DRŽAVNI UNIVERZITET U NOVOM PAZARU

DEPARTMAN ZA MATEMATIČKE, FIZIČKE I INFORMATIČKE NAUKE

SMER: MATEMATIKA I FIZIKA

Seminarski rad iz predmeta Aplikativni softver

TEMA: RIMANOVA HIPOTEZA

Student: Mentor:

Senad Avdović, 15-005/09 Prof. dr Žarko Barbarić

Novi Pazar, 11. januar 2011. godine

Rimanova hipoteza

SADRŽAJ:

1. UVOD.........................................................................................................................................2

2. RAĐANJE IDEJE.....................................................................................................................3

2.1. RIMANOVA ZETA(ζ )-FUNKCIJA.............................................................................................32.2. RAD NA POLJU PROSTIH BROJEVA.........................................................................................42.3. GRAFIČKI PRIKAZ I NJENA APROKSIMACIJA...........................................................................6

3. VEZA SA RASPODELOM PROSTIH BROJEVA...............................................................9

4. POKUŠAJI DOKAZIVANJA..................................................................................................9

4.1. NOVIJI POKUŠAJI DOKAZIVANJA..........................................................................................11

ZAKLJUČAK..............................................................................................................................12

LITERATURA.............................................................................................................................13

Senad Avdović 1

Rimanova hipoteza

1. UVOD

Georg Fridrih Bernhard Riman (nem. Georg Friedrich Bernhard Riemann) (17. septembar 1826. - 20. jul 1866), bio je nemački matematičar  koji je dao značajan doprinos razvoju matematičke analize i diferencijalne geometrije, čime je ujedno utro put i za kasniji razvoj Opšte teorije relativnosti.

Bernhard Riman je rođen u Breslencu 17. septembra, 1862, ujednom selu blizu Danenberga u kraljevstvu Hanover (koji je deo današnje Nemačke). Njegov otac Fridrih Bernhard Riman je bio siromašni luterijanski pastor  u Breslencu. Fridrih Riman se borio u Napoleonovim ratovima. Rimanova majka je umrla pre nego što je on odrastao. Bernhard je bio drugo od šestoro dece. On je bio stidljiv dečak i patio je od mnogobrojnih nervnih slomova. Od ranog uzrasta, Riman je pokazivao svoje izuzetne veštine, kao što je na primer, veština u rešavanju matemetičkih zadataka, ali se zbog urođene stidljivosti i plašljivosti uzdržavao od javnog izlaganja pred publikom.

U srednjoj školi, Riman intenzivno proučava Bibliju. Ali njegov um često skreće ponovo na matematiku i on čak pokušava matematički da dokaže tačnost knjige Postanja. Njegovinastavnici bili su zapanjeni njegovim genijem i sposobnostima da reši veoma komplikovane matematičke operacije. U ovome on bi često

nadmašio i znanje samih njegovih nastavnika. Godine 1840, Bernhard odlazi u Hanover da živi sa svojom jedinom bakom i posećuje licej. Nakon smrti njegove bake 1842. godine on odlazi za Johaneum u Lineburgu. U 1846. godini, u dobi od 19 godina, počinje da studira filologiju i teologiju, sa namerom da postane sveštenik i tako finansijski pomogne svoju porodicu. Godine 1847, njegov otac, nakon što je sakupio dovoljnonovca da pošalje Rimana na univerzitet, dozvoljava mu da prekine studije teologije i započne studije matematike. On je neposredno zatim poslat na

obnovljeni Univerzitet Getingen, gde prvi put upoznajeKarla Fridriha Gausa i sluša njegova predavanja iz metoda najmanjih kvadrata. 1847. on se preseljava u Berlin, gde nastavu drže Karl Gustav Jakobi, Johan Peter Gustav Ležen Dirihle iJakob Stajner. On ostaje u Berlinu dve godine i vraća se u Getingen 1849.

Riman drži svoje prva predavanja 1854. godine, koja ne samo da zasnivaju oblast Rimanove geometrije već predstavljaju i prvu stepenicu za izgradnju Ajnštajnove Opšte teorije

Senad Avdović 2

Slika 1.1. Bernhard Riman

Slika 1.2. Getingen - Glavni trg (1747. godine)

Rimanova hipoteza

relativnosti, onda kada Albert Ajnštajn počinje da stvara ovo svoje čuveno delo. Bio je jedan neuspešan pokušaj da se Riman promoviše za mesto vanrednog profesora na Univerzitetu u Getingenu, 1857, ali zahvaljujući tom pokušaju Riman je otada barem počeo da prima redovnu platu. Godine 1859, nakon Dirihleove smrti on je ipak postavljen za šefa departmanaa za matematiku u Getingenu. On je, takođe, bio prvi koji je predložio teoriju više dimenzija, koja je još dodatno veoma uopštila zakone fizike. 1862. godine on se oženio sa Elizom Koh, sa kojom je dobiokćerku. Četiri godine kasnije je umro od tuberkuloze za vreme svoga trećeg putovanja u Italiju, u mesto Selaska na reci Mađiori.

2. RAĐANJE IDEJE

2.1. Rimanova zetaζ-funkcija

Rimanova hipoteza je pretpostavka o distribuciji netrivijalnih nula Rimanove zeta-funkcije ζ(s). Prvi put je formulisana u radu Bernarda Rimana iz 1859: O broju prostih brojeva

ispod zadate veličine (nem. Über der Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Größe). Od

tada, i pored ogromnih napora, ovaj problem i dalje ostaje nerešen.

Rimanova hipoteza govori o nekim fundamentalnim osobinama prirodnih brojeva. Medjutim, Rimanova hipoteza se ne može izraziti jednom prostom rečenicom, zato ćemo napraviti kratak uvod u problematiku.

Prirodni brojevi su oni brojevi koji se dobiju običnim brojanjem predmeta. 1, 2, 3, 4,...15,...20,...1000, itd. su prirodni brojevi.Prirodnih brojeva, razume se, ima beskonačno mnogo, a medju njima poseban značaj i ulogu imajuprosti brojevi. To su brojevi koji su deljivi (bez ostatka!) samo sa sobom i jedinicom. Na primer, brojevi 2, 3, 5, 7, 11, itd., su prosti brojevi.

Senad Avdović 3

Slika 2.1.1.Grafički prikaz Rimanove zeta–funcije

Rimanova hipoteza

Osobina "prost broj" se nalazi su samoj suštini naših predstava o količinama. Na primer, mi možemo da zamislimo kosmos, ili svet, u kome je gravitaciona sila slabija od ove koja vlada u našem kosmosu, ili svet u kome je brzina svetlosti veća nego što je u našem svetu, ali nam je nemoguće da čak i zamislimo svet u kome broj 7, na primer, ne bi bio prost.

Rad iz 1859. je Rimanov jedini ogled u teoriji brojeva, ali je hipoteza izneta u njemu jedan od najznačajnijih nerešenih problema u savremenoj matematici, pre svega zato što se dosta važnih rezultata oslanja na važenje ove hipoteze (recimo u kriptografiji, faktorizaciji celih brojeva i polinoma).

Legenda kaže da se kopija sakupljenih Rimanovih radova u Hurvicovoj (engl. Adolf Hurwitz) biblioteci nakon njegove smrti sama otvarala na strani na kojoj se nalazio iskaz Rimanove hipoteze.

David Hilbert je na Drugom međunarodnom kongresu matematičara u Parizu, 8. avgusta 1900. godine postavio problem Rimanove hipoteze kao jedan od dvadesettri Hilbertova problema(problem broj osam). Za Hilberta je Rimanova hipoteza imala poseban značaj. Kada su ga pitali šta bi najpre uradio nakon 500-godišnjeg sna, Hilbert je odgovorio da bi prvo pitao da li je Rimanova hipoteza dokazana.

2.2. Rad na polju prostih brojeva

O prostim brojevima i njihovim osobinama je, od Starih Grka pa do danas, napisano na hiljade stranica popularnog teksta, matematičkih analiza, kurioziteta, numericke mitologije i slično, ali ovde nemamo dovoljno prostora da se toj temi detaljnije posvetimo.

Brojevi koji nisu prosti zovu se složeni brojevi. Na primer, svi parni brojevi, sem broja 2, su složeni brojevi jer su deljivi sa brojem 2 (broj 2 je, očevidno, jedini paran prost broj). Takodje, svi prirodni brojevi koji se završavaju cifrom 0 ili 5, osim samog broja 5, su složeni jer su deljivi prostim brojem 5, itd.

Važnost prostih brojeva proističe iz sledeće fundamentalne teoreme o razlaganju (faktorizaciji):Svaki prirodan broj se može, na jedinstven način, napisati kao proizvod prostih brojeva.

Na primer, broj 15 može da se zapise kao 15=3x5, broj 12 kao 12=2x2x3, broj 13 kao 13=13, tj ovaj broj se ne moze razložiti na prostije delove jer je i sam prost. Prosti brojevi imaju ''atomsku" prirodu nerasčlanjivosti, da tako kažem. U tom smislu se kaže da su prosti brojevi u matematici slični osnovnim harmonicima u muzici. Kao što se svaki ton u muzici može predstaviti kao odredjeni jedinstven zbir osnovnih zvučnih harmonika, tako se i svaki prirodan broj može predstaviti kao odredjeni jedinstven proizvod prostih faktora. Zbog toga se ponekad govori o muzici prostih brojeva. Prosti brojevi su osnovni numerički ''delovi'' od kojih su svi prirodni brojevi ''izgradjeni'' množenjem.

Na ovom mestu je korisno pomenuti i Goldbachovu pretpostavku (1742): svaki paran broj veći od 2 se može napisati kao zbir dva prosta broja. Na primer, broj 18 moze da se napiše kao 18=7+11. Ova dekompozicija, medjutim, nije jedinstvena - broj 20, na primer, se može napisati kao 20=7+13, ali i 20=17+3. Goldbachova pretpostavka je još jedan klasičan problem, star oko 350 godina, za koji nemamo dokaza.

Senad Avdović 4

Rimanova hipoteza

Pitanje se odmah nameće: u beskonačnom skupu prirodnih brojeva, koliko ima prostih brojeva? Odgovor na ovo pitanje je dao Euklid - prostih brojeva ima beskonačno mnogo. Euklidov briljantni dokaz ove tvrdnje je takodje i sjajna ilustracija matematičkog načina razmišljanja i dokazivanja, pa ću ga ovde opisati. Ko ne voli ovu vrstu dokaza može sledecih par paragrafa da preskoči: izvodjenje ovog dokaza nije neophodno za razumevanje onoga što kasnije sledi.

Podjimo, kako je to Euklid uradio pre oko 2300 godina, od obrnute tvrdnje: neka prostih brojeva ima konačno mnogo. Ako pokažemo da je ova polazna tvrdnja netačna, onda smo pokazali da prostih brojeva ima beskonačno mnogo, i dokaz je završen.

Zamislimo sada skup koji sadrži sve te proste brojeve. Iz naše polazne pretpostavke (da prostih brojeva ima konačno mnogo) sledi da ovaj skup, zovimo ga A, sadrži konačan broj elemenata.

Konstruišimo sada broj P, tako što ćemo da formiramo proizvod svih elemenata skupa A, tj. svih prostih brojeva. Broj P je, po konstrukciji, složen broj, jer se sastoji od proizvoda (svih) prostih brojeva. A šta je sa brojem Q=P+1, tj. brojem koji se dobije tako što se broju P doda jedinica? Postoje dve mogućnosti:

(1) Ako je broj Q prost, onda se on razlikuje od svakog od elemenata skupa A, pa smo na ovaj način konstruisali novi prost broj. To je suprotno polaznoj prepostavci da je A konačan skup koji sadrži sveproste brojeve - evo mi smo na ovaj način konstruisali novi prost broj (Q) koji se ne nalazi u skupu A.

(2) Ako je broj Q složen, onda on, po definiciji složenog broja, mora da bude deljiv bez ostatka sa nekimprostim brojem. I taj neki prost broj mora da je različit od bilo kog prostog broja koji se nalazi u polaznom skupu A. U suprotnom, ako je složen broj Q deljiv sa prostim brojem iz skupa A, onda, budući da je i broj P (proizvod svih prostih brojeva) takodje deljiv sa tim prostim brojem, onda i razlika brojeva Q i P, tj. Q-P=P+1-P=1, mora da je deljiva tim brojem, odnosno da je broj 1 deljiv nekim prostim brojem, što je apsurd. Dakle, složen broj Q mora biti deljiv nekim novim prostim brojem koji se ne nalazi u skupu A, a to je opet suprotno našoj pretpostavci da skup A sadrži sve proste brojeve.

 Drugim rečima, mi smo ovom konstrukcijom uspeli da dobijemo nove proste brojeve koji se ne nalaze u našem početnom skupu A svih prostih brojeva. Ovu konstrukciju možemo da ponovimo beskonačno mnogo puta. Skup svih prostih brojeva, dakle, ne može da bude konačan, tj. prostih brojeva ima beskonačno mnogo. Dokaz završen.

 Ključno je iz svega do sada rečenog zapamtiti da se svaki prirodan broj može faktorizovati, ili rastaviti, kao proizvod prostih brojeva na jedinstven način, i da prostih brojeva ima beskonačno mnogo.

U redu, ima ih beskonačno mnogo, ali postoji li neki način da utvrdimo kako su prosti brojevi raspoređeniduž brojne ose? Na primer, da li ima više prostih brojeva izmedju 1 i 1000, ili izmedju 10000 i 11000, ili na nekom drugom segmentu dužine 1000 na brojnoj osi? Ovo pitanje može da se postavi i na drugi način: koliko ima prostih brojeva manjih od nekog zadatog broja X? Na primer, koliko ima prostih brojeva manjih od 500?

Upravo ovo je bio naslov već pomenutog Rimanovog originalnog rada iz 1859. godine Ueber die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse (O broju prostih brojeva manjih od nekog zadatog broja) u kome je postavio svoju hipotezu.

Senad Avdović 5

Rimanova hipoteza

2.3. Grafički prikazi i njena aproksimacija

Zamislimo da pođemo duž brojne ose, polazeći od broja 1, koracima jedinične dužine, i da brojimo proste brojeve koje na tom putu "sretnemo". Dok stignemo do broja 10, na primer, prebrojaćemo 4 prosta broja (2,3,5,7), do broja 20 imamo 8 prostih brojeva (2,3,5,7,11,13,17,19), do broja 60, srešćemo 17 prostih brojeva, itd. Sada možemo da grafički predstavimo ovaj rezultat i on izgleda kao na slici 2.1.1..

Slika 2.3.1. Funkcija π(x), koja prebrojava broj prostih brojeva manjih od 60

Prvo, vidimo da je ova funkcija ‘'stepenasta'' - kako idemo duž brojne ose (na desno), postoje intervali gde nema prostih brojeva (izmedju 7 i 11, recimo) i tu je funkcija horizontalna, tj, ne menja se, i vrednost joj je stalno 4; pa kod prostog broja 11 poraste za jedan ''stepenik'' i vrednost joj je 5, pa kod broja 12 se ne menja jer 12 je složen broj, pa kod prostog broja 13 opet poraste za jedan ''stepenik'', pa se kod brojeva 14, 15 i 16 ne menja jer su ovo složeni brojevi, pa kod prostog broja 17 poraste za jedan ''stepenik'', itd.

Kad pogledamo u gornju sliiku, broj tačkica u horizontalnom nizu nam kaže kolika je dužina tog intervala na kome nema prostih brojeva. Negde je ta dužina 2 - tamo gde su prosti brojevi susedni neparni brojevi (3 i 5) recimo, ili (11 i 13), ili (17 i 19) - i ovakvi parovi prostih brojeva se zovu ''blizanci'' (twin pairs). Negde je taj interval na brojnoj osi gde nema prostih brojeva dužine 4 (izmedju 7 i 11, na primer), ili dužine 6 (izmedju 23 i 29, na primer). U svakom slučaju, prosti brojevi nisu ravnomerno rasporedjeni duž brojne ose. To se vidi i po tome što funkcija π(x), predstavljena gore, ne raste ravnomerno, već je zakrivljena, ili, tehnički rečeno, nelinearna.

Dobro, nisu ravnomerno rasporedjeni, a da li su po nekom pravilu rasporedjeni, ili se pojavljuju na brojnoj osi potpuno slučajno, na nepredvidljiv način? Ovo pitanje je, zapravo, pitanje o globalnomponašanju funkcije π(x) - gore je nacrtano samo njeno ponašanje na intervalu od 1 do 60 - mi hoćemo da znamo nešto o svim prostim brojevima, tj. o njihovom rasporedu na celoj brojnoj osi. Odgovor na njega je suština Riemannove hipoteze.

Senad Avdović 6

Rimanova hipoteza

Da bi stekli malo bolji uvid, korisno je pogledati kako izgleda funkcija π(x) prikazana na većem intervalu. Konkretno, na intervalu od 1 do 1000 ona izgleda ovako:

Slika 2.3.2. Funkcija π(x), za proste brojeve manje od 1000

Na intervalu od 1 do 50 000 ovako:

Slika 2.3.3. Funkcija π(x), za proste brojeve manje od 50000

 

Na ovako velikim skalama se "stepenici" na našoj funkciji uopšte ne vide - što, naravno, ne znači da ih nema, samo da su mali. Posebno pada u oči da bi naša funkcija, dobijena najobičnijim brojanjem, možda mogla da se aproksimativno napiše u nekom zatvorenom obliku.

Prvi pokušaj u ovom pravcu je napravio Gauss, Riemannov profesor. On je našao da bi najbliža aproksimacija za našu funkciju bilaπ(x)≈x/log x.

Senad Avdović 7

Rimanova hipoteza

Da proverimo. Znamo na primer da je π(100)=25, tj. da od 1 do 100 ima 25 prostih brojeva. Prema gornjoj formuli se dobije 100/log(100)=21.7, što nije baš sasvim tačno, ali nije ni suviše pogrešno - razlika je oko 12%. Za veće brojeve, na primer 1 milion, π(1 000 000)=78 498, tj na intervalu od 1 do million ima oko 78 500 prostih brojeva. Prema gornjoj formuli dobijamo 72 382, što je odstupanje od oko 8%. I, najvažnije, razlika se smanjuje.

Međutim, Gaus je kasnije uspeo da nađe bolju aproksimaciju za našu funkciju. Umesto izraza x/log(x) , Gaus je predložio funkciju Li(x), poznatu kao logaritamski integral - ona je prosto integral funkcije 1/log(u), na intervalu 2 do x.

Ako bi zajedno nacrtali tok funkcija π(x) i Li(x) od 1 do 50000 dobili bi ovakvu sliku

Slika 2.3.4. Funkcija π(x) i njena aproksimacija Li(x)

 Drugim rečima, na ovoj skali, razlika se uopšte ne vidi. Ne zaboravimo, ipak, da je naša

funkcija π(x) stepenasta, dok je Li(x) neprekidna, glatka funkcija, i da je u pitanju samo aproksimacija.

Slika 2.3.5. Rimanova zeta funkcija

Senad Avdović 8

Rimanova hipoteza

3. VEZA SA RASPODELOM PROSTIH BROJEVA

Rimanova zeta-funkcija ζ (s) definisana je za kompleksne brojeve s u poluravni kao

ζ ( s)=∑n=1

∞1ns (3.1.)

a zatim se analitički produžuje na celu kompleksnu ravan do funkcije holomorfne svuda osim u s=1, gde ima prost pol sa ostatkom1.

Veza ζ -funkcije sa raspodelom prostih brojeva ostvaruje se preko Ojlerovog identiteta

ζ ( s)=∏p

1

1−p−s ( 3.2.)

gde se proizvod vrši po svim prostim brojevima p. Ojlerov identitet analitički izražava Osnovnu teoremu aritmetike, koja govori da se svaki prirodan broj može jednoznačno razložiti na proizvod prostih brojeva. I zaista, prema formuli za zbir geometrijskog reda, sledi:

1

1−p− s=1+ 1

ps+ 1

p2 s+ 1

p3 s+…+ 1

pks+…(3.3.)

Ako bismo dakle pomnožili1

1−p− s i 1

1−q−s ,dobili bismozbir svih mogućih sabiraka

oblika 1

pks

1

q ls ; ako pak izvršimo proizvod po svim prostim brojevima, dobićemo da je

∏p

1

1−p−s jednak zbiru svih mogućih razlomaka oblika

1

p1k1 s

1

p2k2 s

…1

prk r s

= 1

(p¿¿1¿¿k1 p2k2… pr

k r)s ¿¿ (3.4.)

U ovim formulama se nalazi naša korespodencija sa hipotezom.

4. POKUŠAJI DOKAZIVANJA

U svojoj studiji prostih brojeva i njihovih osobina, Riman je prvi proučavao osobine zeta-funkcije, ζ(s), kada je, kao što smo na početku prethodnog poglavlja naglasili, s kompleksan broj. Dakle, eksponent s nije vise samo realan stepen kao na primer s=1, ili s=4, ili s=0.75, već

Senad Avdović 9

Rimanova hipoteza

je u pitanju kompleksan broj koji ima svoj realni i svoj imaginarni deo. Uobičajeno je da se s u ovom slučaju piše kao s=x+iy, gde je i imaginarna jedinica.

Od ključnog značaja za razumevanje rasporeda prostih brojeva na brojnoj osi je tačan položaj nula Rimanove zeta-funkcije. Nula funkcije, setimo se, je ona vrednost argumenta za koju funkcija ima vrednost nula. Pošto je argument zeta-funkcije, s, kompleksan broj, onda se nule te funkcije nalaze u kompleksnoj ravni.

Riman je uspeo da dokaže da se nule ove funkcije (nule koje nas zanimaju!) nalaze na "kritičnoj traci" (critical strip) u kompleksnoj ravni izmedju 0<1. To se može na slici 2.1.1. lepo videti - funkcija kao da "probija" kompleksnu ravan duž nekakve linije (one udoline kao da su poređane na neki način). Medjutim, Rimanova hipoteza kaže nešto mnogo preciznije:Sve nule zeta-funkcije se nalaze tačno na liniji x=1/2, u kompleksnoj ravni.

I to je tvrdnja koju treba dokazati, Rimanova hipoteza u jednoj recenici!

Tokom decenija i decenija su pravljeni pokušaji da se ova hipoteza dokaže. Numerički, oko 15 milijardi nula Rimanove zeta-funkcije je izračunato i sve se nalaze baš na liniji x=1/2, kako hipoteza kaže. Medjutim, 15 milijardi je ništa u odnosu na beskonačno, nama treba položaj svih nula.

Poslednjih decenija je došlo do otkrića neočekivane veze izmedju nula zeta-funkcije i nekih fizičkih sistema koji mogu da pokazuju haotično ponašanje (tzv. Gaussian Unitary Ensembles - GUE, kvantni bilijar, itd). Takodje, ustanovljena je veza izmedju nekih statističkih osobina nula zeta-funkcije i energijskih nivoa u teškim nuklearnim jezgrima. Izmišljeni su fizički sistemi, gasovi Ojlerijum i Rimanijum na primer, čije se termodinamičko ponašanje izvodi iz osobina zeta-funkcije, Ukratko, kao da su u osobinama nula ove funkcije enkodirani neki fundamentalni fizički zakoni, na način koji još ne razumemo. Veza izmedju teorije brojeva i teorijske fizike počinje da se ozbiljnije nazire.

Kakve ovo ima posledice po našu prvobitnu priču o prostim brojevima i njihovom rasporedu? Setimo se, došli smo do toga da je funkcija Li(x) dobra aproksimacija naše funkcije, π(x), koja broji koliko ima prostih brojeva na intervalu od 1 do x, ali da se od nje ipak razlikuje. Koliko se razlikuje?

Ako je Rimanova hipoteza tačna, onda je

π ( x )=Li ( x )+O (x12 ∙ log x ) (4.1.)

 Ove dve funkcije se razlikuju za korekcioni faktor reda veličine x12 ∙ log x, kako piše u

formuli. Ovaj stepen 12

upravo potiče od položaja nula Rimanove zeta-funkcije i zato nam je cela

priča o njoj trebala. Šta ovo konkretno znači, i zašto je to važno?

 Evo zašto je važno.

Kada bacimo ispravan novčić u vis, sa verovatnoćom 1/2 (ili 50%) očekujemo da će da padne ‘'glava'', i verovatnoćom 1/2 (ili 50%) da će biti ‘'pismo''. Šta ovo znači? Pa, svakako ne znači da će, ako je u prvom bacanju ispala glava, recimo, da će u sledećem obavezno biti pismo. Ne, mi se ne bi iznenadili ako bi glava izašla nekoliko puta uzastopno - to nije nemoguće, ali nije ni suviše neverovatno ako je broj bacanja mali.

Senad Avdović 10

Rimanova hipoteza

Ako 1000 puta bacimo novčić, mi očekujemo da će oko 500 puta ispasti glava i oko 500 puta pismo. Naravno, kod konkretnih bacanja, ovo ne mora tačno da se ostvari - možemo da dobijemo 495 puta glavu i 505 puta pismo. I to je u redu. Verovatnoća kaže da će, prosečno 500 puta ispasti glava, ali ne obavezno i tačno toliko puta kod 1000 bacanja novčića. Međutim, ako bi dobili 300 puta glavu i 700 puta pismo, to bi bilo sasvim neočekivano. Zašto neočekivano, čime se neočekivanost meri? Meri se standardnom devijacijom, koja je u slučaju bacanja novčića jednaka kvadratnom korenu iz broja bacanja, u našem slučaju

√10004

≈ 8(4.2.)

Zapamtimo reči kvadratni koren u prethodnoj rečenici. Dakle, svi rezultati gde smo u 1000 bacanja dobili 500 puta glavu, plus minus 8 ili slično, su očekivani. Ako bi dobili glavu samo 300 puta, to je ekstremno malo verovatno - pomislili bi da ili sa novčićem nešto nije u redu, ili sa svetom kakav poznajemo nešto nije u redu.

4.1. Noviji pokušaji dokazivanja

Rimanova hipoteza je kao i poslednja Fermaova teorema bila inspiracija za nebrojene pokušaje dokazivanja, gde su podjednako neuspešni bili i vrhunski i matematičari amateri. Kada je 1995. godine engleski matematičar Endru Vajls izveo dokaz Fermaove poslednje teoreme - fokus matematičke zajednice je preusmeren na Rimanovu hipotezu, najistaknutiji nerešeni problem u matematici danas. Ovde su nabrojani značajni nauspešni pokušaji u prethodnoj deceniji, i njih ću predstaviti u sledećoj tabeli:

Tabela 4.1.1. Pokušaji dokazivanja u prethodnoj deceniji

Ime i prezimeGodina predstavljanja

dokazaRezulat

Mati Pitkanen (Matti Pitkanen) Septembar 2001.Povučen zbog greške u novembru iste godine

Karlos Kastro (Carlos Castro) i

Horge Maheha (Jorge Mahecha)

Serija radova od 2001. do 2006.

Njihov pristup je odbačen

Kaida Ši (Kaida Shi) Jul 2003. Dokaz je sadržavao grešku

Luj d’Branž (Louis de Branges de Bourcia) Jul 2004.Nađen kontraprimer; autor je kasnije objavio izvinjenje za dokaz Rimanove hipoteze

Jinžu Han (Jinzhu Han) Jun 2007. Dokaz je sadržavao grešku

Andrej Madrecki (Andrzej Mądrecki) Jul 2007. Dokaz je sadržavao grešku

Lev Aizeberg (Lev Aizenberg) Decembar 2007.Povukao dokaz zbog greške u januaru 2008.

Ksian-Jin Li (Xian-Jin Li) Jul 2008. Par dana kasnije povukao

Senad Avdović 11

Rimanova hipoteza

dokaz zbog greške

ZAKLJUČAK

Ako je Rimanova hipoteza tačna onda je formula 4.1., o rasporedu prostih brojeva na brojnoj osi, tačna. A to znači da mi možemo da predvidimo pojavu sledećeg prostog broja na brojnoj osi sa pouzdanošću koja je ista kao i kod bacanja novčića. Ako izračunamo da je broj prostih brojeva u intervalu od 1 do x, dat prema funkciji Li(x), onda smo u tom odgovoru pogrešili otprilike kao kod predvidjanja da će iz 1000 bacanja novčića 500 puta da se pojavi

glava. I ovo se sve zasniva na hipotezi da se nule Rimanove funkcije nalaze na liniji 12

kako je

ranije objašnjeno. Zbog te 12

imamo i kvadratni koren. Dokaz ove hipoteze bi nas uverio da su

prosti brojevi, do nama razumne mere predvidljivi koliko i bacanje novčića. Svi su izgledi da je ovo slučaj, barem koliko možemo numerički da proverimo.

Ako Rimanova hipoteza nije tačna, onda ovo predvidjanje ne važi, i prosti brojevi su rasporedjeni na mnogo više neuređen način. Drugim rečima, ovo znači da postoji negde numerički beskraj u svemiru brojeva gde su naša osnovna razumevanja o prostim brojevima netačna, i gde su ekstremno retki dogadjaji češće mogući. Ovaj ishod bi znatno poremetio konvencionalne poglede na svet, u kojem po većini ljudi vlada determinizam. Čak i ako bi se Rimanova hipoteza oborila, tj. ako se dokaže da nije tačna, ni to ne mora da bude apsolutna istina, već jednostavno može biti rezultat fundamentalnih grešaka u postavci celokupne matematike kakvu mi danas izučavamo i poznajemo, a s tim i primordijalnih grešaka u našem pogledu na sveukupnu prirodu oko nas.

Da bi znali u kojem od ovih svetova živimo potrebno je da rešimo najteži problem na svetu. U tome se sadrži celokupna agonija i ekstaza Rimanove hipoteze.

Senad Avdović 12

Rimanova hipoteza

LITERATURA

[1] Mlodinov, L., Euklidov prozor, Laguna, Beograd, 2005.

[2] http://sr.wikipedia.org/sr-el/Bernhard_Riman

[3] Ivić, A., Uvod u analitičku teoriju brojeva, IK Zorana Stojanovića, 1996.

[4] http://sr.wikipedia.org/sr-el/Rimanova_hipoteza

[5]Titchmarsh, E., The Theory of the Riemann Zeta-Function, Oxford University Press, 1986.

[4] http://sr.wikipedia.org/sr-el/Rimanova_zeta-funkcija

Senad Avdović 13

Rimanova hipoteza

Senad Avdović 14