RIMBORSO DI UN PRESTITO

Rimborso di un prestito

• Un prestito, o mutuo, presenta una sola entrata monetaria iniziale (capitale preso a prestito) seguita da una (rimborso globale finale) o più uscite monetarie (rimborsi parziali).

• Le modalità mediante le quali un prestito può essere rimborsato, o ammortizzato, si distinguono in:

rimborso globale finale rimborso globale con interessi periodici rimborso graduale o ammortamento

TIPOLOGIA rimborso globale finaleCapitale e interessi vengono restituiti alla scadenza. (in genere utilizzato per prestiti di breve durata).

rimborso globale con interessi periodiciCapitale restituito alla scadenza, interessi periodici.Gli interessi I1, I2, ..., In, maturati nei vari periodi, vengono corrisposti periodicamente, in via anticipata o posticipata, mentre il capitale S viene rimborsato integralmente alla scadenza. Tipico per prestiti a scadenza medio - lunga.

rimborso graduale o ammortamentoCapitale e interessi restituiti periodicamente.Consiste nella corresponsione periodica degli interessi e restituzione graduale del capitale. Tipico per prestiti a scadenza medio - lunga.

Rimborso globale finale

Nel regime ad interesse semplice

Nel regime ad interesse composto

Nel regime ad interesse anticipato, all’epoca iniziale il debitore riceve l’importo

dove d è il tasso di sconto periodale.

)1( itSM

tiSM )1(

)1( dtMMdtMS

Rimborso globale con interessi periodici

• Nel rimborso globale con interessi periodici, il debitore riceve all’epoca iniziale il capitale S preso a prestito, da rimborsarsi in un’unica soluzione alla scadenza con versamento periodico degli interessi Ik sull’intero importo S al tasso periodale di interesse i o di sconto d.

)ant.interessiper(1,...,1,0per

)post.interessiper(,...,2,1per

nkdS

nkiSIk

• Pertanto, gli esborsi totali alle varie scadenze risultano, per pagamenti posticipati degli interessi

nkSiiSS

nkiS

per)1(

1,...,2,1per

e, per pagamenti anticipati degli interessi,

nkS

nkdS

per

1,...,2,1,0per

Rimborso globale con interessi periodici

Ammortamento

L’importo di ciascuna rata Rk è costituito da: • quota capitale, Ck) destinata alla restituzione

(parziale o totale) della somma mutuata,

• quota interesse, Ik) che remunera il capitale effettivamente disponibile nel periodo considerato:

kkk ICR

Schema di un piano di ammortamento

Epoca

k

Rata di rimborso

Rk

Quota capitale

Ck

Quota inter Ik

Debito residuo

Dk

Debito estinto

Ek

0 ... … ... S 0

1 ... ... ... ... ...

2 ... ... ... ... ...

... ... ... ... ... ...

n ... … ... 0 S

GRANDEZZE CARATTERISTICHE

• Epoca kIndicata con t0, t1, ..., tn (o più semplicemente con 0, 1, ..., n, nel caso di rendite periodiche equintervallate) corrisponde ai tempi in cui vengono effettuati i pagamenti.

• Rata di rimborso Rk

Si indica con Rk (k = 0, 1, 2,..., n) e rappresenta la somma da corrispondere periodicamente da parte del debitore.

• Quota capitale Ck

Si indica con Ck (k = 1, 2, ..., n) e rappresenta la quota con cui viene rimborsato, all’epoca k, il capitale mutuato S.

• Quota interesse Ik

Si indica con Ik (k = 1, 2,...., n) in caso di pagamenti posticipati (anticipati) e rappresenta gli interessi, maturati tra l’epoca k – 1 e k sul debito residuo Dk – 1(Dk), ossia sulle quote capitale non ancora rimborsate all’epoca k – 1.

• Debito residuo Dk

Si indica con Dk (k = 0, 1, 2, ..., n) e indica, con riferimento all’epoca k, la parte di debito, in termini di quote capitale Ck, (k = 0, 1, 2, ..., n) ancora da rimborsare a tale epoca. All’epoca iniziale, quando viene concesso il prestito S, il debito residuo sarà uguale all’intero ammontare del capitale prestato perché non si è ancora provveduto a rimborsare alcuna quota capitale.

• Debito estinto Ek

Si indica con Ek (k = 0, 1, 2, ..., n) e indica, con riferimento all’epoca k, la parte di debito, in termini di quote capitali Ck (k = 0, 1, 2, ..., n), già rimborsata a tale epoca.

GRANDEZZE CARATTERISTICHE

RELAZIONI FONDAMENTALI• Ogni quota interesse (posticipata) è proporzionale al debito

residuo del periodo precedente secondo il tasso periodale di interesse i.

kkk ICR

1 kk iDI

• La rata è la somma di quota capitale e quota interesse

1

k

k ii

D S C

1

k

k ii

E C

• Debito estinto e debito residuo in k>0:

SED nn ,00, 00 ESD

kkkkkk CEECDD 11 ,

SDE kk

• Ogni quota capitale va a diminuire il debito residuo e a incrementare il debito estinto.

• La somma del debito estinto e di quello residuo rimane costante per ogni epoca k e pari al capitale iniziale.

RELAZIONI FONDAMENTALI

• Debito estinto e debito residuo in t=0 e t=n:

SCk

S

i

Rk

k

1

Condizione di chiusura elementare del piano di rimborso: la somma delle quote capitale è uguale al capitale preso a prestito S.

Condizione di chiusura finanziaria del piano di rimborso o condizione di equità: la somma dei valori attuali delle rate è uguale al capitale preso a prestito S.

RELAZIONI FONDAMENTALI

Tipi particolari di ammortamento

• Americano: il capitale finale è costituito in modo progressivo su un fondo collaterale

Francese: le rate sono costanti

Italiano: le quote capitale sono costanti

Ammortamento americano

• L’ammortamento di tipo americano prevede:

• un’operazione di rimborso globale con interessi periodici calcolati al tasso periodale i;

• Un’operazione di costituzione di capitale che, tramite versamenti complementari Q, consenta all’epoca n di scadenza del prestito, di poter disporre di un capitale di importo pari all’ammontare S del prestito, sulla base del tasso i, (solitamente inferiore a i).

• Il debitore, all’epoca k (< n) subisce un esborso complessivo:

Sk = iS + Qk

- interessi iS corrisposti periodicamente e posticipatamente al creditore al tasso di interesse periodale i,

- quota di costituzione Qk

• Inoltre, alla scadenza finale n:

SiSRn

Ammortamento americano

• nel caso di versamenti posticipati di importo costante Q, capitalizzati in regime composto al tasso periodale i’, dovrà valere:

SQs in

'|ink SSiS

• Quindi il versamento periodale sarà pari a:

AMMORTAMENTO A DUE TASSI: tasso i di remunerazione per l’operazione di rimborso prestito e tasso i' di accumulazione

Ammortamento americano

Esempio

• La tabella seguente mostra un piano di ammortamento americano di un prestito di Euro 100.000 ammortizzabile in 10 anni

• i = 12% e i' =10%.

ESEMPIO

Anno Quoteinteressi

Debitoresiduo

Versamento Fondo Esborso

0 0 100.000 0 0 0

1 12.000 100.000 6.274,50 6.274,50 18.274,50

2 12.000 100.000 6.274,50 13.176,50 18.274,50

3 12.000 100.000 6.274,50 20.768,70 18.274,50

4 12.000 100.000 6.274,50 29.120,10 18.274,50

5 12.000 100.000 6.274,50 38.306,60 18.274,50

6 12.000 100.000 6.274,50 48.411,80 18.274,50

7 12.000 100.000 6.274,50 59.527,50 18.274,50

8 12.000 100.000 6.274,50 71.754,80 18.274,50

9 12.000 100.000 6.274,50 85.204,80 18.274,50

10 12.000 0 6.274,50 99.999,80 18.274,50

AMMORTAMENTO FRANCESE

• L’ammortamento di tipo francese, o a rata costante o progressivo, prevede che, a fronte del capitale S preso a prestito all’epoca iniziale, il debitore corrisponda n rate posticipate di ammortamento alle varie scadenze, in modo tale che le rate siano tutte di uguale importo R.

• L’importo R delle rate è determinato in base al principio di equivalenza finanziaria, ovvero mediante l'uguaglianza dei valori attuali

inRaS |

AMMORTAMENTO FRANCESE

inin a ||

1 inSR |

Relazioni notevoli:

)1(1 iCiCCC kkkk

Le quote capitale crescono in progressione geometrica di ragione (1 + i)

ininSSiSC ||1

1|

11 )1()1( k

ink

k iSiCC

ikink sSE ||

iknk RaD |

Esempio

La tabella seguente mostra un piano di ammortamento francese di un prestito di Euro 100000 ammortizzabile in 10 anni al tasso annuo di interesse i = 12%.

ESEMPIO

Anno Rata Quota capitale Quota interesse Debito residuo Debito estinto

0 0 0 0 100.000 0

1 17.698,40 5.698,40 12.000,0 94.301,60 5.698,40

2 17.698,40 6.382,20 11.316,2 87.919,40 12.080,60

3 17.698,40 7.148,10 10.550,3 80.771,30 19.228,70

4 17.698,40 8.005,80 9.692,60 72.766,50 27.234,50

5 17.698,40 8.966,50 8.731,90 63.799.00 36.201.00

6 17.698,40 10.042,5 7.655,90 53.765,60 46.243,50

7 17.698,40 11.247,6 6.450,80 42.508,90 57.491,10

8 17.698,40 12.597,3 5.101,10 29.911,60 70.088,40

9 17.698,40 14.109,0 3.598,40 15.802,60 84.197,40

10 17.698,40 15.802,1 1.896,30 0,50 99.999,50

Rk=Sn|i Ck =Rk-IkIk=iDk-1

Ek=Ek-1+CkDk=Dk-1-Ck

Ck=C1(1+i)k-1

C1=Sn|i

Relazione tra piano di ammortamento francese e americano

• L’ammortamento americano non prevede, a differenza dell’ammortamento francese, un effettivo rimborso graduale del capitale mutuato, ma una serie di versamenti su un fondo collaterale, atti a costituire, alla scadenza, il capitale necessario al rimborso totale del prestito.

L’esborso periodico costante, dato dalla somma della quota interessi e della quota di costituzione del capitale mutuato risulta uguale a quello previsto per un corrispondente piano di ammortamento francese qualora sia i = i.

ininink SiSSSiS ||| )(

Ammortamento italiano

• L’ammortamento di tipo italiano, o uniforme, prevede che, a fronte del capitale S preso a prestito all’epoca iniziale, il debitore corrisponda le rate di ammortamento di importo variabile alle varie scadenze, in modo che le quote capitale siano di uguale importo.

• Nell’ammortamento di tipo italiano, all’epoca iniziale il debitore prende a prestito la somma S convenendo il rimborso della stessa mediante il versamento delle rate alle rispettive scadenze in modo tale che sia:

QCCC n ...21

• affinché sia soddisfatta la condizione elementare di chiusura:

n

kk nQCS

1

n

SQ

Ammortamento italiano

• Debito residuo e debito estinto variano in progressione aritmetica rispettivamente di ragione -Q e Q

n

SkkQEk

k

n kD S kQ S

n

Relazioni notevoli

Relazioni notevoli

1k kI iD iQ n k

1 ( 1)k kI iD iQ n k

Le quote interessi e le rate decrescono in progressione aritmetica di ragione -iQ;

1k kI I iQ

k kR Q I

iQRR kk 1

1 1k kR Q I

Esempio

• La tabella seguente mostra un piano di ammortamento italiano di un prestito di Euro 100.000 ammortizzabile in 10 anni al tasso annuo di interesse i = 12%.

ESEMPIO

Anno Rata Quotacapitale

Quota interesse Debito residuo Debito estinto

0 0 0 0 100.000 0

1 22.000 10.000 12.000 90.000 10.000

2 20.800 10.000 10.800 80.000 20.000

3 19.600 10.000 9.600 70.000 30.000

4 18.400 10.000 8.400 60.000 40.000

5 17.200 10.000 7.200 50.000 50.000

6 16.000 10.000 6.000 40.000 60.000

7 14.800 10.000 4.800 30.000 70.000

8 13.600 10.000 3.600 20.000 80.000

9 12.400 10.000 2.400 10.000 90.000

10 11.200 10.000 1.200 0 100.000

Rk=Ck +Ik Ck =S/10 Ik=iDk-1Ek=Ek-1+CkDk=Dk-1-Ck

Usufrutto e nuda proprietà

• ogni rata è la somma di due componenti:- remunerazione del debito residuo (la quota interesse)

- parziale rimborso del debito residuo (la quota capitale)

• Può accadere che queste due componenti debbano essere valutate separatamente. (es. estinzione anticipata del debito e la corresponsione di interessi e quote capitale vada a soggetti diversi)

• Si definisce usufrutto il valore attuale delle quote interesse ancora da corrispondere e nuda proprietà il valore attuale delle analoghe quote capitale.

• La somma Vs, all’epoca s, che il debitore deve corrispondere al creditore è uguale al valore attuale delle rate ancora da rimborsare, calcolato ad un tasso i convenuto.

n

sj

sjjs vRV

1

n

sj

sjjjs vICV

1

sjn

sjj

sjn

sjj vIvC

11

sss PUV

Usufrutto e nuda proprietà

Estinzione anticipata di un prestito

• Nel caso particolare dell'ammortamento francese:

'

)'1(1 )(

'| i

iRaRV

sn

isns

s

sn

isns Di

iRaRV

)(

|

)1(1

se i due tassi coincidono, il valore di riscatto che il debitore deve corrispondere al creditore è uguale al debito residuo.

Estinzione a epoca intermedia

• Se i = i', si ha

Se l’estinzione avviene in un’epoca intermedia

f

isnfs iaRV )'1('|f

sn

iii

R )'1(')'1(1 )(

fs

fsn

iDii

iR )1()1(

)1(1 )(

esempio

• Un prestito di Euro 60000 deve essere rimborsato mediante 20 pagamenti annuali costanti posticipati al 13%. La rata d’ammortamento è Euro 8541,20.

• Quattro mesi dopo il pagamento della sesta rata si richiede il riscatto del debito che viene concesso al tasso annuo del 12%.

,20,20,541.8 nR 12,0,12/4,6 ifs

58.792)12,01(20,541.8 12/4

12,0|)12/4(6 41 aV

Se il riscatto viene concesso al tasso del 13%, si ha

069.56)13,01(20,541.8 12/4

13,0|)12/4(6 41 aV

Esercizio 1

• Un debito di 10000 Euro è rimborsabile secondo rate costanti in 10 anni al tasso dell’8%. Determinare la rata, quota capitale e quota interesse e il debito residuo all’anno 4.

10|0,08S Ra R=1490,3

3 34 1 10|0,08

(1 ) (1 ) 869,57C C i S i

I4=R-C4=620,73

4 6|0,086889,457D Ra

Esercizio 2

• Un debito di 48000 Euro sarà rimborsato in 8 anni con ammortamento italiano al tasso di interesse annuo del 8%. Determinare la quota capitale la rata e l’ammontare del debito residuo all’anno 5.

C=48000/8=6000

D5=48000-5*6000=18000

I5=0,08*D4=0.08*24000=1920

R5=7920

Esercizio 3

• Calcolare l’ammontare del versamento annuale, della rata e del fondo di costituzione all’anno 5 di un prestito di Euro 50.000 ammortizzabile in 10 anni con ammortamento americano al tasso i = 12% e i' =10%.

interesse quota cap rata fondo

1 6000 3137,27 9137,27 3137,27

2 6000 3137,27 9137,27 6588,266

3 6000 3137,27 9137,27 10384,36

4 6000 3137,27 9137,27 14560,07

5 6000 3137,27 9137,27 19153,35

6 6000 3137,27 9137,27 24205,95

7 6000 3137,27 9137,27 29763,81

8 6000 3137,27 9137,27 35877,47

9 6000 3137,27 9137,27 42602,48

10 6000 3137,27 9137,27 50000

I=i*S=0.12*50.000=6000

C=S/s10|0,1=3137,27

R=C+I=6000+3137,27=9137,27

F5=Cs5|0,1=19153,35

esercizi

• ACD: cap.7 es.7.1, 7.4, 7.16, 7.18, 7.21

• BC: cap.3 es.3,4,7,10