63
Klüppelberg: Risk Management with Extreme Value Theory Sonderforschungsbereich 386, Paper 270 (2002) Online unter: http://epub.ub.uni-muenchen.de/ Projektpartner

Risk Management with Extreme Value Theory · 2012-05-22 · o o oo oo oo oo oo oo oo oo oo oo oo oo oo o oo o o o o oo 5 10 50 100 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 x (on log scale) Fu(x-u)

  • Upload
    others

  • View
    28

  • Download
    0

Embed Size (px)

Citation preview

Page 1: Risk Management with Extreme Value Theory · 2012-05-22 · o o oo oo oo oo oo oo oo oo oo oo oo oo oo o oo o o o o oo 5 10 50 100 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 x (on log scale) Fu(x-u)

Klüppelberg:

Risk Management with Extreme Value Theory

Sonderforschungsbereich 386, Paper 270 (2002)

Online unter: http://epub.ub.uni-muenchen.de/

Projektpartner

Page 2: Risk Management with Extreme Value Theory · 2012-05-22 · o o oo oo oo oo oo oo oo oo oo oo oo oo oo o oo o o o o oo 5 10 50 100 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 x (on log scale) Fu(x-u)

���� ������� ��� ���� ���� � ���

������� ������� ���� �� ����������� ������������ ��������� �� ������� �

���� !� ������"�����

����# �$��%��������$&���������&����#''(((&��&���&�'����'

����� )* ��

� ����������

�� ������ ������ ��� �� ����������� �� ������ ��� ��������� ��� ������� �� ����� ������� ����� �� ������ �� ��������������� �!��� ���� �� ���� ���� �"" �������� ��������� ��� � �� �� �� �� ��� �� ��� �#$���� %�� �!��� ����!���� ������� ���� &�� ������������� $�������' ������� ��� �()����� � �% ��� $���* � ����������� %�� ��� ��#� �" ������ � + �, ��� � + �, ���� �� ����!����� �% �� ��� � ���� �--" ������� ��� � .����������� � ��� ����� ���� � ���� �� �� ��$ � ��� �������� )����� � �� /� &�� ������ �������!� ��� �� ���� � � �� �� ����������� ������ &�� %����� / � �$$��� �� �������%�� ������� ����!�� �0���� � � ��� �� ��� ���� ���1 �� � ���� �� ���������� $����������� ��� �� �������� �� ��� ���� ����� ����������� �% ��� ���������� $��!� ��� %����� / �� ����������� &�� ��$������� �% 2�3 � ��������� ���� ���� ���� ����$� ��� ���� � � ���%�� ������ ��$��� ��)�������� %�� ������ ��� �#$����� 4 ��#����� ��������� �% 2�3 � ��!���� 5����� 6�"7� ���������� ����� � �� ��� ���������� ��� �� ����� �� 8������� 6/-7�

&���� ���� � ��� ������� ����� ��� � ���� ��� ������� ����� �� ���������� � ������� !�������� ��� � �������!� ��!� ���� �������� &��� ��� ��$��� � ���� �� ��� ������ �%������� ��� �����$� ��� � ����� ������ ������� &�� ���� $����� ������ �% ����� � ������ �

9:;��� +

� �

����� � ��� �� � � � � �

����� � � ��� ����������� %������� �% ��� $���%� �� ������� 8#��$ � ��� �� %���� �� ���(���� 6/�7 �� <�� �� 6=>7 ��� ����� ��� ����%� $������ ��� �� + " � ����� � ������� � � ������ 2�3� 4� �#������� �$$����� �� ��� ������ ��� �� %���� �� 4��?��� �� � � 6�71 �%� 8�(������ 6/�7� ��� ��� ������� �� � � 3���?@�� ��� A B�$$� ���� 6>>7�

.������� ���� �� ��� C� � ������� � ��� ����� ����������� ����� �� ��� $��$���� ���� ��� �� ��� �� ���� %�� � ������� ���� �� ������

2�3��" ��� +�

�"2�3�� ��� �

Page 3: Risk Management with Extreme Value Theory · 2012-05-22 · o o oo oo oo oo oo oo oo oo oo oo oo oo oo o oo o o o o oo 5 10 50 100 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 x (on log scale) Fu(x-u)

��� %�� � �� ��!������ ���� 1 ���� � $���%� �� ���� ������ �� %�� ��� ��� ����� ����� ��������� ��� ��� �� � � + �� � � � � �

2�3�$���%� �� +

���� �������

������2�3�2�3� �

<���!��� ��� ��!��� ����!������ �% ��� ����� ���� � ���� �� � ����� ��� ��� �������� ������������� ��� ���� &�� � �!�� !��� � �� ������ ��� ��� ��-�

&�� � ��� ������� $���� �% ��� $����� $�$��� &����� � � �#����� D��������� �% ������ ���� ���� ������� �� ���� �� ����� ��� %� ����� )������'

E <�� ��� ��� ������� 2�3 %��� ������ ���� ���� ����� ��� ���� ���� ���$����F

E G��� � ��� ����)����� �% 2�3 � � ��� ������ ���� �� � �� )����� � %�� $���%� ���$����?�����F

.�������� ��������� �% ��� ��� $���%� �� �$����?����� ��� ��� ��$������ ��� �� ��� ������(����� ��D������ �� ��� ������ �% ��� ������� :������ �% ����!���!� ��� ������� �% $���%� ����� ����� ��$������ ��� ��� ��� 2�3 �� %���� �� ��� � � �� ��� ������� $��� ��� �������$ ��� ������� ����� � ��� ���$ %�� � H��� ����I $������ ���� � ��� ���������� I������������ ���I �$��%��� ����� �� ���� ��$ ���� �� � I����� ���� �� ��������� ���I ��(�� �� )����� �(������� 1 �� �B� ��� ��� 9������ 6="7 ��� J!������ ��� A����?� 6-=7� &�� ������!��� ��� � ��$�� %�� ��� $�$���

G� �� ���� �� ��� ��� ��������� $��� ���

�� ��� ��$ �� ���� �� � ����� ���� ��� �� � ����� �% ��� � ��� $���� �% ��� $���%� ����� %� ���� ��� ��� � ���� �� �� ���� �% $���� ������� ����� ��� ����$������ ��� ������� ����������� ���� � ��� ����� ���� $ ������ ����?�� � K� + � �� ��� � ��� �� ������� L�� ���)����� � �������� �� ��$ ���� �� / �

2100

2200

2300

2400

2500

2600

29/08/95 29/12/95 29/04/96

-80-60

-40-20

020

40

30/08/95 30/12/95 30/04/96

������ ���� � � ����� ���� ����� ������ !�"����" �� # ���� ���� � ������$ %&� ������������ �'������( �&�& ��� �&� ���) ���� �&���� ��������( ��� ������� � �&� ��&��&�������&$ *� �+,�� �&�� �&� ������ ��� ��� )������ ��� �&�� �&��� ��� ���� ��� ���& �������������� ���� �� ��������� �����,� ���� �&�� ��� ����� �-���� .��� /���� ����$

M����� � $������� ��������� �% � �� )����� � � ��� �� ��� ���� � ��� ���� �� ������%������ ����� ��� �#����� ����!���� �% � $���%� ��� ���� �� �� ���� �% ��� ��$ � ����� ������ �� � � !��� �� ������ �% ����� ����������� ���� ��� � ��$������ �� ���� � �#���$� �����

-

Page 4: Risk Management with Extreme Value Theory · 2012-05-22 · o o oo oo oo oo oo oo oo oo oo oo oo oo oo o oo o o o o oo 5 10 50 100 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 x (on log scale) Fu(x-u)

-80 -60 -40 -20 0 20 40 60

0.0

0.00

50.

010

0.01

50.

020

0.02

50.

030

DAX daily returns

-42.86(POT)

-29.90(normal)

-30.71(empirical)

������ ��� 0������ �. �&� ���) ���� �&���� �. �&� � � ����� ���� ��& 1���� ���������+����$ �� 1���� � /2� ���+���� �� �&� ��.� &��� ���$ %&� ����������� 3��������� ������� +) �&� ������ 3������( �&� /2� 3������ ��� �&� ������� 3������$

�!�� ������ ��� ����� �% ��� ���� ����� �� ������� ���� �������� ����� �� ���� ����� �������� �� ����!����� �� � �

N���� ��� ������� ��� �&� ��� ���� .�� �&����,�� �������� ������ ��!� ���� ��!� �$������� ��� ���� �� � �� ���� $��� �% ��� ��$ � ����� ������ ��� ��%�������� ����� ��� �#����� ����!����� ���� �� � ��� �� �� �� ����� ��$ � !� ��� &�� ������ � ��� � � � ���� ����� ���� ��� ��� ��� � $������ ���� �������� ���������� ��� ����!���� �% ��� �#����� ��$ �!� ��� &�� ��� �� � � � �% ���$��������� ����������� ����� ��� �� �������� � $ ���� ��

4 � ���� ��%������ �� ���� ��� ��� )�����%���� �% �#����� �!��� �� ��%�� �� 8��������A B�$$� ���� ��� ;����� 6//7� �����%���� �����!����� �� 8A;� &�� O4P ���� �#��$ �� ������� ��� �� �� .������ - ��� �� %���� �� ������� ����� �� 8����� A B�$$� ���� ��� &�B����� 6/�7�

N�%�������� �� ��� ������ ���� ���� ��� ��� ����$������� ��� �#����� ��� !��� �� ��������$��� ��$������� ��������� ����� � �%��� ��$����� �� ;����!��� !� ��� ��� ���� � J���()���� �� �!�� ��� �� ������ � !������ �% �������� ���� ��!� ���� ������� � �$$��$��������� %�� ������ $�������

�� � ��������� ���� ������ ��� ������� �% � $���� �� �� ������� ���� $���� � �%��� ���� ��� � ��0���� $���� ��!�� �� � �������� ��0������� �)������ �.O8

��� + ���� ��Q ���� ��� � � � " � �� + � � ����

����� � � ������� C������� ������� � � � � ��� ��.� ���� ��� � � " � ��� �'���������� �� ,������)� &�� ������� ���� �� ����� ��� �% ��� ���!� %���'

�� &�� C ���(.��� � ���� ' ��� ��� ���� ��� $���� $���� �% �� ���� ���� ��� + �� %��� � � ��� ��� !� ��� ��� ��� + �� %�� � � "� &�� ��� ���� ���� %�� ��� $���� $���� ���������� C������� �������

��� &�� 2����� ���� ' ��� $���� ��� ��� ���� �� ������� ����� ��� ���%� ���� � � �������� ��� !� ��� ��� � � " � ��� ��������

C��� ���� ��� �� ��������� �� ��� %�������� �% M����� ���� � ����!��� � ���������� ������ ������ ���� �#����� �� ������ D��������� ����� ������ �� ���� �� �� M�����

/

Page 5: Risk Management with Extreme Value Theory · 2012-05-22 · o o oo oo oo oo oo oo oo oo oo oo oo oo oo o oo o o o o oo 5 10 50 100 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 x (on log scale) Fu(x-u)

$����� �� ��$ � ����%�������� � �� ��� ��� ������� ���� ���!�� �� $�����$ � ����� ������ ��0����� ������� %�� ��� $��� ���

4 �� �����$� ���� �� C������� ������ � ��� ���!��� ������� �% ��� $����� ��� ���������� $���(��$������� ����(��$������ �� �!�� �������� !� ��� ��� ���� ��� ���� � &��� ���� ��� ������ � ��%����� �� � !� ��� ��� ���� � ��� ��� ��� ��0���� ��!�� �� ��� .O8 ���� �G� ��!������� ����� �#����� ����!���� �� .������ /�

&�� ����� �����$� ��$ ��� ��� M����� ���!��� $���� �� ��� C ���(.��� � �� 2����� ���� ��� ��� ����� ���������� ���� �� � $���� ���� ���!�(��� �� ������� � %�� ������� � 9@�!�$���� ���� ���(����� ����� G� ������� ��� �$$����� �� .������ � �� ��� �����#� �% $���%� ���$����?������

4 ������� ���� �������$��� �� ���� � ��� %� ����� ���� �

�� + ������ Q ������ �� � � � � � ���-

����� � � ��� ���������� ����� � ��� ���������� !� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� �! ���� ����" ��� !������� �� 8#��$ �� � � ;����!��� ���� �% ������ ������ ��� ��� %�� ������� 43J<��� M43J< ���� � ����� ��!� ���� ����%� � �$$ ��� �� ������������

&���� � ��� �� �?�� %��� �� ������ ���� ����� ���� �% ��� %��� ���- ��� ��$���� �� ��������� ����� ��0���� ���� �% ��� %��� ���� � &�� � ��� $��$���� �% $�������� �� !� ��� ���� ������� ������ ���� ���� ���� ���� ��$ ��� %��)����� ���� ������ ���� �� �� %� ���� �� ���� ������� ��� ��� ���� �%��� ��� ���� �� � ���� ����� ����!����� &�� ����!����� �� ��� �� ���� �% ��� %���

�� + �� �� � � � � � ���/

����� ��� ����!����� �� ��� ��� �! ���� ���� ?���� ��� ��� !� ��� ��� �� ������� ��� �������% ����������� !��������

&�� ����������!� ���������� � ������������� �43J< ���� ��� ��� �% ��� $��������� �%���/ � �� ��� ��� ��� ���������� !������� ��� � � ����� %������� �% ��� )����� $�� ����!������43J<�� ���� ���������� �� 8�� � 6/>7 ��� ����� ��

��� + �� Q

�����

������� � �� � " � ��� � � � � ���� � "� �� � " � � � � � ���=

����� � � ��� ����� �% ��� 43J< $�����

&���� ��� ��� ������ �#������ �% ��� ���� � C� �� �! 6�-7 $��$��� ��� �(�� �� ������ �?��43J< �M43J< $������ &�� ���������� !������� ��� � ��� � ����� %������� �% $�� !� ���% ��� $���� ��

��� � � + �� � � � � �� ��� $�� !� �� �% ��� !� ��� ��� ������ � + �� � � � � � 4����������� ��!��� ����� � � C� �� �!� J��� ��� A����� 6�/7� � ���� �� ������ �% ��� �% ������ ��D������ ����� � �� 43J< ���� � 8�� � 6/�7�

&�� � � �% ����������!� �43 ���� ���� 43J< ����� ���������� �� G�� 6��7 ��� ��������#������1 ���� ���� ��� � � �� �� .8&43(43J< ���� �� %(�#������ ����������!� �&��� ��� ����� ��

�� + ������� ���� ��� Q �� ��� � � � � ����

����� � � ����� � ����� %������� �� �� �������� ��� �� � ��!�� �� ���= � &�� ���� ���������� ��!������ �% �� 43 ���� � ����� ������ ���� �� ��� ���������� ���� �% �� ���!�� ���

=

Page 6: Risk Management with Extreme Value Theory · 2012-05-22 · o o oo oo oo oo oo oo oo oo oo oo oo oo oo o oo o o o o oo 5 10 50 100 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 x (on log scale) Fu(x-u)

$�� � ��� �% �� 43J< ���� � ����� ����������� �� ��� ���������� !������� �% �� ���!�� ���$�� �

&�� � � �% ���� ����� �� ���� ������� !����� ���( ����� ���� � �� ��� $�$�� �� %����� ��� 43�� $���� ���� 43J<�� ������ ����

�� + ����� Q�� Q ���

����� � � � � �

����� � � �� �� � � "� ��� ��� ��� ��� �������� �! ���� !������� � ��� �� � ����$������ �%��� ��� � &�� ;����!��� ���� � ��� ����� � ������� � ��� ��� ��!� � � $������$� %�� ��� ����� � � �% ���� ���� � R��� � � ���� ��� ���� � �% ��� %��� ���- �

&�� ��� � �������$� �� �#����� !� �� ������ %�� �������� $����� ��� 9���������� 9���������� 3���?@�� 6�-7� �����%���� �����!����� � 993� ��� C����� 6�7� &��� ������� � ���� ��� ��� ��� ��$��� ��� �� � ��� ����� %��� ����� � $���� ��� � ��� ����!���

&�� �� � ���� �% ��� %��� ���- � ���� �#����� ����!���� �� ���� ��� ��� �� ����� ������ 43J<�� ��� �� <���� 3������ 3���?@�� ��� �� 2��� 6=�71 �� � � 8A; 6//7� .������ ��= ���� M43J<���� ��� ;����� ��� .������ 6��7 � ��� ��� 43�� ���� ���� 43J<�� (�������� C����!�� ��� A B�$$� ���� 6��7 ��� C����!�� 6��� ��7 � &�� ���������� %������ �% � �������� � ���� ���� ��� �� � �� ���� ���!�(��� ���� � �� � !� ��� ��� � ������� �� � ���� �!� �

�� .������ � �� ���� �� ��� ����� )������ $��� �� ��� ���������� G� ������� � $���%� ���$����?����� $��� �� ���� �� ��� 2�3 � � ��� ������� &��������� $���%� �� � ������ ����������� �� ;�������? 6��7 ��� .���$� 6�-7 �� ���� ���� �� ��� !������� � ��� ������� ��������� �� ��� !�������� ��� 2�3 ��$���� ��� �#����� ���� J���)���� �� �� � �� �� �#$��������� �� ����� �����!� �� ���� D��������� �� ��� ����� &�� � ���� �� ��!������� �����

G� ����������� �� ��� J�$��� (��(3�� �J�3 � � ��$ ������� �% ��� !������� �� $���%� ��� ������ $��� ��� G� ����� �% ��� J�3 � ��� ��$��� ����!� �� �)���� �� �� ���� %�� %��������� &�� J�3 �% � $���%� �� � ������ � ����� � ��� ��0������ ������� ��� ���� �% ���$���( � ����������� ��� ��� 2�3� G� ���� ��� J�3 � ��� ��0������ ������� ��� ������� �� �% ��� ������ ���!�� �� ��� ��� � ��!������ ��� ��� 2�3 �% ��� $����� $���%� ��1���� �� ������� ��� �#�� � �!�� ��� ��� � ��!�������

G� ��� �� � ��� %��� � ����� ��� �� �������� �����$�������� �% ��� ��� �� &�� � ��� ������ �� � M����� ��� �� ��$������� �� � C ���(.��� � ������� ����� ��� ����(J�3 � ������$�������� ��� �� ������ �#$ ���� � ����� %�� ��� �$���� $���%� ��� 4 � �� ��0������ �� �������(!������� �$����?������ ��� �$$����� ������ �$$��� ��� ������ � ����������� ������������� ���� ��� ��� � � ��� ��!�� �� ���� %�� ���(���� ��!�������

4 $������$� �% ���� �� � �� %�� ����� D��������� ���� $��� M����� ���� � �� ����9@�!� $������ ����� �� ��!� ����$������ ��� ��������� ���������� ��� ���� ��������� ����� ����� ����� � ����������� .��� ���� ��!� ���� ��� � ���� ��� ���� ���� %�� $����$����� �� C������0(R�� �� ��� .��$���� 6�7� 8��� ��� ��� �� ����$ ��� 6->7 ��� ��%������������� ��� ;���� ��� .����� 6�=71 ���� ��� ������� � �� ���������� &�� � � �% ����� ��#���� ���� �$$��� ��� ����!����� ���� !� ��� ��� ������ �� ����� &�� � �� $������ ������ �� �� ��� ����� ��!��� M����� ���� ��� ��� !������� ����� ���� � ����� ��!� � ����� ��������� ��� �$$ ��� �� ��� ������ �������� <���!��� � ��� � �� ��!� ���� %������ M����� ��� �� ��� �$����?����� $��� �� ������ ��� ����� � ��������� � ��� �������� � ����� ��� �� �� %��� G� $����� � ����� %�� ��� ����� ��#���� ���� ��������� ���!��

Page 7: Risk Management with Extreme Value Theory · 2012-05-22 · o o oo oo oo oo oo oo oo oo oo oo oo oo oo o oo o o o o oo 5 10 50 100 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 x (on log scale) Fu(x-u)

&�� ���� ��� ��� ��� ����� ��� ���� $������� ��!� ���� ������� ���� ��� �%����� .(: ��;�� ������� %�� �#����� !� �� ��� �� ��� ��������� �� ��� �%����� 82�. ������� �� 4 �#;�R�� ��� ��� �� ���� ����� %��� ���������������������� �����

� �� ������� ��� ������� � ��� � ����

9�� ����� � � � ��� �� ����$������ ��� �������� � ���������� ���� ������ !����� � ��! � ��$(

�������� ������ ��� ���� ����������� %������� ��% � ��� ����� �+ � �

&�� � ���� ������ ���� ������� ���� ���� %�� ��� �! ��� ���� �� + � ��� !��� + �� � ���� $����� �� �� + �� Q � � � Q��� � � �� ���%�

������

���� � �� �

���� � �

�+ ��� � � � � �

����� � � ��� ������� ����� �%� &�� ��� �� ����� �� � �� � ���� ����� �����#� ���� L����� ����� �$$��� ��� ����� �� %�� ���� ����� ��� �� �����$����� � �� �� ���� �% ������ �0���� ���� !������� ������������ ��� ���$������ � ��� �� ��

J���)���� �� ��� ����� ���� � ������� � )�������� �� �����!�� �#����� ��� �� �� ��)�������� 8�$����� ��!��������� �% ������ ���� ��� )���� � ��� � ���� ��� ���� !� ��� ��$������ �� ��� ���� ������!� !� ��� ��� ���� ���� $��������� ���� ��� � �� �#$ ����� �� ������ ���� �

�� ��� %� ����� �� $����� ��� ���� ������ ��� ���� �% �#����� !� �� ������ %�� ��� ����� 4 ��� ��� ���� ���� ��� �� %���� �� 8A; 6//71 %�� ���� ����� �� ��� O4P �#��$ � �� ��%���� 8����� A B�$$� ���� ��� &�B����� 6/�7�

��� ����� �����

&�� ��$ �� �#����� ��L��� �% � ��$ � � ��� ��$ � ��#����� O���

�� + �� � �� + ��#���� � � � ��� � � � � �

&���� ��� � � + � ��� � � � � �

��� �� � �� � � � � ��� ��� �� ����� �� + �$� � � ' � �� � �� � � � ��� ��&�������� �. � �

�� ��� ��� �� ��� �� ����� �?�� ��� ���� �� ���!���� �� � ���� �!� ����� �������� ������� ����� �?��� ������� ��������� ��� ���$����� ����!���� �% ��� ��$ � ��#���� &��%� ����� � ��� ��� ���� �% ��� J9& %�� ��#����

����� ��� 6�����(&�$$��� �������74����� �� ��� 1�� �3����� �. ���� ���+�� � � " ��� !� � � ��& �&��

������ ���� � !� � � � � + ��

���� �� ��Q !� � � + "�� � � � � � �-��

.�� ��� �������������� �. # ��� ���� � � ;O4�# $ %&�� # ��� �. �&� .������� �&����-����� ,���� �.5

Page 8: Risk Management with Extreme Value Theory · 2012-05-22 · o o oo oo oo oo oo oo oo oo oo oo oo oo oo o oo o o o o oo 5 10 50 100 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 x (on log scale) Fu(x-u)

� 6���&7�� S��� +

"� � � "��#$ ����� � � � "�

.�� � � "�

� /��+�� T�� + �#$ ��$�� � � � � �

� 8�+��� U��� +

�#$ �� ��� � � � � "��� � � "�

.�� � � " �

%&� ��� ���+���� # ��3�� �� �� ��� ����.�������9 �� �) � �. �&� �)�� �. #$

4 ������ � ����������� ��������� �% ��� �� ;O4�# %�� ��� �#����� !� �� �% #1 ��8A; 6//7� $$� ��/(��>� <��� ��� ����� �#��$ ��

��� ��� �� � 8#$������� �����������' � �� + � � �#$���� � � � " � � � "� � ��;O4�T ���� %� + ���� �� + �����

�! :����� �����������' � �� + � � � ��

� � � � " � &� � "� � �� ;O4�S� ���� %� +

���& ���� �� + "�

�% N��%��� �����������' � �� + � � � � �"� � � � �� ;O4�U� ���� %� + ���� �� + �� + ��

&����� �������� ��� ��!����� � &�� �� �#$����� �� �-�� �� ������

� � ;O4�" � ������� �%��Q �� + � �"�� +' '�� � � � � � �-�-

&�� ;O4 ��������� � � !����� �% :����� ���� �������� �� ��� �� �������� �� ��� ���������� ������ �% $���� $����� � %� ���

��� ��� �! ����� � � � ��� ��� ������ � (� �� ��!�

���� ' �� � (�� + �� � � � � �� + C����� � �� � (� �

O��� %�� � � ����) +

�����

���� �) *�� � (�� � ) � ��"� �7 �

����� ��"� �7 ������ ��� C��� �(� ����� �� �"� �7 ��� � ��� O���� ������1 ���� �����) + � �%�� � ) ��� " � �� &��� �� � ��� ��� ������:�� ���� ����� �. �-��������$

&�� ���!� �)��!� ���� �-�- �#���� �� ��� %� ����� ��� ��

����������� ��� 4����� �&�� ��� ��� � �3����� �. � �, ��& ������ �. � $ ;�� �(� ���+� �&��&��� ,���� ������ �� �� � � �$ %&��

������� �� � (� + ' � �"�� � ��

� 2��� ������' � � � �

���� ��� %� �� ��� ���$����� ����!���� �% � �$$�� ����� �������� %�� ��������

� ��� � (� + � �����"� �7 + " � ����"� �7 + " + $�� � � � �

>

Page 9: Risk Management with Extreme Value Theory · 2012-05-22 · o o oo oo oo oo oo oo oo oo oo oo oo oo oo o oo o o o o oo 5 10 50 100 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 x (on log scale) Fu(x-u)

��� � ������ ���� ���� ����������� �����

��� �������� $��$�� � ����� �#����� !� �� ����������� ��� ������?���

��������� ��� 65�������(!�� ;�� ��$����������7

"����� +

�#$

���� Q +� �����

�% + �+ "��#$ �$��� �% + + "�

�&��� � Q +� � " ��� + �&� ��$� $��������$

&�� M82 ��$����� � ����� �#����� ��$�'

� + � " ��@����� #����� � �+ + S����� �

� + + " M���� #��� + T�� �

� + � " G���� #�����Q � �+ + U������ �

4�������� �� �� ��������� ������� ��� �� � $�������� � � � ��� , � " ��� ����#������� +#���� � �,� R��� ���� #����� � �% ��� ��$� �% #��

&�� ��$���������� � ��%� %�� ��� �������� ������ ����� ��� �� ���� �� ��� ��#����&��� ��� ���� ���� �� �� ��� M82 ��� ��� $�������� ��� ���� ������ �� ��� ��� )����� ��������1 �� 8A; 6//7� .������ ��/� &�� ������ �� �� ���������� �� $������ ��� �% �����$������� �������� ������ �� �������� �� �� ��� ��#��� ���� � ;����!��� � %�� ���������� ������ �% ����� ��#���� �� ��� � � �� � ���� �% ���� ������� � ���� �� ��� �� � ������� ��#���� ��� ������ � ����� ���� !� �� �% ��� ��$ �� 4� �#�� ��� ������� � � %����� ��� ���� ��������� �� ��� ����� ��� ��������� ��� �� ���� ��!� �$�� ��� !��� ����%� ��$$ ��� �� 3������ .���� ��� �� �� �������� %�� ��� �� ������1 �� .���� 6�=7 ��� ��%��������������

��� �� ��� ����� �!��"� �#� ��������$�

G� �#$ ��� ��� :V&(������ ��� ��� �� �� ���� %�� ��� O4P � ���� $���� �% ������ ���� 4�$����� � ��$� �� ��� ���� ��� � ����� ��� �% ��� �(�� �� �� �?�� %��� �% ������ �����&���� ��� ���� $��� ���� ��� �� �#$ ����� �� � ����� ���� ���� �� $������ ��� ��� ������!�$��� ��� ���� $��������� ���� ��� $����!� ���� V� ��� ����� ����� ��� ���� ��� ��$ � ������� ��$������� ��������1 �� ��� �� �% ��� ��������� ����� �% ��� ����� ����� ��� ��� !� ����� ����� )���� ��!� �� ���������� �% ��$�������� J���)���� �� �� ���� ���� ��� ������� ���� G� ���� �� ������� ����!��� ���� ���� ������ ���� ��� ��� ���� ��� �#����� � !����� ����� ��$������� ��������1 �� .������ / ��� =�

G� $������ ���� � ��$ � �#$ ������� ���� ��� ��� ����� ��� � ���� �� ��� ��������� �%�!��� ��� ��� ��� �� � <<������ ��$����� )����� � ��� $ ����� ������ ��� ���������� )����� ��% � ��!�� ������������ �% ��� ����� ���� � �������� ���� � � ���� $���� �� ��% ��� ��$ ��?� � ���� ������ �� �� ��� =�(������ ���� �% ��� ����� ����������� � ������� �$ �� �� �� ���� ������� $��������� ��� $ ����� $���� �� �� �� �� � ������� ���� ����!�� ���� ��0����� �$� ��� ��������� 9����� �������� ��!� ����� ������� %�� ��� �� � ��� ������� $������������ ���� ��� �%��� ��� � ������� !� �� %�� ���� �$��������� ��������� ������� ������ -��

Page 10: Risk Management with Extreme Value Theory · 2012-05-22 · o o oo oo oo oo oo oo oo oo oo oo oo oo oo o oo o o o o oo 5 10 50 100 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 x (on log scale) Fu(x-u)

••

•••

••

••

• •

••

••

• •

••

••

• •

••

••

••

••

••

••

••

••

••

••

••

•••

•••

•• •

••

••

••

••

••

• •

••

••

••

••

••

-3 -2 -1 0 1 2 3

-80

-60

-40

-20

020

40

������ ��� =����� <<����� �. �&� ���) ���� �&���� �. �&� � � ����� ����$ %&� 1� � ��������� � �&� ����� �. ������ �� �&� ��.� ��� ,��) +��$

��� � ����� WW($ �� �% ��� ����� &�� �%� ��� �% ��� $ �� ��� � ��� � ���� ��� �%� ��� �%��� ����� ���� ����������� � ���� %����� ���� ��� �%� ��� �% � ����� ������������

&����� ��� ���� � �% ��� ������!� !� �� �% ��� ��!�� ��$ � ���� � � �� �$$ � �#����� !� �������� � ���������� ���!� �� ��� �%� ��� �% ��� ����������� �% ��� � $���� ������� &�� � ���$ � �% �?� � + �"� ��� �� �� ��� ��� %�� ��� ��������� �% 2�3�

V�� �% ��� ���� ���������� �% ��� :V&(������ � ��� %� ����� ��� ��

����� ��� 6C� ���� ��� �� <��� 6/7*:������ 6>�77

� � ;O4�"� � ������

� �(Q ���(

� �( +

�� Q +� ���� . + �+ "�$�� . + + "�

�&��� � Q +� � "( .�� ��� ����,� ������+��� .������ ��( $

��������������� ��� � �! � ���� �% � � ;O4�"� �� ��!�

������

� � (

��( � �

���� � (

�+

�� Q +� ���� �% + �+ "�$�� �% + + "�

���� ��!�� � �#���� (� ��� �� �� �#�� ���!���� �� ������������

��������� ��� 68#�� ����������� %�������� ���� �#�� %������� �;8� 7

;�� �+ � +� � �, ��& �� � �$ 6�� 1-�� ( � �� �� ����

���� + � �� � ( � � � � � ( � �Q ( � �� �

�&� �#�� �% �% � �� � �!�� ��� ������ � ($ %&� .������

$�( + � 6� � ( � � � (7 +

� ��

� ��

� �� �� � ( � �� � �-�/

������ ���� �#�� %������� �% � �� � $

Page 11: Risk Management with Extreme Value Theory · 2012-05-22 · o o oo oo oo oo oo oo oo oo oo oo oo oo oo o oo o o o o oo 5 10 50 100 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 x (on log scale) Fu(x-u)

�� � ��� �� �� �� ��� ��� ���� �#�� %������� �% �� �#$������� ������������ ����� � � ���������)�� �� �� $��������� &�� ���� �#�� %������� �% � ����������� ���� � ��� ������ ���� ������ �% �� �#$������� ����������� ���� �� ?��� � ( ���� �� ������1 %�� � ����������� ������� ���!��� ���� �#$������� � ��� ���� �#�� %������� ���� �� ������1 �� ������ ��-�= �%8A; 6//7�

R�� �� ��� � � � ��� ������ ��� ��$ � !����� �� 4 ��� � -� + ��#�-� " ������ ��� $����!�$��� �% - ��� ����. � ��� ������� ��� �% ��� �� .� &�� ��$����� %�������

$��( +�

���� ' �� � (� + �� � � � � �������

��� � ( � � ( � " �

������� ��� ���� �-�� .������ $�( �

&�� �����(���� ��� �% ������ -�� ��� ��� ��$����� ���� �#�� %������� �% ��� O4P ���������$������ �� ��� �%� ��� � 4� ��� ��� %������� � ���������� ��� %������ �� ��� ������ ���� �� �$���� ������ &�� ��� ���� �� � ������������� �% ?���� ��� ���� ����� $��� � ������ �� �� � ����� ������������ ��� ��� � ������� � ��� ��� ��� �� ��� �%� ��� 1 ������ �������������� ���� ��� �� ��!� � ��� ���� � � ��� � ���!��� ���� �� �#$������� ��� �

0 20 40 60 80 100

020

4060

80

••••••••••••••

••••••••••••••••••

••••••••••••••••••••

••••••••••••••••••••••

••••••

••

•••

••

••

••

••

Schwellenwert u

Empiri

sche E

xzessf

unktion

0 10 20 30 40

1416

1820

2224

������ ��� %&� �+����� �����,� ���� �&���� ���.��&��� ��� ��� �&� ����������� ����������� �-�� .������ ���&��&��� ��� �. �&� � � ,����$

&������ -�� ����!��� ��� %� ����� ���������

��������� � � 6M����� �?�� :����� ����������� �M:O 7

/����� +

� � �� Q +��� ���� . + �+ "�

� � $���� . + + "�

.�� � Q +� � "$ + � � �&� ��$� $�������� ��� � � " �&� �� � $��������$

&�� M:O ��$����� ����� ��0����� ���� �#�� �%'

� + � " :����� ���� �$$��� � � " �

� + + " �#$������� ���� �$$��� � � " �

�"

Page 12: Risk Management with Extreme Value Theory · 2012-05-22 · o o oo oo oo oo oo oo oo oo oo oo oo oo oo o oo o o o o oo 5 10 50 100 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 x (on log scale) Fu(x-u)

� + � " :����� ���� �$$��� " � � � ���+�

&��� ��� � ��� �$$ ��� �� ���� ���� ���!� � ���� ������ � ( � %� ��'

�� ��� $���� $���� �% �#�������� �� � :����$�����' ��- ��� ���������� �#��� �� � M:O��� � ��/ ��� �������� )�������� �% �� ��� �- ��� ����$�������

��% ������� ����� � � &�� ���� �' �� ���(�����

4��� ���� ��� ��� ��� ��� ��� ��+ �

+ � � ��� � ���� ������ � ( ����

�� + ���� ' �� � (� + �� � � � � �� �O��� � �( + �� � �( + � ��� � ( � ����

� ��0 + � �� � ( � 0 � � � ( +� �(Q 0

� �( � 0 � " �

�)��!� ��� ��

� �(Q 0 + � �( � ��0 � 0 � " � �-�=

8������ � �( ��� � ��0 �� ��� :V&(������'

�� �( +�

�����

*��� � ( +��

��

4$$��#�����

� ��0 � � Q +

0

������ 0 � � �

��� ������� + ��� � �� �+ ��� �� ��� �� �� � &�� ��� � �� ��� %� ����� ��� ��� )����� ��������'

� ��� ���� ���

�� �(Q 0 +��

� Q �+ 0��

������� 0 � " � �-��

� !������� ���� ���

��� + (Q���+�

���� � �

����� �

�� � � �"� � � �-��

4 ������� ������ �� ������� ��� $�������� + ��� � � ��#���� ��� ����� �;9 ������������ � ���� �� �������� � ��#������ ��� ������� %������� %�� ��� ��!�� ����� ����� ��� ����#��� �!�� � ������ � (� <���!��� ��� ��� � ���� �� ���� ���� ��� ��������� $���������%��� �� �� �� � !��� �� ���� �� � �� � ��� �#��� �� ����� ��� ��������� $������������ ��� ����� ��� ������ � ��� �� � �� ��� ���$����� �$���� ��� $��$����� �% ��� ;9(�������� ��� ��� � �����%��� $��� � �� ����� ��������� ������ %�� ���$������ ���

��

Page 13: Risk Management with Extreme Value Theory · 2012-05-22 · o o oo oo oo oo oo oo oo oo oo oo oo oo oo o oo o o o o oo 5 10 50 100 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 x (on log scale) Fu(x-u)

�#��$ �� ��� � ��� 0�� ������� ��� � �� ��� � �� � �������!� �$$������ ��� � ����!�������� ��$���������� �% ��� <� �������� � �� � � ���$����� �� ����� ��� ��������� �� ����8A; 6//7� J��$��� ��

4 � ����� ���������� ��� ;9 ��������� � ���� �� �#�� ����� ����� ������ �� ��������� ����� � ������ � $�������� (� 4 ��%� ��� ���� � ��� $ �� �% ��� ��$����� ���� �#��%������� �� ������ -��� 3��� ���� %�� ���!�(��� �� ����������� ��� ���� �#�� %������� �� �-�/ ���� �� ������� ����������� �� ��� �� ���� ���� %�� ��� ������ ��� :����� ������������ ������� �#�� %������� � � ����� %������� ���������� �% ��� �� � �% ��� $�������� + � $����!� �<����� � $��� � ������ �% ( � ��!�� �� ��� !� ��� ���!� ����� ��� ��$����� ���� �#��%������� � �$$��#����� � ������ ������ -�� �������� � ������� � ������ �% ( + �"� ���������$������ �� + ��� &�� �������� ���� ��� ������ ��� :����� ����������� � ��� �� � ����� ���� %�� ��� �#����� ������!� ��� � $���� ������� ��� � ����� %�� ����� �� % �% �����&�� ;9(�������� ��� ���� %���� �� ��

�+ + "���� � �� + ����-" �

����� ���� � � �� ������� ��� ���� �,E)����� � �% ��� ��� � $���� �������

99 93 87 81 75 69 63 57 51 45 39 33 27 21

-0.4

0.0

0.2

0.4

0.6

2.10 4.06 6.82 8.94 11.50 13.90 18.30

Exceedances

Shap

e (x

i) (C

I, p

= 0.

95)

Threshold

o oooooooooo oooo

oooooooo

oooooooo

oooooooooooo

oooooooo

oooooooo

ooooooooooo o oooo

oooooo oo oo oo

5 10 50 100

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

x (on log scale)

Fu(x

-u)

o oooooooooo ooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo o oooooooooo oo oo

o

o

5 10 50 100

0.00

10.

010

0.10

01.

000

x (on log scale)

1-F(

x) (o

n lo

g sc

ale)

99

95

99 93 87 81 75 69 63 57 51 45 39 33 27 21

3040

5060

2.10 4.06 6.82 8.94 11.50 13.90 18.30

Exceedances

0.95

Qua

ntile

(CI,

p =

0.95

)

Threshold

������ ��"� >-����� ,���� ����) �. �&� ����$ %&� ����� ��.��&��� ���� &�� �&� �������&��� ��������� �+ ��& ������ ���1����� ����,�� +��� �� �&� ������ �)������ �. �&��������( �������� �� �'����� �&��&��� ,���� ($ %&� ����� ��&��&��� ���� &�� �&� 1� �.�&� ��������� �.( ��� �&� ����� ��.��&��� ���� �&� ����1� �. �&� � � ���) ���� �&����5 �&�������� ���� ���� ��� �&� " ������ �+����� ���� �&����9 �&� ��� ���,� &�� �&� ��������. ��� ��� +��� �� �&�� ����$ *� �&� ����� ��.��&��� ����( �&� ,������ ��� ���� �&� �������� ?!3������( �&� ���,� �+�,� �&� ����������� ���1�� ����&���$ %&� ����� ��&��&��� ����&�� �&� ������� ��,�3������ ��& ������ ���1����� +���� �������� �� �&� �&��&���,����$

�-

Page 14: Risk Management with Extreme Value Theory · 2012-05-22 · o o oo oo oo oo oo oo oo oo oo oo oo oo oo o oo o o o o oo 5 10 50 100 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 x (on log scale) Fu(x-u)

&�� �������� ��� %�� ��� O4P ���� �% ������ ��� �� ��� %� ����� ��� ��

��$����� ����� M:O

2�3������ � + "�"� (/"���= (-���-/ (=-����

4 � ��!��� %��� ��� &�� � ��� ������ -��" ��������� �% ��� )����� � �� ���� �% �#�����!� �� ������ ��� � �� � ���� ����� ��� ������� � %�� ��� ��$����� ��� ����� �������

&�� ������� � ��� ��!�� ���� )���� ���� �� �!�� �� ��� %�� ��� ��� � &�� ����� ������� ���$���� �% �� ����� ���� ���!� ��� �� ����������� � �� �� ��� ���� ��� ����� ����� �����#�� ��� �����$������ ������� �% ��� ���� �,E)����� � �% ��� 2�3 ��� %�� ����$ ���� � ���� ���� �������� ����� ��� ���$���� �% � ����� ������������

J������� �����!� %�� ��� �������� )����� � ��� ��� � �� �������� %��� ��� $ ����� $�� � ��� ������ &�� ��,E�������� �����!� ��� �� ���� �0 ��� ����?���� ���� �� � ��� �����!� 6/=�/>� �"���7� ���� ���� $������ ��� "��� ��� ��,E)����� � �� �� �� ��� �����!� 6/=�/>� �"���7�R�� ��$����� �� ��� �������� �����!� � ������ ����� �� $������ �� �� ��� ������ ����� !��� %������ ��� �� �� %����� ��� ��� �������� ��� ����������� $��$����� �% ��� $�� � ��� ������� ��%�� �� C������0(R�� �� ��� J�# 6�7�

� ������������� ������ ������

�� ��� ������� ����� � ���� �� C����!�� ��� A B�$$� ���� 6�>7� �� ���� ��� �#����� ��(��!���� �% ��0���� $����� ����� �� ��� .O8

��� + ���� ��Q ���� ��� � � � " � �� + � � �/��

����� � � ������� C������� ������� � � � � ��� ��.� ���� ��� � � " � ��� �'���������� �� ,������)�

&�� ��������� ����������� �% ��� $����� ����� ��!��������� ��� �%��� �� (����� ��� �������� �#$��� ���� ���� ��D����� ��� �#����� ����!���� �% ��� $���� �� ��� ���� &�� �����!�� ��� ��� ���' %�� ��� $��(���������� ��������� ����������� ��� $���� ��� �#�����)���� ��0����� ����!���� �� �� �#������

8#����� ����!���� �% � �������� $���� ��� ��� � � � �� ��$ ����%���� �� ��� ���$���������!���� �% ��� ������� ��#���

�� + ��#�����

�� � � � " �

&�� ���$����� ����������� �% �� %�� � � �� ���� ������ �� !����� ������� �� O�!� 6-�7%�� ����� �� ��%�������

�� � �������� � ���� ����� )���� ������ ��������� ������� ��#��� ��� ������ �% ��� �����!�� �� �/�� ��� ���$������ � ����$������ ��� ��!� ��� ��� ����!���� � ��� �#����� �%��� �!� G� ������� ���� !� �� ��� ��!��������� �% ��#���� ��� ����������� ��������� %�������� ����� ��� ���

&�� ��0���� ��� ��� ��!�� �� ��� .O8 �/�� �� ���� $��� �1� � � �� G� �� � ���������� ��� ���� ��� ��������� 1 ��� � ��� �������� � ��� ��� ��� � ���������� G� ��)����%���������� ���� ���� � " %�� � � � �1� � ��� ���� ����� �#�� ��� � � " ��� ����

�/

Page 15: Risk Management with Extreme Value Theory · 2012-05-22 · o o oo oo oo oo oo oo oo oo oo oo oo oo oo o oo o o o o oo 5 10 50 100 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 x (on log scale) Fu(x-u)

� ������ �� Q ���� � ����� �� � �� &��� ��� ��������� ��������� �� $������ �� ���� ��� .O8 �/��

�� � ���� � ����� ����� � ���)�� �� $������ ���1 �� A����?� ��� .���!� 6�-7� J��$��� ����J�

4������� ���� ��� ��0���� � ��� �� � %������� 2 ��� ��� $��� ������ 3� &�� ���� .������� ����� �

2�� +

� �

��#$

�-

� �

���

���� ��

��0 � � � �1� � � �/�-

����� - � ��� �������� $���� �% �1� � ���� ������� �� ��� ���!������� �� ��$� �������� ������ �0��� ��� �#����� ����!����� ��� ��� ���� ������ 3 �� ���� ���� 3�* � " %�� �!������(��$�� �$�� �������!� * �% ��� �������� �% �1� � � G� �� � ������� ��0���� ���� ����$��� ������ 3 ��� ������ �� ���� �� �� �3� + 3��1� � � &�� $��� ������ �% ���� �/�� � ��� ��� � ��������� ���� 9������ ������

3�� +-

���� 2�� � � � �1� � �

����� 2 � ��� 9������ ������ �% 2� �� ��� �������� ��� ��� � ������� ��� �� �������������������� � ��� ��� � ��������� ���� 9������ ������

4�� + 3�� ��3� � � � �1� � � �/�/

R����� ���� ��� ���������� ������� ��������� ������������ $��� ������� �� � %�������� ���%����� ��� ��0���� �������� ���!�� �� �/�- (�/�/ � �� � �� �������� ��0���� ���� ����(����� ��������� ����������� ��� 8#��$ � /�� ��� &������ /�= ��� /�� �

&��������� ��� ������� �� ���� ���� ��� ��0���� $���� ��� ��� ����� �� �/�� �����&� ���� �������� ����� ��������� ���� ��� ��� � ������� ���� ��������� ������ �/�/ '

2�� + �2�1 + � ��� �3� � � � �/�=

��� $���% �% ��� ���!� �� ����� ��� %������ ��� � �� ��0���� �� ��%�� �� ��� �������$�A����?� ��� .���!� 6�-7� 3�!�? ��� X�� 6>�7� 3���� ��� G� ��� 6>�7� �� ��� ����� ��!�������#����� �� �������� $������

&�� %� ����� %���� ����� ��� �� %���� �� O�!� 6-�7�

����������� ���� ;�� ��� ��� ��.) �&� ���� ������� �@$A $ %&�� .�� ��) ���� ,������ + 0 � �1� � ��� ��) (� � �(

����� �� ���� � (� � � ��(� � + " �

�&��� � � �.( ��1��� .�� ��) - � �1� � +)

� �� + �#$

� �

�3�2�� �

� � � �-� � � �/��

%&� .������ 2 ��� �&� 3�����) �3� ��� ������ �� �&� �&��� �. -$ �

2����� $���% �% ��� ��� � �#�� ��� �� ��%�� �� O�!� 6-�7 %�� %������ ��%������� O�!�� $���%� ���� �� � ��$���������� �% ��� � ��0���� � �� V������(N� ������ $���� �%��� � ����������(������� .������� ������)�� %�� �#����� �% M����� $����� �$$ � ������ �� ��� ���!���� �� �&�� ���� � �#$ ����� �� ��� $���% �% &������ /�� �

�=

Page 16: Risk Management with Extreme Value Theory · 2012-05-22 · o o oo oo oo oo oo oo oo oo oo oo oo oo oo o oo o o o o oo 5 10 50 100 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 x (on log scale) Fu(x-u)

4 � ����� ����� ��� �� � ��� $��� ������ �% � ��0���� ��� ��� ��$��� �� ��� ������ �%- ��� ������ ��� ��� ���)��� O�0����� �� � ��� $��� ������ ���� �����%��� ��0����� - ��� �� ��0����� �%� � �� :��$������ /��� &��� ���� ����!��� � ��� (�)��!� ���� &�� %� ����������� � �� � &�� �� �#$����� %��� �/�� ��� ��� %��� ���� 2�� � � � � ��#�������$ ��� B���� �&� ������� �. 2������� @$C �&� ��� �. �&� �. � � �@$ ��1�

� �� � �3�

� �

�2�0 �0

���� ��3�2�� �� � � � � �

&�� �#����� ����!���� ��� $������ �� ��� ����!���� �% ��� ��#���� �% �� ��� �)����� ���������� �% � � ���������� �� ��� %�� ��� �% ��� ����� ��� � � �� ��� �������� ��� ���$���������!���� �% ��� ��#��� �� � ���������� �� ��� ��� �% � � �� �/�� ' �% � � ;O4�# ����������� ������� � � " ��� !� � �� ����

��� ��� � !� # � � � � �/��

&�� ������ �% ���� �� !�������� � ������ �� �#����� !� �� ������ ��� �� ��%�� �� C�������M� ��� ��� &���� 6��7� ����� �� �����%���� �����!���� �� CM&�

��������� ���� 63��� �� !��������7 ���,� ������+�� .������ � �� �"�� ��������) ,��)�� �� � ��& ���- � ��� ����� � ��� .

�����

����

��� + �� � � � " �

&�� %� ����� ��� � ������� ��� ��0����� ����!���� �% ��0���� �/�� ���� ��������� ������4 �� ��� �% � ����� ��!��� ��� �#����� ����!�����

����� ���� ��� �&�� �&� ���� ������� �@$A� &���$

� *. � � "( �&�� � + ����� ��� � �� � %��� � � � .�� ��� % � " �

�! ;�� � ��� � +� �'������+�� .������ � ��� ��.� ���&+���&��� �. � ��& �&��

�����

��

����

��� + " ��� ��

���

����

��� �#$

�-

� �

���

���� ��

�+ �� �

�&��� �� � ���� �4�� � � � � �

����� ���� ��� �&�� �&� ���� ������� �@$A� &��� ��� � + �$

� *. ���� � ���Æ5�� �4�� � � � .�� ��� Æ � " ��� 5 � ��" ( �&��

� �� � Æ

-��Æ5�� � � � �

�! *. ���� � %�Æ��$�����4�� � � � .�� ��� Æ � � ��� �� �� % � "( �&��

� �� � �

-%������� �#$����� � � � �

��

Page 17: Risk Management with Extreme Value Theory · 2012-05-22 · o o oo oo oo oo oo oo oo oo oo oo oo oo oo o oo o o o o oo 5 10 50 100 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 x (on log scale) Fu(x-u)

&�� %� ����� �#��$ � ������� ��� ��$ �� ��� �� �������� � ��0���� $���� ���� $����������������� ������ 4�

��� ��� ���� O��� ��� + ���� ���� � � "� ��� �� + � � �1� � ��� ���� + ���4�� %��� � " ��� ��� ������ 4� &��� ��� + "� 2�� + � ��� ��� ��� �� ��������� ������ 4� 4� ����)����� �% &������ /�=�� ��� �#��$ � �� � !��� $���� �#����� ����!����� ����� �E ����$������ �% 4 E ��� ��� %�� � 4�

R�#� �� ��!������� �� ��� ���� �% ��� :���� $���� �$$��#������� %�� ��� ����1 �� :��$��(���� -�/� .���� ��� ��� �� ��$ � $��� ���� ������ !��������� �� ��������� � ������� �� ������ ���� �% � $���� $���� �% �(�� �� �(�$������ �% � ���� ������ � ( �� ��� ���� ��� #��� � " ��� $���� �� �� �(�$������ �� � �% �� �� �������� �� �� ( �� ��� �����!� �� � �� � ��� � �)�� �� ( �� �� N���� ���� ���������� ��� $���� $���� �% �(�$������� $��$�� ��� �� �� ���� ��� $���� ���!���� �� ����������� �� � ���������� :���� $����� ���� ������!� ����� ��� �#�������� �% ��� �!� ������ ����!�� ��� %��� ��� ��������� ������������% ��� ���� ��� %��� ��� �% � ����� ������� ��� ������ �% ��� ������� ��#��� ��� � � "��� :��$������ /�� �

��������� ���� ;�� ��� ��� +� � �'��� ��.)�� �&� ���� ������� �@$A $ %��� � � "$

� %&� ����� ��� ��� �� �� &�,� �� �E�$������ �% ��� �!� ( �� �� � " .

�� � ( .�� � � ��� � 6� �� ��� ��� + ( �

�! 6�� � � " ��� ������ ������ �&� ���+�� �. ��������� �. ( +) ��� �����$ %&��

�� �) + �������) + ������������� �. (� +) ��� ����� '

2

�� )� � ) � ��"� �7

�&� ����E����� ��� $���� $���� �% �(�$������ �� �&� ����� �� ��"� �7$ �

��������� � %��� ��� �������� �E�$������ �% � ��������� ���� $���� �����$��� �� �#(�������� �% � ������� ���� �)������ 4 �� ����� %��� :��$������ -�/ ��� $���� $���� �%�#�������� �% ��� ���� ���!���� ���� � �� � ���������� :���� $����� .��� ��� � � ��� � %�� ���� ������ �)����� $��!���� ��� ��$������� �������� � ���� ������ �� $��!���� ������� �% ��� �#����� �� ��� �����

��� ��0���� �/�� ��� ��$������� �������� �% ��� �#����� � ��� ���� ��� $���� $����� �% �(�$������ ���!���� �� � ���������� :���� $����� ����!��� ��� �������� � ��� ������������ ��� ��������� �% "� ��� �� ��� �% � %��� :��$������ /��� &�� ���� ���� ��� �(�$�������% ��� ��� ��� ��� � �� ����!� � ��� �#�������� �% ��� �! ���� �% � � &�� �#��� ��������� �/�> �% ��� %� ����� ������� �� ��� ��� �� � %������� 2 ��� $��� ������ 3 �% ��� ��� �� ��������$������ )�������� 2�� ��� 3�� �% ��� ������� V������(N� ������ $����� ����� ��

2���� +�

-7

� �

�$�

����� ��� 3���� + ��2���� � � � � �

����� ���� ;�� ��� ��� ��.) �&� ���� ������� �@$A ��� (� � � ��& �&��

����� �� �(� + ��

����

�3�2�(� + ' � �"�� �

��

Page 18: Risk Management with Extreme Value Theory · 2012-05-22 · o o oo oo oo oo oo oo oo oo oo oo oo oo oo o oo o o o o oo 5 10 50 100 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 x (on log scale) Fu(x-u)

��� �&��� �-� ��� ���,� ������� % ��& �&��

3���2

���� �2�-

2���2���� �2�-

2�- 3�-

� % � �- � �1� � � �/�>

%&�� .�� ��� ������ ���� 0 � �1� � �. ��� ��� ��� � � " �&� ������������ ���� �������� �. ��������� �. �&� ��,�� (� ���,���� � ���+���� �� � � � � �( �&��� � �

&��������� 2��� ����� ��& �����) ' �� �"� �7$

����%� &�� $���% ��!��� � ������ ���� ������ ��������� 4� �$$ ������� �% &������ �-�=�-�% 999 6�-7 ��� ���� ��� ������� �� � %�� ��� ������� V������(N� ������ �8� ��� $�����O����� ��

9� + 2���8� � � � " � ��� :� + 2��� � � � " �

��� V������(N� ������ $���� ��� ��� ��0����� ���� �� ������ �� �� �:� ��� ��� ���� ����������� � � ������ ���� ������ �% ��� $���� �9� ���1 ���� %�� � � � "�

:� + 9�� �2�

%�� ��� �������� $���� �'� ���� &�� ������ ���� '� �� � ��$���������� !�� ��� ��� �����% ��� $���� �:� ���� &�� � � ����)����� �% ��� O����(O����(.�����? &������ �3�!�?��� X�� 6>�7� &������ ���� $� �>" � &������ =>�� �% 3���� ��� G� ��� 6>�7� $� ->> ���8#����� -�-� �% 6>�7� $� -/"� ��� - � �1� � ������ �� ;��- ��� ��� ���� �% �:� ����� �� -� &����� ��� ����$����� ���� %���� � ��%� 3�!�? ��� X�� 6>�7� $� -"�

'� +

� �

��;��- �3���2

���� �- +

� �

3���2

���� �2���

2���2���� �2���

2���

3��� �2 � � � " �

R����� � � ���� '� � ��������� ��� ����� � ��������� �� �1 ���� �� ���� � ������ ����� N������������� �/�> �� ������

'� � '��� � %� � � � " �

;����!��� ��Y� ��� ;�A��� 6=�7� $� --� $��!�� ��� %� ����� ������� �������

'��

���� �

�3� �

&�� %� ����� �$$��#������� ��� �� ���� $����� ��� ��$ �� :��$������ /���

��#�����

�� � (�

�+ �

��#�����

:� � 2�(�

�+ �

��#������

9� � 2�(�

�� �

��#

���������9� � 2�(�

�� �

�9� � 2�(�

������ � �#$

� �

2�(�

�������

+ �#$

� �

2�(� �3��

� � �� (� � � �

��� ��� $���� $���� ���!������� �� �� &������ =�> �% A� ������ 6��7 ��� $��!� ���� %�� ���0 � �1� �

������ ����

������< + " + � ���< + " �

�>

Page 19: Risk Management with Extreme Value Theory · 2012-05-22 · o o oo oo oo oo oo oo oo oo oo oo oo oo oo o oo o o o o oo 5 10 50 100 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 x (on log scale) Fu(x-u)

����� < � �� ��������� ����� �% ���(�$�� �����!� � �

&������ /�� ������� ��� ���$����� ����!���� �% ��� ������ �% �(�$������ �% � ����� ���������� �!� � �� $������ ��� �� �!����� ����� ��� ' �(�$������ �% (� �� ��� ����� %�� ������ R����� %����������� ���� �� ��� � :���� $���� �� ��� ���� ����� � ����$������ �% ��������� �% � � "�

&�� ��#� ���� $��!��� ��$ � ������ ���������� �� � �� �� � %������� ��� $��� �������% ��� ���� %�� �/�> � R����� ���� �� $����!��� ��� ����������� �/�> �� � ���������� � �����$��� �����!� � �� ������ �� ����� ��� ��������� %�� - �� � ������������� �% � ��� 1�

&� � �� � ��� �&�� .�� %�� %� � �"�7

���2�- � 2�-

2�- 2�- 3�-

� 3�- �3�- �

�� %� - � � �

%� - � 1 � �/��

�� �/������ DA E� �&�� .�� ��� �� � �"��7

2��- 4�- ���2�- � 2�-

� �� - � � ��� - � 1 � �/��

�&�� �@$F� &���$

�� ��� %� ����� �� ��!������� ��� �#��$ � ����� ��!� ���� $�������� �� ��� ������� �������� ���� 4 �#��$ � ��!� � ����� ���%� ����

��� + %� �� � � � �1� � � %�� % � � � � � " �

����� ��$ �� ���� ��� ��������� !����� �% ��� ��� �� ���� %��� $��!���� �� �#��� ��� ����� ��!������ ���� %���� �� ��� ������ ���������� �� ��%�� �� 9�������� ��� 9�$���� 6��7�� ;����� 6��7�

������������ ��� ��� �� ���� $��� � �� �� � ����� � � ;O4�S� %�� ��� � � " �� � �;O4�T � R��� ���� �/�� ��$ �� ����

��

S� �% � � ;O4�S� �/��"

����� � !�

T �����

!�

� � �% � � ;O4�T � �/���

������ /���� /��/� /��� ��� /��� ��� ��� ���� ��$ � $��� �% ��� ��0����� ���� � ������ ����� ������ �% � ����� �% .O8 �� A ����� ��� : ���� 6��7� &�� � �� ��� ������������ ������� ������� ����� ������� ��� ������� �% �� %�� ���� �� ���� �� ;O4�S� �� $ �� � ��� �/��" ��� �� ;O4�T �� $ �� !� ��� �/��� �

������������ � ���� �� ��� ������ �#��$� ��� ������ ��� J�#(������ (3� ���� ����= + � ���%� ��������� �/�� �% 9���� /��� ����� ��� :���� �$$��#������� �% ��� �E�$������� � � �#$ ���� � ��!�� %�� (� + ��Q !� ��� ' + � �#�� � ����� # � ������ S� �� T�

��� ��� ���"� 6&�� 2����� ���� �2����� 6�>7 7�� ��� ���� ��� ��0���� �������� � ��� � � � "� &�� � ����� �% ��� .O8 �/�� ������ + � � ��!�� ��

�� +%

�Q ��� %

� $�� Q �

� �

�$������� � � � " �

��

Page 20: Risk Management with Extreme Value Theory · 2012-05-22 · o o oo oo oo oo oo oo oo oo oo oo oo oo oo o oo o o o o oo 5 10 50 100 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 x (on log scale) Fu(x-u)

0 200 400 600 800 1000

-2-1

01

23

4

������ ����� 4������� ����� ���& �. �&� ����� ����� ���& ��������� % + � + � + � �������������� �������� ������� !�$

��� ��� �� ���� $��� � � ���� !� �� ��� !������� %�������

��� +%

�Q ��� %

� $�� %

���� !���� +

��

-�

�� � $���

� ��

-�� � � �

�� � �� (����� ��� ��� �� �� �� ��� %��� �/�- (�/�/ ���� ��� ��� �� � ����� ���������

������������ ���� $����� �� �� � �� � � �

� � ����� �� � ! ������ ��� ����� ����������� �������� ��� !������� !� &�� ���$���� �% &������ /�=�� ��� ����� ��!���

� �� � -��

��

��� %

��"�� � � � �

����� "�� � ��� ��� �% ��� ��������� ����� �����������1 ����� � �� ���!��� ��� ���� "��� ��� �� ���� ���� � � ;O4�T ���� ������� �������

� +�

-�� � �

��� !� +���

� � �Q

%

�Q

=��

� � �Q ������-7 � � �

��� ��� ���� 6&�� J�#(������ (3� ���� �J�#� ������ ��� 3� 6-/7 7�� ��� ���� ��� + �

�� %�� � � " ��� -% � ��� �� �� ���� $��� �"�� � %�� �� + � �� ��

���� !� �� %�������

��� +%

�Q

��� %

�$�� %

�� � �

��� !������� %�������

!���� +%��

-��

� �

� Q

��� %

� -�

%

�$��� Q

��� %

� -�

%$���

� %��

-��� � � �

���� �/�- (�/�/ �� ������ ���� ��� ��������� ����������� " � Z� �� �� � �

� &������ /�=�� �$$ �� ��!���

� �� � -%�

��/�� � .�"�� � � � �

��

Page 21: Risk Management with Extreme Value Theory · 2012-05-22 · o o oo oo oo oo oo oo oo oo oo oo oo oo oo o oo o o o o oo 5 10 50 100 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 x (on log scale) Fu(x-u)

����� . � " ��� /�� � ��� ��� �% ��� Z� �� �

Q �� � �

������������ &�� ����� �������������� �� ;O4�T ��� ��� ������� ������� %�� � ���

� +��

-���� !� +

��

-�

� �Q

-%

�� � � �Q �

Z�-%���

���

0 200 400 600 800 1000

01

23

45

������ ����� 4������� ����� ���& �. �&� G�-�*���������� ����� ��& ��� + % � ��(% � � � � � " ��� ��� +

��$ �%&� �&��� ��������� ��� % + � + � + � $ %&� �������)

���+���� � ����� ���+����$ %&� ��� ��� &�� �&� ����������� ������ �������!�$

��� ��� ����� 6&�� M����� ��� J�#(������ (3� ���� 7�� ��� ���� ��� + ��! %�� = � 6�� �� � &�� $���� � ������� ���� ���� $��� �"�� �

G� ��������� ��� %� ����� %��� ���'

= + ��- ' -% � �� � � � " ��� 8#��$ � /��- ��- � = � � ' % � " � � � "= + � ' % � " � � � ����-= � � ' % � " � � � � �� % + " � � � " �

�/��-

��� �� � = � � ��� ���� !� �� %������� �% ��� ��� � ��!�� ��

��� +

���������%

�Q

��� %

�$�� %

��% � � "

%

�Q

��� %

�$�� � �% � � "

�Q %� � �% � + "

� � � ����� �� + �� &�� ��� �% � �� ������ �������� � ����� ���� %�� ������� $��������!� �� ��� ���� ��� ��$���� !��� ���� D��������� �� ����� ����� �� ��D��� � � �� �������!���� �% ��� ��#����

� �� � = � �

&�� ��������� ������� ����� ��� �� �� �� ���� �� �/�- (�/�/ � � %�� ��� ������� �������. � "

4�� +-

.�����! �#$

� -

��

%

-= � ����!�� Q

- � -=����!

��� � � " �

-"

Page 22: Risk Management with Extreme Value Theory · 2012-05-22 · o o oo oo oo oo oo oo oo oo oo oo oo oo oo o oo o o o o oo 5 10 50 100 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 x (on log scale) Fu(x-u)

&�� ���$���� �% &������ /�=�� ��� ����� ��� �����

� �� � ��4�� � )����!"�� � � � �

%�� ��� ) � "� &��� � � ;O4�T ���� ������� �������

� +��

-�

���� � =

� � �

� ����

����

!� +

���� � =

� � �

� �

����

���� -= � �

�- � -= �

�� ���!

� ��

� �

�� Q � �

-�

.��

��

� = + �

�� ��� ��� ��� � ����� �% ��� .O8 �/�� ���� �� + � � �#$ ���� � ��!�� ��

�� + $����

��� "�

�Q %

� �

�$�

��

��� "��2

�� � � " �

G� ������ %��� �/�- E�/�/ ���� ��� ��������� ������ � ��!��� �����'

4�� +

��

-%

�� ��

����

Z

-�

��Q �

��������

��� �#$

� -%

�����

�� � � " �

R����� ���� 4 � ���-�����- ��� ����� �� A�������� ������� �&������ ������ �% CM& 6��7 ��� ��� " �% ��� ��������� ����������� � � � ���� �� � !������� &�� ��$ �� ���� ������������� ��� ������'

�������Æ

� +

�������

-%

��

�Æ Z�� � Q �� Æ

�Z�� � Q �

� �% Æ �-�

��Q � �

� �% Æ � -�

��Q � �

�� $������ ���

�����!���� +

�����-%�

��-�� �� �� �%

-�

��� � �

� �% �� �-�

��� � �

��� ��� ��� �% � �� ������ �� &������ /�=��

� �� � )���� ��� � � � �

%�� ��� ) � "� <���� � � ���� � -���� � �)��!� ��� �� � � ;O4�S���� � � ���� ��������������

� � > ������� � � � � �

%�� ��� > � "�

-�

Page 23: Risk Management with Extreme Value Theory · 2012-05-22 · o o oo oo oo oo oo oo oo oo oo oo oo oo oo o oo o o o o oo 5 10 50 100 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 x (on log scale) Fu(x-u)

0 200 400 600 800 1000

05

1015

20

������ ����� 4������� ����� ���& �. �&� ��������� G�-�*���������� ����� ��& ��� +% � ��( % � �� � � " ��� ��� + �! .�� = + �$ �%&� �&��� ��������� ��� % + � + � + � $%&� ��� ��� &�� �&� ����������� ������ ������� !�$ 8� ��� ��������� � �� � >"�� � � � .�� ��� > � "$

� = � �

R����� �� ���� 4 � �% ��� ��� %��� � �� ��� ��� �� � = � �� �� $������ �� " � ���-= Q �

���� � � -= � �� � G� �$$ � &������ /���� ��� ������ %�� ��� . � "

� �� � �.� �� � � � �

<���� � � ;O4�S� ���� ������� ������� � � ��.� R����� ���� ��� ����� �% ������� �% �� � ��� ������ &�� ������� .� ����� ��$��� �� ��� $��������� ������ ����� ��� �$��

0 200 400 600 800 1000

020

4060

80100

������ ����� 4������� ����� ���& �. �&� ��������� G�-�*���������� ����� .�� = + ������& ��������� % + � + � + � ��� �&� ����������� ������ ������� �$

--

Page 24: Risk Management with Extreme Value Theory · 2012-05-22 · o o oo oo oo oo oo oo oo oo oo oo oo oo oo o oo o o o o oo 5 10 50 100 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 x (on log scale) Fu(x-u)

0 50 100 150 200 250

01

23

45

0 50 100 150 200 250

01

23

45

������ ���� �������� �. �&� �3����� �:� ��� ����� ��� ��� ��� �+������ ��& � ��������-�������� � ����� � >-����� A$�$

� ��� � !�" ����� #�� � �$!�" ������

�� ��� ������ �� ���� ��� �#����� ����!���� �% ������� ���� !� ��� ��� ���� �% ��� %���

�� + ������ Q ������ �� � � � � ������ � � ��� ���������� ����� � ��� ���������� !� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� �������� �!���� !������� ��

4 � $������$� ���� � ����� ��� �� ��� ����� � ��� ��� �� %��� �� ��� 43�� $���� ����43J<�� ������ ����

�� + ����� Q�� Q ���

��� �� � � � � � �=��

����� � � �� �� � � "� ��� ��� ��� ��� �������� �! ���� !������� � ��� �� � ����$������ �%��� ��� � &�� ������ � ���� �� C����!�� ��� A B�$$� ���� 6��7 ��� C����!�� 6��71 �� � � 6��7�

C�%��� �� ��� �� ���� �=�� �� �#$ ��� ��� ��D����� �% !� ��� ��� � ���� �� � ���� �!� ��������� �����#� �% �#����� !� �� ������� G� � � ��� �� ����)����� %�� ��� ���������� ������������� � ���� �� �� )����� ��

G� ���� ���� �� ������������ �#��$ �� ����� �� ��!� %���� ��%� ��%����

��� ��� ��� 68A; 6//7� .������ =�=� ��� ��� ���7

9�� :� :�� :�� � � � �� ��� :+

�� ��� ���� �� + ��#�:�� :��� %�� � � �� &���

� ��� � � + �� �:� � � � + � �� � � � � �

-/

Page 25: Risk Management with Extreme Value Theory · 2012-05-22 · o o oo oo oo oo oo oo oo oo oo oo oo oo oo o oo o o o o oo 5 10 50 100 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 x (on log scale) Fu(x-u)

J���� (� ��� ���� �� ��� � (� ' � � �� ���� �� �:� � (� '�- ���

� ���#���� � � � ��� � (� + � ���#�:�� � � � � :��� � (�

+ � ���#�:�� � � � � :� � (� � �(� $���� � � � �

��������� ���� 68#����� ����#7;�� ��� ��� +� �����) �������) ��� ��1�� � +�.���

�� + �� � �� + ��#���� � � � ��� � � � � �

��� �&�� .�� �,��) ' � " �&��� �-� � �3����� �(� ��� ��& �&��

������� ��� � (� + '

������ ��� � (� + $�#�

%&�� ? � 6"� �7 ������ �&� �#����� ����# �. ��� ��� $

&�� �#����� ����# �� 8#��$ � =�- � ? + ��-� &�� �������� � ����� ��� ��� �������!������$�������� �% ��� �#����� ����#' ��? ��� �� �����$����� � ��� ���� � �����?��

�� ��� �����#� �% ��� ���������� �� ��!� �� �������!� �#��$ ��

��� ��� ���� G� ���� �� �� �� ��� ��� 2�3+2�3��" ���� � + "�"� �% � $���%� ��1 ���� %����� � �� ��� + �� � � � � �"� �� ���� �� ������� � ���#���� � � � ���� � 2�3 + "���� 4������� �� ����

2�3�� ���� � + "�"� +�" ;�� ��� 2�3������ � + "�""� +�� ;���

��� ��� � �! � ��� ���� ���� � �� � �" + "��� ��� � �� � �� + "����� O����� ��9 + ��#���� � � � ���� � �% ��� �� ��� ���� ����

� �9 � �� + � �� � �� �� � "��� �

������ %�� ��$������ �� ���� �#����� ����# ? + "�� �� ������

� �9 � �" + � �� � �" ���� � "��� �

&�� ���� ���� %�� ��� ���� ��� �"(��� 2�3��" ���� � + "�"� � ������ ���� %�� ��$�����������

N��� ��� � ��� ��#��� ������ �� � ��� �� ���$��� 2�3 ��������� %�� ����$������ �����$������ ��������� ������ ���� ����� &�� ���� ��� ��!���� ����� ��� � � ���� ��� ������� �����$������ � ��� ��#��� ��� �� ��������� � ����$������� ;����!��� �% ��� ��$ �!����� � ��� �� ;O4�# %�� ��� �#����� !� �� ����������� #� ���� ��� � ��� ��#���� �� �� ���� 9�� � � � � 9$ � ��� �� !����� � �� ��� ��$ � �% �! ���� �% #� J���)���� �� �� �������� 9�� � � � � 9$ ��� ��� M82 ����������1 ���� ����������� � ������� $�������� � � � ��� ��� � $�������� , � "�

� �9 � 2�3�� � �#$

��

� Q +

2�3�� � �

,

������� �=�-

-=

Page 26: Risk Management with Extreme Value Theory · 2012-05-22 · o o oo oo oo oo oo oo oo oo oo oo oo oo oo o oo o o o o oo 5 10 50 100 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 x (on log scale) Fu(x-u)

O����� %�� ��!�� � � �"� � ��� 2�3�� �� �� � + � �9 � �2�3�� � �� ������ �� ��!�����

2�3�� + �Q,

+

��� ��� � � �� � �

��

C� O������� =�/ ��$������� ��������� �� ��������� %����� ? �� ��� �#$����� �% �=�- ��!���

2�3�� + �Q,

+

���

? ��� � � �� � �

��

�� ��� �����#� �% ��� ���������� �� �#$��� + � " ��� %�� + + " �� ���� ��� ����

2�3�� + �� , ����

? ��� � � �

4 ��0����� ������ � � ��$������ !����� �% ��� :V&(������1 ���� ��� )����� � ������� �-�� �.������� ����� ���� �-�= � ��� ��������� �% ��� ��� �� �-�� ������� ���� � �( � ���������&�� ��$����� �������� ���� %�� ��� ���� � ��$ ���� �� � %

�����?� � ����� � %

� � ��� ������ �%� ��� ��#��� �#������� ( ��� �?� � ��� �������� �#����� ����#1 �� 8A; 6//7� .������ ������ ��%������ �������� ��� ��� )����� � ������� �-�� ��� ���� ����

��� + (Q���+���

��?�� %�

�� � �

����� �

�� � � � �"� � �

%�� ������ ����' � � ���� ���#����

�� ��� ������ �� $����� �� �#����� !� �� ��� �� �% ��� 43�� $���� ���� 43J<�� ����� ���!�� �� �=�� � 4 � $����)����� �� �� ���� �� ���� ������� �� ��� ��� ��� ���� � ������������� ��� ���� ��� ��� �% ��� ��������� ����������� ��� ����

��� � + " ��� $���� � �� 43�� $���� ���� ��������� ����������� � ���������� �� �������!����� ��� ��� ��� ����������� � ���������� %�� ��� � �� �� ��� 43J<�� ��� ������� ���� � + " ��� $���� � ��������� ������� $��!���� ���� � � " ��� " � � � -$! ������ = � 8� ��� �������� &�� ��� �% ��� ��������� ����������� � ����� �� �� :�����( ������ ���� M� ��� 6=�7 �� 8A; 6//7� .������ ��= � &�� ��� � �� �������� �� ���������� ���)���� 43J<�� $���� ������ �� � �������� ���������� �)������ ����� � �� ��� �������% A���� 6�/� �=7 ��� 2��!��� 6��71 �� � � O������ ��� �������� 6-�7 %�� �� �����������!��!��� ��� C������ ������� ��� 9��� 6��7� M� ��� ��� ;� �� 6=-7 ��!� ������� ��� ��������������� %�� ����������� �% �������� $������ ����� ��� � ����� �% �������� �����������)�������

��� ��� ������ ��� �� %� �� ��� ������� $�������� � %�� ������� �� ��� ��� � + " ���� ��� $�������� ������ �% ����������� �% ��� $����� ��� ��� ��� ����!����� ����!��� ���$$ � � ������)��� ����� ��0�� ���$ ��� � %��� A����� ������ ��$� ��������� �� ��!�������� O����(.��� &�������� �������� &�� �$$����� �� ��� �������� ���� �� ����� ���� ��!�������� �% ��� ��������� ��� � ��� ��!� �� ��%�������� �� ��� �� � !������ %�������� <���!������ ������ ��� �$$ � �� $����� ����� �� ��� � ���� ��� %�������� �% A���� 6�/7� ;����!������ &�������� �$$����� ��� ��� ��$��� �� ��������� ���$���� ����� ��� �%��� !��� ������ ����� �� ���� ��� �#������ �% ������� ������ �% ��� ��������� ����������� � J����������� &�������� ������ ���� ��� � �� M� ��� 6=�7� �� �� � $���%� ��� �� � !������ %�������� � ��������

-�

Page 27: Risk Management with Extreme Value Theory · 2012-05-22 · o o oo oo oo oo oo oo oo oo oo oo oo oo oo o oo o o o o oo 5 10 50 100 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 x (on log scale) Fu(x-u)

G� �� ���� ��� %� ����� ���$���� �� ��� ���� !����� �� O����� �� � � ������� �! ������� ��� �% / � ��� &��������� ��� ������ ��� %� ����� ������� ������� ��� �� %����'

� � � �������� ���� !������� � �

� � � ��� ��� � ��������� ���� ��$��� �� 9������ ������ ���� ������ @������ � $����!� �� ��� ��� � �% � ��� ��������� �� �� �

�=�/

G� ������?� �� &������ =�> ��� $��$����� �% ��� $���� ��� ��� � �� $������ ��� ���(������ ���������� ��������� ��� �#������ ��� ���)���� �% � ��������� ������������ ��� �������������� �� ;����! ����� ������� ��� �� ��%�� �� &������ 6��7 �� ;��� ��� &������ 6�>7�

&�� ��#� $��$������ %� �� ��� � %��� �� (����� $��$����� �% ������ ���������� %����������� ��� %� �� ��� $���% �% ��� ��� � + "1 �� ���� 9���� ��=�� �% 8A; 6//7 �

����������� ���� ;�� � +� � �, ��& ���+�+��) ����) @ ��.)�� �&� ������� ������� �A$@�$��1�� 4��& ' 6"�� 6"��7 .�� � � � ��� � � " +)

4��&�( '+ �6�� Q�� ���7 � ( � " � �=�=

��� %&� .������ 4��&�� �����) ���,�- � 6"� A ( �&���

A '+ ��%( � " ��6��� ���7 + �� �

�+� *. .���&������ �&� ��������� � ��� � ��� �&��� ��& �&��

4��&�" + �6 � �� Q�� ��7 � " � �=��

�&�� �&��� �-� � ��3�� ������ & + &��� � � " �� �&� �3����� 4��&�( + �$ �����,��( �����4��&�" � " (

&��� �

�������� - � . �� Q ��6��7 � � �

+ - � . �� Q ��6��7 + � �

� - � . �� Q ��6��7 � � �

'� ��( ���� �� C� 5����� ���)�� ��� �� Q ��6��7 � � ��$ �� 4��&�" � "�

�� :��$������ =�� �� � �� $������ �� %�� � ������� ����� �! �� �� ��� ��� A + ��

�� �� ������ � �� � ��� $��� � �� ��������� �#$ ���� � ����� $�������� � ��� � ���%� �=�� �

�% � + " ����� �� ��� 43J<�� (��� ��� �+ ��"� � �=�� � ����� �% ��� �� � �% � � �"� -$! �

����� = � 8� ��� ������� ��� ���� 8A; 6//7� .������ ��= ���� � �+ "� &�� � =��=(=��� ��� �������� ������ �% � ��� �1 �� A��%������ 6��7 %�� �����#��$ ��

�� R��� ���� & � � %������� �% � ��� �� .���� � � �������� & ��� ��� ��$��� �� ��� ���

�% �� ��� �+ ��"� � �� ��� ��� ���� %�� #�� � ��� %������� & � ��������� �� ���� .�� � �

&�� � =��=� �

����� ���� G����� �&� ����� ��� ��� � �A$C� ��& ��� ��� ��.)�� �&� ������� �������� �A$@� ��� ��& ��������� � ��� � ��.)�� �A$ �$ %&�� �&� .������� ������ &���5

-�

Page 28: Risk Management with Extreme Value Theory · 2012-05-22 · o o oo oo oo oo oo oo oo oo oo oo oo oo oo o oo o o o o oo 5 10 50 100 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 x (on log scale) Fu(x-u)

��� ;�� B +� �&� ������:�� ;�+����������� �� �&� ����,�� 6���� 7 � �9 $�$ B�� '+ ��� �6���� 7 ���6���� 7 $ %&�� ��� ��� �� ������� ���,� B���������� 0��� �&�� ��&����������� �� 6���� 7 .�� � ����� �����&$

�+� ��� ��� �������� ������$ *� ���������( ��� ��� &� � ��3�� �������) ���+������� ��1� �&� ����� �-�� ������� ��& �������� ���� �. ���,�������$ %&� �������)���+���� �������� ��� )������$

'� ��( ���� G��� �� ���� ��� ��������� ����������� �% ��� ��� �� ��� �� ����� �������� � � "� ��� � L���������� ������� ��� $���� � ��� ��� + ���� ��� ��� ����� � !� ����������� ��0������ �)������

��� + �� ����� Q

�� Q � ���

��� �� � � � � �

����� ��� ��� ��� ��� ��� �! � �� �=�� ��� ��� + ��� �% � � "� ������ �% ��� ������� �%��� ��������� ������������ �� ��� ����� ���� ��� ��� $���� � ��� ��� � �

�� ����� �� ��������� ��� ��� �% ��� ��������� ����������� � �� ���� ��� ��������� �������� ���$���� �� @ ��� / + � �/� ��� ������ ��� ��� ����������� ��� �% �'

�� &�� ���� ��� �$$�� ;���?���� ������ �% " ��� �)�� ��� ���%� �� $������ ��

�� � = '+ ��'��

� �� �$���"�B� �"��

� B

+ ��'��

� �� ��%���"�B� �"��

� B� " �

�� �% = + �� ���� %�� � Æ � " ����� �#�� ������� � �"� � ��� �� � " ��� ���� %�� � � � �� ��� � � ��

@

�� ���

���

�� �� � Æ @

��� ���� Q ���

�� �=��

�% = � �� ���� %�� � Æ � " ����� �#�� ������� �� � " ��� A � " ��� ���� %�� � � � ����� � � A ��� ���)�� ��� �=�� �� � �������

&�� �������� �% ��� ���� ��� �$$�� ;���?���� ������ ��� �� %���� ���� �� CM& 6��7�$� ��1 %�� ��� ���!� ��$���������� �� ��� &������ -���� ��� J��� ��� -����� &�� ��� = +�� �����$��� �� � ��� ����� � �#$������� � ���������� ��� = � ���� "7 ��������� C� ��)��!� ��� �� ��� �#������ �% ������� " � % � > � � ��� ���� %�� � T � �� ���%��� � ��B � 6��T7�

%�� Q D�� B! � /�B�

/�� � >�� Q D�� B! � � � � �=�>

�� $������ ��� � ����������� ���� � ���� �� � !������ ��� ���� C�1 ��� !� �� = � ���� ������ ����#� O�� �� ��� �)�� ��� �% ��� ;���?���� ������ ��� ��� ������������ �% @ �� ��������� � ��� ���$����� $��$����� �% / ��� �% @� ��$����!� ��

->

Page 29: Risk Management with Extreme Value Theory · 2012-05-22 · o o oo oo oo oo oo oo oo oo oo oo oo oo oo o oo o o o o oo 5 10 50 100 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 x (on log scale) Fu(x-u)

����������� �� � 4����� �&� ������� ������� �A$@� ��� C� �C� &���$ %&�� �&� .�������&���5

��� ����� ��/�� + " ��� �6����7 � � .�� ��� 3 � �=$�+� ����� ��/�� + � ��� �6����7 + � .�� ��� 3 � �=$��� ����� ����@�� + " .�� ��� 3 � �=$��� *. = � ��( �&��� �-� ������� " � % � > � � ��& �&��

% � �� ��%���

� @��

/�� � �� �$

���� @��

/�� � > �

�����,��( �&��� �-� ������� " � � � C � � ��& �&�� .�� ��� T � �( ��.����) � B � 6��T7(

��� Q D�� B!�� � @�B�

@�� � C�� Q D�� B!�� � � � � �=��

6���&������( � �& ��� �A$�� �3�,����� �� �A$F� �� C�$

&�� ������ ��������� �=�/ ��� %��� � ��$ � ��� ��� �� ������� ��� �� ������ C� ��� ��$������ �� C� ��� �� �� )���� �������� ��� ��������� �� R�!����� �� ������� ����������%� ���� ���$�����

��� ��� ���"� &�� %� ����� ��� %��� �� �% ������� ���%� ��� ������ ��������� �=�/ ���C� �C��

�� @(�#�� � �#$��?�����( � � � �� %�� � ? � "�R��� ���� ��� %��� � ��� ��� ��� 9�$ ��� ����� � �#$������� %�� + � ��� ��� ����� ���������� ���� " � + - �

�� @)�(�#�� � ��Q���? �(������Q ���-7 ���Q���? � � � �� %�� $�������� � -� ? � "��� �

"� � Q � �� Q � Q =7 �&�� %��� � ��� ��� ���� ��� .������(� ����������� ���� $�������� ��� + " ��� ? + �

&�� %� ����� ���������� �% ��� O����(.��� &������ �CM& 6��7� &������ ��-�/� $� ->/ ���� ��� �� ��� ��� ��

����� ����� ;�� E ' 6"�� 6"�� +� �� ������+�� .������ ��� ��� � � ! +� �&� ��-������� ����,�� ��&��� � " ��& �&��

�E�- +

����

���E�� ��

�� � � .�� - � � � ! �

*. � ��( ���� ��Æ�� �E� Q Æ + �( . ! � �( ���� ��Æ�� �E�!� Æ + �$ ;�� " +� � �.�� �� ��& ��� "$ *.

�����

����

E���

� "��

"��

��

�+ % � " �

�&��% + �E� .�� ��� � � � ! ��� "�� � �(1�� � � � �

�&��� 1 � ��" $

-�

Page 30: Risk Management with Extreme Value Theory · 2012-05-22 · o o oo oo oo oo oo oo oo oo oo oo oo oo oo o oo o o o o oo 5 10 50 100 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 x (on log scale) Fu(x-u)

&�� %� ����� � ��� ���� ������� �% ��� �������

����� ���� 4����� ��� ��� �,�� +) �3����� �A$C� ��& ��� ��� ��.)�� �&� �������������� �A$@� ��� C��C� ��� ��& ��������� � ��� � ��.)�� �A$ �$ ;�� � �� + � �� �� � � � "� +� �&� ��&� ��� �. �&� �������) ���+����$ %&��

� �� � % �� � � � � �=��

�&���

% +�

-&

�!������� Q

�� Q ����

��� � ����� Q��� ���

��� "�

!�� Q

���� � �� Q

����

"��� & �,�� � �&� ��3�� ���,� ������ ��

�6�� Q���� 7 + � � �=��"

'� ��( ����� �� 9�� �6��Q���� 7 + 4��&�& �� � �� 9���� =��� 3��� ���� %�� �

+ ��"� �

��� #�� �� ��� �#$����� & � ��������� �� ���� &�� ���� ���� ��� ����������� �% � ������!��� ��� � �� $������ ��� ��� 43�� $���� ���� 43J<�� ����� �� %�� � �+ " ���!��� ��� ���� ��� 43J<�� $���� ��� � � &�� � =��= �

�� &������ =��- �������� ���� :��$������ =�� ��$ �� ���� ��� ����� ������ �% ��� ������(��� ����������� �#�� �% ��� �� � �% �� Q ��6��7 � �� �

�)�� �% ����%� 3��� ���� � �� � � + /�� ���� ������ @�

� �� +

� �

���

�� �Q

�� Q � �� � � �

��� ��

+

� �

�/

��Q � ��� Q � ��

�Q/

��� � ��� Q � ��

���� ��

�� �

�@

��Q � ��� Q � ��

�Q @

��� � ��� Q � ��

���� ��

��

+

� �

�E���

�� ��

��

��

�����

E�� + ��@ ��Q ��

� Q @ �

�� ���

� � � " �

����

�����

� ��

� �

�E���

�� ��

��

�+ � � �=���

O��� ��� ����%���

YE�- +

� �

����E��

��

�+

� �

����

@

�Q ��

�Q @

�� ��

����

+ �6�� Q��� ��� 7 � � � - � ���� �

-�

Page 31: Risk Management with Extreme Value Theory · 2012-05-22 · o o oo oo oo oo oo oo oo oo oo oo oo oo oo o oo o o o o oo 5 10 50 100 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 x (on log scale) Fu(x-u)

���� "�- "�= "�� "�� ��" ��= ��� -�- -�� /�" /�= /��

"�" �-��� ��"� /��- -��� -�"" ��-� "�>> "�=� "�-� "��= "�"/ "�"�

"�- ���"" ���" /��= -��- ���� ���� "�>= "�=> "�-� "��/ "�"- (

"�= ���= =�/" -��� -��� ���� ��"" "��= "�=" "�-/ "��" ( (

"�� ��=� /�"/ -��- ���" ��-= "�>� "��" "�/" "��� "�"= ( (

"�� /�"- ���� ��/> ��"> "��� "��� "�// "��� "�"� ( ( (

��" "��� "��/ "�>" "��> "�=> "�-� "��� "�"= ( ( ( (

��� "��- "�/� "�=" "�/� "�-� "��> "�"> ( ( ( ( (

��- ( "�"� "��- "��= "��- "�"� ( ( ( ( ( (

�*�� ����� ����� �. ��������) �. �&� ��C�H �G0�C� ����� ��& ��������� � ��� �$%&� ����- ��������� ������ �&� ������� ��� ���- & .�� ������� ������ ���$ %&��� �� ������ �,�� . �&� ������� & �� �&�� �"�� �� �A$ � ��� ��1��$

.���� �=��� �� �� ��� ��������� �% ��� ��� O����(.��� &�������� ������� ��� ������ <��������� �#�� ��� � ���� � ��� ���� �E�- + � ���

� �� � �(5�� � � � �

C�� �E�- + �6�� Q������7 + � %�� + �& ��� �����

� �� � �� 5�� � � � � �=��-

G� �$$ � ��� J��� ��� -�= �% M� ��� 6=�7 �� ��� $���� �:� ��� ��!�� �� ��� ������������������ �)������

:� +

�����:��� Q�� Q �: �

���

���� � � � � � ��� :� + ���� ��� �

����� ���� �:� + ����� � C� �=��- �: �� � � ��� ����� ��� ������ ���������

�������: Q

�� Q �: ��� � ��� Q

����:

��� � �

��)����� �� M� ��� 6=�7 � ������ C� ������� �% � �� ���� ��� �� �

5�� + % +�

!������� Q�� Q ���� � �� �� Q

��� ���

��� "-&�

!�� Q

���� � �� Q

����

" �

%�� ���� #��� � ��'���

&������ =�> ��� =��- ��� ������ %�� ��!��������� ��� �#����� ����!���� �% ��� ��� � &������� ��#��� $��$���� ��$ �� ���������� � ���� ��� �)����� ��� ��� ���� ��� ���������C�(� ��� K�(� � &��� ��������� ��� %��)���� � ��� ��#��� ��������� �� �#����� !� ��������� ������ � �� �� ��� ���� ���� �#$ ���� �� �� �� ��� ����1 ������ �� ��%�� �� <����

/"

Page 32: Risk Management with Extreme Value Theory · 2012-05-22 · o o oo oo oo oo oo oo oo oo oo oo oo oo oo o oo o o o o oo 5 10 50 100 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 x (on log scale) Fu(x-u)

���� "�- "�= "�� "�� ��" ��= ��� -�- -�� -��

"�" =�"" -�>� -�"" ���" ���= "��� "�=� "�-� "�"> "�"-

"�- /��/ -��� ���- ��== ���" "��� "�/� "�-" "�"� "�"�

"�= /�>" -�=� ��>" ��-> "��> "��� "�/- "��� "�"/ (

"�� /��= ���/ ��/� ��"� "�>> "�== "�-/ "�"� ( (

"�� -��" ��-� "��- "��� "��� "�-� "��� ( ( (

��" "�>� "��" "�=� "�/= "�-= "�"� ( ( ( (

��� "��� "�-> "�-- "��� "��" ( ( ( ( (

��- ( ( "�"- "�"� ( ( ( ( ( (

�*�� ����� ����� �. ��������) �. �&� ��C�H �G0�C� ����� ��& ��������� � ��� �$%&� ����- ��������� ������ �&� ������� ��� ���- & .�� �������� ��� ��& ������ �..������$ %&� ����� �. ��������) &� &���� �������� �� �&� ������ ���$ �����,��( �&������������ ��� ��� &��,�� �&�� .�� ������ ��� ��.$ %�+�� A$CA�$

���� "�- "�= "�� "�� ��" ��= ��� -�- -�=

"�" -�=/ ���" ��/� ��"- "�>� "�=� "�-/ "�"� "�"�

"�- -�=� ��>� ��/� "��� "�>� "�=/ "�-� "�"� "�"�

"�= -�/� ���- ���� "��� "��� "�/� "��� "�"- (

"�� -�"� ��/� "��� "�>" "��� "�-� "�"� ( (

"�� ���" "��/ "��= "�=� "�/- "��- ( ( (

��" "��� "�=� "�-� "��� "��" ( ( ( (

��� "��/ "��� "��" "�"= ( ( ( ( (

�*�� ����� ����� �. ��������) �. �&� ��C�H �G0�C� ����� ��& ��������� � ��� �$%&� ����- ��������� ������ �&� ������� ��� ��� ���- .�� �������� ��� ��& @ �������. .������$ %&� ����� �. ��������) &� .���&�� �������� ��� �&� ��� &�,� +����� ,��) &��,)�����9 � �&�� ������ ��� ��� �-� ��.$ %�+�� A$CA ��� A$C �$

<B� �� ��� 9��������� 6=�7 �� :��%��� 6>"7 %�� $����� ��������� 9�� � $������� C�(� ���K�(� ��!� ��� H������ �% ����$�������I �% �#����� ������� %�� �$��� %��� ���� ������ &��$��$���� �������� ���� �=�� ��$ �� ���� ��� ��#���� �% ��� $���� ��� ��� �� ��� �� ��������� �% ���������� �% � ��@����� ����������� S � ����� & � ��!�� � � ����� �� �=��" �

�� ��� %� ����� ������ �� � � ��� $������ ��� �� %�� ��� ��� ���� �� ���� ���� ������������ ��� 7 � ��� ��������� ������������

����� ����� 6C����!�� 6��77;�� ��� ��� +� �&� 43�� ����� ��& 43J<�� ����� �A$C� ��& ��� ��.)�� �&� ����

������� ��� C� �C�$ ;�� ��+ �( �&��

������ ������ ��#

������� � � + �#$��%?�� � � � " �

�&��� & ��,� �&� �3����� �A$C#�( % �&� ������� � �&� ��� �. �&� �������) ���+����

/�

Page 33: Risk Management with Extreme Value Theory · 2012-05-22 · o o oo oo oo oo oo oo oo oo oo oo oo oo oo o oo o o o o oo 5 10 50 100 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 x (on log scale) Fu(x-u)

�A$�� ���

? + &

� �

��

��$���

�#���

�� Q���� � 0��

�0� ���0 �

6�� � � � ��� � � � ��� �� +� �&� ���� ����� �. �-�������� �. �&� �&��&��� (� + ��� � +)��� ������$ %&��

�� �� � � �

�&��� � � �������� 2��� ����� ��& �����) %?�� ��� ������ ���+�+���

7 +? � ?��

?� E � � �

��&

? + &

� �

��

�����

� � � '

�#���

�� Q���� � 0��

$+ E � �

�0� ���0 �

*� ���������( ?� + ?$

G� ���� �� �#$ ��� ��� ���� �% ��� $���%'

3��� �� %��� &������ =�> ���� ��� ��� � <���� ��������� ���� ������������ �� 6�$)��� $)��7%�� ���� ������� &�� ����� �#�� � ������ $���� $���� �A� ��� ����� ��� �����!��������� ���� �� 6�$)��� $)��7 � ����� ������� ��� ����������!� �������� �% ��� ��� � &��$���� �A� ��� � �$������� ��� �� ���� ���� ���������� �����

<���� �� ��� �$$ � � ���$ ��� �������� ��!��� %�� ��� $������ ��� ������ �� ��� �������������������� 7 ��� ��� �)����� �(� ������� �

���#����

� � (�

�� � *

���#����

� � (�

���� " � � � �

J���)���� �� �� �$$�� �� ��� %� ���� ���� ��� ��� � ����������

V� � ���� �!� � ��� $���� ��� ��� ��� �� ����� �� ��� ������ �� � � %� ��� O���

�� + " � �� +

�����

��� Q���� � � � � �

4 ������ �� � ��� � ������ � %�� $��� !� ��� ��� ���� �� ������� ����� ��� ��� � ����

� ��� � O��� ��� ��#� ���� $���� �9� ��� '+ � ����� ��� � ����� ���� ��� ��������

��0������ �)������

9� + 9��� Q ���� Q

�� $�+��� Q � ��

��� � � � � 9� + ����

� ��� �

R��� ����� ���� ����� ��#��� � � $��$���� �% ��� ����� ���� �(� ����� �% ��� $����� ���� ���

��� �9� ��� ��� � � ����� ��#���� .���� � � �������� ��� $���� �9� ��� � ����$�������% ��� ��� �% ��� $�������� �� <���� �� ��� � �� �� ��� %� ����� ���� ���� � � "�

G� ��� ���� �9� ��� ��� �� ������� �� ��� ������ �� � ��,�)� ��� ��� ����)� ��� %��� �� ��

/-

Page 34: Risk Management with Extreme Value Theory · 2012-05-22 · o o oo oo oo oo oo oo oo oo oo oo oo oo oo o oo o o o o oo 5 10 50 100 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 x (on log scale) Fu(x-u)

��� ���!�� ��$����!� �� ��� ��� ����������� �% ��� ��� ������ �� � ��,�)� ��� ��� ����)� ����� ���� ���� ��� ��� �������� � ��%���

.) '+

���

� $�) Q ���� $�)��

� � � ���� $�) Q �Q

�� $�)��

$�

�� � � '+ ���� Q

�� $�) Q �� �

� � � � '+ �

��� -�

��$�)���

�� Q�� $�) Q � � �

� �-����

�� � � '+ ���� ���$�)

�� Q�� $�) Q � � �

� �-����

R��� ���� � ��� �� ���� ���!���� �� " ��� � �� O��� ��� ���� ��� �$$�� �������� �

�,�)� '+

�����

<)� ��� ���)� '+

�����

F )� � � � � � �=��/

����� %�� ���� � + �� � � � � �

<)� '+ �� � �. Q ��� � �� Q �� � �� �.

� ��-�� ��� Q��� � � ����� �=��=

F )� '+ �� � �� Q � � �� � �=���

&�� %� ����� ���� ������?� ��� $��$����� �% ��� ������ �� � ����� �� �=��/ (�=��� �

&� � ����� ;�� +� ����� �����&( 9� � ��� �) '+ ��%� � � �9� � �$ %&��

� 9� Q �,�) � 9 � 9� Q ���) .�� ��� E � �) �$$

�! ����)� ��� ��� ��,�)� ��� ��� ������ ���� ��& �����,� ��.�$

�% ��1�� �� + " ��� � +%

��� ���� Q����

� .�� E � �$ %&��

�,�)� � ��� ���)

)��� � � � � �

�� �$�� �,�)

�$�� � ��� �$�� ���)

)��� �$�� � � � �$

9���� =��� ����������?� ��� ����!���� �% ��� $���� �9� ��� ���!� � ���� ����� � �������� � � ��� ����!���� �% ���

� ��� � &�� � ��� ��� �� ���� %� ��' ��� $���� ��� ��� �� ���$ ��� � ��������� ��� �#����� ����!���� �% ���

� ��� �

G� �� ���� ��� %� ����� �����

&� � ��� � ;�� = +� �&� �-�� .������ �. ��� ��� ��� ��� ��� �� ������� �3�������& �&��

���

" ����=�

���

�� " � � � � �=���

%&�� .�� (� + ��� �( � � "(

����� �� �$

���� � ��#

��������� � (� ���

� � (� + " � �=��>

//

Page 35: Risk Management with Extreme Value Theory · 2012-05-22 · o o oo oo oo oo oo oo oo oo oo oo oo oo oo o oo o o o o oo 5 10 50 100 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 x (on log scale) Fu(x-u)

��� .�� (� + ��� �( � � "(

����� �� �$

���� � ��#

�������� � (� ��� � (� + " � �=���

����%� &�� $���% �% �=��> � !��� �������� ��� �� ��%�� �� C����!�� 6��7 %�� ����� � �� ������!��� ��� �� �� ���� �=��> ��$ �� �=��� '

� � ��#������

��� � (�� ���

� � (�� +� ���#������ ��

� � (��� ��� � (��

� ���� � (��

� � ���#������ �� � (�� �� � (�

� ��� � (� Q � ��� � �(� +�

-� � ��#

�������� � (� ��� � (� �

'� ��( ��"� �� .���� ��� ��� � ��������� �������� ��� ��#��� %������� = ������� �#$�(������ � %��� ����� �� � ��� ���� � �� �� � �)����� ��� ��� �� ���%� �=��� �

�� 4 ��������� � ������ ��� ����� ��#��� ��������� � � $��$���� �% ��� ����� ���� ��� ��% � $����� <���� = � � � ��� ��#��� %������� �% ���

� ��� ��� �9� ��� ��� �� ��� ���� %��� ���� $����� ���� ��� ��� �)����� ��� ��� �

�� �� ��� ��� �% � ����� ��#��� $����� ��������� �=��� ��� ������ �� ��������� ������� ��� � � K�(� (�$������� �)������ �� ������� ������ ��� �����!� ����� ������ �� ��(���$ �� ���$����� ����$������� �% �#����� �!��� �!�� � ���� �!� (� �� �$����� �����!� ���� � �������� �� :��%��� 6>"7� R��� ���� ��� ��� � �� ��� ��� �% � ����� ��#��� $��������$������ �% �(� ��� � �

&�� %� ����� &������ � �� �#������ �% &������ /�- �% :��%��� 6>"7� $� �=/ ���$��� �� ������������

����� ���� 4����� ��� ��� � ������) �-�� �������) �����, �&�� �&�� ��������) �. � )������ ��& ��� � � ���& �� �� $ 4����� .���&������ �&��

������ ��� � �( ��� + ( + "�� � � � � �

.�� ��� �. "$ ;�� �.� ��� +� �� � �3����� ��& �. " ��� ��1�� :� + .�:��� .�� � � ���& :� ���������� �. �.� ��� ��� :�

+ � �,�� +) ���� '+ &������ ����( .�� � � �$ 6��

�,��) ' � " ��� �(��' ��� +� � �3����� ��.)��

������� �(��' + ' �

%&�� ��� ��� &� �-������ ���- ? �,�� +)

? + � ������� � � ' :� � �� + " �

�����,��( .�� � � � �&� ��� ������:�� ���� ����� �. �-��������

� ���) '+

�����

������ *� � (��' � ��) � ) � ��"� �7 �

/=

Page 36: Risk Management with Extreme Value Theory · 2012-05-22 · o o oo oo oo oo oo oo oo oo oo oo oo oo oo o oo o o o o oo 5 10 50 100 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 x (on log scale) Fu(x-u)

�&��� � � �������� 2��� ����� ��& �����) ?' ��� I��� ���+�+��� �7 �� �,��+)

7 +? � ?��

?� E � � �

�&���

? + � ������� � � ' :� � �� + E � � � E � � �

����% �% ����� ����� &�� $���% � �� �$$ ������� �% &������ =�-�� 4 ����� � ����� ����� ���� �� ����� ���� ��� ��� � ���������� 9�� � � � �� ���������� R��� ���� �� �=��

������ ��� � (� ��� + ( + � �� Q

�� � � � � � � � �

��� ��� ���� � ���$���� �% &������ =�-� ��� �� ��!� ��� �#����� ����#

? +

� �

��

������ � � '

� �#���

�� Q�� ��

�:� � �� + " �:� + 0

�& 0� ���0

+ &

� �

��

��$���

� �#���

�� Q�� ��

� � 0���0� ���0 �

&�� � ���� $������ ���� ��� �� ���������� �� ��� ��� ��� ��� ����� ��� �������� %� ����

'� ��( ��� �� R����� ���� %�� ��� )����� $���� ��� �#����� ����# ��� ��� � ����$������ ���� ��� �� �������� �� ��� ������ �� � ��� ��� � ���� �

?� +

&

-

� �

�� ������ � � ��� � ��� + E � � $�

��� �� � E � � �

&�� �����$���� �% ��� �#����� ����!���� �% ���� ��� �� ��� ������ �� � ��� ��� � �� �� �#(

$����� ���� �� 9���� =��� ��� $���� �9� ��� + � ����� ��� ����!� ���!� � ���� ������ �

���$������ � ��� ��� ��� � N�%�������� �� ��� ��� %�� %�� ��� ��� �

��� 4�� ���� �� �� <��� �� � � 6=�7 �� ��� �������� H��������I %�� ��� �#����� ������

?� ��� ?� �% ���

� ��� � ��$����!� �� ��

�?� +�

$����

� �$�����

��� � ���

���

�?� +�

$����

������

���� � ���

� + E � �� � %�� E � � �

����� � ������ ��� ������ �% ����$������ ��� ���� ��$ � $��� �% ��� ��� � �� ��� ������

�#$������� �! ���� ���� &� ��� 3 � ����� ���� ������� &��� �������� ��� �� ������ �

�� ��� ��� � + " ��� �+ ��"� � �� �� <��� �� � � 6=�7� �� $������ ���

��

?� � �?��?��� � ?� ���

��"� � � ��3 � �

/�

Page 37: Risk Management with Extreme Value Theory · 2012-05-22 · o o oo oo oo oo oo oo oo oo oo oo oo oo oo o oo o o o o oo 5 10 50 100 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 x (on log scale) Fu(x-u)

���� &�� �$$����� ����� �� ��� � ��� $��� � %�� ��� ��� � ������&�

,���� Q�� �, ��� ��

������!�� �� � ��� �� $���� �� ����� � H��������I %�� ? ��� ? %�� ��� ���

�? +�

$����

� �$�����

�#,��

�� Q�� �, � ��� �

���

�? +�

$����

������

��#

,��

�� Q�� �, � ��� �

� + E � �� � %�� E � � �

����� � ������ ��� ������ �% ��� ���� $��� �% �&�

,����Q�� �, ��� � �

� ��� ��� :����� �!

���� ��$� $�������� &� ���� ���� ����������� %������� /�� + � � �� � � � �� ��� 3 � ����������� &��� ��� ������!� �������� ����

&�,���� Q

�� �, " ��� � � � ������ �%

���$���� �=�= �

��! R��� ���� ��� �#����� ����# ? �% ��� ��� � ��� �������� �� � ��� &�� � =�-/ � &��� ��� ��$����� ���� ��� � ������� � %�� � � " ������� �� ��� ����������!� $��� ���� %��� � "� �

� � "�- "�= "�� "�� ��" ��- ��� -�" -�� /�" /��

���- ( "�""� "�""� "�""/ "�""= "�""� "�""" ( ( ( (�� "��� "��� "��� "��� "��/ "�"� "�"� "�"� ( ( (�"�� "��� "�=> "�=� "�/= "�-� "�-� "��/ "�"� "�"� ( (�"�� "��� "�>� "��� "��" "�=� "�// "�-- "��" "�"/ "�"" (�"�= "��� "��� "�>� "��" "��" "�=" "�/" "��= "�"� "�"� (�"�- "��� "��� "�>> "��� "��� "�=> "�// "��� "�"> "�"- "�""" "��� "��� "�>� "��� "��� "�=� "�// "��� "�"� "�"- "�"""�- "��= "��- "�>- "��� "��- "�=/ "�/- "��� "�"> "�"- "�"""�= "��� "�>- "��/ "��/ "�=� "�/> "�-� "��/ "�"� "�"� ("�� "��� "��� "�=� "�=� "�/� "�-� "�-� "��" "�"/ "�"" ("�� "�/� "�/= "�/- "�-> "�-- "��� "��- "�"� "�"� ( (��" "�"� "��= "��/ "��/ "��� "�"� "�"= "�"� ( ( (��- ( "�""" "�""� "�""/ "�""= "�""� "�""" ( ( ( (

�*�� ���� J>������K �-������ ���- ? �. ��� ��� � �&� ��� �+ ��"� � $ 8� �&��

� + 3 + -"""$ =��� �&�� �&� �-������ ���- ������� � ��� ������ ��� �&�� �� &�,� ��)�����) � �$

'� ��( ���� �� ;��� �=�� �� � ������ �#������ �� ������ �����' ��� ���������(�!� ���� �% ����� ���� 43J<� (����� �� ���� ��!�������� �� A B�$$� ���� ��� :����(�����������! 6��� ��7� �� � � � ���� ����� ���� %�� M����� ����� !����� � ��� ���� � ������������� �)��!� ��� �� � ������ �������� ���� �

��� .��� ���� � � ��� �� ���������� �������� ������� ��� ��� �� %���� �� ��������(��� ��#�����1 �� ���� J��$�� � 9� ��� ;��A�� �� 6-�7� M����@����# 6==7� .��$���� 6�/7� ��&�� �� 6��7� �� A B�$$� ���� �� � � 6�>7 ��� %�� ���� ��� ����� �=�� ��� �������� 4 $����( ��� ����� ����� ��� %�� ��� ��$����� ���� ��� ���� ������ �� ������ �� � �� ��� ���� ���!�������� ��� ��� ������������ ���� �% ��� ��� ������� � ����!��� �

/�

Page 38: Risk Management with Extreme Value Theory · 2012-05-22 · o o oo oo oo oo oo oo oo oo oo oo oo oo oo o oo o o o o oo 5 10 50 100 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 x (on log scale) Fu(x-u)

•••••

•••••••••••••••••••••

••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••

••••••••••••••••••••

••

•••••••••••••••••••••••

••••••

•••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••

•••

•••

•••••••••••••••••••

•••••••••

••••••••••••••

••••••••••••••••••

•••••••••••••••••••••••••••••••••••••

•••••••••••••••••••••

•••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••

••••••••••

••••••••••••••••••••••••••••••••

••

••

••

••

••••••••••••••••••••••••••••••••••••••

•••••••

••

••••••••••••••

•••••

•••••••••••••••••••

•••••

••

••••••

••••••••

•••••

•••

••••••

••••••••••••••••

•••••••••••••••••••••

•••

••••••••

••••••••••••••••••••••••••••••

••••••

••

••••

•••••••

••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••

••••••••

••••

•••••

•••

•••••••

••••••

••••••••••••••

••

••••

••••••••••••••••••••••••

••••••••

•••••••••

••••••••••••

•••••••••••

••••••••••••••••••••••••••••

••••••••••••••••••••••••

••••••••••••••••

••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••

••••

•••

••••

••••••••••••••••••

•••••••

•••••••••••

•••••

••••••••

•••••••••••

••••••••••

••••••••••

0 200 400 600 800 1000

-15

-10

-50

510

••••••••••••••••••••••••

••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••

••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••

•••••••••••••••••••••••••••••••

•••

•••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••

•••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••

••••

••

••

••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••

••

••

••••••••••••••

•••••••••••••••••••••••••

•••••••••••••••••••••••••••••

•••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••

••••

•••

••••••••••••••••••••••••••••••••••••••

••••••

••

••

••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••

••••••••••••••••••••••••••••••••••••••

•••••••••••••••••••••••••••••••••

•••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••

•••••

•••

•••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••

0 200 400 600 800 1000

050

100

150

200

250

300

•••••

••••••••••••••••••

••

•••••••••••••••

••••

••••••••••••••

••

•••••••

••••

••••

••••••••

••••••••

••

••

•••••••

•••••

•••••••••

••••

••••

•••

••

•••••

•••••••••••••••••

•••

••

••••••

•••••

•••••••••••

•••

••••••

•••••

••••••••••••

•••

•••••••

••••••••••••••

•••••••••••••

•••••••

••

•••••

•••

•••••••••

••••••••••••••

•••

•••

••

••••••••••

••••

•••••

•••

•••••

•••

••

•••••••••••••••

•••

••

••••••

••••••••

••••••

•••••

•••••••••••••••

••

••••

••••••••

•••

•••••

••••

•••••••••

••

••

••••••••••••••

•••••••••••

••••••••

•••

•••

••

••

•••••

••

••••••••••

••

••••

••

••

••••

••••

•••

••

•••

•••••••

••••••••

••••••

••••

••

•••

••••

••

•••••••

•••

•••

•••••••

••

•••••

••••••••

••••••••

••••••

•••••••

•••••••

••

••

•••••

••••

•••••••••••••••

•••

••••••

••••••••

•••••••

•••

••••

•••

••

0 200 400 600 800 1000

-10

-50

510

15

••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••

••••••••••••••••••••••••

•••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••

••••••••••••

•••

••

•••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••

••••••

•••••••••••••••••••••

•••

••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••

••

••

•••

•••••

•••••••••••••••••••••••••••••••••••

••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••

••••••••••••••••••••••••••••

••••••••••••••••

••

•••••••••••••••••••••••••

••

•••

•••••••••••••••

••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••

•••••••••••••••••••••••••••••••••

••••••••••••••••••••••••

•••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••

•••••••••••••••••••••••••••••••••••••••

•••••••••••••••••••••

••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••

•••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••

••••••••••••••••••••••••••••••••••

••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••

••••••••••••••••••••

0 200 400 600 800 1000

050

100

150

200

•••

••

••

•••••

••

••

•••••

••

••••••

••

••••

•••

•••

••••

••••

••

••

••

••••

•••

••

••

••

•••••

•••

••

•••

••

••

••

•••

••

•••••

••

••

•••

••••

••

•••

•••••

•••

••

••

•••

••

••

••

••

••

••••••

••••

••

••

••••

••

••

••

••

••

••

••

••

••

••••

•••••••••

••

••

••

••

••

••

••••

•••••••

•••••

••

•••

•••

•••

••

•••

••

••

•••

••

•••

•••

•••

•••

•••

•••

••••

••

••

•••

••

••

••

••

••

•••••

••

••

••

••

•••

••

••

••

••

••

••

•••

•••

••

••

••

••

•••

••

•••

••••

••••

••

•••

•••

•••

••

•••

••

•••

••

•••

•••

••

•••

•••

••

•••

••

••

•••

••

••

••

•••

••

••••

••

••

•••

••••

•••

••

•••

•••

••••

••

••

••

••

••

••

•••••••

••••

••

•••

••

••••

•••

•••••••

••

••

••

•••

••••

•••

•••

••

••

••••

•••

••

••

••

••••

•••

••••

••••

••

••

••

••

•••

••

••

••

••••••

•••

••••••••

••

••••••

•••

•••

••

••••

••

••

••

0 200 400 600 800 1000

-4-2

02

4

•••

••

•••••••

••••••••

••

•••••••••••••

••••••••••

••••••••••

••••••

••••••••••••

••••

•••••••

••••••••

•••

•••

••••

••••

•••

•••••••••

••••••••••

•••

••••••••••

••

••

•••••

•••••••••••••••

••••••

••••••

••••••

•••••••••

•••••

•••••

••••••

••

••••••

••••••••••

••••••

•••••••

•••••••••

•••

••

••••

••

•••••

••••••

•••••••••••••••

•••••••••

•••

••

••••

••

••

••

••

••••

••••

••••

•••••••

•••

•••••

••

•••

••••••••

•••••••••••••

•••

•••

••••

••

••

•••

••

••••••••••

•••••

••••••••••••••••••••

•••

••

••

••

••

•••••

••

•••••••••

••••

••

••

•••••••••

••••

••

••

••••••

•••••••

••••

•••••

•••••

••••

••••

•••••

•••

••••••

•••

••••••••

•••••••••••••••••••••••••

•••••

••

•••••••

••

••••

••

••••••

•••••••••••

•••

••

••

••••

•••

••

••••

••

••

•••••

••••

••••••

•••

•••

••

•••••••

••••••

••

•••••••••••

••••

••

•••••••••••••••••

•••

•••••

••••••

••

••••••••••••••

••

•••••

•••

•••••••••••••

•••

••••

•••

•••

•••••

••

••

••••

••••••••

•••

•••

••••••••

••••••

•••••••

••••••••••

••

••••••••

••

••••••

0 200 400 600 800 1000

05

10

15

������ ���� 4������� ����� ���& �. ��� ��� ��& ��������� ��� �� � + �"��� �� "�- ����(��.��( �. ���

� ��� ��& �&� ��� ��������� ����( ��&��( �. ��� ��� ��& ��������� ��� �� � +��"��� �� "�- ������( ��.��( �. ���

� ��� ��& �&� ��� ��������� ������( ��&��( �. ��� �����& ��������� ��� �� � + �"� �� "�- �+�����( ��.�� ��� �. ���

� ��� ��& �&� ��� ���������

�+�����(��&�� � �&� ��� �+ ��"� � $ �� ������� ��� +��� �� �&� ��� ������� ���

�3����� ��� ���$

/>

Page 39: Risk Management with Extreme Value Theory · 2012-05-22 · o o oo oo oo oo oo oo oo oo oo oo oo oo oo o oo o o o o oo 5 10 50 100 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 x (on log scale) Fu(x-u)

� � ? 7� 7� 7� 7� 7 7�

" "�- "��>= "��>/ "�"-> "�""" "�""" "�""" "�"""" "�� "�>�� "�>�� "��=> "�"/� "�"�- "�""� "�""�" � "��=� "��"> "���� "��"> "�"/� "�"/= "�"�>

("�= "�- "���- "���- "�"/> "�""� "�""" "�""" "�""""�= "�- "���/ "���> "��"/ "�"-� "�""- "�""- "�"""("�= "�� "�>�� "�>=> "���� "�"=� "�"-� "�""� "�""-"�= "�� "��-= "��>� "���- "�"�� "�"=" "�"�� "�"�-("�= � "�=�> "��=" "�-�" "���� "�">� "�"=" "�""="�= � "�==� "��// "���� "�"�" "��"� "�"/- "�"�>("�� "�- "��>- "��-� "���� "���� "�"-� "�"// "�""�"�� "�- "�/�� "�=>" "��>- "��=� "�"�- "�"�� "�""�("�� "�� "�=�= "��-" "���� "��/= "�">- "�"=/ "�"��"�� "�� "�/�= "�==/ "���� "���" "�"�> "�">/ "�"=�("�� � "�->/ "�=-� "��/> "��-� "��"� "�"�� "�"�-"�� � "�--= "�/=� "��/- "���= "��-� "�"=� "�""=

�*�� ���� J>������K �-������ ���- ? ��� ������ ���+�+��� �7 ���� �. ��� ��� ���

������� �� � ��� � � �&� ��� �+ ��"� � $ 8� �&�� � + 3 + -"""$ =��� �&�� �&� �-������

���- .�� � � " ���& ������ �&�� .�� � � "$

% &'�� � '�������� #�� (������ ���

�� ��� ������ �� ��!������� ��� ��D����� �% ���� D��������� ��� ��� 2� ��(��(3�� � � ���������� ����� � �����!� �� ��� $���� ����!���� �� $���%� �� �$���������� �� � ���� ��8����� A B�$$� ���� ��� A��� 6/�7 ��� 8���� ��� A B�$$� ���� 6/=7

.������� ���� ��� ���������� C ���(.��� � ���� � ����� ���� $���� %� �� � ��������� C���(���� ������ �� �� ���� ��� ��0������ ������� ��� � ���� ��� ������� ���� ��� !����������� ��� 2�3�

.���� ��� !������� �% C������� ������ ������� ����� �� ��� �� �% ��� !������� � � ��� �������% �� ��!������ ��� �� � ��������� $��$������ �% ���� ��� �� � $���%� ��� ���� ��� $ ����������?�� �������� &�� � ��� ���� %�� ��� J�$��� (��(3�� ����� ( � � %������� �% ��� $ ����������?�� E ������� ��� ��� �������� ���� ��� $ ������ ����?�� ������ ������ G� ��� %����� J�3 ����� � ��� �� �� ������ ����� �� ��� ����������� ��� ���� ���� ��!������ ��� �� �� � ��� ��� ���� �!�� ��� � ��� � ���� ��!������� �� ��� ��� ��� ���� ��������� ������� %���� ���� ��� � ����� ��$��� ��� ��$����� ���������� �% ���� ������ ��� ����&�� 2�3 �����%��� �$$��� ��� $���%� �� �������� ��!��� ���� ��� ���� ������ ��� $ ����������?��� ��� ������� ��� � �� ���� ��� �� �� ���� ���� ���������� �� ��� 2�3 � ��� �������$$��� ��� ��$����� ����!����� ���!� ��� ����� ��� !� ��� ������������� ������� ��������� ��$����� %����

&��� �� ���� ��� �$���� $���%� �� $��� �� %�� ���� ��� ���� $���� $������ ���� 9@�!� $��(��� ����� ���� � � ���� D���������� <���� � � �� �� �#$������ ��� 2�3 ����� �� �#��� ����� ��� ����)���� �� ��� J�3� G� ��!�������� �� $������ ��� ��� ����� ��!��� M����� ���!������� ����� 9@�!� $������

/�

Page 40: Risk Management with Extreme Value Theory · 2012-05-22 · o o oo oo oo oo oo oo oo oo oo oo oo oo oo o oo o o o o oo 5 10 50 100 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 x (on log scale) Fu(x-u)

)�� �� *��+"(�+���� ����

�� ��� ������� �� ������� � ������� C ���(.��� � ��$� ������ �������� �% ��� ���� +������ �!��� ��) ����� &���� ��$����!� $���� ����� ��� ��� ����� ��� %�� + �� � � � � � �!� !���������� �� ��� �)������

���� + $�� ��� ���� + �� �#$��!� � �

-

����

���� �Q

����

������� �� � � " �

<��� � �� + ����� � � � � ���� � � ������� �(��������� C������� ������� � � � � ���

���� ������ ����� ! + �!�� � � � � ! ��� !����� �% ��������������� ���� ��� � + ���� ������

� ��� �����# �% �����,�������� ��� ��$ ������ �� ���� ���� � � ��!����� � ��� ���� !� � �%�� + �� � � � � �� .���� ��� ��� ��� ������ �� ��� ��� ������� ���� ��� ��� ����� ������������� ����� �� ���� �� � ����� ����������� �% ��� ��� C������� ������ ��� � � � ��

%�� ���� ������ ���� &��������� ��� $�$�� �� ������ �� � ��� �(��������� 8�� �����$���� �� � ����� ��� �� ��� !����� ��� %�� � � � �� ������ �� � ��� ����$��� !�����1��� ���� �� %�� � �����# � �� ������ �� � �� ����$��� �����#� G� %������ ������ ����� + �

%��� �

��

��� ��� 8�� ����� ���� �% � � � �G� ���� ��� .O8 �����$������ �� ��� $���� $����� ���!��

����� + ���� ��� � ���" + � �

����� + ���� �!���Q

%��� ��������

�� ���" + �� � + �� � � � � � �

����

9�� 7�� + �7��� � � � � � 7�� � � �� �� ������ � $���%� �� $����� ���� 7��� � ��� %������� �%

��� ��� �� �*�� � ����� � ��!���� �� ��� ��� A��� 6�"7� .������ -�� %�� �� �!��� �������� �O������� �� ��*�� ��� ��� �����& ������ �� %� �� ��� �������

��*�� + �*�� ���� � 7�� � � Q 7�� ! �� Q 7�� ��� ��

�� �*�" + � �

����� � � � ������ ��� ���� ������ �% ��� ��!���� ��� � + ��� � � � � � ������ ��� !�������% �$$��$����� �������� ��!��� ���� ���$������ &�� %������� �% ��� ��!������ �� ������� � 7��� + � � 7�� �� &��������� ��� $�$��� �� ������� ���� !� �� ������� $���%� ��7�� + 7 + �7�� � � � � 7 %�� � � � 6"� A 7� &�� ���� ���� ��� %������� �� ��� ��0����� ������� ��� ���� ������ ������� �� 6"� A 7� &�� ��!������ �% ��� � ���(%� �' �� �� ������� �� ��� �� � M����� ������� �#$ ���� ��� �1 ���� %����������� ��� �������� �����$�������� �%��� ����������� ��� � � ���$���� � ���� �� � � � ��$������ �� $���� ��� ���� %� ����� �������� $���%� �� $���� ��� ��� ���� ���� ����� � �� �������� 4 ��� ���� $���� �!� !������� � ��� �� �� ����� �� �!��� ���� ������ �� ���$ ��� %������� �% ��� �� ��!���� �� �����0����� �������� �������� &��� %� ����� � ������� $���%� �� $���� �� ���� ��� ���%� �� � ������� ������� ��������

.������� ��Y� ����������� ��� ��� %��� ���� �$�" � + $����� 2 � � � ��� � ��� %� ����� �#$ ����

%���� �� %�� ��� ��� �� $���� %�� � � � 6"� A 7�

�*�� + � �#$��7�!� �� Q � � �7����- � Q 7�� ��

�� ���-

�6�*�� 7 + � �#$��7�!� �� Q � �

�� ���/

!����*�� + �� �#$�-�7�!� �� Q � �

� ��#$��7���� � �

�� ���=

/�

Page 41: Risk Management with Extreme Value Theory · 2012-05-22 · o o oo oo oo oo oo oo oo oo oo oo oo oo oo o oo o o o o oo 5 10 50 100 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 x (on log scale) Fu(x-u)

��������� ���� 6J�$��� (��(3��7;�� � +� �&� ���� ������ ��� A � �,�� ������� &��:��$ ;�� -� +� �&� ��3������ �. �&�������� ������ ���+����$ 6�� ��� ����.��� 7 � � ��� �&� ����������� ������� �����&�*�A ( �&� 2�3 �. �*�A �,�� +)

2�3��� 7� A + ��%- � � ' � ��*�A � - � ��+ � �#$

��7�!� �� Q � � �7����- A Q -��7��

�A��

%&�� �� ��1��

J�3��� 7� A + � �#$��A �2�3��� 7� A + � �#$��A

���� �#$��7�!� �� � �7����- A Q -��7��

�A

� ����

�&� J�$��� (��(3�� �. �&� ����.��� 7 ���& ���� ������ � ��� ������� &��:�� A �$ �

&� �!��� ����(�� �!��� ����� �� ��� �% ��� %� ����� ��� � �� � ��� ���� � � "������� ��� �� -� � "�

'� ��( ��� �� V�� �������� �% ��� J�$��� (��(3�� ���� ��� $���� ��� �% �#�� �� �!����� ��� � ��!�������

��� G� ��$��� � ���� �� ��!� � $����!� J�3 �� ������ �� ��� �� ������!� �� ��� ��������� ��� �#��$ � �� �� �� ��� � ��� �$$�� ����� %�� ��� H ��� � ��I ��� ��� ��� �������� � �"", �% ��������� H ��I ��� �� �� ���� J�3��� 7� A ���$���� �� ��� $��� ������!������� �������� �� ����������� �� ��� ����� ������ �% �� �$$������ �� ��� $ ����������?�� A � &�� � �� ��� ���� ��� ����(!������� � ������ $�������� ���� ��� � �� ������ ����$��� ��� ��� � �% ��� ��� �$$������1 �� �� ��� �

�� ��� %� ����� �� �� �� ���!������ �� ��������� ��� %������� ��7 %�� ��� �#$����� �� ���� ����� �

��7 '+ -��7���A � �7���A�- Q 7�!� �� A � 7 � � � ����

C� ��� ��!��� %��� ���� ��7 �� � �7�� � �� ��!� ��� ������ �$$�� ������$*��� J�3��� 7� A + � �#$��A 1 ����� ��� �� �% �#����� � ���� �������� ��� ��� ��� �%� ���� ���� �7�� ��� ��� �� � J�3 ����� � � �� �� ��� ���� ��$��� � &�� ���$������� �%��� ������ J�3 � ���� �� ��� %� ����� $��$�������

����������� ���� ;�� ? + �����!� �� �$��� *. !� + � .�� ��� + �� � � � � �( �&�� ��7 ����� � ��-��� .�� 7 + " ������ �� � �����G����������� �. J�3��� 7� A + "$

�+� *. !� �+ � .�� ��� � �� � � � � �� ��� ?�A � �-��( �&�� ���� �&� ����� J�3 �3��� :���

��� ���) ������� .�� �&� ���� +��� ������) 7 + "$

��� *. !� �+ � .�� ��� � �� � � � � �� ��� ?�A � �-��( �&�� �&� ����� J�3 ������� .��

7 +

? � �-���

A

���� ���!� ��

�����!� �� � ���>

��&

J�3��� 7� A + � �#$��A

�� �#$

-��A? � �-�� �

��� "� ����

="

Page 42: Risk Management with Extreme Value Theory · 2012-05-22 · o o oo oo oo oo oo oo oo oo oo oo oo oo oo o oo o o o o oo 5 10 50 100 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 x (on log scale) Fu(x-u)

����%� �� %� �� ������ � %��� ��� �#$ ���� %��� �% ��7 ����� ��� ���$���� �% !� + � %�� � + �� � � � � � ��� ��� %��� ���� � � ��!����� ���� ��� J������ ��� $��� �� �% ��#���?��� ��7 �!�� � 7 ����� ���%�

�7�� + � ����

%�� � #�� $����!� �� V!�� ��� ��������� �% ��� � �$��� ����� �� ���� ��7 �)��

��7 + -���A � ��A�- Q 7�!� �� A �

&��� ��� $��� �� � ������� �� ��#���?��� � ����� %������� ��� 7 �!�� ��� �������� �% ��� �$���� .��� � $��� �� �� ��� �#$ ���� � �����

7� + ���� ���!� ��

�����!� �� � ����"

����

��7� + ���A�- Q ��?A � �-��

�A�� �����

4 �!��� 7 � � ���� �� ����� ���� ���� � ����� � !� �� �% � ���� �� ��� %��� ���� � ����� �� � �� ������ ��� ������� J�3 ������� 7 �� ��#���?��� ��7� �!�� � ���(������!��� O�� �� ��� %��� �% ��7� ��� �$���� � � $����!� �% ��� �� � �% ��� �� ��$ ��� �% � ����$���������� ����� � $����!�� &��� �� ��� �������� �% :��$������ ��/�� ��� ��������� �� �� ��� �������� �% :��$������ ��/�� ��� �$���� � � ��!�� �

� + ? � �-���A�

�������� ��� ���� �)������ ����" ��� ����� ��� � ��� ������� ���> ��� ���� ����� ��� �� $�% �)������ ���� ��� ���� � �

'� ��( ���� �� :��� �� �% :��$������ ��/ ���� ���� �� � ���(������ ������ ��� J�3 �%�!��� ������� ���������� ���� ��!������ � ������ ���� ��� J�3 �% ��� $��� ���� ��������

��� :��� �� ���� ��� ��� �� ���� ��$����� %��� ���� ��� �#������ �% �� ��� ��� �������� � ���� ���� �% ������ ��0����� %��� ��� ��� � ���� ��$ �� ��� �#������ �% � ���� ������� ������� ���� � ������!� J�3 � ��� � ��� $ ������ ����?�� A � ����� &��� �!�� �%��� J�3 ��� � �� ��� �� � ��������� �� L���� �� ��!������ ������� ��� $��� ���� ��!��������� � ��� �� �$���� �% ��� $ ������ ����?�� � %�� ����� V� ��� ���� ��� %��� � �� ������� ��$����� ��� � �� ���� ��� ���� ������� V� ��� ����� ���� ��� ��� � �������� ���0������ ������� ��� ����!���� �% ��� J�3 ��� ��� !������� � ��� ������� ����$������ �%��� $ ������ ����?�� ��� ��� ������ ��������� $��� ���� ��!������ ��� � � ��� �� �$���� ���� ��$��� �� ��� !������� �% ��� �����$������ ��� �� $����� �

G� ��� ���� �� � ;�������? ����(!������� ��$� �$����?����� $��� �� ����� �� ��$ ��� ���!������� ��������� �� � ��������� �� ��� J�3 �% ��� ������� ��� ��� ;��� $����� �� �� � !���� %� ����� $��� ��'

��#*���

�6�*�A 7 ��L��� �� J�3��� 7� A � > � ����-

����� > � � ��!�� ������� �% ����� �� ���� ���� �� ���� > � � �#$��A �

O�� �� ��� �#$ ���� ��$���������� ���= � ���� ��� � !������ �% ��� �����$������ ������ ��$$ ��� �� ��� $���% �% :��$������ ��/ �� ��� � !� $��� �� ����- �#$ ���� ��

=�

Page 43: Risk Management with Extreme Value Theory · 2012-05-22 · o o oo oo oo oo oo oo oo oo oo oo oo oo oo o oo o o o o oo 5 10 50 100 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 x (on log scale) Fu(x-u)

����������� ���� ;�� ? + �����!� �� � ��� ���� �&�� !� �+ � .�� �� ���� ��� � �� � � � � ��$ ��� .���&������ �&�� > ��1�

" � > � � �#$��A . ?�A � �-��� ����/

� �#$��A

� � �#$

-��A? � �-�� �

��� > � � �#$��A . ?

�A � �-�� � ����=

%&�� ���+��� � $C�� &� ������

7 + ���� ���!� ��

�����!� �� ���&

� + �? Q -���A Q

��? Q -��

�A � � -%�A �

�&��� % + ��� � /

� �#$���A �$ %&� ����������� ��-��� �-������ ������� �����& ����� �&�

J�3 �������� �3���

�6�*��A 7 + � �#$��� Q ������!� �� ��A �

� �����

����%� &�� ��)�������� ����/ ��� ����= �� > ����� ���� ��� J�3 ��������� �� $��� ������- ������ �� �������' �� ���� ��� > �� ������� ��� ������� ��� ��� ��#���� !� ������ J�3 ��� ������ ��� � � :��$������ ��/ � 8!��� ������ � 7 %�� $��� �� ����- �����7�� + � ���� ��� �� �����

�!� �� 7A � % Q�

-��A � -��

�A �����

����� � �� ��� ��� �)��!� ��� �� ��� J�3 ��������� �� ����- � C�� ������ �� ��� �� ��!�� ���7�� + � ��� ����� %������� �!� �� 7A � ��#���?�� ��

7� + ���� ���!� ��

�����!� �� � � ����>

<����� �% ����� � �� ������ � 7 %�� $��� �� ����- ���� �7�� + � ���� 7� ��� � � �������� �� �������� ��� �� ��� �#$ ���� %��� ���/ �% ��� �#$����� ������� ��� ��� 7� � ���#���?� ��� �#$����� ������� ��� �� �!�� ��� � �$���� J���)���� �� �� ������ 7 %�� $��� ������- �� ��� �� ������� � !����� �% ��� %��� 7� %�� � $����!� � ��� ���� ��)������������� � ������ �������� ����> ���� ��� �%�(���� ��� �% ���)�� ��� ����� ��� � ��

�!� �� 7�A + ������!� �� �A � �����

����� � �� ��������� ����� %������� �� � �)�� ��� ?��� �� � + "� &����%���� �� ������ ���� ����� �% $��� �� ����- �� ����������� ��� ������ $����!� � ��� ���� ����� � �� !� ���C�� ��� �����(���� ��� �% ����� ��� ���!� ��� �����(���� ��� �% ����� ���� ����� �����$����!� $���� �% ����������� ����� � ��!�� ��

� + �? Q -���A Q

��? Q -��

�A � � -%�A �

&�� ��������� ������� ����� ��� �� !����� �� �������� 7 ���� �)������ ���/ � �

=-

Page 44: Risk Management with Extreme Value Theory · 2012-05-22 · o o oo oo oo oo oo oo oo oo oo oo oo oo oo o oo o o o o oo 5 10 50 100 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 x (on log scale) Fu(x-u)

0 5 10 15 20

050

010

00

b=0.1b=0.15

������ ���� J�3�� """� �� A �. �&� ���� ���� ����.��� ���� ��) ��� ���)� .�� �'��������������� ���� � � .������ �. �&� ������� &��:�� A 9 " � A � -"$ %&� ,������) � + "�-$ %&� ���� ���� � + "�"�$

'� ��( ���� R��� ���� ��� �$���� �#$����� !� �� �� � ��$��� �� ��� ���� !�� ��� ���������!� �� �� &���� � �� �#$ ���� ��$������� �� ��� ������ �% ��0����� ����� G� �����%��������$��� :��$������ ��/ � � ���� �% ������ .��� �&����� � ����� � �� ��0������ ���������!������ �� ��� �� ��(���� ������ ��� � ������ �������� �% ��� ���� ��� L�� ��� �������� �$$��$����� ������ �������� ! ��� �� �

��� ��� ���� ������ ��> ��� ��� ��$������� �% J�3 �� ��� $ ������ ����?�� A � ��������� J�3�� """���& � R��� ���� ��� J�3 �� ������� ��� ���� ������� ���� ����� � ����!��������� �� � ����� ��������� �� :��$������ ��/� �� ��0�� �������� � %��� ��� ����!���� �% ���!������� �% ��� $��� ���� �������� ����� ������� ���� A � ������ ��� � ������ ��� ����!�����% ��� �$���� �#$����� ������� ��� �� ���� !������ $ ������ ����?�� �����$������ �� ���$��� ���� ������� ��� ��� $��� ���� ������� � %������� �% ��� $ ������ ����?�� A � &���#$����� ������� ��� �� �% ��� �$���� $���%� �� �!�� �#���� ��� $��� ���� ��!������� &������� %�� ��� ������ � ��� �% �� ��� �� ��� �����$������ $���%� ��� &�� �$���� $���%� ��� ��� ������� � ���� $������ �� ��� ���� � ��� � ��� � �� ������ �� ��� J�3 ����������&�� � ���� �� ������ ���" ����� �� ��!� $ ����� ��� �$���� $���%� �� �������� ���� ��� $������� $���%� �� � %������� �% ��� $ ������ ����?��� ��� ! + "��� ��� �$���� $���%� �� � ���������� � ���� $������ �� ��� ����� ��� ! + "�� ��� A � � ��� �$���� $���%� �� ����� ������ J�3 ��������� � �� ������ ��� ����� ������� � ��� $������ �� ���� ���� ��� ��������� ��������� �������� �% 7 � ���� �������[ � &�� � �� ��������� ����)����� �% ������������ J�3 �% ��� ���� $����� ��� ��� �� �� �$$��������� ���� �% ��� ���� �� � ��$ � �����������!� ������ �� ���� ��� ��� �% � ���� ���� ��!������� ������ ���" ��� ��� ����(J�3������ %������� %�� ��� ���!� $�������� ���� ! + "�� ��� #�� $ ������ ����?�� A + �� 4�#$����� �� �� � ��� �� %��� � � ��$��� ����(!������� ������ %��������

G� ���$��� ��� ��� ����!���� �% ��� �$���� $���%� �� %�� ��� ����(J�3 ���� � ����� �% ������$������ ����(!������� $��� ��� &� ��� ��� �� ������� ��� %� ����� ��$ �� �$����?�(���� $��� ��'

��#*���

�6�*�A 7 ��L��� �� !����*�A � > � �����

����������� ����� *. !� �+ � .�� �� ���� ��� � �� � � � � ��( �&�� �&� ������ ������ �. �&�

=/

Page 45: Risk Management with Extreme Value Theory · 2012-05-22 · o o oo oo oo oo oo oo oo oo oo oo oo oo oo o oo o o o o oo 5 10 50 100 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 x (on log scale) Fu(x-u)

0 5 10 15 20

020

0040

0060

00

0 5 10 15 20

020

0040

0060

00

optimalstockbond

������ �� � >-������ ������� �����& �. �'����� �,������ ������� �������� �� �&� �������� &��:�� A ( " � A � -"$ %&� ��������� ��� � + �( � + "�"�( ! + "��( � + "�-( ���� + "�"�$ �&� ����� +���� > �. �&� J�3 �� ��� J�3�� """� �� � ( �&� J�3 �. �&� ���� ����������) ��& ������� &��:�� A + �$ L� �&� ��&� +����� �� &�,� ������� �&� ����) .�������. �&� �����& .�� �&� ������ ����.���$

�����,������ ���+��� � $C�� �,�� +)

�7 + �� ��� ���!� ��

�����!� �� � �

�&��� �� �&� ��3�� ���,� ������ �. �&� ��������� �3�����

�A Q �����!� �� ��A � �

- �

>

��

�Q

- �

��#$���A � �

�+ " �

%&� ����������� ��-��� �-������ ������� �����& ����� �&� ,������ �������� �3���

�6��*�A 7 + � �#$��� Q �� �����!� �� � A �

� �

����%� C� ���� ��� �#$ ���� %��� ���= �% ��� !������� �% ��� ������� ��� ��� �� ��� ���������� !������� ��������� �� $��� �� ����� �

�!� �� 7A � �

- �

>

��

�� �

- �

��#$���A � �

�� �A +' 4�� � �7�� + � ���-"

%�� � � "� ;��� $����� �� �% 7 � � ���� ��� ��������� �� ���-" %�� ��� � � " ���� �� � ����� ��� !������� ��������� �� ����� ��� !��� !���� R����� ���� 4�� � ����� � ����������� � � " ����

�����

4�� + � ��� �����4�� + ��

�� �� ���� ��� �%�(���� ��� �% ���-" ��� �� �� �� ���� ��� �����(���� ��� %�� �� !� ���% � � " �% �� $ �� �� 7� � ��!�� �� �)������ ����> � 3��� ���� ��� �� ��� $���%� �� ������� ������ �#$����� ������� ��� �� �% � $���%� �� 7 ���%���� �7�� + �� �� �!�� ��#���?��!� �� 7A �!�� ��� �� ��!�� �� �7�� � �� �% �� ��!� �)�� ���

�!� �� 7��A + 4��� ���-�

==

Page 46: Risk Management with Extreme Value Theory · 2012-05-22 · o o oo oo oo oo oo oo oo oo oo oo oo oo oo o oo o o o o oo 5 10 50 100 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 x (on log scale) Fu(x-u)

0 5 10 15 20

0.5

1.5

2.5

3.5

b=0.1b=0.15pure stock

1500 2000 2500 3000

020

060

010

00

������ ���"� 6�� �'����� ���������� ���� �&� ��.���&��� 1���� &�� �&� ������ ����.������ �&� ���� ���� ����.���$ %&� ��&��&��� 1���� &�� �&� �����J�3 ����� .������ ��&�&� ���� �� �&� &��:����� �- ��� �&� J�3 �� �&� ,������ �-$ %&� ��������� ��� �&� ���� � 6���� $�$

%�� ��� �� ���� ���� ��������� � � "� ���� ��� ��������� ��� �$���� �� � "� &� �� �������� ���� �� ��!�

�6�*�A 7 � �6�*� �A 7 %�� � 7 ���� �7�� � �� �

��� %�� � ������ � 7 ���� � + �7�� � �� �� ������

�!� �� 7A � 4�� � 4��� + �!� �� 7��A �

C� � !��� ��� ���( ����� �)������ ���-� %�� �� �� ��!� ��� ���$ ��� � ���������� ��� � ������% $��� �� ����� �

��� ��� ���� ������ ���/ ���$��� ��� ����!���� �% �� ��� � � %������� �% ��� $ ����������?�� A � G� ��!� ��� ��� ��� ���� � �� 8#��$ � ���� &� ���� ��� � ����� �% $��� ������- ��� ����� ���$���� � �� ��!� ����� > ��0����� � %�� ��� !������� ��� ��� J�3 ��������� �� ��� � ��� ���� �� ��� � ������� %�� A + �� R����� ���� > %�� ��� !������� $��� ��� ����� � ��� )���� �% > %�� ��� J�3 $��� �� ������ ���� ������� ���� ��� !������� �������� ;�(�������� ������ J�3 ������ �� ;�(�������� &�� ��% ����� �#$����� ������ ��� �%������ ���/ � ���� ���� ��������� ���� ��� !������� ��������� ������ � �� �� %������� �%���� �������� �� ��� $���%� ��� &�� � � � ���� %�� ��� J�3 ��������� %�� �� ���� ����?������ ����� $ ������ ����?�� & �A � -" � ������� ����� ��� �� ��� %��� ���� ��� J�3 ���������� ������� �� ����� �� ������� �� "� ���� ��� !������� �������� �

)�� �� �� ���� ,-#' ����

4 �� .������ ��� �� ������� � ������� C ���(.��� � ��$� ������ �������� �% � ����+��� ��� �!��� ��) ����� ����!��� �� ���� ��� ���� ����� $���� %� �� �#$������� 9@�!�$������ &�� � � ���� � � �% ���� � ��� ����� ����� ��� ��������� C������� ������ � ����� ���� ��� ���� $���� ���� � &�� ��$����!� $���� ����� ��� ��� ����� ��� %�� + �� � � � � �

=�

Page 47: Risk Management with Extreme Value Theory · 2012-05-22 · o o oo oo oo oo oo oo oo oo oo oo oo oo oo o oo o o o o oo 5 10 50 100 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 x (on log scale) Fu(x-u)

5 10 15 20

0.00.1

00.2

00.3

0

eps^(var<107100)eps*(CaR<300)

������ ����� �� ��� � � .������ �. �&� ������� &��:��9 " � A � -"$ %&� ��������� ����&� ��� � � 6���� $�$

�!� !� ��������� �� ��� �)������

���� + $�� ��� ���� + �� �#$�!��Q

����

���;��� �� � � " � ���--

<��� � � � � ��� ���� ������ ����� ! � � ��� � + ���� ������ � �� ��!����� � �����#�

�;�� ��� + �;��� � � � � � ;�� ��� � � �(��������� 9@�!� $���� ���� ����$������ ���$������<���� �� ���� ���� ���� �;��� ��� %�� + �� � � � � � �� ��������� ����$������ ������������� ��� �� ��$ � $���� G� ���� ��� ���� ��� ���� � �� ��� C ���(.��� � ���� ��.������ ���� ��� ��$ ��� ��� C������� ������ �� � ������ 9@�!� $���� ;�

C�%��� �� $���%� ��� ���� %������ �� ������?� ��� ��� � �� 9@�!� $������ ��� �� �!������������� �� ��%�� �� C������ 6�"7� :������ 6>/7 ���� �� $������ ��� .��� 6��7� 4 !��� ������������ ������ �% ������� ����� � � C������0(R�� ��� ;����� ��� 3����� 6>7�

8��� ������ � ��!��� � �% � �� � �������� � 9@�!� $���� ; �� ������� � � �% �% ����(��������� !����� ;�� � &�� ��� �� ��� ��������� �� ���� ��� ������������� %������� � %������ � � " ��!�� ��

� �#$�2;�� + �#$��U�2 � 2 � � �

����� U �� 9@�!�(A��������� ��$����������

U�2 + 2 � 2��2-

Q

���

�$���� � �� 2�*���� � � B��� � 2 � � � ���-/

<��� � � � �� � � ���(������!� ������ �������� �� �(�����#� ��� B � � ������ �� �

���%���� B�"� + " ������

����� � � B��� � �� �� �� ��� 9@�!� ������ �% ��� $���� ;�&�� ���� �����$������ �� �*���� � � ��$����� � ���������� ������� ����� ��� ������� ���-/ ��� ��� ���!����� &�� ������������� ���$ �� � � ��� B ����������?� ��� 9@�!� $���� ;�

4�������� �� .��� 6��7� J��$��� = ��� &������ ���- � ��� %� ����� �� �� ��� ���� G �� ���$������ ��� $���� ���� K;��� G + �K;���� G � � � � �K;��� G ���� K;���� G + ;���� G �;����� G %�� � + �� � � � � �� ��� ���� C��� �� ) � 6"�� � � �� + � � "� ��

��)�G + ����� � " ' ���K;��� G � )� �

=�

Page 48: Risk Management with Extreme Value Theory · 2012-05-22 · o o oo oo oo oo oo oo oo oo oo oo oo oo oo o oo o o o o oo 5 10 50 100 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 x (on log scale) Fu(x-u)

9@�!�� ������ �� ���� � � � :���� ������ ������ ���� ��������

3���� �� + ��B��� �

����� B � ��� 9@�!� ������ �% ��� $���� ;� R����� ���� 3 � �(���� ��� ��)� � + � ������� 3�) + ��

G��� ��� ��������� ��� 9@�!�(A��������� ��$���������� ���-/ �����$��� �� ��� ��$����������

;�� + �Q �� �� Q�

�-���K;�2 *��K;�2 � � � Q

� �

������

������� �2 � B��� �2 � � � " ����-=

&�� ���� ���� ;�� �� � C������� ���$����� �� �� ��� � $��� L��$ $��� ���� 9@�!� ������B� ��!��� ��� �����$�������� ���� � L��$ �% �?� � ����� �� ���� B��� � &� ����� ������ �%��� ������� ���-/ � ��� �� L��$ ��� ���$������ �� ����� �#$��������� &�� ��$���������������� �� ��� ���� !�������� ��� ��

;�� + =�Q �� �� Q�

�-���K;�2 � � � " � ���-�

����� = + � ������ �B��� 1 ���� ;�� � ��� ����$������ �� �% � ���%� ����� � C�������

���$����� ��� � $��� L��$ $����

G� ������ �� ���� ���-- ���� ; ��!��� ������������� ���$ �� � � ��� B � ����� � � �(��������� !������ � + �������� � � � � � � � �(��������� ������� �����# ��� B � ��� 9@�!�������� ����� �����$��� �� ��� $������ ������ �% ��� ����$������ ���$����� �% ; ��� � &�� ���� ���� ���� %�� � + - ��� � ������� � . + � � !7 � �%� �7 � �� ��� 9@�!� ������B�. + B��� � !7 Q B���%� �7 � ����� B� � ��� 9@�!� ������ �% ;� %�� + �� -� &�� ������� �����# � ���� ���� ��� �(��������� G����� $���� � �� ����$������ ���$����� ������0����� !������� $��� �� &�� � �� %�� ��0����� �� ��� %����� �� ��� G����� $����� ������ ���(M����� ���$�����1 �����!��� �% ��� �� + " ��� ���� � �� %�� 9@�!� $������������ M����� ���$����� � ��� $���� ���� �

�� ����� �� ����!� ��� ��� �� $���� �% � $���%� �� �� ���� ��� �����$������ .O8� C� ��Y��%���� � ��� ���� :������ 6>/7� ��� + �� � � � � �� � ��� � ����� �� ��� .O8

����� + ����� �!���Q ��;���

+ �����

���!� Q

-

����

������ ���� Q

����

�����;��� �K;��� ���-�

Q �#$� ����

���K;��� �� �

�� � � � " � ���" + �� �

'� ��( ����� �� R��� ��� ��� ����� ��� � � ��� ��0������ �� ��� ��������� C������� ���������� ���� � 4���� ��� G����� $���� ��������� �� ��Y� ���� �� ��� ���%� ���$����� �% ���.O8� <���!��� ����� � � ���� ������ �� ��� L��$ �% ��� 9@�!� $������ ���� ���� ����������� �% ��� ����$�������� L��$ �% ��� ��0����� $����� ;�� � � � � ; ����� �� ��0����� ������� .��� 6��7� 8#����� 8�-��" �� $� �> � &��� �!��� L��$ �% ��� �% ��� ������� $����� ���$ ����' � L��$ �% �?�

%��� ���K;� � ��$ ���� �� � L��$ �% �?� �#$�

%��� ���K;� � ��

=>

Page 49: Risk Management with Extreme Value Theory · 2012-05-22 · o o oo oo oo oo oo oo oo oo oo oo oo oo oo o oo o o o o oo 5 10 50 100 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 x (on log scale) Fu(x-u)

��� R��� � � ���� �;� � ��� ����

�#$� ����

���;�

�+ ��;� � + �� � � � � � �

����� ������ ��� ���&��� �-�������� �% � $����� �

G� �� �� ��� %� ����� ���� ����� �� ��� ��� ������������� ���$ �� �% �� �#$������� 9@�!�$���� ��� �� �������� �#$������� �� � �

&� � ����� �M� ��� A� �� 6=/7 *. ; � �����,����� ;7�,) ����� ��& �&��������� ������ � � �� B ( �&�� ��� �; ��1��� +)$0 + ��; � ;7�,) ����� ��& �&��������� ������ �� � ��� �B �,�� +)

� � +�

-�� Q

� ��$� � � � �1����-�� � �� ���-��

�B���

�� + ��B�T + B�� � � ' $� � � � T� .�� ��) ����� �� T � � $

4 �� ��� C ���(.��� � ���� ��%���� �� ������� ���� !� �� ������� $���%� ��1 ���� 7�� + 7�� � 6"� A 7� %�� ��� #�� $ ������ ����?�� A � �� ����� �� �!��� ������!� ��� �� �� ��)���� ����7 � 6"� �7 ��� 7� � �� O������� �� ��*�� ��� ��� �����& ������ �� %� �� ��� �������

��*�� + �*��� ���� � 7� � Q 7! �� Q 7��;��

�� � � " � �*�" + � �

����� � � � ������ ��� ���� ������ �% ��� ��!�����

N��� ��Y�� %���� �� ��� .O8 �� � �����

�*�� + � �#$��� Q 7�!� �� � �7�;�� � � � " � ���->

V�� ��$������ ����)����� �% ��� ��$��������� � ��� %��� ���� � L��$ K;�� � ����%��������� � L��$ K�*�� + ��� Q 7�$ �0� � � � ��� � 7� ��� ����� �� � � ��)���� %�� ���$���%� �� ���� 7� � ��

���� ���-� �� � � ��� ���� ��*�� ��� ������ ��!� � ���� ��� ��$ � ��$���������� � �� ������ �% ��������� C������� ������1 �� ���- � �� ��� ���� ��*�� ��� � ����� �� �#$������� 9@�!� $���� ��� �� �� �� ��� ��� ������������� ���$ �� �% �� ���������

&� � ����� G����� ����� � $��� ��& ;7�,) ����� ; ��� �&��������� ������ � � �� B $��1�� .�� �&� �� ������- �� �&� ,����� 6��7� ��& ���������

6��7�� +�

���

������ � � + �� � � � � � �

%&� ����� � ��*�� ��� � ;7�,) ����� ��& ������ � � � �� � B� �,�� +)

� + � Q 7�!� �� Q 6��7��- Q � � �7�����-Q

���

� ��� Q 7�$ � � � � � ����*�1�������� � 7��� ������

�B��� �

�� + �7��� �B��. + B�� � � ' ��� Q 7�$ � � � � .� .�� ��) ����� �� . � � �

=�

Page 50: Risk Management with Extreme Value Theory · 2012-05-22 · o o oo oo oo oo oo oo oo oo oo oo oo oo oo o oo o o o o oo 5 10 50 100 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 x (on log scale) Fu(x-u)

�� ��� ���� !�������� ��� �� ������

� �7�;�� + =��Q 7��� �� Q�

�-��� �

�� Q

����

7�K�;��2 �

+ =��Q 7��� �� Q�

�-��� �

�� Q

����

7�

��#$�

����

���K;��2 � ���

� � � " �

�����=� + 7��= Q 6��7��- � �7�����- �

��� = + � ������ �B��� � �� ���-� �

C� 9���� ���� ��*�� �� ������������� %������� � �#$�2 ��*�� + �#$��,��2 � 2 � ���% �� ��� �� ��� ����� � �#������ ������ 2 + " �� � � ���� �� &������ -���> �� .��� 6��7 �������� %�� � E � �

�6��*�� 7 + �#$��U���E � � � " � ���-�

�� $������ ��� � �#$�2 ��*�� + �6��*�� �7 � � %�� ��� ��� ����� � � � " �% ��� �� � �%����2� $

��B���� � ��

����������� ����� ;�� ; + �;�� � � � � ; +� � ;7�,) ����� ��& ���������� ��������� ������� �&�� .�� ��� � + �� � � � � � �&� �, ;��� &� 1��� ������ ��������� .������ ��� ��& �&��������� + � �#$����;��� � � .�� � � + �� � � � � �$ ������

���� '+ � �#$��;�� +�� �#$

� ����

���;��� �� � � � � � �#$

� ����

��;��� ��

� ���-�

;�� �*�� +� � � �3����� � $�F�$ %&��

� 6�*�� 7 + � �#$���� Q 7

�!� �� Q � ���� ��� �

!����*�� + �� �#$�-�

�� Q 7

�!� �� Q � ���� ��� �

�#$��7.7 � ��

�&��� . � �� ������- ��& ���������

.�� + � �#$

��,��

���, Q ��, ;,��

��� �#$

��,��

��,;,��

��� �#$

��,��

��,;,��

�� � � � � � � �

����%� ����� � ���-� ������ %�� E + � ��� E + - �������� ��!��� �������� ���� ����#$����� �% B� �� ���� �% B �% 9���� �����

� 6�*�� 7 + � �#$���� Q 7

�!� �� Q

-6��7� Q �

Q

���

�$ � � � � ��� ���-�� B��� ���

!�� ��*�� + �� �#$

-�

�� Q 7

�!� �� Q

-6��7� Q �

Q

���

�$ � � � � ��� ���-�� B��� ���

� �#$

����7���� Q

���

�7�$ � � � �B��� ��

� �

��

=�

Page 51: Risk Management with Extreme Value Theory · 2012-05-22 · o o oo oo oo oo oo oo oo oo oo oo oo oo oo o oo o o o o oo 5 10 50 100 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 x (on log scale) Fu(x-u)

��� + �� � � � � � ������ �� $� ��� (�� ���� !����� �� � � &��� ��� (�� ���$����� �% ���-� ��������� ��

� �#$�

�,��

��,;,�� + �#$��� Q 6��7��- Q

��$ � � �� ��� ���-�� B��� � �

����� �����$��� �� ��� (�� ���$����� �% ��� �#$��;�� � &�� %���� � %�� ��� !������� ��������� ��� ���� ��

'� ��( ����� R��� ���� %�� 1 + �� � � � � � � +���

��� �#$�

����

�,�;��� +

����

� �����,� + ��6 ��;, �� 7 +

����

U���,� �

&�� ��$ �� �� $������ �� � �7�;�� + �&

,����6 ��;,�� 7 *� � �

)�� ����.���� �����������

G� ������� ��� ��� $���%� �� �$����?����� $��� �� ���� ��� J�$��� (��(3�� � ��� �������� ��� ���� ������ ������ �% 9@�!� $������ &�� �������� �% ��� J�3 %��� O������� ������$��� �� ��� ���� ������ �������� ���� � %� ���

��������� ��� � 6J�$��� (��(3��7;�� � +� �&� ���� ������ ��� A � �,�� ������� &��:��$ ;�� -� +� �&� ��3������ �. �7�;�A .�� ��� ����.��� 7 � � ��� �*�A �&� ����������� ������� �����&$ %&�� �&� 2�3 �. �*�A �,�� +)

2�3��� 7� A + ��%- � � ' � ��*�A � - � ��+ �-� �#$��7�!� �� Q � A

��� �� ��1��

J�3��� 7� A + � �#$��A �2�3��� 7� A

+ � �#$��A �� � -� �#$�7�!� �� A

�&� J�$��� (��(3�� �. �&� ����.��� 7 ���& ���� ������ � ��� ������� &��:�� A $ �

G� ������� ��� ��� %� ����� �$����?����� $��� ���

��#*������� � *����

�6�*�A 7 ��L��� �� J�3��� 7� A � > �

�� ������ � )����� � �% 9@�!� $����� ������ �� �� �� ���� �#$ ���� �� N�� �� ��� �% �% �*�A � ��� ����� �#$ ���� �� 4� �� ���� ����� ��� !����� $���� ���� %�� �$$��#������� ��� ������ ����� �$$ ����� ��� %�� )����� � ��������� �� ���

��� ��$ ����� �� ������� ���� !� �� � + �� ���� ��� $���%� �� ����� �% ��� ���� ��� ��� �������� ����� � ���� �� �� ��� �#$������� 9@�!� $����

� �� + � �#$�!�Q ;�� � � " �

�"

Page 52: Risk Management with Extreme Value Theory · 2012-05-22 · o o oo oo oo oo oo oo oo oo oo oo oo oo oo o oo o o o o oo 5 10 50 100 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 x (on log scale) Fu(x-u)

����� ; �� ������������� %������� �$��0� + $���� 2 � �� G� �� 7� + 7 ��� �*�� ��������

�*�� + � �#$��� Q 7�!� � � �7�;�� � � � " � �*�� + � �

����� � � �7�;�� ��� � � 9@�!� $���� ���� ������������� ���$ �� � � � �� � B� ��!�� ��

� + 7� � �

-�� � 7 �� Q

� � ��� Q 7�$� � � ��� ��� Q 7�$� � � � � � � 7������ � �

�B��� �

�� + 7� �

B��. + B�� � � ' ��� Q 7�$� � � � .� %�� ��� C��� �� . � � �

.������ U��2 + ��$�0� %�� 2 � � ��� ���� ��� ������ ���������� %������� � ����� � ���� �#����� ������ ������ %�� � � " ��

�6�*�� 7 + � �#$���� Q 7�!� � Q U�� !����*�� + � �#$�-���� Q 7�!� � Q U�� ��#$�7���U��- � -U�� � �

�G� ������ �� ��� ��� �% � L��$ $��� �% ���� !�������� %�� � � "�

� 6�*�� 7 + � �#$��� Q 7�!� � Q�

-�� Q = Q �� � � ���/"

!�� ��*�� + �� �#$

-�

�� Q 7�!� � Q = Q ��Q

-��

��� �

�#$�7����� Q ��� � -�� �� �

�� ���/�

����� �� +��$� � � B��� � ��� +

��$�� � � B��� � ��� = + � �

���-� �B��� �

�� ��� %� ����� �� ���� ��� ��������� ������ %�� ��� J�3� ����� ���� ���� �� ��!� ��������� � �� )����� � �% �7�;�A 1 �� O������� �����

.��� ����� ������ �% 9@�!� $����� ��� �%��� ���� �� ������ ���� ��$����������1 ��3����� 6>�7 ��� ��%������ �������� �� $�����$ �� ��� ������ ��� �� �$$ ��� ���� �� ��� �������$������ ��$�� �% �*�A ��� ������� ��� )����� � �� �� ��$����� �������$���� .��� ����(�� ��� ���� �� ��� 9@�!� ������ B� � ����� �� ����!�� �� 9���� ����� &���� ���� ����!������ ����� ��������� &�� �� � ���� �� ��� ���� )����� � ��� �!�� �� �������%���������� ��� �� �������� �� ����� ��$����� �������$���1 ��� ����� � ���� ��� ������ ������ �� �� ���������� ����� ��!��� � � ������� ����� �% �����������

G� ��!��� ������ �� ���� ��� %�� ������� �� C������ 6�=7 ��� 3������ 6�"7 %�� ��� �����$��$�� ��� ���� ����������� � $����� �� 4���� ��� 3����� 6-7� C�%��� �� �$$ � �������� � �� �$$��#����� � �� )����� � � ��� 2�3 ���!� �� �#$ ��� �� ��� ����� &�� ��������������� � ���� �� L��$ �� � ��� �� �$$��#������ �� C������� ������� ������ ���� ����� � ��������� � ���$���� :���� $���� � �� &�� ����� �$$��#������� ���� %�� !��������� ��� %�� � ���� � �� $������ ��� �� %�� %�� ��� �#$������� !�������(����� ���� � ������� ������ �� ��$������ ���� � � �� $�������� G� %���� ��� �����%��� � ���� ������ ��� ��

��� � 9@�!� $���� ���� ��$���������� ���-= �� ����� %�� �� � � "�

;�� + ��� � Q �� �� Q� ��� Q

� �

����-�

�����2� �� � �2B���

� ��� � Q �� �� Q� ��� Q ��� F �� � � � " � ���/-

��

Page 53: Risk Management with Extreme Value Theory · 2012-05-22 · o o oo oo oo oo oo oo oo oo oo oo oo oo oo o oo o o o o oo 5 10 50 100 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 x (on log scale) Fu(x-u)

����� F � ��� ���$�%� � ��$ � 9@�!� $���� ���

���� +

����-�

��B��� � ���//

��� + ���������

�B��� � ���/=

� ��� +����

K;�2 � ��0����� � ���/�

&�� �$$��#������� ���/- ��� �� ���� $������ �� � � ����)����� �% � %�������� ������ ������������ $��!���� ���� %�� � "

��� ��� �

����-�

�����2� �� � �2B��� + ��� ���;�� � ;��� � �� � � � " � ���/�

�����

;��� + ��� � Q �� �� Q���� � � � " � ���/>

G� ������ �� ���� ���!������� �� C6"�� ���� ��� �$����� ���� ���%��� � �� ���$����1

�� :� ��� 6>-7�

.���� ��� C������� ���$����� ��� ��� L��$ ���$����� �% � 9@�!� $���� ��� ����$����������/� L���� �$$��#������� �� ����������� ���/- �

G� ���� �� ��!��� ��� ��� � �� �$$��#����� )����� � �% �7�;�A � G� �� ��� �� ��� ��$'�� �� �� �$$��#����� �7�;�A � ����� �� �� �� ���� ���!������� �% �% ��$ �� � � ���!��(����� �% ����� ������ �?�� ��!���� &�� ��!� ��� �$$��#������� �% ��� )����� ��

����� ��"� 68���� ��� A B�$$� ���� 6/=77;�� : +� ��) ;7�,) ����� ��& ;7�,) ������ B$ ;�� ���#$�: �� + 9�� +� ��& �&�� 9�� +�#$: �� ��& �&��������� ������ �,�� � ;���� $C $ ;�� .���&������( ��� +� ��1��� � �� $@@�( ��� :� ��� 9� � ;� � � $@F�( ������,��)$

;�� F +� � ;7�,) �����$ >3�,����� ��� .�� � "

��� ���: �� � :��� F �� � � � " � ���/�

�7��� �� � � �79�� � � �79��� F �� � � � " � ���/�

��� ��� $���% �� ���� ��� %� ����� ��������

����� ���� ;�� 9�� � � "( +� ;7�,) ������ ��&��� ������� ��������� ��� : � + � �9� �&�� ������&�� ���&��� �-�������� ��& �&��������� ������ � + � �+ � B+ ���� 3 � �3 � B3 � ��1��� � ;���� $C $ ;�� @ ' � �� ��& @�� " � � " ��� F ���;7�,) �����$ %&�� �3�,����� ��� � � "(

9���

@��

F �� � � � " �

: ���

@��

F �� � � � " �

�-

Page 54: Risk Management with Extreme Value Theory · 2012-05-22 · o o oo oo oo oo oo oo oo oo oo oo oo oo oo o oo o o o o oo 5 10 50 100 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 x (on log scale) Fu(x-u)

����% �% +����, ! +��� ,� .������ @�� '+ ��� ��� : � '+ : � :� �� &������ ��-� �� ���������� ���/� �� � �% ��� �� � �%

��� �� ���#$�: �� � :��� � �� � � � " � ���="

4$$ ���� &������ ��-� �� @�� '+ 7��� ��� 9� '+ 7 ���#$�: �� � :��� ��� �� ��� �)��!(� ���� �% ���=" ���

�7��� �� � �7 ���#$�: �� � :��� � �� � � � "�

&�� ��������

� �7 ���#$�: �� � :��� + � �7 ���#$�: �� � � �7 ���#$ :��� � � � " ����=�

����� ��� �� $��!�� �� �� �� ����� � ����� ���������� �#$������� �� ��Y�� %���� � ��� 8�(��� ��� A B�$$� ���� 6/=7 � ��� �� ��� �)��!� ���� ���� ���/� � �

�� ��� ���� !�������� ��� ���/� � ���� ���/� ��� �� ��������� ��

��� ��

�� ��-���

K;�2 *��K;�2 � � � ��

'( ��-���

K;�2 *��K;�2 � � �

)*�� F �� � � � " �

����� ��� ��������� � ��� ���������� �� ��� � ���� ������ ���� ��������

G� �$$ � ���/� ��� ���=� �� �$$��#����� � �7�; %�� 7 � �"� �7 � %� ���

� �7 ���#$�;�� � � �7 ��;��� Q 7��� F �� � � � " �

��� ����� �� ������

� �7 ���#$�;�� � =�*� Q 7�� �� Q� �*�� Q 7��� F �� � � � " �

�����

=�* + 7���� Q �� � 7 ���- �

� �*�� +

����

��� Q 7��#$�K;�2 � ��0��2�� � � �

���� � �* � � ���$���� :���� $���� ���� L��$ ������

B4 ��T + B0�� ' ��� Q 7�$� � � � T������ �

%�� ��� C��� �� T � � �C� :��$������ "�� �% 3����� 6>�7 �� ������ ��� �����$������ �$$��#������� %�� ��� �()����� �-� �% �7�;�A �

����������� ��� 8�& �&� 3������ � ��1��� �+�,� �� �+���

-� � -���7 + ��%- � � ' � �=�*A Q 7�� �A Q� �*�A Q 7�0�� F �A � � - � �� �

�,�� �&� .������� �����-�����

2�3��� 7� A � �-���7 �#$��7�!� � Q � A �

J�3��� 7� A � �$�5��� -���7 $

*%��5��

�/

Page 55: Risk Management with Extreme Value Theory · 2012-05-22 · o o oo oo oo oo oo oo oo oo oo oo oo oo oo o oo o o o o oo 5 10 50 100 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 x (on log scale) Fu(x-u)

&�� %� ����� ���� ��� ����������� ��� ����� �$$��#��������

#�������$ ���� 64���� ��� 3����� 6-77

� F ������� ������� ����� . ��� ���) .

��4��� � � � ��� .�� ���& 4 � " � ���=-

�! G������ � $A�� &��� . ����� ��� �� + � �

�% *. �&� ;7�,) ������ &� �� ���� � � ���&+���&��� �. #( �&�� ������� � $A�� �3�,������ �� ����� ��� �� + � �

:��!���� ��� ���!� ��������� � ����� �� ��!� ������� ��� $��� �� �% ��������� � )����� � �%� ���$ ������ 9@�!� $���� �� ��� ��������� �% � )����� � �% ��� �� �% ��� ���$���� :�����! � �

*�A ��� ��� ����� �! +� �A '+ 7��� Q ��0�� ���� �A � G� �� �� ��� ��� ������ �%

� �*�A Q +� �A ���� ��� ��� ������� &���%��� ������� �����%���� �����!����� � ��&� C�

����$�������� �� ��!� %�� ��� ������������� %������� �% � �*�A Q +� �A

H�( + H4 �5

�( H�" 5

�( � ( � � � ���=/

O����� �� 44 �

��� 9@�!� ������ �% � �*� ����� �� ���� �� �#��� ���� �� ������

H4 �5

�( + �#$�AB4 ��� �H3 �( � � � ( � � �

�����

H3 �( +�

B4 ���

�$���44

��� �� � ( � � � ���==

������������ �� ����� ����

H�" 5

�( + �#$��A(�7���� Q ��0�� � ( � � �

G� �$$��#����� ��� ������� �� ���== �� ��� ���$�?��� �� �� ������� � ������ � �� $���� �% - �% �����!� ��� � ��$ �?� K�� .�� @ + 44

��B4

��� � G� �������� ��� ������� H3 ��� ������� �

��$���@�� �� �

� �������

������$���@�� ��

�������

�����$����@��EK� K�

+������

$��������@��E � ��- K� K�

+ K�$��������������

$����@��E � ��- K� �

��� @ '+ @��E � ��- K� � E + "� � � � � � � �� ��� �� � ��� ������� ������� ����%��� �%��� ���$ �# ������ @ ��� ��� �� �� �� ���� �� ��� ��& � ������� %�� ( + -7E���K� �E + "� � � � � � � �� ��� ������ � ��� ���� C������ 6-"7� J��$��� �" � &�� ��� � �� ��

�$$��#������� %�� H �� ���=/ � C� ��� ��!��� ��& �� ������ ��� ������ �% � �*�A Q +� �A �

�=

Page 56: Risk Management with Extreme Value Theory · 2012-05-22 · o o oo oo oo oo oo oo oo oo oo oo oo oo oo o oo o o o o oo 5 10 50 100 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 x (on log scale) Fu(x-u)

��� ��� ���� D>-�������� ������� ����� ��& I���E<��� ��� 9@�!� $���� � ��� �� �% � C������� ������ ���� ���%� ��� �� Q =� ���� ��� ����$���� :���� $���� �;�� ���� ���� :���� �������� % ��� � � ����������� �% ��� L��$������ �:� ��� � ��� � �������!� $��$�� �� ������� ��� �#��$ � �� ��� ���$���� :����$����� �� ��� � � �� ���� �!��� ��0����� ���� �� ���� 6/�7� &�� ���%� = + ��

��� � �� �

����� ��� ���� �� ���$����� ��� L��$� &�� 9@�!� ������ � B��� + %���� ��� ������� + %��@�� � � ��� ��� + %��@�- � � � ����� @ � ��� ������ ���������� %������� �% :�� ������� ���� �� �#�� �� ��� ��)����� $����� C� ���/" ��� ���/� �� ������ %�� � � "

�*�� + � �#$

��� Q 7�!� � � 7��� �

-7���

�Q 7�� ��

�$�#���

�� Q 7�$3� � � �

�6�*�� 7 + � �#$���� Q 7�!� � �

!����*�� + �� �#$�-��� Q 7�!� � ��#$�7����� Q %��@�- � -�@�� Q � � �

��

R��� ���� %�� % + " ��� ���� ������ �� �#$������� C������� ������1 ����

�*�� + � �#$

��� Q 7�!� � � �

-7���

�Q 7�� ��

��

V� ��� ����� ����� �% � + " ��� ���� ������ �� �#$������� ���$���� :���� $����1 ����

�*�� + � �#$���� Q 7�!� � � 7����$�#

���

�� Q 7�$3� � � �

��� ��� ���� D>-�������� ������ �,��� /���� �=*/� ;7�,) �����E&�� ����� ��#���� ���� �� ���� ������� �� C������0(R�� �� 6�� =71 �� � � 8��� ������ �� �������� 6-�� -�� /"7 �� �� ��� ��$����������

;�� + �Q ����� Q ��� � � � � " �

����� � � � �� � � � ������������ �! ��� ����� ��� �� ��!��� M����� ���������� &��$���� �;�� ��� � ���)�� � ���������� �� ��� ����������� �% ��� ��������� ;�� ����� � R�M

��� C������0(R�� �� 6�7 � &�� ���� ���� ;�� + �� Q �9�9 � ����� �� � ! ������ �

����� �! ���� ���� ��� !������� ! ��� 9 � ��!��� M�� ����������1 ���� $����� �� ��������� �% ;�� � ��!�� ��

�@��� �� �� � Æ '+�

7�#$

���� � �� Q ����

� I���@�� �

@��� � � � � �

����� � � ��� � "� Æ � "� � �� @�� +�Æ� Q �� ���

I��2 +�

-

� �

��#$

�� �

-2��Q ���

���

� ��� ������ C�� %������� �% ��� ����� ����� &�� $�������� � � � ���$�� $������������� %�� ����� � �� ��� � ���� ��� �� L��$ ��� ���� L��$ �% ���� � ������� Æ � � �� �$��������� � � � ������� $�������� ��� � ������� $��������� ��� + � + " �������������� " ��� ������������� ���$ �� �% � R�M 9@�!� $���� � ��!�� �� �"� "� B ����

B��� +�

7�����I������ �� � � � � �

��

Page 57: Risk Management with Extreme Value Theory · 2012-05-22 · o o oo oo oo oo oo oo oo oo oo oo oo oo oo o oo o o o o oo 5 10 50 100 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 x (on log scale) Fu(x-u)

G� ��� �� �� ��� �� ��� ��� !�� ��� ������ ���������� %������� �% ;�� � ����� � %�� ��� R�M����������� ��!�� ��

� �#$�2;�� + �#$��� ���� � 2� � �2� � � �

��� ���� 3��� � 6>=7� 8#��$ � ��� ��� ����� ������ �% ��������

�� + �� ���� � � ���� + �� �

��� � = �

: ������ ���� ��� � ���� ���/" ��� ���/� � ��� ������� !��6 + !78 � �� � ��� � � �!78

� ��� )������� ! %��� 8#��$ � ��-=� ��� ���� ��� �#$�������� �% �� ��� �� ��� R�M ���� ���� ��� � %�� ��� �#$������� C������� ������� �� ������ %�� � � "�

�*�� + � �#$���� Q 7�!78 � � � �� ���� � �

#�-���

�� Q 7�$�0� � �

��

� 6�*�� 7 + � �#$���� Q 7�!78 � � �

!�� ��*�� + �� �#$�-��7�!78 � � Q � ��#$

�Æ7���-

��� � �� ��

��� � =

�� �

��

C� J��� ��� ��-/� %�� ��� �#$������� ����� ��!��� M����� 9@�!� $���� ��� ����� �$($��#������� %�� �� L��$ � � ���� ���� ���� � �-�7 � � � "

��� �� ������� �% ��� �()����� � �� ��!��� :��$������ ��-- ��� �� ��&�

������ ��-� ��� ��$ � $��� � ��������� R�M(9@�!� $���� ���� ������� $�������� !� ���

time t

X(t

)

0 5 10 15 20

050

0010

000

1500

0

XEXEX+/-std

time t

X(t

)

0 5 10 15 20

050

0010

000

1500

0

XEXEX+/-std

������ ���� %�� ����� ���& �. �&� �-�������� =*/ ;7�,) ����� ��& � + � ��� Æ + "�/-���.�� ��� ��& � + - ��� Æ + "�"� ���&��( � �-�������� �;�A ��� �-������������������,���� .�� � + �"""( ! + "��( ��� � + "�"�$

��� ��� ���� D>-�������� ,������ ����� ��/� �����E&�� ����� ��#���� ���� �� ���� ������� �� ;���� ��� .����� 6�=7� �� ���(��������!����� ��� �� %���� �� ;����� J��� ��� J���� 6�/7� 4� ���������� ��$����� ��!��������� ������ ��������� �� J��� �� � � 6--7� &�� ���(�������� ���� � ����� � %� ���

;�� + �Q ����� Q ��� � � � � " �

��

Page 58: Risk Management with Extreme Value Theory · 2012-05-22 · o o oo oo oo oo oo oo oo oo oo oo oo oo oo o oo o o o o oo 5 10 50 100 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 x (on log scale) Fu(x-u)

����� � � � �� � � � ������������ �! ��� ����� ��� �� ����� ���������� ���� $����� ��

���2 + Z��2� ? %�� $�������� � � " ��� ? � "1 ���� �� �� ������

4�� +�����

Z��2 ?��$���# � � � " �

&�� ������������� %������� �% ;�� � ��!�� ��

� �#$�2;�� +�#$�2�

�� � 2?�Q 2�?�- ��2 � � �

&�� 9@�!� $���� ; � � $��� L��$ $���� ���� 9@�!� ������

B��� +�

��� �#$��,

-

?Q �� ��� Q ��

��� � � � � �

G� ������ � ��%���

�*�� + � �#$���� Q 7�!� � Q #���

�� Q 7�$�0� � � �

�6�*�� 7 + ��� � ?�� ?�- ��*� �#$���� Q 7�!� � Q

!����*�� + ���� � ?�� ?�- ���*� �#$�-��� Q 7�!� � Q

��

�� � ?�� ?�- �

� � -?�� -?

��*��

� �

��

��� ��� ���� �� ����� + � ��� Q ?�� ?�- ��� ! + !78 ��� ���� �6�*�� 7 + � �#$��� Q7�!78�� � � �� ����� �� �� �� �$$��#������� %�� ��� 2�3 �� �� �� ��� ���� � ��� � � "�.���� �� 9@�!� ������ �� �� ���� �� � ������������� �% "� �� J��� ��� ��-/� ��� ����� �$$��#������� %�� �� L��$ � ��� � �����

<���!��� ����� � ������� ���� $���� �� � �� %�� �$$��#������� �% ��� �� L��$' %�� � "

��� ���;�� � ;��� F �� � � � " �

����� F � � 9@�!� $���� ���� ������������� ���$ �� �"� "� B9 ����� ��� 9@�!� ������ B9 �������� B9 ��J + ���J ������������J �J� &�� ���� ���� ��� %� ����� �$$��#������� �!� ��

-� � -���7 + ��%- � � ' � �=�*A Q� �* Q 7��� F �A � � - � �� �

��!��� ����� �$$��#������� � �� :��$������ ��--�

'� ��( ���"� G��� �� ���� �� $��%��� � $���%� �� �$����?����� %�� ��� ��0����� �#$������� 9@�!� ���� � $���� $������ ���� ������� �������� ��� �� �#$ ������ R��� ���� ���� ����#$����� ��� �� $���� � ��������� �� 71 ����� ��� �$���� $���%� �� � � ��� ��� ����� 7��� ���� ��� ��� ����� � ������ ��� 9@�!� $����� ��������� � 7 � � �� �� �� ������.��� 7 ��� � ��� ��� � �� %���� �� � ��$ � �������� ��������� $���������

R�#� ���� ���� �� ���� ��� � ���$���� � �� ��!� ����� � ���� $���%� �� $����� �)�� �

�� �����,������ ����:����5 .���� R�M ��� 2M ���� ��!� � ���� $�������� �� ���� ��� ����� ���� � ���� � !������� ��� �)�� �� ��� ��0����� �#��$ �� &���� �% ������

�>

Page 59: Risk Management with Extreme Value Theory · 2012-05-22 · o o oo oo oo oo oo oo oo oo oo oo oo oo oo o oo o o o o oo 5 10 50 100 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 x (on log scale) Fu(x-u)

-1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0

01

23

4

������ ���� ����) �. ;�� .�� �&� =*/ ����� ��& ��������� � + -( Æ + "�"�( � + + "(� + �"""( ! + "�� ��� � + "�"�$ %&� ������ ����) ��& �&� ��� ,������ #$#A ������� .����������$ �����,��( �&� ������,� �, 3������ ���.� ,������ ���� ��� �,�3������ ���&�,������ ���� ��� �������$ �� ��� ��� ��������� �� �&� =*/ �����( ��� ������ ��� �� �&������� �����$

time t

X(t

)

0 5 10 15 20

050

0010

000

1500

0

XEXEX+/-std

time t

X(t

)

0 5 10 15 20

050

0010

000

1500

0

XEXEX+/-std

������ �� � %�� ����� ���& �. �&� �-�������� �/ ;7�,) ����� ��& � + "��( Æ + "( ? + "�/���� � + �"�"�� ���.�� ��� ��& � + "�-( Æ + "( ? + "�- ��� � + �"�"-- ���&��( � �-���������6;�A 7 ��� �-���������������� ��,���� .�� � + �"""( ! + "��( ��� � + "�"�$

��� ����(!������� �$����?����� $��� �� � ��� ��� �� ��� ��� ��� ��

�� �����G�� ����:����5 <��� ��� ��$� �% ��� ����������� �� ��� �%� ��� �����1 �� ���(��� ��-�� &�� ���!��� ��� ��� �� ��� �����$������ �()����� �� ��� ������ ��� ���� ���� ��� ����������� ��� ��!������ 7 ���� ��� ���� �����

��� ���� ����� �� 8���� ��� A B�$$� ���� 6/=7

��������

��� ������ �� ���� �� ��� ���� ��� ���� � ������ ������ ������ � �!�"� ����� �����

� #$%&##'�

�#� ������� (� ��� )��!��"! �� �#$$$� �**��+!���!�� � ����� ,��*� � -./0 *��1��� 2!�� � /!2��2���� �!�����!��� �� � �� ������� �� 3'#&3�%�

��

Page 60: Risk Management with Extreme Value Theory · 2012-05-22 · o o oo oo oo oo oo oo oo oo oo oo oo oo oo o oo o o o o oo 5 10 50 100 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 x (on log scale) Fu(x-u)

�%� 4��"�� ���� ��� ���� -� � ���53� )�!���� �! �!� �� 6��� �6� ���� ������� # 5�#&'$3�

�3� 4������7&8!��� 9��� ����5� 8����� !�/�� :����!�� �!���!���!��� ��� ���1����!1 /����!�!�0 ���&��!�6� ����� �� �������� �� �&�3�

�;� 4������7&8!��� 9��� ����'� ���1��� � ������ !�/�� :����!�� �0*� ����� ��� ���������

� 3�&<'�

�<� 4������7&8!��� 9��� ��� ��+ � ����3� ����� ��� ���� ������ ���*��� ��� ���� -������

�5� 4������7&8!��� 9��� �!"��1� =� ��� )��!1" (�>� ������ �#$$�� ���� ������ � ����� ���

� ��������� 4!�"�?����� 4������

�'� 4������7&8!��� 9��� ��� (�*���� 8� �#$$�� �����!�6 �0 -./0 *��1��� �� @���1!�� 1���&���!1�� >�A 4������7&8!��� 9��� �!"��1� =� ��� )��!1" (� ���� ���� ������ ������ ���

� ��������� 4!�"�?���� 4������

��� 4���� (��� ����#� �� �!��� ��� "#���� �� �������� ������� B���2���� 4����� ���!& ���!��

��$� 4���!� �� ����<� ���� ������� �����!�6 C�!/��!�0 ����� �����!�6�

���� 4!�6��� 8��� :���! ���� ��� =�6�� ��-� ���'5� $%!��� &��������� �����!�6 C�!/��!�0���� �����!�6�

��#� 4������/ =� ���'<� :����!�� �����6���!/ 1���!�!���� �����1����!1!�0� ��!��� "��������

�� %$5D%#5�

��%� 4������/ =� ���� )�E� ��� F���� F��� ����#� �)�� �����!�6 !� @���1A � �/!2 � ������0 ��� �*!�!1�� /!��1� ��!��� "�������� �� ;&;��

��3� 4������� -� ���'#� 9� �!�����!�� ��� !�@�!��0 �!/!�!�� �!���!���!���� ���� � �� ������� ��';;&'<��

��;� 4��"�/1 �� �#$$$� �+����� ���/!��� � �� �����6���!/ *��1�� 2!�� �)����� ������ �����

���� � �� �� �'�&#$5�

��<� 4��"�/1 �� �#$$�� ��0�*���!1 ���/!��� � �� ���*� ����1�/��!��1 ��� ����1������!�� ��1&�!�� � �� �)��� *��1�� 2!�� �)����� ������ '���!��� � '35&'5#�

��5� 4��"�/1 �� ��� F�?�**���6 �� ����'� �+����� ���/!��� � �!7��!�� ����� !� @���1� "#�

���� � 35&'$�

��'� 4��"�/1 �� ��� F�?�**���6 �� �#$$�� =� ��!� � �� ����!����0 �!���!���!�� � �� �����6���!/*��1�� 2!�� �)����� ������ ���� � �� ������� �� �##$&�#3��

���� 4����� �� ����"� �� ��� -!�" 4� ����$� ���������� �������� ������ B!�0 ��!1�����

�#$� 4�!6��� ��9� ���53� �� ���� ��!��� ���������� ����!1&����� ��6�2��� ��!7� 8���

�#�� ���*��� �E -� ��B� ��� ��1F!��0 ���� ����5� �� "�������� �� �������� ���(���

��!�1��� C�!/��!�0 ����� ��!�1��� 8��

�##� ���� �� :��� �� ����� �4� ��� E�� �� �#$$�� =� @� ����1��� � ���� ������A ���*!�!1�� !�/��!6��!��� ���������% �� ��!���� �� '!������

�#%� ��+ ���� >�6����� ���� ��� )��� (��� ���';� � ����0 � �� ��� ����1��� � !����� �����"�������� �� %';&3$'�

��

Page 61: Risk Management with Extreme Value Theory · 2012-05-22 · o o oo oo oo oo oo oo oo oo oo oo oo oo oo o oo o o o o oo 5 10 50 100 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 x (on log scale) Fu(x-u)

�#3� �/!���!1 �� ��� F������� >� ������ 9� �0���!1 ������ � �!�"� ����� ��� ��������� � 3;�&3'#�

�#;� �/!� )��� ���'#� ��+!��� ��� �!�!��� � ��&�!���!���� �!7��!���� ����� ���� � �� ���&��

�#<� !�1��!� �� ��� ������ � ������ >����� ������ ��1�!���� ���� $��) �� 3;&5<�

�#5� ����!� �� �#$$�� �**�!1��!�� � 6����!�� �0*����!1 -./0 ���!�� �� @���1� >�A 4������7&8!��� 9��� �!"��1� =� ��� )��!1" (� ���� ���� ������ ������ ��� � ���������

4!�"�?���� 4������

�#'� ����!� �� ��� F��� C� ����;� �0*����!1 �!���!���!��� !� @���1� '���!��� � #'�&#���

�#�� ����!� �� F��� C� ��� ����� F� ����'� 82 !��!6��� !��� ��!� �!�*�!1!�6 ��� /��� �� �!�"A�� �0*����!1 ����� ��!���� �� '!����� �� %5�&3$;�

�%$� ����!� �� ��� )�!�� (� ������ =�� ����1��� ����� ��!/� �0 6���� -./0 *��1���� �����

������ � %�&;%�

�%�� ����1���� �� �#$$#� (����� *������!���

�%#� ����1���� �� ����� �#$$$� "#���� ��� ���%���� $��( ����%���� C4( B�����6 ��� )!�"4��"��

�%%� ����1��� �� F�?�**���6 �� ��� �!"��1� =� ����5� �������% "#����� "���� ��� ���!���

��� ������ (*�!�6� 4��!��

�%3� ���� (� ��� F�?�**���6 �� �#$$�� 9*�!��� *��� ��!�� 2�� ���1" *�!1� ����2 �� +*����!��-./0 *��1��� ��*�!��� ���!1� C�!/��!�0 � =1�����60� ����������������

�%;� ���� (� F�?�**���6 �� ��� F��� )� �#$$$� 9*�!��� *��� ��!�� 2!�� ������ ��*!���&��&)!�"������ ����� �� %<;&%'3�

�%<� ���� (� F�?�**���6 �� =�?����� �� ����'� G�) & !� ���� ?�� ��� +��� )!�!"�� ���!�����

� ;%&<%� ��6�!�� /��!�� �/�!���� �� ���� ����������������

�%5� ��6� )� �� ���'#� �����6���!/ 1���!�!���� �����1����!1!�0 2!�� ��!���� � �� /��!��1 � C�F� !�H��!��� "�������� � �'5D�$$5�

�%'� ��6� )��� ����� ����;� �$*+� ���� $����%�� 9+ ��� C�!/��!�0 ���� 9+ ����

�%�� �!������ ���� ���55� ���&�!�" ����0�!� 2!�� �!�" ����1!��� 2!�� ���2&���6� ������� ������

"����� $��) � ��<&�#<�

�3$� �?����� �� ��� -�"�� �� ������A I����!� ��6!�6� ����� ��� ��������� � #;�&#5%�

�3�� :���! ���� ������ >�*�!1!� ��2�� ����0 ��� ��!�� � �����!��� � ������ J���!���� ���� � ��

����� � �#<D�<<�

�3#� :���! ���� ��� ����� )� �#$$$� (���!�!�0 � *�*��!�!�� ���� ������� �� ���;&�#�'�

�3%� :��� =� ��� F����� �� �#$$$� 9*�!��� *��� ��!�� �� ��6��!���!1 ��!�!�0� ����� ���� � �� ��%�&3'�

�33� :���!.���+ �� ����5� �$*+ ����� ��� �������� � ��������� (*�!�6� 82 E��"�

�3;� :�!6�!��!� 4� �#$$�� 9� *�!�� ������ � �&�*1����!�6� �� ����!����0 �!7��!���� ��*�!��� G!��!��C�!/��!�0�

�"

Page 62: Risk Management with Extreme Value Theory · 2012-05-22 · o o oo oo oo oo oo oo oo oo oo oo oo oo oo o oo o o o o oo 5 10 50 100 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 x (on log scale) Fu(x-u)

�3<� ���� -� � )��!1" (�>� )����.� �� ��� G�!� �� :� � ���'�� �+����� ���/!��� � �����!����� � ���1����!1 �!7��1 J���!�� 2!�� �**�!1��!��� �� �)�� *��1���� ����� ���� � �� ��#�%&##3�

�35� �����2 B� ������ ���� ����1��!�� !� � ��2��!�&�!�" ���2��"� �������� ������� ��!���� #'&3$�

�3'� ��!�6 =� �?���� �� ��� -������ ��)� ���''� 9� �� +1���1 *�!�� *��1�� �� � ����!����0�J��1� ������� ����� $���� ����� �� �5&��#�

�3�� >�K� F�>� ��� �1F�� ���� ���53� ,�-!���� ������ ��� ���� ��� � ������ (*�!�6� 4��!��

�;$� ���!�� �� ����5� &��! �� $��(. �� /) '�����( ��� *���������% ���(� $��(� >�2!�� ��!1�6��

�;�� F������6 9� ���'%� $����� ���!��� �"���! G���6 4��!��

�;#� F������� >� ��� (��/ (��� ���''� '��)���� ������ ��� �������� *��!�!�� (*�!�6� 82 E��"�

�;%� F��� �� ���5%� )����� �!7��1 J���!��� ��� ��2�� ����0 �� *����1�� � ������ ����!+����� ����� ��� #$5&#3'�

�;3� F��� �� ���53� )�2�� ����0 �� ��1�!���� � � ���"�/ 1��!� 2!�� 6���� ���� �*�1� ����

������� � %;;&%'<�

�;;� F! ���1" 8� ������ (���!����!�?�� ��� =�!�!��+ �! �!��!�"��� G����!�!�?���������� !*����=��!�� ���!1� C�!/��!�0 � =1�����60� ����������������

�;<� F���� ���� ��� ����� �� ����#� /!����� ���!����� �� �������� ,�-������ "0!�������

(*�!�6� 4��!��

�;5� F�?�**���6 �� ����� )��� G�� G0/� �� B � �#$$$� =��!�6 �� ���1�!�� �� ������2��" !� �����6���!/ 1���!�!���� �����1����!1!�0 ������ (���!��� �� *���!1��!���

�;'� F�?�**���6 �� ��� ��6���1��1�!"�/ (� �#$$�� )�2�� ����0 �� ��1�!����� � � ���"�/ 1��!�2!�� 1��*�1� ���� �*�1� (���!��� �� *���!1��!��� ����������������

�;�� F�?�**���6 �� ��� ��6���1��1�!"�/ (� �#$$�� =� ��!� � �� ����!����0 �!���!���!�� � � ���&��� 1�Æ1!�� �)��� *��1�� 2!�� �**�!1��!��� �� �� �)����� *��1��� (��!��� �� *���!1��!�������������������

�<$� F��� )� ����5�A 1 ����� ����������� B���� (1!��!@1 (!�6�*���

�<�� -������� � ��� -�*0� 4� ������ ������!���� �! ��!� ��������0! � ��0!� 2� �� 3����

��!�!�� ���"�!�6 (��� ���!�*�� (��> ���!�� ��6�!�� ��������!�� �0 )���� 8� ��� ����!�� ������<� ������!���� �� �������� *��!�!� � ��� �� ������ ���*��� ��� ���� -������

�<#� -������ ��)� -!��6�� :� ��� )����.� �� ���'%� "#���� ��� $���� ��� ���� �� $�����

�0!�� ��� ������� (*�!�6�� 4��!��

�<%� ����� �4� ���� �� ��� ����6 �� ����'� =� /��!��1 6���� *��1�� ��� �*�!�� *�!1!�6����������% �� �� "!�� �� ����� $��)�

�<3� ����� �4� ��� (��� �� ����$� =� /��!��1 6���� �G:� ���� �� ���� ���"� ���������!���� �� '!����� � ;��&;#3�

�<;� ���"�2!�� �� ���;��A ��������� ������ � "��� ,�����3����� �� ���������� 82 E��"AB!�0�

�<<� ����� )��� ����3� *�����!�!����� ������ )/!�� ��� 4��1"2�� �����!�6 ���

�<5� �0� (� ��� =2�! )� ����%� ���(�� *����� ��� �������� ���������� (*�!�6� 82 E��"�

��

Page 63: Risk Management with Extreme Value Theory · 2012-05-22 · o o oo oo oo oo oo oo oo oo oo oo oo oo oo o oo o o o o oo 5 10 50 100 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 x (on log scale) Fu(x-u)

�<'� �!"��1� =� �#$$�� ����!�6 @���1!�� �!� ��!�� (����� *������!���

�<�� �!"��1� =� ��� (���!1� �� �#$$$� -!�!� ����0 �� �� ���*� ����1������!��� ��� +���� � �:�)������ *��1��� ���� �������� �� �3#5&�3;�� ���������������������

;� ����!+� ��.���!��� J���!��� ��+ �!7.��1�

�5$� �� "� )� ����3� �+����� ���/!��� � ����!����0 ���"�/ 1��!�� 2!�� �**�!1��!���� ���� � ��

������� � ;#�&;3'�

�5�� �!1"���� �� >>> ���5;� (���!��!1�� !� ��1 ��!�6 +��� ���� ����!��!1�� ���� �������� � ���&�%��

�5#� ������� � ���'3� *����%� �� �������� ������� (*�!�6� 82 E��"�

�5%� ������ �� ����$�A �������� ���%���� ��� ,�-������ "0!������� 82 E��"A (*�!�6��

�53� )�!�� (� �#$$$� ���� ������ �� �����. �����4 /!����� ��� "� ����� ����� �� ���!�C�!/��!�0 � ��!���6L ���� ��������������������������������������

�5;� )��!1" (�>� ���'5� "#��� &��!�4 $%!��� &�������� ��� ����� ������� (*�!�6�� 82 E��"�

�5<� )/�� � ��� E�� �� ������ *�����!�!� ������%��� ��� '��)���� ������� (*�!�6� 4��!��

�55� )����.� �� ��� F�?�**���6 �� ������ � �!�6� ����� 1��M� ��6 �6�!��� 1����!1 1�������*�������� �� 8� < ;;$&;;;� )�0�� (2�!�� �1���0 � (1!�1��

�5'� )�6�� -���:� ��� B!��!��� � �#$$$� ,�-!�����4 ���(�� ������4 ��� ������%���4 &��� 5�4

5�� "�� �����!�6 C�!/��!�0 ���� �����!�6�

�5�� )��!��"! �� �#$$�� (�!� �*������!��� � -./0 *��1��� ��� �� *��*1�!/ � *�!�� *��1����>�A 4������7&8!��� 9��� �!"��1� =� ��� )��!1" (� ���� ���� ������ ������ ��� � ���

������� 4!�"�?���� 4������

�'$� )0���6 =� ����5� =� ������ !�/�� :����!�� -./0 *��1��A �!�����!�� ��� �**��+!���!�������� ����� �� ''5&��$�

�'�� (��� F� >� ������ ���� ������ ��� ��3����� ,������� ,������!������ �����!�6 C�!/��!�0 ����������!�6�

�'#� (���* B� ���<3� � ����0 � ���"� J�!�!��!�� ���� 1���!�!�� � �!�"� ��!���� �� ����� ���;%<&�;5;�

�'%� (�*���� 8� ����<� (���!��!1�� ��*1�� � �)�� ��� ���1����!1 /����!�!�0� >�A ��+ �)� �!�"&�0 �G� ��� 4������7&8!��� 9��� ������ ��(������4 ��� ���� )��� "������� ��� ����

� ��������� ���*��� ��� ���� -������

�'3� (�!�� )� �#$$�� (����� *������!���

�';� =�0��� (� ����;� �������% �������� ��� ����� B!�0 ��!1�����

�'<� =2�! )�-� ���5<� ��!��!� �� 1����! 0!�6 6���� ���"�/ 1��!��� ���� � �� ����� � 5%5D55��

�'5� G��!1" 9��� ���55� �� J�!�!��!�� 1����1��!���!�� � �� ��� ����1���� �� ���� "��� � �55&�''�

�''� G�/��� B� ���5�� 9� � ���1����!1 �!7��1 J���!�� ��� � �*������!�� � ����6��!/ !�@�!��0�!/!�!�� ������ /��!����� ���� � �� ����� �� 5;$D5'%�

�'�� B!�� ���� ���'3� �)�� ����� 2!�� �)�� ������ �� ��� ��� �������� � �#�D�3%�

�-