REZISTENA MATERIALELOR

NOIUNI FUNDAMENTALE I APLICAII

*

C U P R I N S Cuprins .... 1 Prefa ..................................................................................................... 31 INTRODUCERE ... 5 1.1 Clasificarea forelor care acioneaz asupra elementelor de

rezisten ...................................................................................... 5 1.2 Momentul forei fa de un punct ................................................ 7 1.3 Reducerea forelor ntr-un punct ................................................. 9 1.4 Condiiile ce trebuie satisfcute de ctre elementele de

rezisten ...................................................................................... 10 1.5 Tipuri de probleme ntlnite n Rezistena materialelor .......... 122 REAZEME I REACIUNI .. 14 2.1 Reazeme ...................................................................................... 14

2.2 Reaciuni ...................................................................................... 15 2.3 Calculul reaciunilor .................................................................... 17 2.4 Etape n calculul reaciunilor. Exemple ....................................... 193 EFORTURI. DIAGRAME DE EFORTURI ....... 24 3.1 Eforturi ........................................................................................ 24 3.2 Diagrame de eforturi ................................................................... 27 3.3 Etape pentru trasarea diagramelor de eforturi ............................. 29 3.4 Exemple de trasare a diagramelor de eforturi ............................. 31 3.4.1 Diagrame de eforturi la bare drepte orizontale ........... 31 3.4.2 Diagrame de eforturi la cadre cu bare drepte ............. 38 3.4.3 Diagrame de eforturi la bare curbe plane ................... 42 3.4.4 Diagrame de eforturi la sisteme spaiale de bare

drepte ... 46 3E Diagrame de eforturi (Probleme propuse) ................................... 57 3R Diagrame de eforturi (Rspunsuri) .. 774 CARACTERISTICI GEOMETRICE ALE SUPRAFEELOR

PLANE ................................................................................................... 118 4.1 Consideraii generale ................................................................... 118 4.2 Caracteristicile geometrice ale ctorva suprafee simple 122 4.3 Etape pentru determinarea caracteristicilor geometrice ale

suprafeelor plane .............................................................. 124

4.4 Exemple de determinare a principalelor caracteristici geometrice ale suprafeelor plane ................................................ 128

4E Caracteristici geometrice ale suprafeelor plane (Probleme propuse) ... 136

4R Caracteristici geometrice ale suprafeelor plane (Rspunsuri) 1475 SOLICITAREA AXIAL .. 159 5.1 Consideraii generale. Etape de calcul ......................................... 159 5,2 Calculul sistemelor de bare drepte, static determinate ................ 163

5.3 Calculul barelor drepte solicitate de fore axiale ......................... 170 5.4 Calculul sistemelor de bare articulate, static nedeterminate ... 173 5.5 Calculul sistemelor cu inexactiti de execuie ....................... 179 5.5.1 Calculul barelor articulate, static nedeterminate, cu

inexactiti de execuie ................................................................ 179 5.5.2 Calculul barelor drepte solicitate axial, care prezint

un rost la un capt ........................................................................ 187 5.6 Calculul barelor cu seciuni neomogene, solicitate axial ............ 191 5.7 Calculul barelor supuse variaiilor de temperatur ...................... 198 5.8 Calculul barelor supuse aciunii simultane a mai multor

factori............................................................................................ 204 5E Solicitarea axial (Probleme propuse) . 208 5R Solicitarea axial (Rspunsuri) .... 2256 CALCULUL MBINRILOR DE PIESE ... 232 6.1 Consideraii generale. Etape de calcul.......................................... 232 6.2 Calculul mbinrilor de piese cu grosime mic ....................... 234 6.3 Calculul mbinrilor nituite ..................................................... 239 6.4 Calculul mbinrilor sudate ..................................................... 246 6.5 Calculul mbinrilor pieselor de lemn ..................................... 252 6E Calculul mbinrilor de piese (Probleme propuse) .. 256 6R Calculul mbinrilor de piese (Rspunsuri) 2697 CALCULUL LA NCOVOIERE SIMPL AL BARELOR

DREPTE PLANE . 276 7.1 Consideraii generale. Etape de calcul ......................................... 276 7.2 Exemplu de calcul ................................................................... 281 6E Calculul la ncovoiere simpl al barelor drepte plane (Probleme

propuse) ... 288 6R Calculul la ncovoiere simpl al barelor drepte plane

(Rspunsuri) .... 3158 CALCULUL LA RSUCIRE AL BARELOR DREPTE .... 351 8.1 Calculul la torsiune al barelor drepte cu seciune circular sau

inelar. Consideraii generale. Etape de calcul ............................ 351 8.2 Calculul la torsiune al barelor drepte cu seciune necircular . 361 8E Calculul la rsucire al barelor drepte de seciune circular, sau

inelar (Probleme propuse) .. 375 8R Calculul la rsucire al barelor drepte de seciune circular sau

inelar (Rspunsuri) .................................................................... 385Bibliografie . 392

3

Prefa

Rezolvarea problemelor de Rezistena Materialelor are un anumit specific. Lucrrile de specialitate elaborate n domeniul Rezistenei Materialelor, mai ales cursurile i culegerile de probleme, pgubesc mult prin aceea c asupra modului de rezolvare al problemelor, se opresc foarte puin sau chiar deloc. Cei pui n situaia de a rezolva probleme de rezistena materialelor ntmpin mari dificulti, n special din cauza necunoaterii etapelor i metodologiei de rezolvare, specifice acestor probleme. Cu rezolvarea unor probleme mai complexe de rezistena materialelor se ntlnesc studenii facultilor tehnice, care prin programa analitic studiaz aceast disciplin. Cum pregtirea acestora pe parcursul activitii lor nu este continu i susinut, atunci cnd sunt nevoii s rezolve probleme concrete de rezistena materialelor, ntmpin mari greuti, care rezult tocmai din necunoaterea etapelor i a metodologiei de rezolvare. Aceast lucrare vine n sprijinul eliminrii acestor neajunsuri, prin prezentarea etapelor i metodologiei ce trebuie urmat la rezolvarea problemelor de rezistena materialelor. Prezentarea etapelor i a metodologiei de rezolvare ale problemelor de rezistena materialelor este gndit n sensul cuprinderii ntregii materiii care se pred la cursul de Rezistena Materialelor, studenilor de la facultile tehnice. Lucrarea poate fi considerat un ghid practic, coninnd att noiuni teoretice, probleme rezolvate ct i aplicaii de rezolvat. Este o combinaie reuit ntre curs i culegerea de probleme. La fiecare capitol se face o prezentare a noiunilor teoretice (fr demonstraie) necesare rezolvrii problemelor din capitolul respectiv, a etapelor i metodologiei de urmat n rezolvarea problemelor. Dup aceasta, se prezint probleme a cror rezolvare urmeaz etapele i metodologia indicat.

4

n primele opt capitole se trateaz: calculul reaciunilor, diagramele de eforturi, calculul caracteristicilor geometrice ale suprafeelor plane i calculul elementelor de rezisten la solicitri simple (ntindere compresiune, forfecare, ncovoiere simpl, rsucire). Pentru ca cei interesai de astfel de probleme s-i poat verifica capacitatea de rezolvare a problemelor de rezistena materialelor, n capitolul 9 (Aplicaii) al lucrrii, sunt propuse, pentru fiecare capitol, un numr mare de aplicaii la care se indic rezultatele finale i de cele mai multe ori i cele intermediare. Lucrarea se adreseaz n primul rnd studenilor de la facultile tehnice care studiaz disciplina de Rezistena Materialelor n vederea pregtirii lor profesionale i mai ales a examenului la aceast disciplin. n acelai timp, ea este deosebit de util proiectanilor de elemente i structuri de rezisten, care de cele mai multe ori din comoditate i mai ales din necunoterea metodologiei de calcul a rezistenei i deformabilitii elementelor, nu fac calculele necesare. Elaborarea acestei lucrri, se bazeaz n primul rnd pe experiena de peste 25 de ani, acumulat de autori n activitatea cu studenii la disciplina de Rezistena Materialelor. Autorii sunt recunosctori acelora care vor lectura aceast lucrare i vor veni cu aprecieri, dar mai ales cu propuneri de nbuntire a coninutului lucrrii ntr-o ediie nou, astfel nct studenii i cei interesai s aib la dispoziie o lucrarea util, de care la ora aceasta este foarte mare nevoie. Celelalte capitole ale Rezistenei Materialelor vor fi tratate ntr-o alt lucrare. Autorii

5

1. INTRODUCERE La proiectarea mainilor i a diferitelor construcii, proiectantul trebuie s aleag materialele i s dimensioneze fiecare element de rezisten, astfel nct acesta s reziste n deplin siguran aciunii forelor exterioare care i se transmit. Pentru a avea convingerea c cele prezentate n aceast carte vor fi bine nelese, consider c este necesar totui prezentarea unor noiuni, chiar dac acestea se prezint detaliat n toate cursurile de Rezistena Materialelor. 1.1 Clasificarea forelor care acioneaz asupra elementelor de rezisten Organele de maini i diferitele elmente de rezisten, preiau o serie de sarcini exterioare i transmit aciunea acestora de la un element la altul. Forele pe care le preiau organele de maini i elementele de construcie sunt, fie fore de volum, fie fore de interaciune ntre elementul dat i elementele vecine. Forele de volum (exemplu greutatea proprie), acioneaz asupra fiecrui element de volum. Clasificarea forelor se poate face dup mai multe criterii: A. Dup modul de aplicare, distingem: a) fore concentrate b) fore distribuite Forele concentrate se transmit ntre diferitele elemente de rezisten prin intermediul unei suprafee ale crei dimensiuni sunt foarte mici n comparaie cu dimensiunile ntregului corp. n calculele de rezisten, datorit dimensiunii mici a suprafeei prin care se

transmite fora, se consider c fora concentrat (Fig.1.1-1) se aplic ntr-un punct. Acest mod de reprezentare este doar o reprezentare aproximativ, introdus numai pentru simplificarea

F

Fig.1.1-1

6

calculelor. n practic, forele nu se pot transmite printr-un punct. Inexactitatea provocat de o astfel de aproximare este foarte mic i n practic poate fi neglijat. Fora concentrat se msoar n [N]. Forele aplicate continuu pe o lungime sau pe o suprafa a unui element de rezisten, se numesc sarcini distribuite. Sarcinile distribuite, pot avea intensitate (mrime) constant (Fig.1.1-2a) sau variabil (Fig.1.1-2b). Sarcinile distribuite liniar se msoar n [N/m],

iar cele distribuite pe suprafa n [Pa] = [N/m2]. n calculele de rezistena materialelor, de multe ori sarcinile distribuite se nlocuiesc printr-o rezultant, a crei mrime i direcie, sens i punct de aplicaie trebuie cunoscut. Pentru cazul sarcinilor distribuite liniar, n Fig.1.1-3a,b sunt prezentate valoarea, sensul i punctul de aplicaie al rezultantei R a acestor sarcini.

Am prezentat numai cazul sarcinilor distribuite liniar, deoarece n problemele curente ntlnite (mai ales la seminar), acest caz de ncrcare este cel mai frecvent.

p

a b

Fig.1.1-2

l / 2 2 l / 3 R = p l

R = pl / 2

l l

p

a) b)

Fig.1.1-3

7

B. Dup natura lor, forele sunt: a) fore date sau active, numite i sarcini sau ncrcri, b) fore de legtur sau reaciuni. Forele active mpreun cu forele de legtur, formeaz grupa forelor exterioare. Asupra legturilor sau reazemelor unde acioneaz forele de legtur, se revine ntr-un paragraf separat (par. 2.2). C. Dup natura aciunii lor, sarcinile pot fi: a) statice b) dinamice. Sarcinile statice ncarc construcia treptat. Odat aceste sarcini aplicate, ele nu mai variaz sau sufer variaii nesemnificative. Marea majoritate a sarcinilor care acioneaz asupra diferitelor construcii, sunt de acest tip. n construcia de maini mai ales, se ntlnesc elemente n micare a cror acceleraii sunt mari i variaia vitezei are loc ntr-un timp relativ mic. Asupra acestor elemente, acioneaz sarcinile dinamice. Astfel de sarcini sunt: sarcinile aplicate brusc, cele care produc ocuri i sarcinile variabile (periodic sau aleator) n timp. Sarcinile aplicate brusc, se transmit dintr-o dat construciei cu ntreaga lor valoare. ocurile iau natere n urma variaiei rapide a sarcinilor, ceea ce cauzeaz variaia brusc a vitezei elementului de rezisten. Sarcinile variabile periodic n timp, acioneaz asupra elementelor de rezisten, repetndu-se de un numr mare de ori. D. Sarcinile mai pot fi clasificate i n sarcini: a) permanente b) mobile. Sarcinile permanente acioneaz pe toat durata existenei construciei sau structurii de rezisten, iar cele mobile acioneaz doar n decursul unui anumit interval de timp. Trebuie specificat c, forele pot fi clasificate i pe baza altor criterii. Clasificarea prezentat este doar una din multiplele clasificri care pot fi fcute.

8

Ct privete cuplurile (momentele), clasificarea acestora, poate fi fcut pe baza clasificrii forelor. 1.2 Momentul forei fa de un punct n rezolvarea problemelor de rezistena materialelor, adeseori trebuie calculat momentul forelor fa de un punct sau fa de centrul de greutate al unei seciuni. S ne reamintim atunci, cum se calculeaz momentul unei fore fa de un punct. a) Momentul unei fore concentrate F fa de un punct B

(Fig.1.2-1) este egal cu produsul dintre mrimaea forei F i braul acesteea, b: (mF)B= F b 1.2-1 unde prin braul forei se nelege distana de la punctul considerat (B) pn la suportul forei F. n cazul prezentat, braul forei este segmantul

BM care este perpendicular pe suportul forei (BM = b; BM perpendicular pe suportul forei). b) Momentul unei sarcini distribuite p fa de un punct B, (Fig.1.2-2) este egal cu produsul dintre rezultanta sarcinii distribuite (R= p l) i braul rezultantei. n acest caz, braul rezultantei fa de punctul B, este: b = l / 2 + a Deci, momentul sarcinii distribuite fa de punctul B, pentru cazul prezentat, este:

B

M

F b

Fig.1.2-1

a l Fig.1.2-2

p

R

B

l/2

9

(mp)B = R b = p l ( l / 2 + a ) 1.2-2 c) Momentul unui cuplu M0 (moment) fa de un punct B (Fig.1.2-3), este egal cu valoarea acelui moment : (mM0)B = M0 1.2-3 Atenie: n acest caz, momentul M0 NU se nmulete cu braul b = l, aa cum de multe ori, n mod greit se procedeaz. Deci, momentul unui cuplu (moment) fa de un punct, este nsi acel cuplu. 1.3 Reducerea forelor ntr-un punct a) O for concentrat F se reduce ntr-un punct B, totdeauna la o for concentrat i la un cuplu concentrat (Fig.1.3-1). Fora concentrat rezultat este egal n mrime, are aceeai direcie i acelai sens cu fora redus. B

l

M0 B

Fig.1.2-3

F F

b

M= F b

Fig. 1.3-1

10

Cuplul rezultat prin reducere este egal n mrime cu produsul dintre fora F i braul b al acesteea, iar sensul lui este dat de regula burghiului drept. Aadar, o for concentrat F se reduce ntr-un punct B (nesituat pe suportul forei) la o for i la un cuplu. b) O sarcin distribuit se reduce la fel ca i o for concentrat, cu specificarea c rolul forei concentrate este preluat de data aceasta de rezultanta sarcinii distribuite (Fig.1.3-2). B c) Un cuplu (moment) M0 se reduce ntr-un punct tot la un cuplu M de aceeai valoare cu cuplul care se reduce ( M = M0 ) i la fel orientat (acelai sens cu cuplul care se reduce M0).

F

(mF) = F b F 1.3-1

R= p l

M=pl (l/2 + a)

R

a l

p

Fig.1.3-2

p

R = p l

(mp) = R b = p l ( l / 2 + a)

1.3-2

11

1.4 Condiiile ce trebuie satisfcute de ctre elementele de rezisten Unele dimensiuni (principale) ale elementelor de rezisten se stabilesc direct, din necesitatea asigurrii unor dimensiuni funcionale. Aceste dimensiuni sunt dimensiuni constructive. Alte dimensiuni ale elementelor de rezisten, de obicei cele ale seciunilor transversale, se determin prin calcul. Calculul dimensiunilor seciunilor transversale ale elementelor de rezisten se face n scopul satisfacerii simultan a urmtoarelor condiii de baz: a) Condiia de rezisten. Fiecare element de rezisten trebuie s reziste n foarte bune condiii, tuturor forelor exterioare care acioneaz asupra lui. Prin rezistena unui element de rezisten trebuie neles, proprietatea acestuia de a nu se rupe, sau de a nu ajunge ntr-o stare limit. Stare limit poate fi i o alt stare n afar de cea din momentul ruperii elementului de rezisten. Forele care acioneaz asupra elementului de rezisten, trebuie s fie mai mici dect cele care acioneaz n momentul atingerii strii limit. Condiia de rezisten este prima i cea mai important condiie pe care trebuie s o satisfac un element de rezisten n timpul funcionrii sale. b) Condiia de rigiditate. Este tiut faptul c Rezistena Materialelor consider corpurile deformabile sub aciunea sarcinilor. Cu ct sarcinile sunt mai mari, cu att i deformarea elementelor de rezisten este mai pronunat. n cazul mainilor sau construciilor, deformaiile diferitelor elemente de rezisten nu pot fi orict de mari. Deformaii prea mari, pot cauza distrugerea altor elemente de rezisten sau scoaterea din funcionare a mainilor respective. Proprietatea elementelor de rezisten de a se opune deformrii lor, poart numele de rigiditate. Calculul de rezisten, trebuie s aib n vedere i asigurarea unei rigiditi corespunztoare elementului de rezistesten respectiv. c) Condiia de stabilitate. n practic, se ntlnesc situaii n care dei elementul de rezisten satisface condiia de rezisten i cea de rigiditate, nu poate fi utilizat deoarece sub aciunea sarcinilor, acesta i-a pierdut stabilitatea (condiia de echilibru stabil).

12

Fenomenul este cunoscut sub numele de flambaj. Este de precizat c, flambajul apare numai n anumite condiii de solicitare i pentru unele elemente de rezisten. Totui, pentru aceste cazuri, dimensiunile seciunii transversale ale elementului de rezisten, trebuie s asigure acestuia o bun stabilitate. d) Condiia realizrii economice. Tot calculul de rezisten efectuat asupra elementelor de rezisten, trebuie s aib n vedere ca acesta s fie realizat cu un pre de cost ct mai mic. Primele trei condiii, asigur o bun funcionare i siguran n exploatere a construciei, iar cea de-a patra condiie, asigur un pre de cost sczut. n acest caz, se spune c structura respectiv a fost dimensionat raional. Proiectarea raional impune cunoaterea de ctre proiectant att a metodelor de calcul de rezisten, ct i a proprietilor (caracteristicilor) mecanice a materialului elementelor de rezisten, n condiii de exploatare. 1.5 Tipuri de probleme ntlnite n Rezistena Materialelor n Rezistena Materialelor, n majoritatea cazurilor, se ntlnesc urmtoarele tipuri de probleme: a) Probleme de verificare. n acest caz, se cunosc toate dimensiunile elementului de rezisten, materialul din care acesta este confecionat, forele exterioare care acioneaz asupra sa i trebuie fcut un calcul n urma cruia s se poat aprecia dac acel element de rezisten satisface toate condiiile impuse prin tema de proiectare. b) Probleme de dimensionare. n cazul problemelor de dimensionare, se cunosc dimensiunile constructive ale elementului de rezisten, forele exterioare aplicate, materialul din care este confecionat elementul i trebuie stabilite dimensiunile seciunii transversale n vederea satisfacerii condiiilor cerute prin tema de proiectare. c) Probleme de determinare a ncrcrii maxime admise (probleme de efort capabil). Pentru acest tip de probleme, se cunosc toate dimensiunile elementului de rezisten (constructive i ale

13

seciunii transversale), materialul din care este confecionat elementul i trebuie determinate valorile maxime admise ale sarcinilor care pot aciona asupra acelui element de rezisten n vederea satisfacerii condiiilor impuse prin tema de proiectare.

14

2. REAZEME I REACIUNI 2.1 Reazeme ntre elementele de rezisten ale unei structuri, exist o serie de legturi, numite reazeme. n calculele obinuite de rezistena materialelor, cele mai ntlnite reazeme sunt: - reazemul articulat mobil (articulaia mobil sau reazemul mobil), - reazemul articulat fix (sau articulaia fix), - ncastrarea (sau nepenirea). Articulaia mobil a crei reprezentare este prezentat n Fig.2.1-1a, permite celor dou elemente de rezisten s se roteasc unul fa de cellalt i o deplasare liber pe o anumit direcie. n cazul prezentat n figur, este permis deplasarea liber pe direcie orizontal. Pe direcia vertical (direcie perpendicular pe cea pe care este permis deplasarea liber), deplasarea este mpiedecat. Articulaia fix (Fig.2.1-1b) permite rotirea elementului de rezisten dar nu permite deplasarea acestuia pe nici o direcie. ncastrarea (Fig.2.1-1c) mpiedic orice fel de deplasare a elementului de rezisten. Acest tip de reazem se poate obine dintr-o articulaie fix, la care se blocheaz rotirile.

a) b) c)

Fig.2.1-1

15

2.2 Reaciuni Deoarece elementele de rezisten sunt supuse aciunii diferitelor sarcini, este firesc ca n reazeme s apar fore, numite fore de legtur sau reaciuni. Mrimea i orientarea acestor reaciuni este legat de mrimea i orientarea sarcinilor care solicit elementul, iar direcia reaciunilor este legat de tipul reazemului. Dup cum s-a mai spus, sarcinile direct aplicate (fore i momente) mpreun cu reaciunile, formeaz sistemul forelor exterioare care acioneaz asupra elementului de rezisten. Pentru calculul de rezisten este necesar s se cunoasc ntregul ansamblu al forelor exterioare ce solicit elementul, deci este nevoie s se cunoasc i reaciunile. Pentru nceput, stabilim ce fel de reaciuni apar n cele trei tipuri de reazeme care au fost prezentate anterior. Mai precizm c reaciunile se opun aciunii i ca urmare ele apar pe acele direcii pe care micrile (deplasrile i rotirile) elementului de rezisten sunt mpiedicate. Pentru articulaia mobil, fiind mpiedicat deplasarea pe o singur direcie, reaciunea R care apare este o for (Fig.2.2-1) care trece prin centrul articulaiei mobile i este dirijat perpendicular pe direcia deplasrii libere a reazemului (n mod obinuit pe axa grinzii).

F

R R

F

Fig.2.2-1

16

n cazul articulaiei fixe, reaciunea care apare n reazem este o for R a crei direcie nu este cunoscut. Se cunoate numai punctul de aplicaie al acesteea, care este articulaia. Pentru a putea calcula reaciunea din articulaia fix, se nlocuiete aceast reaciune prin dou componente ale sale: H dirijat n lungul axei elementului de rezisten i V, dirijat perpendicular pe axa elementului (Fig.2.2-2). Aadar, articulaia fix, din acest punct de vedere, d dou reaciuni: H i V. La ncastrare, dup cum cunoatem, toate micrile elementului de rezisten sunt mpiedicate. ncastrarea fiind o articulaie fix la care s-a blocat rotirea, nseamn c la acest tip de reazem fa de articulaia fix apare n plus un cuplu M care s mpiedice rotirea (Fig.2.2-3). De aceea, la o ncastrare apar trei reaciuni: H paralel cu

H

V R

F

Fig.2.2-2

H

V M

F

Fig.2.2-3

17

axa elementului; V perpendicular pe axa elementului de rezisten i momentul (cuplul) M. 2.3 Calculul reaciunilor n paragraful anterior (2.2), am vzut care sunt reaciunile pentru principalele tipuri de reazeme i care este direcia acestora. Nu s-a precizat care este mrimea i sensul (orientarea) acestora. Mrimea i orientarea reaciunilor se determin din condiia ca fiecare element de rezisten n parte, s se afle n echilibru sub aciunea tuturor forelor aplicate i a reaciunilor (a forelor exterioare). Se exemplific n continuare, calculul reaciunilor pentru sisteme plane. Este tiut faptul c, un sistem plan este n echilibru dac: - nu se deplaseaz pe o direcie (fie x aceast direcie), - nu se deplaseaz pe o direcie perpendicular pe prima (fie y direcia perpendicular pe x), - nu se rotete. Cele trei condiii enunate mai nainte sunt satisfcute dac suma proieciilor tuturor forelor pe direcia x, respectiv y, este nul i suma tuturor cuplurilor fa de un punct oarecare (fie K acest punct) al planului, este nul. Aceste condiii pot fi scrise sub forma unor relaii de forma:

( )F x = 0 ( )F y = 0 2.3-1 ( )M K = 0 Relaiile 2.3-1 exprim condiiile pentru ca un sistem plan s fie n echilibru. Acest sistem, pentru a putea fi rezolvat, poate conine maxim trei necunoscute. n cazul nostru, cele trei necunoscute sunt reaciunile. Dac sunt mai mult de trei necunoscute (reaciuni), sistemul de ecuaii 2.3-1 nu poate fi rezolvat i n acest caz, sistemul dat iniial este un sistem static nederminat. Pentru rezolvarea sistemelor static nederminate, sunt necesare ecuaii suplimentare.

18

Modul de rezolvare a sistemelor static nederminate, va fi prezentat ntr-un alt capitol. Determinnd reaciunile unui element de rezisten cu relaia 2.3-1, se observ c nu avem o posibilitate simpl pentru verificarea corectitudinii calculului efectuat. Pentru a avea posibilitatea verificrii corectitudinii determinrii reaciunilor i pentru a obine ecuaii uor de rezolvat, relaiile pentru calculul reaciunilor vor rezulta din urmtoarele considerente: - sistemul s nu se deplaseze pe o direcie (fie x aceast direcie, dar nu neaparat direcia orizontal). Aceast direcie, este acea direcie pe care exist numai o singur reaciune necunoscut, - sistemul s nu se roteasc fa de un punct (fie K1 acest punct) al planului. Punctul K1 va fi unul din cele dou reazeme ale elementului de rezisten, - sistemul s nu se roteasc fa de un alt punct (fie K2 acest punct i diferit de K1) al planului. Punctul K2 va fi neaparat cellalt reazem al elementului de rezisten. Condiiile de mai sus, se scriu sub forma unor relaii:

( )F x = 0 ( )M K =1 0 2.3-2 ( )M K =2 0 Sistemul 2.3-2 neconinnd i relaia ( )F

y = 0, nu nseamn c elementul de rezisten este n echilibru dar, scris sub aceast form, ne permite s calculm cele trei reaciuni. Pentru a putea ti c reaciunile determinate (cu relaiile 2.3-2) sunt corecte, valorile reaciunilor gsite se introduc n relaia ( )F

y . Dac:

( )F y = 0, reaciunile sunt corect calculate, 2.3-3

( )F y 0, reaciunile sunt greit calculate.

19

n acest ultim caz, se reface calculul reaciunilor. n concluzie, calculul reaciunilor pentru un sistem plan se face pe baza ecuaiilor 2.3-2 iar verificarea corectitudinii calculului (etap obligatorie), cu relaiile 2.3-3. 2.4 Etape n calculul reaciunilor. Exemple Pentru a calcula corect reaciunile unui sistem plan de elemente de rezisten, propun parcurgerea urmtoarelor etape: Privii atent sistemul; cutai reazemele i notai-le cu litere (A, B,

C, ...). Dac putei nu utilizai litera A, deoarece mai trziu aceast liter se va utiliza mult, pentru aria seciunii transversale a elementului de rezisten.

Identificai fiecare reazem: articulaie mobil, articulaie fix, ncastrare,

Dup ce ai identificat reazemele, introducei reaciunile n fiecare reazem (vezi parag. 2.2) i le notai (HB , VC , M, ...). Recomand ca literele utilizate s fie nsoite de un indice, iar acesta s fie cel cu care s-a notat reazemul respectiv. Este uor mai trziu s gsii reaciunile, n situaia n care iniial le-ai calculat greit.

Dac pe elementul de rezisten avei sarcini distribuite, este bine s le nlocuii cu rezultanta corespunztoare (vezi parag. 1.1), dar cu linie ntrerupt, pentru a nu o considera din neatenie de dou ori,

Acum se poate trece la scrierea detaliat a relaiilor 2.3-2 i determinarea din acest sistem de ecuaii, a reaciunilor. La scrierea acestor ecuaii, pentru ecuaiile de momente, alegei-v un sens de rotire considerat pozitiv i nu-l mai schimbai pn nu ai scris toat relaia,

Dup ce ai calculat reaciunile cu ajutorul ecuaiilor 2.3-2, utilizai relaia 2.3-3. Dac obinei 0 (zero), nseamn c nu ai greit, reaciunile sunt corecte. Dac acea sum nu conduce la 0 (zero), ai greit i reluai calculul de la prima ecuaie a sistemului de ecuaii, 2.3-2.

Exemple:

20

2.4.1 S se calculeze reaciunile pentru grinda prezentat n Fig.2.4.1-1. Parcurgem acum toate etapele recomandate pentru calculul reaciunilor (vezi Fig.2.4.1-2): - elementul de rezisten este sprijinit (rezemat) pe dou reazeme pe care le notm cu B i C; B este n stnga iar C este cel din dreapta. HB B C VB R=16kN VC - reazemul din stnga B, este o articulaie fix. Introducem cele dou reaciuni pentru acest reazem: HB i VB. Reazemul din dreapta C, este o articulaie mobil. Singura reaciune din acest reazem i pe care o punem este VC..

M= 40 kNm p= 4 kN/m F= 24 kN

300

1 m 3 m 1 m

Fig.2.4.1-1

1 m

M= 40 kNm p= 4 kN/m F= 24 kN

300

1 m 3 m 1 m

Fig.2.4.1-2

21

- nlocuim sarcina uniform distribuit p, cu rezultanta sa R= p4 =16 kN, care acioneaz la mijlucul distanei dintre reazeme (la 2 m de reazemul B i tot la 2 m de reazemul C), - scriem detaliat ecuaiile pentru calculul reaciunilor (rel. 2.3-2). Prima direcie x, o alegem ca fiind cea orizontal, deoarece pe aceast direcie exist o singur reaciune i anume HB. Deci: ( )F

x = 0 HB - F cos300 = 0 (1) ( ) ( )M M

K B =1 0 F sin300 5 - VC 4 + R 2 + M = 0 (2) ( ) ( )M M

K C =2 0 VB 4 + M - R 2 + F sin300 1 = 0 (3) Din ecuaia (1), rezult: HB = F cos300 = 12 3 kN. Din ecuaia (2), rezult: VC = 33 kN. Din ecuaia (3), rezult: VB = - 5 kN. Reaciunile HB i VC, au rezultat pozitive, ceea ce nseamn c ele sunt orientate aa cum sunt figurate n Fig.2.4.1-2. Reaciunea VB, rezultnd negativ, este orientat invers de cum este pe Fig.2.4.1-2, adic este orientat de sus n jos. - Verificm acum dac valorile calculate pentru cele trei reaciuni sunt bune. Pentru aceasta, scriem o ecuaie de echilibru ca sum de fore pe o direcie perpendicular pe direcie utilizat la calculul reaciunilor. Cum la calculul reaciunilor am utilizat direcia x (orizontal), pentru verificarea reaciunilor, utilizm direcia y (verticala). Aadar, rezult: ( )F V R V F

y B C = + =sin300 = - 5 - 16 + 33 - 24 1/2 =- 21 +33 -12 = -33 + 33 = 0

22

A rezultat ( )Fy = 0, ceea ce nsemn c condiia 2.3-3 este

ndeplinit, deci reaciunile sunt corect calculate i valorile lor sunt bune. 2.4.2 Parcurgnd etapele cunoscute, calculai i verificai reaciunile pentru cadrul prezentat n Fig.2.4.2-1. Observaie: Tot ce rezult a fi fcut, pentru acest exemplu este reprezentat n Fig.2.4.2-1. 1 m 1 m R=20kN 1 m C 2 m 2 m B HB VB - Cadrul prezint dou reazeme, pe care le notm cu B respectiv, cu C, - Reazemul C este o articulaie mobil i introduce numai reaciunea HC. Reazemul B este o articulaie fix i introduce dou reaciuni: HB i VB, - nlocuim sarcina distribuit p, cu rezultanta sa R= 10 2 = 20 kN, - Trecem la scrierea ecuaiilor pentru calculul reaciunilor (rel. 2.3-2). Se observ c pe vertical, exist o singur reaciune i anume VB. Prima ecuaie va fi atunci:

p = 10 kN/m F1 = 20 kN

F2 = 30 kN

M = 20 kN m

Fig.2.4.2-1

HC

23

( )F y = 0 R + F1 -VB = 0 (1) Celelalte ecuaii sunt ecuaii de momente fa de reazemele B i C:

( )M B = 0 HC 2 - R 1 + F1 1 - F2 2 - M = 0 (2) ( )M C = 0 VB 2 + HB 2 + M + F2 0 - F1 3 - R 1 = 0 (3) Din relaia (1), rezult: VB = 40 kN. Din relaia (2), rezult: HC = 40 kN. Din relaia (3), rezult : HB = - 10 kN. Se constat i n acest exemplu, c reaciunea HB este orientat invers de cum a fost reprezentat iniial n Fig.2.4.2-1. S verificm acum corectitudinea calculului efectuat. De data aceasta, ecuaia de verificare este o ecuaie de proiecii de fore pe orizontal (pe o direcie perpendicular la direcia utilizat la calculul reaciunilor, care a fost direcia vertical y).

( )F H F Hx C B = + = =2 40 30 10 0 Cum aceast ecuaie satisface condiia 2.3-3 de verificare a reaciunilor, rezult c valorile calculate pentru reaciuni sunt bune. Cu aceste reaciuni, cadrul prezentat n Fig.2.4.2-1, este supus aciunii unui sistem de fore exterioare, ca cel prezentat n Fig.2.4.2-2. 10 kN/m 20 kN 40 kN 10 kN 20 kN m

40 kN Fig.2.4.2-2

30 kN

24

3. EFORTURI. DIAGRAME DE EFORTURI 3.1 Eforturi Eforturile sunt fore interioare care iau natere n elementele de rezisten ca urmare a aciunii asupra acestora a forelor exterioare. Pentru un sistem plan, eforturile posibile dintr-o seciune transversal a elementului de rezisten, sunt: (Fig.3.1-1) - efortul axial N, care acioneaz n centrul de greutate al seciunii i este perpendicular pe planul acesteea, - efortul tietor T, acioneaz n centrul de greutate al seciunii i este situat n planul seciunii, - momentul ncovoietor Mi, acioneaz n centrul de greutate al seciunii i este situat n planul acesteea. y T Mi x N z x Eforturile de pe faa din dreapta, suplinesc aciunea forelor exterioare care acioneaz pe partea stng (considerat nlturat) a elementului (vezi Fig.3.1-1). Eforturile de pe faa din stnga a seciunii, suplinesc aciunea forelor exterioare care acioneaz asupra prii din dreapta elementului (considerat ndeprtat). La sistemele spaiale, eforturi tietoare exist pe ambele direcii principale de inerie ale seciunii transversale. La aceste sisteme, momente pot exista pe toate cele trei direcii: x, y, z. Momentele situate pe axele din planul seciunii (axele y i z) sunt momente

Fig.3.1-1

Mt

25

ncovoietoare, iar momentul situat pe axa x (normal la planul seciunii), este un moment de torsiune (rsucire) care se noteaz cu Mt. Valoarea eforturilor este determinat de valoarea forelor exterioare care solicit elementul de rezisten. S vedem acum, pentru un sistem plan, cum se determin mrimea eforturilor. Pentru un sistem plan, pot exista trei eforturi: axial (N), tietor (T) i moment ncovoietor Mi. Efortul axial N ntr-o seciune, este egal n mrime cu suma

algebric a proieciilor pe normala la seciunea barei a tuturor forelor exterioare din stnga seciunii sau a celor din dreapta, luate ns cu semn schimbat. Efortul axial N, se consider pozitiv, atunci cnd are efect de ntindere a poriunii rmase a barei (Fig.3.1-2a)

Efortul tietor T ntr-o seciune a elementului de rezisten, este egal n mrime cu suma algebric a proieciilor pe o direcie perpendicular la normala seciunii (deci n planul seciunii) a tuturor forelor exterioare din stnga seciunii sau a celor din dreapta, luate ns cu semn schimbat. Efortul tietor se consider pozitiv, cnd la o bar dreapt acioneaz de sus n jos pe faa din stnga sau de jos n sus pe faa din dreapta, sau altfel spus cnd acesta are tendina s roteasc seciunea n care acioneaz n sensul acelor de ceasornic (Fig.3.1-2b).

N

a) b) c)

Fig.3.1-2

N N

T T Mi Mi N

Faa din dreapta Faa din stnga

26

Momentul ncovoietor Mi dintr-o seciune a unui element de rezisten este egal n mrime cu suma algebric a momentelor n raport cu centrul de greutate al seciunii considerate, a tuturor forelor exterioare din stnga seciunii sau a celor din dreapta, ns luate cu semn schimbat. La o bar dreapt, Mi se consider pozitiv atunci cnd pe faa din stnga are sensul acelor de ceasornic iar pe faa din dreapta, sens contrar acestora (Fig.3.1-2c)

ntr-o reprezentare centralizat, n Fig.3.1-3 se prezint orientarea pozitiv a celor trei eforturi N, T, Mi, att pe faa din stnga ct i pe cea din dreapta a seciunii unui element de rezisten. Aceast convenie de semne este valabil i pentru cazul barelor verticale sau nclinate (vezi cadrele), cu condiia s se aleag un sens de parcurs al barei de la un capt spre cellalt. Pentru uurina trasrii diagramelor de eforturi, propun pstrarea aceleeai convenii de semne pozitive ale eforturilor i n cazul barelor curbe plane. Pentru momentul de torsiune Mt, nu exist o convenie unanim

acceptat pentru ca acesta s fie considerat pozitiv. Pentru a nu ncrca memoria cu prea multe noiuni, propun ca momentul de torsiune s fie considerat pozitiv, dac este orientat dup normala exterioar la seciune, adic la fel ca pentru efortul axial N.

3.2 Diagrame de eforturi

N N

T

T

Mi Mi

Faa din dreapta Faa din stnga

Fig.3.1-3

27

Calculul de rezisten al diferitelor elemente, necesit cunoaterea n orice seciune a valorilor eforturilor. Deoarece eforturile depind de seciunea n care se determin, variaia fiecrui efort de-a lungul elementului de rezisten, se exprim funcie de coordonata seciunii respective. O astfel de expresie (funcie) pentru efort, poart numele de funcie de efort. n cazul problemelor plane (la care ne vom rezuma cel mai mult), funciile de eforturi reprezint nsi variaia eforturilor N, T, Mi n lungul elementului de rezisten. Reprezentarea grafic a funciilor de eforturi, conduce la obinerea aa numitelor diagrame de eforturi. Pentru a obine diagrame de eforturi corecte, pe lng modul de obinere a acestora, mai trebuie tiut cteva aspecte care rezult din relaiile difereniale care exist ntre eforturi i forele exterioare care solicit elementul de rezisten. Iat cteva aspecte care sunt obligatoriu a fi cunoscute, pentru obinerea unor diagrame de eforturi corecte: valoarea efortului tietor ntr-o seciune, reprezint tangenta

trigonometric a unghiului pe care l face cu axa x (axa longitudinal a barei) tangenta la diagrama Mi n seciunea respectiv,

dac pe o poriune (interval) oarecare: a) efortul tietor T > 0 (pozitiv), momentul ncovoietor Mi crete, b) efortul tietor T < 0 (negativ), momentul ncovoietor Mi scade, c) efortul tietor T trece prin valoarea zero schimbnd semnul din + (plus) n - (minus), atunci n acea seciune, Mi are un maxim (Mi = Mi,max), iar cnd semnul se schimb din - n +, Mi are un minim (Mi = Mi,min), d) efortul tietor este nul (T = 0), momentul ncovoietor Mi este constant (Mi = const.), Dac sarcina distribuit este nul (p = 0) pe un interval (interval

nencrcat), pe ecel interval efortul tietor T este constant (T = const.). Pe acest interval, diagrama momentului ncovoietor Mi este reprezentat prin drepte oblice, numai dac T 0. Dac p < 0, efortul tietor, scade.

28

Pe intervale ncrcate cu sarcin uniform distribuit (p = const.), diagrama Mi este o parabol, iar diagrama T, o dreapt nclinat. n cazul unei distribuii neuniforme a sarcinii distribuite p, ambele diagrame (T i Mi) vor fi curbe a cror natur depinde de tipul sarcinii p.

n seciunile din dreptul forelor concentrate, diagrama T prezint o discontinuitate de valoare (salt), egal cu valoarea acelei fore i produs n sensul forei, iar diagrama Mi prezint o discontinuitate de tangent (o frngere) a poriunilor vecine ale diagramei.

Dac sarcina distribuit este orientat n jos ( p < 0), diagrama Mi este o curb a crei convexitate este dirijat n jos (Fig.3.2-1a), iar dac sarcina distribuit este dirijat n sus (p > 0), diagrama Mi pe acea poriune are convexitatea n sus (Fig.3.2-1b).

Pe intervale ncrcate cu sarcini distribuite liniar, efortul tietor T variaz dup o curb de gradul doi, iar efortul Mi dup o curb de gradul trei. Convexitatea diagramei Mi, se stabilete la fel ca n cazul p = const., (Fig.3.2-1). Convexitatea efortului T, se stabilete uor pe baza celor cunoscute din Analiza Matematic.

Pe reazemul articulat de la captul grinzii, momentul ncovoietor

Mi este egal cu zero dac pe acest reazem nu se gsete un cuplu (moment) concentrat. Dac n seciunea de la captul consolei nu

n jos

n sus

a) b) Fig.3.2-1

29

este aplicat o for concentrat, efortul tietor pe consol T, este egal cu zero.

La captul ncastrat al unei bare, eforturile T i Mi sunt egale cu reaciunea, respectiv momentul din ncastrare.

Seciunile n care se aplic un cuplu concentrat (moment concentrat exterioar), diagrama Mi prezint o discontinuitate n valoare (salt) egal cu valoarea acelui cuplu concentrat i produs n sensul de aciune al cuplului. Asupra diagramei T, acest cuplu concentrat, nu are nici o influen.

3.3 Etape pentru trasarea diagramelor de eforturi Pentru trasarea diagramelor de eforturi, recomand parcurgerea urmtoarelor etape: Se calculeaz i se verific reaciunile (vezi Cap.1). Nu se trece la

etapa urmtoare pn cnd nu s-au verificat reaciunile i avem certitudinea c acestea sunt calculate corect. Altfel, toat munca depus mai departe este zadarnic.

Se noteaz (cu numere ori litere) toate seciunile care pot delimita intervale. Un interval este acea poriune a unui element de rezisten, pe care eforturile nu-i modific funciile. Astfel de puncte, pot fi considerate seciunile n care acioneaz fore, reaciuni, cupluri, nceputul i sfritul sarcinii distribuite, bara i modific orientarea (noduri), etc.

Analiznd elementul de rezisten, se stabilete care sunt eforturile care pot aprea n seciunile acestuia. Se traseaz acum liniile de valoare zero ale eforturilor (linii care coincid cu axa geometric a elementului), se noteaz eforturile care urmeaz a fi determinate i se pun i unitile de msur utilizate pentru eforturi.

Se trece la scrierea funciilor de eforturi i reprezentarea lor grafic, adic obinerea diagramelor de eforturi.

Pentru scrierea funciilor de eforturi i reprezentarea lor grafic, se parcurg etapele: Din mulimea de intervale care au rezultat, se alege unul singur.

30

n intervalul ales, se face o seciune (imaginar) i considerm c prin aceast seciune am separat elementul de rezisten n dou: o parte situat n stnga iar cealalt n dreapta seciunii fcute.

Privim atent cele dou pri rezultate i alegem pentru scrierea funciilor de eforturi, pe cea cu fore exterioare mai puine.

Lum variabila (x sau - pentru bare curbe) care poziioneaz seciunea fcut, n vederea scrierii funciilor de eforturi. Originea variabilei este n unul din capetele intervalului stabilit pentru rezolvare. Dac s-a ales partea stng de parcurs, atunci originea variabilei este n captul din stnga al intervalului, iar dac s-a ales de parcurs partea dreapt, atunci originea variabilei este n captul din dreapta al intervalului.

Se noteaz intervalul care se rezolv. Tot acum se scrie i intervalul valorilor variabilei, ca de exemplu:

Intervalul (B - 1) cu x ( 0 ; 2 m). Dup stabilirea intervalului, se trece la scrierea funciilor de

eforturi pe acest interval (vezi parag. 3.1), funcii care apoi se reprezint grafic. Odat cu trasarea diagramelor, corectitudinea acestora se verific cu ajutorul cunotiinelor prezentate la paraggraful 3-2.

Dac totul a reieit bine, se alege un alt interval i se parcurg din nou toate etapele indicate.

Dup trasarea diagramelor de eforturi pentru tot elementul de rezisten, se recomand a se mai face nc o verificare pe baza celor prezentate la paragraful 3.2.

La barele curbe, apar mici diferene, dar acestea se vor specifica atunci cnd se prezint un exemplu de trasare al diagramelor de eforturi la astfel de bare (vezi parag. 3.4.3). 3.4 Exemple de trasare ale diagramelor de eforturi 3.4.1 Diagrame de eforturi la bare drepte orizontale

31

3.4.1-1 S se traseze diagramele de eforturi pentru bara dreapt orizontal din Fig.3.4.1-1a. B C x 1 x x VB=24 kN VC=32 kN 13,86 13,86 La barele drepte orizontale, se consider c observatorul (cel care rezolv problema) se afl sub bar i de aici privete modul de solicitare i deformare al barei.

2 m 2 m 1 m

24

300 F = 16 kN p = 12 kN/m M=16 kNm

HB = 13,86 kN

a) b) c) d)

N [kN]

-8

- 32

T [kN]

Mi [kNm]

24

- 16 - 16

Fig.3.4.1-1

2

32

De la nceput, trebuie lsat loc suficient sub bar pentru diagramele de eforturi. - Calculul reaciunilor i verificarea lor, a condus la urmtoarele valori: HB = 13,86 kN VB = 24 kN VC = 32 kN. - Notm celelalte seciuni caracteristice cu 1 i 2. Au rezultat astfel trei intervale caracteristice: B-1 ; 1-C ; C-2. Pe fiecare astfel de interval, eforturile au funcii unice. - Tinnd seama de forele exterioare, se constat c pentru aceast grind exist trei eforturi: N, T, Mi. - Am reprezentat liniile de valoare zero (axa barei), le-am notat cu N, T, respectiv Mi i am pus n paranteze drepte, unitile de msur corespunztoare: [kN], [kN], [kNm]. Trecem la scrierea funciilor de eforturi i trasarea acestor diagrame, pe fiecare interval. - Alegem pentru nceput, intervalul din stnga i realizm o seciune imaginar (Fig.3.4.1-1a). Au rezultat astfel dou pri fa de aceast seciune: una n stnga i cealalt n dreapta. Se constat c partea din stnga (poriunea B - pn la seciune) este mai puin ncrcat, motiv pentru care alegem aceast parte. Originea variabilei x o alegem n stnga, n punctul B (n reazem). Deci, rezolvm: Intervalul (B - 1) cu x [0 ; 2 m]. Pe acest interval, funciile de eforturi sunt (vezi i convenia de semne pozitive): Efortul axial N: N = HB = 13,86 kN. Efortul N, nu depinde de poziia seciunii x i este constant. Valorile pozitive le reprezentm grafic, deasupra axei de valoare zero (vezi sensul pozitiv al ordonatei). n seciunea B, rezult un salt de 13,86 kN, salt care trebuie s existe (Fig.3.4.1-1b).

33

Efortul tietor T: T = VB - p x = 24 - 12 x i este o dreapt (corect). Calculm valorile lui T, la capetele intervalului B - 1: TB = Tx=0 = 24 -12 0 = 24 kN, rezult salt (corect), T1 = Tx=2 = 24 -12 2 = 24 - 24 = 0 kN Se unesc valorile de la capetele intervalului i rezult diagrama care prezint o variaie liniar (corect - Fig.3.4.1-1c). Efortul moment ncovoietor, Mi: Mi = VB x - p x x/2 = 24 x -6 x2 - este o parabol (corect). Calculm valorile lui Mi, la capetele intervalului: Mi,B = Mi,x=0 = 24 0 - 6 02 = 0 (corect), Mi,B = Mi,x=2 = 24 2 - 6 22 = 48 - 24 = 24 kNm. Rezult, Mi cresctor (corect, T>0) i nu are salt sau extrem (corect). La momentul ncovoietor, valorile pozitive se reprezint sub axa de valoare zero (dedesubt - Fig.3.4.1-1d). Deoarece am terminat intervalul din stnga, trecem la alt interval. Alegem spre exemplu, intervalul din dreapta. - Am realizat seciunea imaginar (Fig.3.4.1-1a), - Se observ c partea din dreapta, fa de seciune, este mai puin ncrcat: numai cu momentul M. Alegem aceast parte. -Variabila x, are originea n seciunea 2. - Rezolvm acum: Intervalul (2 - C) cu x [0 ; 1 m]. Pe acest interval, funciile de eforturi, sunt (atenie la semnele pozitive ale eforturilor - parcurgem intervalul de la dreapta la stnga): N = 0 (nu exist fore exterioare axiale pe partea din dreapta), T = 0 (nu exist fore exterioare normale la axa barei), Mi = - M = - 16 kNm - nu depinde de poziia seciunii x, - este constant, - prezint salt n seciunea 2 (corect). A mai rmas intervalul din mijloc. - Facem o seciune imaginar x (vezi Fig.3.4.1-1a).

34

- Am impresia c partea din dreapta este mai simplu de rezolvat. Alegem aceast parte. Varibila x, are originea n seciunea C (reazemul din dreapta). Rezolvm acum: Intervalul (C - 1) cu x [0 ; 2 m]. Funciile de eforturi, pe acest interval, sunt: N = 0 (nu exist fore exterioare axiale pe partea din dreapta), - n seciunea 1, apare un salt de 13,86 kN (corect - Fig.3.4.1-1b), T = - VC + p x = -32 + 12 x - variaie liniar (corect), Valorile lui T la capetele intervalului, sunt: TC = Tx=0 = -32 +12 0 = -32 kN, T1 = Tx=2 = -32 +12 2 = -32 + 24 = -8 kN. n seciunea C, apare un salt de 32 kN (corect), iar n seciunea 1, un salt de 8 kN (corect). Efortul T nu se anuleaz pe acest interval, dect n seciunea 1 (Fig.3.4.1-1c). Mi = -M + VC x - p x x/2 = -16 +32 x - 6 x2 -variaie parabolic (corect). Valorile lui Mi la capetele intervalului, sunt: Mi,C = Mi,x=0 = -16 kNm -diagrama se nchide n C (corect), Mi,1 = Mi,x=2 = -16 +32 2 - 6 22 = -16 +64 -24 = 24 kNm - diagrama se nchide n 1 (corect). n seciunea 1, rezult un extrem (corect, deoarece T1 = 0). Pe intervalul 1 - C, T < 0, iar Mi este descresctor, scade de la 24 kNm la -16 kNm (corect). Aa se traseaz corect diagramele de eforturi. Este bine ca verificarea corectitudinii diagramelor de eforturi, s se fac aa ca n exemplul prezentat, adic o dat cu trasarea diagramelor i apoi se recomand o reverificare la final. O verificare a diagramelor de eforturi numai la final (dup ce acestea au fost trasate), prin corectare conduce la un aspect urt, dezordonat, de unde nu se mai nelege nimic 3.4.1-2 S se traseze diagramele de eforturi, pentru bara dreapt din figura de mai jos (Fig.3.4.1-2).

35

Calculul reaciunilor a condus la urmtoarele valori: VB = 7,2 kN HC = 0 VC = 14,8 kN. Pentru acest element de rezisten, exist numai eforturile T i Mi. Neexistnd ncrcri axiale, nu exist nici efort axial N (N = 0).

= 3,6 m

M = 16 kNm p = 2 kN/m F = 2 kN

a)

7,2 7,2 6

2

-8,8

T [kN]

-1,6 -8

b)

c)

11,3

14,4

Mi [kNm]

Fig.3.4.1-2

1 2

VC = 14,8 kN VB = 7,2 kN

x x x

B C

2 m 2 m 8 m

36

Alte puncte caracteristice n afar de reazeme, sunt seciunile 1 i 2 (Fig.3.4.1-2a). Alegem pentru nceput, Intervalul (B - 1) cu x [0 ; 2 m]. Originea variabilei x este n seciunea B, deoarece alegem partea din stnga, fiind mai puin ncrcat. Funciile eforturilor pe acest interval, sunt: T = VB = 7,2 kN -rezult efort tietor constant, cu salt n seciunea B (corect - vezi Fig.3.4.1-2b), Mi = VB x = 7,2 x -variaie liniar (corect). La capetele intervalului, valorile lui Mi, sunt: Mi,B = Mi,x=0 = 7,2 0 = 0 (corect), Mi,1 = Mi,x=2 = 7,2 2 = 14,4 kNm. Momentul ncovoietor Mi este cresctor (corect, deoarece T > 0 -vezi Fig.3.4.1-2c). Alegem alt interval i anume, pe cel din mijloc, n care realizm o seciune imaginar (Fig.3.4.1-2a). Partea din stnga pare mai uor de rezolvat. Rezolvm acum, Intervalul (1 - C) cu x [0 ; 8 m]. Funciile eforturilor pe intervalul 1 - C, sunt: T = VB - p x = 7,2 - 2 x -variaie liniar (corect). Valorile efortului tietor la capetele intervalului, sunt: T1 = Tx=0 = 7,2 - 2 0 = 7,2 kN -diagrama se nchide fr salt n seciunea 1 (corect - vezi Fig.3.4.1-2b), TC = Tx=8 = 7,2 - 2 8 = 7,2 - 16 = -8,8 kN. Efortul tietor T se anuleaz (trece de la valori pozitive la valori negative). Seciunea n care T se anuleaz, trebuie determinat, deoarece n aceast seciune, efortul Mi prezint un extrem (maxim n cazul nostru). Punem condiia ca T s fie nul. Rezult: T = 7,2 - 2 = 0, de unde = 7,2 / 2 = 3,6 m. Se coteaz poziia acestei seciuni (vezi Fig.3.4.1-2b). Efortul Mi, are pe intervalul 1 - C, expresia: Mi = VB (2 + x) - M - p x x / 2 sau, Mi = 7,2 (2 + x) - 16 - x2 -variaie parabolic (corect). Valorile lui Mi la capetele intervalului i valoarea extrem (maxim), sunt:

37

Mi,1 = Mi,x=0 = 7,2 (2 + 0) -16 - 02 = -1,6 kNm -rezult n seciunea 1 un salt de 16 kNm (corect -Fig.3.4.1-2c), Mi,extrem = Mi,=3,6 = 7,2 (2 + 3,6) -16 - 3,62 = 11,3 kNm, Mi,C = Mi,x=8 = 7,2 (2 + 8) -16 - 82 = -8 kNm. Pe poriunea unde T > 0, Mi descrete de la 11,3 kNm la -8 kNm (corect - Fig.3.4.1-2c). A mai rmas, intervalul din dreapta. Dup realizarea seciunii imaginare n acest interval (Fig.3.4.1-2a), se observ c partea dreapt este mai puin ncrcat. Alegem atunci, Intervalul (2 - C) cu x [0 ; 2 m]. Pe intervalul 2 - C, eforturile prezint urmtoarele expresii: T = F + p x = 2 + 2 x -variaie liniar (corect). La capetele intervalului, efortul tietor T, are valorile: T2 = Tx=0 = 2 + 2 0 = 2 kN, TC = Tx=2 = 2 + 2 2 = 6 kN. n seciunea 2, apare un salt de 2 kN (corect), iar n seciunea C un salt de 14,8 kN (corect - Fig.3.4.1-2b). Efortul tietor este pozitiv i nu se anuleaz. Funciile de moment ncovoietor Mi pe intervalul 2 - C, sunt: Mi = -F x - p x x/2 = -2 x - x2 -variaie parabolic (corect). Cum T nu se anuleaz, Mi nu prezint extrem. La capetele intervalului 2 - C, valorile lui Mi, sunt: Mi,2 = Mi,x=0 = -2 0 - 02 = 0 -fr salt n seciunea 2 (corect), Mi,C = Mi,x=2 = -2 2 - 22 = -8 kNm -diagrama se nchide n seciunea C fr salt (corect). Cum pe intervalul 2 - C, T > 0, efortul Mi crete de la -8 kNm la zero (corect). 3.4.2 Diagrame de eforturi la cadre cu bare drepte 3.4.2-1 S se traseze diagramele de eforturi, pentru cadrul plan din Fig.3.4.2-1

38

Calculul reacinilor a condus la urmtoarele valori: HB = 40 kN VB = 5 kN VC = 35 kN.

Liniile de valoare zero ale eforturilor, nu mai pot fi puse sub elementul de rezisten ca la barele drepte orizontale. n acest caz, liniile de valoare zero ale eforturilor urmresc conturul cadrului i se aeaz separat, ca n Fig.3.4.2-2. Aici se noteaz natura efortului i unitatea de msur. Alte puncte caracteristice ale cadrului sunt seciunile 1 i 2 (Fig.3.4.2-1). i pentru acest cadru, avem tot trei intervale caracteristice (B - 1, 1 - 2, 2 - C), unul (B - 1) fiind orientat pe vertical, iar celelalte dou pe orizontal, ca la exemplul 3.4.1. Aezarea pe vertical a intervalului B - 1, nu ridic probleme deosebite pentru scrierea funciilor de eforturi i trasarea diagramelor.

p = 20 kN/m

B HB = 40 kN

VB = 5 kN

x

2 m

x x

1 m 1 mVC = 35 kN

C

M = 10 kNm F = 40 kN

1 2

Fig.3.4.2-1

Observator

39

. Nu ne rmne dect s ne imaginm c eforturile pe care le-am reprezentat pentru bara dreapt orizontal, s-au rotit cu 900 i au ajuns orientate pe verical (Fig.3.4.2-3) La cadre, pentru barele verticale, poziia observatorului este astfel nct trecerea la barele orizontale s fie fcut fr a trece de cealalt parte a barei. Pentru cadrele cu contururi nchise, rezult c poziia observatorului trebuie s fie n interiorul cadrului. Pentru exemplul nostru, la poriunea vertical, observatorul va privi bara din partea dreapt (Fig.3.4.2-1).

-5

-5

40

5 5

-35 -35

40

30

35 N [kN]

T [kN]

Mi [kNm]

a) b) c) Fig.3.4.2-2

Observator

Observator

a) b) c) Fig.3.4.2-3

40

ncepem scrierea funciilor de eforturi i trasarea diagramelor de eforturi cu intervalul orientat pe vertical. Realizm seciunea imaginar n acest interval (Fig.3.4.2-1) i constatm c poriunea mai puin ncrcat este cea din partea stng a observatorului (dinspre reazemul B). Ca urmare, originea variabilei x, va fi n seciunea B. La scrierea funciilor de eforturi, pentru aceast situaie, ne orientm dup convenia de semne pozitive, prezentat n Fig.3.4.2-3b. Rezolvm atunci, Intervalul (B - 1) cu x [0 ; 2 m] Funciile de eforturi pe acest interval, sunt: N = - VB = -5 kN -efort constant (corect) -salt n seciunea B (corect - Fig.3.4.2-2a) T = HB - p x = 40 - 20 x -variaie liniar (corect). Valorile lui T la capetele intervalului, sunt: TB = Tx=0 = 40 - 20 0 = 40 kN, salt n seciunea B (corect), T1 = Tx=2 = 40 - 20 2 = 0 kN -se anuleaz n captul intervalului i este pozitiv (corect - Fig.3.4.2-2b). Mi = HB x - p x x/2 = 40 x - 10 x2 -variaie parabolic (corect). Valorile lui Mi la capetele intervalului B - 1, sunt: Mi,B = Mi,x=0 = 40 0 - 10 02 = 0 -fr salt n seciunea B (corect), Mi,1 = Mi,x=2 = 40 2 - 10 22 = 40 kNm -momentul ncovoietor Mi este cresctor (corect) i prezint extrem n seciunea 1 (corect - Fig.3.4.2-2c). Trasm acum diagramele de eforturi pentru, Intervalul (C - 2) cu x [0 ; 1 m] Originea variabilei x este n seciunea C, deoarece am ales partea din dreapta seciunii. Acest interval fiind orizontal, nu ridic nici un fel de probleme. Funciile de eforturi, sunt: N = 0 -nu exist sarcini axiale pe partea luat n considerare (corect), T = - VC = -35 kN -efort constant cu salt n seciunea C (corect - Fig.3.4.2-2b),

41

Mi = VC x = 35 x -variaie liniar (corect). La capetele intervalului C - 1, valorile lui Mi, sunt: Mi,C = Mi,x=0 = 35 0 = 0 -fr salt n seciunea C (corect), Mi,2 = Mi,x=1 = 35 1 = 35 kNm -momentul ncovoietor este descresctor pe intervalul 2 - C de la valoarea 35 kNm la 0 kNm (Fig.3.4.2-2c). Intervalul (2 - 1) cu x [0 ; 1 m] va fi rezolvat tot de la dreapta spre stnga cu originea variabilei x, n seciunea 1 (Fig.3.4.2-1). Pe acest interval, funciile de eforturi au expresiile: N = 0 -nu exist fore exterioare axiale pe partea considerat (corect), T = -VC + F = -35 + 40 = 5 kN -efort constant cu salt de 40 kN n seciunea 1 i pozitiv (corect - Fig.3.4.2-2b), Mi= VC (1 + x) - F x = 35 (1 + x) - 40 x = 35 - 5 x -variaie liniar (corect). Valorile lui Mi la capetele intervalului, sunt: Mi,2 = Mi,x=0 = 35 - 5 0 = 35 kNm -diagrama n seciunea 2 se nchide fr salt (corect - Fig.3.4.2-2c), Mi,1 = Mi,x=1 = 35 - 5 1 = 30 kNm -momentul ncovoietor este cresctor pe intervalul 1 - 2 (T > 0). n nodul rigid 1, apare un salt de moment ncovoietor de la 30 kNm (pe bara vertical) la 40 kNm (pe bara orizontal). Apariia acestui salt de 10 kNm este corect, deoarece n seciunea 1 acioneaz momentul concentrat M = 10 kNm. Se poate constata c n nodurile nencrcate, formate de bare perpendiculare, efortul axial de pe o bar devine tietor pe cealalt, iar efortul tietor de pe o bar devine axial pe cealalt bar. De asemenea, n nodurile nencrcate formate din bare perpendiculare, momentul ncovoietor Mi de pe o bar, se transmite pe cealalt bar n mrime i semn. 3.4.3 Diagrame de eforturi la bare curbe plane 3.4.3-1 S se traseze diagramele de eforturi pentru bara curb plan din Fig.3.4.3-1.

42

La bare nepenite, pentru trasarea diagramelor de eforturi, se poate renuna la calculul reaciunilor, cu condiia ca funciile de eforturi pentru toate intervalele s fie scrise parcurgnd fiecare interval caracteristic dinspre captul liber spre ncastrare. Pentru bara din Fig.3.4.3-1, dup notarea seciunilor caracteristice 1, 2 respectiv B, rezult dou intervale caracteristice: primul interval 1 - 2 constituie o poriune dreapt, iar cel de-al doilea 2 - 3 - B, este o poriune curb cu raza de curbur R. Abordm trasarea diagramelor de eforturi la fel ca la cadre (vezi parag. 3.4.2). Diagramele de eforturi, le trasm pe conturul cadrului prezentat n Fig.3.4.3-2. ncepem cu: Intervalul (1 - 2) cu x [0 ; 2R]. Originea variabilei x este n seciunea 1, deoarece considerm c partea din dreapta seciunii este mai puin ncrcat i mai uor de rezolvat. Pe intervalul 1 - 2, funciile de eforturi au expresiile: N = 0 -nu exist fore exterioare axiale pe partea dreapt, T = F -efort axial constant de valoare F, pozitiv, iar n seciunea 1 apare un salt de valoare F (corect - Fig.3.4.3-2b), Mi = -F x -variaie liniar (corect). Valorile lui Mi la capetele intervalului 1 - 2, sunt: Mi,1 = Mi,x=0 = F 0 = 0 -nu apare salt n seciunea 1 (corect - Fig.3.4.3-2c),

F

x2 R

R

21

B

Fig.3.4.3-1

3

43

Mi,2 = Mi,x=2R = F 2R = 2FR -momentul ncovoietor Mi pe intervalul 2 -1 este descresctor, T < 0 (corect - Fig.3.4.3-2c).

Cel de-al doilea interval, dup cum se poate observa, nu mai este drept, ci este o poriune curb. Variabila liniar x de la barele drepte nu poate fi utilizat i pentru poriunile curbe. Pentru poriunile curbe, variabila care poziioneaz seciunea n care se scriu funciile de eforturi este un unghi, fie el notat cu (Fig.3.4.3-3). n seciunea definit de unghiul , trebuie scrise funciile de eforturi. Dup cum se tie, efortul axial N este situat pe o direcie perpendicular la seciune. La poriunile curbe, o astfel de direcie este tangenta la curb, notat ( t ) n Fig.3.4.3-3. Efortul tietor T, este coninut n planul seciunii. La poriunile curbe, aceast direcie trece prin seciune i prin centrul de curbur (direcia radial r-Fig.3.4.3-3).

-F -F

F F -2FR

-2FR

-3FR

N [kN] T [kN]

Mi [kNm]

a) b) c) Fig.3.4.3-2

( r ) ( t ) F

Fig.3.4.3-3

CC (centrul de curbur)

44

Aadar, pentru a stabili funcia de efort axial N ntr-o seciune a unei poriuni curbe, toate forele exterioare de pe partea considerat, trebuie proiectate pe tangenta la curb n seciunea respectiv (direcia t). Pentru funcia efort tietor T, se proiecteaz toate forele exterioare de pe partea considerat, pe direcia radial ( r ) care conine acea seciune. Dac o proiectare direct a forelor exterioare ce acioneaz pe partea considerat este dificil, atunci se recomand reducerea tuturor acestor fore exterioare n seciunea respectiv (vezi i parag. 1.3). Exemplu de reducere a forelor exterioare, pentru problema studiat (Fig.3.4.3-1) este prezentat n Fig.3.4.3-4. Acum putem scrie funciile de eforturi (cu aceleai convenii de semn pozitiv de la barele drepte) pe: Intervalul (2 - B) cu [o ; ]. Efortul axial N, are expresia: N = -F sin -variaie sinusoidal (vezi Fig.3.4.3-4), Valorile efortului axial N la capetele intervalului considerat, sunt: N2 = N=0 = -F sin 0 = 0 -nu apare salt n diagram (corect - Fig.3.4.3-2a), N3 = N=/2 = -F sin /2 = -F

F F

T

N

CC N = F sin T = F cos

Fig.3.4.3-4

3

45

NB = N= = -F sin = -F 0 = 0 -se poate constata c pe intervalul 2 - B, efortul axial N, prezint un singur extrem pentru = /2 (Fig.3.4.3-2a). Efortul tietor T, are expresia: T = F cos -variaie cosinusoidal (vezi Fig.3.4.3-4). Valorile lui T pe intervalul considerat, sunt: T2 = T=0 = F cos 0 = F -diagrama T se nchide fr salt n seciunea 2 (corect - Fig.3.4.3-2b), T3 = N=/2 = F cos /2 = 0 TB = T= = F cos = F (-1) = -F -n seciunea B apare un salt determinat de reaciunea vertical din nepenire (corect - Fig.3.4.3-2b). Efortul moment ncovoietor Mi n seciunea considerat, se scrie relativ uor. Din Fig.3.4.3-4, rezult: Mi = -F (2R + R sin ) = -FR (2 + sin ) -o variaie sinusoidal. Pe intervalul 2 - B, valorile lui Mi sunt: Mi,2 = Mi,=0= -FR (2 + sin 0) = -2FR -diagrama Mi se nchide fr salt n seciunea 2 (corect - Fig.3.4.3-2c), Mi,3 = Mi,=/2= -FR (2 + sin /2) = -FR(2 + 1) = -3FR -are extrem n seciunea 3, deoarece T3 = 0 (corect - Fig.3.4.3-2c), Mi,B = Mi,== -FR (2 + sin ) = -FR(2 + 0) = -2FR -n seciunea B apare un salt determinat de reaciunea unui cuplu din ncastrare (corect - Fig.3.4.3-2c). Pe poriunea 3 - 2 unde T > 0, Mi crete de la -3FR la -2FR, iar pe poriunea B - 3 unde T < 0, Mi descrete de la -2FR la -3FR (corect - Fig.3.4.3-2c). Trasarea diagramelor de eforturi la bare curbe a fost prezentat pe un exemplu de combinaie bar dreapt - bar curb. n cazul existenei numai a poriunilor curbe, scrierea funciilor i trasarea diagramelor de eforturi, se face la fel ca pentru poriunea curb prezentat. Se atrage atenia asupra faptului c n unele situaii, funciile de efort N i T pot prezenta extrem, a crui valoare trebuie determinat. La aceste eforturi, extreme se pot ntlni atunci cnd funciile eforturilor conin att funcia trigonometric sin ct i cos, sau combinaii de aceste funcii trigonometrice.

46

Pentru semnele pozitive ale eforturilor din barele curbe plane, recomand utilizarea conveniei stabilit la barele drepte i nu altele, care nu fac altceva dect s ngreuneze calculul i s deruteze sau s ncurce pe rezolvitor. 3.4.4 Diagrame de eforturi la sisteme spaiale de bare drepte Sistemele spaiale sunt printre cele mai rspndite sisteme ntr-o construcie sau structur de rezisten. Ele pot fi formate din bare drepte, curbe sau combinaie a acestora. M voi opri asupra sistemelor spaiale alctuite din bare drepte, nu numai pentru faptul c sunt cele mai rspndite, ci i pentru aceea c formeaz baza de studiu pentru studenii facultilor cu profil mecanic. La sistemele spaiale, nu putem utiliza toate conveniile pe care le-am utilizat la exemplele precedente. La aceste sisteme, folosim urmtoarele convenii pentru trasarea diagramelor de eforturi: Diagrama efortului axial N, o putem reprezenta n orice plan al

sistemului. n aceast diagram, vom pune semn: plus (+) dac efortul este de ntindere i minus (-) dac este de compresiune.

Diagrama efortului tietor T, se va reprezenta n planul n care acioneaz forele exterioare normale la axa barei i de aceeai parte a barei cu forele respective. n diagrama T, nu se mai pune semn.

Diagrama momentului ncovoietor Mi, se va reprezenta de partea fibrei ntinse a barei, iar n diagram nu se mai pune semn.

Momentul de torsiune Mt, se poate reprezenta n orice plan, nu se mai pune semn n diagram, iar "haura" diagramei Mt se face printr-o spiral, tocmai pentru a se deosebi de momentul ncovoietor Mi.

nainte de a ne apuca s trasm diagramele de eforturi la un sistem spaial, este recomandat a ne reaminti cum variaz eforturile n funcie de ncrcarea fiecrui interval (vezi parag.3.2). De asemenea este bine s ne reamintim cum se reduc forele exterioare ntr-o seciune (vezi parag. 1.3) i faptul c o dimensiune a unui element de

47

rezisten paralel cu suportul forei nu constituie bra al forei i ca urmare produsul dintre for i o astfel de dimensiune, nu produce niciodat un cuplu (moment). Dac ne-am reamintit toate acestea, putem ncepe s trasm diagrame de eforturi pentru sisteme spaiale. 3.4.4.1 Pentru cadrul din Fig.3.4.4.1-1, s se traseze diagramele de eforturi. Dup cum se poate constata, cadrul proprizis mpreun cu F1, formeaz un sistem plan. Cum F2 este ntr-un plan perpendicular pe planul cadrului i a forei F1, rezult un sistem spaial. Notm seciunile caracteristice ale sistemului cu: 1, 2, 3, B. S-au obinut astfel trei intervale caracteristice (Fig.3.4.4.1-1). Privind atent sistemul din Fig.3.4.4.1-1, se pot stabili o serie de aspecte cu privire la diagramele de eforturi. Iat doar cteva dintre acestea: . efortul axial N exist numai pe tronsonul 2 - 3 dat de F1, este constant i de ntindere; poate fi pus pe diagrama N (Fig.3.4.4.1-2a). - fora exterioar F1 produce efort tietor pe intervalele 1 - 2 i 3-B, constant, de valoare F1. n diagram acest efort se va reprezenta n plan vertical (cum acioneaz i F1) i deasupra barei (de partea

B

c 3

b

2 aF1

F2

b > a

Fig.3.4.4.1-1

1

48

forei F1). Efortul tietor produs de F1, este reprezentat n diagrama T din Fig.3.4.4.1-2b. - fora exterioar F2 este perpendicular pe toate intervalele sistemului, deci pe fiecare interval produce efort tietor, constant i de valoare F2. Efortul tietor produs de F2 se reprezint n diagrama T n planul n care acioneaz F2 i de aceeai parte a barei cu F2 (vezi Fig.3.4.4.1-2b). Dup cum se poate observa, la sistemele spaiale alctuite din bare drepte, trasarea diagramelor de eforturi N i T, se face foarte uor, fr a mai fi nevoie de scrierea funciilor eforturilor.

F1 F1 F1

F2 F2

F2 F2

F1(a + c)

F1 a

F1a

F1 a

F2 a

F2(a+c) F2b

F2 a

N T Mi(F1) Mi(F2) a) b) c) d)

F2 b F2 b

F2 a

F2 a

F1 a

F1 a

F2 a

F2b F2 (a + c)

F1 (a + c)

F2 a

Mt Mi e) f) Fig.3.4.4.1-2

F1

49

Trasarea diagramelor Mi i Mt este ceva mai dificil, dar dac v-ai nsuit bine toate cunotiinele prezentate pn acum, vei vedea c nu avei dificulti. Trasarea diagramelor Mi i Mt este bine s se fac prin suprapunere de efecte. Asta nseamn c se va lua sistemul ncrcat pe rnd numai cu cte o sarcin. Acest principiu l aplicm i exemplului nostru din Fig.3.4.4.1-1. Pentru nceput, considerm sistemul ncrcat numai cu fora exterioar F1 (Fig.3.4.4.1-3). Privind sistemul i avnd trasate diagramele T, putem afirma urmtoarele: - Sistemul din Fig.3.4.4.1-3 este un cadru plan (vezi diagramele de eforturi de la parag. 3.4.2). - Pe toate intervalele, diagramele Mi produse de F1, prezint variaie liniar (intervale nencrcate). - Dimensiunea b a intervalului 2 - 3 fiind paralel cu suportul forei F1, nu va fi bra pentru aceasta. Asta nseamn c nu va exista nici un moment egal cu F1b. - Dac variaia momentelor produse de F1 sunt liniare, atunci este convenabil s determinm valoarea momentelor numai la capetele intervalelor i apoi s le unim cu linie dreapt. - Cum intervalul 2 - 3 este paralel cu suportul forei F1 dar la o distan a de acesta, rezult c pe acest interval, momentul produs de F1 este constant.

B c 3

b

2 1

a

F1

Fig.3.4.4.1-3

50

- Mai tim c n noduri rigide (cum sunt nodurile 2 i 3), la sistemele plane, momentele se transmit de la o bar la alta. - Sistemul fiind plan i neexistnd ncrcri cupluri (momente) de torsiune, nu va exista nici efort moment de torsiune Mt. n Fig.3.4.4.1-4, se arat valorile momentelor produse de fora F1 la capetele fiecrui interval. Nu ne rmne acum dect ca aceste momente s fie identificate (sunt de ncovoiere sau de torsiune), s fie reprezentate de partea fibrei ntinse (cele de ncovoiere n Fig.3.4.4.1-4 s-au pus de partea fibrei ntinse) i unite valorile cu linii drepte. Aceast etap este parcurs n Fig.3.4.4.1-2c. S procedm la fel i pentru fora exterioar F2 (Fig.3.4.4.1-5). i la acest sistem, se pot preciza nc de nceput, cteva aspecte: - Pe toate intervalele, momentele au o variaie liniar (intervale nencrcate).

0

B 3

F1 (a + c) F1 a 3

2

F1 a

F1 a 2 1

F1 a

F1

Fig.3.4.4.1-4

B c 3

b

a 2

1

F2

Fig.3.4.4.1-5

51

- Toate dimensiunile a, b, c sunt perpendiculare pe direcia forei F2, deci toate sunt brae pentru F2, toate vor creea momente cu F2. - Cum fora F2 mpinge sistemul dinspre noi nspre partea opus nou, rezult c fibrele ntinse ale cadrului sunt situate nspre noi. De aceast parte vor fi reprezentate i diagramele Mi. n Fig.3.4.4.1-6, sunt puse la capetele intervalelor, momentele produse de fora exterioar F2. Rmne acum s stabilim natura momentelor i s le reprezentm grafic (Fig.3.4.4.1-2d,e). Intervalul 1 - 2. Momentul F2a din seciunea 2, este moment ncovoietor Mi. Intervalul 2 - 3. Momentul F2a din seciunea 2, este moment de torsiune Mt. n seciunea 2, nu exist moment ncovoietor Mi. Momentul F2b din seciunea 3, este moment ncovoietor Mi, iar momentul F2a din seciunea 3, este moment de torsiune Mt. Intervalul 3 - B. Momentul F2b din seciunea 3, este moment de torsiune Mt. Momentul F2a din seciunea 3, este moment ncovoietor Mi. Momentul F2(a + c) din seciunea B, este moment ncovoietor, iar momentul F2b din seciunea B, este moment de torsiune Mt. Puse pe diagram i unind valorile momentelor de acelai tip, au rezultat diagramele de eforturi din Fig.3.4.4.1-2d,e. Se poate constata c momente ncovoietoare Mi exist n mai multe plane, produse de F1 i F2. Diagrama final rezultat Mi este prezentat n Fig.3.4.4.1-2f.

B 3 3

F2 b F2 b F2 a

F2(a + c) F2 a F2 b

F2 a

2 2 1 0 F2 a 0 Fig.3.4.4.1-6

F2

52

Pentru cazul prezentat, diagramele finale de eforturi N, T, Mi, Mt sunt cele reprezentate n Fig.3.4.4.1-2a,b,e,f. S-a prezentat prin acest exemplu, o metod simpl de trasare a diagramelor de eforturi pentru sistemele spaiale, care nu necesit sisteme de axe, scrierea funciilor de eforturi, etc. Dac exist intervale cu sarcini uniform distribuite, nu uitai c pe acele intervale, T variaz liniar, iar Mi, parabolic. Pe celelalte intervale, efectul sarcinii distribuite este dat de rezultanta sarcinii distribuite (reamintii-v valoarea rezultantei i punctul ei de aplicaie). 3.4.4.2 Pentru bara cotit din Fig.3.4.4.2-1, s se traseze diagramele de eforturi. Nu calculm reaciunea din nepenire, dar toate intervalele vor fi parcurse dinspre captul liber spre nepenire. Notm seciunile caracteristice ale cadrului cu: 1, 2, 3, B (Fig.3.4.4.2-1), rezultnd trei intervale: 1 - 2, 2 - 3, 3 - B. Privind atent sistemul (cadrul i ncrcarea), diagramele eforturilor N i T se traseaz foarte uor. Toate intervalele sunt nencrcate (p = 0), de unde rezult c N i T sunt constante, iar M (Mi i Mt) prezint variaie liniar. Pe intervalele 1 - 2 i 2 - 3, fora exterioar F produce efort tietor care acioneaz n plan vertical (de sus n jos), iar pe intervalul 3 - B, fora F produce efort axial N, de compresiune. Efortul axial N se poate reprezenta n diagram n orice plan, iar efortul tietor T l reprezentm n planul forei F, adic n plan vertical, deasupra barei (pentru a fi de aceeai parte pe bar cu fora F).

Fig.3.4.4.2-1

b

B

a1

F

2 3

c

53

Diagramele N i T, sunt prezentate n Fig.3.4.4.2-2a, respectiv Fig.3.4.4.2-2b. n diagrama N punem semn, iar n diagrama T nu mai punem semn. S calculm i s trasm acum diagramele de momente (ncovoietoare Mi i de torsiune Mt), diagrame care se obin ceva mai greu. Utilizm aceeai metod ca la exemplul precedent. Separm cele trei intervale (Fig.3.4.4.2-3) i calculm valoarea momentelor la capetele fiecrui interval. S ne reamintim c, ntr-o seciune (nu conteaz la care interval aparine), eforturile M sunt aceleai, dar de la un interval la altul pot fi de natur diferit (Mi Mt sau Mt Mi).

0 F b

F

F

F

F a

F

F

N T

a) b)

Fa F b

F b

F b

F a

F a

F a

Mi Mt

c) d) Fig.3.4.4.2-2

54

Se poate constata c dimensiunile a i b ale primelor dou intervale, sunt perpendiculare pe suportul forei F i ca urmare aceste dimensiuni sunt brae pentru fora F; ele creeaz momente mpreun cu fora F. Dimensiunea c a celui de-al treilea interval (3 - B), este paralel cu direcia forei F, ceea ce nseamn c dimensiunea c nu va fi bra pentru F i ca urmare nu exist nici un moment dat de F cu c. Aadar, s ncepem cu , Intervalul (1 - 2). n seciunea 1, M1 = 0. n seciunea 2, M2 = F a. Valorile momentelor pentru acest interval, sunt trecute n Fig.3.4.4.2-3 la capetele intervalului. Rmne s stabilim natura acestora. M2 = Fa este moment ncovoietor (este perpendicular pe planul format de F i braul b). Variaia lui M1-2 este liniar, fibra ntins fiind deasupra. Diagrama aceasta este reprezentat n Fig.3.4.4.2-2c. Intervalul (2 - 3). n seciunea 2 a intervalului 2 - 3, exist acelai moment M2 = Fa care a existat i n seciunea 2 a intervalului 1 - 2. Momentul M2 = Fa este scris la captul intervalului 2 - 3 (Fig.3.4.4.2-3). Acest moment este un moment de torsiune (este orientat n lungul barei 2 - 3). n seciunea 3 a intervalului 2 - 3, fora F creeaz dou momente (pentru a ajunge n seciunea 3, trebuie parcurse braele a i b): M1,3 = Fa i M2,3 = Fb. Momentele M1,3 i M2,3 sunt puse n seciunea 3 a intervalului 2 - 3 (Fig.3.4.4.2-3). Momentul M1,3 = Fa este un moment

2

0 1

F

F a

2 3 3

B

F a F aF b

F b

F a

F a Fig.3.4.4.2-3

55

de torsiune, iar M2,3 = Fb moment ncovoietor, fibra ntins fiind deasupra barei. De remarcat c n seciunea 2 a intervalului 2 - 3, nu exist moment ncovoietor i momentul M2 = Fa (ncovoietor) din seciunea 2 a intervalului 1 - 2, devine moment de torsiune n aceeai seciune 2, dar a intervalului 2 - 3. Valorile momentelor determinate pentru intervalul 2 - 3, sunt trecute n diagrama din Fig.3.4.4.2-2c, respectiv Fig.3.4.4.2-2d i apoi aceste valori sunt unite prin linie dreapt (variaie liniar). Diagrama Mt rezultat, poate fi reprezentat n orice plan. Intervalul (3 - B). n seciunea 3 a intervalului 3 - B exist aceleai momente care au existat i n seciunea 3 a intervalului 2 - 3. Acestea sunt trecute n seciunea 3 a intervalului 3 - B (Fig.3.4.4.2-3). Pentru a ajunge la seciunea B, trebuie parcurse de la fora F (seciunea 1) dimensiunile a, b i c. Aa cum s-a mai spus ceva mai devreme, dimensiunea c nu formeaz moment cu fora F. Rezult c n seciunea B nu apar momente suplimentare fa de cele din seciunea 3. n seciunea B, exist atunci numai momentele, M1,B = Fa i M2,B = Fb. Ele sunt trecute n seciunea B n Fig.3.4.4.2-3. Att M1,B ct i M2,B sunt momente ncovoietoare. Momentul ncovoietor M1,3 = M1,B = Fa, din seciunile 3 i B, apleac intervalul 3 - B dinspre noi nspre planul din spate, ntinznd fibrele situate nspre noi. n Fig.3.4.4.2-2c punem valorile acestui moment la capetele intervalului de partea fibrei ntinse i unim aceste valori printr-o linie dreapt, rezultnd o variaie liniar constant (vezi Fig.3.4.4.2-2c). Momentul ncovoietor M2,3 = M2,B = Fb din ambele seciuni (3 i B ale intervalului 3 - B), apleac bara 3 - B spre stnga (n planul barelor 2 - 3 i 3 - B) ntinznd fibrele din partea dreapt. n Fig.3.4.4.2-3 punem valorile acestui moment la capetele intervalului 3 - B de partea fibrei ntinse (n partea dreapt). Unim cu linie dreapt valorile de la captul intervalului 3 - B i obinem diagrama din Fig.3.4.4.2-2c (variaie liniar constant). Am parcurs astfel ntreaga bar cotit (din captul liber pn la nepenire), rezultnd diagramele de eforturi, prezentate n Fig.3.4.4.2-2.

56

Dup cele dou exemple prezentate (3.4.4.1 i 3.4.4.2), consider c putei aborda cu curaj i ncredere orice sistem spaial n vederea trasrii diagramelor de eforturi (vezi Cap.3E).

57

3E. Diagrame de eforturi (Probleme propuse)

Pentru sistemele urmtoare s se traseze diagramele de eforturi:

8 kN300

12 kNm6 kN/m

2 m 4 m

3E.1

3E.2 6 kN 7 kN/m12 kNm

2 m 4 m

3E.3

8 kN

4 kN/m 6 kNm

2 m 4 m

3E.4 10 kNm

9 kN/m 10 kN

4 m 2 m

58

10 kNm 3E.5 8 kN/m

16 kN 4 m 2 m

8 kNm 3E.6 9 kN/m

4 kN1 m 3 m

3E.7 8 kN/m 10 kNm

2 kN 1 m 3 m 1 m

1 m

3E.8 10 kNm 10 kN/m

8 kN2 m1 m

59

3E.9 1,5 pa 0,5 pa2 p

a 2 a a

3E.10 7 kN/m 10 kNm

4 kN1,5 m 1 m 2,5 m

pa

3E.12 p2pa2

a a 2a

1 m

3E.11

1 m 3 m

15 kN/m5 kNm

10 kN

60

8 kN 1,2 m

3E.13 12 kNm 6 kN/m

2 m 1,4 m

3E.14 4 kN/m 6 kNm 6 kN

1m 5m 1m

2pa

3E.15 pa2 2p

1,8a 2,2a 2a

0,8m

3E.16 4 kN

7 kN/m 2 kNm

1,2m 1m

1m 2m1m

12 kN/m 3E.17 6 kNm

8 kN

61

3E.18 4 kNm 6 kN/m

8 kN 2m2m 1m

3E.19 4 kN4 kNm

10 kN 1m 1m 4m

8 kN

3E.20 4 kNm

6 kN/m

1m 1m 2m

62

2pa

3E.21 p pa

2

2a a 3a

1m 1m 1m

3E.22 6 kN/m

9 kN 3 kNm

3m

3E.23 pa

a 2a2a

p

3pa 4pa3E.24 2p

a a a a2a

3E.25 pa p

2a3a a

6a 2a

63

2p

3E.26 7p 2pa

2

2a 2a 2a

1m

3 kN3E.27

3 kN/m 9 kN

1,5m 1,5m 1,5m

3E.28

6 kN/m

12 kN/m

3m 2m

3E.29 6 kN/m

2m 2m 1m

3E.30 10 kN 2 kNm 8 kN/m 600

2m 2m1m

64

3E.32 3 kN1,5 kN/m

2 kNm

2 m

1,5 m 1,5 m

1,5 m

3E.33 20 kN/m

50 kN

20 kN

1m 1m

2m

2m

3m

4m

3E.31 pa

2a

a

a

a

p

65

3E.34 2pa2

2pa

p

4a

4a 4a

2a

a

a

3E.35

pa

p

2aa

3E.36 2 kN/m

3 kN

2m

1m1m1m

66

3E.37 3 kN 2 kN/m

1,5m1m

300

3 m

3E.38 Fa/2 a/2

a a

3E.39 F a/2 a/2

h h

67

3E.40 p

3a

4a3aa

3E.41

a/2 a/2

h h

p

68

9.1.42

R

F

2F3E.42

R

F

2F

3E.43

R

M

3E.44

R2F

F

3E.45

p

R

69

3E.46 F

R

3E.47

F a

2a 2a

3E.48 10 kN

4 kN/m 1m

1m

70

3E.49

a

2F

F

3F

2a

3E.50 a

2aa

p p

pa

4pa

2ap

3E.51

F

p

aa

2a

2a a

a

p

3E.52

F

p

71

2a

3E.53 F2F

2a

a

a

p

3E.54 p =2P/a

F

P

a a

2a

2a

a

3E.55

F

P

a

a

2a

3E.56

4a

2FF

72

aa

a

a

3E.57

ppa

a

F1

3E.58

F1

F2

a

a

aF3E.59

F

F

a

2a

3E.60 2a

a

F a

73

P = 20 kW, n = 100 rot/min, S1 = 2S2, T1 = 2T2, D1= 400 mm, D2 = 600 mm. P = 12 kW, n = 110 rot/min, S1 = 2S2, T1 = 2T2, D1 = 500 mm, D2 = 700 mm.

P = 16 kW, n = 90 rot/min, D1 = 600 mm, D2 = 900 mm.

3E.61

S2T2

S1

T1

100 150

1 2

260

3E.62

S1

S2

T1 T2

1 2

100 150 120

3E.63

S1

S2

12

200 240 190

74

P = 50 kW, n = 150 rot/min, D1 = 600 mm, D2 = 400 mm, T1 = 3T2 P = 70 kW, n = 300 rot/min, D1 = 400 mm, D2 = 600 mm, S1 = 3S2, T1 = 2T2

P = 40 kW, n = 100 rot/min, D1 = 400 mm, D2 = 600 mm, S1 = 3S2, T1 = 2T2

3E.64

S

T1

T2

300300 100

3E.65

200500100 S2 S1

T1

T2 1 2

3E.66

S1

S2

T1T2

300 300 200

1 2

75

P = 60 kW, n = 200 rot/min, D1 = 400 mm, D2 = 600 mm, S1 = 2S2, T1 = 3T2.

P1 = 80 kW, P2 = 30 kW, P3 = 50 kW, n = 400 rot/min, D1 = 320

mm, D2 = 480 mm, D3 = 4000 mm. P = 40 CP, n = 750 rot/min, P1 = 6 CP, P2 = 18 CP, P3 = 16 CP, D1 = 400 mm, D2 = 800 mm, D3 = 400 mm, G1 = 80 daN, G2 = 200 daN, G3 = 80 daN.

3E.67

T1

T2S1 S2

200 300 300

21

3E.68

3E.69

ME

1 2 3

200 200400 400

2T1

T1 2T2T2

2T3

T3

P

12 3

T2 T1T3

4T33T2 200 500 500 300

76

P1 = P2 = 100 CP, n = 200 rot/min, D1= 800 mm, D2 = 1.000 mm, G1 = 60 daN, G2 = 120 daN.

500

3E.70

750 750

1 2 300

450

T1

2T1

T2

2T2

1 2

77

3R. Diagrame de eforturi (Rspunsuri)

14

3R.2 6 kN 7 kN/m12 kNm

2 m 4 m

20 kN 14 kN 2 m

-6 -14 -12 -12

2

Mi [kNm]

T [kN]

-8

8 kN300

12 kNm6 kN/m

2 m 4 m

15 kN 13 kN

6,93

-4

11

-13 1,83 m

4

14,1

Mi [kNm]

T [kN]

N [kN]

3R.1

6,93 kN

78

1,88 m

8

3R.3

8 kN

4 kN/m 6 kNm

2 m 4 m

7,5 kN 8,5 kN

T [kN]

Mi [kNm]

8 7,5

-8,5

15,03

6

-10

3R.4 10 kNm

9 kN/m 10 kN

15,5 kN 30,5 kN

4 m 2 m

15,5 10 10

-20,51,72 m

-20

T [kN]

Mi [kNm]

13,35

79

16

10 kNm 3R.5

T [kN]

8 kN/m

16 kN 22,5 kN

9,5 kN

4 m 2 m

2,81 m

Mi [kNm]

22,55

-9,5 -16 -10

21,64

1,13

-8

9,13

3R.6 8 kNm 9 kN/m

4 kN1 m 3 m

9,13 kN 13,87 kN

T [kN]

Mi [kNm]

13,13

-13,87 1,46 m

10,7

80

2

1,37 m

3R.7 8 kN/m

T [kN]

10 kNm

2 kN 1 m 3 m 1 m

Mi [kNm]

18,7 kN 11,3 kN10,7

-8-13,3

2

4

3,1

8

2,754,25

0,92 m

1 m

3R.8