1

RICHIAMI LINEE & GUIDE

1) Teoria delle linee di trasmissione

a. Equazioni dei Telegrafistib. Parametri delle lineec. Carta di Smith

2) Strutture Guidanti

a. Cavo coassialeb. Guida d’ondac. Microstriscia

Teoria delle Linee di trasmissione(esempio cavo coassiale)

I(z)

V(z)

Z’ d z I(z + d z)

V(z + d z)Y’ d z

dz z

a

bln

'2''C

0

V

Q

C' = Capacità parallela per unità di lunghezza (F/m)

L' = Induttanza serie per unità di lunghezza (H/m)

G' = Conduttanza parallela per unità di lunghezza (S/m)

R' = Resistenza serie per unità di lunghezza (Ω/m)

Z ' = R' + j L ' Impedenza per unità di lunghezza (Ω/m)

Y ' = G’ + j C ' Ammettenza per unità di lunghezza (S/m)

a

bln

2

''L

0

I

ψ

' '

' '

2

Teoria delle Linee di trasmissione(esempi cavo coassiale)

=====

tan'C

a

bln

''2

a

bln

2

V

'I'G D

0

c

CS

2R

=

tan = ''/'

D = conducibilità del dielettrico

C = conducibilità del metallo

1

2𝑅′𝐼0

2 =1

2𝑅𝑒

𝑙1+𝑙2𝐸𝑡 ×𝐻𝑡

∗ ∙ 𝑛0 𝑑𝑙 = 1

2𝑅𝑆

𝑙1+𝑙2𝐻𝑡

2 𝑑𝑙

𝑅′ =𝑅𝑆 𝑙1+𝑙2

𝐻𝑡2 𝑑𝑙

𝑙1𝐻𝑡 𝑑𝑙

2= 𝑅𝑆 𝑏+𝑎

2𝜋 𝑎𝑏

Equazioni dei telegrafisti

z'Z

dz

zdI

V

z'Y

dz

zdV

I

zz eez VVV zz eeZ

z

VVI

0

1

'Cj'G'Lj'R'Y'Zj

'Cj'G

'Lj'R

'Y

'ZjZZZ j0r00

Onda diretta e riflessa di tensione Onda diretta e riflessa di corrente

Costante di propagazione

(attenuazione e fase)

Impedenza caratteristica

Parametri secondari della linea

3

Cavo Coassiale

basse perdite 'C'LjZ'GZ

'R

2

10

0

n

fcv

s/m103c

v

c'C'L≈

0

r

0

r

0

r

r

8

r

0

r0

r00

==→==

===

==

(velocità di fase)

'2Z

1

ab

ab

4

1

Z

ab

ab

2

R

2

1

Z

'R

2

1≈

C00

S

0

=+

=

+

=

Cavo Coassiale

a

bln

a

bln

'C

'LZ

r

60

2

10

Valore tipico per cavi e microstrisce Z0= 50

]dB[l686.8eP

Plog10

P

Plog10A

l2IN

IN

OUT

INdB

=== attenuazione

]m/dB[686.8A m/dB =per l = 1m

4

zz

zz

0ee

eeZ

z

zzZ

VV

VV

I

V

z2

z

z

ee

ez

V

V

V

V

0

0

ZzZ

ZzZz

z1

z1ZzZ 0

Impedenza lungo la linea

coefficiente di riflessione lungo la linea

5

Linee di trasmissione chiuse su carichi

Z0

z = - l z = 0 z

ZL

j

L

LL e

ZZ

ZZ

0

0

LLL

L0L jXR

-1

1ZZ +=+

=

( )( ) ( )( ) ( )lsenjZlcosZ

lsenjZlcosZZl-Z

L0

0L0

+

+=( )

( ) ( )( ) ( )lsenhZlcoshZ

lsenhZlcoshZZl-Z

L0

0L0

+

+=

( ) lj2-l2-jl2-L eel- +==

Per una linea «lunga» con perdite risulta ( ) 0l- =

con perdite assenza di perdite

Linea chiusa su carico adattato

z = 0 z

ZL=Z0 Z0

z = - l

ZL = Z00

ZZ

ZZ

0L

0LL

6

Impedenza, tensione e corrente

V(z)

I(z)

z z=0

z

R(z)

z=0

Z0

Linea chiusa su carico resistivo

z = 0 z

ZL = R Z0

z = - l

ZL = R0L

0LL

ZR

ZR

7

Impedenza, tensione e corrente

Linea chiusa in corto

ItanjZIZ 0

z = 0 z

ZL = 0 Z0

z = - l

ZL = 01

Z0

Z0

0

0L

8

Impedenza, tensione e corrente

Risonanza serie

Risonanza parallelo

Circuiti risonanti

9

Linea in c.c. corta

Per l < lambda / 4

Leq = X(-l) / = (Z0 / ) tan l

Per l < lambda / 12

Leq = Z0l / = Z0l / c = L'l

Linea chiusa in circuito aperto

IcotjZIZ 0

z = 0 z

Z0

z = - l

ZL =

ZL = 1Z

Z

0

0L

10

Impedenza, tensione e corrente

Risonanza serie

Risonanza parallelo

Linea in c.a. corta

Per l < lambda / 4

Ceq = B(-l)/ = (Y0 / ) tan l

Per l < lambda / 12

Ceq = Y0 l / c = C'l

11

ROS e vari casi

-1

1

V

VSWR

MIN

MAX +==

rapporto d'onda stazionaria

(ROS o SWR) 1SWR

1-WRS

+=

Carico adattato ZL = Z0 = 0 SWR = 1

Corto circuito ZL = 0 = 1 SWR =

Circuito aperto ZL = = 1 SWR =

Carta di Smith delle impedenze

CC 0

0.5

1.0

2.0

-0.5

-1.0

-2.0

0.5 1.0 2.0

P

CM CA

ZL = 100 + j50

induttiva

capacitiva

12

Carico in funzione della frequenza

cavo coassiale

13

Prodotti commercialicavi coassiali flessibili

Prodotti commercialicavi coassiali semi rigidi

14

Prodotti commercialicavi coassiali spline

15

Campo EM nel cavo

00

0tt

00

tt

20

212

r

1

a

bln

V1ze

1h

rr

1

a

bln

Ve

C)rln(

a

bln

VC)rln(

a

bln

),r(

(r0,0,z0)

Campo elettrico trasverso

16

Regione unimodale

ba

cf )11(c

Il primo modo di ordine superiore è il TE11

Per questo modo risulta

17

Esempio Cavo RG 58/U

Banda unimodale

a = 0.44 mm b = 1.46 mm (2a=0.035 inches, 2b=0.116 inches)

ft(TEM) = 0.0 GHz

ft(11) = c/((a+b)) = (3108/2.1)/(3.14 1.9 10-3) = 34.7 GHz

Impedenza caratteristica

506.49

44.0

46.1ln

21.2

120

a

bln

2Z0

Esempio Cavo RG 58/U

Attenuazione conduttore (copper)

3

7

99

10016.0107.5368

101.2102

g8

f =1 GHz

040.0

44.0

46.1ln

46.1

10

44.0

10

10016.0

a

bln

b

1

a

1

g8

33

3c

]dB[6,105,30686,8040.0 ft100c AdB

18

guida d’onda rettangolare

Geometria della guida rettangolare

19

Prodotti commerciali

Studio del campo EM nella guida

Campo elettrico puramente trasverso (TE) : EZ = 0

Campo magnetico puramente trasverso (TM) : HZ = 0

20

Soluzione trasversa Modi TE (guida rettangolare)

2

22

2

222t

b

n

a

mk

yb

ncosx

a

mcosA)y,x(hz

m = 0, 1, .. n = 0, 1, ..

si esclude il caso m = n = 0 campo nullo

autofunzione

autovalori

Soluzione longitudinale

z

fz

1zzz

1tjzzjk

1e

dt

dzv0dzdt

ztsenePeePIm)t,z(Z

Onda progressiva

Onda regressiva

z

fz

1zzz

2tjzzjk

2e

dt

dzv0dzdt

ztsenePeePIm)t,z(Z

fase costante

21

Costante di fase

2c

2tk

20

2

2

2c

z 111

22z

2t

2 kkk

2

2c2

c2

zzz 1jk

(guida priva di perdite)

Per KZ = 0 si pone: = C per cui

Per > C

Trasversale Longitudinale

f

fc

Condizione di separabilità

Curve di dispersione

k

22

Regione unimodale

2

22

2

22

cb

n

a

m

2

cf

a

cff

a2

cff )0,2(c2c)0,1(c1c

2

22

2

222c

2t

b

n

a

mk

m = 0, 1, .. n = 0, 1, ..

con a > 2b

Banda unimodale 1.25 fc1 < f < 0.95 fc2

1c

Denominazione della bande

23

Campo in guida rettangolaremodo TE10

xa

cosA)x(hz

xa

jBsen)x(hx

x

ajCsen)x(ey

Campo elettrico trasverso

24

Campo elettrico nella guida

Esempio Guida WR-90

a = 22.86 mm b = 10.16 mm

(a=0.9 inches, b=0.4 inches)

ft(10) = c/2a = 3108/(2 22.86 10-3) = 6.56 GHz

ft(20) = c/a = 3108/(22.86 10-3) = 13.12 GHz

Banda unimodale

6.56 1.25 = 8.2 GHz 13.12 0.95 = 12.4 GHz

25

Geometria della guida circolare

Modi TE

ncosra

CJ,rh

nsinr

ra

J

nk

kC,rh

ncosra

Jak

kC,rh

0,re

ncosra

Jak

jC,re

nsinr

ra

J

nk

jC,re

]m,n[nz

]m,n[n

2]m,n[t

]n,m[z

]m,n[n

]m,n[

2]m,n[t

]n,m[zr

z

]m,n[n

]m,n[

2]n,m[t

]m,n[n

2]n,m[t

r

m-esimo zero della derivata

della funzione di Bessel di 1a

specie d’ordine n

m,n′

26

0,rh

ncosra

Jak

jC,rh

nsinr

ra

J

nk

jC,rh

ncosra

CJ,re

nsinr

ra

J

nk

kC,re

ncosra

Jak

kC,re

)m,n(n

]m,n[

2)m,n(t

c

)m,n(n

2)m,n(t

cr

)m,n(nz

)m,n(n

2)m,n(t

)n,m(z

)m,n(n

)m,n(

2)m,n(t

)n,m(zr

Modi TM

m-esimo zero della funzione

di Bessel di 1a specie d’ordine n

m,n

Spettro dei modi

27

Modo fondamentale TE11

Modi Circolari elettrici TE0m

28

microstriscia

Geometria della microstriscia

29

Modo quasi TEM

Substrati

materiale

finitura sup.

(m)

104.tan

(10 GHz) r

cond. termica

(W/cm2/°C)

Allumina 99 % 0.25 1 - 2 10 0.37

Allumina 96 % 20 6 9 0.28

Allumina 85 % 50 15 8 0.20

Zaffiro 0.025 0.7 9.4 0.4

Vetro 0.025 20 5 0.01

Poliolefina 1 1 2.3 0.001

Duroid (Roger) 0.75-8.75 5-60 2-10 0.0026

Quarzo 0.025 1 3.8 0.01

Berillio 1.25 1 6.6 2.5

GaAs (alta-res) 0.025 6 13 0.3

Silicio (alta-res) 0.025 10-100 12 0.9

Aria (secca) - 0 1 0.00024

30

Equazioni di analisi

'0

'

effC

Cε

effeff0c

eff

'0eff

00

Cc

1ZZ

Impedenza caratteristica (t=0)

0

50

100

150

200

250

300

0.1 1 10 w/h

r

1

2 3 4 6

16

10

Z0 [

31

Costante di fase

f

propagazione in aria

Modo dominante

modo quasi-TEM

propagazione nel dielettrico

modi di ordine

superiore

/c0

0

r

c

Modi di ordine superiore

x

y

x

y weff

a) b)

weff

eff

eff10c

w2

/cTEf

eff

eff20c

w

/cTEf

32

APPENDICE

Costante di propagazione per basse perditeAPPENDICE