ipoteza lui Bernoulli). 5. Se neglijează deformarea secţiunii transversale. Datorită contracţiei transversale, secţiunea transversală îşi modifică forma, dar această modificare este neînsemnată şi se poate

neglija. Se detaşează din bară un element infinit mic de lungime dx , la distanţa x de capătul

barei (fig.5.6). Se raportează elementul la sistemul de axe din Rezistenţa materialelor, luând

Fig.5.4


65

originea în dreptul fibrei ce nu îşi modifică lungimea. Se consideră elementul de bară înainte şi după deformare, ca urmare a solicitării la încovoiere.

Elementele ce caracterizează forma deformată a elementului sunt următoarele: C centrul de curbură al fibrei ce nu îşi modifică lungimea, ρ raza de curbură a fibrei ce nu îşi modifică lungimea, dϕ unghiul format între secţiunile transversale ce delimitează elementul după

deformare.

Studiul geometric al deformaţiilor

Se consideră o fibră oarecare, la distanţa z de planul xOy . După solicitarea de încovoiere fibra îşi modifică lungimea cu ( )dxΔ , care se poate exprima astfel:

( )dx z dϕΔ = ⋅ (5.1) Lungimea iniţială a fibrei oarecare este dx şi se poate exprima în funcţie de mărimile

ce caracterizează starea deformată ρ , dϕ , cunoscând că există o fibră ce nu îşi modifică lungimea după deformare, lungimea iniţială fiind desigur tot dx :

dx dρ ϕ= ⋅ (5.2) Cunoscând lungimea iniţială a fibrei oarecare şi modificarea ei după deformaţia din

încovoiere, se poate exprima deformaţia specifică liniară pentru această fibră:

( )dxdx

εΔ

= (5.3)

Ţinând seamă de (5.1) şi (5.2), expresia (5.3) a deformaţiei specifice liniare va fi:

Fig.5.6


66

Fig.5.7

zερ

= (5.4)

Legea fizică (Hooke) Din studiul geometric al deformaţiilor s-a stabilit deformaţia specifică liniară, care este

efectul solicitării de încovoiere. Legătura între tensiuni şi deformaţii este realizată de legea fizică, legea lui Hooke, pentru starea de tensiune corespunzătoare fibrelor solicitate la încovoiere:

Eσ ε= ⋅ (5.5) Din (5.4) şi (5.5) se obţine:

E zσρ

= ⋅ (5.6)

În relaţia stabilită (5.6) modulul de elasticitate longitudinal E şi raza de curbură ρ a elementului analizat sunt constante. Rezultă astfel că tensiunea normală variază liniar funcţie de coordonata z a punctului din secţiune în care se calculează această tensiune şi se poate

trasa diagrama de variaţie a tensiunii normale. Se constată astfel că tensiunile normale sunt zero în dreptul fibrelor ce îşi păstrează lungimea, fibre ce se află în planul xOy , plan care se numeşte plan neutru.

Intersecţia planului neutru cu secţiunea transversală a grinzii se realizează după axa Oy care se numeşte axă neutră, ea reprezentând locul geometric al punctelor din secţiunea transversală în dreptul cărora tensiunea normală este egală cu zero. Planul neutru împarte grinda în două zone: dacă momentul încovoietor este pozitiv, ca în cazul analizat, fibrele de deasupra planului neutru sunt solicitate la compresiune

0σ < , iar cele de sub planul neutru sunt solicitate la întindere 0σ > .

Tensiunile maxime apar în punctele cele mai îndepărtate de axa neutră, pentru maxz :

max maxE zσρ

= ⋅ (5.7)

Ecuaţii de echivalenţă Se consideră o secţiune transversală din bara solicitată la încovoiere pură plană (fig. 5.7). În fiecare punct din secţiunea transversală există tensiuni normale σ . Rezultanta tensiunilor normale de pe un element de suprafaţă dA este forţa elementară de valoare dAσ ⋅ . Elementele torsorului tuturor forţelor elementare dAσ ⋅ , corespunzătoare elementelor de suprafaţă dA în care s-ar descompune secţiunea transversală, torsor efectuat în punctul O reprezintă eforturile secţionale.

Tensiunile şi eforturile sunt mărimi static echivalente, ele constituind două moduri de reprezentare ale forţelor interioare de pe o secţiune transversală a barei.

Întrucât forţele elementare dAσ ⋅ reprezintă un sistem de sarcini paralele în spaţiu se pot stabili numai trei ecuaţii de echivalenţă: de proiecţie pe axa Ox şi de momente în raport cu axele Oy şi Oz .

Trebuie reamintit că singurul efort secţional existent în secţiunea transversală este momentul încovoietor y iM M→ .

Ecuaţiile de echivalenţă sunt:


67

( ) 0xA

F dAσ⇒ ⋅ =∑ ∫ (5.8)

( ) ( ) 0zA

M dA yσ⇒ ⋅ ⋅ =∑ ∫ (5.9)

( ) ( ) iyA

M dA z Mσ⇒ ⋅ ⋅ =∑ ∫ (5.10)

Ţinând seamă de expresia (5.6) pentru tensiunea normală, ecuaţiile de echivalenţă (5.8), (5.9), (5.10) se prelucrează şi se stabilesc următoarele concluzii:

•Din (5.8):

0y yA A

E EdA z dA S Sσρ ρ

⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⇒ =∫ ∫ (5.11)

Din (5.11) rezultă că momentul static al secţiunii transversale în raport cu axa Oy este zero, deci axa neutră trece prin centrul de greutate al secţiunii transversale, O C≡ .

Fibra care îşi păstrează lungimea şi care trece prin centrele de greutate ale tuturor secţiunilor transversale se numeşte fibră medie (fig.5.8).

• Din (5.9):

( ) 0y z y zA A

E EdA y y z dA I Iσρ ρ

⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⇒ =∫ ∫ (5.12)

Din (5.12) rezultă că axele Oy şi Oz sunt axe principale centrale de inerţie. În cazul încovoierii plane această condiţie este îndeplinită (în ipoteza s-a considerat axa Oz axă de simetrie). • Din (5.10) se obţine:

( ) 2 2,yi y

A A A

E IEdA z z dA M I z dAσρ ρ

⋅⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = = = ⋅∫ ∫ ∫ (5.13)

şi rezultă: 1 i

y

ME Iρ

=⋅

(5.14)

unde: 1ρ

este curbura fibrei medii deformate;

yE I⋅ este rigiditate de încovoiere. Dacă .iM ct= , .yE I ct⋅ = şi raza de curbură .ctρ = atunci fibra medie deformată este un arc de cerc.

Din (5.6) şi (5.14) se obţine:

Fig.5.8


68

Fig.5.9

i

y

M zI

σ ⋅= (5.15)

care reprezintă relaţia Navier cu ajutorul căreia se calculează tensiunea normală în orice punct al secţiunii transversale şi arată că tensiunea normală din încovoiere este o funcţie liniară de distanţa punctului la axa neutră. Tensiunea normală are valoare maximă în punctele cele mai îndepărtate de axa neutră caracterizate prin maxz z= :

maxmax

i i

y y

M z MI W

σ ⋅= = (5.16)

unde: max

yy

IW

z= reprezintă modulul de rezistenţă axial al secţiunii transversale în care maxz

nu se ia cu sensul corespunzător sistemului de axe. Pentru un caz general (fig.5.9) relaţia Navier se aplică astfel:

1max

i

y

M zI

σ ⋅= , 2

mini

y

M zI

σ ⋅= − (5.17)

Dacă se notează:

1

1

yy

IW

z= ,

22

yy

IW

z= (5.18)

tensiunile normale din fibrele extreme vor fi:

1

maxi

y

MW

σ = , 2

mini

y

MW

σ = − (5.19)

Cunoscând rezistenţele admisibile ale materialului la întindere ( )aσ şi la compresiune

( )acσ , tensiunile efective maxime şi minime trebuie să îndeplinească condiţiile de rezistenţă: max aσ σ≤ , min acσ σ≤ (5.20)

Dacă materialul are aceeaşi rezistenţă admisibilă la întindere şi compresiune cele două relaţii se reduc la una singură: max aσ σ≤ (5.21) Astfel se obţine relaţia generală de verificare la încovoiere:

maxi

ay

MW

σ σ= ≤ (5.22)

Atunci când secţiunea transversală este simetrică în raport cu axa Oy :

1 2y yW W= şi rezultă:

maxmin

i

y

MW

σ = ± (5.23)

OBSERVAŢII 1. Deşi relaţia Navier este stabilită pentru cazul încovoierii pure, se poate aplica şi în cazul încovoierii simple. 2. Relaţia Navier se aplică pentru orice secţiune transversală cu precizarea că momentul încovoietor trebuie să fie dirijat după o axă principală centrală de inerţie.


69

Fig.5.11

În fig. 5.10 este prezentată aplicarea relaţiei Navier şi variaţia semnului tensiunii normale în secţiunea transversală pentru cele două cazuri de încovoiere cu yM şi zM , axele y şi z sunt axe principale centrale de inerţie. 3. Variaţia tensiunilor normale pentru punctele de pe conturul secţiunii transversale se prezintă în fig. 5.11.

4. Calculele de rezistenţă la încovoiere se conduc pentru secţiunea periculoasă, în care tensiunea normală maximă are cea mai mare valoare.Relaţiile de calcul la încovoiere pentru rezolvarea problemelor Rezistenţei materialelor sunt: • verificare:

maxi

ay

MW

σ σ= ≤

• dimensionare: inecy

a

MW

σ= (5.24)

• calculul momentului încovoietor capabil:

capi y aM W σ= ⋅

5. La secţiunile compuse modulele de rezistenţă nu se pot calcula, în general, prin însumarea modulelor de rezistenţă ale suprafeţelor componente. Cu modulele de rezistenţă nu se efectuează operaţii ca cele de la momentele de inerţie: se stabileşte poziţia centrului de greutate, se calculează momentul de inerţie al secţiunii faţă de axa neutră yI , se stabileşte

maxz şi modulul de rezistenţă este: max

yy

IW

z= .

Caz particular:

0

2y yI I= , maxmax

,2

yy

I hW zz

= =

0

02 2

2

yy y

II Wh= ⋅ = ⋅ , 0

0

2

yy

IW h=

Fig.5.10


70

Fig.5.12

Fig.5.13

6. Dacă în secţiunea transversală a barei există un concentrator de tensiune (fig.5.12), se modifică distribuţia tensiunilor normale, relaţia Navier dă numai valoarea tensiunii "nominale" nσ . Tensiunea maximă se stabileşte funcţie de tensiunea nominală nσ şi coeficientul teoretic de concentrare kα :

maxi

k n ky

MW

σ α σ α= ⋅ = ⋅ (5.25)

Coeficientul teoretic de concentrare este stabilit în funcţie de natura concentratorului. Efectul de concentrare este cu atât mai puternic cu cât variaţia de dimensiune este mai bruscă şi materialul mai fragil. 7. Forme raţionale de secţiune la încovoiere. Analizând relaţia Navier se poate aprecia că o grindă

rezistă mai bine la solicitarea de încovoiere cu cât modulul de rezistenţă are o valoare mai mare. Dar valoarea modulului de rezistenţă depinde de mărimea şi forma secţiunii transversale a grinzii. Forma secţiunii transversale poate fi considerată cu atât mai raţională cu cât modulul de rezistenţă are o valoare mare pentru un consum minim de material. Raţionalitatea secţiunii transversale poate fi exprimată prin raportul yW A , secţiunea este economică cu cât raportul are o valoare mai mare. Exemple: OBSERVAŢII 1. Secţiunile ,U I sunt mai raţionale decât secţiunile Ο, , întrucât repartiţia materialului în secţiune urmăreşte distribuţia tensiunii normale. 2. Secţiunile U, I au faţă de axa centrală z module de rezistenţă mai mici decât faţă de axa y

( )y zW W≥ , deci grinda rezistă mai puţin la încovoiere după axa Oz . Ca urmare profilele se vor aşeza astfel încât planul forţelor să fie planul xOz şi momentul încovoietor să aibă direcţia axei Oy . 3. Secţiunea circulară prezintă avantajul că rezistă la fel debine în raport cu orice axă centrală şi se foloseşte în special la arbori: forţele îşi păstrează de obicei poziţia în spaţiu, dar arborele se roteşte şi deci trebuie să reziste la fel după toate direcţiile. Din punct de vedere al rezistenţei la încovoiere secţiunea inelară este mai raţională decât cea circulară plină.


71

4. În cazul materialelor ce rezistă mai bine la compresiune decât la tracţiune (fonta), sunt raţionale secţiunile nesimetrice faţă de axa neutră. Este foarte importantă aşezarea secţiunii astfel încât tensiunile cele mai mari să fie de compresiune (fig. 5.13). 5600 10ac Paσ = ⋅ , 5200 10at Paσ = ⋅

Impunerea condiţiilor de rezistenţă conduce la stabilirea dimensiunilor optime ale secţiunii astfel încât tensiunile maxime să fie egale cu cele admisibile:

( )

( )

11

22

iat

y

iac

y

M zI

M zI

σ σ

σ σ

⋅= ≤

⋅= ≤

⇒ 1

2

at

ac

zz

σσ

= (5.26)

5. Raţionalitatea secţiunii este mai mare la înălţimi "h" mai mari, dar în proiectare nu se pot alege înălţimi excesive întrucât există pericolul de apariţie a fenomenelor de instabilitate legate de pierderea formei plane de echilibru. Un exemplu de obţinere a eficienţei prin creşterea înălţimii îl constituie grinzile expandate obţinute prin tăierea profilelor laminate I şi resudarea lor (fig. 5.14).

Pentru materialele care se comportă identic la întindere şi compresiune, secţiunile cele

mai raţionale sunt cele simetrice în raport cu axa neutră. În fibrele extreme tensiunea normală are aceeaşi valoare şi deci condiţia aσ σ= este

realizată simultan în aceste puncte (fig.5.15).

Fig.5.14

Fig.5.15 fig.5.16


72

Pentru grinzi cu încărcări mari se alcătuiesc profile I compuse, sudate sau nituite, astfel încât materialul să fie dispus cât mai departe de axa neutră (fig.5.16). 5.3 GRINZI NEOMOGENE ALCĂTUITE DIN DOUĂ MATERIALE DIFERITE În practică apar multe situaţii de grinzi alcătuite din materiale cu proprietăţi de deformabilitate diferite. Astfel se consideră o grindă, de secţiune dreptunghiulară (fig.5.17) realizată din două materiale diferite.

Materialele au modulele de elasticitate 1 2E E≥ şi prezintă solidarizări ce asigură comportarea ca un tot unitar al secţiunii.

Întrucât secţiunea se comportă ca un tot unitar, este valabilă ipoteza secţiunilor plane şi desigur deformaţiile specifice liniare sunt date de relaţia:

zερ

= (5.27)

Pe baza legii lui Hooke, se pot defini tensiunile normale corespunzătoare celor două zone de materiale diferite, dacă se notează cu 0z distanţa ce fixează poziţia axei neutre (poziţia axei neutre nu este cunoscută):

0z z≥ 1 1

zE Eσ ερ

= ⋅ = ⋅ (5.28)

0z z≤ 2 2

zE Eσ ερ

= ⋅ = ⋅ (5.29)

Se consideră ecuaţia de echivalenţă ce reprezintă rezultanta forţelor elementare dAσ ⋅ :

A

N dAσ= ⋅∫ (5.30)

care se aplică corespunzător celor două zone de materiale diferite, utilizând relaţiile (5.28) şi (5.29):

1 2 1 2

1 2 1 2

1

0A A A A A

E E E EdA z dA z dA z dA z dAE

σρ ρ ρ

⎡ ⎤⋅ = ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ = ⋅ + ⋅ ⋅ =⎢ ⎥

⎢ ⎥⎣ ⎦∫ ∫ ∫ ∫ ∫

(5.31) Se consideră o secţiune de calcul (fig. 5.17), de arie CA cu următoarele caracteristici:

Fig.5.17


73

0

20

1

,

,

C

C

z z b bEz z b bE

≥ =

≤ = ⋅ (5.32)

Pentru secţiunea reală se consideră: dA b dz= ⋅ , iar pentru secţiunea de calcul rezultă: C CdA b dz= ⋅ (5.33) Ţinând seamă de relaţiile (5.32), relaţia (5.33) devine:

0

2 20

1 1

C

C

z z dA b dz dAE Ez z dA b dz dAE E

≥ → = ⋅ =

≤ → = ⋅ ⋅ = ⋅ (5.34)

În baza expresiilor (5.34), ecuaţia de echivalenţă (5.31) se transformă astfel, dacă 1 0Eρ≠ :

1 2

0C

C C C

C C C yA A A

z dA z dA z dA S⋅ + ⋅ = ⋅ = =∫ ∫ ∫ (5.35)

Conform relaţiei (5.35) rezultă că axa neutră trece prin centrul de greutate al secţiunii de calcul. Ecuaţia de echivalenţă ce reprezintă suma momentelor forţelor elementare dAσ ⋅ în raport cu axa Oz, este îndeplinită datorită simetriei. Se prelucrează ecuaţia de echivalenţă ce reprezintă suma momentelor forţelor elementare dAσ ⋅ în raport cu axa Oy:

1 2 1 2

1 2

2 21 2

1

2 2 21 1

C C C

iA A A A

C C CA A A

E EM z dA z dA z dA z dAE

E Ez dA z dA z dA

σ σρ

ρ ρ

⎛ ⎞= ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ =⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠⎛ ⎞

= ⋅ ⋅ + ⋅ = ⋅ ⋅⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

∫ ∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫

(5.36) În relaţia (5.36) se notează: 2

C

C

y CA

I z dA= ⋅∫ (5.37)

momentul de inerţie al secţiunii de calcul în raport cu axa Oy. Cu notaţia (5.37), se obţine din ecuaţia de echivalenţă (5.36) curbura fibrei medii deformate:

1

1

C

i

y

ME Iρ

=⋅

(5.38)

Ţinând seamă de relaţia (5.38), se pot stabili din (5.28) şi (5.29) tensiunile normale în bara reală:

0z z≥ Cy

M zI

σ = ⋅ (5.39)

0z z≤ 2

1 Cy

E M zE I

σ = ⋅ ⋅ (5.40)

Generalizând relaţiile (5.35) şi (5.38) pentru orice tip de secţiune, se va observa că pentru determinarea poziţiei axei neutre şi a curburii, calculul se conduce ca şi la secţiunile omogene însă pe secţiunea de calcul, iar tensiunile se stabilesc cu relaţiile (5.39) şi (5.40).


74

Fig.5.18

5.4 TENSIUNI TANGENŢIALE LA ÎNCOVOIEREA SIMPLĂ A BARELOR DREPTE

În cazul încovoierii simple a barelor drepte, efectul sarcinilor aplicate apare la nivelul punctelor din secţiunile transversale prin tensiunile: xσ , xyτ , xzτ (fig.5.18). OBSERVAŢII

• Pentru barele ce îndeplinesc condiţia 14

hl≤ se admite că

forţa tăietoare are influenţă neglijabilă asupra tensiunilor xσ , care se stabilesc cu relaţia Navier.

• Dacă 14

hl> erorile ce apar prin acceptarea ipotezei

secţiunilor plane cresc şi determinarea tensiunilor trebuie făcută utilizând metodele Teoriei elasticităţii. • Se urmăreşte stabilirea tensiunilor tangenţiale xyτ şi xzτ produse de forţele tăietoare în cazul barelor ce respectă

condiţia 14

hl≤ .

• Se analizează cazul secţiunilor simetrice în raport cu planul în care este conţinut vectorul forţă tăietoare, de exemplu planul xOz , deci axa z este axă de simetrie şi implicit axă principală centrală de inerţie. • Datorită simetriei tensiunile tangenţiale în secţiune sunt diferite de zero şi trebuie să satisfacă ecuaţiile de echivalenţă:

0y xyA

T dAτ= ⋅ =∫ (5.41)

z xzA

T dAτ= ⋅∫ (5.42)

( ) 0x xz xyA

M y z dAτ τ= ⋅ − ⋅ ⋅ =∫ (5.43)

Ecuaţiile de echivalenţă nu sunt suficiente pentru a determina componentele tensiunii tangenţiale şi distribuţia lor. Soluţionarea problemei necesită unele ipoteze suplimentare. Ipoteze Se consideră o grindă solicitată la încovoiere simplă (fig.5.19) în următoarele condiţii: 1. Materialul grinzii are o caracteristică liniar-elastică, deci respectă legea lui Hooke.

Fig.5.19


75

2. Secţiunea transversală a grinzii este constantă pe lungime şi simetrică faţă de axa z, deci axa z este o axă principală centrală de inerţie. 3. Forţa tăietoare este dirijată în lungul axei principale centrale de inerţie, zT . Din grinda solicitată la încovoiere simplă se izolează un element infinit mic, de lungime dx , cuprins între secţiunile notate I şi II (fig.5.20). În secţiunile ce delimitează elementul se aplică eforturile secţionale corespunzătoare, forţa tăietoare şi momentul încovoietor, ţinând însă seamă de relaţia diferenţială dintre aceste eforturi secţionale:

yz

dMT

dx= şi astfel:

,

,z y

z y y

I T M

II T M dM

⇒

⇒ +

Momentele încovoietoare din secţiunile I şi II produc tensiuni normale distribuite

conform relaţiei Navier:

yy x

y

M zM

Iσ

⋅→ = (5.44)

y y x xM dM dσ σ+ → + (5.45) creşterea tensiunilor fiind datorată creşterii momentului încovoietor. Forţele tăietoare se dezvoltă în secţiunile transversale prin tensiuni tangenţiale, repartizate pe toată suprafaţa secţiunii transversale.

Pentru stabilirea repartiţiei tensiunilor tangenţiale în secţiune este necesar să se definească orientarea tensiunilor tangenţiale în punctele de pe conturul secţiunii cât şi în punctele secţiunii transversale.

Orientarea tensiunilor tangenţiale în punctele de pe conturul secţiunii transversale. În punctele de pe conturul secţiunii transversale, tensiunea tangenţială totală τ de direcţie

Fig.5.20


76

Fig.5.23

arbitrară se poate descompune în două componente: tτ , pe direcţia tangentei la contur, nτ , pe direcţia normalei la contur, (fig.5.21).

Proprietatea de dualitate a tensiunilor tangenţiale: dacă într-un plan din interiorul unui corp solid solicitat există o tensiune tangenţială, atunci este necesar ca şi într-un plan perpendicular pe acesta să existe o tensiune tangenţială de aceeaşi valoare. Cele două tensiuni sunt dispuse simetric faţă de muchia comună a celor două plane şi perpendicular pe această muchie (fig.5.22).

Conform proprietăţii de dualitate a tensiunilor tangenţiale pe suprafaţa laterală a grinzii ar trebui să existe o tensiune tangenţială lτ egală cu componenta normalei nτ . Întrucât pe suprafaţa laterală a grinzii nu există încărcări longitudinale care să echilibreze această tensiune, rezultă că: 0n tτ τ= = Astfel în dreptul punctelor de pe conturul secţiunii transversale, tensiunea tangenţială de pe elementele de suprafaţă din secţiunea transversală este orientată după direcţia tangentei la conturul secţiunii transversale. În secţiunea transversală a grinzii se consideră o linie BC (fig.5.23), paralelă cu axa neutră Oy şi la distanţa z de această axă. În punctele B şi C de pe contur tensiunile tangenţiale sunt tangente la contur. Folosind acest rezultat şi ţinând seama că secţiunea transversală are axa Oz axă de simetrie, tensiunile tangenţiale din punctele B şi C ale

dreptei paralele la axa neutră se întâlnesc într-un punct J de pe axa Oz . Referitor la tensiunile tangenţiale din punctele dreptei BC , aflată la distanţa z de axa neutră, Juravski cel care a stabilit distribuţia tensiunilor tangenţiale la încovoierea simplă, admite două ipoteze: 1. Direcţia tensiunii tangenţiale din orice punct curent D al dreptei BC trece prin punctul J , punct de intersecţie al tangentelor la contur în B şi C cu axa de simetrie. 2. Tensiunile tangenţiale xzτ , paralele cu forţa tăietoare din secţiune, sunt distribuite uniform pe linia BC paralelă cu axa neutră.

Cea de a doua ipoteză suplimentară aproximează cu atât mai bine distribuţia reală a tensiunii xzτ cu cât lăţimea secţiunii este mai redusă. Dacă se stabileşte legea de variaţie

Fig.5.22

Fig.5.21


77

a tensiunilor tangenţiale xzτ în secţiunea transversală, se pot stabili uşor tensiunea tangenţială totală τ şi componenta xyτ :

( )xy xz tgτ τ α= ⋅ (5.46)

( )cosxzττα

= (5.47)

unde α este unghiul direcţiei DJ cu axa Oz. Pe baza ipotezei a doua şi a relaţiei (5.46) se poate trasa variaţia tensiunilor tangenţiale

xzτ şi xyτ pe linia BC , deci pe linia .z ct= Se urmăreşte stabilirea relaţiei de calcul pentru tensiunea tangenţială xzτ şi în acest scop, în elementul infinit mic considerat, se face o secţiune longitudinală după planul , ,BCB C paralel cu planul xOy şi la distanţa z de acesta. Se studiază echilibrul unuia din cele două elemente obţinute, de obicei se consideră partea de element situată sub planul , ,BCB C (fig.5.24).

Pe feţele elementului izolat se aplică efectul părţii îndepărtate, care se manifestă astfel:

1) în secţiunea I apar: • tensiunea tangenţială xzτ

• tensiunile normale xσ care dau o rezultantă notată cu X

1 1 1

y yx

y yA A A

M z MX dA dA z dA

I Iσ

⋅= ⋅ = ⋅ = ⋅ ⋅∫ ∫ ∫ (5.48)

Fig.5.24


78

Se notează: 1

yA

S z dA= ⋅∫ . (5.49)

unde: yS reprezintă momentul static faţă de axa neutră al ariei 1A adică al părţii din secţiunea transversală care tinde să lunece.

Elementele cu suprafaţa comună , ,BCB C tind să lunece unul faţă de celălalt atunci când planul , ,BCB C este plan de separare efectiv în grindă. Astfel rezultă:

yy

y

SX M

I= ⋅ (5.50)

2) Pe faţa , ,BCB C ' a elementului există conform proprietăţii de dualitate a tensiunilor tangenţiale, tensiunea tangenţială zx xzτ τ= , constantă pe lăţimea BC . Se presupune de asemenea că tensiunea tangenţială zxτ este constantă pe lungimea infinitezimală dx a elementului.

3) în secţiunea II apar: • tensiunea tangenţială zx xzτ τ= , conform proprietăţii de dualitate a tensiunilor tangenţiale, se numeşte tensiune de lunecare • tensiunile normale x xdσ σ+ , care dau o rezultantă X dX+

Rezultanta tensiunilor normale ( )X dX+ se obţine diferenţiind relaţia (5.50), ţinând

seamă că yz

dMT

dx= şi că yS şi yI sunt independente de x , ca urmare a ipotezei că bara este

de secţiune constantă:

y yy z

y y

S SdX dM T dx

I I= ⋅ = ⋅ ⋅ (5.51)

şi se obţine:

y yy z

y y

S SX dX M T dx

I I+ = ⋅ + ⋅ ⋅ (5.52)

După aplicarea efectului părţilor îndepărtate, elementul considerat (fig.5.24) este în echilibru şi se scrie ecuaţia de proiecţie pe direcţia axei x a tuturor forţelor aplicate elementului:

( ) 0zx yb dx X X dXτ + − + = (5.53) din care rezultă:

zxy

dXb dx

τ =⋅

(5.54)

Ţinând seamă de relaţia (5.51), se obţine relaţia finală a tensiunii tangenţiale zxτ :

z yzx

y y

T Sb I

τ = (5.55)

care reprezintă relaţia Juravski. Pentru aplicarea cu uşurinţă a relaţie Juravski se recapitulează semnificaţiile termenilor din expresia (5.55):

zT forţa tăietoare din secţiune,

yI momentul de inerţie în raport cu axa neutră al întregii secţiuni,

yb lăţimea secţiunii în punctul unde se calculează tensiunea tangenţială. De exemplu pentru punctul D se duce o dreaptă BC paralelă cu axa neutră şi yBC b= (fig. 5.24),


79

yS momentul static în raport cu axa neutră al părţii din secţiune care tinde să lunece. Partea care tinde să lunece poate fi oricare din ariile 1A sau 2A obţinute prin trasarea liniei

( )BC paralelă cu axa neutră şi care trece prin punctul în care se calculează tensiunea

tangenţială. Se poate lua atât ( )1yS A cât şi ( )2yS A întrucât:

( ) ( ) ( )1 2 0y y yS A S A S A+ = = şi deci: ( ) ( )1 2y yS A S A= OBSERVAŢII 1) Din relaţia Juravski se observă că tensiunile tangenţiale sunt proporţionale cu forţa tăietoare şi orientate pe secţiune în sensul forţei tăietoare. 2) Variaţia tensiunilor tangenţiale pe înălţimea secţiunii, după z , este dată de legea de variaţie a raportului între momentul static yS şi lăţimea secţiunii la nivelul z faţă de axa neutră unde se determină tensiunile tangenţiale. 3) Pentru fibrele extreme yS fiind nul, rezultă că tensiunile tangenţiale sunt egale cu zero. 4) Deşi relaţia Juravski s-a stabilit pentru bare de secţiune constantă ea se poate aplica şi la bare cu variaţii lente ale secţiunilor. 5) Se verifică dacă starea de tensiune caracterizată prin relaţiile (5.46), (5.47), (5.55) satisface ecuaţiile de echivalenţă (5.41), (5.42), (5.43) neutilizate la stabilirea relaţiei Juravski: • Datorită repartiţiei uniforme pe lăţimea secţiunii transversale a tensiunilor tangenţiale

xyτ şi datorită simetriei secţiunii, tensiunile tangenţiale xyτ de pe fiecare fâşie BC au rezultanta nulă. Astfel este îndeplinită prima ecuaţie de echivalenţă (5.41) • Tensiunile xyτ au rezultanta suprapusă axei z şi astfel forţele elementare ( xyτ dA) nu dau moment pe direcţia axei x, deci este îndeplinită şi a treia ecuaţie de echivalenţă (5.43). • Ecuaţia de echivalenţă (5.42) se verifică înlocuind (5.55) în (5.42):

z yz

y yA

T ST dA

b I⋅

= ⋅⋅∫ (5.56)

Dar: ydA b dz= ⋅ şi z

y

TI

este constant în secţiune, ca urmare integrala ce se obţine se poate

rezolva prin părţi întrucât [ ]2 1,z z z∈ − :

1 1

1

22 2

z zzz z

z y y yzy yz z

T TT S dz z S z dSI I −

− −

⎡ ⎤= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ − ⋅⎢ ⎥

⎢ ⎥⎣ ⎦∫ ∫ (5.57)

Momentul static yS este nul în fibrele extreme deci rezultă:

1

20

z

y zzS

−=

Se exprimă: y ydS z dA z b dz= − ⋅ = − ⋅ ⋅ (semnul minus precizează că la creşterea lui , yz S scade) şi din (5.56) rezultă:

1 1

2 2

2 2

y

z zz z

z y zy yz z

I

T TT z b dz z dA TI I− −

= ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =∫ ∫14243


80

Astfel a fost verificată şi a doua ecuaţie de echivalenţă nefolosită în stabilirea relaţiei Juravski.

5.5 VARIAŢIA TENSIUNILOR TANGENŢIALE Secţiunea dreptunghiulară

Deoarece feţele laterale ale secţiunii sunt paralele cu axa Oz, punctul de intersecţie al suporturilor tensiunilor tangenţiale este la infinit (tangentele la contur sunt paralele cu axa Oz).

Astfel rezultă: 0 ,xy xzτ τ τ= = , conform fig. 5.25 se exprimă:

z y

y y

T Sb I

τ⋅

=⋅

unde:

3

22

,

,12

1 .2 2 2 2 4

y

y

y

b b

bhI

h h b hS z b z z z

=

=

⎛ ⎞⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − ⋅ ⋅ + ⋅ − = ⋅ −⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦ ⎝ ⎠

2

2

3 1 42

T zA h

τ⎛ ⎞

= ⋅ ⋅ − ⋅⎜ ⎟⎝ ⎠

Pentru 0z = rezultă: max32

TA

τ = ⋅

Secţiunea circulară

Cu notaţiile din fig. 5.26 se calculează: z yxz

y y

T Sb I

τ⋅

=⋅

Fig.5.25


81

unde: 4 4

64 4yD RI π π⋅ ⋅

= = , 2 22yb R z= − , 1

yA

S dAζ= ⋅∫

Dar

yS se exprimă în funcţie de R şi z astfel:

2 22 2

22

dA b ddA R d

b Rζ

ζ

ζζ ζ

ζ

= ⋅⇒ = − ⋅

= −, [ ],z Rζ ∈ ,

( ) ( )1

2 2 2 2 2 222R R

yz z

S R d R d Rζ ζ ζ ζ ζ= ⋅ − ⋅ = − − ⋅ −∫ ∫

( ) ( )3 3

2 2 2 22 22 23 3

R

yz

S R R zζ= − ⋅ − = ⋅ −

Rezultă:

( )

32 2 2 2

24 4 22 2

23 12

4

z zxz

R zT T zRR R RR z

τπ π

⋅ − ⎛ ⎞= ⋅ = ⋅ ⋅ −⎜ ⎟⋅ ⋅− ⎝ ⎠

2

2

4 13

zxz

T zA R

τ⎛ ⎞

= ⋅ ⋅ −⎜ ⎟⎝ ⎠

şi max 43

zxz

TA

τ = ⋅

Din relaţiile (5.46) şi (5.47) se observă că valorile extreme ale tensiunilor tangenţiale

xyτ şi τ apar pe conturul secţiunii transversale, unde α este maxim. Deoarece:

Fig.5.26


82

( )0 2 2 2

21

z ztgR z zR

R

α = =−

⋅ −

se pot calcula tensiunile tangenţiale xyτ şi τ pe contur:

( )2

0 2

4 13

conturxy xz

T z ztgA R R

τ τ α= ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ − ,

( )( )

( )

12

1 22 2

0 22

2

2 2 22

122 2

2

1 11

4 13

1

conturxz xz

z

ztgzRR

R z zT zA R zR

R

τ τ α τ

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟= ⋅ + = ⋅ + =⎜ ⎟⎛ ⎞

⋅ −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

− +⎛ ⎞= ⋅ ⋅ − ⋅⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎛ ⎞⋅ −⎜ ⎟⎝ ⎠

2

2

4 13

contur T zA R

τ = ⋅ ⋅ − .

Pentru tensiunea tangenţială conturxyτ se poate arăta ca valoarea maximă se obţine la

2Rz = , iar tensiunea tangenţială totală conturτ pentru 0z = este egală cu max

xzτ .

Astfel se pot trasa diagramele de variaţie în secţiunea transversală pentru tensiunile tangenţiale xyτ şi xzτ (fig. 5.26). OBSERVAŢII 1. Datorită aproximărilor introduse prin ipotezele ce stau la baza relaţiei Juravski, distribuţia obţinută pentru tensiunile tangenţiale are şi ea un caracter aproximativ. Studii mai complete arată că tensiunile tangenţiale nu sunt distribuite uniform pe lăţimea secţiunii; astfel, la dreptunghi valoarea maximă pentru xzτ se obţine la extremitatea secţiunii, iar la cerc pe axa de simetrie. 2. Rezultatele sunt mai exacte la secţiunii cu lăţime mică. Practic, pentru secţiuni pline cu

raportul între înălţime şi lăţime supraunitar ( 1hb> ), rezultatele obţinute prin folosirea relaţiei

Juravski se pot considera suficient de corecte. Profilul I

Fig.5.27


83

Aplicând relaţia Juravski în cazul secţiunii I (fig. 5.27), pentru calculul tensiunii tangenţiale xzτ se vor obţine relaţii distincte, după cum linia pe care se face calculul este în inimă sau în talpă:

talpă: 1-1 (2

ihz > )

, ,z y yT I b b=

2

212 2 2 2 2 4yh h h b hS b z z z

⎛ ⎞⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ⋅ − ⋅ − ⋅ − = ⋅ −⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦ ⎝ ⎠

2

2

2 4z

xzy

T h zI

τ⎛ ⎞

= ⋅ −⎜ ⎟⋅ ⎝ ⎠

inimă: 2-2 (2

ihz ≤ )

, ,z y y iT I b b=

12 2 2 2 2

i i iy i

h h htS b t z b z z⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ⋅ ⋅ + + − ⋅ ⋅ + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

( )2

212 2 4

iy i i

hb tS h t b z⎛ ⎞⋅

= ⋅ + + ⋅ ⋅ −⎜ ⎟⎝ ⎠

( )2

2

2 4iz

xz i ii y

hT b t h t b zb I

τ⎡ ⎤⎛ ⎞

= ⋅ ⋅ ⋅ + + ⋅ −⎢ ⎥⎜ ⎟⋅ ⋅ ⎝ ⎠⎣ ⎦

Tensiunile tangenţiale variază parabolic pe inimă şi tălpi, dar prezintă un salt la

2ihz = ± datorită variaţiei bruşte a lăţimii secţiunii. Tensiunea tangenţială maximă se obţine în

axa neutră. OBSERVAŢII 1. Exceptând zona inimii, ipoteza repartiţiei uniforme a tensiunilor tangenţiale xzτ pe lăţime nu mai poate fi acceptată.

De exemplu, pe linia AB , în lungul conturului inferior al tălpii ( AC şi DB ), tensiunea tangenţială xzτ trebuie să fie nulă, deoarece tensiunea zxτ ce-i corespunde în baza dualităţii tensiunilor tangenţiale pe faţa inferioară a tălpii este nulă; dar, din relaţia obţinută cu ipoteza distribuţiei uniforme 0xzτ ≠ .

În realitate tensiunile xzτ sunt concentrate în zona CD din talpă, având o distribuţie pe grosimea tălpii apropiată de cea reprezentată punctat. 2. Observaţia că forţele tăietoare sunt preluate preponderent de inimă (cca. 95-98%), cât şi faptul că diferenţa între valorile tensiunilor xzτ calculate pe linia de contact inimă-talpă şi

maxxzτ nu este însemnată, face ca în calculele practice să se folosească o relaţie de calcul a

acestora bazată pe ipoteza distribuţiei lor uniforme pe inima profilului:

zxz

i i

Tb h

τ =⋅

Barele de secţiune I sunt de fapt bare cu pereţi subţiri, la care se folosesc ipoteze de calcul specifice acestor tipuri de secţiuni.


84

5.6 CALCULUL CONVENŢIONAL AL BARELOR LA FORFECARE

Atunci când asupra unei bare acţionează două forţe transversale F , egale şi de sens contrar, perpendiculare pe axa longitudinală a barei, prin analogie cu modul de lucru al foarfecei, se spune că se produce o solicitare de forfecare sau de tăiere (fig.5.28).

Sub acţiunea sarcinilor aplicate, în secţiunea transversală a barei apare efortul secţional

forţă tăietoare, T F= .

Forfecarea este însoţită de încovoiere ( dM Tdx

= ), însă întrucât distanţa dintre forţe este

mică, efectul forţei tăietoare are un caracter localizat şi se neglijează solicitarea de încovoiere ca nefiind de primă importanţă. Sub acţiunea sarcinilor aplicate bara se deformează, apar deformaţii specifice unghiulare γ şi în secţiunile transversale solicitate se dezvoltă tensiuni tangenţiale τ . Calculul convenţional, aplicat frecvent în cazul barelor de secţiune mică, admite că tensiunile tangenţiale sunt paralele cu forţa aplicată şi repartizate uniform pe suprafaţa secţiunii transversale a barei. Tensiunea tangenţială la forfecare se obţine din ecuaţia de echivalenţă:

A

T dA Aτ τ= ⋅ = ⋅∫ ⇒ TA

τ =

Pe baza acestei relaţii se pot rezolva problemele Rezistenţei materialelor:

• dimensionare: neca

TAτ

= ,

unde pentru materialele omogene şi izotrope se poate admite: ( )0.5 0.8a aτ σ= K .

• verificare: ef aTA

τ τ= ≤ ,

• calculul forţei tăietoare capabile: cap aT A τ= ⋅ sau forţa tăietoare de rupere prin forfecare: rup rT A τ= ⋅ . Relaţiile stabilite se utilizează pentru calculul la forfecare a elementelor de îmbinare: nituri, buloane, pene, suduri, etc.

Fig.5.28


85

CAPITOLUL VI

DEFORMAREA BARELOR SOLICITATE LA ÎNCOVOIERE

6.1 ECUAŢIA DIFERENŢIALĂ A FIBREI MEDII DEFORMATE Cerinţele de exploatare a elementelor de construcţii impun satisfacerea condiţiilor de rezistenţă şi unele condiţii de rigiditate, exprimate prin limitarea deformaţiilor sau a deplasărilor sub acţiunea sarcinilor aplicate. Se impune astfel studiul deplasărilor la încovoiere.

Deformaţiile grinzilor se datorează în primul rând încovoierii (momentelor

încovoietoare) şi în mică măsură forfecării (forţelor tăietoare). Din acest motiv se vor analiza şi defini deformaţiile produse de încovoiere şi apoi se va stabili influenţa forţelor tăietoare asupra deformaţiilor. Se consideră o bară dreaptă solicitată la încovoiere pură plană. Prin încovoiere axa barei, dreaptă iniţial, devine curbă (fig.6.1). Forma pe care o are după încovoiere axa barei se numeşte fibră medie deformată sau linie elastică. Pentru o secţiune oarecare a barei la distanţa x de capătul barei un punct N de pe axa neutră a secţiunii are pe axele x şi z deplasările: ( )0u x şi ( )0w x .

Fig.6.1

Capitolul VI Deformarea barelor solicitate la încovoiere

86

Întrucât axa barei nu îşi modifică lungimea prin deformaţia din încovoiere lungimea ON măsurată pe axa deformată este egală cu lungimea ,ON măsurată pe axa nedeformată şi deci punctul N va avea o deplasare pe axa Ox , 0u spre 0x ≤ . În baza ipotezei micilor deformaţii, deplasările transversale ale axei barei sunt mici şi ca urmare se pot neglija deplasările ( )0u x ale punctelor de axa barei. Astfel se admite că punctul N se găseşte după deformare pe o dreaptă paralelă cu axa Oz .

Se consideră secţiunea transversală curentă la distanţa x de capătul barei, secţiune ce

conţine punctul N de pe axa neutră şi la distanţa z de acest punct se consideră un punct R (fig.6.2). În baza ipotezei ce admite că forma şi dimensiunile secţiunii transversale nu se modifică prin deformarea din încovoiere, rezultă că lungimea segmentului NR conţinut în secţiunea transversală rămâne constantă.

În baza ipotezei lui Bernoulli, secţiunea transversală rămâne normală la axa deformată. Astfel unghiul între poziţia secţiunii după deformare şi poziţia iniţială, ϕ , este egal cu unghiul format de tangenta la fibra medie deformată în punctul ,N şi axa Ox . Rezultă că deplasările punctelor din secţiunea transversală se pot considera ca rezultatul translaţiei secţiunii pe direcţia axei Oz cu mărimea 0w şi rotirii în jurul axei neutre cu unghiul ϕ . Deplasările u şi w pentru punctul oarecare R se pot exprima astfel:

( )0 cosw w z zϕ= = ⋅ − (6.1)

( )sinu z ϕ= − ⋅ (6.2) Ţinând seamă de ipoteza micilor deformaţii se poate admite că unghiul ϕ este mic şi se pot face următoarele aproximări:

( )

( ) ( )( ) ( ) ( )0

cos 1

sincostg dw x

tgdx

ϕ

ϕϕ ϕ

ϕ

≅ ⎫⎪⎬

= ≅ = ⎪⎭

(6.3)

Fig.6.2


87

care transformă relaţiile (6.1) şi (6.2) astfel:

( )0

0

w wdw x

u zdx

≅⎧⎪⎨

≅ − ⋅⎪⎩

(6.4)

Pe baza aproximărilor admise rezultă din (6.4) că toate punctele din secţiunea transversală au aceeaşi deplasare w şi deci se poate renunţa la notaţia 0w . Se obţine astfel că deplasările oricărui punct al barei sunt complet determinate de ecuaţia fibrei medii deformate ( )w x . Starea deformată a unei bare solicitate la încovoiere, în dreptul unei secţiuni transversale oarecare, poate fi caracterizată prin următoarele mărimi geometrice (fig.6.3):

• deplasarea transversală w (săgeata) ce rezultă din ecuaţia fibrei medii deformate ( )w f x= • înclinarea fibrei medii sau a secţiunii transversale ϕ , care se numeşte rotire şi se

obţine prin derivarea ecuaţia fibrei medii deformate:

( ) dwtgdx

ϕ ϕ≅ = (6.5)

• raza de curbură ρ sau ( )1ρ− ce este dată de următoarea relaţie:

( )

2

2

32 2

1

1

d wdx

xdwdx

ρ= ±

⎡ ⎤⎛ ⎞+⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦

(6.6)

Semnul ± din relaţia (6.6) depinde de orientarea axelor de coordonate. La definirea tensiunilor normale din încovoierea barelor drepte s-a stabilit pentru curbura fibrei medii deformate expresia:

1 i

y

ME Iρ

=⋅

, ( )y iM M→ (6.7)

Din (6.6) şi (6.7) se obţine ecuaţia diferenţială a fibrei medii deformate:

( )2

2

32 2

1

i

y

d wM xdxE I

dwdx

± =⋅⎡ ⎤⎛ ⎞+⎢ ⎥⎜ ⎟

⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦

(6.8)

Fig.6.3


88

Fig.6.4

Relaţia (6.8) conţine o neconcordanţă de semn: pentru sistemul de axe considerat la săgeată pozitivă produsă de moment încovoietor pozitiv, centrul de curbură se află pe axa Oz

negativă, deci curbura 1ρ

şi derivata de ordinul doi 2

2

d wdx

sunt negative.

Forma corespunzătoare a relaţiei (6.8) pentru

sistemul de axe considerat este cu semnul minus (fig.6. 4):

2

2

32 2

1

i

y

d wMdx

E Idwdx

= −⋅⎡ ⎤⎛ ⎞+⎢ ⎥⎜ ⎟

⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦

(6.9)

Relaţia (6.9) este o ecuaţie diferenţială ordinară neliniară a cărei integrare este dificilă. În ipoteza micilor deformaţii, corespunzător valorilor frecvente ale săgeţilor:

1 1300 400

w l⎛ ⎞< ÷ ⋅⎜ ⎟⎝ ⎠

rotirea dwdx

ϕ ≅ nu depăşeşte valoarea 0.02ϕ < rad şi evident pătratul acestei valori este mic

faţă de unitate. Astfel în relaţia (6.9) se neglijează termenul 2dw

dx⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

obţinându-se ecuaţia

diferenţială aproximativă de ordinul doi a fibrei medii deformate:

2

2i

y

Md wdx E I

= −⋅

(6.10)

ce se utilizează pentru problemele în care se admite ipoteza micilor deformaţii. Când ipoteza micilor deformaţii nu mai poate fi admisă se va utiliza ecuaţia diferenţială exactă (6.9). Dacă se consideră rigiditatea la încovoiere a secţiunii, variabilă pe lungimea grinzii se poate obţine ecuaţia diferenţială de ordinul patru a fibrei medii deformate. Se pune relaţia (6.10) în forma următoare:

2

2y id wE I Mdx

⋅ ⋅ = − (6.11)

Se derivează relaţia (6.11) de două ori în raport cu x şi se ţine seama de relaţia

diferenţială 2

2id M q

dx= − şi rezultă:

22 2

2 2 2i

yd Md d wE I

dx dx dx⎛ ⎞

⋅ ⋅ = −⎜ ⎟⎝ ⎠

(6.12)

2 2

2 2yd d wE I qdx dx

⎛ ⎞⋅ ⋅ =⎜ ⎟

⎝ ⎠ (6.13)

Pentru barele de rigiditate constantă rezultă:

4

4y

d w qdx E I

=⋅

(6.14)


89

Fig.6.5

Ţinând seamă de relaţia diferenţială dT qdx

= − se obţine din (6.14):

3

3y

d w Tdx E I

= −⋅

(6.15)

6.2 INTEGRAREA ANALITICĂ A ECUAŢIEI DIFERENŢIALE APROXIMATIVE A FIBREI MEDII DEFORMATE

Metoda analitică de integrare a ecuaţiei diferenţiale aproximative a fibrei medii deformate se bazează de obicei pe ecuaţia diferenţială de ordinul doi (6.10):

2

2i

y

Md wdx E I

= −⋅

Presupunând cunoscută legea de variaţie a momentului încovoietor ( )iM x , pentru

grinda de secţiune constantă, se pot obţine funcţiile rotire ( )xϕ şi săgeata ( )w x prin integrări succesive ale ecuaţiei (6.10):

( ) ( ) 11

iy

x M x dx CE I

ϕ = − +⋅ ∫ (6.16)

( ) ( ) 1 21

iy

w x M x dx dx C x CE I

⎡ ⎤= − + ⋅ +⎣ ⎦⋅ ∫ ∫ (6.17)

unde 1 2,C C sunt constante de integrare.

Dacă grinda prezintă mai multe zone (fig.6.5) delimitate de variaţia bruscă a rigidităţii sau a funcţiei moment încovoietor, atunci ecuaţia diferenţială se aplică şi se integrează pentru fiecare zonă în parte. Pentru fiecare zonă a grinzii rezultă din integrare câte două constante de integrare. Valorile constantelor de integrare se determină cu ajutorul condiţiilor de legătură şi de continuitate ale fibrei medii deformate.

Condiţiile de legătură exprimă valoarea săgeţii şi a rotirii fibrei medii deformate în dreptul legăturilor. Legăturile obligă grinda la un anumit mod de deformare, astfel în dreptul legăturilor deplasările fibrei medii deformate constituie mărimi cunoscute, ele fiind de obicei egale cu zero. Condiţiile de continuitate ale fibrei medii deformate exprimă continuitatea acesteia în dreptul secţiunilor de trecere de la o zonă la alta. În baza ipotezei deformaţiilor elastice, chiar dacă expresia momentului încovoietor sau cea a rigidităţii se modifică, fibra medie este o curbă continuă şi în dreptul secţiunilor de trecere de la o zonă la alta. Continuitatea se exprimă prin egalitatea săgeţilor şi rotirilor pe cele două zone învecinate (fig.6.6)

Dacă condiţiile de continuitate nu ar fi îndeplinite, săgeţile nu ar fi egale şi grinda s-ar rupe, iar dacă rotirile ar fi diferite s-ar produce frângerea grinzii (fig.6.7).


90

Metoda analitică de integrare a ecuaţiei diferenţiale aproximative a fibrei medii

deformate poate fi utilizată pentru calculul deplasărilor elastice la orice grindă dreaptă solicitată la încovoiere. Se recomandă însă aplicarea ei numai în cazul stărilor simple de încărcare, când grinda prezintă una sau două zone delimitate de variaţia momentului încovoietor sau de modificarea rigidităţii.

În cazul existenţei mai multor zone metoda devine greoaie, deoarece determinarea constantelor de integrare conduce la un volum mare de calcule. APLICAŢIE

Se stabileşte expresia momentului încovoietor: [ ]1 2 0,x l− ∈ ( )M x Fl Fx→ = − +

( )2

2yd wE I M xdx

⋅ = − → 2

2yd wE I F l F xdx

⋅ ⋅ = ⋅ − ⋅

( )2

12yxE I x F l x F Cϕ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ − ⋅ +

( )2 3

1 22 6yx xE I w x F l F C x C⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ − ⋅ + ⋅ +

Dacă grinda prezintă o singură zonă constantele de integrare se determină numai cu ajutorul condiţiilor de legătură:

( ) ( ) 1 20 0 , 0 0 0w C Cϕ= = ⇒ = = Rezultă astfel funcţiile rotire şi săgeată:

( )22

22 y

F l x xxE I l l

ϕ⎡ ⎤⋅ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ⋅ ⋅ −⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⋅ ⋅ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦

( )2 33

36 y

F l x xw xE I l l

⎡ ⎤⋅ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ⋅ ⋅ −⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⋅ ⋅ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦

precum şi valorile maxime ale acestor funcţii în capătul liber al barei:

Fig.6.7

Fig.6.6


91

2

max

3

max

2

3

y

y

F lE I

F lwE I

ϕ⎧ ⋅

=⎪ ⋅ ⋅⎪⎨

⋅⎪ =⎪ ⋅ ⋅⎩

6.3 INTEGRAREA ECUAŢIEI DIFERENŢIALE DE ORDINUL PATRU A

FIBREI MEDII DEFORMATE Pentru o grindă de secţiune constantă ecuaţia diferenţială de ordinul patru a fibrei medii deformate are forma (6.14):

4

4y

d w qdx E I

=⋅

care este o ecuaţie diferenţială cu coeficienţi constanţi, neomogenă. Soluţia generală a ecuaţiei (6.14) este:

0 pw w w= + , (6.18) unde: 0w este soluţia ecuaţiei omogene,

pw este soluţia particulară. Soluţia ecuaţiei omogene:

4

4 0d wdx

= , (6.19)

se obţine prin integrări succesive:

3

13

d w Cdx

= , 2

1 22

d w C x Cdx

= ⋅ + ,2

1 2 32!dw xC C x Cdx

= ⋅ + ⋅ +

( )3 2 1

0 1 2 3 43! 2! 1!x x xw x C C C C= + + + , (6.20)

unde: 1 2 3 4, , ,C C C C sunt constante de integrare. Pentru zonele unde încărcarea se exprimă printr-o funcţie continuă de x : ( )q q x= , soluţia particulară a ecuaţiei (6.14) se obţine prin integrare:

( )1 x x x x

py a a a a

w dx dx dx q x dxE I

= ⋅⋅ ∫ ∫ ∫ ∫ (6.21)

unde a reprezintă limita la stânga intervalului, iar ordinea de integrare este de la dreapta la stânga. Nu se mai introduc constante de integrare deoarece ele apar în soluţia ecuaţiei omogene (6.20).

Astfel se poate prezenta soluţia generală a ecuaţiei diferenţiale pentru un interval k :

( )3 2 1

1 2 3 43! 2! 1!k pk k k k kx x xw x w C C C C= + + + + (6.22)

Dacă încărcarea are expresie unică pe toată lungimea barei, în soluţia generală a ecuaţiei apar patru constante de integrare. Pentru fiecare capăt de bară se pot impune câte două condiţii şi astfel problema are soluţie unică. Condiţiile ce se impun la capătul barei se referă la deplasări şi la eforturi secţionale, în funcţie de legăturile din aceste puncte


92

0, 0w M= = 0, 0w ϕ= = 0, 0M T= =

,DR ST DR ST

DR ST

DR ST

w wM M MT T F

ϕ ϕ= == += −

OBSERVAŢII 1) Eforturile secţionale se vor exprima în funcţie de săgeată. 2) La limita între intervale în care nu apar legături, iar grinda este continuă trebuie

îndeplinite condiţiile următoare: • condiţiile de continuitate geometrică pentru săgeată şi rotire • condiţiile statice, deduse din echilibrul elementului de grindă detaşat din această

zonă, care se referă desigur la eforturile secţionale.

ST DR DR ST

ST DR DR ST

T F T T T F

M M M M M M

= + ⇒ = −

+ = ⇒ = +

6.4 METODA PARAMETRILOR ÎN ORIGINE Stabilirea deplasărilor pentru grinzile drepte solicitate la încovoiere, utilizând metoda de integrare a ecuaţiei diferenţiale necesită calcule laborioase pentru determinarea constantelor de integrare, chiar şi în cazul a două intervale. Dificultăţile de calcul se măresc dacă numărul intervalelor creşte. Un algoritm mai simplu, care elimină necesitatea scrierii condiţiilor de continuitate în punctele de trecere de la o zonă la alta, reprezentând în acelaşi timp o sistematizare a etapelor de rezolvare, se obţine în metoda parametrilor în origine.

Se consideră o bară de secţiune constantă, fără sarcini aplicate pentru intervalul 0x ≥ (fig.6.8).

Fig.6.8


93

Dacă nu există sarcini aplicate, soluţia particulară a ecuaţiei diferenţiale de ordinul patru a fibrei medii deformate (6.14) este nulă şi rămâne numai soluţia ecuaţiei omogene (6.20):

( )3 2 1

1 2 3 43! 2! 1!x x xw x C C C C= + + +

Din expresia săgeţii de forma (6.20) se stabilesc expresiile pentru rotire, moment

încovoietor şi forţă tăietoare:

( )2

1 2 32!dw xx C C x Cdx

ϕ = = ⋅ + ⋅ + (6.23)

( ) ( )2

1 22y yd wM x E I E I C x Cdx

= − ⋅ ⋅ = − ⋅ ⋅ ⋅ + (6.24)

( )3

13y yd wT x E I E I Cdx

= − ⋅ ⋅ = − ⋅ ⋅ (6.25)

Constantele de integrare au sens pur matematic însă se poate stabili semnificaţia lor fizico-geometrică. Astfel se notează cu indice zero valorile în origine (la 0x = ) ale deplasărilor şi eforturilor secţionale: 0w săgeată, 0ϕ rotire, 0M moment încovoietor, 0T forţă tăietoare.

Cu notaţiile făcute in relaţiile (6.20), (6.23), (6.24),(6.25), se obţin semnificaţiile fizico-geometrice ale constantelor de integrare: ( )0 40w w C= = , ( )0 20 yM M E I C= = − ⋅ ⋅

( )0 30 Cϕ ϕ= = , ( )0 10 yT T E I C= = − ⋅ ⋅ (6.26) În baza relaţiilor (6.26) ecuaţia fibrei medii deformate este:

( )2 3

0 00 0 2! 3!y y

M Tx xw x w xE I E I

ϕ= + ⋅ − ⋅ − ⋅⋅ ⋅

(6.27)

Ecuaţia (6.27) precizează valorile deplasărilor în punctul curent de abscisă x funcţie de parametrii în origine, care a determinat denumirea metodei, metoda parametrilor în origine. Dacă pe bară acţionează şi sarcini aplicate, soluţiei (6.27) i se adaugă soluţii particulare pw specifice tipurilor de încărcări.

Se consideră o încărcare cu sarcina q uniform distribuită pe intervalul ( ),a b şi nulă

pentru ( ),x a b∉ , (fig.6.9).

În baza relaţiei generale (6.21) obţinută pentru soluţia particulară, rezultă soluţia

particulară pentru acest caz: x a≤ 0pw = (6.28)

Fig.6.9


94

( ),x a b∈ 1 x x x x

py a a a a

w dx dx dx q dxE I

= ⋅ ⋅⋅ ∫ ∫ ∫ ∫

( )41

4!py

q x aw

E I⋅ −

= ⋅⋅

(6.28)

Soluţia particulară pentru x b≥ se deduce printr-un artificiu: se presupune încărcarea cu sarcina distribuită extinsă şi pentru x b≥ . Pentru compensare, ca să nu se producă modificarea stării de tensiuni şi deformaţii a grinzii, se introduce o sarcină ( )q− pe acest interval astfel încât soluţia particulară va fi:

x b≥ ( ) ( )4 41

4! 4!py

q x a q x bw

E I

⎡ ⎤⋅ − ⋅ −= −⎢ ⎥

⋅ ⎢ ⎥⎣ ⎦ (6.29)

Dacă se consideră pe bară o sarcină distribuită liniar pe intervalul ( ),a b (fig.6.10), în mod similar se obţin următoarele expresii pentru soluţia particulară:

x a≤ 0pw =

( ),x a b∈ ( )501 1

5!py

q x aw

E I c⋅ −

= ⋅⋅

x b≥ ( ) ( ) ( )5 5 40 0 01 1 1

5! 5! 4!py

q x a q x b q x bw

E I c c

⎡ ⎤⋅ − ⋅ − ⋅ −= ⋅ − ⋅ −⎢ ⎥

⋅ ⎢ ⎥⎣ ⎦

(6.30)

În cazul existenţei pe grindă a unui moment concentrat M aplicat în secţiunea de abscisă x a= (fig.6.11), expresia soluţiei particulare se poate obţine pornind de la soluţia (6.27).

Fig.6.10


95

Fig.6.12

Astfel în relaţia (6.27) factorii ce înmulţesc parametrii în origine 0 0 0 0, , ,w M Tϕ pot fi

interpretaţi ca funcţii de influenţă a acestor mărimi, pentru săgeata din secţiunea curentă situată la distanţa x, în dreapta punctului lor de acţiune. De exemplu:

• ( )0 xϕ ⋅ reprezintă deplasarea produsă în secţiunea de abscisă x când în origine există ("se aplică") o rotire 0ϕ .

• 2

0

2!y

M xE I

⎛ ⎞− ⋅⎜ ⎟⎜ ⎟⋅⎝ ⎠

reprezintă deplasarea produsă în secţiunea de abscisă x , când în

origine se aplică un moment concentrat 0M . Rezultă: x a≤ 0pw = Pentru x a≥ trebuie să se adauge influenţa cuplului M din secţiunea x a= în secţiunea curentă şi conform cu interpretarea anterioară rezultă:

x a≥ ( )2

2!py

x aMwE I

−= − ⋅

⋅ (6.31)

unde ( )x a− este distanţa de la secţiunea de aplicare a momentului M la secţiunea curentă. Cu un raţionament analog se stabileşte soluţia particulară în cazul forţei concentrate (fig.6.12). x a≤ 0pw =

x a≥ ( )3

3!py

x aFwE I

−= − ⋅

⋅ (6.32)

Se ţine seamă de faptul că forţa F are sens contrar sensului forţei tăietoare 0T din origine (fig.6. 8).

Fig.6.11


96

Se consideră o bară acţionată de mai multe sarcini (fig.6.13): iM în secţiunile ia , jF în secţiunile jb , kq în intervalul ,k kc d . Grupând relaţiile stabilite anterior, se obţine o

expresie generală pentru calculul deplasărilor în metoda parametrilor în origine: ( )w x şi prin

derivări se pot obţine expresiile generale pentru rotire ( )xϕ , moment încovoietor ( )M x şi

forţă tăietoare ( )T x :

( ) ( ) ( )

( ) ( )

322 30 0

0 0

4 4

2! 3! 2! 3!

4! 4!

jjii

i jy y y y

k kk k

k ky y

x bFx aM T Mx xw x w xE I E I E I E I

x c x dq qE I E I

ϕ−−

= + − ⋅ − ⋅ − ⋅ + ⋅ +⋅ ⋅ ⋅ ⋅

− −+ ⋅ − ⋅

⋅ ⋅

∑ ∑

∑ ∑

(6.34)

( ) ( ) ( )

( ) ( )

211 20 0

0

3 3

1! 2! 1! 2!

3! 3!

jjii

i jy y y y

k kk k

k ky y

x bFx aM T Mx xxE I E I E I E I

x c x dq qE I E I

ϕ ϕ−−

= − ⋅ − ⋅ − ⋅ + ⋅ +⋅ ⋅ ⋅ ⋅

− −+ ⋅ − ⋅

⋅ ⋅

∑ ∑

∑ ∑

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 20

0 0 M2! 2!

k ki i j j k k

i j k k

x c x dM x M T x x a F x b q q

− −= + ⋅ + ⋅ − − ⋅ − − ⋅ + ⋅∑ ∑ ∑ ∑

(6.35) ( ) ( ) ( ) ( )0

0 j j k k k kj k k

T x T F x b q x c q x d= − ⋅ − − ⋅ − + ⋅ −∑ ∑ ∑ (6.36)

OBSERVAŢII 1) Din relaţiile (6.33), (6.34), (6.35), (6.36) rezultă că sarcinile aplicate care apar pe bară

intervin doar în expresiile săgeţii din secţiunile situate în dreapta celei în care acţionează. 2) Relaţiile (6.33)…(6.36) sunt valabile pe toată lungimea barei cu observaţia că termenii

din sume se adaugă numai dacă monoamele ( ) ( ), ,i jx a x b− − L au valori pozitive.

3) Pentru momentele concentrate iM s-a considerat ca sena pozitiv sensul acelor de ceas, iar pentru forţele jF şi kq sensul pozitiv al axei z .

4) Relaţiile (6.33)…(6.36) permit determinarea deplasărilor şi a eforturilor secţionale în orice secţiune, dacă se cunosc valorile parametrilor iniţiali, care se stabilesc din cele patru condiţii la cele două extremităţi ale barei.

Fig.6.13


97

Fig.7.1

CAPITOLUL VII

TORSIUNEA BARELOR DE SECTIUNE CIRCULARA

7.1 DIAGRAME DE EFORTURI LA TORSIUNE O bară este solicitată la răsucire (torsiune) atunci când în secţiunile ei transversale efectul sarcinilor aplicate apare prin efortul secţional moment de răsucire, reprezentat printr-un vector dirijat după direcţia barei. Convenţia de semne pentru momentul de răsucire : tM este pozitiv atunci când este reprezentat printr-un vector ce iese din secţiunea transversală (fig.7.1).

Solicitarea de răsucire este frecvent întâlnită la unele organe de maşini: arbori, arcuri,etc., dar apare şi la unele elemente de construcţii: grinzile marginale ale planşeelor, elemente din structura podurilor, grinzi de rulare etc.

De multe ori apare situaţia de calcul a cuplului de răsucire ce solicită un arbore, când, se cunoaşte puterea

transmisă şi turaţia la care lucrează arborele. În aceste condiţii (fig.7.2) se va utiliza următoarea relaţie de calcul:

ω

=⇒ω⋅=PMMP tt

unde: 30

nπ=ω , deci:

π

⋅=30

nPM t (7.1)

[ ]minn rot , turaţia arborelui

[ ]P kW , puterea transmisă

Dacă puterea P se introduce în [ ]kW rezultă relaţia practică de calcul a momentului de torsiune:

nP955030

n10PM

3

t =π

⋅⋅

= (7.2)

unde: Dacă puterea P se introduce în [ ]kW rezultă relaţia practică de calcul a momentului de torsiune:

Capitolul VII Torsiunea barelor de secţiune circulară

98

nP955030

n10PM

3

t =π

⋅⋅

= (7.2)

unde: P [KW] , [ ]minn rot

Pentru ca rotaţia arborelui să fie posibilă trebuie respectată condiţia de egalitate a

cuplului de răsucire transmis de către motor cu momentul 1M : 1tM M= şi, deci, momentul total faţă de axa de rotaţie să fie nul. Diagramele de variaţie ale efortului secţional moment de torsiune se stabilesc prin metoda secţiunilor, momentul de torsiune dintr-o secţiune oarecare fiind dat de suma momentelor situate la dreapta sau la stânga secţiunii considerate (fig.7.3).

Pe zone, momentul de torsiune este: 0 1 0tM− = 11 2 tM M− = 1 22 3 tM M M− = +

1 2 33 4 tM M M M− = + −

4 5 0tM− =

Din ecuaţia de echilibru a momentelor de torsiune rezultă: 1 2 3 4M M M M+ = +

Fig.7.3

Fig.7.2


99

sau 1 2 3 4M M M M+ + =

În cazul general de solicitare pot exista şi momente de torsiune distribuite după o lege

oarecare (fig.7.4).

Se poate stabili o relaţie diferenţială între efortul secţional moment de torsiune şi

momentul uniform distribuit exprimând echilibrul elementului infinit mic dx izolat din bara solicitată la răsucire (fig.7.5):

( ) tt

tttt mdx

dM0dMMdxmM −=⇒=+++−

7.2. TENSIUNI ŞI DEFORMAŢII LA RĂSUCIREA BARELOR DE SECŢIUNE CIRCULARĂ

Se consideră o bară dreaptă, de secţiune circulară constantă pe toată lungimea barei, materialul barei are o caracteristică liniar-elastică, deci respectă legea lui Hooke.

Studiul geometric al deformaţiilor

Pentru stabilirea şi definirea deformaţiilor ce apar la solicitarea de torsiune, studiul geometric al deformaţiilor se bazează pe observaţiile experimentale.

Fig.7.4

Fig.7.5

Fig.7.6


100

Astfel pe bara de secţiune circulară se trasează înainte de deformare cercuri şi linii orientate în lungul generatoarelor, care formează pe suprafaţa barei o reţea compusă din dreptunghiuri (fig.7.6) Se consideră cercurile notate cu 1,2,3 reprezentând secţiuni transversale plane şi perpendiculare pe axa longitudinală, precum şi dreptunghiul abcd . Se aplică barei un moment de torsiune 0tM ≥ şi după deformare, experimental, se constată următoarele:

- cercurile rămân tot cercuri, - generatoarele se înclină, - nu se modifică distanţele dintre cercuri şi nici diametrul secţiunilor transversale, - aspectul liniilor de pe suprafaţa exterioară se păstrează pentru orice suprafaţă

cilindrică interioară concentrică cu suprafaţa exterioară a barei. Interpretarea observaţiilor experimentale referitoare la modul de deformare a barei

solicitate la torsiune: 1. În cazul barelor de secţiune circulară este verificată ipoteza lui Bernoulli. 2. Înclinarea generatoarelor în condiţiile menţinerii distanţei dintre secţiunile

transversale nu se poate realiza decât prin rotirea secţiunilor transversale, care este efectul deformaţiei din solicitarea de torsiune.

Pentru a exista o măsură a efectului momentului de torsiune, rotirea secţiunilor transversale, se defineşte unghiul de răsucire, unghiul cu care se roteşte o secţiune transversală faţă de alta:

→ϕd unghiul elementar de răsucire, este unghiul cu care se rotesc două secţiuni transversale situate la o distanţă dx (secţiunile 1,2);

→θ unghiul de răsucire specific, este unghiul cu care se rotesc două secţiuni transversale situate la o distanţă egală cu unitatea (secţiunile 2,3);

dxdϕ

=θ (7.3)

→ϕ unghiul de răsucire al secţiunii oarecare la distanţa x de încastrare; →ϕ+ϕ d unghiul de răsucire al secţiunii situate la distanţa x dx+ de încastrare;

→ϕ t unghiul total de răsucire al secţiunii de capăt situată la distanţa l de încastrare

∫∫ θ=ϕ=ϕll

t dxd (7.4)

3. În baza ipotezei micilor deformaţii prin solicitarea de torsiune nu se modifică nici distanţa dintre secţiunile transversale şi nici diametrul barei.

Datorită caracterului antisimetric al momentului de torsiune se produce o stare de tensiune şi deformaţie antisimetrică. Ca urmare, deformaţiile specifice liniare şi tensiunile normale pe direcţia axei longitudinale şi pe direcţia diametrelor sunt egale cu zero.

4. Dreptunghiul abcd se transformă, prin solicitarea de torsiune, în paralelogram întrucât două laturi se înclină fără să-şi modifice lungimea. Astfel apare modificarea unghiurilor drepte care presupune evident existenţa deformaţiilor specifice unghiulareγ .

Conform legii lui Hooke deformaţiilor specifice unghiulare le corespund tensiuni tangenţiale γ=τ G , ce apar atât în secţiunile transversale cât şi în secţiunile longitudinale conform proprietăţii de dualitate a tensiunilor tangenţiale. Astfel elementul abcd pe feţele căruia apar numai tensiuni tangenţiale se află in stare de forfecare pură.

Din analiza făcută s-a pus în evidenţă existenţa deformaţiilor specifice unghiulare γ ce apar la solicitarea de torsiune, fără să se stabilească distribuţia lor în secţiunea transversală.

În acest scop se consideră studiul geometric al deformaţiilor şi se izolează din bara solicitată la torsiune elementul infinit mic cuprins între secţiunile 1 şi 2 (fig.7.7)


101

Fig.7.8

Generatoarea ab a elementului se roteşte cu unghiul maxγ , care reprezintă deformaţia

specifică unghiulară la raza R. O dreaptă ef din interiorul barei, paralelă cu generatoarea ab se roteşte cu unghiul

γ care reprezintă deformaţia specifică unghiulară la raza r .

Această situaţie este posibilă întrucât experimental s-a stabilit că aspectul liniilor de pe

suprafaţa exterioară a barei se păstrează pentru orice suprafaţă cilindrică interioară concentrică cu suprafaţa exterioară.

Deplasarea unui punct oarecare f din secţiunea transversală se poate exprima astfel:

, dff dx r d rdxϕγ ϕ γ⇒ ⋅ = ⋅ ⇒ = (7.5)

şi ţinând seama de (7.3) rezultă: θ=γ r (7.6) Astfel prin studiul geometric al deformaţiilor s-a stabilit deformaţia specifică unghiulară pentru un punct oarecare din secţiunea transversală a barei solicitată la torsiune. Legea fizică

În baza legii lui Hooke, stabilită experimental pentru solicitarea de torsiune, deformaţiei specifice unghiulare γ din punctul oarecare f de la raza r îi corespunde tensiunea tangenţială γ=τ G (7.7) care în funcţie de exprimarea (7.6) devine: rGθ=τ (7.8)

Din relaţia (7.8) rezultă distribuţia tensiunilor tangenţiale în secţiunea transversală,dar nu este stabilită orientarea tensiunilor tangenţiale în secţiunea transversală. Se consideră o secţiune transversală a barei solicitate la torsiune (fig.7.8). În punctele de pe

conturul secţiunii transversale tensiunea tangenţială are componentele tn , ττ . Conform proprietăţii de dualitate a tensiunilor tangenţiale, tensiunii nτ îi corespunde

pe suprafaţa exterioară a barei o tensiune lτ , care este egală cu zero întrucât pe suprafaţa

Fig.7.7


102

Fig.7.9

exterioară a barei, din solicitarea de torsiune, nu există sarcini longitudinale care să echilibreze aceste tensiuni.

Rezultă deci 0l tτ τ= = şi astfel în dreptul punctelor de pe conturul secţiunii transversale tensiunea tangenţială la torsiune este tangentă la contur (perpendiculară pe rază). Având în vedere comportarea barei la torsiune se presupune că în orice punct al secţiunii transversale tensiunea tangenţială este perpendiculară pe raza corespunzătoare punctului.

Astfel, conform cu (7.8), se poate trasa legea de variaţie a tensiunii tangenţiale în secţiunea transversală: 0r = 0τ⇒ = , r R= ⇒ RGmax θ=τ (7.9) Conform proprietăţii de dualitate a tensiunilor tangenţiale, τ din răsucire există atât în secţiunile transversale cât şi în secţiunile longitudinale (fig.7.9).

Deoarece în secţiunile transversale şi longitudinale nu apar tensiuni normale, un element de bară , detaşat prin două plane diametrale şi două secţiuni normale, se află în stare de forfecare pură.

Într-o secţiune înclinată cu un unghi oarecare faţă de secţiunea normală, se vor produce atât tensiuni tangenţiale cât şi tensiuni normale.

Ecuaţii de echivalenţă Relaţia de echivalenţă dintre momentul de răsucire şi tensiunile tangenţiale de pe întreaga secţiune are forma următoare:

( )tA

M dA rτ= ∫ (7.10)

care se transformă în funcţie de relaţia (7.8): ∫θ=

A

2t dArGM

unde: ∫=A

2p dArI este momentul de inerţie polar şi rezultă:

pt IGM ⋅θ⋅= (7.11) Răsucirea specifică θ va fi :

p

t

IGM⋅

=θ (7.12)

Unghiul total de răsucire rezultă înlocuind (7.12) în (7.4):

dxIG

M

l p

tt ∫ ⋅=ϕ (7.13)

cu formele următoare:

• secţiune cu diametru constant : p

tt IG

lM⋅⋅

=ϕ unde pGI se numeşte rigiditate la răsucire

• secţiune cu diametru variabil în trepte: ∑ ⋅⋅

=ϕpi

itit IG

lM

Din (7.8) şi (7.12) se obţine:

p

t

IrM ⋅

=τ (7.14)

care reprezintă valoarea tensiunii tangenţiale într-un punct al secţiunii transversale la raza r. Tensiunea tangenţială maximă, pentru r R= , va fi:


103

Fig.7.10

p

t

p

tmax W

M

RIM

==τ (7.15)

unde RI

W pp = este modulul de rezistenţă polar.

Pentru secţiunea circulară cu diametrul d se cunosc relaţiile de calcul:

32

dI4

p⋅π

= , 16

dW3

p⋅π

= (7.16)

Pentru secţiunea inelară cu diametrul exterior D şi diametrul interior d se cunosc relaţiile de calcul:

( )44

p 132DI α−⋅π

= (7.17)

( )43

p 116

DW α−⋅π

= (7.18)

unde: d Dα = Pe baza relaţiilor stabilite se pot rezolva problemele rezistenţei materialelor din condiţii de rezistenţă, în funcţie de tensiunea tangenţială admisibilă aτ pentru starea de forfecare pură:

• dimensionare : a

tnecp

MWτ

=

• verificare : ap

tef W

Mτ≤=τ (7.19)

• calculul momentului de răsucire capabil: pa

capt WM ⋅τ=

Uneori dimensionarea barelor solicitate la răsucire se face pe baza condiţiei de rigiditate impunându-se θa = (0,15…..0,3)0/m :

a

tnecp G

MIθ⋅

= (7.20)

OBSEVAŢII La examinarea unor probleme de răsucire trebuie să se ţină seama că tensiunile tangenţiale se dezvoltă atât în secţiunile transversale cât şi în secţiunile longitudinale.

Aceste tensiuni se iau în considerare la calculul barelor tubulare confecţionate din tablă prin sudură sau nituire (fig.7.10).

Datorită tensiunilor tangenţiale din secţiunile longitudinale apar ruperi pe direcţie longitudinală la barele de lemn solicitate la răsucire, întrucât lemnul rezistă mai puţin la forfecare.

În planele înclinate la 450 faţă de axa longitudinală a barei apar tensiunile normale σ1> 0 şi σ2< 0.

Astfel se explică ruperea barelor din fontă, solicitate la răsucire, în plane înclinate la 450 faţă de axa longitudinală, deoarece fonta este mai puţin rezistentă la compresiune.

Documents

Rezistenta-materialelor curs facultate